Заказать решение высшей математики

Если у вас нет времени на выполнение заданий по высшей математике, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Заказать решение высшей математикиwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиОтветы на вопросы по заказу заданий по высшей математике:

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Заказать решение высшей математикиКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Заказать решение высшей математикиЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Заказать решение высшей математикиМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Заказать решение высшей математикиКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Заказать решение высшей математикиКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Заказать решение высшей математикиВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Высшая математика", если у вас есть желание и много свободного времени!

Заказать решение высшей математики

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по высшей математике:
  2. Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ
  3. Определители
  4. Заказ №1
  5. Заказ №2
  6. Заказ №3
  7. Основные свойства определителей
  8. Заказ №4
  9. Матрицы. Операции над матрицами
  10. Системы линейных уравнений. Определения
  11. Решение систем линейных уравнений с неизвестными с помощью формул Крамера
  12. Заказ №5
  13. Теорема Кронекера - Капелли
  14. Заказ №6
  15. Метод последовательных исключений Жордана - Гаусса
  16. Векторная алгебра. Основные понятия и определения
  17. Проекция вектора на ось
  18. Действия над векторами, заданными координатами
  19. Скалярное произведение двух векторов
  20. Физический смысл скалярного произведения
  21. Законы и свойства скалярного произведения
  22. Скалярное произведение в координатах
  23. Применение формул скалярного произведения
  24. Заказ №7
  25. Заказ №8
  26. Заказ №9
  27. Заказ №10
  28. Заказ №11
  29. Полярная система координат
  30. Цилиндрическая система координат
  31. Сферическая система координат
  32. Векторное произведение векторов
  33. Геометрические свойства векторного произведения
  34. Алгебраические свойства векторного произведения
  35. Смешанное произведение трех векторов
  36. Геометрическое свойство смешанного произведения
  37. Векторное и смешанное произведения в декартовых координатах
  38. Уравнение линии на плоскости. Уравнения поверхности и линии в пространстве
  39. Общее понятие об уравнениях
  40. Различные виды уравнения прямой на плоскости
  41. Определение угла между прямыми
  42. Различные виды уравнения плоскости
  43. Угол между плоскостями
  44. Прямая линия в пространстве
  45. Кривые второго порядка. Введение
  46. Эллипс
  47. Гипербола
  48. Парабола
  49. Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка
  50. Функция. Теория пределов. Непрерывность функции
  51. Вычисление пределов
  52. Вычисление пределов от рациональной дроби
  53. Заказ №12
  54. Вычисление пределов от рациональной дроби
  55. Заказ №13
  56. Вычисление пределов, содержащих радикалы
  57. Заказ №14
  58. Вычисление пределов, содержащих тригонометрические функции
  59. Заказ №15
  60. Заказ №16
  61. Заказ №17
  62. Вычисление пределов от показательно-степенных функций
  63. Заказ №18
  64. Заказ №19
  65. Заказ №20
  66. Заказ №21
  67. Вычисление пределов с учетом их особенностей
  68. Заказ №22
  69. Заказ №23
  70. Заказ №24
  71. Заказ №25
  72. Непрерывность функции. Точки разрыва
  73. Заказ №26
  74. Решение типовых задач контрольной работы №1
  75. Заказ №27
  76. Заказ №28
  77. Заказ №29
  78. Заказ №30
  79. Заказ №31
  80. Заказ №32
  81. Заказ №33
  82. Заказ №34
  83. Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления. Механический и геометрический смысл производной
  84. Заказ №35
  85. Заказ №36
  86. Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой в точке
  87. Таблица производных
  88. Правила дифференцирования
  89. Дифференциал функции
  90. Производная обратной функции
  91. Производная функции, заданной параметрически
  92. Производная функции, заданной в неявном виде
  93. Заказ №37
  94. Заказ №38
  95. Монотонность и экстремумы функции
  96. Достаточное условие экстремума
  97. Заказ №39
  98. Заказ №40
  99. Теоремы о среднем
  100. Построение графиков функций
  101. Заказ №41
  102. Заказ №42
  103. Заказ №43
  104. Неопределенный и определенный интегралы
  105. Определение и основные свойства неопределенных интегралов
  106. Заказ №44
  107. Интегрирование путем подстановки
  108. Заказ №45
  109. Интегрирование по частям
  110. Заказ №46
  111. Заказ №47
  112. Заказ №48
  113. Заказ №49
  114. Заказ №50
  115. Определенный интеграл
  116. Приложения определенного интеграла
  117. Вычисление площади в прямоугольных координатах
  118. Параметрически заданная кривая
  119. Вычисление площади в полярных координатах
  120. Объем тела вращения
  121. Длина плоских кривых
  122. Физическое приложение
  123. Заказ №51
  124. Заказ №52
  125. Заказ №53
  126. Заказ №54
  127. Заказ №55
  128. Дифференциальные уравнения
  129. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия
  130. Уравнения с разделяющимися переменными
  131. Заказ №56
  132. Однородные уравнения первого порядка
  133. Заказ №57
  134. Заказ №58
  135. Линейные уравнения первого порядка
  136. Заказ №59
  137. Заказ №60
  138. Уравнение Бернулли
  139. Заказ №61
  140. Дифференциальные уравнения высших порядков
  141. Заказ №62
  142. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго прядка, приводимые к уравнениям первого порядка
  143. Уравнения не содержащие
  144. Заказ №63
  145. Уравнения, не содержащие х
  146. Заказ №64
  147. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
  148. Заказ №65
  149. Заказ №66
  150. Заказ №67
  151. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами
  152. Заказ №68
  153. Заказ №69
  154. Заказ №70
  155. Заказ №71
  156. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
  157. Заказ №72
  158. Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Сведение системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка
  159. Заказ №73
  160. Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения
  161. Заказ №74
  162. Заказ №75
  163. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
  164. Заказ №76
  165. Комплексные числа
  166. Числовые поля
  167. Действия с комлексными числами в алгебраической форме
  168. Примеры:
  169. Решение алгебраических уравнений в поле комплексных чисел
  170. Заказ №77
  171. Тригонометрическая форма комплексных чисел
  172. Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ

Определители

Определителем (детерминантом) второго порядка называется число Заказать решение высшей математики, определяемое равенством Заказать решение высшей математики Числа Заказать решение высшей математики (i, j = 1,2) называются элементами определителя. Первый индекс i указывает номер строки, второй j - номер столбца. Строки и столбцы называют рядами определителя. Порядок определителя равен количеству его строк или столбцов.

Для вычисления определителя n-го порядка сформулируем теорему:

Определитель Заказать решение высшей математики-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения т. е.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - алгебраическое дополнение элемента Заказать решение высшей математики. В частности,

Заказать решение высшей математики

Алгебраическим дополнением Заказать решение высшей математики элемента Заказать решение высшей математики называется минор Заказать решение высшей математики взятый со знаком «+», если сумма индексов - четное число и со знаком «-», если сумма индексов i и j - нечетное число, т.е Заказать решение высшей математики

Минором Заказать решение высшей математики элемента Заказать решение высшей математики определителя Заказать решение высшей математики- го порядка называется определитель Заказать решение высшей математики -го порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания Заказать решение высшей математики -ой строки и Заказать решение высшей математики - го столбца.

Заказ №1

Вычислить определитель Заказать решение высшей математики

Решение:

Разложим определитель по элементам первой строки, используя теорему

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Ответ: 18

Если определитель третьего порядка разложить по первой строке, то получим формулу: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Элементы Заказать решение высшей математики образуют главную диагональ определителя, а элементы Заказать решение высшей математики - побочную диагональ определителя. Чтобы запомнить эту формулу, прибегают к графическому ее изображению

Заказать решение высшей математики Рис. 1

Такой метод вычисления определителя третьего порядка получил название правило «треугольников». При вычислении определителя со знаком «+» берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1а); со знаком «-» берутся произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1б).

Заказ №2

Вычислить определитель Заказать решение высшей математики Решение:

По правилу «треугольников» Заказать решение высшей математики =27+8+1-6-6-6=18 Другой способ вычисления определителя третьего порядка - по правилу Саррюса. Для этого к определителю третьего порядка приписываются справа два первых столбца. Складывают произведения элементов со знаком «+» на диагоналях, параллельных главной, и со знаком «-» на диагоналях, параллельных побочной, т.е.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Заказ №3

Вычислить определитель Заказать решение высшей математики

Решение:

По правилу Саррюса Заказать решение высшей математики =27+8+1-6-6-6=18

Основные свойства определителей

1. Величина определителя не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

2. Величина определителя меняет знак на противоположный при перестановке двух соседних параллельных рядов.

3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

4. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответственно элементы другого параллельного ряда, умноженные на произвольное число.

Заказ №4

Вычислить определитель:

Заказать решение высшей математики

Решение:

Определитель четвертого порядка вычисляется разложением по элементам какого-либо ряда. Обычно выбирают ряд, у которого часть элементов равна нулю. Если нулевых элементов нет, то, используя 5-е свойство определителя, получают три нуля в каком-либо ряде. Заказать решение высшей математики =-12-12 + 8 + 12 = -4 Из второй строки вычли первую, предварительно умноженную на два; из четвертой строки вычли первую; разложили определитель по элементам первого столбца.

Матрицы. Операции над матрицами

Матрицей размера Заказать решение высшей математики называется прямоугольная таблица из чисел Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

состоящая из Заказать решение высшей математики строк и Заказать решение высшей математики столбцов.

Элементы Заказать решение высшей математики называются элементами матрицы; элемент Заказать решение высшей математики расположен в Заказать решение высшей математикий строке и в Заказать решение высшей математики-м столбце данной матрицы; Заказать решение высшей математики - число строк, Заказать решение высшей математики - число столбцов.

Матрица размера Заказать решение высшей математики1 называется столбцом, матрица размера 1Заказать решение высшей математики -строкой.

Матрица размера Заказать решение высшей математики называется квадратной матрицей порядка Заказать решение высшей математики

Квадратная матрица называется:

а) треугольной, если все элементы по одну сторону от главной или побочной диагоналей равны нулю, например: Заказать решение высшей математики;

б) диагональной, если для Заказать решение высшей математики все Заказать решение высшей математики = 0, т.е. Заказать решение высшей математики;

в) единичной матрицей Е, на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Приведем пример единичной матрицы 3-го порядка:

Заказать решение высшей математики

Для любой квадратной матрицы Заказать решение высшей математики порядка Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

Квадратная матрица Заказать решение высшей математики называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю Заказать решение высшей математики

Квадратная матрица Заказать решение высшей математики называется вырожденной, если ее определитель равен нулю Заказать решение высшей математики.

Матрица Заказать решение высшей математики называется обратной к невырожденной матрице Заказать решение высшей математики, если

Заказать решение высшей математики

Если в матрице Заказать решение высшей математики заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица Заказать решение высшей математики

Квадратная матрица Заказать решение высшей математики называется симметрической, если Заказать решение высшей математики

Матрица Заказать решение высшей математики элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы Заказать решение высшей математики, называется присоединенной к матрице Заказать решение высшей математики.

Обратную матрицу можно найти с помощью присоединенной матрицы:

Заказать решение высшей математики

Для матрицы Заказать решение высшей математики размера 3x3: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Операции над матрицами:

1. Две матрицы Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики размера Заказать решение высшей математики равны тогда и только тогда, когда Заказать решение высшей математики для всех Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики

2. Суммой Заказать решение высшей математики + Заказать решение высшей математики двух матриц Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики размера Заказать решение высшей математики называется матрица Заказать решение высшей математики того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицы Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математики

3. Произведением Заказать решение высшей математики матрицы Заказать решение высшей математики размера Заказать решение высшей математики на число Заказать решение высшей математики называется матрица Заказать решение высшей математики того же размера, получающаяся из матрицы Заказать решение высшей математики умножением всех ее элементов на число Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

4. Произведением Заказать решение высшей математики матрицы Заказать решение высшей математики размера Заказать решение высшей математики на матрицу Заказать решение высшей математики размера Заказать решение высшей математики называется матрица Заказать решение высшей математики размера Заказать решение высшей математики элемент которой Заказать решение высшей математики равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы Заказать решение высшей математики и j-го столбца матрицы Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики

В каждом произведении матриц Заказать решение высшей математики число Заказать решение высшей математики столбцов матрицы Заказать решение высшей математики должно равняться числу строк матрицы Заказать решение высшей математики

Максимальный порядок Заказать решение высшей математики отличного от нуля миноров матрицы Заказать решение высшей математики называется ее рангом (rang А).

Приведем два способа вычисления ранга матрицы.

1. Используется для матрицы малых размеров. Выбирается произвольно какой-либо минор второго порядка матрицы. Если он отличен от нуля, то выбирается минор третьего порядка, в который входит выбранный ранее минор второго порядка и т. д. Этот метод называется методом окаймляющих миноров.

2. С помощью элементарных преобразований приводят матрицу к треугольному виду.

Элементарные операции над строками (столбцами) матрицы не меняют ее ранга:

1. Перестановка строк (столбцов) местами.

2. Умножение любой строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к одной строке (столбца) другой, умноженной на число.

4. Вычеркивание нулевой строки (столбца).

Системы линейных уравнений. Определения

Систему уравнений вида

Заказать решение высшей математики (1)

называют системой Заказать решение высшей математики линейных уравнении с Заказать решение высшей математики неизвестными. Заказать решение высшей математики называют коэффициентами этих уравнений, которые записываются в виде матрицы (матрица системы):

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Числа, стоящие в правых частях уравнений, обозначают столбцом Заказать решение высшей математики называемым столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Нашу систему уравнений можно записать в матричной форме Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.

Совокупность Заказать решение высшей математики чисел Заказать решение высшей математики называется решением системы (1), если каждое ее уравнение обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел Заказать решение высшей математики вместо соответствующих неизвестных Заказать решение высшей математики для всех Заказать решение высшей математики = 1,...,Заказать решение высшей математики

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая - несовместной.

Решение называется тривиальным, если нулевой вектор Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики является решением системы.

Решение систем линейных уравнений с неизвестными с помощью формул Крамера

Для простоты рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: Заказать решение высшей математики

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным и обозначается символом Заказать решение высшей математики, т.е.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Вспомогательные определители системы для вычисления переменных Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Нетрудно увидеть закономерность при составлении вспомогательных определителей!

Теорема Крамера. 1)Если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

2) Если главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то такая система не имеет решения (несовместна).

3) Если главный определитель системы равен нулю и все вспомогательные определители равны нулю т. е. Заказать решение высшей математики то такая система имеет бесчисленное множество решений.

Заказ №5

Решить систему уравнений

Заказать решение высшей математики

Решение:

По теореме Крамера имеем Заказать решение высшей математики =Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики= 0 + 2 + 10 -(-1 + 15 + 0) =-2Заказать решение высшей математики0.

Определитель матрицы системы отличен от нуля. Следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители системы:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики =0-6+30-(3+25+0)=24-28=-4;

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики =0+5-6-(6-9+0)=-1+3=2

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики =9+12+50-(-5+90-12)=71-73=-2

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики =2, Заказать решение высшей математики =-1, Заказать решение высшей математики = 1.

Если определитель Заказать решение высшей математики однородной системы не равен нулю Заказать решение высшей математики, то эта система имеет только тривиальное решение.

Если однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, то ее определитель Заказать решение высшей математики равен нулю.

Решение двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными

Заказать решение высшей математики

когда хотя бы один из миноров 2-го порядка отличен от нуля удобно искать по формулам:

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - произвольное число.

Теорема Кронекера - Капелли

Неоднородная система линейных уравнений совместна тогда, и только тогда, когда ранг матрицы системы Заказать решение высшей математики равен рангу расширенной матрицы системы Заказать решение высшей математики

Следствие. Если ранг матрицы Заказать решение высшей математики не равен рангу матрицы Заказать решение высшей математики, то система не имеет решений (она несовместна).

Заказ №6

Определить совместны ли системы:

а) Заказать решение высшей математики б) Заказать решение высшей математики

Решение:

а) Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики=-2Заказать решение высшей математики0 Заказать решение высшей математики система совместна, т.к. rang А = rang В.

б) Заказать решение высшей математики=0.

Найдем ранг матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом вычеркиваем нулевую строку:

Заказать решение высшей математики(1 1) Заказать решение высшей математики rang А=1.

Найдем ранг расширенной матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом переставляем 2-й и 3-й столбцы местами:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики rang В=2.

Так как Заказать решение высшей математики то система несовместна.

Ответ: а) система совместна, б) система несовместна.

Метод последовательных исключений Жордана - Гаусса

С помощью элементарных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Обычно нули получают ниже главной диагонали.

При решении методом Жордана - Гаусса системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными после приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду получится:

а) Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики (система будет иметь единственное решение); б) Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики (система будет несовместной);

в) Заказать решение высшей математики (система будет иметь множество решений).

Пример решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Жордана - Гаусса смотри ниже в разделе: «Решение типовых задач контрольной работы №1». Этот метод позволяет решать систему линейных уравнений с различным количеством уравнений и неизвестных.

Векторная алгебра. Основные понятия и определения

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом Заказать решение высшей математики (Заказать решение высшей математики - точка начала, Заказать решение высшей математики - точка конца вектора), либо Заказать решение высшей математики. В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

Заказать решение высшей математики

2. Длиной (модулем) вектора Заказать решение высшей математики называется длина отрезка Заказать решение высшей математики. Модуль вектора обозначается Заказать решение высшей математики.

3. Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор Заказать решение высшей математики направления вектора Заказать решение высшей математики называется ортом вектора Заказать решение высшей математики и определяется по формуле Заказать решение высшей математики

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают Заказать решение высшей математики; любое направление можно считать направлением нулевого вектора. 5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: Заказать решение высшей математики. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики является существование такого числа Заказать решение высшей математики, что Заказать решение высшей математики.

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор Заказать решение высшей математики называется противоположным вектору Заказать решение высшей математики, если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Рис. 1 Рис. 2.

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

Заказать решение высшей математики Рис. 3.

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

Заказать решение высшей математики Рис. 4.

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Заказать решение высшей математики Рис. 5

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

Заказать решение высшей математики Рис. 6

11. Произведением вектора Заказать решение высшей математики на число Заказать решение высшей математики называется вектор Заказать решение высшей математики, который имеет:

модуль, равный Заказать решение высшей математики;

направление, одинаковое с Заказать решение высшей математики, если Заказать решение высшей математики.

направление, противоположное с Заказать решение высшей математики, если Заказать решение высшей математики

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

Заказать решение высшей математики переместительный: Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики сочетательный: Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики распределительный: Заказать решение высшей математики

Проекция вектора на ось

1. Векторной проекцией вектора Заказать решение высшей математики на ось Заказать решение высшей математики называется вектор Заказать решение высшей математики (рис. 7).

Проекция считается положительной, если вектор Заказать решение высшей математики направлен также, как и ось Заказать решение высшей математики,

и отрицательной, если направление оси и Заказать решение высшей математики противоположны.

Заказать решение высшей математики Рис. 7.

2. Скалярной проекцией вектора Заказать решение высшей математики на ось Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики называется скаляр, абсолютная величина которого равна модулю векторной проекции того же вектора на ту же ось.

3. Основные свойства скалярных проекций:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - угол между вектором Заказать решение высшей математики и осью Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

4. Если ось Заказать решение высшей математики заменить некоторым вектором Заказать решение высшей математики, то можно говорить о проекции вектора на вектор Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - угол между Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Действия над векторами, заданными координатами

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка называется началом координат или полюсом. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, - осями координат. Первая прямая - осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья -осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Вектором Заказать решение высшей математики, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке Заказать решение высшей математики называется радиус-вектором точки Заказать решение высшей математики

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны (перпендикулярны) и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат

1. Если задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов, то каждый вектор пространства можно единственным способом разложить по векторам Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики Числа Заказать решение высшей математики называют координатами вектора Заказать решение высшей математики в базисе Заказать решение высшей математики и обозначают Заказать решение высшей математики

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики вектора Заказать решение высшей математики равны проекциям этого вектора на оси Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики соответственно.

На рис.8 Заказать решение высшей математики - углы наклона вектора Заказать решение высшей математики к осям Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики соответственно.

Заказать решение высшей математики Рис. 8

2. Длина вектора Заказать решение высшей математики

3. Направляющие косинусы вектора Заказать решение высшей математики (Рис. 8).

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики.

Возведем в квадрат три равенства и, складывая их, получим:

Заказать решение высшей математики

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице

4. Орт вектора Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики

5. Пусть даны векторы Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики координаты алгебраической суммы векторов равны алгебраической сумме соответствующих координат слагаемых.

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующей координаты на это число.

6. Пусть даны точки Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. Чтобы найти координаты (компоненты) вектора Заказать решение высшей математики, нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала: Заказать решение высшей математики.

Расстояние между двумя точками: Заказать решение высшей математики

7. Если Заказать решение высшей математики то Заказать решение высшей математики (Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны).

Скалярное произведение двух векторов

Возможны две операции умножения двух векторов. Одна дает в результате скаляр (число) и поэтому называется скалярным произведением. Другая дает в результате вектор - векторное произведение.

Определение. Скалярным произведением двух векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Из определения следует:

1) если Заказать решение высшей математики - острый угол, то Заказать решение высшей математики

2) если Заказать решение высшей математики - тупой угол, то Заказать решение высшей математики

3) если Заказать решение высшей математики = 90°, то Заказать решение высшей математики

Справедливы и обратные утверждения.

Физический смысл скалярного произведения

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению силы на вектор перемещения: Заказать решение высшей математики

Законы и свойства скалярного произведения

1. Заказать решение высшей математики (переместительный);

2. Заказать решение высшей математики (распределительный);

3. Заказать решение высшей математики (сочетательный);

4. Заказать решение высшей математики;

5. Заказать решение высшей математики - скалярное произведение равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого вектора на первый.

Скалярное произведение в координатах

Пусть два вектора Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики разложены по ортам: Заказать решение высшей математики

Тогда: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики т. к.

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующий проекций:

Заказать решение высшей математики

Применение формул скалярного произведения

Вычисление угла между векторами

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Вычисление проекции одного вектора на другой:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Аналогично: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Вычисление работы силы Заказать решение высшей математики на перемещении Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики

Условие перпендикулярности двух векторов Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математики.

Заказ №7

Заказать решение высшей математики - единичные векторы, составляющие соответственно с осью Заказать решение высшей математики углы 45°, 60°, 120°. Вычислить проекцию вектора Заказать решение высшей математики, на ось Заказать решение высшей математики.

Решение:

В соответствии со свойствами проекций имеем:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Ответ: -2.

Заказ №8

Определить, при каких значениях Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики векторы Заказать решение высшей математики коллинеарны? В ответе записать Заказать решение высшей математики.

Решение:

Если существует такое число Заказать решение высшей математики, что Заказать решение высшей математики, то векторы коллинеарны: Заказать решение высшей математики. У равных векторов равны соответствующие координаты, следовательно

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Второй способ решения. Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны т. е.

Заказать решение высшей математики.

Ответ: 3.

Заказ №9

ВычислитьЗаказать решение высшей математики, если Заказать решение высшей математики = (1;0;-3), Заказать решение высшей математики = (1;3;2). Решение:

1) Находим координаты векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математики = (2;6;4), Заказать решение высшей математики = (1+2; 0+6; -3+4) = (3;6;1)

2) Находим длину вектора Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Ответ: 46.

Заказ №10

Вычислить Заказать решение высшей математики, если Заказать решение высшей математики=3, Заказать решение высшей математики=4, угол Заказать решение высшей математики. В ответезапишите квадрат длины вектора Заказать решение высшей математики.

Решение:

1)

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: 37.

Заказ №11

Вычислите работу силы Заказать решение высшей математики = (1,2,-3), если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки Заказать решение высшей математики = (-1,2,3) в точку Заказать решение высшей математики = (2,3,8).

Решение:

Пусть Заказать решение высшей математики.

Тогда Заказать решение высшей математики

Так как Заказать решение высшей математики= ((2 - (-1)); 3 - 2; 8-3) = (3,1,5)

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики = 1•3 + 1• (-2) + 5•3 = 16

Ответ: 16.

Полярная система координат

Полярная система координат определена, если задана точка Заказать решение высшей математики, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч Заказать решение высшей математики который называют полярной осью.

Положение точки Заказать решение высшей математики фиксируется двумя числами: радиус-вектором Заказать решение высшей математики и углом Заказать решение высшей математики между полярной осью и вектором Заказать решение высшей математики (рис. 6). Угол Заказать решение высшей математики называют полярным углом. Он измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Пара чисел Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики представляет собой полярные координаты одной и той же точки.

Заказать решение высшей математики Рис. 6

Переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам

Заказать решение высшей математики

В пространстве обобщением полярных координат являются цилиндрические и сферические системы координат.

Цилиндрическая система координат

Цилиндрические координаты точки Заказать решение высшей математики - это три числа Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - полярные координаты точки Заказать решение высшей математики a Заказать решение высшей математики - компоненты вектора Заказать решение высшей математики по вектору Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики -плоскость, в которой расположена полярная система координат (рис. 7).

Заказать решение высшей математики Рис. 7

Переход от декартовых координат к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Заказать решение высшей математики

Сферическая система координат

Заказать решение высшей математики

Рис. 8

Сферические координаты точки Заказать решение высшей математики- это три числа Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - радиус-вектор точки Заказать решение высшей математики так же, как и для цилиндрической системы координат, Заказать решение высшей математики - угол между вектором Заказать решение высшей математики и нормалью Заказать решение высшей математики плоскости Заказать решение высшей математики (рис. 8). Переход от декартовых координат к сферическим осуществляется по формулам Заказать решение высшей математики

Векторное произведение векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим.

Тройка некомпланарных векторов Заказать решение высшей математики называется правой (левой), если выполнено условие: находясь внутри телесного угла, образованного приведением к общему началу векторами Заказать решение высшей математики мы видим поворот от Заказать решение высшей математики к Заказать решение высшей математики и от него к Заказать решение высшей математики, совершающийся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

В дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Векторным произведением вектора Заказать решение высшей математики на вектор Заказать решение высшей математики называется вектор Заказать решение высшей математики, обозначаемый Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики и отвечающий следующими требованиям:

1) длина вектора Заказать решение высшей математики равна произведению длин векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики на синус угла Заказать решение высшей математики между ними: Заказать решение высшей математики, причем Заказать решение высшей математики

2) вектор Заказать решение высшей математики ортогонален к каждому из векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики;

3) вектор Заказать решение высшей математики направлен так, что тройка векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики является правой.

Геометрические свойства векторного произведения

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

2. Длина (модуль) векторного произведения Заказать решение высшей математики равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Алгебраические свойства векторного произведения

1) Заказать решение высшей математики,

2) Заказать решение высшей математики,

3) Заказать решение высшей математики,

4) Заказать решение высшей математики = 0.

Смешанное произведение трех векторов

Если вектор Заказать решение высшей математики векторно умножается на вектор Заказать решение высшей математики, а затем получившийся при этом вектор Заказать решение высшей математики скалярно умножается на вектор Заказать решение высшей математики, то в результате получается число Заказать решение высшей математики, называемое смешанным произведением векторов Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Геометрическое свойство смешанного произведения

Смешанное произведение Заказать решение высшей математики равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики, взятому со знаком плюс, если тройка Заказать решение высшей математики правая, и со знаком минус, если тройка Заказать решение высшей математики левая.

Свойства смешанного произведения:

1) знаки операций «крест» и «точка» можно менять местами:

Заказать решение высшей математики;

2) необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения;

3) смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю;

4) от перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:

Заказать решение высшей математики.

Векторное и смешанное произведения в декартовых координатах

Теорема 1. Если два вектора Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики определены своими декартовыми прямоугольными координатами Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, то

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Следствие. Если два вектора Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е. Заказать решение высшей математики.

Иногда в знаменателях могут стоять нули. Чтобы избежать этого, мы будем понимать пропорции Заказать решение высшей математики в смысле Заказать решение высшей математики

Теорема 2. Если три вектора Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики определены декартовыми прямоугольными координатами Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и

Заказать решение высшей математики, то смешанное произведение Заказать решение высшей математики равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики является равенство нулю определителя

Заказать решение высшей математики =0

Если вектор Заказать решение высшей математики векторно умножается на вектор Заказать решение высшей математики, а вектор Заказать решение высшей математики также векторно умножается на векторное произведение Заказать решение высшей математики, то получившийся при этом вектор Заказать решение высшей математики называется двойным векторным произведением.

Теорема Для любых векторов Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики справедлива формула

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики.

Для запоминания этой формулы удобно правило: двойное векторное произведение равно среднему вектору, умноженному на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.

Уравнение линии на плоскости. Уравнения поверхности и линии в пространстве

Общее понятие об уравнениях

Алгебраической поверхностью (линией) называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнениями поверхности (1) и линии (2):

Заказать решение высшей математики; (1)

Заказать решение высшей математики, (2)

где все показатели степени - целые неотрицательные числа, а наибольшая из сумм Заказать решение высшей математики для поверхности и Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики для линии называется степенью уравнения, или порядком поверхности (линии).

Всякая неалгебраическая линия (поверхность) называется трансцендентной.

Теорема. Если поверхность (линия) в некоторой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (1) или (2), то и в любой другой декартовой системе координат она может быть задана уравнением того же вида, имеющим ту же степень. То есть порядок алгебраической линии (поверхности) является инвариантным.

Инвариантом называется всякая величина, не меняющаяся при изменении системы координат.

Представим себе, что линия - это траектория движущейся точки. В каждый момент времени Заказать решение высшей математики нам известно положение точки, т.е. ее координаты относительно выбранной заранее системы координат. Тогда мы приходим к параметрическим уравнениям линии

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - параметр.

По аналогии параметрические уравнения поверхности имеют вид

Заказать решение высшей математики

Различные виды уравнения прямой на плоскости

1) Уравнение вида Заказать решение высшей математики с произвольными коэффициентами Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики такими, что Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики не равны одновременно нулю, называется общим уравнением прямой.

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

a) Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет прямую, проходящую через начало координат.

b) Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет прямую, параллельную оси Заказать решение высшей математики

c) Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет прямую, параллельную оси Заказать решение высшей математики

2) Полное уравнение прямой может быть приведено к уравнению прямой «в отрезках» на осях

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - это отрезки, отсекаемые прямой на осях Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой.

3) Уравнение прямой, проходящей через точку Заказать решение высшей математики перпендикулярно вектору Заказать решение высшей математики, имеет вид

Заказать решение высшей математики

4) Уравнение прямой, проходящей через две точки Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, имеет вид:

Заказать решение высшей математики.

5) Каноническим уравнением прямой называют уравнение вида

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики - координаты точки, принадлежащей прямой; Заказать решение высшей математики -координаты направляющего (параллельного прямой) вектора.

6) Из канонического уравнения прямой можно элементарно получить параметрические уравнения прямой. Примем за параметр Заказать решение высшей математики величину, стоящую в левой и в правой частях канонического уравнения прямой, тогда:

Заказать решение высшей математики - параметрические уравнения прямой.

Параметрические уравнения прямой имеют наглядную физическую интерпретацию. Если считать, что параметр Заказать решение высшей математики - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью Заказать решение высшей математики

7) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Заказать решение высшей математики и имеющей угловой коэффициент Заказать решение высшей математики имеет вид:

Заказать решение высшей математики

Угловым коэффициентом называют тангенс угла наклона прямой к оси Заказать решение высшей математики

8) Уравнение вида Заказать решение высшей математики называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

9) Уравнение вида Заказать решение высшей математики называют нормированным уравнением прямой, где Заказать решение высшей математики- угол между нормальным вектором прямой и осью Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики - расстояние от начала координат до прямой.

Отклонение Заказать решение высшей математики произвольной точки Заказать решение высшей математики от прямой определяется:

Заказать решение высшей математики

Чтобы вычислить расстояние Заказать решение высшей математики от точки Заказать решение высшей математики до прямой, достаточно вычислить отклонение Заказать решение высшей математики.

Расстояние от точки Заказать решение высшей математики до прямой Заказать решение высшей математики заданной общим уравнением, вычисляется по формуле Заказать решение высшей математики

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормированному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель

Заказать решение высшей математики

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой.

10) Уравнение вида Заказать решение высшей математики называется полярным уравнением прямой,

где Заказать решение высшей математики - расстояние от полюса до прямой; Заказать решение высшей математики - угол между нормалью прямой и полярной осью.

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку Заказать решение высшей математики называют пучком прямых с центром в точке Заказать решение высшей математики

11) Уравнение пучка прямых имеет вид

Заказать решение высшей математики где а, р - любые числа, не равные одновременно нулю.

12) Векторное уравнение прямой имеет вид

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики - нормальный вектор прямой; Заказать решение высшей математики - радиус вектор точки Заказать решение высшей математики принадлежащей прямой; Заказать решение высшей математики - радиус вектор произвольной точки Заказать решение высшей математики принадлежащей прямой.

Определение угла между прямыми

Угол Заказать решение высшей математики отсчитанный против хода часовой стрелки от прямой Заказать решение высшей математики до прямой Заказать решение высшей математики определяется формулой: Заказать решение высшей математики.

Для прямых, заданных в общем виде Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики угол определяется формулой: Заказать решение высшей математики.

Условие параллельности двух прямых Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики, условие перпендикулярности Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики

Различные виды уравнения плоскости

1) Уравнением плоскости, проходящей через точку Заказать решение высшей математики перпендикулярно вектору Заказать решение высшей математики, называют уравнение вида

Заказать решение высшей математики

2) Общее уравнение плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид

Заказать решение высшей математики

Общее уравнение называют полным, если все его коэффициенты Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

1. Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2. Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, параллельную оси Заказать решение высшей математики

3. Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, параллельную оси Заказать решение высшей математики

4. Если Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, параллельную оси Заказать решение высшей математики

5. Если Заказать решение высшей математики = 0 и Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, параллельную плоскости Заказать решение высшей математики

6. Если Заказать решение высшей математики = 0 и Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, параллельную плоскости Заказать решение высшей математики

7. Если Заказать решение высшей математики = 0 и Заказать решение высшей математики = 0, то уравнение Заказать решение высшей математики определяет плоскость, параллельную плоскости Заказать решение высшей математики

3) Полное уравнение плоскости может быть приведено к уравнению плоскости «в отрезках» на осях

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Заказать решение высшей математики соответственно.

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики имеет вид

Заказать решение высшей математики.

Уравнение представляет собой условие компланарности векторов Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики , где точка Заказать решение высшей математики - произвольная точка на искомой плоскости.

5) Нормированное уравнение плоскости имеет вид

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - единичный нормальный вектор искомой плоскости;

Заказать решение высшей математики - расстояние от плоскости до начала координат.

Подставив координаты произвольной точки Заказать решение высшей математики в нормированное уравнение, найдем отклонение Заказать решение высшей математики точки от плоскости:

Заказать решение высшей математики

Тогда расстояние от точки Заказать решение высшей математики до плоскости равно Заказать решение высшей математики.

Если плоскость задана в общем виде, то расстояние от точки Заказать решение высшей математики до плоскости определяется уравнением

Заказать решение высшей математики

6) Векторное уравнение плоскости определяется скалярным произведением:

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - нормальный вектор; Заказать решение высшей математики - радиус-вектор точки Заказать решение высшей математики принадлежащей плоскости; Заказать решение высшей математики - радиус-вектор любой точки плоскости.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую Заказать решение высшей математики называется пучком плоскостей с центром Заказать решение высшей математики.

7) Уравнение пучка всех плоскостей, проходящих через линию Заказать решение высшей математики, имеет вид

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - любые числа, не равные одновременно нулю.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку Заказать решение высшей математики, называется связкой плоскостей с центром в точке Заказать решение высшей математики

8) Уравнение связки плоскостей с центром в точке Заказать решение высшей математики имеет вид

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - любые числа, не равные одновременно нулю.

Угол между плоскостями

Если даны две плоскости, заданные общими уравнениями Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики то определение угла между указанными плоскостями сводится к определению угла Заказать решение высшей математики между их нормальными векторами Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. Из определения скалярного произведения следует

Заказать решение высшей математики

Тогда условие параллельности двух плоскостей эквивалентно условию коллинеарности нормальных векторов этих плоскостей. По определению два вектора коллинеарны, если их компоненты пропорциональны:

Заказать решение высшей математики.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

Заказать решение высшей математики

т.е. равенство нулю скалярного произведения нормальных векторов.

Прямая линия в пространстве

1) Канонические уравнения прямой имеют вид

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики - координаты точки, принадлежащей прямой; Заказать решение высшей математики - направляющий вектор прямой.

2) Из канонических уравнений можно легко получить уравнения прямой в проекциях

Заказать решение высшей математики

3) Уравнения прямой, проходящей через различные две точки Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики имеют вид

Заказать решение высшей математики.

4) Параметрические уравнения прямой получаются из канонических, если принять за Заказать решение высшей математики каждое из соотношений

Заказать решение высшей математики

5) Общие уравнения прямой (пересечение двух плоскостей) имеет вид

Заказать решение высшей математики

6) Векторное уравнение прямой имеет вид Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики - направляющий вектор прямой; Заказать решение высшей математики - радиус-вектор точки Заказать решение высшей математики принадлежащей прямой; Заказать решение высшей математики - радиус-вектор произвольной точки Заказать решение высшей математики принадлежащей прямой.

Определение угла между прямыми в пространстве сводится к определению угла между направляющими векторами этих прямых. Если Заказать решение высшей математики - направляющие векторы, то

Заказать решение высшей математики.

Тогда условие параллельности прямых сводится к условию параллельности направляющих векторов:

Заказать решение высшей математики .

Условие перпендикулярности:

Заказать решение высшей математики

Определение угла между прямой и плоскостью сводится к определению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Если Заказать решение высшей математики - направляющий вектор прямой, Заказать решение высшей математики - нормальный вектор плоскости, то

Заказать решение высшей математики.

Кривые второго порядка. Введение

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики- действительные числа; Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная Заказать решение высшей математики является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным Заказать решение высшей математики. Если Заказать решение высшей математики < 1, то кривая второго порядка - эллипс; Заказать решение высшей математики= 1 - парабола; Заказать решение высшей математики> 1 - гипербола.

Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Заказать решение высшей математики

Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: Заказать решение высшей математики

Если Заказать решение высшей математики то эллипс расположен вдоль оси Заказать решение высшей математики если Заказать решение высшей математики то эллипс расположен вдоль оси Заказать решение высшей математики (рис. 9а, 9б).

Если Заказать решение высшей математики то, сделав замену Заказать решение высшей математики перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Заказать решение высшей математики.

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Рис. 9

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если Заказать решение высшей математики - расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то Заказать решение высшей математики

Отношение Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки Заказать решение высшей математики лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в каноническом системе имеют вид Заказать решение высшей математики

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Заказать решение высшей математики (рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Заказать решение высшей математики.

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если Заказать решение высшей математики - расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

Рис.10

Отношение Заказать решение высшей математики называется эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки Заказать решение высшей математики лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно Заказать решение высшей математики.

Гипербола с равными полуосями Заказать решение высшей математики называется равносторонней.

Прямые с уравнениями Заказать решение высшей математики в канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые Заказать решение высшей математики называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Заказать решение высшей математики этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка Заказать решение высшей математики называется фокусом параболы, а фиксированная прямая - директрисой параболы.

Заказать решение высшей математики

Рис. 11

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось Заказать решение высшей математики -осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Заказать решение высшей математики.

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы Заказать решение высшей математики имеет координаты (р/2; 0).

Директрисой параболы называется прямая Заказать решение высшей математики в канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса Заказать решение высшей математики равно Заказать решение высшей математики.

Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка

Как уже говорилось раньше, линией второго порядка называется линия, определяемая уравнением 2-й степени:

Заказать решение высшей математики

Запишем дискриминант уравнения Заказать решение высшей математики и дискриминант старших членов Заказать решение высшей математики.

1) Если Заказать решение высшей математики > 0 и Заказать решение высшей математики то кривая 2-го порядка - эллипс (действительный или мнимый).

2) Если Заказать решение высшей математики>0 и Заказать решение высшей математики = 0 - точка.

3) Если Заказать решение высшей математики < 0 и Заказать решение высшей математики - гипербола.

4) Если Заказать решение высшей математики < 0 и Заказать решение высшей математики = 0 - пара пересекающихся прямых.

5) Если Заказать решение высшей математики = 0 и Заказать решение высшей математики - парабола.

6) Если Заказать решение высшей математики = 0 и Заказать решение высшей математики = 0 - пара параллельных прямых (действительных или мнимых).

Функция. Теория пределов. Непрерывность функции

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений.

Переменная величина Заказать решение высшей математики называется функцией (однозначной) от переменной величины Заказать решение высшей математики если каждому значению величины Заказать решение высшей математики из области ее изменения, соответствует единственное вполне определенное значение Заказать решение высшей математики или, в символической записи, Заказать решение высшей математики

Переменная Заказать решение высшей математики называется независимой переменной или аргументом, Заказать решение высшей математики иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Символ Заказать решение высшей математики называется характеристикой функции. Вместо буквы Заказать решение высшей математики можно употреблять любую другую букву. Частное значение функции Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики записывается так: Заказать решение высшей математики

Графиком функции Заказать решение высшей математики называется множество всех точек Заказать решение высшей математики плоскости Заказать решение высшей математики координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Классификация функции одного аргумента:

1. Целая рациональная функция или многочлен

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - постоянные числа, называемые коэффициентами; Заказать решение высшей математики - целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена.

2. Дробная рациональная функция представляется в виде частного от деления двух целых рациональных функций

Заказать решение высшей математики

3. Иррациональная функция содержит возведение в степень с рациональным нецелым показателем. Например: Заказать решение высшей математики

Перечисленные три вида алгебраических функций образуют класс явных алгебраических функций. В общем случае алгебраической функцией называется любая функция Заказать решение высшей математики которая удовлетворяет уравнению вида

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - некоторые многочлены от Заказать решение высшей математики

Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Основные элементарные функции имеют области определения:

1) степенная функция Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики определена при любых Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики определена в интервале Заказать решение высшей математики ( Заказать решение высшей математики - натуральные числа);

2) показательная функция Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики определена при любых Заказать решение высшей математики

3) логарифмическая функция Заказать решение высшей математики определена в интервале Заказать решение высшей математики

4) тригонометрические функции Заказать решение высшей математики определены при любых Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики определена при Заказать решение высшей математики - при Заказать решение высшей математики

5) обратные тригонометрические функции Заказать решение высшей математики определены на отрезке [-1; 1 ]; Заказать решение высшей математики - при любых Заказать решение высшей математики

Способы задания функции: аналитический (с помощью формулы), табличный (с помощью таблицы) и графический (с помощью графика).

Вычисление пределов

Предел элементарной функции Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики стремящемся к значению Заказать решение высшей математики (Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики), которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при Заказать решение высшей математики т.е. Заказать решение высшей математики.

Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Рассмотрим основные свойства пределов:

1) Если существуют пределы функций Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики, то

Заказать решение высшей математики.

2) Если существуют пределы функций Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики, то

Заказать решение высшей математики.

3) Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Заказать решение высшей математики.

4) Если существует предел функции Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики, то

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - натуральное число.

5) Если существуют пределы функций Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики, причем предел функции Заказать решение высшей математики отличен от нуля, то

Заказать решение высшей математики

При вычислении пределов часто используют два замечательных предела:

1. Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики,

2. Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики

и их следствия:

Заказать решение высшей математики (1)

Заказать решение высшей математики (2)

Заказать решение высшей математики. (3)

Второй замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей вида Заказать решение высшей математики, а остальные - для неопределенности вида Заказать решение высшей математики. Вычисление пределов значительно упрощается при использовании эквивалентности бесконечно малых.

Функция Заказать решение высшей математики называется бесконечно малой при Заказать решение высшей математики если Заказать решение высшей математики.

Функция Заказать решение высшей математики называется бесконечно большой при Заказать решение высшей математики если Заказать решение высшей математики.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших:

1) Если Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики то Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики

2) Если Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики то Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики

3) Если Заказать решение высшей математики - бесконечно малая при Заказать решение высшей математики а Заказать решение высшей математики - ограниченная в некоторой окрестности точки Заказать решение высшей математики то Заказать решение высшей математики - бесконечно малая функция при Заказать решение высшей математики

Две бесконечно малые функции называются эквивалентными Заказать решение высшей математики если предел их отношения равен 1. С помощью замечательных пределов можно доказать справедливость цепочки эквивалентных бесконечно малых

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики

При раскрытии неопределенностей Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики рекомендуется пользоваться указанными замечательными пределами либо пытаться сократить числитель и знаменатель на общие (критические) множители.

При вычислении пределов нередко пользуются правилом Лопиталя:

Пусть при вычислении предела Заказать решение высшей математики возникает неопределенность вида Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики, но при этом существует Заказать решение высшей математики. Тогда Заказать решение высшей математики.

Использование правила Лопиталя в большинстве случаев значительно упрощает вычисление пределов, поэтому, прежде чем приступать к вычислению пределов, необходимо повторить правила вычисления производных.

Вычисление пределов от рациональной дроби

Если ищется предел от рациональной дроби, числитель и знаменатель которой обращается в нуль в предельной точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики то такую дробь, согласно теореме Безу, всегда можно сократить на Заказать решение высшей математики - Заказать решение высшей математики

Заказ №12

Найти предел функций Заказать решение высшей математики

Решение:

Заметим, что согласно свойствам 1 - 4 пределов

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Мы имеем неопределенность вида Заказать решение высшей математики. Поступим так: Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики. Следовательно,

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Данный предел можно вычислить другим способом - с помощью правила Лопиталя:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Вычисление пределов от рациональной дроби

При Заказать решение высшей математики мы имеем неопределенность вида Заказать решение высшей математики. Один из способов решения - это деление числителя и знаменателя на Заказать решение высшей математики (Заказать решение высшей математики - наивысшая степень числителя и знаменателя), другой способ - с помощью правила Лопиталя.

Заказ №13

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Наивысшая степень Заказать решение высшей математики = 2, следовательно, разделим числитель и знаменатель на Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Решим вторым способом. Воспользуемся дважды правилом Лопиталя:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Вычисление пределов, содержащих радикалы

При вычислении пределов, содержащих выражения вида Заказать решение высшей математики умножают числитель и знаменатель на сопряженное (с другим знаком) выражение, чтобы получить формулу сокращенного умножения.

Заказ №14

Найти Заказать решение высшей математики.

Решение:

Так как Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики то имеется неопределенность вида Заказать решение высшей математики. Тогда

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Вычисление пределов, содержащих тригонометрические функции

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, в зависимости от вида функции используют либо тригонометрические формулы, либо первый замечательный предел, либо эквивалентность бесконечно малых, либо правило Лопиталя, либо делают замену переменных.

Заказ №15

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Рассмотрим два способа решения.

1. С помощью замены:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

2. Использование эквивалентности бесконечно малых:

Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики следовательно,

Заказать решение высшей математики.

Заказ №16

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла, а потом первым замечательным пределом:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Заказ №17

Вычислить Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики

Решение:

Воспользуемся правилом Лопиталя:

Заказать решение высшей математики.

Вычисление пределов от показательно-степенных функций

При вычислении пределов от показательно-степенной функции пользуются либо формулой Заказать решение высшей математики, либо вторым замечательным пределом.

Заказ №18

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, так какЗаказать решение высшей математики

Заказ №19

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заметим, что Заказать решение высшей математики, а Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики Следовательно, имеется неопределенность вида Заказать решение высшей математики. Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Получим, что

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

так как

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Заказ №20

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заказать решение высшей математики в силу непрерывности Заказать решение высшей математики. Вычислим

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Следовательно, Заказать решение высшей математики

Заказ №21

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Так как Заказать решение высшей математики то в данном случае отсутствует неопределенность и

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Вычисление пределов с учетом их особенностей

а) При вычислении пределов, содержащих логарифмические функции, часто используют свойства логарифмов и формулы (1) - (4).

Заказ №22

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

согласно следствию замечательных пределов.

Заказ №23

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Заказ №24

Вычислить Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

б) При вычислении пределов от дробей метод деления на наивысшую степень используют не только для дробно-раниональных выражений.

Заказ №25

Найти Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заметим, что Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Т.к. Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики (см. 2-е свойство бесконечно малых), то Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики (см. 1-е свойство бесконечно малых) Заказать решение высшей математики

Непрерывность функции. Точки разрыва

Функция Заказать решение высшей математики называется непрерывной в точке Заказать решение высшей математики если при Заказать решение высшей математики предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е. если

Заказать решение высшей математики

Этому определению равносильно следующее.

Функция Заказать решение высшей математики называется непрерывной в точке Заказать решение высшей математики если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Заказать решение высшей математики соответствует бесконечно малое приращение функции Заказать решение высшей математики т.е. если Заказать решение высшей математики.

Функция Заказать решение высшей математики разрывна в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики 1) если не существует Заказать решение высшей математики, или 2) функция Заказать решение высшей математики не определена в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики или 3) существует Заказать решение высшей математики, но он не равен значению функции в этой точке, т.е. Заказать решение высшей математики.

Для того чтобы функция Заказать решение высшей математики была непрерывной в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

функция должна быть определена в некоторой Заказать решение высшей математики-окрестности точки Заказать решение высшей математики и в самой точке Заказать решение высшей математики;

функция должна иметь одинаковые односторонние пределы, т.е.

Заказать решение высшей математики;

односторонние пределы должны быть равны Заказать решение высшей математики

Если существует конечный Заказать решение высшей математики, но Заказать решение высшей математики, то точка Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики называется точкой устранимого разрыва функции.

Точка Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики называется точкой разрыва 1-го рода для Заказать решение высшей математики если существуют конечные односторонние пределы функции Заказать решение высшей математики в точке Заказать решение высшей математики и

Заказать решение высшей математики.

В противном случае имеем точку разрыва 2-го рода.

Скачком функции Заказать решение высшей математики в точке Заказать решение высшей математики называется разность ее односторонних пределов Заказать решение высшей математики, если они различны.

В случае Заказать решение высшей математики функция Заказать решение высшей математики непрерывна справа в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики.

В случае Заказать решение высшей математики функция Заказать решение высшей математики непрерывна слева в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики.

Функция Заказать решение высшей математики непрерывна в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики непрерывна в этой точке слева и справа.

Если Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики непрерывны в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики непрерывны в этой точке; Заказать решение высшей математики непрерывна в точке Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики, если Заказать решение высшей математики.

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Любая элементарная функция непрерывна в области определения.

Заказ №26

Задана функция Заказать решение высшей математики. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

a) Заказать решение высшей математики б) Заказать решение высшей математики, в) Заказать решение высшей математики г) Заказать решение высшей математики

Решение:

а) При Заказать решение высшей математики0. Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики непрерывна при Заказать решение высшей математики0. Рассмотрим т. Заказать решение высшей математики = 0. Вычислим Заказать решение высшей математики- точка разрыва 2-го рода.

Заказать решение высшей математики непрерывна слева в точке Заказать решение высшей математики = 0. График функции Заказать решение высшей математики изображен на рис. 12.

б) Функция Заказать решение высшей математики определена при всех значениях Заказать решение высшей математики, кроме Заказать решение высшей математики = 0 Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики = 0 - точка разрыва. Исследуем ее характер.

Вычислим

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Так как Заказать решение высшей математики но Заказать решение высшей математики то Заказать решение высшей математики = 0 - точка неустранимого разрыва 1 -го рода. При Заказать решение высшей математики < 0 Заказать решение высшей математики = -1, при Заказать решение высшей математики > 0 Заказать решение высшей математики = 1 Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики 0 Заказать решение высшей математики непрерывна. График функции Заказать решение высшей математики изображен на рис. 13.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Рис. 12 Рис. 13

в) При Заказать решение высшей математики 0 Заказать решение высшей математики непрерывна в т. Заказать решение высшей математики 0. Заказать решение высшей математики - точка устранимого разрыва.

Рассмотрев Заказать решение высшей математики, т.е. изменив значение Заказать решение высшей математики в точке разрыва, получаем непрерывную функцию. График функции Заказать решение высшей математикиизображен на рис. 14.

г) Поскольку элементарные функции Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики непрерывны на Заказать решение высшей математики тo точками разрыва могут быть лишь Заказать решение высшей математики = 0 и Заказать решение высшей математики. Имеем

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Значит, в точке Заказать решение высшей математики = 0 функция Заказать решение высшей математики непрерывна. Аналогично, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Тогда в точке Заказать решение высшей математики функция имеет разрыв первого рода с величиной скачка Заказать решение высшей математики -4. График функции Заказать решение высшей математики изображен на рис 15.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Рис. 14 Рис. 15

Решение типовых задач контрольной работы №1

Заказ №27

Используя теорему Кронекера - Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Заказать решение высшей математики

Решение:

Найдем ранг Заказать решение высшей математики матрицы системы методом окаймляющих миноров.

Рассмотрим минор Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Найдем определитель матрицы системы:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Ранг расширенной матрицы системы также равен трем, поскольку система содержит три уравнения, а ранг матрицы системы равен трем. Следовательно, согласно теореме Кронекера - Капелли, система совместна.

Первый способ решения (метод Гаусса)

Умножим первую строку на (-2) и результат прибавим ко второй, потом умножим первую строку на (-3) и результат прибавим к третьей:

Заказать решение высшей математики

Разделим вторую строку на 5, потом умножим ее на (-9) и результат прибавили к третьей:

Заказать решение высшей математики.

Из последней матрицы имеем Заказать решение высшей математики = 7; Заказать решение высшей математики = -2, Заказать решение высшей математики = 5; Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики = 3.

Второй способ решения

Найдем алгебраические дополнения матрицы системы:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики=2, Заказать решение высшей математики=-8, Заказать решение высшей математики=-9, Заказать решение высшей математики=0, Заказать решение высшей математики=5, Заказать решение высшей математики=5.

Запишем присоединенную матрицу и транспонируем ее:

Заказать решение высшей математики.

Решение системы:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Ответ: Заказать решение высшей математики = 3, Заказать решение высшей математики = 5, Заказать решение высшей математики = 7.

Данные для задач № 2 - №3. Пусть даны точки А(2;6), В(-4;3), С(-2;2), Д(2;-2).

Заказ №28

1) Написать уравнения прямых АВ и СД. Определить угловые коэффициенты этих прямых

2) Найти координаты точки их пересечения.

3) Найти угол между этими прямыми.

4) Найти расстояние от точки А до прямой СД.

Решение:

1) Для составления уравнения прямых удобно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки (см.гл.З, §2. №4) Заказать решение высшей математики

АВ: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, умножим обе части уравнения на -6, получим Заказать решение высшей математики, или Заказать решение высшей математики

Аналогично получим уравнение прямой СД:

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

2) Чтобы найти точку пересечения прямых, надо систему уравнений этих прямых.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики найдем из второго уравнения системы Заказать решение высшей математики Ответ: Заказать решение высшей математики

3) Для определения угла между прямыми воспользуемся формулой

Заказать решение высшей математики. Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Ответ: Заказать решение высшей математики

4) Расстояние от точки Заказать решение высшей математики до прямой Заказать решение высшей математики заданной общим уравнением, вычисляется по формуле Заказать решение высшей математики.

Запишем уравнение прямой СД в общем виде Заказать решение высшей математики = 0. Имеем Заказать решение высшей математики = 2, Заказать решение высшей математики = 6, А=1 и В=1. Подставляем в формулу и получим Заказать решение высшей математики

Ответ: Заказать решение высшей математики

Заказ №29

1) Найти координаты векторов

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

2) Написать разложение этих векторов по базису Заказать решение высшей математики

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

5) Найти угол между векторами Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

6) Найти разложение вектора Заказать решение высшей математики по базису Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики

Решение:

1) Вычислим координаты векторов Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики, аналогично, ВС- ДА = (2; -9)

3•АВ = (-18; -9), 2•ДС = (- 8; 8) и Заказать решение высшей математики

2) Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

3) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

Заказать решение высшей математики т,е,

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

5) Разложить вектор Заказать решение высшей математики по векторам Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - это значит представить вектор ДС в виде линейной комбинации векторов АВ и АД т. е.

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики. Имеем Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Заказ №30

а). Даны векторы Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики в некотором базисе. Показать, что векторы Заказать решение высшей математики образуют базис и найти координаты вектора Заказать решение высшей математики в этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики= 8 + 30 + 6-18-5-16 = 5 = Заказать решение высшей математики.

Найдем координаты вектора Заказать решение высшей математики в базисе Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики.

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Заказать решение высшей математики

Решим систему методом Крамера:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики + Заказать решение высшей математики.

Заказ №31

Даны координаты вершин тетраэдра ABCD: А(6; 5; -4), В(1; -2; -4), С(5; 6; -4) и D(-1; -2; 0). Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника АВС; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно медиане, проведенной из вершины В треугольника ABC; 3) координаты точки, симметричной точке А относительно плоскости BCD. Сделать чертёж.

Заказать решение высшей математики

Решение:

1) Найдем координаты т. F середины отрезка АС (рис. 16): Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Точка E пересечения медиан треугольника делит медиану BF в отношении Заказать решение высшей математики = 2:1, считая от вершины В. Найдем координаты точки Е:

Заказать решение высшей математики,

Заказать решение высшей математики,

Заказать решение высшей математики, Е (4; 3; -4)

2) Найдем направляющий вектор прямой BE Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики. Уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно прямой BE:

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

3) Найдем уравнение плоскости BCD:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости BCD и проходящей через т. Заказать решение высшей математики. Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Найдем координаты точки Н пересечения плоскости BCD и найденной прямой: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики,Заказать решение высшей математики.

Координаты точки А' симметричной точке А относительно плоскости BCD - А' (4; 6;-5).

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан Е(4; 3; -4); 2) уравнение прямой Заказать решение высшей математики; 3) координаты симметричной точки А' (4; 6; -5).

Заказ №32

Линия задана уравнением Заказать решение высшей математики в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от Заказать решение высшей математики = 0 до Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики и придавая Заказать решение высшей математики значения через промежуток Заказать решение высшей математики 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия. Решение:

1) Вычисляя значения Заказать решение высшей математики с точностью до сотых при указанных значениях Заказать решение высшей математики получим таблицу:

Заказать решение высшей математики

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

Заказать решение высшей математики

2) Используя формулы перехода

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики из полярной в декартовую систему координат, получим: Заказать решение высшей математики.

Возведем левую и правую части в квадрат: Заказать решение высшей математики.

Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду:

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики.

3) Это эллипс, смещенный на (-с) вдоль оси ОХ.

Ответ: эллипс Заказать решение высшей математики, где с=5/9, Заказать решение высшей математики=100/81, Заказать решение высшей математики=25/27.

Заказ №33

Задана функция

Заказать решение высшей математики

Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение:

Неэлементарная функция Заказать решение высшей математики определена на всей числовой оси. Она может иметь разрыв в точках Заказать решение высшей математики = -2 и Заказать решение высшей математики = 1, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция Заказать решение высшей математики непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента Заказать решение высшей математики. Исследуем точки Заказать решение высшей математики = -2 и Заказать решение высшей математики = 1:

а) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Следовательно, в точке Заказать решение высшей математики = -2 выполняются все условия непрерывности, поэтому в этой точке функция Заказать решение высшей математики непрерывна.

б) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, поэтому в точке Заказать решение высшей математики = 1 функция имеет разрыв (конечный). Скачок функции в точке разрыва конечный Заказать решение высшей математики(1+0)-Заказать решение высшей математики(1-0) = 1.

График функции приведен на рис. 18.

Ответ: функция имеет конечный разрыв в точке Заказать решение высшей математики = 1, ее скачок равен 1.

Заказ №34

Найти пределы функций.

a) Заказать решение высшей математики; б) Заказать решение высшей математики;

в) Заказать решение высшей математики; г) Заказать решение высшей математики.

Решение:

а) Разделив числитель и знаменатель на большую степень Заказать решение высшей математики получим

Заказать решение высшей математики

б) Умножив числитель и знаменатель на 45Заказать решение высшей математики и используя первый замечательный предел, получим

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики;

в) Логарифмируя и используя правило Лопиталя, получим Заказать решение высшей математики,

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики;

г) Сделав замену переменных и используя второй замечательный предел, получим

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления. Механический и геометрический смысл производной

Для понимания понятия производной решим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых приводит к возникновению одной и той же математической модели.

