Заказать работу по математике

Заказать работу по математике помощь в учёбе

На этой странице собран полный курс лекций по математике для школьников и студентов, с помощью этого курса можно быстро освежить всю базовую программу и начиться решать задания по математике, но если у вас нету времени и вам нужна срочная онлайн помощь вы всегда можете написать мне и я помогу.

Если у вас ещё много времени вы можете изучить теорию которую я разместила ниже и попробовать научиться решить, и посмотреть мои выполненые заказы с решением, но если лень или нету времени, то бегом ко мне!!!

Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математика». Естественно, что в школе мы ограничимся изучением лишь отдельных элементов математики. Это будет первое знакомство с серьезным разделом математики. Сразу попытаемся объяснить, что здесь «анализируют». «Анализируют» довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный подход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела (предела функции, предела последовательности), а далее изучим производную — важную математическую модель, построение этой модели также основано на понятии предела.

Определение числовой последовательности и способы ее задания

Что такое числовая последовательность и как она задается, вам известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствующее определение.

Определение 1. Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают

Иногда для обозначения последовательности используется запись ().

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17, 19,23, 29, ...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

1) . Это — аналитическое задание последовательности

1, 4, 9, 16,..., ,...

Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, n = 9, то Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если =625, то из уравнения =625 находим, что =25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.

2) —С. Здесь речь идет о последовательности

С, С, С С,...

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3) . Это — аналитическое задание последовательности

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (), заданная рекуррентно соотношениями:

(a и d- заданные числа, d — разность арифметической прогрессии). Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (), заданная рекуррентно соотношениями:

(b и q — заданные числа, — знаменатель геометрической прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Определение 2. Последовательность () называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность () ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого п выполняется неравенство Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16, .... , ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Определение 3. Последовательность () называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность () ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство . Число т называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., , ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной. Например, Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.

Если построить график последовательности , т.е. график функции прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе 37 — между некоторыми горизонтальными прямыми, например, у =0, и у=1 (рис. 97), а в этом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0,1](рис. 98).

Определение 4. Последовательность () называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1,3, 5, 7 ,... — возрастающая последовательность.

Определение 5. Последовательность () называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Например, убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Приведем еще несколько примеров

• 1) Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).
• 2) . Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... Это — возрастающая последовательность. Вообще, если тo последовательность " возрастает.
• 3) Речь идет о последовательности

Это — убывающая последовательность.

Вообще, если . то последовательность убывает.

Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 99 для () и рис. 98 для ()). Замечаем, что члены второй последовательности () как бы «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности () такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность () сходится, а последовательность () расходится.

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем новый математический термин.

Определение 1. Пустьа—точка прямой, а г— положительное число. Интервал () называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности (, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

• Пишут либо так: (читают: стремится к b или сходится к Ь), либо так: (читают: предел последовательности при стремлении n к бесконечности равен б; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).

Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть

Возьмем интервал , т.е. окрестность точки — радиус этой окрестности . Существует номер начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: и т.д.

А что будет, если взять интервал , где ,т.е. если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше, т.е.

Замечание. Если число — предел последовательности (), то, образно выражаясь, окрестность точки — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера эта ловушка «заглатывает» и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

• Помощь онлайн в учёбе
  

Заказ №284.

Дана последовательность ():

Доказать, что

Решение:

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число так, чтобы выполнялось неравенство Если, например, г = 0,001, то в качестве можно взять 1001, поскольку ; если , то в качестве можно взять 5774, поскольку и т.д. Но это значит, что член последовательности с номером попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности В соответствии с определением 2 это и означает, что

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по математике помощь с примерами онлайн

Заказ №285.

Найти предел последовательности:

Решение:

Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

А что будет с последовательностью ? Пусть, например, , т.е. речь идет о последовательности Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:

если , то последовательность расходится.

Заказ №286.

Найти предел последовательности:

Решение:

Выполним некоторые преобразования выражения

Имеем

Это значит, в частности, что

и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:

Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, последовательность сходится к числу 2:

А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностей т. е. графики функций:

График первой из этих трех функций изображен на рис. 97. Он состоит из точек с абсциссой лежащих на ветви

гиперболы

У второй функции аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной. На рис. 102 изображен график функции Он состоит из точек с

абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой кривой, — ее называют зкспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в главе 7.

Осталось рассмотреть третью функцию. Сначала надо построит график функции или, что то же самое,

Графиком этой функции является гипербола, которая получается из гиперболы сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по оси у (рис. 103).

Теперь мы имеем представление о графике последовательности Он состоит из точек с абсциссами

лежащих на правой ветви гиперболы

Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на рис. 102 — к прямой у- 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

Подведем итоги. Имеем:

l) и прямая является горизонтальной асимптотой графика функции

2) и прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции

3) и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции

Вообще, равенство означает, что прямая у=Ь является горизонтальной асимптотой графика функции (рис. 105).

На практике используется еще одно истолкование равенства связанное с приближенными вычислениями: если последовательность сходится к числу , то выполняется приближенное равенство , причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше .

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по математике заказать

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна. Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3, 1, 2, 3,..., 1,2, 3,... — ограниченная последовательность, но онане сходится.

Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга (установлено, что — предел последовательности площадей вписанных в окружность радиуса г правильных многоугольников).

Вычисление пределов последовательностей

К установленным ранее двум важным результатам:

добавим еще один:

Иными словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.

Теорема. Если то:

1) предел суммы равен сумме пределов:

2) предел произведения равен произведению пределов:

3) предел частного равен частному от деления пределов:

(но, разумеется, при дополнительных условиях:

для любого n);

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Заказ №287.

Найти пределы последовательностей:

Решение:

а) Имеем: Применив правило « предел произведения», получим:

б) Рассуждая, как в n. а), получим:

в) Имеем:

Вообще, для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение:

г) Применив правило «предел суммы», получим:

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по математике онлайн

Заказ №288.

Даны числа такие, что . Вычислить где

Решение:

Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множитель можно вынести за знак предела. Получим:

Далее воспользуемся тем, что и, следовательно, Тогда:

Ответ:

Заказ №289.

Вычислить

Решение:

В подобных случаях применяют искусственный прием: делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n². Получим:

Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел дроби равен

Ответ:

Заказ №290.

Дана функция Найти

Решение:

Чтобы вычислить значение , надо вместо аргумента х подставить его значение х = 0. Имеем Аналогично получим

Заказ №1.5.2.

Найти область определения функций:

Решение:

1) Здесь на х не накладывается ни каких ограничений, поэтому функция определена на множестве

2) Если х = 0, то у не имеет числового значения (на нуль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) у принимает действительные значения, поэтому областью определения служит объединение промежутков

3) Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решив уравнение 2х - 6 = 0, найдем его корень х = 3. Таким образом, область определения

4) Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение , найдем его корни: . Следовательно,

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по математике расчетно графическая работа

Заказ №291.

Найдите область определения функций:

Решение:

1) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству

2) Решив неравенство , получим

3) Найдем область определения каждого из слагаемых; общая часть

этих областей и будет областью определения данной функции. Для первого слагаемого а для второго . Тогда областью определения суммы служит пересечение промежутков:

4)Функция определена на всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

Следовательно, областью определения функции является объединение промежутков:

Заказ №292.

Найти предел функции:

Решение:

Данные функции являются элементарными, они определены в предельных точках, поэтому находим предел функции как её частное значение в предельной точке:

Заказ №293.

Найти пределы следующих функций:

Решение: