Заказать математику

Если у вас нет времени на выполнение заданий по математике, вы всегда можете попросить меня, пришлите задания мне в Заказать математикуwhatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок от 1 до 3 дней.

Заказать математику

Заказать математикуОтветы на вопросы по заказу заданий по математике:

Заказать математику

Заказать математикуСколько стоит помощь?

  • Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Заказать математикуКакой срок выполнения?

  • Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Заказать математикуЕсли требуется доработка, это бесплатно?

  • Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Заказать математикуМогу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

  • Оценка стоимости бесплатна.

Заказать математикуКаким способом можно оплатить?

  • Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Заказать математикуКакие у вас гарантии?

  • Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

Заказать математикуВ какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

  • Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Заказать математику

Заказать математикуНиже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет разобраться в предмете "Математика", если у вас есть желание и много свободного времени!

Заказать математику

Содержание:

  1. Ответы на вопросы по заказу заданий по математике:
  2. Примеры решения заказов и теория
  3. Определение числовой последовательности и способы ее задания
  4. Свойства числовых последовательностей
  5. Приведем еще несколько примеров
  6. Определение предела последовательности
  7. Заказ №284.
  8. Заказ №285.
  9. Заказ №286.
  10. Свойства сходящихся последовательностей
  11. Вычисление пределов последовательностей
  12. Заказ №287.
  13. Заказ №288.
  14. Заказ №289.
  15. Заказ №290.
  16. Заказ №1.5.2.
  17. Заказ №291.
  18. Заказ №292.
  19. Заказ №293.

Примеры решения заказов и теория

Если у вас ещё много времени вы можете изучить теорию которую я разместила ниже и попробовать научиться решить, и посмотреть мои выполненные заказы с решением, но если лень или нету времени, то бегом ко мне!!!

Мы приступаем к изучению раздела математики, который обычно называют «Математика». Естественно, что в школе мы ограничимся изучением лишь отдельных элементов математики. Это будет первое знакомство с серьезным разделом математики. Сразу попытаемся объяснить, что здесь «анализируют». «Анализируют» довольно тонкие моменты: как ведет себя функция не только в целом, в своей области определения (глобальный подход), но и около конкретной точки (локальный подход). Такой анализ практически всегда связан с понятием предела (предела функции, предела последовательности), а далее изучим производную — важную математическую модель, построение этой модели также основано на понятии предела.

Определение числовой последовательности и способы ее задания

Что такое числовая последовательность и как она задается, вам известно из курса алгебры 9-го класса. Напомним соответствующее определение.

Определение 1. Функцию вида Заказать математику называют функцией натурального аргумента или числовой последовательностью и обозначают Заказать математику

Иногда для обозначения последовательности используется запись (Заказать математику).

Последовательности можно задавать различными способами, например словесно, когда правило задания последовательности описано словами, без указания каких-то формул. Так, словесно задается последовательность простых чисел:

2,3,5,7,11,13,17, 19,23, 29, ...

Особенно важны аналитический и рекуррентный способы задания последовательности.

Говорят, что последовательность задана аналитически, если указана формула ее n-го члена.

Приведем три примера.

1) Заказать математику. Это — аналитическое задание последовательности

1, 4, 9, 16,..., Заказать математику ,...

Указав конкретное значение п, нетрудно найти член последовательности с соответствующим номером. Если, например, n = 9, то Заказать математику Напротив, если взят определенный член последовательности, можно указать его номер. Например, если Заказать математику =625, то из уравнения Заказать математику =625 находим, что Заказать математику =25. Это значит, что 25-й член заданной последовательности равен 625.

2) Заказать математику —С. Здесь речь идет о последовательности

С, С, С С,...

Такую последовательность называют постоянной (или стационарной).

3) Заказать математику. Это — аналитическое задание последовательности

Заказать математику

Рекуррентный способ задания последовательности состоит в том, что указывают правило, позволяющее вычислить n-й член последовательности, если известны ее предыдущие члены. Например, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность (Заказать математику), заданная рекуррентно соотношениями:

Заказать математику

(a и d- заданные числа, d — разность арифметической прогрессии). Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность (Заказать математику), заданная рекуррентно соотношениями:

Заказать математику

(b и q — заданные числа, Заказать математику — знаменатель геометрической прогрессии). Прогрессии вы изучали в курсе алгебры 9-го класса.

Свойства числовых последовательностей

Числовая последовательность — частный случай числовой функции, а потому некоторые свойства функций (ограниченность, монотонность) рассматривают и для последовательностей.

Определение 2. Последовательность (Заказать математику) называют ограниченной сверху, если все ее члены не больше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (Заказать математику) ограничена сверху, если существует число М такое, что для любого п выполняется неравенство Число М называют верхней границей последовательности.

Например, последовательность-1, -4, -9, -16, .... Заказать математику, ... ограничена сверху. В качестве верхней границы можно взять число -1 или любое число, которое больше, чем -1, например 0.

Определение 3. Последовательность (Заказать математику) называют ограниченной снизу, если все ее члены не меньше некоторого числа.

Иными словами, последовательность (Заказать математику) ограничена снизу, если существует число m такое, что для любого п выполняется неравенство Заказать математику. Число т называют нижней границей последовательности.

Например, последовательность 1, 4, 9, 16, ..., Заказать математику, ... ограничена снизу. В качестве нижней границы можно взять число 1 или любое число меньше 1.

Если последовательность ограничена и сверху, и снизу, то ее называют ограниченной. Например, Заказать математику Эта последовательность ограничена и сверху, и снизу. В качестве верхней границы можно взять число 1, в качестве нижней границы — число 0.

Заказать математику

Если построить график последовательности Заказать математику, т.е. график функции Заказать математику прямоугольной системе координат, то окажется, что весь он расположен в полосе 37 — между некоторыми горизонтальными прямыми, например, у =0, и у=1 (рис. 97), а в этом и состоит, как известно, геометрический признак ограниченности функции.

Особенно наглядным становится свойство ограниченности последовательности, если члены последовательности отметить точками на числовой прямой. Ограниченность последовательности означает, что все члены последовательности (точнее, соответствующие им точки прямой) принадлежат некоторому отрезку. Так, изобразив члены последовательности Заказать математику точками на числовой прямой, замечаем, что все они принадлежат отрезку [0,1](рис. 98).

Заказать математику

Определение 4. Последовательность (Заказать математику) называют возрастающей, если каждый ее член больше предыдущего:

Заказать математику

Например, 1,3, 5, 7 Заказать математику,... — возрастающая последовательность.

Определение 5. Последовательность (Заказать математику) называют убывающей, если каждый ее член меньше предыдущего:

Заказать математику

Например, Заказать математику убывающая последовательность.

Возрастающие и убывающие последовательности объединяют общим термином — монотонные последовательности.

Приведем еще несколько примеров

  • 1)Заказать математику Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей (немонотонная последовательность).
  • 2) Заказать математику. Речь идет о последовательности 2, 4, 8, 16, 32, ... Это — возрастающая последовательность. Вообще, если Заказать математику тo последовательность Заказать математику" возрастает.
  • 3) Заказать математику Речь идет о последовательности Заказать математику

Это — убывающая последовательность.

Вообще, если Заказать математику. то последовательность Заказать математику убывает.

Определение предела последовательности

Рассмотрим две числовые последовательности Заказать математику

Заказать математику

Изобразим члены этих последовательностей точками на координатной прямой (рис. 99 для (Заказать математику) и рис. 98 для (Заказать математику)). Замечаем, что члены второй последовательности (Заказать математику) как бы «сгущаются» около точки 0, а у первой последовательности (Заказать математику) такой «точки сгущения» нет. В подобных случаях математики говорят так: последовательность (Заказать математику) сходится, а последовательность (Заказать математику) расходится.

Заказать математику

Возникает естественный вопрос: как узнать, является ли конкретная точка, взятая на прямой, «точкой сгущения» для членов заданной последовательности. Чтобы ответить на этот вопрос, введем новый математический термин.

Определение 1. Пустьа—точка прямой, а г— положительное число. Интервал (Заказать математику) называют окрестностью точки а (рис. 100), а число г— радиусом окрестности.

Например, (5,98, 6,02) — окрестность точки 6, причем радиус этой окрестности равен 0,02.

Заказать математикуТеперь мы можем ответить на поставленный выше вопрос. Но сразу уточним: математики не любят термин «точка сгущения для членов заданной последовательности», они предпочитают использовать термин «предел последовательности».

Определение 2. Число b называют пределом последовательности (Заказать математику, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера.

  • Пишут либо так: Заказать математику (читают: Заказать математику стремится к b или Заказать математику сходится к Ь), либо так: Заказать математику (читают: предел последовательности Заказать математику при стремлении n к бесконечности равен б; но обычно слова «при стремлении n к бесконечности» опускают).

Дадим несколько пояснений к определению 2. Пусть Заказать математику

Возьмем интервал Заказать математику, т.е. окрестность точки Заказать математику — радиус этой окрестности Заказать математику. Существует номер Заказать математику начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности:Заказать математику и т.д.

