Заказать решение задач и заданий по теории вероятности
Теория вероятностей — это предмет изучающий взаимные связи, проявляющиеся при возникновении самостоятельных событий или происшествий, их повторение носит системный характер. Несмотря на название дисциплины, вам придётся не только изучать теорию, но и решать задачи и задания.
Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
Сколько стоит помощь?
- Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.
Какой срок выполнения?
- Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
- Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
- Оценка стоимости бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
- Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.
Какие у вас гарантии?
- Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
- Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.
Содержание:
- Ответы на вопросы по заказу заданий по теории вероятности:
- Правило суммы
- Правило произведения
- Типовые примеры заказов
- Случайные события и их вероятности
- Относительная частота события и случайные величины
- Важнейшие свойства вероятности случайного события
- Графические представления информации о выборке
- Сведения о статистике
- Комбинации и бином ньютона
- Размещения и перестановки
- Рассмотрим несколько таких уравнений
- Комбинаторика. правила суммы и произведения
- Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач
Правило суммы
Если некоторый объект А можно выбрать способами, а другой объект В можно выбрать способами, причём первые и вторые способы не совпадают, то любой из указанных объектов «или А, или В» можно выбрать способами.
Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать способами и после каждого такого выбора второй объект В можно выбрать способами, то оба объекта «А и В» в указанном порядке можно выбрать способами.
Существуют четыре схемы выбора элементов из множества состоящего из элементов: с учётом порядка, без учёта порядка, с возвращением и без возвращения.
Сочетание есть неупорядоченная выборка элементов из некоторого множества S. Размещение есть упорядоченная выборка элементов из некоторого множества S.
В размещениях и сочетаниях можно как допускать, так и не допускать повторений. Так, выбирая два из трех элементов получаем девять размещений с повторениями:
и шесть размещений без повторений:
Мы имеем также шесть сочетаний с повторениями:
и три сочетания без повторений:
Число размещений без повторений из элементов по - это выборки (комбинации), состоящие из элементов, которые отличаются друг от друга либо составом элементов, либо порядком их расположения.
Теорема 1. Число размещений из элементов по элементов обозначается символом и вычисляется по формуле
Действительно, первый элемент можно выбрать способами, т. е. на первое место можно поместить любой из элементов. После этого второй элемент можно выбрать из оставшихся -1 элементов -1 способами. Для выбора третьего элемента имеется -2 способов четвертого - -3 способа, и, наконец, для последнего -го элемента - способов. Таким образом, по правилу умножения существует способов выбораэлементов из данных элементов, т.е.
При составлении размещений без повторений из элементов по мы получаем расстановки, отличающиеся друг от друга и составом, и порядком элементов. Но если брать расстановки, в которые входят все элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называют перестановками из элементов.
Следствие. Число перестановок обозначается через . Формула для получается из формулы для числа размещений без повторений.
В тех случаях, когда нас не интересует порядок элементов в комбинации, а интересует лишь ее состав, говорят о сочетаниях. Итак, сочетаниями из элементов по элементов называют всевозможные размещения, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов.
Теорема 2. Число сочетаний, которые можно составить из элементов по элементов, обозначается через и вычисляется по формуле
Формула для числа сочетаний легко получается из выведенной ранее формулы для числа размещений. В самом деле, составим сначала все сочетания из элементов по элементов, а потом переставим входящие в каждое сочетание элементы всеми возможными способами. При этом получатся все размещения из элементов по элементов, причем каждое только по одному разу. Но из каждого такого сочетания можно сделать перестановок, а число этих сочетаний равно . Значит, справедлива формула . Отсюда
Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно и упорядочиваются, то говорят, что это размещения с повторениями.
Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их порядком и количеством повторений элементов.
Теорема 3. Число всех размещений из элементов по элементов с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле
- Действительно, первый элемент можно выбрать способами. После этого первый элемент возвращается и выбирается второй элемент, который можно выбрать так же способами и так далее до последнего -го элемента, который можно выбрать теми же способами. Таким образом, по правилу умножения существует способов выбора и
Имеются предметы различных типов. Сколько перестановок можно сделать из , элементов первого типа, элементов второго типа, элементов -то типа?
Рассмотрим следующий заказ в виде задачи от студента 1 курса
Число элементов в каждой перестановке равно Поэтому если бы все элементы были различны, то число перестановок равнялось бы . Но из-за того, что некоторые элементы совпадают, получится меньшее число перестановок. Элементы первого типа можно переставлять друг с другом способами. Но так как все эти элементы одинаковы, то такие перестановки ничего не меняют. Точно так же ничего не меняют перестановок элементов второго типа,.... перестановок элементов -го типа.
Перестановки элементов первого типа, второго типа и т.д. можно делать независимо друг от друга. Поэтому (по правилу произведения) элементы перестановки можно переставлять друг с другом способами так, что она остается неизменной. То же самое верно и для любого другого расположения элементов. Поэтому множество всех перестановок распадается на части, состоящие из одинаковых перестановок каждая. Значит, число различных перестановок с повторениями, которые можно сделать из данных элементов, выражается таким равенством:
Теорема 4. Число перестановок с повторениями из элементов обозначается символом и вычисляется по формуле
где
Если при выборке элементов из элементы возвращаются обратно без последующего упорядочивания, то говорят, что это сочетания с повторениями.
Теорема 5. Число всех сочетаний из элементов по с повторениями обозначается символом и вычисляется по формуле
Зашифруем каждую такую комбинацию (выборку) с помощью нулей и единиц: для каждого типа (всего типов ) напишем столько единиц, сколько предметов этого типа входит в комбинацию, а различные типы отделим друг от друга нулями (при этом если предметы какого-нибудь типа совсем не вошли в комбинацию, то запишем подряд два или большее число нулей).
- При этом мы получим столько единиц, сколько предметов входит в комбинацию, то есть , а число нулей будет на 1 меньше, чем число типов предметов, то есть -1.
Таким образом, мы получим перестановки с повторениями из единиц и нулей. Различным комбинациям будут при этом соответствовать различные перестановки с повторениями, а каждой перестановке с повторениями соответствует своя комбинация. Итак, число сочетаний элементов с повторениями из элементов типов равно числу перестановок с повторениями из нулей и единиц. А . Поэтому
Типовые примеры заказов
Заказ 1.
Сколькими способами из 7 человек можно выбрать комиссию, состоящую из 3 человек ?
Решение:
Чтобы определить все возможные комиссии, нужно рассмотреть все возможные трехэлементные подмножества множества, состоящего из семи элементов. Следовательно, искомое число способов равно
Заказ 2.
Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 местах?
Решение:
Искомое число способов равно
Заказ 3.
Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова "математика"?
Решение:
Искомые слова представляют собой перестановки с повторением (= 10 - число букв в слове) из элементов-букв множества , причем . Следовательно, их число равно
Заказ 4.
Сколько имеется костей в обычной игре «домино»?
Решение:
Кости домино можно рассматривать как сочетания с
повторениями по две из семи цифр множества {0,1,2,3,4,5,6}. Число всех таких сочетаний равно
Заказ 5.
Сколько пятизначных чисел можно составить, используя цифры 2, 5,7, 8?
Решение:
Все пятизначные числа, составленные из цифр 2, 5, 7, 8, отличаются друг от друга либо порядком их следования (например, 25558 и 52855), либо самими цифрами (например, 52788 и 78888). Следовательно, они являются размещениями из 4 элементов по 5 с повторениями, т.е. .
Случайные события и их вероятности
Построением и исследованием моделей различных процессов, связанных с понятием случайности, занимаются математическая статистика и теория вероятностей. К таким процессам, например, относятся риски (рискованные операции) на производстве и в банковском деле, массовые заболевания среди растений, животных или людей, азартные игры.
- Из предыдущих классов вы уже имеете некоторые представления о теории вероятностей, теперь немного расширим и углубим их.
Важнейшими понятиями теории вероятностей являются вероятностный эксперимент (испытаниеу наблюдение), событие (следствие испытания) и вероятность события. Приведём примеры испытаний и их отдельных последствий — некоторых событий.
Последнее событие невозможное, поскольку на гранях игрального кубика нет нуля. Событие 3 достоверное, так как после зимы всегда наступает весна. События 1 и 2 случайные.
Вообще, событие называется невозможным, если оно никогда не может произойти, достоверным — если оно всегда происходит. Если событие может произойти или не произойти, его называют случайным.
Принято считать, что невозможное и достоверное события — частные случаи случайного события.
События обозначают большими латинскими буквами А, В, С,..., или одной латинской буквой с индексом: Содержание события подают в фигурных скобках. Например, третье событие из таблицы можно записать так:
= {весна наступила}.
Сказать заранее о случайном событии, что оно состоится или не состоится, нельзя. Если же это событие массовое, выполняется много раз и при одинаковых условиях, то вероятность его наступления можно характеризовать некоторым числом.
Это можно сделать тогда, когда последствия испытаний равновозможные и составляют конечное множество, т.е. в условиях проведённого испытания нет оснований считать появление одного из следствий более или менее возможным, чем других.
Рассмотрим пример. Бросают один раз правильный однородный игорный кубик (рис. 159) и фиксируют количество очков на грани, оказавшейся вверху. Результатом такого испытания могут стать 6 различных событий:
Эти шесть событий охватывают и исчерпывают все возможные последствия эксперимента. Они попарно несовместимы, ибо каждый раз выпадает только одно количество очков. Все шесть событий одинаково возможны, поскольку речь идёт об однородном кубике правильной формы и ловкость игрока исключается. В таком случае говорят, что для осуществления каждого из этих событий существует один шанс из шести.
Каждое из событий вышеописанного испытания называют элементарным, а всё их множество — пространством элементарных событий.
Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством элементарных событии и обозначают греческой буквой (омега).
Если пространство элементарных событий для некоторого испытания состоит из равновозможных несовместимых событий, то вероятность каждого из них равна . Например, вероятность того, что на подброшенном игорном кубике выпадет 5 очков, равна . А вероятность того, что подброшенная монета упадёт вверх гербом, равна . Вероятность события А обозначают Р(А). Если первое из этих событий обозначить буквой А, а второе — буквой В, то
Есть события неэлементарные.
Рассмотрим, например, такое событие:
С = {появление пластинки домино с 10 очками}.
Поскольку пластинок домино всего 28, то испытание, связаНное с выбором одной пластинки, исчерпывается 28 равновозможными и независимыми последствиями. Следовательно, пространство элементарных событий для данного испытания состоит из 28 элементарных событий где - 1,2, ..., 28. Событие С может произойти, если произойдёт одно из двух элементарных событий (рис. 160):
1) - {появление пластинки };
2) = {появление пластинки }.
Говорят, что событию С способствуют два элементарных события (, ) из возможных 28, поэтому .
Рассмотрим общий случай. Пусть испытание имеет конечное количество () равновозможных и несовместимых последствий и А — некоторое случайное событие, связанное с данным испытанием.
Будем называть элементарное событие благоприятным для случайного события А, если наступление события в результате испытания приводит к наступлению события А.
Если количество последствий (элементарных событий), благоприятных событию А, обозначить через , то вероятность случайного события А определяется по формуле: Вероятностью случайного события А называют отношение числа благоприятных для события А элементарных событий к числу всех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания. Такое определение вероятности называют классическим.
Перечислим важнейшие свойства вероятности случайного события.
- 1. Если С — событие невозможное, то Р(С) = 0.
- 2. Если В — событие достоверное, то Р(В) = 1.
- 3. Если X — событие случайное, то .
- 4. Если — элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, то
Задача 1.
Во время тестирования стиральной машины выяснилось, что одна из пяти деталей имеет дефект. Есть возможность за один раз проверить три детали, которые механик произвольно выбирает из определённых. Чему равна вероятность того, что: а) будет проверена деталь (событие М); б) будут проверены детали и (событие N); в) будет проверена хотя бы одна из деталей и (событие К)?
Решение:
Построим пространство элементарных событий для данного испытания (из 5 деталей выбирают 3). Имеем:
а) Событию M способствуют 6 элементарных событий из 10: . Можем найти вероятность события М.
б) Событию N способствуют 3 элементарных события из 10 (), поэтому вероятность события N равна .
в) Событию К способствуют 9 элементарных событий из 10 (все, кроме ) поэтому вероятность события К равна .
Вычислять вероятности событий часто помогают правила и формулы комбинаторики.
Задача 2.
На вершину горы ведут 4 одинаково удобные тропы. Какова вероятность того, что вы подниметесь на гору и спуститесь с неё тем же маршрутом, которым проходил там ваш товарищ?
Решение:
Всего существует 4 • 4 = 16 различных маршрутов. Поскольку все они одинаково удобны, то вероятность пройтись по одному из них равна .
Ответ. .
Задача 3.
Ученик цифрами 1, 2, 3, 4, 5 написал неизвестное вам пятизначное число. Какова вероятность того, что вы сразу отгадаете это число?
Решение:
Всего таких чисел есть = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. Вероятность угадать одно из них равна . Ответ: .
Задача 4.
В корзине есть 20 яблок, одинаковых на вид, 15 из них — сладкие, а 5 — кислые. Какова вероятность того, что взятые наугад два яблока окажутся кислыми?
Решение:
Выбрать пару из всех 20 яблок можно способами, а из 5 яблок — способами. Следовательно, искомая вероятность
Задача 5.
Есть карточки с цифрами 3, 4,5, б, 7. Три из них выбирают наугад. Какова вероятность того, что из них можно составить арифметическую прогрессию?
Решение:
Три карты из пяти можно выбрать = 10 способами. Арифметические прогрессии можно составить только из таких наборов: (3, 4, 5), (4, 5, 6), (5, 6, 7) и (3, 5, 7). Всего этих наборов 4. Следовательно, искомая вероятность
Задача 6.
Из перевёрнутых 28 костяшек домино наугад берут одну. Какова вероятность того, что на одной из её частей окажется 1 очко (событие А)?
Решение:
Подсчитаем, сколько существует костяшек домино, содержащих одно очко:. Их есть 7.
Всего возможностей выбора 28, покольку взять можно любую из 28 костяшек. Следовательно,
Ответ: 0,25.
Задача 7.
На каждой из четырёх карточек написано одну из букв А, Й, Р, К. Карточки перемешивают и раскладывают в ряд. Какова вероятность того, что образуется слово КРАЙ?
Решение:
Из четырёх данных букв можно образовать перестановки. Из них условие задачи удовлетворяет только одна. Следовательно, искомая вероятность .
Ответ.
Задача 8.
На 1000 билетов лотереи приходится 1 выигрыш в 5000 грн, 10 выигрышей по 1000 грн, 50 — по 200 грн, 100 — по 50 грн. Остальные билеты невыигрышные. Найдите вероятность выигрыша на один билет, не менее чем 200 грн.
Решение:
Билетов, на которые приходятся выигрыши, не меньше 200 грн, всего 1 + 10 + 50 = 61. Общее количество билетов 1000. Поэтому искомая вероятность 61:1000 = 0,061.
Ответ.0,061.
Задача 9.
Студент пришёл на экзамен, зная ответы только на 20 из 25 вопросов программы. Найдите вероятность того, что он из трёх предложенных вопросов знает ответы минимум на два.
Решение:
Всего вариантов троек вопросов . Из них троек таких, на которые он может ответить полностью. Может он ответить и на пар вопросов.
Если к каждой такой паре вопросов присоединить один из 5 вопросов, которые он не знает, получим еще 5 • троек. Следовательно, искомая вероятность
Ответ.
Относительная частота события и случайные величины
До сих пор речь шла о классическом понимании вероятности. Её вычисляют, исходя из того, что все рассматриваемые элементарные события одинаково вероятны. Такое случается сравнительно редко.
Представьте, что игральный кубик сделан так, что его грань с шестью очками находится дальше от центра масс, чем противоположная грань. Такой кубик и падает чаще вверх гранью с 6 очками. При этом наблюдается интересная и очень важная закономерность. Когда кто-то один подбросил такой кубик 1000 раз и он упал, например, 300 раз вверх гранью с 6-ю очками, то и другие экспериментаторы имели бы примерно такие же результаты. Много массовых случайных событий имеют свойство устойчивости. При достаточно большом числе независимых испытаний частота появления наблюдаемого события колеблется около одного и того же числа.
В справедливости этого многие специалисты убедились экспериментально. А математики Я. Бернулли, П. Чебышев и др. обосновали это утверждение и теоретически (закон больших чисел). Поэтому для таких (статистически устойчивых) событий есть смысл ввести понятие вероятности.
Если в испытаниях событие А происходит раз, то дробь определяет относительную частоту события А. Во многих реальных случаях с увеличением относительная частота событий стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числа (когда то ). Это число называют вероятностью события А.
Таково статистическое определение вероятности. Объем определённого им понятия гораздо шире того, что соответствует классическому определению (см. с. 314). Классическая вероятность — отдельный вид статистической. И всё же отличаются они существенно. Классическую вероятность вычисляют математическими методами, а статистическую в основном определяют экспериментально.
- Теперь, говоря о вероятности, специалисты в основном подразумевают статистическую вероятность. Поэтому современная теория вероятностей тесно связана с математической статистикой. Объединение математической статистики и теории вероятностей называют стохастикой. Стохастический — значит случайный, вероятный.
Что такое экзит-пол? На каких основаниях ему доверяют? Экзит-пол — это опрос социологическими службами избирателей на выходе их из избирательных участков с целью предсказать результаты выборов до получения их от избирательных комиссий. Ему доверяют на основе устойчивости относительной частоты события. Если за какую-то партию или кандидата из правильно выбранных 100 избирателей проголосовали, например, 20 % избирателей участка, то можно надеяться (с погрешностью около 5 %), что так проголосовали и все избиратели участка.
Одно из важнейших понятий стохастики — случайная величина. Величину называют случайной, если она может принимать заранее неизвестные числовые значения, зависящие от случайных обстоятельств. Примеры:
- 1) выигрыш на лотерейный билет;
- 2) расстояние от точки попадания пули к центру мишени.
Значение первой из этих случайных величин — некоторые целые числа. Такие величины называют дискретными. Множество значений второй величины — некоторый непрерывный отрезок числовой прямой. Такие величины называют непрерывными.
Решим задачу:
Выпущено 100 лотерейных билетов. Из них 5 должны выиграть по 10 грн, 10 — по 5 грн, 40 — по 1 грн, остальные — безвыигрышные. Какой средний выигрыш приходится на один билет?
Решить эту задачу можно арифметическим способом:
(5 • 10 грн +10-5 грн + 40 • 1 грн): 100 = 1,4 грн.
Мы проиллюстрируем на этой задаче понятие случайной величины. Здесь выигрыш — случайная величина, которая может принимать значения 0, 1,5, 10 (грн) соответственно с вероятностями 0,45; 0,4; 0,1 и 0,05. Это — дискретная случайная величина Описанной ситуации соответствует такая таблица:
Обратите внимание! Сумма вероятностей, имеющихся во второй строке таблицы, равна 1. Говорят, что данную случайную величину распределено по вероятностям.
Если случайная величина принимает значения с вероятностями соответственно то говорят, что величину распределено по такому закону:
Её среднее значение называют математическим ожиданием и обозначают .
Например, для предыдущей задачи
Меру рассеиваний случайной величины вокруг ее математического ожидания называют её дисперсией. Дисперсию случайной величины обозначают символом и вычисляют по формуле . Здесь — математическое ожидание величины — квадраты отклонений значений от . Величина также случайная, её математическое ожидание — дисперсия случайной величины .
Например, чтобы найти дисперсию рассмотренной выше случайной величины сначала найдём отклонения всех её значений от математического ожидания:
Квадраты этих отклонений: 1,96, 0,16,12,96, 73,96. Найдём математическое ожидание случайной величины:
1,96 • 0,45 + 0,16 • 0,4 + 12,96 • 0,1 4- 73,96 • 0,05 = 5,94.
Это и есть дисперсия рассматриваемой случайной величины: = 5,94.
Если случайная величина дискретная и вероятности всех её значений равны, то говорят, что она имеет равномерное дискретное распределение вероятностей. По равномерному распределению выпадает число очков при подбрасывании правильного игрального кубика. А бывают другие распределения.
Для многих природных и общественных явлений характерны биномиальные распределения вероятностей. Биномиальное распределение возникает при последовательном проведении в одинаковых независимых условиях случайных опытов.
Английский математик А. Муавр ещё в XVIII в. измерил рост 1375 наугад выбранных женщин. На рисунке 164 изображена диаграмма, которая соответствует результатам его измерений.
Если «успехом» назвать тот факт, что следующая встреченная женщина имеет рост, который находится в определённых пределах, то число женщин такой категории среди 1375 встреченных является случайной величиной с биномиальным распределением. Относительно параметра можно утверждать, что этим числом может служить относительная частота женщин выделенной категории роста, поскольку число проведённых опытов достаточно большое и эта частота стабилизировалась. Английский психолог Ф. Гальтон сконструировал прибор (доску Гальтона), который наглядно показывает, как формируется случайная величина, распределённая по биномиальному закону, правда при (рис. 165). В верхний резервуар насыпаются шарики. Скатываясь по наклонной доске и обходя равномерно забитые в неё колышки, шарики заполняют нижние ячейки согласно биномиальному распределению вероятностей.
Если шариков достаточно много, то внизу они образуют симметричную горку колоколообразной формы. Верхний предел этой горки образует полигон, который при росте числа шариков приближается к кривой Гаусса — так называемой кривой плот ности стандартного нормального закона.
В рассмотренном выше примере результаты измерения роста женщин разбиты на 18 групп с разностью — 2,5 см. Если бы разбили их на большее количество групп, чтобы эта разность равнялась, например, 0,5 см, и построили соответствующий полигон, то образовалась бы ломаная из многих отрезков. А если бы разность продолжали уменьшать, то соответствующий полигон приближался бы к непрерывной кривой, изображённой на рисунке 164. Это — кривая плотности нормального распределения вероятностей.
Примерно так распределяются вероятности масс новорождённых, скоростей газовых молекул и многих других случайных величин физической, биологической или социальной природы. Биномиальное распределение характерно для многих дискретных случайных величин, а нормальное — для непрерывных. Если известно, что распределение вероятностей случайной величины нормальное, то достаточно знать только две её числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию), чтобы полностью описать распределение вероятностей.
Понимание сути нормального распределения необходимо всем учёным, исследующим закономерности живой или неживой природы и особенно — человеческого общества. Не случайно это распределение называют нормальным, оно — естественное. Именно так чаще всего распределяются не только массы, возрасты, физические возможности людей и человеческих сообществ, но и многие другие их характеристики. Не понимая этого, нельзя быть настоящим учёным.
Задача 10.
Найдите математическое ожидание случайной величины х, если закон её распределения представлен в таблице.
Решение:
= 1 • 0,2 + 5 • 0,3 4- 10 • 0,4 + 15 • 0,1 = 7,2.
Ответ. 7,2.
Задачи в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества, называют комбинаторными.
- Если элемент некоторого множества А можно выбрать способами, а элемент множества В способами, то элемент из множества А или из множества В можно выбрать способами. Это — правило суммы.
Если первый компонент пары можно выбрать способами, а второй — способами, то такую пару можно выбрать способами. Это — правили произведения.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до называют факториалом и обозначают
Упорядоченные -элементные подмножества -элементного множества называют размещениями из элементов по . Их число обозначают .
Для любых натуральных и верны равенства:
или .
Число размещений из элементов по равно произведению последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых .
Размещения из элементов по называют перестановками из элементов. Их число обозначают
Число перестановок из элементов равно , т. е.
Комбинацией из элементов по называют любое -элементное подмножество -элементного множества. Число комбинаций из элементов по обозначают и вычисляют по формуле
Статистика — это наука, которая занимается сбохюм, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями.
Мода выборки — ее варианта с наибольшей частотой. Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам. Средним значением выборки называют среднее арифметическое всех её вариантов.
Элементарным событием называют каждый возможный результат вероятностного эксперимента. Множество всех возможных последствий эксперимента называют пространством эле ментарных событии и обозначают греческой буквой (омега).
Вероятностью случайного события А называют отношение числа благоприятных для события А элементарных событий к числу всех равновозможных и попарно несовместимых элементарных событий, которые образуют пространство элементарных событий для данного испытания: .
Такое определение вероятности называют классическим.
Важнейшие свойства вероятности случайного события
1. Если С — событие невозможное, то Р(С) = 0.
2. Если В — событие достоверное, то Р(В) = 1.
3. Если X — событие случайное, то .
4. Если — элементарные события, исчерпывающие некоторое испытание, то
Если в испытаниях событие А происходит раз, то дробь
определяет относительную частоту события А. Во многих реальных случаях с увеличением относительная частота события стабилизируется и всё меньше отличается от некоторого числа (когда , то ). Это число называют вероятностью события А. Таково статистическое определение вероятности.
Графические представления информации о выборке
Статистические данные сводят в таблицы. Статистическая таблица — это особая форма рационального и систематизированного изложения обобщающих характеристик статистической совокупности. Как и грамматическое предложение, статистическая таблица имеет подлежащее и сказуемое. В подлежащем приводится перечень элементов, явлений, признаков, указанных в таблице. В сказуемом таблицы подаются количественные характеристики. Например, в приведённой ниже таблице сбора зерна в некоторых странах в 1995 г. подлежащим является левая колонка. Числовые данные в других — сказуемое таблицы.
Информацию о той или иной выборке часто подают графически, чаще всего в форме диаграмм. Слово диаграмма в переводе с греческого означает рисунок, чертёж. Правда, теперь этим словом называют не любой рисунок, а схематическое изображение отношений между множествами, различные структуры, алгоритмы действий и т. д. Отношения (соотношения) между множествами и объёмами понятий зачастую изображают в виде диаграмм-деревьев или диаграмм Эйлера {рис. 137,135).
Структуры моделей, различные диаграммы классов, состояний удобно подавать в виде круговых (секторных) диаграмм.
На рисунках 144 и 145 на секторной и столбчатой диаграммах изображены соотношения между численностью граждан разных национальностей (согласно переписи 2001 г.).
Столбчатую диаграмму из соединённых прямоугольников называют гистограммой. На рисунке 146 изображена гистограмма, которая соответствует приведённой ниже таблице распределения рабочих цеха по тарифным разрядам. Иногда вместо гистограммы строят полигон распределения, соединяя отрезками середины верхних оснований последовательных прямоугольников гистограммы (рис. 147). Бывают и другие диаграммы.
Информацию о динамике того или иного явления графически удобно изображать с помощью столбчатых диаграмм или графиков. Например, на рисунке 148 приведена диаграмма динамики рождаемости от 1960 до 2002 года; на рисунке 149 —
графики, отражающие динамику количества учеников, классов и школ в сёлах.
В социологии диаграммы часто строят на основе полярной системы координат. На двух следующих диаграммах (рис. 150. 151) большим расстояниям от полюса 0 соответствуют большие значения величин. Проанализируйте эти диаграммы.
Задача 11.
По данным таблицы «Структура валового сбора зерновых культур в мире (%)» постройте секторную диаграмму.
Решение:
На 100 % приходится 360°, а на 1% — 3,6°. Умножив 3,6° на данные таблицы, получим: 100,8°; 93,6°; 90°; 36°; 7,2°; 7,2°; 25,2°. Построив центральные углы с соответствующими градусными мерами, получим нужную диаграмму (рис. 152). Достаточно просто построить такую диаграмму с помощью программы Microsoft Graf (через команды Вставка / Объект / Диаграмма Microsoft Graf ) или программы Excel.
Сведения о статистике
Статистика — это наука, которая занимается сбором, обработкой и изучением различных данных, связанных с массовыми явлениями, процессами и событиями. Статистические сведения о какой-то большой совокупности объектов (генерал ьной совокупности) получают в основном в результате анализа только незначительной её части — выборки. Чтобы узнать, например, о наиболее распространённом размере мужской обуви, достаточно опросить несколько десятков мужчин. Предположим, что, опросив 60 мужчин, получили результаты, приведённые в таблице:
Это — частотная таблица, в ней числа второй строки — частоты. Например, частота обуви размера 29 равна б. Относительная частота этого размера
6:60-0,1=10%.
Проанализировав такую выборку, делают общий вывод: примерно 10 % мужской обуви надо делать 29 размера, а размера 26 — вдвое меньше. Это — приближённые отношения, но для практики таких приближений бывает достаточно.
Математическим анализом различных выборок занимается математическая статистика. Её основная задача — разрабатывать эффективные методы изучения больших совокупностей объектов на основе сравнительно небольших выборок.
Каждый элемент выборки называют её вариантой. Выборка, полученная в результате наблюдений, бывает неупорядоченной. Упорядочив её, получают вариационный ряд. Разность между крайними членами вариационного ряда — размах выборки. Пусть дано выборку
4, 3, 7, 9, 6, 8, 2, 6, 1, 7, 7, 3, 2, 5.
Упорядочив её по возрастанию вариант, получим вариационный ряд:
1, 2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9.
Размах данной выборки — 9 - 1 = 8.
Мода выборки — её варианта с найбольшей частотой (обозначается ). Медиана выборки — число, которое «разделяет» соответствующий вариационный ряд пополам (обозначается ).
Следовательно, для данной выборки
Средним значением выборки называют середнее арифметическое всех её вариантов.
Например, если дано выборку 1, 2, 3, 3, 5, 6, 8, то её среднее значение
Если варианты выборки повторяются, то суммы равных слагаемых можно заменить произведениями.
Задача 12.
Рабочих бригады ежемесячно получают по 3000 грн, 8 — по 4500 грн, а 5 — по 5000 грн. Определите среднюю месячную зарплату рабочего этой бригады.
Решение:
Всего рабочих в бригаде 7 + 8 + 5 = 20. Поэтому искомая средняя зарплата
Ответ. 4100 грн.
Моду, медиану и среднее значение выборки называют цент ральными тенденциями выборки.
В статистике часто используют и среднее квадратичное. Если дано чисел , то их среднее квадратичное а определяется по формуле:
С помощью среднего квадратичного чаще оценивают совокупности погрешностей или отклонений от нормы. Рассмотрим пример. Желая выточить деталь радиуса , токарь практически вытачивает деталь радиуса , где — некоторое отклонение (положительное или отрицательное). Пусть два токаря, выточив по 6 таких деталей, допустили такие ошибки (в десятых долях миллиметра): первый: 2, -5, 4, -3, -3, 5; второй: 3, -1, 4,1, 1, 2.
Кто из них выполнил задание качественнее? Чтобы ответить на вопрос, вычисляют средние квадратичные допущенных отклонений:
Качественнее работу выполнил второй токарь. Если разности между вариантами выборки и её средним значением равны , то среднее арифметическое их квадратов называется дисперсией выборки (лат. dispersio — рассеяние). Дисперсия равна квадрату среднего квадратичного всех отклонений и вычисляется по формуле:
Подробнее о дисперсии см. на с. 325.
В математике, в частности в математической статистике, нередко используют также среднее геометрическое () и среднее гармоническое (), вычисляемые по формулам:
Для любого количества положительных чисел всегда справедливы неравенства
Например, для положительных чисел и всегда
Докажите эти неравенства и приведите их геометрическую модель.
Задача 13.
В результате выборочного анализа выручки (в тыс. грн) туристической фирмы за неделю получили выборку объёмом
Для заданной выборки: а) найдите размах выборки; б) составьте частотную таблицу.
Решение:
а) Выпишем различные значения вариант, попавших в выборку: 87, 94, 99, 90, 85, 82, 81, 97. Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 81, 82, 85,87,90,94,97,99. Размах выборки равен 99 - 81 = 18.
б) Вычислим частоту каждой варианты и составим частотную таблицу:
Задача 14.
В результате анализа производства мяса (тыс. т) в январе-октябре 2010 года во всех областях Украины получили такую совокупность данных.
166, 73, 90, 206, 115, 52, 50, 63, 73, 211, 47, 47, 129, 34, 50, 52, 55, 44, 41, 90, 55, 50, 363, 47, 47.
Найдите: моду, медиану и размах выборки.
Решение:
Разместим варианты выборки в порядке возрастания: 34, 41, 44, 47, 47, 47, 47, 50, 50, 50, 52, 52, 55, 55, 63, 73, 73, 90, 90, 115, 129, 166, 206, 211, 363.
Тогда мода выборки равна 47 (встречается 4 раза), медиана — 55 (имеет 13-й порядковый номер из 25), а размах — 329 (363 — 34).
Комбинации и бином ньютона
Пусть дано множество из трёх элементов: . Его двухэлементных подмножеств (не упорядоченных) существует всего три: . Говорят, что существует 3 комбинации из трёх элементов по два. Пишут:
I Комбинацией из элементов по называют любое -элементное подмножество -элементного множества.
Число комбинаций из элементов по обозначают В отличие от размещений, комбинации — подмножества неупорядоченные.
Сравните: , а . При тех же значениях и значение менше . Можно также указать, во сколько раз меньше. Каждую элементную комбинацию можно упорядочить способами. В результате из одной комбинации получают размещений (упорядоченных подмножеств) из тех же элементов. Итак, число -элементных комбинаций в раз меньше числа размещений из тех же элементов.
То есть, отсюда
или
Задача 15.
Обратите внимание! Полагают также, что для любого
Задача 16.
Сколькими способами из 25 учеников можно выбрать на конференцию двух делегатов?
Решение:
Здесь , порядок учеников не имеет значения.
Ответ. 300-ми способами.
Докажем, что для натуральных значений правильно тождество
Доказательство. Пусть дано различных элементов:
Всего из них можно образовать различных -элементных комбинаций. Это количество комбинаций вычислим другим способом. Из данных элементов, кроме последнего , можно образовать комбинаций. Остальные -элементные комбинации из всех данных элементов можно образовать, если к каждой комбинации из нервых элементов по дописать элемент . Таких комбинаций .
Следовательно, .А это и требовалось доказать.
Такое комбинаторное тождество можно доказать также, воспользовавшись формулой числа комбинаций.
С комбинациями тесно связана формула бинома Ньютона. Вспомните формулу квадрата двучлена: . Умножив на и на , получим формулы:
Эти три формулы можно записать и так:
Оказывается, для каждого натурального значения правильна и общая формула:
Это тождество называют формулой бинома Ньютона, а её правую чисть разложением бинома Ньютона. Бином — латинское название двучлена. Пользуясь этой формулой, возведём, например, двучлен в пятую степень. Поскольку
Доказать формулу бинома Ньютона можно методом математической индукции.
Доказательство. Предположим, что формула верна для некоторого натурального показателя степени . Покажем, что тогда она верна и для следующего за ним значения .
Выражения в скобках преобразованы согласно формулы
- Следовательно, если формула бинома Ньютона верна для то она правильна и для . Для она правильна, так как . Поэтому на основе аксиомы математической индукции можно утверждать, что формула верна для любого натурального показателя .
Вычислять коэффициенты разложения бинома Ньютона можно не по формуле числа комбинаций, а пользуясь числовым треугольником Паскаля — своеобразным способом вычисления коэффициентов разложения бинома Ньютона
Треугольник Паскаля можно продолжать как угодно далеко.
Это следует из тождества . Его крайние числа — единицы, а каждое другое равно сумме двух ближайших к нему чисел сверху.
Например, прибавляя числа шестой строки (для ), получим числа следующей строки (для ): 1, 6, 15, 20,15, 6,1. Следовательно,
Общий член разложения бинома можно определить по
формуле
Например:
- • первый член —
- • второй член —
- • третий член —
Задача 17.
В турнире по шашкам приняли участие 5 девушек и 7 юношей. Каждый участник сыграл один раз с каждым другим. Сколько партий было: а) между девушками; б) между юношами; в) между юношами и девушками?
Решение:
а) Речь идёт о 2-элементных подмножествах (неупорядоченных) множества, состоящего из 5 элементов. Это — комбинации
б) Аналогично
в) Воспользуемся правилом умножения. Поскольку каждой из 5 девушек предстоит сыграть с каждым из 7 юношей, возможных случаев 5*7 = 35.
Задача 18.
Для дежурства в столовой приглашают 3-х учеников из 7 класса и 2-х учеников из 10 класса. Сколькими способами это можно сделать, если в 7 классе учится 24 ученика, а в 10 классе — 18.
Решение:
Речь идёт о неупорядоченных подмножествах двух разных множеств. Это — комбинации.
По нравилу произведения имеем 2024 • 153 — 309 672 способов выбрать учащихся для дежурства.
Задача 19.
Сколько разных делителей имеет число 1001?
Решение:
Разложим заданное число на простые множители: 1001 = 7-11-13. Если число — делитель числа 1001, то оно должно быть одним из чисел 7, 11,13 (три случая) или любым их произведением. Различных произведений может быть . Делителем данного числа есть ещё единица. Следовательно, число 1001 имеет 3 + 4 + 1=8 делителей.
Задача 20.
Докажите, что выпуклый -угольник имеет диагоналей.
Решение:
Отрезков, концами которых являются вершин данного -угольника, существует . Среди них есть и сторон данного -угольника. Поэтому диагоналей он имеет
Задача 21.
Докажите тождество
Сделайте обобщение.
Решение:
Все члены разложения бинома Ньютона такие же, как и члены разложения бинома , только их члены с чётными номерами отрицательные.
Задача 22.
Найдите номер члена разложения , который не содержит .
Решение:
Воспользуемся формулой общего члена разложения бинома. Имеем:
По условию задачи , то есть . Отсюда Следовательно, не содержит х шестой член разложения бинома.
Размещения и перестановки
Задача 23.
Сколькими способами собрание из 20 человек может избрать председателя и секретаря?
Решение:
Председателя можно выбрать 20-ю способами, секретаря — из остальных 19 человек — 19-ю способами. По правилу произведения председателя и секретаря собрания могут выбрать 20 • 19 = 380 способами.
Обобщим задачу. Сколько упорядоченных -элементных подмножеств можно составить из п различных элементов? На первое место можно поставить любой из данных элементов. На второе место — любой из остальных элементов и т. д. На последнее -е место можно поставить любой из остальных элементов. Из правила произведения следует, что из данных элементов можно получить -элементных упорядоченных подмножеств.
Например, из 4 элементов упорядоченных двухэлементных подмножеств можно образовать всего 4 • 3 = 12:
Упорядоченое -елементное подмножество -элементного - множества называют размещением из элементов по . Их число обозначают .
Из предыдущих рассуждений следует, что и что для любых натуральных и
В правой части этого равенства множителей. Поэтому результат можно сформулировать в виде такого утверждения.
Число размещений из элементов по равно произведению последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых .
Примеры.
Задача 24.
Сколькими способами можно составить дневное расписание из пяти разных уроков, если класс изучает 10 различных предметов?
Решение:
Речь идёт об упорядоченных 5-элементных подмножествах некоторого множества, состоящего из 10 элементов.
Это размещения.
Ответ. 30 240 способами.
Число размещений из элементов по можно вычислять и по другой формуле: (проверьте самостоятельно).
Размещение элементов по называют перестановками из элементов. Их число обозначают .
Например, из трёх элементов можно образовать 6 различных перестановок:
Следовательно,
Подставив в формулу числа размещений , получим, что
Число перестановок из элементов равно
Примеры.
Задача 25.
Сколькими способами можно составить список из 10 фамилий?
Решение:
Ответ. 3 628 800 способами.
Некоторые комбинаторные задачи сводятся к решению уравнений, в которых переменная указывает на количество элементов в некотором множестве или подмножестве.
Рассмотрим несколько таких уравнений
Задача 26.
Решите уравнение .
Решение:
Пользуясь формулой размещений, данное уравнение можно заменить таким:
, или , отсюда. По условию задачи — натуральное число, поэтому — посторонний корень. Следовательно, .
Задача 27.
Решите уравнение
Решение:
Запишем выражения и через произведения.
Имеем: Поскольку по смыслу задачи , то и . Поэтому последнее уравнение можно сократить на произведение . Тогда , Но уравнение удовлетворяет только одно значение: .
Задача 28.
Команда из трёх человек выступает в соревнованиях по художественной гимнастике, в которых принимают участие ещё 27 спортсменок. Сколькими способами могут распределиться места между членами команды, при условии, что на этих соревнованиях ни одно место не делится?
Решение:
Речь идёт об упорядоченных 3-элементных подмножествах множества, состоящего из 30 элементов. Это — размещения.
Задача 29.
Сколькими способами можно разместить на полке 5 дисков?
Решение:
Речь идёт об упорядоченных 5-элементных множествах. Искомое количество способов равно
Ответ. 120 способами.
Задача 30.
Изображённое на рисунке 140 кольцо раскрашено в 7 цветов. Сколько существует таких колец, раскрашенных теми же цветами только в других последовательностях?
Решение:
Зафиксируем одну какую-нибудь часть кольца, окрашенную одним цветом. 6 других частей можно раскрасить способами.
Ответ. 720 колец.
Задача 31.
Сколько можно составить различных неправильных дробей, числителями и знаменателями которых есть числа 3,5, 7, 9,11,13?
Решение:
Способ 1. Дробей, у которых числитель не равен знаменателю, можно составить , то есть 6 • 5 = 30. Из этих дробей только половина — неправильных, то есть — 15.
Неправильными являются также дроби, у которых числитель равен знаменателю. Таких дробей в нашем случае 6. Итак, всего можно составить 15 + 6 = 21 (дробь).
Способ 2. Если знаменатель неправильной дроби 3, то его числителями могут быть все 6 данных чисел. Если знаменатель 5, то числителями неправильной дроби могут быть 5 чисел (5, 7, 9, 11, 13) и т.д. Наконец, если знаменатель — число 13, то существует только 1 неправильная дробь, со знаменателем 13. Всего таких неправильных дробей существует G 4- 5 + 4 + 3 + 24-1 = 21.
Ответ. 21 дробь.
Комбинаторика. правила суммы и произведения
Вспомните, что в математике любые совокупности называют множествами. Объекты, входящие в множества, называют его элементами. Множества обозначают большими латинскими буквами, а их элементы записывают в фигурных скобках. Считают, что все элементы множества различны.
Например, .
Множества бывают конечными и бесконечными. Если множество не содержит ни одного элемента, его называют пустым и обозначают символом
Два множества называют равными, если они состоят из одних и тех же элементов.
Если А — часть множества В, то его называют подмножеством множества В и записывают . Наглядно это изображают с помощью диаграммы Эйлера (рис. 135. а). В частности, для числовых множеств правильные такие соотношения:
- Случается, что множества А и В имеют общие элементы. Если множество Р содержит все общие элементы множеств А и В и только их, то множество Р называют пересечением множеств А и В. Записывают это так: . Диаграммой Эйлера пересечение изображают, как ноказано на рисунке 135, б. Множество, содержащее каждый элемент каждого из множеств А и В и только эти элементы, называется объединением множеств А и В. Если К — объединение множеств А и В, то пишут (рис. 135, в).
Разницей множеств А и В называют множество, состоящее из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В. Его обозначают . Например, если
Говоря «множество«подмножество», порядок их элементов не учитывают. Говорят, что они не упорядочены. Рассматривают и упорядоченные множества. Так называют множества с фиксированным порядком элементов. Их обозначают не фигурными, а круглыми скобками. Например, из элементов множества можно образовать 6 трёхэлементных упорядоченных множеств: (а, Ь, с), (а, с, 6), (b, а, с), (Ь, с, а), (с, а, Ь)> (с, Ь, а).
Как множества, все они равны, как упорядоченные множества — разные. Существуют задачи, в которых надо определить, сколько различных подмножеств или упорядоченных подмножеств можно образовать из элементов данного множества. Их называют комбинаторными задачами, а раздел математики, в котором рассматривается решение комбинаторных задач, называют комбинаторикой.
Комбинаторика — раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами.
Рассмотрим два основных правила, с помощью которых решается много комбинаторных задач
Задача 32.
В городе N есть два университета — политехнический и экономический. Абитуриенту нравятся три факультета в политехническом университете и два — в экономическом. Сколько возможностей имеет студент для поступления в университет?
Решение:
Обозначим буквой А множество факультетов, которые выбрал абитуриент в политехническом университете, а буквой В — в экономическом: Поскольку эти множества не имеют общих элементов, то в целом абитуриент имеет 3 + 2 = 5 возможностей для поступления в университет.
Описанную ситуацию можно обобщить в виде утверждения, которое называется правилом суммы.
Если элемент некоторого множества А можно выбрать способами, а элемент множества В — способами, то элемент из множества А или из множества В можно выбрать способами.
Правило суммы распространяется и на большее количество множеств.
Задача 33.
Планируя летний отдых, семья определилась с местами его проведения: в Одессе — 1, в Евпатории — 3, в Ялте — 2, в Феодосии — 2. Сколько возможностей выбора летнего отдыха имеет семья?
Решение:
Поскольку все базы отдыха разные, то для решения задачи достаточно найти сумму элементов всех множеств, о которых говорится: 1 + 3 + 2-1-2 = 8. Следовательно, семья может выбирать отдых из 8 возможных.
Задача 34.
От пункта А до пункта В ведут три тропинки, а от В до С — две. Сколько маршрутов можно проложить от пункта А до пункта С?
Решение:
Чтобы пройти от пункта А до пункта В, надо выбрать одну из трёх тропинок: 1, 2 или 3 (рис. 136). После этого следует выбрать одну из двух других троп: 4 или 5. Всего от пункта А до пункта С ведут 6 маршрутов, потому что 3*2 = 6. Все эти маршруты можно обозначить с помощью пар: (1;4),(1;5),(2;4),(2;5),(3;4),(3;5).
Обобщим описанную ситуацию.
Если первый компонент пары можно выбрать способами, а второй — способами, то такую пару можно выбрать способами.
Это — правило произведения, его часто называют основным правилом комбинаторики. Обратите внимание: речь идёт об упорядоченных парах, составленных из различных компонентов.
Правило произведения распространяется и на упорядоченные тройки, четвёрки и любые другие упорядоченные конечные множества. В частности, если первый компонент упорядоченной тройки можно выбрать т способами, второй — способами, третий — способами, то такую упорядоченную тройку можно выбрать способами. Например, если столовая на обед приготовила 2 первых блюда — борщ (б) и суп (с ), 3 вторых — котлеты (к), вареники (в), голубцы (г) и 2 десертных — пирожные (п) и мороженое (м), то всего из трёх блюд столовая может предложить 12 различных наборов, поскольку 2 • 3 • 2 = 12.
Описанной ситуации соответствует диаграмма, изображённая на рисунке 137. Такие диаграммы называют деревьями.
Задача 35.
Сколько разных поездов можно составить из 6 вагонов, если каждый из вагонов можно поставить на любом месте?
Решение:
Первым можно поставить любой из 6 вагонов. Имеем 6 выборов. Второй вагон можно выбрать из оставшихся 5 вагонов. Поэтому, согласно правилу умножения, два первых вагона можно выбрать 6 • 5 способами. Третий вагон можно выбрать из 4 вагонов, которые остались. Поэтому три первых вагона можно выбрать 6•5•4 способами. Продолжая подобные рассуждения, приходим к ответу: всего можно составить 6•5•4•3•2•1 = 720 различных поездов.
Обратите внимание на решение последней задачи. Оно свелось к вычислению произведения всех натуральных чисел от 1 до 6. В комбинаторике подобные произведения вычисляют часто.
Произведение всех натуральных чисел от 1 до называют факториалом и обозначают
Например:
5! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120, 7! = 1•2•3•4•5•6•7 = 5040.
Условились считать, что 1! = 1 и 0! = 1.
Языком теории множеств правила суммы и произведения можно сформулировать следующим образом.
Если пересечение множеств А и В пустое, то количество элементов в их объединении равно сумме количества элементов множеств А и В:
Если множества А и В имеют общие элементы, то
Если множества А и В конечны, то количество возможных пар , где, равно произведению количества элементов множеств А и В:
Задача 36.
В розыгрыше на первенство города по баскетболу принимают участие команды из 12 школ. Сколькими способами могут быть распределены первое и второе места?
Решение:
Первое место может получить одна из 12 команд. После того, как определён обладатель первого места, второе место может получить одна из 11 команд. Следовательно, общее количество способов, которыми можно распределить первое и второе места, равно 1211 = 132. Ответ. 132.
Задача 37.
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из цифр
0, 1, 2, 3, 4, 5, если ни одна цифра не повторяется?
Решение:
Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр
1, 2, 3, 4, 5. Если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5-ю способами, третья — 4-мя, четвёртая — 3-мя. Согласно правилу умножения общее число способов равно:
5 • 5 • 4 • 3 = 300. Ответ. 300.
Задача 38.
Упростите выражение
Решение:
Услуги: