Заказать решение по высшей математике

Если у вас нету времени на задания по высшей математики то вы всегда сможете написать мне онлайн и я вам помогу, но если у вас много свободного времени и желания, ниже я подготовила полный курс лекций по высшей математики с примерами решённых заказов, он вам поможет сделать самостоятельно задание на пятёрку!

 

 

Элементы линейной алгебры. Введение в математический анализ

 

Определители

 

Определителем (детерминантом) второго порядка называется число Заказать решение по высшей математике, определяемое равенством Заказать решение по высшей математике
Числа Заказать решение по высшей математике (i, j = 1,2) называются элементами определителя. Первый индекс i указывает номер строки, второй j - номер столбца. Строки и столбцы называют рядами определителя. Порядок определителя равен количеству его строк или столбцов.

Для вычисления определителя n-го порядка сформулируем теорему:

Определитель Заказать решение по высшей математике-го порядка равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения т. е.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - алгебраическое дополнение элемента Заказать решение по высшей математике. В частности,

Заказать решение по высшей математике

Алгебраическим дополнением Заказать решение по высшей математике элемента Заказать решение по высшей математике называется минор Заказать решение по высшей математике взятый со знаком «+», если сумма индексов - четное число и со знаком «-», если сумма индексов i и j - нечетное число, т.е Заказать решение по высшей математике

Минором Заказать решение по высшей математике элемента Заказать решение по высшей математике определителя Заказать решение по высшей математике- го порядка называется определитель Заказать решение по высшей математике -го порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания Заказать решение по высшей математике -ой строки и Заказать решение по высшей математике - го столбца.

 

 

Заказ №1

Вычислить определитель Заказать решение по высшей математике

Решение:

Разложим определитель по элементам первой строки, используя теорему

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Ответ: 18

Если определитель третьего порядка разложить по первой строке, то получим формулу:
Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Элементы Заказать решение по высшей математике образуют главную диагональ определителя, а элементы Заказать решение по высшей математике - побочную диагональ определителя. Чтобы запомнить эту формулу, прибегают к графическому ее изображению

Заказать решение по высшей математике Рис. 1

Такой метод вычисления определителя третьего порядка получил название правило «треугольников». При вычислении определителя со знаком «+» берутся произведения элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1а); со знаком «-» берутся произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников с основаниями, параллельными этой диагонали (рис. 1б).

 

Заказ №2

Вычислить определитель Заказать решение по высшей математике

Решение:

По правилу «треугольников» Заказать решение по высшей математике =27+8+1-6-6-6=18
Другой способ вычисления определителя третьего порядка - по правилу Саррюса. Для этого к определителю третьего порядка приписываются справа два первых столбца. Складывают произведения элементов со знаком «+» на диагоналях, параллельных главной, и со знаком «-» на диагоналях, параллельных побочной, т.е.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №3

Вычислить определитель Заказать решение по высшей математике

Решение:

По правилу Саррюса Заказать решение по высшей математике =27+8+1-6-6-6=18

 

 

Основные свойства определителей.

1. Величина определителя не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами.

2. Величина определителя меняет знак на противоположный при перестановке двух соседних параллельных рядов.

3. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя.

4. Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.

5. Величина определителя не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответственно элементы другого параллельного ряда, умноженные на произвольное число.

 

 

Заказ №4

Вычислить определитель:

Заказать решение по высшей математике

Решение:

Определитель четвертого порядка вычисляется разложением по элементам какого-либо ряда. Обычно выбирают ряд, у которого часть элементов равна нулю. Если нулевых элементов нет, то, используя 5-е свойство определителя, получают три нуля в каком-либо ряде.
Заказать решение по высшей математике =-12-12 + 8 + 12 = -4
Из второй строки вычли первую, предварительно умноженную на два; из четвертой строки вычли первую; разложили определитель по элементам первого столбца.

 

 

Матрицы. Операции над матрицами

 

Матрицей размера Заказать решение по высшей математике называется прямоугольная таблица из чисел Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

состоящая из Заказать решение по высшей математике строк и Заказать решение по высшей математике столбцов.

Элементы Заказать решение по высшей математике называются элементами матрицы; элемент Заказать решение по высшей математике расположен в Заказать решение по высшей математикей строке и в Заказать решение по высшей математике-м столбце данной матрицы; Заказать решение по высшей математике - число строк, Заказать решение по высшей математике - число столбцов.

Матрица размера Заказать решение по высшей математике1 называется столбцом, матрица размера 1Заказать решение по высшей математике -строкой.

Матрица размера Заказать решение по высшей математике называется квадратной матрицей порядка Заказать решение по высшей математике

Квадратная матрица называется:

а) треугольной, если все элементы по одну сторону от главной или побочной диагоналей равны нулю, например: Заказать решение по высшей математике;

б) диагональной, если для Заказать решение по высшей математике все Заказать решение по высшей математике = 0, т.е. Заказать решение по высшей математике;

в) единичной матрицей Е, на главной диагонали стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю.

Приведем пример единичной матрицы 3-го порядка:

Заказать решение по высшей математике

Для любой квадратной матрицы Заказать решение по высшей математике порядка Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

Квадратная матрица Заказать решение по высшей математике называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю Заказать решение по высшей математике

Квадратная матрица Заказать решение по высшей математике называется вырожденной, если ее определитель равен нулю Заказать решение по высшей математике.

Матрица Заказать решение по высшей математике называется обратной к невырожденной матрице Заказать решение по высшей математике, если

Заказать решение по высшей математике

Если в матрице Заказать решение по высшей математике заменить строки соответствующими столбцами, то получится транспонированная матрица Заказать решение по высшей математике

Квадратная матрица Заказать решение по высшей математике называется симметрической, если Заказать решение по высшей математике

Матрица Заказать решение по высшей математике элементами которой являются алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы Заказать решение по высшей математике, называется присоединенной к матрице Заказать решение по высшей математике.

Обратную матрицу можно найти с помощью присоединенной матрицы:

Заказать решение по высшей математике

Для матрицы Заказать решение по высшей математике размера 3x3: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.
Нулевой называется матрица, все элементы которой равны нулю.

Операции над матрицами:

1. Две матрицы Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике размера Заказать решение по высшей математике равны тогда и только тогда, когда Заказать решение по высшей математике для всех Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике

2. Суммой Заказать решение по высшей математике + Заказать решение по высшей математике двух матриц Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике размера Заказать решение по высшей математике называется матрица Заказать решение по высшей математике того же размера, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матрицы Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математике

3. Произведением Заказать решение по высшей математике матрицы Заказать решение по высшей математике размера Заказать решение по высшей математике на число Заказать решение по высшей математике называется матрица Заказать решение по высшей математике того же размера, получающаяся из матрицы Заказать решение по высшей математике умножением всех ее элементов на число Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

4. Произведением Заказать решение по высшей математике матрицы Заказать решение по высшей математике размера Заказать решение по высшей математике на матрицу Заказать решение по высшей математике размера Заказать решение по высшей математике называется матрица Заказать решение по высшей математике размера Заказать решение по высшей математике элемент которой Заказать решение по высшей математике равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы Заказать решение по высшей математике и j-го столбца матрицы Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике

В каждом произведении матриц Заказать решение по высшей математике число Заказать решение по высшей математике столбцов матрицы Заказать решение по высшей математике должно равняться числу строк матрицы Заказать решение по высшей математике

Максимальный порядок Заказать решение по высшей математике отличного от нуля миноров матрицы Заказать решение по высшей математике называется ее рангом (rang А).

Приведем два способа вычисления ранга матрицы.

1. Используется для матрицы малых размеров. Выбирается произвольно какой-либо минор второго порядка матрицы. Если он отличен от нуля, то выбирается минор третьего порядка, в который входит выбранный ранее минор второго порядка и т. д. Этот метод называется методом окаймляющих миноров.

2. С помощью элементарных преобразований приводят матрицу к треугольному виду.

Элементарные операции над строками (столбцами) матрицы не меняют ее ранга:

1. Перестановка строк (столбцов) местами.

2. Умножение любой строки (столбца) на число, отличное от нуля.

3. Прибавление к одной строке (столбца) другой, умноженной на число.

4. Вычеркивание нулевой строки (столбца).

 

 

Системы линейных уравнений. Определения

 

Систему уравнений вида

Заказать решение по высшей математике (1)

называют системой Заказать решение по высшей математике линейных уравнении с Заказать решение по высшей математике неизвестными. Заказать решение по высшей математике называют коэффициентами этих уравнений, которые записываются в виде матрицы (матрица системы):

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Числа, стоящие в правых частях уравнений, обозначают столбцом Заказать решение по высшей математике называемым столбцом свободных членов.

Матрица системы, дополненная справа столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Нашу систему уравнений можно записать в матричной форме Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Если все свободные члены равны нулю, то систему называют однородной.

Совокупность Заказать решение по высшей математике чисел Заказать решение по высшей математике называется решением системы (1), если каждое ее уравнение обращается в числовое равенство после подстановки в него чисел Заказать решение по высшей математике вместо соответствующих неизвестных Заказать решение по высшей математике для всех Заказать решение по высшей математике = 1,...,Заказать решение по высшей математике

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а не имеющая - несовместной.

Решение называется тривиальным, если нулевой вектор Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике является решением системы.

 

 

Решение систем линейных уравнений с неизвестными с помощью формул Крамера

 

Для простоты рассмотрим систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными: Заказать решение по высшей математике

Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется главным и обозначается символом Заказать решение по высшей математике, т.е.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Вспомогательные определители системы для вычисления переменных Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Нетрудно увидеть закономерность при составлении вспомогательных определителей!

Теорема Крамера. 1)Если главный определитель системы не равен нулю, то система имеет единственное решение. Это решение находится по формулам Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

2) Если главный определитель системы равен нулю, а хотя бы один из вспомогательных определителей не равен нулю, то такая система не имеет решения (несовместна).

3) Если главный определитель системы равен нулю и все вспомогательные определители равны нулю т. е. Заказать решение по высшей математике то такая система имеет бесчисленное множество решений.

 

 

Заказ №5

Решить систему уравнений

Заказать решение по высшей математике

Решение:

По теореме Крамера имеем Заказать решение по высшей математике =Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике= 0 + 2 + 10 -(-1 + 15 + 0) =-2Заказать решение по высшей математике0.

Определитель матрицы системы отличен от нуля. Следовательно, по теореме Крамера система имеет единственное решение. Найдем вспомогательные определители системы:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике =0-6+30-(3+25+0)=24-28=-4;

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике =0+5-6-(6-9+0)=-1+3=2

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике =9+12+50-(-5+90-12)=71-73=-2

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике =2, Заказать решение по высшей математике =-1, Заказать решение по высшей математике = 1.

Если определитель Заказать решение по высшей математике однородной системы не равен нулю Заказать решение по высшей математике, то эта система имеет только тривиальное решение.

Если однородная система уравнений имеет нетривиальное решение, то ее определитель Заказать решение по высшей математике равен нулю.

Решение двух однородных линейных уравнений с тремя неизвестными

Заказать решение по высшей математике

когда хотя бы один из миноров 2-го порядка отличен от нуля удобно искать по формулам:

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - произвольное число.

 

 

Теорема Кронекера - Капелли

 

Неоднородная система линейных уравнений совместна тогда, и только тогда, когда ранг матрицы системы Заказать решение по высшей математике равен рангу расширенной матрицы системы Заказать решение по высшей математике

Следствие. Если ранг матрицы Заказать решение по высшей математике не равен рангу матрицы Заказать решение по высшей математике, то система не имеет решений (она несовместна).

 

 

Заказ №6

Определить совместны ли системы:

а) Заказать решение по высшей математике б) Заказать решение по высшей математике

Решение:

а) Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике=-2Заказать решение по высшей математике0 Заказать решение по высшей математике система совместна, т.к. rang А = rang В.

б) Заказать решение по высшей математике=0.

Найдем ранг матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом вычеркиваем нулевую строку:

Заказать решение по высшей математике(1 1) Заказать решение по высшей математике rang А=1.

Найдем ранг расширенной матрицы. Вычитаем из второй строки первую, а потом переставляем 2-й и 3-й столбцы местами:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике rang В=2.

Так как Заказать решение по высшей математике то система несовместна.

Ответ: а) система совместна, б) система несовместна.

 

 

Метод последовательных исключений Жордана - Гаусса

 

С помощью элементарных преобразований строк расширенная матрица системы приводится к треугольному виду. Обычно нули получают ниже главной диагонали.

При решении методом Жордана - Гаусса системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными после приведения расширенной матрицы системы к треугольному виду получится:

а) Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике (система будет иметь единственное решение);

б) Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике (система будет несовместной);

в) Заказать решение по высшей математике (система будет иметь множество решений).

Пример решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Жордана - Гаусса смотри ниже в разделе: «Решение типовых задач контрольной работы №1». Этот метод позволяет решать систему линейных уравнений с различным количеством уравнений и неизвестных.

 

 

 

Векторная алгебра. Основные понятия и определения

 

Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом Заказать решение по высшей математике (Заказать решение по высшей математике - точка начала, Заказать решение по высшей математике - точка конца вектора), либо Заказать решение по высшей математике. В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.

Заказать решение по высшей математике

2. Длиной (модулем) вектора Заказать решение по высшей математике называется длина отрезка Заказать решение по высшей математике. Модуль вектора обозначается Заказать решение по высшей математике.

3. Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор Заказать решение по высшей математике направления вектора Заказать решение по высшей математике называется ортом вектора Заказать решение по высшей математике и определяется по формуле Заказать решение по высшей математике

4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают Заказать решение по высшей математике; любое направление можно считать направлением нулевого вектора. 5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: Заказать решение по высшей математике. Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике является существование такого числа Заказать решение по высшей математике, что Заказать решение по высшей математике.

6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.

7. Вектор Заказать решение по высшей математике называется противоположным вектору Заказать решение по высшей математике, если модули их равны, а направления противоположны.

8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.

9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике
Рис. 1 Рис. 2.

При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).

Заказать решение по высшей математике Рис. 3.

При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).

Заказать решение по высшей математике
Рис. 4.

10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).

Заказать решение по высшей математике Рис. 5

Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.

Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).

Заказать решение по высшей математике
Рис. 6

11. Произведением вектора Заказать решение по высшей математике на число Заказать решение по высшей математике называется вектор Заказать решение по высшей математике, который имеет:

модуль, равный Заказать решение по высшей математике;

направление, одинаковое с Заказать решение по высшей математике, если Заказать решение по высшей математике.

направление, противоположное с Заказать решение по высшей математике, если Заказать решение по высшей математике

12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:

Заказать решение по высшей математике переместительный: Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике сочетательный: Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике распределительный: Заказать решение по высшей математике

 

 

Проекция вектора на ось

 

1. Векторной проекцией вектора Заказать решение по высшей математике на ось Заказать решение по высшей математике называется вектор Заказать решение по высшей математике (рис. 7).

Проекция считается положительной, если вектор Заказать решение по высшей математике направлен также, как и ось Заказать решение по высшей математике,

и отрицательной, если направление оси и Заказать решение по высшей математике противоположны.

Заказать решение по высшей математике
Рис. 7.

2. Скалярной проекцией вектора Заказать решение по высшей математике на ось Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике называется скаляр, абсолютная величина которого равна модулю векторной проекции того же вектора на ту же ось.

3. Основные свойства скалярных проекций:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - угол между вектором Заказать решение по высшей математике и осью Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

4. Если ось Заказать решение по высшей математике заменить некоторым вектором Заказать решение по высшей математике, то можно говорить о проекции вектора на вектор Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - угол между Заказать решение по высшей математике и
Заказать решение по высшей математике.

 

 

Действия над векторами, заданными координатами

 

Декартовой системой координат в пространстве называется совокупность точки и базиса.

Точка называется началом координат или полюсом. Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, - осями координат. Первая прямая - осью абсцисс, вторая - осью ординат, третья -осью аппликат. Плоскости, проходящие через оси координат, называются координатными плоскостями.

Вектором Заказать решение по высшей математике, начало которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке Заказать решение по высшей математике называется радиус-вектором точки Заказать решение по высшей математике

Базис называется ортонормированным, если его векторы попарно ортогональны (перпендикулярны) и по длине равны единице. Декартова система координат, базис которой ортонормирован, называется декартовой прямоугольной системой координат

1. Если задана тройка попарно перпендикулярных единичных векторов, то каждый вектор пространства можно единственным способом разложить по векторам Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике Числа Заказать решение по высшей математике называют координатами вектора Заказать решение по высшей математике в базисе Заказать решение по высшей математике и обозначают Заказать решение по высшей математике

Теорема. Декартовы прямоугольные координаты Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике вектора Заказать решение по высшей математике равны проекциям этого вектора на оси Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике соответственно.

На рис.8 Заказать решение по высшей математике - углы наклона вектора Заказать решение по высшей математике к осям Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике соответственно.

Заказать решение по высшей математике
Рис. 8

2. Длина вектора Заказать решение по высшей математике

3. Направляющие косинусы вектора Заказать решение по высшей математике (Рис. 8).

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике.

Возведем в квадрат три равенства и, складывая их, получим:

Заказать решение по высшей математике

т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице

4. Орт вектора Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике

5. Пусть даны векторы Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике координаты алгебраической суммы векторов равны алгебраической сумме соответствующих координат слагаемых.

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующей координаты на это число.

6. Пусть даны точки Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. Чтобы найти координаты (компоненты) вектора Заказать решение по высшей математике, нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала: Заказать решение по высшей математике.

Расстояние между двумя точками: Заказать решение по высшей математике

7. Если Заказать решение по высшей математике то Заказать решение по высшей математике (Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны).

 


Скалярное произведение двух векторов

 

Возможны две операции умножения двух векторов. Одна дает в результате скаляр (число) и поэтому называется скалярным произведением. Другая дает в результате вектор - векторное произведение.

Определение. Скалярным произведением двух векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике называется произведение их модулей на косинус угла между ними.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Из определения следует:

1) если Заказать решение по высшей математике - острый угол, то Заказать решение по высшей математике

2) если Заказать решение по высшей математике - тупой угол, то Заказать решение по высшей математике

3) если Заказать решение по высшей математике = 90°, то Заказать решение по высшей математике

Справедливы и обратные утверждения.

Физический смысл скалярного произведения

Работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению силы на вектор перемещения: Заказать решение по высшей математике

 

 

Законы и свойства скалярного произведения

 

1. Заказать решение по высшей математике (переместительный);

2. Заказать решение по высшей математике (распределительный);

3. Заказать решение по высшей математике (сочетательный);

4. Заказать решение по высшей математике;

5. Заказать решение по высшей математике - скалярное произведение равно произведению модуля одного вектора на проекцию другого вектора на первый.

 

 

Скалярное произведение в координатах

 

Пусть два вектора Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике разложены по ортам: Заказать решение по высшей математике

Тогда: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике т. к.

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

Итак, скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующий проекций:

Заказать решение по высшей математике

 

 

Применение формул скалярного произведения

 

Вычисление угла между векторами

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Вычисление проекции одного вектора на другой:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Аналогично: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Вычисление работы силы Заказать решение по высшей математике на перемещении Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике

Условие перпендикулярности двух векторов Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №7

Заказать решение по высшей математике - единичные векторы, составляющие соответственно с осью Заказать решение по высшей математике углы 45°, 60°, 120°. Вычислить проекцию вектора Заказать решение по высшей математике, на ось Заказать решение по высшей математике.

Решение:

В соответствии со свойствами проекций имеем:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике
Ответ: -2.

 

 

Заказ №8

Определить, при каких значениях Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике векторы Заказать решение по высшей математике коллинеарны? В ответе записать Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Если существует такое число Заказать решение по высшей математике, что Заказать решение по высшей математике, то векторы коллинеарны: Заказать решение по высшей математике. У равных векторов равны соответствующие координаты, следовательно

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Второй способ решения. Если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны т. е.

Заказать решение по высшей математике.

Ответ: 3.

 

 

Заказ №9

ВычислитьЗаказать решение по высшей математике, если Заказать решение по высшей математике = (1;0;-3), Заказать решение по высшей математике = (1;3;2).
Решение:

1) Находим координаты векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математике = (2;6;4), Заказать решение по высшей математике = (1+2; 0+6; -3+4) = (3;6;1)

2) Находим длину вектора Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Ответ: 46.

 

 

Заказ №10

Вычислить Заказать решение по высшей математике, если Заказать решение по высшей математике=3, Заказать решение по высшей математике=4, угол Заказать решение по высшей математике. В ответезапишите квадрат длины вектора Заказать решение по высшей математике.

Решение:

1)

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: 37.

 

 

Заказ №11

Вычислите работу силы Заказать решение по высшей математике = (1,2,-3), если ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из точки Заказать решение по высшей математике = (-1,2,3) в точку Заказать решение по высшей математике = (2,3,8).

Решение:

Пусть Заказать решение по высшей математике.

Тогда Заказать решение по высшей математике

Так как Заказать решение по высшей математике= ((2 - (-1)); 3 - 2; 8-3) = (3,1,5)

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике = 1•3 + 1• (-2) + 5•3 = 16

Ответ: 16.

 

 

Полярная система координат

 

Полярная система координат определена, если задана точка Заказать решение по высшей математике, называемая полюсом, и исходящий из полюса луч Заказать решение по высшей математике который называют полярной осью.

Положение точки Заказать решение по высшей математике фиксируется двумя числами: радиус-вектором Заказать решение по высшей математике и углом Заказать решение по высшей математике между полярной осью и вектором Заказать решение по высшей математике (рис. 6). Угол Заказать решение по высшей математике называют полярным углом. Он измеряется в радианах и отсчитывается от полярной оси против часовой стрелки. Пара чисел Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике представляет собой полярные координаты одной и той же точки.

Заказать решение по высшей математике
Рис. 6

Переход от декартовых координат к полярным осуществляется по формулам

Заказать решение по высшей математике

В пространстве обобщением полярных координат являются цилиндрические и сферические системы координат.

 

 

Цилиндрическая система координат

 

Цилиндрические координаты точки Заказать решение по высшей математике - это три числа Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - полярные координаты точки Заказать решение по высшей математике a Заказать решение по высшей математике - компоненты вектора Заказать решение по высшей математике по вектору Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике -плоскость, в которой расположена полярная система координат (рис. 7).

Заказать решение по высшей математике
Рис. 7

Переход от декартовых координат к цилиндрическим осуществляется по формулам:

Заказать решение по высшей математике

 

 

Сферическая система координат

 

Заказать решение по высшей математике

Рис. 8

Сферические координаты точки Заказать решение по высшей математике- это три числа Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - радиус-вектор точки Заказать решение по высшей математике так же, как и для цилиндрической системы координат, Заказать решение по высшей математике - угол между вектором Заказать решение по высшей математике и нормалью Заказать решение по высшей математике плоскости Заказать решение по высшей математике (рис. 8). Переход от декартовых координат к сферическим осуществляется по формулам Заказать решение по высшей математике

 

 

Векторное произведение векторов

 

Три вектора называются упорядоченной тройкой (или просто тройкой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым и какой - третьим.

Тройка некомпланарных векторов Заказать решение по высшей математике называется правой (левой), если выполнено условие: находясь внутри телесного угла, образованного приведением к общему началу векторами Заказать решение по высшей математике мы видим поворот от Заказать решение по высшей математике к Заказать решение по высшей математике и от него к Заказать решение по высшей математике, совершающийся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

Декартова система координат называется правой (левой), если три базисных вектора образуют правую (левую) тройку.

В дальнейшем мы будем рассматривать только правые системы координат.

Векторным произведением вектора Заказать решение по высшей математике на вектор Заказать решение по высшей математике называется вектор Заказать решение по высшей математике, обозначаемый Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике и отвечающий следующими требованиям:

1) длина вектора Заказать решение по высшей математике равна произведению длин векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике на синус угла Заказать решение по высшей математике между ними: Заказать решение по высшей математике, причем Заказать решение по высшей математике

2) вектор Заказать решение по высшей математике ортогонален к каждому из векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике;

3) вектор Заказать решение по высшей математике направлен так, что тройка векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике является правой.

Геометрические свойства векторного произведения:

1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

2. Длина (модуль) векторного произведения Заказать решение по высшей математике равняется площади параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Алгебраические свойства векторного произведения:

1) Заказать решение по высшей математике,

2) Заказать решение по высшей математике,

3) Заказать решение по высшей математике,

4) Заказать решение по высшей математике = 0.

 

 

Смешанное произведение трех векторов

 

Если вектор Заказать решение по высшей математике векторно умножается на вектор Заказать решение по высшей математике, а затем получившийся при этом вектор Заказать решение по высшей математике скалярно умножается на вектор Заказать решение по высшей математике, то в результате получается число Заказать решение по высшей математике, называемое смешанным произведением векторов Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Геометрическое свойство смешанного произведения

Смешанное произведение Заказать решение по высшей математике равно объему параллелепипеда, построенного на приведенных к общему началу векторах Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике, взятому со знаком плюс, если тройка Заказать решение по высшей математике правая, и со знаком минус, если тройка Заказать решение по высшей математике левая.

Свойства смешанного произведения:

1) знаки операций «крест» и «точка» можно менять местами:

Заказать решение по высшей математике;

2) необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения;

3) смешанное произведение трех векторов, два из которых совпадают, равно нулю;

4) от перестановки двух сомножителей смешанное произведение меняет знак:

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Векторное и смешанное произведения в декартовых координатах

 

Теорема 1. Если два вектора Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике определены своими декартовыми прямоугольными координатами Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, то

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Следствие. Если два вектора Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике коллинеарны, то координаты их пропорциональны, т.е. Заказать решение по высшей математике.

Иногда в знаменателях могут стоять нули. Чтобы избежать этого, мы будем понимать пропорции Заказать решение по высшей математике в смысле Заказать решение по высшей математике

Теорема 2. Если три вектора Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике определены декартовыми прямоугольными координатами Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и

Заказать решение по высшей математике, то смешанное произведение Заказать решение по высшей математике равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т.е.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Следствие. Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике является равенство нулю определителя

Заказать решение по высшей математике =0

10.1. Если вектор Заказать решение по высшей математике векторно умножается на вектор Заказать решение по высшей математике, а вектор Заказать решение по высшей математике также векторно умножается на векторное произведение Заказать решение по высшей математике, то получившийся при этом вектор Заказать решение по высшей математике называется двойным векторным произведением.

Теорема. Для любых векторов Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике справедлива формула

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике.

Для запоминания этой формулы удобно правило: двойное векторное произведение равно среднему вектору, умноженному на скалярное произведение двух остальных, минус другой вектор внутреннего произведения, умноженный на скалярное произведение двух остальных.

 

 

 

Уравнение линии на плоскости. Уравнения поверхности и линии в пространстве

 

Общее понятие об уравнениях

 

Алгебраической поверхностью (линией) называется множество, которое в какой-нибудь декартовой системе координат может быть задано уравнениями поверхности (1) и линии (2):

Заказать решение по высшей математике; (1)

Заказать решение по высшей математике, (2)

где все показатели степени - целые неотрицательные числа, а наибольшая из сумм Заказать решение по высшей математике для поверхности и Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике для линии называется степенью уравнения, или порядком поверхности (линии).

Всякая неалгебраическая линия (поверхность) называется трансцендентной.

Теорема. Если поверхность (линия) в некоторой декартовой системе координат может быть задана уравнением вида (1) или (2), то и в любой другой декартовой системе координат она может быть задана уравнением того же вида, имеющим ту же степень. То есть порядок алгебраической линии (поверхности) является инвариантным.

Инвариантом называется всякая величина, не меняющаяся при изменении системы координат.

Представим себе, что линия - это траектория движущейся точки. В каждый момент времени Заказать решение по высшей математике нам известно положение точки, т.е. ее координаты относительно выбранной заранее системы координат. Тогда мы приходим к параметрическим уравнениям линии

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - параметр.

По аналогии параметрические уравнения поверхности имеют вид

Заказать решение по высшей математике

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по высшей математике

 

 

Различные виды уравнения прямой на плоскости

 

1) Уравнение вида Заказать решение по высшей математике с произвольными коэффициентами Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике такими, что Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике не равны одновременно нулю, называется общим уравнением прямой.

Общее уравнение прямой называется полным, если все его коэффициенты Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

a) Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет прямую, проходящую через начало координат.

b) Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет прямую, параллельную оси Заказать решение по высшей математике

c) Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет прямую, параллельную оси Заказать решение по высшей математике

2) Полное уравнение прямой может быть приведено к уравнению прямой «в отрезках» на осях

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - это отрезки, отсекаемые прямой на осях Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой.

3) Уравнение прямой, проходящей через точку Заказать решение по высшей математике перпендикулярно вектору Заказать решение по высшей математике, имеет вид

Заказать решение по высшей математике

4) Уравнение прямой, проходящей через две точки Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, имеет вид:

Заказать решение по высшей математике.

5) Каноническим уравнением прямой называют уравнение вида

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике - координаты точки, принадлежащей прямой; Заказать решение по высшей математике -координаты направляющего (параллельного прямой) вектора.

6) Из канонического уравнения прямой можно элементарно получить параметрические уравнения прямой. Примем за параметр Заказать решение по высшей математике величину, стоящую в левой и в правой частях канонического уравнения прямой, тогда:

Заказать решение по высшей математике - параметрические уравнения прямой.

Параметрические уравнения прямой имеют наглядную физическую интерпретацию. Если считать, что параметр Заказать решение по высшей математике - это время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то параметрические уравнения определяют закон движения материальной точки по прямой линии с постоянной скоростью Заказать решение по высшей математике

7) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Заказать решение по высшей математике и имеющей угловой коэффициент Заказать решение по высшей математике имеет вид:

Заказать решение по высшей математике

Угловым коэффициентом называют тангенс угла наклона прямой к оси Заказать решение по высшей математике

8) Уравнение вида Заказать решение по высшей математике называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.

9) Уравнение вида Заказать решение по высшей математике называют нормированным уравнением прямой, где Заказать решение по высшей математике- угол между нормальным вектором прямой и осью Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике - расстояние от начала координат до прямой.

Отклонение Заказать решение по высшей математике произвольной точки Заказать решение по высшей математике от прямой определяется:

Заказать решение по высшей математике

Чтобы вычислить расстояние Заказать решение по высшей математике от точки Заказать решение по высшей математике до прямой, достаточно вычислить отклонение Заказать решение по высшей математике.

Расстояние от точки Заказать решение по высшей математике до прямой Заказать решение по высшей математике заданной общим уравнением, вычисляется по формуле Заказать решение по высшей математике

Чтобы привести общее уравнение прямой к нормированному виду, нужно все члены этого уравнения умножить на нормирующий множитель

Заказать решение по высшей математике

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свободного члена общего уравнения прямой.

10) Уравнение вида Заказать решение по высшей математике называется полярным уравнением прямой,

где Заказать решение по высшей математике - расстояние от полюса до прямой; Заказать решение по высшей математике - угол между нормалью прямой и полярной осью.

Совокупность прямых, проходящих через некоторую точку Заказать решение по высшей математике называют пучком прямых с центром в точке Заказать решение по высшей математике

11) Уравнение пучка прямых имеет вид

Заказать решение по высшей математике где а, р - любые числа, не равные одновременно нулю.

12) Векторное уравнение прямой имеет вид

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике - нормальный вектор прямой; Заказать решение по высшей математике - радиус вектор точки Заказать решение по высшей математике принадлежащей прямой; Заказать решение по высшей математике - радиус вектор произвольной точки Заказать решение по высшей математике принадлежащей прямой.

 

 

Определение угла между прямыми

 

Угол Заказать решение по высшей математике отсчитанный против хода часовой стрелки от прямой Заказать решение по высшей математике до прямой Заказать решение по высшей математике определяется формулой: Заказать решение по высшей математике.

Для прямых, заданных в общем виде Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике угол определяется формулой: Заказать решение по высшей математике.

Условие параллельности двух прямых Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике, условие перпендикулярности Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике

 

 

Различные виды уравнения плоскости

 

1) Уравнением плоскости, проходящей через точку Заказать решение по высшей математике перпендикулярно вектору Заказать решение по высшей математике, называют уравнение вида

Заказать решение по высшей математике

2) Общее уравнение плоскости в прямоугольной системе координат имеет вид

Заказать решение по высшей математике

Общее уравнение называют полным, если все его коэффициенты Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике отличны от нуля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен нулю, уравнение называется неполным.

1. Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, проходящую через начало координат.

2. Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, параллельную оси Заказать решение по высшей математике

3. Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, параллельную оси Заказать решение по высшей математике

4. Если Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, параллельную оси Заказать решение по высшей математике

5. Если Заказать решение по высшей математике = 0 и Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, параллельную плоскости Заказать решение по высшей математике

6. Если Заказать решение по высшей математике = 0 и Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, параллельную плоскости Заказать решение по высшей математике

7. Если Заказать решение по высшей математике = 0 и Заказать решение по высшей математике = 0, то уравнение Заказать решение по высшей математике определяет плоскость, параллельную плоскости Заказать решение по высшей математике

3) Полное уравнение плоскости может быть приведено к уравнению плоскости «в отрезках» на осях

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - отрезки, отсекаемые плоскостью на осях Заказать решение по высшей математике соответственно.

4) Уравнение плоскости, проходящей через три точки Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике имеет вид

Заказать решение по высшей математике.

Уравнение представляет собой условие компланарности векторов Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике , где точка Заказать решение по высшей математике - произвольная точка на искомой плоскости.

5) Нормированное уравнение плоскости имеет вид

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - единичный нормальный вектор искомой плоскости;

Заказать решение по высшей математике - расстояние от плоскости до начала координат.

Подставив координаты произвольной точки Заказать решение по высшей математике в нормированное уравнение, найдем отклонение Заказать решение по высшей математике точки от плоскости:

Заказать решение по высшей математике

Тогда расстояние от точки Заказать решение по высшей математике до плоскости равно Заказать решение по высшей математике.

Если плоскость задана в общем виде, то расстояние от точки Заказать решение по высшей математике до плоскости определяется уравнением

Заказать решение по высшей математике

6) Векторное уравнение плоскости определяется скалярным произведением:

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - нормальный вектор; Заказать решение по высшей математике - радиус-вектор точки Заказать решение по высшей математике принадлежащей плоскости; Заказать решение по высшей математике - радиус-вектор любой точки плоскости.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую Заказать решение по высшей математике называется пучком плоскостей с центром Заказать решение по высшей математике.

7) Уравнение пучка всех плоскостей, проходящих через линию Заказать решение по высшей математике, имеет вид

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - любые числа, не равные одновременно нулю.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же точку Заказать решение по высшей математике, называется связкой плоскостей с центром в точке Заказать решение по высшей математике

8) Уравнение связки плоскостей с центром в точке Заказать решение по высшей математике имеет вид

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - любые числа, не равные одновременно нулю.

 

 

Угол между плоскостями

 

Если даны две плоскости, заданные общими уравнениями Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике то определение угла между указанными плоскостями сводится к определению угла Заказать решение по высшей математике между их нормальными векторами Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. Из определения скалярного произведения следует

Заказать решение по высшей математике

Тогда условие параллельности двух плоскостей эквивалентно условию коллинеарности нормальных векторов этих плоскостей. По определению два вектора коллинеарны, если их компоненты пропорциональны:

Заказать решение по высшей математике.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

Заказать решение по высшей математике

т.е. равенство нулю скалярного произведения нормальных векторов.

 

 

Прямая линия в пространстве

 

1) Канонические уравнения прямой имеют вид

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике - координаты точки, принадлежащей прямой; Заказать решение по высшей математике - направляющий вектор прямой.

2) Из канонических уравнений можно легко получить уравнения прямой в проекциях

Заказать решение по высшей математике

3) Уравнения прямой, проходящей через различные две точки Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике имеют вид

Заказать решение по высшей математике.

4) Параметрические уравнения прямой получаются из канонических, если принять за Заказать решение по высшей математике каждое из соотношений

Заказать решение по высшей математике

5) Общие уравнения прямой (пересечение двух плоскостей) имеет вид

Заказать решение по высшей математике

6) Векторное уравнение прямой имеет вид Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике - направляющий вектор прямой; Заказать решение по высшей математике - радиус-вектор точки Заказать решение по высшей математике принадлежащей прямой; Заказать решение по высшей математике - радиус-вектор произвольной точки Заказать решение по высшей математике принадлежащей прямой.

Определение угла между прямыми в пространстве сводится к определению угла между направляющими векторами этих прямых. Если Заказать решение по высшей математике - направляющие векторы, то

Заказать решение по высшей математике.

Тогда условие параллельности прямых сводится к условию параллельности направляющих векторов:

Заказать решение по высшей математике .

Условие перпендикулярности:

Заказать решение по высшей математике

Определение угла между прямой и плоскостью сводится к определению угла между направляющим вектором прямой и нормальным вектором плоскости. Если Заказать решение по высшей математике - направляющий вектор прямой, Заказать решение по высшей математике - нормальный вектор плоскости, то

Заказать решение по высшей математике.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать контрольную по высшей математике

 

 

Кривые второго порядка. Введение

 

Пусть задана кривая, определяемая уравнением второй степени

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике- действительные числа; Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике одновременно не равны нулю. Эта кривая называется кривой второго порядка.

Приведем еще одно определение кривой второго порядка.

Геометрическое место точек плоскости, для которых отношение их расстояний до заданной точки, называемой фокусом, и до заданной прямой, называемой директрисой, есть величина постоянная, равная Заказать решение по высшей математике является кривой 2-го порядка с эксцентриситетом, равным Заказать решение по высшей математике. Если Заказать решение по высшей математике < 1, то кривая второго порядка - эллипс; Заказать решение по высшей математике= 1 - парабола; Заказать решение по высшей математике> 1 - гипербола.

 

 

Эллипс

 

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Заказать решение по высшей математике

Если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.

Каноническое уравнение эллипса: Заказать решение по высшей математике

Если Заказать решение по высшей математике то эллипс расположен вдоль оси Заказать решение по высшей математике если Заказать решение по высшей математике то эллипс расположен вдоль оси Заказать решение по высшей математике (рис. 9а, 9б).

Если Заказать решение по высшей математике то, сделав замену Заказать решение по высшей математике перейдем в «штрихованную» систему координат, в которой уравнение будет иметь канонический вид:

Заказать решение по высшей математике.

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение эллипса имеет канонический вид, называется канонической.

Точки пересечения эллипса с осями координат называются вершинами эллипса. Расстояния от начала координат до вершин Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике называются соответственно большой и малой полуосями эллипса.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Рис. 9

Центр симметрии эллипса, совпадающий с началом координат, называется центром эллипса.

Если Заказать решение по высшей математике - расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов, то Заказать решение по высшей математике

Отношение Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике < 1 называется эксцентриситетом эллипса.

Расстояние от произвольной точки Заказать решение по высшей математике лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы, т.е. Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в каноническом системе имеют вид Заказать решение по высшей математике

 

 

Гипербола

 

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная Заказать решение по высшей математике (рис. 10).

Декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение гиперболы имеет канонический вид, называется канонической. Каноническое уравнение гиперболы:

Заказать решение по высшей математике.

Ось абсцисс канонической системы пересекает гиперболу в точках, называемых вершинами гиперболы. Ось ординат не пересекает гиперболу. Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике называются вещественной и мнимой полуосями гиперболы. Центр симметрии гиперболы, совпадающий с началом координат, называется центром гиперболы.

Если Заказать решение по высшей математике - расстояние от начала координат канонической системы координат до фокусов гиперболы, то Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

Рис.10

Отношение Заказать решение по высшей математике называется эксцентриситетом гиперболы.

Расстояние от произвольной точки Заказать решение по высшей математике лежащей на гиперболе, до каждого из фокусов равно Заказать решение по высшей математике.

Гипербола с равными полуосями Заказать решение по высшей математике называется равносторонней.

Прямые с уравнениями Заказать решение по высшей математике в канонической системе называются асимптотами гиперболы.

Прямые Заказать решение по высшей математике называют директрисами гиперболы в канонической системе координат.

 

 

Парабола

 

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки Заказать решение по высшей математике этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также расположенной в рассматриваемой плоскости (рис. 11).

Указанная точка Заказать решение по высшей математике называется фокусом параболы, а фиксированная прямая - директрисой параболы.

Заказать решение по высшей математике

Рис. 11

Система координат, в которой парабола имеет канонический вид, называется канонической, а ось Заказать решение по высшей математике -осью параболы.

Каноническое уравнение параболы:

Заказать решение по высшей математике.

Парабола проходит через начало канонической системы координат. Эта точка называется вершиной параболы.

Фокус параболы Заказать решение по высшей математике имеет координаты (р/2; 0).

Директрисой параболы называется прямая Заказать решение по высшей математике в канонической системе координат.

Расстояние от произвольной точки параболы до фокуса Заказать решение по высшей математике равно Заказать решение по высшей математике.

 

 

Исследование общего уравнения кривой 2-го порядка

 

Как уже говорилось раньше, линией второго порядка называется линия, определяемая уравнением 2-й степени:

Заказать решение по высшей математике

Запишем дискриминант уравнения Заказать решение по высшей математике и дискриминант старших членов Заказать решение по высшей математике.

1) Если Заказать решение по высшей математике > 0 и Заказать решение по высшей математике то кривая 2-го порядка - эллипс (действительный или мнимый).

2) Если Заказать решение по высшей математике>0 и Заказать решение по высшей математике = 0 - точка.

3) Если Заказать решение по высшей математике < 0 и Заказать решение по высшей математике - гипербола.

4) Если Заказать решение по высшей математике < 0 и Заказать решение по высшей математике = 0 - пара пересекающихся прямых.

5) Если Заказать решение по высшей математике = 0 и Заказать решение по высшей математике - парабола.

6) Если Заказать решение по высшей математике = 0 и Заказать решение по высшей математике = 0 - пара параллельных прямых (действительных или мнимых).

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по высшей математике с решением

 

 

Функция. Теория пределов. Непрерывность функции

 

Постоянной величиной называется величина, сохраняющая одно и то же значение.

Переменной величиной называется величина, которая может принимать различные числовые значения.

Областью изменения переменной называется совокупность всех принимаемых ею числовых значений.

Переменная величина Заказать решение по высшей математике называется функцией (однозначной) от переменной величины Заказать решение по высшей математике если каждому значению величины Заказать решение по высшей математике из области ее изменения, соответствует единственное вполне определенное значение Заказать решение по высшей математике или, в символической записи, Заказать решение по высшей математике

Переменная Заказать решение по высшей математике называется независимой переменной или аргументом, Заказать решение по высшей математике иногда называют зависимой переменной. Относительно самих величин Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике говорят, что они находятся в функциональной зависимости. Символ Заказать решение по высшей математике называется характеристикой функции. Вместо буквы Заказать решение по высшей математике можно употреблять любую другую букву. Частное значение функции Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике записывается так: Заказать решение по высшей математике

Графиком функции Заказать решение по высшей математике называется множество всех точек Заказать решение по высшей математике плоскости Заказать решение по высшей математике координаты которых связаны данной функциональной зависимостью.

Классификация функции одного аргумента:

1. Целая рациональная функция или многочлен

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - постоянные числа, называемые коэффициентами; Заказать решение по высшей математике - целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена.

2. Дробная рациональная функция представляется в виде частного от деления двух целых рациональных функций

Заказать решение по высшей математике

3. Иррациональная функция содержит возведение в степень с рациональным нецелым показателем. Например: Заказать решение по высшей математике

Перечисленные три вида алгебраических функций образуют класс явных алгебраических функций. В общем случае алгебраической функцией называется любая функция Заказать решение по высшей математике которая удовлетворяет уравнению вида

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - некоторые многочлены от Заказать решение по высшей математике

Функция, не являющаяся алгебраической, называется трансцендентной.

Основные элементарные функции имеют области определения:

1) степенная функция Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике определена при любых Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике определена в интервале Заказать решение по высшей математике ( Заказать решение по высшей математике - натуральные числа);

2) показательная функция Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике определена при любых Заказать решение по высшей математике

3) логарифмическая функция Заказать решение по высшей математике определена в интервале Заказать решение по высшей математике

4) тригонометрические функции Заказать решение по высшей математике определены при любых Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике определена при Заказать решение по высшей математике - при Заказать решение по высшей математике

5) обратные тригонометрические функции Заказать решение по высшей математике определены на отрезке [-1; 1 ]; Заказать решение по высшей математике - при любых Заказать решение по высшей математике

Способы задания функции: аналитический (с помощью формулы), табличный (с помощью таблицы) и графический (с помощью графика).

 

 

Вычисление пределов

 

Предел элементарной функции Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике стремящемся к значению Заказать решение по высшей математике (Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике), которое входит в область ее определения, равен частному значению функции при Заказать решение по высшей математике т.е. Заказать решение по высшей математике.

Если аргумент стремится к бесконечности или к числу, которое не принадлежит области определения функции, то в каждом таком случае нахождение предела функции требует специального исследования.

Рассмотрим основные свойства пределов:

1) Если существуют пределы функций Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике, то

Заказать решение по высшей математике.

2) Если существуют пределы функций Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике, то

Заказать решение по высшей математике.

3) Постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

Заказать решение по высшей математике.

4) Если существует предел функции Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике, то

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - натуральное число.

5) Если существуют пределы функций Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике, причем предел функции Заказать решение по высшей математике отличен от нуля, то

Заказать решение по высшей математике

При вычислении пределов часто используют два замечательных предела:

1. Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике,

2. Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике

и их следствия:

Заказать решение по высшей математике (1)

Заказать решение по высшей математике (2)

Заказать решение по высшей математике. (3)

Второй замечательный предел используют для раскрытия неопределенностей вида Заказать решение по высшей математике, а остальные - для неопределенности вида Заказать решение по высшей математике. Вычисление пределов значительно упрощается при использовании эквивалентности бесконечно малых.

Функция Заказать решение по высшей математике называется бесконечно малой при Заказать решение по высшей математике если Заказать решение по высшей математике.

Функция Заказать решение по высшей математике называется бесконечно большой при Заказать решение по высшей математике если Заказать решение по высшей математике.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших:

1) Если Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике то Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике

2) Если Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике то Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике

3) Если Заказать решение по высшей математике - бесконечно малая при Заказать решение по высшей математике а Заказать решение по высшей математике - ограниченная в некоторой окрестности точки Заказать решение по высшей математике то Заказать решение по высшей математике - бесконечно малая функция при Заказать решение по высшей математике

Две бесконечно малые функции называются эквивалентными Заказать решение по высшей математике если предел их отношения равен 1. С помощью замечательных пределов можно доказать справедливость цепочки эквивалентных бесконечно малых

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике

При раскрытии неопределенностей Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике рекомендуется пользоваться указанными замечательными пределами либо пытаться сократить числитель и знаменатель на общие (критические) множители.

При вычислении пределов нередко пользуются правилом Лопиталя:

Пусть при вычислении предела Заказать решение по высшей математике возникает неопределенность вида Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике, но при этом существует Заказать решение по высшей математике. Тогда Заказать решение по высшей математике.

Использование правила Лопиталя в большинстве случаев значительно упрощает вычисление пределов, поэтому, прежде чем приступать к вычислению пределов, необходимо повторить правила вычисления производных.

 

 

Вычисление пределов от рациональной дроби

 

Если ищется предел от рациональной дроби, числитель и знаменатель которой обращается в нуль в предельной точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике то такую дробь, согласно теореме Безу, всегда можно сократить на Заказать решение по высшей математике - Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №12

Найти предел функций Заказать решение по высшей математике

Решение:

Заметим, что согласно свойствам 1 - 4 пределов

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Мы имеем неопределенность вида Заказать решение по высшей математике. Поступим так:
Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике. Следовательно,

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Данный предел можно вычислить другим способом - с помощью правила Лопиталя:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Вычисление пределов от рациональной дроби

 

При Заказать решение по высшей математике мы имеем неопределенность вида Заказать решение по высшей математике. Один из способов решения - это деление числителя и знаменателя на Заказать решение по высшей математике (Заказать решение по высшей математике - наивысшая степень числителя и знаменателя), другой способ - с помощью правила Лопиталя.

 

 

Заказ №13

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Наивысшая степень Заказать решение по высшей математике = 2, следовательно, разделим числитель и знаменатель на Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Решим вторым способом. Воспользуемся дважды правилом Лопиталя:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

 

 

Вычисление пределов, содержащих радикалы

 

При вычислении пределов, содержащих выражения вида Заказать решение по высшей математике умножают числитель и знаменатель на сопряженное (с другим знаком) выражение, чтобы получить формулу сокращенного умножения.

 

 

Заказ №14

Найти Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Так как Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике то имеется неопределенность вида Заказать решение по высшей математике. Тогда

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

 

 

Вычисление пределов, содержащих тригонометрические функции

 

При вычислении пределов, содержащих тригонометрические функции, в зависимости от вида функции используют либо тригонометрические формулы, либо первый замечательный предел, либо эквивалентность бесконечно малых, либо правило Лопиталя, либо делают замену переменных.

 

 

Заказ №15

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Рассмотрим два способа решения.

1. С помощью замены:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

2. Использование эквивалентности бесконечно малых:

Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике следовательно,

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №16

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и формулой синуса двойного угла, а потом первым замечательным пределом:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №17

Вычислить Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике

Решение:

Воспользуемся правилом Лопиталя:

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Вычисление пределов от показательно-степенных функций

 

При вычислении пределов от показательно-степенной функции пользуются либо формулой Заказать решение по высшей математике, либо вторым замечательным пределом.

 

 

Заказ №18

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, так какЗаказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №19

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заметим, что Заказать решение по высшей математике, а Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике Следовательно, имеется неопределенность вида Заказать решение по высшей математике. Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Получим, что

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

так как

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №20

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заказать решение по высшей математике в силу непрерывности Заказать решение по высшей математике. Вычислим

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Следовательно, Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №21

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Так как Заказать решение по высшей математике то в данном случае отсутствует неопределенность и

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

 

 

Вычисление пределов с учетом их особенностей

 

а) При вычислении пределов, содержащих логарифмические функции, часто используют свойства логарифмов и формулы (1) - (4).

 

 

Заказ №22

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

согласно следствию замечательных пределов.

 

 

Заказ №23

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №24

Вычислить Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

б) При вычислении пределов от дробей метод деления на наивысшую степень используют не только для дробно-раниональных выражений.

 

 

Заказ №25

Найти Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заметим, что Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Т.к. Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике (см. 2-е свойство бесконечно малых), то Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике (см. 1-е свойство бесконечно малых) Заказать решение по высшей математике

 

 

 

Непрерывность функции. Точки разрыва

 

Функция Заказать решение по высшей математике называется непрерывной в точке Заказать решение по высшей математике если при Заказать решение по высшей математике предел функции существует и равен ее частному значению в этой точке, т.е. если

Заказать решение по высшей математике

Этому определению равносильно следующее.

Функция Заказать решение по высшей математике называется непрерывной в точке Заказать решение по высшей математике если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента Заказать решение по высшей математике соответствует бесконечно малое приращение функции Заказать решение по высшей математике т.е. если Заказать решение по высшей математике.

Функция Заказать решение по высшей математике разрывна в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике 1) если не существует Заказать решение по высшей математике, или 2) функция Заказать решение по высшей математике не определена в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике или 3) существует Заказать решение по высшей математике, но он не равен значению функции в этой точке, т.е. Заказать решение по высшей математике.

Для того чтобы функция Заказать решение по высшей математике была непрерывной в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

функция должна быть определена в некоторой Заказать решение по высшей математике-окрестности точки Заказать решение по высшей математике и в самой точке Заказать решение по высшей математике;

функция должна иметь одинаковые односторонние пределы, т.е.

Заказать решение по высшей математике;

односторонние пределы должны быть равны Заказать решение по высшей математике

Если существует конечный Заказать решение по высшей математике, но Заказать решение по высшей математике, то точка Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике называется точкой устранимого разрыва функции.

Точка Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике называется точкой разрыва 1-го рода для Заказать решение по высшей математике если существуют конечные односторонние пределы функции Заказать решение по высшей математике в точке Заказать решение по высшей математике и

Заказать решение по высшей математике.

В противном случае имеем точку разрыва 2-го рода.

Скачком функции Заказать решение по высшей математике в точке Заказать решение по высшей математике называется разность ее односторонних пределов Заказать решение по высшей математике, если они различны.

В случае Заказать решение по высшей математике функция Заказать решение по высшей математике непрерывна справа в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике.

В случае Заказать решение по высшей математике функция Заказать решение по высшей математике непрерывна слева в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике.

Функция Заказать решение по высшей математике непрерывна в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике непрерывна в этой точке слева и справа.

Если Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике непрерывны в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике непрерывны в этой точке; Заказать решение по высшей математике непрерывна в точке Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике, если Заказать решение по высшей математике.

Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Любая элементарная функция непрерывна в области определения.

 

 

Заказ №26

Задана функция Заказать решение по высшей математике. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

a) Заказать решение по высшей математике б) Заказать решение по высшей математике, в) Заказать решение по высшей математике г) Заказать решение по высшей математике

Решение:

а) При Заказать решение по высшей математике0. Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике непрерывна при Заказать решение по высшей математике0. Рассмотрим т. Заказать решение по высшей математике = 0. Вычислим Заказать решение по высшей математике- точка разрыва 2-го рода.

Заказать решение по высшей математике непрерывна слева в точке Заказать решение по высшей математике = 0. График функции Заказать решение по высшей математике изображен на рис. 12.

б) Функция Заказать решение по высшей математике определена при всех значениях Заказать решение по высшей математике, кроме Заказать решение по высшей математике = 0 Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике = 0 - точка разрыва. Исследуем ее характер.

Вычислим

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Так как Заказать решение по высшей математике но Заказать решение по высшей математике то Заказать решение по высшей математике = 0 - точка неустранимого разрыва 1 -го рода. При Заказать решение по высшей математике < 0 Заказать решение по высшей математике = -1, при Заказать решение по высшей математике > 0 Заказать решение по высшей математике = 1 Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике 0 Заказать решение по высшей математике непрерывна. График функции Заказать решение по высшей математике изображен на рис. 13.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике
Рис. 12 Рис. 13

в) При Заказать решение по высшей математике 0 Заказать решение по высшей математике непрерывна в т. Заказать решение по высшей математике 0. Заказать решение по высшей математике - точка устранимого разрыва.

Рассмотрев Заказать решение по высшей математике, т.е. изменив значение Заказать решение по высшей математике в точке разрыва, получаем непрерывную функцию. График функции Заказать решение по высшей математикеизображен на рис. 14.

г) Поскольку элементарные функции Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике непрерывны на Заказать решение по высшей математике тo точками разрыва могут быть лишь Заказать решение по высшей математике = 0 и Заказать решение по высшей математике. Имеем

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Значит, в точке Заказать решение по высшей математике = 0 функция Заказать решение по высшей математике непрерывна. Аналогично, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Тогда в точке Заказать решение по высшей математике функция имеет разрыв первого рода с величиной скачка Заказать решение по высшей математике -4. График функции Заказать решение по высшей математике изображен на рис 15.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике
Рис. 14 Рис. 15

 

 

 

Решение типовых задач контрольной работы №1

 

Заказ №27

Используя теорему Кронекера - Капелли, доказать совместность системы линейных уравнений и решить её двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления.

Заказать решение по высшей математике

Решение:

Найдем ранг Заказать решение по высшей математике матрицы системы методом окаймляющих миноров.

Рассмотрим минор Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Найдем определитель матрицы системы:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Ранг расширенной матрицы системы также равен трем, поскольку система содержит три уравнения, а ранг матрицы системы равен трем. Следовательно, согласно теореме Кронекера - Капелли, система совместна.

Первый способ решения (метод Гаусса)

Умножим первую строку на (-2) и результат прибавим ко второй, потом умножим первую строку на (-3) и результат прибавим к третьей:

Заказать решение по высшей математике

Разделим вторую строку на 5, потом умножим ее на (-9) и результат прибавили к третьей:

Заказать решение по высшей математике.

Из последней матрицы имеем Заказать решение по высшей математике = 7; Заказать решение по высшей математике = -2, Заказать решение по высшей математике = 5; Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике = 3.

Второй способ решения

Найдем алгебраические дополнения матрицы системы:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике=2, Заказать решение по высшей математике=-8, Заказать решение по высшей математике=-9, Заказать решение по высшей математике=0, Заказать решение по высшей математике=5, Заказать решение по высшей математике=5.

Запишем присоединенную матрицу и транспонируем ее:

Заказать решение по высшей математике.

Решение системы:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Ответ: Заказать решение по высшей математике = 3, Заказать решение по высшей математике = 5, Заказать решение по высшей математике = 7.

Данные для задач № 2 - №3. Пусть даны точки А(2;6), В(-4;3), С(-2;2), Д(2;-2).

 

 

Заказ №28

1) Написать уравнения прямых АВ и СД. Определить угловые коэффициенты этих прямых

2) Найти координаты точки их пересечения.

3) Найти угол между этими прямыми.

4) Найти расстояние от точки А до прямой СД.

Решение:

1) Для составления уравнения прямых удобно воспользоваться уравнением прямой, проходящей через две точки (см.гл.З, §2. №4) Заказать решение по высшей математике

АВ: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, умножим обе части уравнения на -6, получим Заказать решение по высшей математике, или Заказать решение по высшей математике

Аналогично получим уравнение прямой СД:

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

2) Чтобы найти точку пересечения прямых, надо систему уравнений этих прямых.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике найдем из второго уравнения системы Заказать решение по высшей математике Ответ: Заказать решение по высшей математике

3) Для определения угла между прямыми воспользуемся формулой

Заказать решение по высшей математике. Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Ответ: Заказать решение по высшей математике

4) Расстояние от точки Заказать решение по высшей математике до прямой Заказать решение по высшей математике заданной общим уравнением, вычисляется по формуле Заказать решение по высшей математике.

Запишем уравнение прямой СД в общем виде Заказать решение по высшей математике = 0. Имеем Заказать решение по высшей математике = 2, Заказать решение по высшей математике = 6, А=1 и В=1. Подставляем в формулу и получим Заказать решение по высшей математике

Ответ: Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №29

1) Найти координаты векторов

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

2) Написать разложение этих векторов по базису Заказать решение по высшей математике

3) Найти длины этих векторов

4) Найти скалярное произведение Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

5) Найти угол между векторами Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

6) Найти разложение вектора Заказать решение по высшей математике по базису Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике

Решение:

1) Вычислим координаты векторов Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике, аналогично, ВС- ДА = (2; -9)

3•АВ = (-18; -9), 2•ДС = (- 8; 8) и Заказать решение по высшей математике

2) Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

3) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:

Заказать решение по высшей математике т,е,

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

5) Разложить вектор Заказать решение по высшей математике по векторам Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - это значит представить вектор ДС в виде линейной комбинации векторов АВ и АД т. е.

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике. Имеем Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

 

 

 

Заказ №30

а). Даны векторы Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике в некотором базисе. Показать, что векторы Заказать решение по высшей математике образуют базис и найти координаты вектора Заказать решение по высшей математике в этом базисе.

Решение:

Три вектора образуют базис, если Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике= 8 + 30 + 6-18-5-16 = 5 = Заказать решение по высшей математике.

Найдем координаты вектора Заказать решение по высшей математике в базисе Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике.

Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.

Заказать решение по высшей математике

Решим систему методом Крамера:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике + Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №31

Даны координаты вершин тетраэдра ABCD: А(6; 5; -4), В(1; -2; -4), С(5; 6; -4) и D(-1; -2; 0). Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника АВС; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно медиане, проведенной из вершины В треугольника ABC; 3) координаты точки, симметричной точке А относительно плоскости BCD. Сделать чертёж.

Заказать решение по высшей математике

Решение:

1) Найдем координаты т. F середины отрезка АС (рис. 16): Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Точка E пересечения медиан треугольника делит медиану BF в отношении Заказать решение по высшей математике = 2:1, считая от вершины В. Найдем координаты точки Е:

Заказать решение по высшей математике,

Заказать решение по высшей математике,

Заказать решение по высшей математике, Е (4; 3; -4)

2) Найдем направляющий вектор прямой BE Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике. Уравнение прямой, проходящей через вершину А параллельно прямой BE:

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

3) Найдем уравнение плоскости BCD:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости BCD и проходящей через т. Заказать решение по высшей математике. Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Найдем координаты точки Н пересечения плоскости BCD и найденной прямой: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике,Заказать решение по высшей математике.

Координаты точки А' симметричной точке А относительно плоскости BCD - А' (4; 6;-5).

Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан Е(4; 3; -4); 2) уравнение прямой Заказать решение по высшей математике; 3) координаты симметричной точки А' (4; 6; -5).

 

 

Заказ №32

Линия задана уравнением Заказать решение по высшей математике в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от Заказать решение по высшей математике = 0 до Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике и придавая Заказать решение по высшей математике значения через промежуток Заказать решение по высшей математике 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс - с полярной осью, привести его к каноническому виду; 3) по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

Решение:

1) Вычисляя значения Заказать решение по высшей математике с точностью до сотых при указанных значениях Заказать решение по высшей математике получим таблицу:

Заказать решение по высшей математике

Используя полученные табличные значения, построим кривую в полярной системе координат (рис. 17).

Заказать решение по высшей математике

2) Используя формулы перехода

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике из полярной в декартовую систему координат, получим: Заказать решение по высшей математике.

Возведем левую и правую части в квадрат: Заказать решение по высшей математике.

Выделим полный квадрат и приведем к каноническому виду:

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике.

3) Это эллипс, смещенный на (-с) вдоль оси ОХ.

Ответ: эллипс Заказать решение по высшей математике, где с=5/9, Заказать решение по высшей математике=100/81, Заказать решение по высшей математике=25/27.

 

 

Заказ №33

Задана функция

Заказать решение по высшей математике

Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Решение:

Неэлементарная функция Заказать решение по высшей математике определена на всей числовой оси. Она может иметь разрыв в точках Заказать решение по высшей математике = -2 и Заказать решение по высшей математике = 1, где меняется ее аналитическое выражение. Во всех остальных точках своей области определения функция Заказать решение по высшей математике непрерывна, поскольку каждая из формул, которыми она задана, определяет собой элементарную функцию, непрерывную в своем интервале изменения аргумента Заказать решение по высшей математике. Исследуем точки Заказать решение по высшей математике = -2 и Заказать решение по высшей математике = 1:

а) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Следовательно, в точке Заказать решение по высшей математике = -2 выполняются все условия непрерывности, поэтому в этой точке функция Заказать решение по высшей математике непрерывна.

б) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Левый и правый пределы функции конечны, но не одинаковы, поэтому в точке Заказать решение по высшей математике = 1 функция имеет разрыв (конечный). Скачок функции в точке разрыва конечный Заказать решение по высшей математике(1+0)-Заказать решение по высшей математике(1-0) = 1.

График функции приведен на рис. 18.

Ответ: функция имеет конечный разрыв в точке Заказать решение по высшей математике = 1, ее скачок равен 1.

 

 

Заказ №34

Найти пределы функций.

a) Заказать решение по высшей математике; б) Заказать решение по высшей математике;

в) Заказать решение по высшей математике; г) Заказать решение по высшей математике.

Решение:

а) Разделив числитель и знаменатель на большую степень Заказать решение по высшей математике получим

Заказать решение по высшей математике

б) Умножив числитель и знаменатель на 45Заказать решение по высшей математике и используя первый замечательный предел, получим

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике;

в) Логарифмируя и используя правило Лопиталя, получим Заказать решение по высшей математике,

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике;

г) Сделав замену переменных и используя второй замечательный предел, получим

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по высшей математике на заказ

 

 

Производная и ее приложения. Приложения дифференциального исчисления. Механический и геометрический смысл производной

 

Для понимания понятия производной решим две различные задачи, физическую и геометрическую, процесс решения которых приводит к возникновению одной и той же математической модели.

 

Заказ №35

Пусть тело движется прямолинейно и указан закон движения формулой s=s(t), где t - время движения, s(t) - положение тела на прямой( координата движущейся материальной точки) в момент времени t. Найти скорость движения тела в момент времени t т.е. v(t).

Решение:

Предположим, что в момент времени t тело находилось в точке М, пройдя путь от начала движения ОМ= s(t).

Заказать решение по высшей математике

Дадим аргументу t приращение Заказать решение по высшей математике, тело в момент времени Заказать решение по высшей математике будет находиться в точке Р, пройдя расстояние от начала движения Заказать решение по высшей математике. Значит, за Заказать решение по высшей математике тело прошло расстояние МР=ОР - ОМ= Заказать решение по высшей математике. Полученную разность назовем приращением функции s(t): Заказать решение по высшей математике. Итак, расстояние Заказать решение по высшей математике тело пошло за время Заказать решение по высшей математике. Найдем среднюю скорость Заказать решение по высшей математике движения тела за промежуток времени Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математике

Естественно, что мгновенная скорость Заказать решение по высшей математике - это средняя скорость движения за промежуток времени Заказать решение по высшей математике при условии, что Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №36

Дан график функции у= у(х). На нем выбрана точка Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике в этой точке к графику функции проведена касательная (мы предполагаем, что она существует). Найти угловой коэффициент касательной Заказать решение по высшей математике.

Решите эту задачу самостоятельно (или прочитайте решение в учебниках) При решении мы получим, что Заказать решение по высшей математике.

Подведем итоги. Две различные задачи в процессе решения приводят к одной и той же математической модели - пределу отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Определение. Производной функции Заказать решение по высшей математике в точке Заказать решение по высшей математике называется предел (если он существует) отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю: Заказать решение по высшей математике.

 

 

Механический и геометрический смысл производной. Уравнение касательной к кривой в точке

 

A) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Определение. Касательной к кривой Заказать решение по высшей математике в ее точке Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике называется предельное положение секущей Заказать решение по высшей математике, когда точка М стремится к Заказать решение по высшей математике вдоль данной кривой.

Б) Угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой Заказать решение по высшей математике в точке (Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике), равен значению производной функции в абсциссе точки касания.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике-угол наклона касательной к оси Заказать решение по высшей математике

B) Уравнение касательной к кривой Заказать решение по высшей математике в точке (Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике) имеет вид:

Заказать решение по высшей математике

Пользуясь определением производной, мы можем вычислить производные для всех элементарных функций и составить таблицу производных.

 

 

Таблица производных

 

1) Заказать решение по высшей математике (Заказать решение по высшей математике - постоянное число); 9) Заказать решение по высшей математике;

2) Заказать решение по высшей математике; 10) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике;

3) Заказать решение по высшей математике; 11) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике;

4) Заказать решение по высшей математике; 12) Заказать решение по высшей математике;

5) Заказать решение по высшей математике 13) Заказать решение по высшей математике;

6) Заказать решение по высшей математике 14) Заказать решение по высшей математике;

7) Заказать решение по высшей математике; 15) Заказать решение по высшей математике

8) Заказать решение по высшей математике;

 

 

Правила дифференцирования

 

Если С - постоянная величина и функции Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике имеют производные, то

а) Заказать решение по высшей математике = 0; б) Заказать решение по высшей математике; в) Заказать решение по высшей математике; r) Заказать решение по высшей математике; д) Заказать решение по высшей математике;

Производные показательно-степенных функций вычисляют по формуле

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Производная второго порядка от функции Заказать решение по высшей математике определяется как Заказать решение по высшей математике. Аналогично определяются производные высших порядков Заказать решение по высшей математике

 

 

Дифференциал функции

 

Если приращение функции Заказать решение по высшей математике от независимой переменной Заказать решение по высшей математике может быть представлено в виде Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике, то главная линейная часть этого приращения называется дифференциалом функции Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике. Для существования дифференциала функции Заказать решение по высшей математике необходимо и достаточно, чтобы существовала конечная производная Заказать решение по высшей математике, причем имеем Заказать решение по высшей математике. Последняя формула будет верна и в том случае, если переменная Заказать решение по высшей математике является функцией от новой независимой переменной (свойство инвариантности первого дифференциала). Дифференциалы высших порядков от функции Заказать решение по высшей математике последовательно определяются формулами Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике = 2, 3, ..., где принято Заказать решение по высшей математике. Если Заказать решение по высшей математике - независимая переменная, то полагают Заказать решение по высшей математике. В этом случае справедливы формулы Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

 

 

Производная обратной функции

 

Дифференцируемая функция Заказать решение по высшей математике с производной Заказать решение по высшей математике имеет однозначную непрерывную обратную функцию Заказать решение по высшей математике причем обратная функция также дифференцируема и справедлива формула Заказать решение по высшей математике.

 

 

Производная функции, заданной параметрически

 

Система уравнений Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - дифференцируемые функции и Заказать решение по высшей математике, определяет Заказать решение по высшей математике в некоторой области как однозначную

дифференцируемую функцию от Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике, причем производная этой функции может быть найдена по формуле Заказать решение по высшей математике. Для вычисления второй производном Заказать решение по высшей математике используют формулу Заказать решение по высшей математике

 

 

Производная функции, заданной в неявном виде

 

Если дифференцируемая функция Заказать решение по высшей математике удовлетворяет уравнению Заказать решение по высшей математике, то производная Заказать решение по высшей математике этой неявной функции может быть найдена из уравнения Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике рассматривается как сложная функция переменной Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №37

Найти производные Заказать решение по высшей математике данных функций:

а) Заказать решение по высшей математике; в) Заказать решение по высшей математике;

б) Заказать решение по высшей математике; г) Заказать решение по высшей математике.

Решение:

а) Комбинируя правила нахождения производных сложной функции и частного, получим

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

б) Комбинируя правила нахождения производных сложной функции и произведения функций, будем иметь

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

в) Запишем данную функцию в виде Заказать решение по высшей математике, и применим правило дифференцирования сложной функции:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

г) Продифференцируем обе части тождества по Заказать решение по высшей математике, считая Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Следовательно, числитель последней дроби равен нулю: Заказать решение по высшей математике. В итоге получаем Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №38

Найти Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике для заданных функций:

а) Заказать решение по высшей математике; б) Заказать решение по высшей математике

Решение:

а) Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

б) Применим правила нахождения производных от функции, заданной параметрически Заказать решение по высшей математике. Так как Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, то

Заказать решение по высшей математике

 

 

Монотонность и экстремумы функции

 

Определение 1. Функция Заказать решение по высшей математике называется возрастающей в интервале (а, b), если большему значению аргумента х из этого интервала соответствует и большее значение функции.

Определение 2. ФункцияЗаказать решение по высшей математике называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Достаточное условие возрастания ( убывания ) функции: Если во всех точках Заказать решение по высшей математике выполняется неравенство Заказать решение по высшей математике (причем равенство Заказать решение по высшей математике выполняется лишь в отдельных точках и не выполняется ни на каком сплошном промежутке), то функция Заказать решение по высшей математике возрастает в интервале (а; b).

Если в данном промежутке производная данной функции неотрицательна, то функция в этом промежутке убывает.

Справедливы и обратные утверждения.

Определение 3. Максимумом функции Заказать решение по высшей математике такое ее значение Заказать решение по высшей математике, которое больше всех ее значений, принимаемых в точках х, достаточно близких к точке Заказать решение по высшей математике и отличных от нее, т. е. Заказать решение по высшей математике где х- любая точка из интервала, содержащего точку Заказать решение по высшей математике ( Заказать решение по высшей математике- точка максимума)

Определение 4. Минимумом функции Заказать решение по высшей математике называется такое ее значение Заказать решение по высшей математике которое меньше всех других ее значений, принимаемых в точках х, достаточно близких к точке Заказать решение по высшей математике и отличных от нее, т. е. Заказать решение по высшей математике где х -любая точка из некоторого интервала, содержащего точку Заказать решение по высшей математике. ( Заказать решение по высшей математике - точка минимума)

Максимум или минимум функции называется экстремумом функции. Точки, в которых достигается экстремум, называются точками экстремума.

Функция может иметь экстремум в тех точках области определения, в которых производная равна нулю или не существует . Такие точки называются критическими.

 

 

Достаточное условие экстремума

 

Если в точке Заказать решение по высшей математике производная функции Заказать решение по высшей математике обращается в нуль или не существует, и меняет знак при переходе через эту точку, то Заказать решение по высшей математике-экстремум функции, причем

1) функция имеет максимум в точке Заказать решение по высшей математике, если знак производной меняется с «+» на «-»

2) функция имеет минимум в точке Заказать решение по высшей математике, если знак производной меняется с «-» на «+»

3) функция не имеет экстремума, если знак производной не меняется.

Алгоритм исследования непрерывной функции Заказать решение по высшей математике на монотонность и экстремумы.

1. Найти область определения и производнуюЗаказать решение по высшей математике.

2. Найти критические точки.

3. Отметить критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.

4. Опираясь на теоремы сделать выводы о монотонности и о ее точках экстремума.

 

 

Заказ №39

Исследовать функцию Заказать решение по высшей математике на монотонность и экстремумы.

Решение:

1. Найдем область определения: Заказать решение по высшей математике и производную данной функции:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

2. Найдем критические точки.

Заказать решение по высшей математике - это две критические точки.

3. Отметим полученные точки на числовой прямой и схематически укажем знаки производной по промежуткам области определения.

Заказать решение по высшей математике

х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является.

На промежутке Заказать решение по высшей математике функция убывает, а на промежутке Заказать решение по высшей математике функция возрастает.

 

 

Наибольшее (наименьшее) значения непрерывной и дифференцируемой функции у= f(х) на отрезке [а, b]

 

1) Находим критические точки, принадлежащие отрезку.

2) Находим значения функции в полученных точках и на концах отрезка.

Среди полученных значений выбираем наибольшее (наименьшее).

 

 

Наибольшее (наименьшее) значение функции на интервале

 

При вычислении наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале мы не можем вычислить значения функции на концах, поэтому часто используют теорему Ферма: если функция на интервале имеет единственный максимум (минимум), то он совпадает с наибольшим (наименьшим) значением функции на этом интервале.

 

 

Заказ №40

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Заказать решение по высшей математике на отрезке [a, b], где Заказать решение по высшей математике, [a, b]= [-3;6].

Решение:

Заметим, что Заказать решение по высшей математике непрерывна и дифференцируема на данном отрезке. Вычисления дают:

1) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике (обе точки лежат внутри данного промежутка).

2) Находим Заказать решение по высшей математике(-2) = 36, Заказать решение по высшей математике(3) = -89.

3) Вычисляем значения функции на концах промежутка:

Заказать решение по высшей математике(-3) = 19, Заказать решение по высшей математике(6) = 100.

4) В итоге имеем: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике { 19,36,-89,100} = 100 = Заказать решение по высшей математике(6),

Заказать решение по высшей математике { 19,36,-89,100} = -89 = Заказать решение по высшей математике(3).

х=0 - точка минимума функции, а х=2 точкой экстремума не является.

На промежутке Заказать решение по высшей математике функция убывает, а на промежутке Заказать решение по высшей математике функция возрастает.

 

 

Теоремы о среднем

 

Теорема Лагранжа. Если Заказать решение по высшей математике непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b), то Заказать решение по высшей математике такая, что Заказать решение по высшей математике (формула конечных приращений).

Теорема Ролля. Если выполнены условия теоремы Лагранжа и Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике.

Теорема Коши. Если Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике непрерывны на [а, b] и дифференцируемы на (a, b) причем Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике такая, что верна формула

Заказать решение по высшей математике

 

 

Построение графиков функций

 

Общая схема исследования функции и построения ее графика:

1. Найти область определения функции (Dom Заказать решение по высшей математике). Исследовать поведение Заказать решение по высшей математике в граничных точках Dom Заказать решение по высшей математике.

2. Установить, не является ли Заказать решение по высшей математике четной (или нечетной).

3. Является ли Заказать решение по высшей математике периодической?

4. Исследовать Заказать решение по высшей математике на непрерывность. Найти точки разрыва и установить их характер. Указать вертикальные асимптоты.

5. Найти уравнения наклонных асимптот.

6. Найти нули Заказать решение по высшей математике, т.е. Заказать решение по высшей математике, и Заказать решение по высшей математике =Заказать решение по высшей математике. Найти интервалы знакопостоянства.

7. Вычислить Заказать решение по высшей математике. Исследовать Заказать решение по высшей математике на монотонность и экстремумы.

8. Вычислить Заказать решение по высшей математике. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.

9. Свести результаты в таблицу, добавить значения функции в характерных точках (экстремума, перегиба и т.д.) и построить эскиз графика Заказать решение по высшей математике.

К числу характерных точек графика относятся точки пересечения его с осями координат. В случае непрерывной функции Заказать решение по высшей математике для нахождения абсцисс точек пересечения графика с осью Заказать решение по высшей математике нужно найти корни уравнения Заказать решение по высшей математике, лежащие в области существования графика. Удаляя из этой области найденные точки, получим разбиение области определения функции на интервалы знакопостоянства.

Из теоремы Ферма следует, что в точках локального экстремума непрерывной функции Заказать решение по высшей математике, если производная существует. Точки, удовлетворяющие этому условию, называются критическими точками функции Заказать решение по высшей математике. Достаточные условия локального экстремума в критической точке Заказать решение по высшей математике заключаются в смене знака Заказать решение по высшей математике при переходе через эту точку из левой ее полуокрестности в правую. При этом смена знака с (+) на (-) отвечает максимуму, а смена знака с (-) на (+) - минимуму. Другой достаточный признак экстремума связан со знаком второй производной в критической точке. Если дважды дифференцируемая функция такова, что Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике - точка локального максимума. Если же Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике- точка локального минимума. На практике для нахождения интервалов монотонности нужно удалить из области определения функции все точки локального экстремума. Оставшееся множество состоит из интервалов монотонности. О возрастании и убывании функции на этих интервалах можно судить по знаку Заказать решение по высшей математике.

Дуга графика на интервале (a, b) называется выпуклой вверх, если она расположена под каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вверх является Заказать решение по высшей математике для всех Заказать решение по высшей математике. Аналогично, дуга графика на интервале (а, b) называется выпуклой вниз, если она расположена над каждой касательной к ней. Достаточным условием выпуклости вниз является Заказать решение по высшей математике для всех Заказать решение по высшей математике.

Точки перегиба на графике дифференцируемой функции обладают свойством: по обе стороны от них график имеет разное направление выпуклости. Достаточным условием перегиба является существование Заказать решение по высшей математике в окрестности точки Заказать решение по высшей математике и смена знака Заказать решение по высшей математике при переходе через точку Заказать решение по высшей математике. При этом Заказать решение по высшей математике.

Вертикальные асимптоты к графику функции Заказать решение по высшей математике - это прямые вида Заказать решение по высшей математике, такие, что хотя бы один из односторонних пределов этой функции при Заказать решение по высшей математике равен бесконечности. Это может иметь место в точках разрыва второго рода либо в граничных точках области определения функции. Наклонная асимптота при Заказать решение по высшей математике - это прямая Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Аналогично определяется наклонная асимптота при Заказать решение по высшей математике. Наклонные асимптоты возможны только в случае, когда область определения функции не ограничена.

 

 

Заказ №41

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию Заказать решение по высшей математике и, используя результаты исследования, построить ее

график: а) Заказать решение по высшей математике, б)Заказать решение по высшей математике.

Решение:

а) 1. Очевидно, что Заказать решение по высшей математике.

2. Заказать решение по высшей математике. Заметим, что Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике не является ни четной, ни нечетной.

3. Функция Заказать решение по высшей математике не является периодической, поскольку Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Аналогично убеждаемся в том, что Заказать решение по высшей математике не является периодической функцией. Следовательно, Заказать решение по высшей математике не является периодической функцией.

4. Заказать решение по высшей математике - точка разрыва. Найдем Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике прямая Заказать решение по высшей математике = -1 является вертикальной асимптотой.

5. Найдем уравнения наклонных асимптот. Вычисления дают: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике - наклонная асимптота при Заказать решение по высшей математике.

6. Заметим, что Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике = 1.

7. Находим: Заказать решение по высшей математике. Тогда, исследуя знаки Заказать решение по высшей математике методом интервалов, заключаем, что Заказать решение по высшей математике возрастает на (Заказать решение по высшей математике -5), (-1, 1) и (1, Заказать решение по высшей математике) и убывает на (-5, -1). Таким образом, в точке Заказать решение по высшей математике = -5 Заказать решение по высшей математике имеет экстремум: Заказать решение по высшей математике -13,5. В точке Заказать решение по высшей математике = 1 экстремума нет (почему мы не рассматриваем точку Заказать решение по высшей математике = -1?). Однако указанные особенности поведения функции еще не позволяют нам однозначно судить о виде графика Заказать решение по высшей математике. Очевидно, что окончательный ответ на этот вопрос мы можем получить, только исследовав промежутки выпуклости Заказать решение по высшей математике.

8. Находим: Заказать решение по высшей математике. Точка возможного перегиба - Заказать решение по высшей математике = 1, интервалы выпуклости - (Заказать решение по высшей математике -1), (-1, 1) и [1, Заказать решение по высшей математике). Установим знаки Заказать решение по высшей математике на каждом из этих интервалов. Заключаем, что Заказать решение по высшей математике выпукла вверх на (Заказать решение по высшей математике -1] и (-1, 1] и выпукла вниз на [1, Заказать решение по высшей математике). Точка Заказать решение по высшей математике = 1 является точкой перегиба.

9. Сведем полученные данные в таблицу 1. Добавим значение Заказать решение по высшей математике(10) = 6,05.

Таблица 1
Заказать решение по высшей математике

Эскиз графика Заказать решение по высшей математике представлен на (рис. 19).

б) 1. Функция определена и непрерывна на Заказать решение по высшей математике

2. Функция нечетная: Заказать решение по высшей математике. Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат.

3. Не периодическая.

4. Точек разрыва нет, следовательно, нет вертикальных асимптот.

5. Ищем наклонные асимптоты:

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

(предел находится по правилу Лопиталя). Итак, наклонная асимптота имеет уравнение Заказать решение по высшей математике =0.

6. Очевидно, Заказать решение по высшей математике. График проходит через начало координат и других общих точек с осями координат не имеет. На (Заказать решение по высшей математике 0) имеем Заказать решение по высшей математике, следовательно, график расположен ниже оси абсцисс. На (0, Заказать решение по высшей математике) имеем Заказать решение по высшей математике, следовательно, график расположен выше оси абсцисс.

7. Исследуем функцию с помощью Заказать решение по высшей математике. Имеем Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике - критические точки. На (Заказать решение по высшей математике -1) и (1,Заказать решение по высшей математике) функция убывает, так как Заказать решение по высшей математике. На (-1, 1) функция возрастает, так как Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике = -1 - точка минимума, Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике = 1 - точка максимума, Заказать решение по высшей математике.

8. Исследуем функцию с помощью Заказать решение по высшей математике. Имеем Заказать решение по высшей математике. Отсюда Заказать решение по высшей математике - точки возможного перегиба. На Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике - график выпуклый вверх. На интервалах Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике - график выпуклый вниз. Точки перегиба Заказать решение по высшей математике. Значения функции в этих точках Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

9. Сводим результаты исследования в таблицу 2, пользуясь нечетностью функции, и строим эскиз графика (рис. 20).

Таблица 2

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №42

Дан прямой круговой конус К с радиусом основания Заказать решение по высшей математике, образующая его наклонена к плоскости основания под углом Заказать решение по высшей математике. Требуется вписать в К прямой круговой конус Заказать решение по высшей математике наибольшего объема при условии, что вершина Заказать решение по высшей математике совпадаете центром основания конуса К.

Решение:

Сделаем чертеж (рис. 21).

Заказать решение по высшей математике

Рис. 21

Рассмотрим осевое сечение конуса К. Пусть Заказать решение по высшей математике - радиус основания вписанного конуса. Его высота Заказать решение по высшей математике находится из прямоугольного треугольника АВС. Так как Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике.

Итак, объем вписанного конуса Заказать решение по высшей математике. Найдем максимум этой функции на промежутке Заказать решение по высшей математике. Производная Заказать решение по высшей математике. Отсюда Заказать решение по высшей математике = 0 или Заказать решение по высшей математике. При Заказать решение по высшей математике = 0 объем конуса Заказать решение по высшей математике равен нулю. При переходе через вторую критическую точку производная Заказать решение по высшей математике меняет знак с плюса на минус. Значит, объем конуса будет максимальным при Заказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике. Объем конуса Заказать решение по высшей математике составляет Заказать решение по высшей математике объема конуса К.

 

 

Уравнение касательной в точке , уравнение нормальной плоскости, проходящей через и кривизна кривой в точке , заданной векторно-параметрическим уравнением

 

Заказать решение по высшей математике

Касательный вектор к кривой Г в точке Заказать решение по высшей математике определяется по формуле Заказать решение по высшей математике. Предполагается, что Заказать решение по высшей математике существуют и одновременно не равны нулю. Тогда искомые уравнения касательной имеют вид

Заказать решение по высшей математике

Соответственно уравнение нормальной плоскости имеет вид

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Кривизна кривой Г в точке Заказать решение по высшей математике есть величина Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №43

Найти уравнение касательной, уравнение нормальной плоскости и вычислить кривизну линии Заказать решение по высшей математике в точке Заказать решение по высшей математике=0

Решение:

Вычисления дают Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Искомые уравнения касательной Заказать решение по высшей математике. Искомое уравнение нормальной плоскости Заказать решение по высшей математике то есть Заказать решение по высшей математике.

Найдем числитель в формуле для кривизны Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Длина этого вектора равна Заказать решение по высшей математике. Длина вектора Заказать решение по высшей математике равна Заказать решение по высшей математике. Подставляя эти значения в формулу для кривизны, получим Заказать решение по высшей математике.

 

 

 

Неопределенный и определенный интегралы

 

Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию, поэтому основные формулы интегрирования получают из формул дифференцирования. Отыскание неопределенного интеграла некоторой функции называется интегрированием.

Сравнивая операции дифференцирования и интегрирования функций, сделаем два замечания:

1. Если для дифференцируемости функции в точке непрерывность функции в этой точке является условием необходимым, но недостаточным, то для интегрируемости функции на отрезке, наоборот, непрерывность функции на этом отрезке является только условием достаточным, но не необходимым.

2. Каждая дифференцируемая функция имеет единственную производную, а операция интегрирования многозначна, так как функция имеет одну первообразную на отрезке, то она имеет и бесконечное множество первообразных на этом отрезке, отличающихся одна от другой на постоянное число.

 

 

Определение и основные свойства неопределенных интегралов

 

Первообразной функцией Заказать решение по высшей математике в данном интервале называется функция Заказать решение по высшей математике если в каждой точке этого интервала Заказать решение по высшей математике

Нетрудно доказать, что первообразные функции Заказать решение по высшей математике, и только они, содержатся в выражении Заказать решение по высшей математике где С - произвольная постоянная.

Если Заказать решение по высшей математике - первообразная функция Заказать решение по высшей математике в некотором интервале, то выражение Заказать решение по высшей математике называется неопределенным интегралом и обозначается символом Заказать решение по высшей математике, т.е. Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике называется подынтегральным выражением.

Интегрирование проверяется дифференцированием, поэтому

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Действия интегрирования и дифференцирования являются взаимно обратными: Заказать решение по высшей математике, в частном случае

Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике.

2. Постоянный множитель, стоящий под знаком интеграла, можно вынести за знак интеграла: Заказать решение по высшей математике, где С - константа.

3. Интеграл алгебраической суммы равен алгебраической сумме интегралов слагаемых:

Заказать решение по высшей математике.

Приведем таблицу интегралов, на которую мы в дальнейшем будем ссылаться.

1) Заказать решение по высшей математике. 14) Заказать решение по высшей математике.

2) Заказать решение по высшей математике. 15) Заказать решение по высшей математике.

3) Заказать решение по высшей математике. 16) Заказать решение по высшей математике.

4) Заказать решение по высшей математике. 17) Заказать решение по высшей математике.

5) Заказать решение по высшей математике 18) Заказать решение по высшей математике.

6) Заказать решение по высшей математике. 19) Заказать решение по высшей математике

7) Заказать решение по высшей математике. 20) Заказать решение по высшей математике

8) Заказать решение по высшей математике. 21) Заказать решение по высшей математике

9) Заказать решение по высшей математике. 22) Заказать решение по высшей математике

10) Заказать решение по высшей математике. 23) Заказать решение по высшей математике

11) Заказать решение по высшей математике. 24) Заказать решение по высшей математике

12) Заказать решение по высшей математике. 25) Заказать решение по высшей математике

13) Заказать решение по высшей математике.

Часто при вычислении интегралов используют следующее равенство: если Заказать решение по высшей математике, то

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Этот прием позволяет упростить вычисление ряда интегралов.

 

 

Заказ №44

Вычислить интеграл Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

 

 

§2. Интегрирование путем подстановки

2.1. Подведение под знак дифференциала

По определению дифференциала:

Заказать решение по высшей математике.

Переход в этом равенстве слева направо называют подведением множителя Заказать решение по высшей математике под знак дифференциала.

Например:

1. Заказать решение по высшей математике 4. Заказать решение по высшей математике

2. Заказать решение по высшей математике 5. Заказать решение по высшей математике.

3. Заказать решение по высшей математике 6. Заказать решение по высшей математике и т. д.

Справедлива формула

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

В данной контрольной работе составлены примеры на эту формулу в задаче 13(a).

 

 

Заказ №45

Найти неопределенные интегралы:

1. Заказать решение по высшей математике, 2. Заказать решение по высшей математике, 3. Заказать решение по высшей математике

Решение:

1. Заказать решение по высшей математике.

Пусть Заказать решение по высшей математике, тогда Заказать решение по высшей математике. Переходя к первоначальной переменной Заказать решение по высшей математике, окончательно получим Заказать решение по высшей математике.

Сделаем проверку: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике - это подынтегральная функция. Следовательно, интеграл вычислен верно.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

1. Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Здесь, очевидно, Заказать решение по высшей математике. При некотором навыке замена функции через Заказать решение по высшей математике обычно происходит устно.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

3. Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике

 

 

Интегрирование по частям

 

Метод опирается на равенство

Заказать решение по высшей математике.

Для применения этого метода подынтегральное выражение следует представить в виде произведения одной функции на дифференциал другой функции. При этом целесообразно в качестве и выбирать функцию, упрощающуюся при дифференцировании Заказать решение по высшей математике.

Интегрированием по частям легко решаются интегралы вида:

1. Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике 4. Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

2. Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике 5. Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

3. Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике 6. Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №46

Найти неопределенный интеграл Заказать решение по высшей математике

Решение:

Все интегралы вычисляются с помощью интегрирования по частям:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Для вычисления интеграла Заказать решение по высшей математике применим еще раз интегрирование по частям:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Тогда Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике

2.3. Указания к решению задач 1) в, г,

В предлагаемой литературе, приведенной в контрольном задании, подробно рассмотрены основные классы интегрируемых функций. Изучите примеры и методы их интегрирования.

В задаче 13(в) представлены интегралы вида:

1. Заказать решение по высшей математике, 3. Заказать решение по высшей математике,

2. Заказать решение по высшей математике 4. Заказать решение по высшей математике,

которые легко свести к одному из табличных интегралов №16-21. Для этого необходимо уметь выделять полный квадрат из квадратного трехчлена:

Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №47

Найти неопределенный интеграл Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Выделим полный квадрат: Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №48

Найти неопределенный интеграл Заказать решение по высшей математике,

Решение:

В задаче 13(г) используется схема интегрирования рациональных дробей. Дробь Заказать решение по высшей математике рациональная, правильная (степень числителя меньше степени знаменателя), поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей, а именно:

Заказать решение по высшей математике.

Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая числители, получим тождество:

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике.

Коэффициенты при одинаковых степенях Заказать решение по высшей математике в обеих частях тождества должны быть равны, поэтому получим систему уравнений

Заказать решение по высшей математике

откуда А = 2, В = -1, С = -6.

Прием, с помощью которого найдены неизвестные А, В, С, называется способом сравнения коэффициентов.

Для определения коэффициентов часто бывает удобнее применить способ частных значений, состоящий в том, что после приравнивания числителей аргументам Заказать решение по высшей математике придают некоторые удобные значения (читайте литературу).

Итак, Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №49

Найти неопределенный интеграл Заказать решение по высшей математике.

Решение:

В задаче 13(д) представлен интеграл, который надлежащей заменой переменной может быть сведен к интегралам от рациональных функций.

Так как Заказать решение по высшей математике, то наименьший общий знаменатель равен 6. Следовательно, сделаем замену:

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Тогда Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Дробь Заказать решение по высшей математике рациональная, неправильная (степень числителя больше степени знаменателя), поэтому выделим целую часть:

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Перейдем к аргументу Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

В задаче 13(e) рассматриваются интегралы вида Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - рациональная функция от Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике

С помощью универсальной подстановки Заказать решение по высшей математике интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби нового аргумента Заказать решение по высшей математике При такой подстановке:

Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике.

Замечание. Универсальная подстановка Заказать решение по высшей математике нередко приводит к сложным выкладкам, поэтому изучите частные подстановки (читайте предлагаемую литературу).

 

 

Заказ №50

Найти неопределенный интеграл Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Используем универсальную подстановку Заказать решение по высшей математике, тогда

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.-ii
Перейдем к переменной Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

 

 

Определенный интеграл

 

Приступая к изучению этой темы, необходимо усвоить определение и основные свойства определенного интеграла.

При вычислении определенного интеграла используют формулу Ньютона - Лейбница.

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - любая первообразная функция Заказать решение по высшей математике.

Методы вычисления определенных интегралов:

1. Замена переменной осуществляется по формуле

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике

Эта формула справедлива, если Заказать решение по высшей математике - непрерывная функция, а подстановка Заказать решение по высшей математике сама непрерывна на отрезке Заказать решение по высшей математике. Подчеркнем, что при вычислении определенного интеграла методом замены переменной, в отличие от неопределенного интеграла, возврат к старой переменной не требуется.

2. Интегрирование по частям

Если функции Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике имеют непрерывные производные на Заказать решение по высшей математике, то справедлива формула

Заказать решение по высшей математике,

где символ Заказать решение по высшей математике обозначает разность Заказать решение по высшей математике.

 

 

 

Приложения определенного интеграла

 

В этой теме предусмотрено применение определенного интеграла для вычисления площадей различных фигур, объемов тел вращения, длин кривых, работы и силы давления.

 

Вычисление площади в прямоугольных координатах

 

а) Если непрерывная кривая задана уравнением Заказать решение по высшей математике (j(x) > 0), площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, прямыми Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике и осью Заказать решение по высшей математике (рис. 22), вычисляется по формуле Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике

б) Если криволинейная трапеция ограничена непрерывными кривыми Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике причем Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике и прямыми Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, то ее площадь вычисляется по формуле Заказать решение по высшей математике (рис. 23).

В отдельных случаях какая-либо граница Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике может выродиться в

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Рис. 23 Рис. 24
точку пересечения кривых Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике (рис. 24).

 

 

Параметрически заданная кривая

 

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя прямыми Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике и осью Заказать решение по высшей математике выражается интегралом

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике определяются из уравнений Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике

 

 

Вычисление площади в полярных координатах

 

Если кривая задана уравнением в полярных координатах Заказать решение по высшей математике то площадь криволинейного сектора ОАВ (рис. 25) вычисляется по формуле

Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике
Рис. 25

 

 

Объем тела вращения

 

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой Заказать решение по высшей математике осью Заказать решение по высшей математике и прямыми Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике (см. рис. 22), вычисляется по формуле Заказать решение по высшей математике.

Объем тела, образованного вращением вокруг оси Заказать решение по высшей математике фигуры, ограниченной кривой Заказать решение по высшей математике осью ординат и прямыми Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике(рис. 26), вычисляются по формуле Заказать решение по высшей математике.

Если Заказать решение по высшей математике задана параметрическими уравнениями

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике то формула принимает вид

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике находятся из уравнений Заказать решение по высшей математике

 

 

Длина плоских кривых

 

Если плоская кривая задана уравнением у = у(х) и производная Заказать решение по высшей математике непрерывна, то длина дуги этой кривой выражается интегралом

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - абсциссы концов дуги.

1. Если кривая задана уравнениями вида Заказать решение по высшей математике то

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике - ординаты концов дуги.

2. Если кривая задана в параметрической форме Заказать решение по высшей математике и производные Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике непрерывны на отрезке Заказать решение по высшей математике то длина дуги кривой выражается интегралом

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике - значения параметра Заказать решение по высшей математике соответствующие концам дуги Заказать решение по высшей математике

3. Если гладкая кривая задана уравнением Заказать решение по высшей математике (см. рис. 25) в полярных координатах, то длина дуги Заказать решение по высшей математике кривой выражается интегралом

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике — значения полярного угла Заказать решение по высшей математике в концах дуги Заказать решение по высшей математике

 

 

Физическое приложение

 

1) Общая схема применения определенного интеграла

Пусть требуется найти некоторую физическую величину Заказать решение по высшей математике имеющую определенное значение на отрезке Заказать решение по высшей математике. Предполагается, что Заказать решение по высшей математике является аддитивной величиной, т. е. если отрезок Заказать решение по высшей математике делится на части, то величина Заказать решение по высшей математике складывается из суммы значений Заказать решение по высшей математике, соответствующих этим частям. Из условия задачи находят «элемент» Заказать решение по высшей математике величины Заказать решение по высшей математике, отвечающий «элементарному» промежутку Заказать решение по высшей математике в виде Заказать решение по высшей математике. После этого, интегрируя по отрезку Заказать решение по высшей математике, получают величину Заказать решение по высшей математике.

2) Путь, пройденный точкой.

Пусть точка движется по прямой с переменной скоростью Заказать решение по высшей математике Определить путь, пройденный точкой от момента времени Заказать решение по высшей математике до момента Заказать решение по высшей математике

Решение. За элементарный промежуток времени Заказать решение по высшей математике точка пройдет путь

Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике - «элемент пути» и Заказать решение по высшей математике.

3) Работа силы.

Пусть материальная точка движется вдоль оси Заказать решение по высшей математике от точки Заказать решение по высшей математике до точки Заказать решение по высшей математике под действием переменной силы Заказать решение по высшей математике причем направление силы совпадает с направлением движения. Найти работу, произведенную силой при этом перемещении.

Решение. На элементарном перемещении Заказать решение по высшей математике работа силы равна Заказать решение по высшей математике Мы получили «элементарную» работу Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

4) Сила давления жидкости на пластину выражается формулой

Заказать решение по высшей математике,

где Заказать решение по высшей математике - глубина, на которой находится самая верхняя точка пластинки; Заказать решение по высшей математике - глубина, на которой находится самая нижняя ее точка; Заказать решение по высшей математике- удельная плотность жидкости; Заказать решение по высшей математике - ускорение свободного падения; Заказать решение по высшей математике - расстояние точек пластинки до уровня жидкости; Заказать решение по высшей математике - длина горизонтального сечения пластинки (это неизвестная функция, зависящая от формы пластинки).

 

 

Заказ №51

Вычислить площадь фигуры, заключенной между линиями

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

Решение:

Построим данную фигуру:Заказать решение по высшей математике - гипербола, Заказать решение по высшей математике - прямая (рис. 27).

Найдем абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы, решив систему уравнений Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Искомая площадь равна:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №52

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Решение:

Уравнения в полярных координатах Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике являются окружностями (рис. 28). Кривые, заданные в полярных координатах, можно строить по точкам с помощью ЭВМ. Основные кривые рассматриваются в предлагаемой литературе.

Очевидно, что Заказать решение по высшей математике. Площадь криволинейного сектора можно найти по формуле Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Уравнение луча OA: Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике

Рис. 27

Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №53

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Заказать решение по высшей математике фигуры, ограниченной параболами Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Очевидно, что Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике - объем тела, полученный вращением трапеции ОABC, Заказать решение по высшей математике - объем тела, полученный вращением трапеции ODBC (рис. 29).

Найдем ординаты точек пересечения парабол:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике

Уравнение параболы Заказать решение по высшей математике (кривая OAВ) запишем в виде Заказать решение по высшей математике, тогда

Заказать решение по высшей математике,

Заказать решение по высшей математике

Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №54

Вычислить объем тела, которое получается от вращения фигуры, ограниченной кардиоидой Заказать решение по высшей математике вокруг полярной оси.

Решение:

Искомый объем представляет собой разность объемов, получаемых от вращения вокруг оси Заказать решение по высшей математике (она же и полярная ось) фигуры MNKLO и OKL (рис. 30).

Перейдем к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Очевидно, что абсцисса точки М равна Заказать решение по высшей математике (значение Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике = 0). Абсцисса точки К есть значение минимума функции Заказать решение по высшей математике

Найдем этот минимум: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике= 0 и Заказать решение по высшей математике. ПриЗаказать решение по высшей математике = 0, Заказать решение по высшей математике при Заказать решение по высшей математике получаем Заказать решение по высшей математике

Координаты точки Заказать решение по высшей математике Следовательно, искомый объем

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №55

Найти силу давления, испытываемую пластиной с одной стороны в форме полукруга радиуса Заказать решение по высшей математике, погруженного в жидкость так, что диаметр совпадает с поверхностью жидкости.

Решение:

Вычислим силу давления, испытываемую «элементом» пластины ABCD на глубине Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике - площадь элемента пластины ABCD (рис. 31), Заказать решение по высшей математике

Из Заказать решение по высшей математике по теореме Пифагора находим:

Заказать решение по высшей математике.

Тогда Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Вычислим силу давления на пластину:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Ответ: Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

 

 

Дифференциальные уравнения

 

Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия

 

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную Заказать решение по высшей математике искомую функцию Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике и ее производные Заказать решение по высшей математике

Символически дифференциальное уравнение можно написать так:

Заказать решение по высшей математике, или Заказать решение по высшей математике.

Неизвестной здесь является функция Заказать решение по высшей математике, входящая под знак производных (или дифференциалов).

Если искомая функция Заказать решение по высшей математике есть функция одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в уравнение.

Например, уравнение Заказать решение по высшей математике есть уравнение первого порядка, а уравнение Заказать решение по высшей математике - уравнение второго порядка.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция Заказать решение по высшей математике обращающая это уравнение в тождество.

Решение Заказать решение по высшей математике, заданное в неявном виде, называется интегралом дифференциального уравнения.

График дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется функция Заказать решение по высшей математике, зависящая от Заказать решение по высшей математике и n произвольных независимых постоянных Заказать решение по высшей математике обращающая это уравнение в тождество.

Общее решение, заданное в неявном виде Заказать решение по высшей математике называется общим интегралом.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, которое получается из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным.

Частным интегралом называется интеграл, полученный из общего, если придать определенные значения произвольным постоянным.

 

 

Уравнения с разделяющимися переменными

 

Если дифференциальное уравнение первого порядка можно привести к виду Заказать решение по высшей математике, где множители Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике зависят только от переменной Заказать решение по высшей математике, а множители Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике зависят только от переменной Заказать решение по высшей математике, то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Это уравнение решается путем деления обеих его частей на выражение Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике.

Общий интеграл полученного уравнения имеет вид

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №56

Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Разделим переменные Заказать решение по высшей математике и интегрируем Заказать решение по высшей математике. В результате вычисления интегралов получим: Заказать решение по высшей математике. Это выражение можно записать в иной форме: Заказать решение по высшей математике, т.к. всякое число можно представить в виде логарифма другого.

Таким образом, общий интеграл данного уравнения будет иметь вид

Заказать решение по высшей математике

 

 

Однородные уравнения первого порядка

 

Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных. Функция двух переменных Заказать решение по высшей математике называется однородной функцией

измерения Заказать решение по высшей математике, если при любом Заказать решение по высшей математике справедливо тождество Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №57

Функция Заказать решение по высшей математике есть однородная функция второго измерения, т.к.

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Уравнение Заказать решение по высшей математике называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка, если функции Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике являются однородными функциями одного и того же измерения.

Однородные дифференциальные уравнения решаются введением новой переменной Заказать решение по высшей математике по формуле Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике, при этом Заказать решение по высшей математике.

После подстановки данное однородное уравнение будет являться уравнением с разделяющимися переменными Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике; из него определяется Заказать решение по высшей математике, а из формулы Заказать решение по высшей математике искомая функция Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №58

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике, если Заказать решение по высшей математике = 0 при Заказать решение по высшей математике = 0.

Решение:

Здесь Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - однородные функции второго измерения. Применим подстановку Заказать решение по высшей математике, при этом Заказать решение по высшей математике. Получим: Заказать решение по высшей математике, или Заказать решение по высшей математике. Сгруппируем слагаемые относительно Заказать решение по высшей математике. Разделим переменные:

Заказать решение по высшей математике,

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Так как Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике - общий интеграл. Используя начальные условия Заказать решение по высшей математике имеем Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике = 0. Тогда Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - частное решение данного уравнения.

 

 

Линейные уравнения первого порядка

 

Уравнение Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция Заказать решение по высшей математике, стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е. Заказать решение по высшей математике, то уравнение называется линейным однородным, в противном случае - линейным неоднородным.

Таким образом, Заказать решение по высшей математике - линейное однородное уравнение, а Заказать решение по высшей математике - линейное неоднородное уравнение.

Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод. Для решения уравнения применяют подстановку Заказать решение по высшей математике, причем функцию Заказать решение по высшей математике считают новой неизвестной функцией, а функцию Заказать решение по высшей математике подчиняют условию: Заказать решение по высшей математике. Данная подстановка приводит к двум уравнениям с разделяющимися переменными относительно Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. Произведение полученных функций даст общее решение линейного уравнения: Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №59

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Здесь Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Имеем: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике - общее решение линейного уравнения.

II метод (Метод вариации произвольной постоянной).

В линейном однородном уравнении Заказать решение по высшей математике переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Заказать решение по высшей математике, легко находится. Затем находят общее решение неоднородного линейного уравнения Заказать решение по высшей математике, считая, что оно имеет такую же форму, как и общее решение соответствующего однородного уравнения Заказать решение по высшей математике, но где Заказать решение по высшей математике есть не постоянная величина, а неизвестная функция от Заказать решение по высшей математике, т.е. считая, что Заказать решение по высшей математике.

Полученное общее решение состоит из двух слагаемых: общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения.

 

 

Заказ №60

Найти общее решение уравнения Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Интегрируем соответствующее однородное уравнение:

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Считаем Заказать решение по высшей математике функциейЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Подставляем в исходное уравнение:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

 

 

 

Уравнение Бернулли

 

Уравнением Бернулли называется уравнение вида Заказать решение по высшей математике (здесь Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике). Это уравнение приводится к линейному с помощью подстановки Заказать решение по высшей математике. Решим линейное уравнение относительно функции Заказать решение по высшей математике и подставим вместо Заказать решение по высшей математике выражение Заказать решение по высшей математике. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

 

 

Заказ №61

Найти общее решение уравнения Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Разделив обе части уравнения на Заказать решение по высшей математике, получим: Заказать решение по высшей математике.

Введем новую переменную Заказать решение по высшей математике, тогда Заказать решение по высшей математике. Подставляя в уравнение, получим: Заказать решение по высшей математике. Это линейное уравнение относительно функции z.

Применим метод вариации произвольной постоянной:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Интегрируя по частям, находим

Заказать решение по высшей математике, следовательно, Заказать решение по высшей математике. Заменяя теперь Заказать решение по высшей математике на Заказать решение по высшей математике, получим:

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике. Это и есть общее решение исходного уравнения.

 

 

 

Дифференциальные уравнения высших порядков

 

Уравнения вида Заказать решение по высшей математике

Решение данного уравнения получается последовательным интегрированием его левой и правой частей.

 

 

Заказ №62

Найти частное решение уравнения Заказать решение по высшей математике, удовлетворяющее начальным условиям: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Это и есть общее решение. Чтобы найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, достаточно определить соответствующие значения Заказать решение по высшей математике:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

Таким образом, искомое частное решение имеет вид:

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Некоторые типы дифференциальных уравнений второго прядка, приводимые к уравнениям первого порядка

 

Уравнения не содержащие Заказать решение по высшей математике

Уравнение вида Заказать решение по высшей математике не содержит явным образом искомой функции Заказать решение по высшей математике. Порядок такого уравнения может быть понижен с помощью подстановки Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №63

Решить уравнения Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Положим Заказать решение по высшей математике, тогда Заказать решение по высшей математике, и мы получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике. Это уравнение является линейным. Найдем его общее решение, используя метод вариации произвольной постоянной.

Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике

Итак, Заказать решение по высшей математике, т.е. Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике

Замечание. Аналогичным способом можно проинтегрировать уравнение Заказать решение по высшей математике, полагая Заказать решение по высшей математике.

 

 

Уравнения, не содержащие

 

Уравнение вида Заказать решение по высшей математике не содержит явным образом независимую переменную Заказать решение по высшей математике. Порядок этого уравнения также может быть понижен. И в этом случае полагаем Заказать решение по высшей математике, но теперь мы будем считать Заказать решение по высшей математике функцией от Заказать решение по высшей математике (а не от Заказать решение по высшей математике, как прежде).

 

 

Заказ №64

Найти частное решение уравнения Заказать решение по высшей математике, удовлетворяющее начальным условиям Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Данное уравнение не содержит Заказать решение по высшей математике. Положим Заказать решение по высшей математике, рассматривая Заказать решение по высшей математике как функцию от Заказать решение по высшей математике. Тогда Заказать решение по высшей математике, и мы получаем уравнение первого порядка относительно вспомогательной функции Заказать решение по высшей математике:Заказать решение по высшей математике. Разделяя переменные, будем иметь: Заказать решение по высшей математике. Откуда Заказать решение по высшей математике, или Заказать решение по высшей математике, т.е. Заказать решение по высшей математике. Здесь мы можем сразу определить значение произвольной постоянной Заказать решение по высшей математике,

используя начальные условия: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике = 0. Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике. Пользуясь тем, чтоЗаказать решение по высшей математике, найдем Заказать решение по высшей математике. Искомое частное решение запишется: Заказать решение по высшей математике.

 

Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математикепостоянные числа.

Чтобы найти общее решение этого уравнения, достаточно найти два линейно независимых частных решения в виде Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике.

Подставляя эту функцию и ее производные Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике в рассматриваемое уравнение, получим: Заказать решение по высшей математике. Так как Заказать решение по высшей математике, значит Заказать решение по высшей математике.

Следовательно, если Заказать решение по высшей математике будет удовлетворять полученному уравнению, которое называется характеристическим, то Заказать решение по высшей математике будет решением исходного уравнения.

Характеристическое уравнение есть квадратное уравнение, имеющее два корня: обозначим их через Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. При этом

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Здесь возможны следующие случаи:

а) Корни характеристического уравнения действительны и различны.

В этом случае частными решениями будут функции Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. Общим решением уравнения будет Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №65

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Характеристическое уравнение имеет вид Заказать решение по высшей математике. Корни характеристического уравнения: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Общее решение:

Заказать решение по высшей математике.

б) Корни характеристического уравнения действительные и равные.

В этом случае мы имеем только одно частное решение Заказать решение по высшей математике, т.к. Заказать решение по высшей математике. При этом общее решение будет Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №66

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Составим характеристическое уравнение Заказать решение по высшей математике. Найдем его корни: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Общим решением будет функция

Заказать решение по высшей математике.

в) Корни характеристического уравнения комплексные.

Так как коэффициенты Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике характеристического уравнения действительные числа, то комплексные корни будут сопряженными. Причем,

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Общее решение в рассматриваемом случае имеет вид Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №67

Найти частное решение уравнения Заказать решение по высшей математике, удовлетворяющее начальным условиям Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Составим характеристическое уравнение Заказать решение по высшей математике. Найдем его корни Заказать решение по высшей математике. Следовательно, общее решение есть

Заказать решение по высшей математике. Найдем теперь частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. На основании первого условия находим Заказать решение по высшей математике, откуда Заказать решение по высшей математике = 0. Заметив, что Заказать решение по высшей математике, из второго условия получаем: Заказать решение по высшей математике, т.е. Заказать решение по высшей математике. Таким образом, искомое частное решение есть Заказать решение по высшей математике.

 

 

Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами

 

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеют вид Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - действительные числа.

Общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения Заказать решение по высшей математике этого уравнения и общего решения Заказать решение по высшей математике соответствующего однородного уравнения, т.е. Заказать решение по высшей математике.

Вид частного Заказать решение по высшей математике решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения. Рассмотрим некоторые случаи.

а) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Если Заказать решение по высшей математике, то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - неопределенные коэффициенты. Если Заказать решение по высшей математике = 0, то частное решение Заказать решение по высшей математике ищем в виде Заказать решение по высшей математике = Заказать решение по высшей математике, когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде Заказать решение по высшей математике, когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если Заказать решение по высшей математике - многочлен Заказать решение по высшей математике произвольной степени.

 

 

Заказ №68

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике.

Имеем: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Так как ноль - однократный корень характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде Заказать решение по высшей математике. Отсюда имеем: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Подставляем в исходное уравнение: Заказать решение по высшей математике. Искомые коэффициенты будут: Заказать решение по высшей математике = 1, Заказать решение по высшей математике = -1.

Значит, частное решение будет Заказать решение по высшей математике, а общее решение получается в виде Заказать решение по высшей математике.

б) Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Частное решение ищем в виде Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - неопределенный коэффициент. Если Заказать решение по высшей математике- корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде Заказать решение по высшей математике, когда Заказать решение по высшей математике - однократный корень, и в виде Заказать решение по высшей математике, когда Заказать решение по высшей математике - двукратный корень. Аналогично будет, если Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - многочлен.

 

 

Заказ №69

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Имеем: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Так как в характеристическом уравнении корень имеет кратность, равную двум, то частное решение данного уравнения ищем в виде Заказать решение по высшей математике. Далее имеем:

Заказать решение по высшей математике

в) Заказать решение по высшей математике (а и b не нули одновременно). В этом случае частное решение Заказать решение по высшей математике ищем также в форме тригонометрического двучлена Заказать решение по высшей математике, где А и В - неопределенные коэффициенты.

В случае Заказать решение по высшей математике = 0, Заказать решение по высшей математике (или когда Заказать решение по высшей математике - корни характеристического уравнения) частное решение исходного уравнения ищем в виде Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №70

Решить уравнение Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Имеем: Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Так как Заказать решение по высшей математике - корни характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде Заказать решение по высшей математике. Далее имеем:

Заказать решение по высшей математике

Для рассматриваемых дифференциальных уравнений справедлива так называемая теорема наложения, которая позволяет отыскивать частное решение в более сложных случаях.

Теорема. Если Заказать решение по высшей математике является решением уравнения Заказать решение по высшей математике, а Заказать решение по высшей математике решением уравнения Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике есть решение уравнения Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №71

Найти общее решение уравнения Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Характеристическое уравнение Заказать решение по высшей математике имеет корни Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике. Находим частное решение Заказать решение по высшей математике уравнения Заказать решение по высшей математике в виде Заказать решение по высшей математике, тогда Заказать решение по высшей математике. Отсюда Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

Частное решение Заказать решение по высшей математике уравнения Заказать решение по высшей математике ищем в форме Заказать решение по высшей математике.

Тогда Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Отсюда Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике.

Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

Наконец, находим частное решение Заказать решение по высшей математике уравнения Заказать решение по высшей математике в форме Заказать решение по высшей математике, тогда Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Подставляя в уравнение, получим:

Заказать решение по высшей математике. Отсюда имеем:

Заказать решение по высшей математике. Значит Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

По теореме наложения частное решение исходного уравнения будет:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике, тогда общее решение запишется так: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)

 

Этот метод применяется для отыскания частного решения Заказать решение по высшей математике линейного неоднородного уравнения, когда известно общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Пусть дано линейное неоднородное уравнение второго порядка Заказать решение по высшей математике и пусть общим решением соответствующего однородного уравнения Заказать решение по высшей математике является функция Заказать решение по высшей математике.

В такой же форме ищется и частное решение Заказать решение по высшей математике линейного неоднородного уравнения, только Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике считаются не произвольными постоянными, а некоторыми, пока неизвестными функциями от Заказать решение по высшей математике, т.е. полагаем, что Заказать решение по высшей математике. Дифференцируя это выражение дважды и подставляя его в исходное уравнение, получим уравнение относительно Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Кроме того, в данном методе полагают, что Заказать решение по высшей математике. Два последних уравнения образуют систему двух уравнений с двумя

неизвестными Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Интегрируя найденные значения, получим:Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. При этих значениях Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике получим частное решение Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №72

Найти общее решение уравнения Заказать решение по высшей математике.

Решение:

Характеристическое уравнение Заказать решение по высшей математике + 4 = 0 имеет корни Заказать решение по высшей математике. Значит, Заказать решение по высшей математике. Будем искать частное решение в форме Заказать решение по высшей математике находим, решая систему уравнений

Заказать решение по высшей математике

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Интегрируя, находим: Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике, а общее решение

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Системы дифференциальных уравнений. Общие определения. Сведение системы к одному дифференциальному уравнению высшего порядка

 

Системой дифференциальных уравнений называется совокупность уравнений, в каждое из которых входит независимая переменная, искомые функции и их производные.

Решение системы, состоящей из нескольких уравнений с таким же числом неизвестных функций, можно привести к решению дифференциального уравнения с одной неизвестной функцией.

Нормальная система уравнений:

Заказать решение по высшей математике

как правило, может быть заменена одним дифференциальным уравнением, порядок которого равен порядку системы.

 

 

Заказ №73

Найти общее решение системы уравнений

Заказать решение по высшей математике

Решение:

Продифференцировав первое уравнение по Заказать решение по высшей математике, заменим производную Заказать решение по высшей математике ее выражением из второго уравнения: Заказать решение по высшей математике.

Продифференцировав полученное уравнение еще раз, заменим производную Заказать решение по высшей математике ее выражением из третьего уравнения: Заказать решение по высшей математике. Подставляя в последнее уравнение Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике, окончательно получим Заказать решение по высшей математике. Решим это уравнение. Соответствующее ему характеристическое уравнение Заказать решение по высшей математике имеет корни Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике. Функции Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике в соответствии с соотношениями Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике после дифференцирования полученного для Заказать решение по высшей математике выражения имеют вид: Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике.

 

 

Решение систем дифференциальных уравнений с помощью характеристического уравнения

 

Пусть дана однородная система

Заказать решение по высшей математике

где Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике - постоянные. Будем искать частные решения системы в виде Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике неопределенные коэффициенты, которые следует найти. Уравнение

Заказать решение по высшей математике

называется характеристическим уравнением системы. Отыскав корни этого уравнения, и поочередно подставляя их в исходную систему, определим коэффициенты Заказать решение по высшей математике.

 

 

Заказ №74

Найти общее решение системы

Заказать решение по высшей математике

Решение:

Система в данном случае имеет вид: Заказать решение по высшей математике

Характеристическое уравнение

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике имеет корни Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Для Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Решением этой системы будут, например, числа Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике (здесь Заказать решение по высшей математике выбрано произвольно). Следовательно, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Для Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Решая эту систему, получим Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике; тогда Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Наконец, для Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Здесь можно положить Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике и будем иметь Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Общее решение данной системы дифференциальных уравнений таково:

Заказать решение по высшей математике

 

 

Заказ №75

Решить систему

Заказать решение по высшей математике

Решение:

Чаще системы дифференциальных уравнений записывают в виде: Заказать решение по высшей математике Составим характеристическое уравнение

Заказать решение по высшей математике и найдем его корни Заказать решение по высшей математике. Так как эти корни комплексные, система уравнений будет иметь комплексные коэффициенты и даст комплексные значения для чисел Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике. В этом случае, учитывая возможность произвольного выбора Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике, целесообразно сразу положить Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике и, записав функцию Заказать решение по высшей математике или, что то же самое, Заказать решение по высшей математике, найти функцию Заказать решение по высшей математике, используя первое уравнение системы: Заказать решение по высшей математике. Для этого найдем Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике. Подставляя Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике в первое уравнение системы, получим Заказать решение по высшей математике. Общим решением системы будет Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

 

 

Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

 

Задачи, решение которых приводится к интегрированию дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций, весьма разнообразны. В таких задачах ищется функция или зависимость между переменными факторами какого - либо физического, химического или технического процесса, уравнение линии или поверхности.

При решении этих задач вначале составляется дифференциальное уравнение задачи, которое затем решается тем или иным способом в зависимости от его типа.

 

 

Заказ №76

Моторная лодка движется со скоростью 18 км/ч. Через 5 мин после выключения мотора ее скорость уменьшилась до 6 км/ч. Найти расстояние, пройденное лодкой по инерции за 15 мин, если сопротивление воды пропорционально скорости движения лодки.

Решение:

Пусть Заказать решение по высшей математике - масса лодки, Заказать решение по высшей математике - путь, пройденный ею за время Заказать решение по высшей математике отсчитываемое от момента выключения двигателя, Заказать решение по высшей математике - скорость лодки в момент времени Заказать решение по высшей математике Тогда, согласно второму закону Ньютона, дифференциальное уравнение движения лодки будет

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Разделяя переменные и интегрируя, получим Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Исходя из начального условия Заказать решение по высшей математике = 18 при Заказать решение по высшей математике = 0, определяем значение постоянной Заказать решение по высшей математике8.

Следовательно, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Найдем параметр Заказать решение по высшей математике из условия, что через 5 мин = 1/12 ч скорость лодки стала 6 км/ч: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

Т. к. Заказать решение по высшей математике, то Заказать решение по высшей математике. Интегрируя, получим Заказать решение по высшей математике.

Исходя из начального условия Заказать решение по высшей математике = 0 при Заказать решение по высшей математике = 0, определяем значение постоянной Заказать решение по высшей математике. Следовательно, Заказать решение по высшей математике.

За 15 мин = 1/4 ч лодка пройдет расстояние Заказать решение по высшей математике км.

Ответ: Заказать решение по высшей математике 1315 м.

 

 

Комплексные числа

 

Числовые поля

Понятие числа прошло длинный путь исторического развития.

Одним из простейших числовых множеств является множество натуральных чисел Заказать решение по высшей математике: 1,2,3,4,5, ... Заказать решение по высшей математике ...

В нем всегда выполнимы два основных (прямых) алгебраических действия: сложение и умножение. Это означает, что, каковы бы ни были натуральные числа Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике, сумма их Заказать решение по высшей математике а также произведение Заказать решение по высшей математике являются непременно натуральными числами.

При этом соблюдаются следующие пять законов:

1) коммутативный (переместительный) закон сложения:

Заказать решение по высшей математике

2) ассоциативный (сочетательный) закон сложения:

Заказать решение по высшей математике

3) коммутативный (переместительный) закон умножения:

Заказать решение по высшей математике

4) ассоциативный (сочетательный) закон умножения:

Заказать решение по высшей математике

5) дистрибутивный (распределительный) закон умножения относительно сложения:

Заказать решение по высшей математике

Вычитание и деление в множестве натуральных чисел выполнимы не всегда.

Чтобы действие вычитания было выполнимым всегда, множество натуральных чисел нужно расширить путем присоединения к нему всех отрицательных целых чисел и нуля. В результате мы получим множество всех целых чисел Заказать решение по высшей математике ...,-3,-2-1,0,1,2,3,...

Числовое множество, в котором всегда выполнимы сложение и умножение, подчиненные указанным выше пяти законам, а также вычитание, называется кольцом.

Таким образом, множество Заказать решение по высшей математике образует кольцо. Чтобы действие деления было всегда выполнимым, множество целых чисел расширили путем присоединения к нему всех обыкновенных дробей, то есть чисел вида Заказать решение по высшей математике , где Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике - произвольные целые числа и Заказать решение по высшей математике0. В результате такого расширения мы получаем множество всех рациональных чисел. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной периодической дроби, поэтому рациональные числа - это числа, представимые в виде бесконечных периодических десятичных дробей..

Множество чисел, в котором всегда выполнимы действия сложения и умножения, подчиненные пяти основным законам, а также действия вычитания и деления (кроме деления на нуль), называется полем.

Множество рациональных чисел является простейшим числовым полем.

Числа, которые можно представить, в виде бесконечных непериодических десятичных дробей, называются иррациональными (т. е. нерациональными).

Все рациональные и все иррациональные числа, взятые вместе, образуют множество действительных чисел ( Заказать решение по высшей математике ).

Множество Заказать решение по высшей математике образует поле. Заметьте, что множество иррациональных чисел поля не образует. Так, например, Заказать решение по высшей математике.

 

Перед математикой встала задача: расширить поле действительных чисел путем присоединения к нему новых чисел так, чтобы расширенное множество образовывало числовое поле, в котором было бы выполнимо действие извлечения корней. Следовательно, расширенное поле должно содержать все действительные числа и в нем должно быть разрешимо уравнение Заказать решение по высшей математике = - 1 ( т. е. выполнимо извлечение корней - обратное действие возведению в степень).

Число, квадрат которого равен - 1, принято обозначать буквой i и называть мнимой единицей: Заказать решение по высшей математике = -1

Новое поле должно содержать все числа вида Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике, a i-мнимая единица. Эти числа называются комплексными числами. Число а принято называть действительной частью, а выражение bi -мнимой частью комплексного числа. Число b называется коэффициентом при мнимой части.

Два комплексных числа считаются равными, если равны их действительные части и коэффициенты при мнимых частях.

Другими словами, Заказать решение по высшей математике тогда и только тогда, когда Заказать решение по высшей математике. Для комплексных чисел соотношения «<», «>» не имеют смысла.

 

Действия с комлексными числами в алгебраической форме

 

1. Суммой двух комплексных чисел Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике называется комплексное число Заказать решение по высшей математике: Заказать решение по высшей математике

В поле комплексных чисел роль нуля играет число Заказать решение по высшей математике

Для Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Числа a +bi и -а - bi называются противоположными.

2. Вычитание комплексных чисел: Заказать решение по высшей математике

3. Умножение комплексных чисел: Заказать решение по высшей математике.

4. Деление комплексных чисел.

Определение. Частным от деления комплексного числа Заказать решение по высшей математике на комплексное число Заказать решение по высшей математике называется такое комплексное число Заказать решение по высшей математике, которое при умножении на Заказать решение по высшей математике дает Заказать решение по высшей математике.

Рассмотрим практический способ деления.

Комплексное число Заказать решение по высшей математике называется сопряженным к комплексному числу Заказать решение по высшей математике. Произведение двух взаимно сопряженных комплексных чисел есть число действительное. Пусть нужно найти частное Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Умножим числитель и знаменатель этой дроби на число сопряженное знаменателю. В результате мы получим дробь, знаменатель которой будет действительным числом:

Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике

Степени мнимой единицы Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике; Заказать решение по высшей математике и т. д.

Примеры:

1. Найти действительные числа Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике из уравнений:

a) Заказать решение по высшей математике

b) Заказать решение по высшей математике

2. Вычислить, a) Заказать решение по высшей математике; б) Заказать решение по высшей математике; в) Заказать решение по высшей математике; r) Заказать решение по высшей математике; д) Заказать решение по высшей математике; e) Заказать решение по высшей математике; ж) Заказать решение по высшей математике з) Заказать решение по высшей математике.

 

 

Решение алгебраических уравнений в поле комплексных чисел

 

Алгебраическое уравнение Заказать решение по высшей математике-ой имеет вид:

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - неизвестная величина, Заказать решение по высшей математике - заданные комплексные числа, причем Заказать решение по высшей математике0. В 1799 г. выдающийся немецкий математик Гаусс (1777 - 1855) доказал основную теорему алгебры: любое алгебраическое уравнение Заказать решение по высшей математике -й степени имеет ровно Заказать решение по высшей математике комплексных корней, если каждый корень считать столько раз, какова его кратность.

 

 

Заказ №77

Решить уравнения: 1. Заказать решение по высшей математике+ 16=0; 2. Заказать решение по высшей математике; 3. Заказать решение по высшей математике

Решение:

1. Заказать решение по высшей математике =-16, Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Отв. Заказать решение по высшей математике

2. Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Отв. Заказать решение по высшей математике

3. Заказать решение по высшей математике Отв. Заказать решение по высшей математике

 

 

Тригонометрическая форма комплексных чисел

 

Множество всех действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех точек числовой прямой.

Множество всех комплексных чисел находится во взаимном однозначном соответствии с множеством всех точек плоскости. То есть, каждому комплексному числу Заказать решение по высшей математике соответствует одна определенная точка на плоскости с координатами Заказать решение по высшей математике и наоборот.

С каждой точкой плоскости Заказать решение по высшей математике можно связать вектор Заказать решение по высшей математике, выходящий из начала координат и оканчивающийся в точке А. Координаты вектора Заказать решение по высшей математике при этом будут такими же, как и координаты точки А. Очевидно, множество всех комплексных чисел находится во взаимном однозначном соответствии с множеством всех векторов плоскости, выходящих из начала координат.

Пусть комплексному числу Заказать решение по высшей математике соответствует вектор Заказать решение по высшей математике с координатами Заказать решение по высшей математике (см рис 32). Обозначим длину вектора Заказать решение по высшей математике, а угол, который он образует с осью Заказать решение по высшей математике, через Заказать решение по высшей математике.

Заказать решение по высшей математике

По определению синуса и косинуса: Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математикеЗаказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике. Комплексное число Заказать решение по высшей математике можно записать в виде: Заказать решение по высшей математике.

Итак, любое комплексное число Заказать решение по высшей математике можно представить в тригонометрической форме:

Заказать решение по высшей математике где Заказать решение по высшей математике, а угол определяется из условия:

Заказать решение по высшей математике или Заказать решение по высшей математике.

Число Заказать решение по высшей математике называется модулем Заказать решение по высшей математике, а угол Заказать решение по высшей математике - аргументом (argz) комплексного числа Заказать решение по высшей математике.

 

 

Действия с комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

 

Пусть даны два комплексных числа: Заказать решение по высшей математике и Заказать решение по высшей математике.

Теорема 1. Модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргумент - сумме их аргументов.

Заказать решение по высшей математике

Теорема справедлива для любого числа сомножителей, т. е. при любом n. В частном случае, когда все сомножители равны между собой, получаем формулу Муавра:

Заказать решение по высшей математике

Теорема 3. Модуль частного двух комплексных чисел равен частному модулей делимого и делителя, а аргумент - разности аргументов делимого и делителя.

Заказать решение по высшей математике.

 

 

Справочный материал

 

Формулы сокращенного умножения:

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Действия со степенями.

1. Заказать решение по высшей математике, 2. Заказать решение по высшей математике, 3. Заказать решение по высшей математике.

4. Заказать решение по высшей математике, 5. Заказать решение по высшей математике.

Определения. Заказать решение по высшей математике=1, Заказать решение по высшей математике, Заказать решение по высшей математике.

Свойства арифметических корней (Заказать решение по высшей математике)

Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике Заказать решение по высшей математике

Разложение квадратного трехчлена на множители

Заказать решение по высшей математике, где Заказать решение по высшей математике - корни трехчлена

Заказать решение по высшей математике