А что будет, если взять интервал Заказать математику, где Заказать математику ,т.е. если уменьшить радиус окрестности? Опять найдется номер Заказать математику начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности, но этот номер будет больше, т.е. Заказать математику

Замечание. Если число Заказать математику — предел последовательности (Заказать математику), то, образно выражаясь, окрестность точки Заказать математику — это «ловушка» для последовательности: начиная с некоторого номера Заказать математику эта ловушка «заглатывает» и все последующие члены последовательности. Чем «тоньше» ловушка, т.е. чем меньшая выбирается окрестность, тем дольше «сопротивляется» последовательность, но потом все равно «подписывает акт о капитуляции» — попадает в выбранную окрестность.

Заказ №284.

Дана последовательность (Заказать математику):

Заказать математику

Доказать, что Заказать математику Заказать математику

Решение:

Возьмем любую окрестность точки 0, пусть ее радиус равен г (рис. 101). Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число Заказать математику так, чтобы выполнялось неравенство Заказать математику Если, например, г = 0,001, то в качестве Заказать математику можно взять 1001, поскольку Заказать математику; если Заказать математику, то в качестве Заказать математику можно взять 5774, поскольку Заказать математику и т.д. Но это значит, что член последовательности Заказать математику с номеромЗаказать математику попадает в выбранную окрестность точки 0. Тем более в этой окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности Заказать математику В соответствии с определением 2 это и означает, что

Заказать математику

Заказ №285.

Найти предел последовательности:

Заказать математику

Решение:

Здесь, как и в предыдущем примере, последовательность сходится к

Заказать математику

Результат, полученный в примере 2, является частным случаем более общего утверждения:

Заказать математику

А что будет с последовательностью Заказать математику? Пусть, например, Заказать математику, т.е. речь идет о последовательности Заказать математику Эта последовательность явно не имеет предела (нет «точки сгущения»). Вообще, справедливо утверждение:

если Заказать математику, то последовательность Заказать математику расходится.

Заказ №286.

Найти предел последовательности:

Заказать математику

Решение:

Выполним некоторые преобразования выражения Заказать математику

Имеем

Заказать математику

Это значит, в частности, что

Заказать математику

и т.д., а потому заданную последовательность можно переписать так:

Заказать математику

Теперь ясно, что «точкой сгущения» является 2; иными словами, последовательность сходится к числу 2:

Заказать математику

А теперь обсудим результаты, полученные в примерах 1—3, с геометрической точки зрения. Для этого построим графики последовательностей Заказать математику т. е. графики функций:Заказать математику

Заказать математику

График первой из этих трех функций изображен на рис. 97. Он состоит из точек с абсциссой лежащих на ветви

гиперболы Заказать математику

У второй функции аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной. На рис. 102 изображен график функции Заказать математику Он состоит из точек с

Заказать математику

абсциссами 1, 2, 3, ..., лежащих на некоторой кривой, — ее называют зкспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в главе 7.

Осталось рассмотреть третью функцию. Сначала надо построит график функции Заказать математику или, что то же самое, Заказать математику

Графиком этой функции является гипербола, которая получается из гиперболы Заказать математику сдвигом на 1 влево по оси х и на 2 вверх по оси у (рис. 103).

Теперь мы имеем представление о графике последовательности Заказать математику Он состоит из точек с абсциссами

Заказать математику

лежащих на правой ветви гиперболы

Замечаете ли вы кое-что общее в характере трех построенных графиков последовательностей (см. рис. 97,102 и 104)? Смотрите: на всех трех рисунках точки графика, по мере их ухода вправо, все ближе и ближе подходят к некоторой горизонтальной прямой: на рис. 97 — к прямой у = 0, на рис. 102 — к прямой у- 0, на рис. 104 — к прямой у = 2. Каждую из этих прямых называют горизонтальной асимптотой графика.

Подведем итоги. Имеем:

l)Заказать математику и прямая Заказать математику является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику

2) Заказать математику и прямая у=0 является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику

3)Заказать математику и прямая у = 2 является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику

Вообще, равенство Заказать математику означает, что прямая у=Ь является горизонтальной асимптотой графика функции Заказать математику (рис. 105). Заказать математику

На практике используется еще одно истолкование равенства Заказать математикусвязанное с приближенными вычислениями: если последовательность Заказать математику сходится к числу Заказать математику, то выполняется приближенное равенство Заказать математику, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше Заказать математику.

Свойства сходящихся последовательностей

Сходящиеся последовательности обладают рядом интересных свойств. Формальные доказательства этих свойств — прерогатива вузовского курса высшей математики. Основаны доказательства на формализованном варианте данного выше определения 2 (этот вариант определения — опять-таки прерогатива курса высшей математики). Мы дадим лишь формулировки свойств.

Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу.

Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограниченна. Заметим, что обратное утверждение неверно: например, 1, 2, 3, 1, 2, 3,..., 1,2, 3,... — ограниченная последовательность, но онане сходится.

Оказывается, если последовательность не только ограниченна, но и монотонна (убывает или возрастает), то она обязательно сходится; это доказал в XIX в. немецкий математик Карл Вейерштрасс.

Свойство 3. Если последовательность монотонна и ограниченна, то она сходится (теорема Вейерштрасса).

Приведем классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т.д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограниченна (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади круга Заказать математику (установлено, что Заказать математику — предел последовательности площадей вписанных в окружность радиуса г правильных многоугольников).

Вычисление пределов последовательностей

К установленным ранее двум важным результатам: Заказать математику

добавим еще один: Заказать математику

Иными словами, предел стационарной последовательности равен значению любого члена последовательности.

Для вычисления пределов последовательностей в более сложных случаях используются указанные соотношения и следующая теорема.

Теорема. Если Заказать математику то:

1) предел суммы равен сумме пределов: Заказать математику

2) предел произведения равен произведению пределов: Заказать математику

3) предел частного равен частному от деления пределов:

Заказать математику (но, разумеется, при дополнительных условиях:

Заказать математику для любого n);

4) постоянный множитель можно вынести за знак предела: Заказать математику

Заказ №287.

Найти пределы последовательностей:

Заказать математику

Решение:

а) Имеем: Заказать математику Применив правило « предел произведения», получим:

Заказать математику

б) Рассуждая, как в n. а), получим: Заказать математику

в) Имеем: Заказать математику

Вообще, для любого натурального показателя т и любого коэффициента k справедливо соотношение:

Заказать математику

г) Применив правило «предел суммы», получим:

Заказать математику

Заказ №288.

Даны числа Заказать математику такие, что Заказать математику. Вычислить Заказать математику где Заказать математику

Решение:

Прежде всего воспользуемся тем, что постоянный множитель Заказать математику можно вынести за знак предела. Получим:

Заказать математику

Далее воспользуемся тем, что Заказать математику и, следовательно, Заказать математику Тогда:

Заказать математику

Ответ: Заказать математику

Заказ №289.

ВычислитьЗаказать математику

Решение:

В подобных случаях применяют искусственный прием: делят и числитель, и знаменатель дроби почленно на наивысшую из имеющихся степень переменной n. В данном примере разделим числитель и знаменатель дроби почленно на n2. Получим:

Заказать математику

Далее воспользуемся правилом «предел частного». Поскольку предел числителя равен 2 + 0=2, а предел знаменателя равен 1-0 = 1, то предел дроби равен Заказать математику

Ответ: Заказать математику

Заказ №290.

Дана функция Заказать математику Найти Заказать математикуЗаказать математику

Решение:

Чтобы вычислить значение Заказать математику, надо вместо аргумента х подставить его значение х = 0. Имеем Заказать математикуАналогично получим Заказать математику

Заказ №1.5.2.

Найти область определения функций:

Заказать математику

Решение:

1) Здесь на х не накладывается ни каких ограничений, поэтому функция Заказать математику определена на множестве Заказать математику

2) Если х = 0, то у не имеет числового значения (на нуль делить нельзя). Для всех значений (кроме нуля) у принимает действительные значения, поэтому областью определения служит объединение промежутков Заказать математику

3) Функция определена для всех значений х, кроме тех, при которых знаменатель дроби обращается в нуль. Решив уравнение 2х - 6 = 0, найдем его корень х = 3. Таким образом, область определения Заказать математику

4) Функция определена для всех значений аргумента, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль. Решив уравнение Заказать математику, найдем его корни: Заказать математику. Следовательно, Заказать математику

Заказ №291.

Найдите область определения функций:

Заказать математику

Решение:

1) Квадратные корни определены для неотрицательных чисел. Поэтому функция Заказать математику определена для всех значений х, удовлетворяющих неравенству Заказать математику

2) Решив неравенство Заказать математику, получим Заказать математику

3) Найдем область определения каждого из слагаемых; общая часть

этих областей и будет областью определения данной функции. Для первого слагаемого Заказать математику а для второго Заказать математику. Тогда областью определения суммы Заказать математику служит пересечение промежутков: Заказать математику

4)Функция определена на всех значениях х, удовлетворяющих неравенству Заказать математику

Заказать математику

Следовательно, областью определения функции является объединение промежутков: Заказать математику

Заказ №292.

Найти предел функции:

Заказать математику

Решение:

Данные функции являются элементарными, они определены в предельных точках, поэтому находим предел функции как её частное значение в предельной точке:

Заказать математику

Заказ №293.

Найти пределы следующих функций:

Заказать математику

Решение:

Заказать математику

Возможно, вас также заинтересует: