Заказать математику

Помогу вам при решение математических задач, от простых до сложных. Подробно решаю, так что будет всё понятно. Пришлите вашу задачу. Укажите за какое время она должна быть решена, и другие ваши предпочтения. Решу быстро и качественно!

Математика — обязательная для изучения дисциплина, которую преподают в школе и средних ученых заведениях. Школьники в 11 классе также знакомятся с основными понятиями этого предмета. Письменные задания по предмету могут решить не все студенты. Особенно они вызывают затруднения у творческих людей. Поскольку сдача работ обязательна, то лучше всего воспользоваться возможность заказать решение задач по математике у меня.

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
  2. Примеры решения заказов и теория
  3. Определение числовой последовательности и способы ее задания
  4. Свойства числовых последовательностей
  5. Приведем еще несколько примеров
  6. Определение предела последовательности
  7. Свойства сходящихся последовательностей
  8. Вычисление пределов последовательностей
  9. Предел функции на бесконечности
  10. Вычисление предела функции на бесконечности
  11. Предел функции в точке
  12. Приращение аргумента. Приращение функции
Если у вас нет времени на выполнение заданий по математике, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Заказать математикуwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Заказать математику

Заказать математикуОтветы на вопросы по заказу заданий по математике:

Заказать математику

Заказать математикуСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Заказать математикуКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Заказать математикуЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Заказать математикуМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Заказать математикуКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Заказать математикуКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Заказать математикуВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Заказать математику

Заказать математикуНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Математика", если у вас есть желание и много свободного времени!

Заказать математику

Примеры решения заказов по математике и теория

Если у вас ещё много времени вы можете изучить теорию которую я разместила ниже и попробовать научиться решить, и посмотреть мои выполненные заказы с решением, но если лень или нету времени, то бегом ко мне!!!

Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математика». Естественно, что в школе мы ограничимся изучением лишь отдельных элементов математики. Это будет первое знакомство с серьезным разделом математики. Сразу попытаемся объяснить, что здесь «анализируют». «Анализируют» довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный подход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела (предела функции, предела последовательности), а далее изучим производную — важную математическую модель, построение этой модели также основано на понятии предела.

Определение числовой последовательности и способы ее задания

Что такое числовая последовательность и как она задается, вам известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствующее определение.

Определение 1. Функцию вида Заказать математику называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают Заказать математику

Иногда для обозначения последовательности используется запись (Заказать математику).

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17, 19,23, 29, ...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

1) Заказать математику. Это — аналитическое задание последовательности

1, 4, 9, 16,..., Заказать математику ,...

Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, n = 9, то Заказать математику Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если Заказать математику =625, то из уравнения Заказать математику =625 находим, что Заказать математику =25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.

2) Заказать математику —С. Здесь речь идет о последовательности

С, С, С С,...

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3) Заказать математику. Это — аналитическое задание последовательности

Заказать математику

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (Заказать математику), заданная рекуррентно соотношениями:

Заказать математику

(a и d- заданные числа, d — разность арифметической прогрессии). Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (Заказать математику), заданная рекуррентно соотношениями:

Заказать математику

(b и q — заданные числа, Заказать математику — знаменатель геометрической прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Определение 2. Последовательность (Заказать математику) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (Заказать математику) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого п выполняется неравенство Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16, .... Заказать математику, ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Определение 3. Последовательность (Заказать математику) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (Заказать математику) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство Заказать математику. Число т называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., Заказать математику, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной. Например, Заказать математику Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.

Заказать математику

Если построить график последовательности Заказать математику, т.е. график функции Заказать математику прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе 37 — между некоторыми горизонтальными прямыми, например, у =0, и у=1 (рис. 97), а в этом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности Заказать математику точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0,1](рис. 98).

Заказать математику

Определение 4. Последовательность (Заказать математику) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Заказать математику

Например, 1,3, 5, 7 Заказать математику,... — возрастающая последовательность.

Определение 5. Последовательность (Заказать математику) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Заказать математику

Например, Заказать математику убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Приведем еще несколько примеров

  • 1)Заказать математику Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).
  • 2) Заказать математику. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... Это — возрастающая последовательность. Вообще, если Заказать математику тo последовательность Заказать математику" возрастает.
  • 3) Заказать математику Речь идет о последовательности Заказать математику

Это — убывающая последовательность.

Вообще, если Заказать математику. то последовательность Заказать математику убывает.

Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности Заказать математику

Заказать математику

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 99 для (Заказать математику) и рис. 98 для (Заказать математику)). Замечаем, что члены второй последовательности (Заказать математику) как бы «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (Заказать математику) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (Заказать математику) сходится, а последовательность (Заказать математику) расходится.

Заказать математику

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем новый математический термин.

Определение 1. Пустьа—точка прямой, а г— положительное число. Интервал (Заказать математику) называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.

Заказать математикуТеперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности (Заказать математику, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

  • Пишут либо так: Заказать математику (читают: Заказать математику стремится к b или Заказать математику сходится к Ь), либо так: Заказать математику (читают: предел последовательности Заказать математику при стремлении n к бесконечности равен б; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).

Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть Заказать математику

Возьмем интервал Заказать математику, т.е. окрестность точки Заказать математику — радиус этой окрестности Заказать математику. Существует номер Заказать математику начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности:Заказать математику и т.д.

А что будет, если взять интервал Заказать математику, где Заказать математику ,т.е. если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер Заказать математику начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше, т.е. Заказать математику

Замечание. Если число Заказать математику — предел последовательности (Заказать математику), то, образно выражаясь, окрестность точки Заказать математику — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера Заказать математику эта ловушка «заглатывает» и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.

Заказ №284.

Дана последовательность (Заказать математику):

Заказать математику

Доказать, что Заказать математику Заказать математику

Решение:

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число Заказать математику так, чтобы выполнялось неравенство Заказать математику Если, например, г = 0,001, то в качестве Заказать математику можно взять 1001, поскольку Заказать математику; если Заказать математику, то в качестве Заказать математику можно взять 5774, поскольку Заказать математику и т.д. Но это значит, что член последовательности Заказать математику с номеромЗаказать математику попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности Заказать математику В соответствии с определением 2 это и означает, что

Заказать математику

Заказ №285.

Найти предел последовательности:

Заказать математику

Решение:

Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к

Заказать математику

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

Заказать математику

А что будет с последовательностью Заказать математику? Пусть, например, Заказать математику, т.е. речь идет о последовательности Заказать математику Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:

если Заказать математику, то последовательность Заказать математику расходится.

Заказ №286.

Найти предел последовательности:

Заказать математику

Решение:

Выполним некоторые преобразования выражения Заказать математику

Имеем

Заказать математику

Это значит, в частности, что

Заказать математику

и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:

Заказать математику

Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, последовательность сходится к числу 2:

Заказать математику

А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностей Заказать математику т. е. графики функций:Заказать математику

Заказать математику

График первой из этих трех функций изображен на рис. 97. Он состоит из точек с абсциссой лежащих на ветви

гиперболы Заказать математику

У второй функции аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной. На рис. 102 изображен график функции Заказать математику Он состоит из точек с

Заказать математику

абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой кривой, — ее называют зкспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в главе 7.

Осталось рассмотреть третью функцию. Сначала надо построит график функции Заказать математику или, что то же самое, Заказать математику

Графиком этой функции является гипербола, которая получается из гиперболы Заказать математику сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по оси у (рис. 103).

Теперь мы имеем представление о графике последовательности Заказать математику Он состоит из точек с абсциссами

Заказать математику

лежащих на правой ветви гиперболы

Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на рис. 102 — к прямой у- 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

Подведем итоги. Имеем:

l)Заказать математику и прямая Заказать математику является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику

2) Заказать математику и прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику

3)Заказать математику и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику

Вообще, равенство Заказать математику означает, что прямая у=Ь является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику (рис. 105). Заказать математику

На практике используется еще одно истолкование равенства Заказать математикусвязанное с приближенными вычислениями: если последовательность Заказать математику сходится к числу Заказать математику, то выполняется приближенное равенство Заказать математику, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше Заказать математику.

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна. Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3, 1, 2, 3,..., 1,2, 3,... — ограниченная последовательность, но онане сходится.

Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга Заказать математику (установлено, что Заказать математику — предел последовательности площадей вписанных в окружность радиуса г правильных многоугольников).

Вычисление пределов последовательностей

К установленным ранее двум важным результатам: Заказать математику

добавим еще один: Заказать математику

Иными словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.

Теорема. Если Заказать математику то:

1) предел суммы равен сумме пределов: Заказать математику

2) предел произведения равен произведению пределов: Заказать математику

3) предел частного равен частному от деления пределов:

Заказать математику (но, разумеется, при дополнительных условиях:

Заказать математику для любого n);

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела: Заказать математику

Заказ №287.

Найти пределы последовательностей:

Заказать математику

Решение:

а) Имеем: Заказать математику Применив правило « предел произведения», получим:

Заказать математику

б) Рассуждая, как в n. а), получим: Заказать математику

в) Имеем: Заказать математику

Вообще, для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Заказать математику

г) Применив правило «предел суммы», получим:

Заказать математику

Заказ №288.

Даны числа Заказать математику такие, что Заказать математику. Вычислить Заказать математику где Заказать математику

Решение:

Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множитель Заказать математику можно вынести за знак предела. Получим:

Заказать математику

Далее воспользуемся тем, что Заказать математику и, следовательно, Заказать математику Тогда:

Заказать математику

Ответ: Заказать математику

Заказ №289.

ВычислитьЗаказать математику

Решение:

В подобных случаях применяют искусственный прием: делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2. Получим:

Заказать математику

Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел дроби равен Заказать математику

Ответ: Заказать математику

Заказ №290.

Дана функция Заказать математику Найти Заказать математикуЗаказать математику

Решение:

Чтобы вычислить значение Заказать математику, надо вместо аргумента х подставить его значение х = 0. Имеем Заказать математикуАналогично получим Заказать математику

Заказ №1.5.2.

Найти область определения функций:

Заказать математику

Решение:

1) Здесь на х не накладывается ни каких ограничений, поэтому функция Заказать математику определена на множестве Заказать математику

2) Если х = 0, то у не имеет числового значения (на нуль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) у принимает действительные значения, поэтому областью определения служит объединение промежутков Заказать математику

3) Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решив уравнение 2х - 6 = 0, найдем его корень х = 3. Таким образом, область определения Заказать математику

4) Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение Заказать математику, найдем его корни: Заказать математику. Следовательно, Заказать математику

Заказ №291.

Найдите область определения функций:

Заказать математику

Решение:

1) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция Заказать математику определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству Заказать математику

2) Решив неравенство Заказать математику, получим Заказать математику

3) Найдем область определения каждого из слагаемых; общая часть

этих областей и будет областью определения данной функции. Для первого слагаемого Заказать математику а для второго Заказать математику. Тогда областью определения суммы Заказать математику служит пересечение промежутков: Заказать математику

4)Функция определена на всех значениях х, удовлетворяющих неравенству Заказать математику

Заказать математику

Следовательно, областью определения функции является объединение промежутков: Заказать математику

Заказ №292.

Найти предел функции:

Заказать математику

Решение:

Данные функции являются элементарными, они определены в предельных точках, поэтому находим предел функции как её частное значение в предельной точке:

Заказать математику

Заказ №293.

Найти пределы следующих функций:

Заказать математику

Решение:

Заказать математику

Предел функции на бесконечности

Равенство Заказать математику

означает, что прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику (рис. 105). Напомним, что аргумент п принимает только натуральные значения.

Заказать математику

Пусть теперь дана функция y=f (х), в области определения которой содержится луч Заказать математику, и пусть пря- мая у = b является горизонтальной асимптотой графика (рис. 106) функции у =f(x). Естественно, что математики в этом случае по аналогии с приведенным выше равенством (1) решили использовать запись:

Заказать математику

(читают: предел функции y=f(x) при стремлении х к плюс бесконечности равен Заказать математику).

Если же дана функция y=f (х), в области определения которой содержится луч Заказать математику, и прямая у =Ь является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) (рис. 107), то в этом случае используют запись:

Заказать математикуЗаказать математику

(читают: предел функции у = f(x) при стремлении х к минус бесконечности равен Ь).

Если одновременно выполняются два соотношения:

Заказать математику

то можно объединить их одним соотношением: Заказать математику Но условились использовать более экономную запись:

Заказать математику

(читают: предел функции у =f(x) при стремлении х к бесконечности равен Ь).

Заказать математику

Рис. 108

В этом случае прямая у = b является горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) как бы с двух сторон (рис. 108).

Вычисление предела функции на бесконечности

Вычисление предела функции на бесконечности осуществляется по тем же правилам, что и вычисление предела последовательности. Приведем их (с соответствующими изменениями)

1) Для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение

Заказать математику

2) Если Заказать математику

а) предел суммы равен сумме пределов:

Заказать математику

б) предел произведения равен произведению пределов:

Заказать математику

в) предел частного равен частному от деления пределов (разумеется, при условии, что Заказать математику):

Заказать математику

г) постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Заказать математику

Пример задачи 1.

Вычислить Заказать математику

Решение:

Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на Заказать математику:

Заказать математику

Осталось воспользоваться правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0 = 2, а предел знаменателя равен 1 -0 = 1, то предел дроби равен Заказать математику

Ответ: Заказать математику

Замечание. Сравните только что решенный пример с примером 6 из § 30: все то же самое — та же идея, те же рассуждения. Отличие только одно: там переменная л принимала лишь натуральные значения, а здесь переменная х принимает любые действительные значения (кроме, разумеется, значений -2 и 2, которые обращают в нуль знаменатель дроби, содержащейся под знаком предела).

Предел функции в точке

Рассмотрим функции, графики которых изображены на рис. 109—111. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее это три разные функции, они отличаются друг

Заказать математику

от друга своим поведением в точке х =а. Для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 109, значение f(a) не существует, функция в указанной точке не определена. Для функции у = f(x), график которой изображен на рис. 110, значение Да) существует, но оно «неудачное», оно отлично, от, казалось бы, естественного значения Ь. Наконец, для функции у = f(х), график которой изображен на рис. 111, значение Да) существует, и оно «удачное». Если же точку х=а исключить из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.

Для всех трех случаев используется одна и та же запись:

Заказать математику

(читаем: «предел функции у =f(x) при стремлении Заказать математику равен Ь»).

Содержательный смысл приведенной выше записи заключается в следующем: если значения аргумента выбираются все ближе и ближе к значению х =а, то значения функции все меньше и меньше отличаются от предельного значения Ь. Можно сказать и так: в достаточно малой окрестности точки а справедливо приближенное равенство:

f(x)=b

(причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается). При этом, подчеркнем еще раз, сама точка х =а исключается из рассмотрения.

А теперь ответьте на вопрос: какую из рассмотренных трех функций естественно считать непрерывной в точке х=а? Ответ очевиден: непрерывной естественно считать третью функцию, которая удовлетворяет условию

Заказать математику

В каких случаях мы с вами до сих пор использовали понятие «непрерывная функция»? Мы говорили, что функция непрерывна, если видели, что ее график представляет собой сплошную линию, т.е. не имеет «проколов» и «скачков». На самом деле график функции изображают в виде сплошной линии (без «проколов» и «скачков») только тогда, когда установлена непрерывность функции. При этом функцию y~f(x) называют непрерывной в точке х = а, если выполняется соотношение:

Заказать математику

  • Иными словами, функцию y = f(x) называют непрерывной в точке х=а, если предел функции Заказать математику при стремлении хка равен значению функции в точке х=а.

Функцию y = f(x) называют непрерывной на промежутке X, если она непрерывна в каждой точке промежутка.

В курсе алгебры 7—9-го классов мы отмечали, что функции: Заказать математику — натуральное число, — непрерывны на всей числовой прямой. Отмечали также, что функция Заказать математику непрерывна на луче Заказать математику — натуральное число) непрерывна на промежутках Заказать математику, но претерпевает разрыв в точке х = 0.

Говоря о тригонометрических функциях, мы отмечали непрерывность функций Заказать математику на всей числовой прямой, а также непрерывность функций Заказать математику в каждом промежутке из области их определения. До сих пор мы опирались на наглядные представления и интуицию. Математики доказали, опираясь на определение непрерывности, что все упомянутые утверждения верны. Так что теперь мы будем ими пользоваться на законных основаниях.

Между прочим, математики доказали более сильное утверждение:

Если выражение f(x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция у = f(x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (х).

Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций:

Пример задачи 2.

Вычислить: Заказать математику

Решение:

Выражение х3 -2Х2 +5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция Заказать математикунепрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.

Имеем: Заказать математику

Ответ: 7.

Пример задачи 3.

Вычислить: Заказать математику

Решение:

Выражение Заказать математику определено в любой точке Заказать математику, в частности, в точке х =2. Следовательно, функция Заказать математику непрерывна в точке х =2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: Заказать математику

Ответ: 0.

Вы заметили, наверное, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.

Пример задачи 4.

Вычислить Заказать математику

Решение:

Если подставить значение х =-З в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на 0 делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить:

Заказать математику

Значит, функции Заказать математику тождественны при условии

Заказать математику. Но (внимание!) при вычислении предела функции при Заказать математику саму точку Заказать математику можно исключить из рассмотрения, мы об этом говорили выше. Значит, Заказать математику

Ответ: -1,5.

Вернемся снова к названию раздела математики, который мы начали изучать, — математический анализ. В начале главы 4 мы отметили: анализируют в этом разделе математики то, как ведет себя функция около, конкретной точки. Теперь мы можем сказать точнее: в окрестности конкретной точки. Именно этим мы и занимались, делая выводы о функциях, графики которых изображены на рис. 109—111. Проведенный краткий анализ привел нас к понятию предела функции в точке и к понятию непрерывности функции в точке.

Важное замечание. Теория пределов — достаточно сложный раздел математического анализа, который изучается в вузах. Наше знакомство с понятием предела, как вы, наверное, заметили, поверхностное, основанное на интуиции и наглядных представлениях. Продолжая это «шапочное» знакомство, получим один очень существенный для высшей математики результат. При этом опятьбудем использовать не строгие рассуждения (нам пока это не по силам), а рассуждения, основанные на интуиции, наглядности, правдоподобии. Такие рассуждения математики часто называют рассуждениями «на пальцах».

Возьмем числовую окружность, выберем достаточно малое положительное значение t, отметим на окружности точку Af(l) и ее ординату,

Заказать математику

т.е. Заказать математику; t — это длина дуги AM, Заказать математику — это длина перпендикуляра МР (рис. 112). Для достаточно малых значений t выполняется приближенное равенство Заказать математику, т.е.

Заказать математику и, следовательно, Заказать математику. Например, Заказать математику Заказать математику

Естественно предположить, что

Заказать математику

В курсе математического анализа доказано, что это утверждение верно.

Приращение аргумента. Приращение функции

Изучая поведение функции Заказать математику около конкретной точки Заказать математику, важно знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Для этого используются понятия приращений аргумента и функции.

Определение 1. Пусть функция Заказать математику определена в точках Заказать математику и х,. Разность х, - Заказать математику называют приращением аргумента (при переходе от точки Заказать математику), а разность Заказать математику) называют приращением функции.

Приращение аргумента обозначают Заказать математику (читают: «дельта икс»; Заказать математику — прописная буква греческого алфавита «дельта», а соответствующая строчная буква пишется так: Заказать математику). Приращение функции обозначают Заказать математику

Итак, Заказать математику значит, Заказать математику

Заказать математику значит,

Заказать математику

Пример задачи 5.

Найти приращение функции Заказать математику при переходе от точки Заказать математику к точкам: Заказать математику

Решение:

а) Заказать математику

Заказать математику

б) Заказать математику

Обратите внимание на полученный в примере 5 ответ: приращение функции (как, впрочем, и приращение аргумента) может быть и положительным, и отрицательным числом, так что не истолковывайте термин «приращение» как «прирост».

А теперь посмотрим на определение непрерывной функции с точки зрения приращений аргумента и функции. Определение непрерывности функции в точке х =а выглядит так: Заказать математику. Здесь Заказать математику значит, Заказать математику При этом Заказать математику значит, Заказать математику

Получаем новое истолкование понятия непрерывности функции в точке.

Функция y=f(x) непрерывна в точке х =а, если в точке х =а выполняется следующее условие:

если Заказать математику

Пример задачи 6.

Для функции Заказать математику найти:

а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке Заказать математику

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а)Имеем:

Заказать математику

Итак, для заданной линейной функции Заказать математику получили: Заказать математику

б) Нужно вычислить Заказать математику. Имеем:

Заказать математику

Итак, для заданной линейной функции Заказать математику получили:

Заказать математику

На рис. 113 изображен график линейной функции Заказать математику, выделена фиксированная точка графика Заказать математику? отмечены приращения аргумента и функции при переходе от точки х к точке Заказать математику. Чертеж подсказывает, что Заказать математику тангенс угла между прямойЗаказать математику

уЗаказать математику и положительным направлением оси х, а это — угловой коэффициент прямой. Значит, Заказать математикучто фактически и получено при решении примера 6, но с помощью формальных преобразований.

Пример задачи 7.

Для функции у = гЗаказать математику наити:

а) приращение функции при переходе от фиксированной точки х к точке Заказать математику

б) предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю.

Решение:

а) Имеем:

Заказать математику

Итак, для функции Заказать математику получили: Заказать математику

б) Нужно вычислить Заказать математику

Имеем: Заказать математику

При вычислении последнего предела мы учли, что х — фиксированная точка, т.е. постоянное число, а Заказать математику — переменная: если Заказать математику, то Заказать математику

Итак, для заданной функции Заказать математику получили: Заказать математику

Пример задачи 8.

Заказать математику

Решение:

При Заказать математику аргумент Заказать математику, а множитель Заказать математику будет при этом колебаться между -1 и +1, ни стремясь ни к какому определенному числу, т.е. этот множитель не имеет предела, но является величиной ограниченной Заказать математику. Поэтому данная функция, представляющая произведение бесконечно малой х на величину, ограниченнук Заказать математику есть бесконечно малая величина, а её предел равен нулю Заказать математику

Пример задачи 9.

При Заказать математику найти пределы следующих функций

Заказать математику

Решение:

Каждая из данных функций представляет сумму Заказать математику членов арифметической прогрессии. Разность первой прогрессии Заказать математику -второй Заказать математику и третьей Заказать математику. Выполняя сложение и переходя к предел найдем:

Заказать математику

В этих задачах, при Заказать математику функции Заказать математику являются суммам бесконечно малых величин, число которых неограниченно возраста< вместе с Заказать математику. Полученные результаты показывают, что Заказать математику есть величина бесконечно большая, Заказать математику- величина, стремящаяся к Заказать математику - величина бесконечно малая.

Следовательно, решение этой задачи показывает: если число ела гаемых бесконечно малых неограниченно возрастает, их сумма можег оказаться любой величиной.

Пример задачи 10.

Доказать, что Заказать математику при любом значении х.

Решение:

Каково бы не было значение х, всегда найдутся таки два последовательных целых положительных числа Заказать математику, межд; которыми заключается Заказать математику

Исходя из этого, получим очевидное неравенство: Заказать математику

Первый множитель Заказать математику не зависит от n и при любом данном значении х является

постоянным, второй множитель Заказать математику при Заказать математику будет величиной бесконечно

малой, ибо Заказать математику Поэтому Заказать математику, как произведение постоянной величины на

бесконечно малую есть величина бесконечно малая. Вследствие этого функция

Заказать математику также будет величиной бесконечно малой, т.е. Заказать математику при любом значении x.

Пример задачи 11.

Показать, что элементарные функции: 1) Заказать математику;

2) Заказать математику непрерывны во всей своей области определения.

Решение:

Найдем область определения функции и затем убедим ся, исходя из определения непрерывности, что функция будет непре рывна в этой же области.

1) Областью определения функции у является вся числовая ось Далее, придадим аргументу х произвольное приращение Дх и, подста вив в данное выражение функции вместо х наращенное значенш Заказать математику, найдем наращенное значение функции: Заказать математику Вычитая из этого наращенного значения функции ее первоначально! значение, найдем приращение функции:

Заказать математику

Пусть теперь Заказать математику. Тогда Заказать математику при любом значении х.

Следовательно, согласно определению непрерывности, функция у будет непрерывна при любом значении х, т.е. во всей своей области определения.

2) Тригонометрическая функция cosecx определена на всей чи еловой оси, за исключением точек Заказать математику Повторяя ука занные выше рассуждения, найдем приращение функции Заказать математику и затет его предел при Заказать математику:

Заказать математику

При всех значениях x, кроме Заказать математику

Следовательно, область непрерывности и область определения эле ментарной функции Заказать математику полностью совпадают.

Пример задачи 12.

Найти точки разрыва функций, если они существуют, и ска чок функции в каждой точке разрыва:

Заказать математику

Решение:

Функция Заказать математику определена, т.е. может быть вычислен: при всех значениях х, кроме Заказать математику. Эта функция элементарная, поэто му она непрерывна во всей области своего определения:Заказать математику Заказать математику. Она не определена в точках Заказать математику определена вблизи этих точек. Вследствие этого, ввиду несоблюдени: 1-го условия непрерывности, данная функция в точках х, и х2 имее разрывы.

Для определения скачка функции в найденных ее точках разрыв: вычислим односторонние пределы этой функции при стремлении аргу мента х к точкам разрыва слева и справа: a) lЗаказать математику,так как при Заказать математику величина Заказать математику является положительной бесконечг малой, а обратная ей величина Заказать математику является положительной бесконечно большой; Заказать математику,так как при Заказать математику величина Заказать математику является отрицательной бесконечно малой, а обратная ей велич, на является отрицательной бесконечно большой.

Следовательно, в точке х = -2 функция имеет бесконечный разрыв

б) Заказать математику так как приЗаказать математику величина Заказать математику есть отрицательная бесконечно малая, а обратная ей величина есть отриц тельная бесконечно большая;

Заказать математику ,так как при Заказать математику величина Заказать математику есть положительная бесконечно малая, а обратная ей величина есть положительн; бесконечно большая. Следовательно, и в точке х = 2 разрыв функцк бесконечный.

Заказать математику

2) Заказать математику

Решение:

Элементарная функция Заказать математику определена на всей числ, вой оси (хотя она дробная, но корни знаменателя комплексные). Поэт, му она и непрерывна на всей числовой оси, т.е. не имеет точек разрыва.

Пример задачи 13.

Заказать математику

Решение:

Элементарная функция Заказать математику определена, а следова тельно, и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки х = 0. В точк х = 0 функция имеет разрыв, поскольку она определена в любой окре стности этой точки, за исключением самой точки. Найдем односторон ние пределы функции в этой точке: Заказать математику , Заказать математику

Следовательно, разрыв функции конечный; при х = 0 она имеет конечный скачок Заказать математику

Заказать математику

Пример задачи 14.

Заказать математику

Решение:

Функция Заказать математику определена и непрерывна на всей число вой оси, кроме точки х = 3. Из этого следует, что в точке х = 3 функци: имеет разрыв.

Исследуем эту точку разрыва:

Заказать математику так как при всяком значении х < 3 эта функция равна -1

Заказать математику, так как при всяком значении х > 3 эта функция равна +1.

Следовательно, в точке х = 3 функция имеет конечный разрыв; е, скачок в этой точке разрыва конечный: Заказать математику

Заказать математику

Пример задачи 15.

Заказать математику

Решение:

Логарифмическая функция Заказать математику определена тольк для положительных значений своего аргумента и. Поэтому элемента) ная функция Заказать математику будет определена и непрерывна для зне чений х, удовлетворяющих неравенству Заказать математику. Решая это неравег ство, найдем область определения и область непрерывности функции, она будет состоять из двух интервалов числово оси: Заказать математику

Во всех точках отрезка Заказать математику данная функция не определен; однако точками её разрыва являются только граничные точки х = -3 х = 0. В этих граничных точках функция не определена, но она опреде лена в сколь угодно близких точках слева от точки х = -3 и справа о точки х = 0.

Все остальные внутренние точки отрезка [—3;0], в которы функция явно не определена, как и в точках х = -3 и х = 0, не являютс; точками разрыва потому, что вблизи этих внутренних точек функция не определена. Точка, в которой функция не определена, будет точкой разрыва функции лишь при условии, если функция определена, хотя бы с одной стороны вблизи этой точки.

Найдя односторонние пределы функции

Заказать математику

при стремлении х к точкам разрыва изнутри области определения функции Заказать математику

Заказать математику заключаем, что в точках х = -3 и х = 0 функция имеет бесконечные разрывы.

Пример задачи 16.

Заказать математику

Решение:

Функции у = х, у = sinx и у = 1 непрерывны на всег числовой прямой, поэтому данная функция может иметь разрывы только в точках, где меняется её аналитическое выражение, т.е. в точках Заказать математику. Исследуем функцию на непрерывность в этих точках для чего найдем соответствующие односторонние пределы и значенш функции.

В точке Заказать математику имеем:

Заказать математику

Таким образом в этой точке Заказать математику

функция имеет разрыв первого рода и непрерывна слева.

Скачок функции Заказать математику

Аналогично, для точки Заказать математику получим:

Заказать математику

а значение Заказать математику не определено. Отсюда следует, что Заказать математику точка

устранимого разрыва для функции Заказать математику

Заказать математику

Услуги:

  1. Заказать контрольную работу по математике
  2. Решение заданий и задач по математике
  3. Помощь по математике
  4. Решение заданий и задач по математике
  5. РГР по математике расчетно графическая работа