Заказать математику

Помогу вам при решение математических задач, от простых до сложных. Подробно решаю, так что будет всё понятно. Пришлите вашу задачу. Укажите за какое время она должна быть решена, и другие ваши предпочтения. Решу быстро и качественно!

Математика — обязательная для изучения дисциплина, которую преподают в школе и средних ученых заведениях. Школьники в 11 классе также знакомятся с основными понятиями этого предмета. Письменные задания по предмету могут решить не все студенты. Особенно они вызывают затруднения у творческих людей. Поскольку сдача работ обязательна, то лучше всего воспользоваться возможность заказать решение задач по математике у меня.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
2. Примеры решения заказов и теория
3. Определение числовой последовательности и способы ее задания
4. Свойства числовых последовательностей
5. Приведем еще несколько примеров
6. Определение предела последовательности
7. Свойства сходящихся последовательностей
8. Вычисление пределов последовательностей
9. Предел функции на бесконечности
10. Вычисление предела функции на бесконечности
11. Предел функции в точке
12. Приращение аргумента. Приращение функции

Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Примеры решения заказов по математике и теория

Если у вас ещё много времени вы можете изучить теорию которую я разместила ниже и попробовать научиться решить, и посмотреть мои выполненные заказы с решением, но если лень или нету времени, то бегом ко мне!!!

Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математика». Естественно, что в школе мы ограничимся изучением лишь отдельных элементов математики. Это будет первое знакомство с серьезным разделом математики. Сразу попытаемся объяснить, что здесь «анализируют». «Анализируют» довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный подход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела (предела функции, предела последовательности), а далее изучим производную — важную математическую модель, построение этой модели также основано на понятии предела.

Определение числовой последовательности и способы ее задания

Что такое числовая последовательность и как она задается, вам известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствующее определение.

Определение 1. Функцию вида называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают

Иногда для обозначения последовательности используется запись ().

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17, 19,23, 29, ...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

1) . Это — аналитическое задание последовательности

1, 4, 9, 16,..., ,...

Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, n = 9, то Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если =625, то из уравнения =625 находим, что =25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.

2) —С. Здесь речь идет о последовательности

С, С, С С,...

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3) . Это — аналитическое задание последовательности

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (), заданная рекуррентно соотношениями:

(a и d- заданные числа, d — разность арифметической прогрессии). Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (), заданная рекуррентно соотношениями:

(b и q — заданные числа, — знаменатель геометрической прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Определение 2. Последовательность () называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность () ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого п выполняется неравенство Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16, .... , ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Определение 3. Последовательность () называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность () ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство . Число т называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., , ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной. Например, Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.

Если построить график последовательности , т.е. график функции прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе 37 — между некоторыми горизонтальными прямыми, например, у =0, и у=1 (рис. 97), а в этом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0,1](рис. 98).

Определение 4. Последовательность () называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Например, 1,3, 5, 7 ,... — возрастающая последовательность.

Определение 5. Последовательность () называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Например, убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Приведем еще несколько примеров

• 1) Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).
• 2) . Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... Это — возрастающая последовательность. Вообще, если тo последовательность " возрастает.
• 3) Речь идет о последовательности

Это — убывающая последовательность.

Вообще, если . то последовательность убывает.

Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 99 для () и рис. 98 для ()). Замечаем, что члены второй последовательности () как бы «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности () такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность () сходится, а последовательность () расходится.

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем новый математический термин.

Определение 1. Пустьа—точка прямой, а г— положительное число. Интервал () называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.

Теперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности (, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

• Пишут либо так: (читают: стремится к b или сходится к Ь), либо так: (читают: предел последовательности при стремлении n к бесконечности равен б; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).

Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть

Возьмем интервал , т.е. окрестность точки — радиус этой окрестности . Существует номер начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: и т.д.

А что будет, если взять интервал , где ,т.е. если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше, т.е.

Замечание. Если число — предел последовательности (), то, образно выражаясь, окрестность точки — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера эта ловушка «заглатывает» и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.

Заказ №284.

Дана последовательность ():

Доказать, что

Решение:

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число так, чтобы выполнялось неравенство Если, например, г = 0,001, то в качестве можно взять 1001, поскольку ; если , то в качестве можно взять 5774, поскольку и т.д. Но это значит, что член последовательности с номером попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности В соответствии с определением 2 это и означает, что

Заказ №285.

Найти предел последовательности:

Решение:

Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

А что будет с последовательностью ? Пусть, например, , т.е. речь идет о последовательности Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:

если , то последовательность расходится.

Заказ №286.

Найти предел последовательности:

Решение:

Выполним некоторые преобразования выражения

Имеем

Это значит, в частности, что

и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:

Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, последовательность сходится к числу 2:

А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностей т. е. графики функций:

График первой из этих трех функций изображен на рис. 97. Он состоит из точек с абсциссой лежащих на ветви

гиперболы

У второй функции аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной. На рис. 102 изображен график функции Он состоит из точек с

абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой кривой, — ее называют зкспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в главе 7.

Осталось рассмотреть третью функцию. Сначала надо построит график функции или, что то же самое,

Графиком этой функции является гипербола, которая получается из гиперболы сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по оси у (рис. 103).

Теперь мы имеем представление о графике последовательности Он состоит из точек с абсциссами

лежащих на правой ветви гиперболы

Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на рис. 102 — к прямой у- 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

Подведем итоги. Имеем:

l) и прямая является горизонтальной асимптотой графика функции

2) и прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции

3) и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции

Вообще, равенство означает, что прямая у=Ь является горизонтальной асимптотой графика функции (рис. 105).

На практике используется еще одно истолкование равенства связанное с приближенными вычислениями: если последовательность сходится к числу , то выполняется приближенное равенство , причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше .

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна. Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3, 1, 2, 3,..., 1,2, 3,... — ограниченная последовательность, но онане сходится.

Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга (установлено, что — предел последовательности площадей вписанных в окружность радиуса г правильных многоугольников).

Вычисление пределов последовательностей

К установленным ранее двум важным результатам:

добавим еще один:

Иными словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.

Теорема. Если то:

1) предел суммы равен сумме пределов:

2) предел произведения равен произведению пределов:

3) предел частного равен частному от деления пределов:

(но, разумеется, при дополнительных условиях:

для любого n);

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Заказ №287.

Найти пределы последовательностей:

Решение:

а) Имеем: Применив правило « предел произведения», получим:

б) Рассуждая, как в n. а), получим:

в) Имеем:

Вообще, для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение:

г) Применив правило «предел суммы», получим:

Заказ №288.

Даны числа такие, что . Вычислить где

Решение:

Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множитель можно вынести за знак предела. Получим:

Далее воспользуемся тем, что и, следовательно, Тогда:

Ответ:

Заказ №289.

Вычислить

Решение:

В подобных случаях применяют искусственный прием: делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n². Получим:

Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел дроби равен

Ответ:

Заказ №290.

Дана функция Найти

Решение:

Чтобы вычислить значение , надо вместо аргумента х подставить его значение х = 0. Имеем Аналогично получим

Заказ №1.5.2.

Найти область определения функций:

Решение:

1) Здесь на х не накладывается ни каких ограничений, поэтому функция определена на множестве

2) Если х = 0, то у не имеет числового значения (на нуль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) у принимает действительные значения, поэтому областью определения служит объединение промежутков

3) Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решив уравнение 2х - 6 = 0, найдем его корень х = 3. Таким образом, область определения

4) Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение , найдем его корни: . Следовательно,

Заказ №291.

Найдите область определения функций:

Решение:

1) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству

2) Решив неравенство , получим

3) Найдем область определения каждого из слагаемых; общая часть

этих областей и будет областью определения данной функции. Для первого слагаемого а для второго . Тогда областью определения суммы служит пересечение промежутков:

4)Функция определена на всех значениях х, удовлетворяющих неравенству

Следовательно, областью определения функции является объединение промежутков:

Заказ №292.

Найти предел функции:

Решение:

Данные функции являются элементарными, они определены в предельных точках, поэтому находим предел функции как её частное значение в предельной точке:

Заказ №293.

Найти пределы следующих функций:

Решение:

Предел функции на бесконечности

Равенство

означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции (рис. 105). Напомним, что аргумент п принимает только натуральные значения.

Пусть теперь дана функция y=f (х), в области определения которой содержится луч , и пусть пря- мая у = b является горизонтальной асимптотой графика (рис. 106) функции у =f(x). Естественно, что математики в этом случае по аналогии с приведенным выше равенством (1) решили использовать запись:

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении х к плюс бесконечности равен ).

Если же дана функция y=f (х), в области определения которой содержится луч , и прямая у =Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) (рис. 107), то в этом случае используют запись:

(читают: предел функции у = f(x) при стремлении х к минус бесконечности равен Ь).

Если одновременно выполняются два соотношения:

то можно объединить их одним соотношением: Но условились использовать более экономную запись:

(читают: предел функции у =f(x) при стремлении х к бесконечности равен Ь).

Рис. 108

В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) как бы с двух сторон (рис. 108).

Вычисление предела функции на бесконечности

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями)

1) Для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение

2) Если

а) предел суммы равен сумме пределов:

б) предел произведения равен произведению пределов:

в) предел частного равен частному от деления пределов (разумеется, при условии, что ):

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Пример задачи 1.

Вычислить

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на :

Осталось воспользоваться правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0 = 2, а предел знаменателя равен 1 -0 = 1, то предел дроби равен

Ответ:

Замечание. Сравните только что решенный пример с примером 6 из § 30: все то же самое — та же идея, те же рассуждения. Отличие только одно: там переменная л принимала лишь натуральные значения, а здесь переменная х принимает любые действительные значения (кроме, разумеется, значений -2 и 2, которые обращают в нуль знаменатель дроби, содержащейся под знаком предела).

Предел функции в точке

Рассмотрим функции, графики которых изображены на рис. 109—111. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее это три разные функции, они отличаются друг

от друга своим поведением в точке х =а. Для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 109, значение f(a) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 110, значение Да) существует, но оно «неудачное», оно отлично, от, казалось бы, естественного значения Ь. Наконец, для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 111, значение Да) существует, и оно «удачное». Если же точку х=а исключить из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

Для всех трех случаев используется одна и та же запись:

(читаем: «предел функции у =f(x) при стремлении равен Ь»).

Содержательный смысл приведенной выше записи заключается в следующем: если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению х =а, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Ь. Можно сказать и так: в достаточно малой окрестности точки а справедливо приближенное равенство:

f(x)=b

(причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается). При этом, подчеркнем еще раз, сама точка х =а исключается из рассмотрения.

А теперь ответьте на вопрос: какую из рассмотренных трех функций естественно считать непрерывной в точке х=а? Ответ очевиден: непрерывной естественно считать третью функцию, которая удовлетворяет условию

В каких случаях мы с вами до сих пор использовали понятие «непрерывная функция»? Мы говорили, что функция непрерывна, если видели, что ее график представляет собой сплошную линию, т.е. не имеет «проколов» и «скачков». На самом деле график функции изображают в виде сплошной линии (без «проколов» и «скачков») только тогда, когда установлена непрерывность функции. При этом функцию y~f(x) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение:

• Иными словами, функцию y = f(x) называют непрерывной в точке х=а, если предел функции при стремлении хка равен значению функции в точке х=а.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

В курсе алгебры 7—9-го классов мы отмечали, что функции: — натуральное число, — непрерывны на всей числовой прямой. Отмечали также, что функция непрерывна на луче — натуральное число) непрерывна на промежутках , но претерпевает разрыв в точке х = 0.

Говоря о тригонометрических функциях, мы отмечали непрерывность функций на всей числовой прямой, а также непрерывность функций в каждом промежутке из области их определения. До сих пор мы опирались на наглядные представления и интуицию. Математики доказали, опираясь на определение непрерывности, что все упомянутые утверждения верны. Так что теперь мы будем ими пользоваться на законных основаниях.

Между прочим, математики доказали более сильное утверждение:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (х).

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций:

Пример задачи 2.

Вычислить:

Решение:

Выражение х3 -2Х2 +5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем:

Ответ: 7.

Пример задачи 3.

Вычислить:

Решение:

Выражение определено в любой точке , в частности, в точке х =2. Следовательно, функция непрерывна в точке х =2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем:

Ответ: 0.

Вы заметили, наверное, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример задачи 4.

Вычислить

Решение:

Если подставить значение х =-З в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

Значит, функции тождественны при условии

. Но (внимание!) при вычислении предела функции при саму точку можно исключить из рассмотрения, мы об этом говорили выше. Значит,

Ответ: -1,5.

Вернемся снова к названию раздела математики, который мы начали изучать, — математический анализ. В начале главы 4 мы отметили: анализируют в этом разделе математики то, как ведет себя функция около, конкретной точки. Теперь мы можем сказать точнее: в окрестности конкретной точки. Именно этим мы и занимались, делая выводы о функциях, графики которых изображены на рис. 109—111. Проведенный краткий анализ привел нас к понятию предела функции в точке и к понятию непрерывности функции в точке.

Важное замечание. Теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях. Продолжая это «шапочное» знакомство, получим один очень существенный для высшей математики результат. При этом опятьбудем использовать не строгие рассуждения (нам пока это не по силам), а рассуждения, основанные на интуиции, наглядности, правдоподобии. Такие рассуждения математики часто называют рассуждениями «на пальцах».

Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое положительное значение t, отметим на окружности точку Af(l) и ее ординату,

т.е. ; t — это длина дуги AM, — это длина перпендикуляра МР (рис. 112). Для достаточно малых значений t выполняется приближенное равенство , т.е.

и, следовательно, . Например,

Естественно предположить, что

В курсе математического анализа доказано, что это утверждение верно.

Приращение аргумента. Приращение функции

Изучая поведение функции около конкретной точки , важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.

Определение 1. Пусть функция определена в точках и х,. Разность х, - называют приращением аргумента (при переходе от точки ), а разность ) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают (читают: «дельта икс»; — прописная буква греческого алфавита «дельта», а соответствующая строчная буква пишется так: ). Приращение функции обозначают

Итак, значит,

значит,

Пример задачи 5.

Найти приращение функции при переходе от точки к точкам:

Решение:

а)

б)

Обратите внимание на полученный в примере 5 ответ: приращение функции (как, впрочем, и приращение аргумента) может быть и положительным, и отрицательным числом, так что не истолковывайте термин «приращение» как «прирост».

А теперь посмотрим на определение непрерывной функции с точки зрения приращений аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке х =а выглядит так: . Здесь значит, При этом значит,

Получаем новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.

Функция y=f(x) непрерывна в точке х =а, если в точке х =а выполняется следующее условие:

если

Пример задачи 6.

Для функции найти:

а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а)Имеем:

Итак, для заданной линейной функции получили:

б) Нужно вычислить . Имеем:

Итак, для заданной линейной функции получили:

На рис. 113 изображен график линейной функции , выделена фиксированная точка графика ? отмечены приращения аргумента и функции при переходе от точки х к точке . Чертеж подсказывает, что тангенс угла между прямой

у и положительным направлением оси х, а это — угловой коэффициент прямой. Значит, что фактически и получено при решении примера 6, но с помощью формальных преобразований.

Пример задачи 7.

Для функции у = г наити:

а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) Имеем:

Итак, для функции получили:

б) Нужно вычислить

Имеем:

При вычислении последнего предела мы учли, что х — фиксированная точка, т.е. постоянное число, а — переменная: если , то

Итак, для заданной функции получили:

Пример задачи 8.

Решение:

При аргумент , а множитель будет при этом колебаться между -1 и +1, ни стремясь ни к какому определенному числу, т.е. этот множитель не имеет предела, но является величиной ограниченной . Поэтому данная функция, представляющая произведение бесконечно малой х на величину, ограниченнук есть бесконечно малая величина, а её предел равен нулю

Пример задачи 9.

При найти пределы следующих функций

Решение:

Каждая из данных функций представляет сумму членов арифметической прогрессии. Разность первой прогрессии -второй и третьей . Выполняя сложение и переходя к предел найдем:

В этих задачах, при функции являются суммам бесконечно малых величин, число которых неограниченно возраста< вместе с . Полученные результаты показывают, что есть величина бесконечно большая, - величина, стремящаяся к - величина бесконечно малая.

Следовательно, решение этой задачи показывает: если число ела гаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма можег оказаться любой величиной.

Пример задачи 10.

Доказать, что при любом значении х.

Решение:

Каково бы не было значение х, всегда найдутся таки два последовательных целых положительных числа , межд; которыми заключается

Исходя из этого, получим очевидное неравенство:

Первый множитель не зависит от n и при любом данном значении х является

постоянным, второй множитель при будет величиной бесконечно

малой, ибо Поэтому , как произведение постоянной величины на

бесконечно малую есть величина бесконечно малая. Вследствие этого функция

также будет величиной бесконечно малой, т.е. при любом значении x.

Пример задачи 11.

Показать, что элементарные функции: 1) ;

2) непрерывны во всей своей области определения.

Решение:

Найдем область определения функции и затем убедим ся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непре рывна в этой же области.

1) Областью определения функции у является вся числовая ось Далее, придадим аргументу х произвольное приращение Дх и, подста вив в данное выражение функции вместо х наращенное значенш , найдем наращенное значение функции: Вычитая из этого наращенного значения функции ее первоначально! значение, найдем приращение функции:

Пусть теперь . Тогда при любом значении х.

Следовательно, согласно определению непрерывности, функция у будет непрерывна при любом значении х, т.е. во всей своей области определения.

2) Тригонометрическая функция cosecx определена на всей чи еловой оси, за исключением точек Повторяя ука занные выше рассуждения, найдем приращение функции и затет его предел при :

При всех значениях x, кроме

Следовательно, область непрерывности и область определения эле ментарной функции полностью совпадают.

Пример задачи 12.

Найти точки разрыва функций, если они существуют, и ска чок функции в каждой точке разрыва:

Решение:

Функция определена, т.е. может быть вычислен: при всех значениях х, кроме . Эта функция элементарная, поэто му она непрерывна во всей области своего определения: . Она не определена в точках определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдени: 1-го условия непрерывности, данная функция в точках х, и х2 имее разрывы.

Для определения скачка функции в найденных ее точках разрыв: вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргу мента х к точкам разрыва слева и справа: a) l,так как при величина является положительной бесконечг малой, а обратная ей величина является положительной бесконечно большой; ,так как при величина является отрицательной бесконечно малой, а обратная ей велич, на является отрицательной бесконечно большой.

Следовательно, в точке х = -2 функция имеет бесконечный разрыв

б) так как при величина есть отрицательная бесконечно малая, а обратная ей величина есть отриц тельная бесконечно большая;

,так как при величина есть положительная бесконечно малая, а обратная ей величина есть положительн; бесконечно большая. Следовательно, и в точке х = 2 разрыв функцк бесконечный.

2)

Решение:

Элементарная функция определена на всей числ, вой оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные). Поэт, му она и непрерывна на всей числовой оси, т.е. не имеет точек разрыва.

Пример задачи 13.

Решение:

Элементарная функция определена, а следова тельно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 0. В точк х = 0 функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой окре стности этой точки, за исключением самой точки. Найдем односторон ние пределы функции в этой точке: ,

Следовательно, разрыв функции конечный; при х = 0 она имеет конечный скачок

Пример задачи 14.

Решение:

Функция определена и непрерывна на всей число вой оси, кроме точки х = 3. Из этого следует, что в точке х = 3 функци: имеет разрыв.

Исследуем эту точку разрыва:

так как при всяком значении х < 3 эта функция равна -1

, так как при всяком значении х > 3 эта функция равна +1.

Следовательно, в точке х = 3 функция имеет конечный разрыв; е, скачок в этой точке разрыва конечный:

Пример задачи 15.

Решение:

Логарифмическая функция определена тольк для положительных значений своего аргумента и. Поэтому элемента) ная функция будет определена и непрерывна для зне чений х, удовлетворяющих неравенству . Решая это неравег ство, найдем область определения и область непрерывности функции, она будет состоять из двух интервалов числово оси:

Во всех точках отрезка данная функция не определен; однако точками её разрыва являются только граничные точки х = -3 х = 0. В этих граничных точках функция не определена, но она опреде лена в сколь угодно близких точках слева от точки х = -3 и справа о точки х = 0.

Все остальные внутренние точки отрезка [—3;0], в которы функция явно не определена, как и в точках х = -3 и х = 0, не являютс; точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек функция не определена. Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.

Найдя односторонние пределы функции

при стремлении х к точкам разрыва изнутри области определения функции

заключаем, что в точках х = -3 и х = 0 функция имеет бесконечные разрывы.

Пример задачи 16.

Решение:

Функции у = х, у = sinx и у = 1 непрерывны на всег числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках . Исследуем функцию на непрерывность в этих точках для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значенш функции.

В точке имеем:

Таким образом в этой точке

функция имеет разрыв первого рода и непрерывна слева.

Скачок функции

Аналогично, для точки получим:

а значение не определено. Отсюда следует, что точка

устранимого разрыва для функции

Услуги:

1. Заказать контрольную работу по математике
2. Решение заданий и задач по математике
3. Помощь по математике
4. Решение заданий и задач по математике
5. РГР по математике расчетно графическая работа