Заказ №35

Пусть тело движется прямолинейно и указан закон движения формулой s=s(t), где t - время движения, s(t) - положение тела на прямой( координата движущейся материальной точки) в момент времени t. Найти скорость движения тела в момент времени t т.е. v(t).

Решение:

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М, пройдя путь от начала движения ОМ= s(t).

Заказать решение высшей математики

Дадим аргументу t приращение Заказать решение высшей математики, тело в момент времени Заказать решение высшей математики будет находиться в точке Р, пройдя расстояние от начала движения Заказать решение высшей математики. Значит, за Заказать решение высшей математики тело прошло расстояние МР=ОР - ОМ= Заказать решение высшей математики. Полученную разность назовем приращением функции s(t): Заказать решение высшей математики. Итак, расстояние Заказать решение высшей математики тело пошло за время Заказать решение высшей математики. Найдем среднюю скорость Заказать решение высшей математики движения тела за промежуток времени Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математики

Естественно, что мгновенная скорость Заказать решение высшей математики - это средняя скорость движения за промежуток времени Заказать решение высшей математики при условии, что Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики

Заказ №36

Дан график функции у= у(х). На нем выбрана точка Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной Заказать решение высшей математики.

Решите эту задачу самостоятельно (или прочитайте решение в учебниках) При решении мы получим, что Заказать решение высшей математики.

Подведем итоги. Две различные задачи в процессе решения приводят к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Определение. Производной функции Заказать решение высшей математики в точке Заказать решение высшей математики называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: Заказать решение высшей математики.

Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой в точке

A) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Определение. Касательной к кривой Заказать решение высшей математики в ее точке Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики называется предельное положение секущей Заказать решение высшей математики, когда точка М стремится к Заказать решение высшей математики вдоль данной кривой.

Б) Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой Заказать решение высшей математики в точке (Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики), равен значению производной функции в абсциссе точки касания.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики-угол наклона касательной к оси Заказать решение высшей математики

B) Уравнение касательной к кривой Заказать решение высшей математики в точке (Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики) имеет вид:

Заказать решение высшей математики

Пользуясь определением производной, мы можем вычислить производные для всех элементарных функций и составить таблицу производных.

Таблица производных

1) Заказать решение высшей математики (Заказать решение высшей математики - постоянное число); 9) Заказать решение высшей математики;

2) Заказать решение высшей математики; 10) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики;

3) Заказать решение высшей математики; 11) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики;

4) Заказать решение высшей математики; 12) Заказать решение высшей математики;

5) Заказать решение высшей математики 13) Заказать решение высшей математики;

6) Заказать решение высшей математики 14) Заказать решение высшей математики;

7) Заказать решение высшей математики; 15) Заказать решение высшей математики

8) Заказать решение высшей математики;

Правила дифференцирования

Если С - постоянная величина и функции Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики имеют производные, то

а) Заказать решение высшей математики = 0; б) Заказать решение высшей математики; в) Заказать решение высшей математики; r) Заказать решение высшей математики; д) Заказать решение высшей математики;

Производные показательно-степенных функций вычисляют по формуле

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Производная второго порядка от функции Заказать решение высшей математики определяется как Заказать решение высшей математики. Аналогично определяются производные высших порядков Заказать решение высшей математики

Дифференциал функции

Если приращение функции Заказать решение высшей математики от независимой переменной Заказать решение высшей математики может быть представлено в виде Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики, то главная линейная часть этого приращения называется дифференциалом функции Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики. Для существования дифференциала функции Заказать решение высшей математики необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная Заказать решение высшей математики, причем имеем Заказать решение высшей математики. Последняя формула будет верна и в том случае, если переменная Заказать решение высшей математики является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности первого дифференциала). Дифференциалы высших порядков от функции Заказать решение высшей математики последовательно определяются формулами Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики = 2, 3, ..., где принято Заказать решение высшей математики. Если Заказать решение высшей математики - независимая переменная, то полагают Заказать решение высшей математики. В этом случае справедливы формулы Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Производная обратной функции

Дифференцируемая функция Заказать решение высшей математики с производной Заказать решение высшей математики имеет однозначную непрерывную обратную функцию Заказать решение высшей математики причем обратная функция также дифференцируема и справедлива формула Заказать решение высшей математики.

Производная функции, заданной параметрически

Система уравнений Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - дифференцируемые функции и Заказать решение высшей математики, определяет Заказать решение высшей математики в некоторой области как однозначную

дифференцируемую функцию от Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики, причем производная этой функции может быть найдена по формуле Заказать решение высшей математики. Для вычисления второй производном Заказать решение высшей математики используют формулу Заказать решение высшей математики

Производная функции, заданной в неявном виде

Если дифференцируемая функция Заказать решение высшей математики удовлетворяет уравнению Заказать решение высшей математики, то производная Заказать решение высшей математики этой неявной функции может быть найдена из уравнения Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики рассматривается как сложная функция переменной Заказать решение высшей математики.

Заказ №37

Найти производные Заказать решение высшей математики данных функций:

а) Заказать решение высшей математики; в) Заказать решение высшей математики;

б) Заказать решение высшей математики; г) Заказать решение высшей математики.

Решение:

а) Комбинируя правила нахождения производных сложной функции и частного, получим

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

б) Комбинируя правила нахождения производных сложной функции и произведения функций, будем иметь

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

в) Запишем данную функцию в виде Заказать решение высшей математики, и применим правило дифференцирования сложной функции:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

г) Продифференцируем обе части тождества по Заказать решение высшей математики, считая Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Следовательно, числитель последней дроби равен нулю: Заказать решение высшей математики. В итоге получаем Заказать решение высшей математики.

Заказ №38

Найти Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики для заданных функций:

а) Заказать решение высшей математики; б) Заказать решение высшей математики

Решение:

а) Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

б) Применим правила нахождения производных от функции, заданной параметрически Заказать решение высшей математики. Так как Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, то

Заказать решение высшей математики

Монотонность и экстремумы функции

Определение 1. Функция Заказать решение высшей математики называется возрастающей в интервале (а, b), если большему значению аргумента х из этого интервала соответствует и большее значение функции.

Определение 2. ФункцияЗаказать решение высшей математики называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Достаточное условие возрастания ( убывания ) функции: Если во всех точках Заказать решение высшей математики выполняется неравенство Заказать решение высшей математики (причем равенство Заказать решение высшей математики выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция Заказать решение высшей математики возрастает в интервале (а; b).

Если в данном промежутке производная данной функции неотрицательна, то функция в этом промежутке убывает.

Справедливы и обратные утверждения.

Определение 3. Максимумом функции Заказать решение высшей математики такое ее значение Заказать решение высшей математики, которое больше всех ее значений, принимаемых в точках х, достаточно близких к точке Заказать решение высшей математики и отличных от нее, т. е. Заказать решение высшей математики где х- любая точка из интервала, содержащего точку Заказать решение высшей математики ( Заказать решение высшей математики- точка максимума)

Определение 4. Минимумом функции Заказать решение высшей математики называется такое ее значение Заказать решение высшей математики которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках х, достаточно близких к точке Заказать решение высшей математики и отличных от нее, т. е. Заказать решение высшей математики где х -любая точка из некоторого интервала, содержащего точку Заказать решение высшей математики. ( Заказать решение высшей математики - точка минимума)

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Функция может иметь экстремум в тех точках области определения, в которых производная равна нулю или не существует . Такие точки называются критическими.

Достаточное условие экстремума

Если в точке Заказать решение высшей математики производная функции Заказать решение высшей математики обращается в нуль или не существует, и меняет знак при переходе через эту точку, то Заказать решение высшей математики-экстремум функции, причем

1) функция имеет максимум в точке Заказать решение высшей математики, если знак производной меняется с «+» на «-»

2) функция имеет минимум в точке Заказать решение высшей математики, если знак производной меняется с «-» на «+»

3) функция не имеет экстремума, если знак производной не меняется.

Алгоритм исследования непрерывной функции Заказать решение высшей математики на монотонность и экстремумы.

1. Найти область определения и производнуюЗаказать решение высшей математики.

2. Найти критические точки.

3. Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на теоремы сделать выводы о монотонности и о ее точках экстремума.

Заказ №39

Исследовать функцию Заказать решение высшей математики на монотонность и экстремумы.

Решение:

1. Найдем область определения: Заказать решение высшей математики и производную данной функции:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

2. Найдем критические точки.

Заказать решение высшей математики - это две критические точки.

3. Отметим полученные точки на числовой прямой и схематически укажем знаки производной по промежуткам области определения.

Заказать решение высшей математики

х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является.

На промежутке Заказать решение высшей математики функция убывает, а на промежутке Заказать решение высшей математики функция возрастает.

Наибольшее (наименьшее) значения непрерывной и дифференцируемой функции у= f(х) на отрезке [а, b]

1) Находим критические точки, принадлежащие отрезку.

2) Находим значения функции в полученных точках и на концах отрезка.

Среди полученных значений выбираем наибольшее (наименьшее).

Наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале

При вычислении наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале мы не можем вычислить значения функции на концах, поэтому часто используют теорему Ферма: если функция на интервале имеет единственный максимум (минимум), то он совпадает с наибольшим (наименьшим) значением функции на этом интервале.

Заказ №40

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Заказать решение высшей математики на отрезке [a, b], где Заказать решение высшей математики, [a, b]= [-3;6].

Решение:

Заметим, что Заказать решение высшей математики непрерывна и дифференцируема на данном отрезке. Вычисления дают:

1) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики (обе точки лежат внутри данного промежутка).

2) Находим Заказать решение высшей математики(-2) = 36, Заказать решение высшей математики(3) = -89.

3) Вычисляем значения функции на концах промежутка:

Заказать решение высшей математики(-3) = 19, Заказать решение высшей математики(6) = 100.

4) В итоге имеем: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики { 19,36,-89,100} = 100 = Заказать решение высшей математики(6),

Заказать решение высшей математики { 19,36,-89,100} = -89 = Заказать решение высшей математики(3).

х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является.

На промежутке Заказать решение высшей математики функция убывает, а на промежутке Заказать решение высшей математики функция возрастает.

Теоремы о среднем

Теорема Лагранжа. Если Заказать решение высшей математики непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то Заказать решение высшей математики такая, что Заказать решение высшей математики (формула конечных приращений).

Теорема Ролля. Если выполнены условия теоремы Лагранжа и Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики.

Теорема Коши. Если Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (a, b) причем Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики такая, что верна формула

Заказать решение высшей математики

Построение графиков функций

Общая схема исследования функции и построения ее графика:

1. Найти область определения функции (Dom Заказать решение высшей математики). Исследовать поведение Заказать решение высшей математики в граничных точках Dom Заказать решение высшей математики.

2. Установить, не является ли Заказать решение высшей математики четной (или нечетной).

3. Является ли Заказать решение высшей математики периодической?

4. Исследовать Заказать решение высшей математики на непрерывность. Найти точки разрыва и установить их характер. Указать вертикальные асимптоты.

5. Найти уравнения наклонных асимптот.

6. Найти нули Заказать решение высшей математики, т.е. Заказать решение высшей математики, и Заказать решение высшей математики =Заказать решение высшей математики. Найти интервалы знакопостоянства.

7. Вычислить Заказать решение высшей математики. Исследовать Заказать решение высшей математики на монотонность и экстремумы.

8. Вычислить Заказать решение высшей математики. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

9. Свести результаты в таблицу, добавить значения функции в характерных точках (экстремума, перегиба и т.д.) и построить эскиз графика Заказать решение высшей математики.

К числу характерных точек графика относятся точки пересечения его с осями координат. В случае непрерывной функции Заказать решение высшей математики для нахождения абсцисс точек пересечения графика с осью Заказать решение высшей математики нужно найти корни уравнения Заказать решение высшей математики, лежащие в области существования графика. Удаляя из этой области найденные точки, получим разбиение области определения функции на интервалы знакопостоянства.

Из теоремы Ферма следует, что в точках локального экстремума непрерывной функции Заказать решение высшей математики, если производная существует. Точки, удовлетворяющие этому условию, называются критическими точками функции Заказать решение высшей математики. Достаточные условия локального экстремума в критической точке Заказать решение высшей математики заключаются в смене знака Заказать решение высшей математики при переходе через эту точку из левой ее полуокрестности в правую. При этом смена знака с (+) на (-) отвечает максимуму, а смена знака с (-) на (+) - минимуму. Другой достаточный признак экстремума связан со знаком второй производной в критической точке. Если дважды дифференцируемая функция такова, что Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики - точка локального максимума. Если же Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики- точка локального минимума. На практике для нахождения интервалов монотонности нужно удалить из области определения функции все точки локального экстремума. Оставшееся множество состоит из интервалов монотонности. О возрастании и убывании функции на этих интервалах можно судить по знаку Заказать решение высшей математики.

Дуга графика на интервале (a, b) называется выпуклой вверх, если она расположена под каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вверх является Заказать решение высшей математики для всех Заказать решение высшей математики. Аналогично, дуга графика на интервале (а, b) называется выпуклой вниз, если она расположена над каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вниз является Заказать решение высшей математики для всех Заказать решение высшей математики.

Точки перегиба на графике дифференцируемой функции обладают свойством: по обе стороны от них график имеет разное направление выпуклости. Достаточным условием перегиба является существование Заказать решение высшей математики в окрестности точки Заказать решение высшей математики и смена знака Заказать решение высшей математики при переходе через точку Заказать решение высшей математики. При этом Заказать решение высшей математики.

Вертикальные асимптоты к графику функции Заказать решение высшей математики - это прямые вида Заказать решение высшей математики, такие, что хотя бы один из односторонних пределов этой функции при Заказать решение высшей математики равен бесконечности. Это может иметь место в точках разрыва второго рода либо в граничных точках области определения функции. Наклонная асимптота при Заказать решение высшей математики - это прямая Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Аналогично определяется наклонная асимптота при Заказать решение высшей математики. Наклонные асимптоты возможны только в случае, когда область определения функции не ограничена.

Заказ №41

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию Заказать решение высшей математики и, используя результаты исследования, построить ее

график: а) Заказать решение высшей математики, б)Заказать решение высшей математики.

Решение:

а) 1. Очевидно, что Заказать решение высшей математики.

2. Заказать решение высшей математики. Заметим, что Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция Заказать решение высшей математики не является периодической, поскольку Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Аналогично убеждаемся в том, что Заказать решение высшей математики не является периодической функцией. Следовательно, Заказать решение высшей математики не является периодической функцией.

4. Заказать решение высшей математики - точка разрыва. Найдем Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики прямая Заказать решение высшей математики = -1 является вертикальной асимптотой.

5. Найдем уравнения наклонных асимптот. Вычисления дают: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики - наклонная асимптота при Заказать решение высшей математики.

6. Заметим, что Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики = 1.

7. Находим: Заказать решение высшей математики. Тогда, исследуя знаки Заказать решение высшей математики методом интервалов, заключаем, что Заказать решение высшей математики возрастает на (Заказать решение высшей математики -5), (-1, 1) и (1, Заказать решение высшей математики) и убывает на (-5, -1). Таким образом, в точке Заказать решение высшей математики = -5 Заказать решение высшей математики имеет экстремум: Заказать решение высшей математики -13,5. В точке Заказать решение высшей математики = 1 экстремума нет (почему мы не рассматриваем точку Заказать решение высшей математики = -1?). Однако указанные особенности поведения функции еще не позволяют нам однозначно судить о виде графика Заказать решение высшей математики. Очевидно, что окончательный ответ на этот вопрос мы можем получить, только исследовав промежутки выпуклости Заказать решение высшей математики.

8. Находим: Заказать решение высшей математики. Точка возможного перегиба - Заказать решение высшей математики = 1, интервалы выпуклости - (Заказать решение высшей математики -1), (-1, 1) и [1, Заказать решение высшей математики). Установим знаки Заказать решение высшей математики на каждом из этих интервалов. Заключаем, что Заказать решение высшей математики выпукла вверх на (Заказать решение высшей математики -1] и (-1, 1] и выпукла вниз на [1, Заказать решение высшей математики). Точка Заказать решение высшей математики = 1 является точкой перегиба.

9. Сведем полученные данные в таблицу 1. Добавим значение Заказать решение высшей математики(10) = 6,05.

Таблица 1 Заказать решение высшей математики

Эскиз графика Заказать решение высшей математики представлен на (рис. 19).

б) 1. Функция определена и непрерывна на Заказать решение высшей математики

2. Функция нечетная: Заказать решение высшей математики. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Не периодическая.

4. Точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

5. Ищем наклонные асимптоты:

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

(предел находится по правилу Лопиталя). Итак, наклонная асимптота имеет уравнение Заказать решение высшей математики =0.

6. Очевидно, Заказать решение высшей математики. График проходит через начало координат и других общих точек с осями координат не имеет. На (Заказать решение высшей математики 0) имеем Заказать решение высшей математики, следовательно, график расположен ниже оси абсцисс. На (0, Заказать решение высшей математики) имеем Заказать решение высшей математики, следовательно, график расположен выше оси абсцисс.

7. Исследуем функцию с помощью Заказать решение высшей математики. Имеем Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики - критические точки. На (Заказать решение высшей математики -1) и (1,Заказать решение высшей математики) функция убывает, так как Заказать решение высшей математики. На (-1, 1) функция возрастает, так как Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики = -1 - точка минимума, Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики = 1 - точка максимума, Заказать решение высшей математики.

8. Исследуем функцию с помощью Заказать решение высшей математики. Имеем Заказать решение высшей математики. Отсюда Заказать решение высшей математики - точки возможного перегиба. На Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики - график выпуклый вверх. На интервалах Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики - график выпуклый вниз. Точки перегиба Заказать решение высшей математики. Значения функции в этих точках Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

9. Сводим результаты исследования в таблицу 2, пользуясь нечетностью функции, и строим эскиз графика (рис. 20).

Таблица 2

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Заказ №42

Дан прямой круговой конус К с радиусом основания Заказать решение высшей математики, образующая его наклонена к плоскости основания под углом Заказать решение высшей математики. Требуется вписать в К прямой круговой конус Заказать решение высшей математики наибольшего объема при условии, что вершина Заказать решение высшей математики совпадаете центром основания конуса К.

Решение:

Сделаем чертеж (рис. 21).

Заказать решение высшей математики

Рис. 21

Рассмотрим осевое сечение конуса К. Пусть Заказать решение высшей математики - радиус основания вписанного конуса. Его высота Заказать решение высшей математики находится из прямоугольного треугольника АВС. Так как Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики.

Итак, объем вписанного конуса Заказать решение высшей математики. Найдем максимум этой функции на промежутке Заказать решение высшей математики. Производная Заказать решение высшей математики. Отсюда Заказать решение высшей математики = 0 или Заказать решение высшей математики. При Заказать решение высшей математики = 0 объем конуса Заказать решение высшей математики равен нулю. При переходе через вторую критическую точку производная Заказать решение высшей математики меняет знак с плюса на минус. Значит, объем конуса будет максимальным при Заказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики. Объем конуса Заказать решение высшей математики составляет Заказать решение высшей математики объема конуса К.

Уравнение касательной в точке , уравнение нормальной плоскости, проходящей через и кривизна кривой в точке , заданной векторно-параметрическим уравнением

Заказать решение высшей математики

Касательный вектор к кривой Г в точке Заказать решение высшей математики определяется по формуле Заказать решение высшей математики. Предполагается, что Заказать решение высшей математики существуют и одновременно не равны нулю. Тогда искомые уравнения касательной имеют вид

Заказать решение высшей математики

Соответственно уравнение нормальной плоскости имеет вид

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Кривизна кривой Г в точке Заказать решение высшей математики есть величина Заказать решение высшей математики.

Заказ №43

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии Заказать решение высшей математики в точке Заказать решение высшей математики=0

Решение:

Вычисления дают Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Искомые уравнения касательной Заказать решение высшей математики. Искомое уравнение нормальной плоскости Заказать решение высшей математики то есть Заказать решение высшей математики.

Найдем числитель в формуле для кривизны Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Длина этого вектора равна Заказать решение высшей математики. Длина вектора Заказать решение высшей математики равна Заказать решение высшей математики. Подставляя эти значения в формулу для кривизны, получим Заказать решение высшей математики.

Неопределенный и определенный интегралы

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования получают из формул дифференцирования. Отыскание неопределенного интеграла некоторой функции называется интегрированием.

Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования функций, сделаем два замечания:

1. Если для дифференцируемости функции в точке непрерывность функции в этой точке является условием необходимым, но недостаточным, то для интегрируемости функции на отрезке, наоборот, непрерывность функции на этом отрезке является только условием достаточным, но не необходимым.

2. Каждая дифференцируемая функция имеет единственную производную, а операция интегрирования многозначна, так как функция имеет одну первообразную на отрезке, то она имеет и бесконечное множество первообразных на этом отрезке, отличающихся одна от другой на постоянное число.

Определение и основные свойства неопределенных интегралов

Первообразной функцией Заказать решение высшей математики в данном интервале называется функция Заказать решение высшей математики если в каждой точке этого интервала Заказать решение высшей математики

Нетрудно доказать, что первообразные функции Заказать решение высшей математики, и только они, содержатся в выражении Заказать решение высшей математики где С - произвольная постоянная.

Если Заказать решение высшей математики - первообразная функция Заказать решение высшей математики в некотором интервале, то выражение Заказать решение высшей математики называется неопределенным интегралом и обозначается символом Заказать решение высшей математики, т.е. Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики называется подынтегральным выражением.

Интегрирование проверяется дифференцированием, поэтому

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Действия интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными: Заказать решение высшей математики, в частном случае

Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики.

2. Постоянный множитель, стоящий под знаком интеграла, можно вынести за знак интеграла: Заказать решение высшей математики, где С - константа.

3. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых:

Заказать решение высшей математики.

Приведем таблицу интегралов, на которую мы в дальнейшем будем ссылаться.

1) Заказать решение высшей математики. 14) Заказать решение высшей математики.

2) Заказать решение высшей математики. 15) Заказать решение высшей математики.

3) Заказать решение высшей математики. 16) Заказать решение высшей математики.

4) Заказать решение высшей математики. 17) Заказать решение высшей математики.

5) Заказать решение высшей математики 18) Заказать решение высшей математики.

6) Заказать решение высшей математики. 19) Заказать решение высшей математики

7) Заказать решение высшей математики. 20) Заказать решение высшей математики

8) Заказать решение высшей математики. 21) Заказать решение высшей математики

9) Заказать решение высшей математики. 22) Заказать решение высшей математики

10) Заказать решение высшей математики. 23) Заказать решение высшей математики

11) Заказать решение высшей математики. 24) Заказать решение высшей математики

12) Заказать решение высшей математики. 25) Заказать решение высшей математики

13) Заказать решение высшей математики.

Часто при вычислении интегралов используют следующее равенство: если Заказать решение высшей математики, то

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Этот прием позволяет упростить вычисление ряда интегралов.

Заказ №44

Вычислить интеграл Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Интегрирование путем подстановки

2.1. Подведение под знак дифференциала

По определению дифференциала:

Заказать решение высшей математики.

Переход в этом равенстве слева направо называют подведением множителя Заказать решение высшей математики под знак дифференциала.

Например:

1. Заказать решение высшей математики 4. Заказать решение высшей математики

2. Заказать решение высшей математики 5. Заказать решение высшей математики.

3. Заказать решение высшей математики 6. Заказать решение высшей математики и т. д.

Справедлива формула

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

В данной контрольной работе составлены примеры на эту формулу в задаче 13(a).

Заказ №45

Найти неопределенные интегралы:

1. Заказать решение высшей математики, 2. Заказать решение высшей математики, 3. Заказать решение высшей математики

Решение:

1. Заказать решение высшей математики.

Пусть Заказать решение высшей математики, тогда Заказать решение высшей математики. Переходя к первоначальной переменной Заказать решение высшей математики, окончательно получим Заказать решение высшей математики.

Сделаем проверку: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики - это подынтегральная функция. Следовательно, интеграл вычислен верно.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

1. Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Здесь, очевидно, Заказать решение высшей математики. При некотором навыке замена функции через Заказать решение высшей математики обычно происходит устно.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Ответ: Заказать решение высшей математики.

3. Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики

Интегрирование по частям

Метод опирается на равенство

Заказать решение высшей математики.

Для применения этого метода подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. При этом целесообразно в качестве и выбирать функцию, упрощающуюся при дифференцировании Заказать решение высшей математики.

Интегрированием по частям легко решаются интегралы вида:

1. Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики 4. Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

2. Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики 5. Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

3. Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики 6. Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Заказ №46

Найти неопределенный интеграл Заказать решение высшей математики

Решение:

Все интегралы вычисляются с помощью интегрирования по частям:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Для вычисления интеграла Заказать решение высшей математики применим еще раз интегрирование по частям:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Тогда Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики

2.3. Указания к решению задач 1) в, г,

В предлагаемой литературе, приведенной в контрольном задании, подробно рассмотрены основные классы интегрируемых функций. Изучите примеры и методы их интегрирования.

В задаче 13(в) представлены интегралы вида:

1. Заказать решение высшей математики, 3. Заказать решение высшей математики,

2. Заказать решение высшей математики 4. Заказать решение высшей математики,

которые легко свести к одному из табличных интегралов №16-21. Для этого необходимо уметь выделять полный квадрат из квадратного трехчлена:

Заказать решение высшей математики

Заказ №47

Найти неопределенный интеграл Заказать решение высшей математики.

Решение:

Выделим полный квадрат: Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Заказ №48

Найти неопределенный интеграл Заказать решение высшей математики,

Решение:

В задаче 13(г) используется схема интегрирования рациональных дробей. Дробь Заказать решение высшей математики рациональная, правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей, а именно:

Заказать решение высшей математики.

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим тождество:

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики.

Коэффициенты при одинаковых степенях Заказать решение высшей математики в обеих частях тождества должны быть равны, поэтому получим систему уравнений

Заказать решение высшей математики

откуда А = 2, В = -1, С = -6.

Прием, с помощью которого найдены неизвестные А, В, С, называется способом сравнения коэффициентов.

Для определения коэффициентов часто бывает удобнее применить способ частных значений, состоящий в том, что после приравнивания числителей аргументам Заказать решение высшей математики придают некоторые удобные значения (читайте литературу).

Итак, Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Заказ №49

Найти неопределенный интеграл Заказать решение высшей математики.

Решение:

В задаче 13(д) представлен интеграл, который надлежащей заменой переменной может быть сведен к интегралам от рациональных функций.

Так как Заказать решение высшей математики, то наименьший общий знаменатель равен 6. Следовательно, сделаем замену:

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Тогда Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Дробь Заказать решение высшей математики рациональная, неправильная (степень числителя больше степени знаменателя), поэтому выделим целую часть:

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Перейдем к аргументу Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

В задаче 13(e) рассматриваются интегралы вида Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - рациональная функция от Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики

С помощью универсальной подстановки Заказать решение высшей математики интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби нового аргумента Заказать решение высшей математики При такой подстановке:

Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики.

Замечание. Универсальная подстановка Заказать решение высшей математики нередко приводит к сложным выкладкам, поэтому изучите частные подстановки (читайте предлагаемую литературу).

Заказ №50

Найти неопределенный интеграл Заказать решение высшей математики.

Решение:

Используем универсальную подстановку Заказать решение высшей математики, тогда

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.-ii Перейдем к переменной Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Определенный интеграл

Приступая к изучению этой темы, необходимо усвоить определение и основные свойства определенного интеграла.

При вычислении определенного интеграла используют формулу Ньютона - Лейбница.

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - любая первообразная функция Заказать решение высшей математики.

Методы вычисления определенных интегралов:

1. Замена переменной осуществляется по формуле

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики

Эта формула справедлива, если Заказать решение высшей математики - непрерывная функция, а подстановка Заказать решение высшей математики сама непрерывна на отрезке Заказать решение высшей математики. Подчеркнем, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной, в отличие от неопределенного интеграла, возврат к старой переменной не требуется.

2. Интегрирование по частям

Если функции Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики имеют непрерывные производные на Заказать решение высшей математики, то справедлива формула

Заказать решение высшей математики,

где символ Заказать решение высшей математики обозначает разность Заказать решение высшей математики.

Приложения определенного интеграла

В этой теме предусмотрено применение определенного интеграла для вычисления площадей различных фигур, объемов тел вращения, длин кривых, работы и силы давления.

Вычисление площади в прямоугольных координатах

а) Если непрерывная кривая задана уравнением Заказать решение высшей математики (j(x) > 0), площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики и осью Заказать решение высшей математики (рис. 22), вычисляется по формуле Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики

б) Если криволинейная трапеция ограничена непрерывными кривыми Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики причем Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики и прямыми Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, то ее площадь вычисляется по формуле Заказать решение высшей математики (рис. 23).

В отдельных случаях какая-либо граница Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики может выродиться в

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Рис. 23 Рис. 24 точку пересечения кривых Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики (рис. 24).

Параметрически заданная кривая

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики и осью Заказать решение высшей математики выражается интегралом

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики определяются из уравнений Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики

Вычисление площади в полярных координатах

Если кривая задана уравнением в полярных координатах Заказать решение высшей математики то площадь криволинейного сектора ОАВ (рис. 25) вычисляется по формуле

Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Рис. 25

Объем тела вращения

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой Заказать решение высшей математики осью Заказать решение высшей математики и прямыми Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики (см. рис. 22), вычисляется по формуле Заказать решение высшей математики.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Заказать решение высшей математики фигуры, ограниченной кривой Заказать решение высшей математики осью ординат и прямыми Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики(рис. 26), вычисляются по формуле Заказать решение высшей математики.

Если Заказать решение высшей математики задана параметрическими уравнениями

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики то формула принимает вид

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики находятся из уравнений Заказать решение высшей математики

Длина плоских кривых

Если плоская кривая задана уравнением у = у(х) и производная Заказать решение высшей математики непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - абсциссы концов дуги.

1. Если кривая задана уравнениями вида Заказать решение высшей математики то

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики - ординаты концов дуги.

2. Если кривая задана в параметрической форме Заказать решение высшей математики и производные Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики непрерывны на отрезке Заказать решение высшей математики то длина дуги кривой выражается интегралом

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики - значения параметра Заказать решение высшей математики соответствующие концам дуги Заказать решение высшей математики

3. Если гладкая кривая задана уравнением Заказать решение высшей математики (см. рис. 25) в полярных координатах, то длина дуги Заказать решение высшей математики кривой выражается интегралом

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики — значения полярного угла Заказать решение высшей математики в концах дуги Заказать решение высшей математики

Физическое приложение

1) Общая схема применения определенного интеграла

Пусть требуется найти некоторую физическую величину Заказать решение высшей математики имеющую определенное значение на отрезке Заказать решение высшей математики. Предполагается, что Заказать решение высшей математики является аддитивной величиной, т. е. если отрезок Заказать решение высшей математики делится на части, то величина Заказать решение высшей математики складывается из суммы значений Заказать решение высшей математики, соответствующих этим частям. Из условия задачи находят «элемент» Заказать решение высшей математики величины Заказать решение высшей математики, отвечающий «элементарному» промежутку Заказать решение высшей математики в виде Заказать решение высшей математики. После этого, интегрируя по отрезку Заказать решение высшей математики, получают величину Заказать решение высшей математики.

2) Путь, пройденный точкой.

Пусть точка движется по прямой с переменной скоростью Заказать решение высшей математики Определить путь, пройденный точкой от момента времени Заказать решение высшей математики до момента Заказать решение высшей математики

Решение. За элементарный промежуток времени Заказать решение высшей математики точка пройдет путь

Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики - «элемент пути» и Заказать решение высшей математики.

3) Работа силы.

Пусть материальная точка движется вдоль оси Заказать решение высшей математики от точки Заказать решение высшей математики до точки Заказать решение высшей математики под действием переменной силы Заказать решение высшей математики причем направление силы совпадает с направлением движения. Найти работу, произведенную силой при этом перемещении.

Решение. На элементарном перемещении Заказать решение высшей математики работа силы равна Заказать решение высшей математики Мы получили «элементарную» работу Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

4) Сила давления жидкости на пластину выражается формулой

Заказать решение высшей математики,

где Заказать решение высшей математики - глубина, на которой находится самая верхняя точка пластинки; Заказать решение высшей математики - глубина, на которой находится самая нижняя ее точка; Заказать решение высшей математики- удельная плотность жидкости; Заказать решение высшей математики - ускорение свободного падения; Заказать решение высшей математики - расстояние точек пластинки до уровня жидкости; Заказать решение высшей математики - длина горизонтального сечения пластинки (это неизвестная функция, зависящая от формы пластинки).

Заказ №51

Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

Решение:

Построим данную фигуру:Заказать решение высшей математики - гипербола, Заказать решение высшей математики - прямая (рис. 27).

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы, решив систему уравнений Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Искомая площадь равна:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики

Заказ №52

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Решение:

Уравнения в полярных координатах Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики являются окружностями (рис. 28). Кривые, заданные в полярных координатах, можно строить по точкам с помощью ЭВМ. Основные кривые рассматриваются в предлагаемой литературе.

Очевидно, что Заказать решение высшей математики. Площадь криволинейного сектора можно найти по формуле Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Уравнение луча OA: Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики

Рис. 27

Заказать решение высшей математики

Заказ №53

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Заказать решение высшей математики фигуры, ограниченной параболами Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Решение:

Очевидно, что Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики - объем тела, полученный вращением трапеции ОABC, Заказать решение высшей математики - объем тела, полученный вращением трапеции ODBC (рис. 29).

Найдем ординаты точек пересечения парабол:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики

Уравнение параболы Заказать решение высшей математики (кривая OAВ) запишем в виде Заказать решение высшей математики, тогда

Заказать решение высшей математики,

Заказать решение высшей математики

Следовательно, Заказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Заказ №54

Вычислить объем тела, которое получается от вращения фигуры, ограниченной кардиоидой Заказать решение высшей математики вокруг полярной оси.

Решение:

Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Заказать решение высшей математики (она же и полярная ось) фигуры MNKLO и OKL (рис. 30).

Перейдем к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Очевидно, что абсцисса точки М равна Заказать решение высшей математики (значение Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики = 0). Абсцисса точки К есть значение минимума функции Заказать решение высшей математики

Найдем этот минимум: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики= 0 и Заказать решение высшей математики. ПриЗаказать решение высшей математики = 0, Заказать решение высшей математики при Заказать решение высшей математики получаем Заказать решение высшей математики

Координаты точки Заказать решение высшей математики Следовательно, искомый объем

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Заказ №55

Найти силу давления, испытываемую пластиной с одной стороны в форме полукруга радиуса Заказать решение высшей математики, погруженного в жидкость так, что диаметр совпадает с поверхностью жидкости.

Решение:

Вычислим силу давления, испытываемую «элементом» пластины ABCD на глубине Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики - площадь элемента пластины ABCD (рис. 31), Заказать решение высшей математики

Из Заказать решение высшей математики по теореме Пифагора находим:

Заказать решение высшей математики.

Тогда Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Вычислим силу давления на пластину:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Ответ: Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную Заказать решение высшей математики искомую функцию Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики и ее производные Заказать решение высшей математики

Символически дифференциальное уравнение можно написать так:

Заказать решение высшей математики, или Заказать решение высшей математики.

Неизвестной здесь является функция Заказать решение высшей математики, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция Заказать решение высшей математики есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение Заказать решение высшей математики есть уравнение первого порядка, а уравнение Заказать решение высшей математики - уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция Заказать решение высшей математики обращающая это уравнение в тождество.

Решение Заказать решение высшей математики, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция Заказать решение высшей математики, зависящая от Заказать решение высшей математики и n произвольных независимых постоянных Заказать решение высшей математики обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде Заказать решение высшей математики называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным.

Уравнения с разделяющимися переменными

Если дифференциальное уравнение первого порядка можно привести к виду Заказать решение высшей математики, где множители Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики зависят только от переменной Заказать решение высшей математики, а множители Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики зависят только от переменной Заказать решение высшей математики, то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение решается путем деления обеих его частей на выражение Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид

Заказать решение высшей математики.

Заказ №56

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики.

Решение:

Разделим переменные Заказать решение высшей математики и интегрируем Заказать решение высшей математики. В результате вычисления интегралов получим: Заказать решение высшей математики. Это выражение можно записать в иной форме: Заказать решение высшей математики, т.к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.

Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

Заказать решение высшей математики

Однородные уравнения первого порядка

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных. Функция двух переменных Заказать решение высшей математики называется однородной функцией

измерения Заказать решение высшей математики, если при любом Заказать решение высшей математики справедливо тождество Заказать решение высшей математики.

Заказ №57

Функция Заказать решение высшей математики есть однородная функция второго измерения, т.к.

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Уравнение Заказать решение высшей математики называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики являются однородными функциями одного и того же измерения.

Однородные дифференциальные уравнения решаются введением новой переменной Заказать решение высшей математики по формуле Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики, при этом Заказать решение высшей математики.

После подстановки данное однородное уравнение будет являться уравнением с разделяющимися переменными Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики; из него определяется Заказать решение высшей математики, а из формулы Заказать решение высшей математики искомая функция Заказать решение высшей математики.

Заказ №58

Решить уравнение Заказать решение высшей математики, если Заказать решение высшей математики = 0 при Заказать решение высшей математики = 0.

Решение:

Здесь Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - однородные функции второго измерения. Применим подстановку Заказать решение высшей математики, при этом Заказать решение высшей математики. Получим: Заказать решение высшей математики, или Заказать решение высшей математики. Сгруппируем слагаемые относительно Заказать решение высшей математики. Разделим переменные:

Заказать решение высшей математики,

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Так как Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики - общий интеграл. Используя начальные условия Заказать решение высшей математики имеем Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики = 0. Тогда Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - частное решение данного уравнения.

Линейные уравнения первого порядка

Уравнение Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция Заказать решение высшей математики, стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е. Заказать решение высшей математики, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае - линейным неоднородным.

Таким образом, Заказать решение высшей математики - линейное однородное уравнение, а Заказать решение высшей математики - линейное неоднородное уравнение.

Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод. Для решения уравнения применяют подстановку Заказать решение высшей математики, причем функцию Заказать решение высшей математики считают новой неизвестной функцией, а функцию Заказать решение высшей математики подчиняют условию: Заказать решение высшей математики. Данная подстановка приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. Произведение полученных функций даст общее решение линейного уравнения: Заказать решение высшей математики.

Заказ №59

Решить уравнение Заказать решение высшей математики.

Решение:

Здесь Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Имеем: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики - общее решение линейного уравнения.

II метод (Метод вариации произвольной постоянной).

В линейном однородном уравнении Заказать решение высшей математики переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Заказать решение высшей математики, легко находится. Затем находят общее решение неоднородного линейного уравнения Заказать решение высшей математики, считая, что оно имеет такую же форму, как и общее решение соответствующего однородного уравнения Заказать решение высшей математики, но где Заказать решение высшей математики есть не постоянная величина, а неизвестная функция от Заказать решение высшей математики, т.е. считая, что Заказать решение высшей математики.

Полученное общее решение состоит из двух слагаемых: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

Заказ №60

Найти общее решение уравнения Заказать решение высшей математики.

Решение:

Интегрируем соответствующее однородное уравнение:

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Считаем Заказать решение высшей математики функциейЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Подставляем в исходное уравнение:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида Заказать решение высшей математики (здесь Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики). Это уравнение приводится к линейному с помощью подстановки Заказать решение высшей математики. Решим линейное уравнение относительно функции Заказать решение высшей математики и подставим вместо Заказать решение высшей математики выражение Заказать решение высшей математики. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

Заказ №61

Найти общее решение уравнения Заказать решение высшей математики.

Решение:

Разделив обе части уравнения на Заказать решение высшей математики, получим: Заказать решение высшей математики.

Введем новую переменную Заказать решение высшей математики, тогда Заказать решение высшей математики. Подставляя в уравнение, получим: Заказать решение высшей математики. Это линейное уравнение относительно функции z.

Применим метод вариации произвольной постоянной:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Интегрируя по частям, находим

Заказать решение высшей математики, следовательно, Заказать решение высшей математики. Заменяя теперь Заказать решение высшей математики на Заказать решение высшей математики, получим:

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики. Это и есть общее решение исходного уравнения.

Дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнения вида Заказать решение высшей математики

Решение данного уравнения получается последовательным интегрированием его левой и правой частей.

Заказ №62

Найти частное решение уравнения Заказать решение высшей математики, удовлетворяющее начальным условиям: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Решение:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Это и есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения Заказать решение высшей математики:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

Заказать решение высшей математики.

Некоторые типы дифференциальных уравнений второго прядка, приводимые к уравнениям первого порядка

Уравнения не содержащие Заказать решение высшей математики

Уравнение вида Заказать решение высшей математики не содержит явным образом искомой функции Заказать решение высшей математики. Порядок такого уравнения может быть понижен с помощью подстановки Заказать решение высшей математики.

Заказ №63

Решить уравнения Заказать решение высшей математики.

Решение:

Положим Заказать решение высшей математики, тогда Заказать решение высшей математики, и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики. Это уравнение является линейным. Найдем его общее решение, используя метод вариации произвольной постоянной.

Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики

Итак, Заказать решение высшей математики, т.е. Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики

Замечание. Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение Заказать решение высшей математики, полагая Заказать решение высшей математики.

Уравнения, не содержащие х

Уравнение вида Заказать решение высшей математики не содержит явным образом независимую переменную Заказать решение высшей математики. Порядок этого уравнения также может быть понижен. И в этом случае полагаем Заказать решение высшей математики, но теперь мы будем считать Заказать решение высшей математики функцией от Заказать решение высшей математики (а не от Заказать решение высшей математики, как прежде).

Заказ №64

Найти частное решение уравнения Заказать решение высшей математики, удовлетворяющее начальным условиям Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Решение:

Данное уравнение не содержит Заказать решение высшей математики. Положим Заказать решение высшей математики, рассматривая Заказать решение высшей математики как функцию от Заказать решение высшей математики. Тогда Заказать решение высшей математики, и мы получаем уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции Заказать решение высшей математики:Заказать решение высшей математики. Разделяя переменные, будем иметь: Заказать решение высшей математики. Откуда Заказать решение высшей математики, или Заказать решение высшей математики, т.е. Заказать решение высшей математики. Здесь мы можем сразу определить значение произвольной постоянной Заказать решение высшей математики,

используя начальные условия: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики = 0. Следовательно, Заказать решение высшей математики.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики. Пользуясь тем, чтоЗаказать решение высшей математики, найдем Заказать решение высшей математики. Искомое частное решение запишется: Заказать решение высшей математики.

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математикипостоянные числа.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения в виде Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики.

Подставляя эту функцию и ее производные Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики в рассматриваемое уравнение, получим: Заказать решение высшей математики. Так как Заказать решение высшей математики, значит Заказать решение высшей математики.

Следовательно, если Заказать решение высшей математики будет удовлетворять полученному уравнению, которое называется характеристическим, то Заказать решение высшей математики будет решением исходного уравнения.

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их через Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. При этом

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Здесь возможны следующие случаи:

а) Корни характеристического уравнения действительны и различны.

В этом случае частными решениями будут функции Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. Общим решением уравнения будет Заказать решение высшей математики.

Заказ №65

Решить уравнение Заказать решение высшей математики.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид Заказать решение высшей математики. Корни характеристического уравнения: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Общее решение:

Заказать решение высшей математики.

б) Корни характеристического уравнения действительные и равные.

В этом случае мы имеем только одно частное решение Заказать решение высшей математики, т.к. Заказать решение высшей математики. При этом общее решение будет Заказать решение высшей математики.

Заказ №66

Решить уравнение Заказать решение высшей математики.

Решение:

Составим характеристическое уравнение Заказать решение высшей математики. Найдем его корни: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Общим решением будет функция

Заказать решение высшей математики.

в) Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как коэффициенты Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики характеристического уравнения действительные числа, то комплексные корни будут сопряженными. Причем,

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Общее решение в рассматриваемом случае имеет вид Заказать решение высшей математики.

Заказ №67

Найти частное решение уравнения Заказать решение высшей математики, удовлетворяющее начальным условиям Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Решение:

Составим характеристическое уравнение Заказать решение высшей математики. Найдем его корни Заказать решение высшей математики. Следовательно, общее решение есть

Заказать решение высшей математики. Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. На основании первого условия находим Заказать решение высшей математики, откуда Заказать решение высшей математики = 0. Заметив, что Заказать решение высшей математики, из второго условия получаем: Заказать решение высшей математики, т.е. Заказать решение высшей математики. Таким образом, искомое частное решение есть Заказать решение высшей математики.

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - действительные числа.

Общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения Заказать решение высшей математики этого уравнения и общего решения Заказать решение высшей математики соответствующего однородного уравнения, т.е. Заказать решение высшей математики.

Вид частного Заказать решение высшей математики решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения. Рассмотрим некоторые случаи.

а) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Если Заказать решение высшей математики, то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - неопределенные коэффициенты. Если Заказать решение высшей математики = 0, то частное решение Заказать решение высшей математики ищем в виде Заказать решение высшей математики = Заказать решение высшей математики, когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде Заказать решение высшей математики, когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если Заказать решение высшей математики - многочлен Заказать решение высшей математики произвольной степени.

Заказ №68

Решить уравнение Заказать решение высшей математики.

Имеем: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Так как ноль - однократный корень характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде Заказать решение высшей математики. Отсюда имеем: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Подставляем в исходное уравнение: Заказать решение высшей математики. Искомые коэффициенты будут: Заказать решение высшей математики = 1, Заказать решение высшей математики = -1.

Значит, частное решение будет Заказать решение высшей математики, а общее решение получается в виде Заказать решение высшей математики.

б) Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Частное решение ищем в виде Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - неопределенный коэффициент. Если Заказать решение высшей математики- корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде Заказать решение высшей математики, когда Заказать решение высшей математики - однократный корень, и в виде Заказать решение высшей математики, когда Заказать решение высшей математики - двукратный корень. Аналогично будет, если Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - многочлен.

Заказ №69

Решить уравнение Заказать решение высшей математики.

Решение:

Имеем: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Так как в характеристическом уравнении корень имеет кратность, равную двум, то частное решение данного уравнения ищем в виде Заказать решение высшей математики. Далее имеем:

Заказать решение высшей математики

в) Заказать решение высшей математики (а и b не нули одновременно). В этом случае частное решение Заказать решение высшей математики ищем также в форме тригонометрического двучлена Заказать решение высшей математики, где А и В - неопределенные коэффициенты.

В случае Заказать решение высшей математики = 0, Заказать решение высшей математики (или когда Заказать решение высшей математики - корни характеристического уравнения) частное решение исходного уравнения ищем в виде Заказать решение высшей математики.

Заказ №70

Решить уравнение Заказать решение высшей математики.

Решение:

Имеем: Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Так как Заказать решение высшей математики - корни характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде Заказать решение высшей математики. Далее имеем:

Заказать решение высшей математики

Для рассматриваемых дифференциальных уравнений справедлива так называемая теорема наложения, которая позволяет отыскивать частное решение в более сложных случаях.

Теорема. Если Заказать решение высшей математики является решением уравнения Заказать решение высшей математики, а Заказать решение высшей математики решением уравнения Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики есть решение уравнения Заказать решение высшей математики.

Заказ №71

Найти общее решение уравнения Заказать решение высшей математики.

Решение:

Характеристическое уравнение Заказать решение высшей математики имеет корни Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики. Находим частное решение Заказать решение высшей математики уравнения Заказать решение высшей математики в виде Заказать решение высшей математики, тогда Заказать решение высшей математики. Отсюда Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики.

Частное решение Заказать решение высшей математики уравнения Заказать решение высшей математики ищем в форме Заказать решение высшей математики.

Тогда Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Отсюда Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики.

Следовательно, Заказать решение высшей математики.

Наконец, находим частное решение Заказать решение высшей математики уравнения Заказать решение высшей математики в форме Заказать решение высшей математики, тогда Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Подставляя в уравнение, получим:

Заказать решение высшей математики. Отсюда имеем:

Заказать решение высшей математики. Значит Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики.

По теореме наложения частное решение исходного уравнения будет:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики, тогда общее решение запишется так: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

Этот метод применяется для отыскания частного решения Заказать решение высшей математики линейного неоднородного уравнения, когда известно общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Пусть дано линейное неоднородное уравнение второго порядка Заказать решение высшей математики и пусть общим решением соответствующего однородного уравнения Заказать решение высшей математики является функция Заказать решение высшей математики.

В такой же форме ищется и частное решение Заказать решение высшей математики линейного неоднородного уравнения, только Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики считаются не произвольными постоянными, а некоторыми, пока неизвестными функциями от Заказать решение высшей математики, т.е. полагаем, что Заказать решение высшей математики. Дифференцируя это выражение дважды и подставляя его в исходное уравнение, получим уравнение относительно Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Кроме того, в данном методе полагают, что Заказать решение высшей математики. Два последних уравнения образуют систему двух уравнений с двумя

неизвестными Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Интегрируя найденные значения, получим:Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. При этих значениях Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики получим частное решение Заказать решение высшей математики.

Заказ №72

Найти общее решение уравнения Заказать решение высшей математики.

Решение:

Характеристическое уравнение Заказать решение высшей математики + 4 = 0 имеет корни Заказать решение высшей математики. Значит, Заказать решение высшей математики. Будем искать частное решение в форме Заказать решение высшей математики находим, решая систему уравнений

Заказать решение высшей математики

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Интегрируя, находим: Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики, а общее решение

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Сведение системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные.

Решение системы, состоящей из нескольких уравнений с таким же числом неизвестных функций, можно привести к решению дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией.

Нормальная система уравнений:

Заказать решение высшей математики

как правило, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен порядку системы.

Заказ №73

Найти общее решение системы уравнений

Заказать решение высшей математики

Решение:

Продифференцировав первое уравнение по Заказать решение высшей математики, заменим производную Заказать решение высшей математики ее выражением из второго уравнения: Заказать решение высшей математики.

Продифференцировав полученное уравнение еще раз, заменим производную Заказать решение высшей математики ее выражением из третьего уравнения: Заказать решение высшей математики. Подставляя в последнее уравнение Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики, окончательно получим Заказать решение высшей математики. Решим это уравнение. Соответствующее ему характеристическое уравнение Заказать решение высшей математики имеет корни Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики. Функции Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики в соответствии с соотношениями Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики после дифференцирования полученного для Заказать решение высшей математики выражения имеют вид: Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики.

Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения

Пусть дана однородная система

Заказать решение высшей математики

где Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики - постоянные. Будем искать частные решения системы в виде Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики неопределенные коэффициенты, которые следует найти. Уравнение

Заказать решение высшей математики

называется характеристическим уравнением системы. Отыскав корни этого уравнения, и поочередно подставляя их в исходную систему, определим коэффициенты Заказать решение высшей математики.

Заказ №74

Найти общее решение системы

Заказать решение высшей математики

Решение:

Система в данном случае имеет вид: Заказать решение высшей математики

Характеристическое уравнение

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики имеет корни Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Для Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Решением этой системы будут, например, числа Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики (здесь Заказать решение высшей математики выбрано произвольно). Следовательно, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Для Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Решая эту систему, получим Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики; тогда Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Наконец, для Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Здесь можно положить Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики и будем иметь Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Общее решение данной системы дифференциальных уравнений таково:

Заказать решение высшей математики

Заказ №75

Решить систему

Заказать решение высшей математики

Решение:

Чаще системы дифференциальных уравнений записывают в виде: Заказать решение высшей математики Составим характеристическое уравнение

Заказать решение высшей математики и найдем его корни Заказать решение высшей математики. Так как эти корни комплексные, система уравнений будет иметь комплексные коэффициенты и даст комплексные значения для чисел Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики. В этом случае, учитывая возможность произвольного выбора Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики, целесообразно сразу положить Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики и, записав функцию Заказать решение высшей математики или, что то же самое, Заказать решение высшей математики, найти функцию Заказать решение высшей математики, используя первое уравнение системы: Заказать решение высшей математики. Для этого найдем Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики. Подставляя Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики в первое уравнение системы, получим Заказать решение высшей математики. Общим решением системы будет Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого - либо физического, химического или технического процесса, уравнение линии или поверхности.

При решении этих задач вначале составляется дифференциальное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его типа.

Заказ №76

Моторная лодка движется со скоростью 18 км/ч. Через 5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 6 км/ч. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решение:

Пусть Заказать решение высшей математики - масса лодки, Заказать решение высшей математики - путь, пройденный ею за время Заказать решение высшей математики отсчитываемое от момента выключения двигателя, Заказать решение высшей математики - скорость лодки в момент времени Заказать решение высшей математики Тогда, согласно второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения лодки будет

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Разделяя переменные и интегрируя, получим Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Исходя из начального условия Заказать решение высшей математики = 18 при Заказать решение высшей математики = 0, определяем значение постоянной Заказать решение высшей математики8.

Следовательно, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Найдем параметр Заказать решение высшей математики из условия, что через 5 мин = 1/12 ч скорость лодки стала 6 км/ч: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики.

Т. к. Заказать решение высшей математики, то Заказать решение высшей математики. Интегрируя, получим Заказать решение высшей математики.

Исходя из начального условия Заказать решение высшей математики = 0 при Заказать решение высшей математики = 0, определяем значение постоянной Заказать решение высшей математики. Следовательно, Заказать решение высшей математики.

За 15 мин = 1/4 ч лодка пройдет расстояние Заказать решение высшей математики км.

Ответ: Заказать решение высшей математики 1315 м.

Комплексные числа

Числовые поля

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел Заказать решение высшей математики: 1,2,3,4,5, ... Заказать решение высшей математики ...

В нем всегда выполнимы два основных (прямых) алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики, сумма их Заказать решение высшей математики а также произведение Заказать решение высшей математики являются непременно натуральными числами.

При этом соблюдаются следующие пять законов:

1) коммутативный (переместительный) закон сложения:

Заказать решение высшей математики

2) ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

Заказать решение высшей математики

3) коммутативный (переместительный) закон умножения:

Заказать решение высшей математики

4) ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

Заказать решение высшей математики

5) дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

Заказать решение высшей математики

Вычитание и деление в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате мы получим множество всех целых чисел Заказать решение высшей математики ...,-3,-2-1,0,1,2,3,...

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом.

Таким образом, множество Заказать решение высшей математики образует кольцо. Чтобы действие деления было всегда выполнимым, множество целых чисел расширили путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида Заказать решение высшей математики , где Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики - произвольные целые числа и Заказать решение высшей математики0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, поэтому рациональные числа - это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей..

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем.

Множество рациональных чисел является простейшим числовым полем.

Числа, которые можно представить, в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными (т. е. нерациональными).

Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных чисел ( Заказать решение высшей математики ).

Множество Заказать решение высшей математики образует поле. Заметьте, что множество иррациональных чисел поля не образует. Так, например, Заказать решение высшей математики.

Перед математикой встала задача: расширить поле действительных чисел путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором было бы выполнимо действие извлечения корней. Следовательно, расширенное поле должно содержать все действительные числа и в нем должно быть разрешимо уравнение Заказать решение высшей математики = - 1 ( т. е. выполнимо извлечение корней - обратное действие возведению в степень).

Число, квадрат которого равен - 1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей: Заказать решение высшей математики = -1

Новое поле должно содержать все числа вида Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики, a i-мнимая единица. Эти числа называются комплексными числами. Число а принято называть действительной частью, а выражение bi -мнимой частью комплексного числа. Число b называется коэффициентом при мнимой части.

Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях.

Другими словами, Заказать решение высшей математики тогда и только тогда, когда Заказать решение высшей математики. Для комплексных чисел соотношения «<», «>» не имеют смысла.

Действия с комлексными числами в алгебраической форме

1. Суммой двух комплексных чисел Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики называется комплексное число Заказать решение высшей математики: Заказать решение высшей математики

В поле комплексных чисел роль нуля играет число Заказать решение высшей математики

Для Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Числа a +bi и -а - bi называются противоположными.

2. Вычитание комплексных чисел: Заказать решение высшей математики

3. Умножение комплексных чисел: Заказать решение высшей математики.

4. Деление комплексных чисел.

Определение. Частным от деления комплексного числа Заказать решение высшей математики на комплексное число Заказать решение высшей математики называется такое комплексное число Заказать решение высшей математики, которое при умножении на Заказать решение высшей математики дает Заказать решение высшей математики.

Рассмотрим практический способ деления.

Комплексное число Заказать решение высшей математики называется сопряженным к комплексному числу Заказать решение высшей математики. Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное. Пусть нужно найти частное Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на число сопряженное знаменателю. В результате мы получим дробь, знаменатель которой будет действительным числом:

Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики

Степени мнимой единицы Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики; Заказать решение высшей математики и т. д.

Примеры:

1. Найти действительные числа Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики из уравнений:

a) Заказать решение высшей математики

b) Заказать решение высшей математики

2. Вычислить, a) Заказать решение высшей математики; б) Заказать решение высшей математики; в) Заказать решение высшей математики; r) Заказать решение высшей математики; д) Заказать решение высшей математики; e) Заказать решение высшей математики; ж) Заказать решение высшей математики з) Заказать решение высшей математики.

Решение алгебраических уравнений в поле комплексных чисел

Алгебраическое уравнение Заказать решение высшей математики-ой имеет вид:

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - неизвестная величина, Заказать решение высшей математики - заданные комплексные числа, причем Заказать решение высшей математики0. В 1799 г. выдающийся немецкий математик Гаусс (1777 - 1855) доказал основную теорему алгебры: любое алгебраическое уравнение Заказать решение высшей математики -й степени имеет ровно Заказать решение высшей математики комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

Заказ №77

Решить уравнения: 1. Заказать решение высшей математики+ 16=0; 2. Заказать решение высшей математики; 3. Заказать решение высшей математики

Решение:

1. Заказать решение высшей математики =-16, Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Отв. Заказать решение высшей математики

2. Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Отв. Заказать решение высшей математики

3. Заказать решение высшей математики Отв. Заказать решение высшей математики

Тригонометрическая форма комплексных чисел

Множество всех действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек числовой прямой.

Множество всех комплексных чисел находится во взаимном однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости. То есть, каждому комплексному числу Заказать решение высшей математики соответствует одна определенная точка на плоскости с координатами Заказать решение высшей математики и наоборот.

С каждой точкой плоскости Заказать решение высшей математики можно связать вектор Заказать решение высшей математики, выходящий из начала координат и оканчивающийся в точке А. Координаты вектора Заказать решение высшей математики при этом будут такими же, как и координаты точки А. Очевидно, множество всех комплексных чисел находится во взаимном однозначном соответствии с множеством всех векторов плоскости, выходящих из начала координат.

Пусть комплексному числу Заказать решение высшей математики соответствует вектор Заказать решение высшей математики с координатами Заказать решение высшей математики (см рис 32). Обозначим длину вектора Заказать решение высшей математики, а угол, который он образует с осью Заказать решение высшей математики, через Заказать решение высшей математики.

Заказать решение высшей математики

По определению синуса и косинуса: Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математикиЗаказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики. Комплексное число Заказать решение высшей математики можно записать в виде: Заказать решение высшей математики.

Итак, любое комплексное число Заказать решение высшей математики можно представить в тригонометрической форме:

Заказать решение высшей математики где Заказать решение высшей математики, а угол определяется из условия:

Заказать решение высшей математики или Заказать решение высшей математики.

Число Заказать решение высшей математики называется модулем Заказать решение высшей математики, а угол Заказать решение высшей математики - аргументом (argz) комплексного числа Заказать решение высшей математики.

Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Пусть даны два комплексных числа: Заказать решение высшей математики и Заказать решение высшей математики.

Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент - сумме их аргументов.

Заказать решение высшей математики

Теорема справедлива для любого числа сомножителей, т. е. при любом n. В частном случае, когда все сомножители равны между собой, получаем формулу Муавра:

Заказать решение высшей математики

Теорема 3. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.

Заказать решение высшей математики.

Справочный материал

Формулы сокращенного умножения:

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Действия со степенями.

1. Заказать решение высшей математики, 2. Заказать решение высшей математики, 3. Заказать решение высшей математики.

4. Заказать решение высшей математики, 5. Заказать решение высшей математики.

Определения. Заказать решение высшей математики=1, Заказать решение высшей математики, Заказать решение высшей математики.

Свойства арифметических корней (Заказать решение высшей математики)

Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики Заказать решение высшей математики

Разложение квадратного трехчлена на множители

Заказать решение высшей математики, где Заказать решение высшей математики - корни трехчлена

Заказать решение высшей математики

Возможно, вас также заинтересует: