Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Теория вероятностей — это предмет изучающий взаимные связи, проявляющиеся при возникновении самостоятельных событий или происшествий, их повторение носит системный характер. Несмотря на название дисциплины, вам придётся не только изучать теорию, но и решать задачи и задания.

Если у вас нет времени на выполнение заданий по теории вероятности, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиОтветы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Теория вероятностей", если у вас есть желание и много свободного времени!

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
  2. Правило суммы
  3. Правило произведения
  4. Типовые примеры заказов
  5. Случайные события и их вероятности
  6. Относительная частота события и случайные величины
  7. Важнейшие свойства вероятности случайного события
  8. Графические представления информации о выборке
  9. Сведения о статистике
  10. Комбинации и бином ньютона
  11. Размещения и перестановки
  12. Рассмотрим несколько таких уравнений
  13. Комбинаторика. правила суммы и произведения
  14. Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач

Правило суммы

Если некоторый объект А можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, а другой объект В можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, причём первые и вторые способы не совпадают, то любой из указанных объектов «или А, или В» можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами.

Правило произведения

Если некоторый объект А можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами и после каждого такого выбора второй объект В можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, то оба объекта «А и В» в указанном порядке можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами.

Существуют четыре схемы выбора Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов из множества состоящего из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов: с учётом порядка, без учёта порядка, с возвращением и без возвращения.

Сочетание есть неупорядоченная выборка элементов из некоторого множества S. Размещение есть упорядоченная выборка элементов из некоторого множества S.

В размещениях и сочетаниях можно как допускать, так и не допускать повторений. Так, выбирая два из трех элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности получаем девять размещений с повторениями:Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

и шесть размещений без повторений:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Мы имеем также шесть сочетаний с повторениями:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

и три сочетания без повторений:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Число размещений без повторений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности- это выборки (комбинации), состоящие из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Теорема 1. Число размещений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов обозначается символом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляется по формуле

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Действительно, первый элемент можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, т. е. на первое место можно поместить любой из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-1 элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-1 способами. Для выбора третьего элемента имеется Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-2 способов четвертого - Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-3 способа, и, наконец, для последнего Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-го элемента - Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способов. Таким образом, по правилу умножения существует Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способов выбораЗаказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов из данных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов, т.е. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

При составлении размещений без повторений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностимы получаем расстановки, отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называют перестановками из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов.

Следствие. Число перестановок обозначается через Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Формула для Заказать решение задач и заданий по теории вероятности получается из формулы для числа размещений без повторений.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь ее состав, говорят о сочетаниях. Итак, сочетаниями из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов называют всевозможные размещения, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов.

Теорема 2. Число сочетаний, которые можно составить из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов, обозначается через Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляется по формуле

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Формула для числа сочетаний легко получается из выведенной ранее формулы для числа размещений. В самом деле, составим сначала все сочетания из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все размещения из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого такого сочетания можно сделать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности перестановок, а число этих сочетаний равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Значит, справедлива формула Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Отсюда

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если при выборке Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.

Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов.

Теорема 3. Число всех размещений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов с повторениями обозначается символом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляется по формуле

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

  • Действительно, первый элемент можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами. После этого первый элемент возвращается и выбирается второй элемент, который можно выбрать так же Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами и так далее до последнего Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-го элемента, который можно выбрать теми же Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами. Таким образом, по правилу умножения существует Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способов выбора и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Имеются предметы Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиразличных типов. Сколько перестановок можно сделать из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, элементов первого типа, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов второго типа, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-то типа?

Рассмотрим следующий заказ в виде задачи от студента 1 курса

Число элементов в каждой перестановке равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняют Заказать решение задач и заданий по теории вероятности перестановок элементов второго типа,.... Заказать решение задач и заданий по теории вероятности перестановок элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-го типа.

Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы перестановки можно переставлять друг с другом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех Заказать решение задач и заданий по теории вероятности перестановок распадается на части, состоящие из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, выражается таким равенством:

Теорема 4. Число перестановок с повторениями из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов обозначается символом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляется по формуле

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

где Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если при выборке Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.

Теорема 5. Число всех сочетаний из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностис повторениями обозначается символом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляется по формуле

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Зашифруем каждую такую комбинацию (выборку) с помощью нулей и единиц: для каждого типа (всего типов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности) напишем столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделим друг от друга нулями (при этом если предметы какого-нибудь типа совсем не вошли в комбинацию, то запишем подряд два или большее число нулей).

  • При этом мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, то есть Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, а число нулей будет на 1 меньше, чем число типов предметов, то есть Заказать решение задач и заданий по теории вероятности -1.

Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиединиц и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности нулей. Различным комбинациям будут при этом соответствовать различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация. Итак, число Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности сочетаний элементов с повторениями из элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятноститипов равно числу Заказать решение задач и заданий по теории вероятности перестановок с повторениями из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности нулей и Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиединиц. А Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Поэтому

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Типовые примеры заказов

Заказ 1.

Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек ?

Решение:

Чтобы определить все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные трехэлементные подмножества множества, состоящего из семи элементов. Следовательно, искомое число способов равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказ 2.

Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?

Решение:

Искомое число способов равно

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказ 3.

Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова "математика"?

Решение:

Искомые слова представляют собой перестановки с повторением (Заказать решение задач и заданий по теории вероятности= 10 - число букв в слове) из элементов-букв множества Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, причем Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Следовательно, их число равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказ 4.

Сколько имеется костей в обычной игре «домино»?

Решение:

Кости домино можно рассматривать как сочетания с

повторениями по две из семи цифр множества {0,1,2,3,4,5,6}. Число всех таких сочетаний равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказ 5.

Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2, 5,7, 8?

Решение:

Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Случайные события и их вероятности

Построением и исследованием моделей различных процессов, связанных с понятием случайности, занимаются математическая статистика и теория вероятностей. К таким процессам, например, относятся риски (рискованные операции) на производстве и в банковском деле, массовые заболевания среди растений, животных или людей, азартные игры.

  • Из предыдущих классов вы уже имеете некоторые представления о теории вероятностей, теперь немного расширим и углубим их.

Важнейшими понятиями теории вероятностей являются вероятностный эксперимент (испытаниеу наблюдение), событие (следствие испытания) и вероятность события. Приведём примеры испытаний и их отдельных последствий — некоторых событий.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Последнее событие невозможное, поскольку на гранях игрального кубика нет нуля. Событие 3 достоверное, так как после зимы всегда наступает весна. События 1 и 2 случайные.

Вообще, событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти, достоверным — если оно всегда происходит. Если событие может произойти или не произойти, его называют случайным.

Принято считать, что невозможное и достоверное события — частные случаи случайного события.

События обозначают большими латинскими буквами А, В, С,..., или одной латинской буквой с индексом: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Содержание события подают в фигурных скобках. Например, третье событие из таблицы можно записать так:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности = {весна наступила}.

Сказать заранее о случайном событии, что оно состоится или не состоится, нельзя. Если же это событие массовое, выполняется много раз и при одинаковых условиях, то вероятность его наступления можно характеризовать некоторым числом.

Это можно сделать тогда, когда последствия испытаний равновозможные и составляют конечное множество, т.е. в условиях проведённого испытания нет оснований считать появление одного из следствий более или менее возможным, чем других.

Рассмотрим пример. Бросают один раз правильный однородный игорный кубик (рис. 159) и фиксируют количество очков на грани, оказавшейся вверху. Результатом такого испытания могут стать 6 различных событий: Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Эти шесть событий охватывают и исчерпывают все возможные последствия эксперимента. Они попарно несовместимы, ибо каждый раз выпадает только одно количество очков. Все шесть событий одинаково возможны, поскольку речь идёт об однородном кубике правильной формы и ловкость игрока исключается. В таком случае говорят, что для осуществления каждого из этих событий существует один шанс из шести.

Каждое из событий Заказать решение задач и заданий по теории вероятности вышеописанного испытания называют элементарным, а всё их множество — пространством элементарных событий.

Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством элементарных событии и обозначают греческой буквой Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (омега).

Если пространство элементарных событий для некоторого испытания состоит из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиравновозможных несовместимых событий, то вероятность каждого из них равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Например, вероятность того, что на подброшенном игорном кубике выпадет 5 очков, равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности . А вероятность того, что подброшенная монета упадёт вверх гербом, равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Вероятность события А обозначают Р(А). Если первое из этих событий обозначить буквой А, а второе — буквой В, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Есть события неэлементарные.

Рассмотрим, например, такое событие:

С = {появление пластинки домино с 10 очками}.

Поскольку пластинок домино всего 28, то испытание, связаНное с выбором одной пластинки, исчерпывается 28 равновозможными и независимыми последствиями. Следовательно, пространство элементарных событий для данного испытания состоит из 28 элементарных событий Заказать решение задач и заданий по теории вероятности где Заказать решение задач и заданий по теории вероятности- 1,2, ..., 28. Событие С может произойти, если произойдёт одно из двух элементарных событий (рис. 160):

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

1) Заказать решение задач и заданий по теории вероятности - {появление пластинки Заказать решение задач и заданий по теории вероятности };

2) Заказать решение задач и заданий по теории вероятности = {появление пластинки Заказать решение задач и заданий по теории вероятности }.

Говорят, что событию С способствуют два элементарных события (Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности) из возможных 28, поэтому Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .

Рассмотрим общий случай. Пусть испытание имеет конечное количество (Заказать решение задач и заданий по теории вероятности) равновозможных и несовместимых последствий и А — некоторое случайное событие, связанное с данным испытанием.

Будем называть элементарное событие Заказать решение задач и заданий по теории вероятности благоприятным для случайного события А, если наступление события Заказать решение задач и заданий по теории вероятности в результате испытания приводит к наступлению события А.

Если количество последствий (элементарных событий), благоприятных событию А, обозначить через Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, то вероятность случайного события А определяется по формуле: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Вероятностью случайного события А называют отношение числа Заказать решение задач и заданий по теории вероятности благоприятных для события А элементарных событий к числу Заказать решение задач и заданий по теории вероятностивсех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания. Такое определение вероятности называют классическим.

Перечислим важнейшие свойства вероятности случайного события.

  • 1. Если С — событие невозможное, то Р(С) = 0.
  • 2. Если В — событие достоверное, то Р(В) = 1.
  • 3. Если X — событие случайное, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.
  • 4. Если Заказать решение задач и заданий по теории вероятности — элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, тоЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 1.

Во время тестирования стиральной машины выяснилось, что одна из пяти деталей Заказать решение задач и заданий по теории вероятности имеет дефект. Есть возможность за один раз проверить три детали, которые механик произвольно выбирает из определённых. Чему равна вероятность того, что: а) будет проверена деталь Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (событие М); б) будут проверены детали Заказать решение задач и заданий по теории вероятностии Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (событие N); в) будет проверена хотя бы одна из деталей Заказать решение задач и заданий по теории вероятностии Заказать решение задач и заданий по теории вероятности(событие К)?

Решение:

Построим пространство элементарных событий для данного испытания (из 5 деталей выбирают 3). Имеем: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

а) Событию M способствуют 6 элементарных событий из 10: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Можем найти вероятность события М.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

б) Событию N способствуют 3 элементарных события из 10 (Заказать решение задач и заданий по теории вероятности), поэтому вероятность события N равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .

в) Событию К способствуют 9 элементарных событий из 10 (все, кроме Заказать решение задач и заданий по теории вероятности) поэтому вероятность события К равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Вычислять вероятности событий часто помогают правила и формулы комбинаторики.

Задача 2.

На вершину горы ведут 4 одинаково удобные тропы. Какова вероятность того, что вы подниметесь на гору и спуститесь с неё тем же маршрутом, которым проходил там ваш товарищ?

Решение:

Всего существует 4 • 4 = 16 различных маршрутов. Поскольку все они одинаково удобны, то вероятность пройтись по одному из них равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .

Ответ. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Задача 3.

Ученик цифрами 1, 2, 3, 4, 5 написал неизвестное вам пятизначное число. Какова вероятность того, что вы сразу отгадаете это число?

Решение:

Всего таких чисел есть Заказать решение задач и заданий по теории вероятности = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Вероятность угадать одно из них равна Заказать решение задач и заданий по теории вероятности . Ответ: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Задача 4.

В корзине есть 20 яблок, одинаковых на вид, 15 из них — сладкие, а 5 — кислые. Какова вероятность того, что взятые наугад два яблока окажутся кислыми?

Решение:

Выбрать пару из всех 20 яблок можно Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, а из 5 яблок — Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Следовательно, искомая вероятность Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 5.

Есть карточки с цифрами 3, 4,5, б, 7. Три из них выбирают наугад. Какова вероятность того, что из них можно составить арифметическую прогрессию?

Решение:

Три карты из пяти можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности = 10 способами. Арифметические прогрессии можно составить только из таких наборов: (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7) и (3, 5, 7). Всего этих наборов 4. Следовательно, искомая вероятность Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 6.

Из перевёрнутых 28 костяшек домино наугад берут одну. Какова вероятность того, что на одной из её частей окажется 1 очко (событие А)?

Решение:

Подсчитаем, сколько существует костяшек домино, содержащих одно очко:Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Их есть 7.

Всего возможностей выбора 28, покольку взять можно любую из 28 костяшек. Следовательно, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ: 0,25.

Задача 7.

На каждой из четырёх карточек написано одну из букв А, Й, Р, К. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово КРАЙ?

Решение:

Из четырёх данных букв можно образовать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности перестановки. Из них условие задачи удовлетворяет только одна. Следовательно, искомая вероятность Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .

Ответ. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 8.

На 1000 билетов лотереи приходится 1 выигрыш в 5000 грн, 10 выигрышей по 1000 грн, 50 — по 200 грн, 100 — по 50 грн. Остальные билеты невыигрышные. Найдите вероятность выигрыша на один билет, не менее чем 200 грн.

Решение:

Билетов, на которые приходятся выигрыши, не меньше 200 грн, всего 1 + 10 + 50 = 61. Общее количество билетов 1000. Поэтому искомая вероятность 61:1000 = 0,061.

Ответ.0,061.

Задача 9.

Студент пришёл на экзамен, зная ответы только на 20 из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что он из трёх предложенных вопросов знает ответы минимум на два.

Решение:

Всего вариантов троек вопросов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Из них Заказать решение задач и заданий по теории вероятности троек таких, на которые он может ответить полностью. Может он ответить и на Заказать решение задач и заданий по теории вероятности пар вопросов.

Если к каждой такой паре вопросов присоединить один из 5 вопросов, которые он не знает, получим еще 5Заказать решение задач и заданий по теории вероятности троек. Следовательно, искомая вероятность

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Относительная частота события и случайные величины

До сих пор речь шла о классическом понимании вероятности. Её вычисляют, исходя из того, что все рассматриваемые элементарные события одинаково вероятны. Такое случается сравнительно редко.

Представьте, что игральный кубик сделан так, что его грань с шестью очками находится дальше от центра масс, чем противоположная грань. Такой кубик и падает чаще вверх гранью с 6 очками. При этом наблюдается интересная и очень важная закономерность. Когда кто-то один подбросил такой кубик 1000 раз и он упал, например, 300 раз вверх гранью с 6-ю очками, то и другие экспериментаторы имели бы примерно такие же результаты. Много массовых случайных событий имеют свойство устойчивости. При достаточно большом числе независимых испытаний частота появления наблюдаемого события колеблется около одного и того же числа.

В справедливости этого многие специалисты убедились экспериментально. А математики Я. Бернулли, П. Чебышев и др. обосновали это утверждение и теоретически (закон больших чисел). Поэтому для таких (статистически устойчивых) событий есть смысл ввести понятие вероятности.

Если в Заказать решение задач и заданий по теории вероятностииспытаниях событие А происходит Заказать решение задач и заданий по теории вероятностираз, то дробь Заказать решение задач и заданий по теории вероятности определяет относительную частоту события А. Во многих реальных случаях с увеличением Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиотносительная частота событий стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числа Заказать решение задач и заданий по теории вероятности(когда Заказать решение задач и заданий по теории вероятности то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности). Это число Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают вероятностью события А.

Таково статистическое определение вероятности. Объем определённого им понятия гораздо шире того, что соответствует классическому определению (см. с. 314). Классическая вероятность — отдельный вид статистической. И всё же отличаются они существенно. Классическую вероятность вычисляют математическими методами, а статистическую в основном определяют экспериментально.

  • Теперь, говоря о вероятности, специалисты в основном подразумевают статистическую вероятность. Поэтому современная теория вероятностей тесно связана с математической статистикой. Объединение математической статистики и теории вероятностей называют стохастикой. Стохастический — значит случайный, вероятный.

Что такое экзит-пол? На каких основаниях ему доверяют? Экзит-пол — это опрос социологическими службами избирателей на выходе их из избирательных участков с целью предсказать результаты выборов до получения их от избирательных комиссий. Ему доверяют на основе устойчивости относительной частоты события. Если за какую-то партию или кандидата из правильно выбранных 100 избирателей проголосовали, например, 20 % избирателей участка, то можно надеяться (с погрешностью около 5 %), что так проголосовали и все избиратели участка.

Одно из важнейших понятий стохастики — случайная величина. Величину называют случайной, если она может принимать заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайных обстоятельств. Примеры:

  • 1) выигрыш на лотерейный билет;
  • 2) расстояние от точки попадания пули к центру мишени.

Значение первой из этих случайных величин — некоторые целые числа. Такие величины называют дискретными. Множество значений второй величины — некоторый непрерывный отрезок числовой прямой. Такие величины называют непрерывными.

Решим задачу:

Выпущено 100 лотерейных билетов. Из них 5 должны выиграть по 10 грн, 10 — по 5 грн, 40 — по 1 грн, остальные — безвыигрышные. Какой средний выигрыш приходится на один билет?

Решить эту задачу можно арифметическим способом:

(5 • 10 грн +10-5 грн + 40 • 1 грн): 100 = 1,4 грн.

Мы проиллюстрируем на этой задаче понятие случайной величины. Здесь выигрыш — случайная величина, которая может принимать значения 0, 1,5, 10 (грн) соответственно с вероятностями 0,45; 0,4; 0,1 и 0,05. Это — дискретная случайная величина Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Описанной ситуации соответствует такая таблица:Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Обратите внимание! Сумма вероятностей, имеющихся во второй строке таблицы, равна 1. Говорят, что данную случайную величину Заказать решение задач и заданий по теории вероятностираспределено по вероятностям.

Если случайная величина Заказать решение задач и заданий по теории вероятности принимает значения Заказать решение задач и заданий по теории вероятностис вероятностями соответственно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности то говорят, что величину Заказать решение задач и заданий по теории вероятностираспределено по такому закону:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Её среднее значение называют математическим ожиданием и обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Например, для предыдущей задачи

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Меру рассеиваний случайной величины вокруг ее математического ожидания называют её дисперсией. Дисперсию случайной величины Заказать решение задач и заданий по теории вероятности обозначают символом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляют по формуле Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Здесь Заказать решение задач и заданий по теории вероятности — математическое ожидание величины Заказать решение задач и заданий по теории вероятности — квадраты отклонений значений Заказать решение задач и заданий по теории вероятности от Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Величина Заказать решение задач и заданий по теории вероятности также случайная, её математическое ожидание Заказать решение задач и заданий по теории вероятности — дисперсия случайной величины Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Например, чтобы найти дисперсию рассмотренной выше случайной величины Заказать решение задач и заданий по теории вероятности сначала найдём отклонения всех её значений от математического ожидания:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Квадраты этих отклонений: 1,96, 0,16,12,96, 73,96. Найдём математическое ожидание случайной величины:Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

1,96 • 0,45 + 0,16 • 0,4 + 12,96 • 0,1 4- 73,96 • 0,05 = 5,94.

Это и есть дисперсия рассматриваемой случайной величины: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности= 5,94.

Если случайная величина дискретная и вероятности всех её значений равны, то говорят, что она имеет равномерное дискретное распределение вероятностей. По равномерному распределению выпадает число очков при подбрасывании правильного игрального кубика. А бывают другие распределения.

Для многих природных и общественных явлений характерны биномиальные распределения вероятностей. Биномиальное распределение возникает при последовательном проведении в одинаковых независимых условиях случайных опытов.

Английский математик А. Муавр ещё в XVIII в. измерил рост 1375 наугад выбранных женщин. На рисунке 164 изображена диаграмма, которая соответствует результатам его измерений.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если «успехом» назвать тот факт, что следующая встреченная женщина имеет рост, который находится в определённых пределах, то число женщин такой категории среди 1375 встреченных является случайной величиной с биномиальным распределением. Относительно параметра Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиможно утверждать, что этим числом может служить относительная частота женщин выделенной категории роста, поскольку число проведённых опытов достаточно большое и эта частота стабилизировалась. Английский психолог Ф. Гальтон сконструировал прибор (доску Гальтона), который наглядно показывает, как формируется случайная величина, распределённая по биномиальному закону, правда при Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (рис. 165). В верхний резервуар насыпаются шарики. Скатываясь по наклонной доске и обходя равномерно забитые в неё колышки, шарики заполняют нижние ячейки согласно биномиальному распределению вероятностей.

Если шариков достаточно много, то внизу они образуют симметричную горку колоколообразной формы. Верхний предел этой горки образует полигон, который при росте числа шариков приближается к кривой Гаусса — так называемой кривой плот ности стандартного нормального закона.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

В рассмотренном выше примере результаты измерения роста женщин разбиты на 18 групп с разностью Заказать решение задач и заданий по теории вероятности— 2,5 см. Если бы разбили их на большее количество групп, чтобы эта разность равнялась, например, 0,5 см, и построили соответствующий полигон, то образовалась бы ломаная из многих отрезков. А если бы разность Заказать решение задач и заданий по теории вероятностипродолжали уменьшать, то соответствующий полигон приближался бы к непрерывной кривой, изображённой на рисунке 164. Это — кривая плотности нормального распределения вероятностей.

Примерно так распределяются вероятности масс новорождённых, скоростей газовых молекул и многих других случайных величин физической, биологической или социальной природы. Биномиальное распределение характерно для многих дискретных случайных величин, а нормальное — для непрерывных. Если известно, что распределение вероятностей случайной величины нормальное, то достаточно знать только две её числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию), чтобы полностью описать распределение вероятностей.

Понимание сути нормального распределения необходимо всем учёным, исследующим закономерности живой или неживой природы и особенно — человеческого общества. Не случайно это распределение называют нормальным, оно — естественное. Именно так чаще всего распределяются не только массы, возрасты, физические возможности людей и человеческих сообществ, но и многие другие их характеристики. Не понимая этого, нельзя быть настоящим учёным.

Задача 10.

Найдите математическое ожидание случайной величины х, если закон её распределения представлен в таблице.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Решение:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности = 1 • 0,2 + 5 • 0,3 4- 10 • 0,4 + 15 • 0,1 = 7,2.

Ответ. 7,2.

Задачи в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества, называют комбинаторными.

  • Если элемент некоторого множества А можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, а элемент множества В Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, то элемент из множества А или из множества В можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами. Это — правило суммы.

Если первый компонент пары можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, а второй — Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, то такую пару можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами. Это — правили произведения.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают Заказать решение задач и заданий по теории вероятностифакториалом и обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Упорядоченные Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементные подмножества Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементного множества называют размещениями из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Их число обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Для любых натуральных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности верны равенства:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности или Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .

Число размещений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности равно произведению Заказать решение задач и заданий по теории вероятности последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Размещения из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают перестановками из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов. Их число обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Число перестановок из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, т. е. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Комбинацией из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают любое Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементное подмножество Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементного множества. Число комбинаций из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и вычисляют по формуле Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Статистика — это наука, которая занимается сбохюм, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями.

Мода выборки — ее варианта с наибольшей частотой. Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её вариантов.

Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством эле ментарных событии и обозначают греческой буквой Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (омега).

Вероятностью случайного события А называют отношение числа Заказать решение задач и заданий по теории вероятности благоприятных для события А элементарных событий к числу Заказать решение задач и заданий по теории вероятностивсех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Такое определение вероятности называют классическим.

Важнейшие свойства вероятности случайного события

1. Если С — событие невозможное, то Р(С) = 0.

2. Если В — событие достоверное, то Р(В) = 1.

3. Если X — событие случайное, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

4. Если Заказать решение задач и заданий по теории вероятности— элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если в Заказать решение задач и заданий по теории вероятностииспытаниях событие А происходит Заказать решение задач и заданий по теории вероятности раз, то дробь Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

определяет относительную частоту события А. Во многих реальных случаях с увеличением Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиотносительная частота события стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числаЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности (когда Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности). Это число Заказать решение задач и заданий по теории вероятности называют вероятностью события А. Таково статистическое определение вероятности.

Графические представления информации о выборке

Статистические данные сводят в таблицы. Статистическая таблица — это особая форма рационального и систематизированного изложения обобщающих характеристик статистической совокупности. Как и грамматическое предложение, статистическая таблица имеет подлежащее и сказуемое. В подлежащем приводится перечень элементов, явлений, признаков, указанных в таблице. В сказуемом таблицы подаются количественные характеристики. Например, в приведённой ниже таблице сбора зерна в некоторых странах в 1995 г. подлежащим является левая колонка. Числовые данные в других — сказуемое таблицы.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Информацию о той или иной выборке часто подают графически, чаще всего в форме диаграмм. Слово диаграмма в переводе с греческого означает рисунок, чертёж. Правда, теперь этим словом называют не любой рисунок, а схематическое изображение отношений между множествами, различные структуры, алгоритмы действий и т. д. Отношения (соотношения) между множествами и объёмами понятий зачастую изображают в виде диаграмм-деревьев или диаграмм Эйлера {рис. 137,135).

Структуры моделей, различные диаграммы классов, состояний удобно подавать в виде круговых (секторных) диаграмм.

На рисунках 144 и 145 на секторной и столбчатой диаграммах изображены соотношения между численностью граждан разных национальностей (согласно переписи 2001 г.).

Столбчатую диаграмму из соединённых прямоугольников называют гистограммой. На рисунке 146 изображена гистограмма, которая соответствует приведённой ниже таблице распределения рабочих цеха по тарифным разрядам. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Иногда вместо гистограммы строят полигон распределения, соединяя отрезками середины верхних оснований последовательных прямоугольников гистограммы (рис. 147). Бывают и другие диаграммы.

Информацию о динамике того или иного явления графически удобно изображать с помощью столбчатых диаграмм или графиков. Например, на рисунке 148 приведена диаграмма динамики рождаемости от 1960 до 2002 года; на рисунке 149 —

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности графики, отражающие динамику количества учеников, классов и школ в сёлах.

В социологии диаграммы часто строят на основе полярной системы координат. На двух следующих диаграммах (рис. 150. 151) большим расстояниям от полюса 0 соответствуют большие значения величин. Проанализируйте эти диаграммы.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 11.

По данным таблицы «Структура валового сбора зерновых культур в мире (%)» постройте секторную диаграмму.Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Решение:

На 100 % приходится 360°, а на 1% — 3,6°. Умножив 3,6° на данные таблицы, получим: 100,8°; 93,6°; 90°; 36°; 7,2°; 7,2°; 25,2°. Построив центральные углы с соответствующими градусными мерами, получим нужную диаграмму (рис. 152). Достаточно просто построить такую диаграмму с помощью программы Microsoft Graf (через команды Вставка / Объект / Диаграмма Microsoft Graf ) или программы Excel.Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Сведения о статистике

Статистика — это наука, которая занимается сбором, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями. Статистические сведения о какой-то большой совокупности объектов (генерал ьной совокупности) получают в основном в результате анализа только незначительной её части — выборки. Чтобы узнать, например, о наиболее распространённом размере мужской обуви, достаточно опросить несколько десятков мужчин. Предположим, что, опросив 60 мужчин, получили результаты, приведённые в таблице:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Это — частотная таблица, в ней числа второй строки — частоты. Например, частота обуви размера 29 равна б. Относительная частота этого размера

6:60-0,1=10%.

Проанализировав такую выборку, делают общий вывод: примерно 10 % мужской обуви надо делать 29 размера, а размера 26 — вдвое меньше. Это — приближённые отношения, но для практики таких приближений бывает достаточно.

Математическим анализом различных выборок занимается математическая статистика. Её основная задача — разрабатывать эффективные методы изучения больших совокупностей объектов на основе сравнительно небольших выборок.

Каждый элемент выборки называют её вариантой. Выборка, полученная в результате наблюдений, бывает неупорядоченной. Упорядочив её, получают вариационный ряд. Разность между крайними членами вариационного ряда — размах выборки. Пусть дано выборку

4, 3, 7, 9, 6, 8, 2, 6, 1, 7, 7, 3, 2, 5.

Упорядочив её по возрастанию вариант, получим вариационный ряд:

1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9.

Размах данной выборки Заказать решение задач и заданий по теории вероятности— 9 - 1 = 8.

Мода выборки — её варианта с найбольшей частотой (обозначается Заказать решение задач и заданий по теории вероятности). Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам (обозначается Заказать решение задач и заданий по теории вероятности).

Следовательно, для данной выборки Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Средним значением выборки называют середнее арифметическое всех её вариантов.

Например, если дано выборку 1, 2, 3, 3, 5, 6, 8, то её среднее значение

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если варианты выборки повторяются, то суммы равных слагаемых можно заменить произведениями.

Задача 12.

Рабочих бригады ежемесячно получают по 3000 грн, 8 — по 4500 грн, а 5 — по 5000 грн. Определите среднюю месячную зарплату рабочего этой бригады.

Решение:

Всего рабочих в бригаде 7 + 8 + 5 = 20. Поэтому искомая средняя зарплата

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Ответ. 4100 грн.

Моду, медиану и среднее значение выборки называют цент ральными тенденциями выборки.

В статистике часто используют и среднее квадратичное. Если дано Заказать решение задач и заданий по теории вероятности чисел Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, то их среднее квадратичное а определяется по формуле: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

С помощью среднего квадратичного чаще оценивают совокупности погрешностей или отклонений от нормы. Рассмотрим пример. Желая выточить деталь радиуса Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, токарь практически вытачивает деталь радиуса Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, где Заказать решение задач и заданий по теории вероятности — некоторое отклонение (положительное или отрицательное). Пусть два токаря, выточив по 6 таких деталей, допустили такие ошибки (в десятых долях миллиметра): первый: 2, -5, 4, -3, -3, 5; второй: 3, -1, 4,1, 1, 2.

Кто из них выполнил задание качественнее? Чтобы ответить на вопрос, вычисляют средние квадратичные допущенных отклонений:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Качественнее работу выполнил второй токарь. Если разности между вариантами выборки и её средним значением равны Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, то среднее арифметическое их квадратов называется дисперсией выборки (лат. dispersio — рассеяние). Дисперсия равна квадрату среднего квадратичного всех отклонений и вычисляется по формуле: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Подробнее о дисперсии см. на с. 325.

В математике, в частности в математической статистике, нередко используют также среднее геометрическое (Заказать решение задач и заданий по теории вероятности) и среднее гармоническое (Заказать решение задач и заданий по теории вероятности), вычисляемые по формулам:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Для любого количества положительных чисел Заказать решение задач и заданий по теории вероятности всегда справедливы неравенства

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Например, для положительных чисел Заказать решение задач и заданий по теории вероятностии Заказать решение задач и заданий по теории вероятностивсегда

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Докажите эти неравенства и приведите их геометрическую модель.

Задача 13.

В результате выборочного анализа выручки (в тыс. грн) туристической фирмы за неделю получили выборку объёмом Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Для заданной выборки: а) найдите размах выборки; б) составьте частотную таблицу.

Решение:

а) Выпишем различные значения вариант, попавших в выборку: 87, 94, 99, 90, 85, 82, 81, 97. Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 81, 82, 85,87,90,94,97,99. Размах выборки равен 99 - 81 = 18.

б) Вычислим частоту каждой варианты и составим частотную таблицу: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 14.

В результате анализа производства мяса (тыс. т) в январе-октябре 2010 года во всех областях Украины получили такую совокупность данных.

166, 73, 90, 206, 115, 52, 50, 63, 73, 211, 47, 47, 129, 34, 50, 52, 55, 44, 41, 90, 55, 50, 363, 47, 47.

Найдите: моду, медиану и размах выборки.

Решение:

Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 34, 41, 44, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 50, 52, 52, 55, 55, 63, 73, 73, 90, 90, 115, 129, 166, 206, 211, 363.

Тогда мода выборки равна 47 (встречается 4 раза), медиана — 55 (имеет 13-й порядковый номер из 25), а размах — 329 (363 — 34).

Комбинации и бином ньютона

Пусть дано множество из трёх элементов: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Его двухэлементных подмножеств (не упорядоченных) существует всего три: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Говорят, что существует 3 комбинации из трёх элементов по два. Пишут: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

I Комбинацией из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают любое Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементное подмножество Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементного множества.

Число комбинаций из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиобозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности В отличие от размещений, комбинации — подмножества неупорядоченные.

Сравните: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, а Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. При тех же значениях Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности значение Заказать решение задач и заданий по теории вероятности менше Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Можно также указать, во сколько раз меньше. Каждую Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементную комбинацию можно упорядочить Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами. В результате из одной комбинации получают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности размещений (упорядоченных подмножеств) из тех же элементов. Итак, число Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементных комбинаций в Заказать решение задач и заданий по теории вероятности раз меньше числа размещений из тех же Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов.

То есть, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности отсюда

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности или Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 15.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Обратите внимание! Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Полагают также, что Заказать решение задач и заданий по теории вероятности для любого Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 16.

Сколькими способами из 25 учеников можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Решение:

Здесь Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, порядок учеников не имеет значения.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ. 300-ми способами.

Докажем, что для натуральных значений Заказать решение задач и заданий по теории вероятности правильно тождество Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Доказательство. Пусть дано Заказать решение задач и заданий по теории вероятности различных элементов:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Всего из них можно образовать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности различных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементных комбинаций. Это количество комбинаций вычислим другим способом. Из данных Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов, кроме последнего Заказать решение задач и заданий по теории вероятности , можно образовать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности комбинаций. Остальные Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементные комбинации из всех данных элементов можно образовать, если к каждой комбинации из нервых Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности дописать элемент Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Таких комбинаций Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Следовательно, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .А это и требовалось доказать.

Такое комбинаторное тождество можно доказать также, воспользовавшись формулой числа комбинаций.

С комбинациями тесно связана формула бинома Ньютона. Вспомните формулу квадрата двучлена: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Умножив Заказать решение задач и заданий по теории вероятности на Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и на Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, получим формулы:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Эти три формулы можно записать и так:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Оказывается, для каждого натурального значения Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиправильна и общая формула:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Это тождество называют формулой бинома Ньютона, а её правую чисть разложением бинома Ньютона. Бином — латинское название двучлена. Пользуясь этой формулой, возведём, например, двучлен Заказать решение задач и заданий по теории вероятности в пятую степень. Поскольку Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Доказать формулу бинома Ньютона можно методом математической индукции.

Доказательство. Предположим, что формула Заказать решение задач и заданий по теории вероятности верна для некоторого натурального показателя степени Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Покажем, что тогда она верна и для следующего за ним значения Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Выражения в скобках преобразованы согласно формулы

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

  • Следовательно, если формула бинома Ньютона верна для Заказать решение задач и заданий по теории вероятности то она правильна и для Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Для Заказать решение задач и заданий по теории вероятности она правильна, так как Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Поэтому на основе аксиомы математической индукции можно утверждать, что формула верна для любого натурального показателя Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Вычислять коэффициенты разложения бинома Ньютона можно не по формуле числа комбинаций, а пользуясь числовым треугольником Паскаля — своеобразным способом вычисления коэффициентов разложения бинома Ньютона Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Треугольник Паскаля можно продолжать как угодно далеко.

Это следует из тождества Заказать решение задач и заданий по теории вероятности . Его крайние числа — единицы, а каждое другое равно сумме двух ближайших к нему чисел сверху.

Например, прибавляя числа шестой строки (для Заказать решение задач и заданий по теории вероятности), получим числа следующей строки (для Заказать решение задач и заданий по теории вероятности): 1, 6, 15, 20,15, 6,1. Следовательно, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Общий член разложения бинома Заказать решение задач и заданий по теории вероятности можно определить по

формуле Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Например:

  • • первый член — Заказать решение задач и заданий по теории вероятности
  • • второй член — Заказать решение задач и заданий по теории вероятности
  • • третий член — Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 17.

В турнире по шашкам приняли участие 5 девушек и 7 юношей. Каждый участник сыграл один раз с каждым другим. Сколько партий было: а) между девушками; б) между юношами; в) между юношами и девушками?

Решение:

а) Речь идёт о 2-элементных подмножествах (неупорядоченных) множества, состоящего из 5 элементов. Это — комбинации Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

б) Аналогично Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

в) Воспользуемся правилом умножения. Поскольку каждой из 5 девушек предстоит сыграть с каждым из 7 юношей, возможных случаев 5*7 = 35.

Задача 18.

Для дежурства в столовой приглашают 3-х учеников из 7 класса и 2-х учеников из 10 класса. Сколькими способами это можно сделать, если в 7 классе учится 24 ученика, а в 10 классе — 18.

Решение:

Речь идёт о неупорядоченных подмножествах двух разных множеств. Это — комбинации.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

По нравилу произведения имеем 2024 • 153 — 309 672 способов выбрать учащихся для дежурства.

Задача 19.

Сколько разных делителей имеет число 1001?

Решение:

Разложим заданное число на простые множители: 1001 = 7-11-13. Если число Заказать решение задач и заданий по теории вероятности— делитель числа 1001, то оно должно быть одним из чисел 7, 11,13 (три случая) или любым их произведением. Различных произведений может быть Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Делителем данного числа есть ещё единица. Следовательно, число 1001 имеет 3 + 4 + 1=8 делителей.

Задача 20.

Докажите, что выпуклый Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-угольник имеет Заказать решение задач и заданий по теории вероятности диагоналей.

Решение:

Отрезков, концами которых являются Заказать решение задач и заданий по теории вероятностивершин данного Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-угольника, существует Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Среди них есть и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности сторон данного Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-угольника. Поэтому диагоналей он имеет Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 21.

Докажите тождество

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Сделайте обобщение.

Решение:

Все члены разложения бинома Ньютона Заказать решение задач и заданий по теории вероятности такие же, как и члены разложения бинома Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, только их члены с чётными номерами отрицательные.

Задача 22.

Найдите номер члена разложения Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, который не содержит Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Решение:

Воспользуемся формулой общего члена разложения бинома. Имеем:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

По условию задачи Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, то есть Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Отсюда Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Следовательно, не содержит х шестой член разложения бинома.

Размещения и перестановки

Задача 23.

Сколькими способами собрание из 20 человек может избрать председателя и секретаря?

Решение:

Председателя можно выбрать 20-ю способами, секретаря — из остальных 19 человек — 19-ю способами. По правилу произведения председателя и секретаря собрания могут выбрать 20 • 19 = 380 способами.

Обобщим задачу. Сколько упорядоченных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементных подмножеств можно составить из п различных элементов? На первое место можно поставить любой из данных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов. На второе место — любой из остальных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов и т. д. На последнее Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-е место можно поставить любой из остальных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов. Из правила произведения следует, что из данных Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов можно получить Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементных упорядоченных подмножеств.

Например, из 4 элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности упорядоченных двухэлементных подмножеств можно образовать всего 4 • 3 = 12: Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Упорядоченое Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-елементное подмножество Заказать решение задач и заданий по теории вероятности-элементного - множества называют размещением из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Их число обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности .

Из предыдущих рассуждений следует, что Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и что для любых натуральных Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

В правой части этого равенства Заказать решение задач и заданий по теории вероятностимножителей. Поэтому результат можно сформулировать в виде такого утверждения.

Число размещений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности равно произведению Заказать решение задач и заданий по теории вероятности последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Примеры.Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 24.

Сколькими способами можно составить дневное расписание из пяти разных уроков, если класс изучает 10 различных предметов?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 5-элементных подмножествах некоторого множества, состоящего из 10 элементов.

Это размещения.Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ. 30 240 способами.

Число размещений из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятности можно вычислять и по другой формуле: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (проверьте самостоятельно).

Размещение Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов по Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают перестановками из Заказать решение задач и заданий по теории вероятности элементов. Их число обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Например, из трёх элементов Заказать решение задач и заданий по теории вероятности можно образовать 6 различных перестановок: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Следовательно, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Подставив в формулу числа размещений Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, получим, что Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Число перестановок из Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиэлементов равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Примеры.Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 25.

Сколькими способами можно составить список из 10 фамилий?

Решение:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ. 3 628 800 способами.

Некоторые комбинаторные задачи сводятся к решению уравнений, в которых переменная указывает на количество элементов в некотором множестве или подмножестве.

Рассмотрим несколько таких уравнений

Задача 26.

Решите уравнение Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Решение:

Пользуясь формулой размещений, данное уравнение можно заменить таким:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, или Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, отсюдаЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности. По условию задачи Заказать решение задач и заданий по теории вероятности— натуральное число, поэтому Заказать решение задач и заданий по теории вероятности — посторонний корень. Следовательно, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Задача 27.

Решите уравнение Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Решение:

Запишем выражения Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности через произведения.

Имеем: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Поскольку по смыслу задачи Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности и Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Поэтому последнее уравнение можно сократить на произведение Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Тогда Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности Но уравнение Заказать решение задач и заданий по теории вероятности удовлетворяет только одно значение: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Задача 28.

Команда из трёх человек выступает в соревнованиях по художественной гимнастике, в которых принимают участие ещё 27 спортсменок. Сколькими способами могут распределиться места между членами команды, при условии, что на этих соревнованиях ни одно место не делится?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 3-элементных подмножествах множества, состоящего из 30 элементов. Это — размещения. Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 29.

Сколькими способами можно разместить на полке 5 дисков?

Решение:

Речь идёт об упорядоченных 5-элементных множествах. Искомое количество способов равно Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ. 120 способами.

Задача 30.

Изображённое на рисунке 140 кольцо раскрашено в 7 цветов. Сколько существует таких колец, раскрашенных теми же цветами только в других последовательностях?

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Решение:

Зафиксируем одну какую-нибудь часть кольца, окрашенную одним цветом. 6 других частей можно раскрасить Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Ответ. 720 колец.

Задача 31.

Сколько можно составить различных неправильных дробей, числителями и знаменателями которых есть числа 3,5, 7, 9,11,13?

Решение:

Способ 1. Дробей, у которых числитель не равен знаменателю, можно составить Заказать решение задач и заданий по теории вероятности , то есть 6 • 5 = 30. Из этих дробей только половина — неправильных, то есть — 15.

Неправильными являются также дроби, у которых числитель равен знаменателю. Таких дробей в нашем случае 6. Итак, всего можно составить 15 + 6 = 21 (дробь).

Способ 2. Если знаменатель неправильной дроби 3, то его числителями могут быть все 6 данных чисел. Если знаменатель 5, то числителями неправильной дроби могут быть 5 чисел (5, 7, 9, 11, 13) и т.д. Наконец, если знаменатель — число 13, то существует только 1 неправильная дробь, со знаменателем 13. Всего таких неправильных дробей существует G 4- 5 + 4 + 3 + 24-1 = 21.

Ответ. 21 дробь.

Комбинаторика. правила суммы и произведения

Вспомните, что в математике любые совокупности называют множествами. Объекты, входящие в множества, называют его элементами. Множества обозначают большими латинскими буквами, а их элементы записывают в фигурных скобках. Считают, что все элементы множества различны.

Например, Заказать решение задач и заданий по теории вероятности.

Множества бывают конечными и бесконечными. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым и обозначают символом Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.

Если А — часть множества В, то его называют подмножеством множества В и записывают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Наглядно это изображают с помощью диаграммы Эйлера (рис. 135. а). В частности, для числовых множеств правильные такие соотношения: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

  • Случается, что множества А и В имеют общие элементы. Если множество Р содержит все общие элементы множеств А и В и только их, то множество Р называют пересечением множеств А и В. Записывают это так: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Диаграммой Эйлера пересечение изображают, как ноказано на рисунке 135, б. Множество, содержащее каждый элемент каждого из множеств А и В и только эти элементы, называется объединением множеств А и В. Если К — объединение множеств А и В, то пишут Заказать решение задач и заданий по теории вероятности (рис. 135, в).

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Разницей множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Его обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности. Например, еслиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Говоря «множество«подмножество», порядок их элементов не учитывают. Говорят, что они не упорядочены. Рассматривают и упорядоченные множества. Так называют множества с фиксированным порядком элементов. Их обозначают не фигурными, а круглыми скобками. Например, из элементов множества Заказать решение задач и заданий по теории вероятности можно образовать 6 трёхэлементных упорядоченных множеств: (а, Ь, с), (а, с, 6), (b, а, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь)> (с, Ь, а).

Как множества, все они равны, как упорядоченные множества — разные. Существуют задачи, в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой.

Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами.

Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач

Задача 32.

В городе N есть два университета — политехнический и экономический. Абитуриенту нравятся три факультета в политехническом университете и два — в экономическом. Сколько возможностей имеет студент для поступления в университет?

Решение:

Обозначим буквой А множество факультетов, которые выбрал абитуриент в политехническом университете, а буквой В — в экономическом: Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиПоскольку эти множества не имеют общих элементов, то в целом абитуриент имеет 3 + 2 = 5 возможностей для поступления в университет.

Описанную ситуацию можно обобщить в виде утверждения, которое называется правилом суммы.

Если элемент некоторого множества А можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, а элемент множества В Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, то элемент из множества А или из множества В можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами.

Правило суммы распространяется и на большее количество множеств.

Задача 33.

Планируя летний отдых, семья определилась с местами его проведения: в Одессе — 1, в Евпатории — 3, в Ялте — 2, в Феодосии — 2. Сколько возможностей выбора летнего отдыха имеет семья?

Решение:

Поскольку все базы отдыха разные, то для решения задачи достаточно найти сумму элементов всех множеств, о которых говорится: 1 + 3 + 2-1-2 = 8. Следовательно, семья может выбирать отдых из 8 возможных.

Задача 34.

От пункта А до пункта В ведут три тропинки, а от В до С — две. Сколько маршрутов можно проложить от пункта А до пункта С?

Решение:

Чтобы пройти от пункта А до пункта В, надо выбрать одну из трёх тропинок: 1, 2 или 3 (рис. 136). После этого следует выбрать одну из двух других троп: 4 или 5. Всего от пункта А до пункта С ведут 6 маршрутов, потому что 3*2 = 6. Все эти маршруты можно обозначить с помощью пар: (1;4),(1;5),(2;4),(2;5),(3;4),(3;5).

Обобщим описанную ситуацию.

Если первый компонент пары можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами, а второй — Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, то такую пару можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами.

Это — правило произведения, его часто называют основным правилом комбинаторики. Обратите внимание: речь идёт об упорядоченных парах, составленных из различных компонентов.

Правило произведения распространяется и на упорядоченные тройки, четвёрки и любые другие упорядоченные конечные множества. В частности, если первый компонент упорядоченной тройки можно выбрать т способами, второй — Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, третий — Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиспособами, то такую упорядоченную тройку можно выбрать Заказать решение задач и заданий по теории вероятности способами. Например, если столовая на обед приготовила 2 первых блюда — борщ (б) и суп (с ), 3 вторых — котлеты (к), вареники (в), голубцы (г) и 2 десертных — пирожные (п) и мороженое (м), то всего из трёх блюд столовая может предложить 12 различных наборов, поскольку 2 • 3 • 2 = 12.

Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Описанной ситуации соответствует диаграмма, изображённая на рисунке 137. Такие диаграммы называют деревьями.

Задача 35.

Сколько разных поездов можно составить из 6 вагонов, если каждый из вагонов можно поставить на любом месте?

Решение:

Первым можно поставить любой из 6 вагонов. Имеем 6 выборов. Второй вагон можно выбрать из оставшихся 5 вагонов. Поэтому, согласно правилу умножения, два первых вагона можно выбрать 6 • 5 способами. Третий вагон можно выбрать из 4 вагонов, которые остались. Поэтому три первых вагона можно выбрать 6•5•4 способами. Продолжая подобные рассуждения, приходим к ответу: всего можно составить 6•5•4•3•2•1 = 720 различных поездов.

Обратите внимание на решение последней задачи. Оно свелось к вычислению произведения всех натуральных чисел от 1 до 6. В комбинаторике подобные произведения вычисляют часто.

Произведение всех натуральных чисел от 1 до Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиназывают Заказать решение задач и заданий по теории вероятностифакториалом и обозначают Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Например:

5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120, 7! = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040.

Условились считать, что 1! = 1 и 0! = 1.

Языком теории множеств правила суммы и произведения можно сформулировать следующим образом.

Если пересечение множеств А и В пустое, то количество элементов в их объединении Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиравно сумме количества элементов множеств А и В: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если множества А и В имеют общие элементы, то Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Если множества А и В конечны, то количество возможных пар Заказать решение задач и заданий по теории вероятности, гдеЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности, равно произведению количества элементов множеств А и В: Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Задача 36.

В розыгрыше на первенство города по баскетболу принимают участие команды из 12 школ. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места?

Решение:

Первое место может получить одна из 12 команд. После того, как определён обладатель первого места, второе место может получить одна из 11 команд. Следовательно, общее количество способов, которыми можно распределить первое и второе места, равно 12Заказать решение задач и заданий по теории вероятности11 = 132. Ответ. 132.

Задача 37.

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр

0, 1, 2, 3, 4, 5, если ни одна цифра не повторяется?

Решение:

Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр

1, 2, 3, 4, 5. Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5-ю способами, третья — 4-мя, четвёртая — 3-мя. Согласно правилу умножения общее число способов равно:

5 • 5 • 4 • 3 = 300. Ответ. 300.

Задача 38.

Упростите выражение Заказать решение задач и заданий по теории вероятности

Решение:

Заказать решение задач и заданий по теории вероятностиЗаказать решение задач и заданий по теории вероятности

Услуги:

  1. Контрольная работа по теории вероятности заказать
  2. Решение задач по теории вероятностей
  3. Помощь по теории вероятности онлайн
  4. Курсовая работа по теории вероятности заказать готовую онлайн
  5. РГР по теории вероятности расчетно графическая работа