Заказать контрольную по высшей математике
Ответы на вопросы по заказу заданий по высшей математике:
Сколько стоит помощь?
- Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.
Какой срок выполнения?
- Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.
Если требуется доработка, это бесплатно?
- Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.
Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?
- Оценка стоимости бесплатна.
Каким способом можно оплатить?
- Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.
Какие у вас гарантии?
- Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.
В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?
- Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.
Содержание:
- Ответы на вопросы по заказу заданий по высшей математике:
- Пример заказа контрольной работы 1.
- Решение типового варианта контрольной работы
- Пример заказа контрольной работы 3.
- Пример заказа контрольной работы 4.
- Пример заказа контрольной работы 5.
- Примеры контрольной работы для студентов 1 курса
- Пример заказа контрольной работы 6.
- Пример заказа контрольной работы 7.
- Пример заказа контрольной работы 8.
- Контрольные работы для 1 курса
- Темы: Вычисление определителей. Матрицы, действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений
- Пример заказа контрольной работы 9.
- Индивидуальные задания.
- Решение:
- Контрольные работы для 2 курса
- На темы: матрицы, действия над матрицами. Теоретические сведения
- Пример заказа контрольной работы 10.
- Индивидуальные задания.
- Решение типового варианта
- Решение:
- Решение линейных алгебраических систем
- Пример заказа контрольной работы 11.
- Решение типового варианта.
- Решение:
- Решение:
- Линейные операции над векторами. Прямая на плоскости
- Пример заказа контрольной работы 12.
- Прямая на плоскости
- Пример заказа контрольной работы 13.
- Предел и непрерывность функции
- Пример заказа контрольной работы 14.
- Индивидуальные задания.
- Решение типового варианта.
- Решение:
- Непрерывность функции. Теоретические сведения
- Пример заказа контрольной работы 16.
- Индивидуальные задания.
- Решение типового варианта.
- Решение:
- Производная
- Таблица производных основных элементарных функций
- Пример заказа контрольной работы 17.
- Индивидуальные задания
- Решение типового варианта
- Решение:
- Исследование функции и построение графиков. Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции
- Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции
- Теорема (необходимое условие существования экстремума)
- Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- Асимптоты графика функции
- Пример заказа контрольной работы 18.
- Индивидуальные задания
- Решение типового варианта.
- Решение:
Пример заказа контрольной работы 1.
Спрос на малоценные товары в зависимости от величины дохода потребителя характеризуется функцией Торнквиста
Провести исследование и построить график функции
Решение типового варианта контрольной работы
Пример заказа контрольной работы 2.
Запишем данные в таблицу
Матричное уравнение межотраслевого баланса имеет вид
(1)
1. Выпишем матрицы, входящие в уравнение (1)
матрица А - структурная матрица межотраслевого баланса. Элементы матрицы А являются коэффициентами прямых затрат. Они определяются по формуле .
В данном случае будем иметь
Матрица А продуктивна, т.к. все ее элементы положительны и сумма ее элементов по любому столбцу (любой строке) не превосходит единицы. (2)
2. Решаем матричное уравнение (1)
(2)
Для матрицы Е - А составляем обратную. Матрица называется матрицей полных затрат.
Так как det (Е - А) 0, то обратная матрица существует и единственна. Вычисляем алгебраические дополнения элементов матрицы Е - А:
Матрица полных затрат имеет вид
Отсюда следует, что например, для выпуска единицы продукции отраслями I, II, III необходимо затратить продукции отрасли III соответственно 0,44; 0,71 и 1,71 единиц.
3. Для заданного конечного продукта рассчитаем соответствующий валовой выпуск по формуле (2):
Таким образом, чтобы обеспечить заданное увеличение компонент вектора конечного продукта, необходимо увеличить соответствующие валовые выпуски: в отрасли I на 8,6%; в отрасли II - на 17,43%, в отрасли III - на
•100% = 29,17% по сравнению с исходными данными.
Пример заказа контрольной работы 3.
Даны вершины треугольника А (1; 7), В ( 3; 4) и С (-2; -3). Найти: а) уравнение стороны (АВ); б) уравнение высоты (СН); в) уравнение медианы (AM); г) точку пересечения медианы (AM) и высоты (СН); д) расстояние от точки С до прямой (АВ).
Сделаем схематический рисунок треугольника ABC.
Рис. 1 а) Уравнение стороны (АВ) запишем по формуле . ;
Общее уравнение прямой (АВ): .
б) Угловой коэффициент прямой (АВ) определим из ее уравнения, записав его в виде , т.е. ; .
Тогда угловой коэффициент прямой (СН) (АВ) определим из условия
.
Уравнение прямой (СН): ; .
Общее уравнение высоты (СН):
в) Находим координаты точки М - середины отрезка [СВ]
Уравнение медианы (AM): ; ; ;
Общее уравнение медианы (AM):
г) Точку пересечения медианы (AM) и высоты (СН) получим, решив систему из уравнений этих прямых:
; , или (0,35; -1,43)
д) Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле .
Расстояние от точки С (-2;-3) до прямой (АВ)
= 8,03.
Построим в системе координат ABC, прямые (СН), (AM), т. D.
Рис. 2
Пример заказа контрольной работы 4.
Найти пределы функций:
а)
При числитель и знаменатель неограниченно возрастают, получаем неопределенность вида . Чтобы найти предел, преобразуем данную дробь делением числителя и знаменателя на старшую степень многочленов в числителе и знаменателе, т.е. на ². Получим
б) .
При 7 числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получаем неопределенность вида . Чтобы раскрыть неопределенность данного вида, надо сократить на множитель, стремящийся к нулю, т.е. на (7). В знаменателе раскладываем на множители, а в числителе избавимся от иррациональности умножением на сопряженное выражение
в)
Для раскрытия неопределенности в случае наличия тригонометрической функции используем первый замечательный предел .
Пример заказа контрольной работы 5.
При нахождении производной заданных функций следует пользоваться таблицей производных основных элементарных функций, правилами дифференцирования и теоремой о дифференцировании сложной функции. Приведем некоторые формулы:
Правила дифференцирования:
1. =0, ,
2.
3.
4.
5. ,
Если т.е. , - сложная функция, то .
Примеры контрольной работы для студентов 1 курса
Найти :
а) ;
==.
б)
в)
Пример заказа контрольной работы 6.
Пусть = 5, = 4, = 19, = 12, = 2,
При переходе от = 12 к значению = 12 + 2 = 14 функция получит приращение, равное . Изменение издержек определится величиной
При увеличении объема выпуска с 12 ед. до 14 ед. издержки увеличатся на 0,3109. Дифференциал функции в точке численно равен
Находим производную функции
.
Тогда
При малых приращениях получаем приближенное равенство
Пример заказа контрольной работы 7.
Исследуем функцию на экстремум, выпуклость, вогнутость, точки перегиба и построим график.
Областью определения функции является вся числовая ось: Находим первую производную и приравниваем ее нулю.
Отметим знак производной на интервалах :
Значит, на интервалах и функция возрастает, а на интервале (0; 2) - убывает. = 0 - точка максимума, = 2 - точка минимума, .
Для исследования графика функции на выпуклость, вогнутость и точки перегиба находим вторую производную функции .
.
> 0, если >1, значит график функции на интервале (1; ) вогнутый.
< 0, если <1, значит график функции на этом интервале выпуклый.
= 1, = 0- 3 + 4 = 1. Точка (1; 1) - точка перегиба графика функции.
Строим график.
Рис.4
Пример заказа контрольной работы 8.
, = 3, = 6, =11
1. Область определения: 0, т.к. по смыслу 0. 2. Точка (0; 0) принадлежит графику 3. Находим производную .
4. Приравниваем производную нулю
На промежутке [0; 5,62) функция возрастает, а на промежутке (5,62; +) - убывает.
Точка =5,62 - точка локального максимума, т.к. в окрестности этой точки производная меняет знак с плюса на минус.
Найдем максимальное значение функции
5. Вертикальных асимптот у графика нет. Ищем наклонные асимптоты в виде
Следовательно, при прямая = 3 - горизонтальная асимптота. 6. Строим график
Рис. 5
Контрольные работы для 1 курса
Темы: Вычисление определителей. Матрицы, действия над матрицами. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Определителем матрицы второго порядка называется число
Определителем матрицы третьего порядка называется число
Правило вычисления определителя третьего порядка называется правилом треугольников (правилом Саррюса). Схематически запись этого правила приведена ниже:
Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-1)-го порядка, полученный из данного определителя вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическим дополнением элемента определителя n-го порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком :.
Свойства определителей:
1. Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения, то есть
, (1)
где - алгебраические дополнения строк.
; (2)
где - алгебраические дополнения столбцов.
Равенство (1) называется разложением определителя по элементам -й строки; равенство (2) называется разложением определителя по элементам -го столбца.
2. Если какая-либо строка (столбец) определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе поменять две строки (два столбца) местами, то определитель поменяет знак.
4. Определитель, имеющий две одинаковые строки (столбца) равен нулю.
5. Общий множитель элементов любой строки (столбца) можно вынести за знак определителя.
6. Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число.
Пример заказа контрольной работы 9.
Вычислить определители:
1. ; 2. ; 3. ; 4. .
Индивидуальные задания.
5. Вычислить определитель
а) разложив его по элементам -ой строки;
б) получив предварительно нули в -ом столбце.
Решение типового варианта.
Вычислить определитель , если =2.
Решение:
а) По первому свойству определителей получим:
= -3(56-12)-2(7 + 3)-(4+ 8) = -132-20-12 = -164.
б) Получим нули во втором столбце, последовательно умножим вторую строку на 4 и сложим ее с первой, потом умножим вторую строку на 2 и сложим с третьей.
.
Контрольные работы для 2 курса
На темы: матрицы, действия над матрицами. Теоретические сведения
Прямоугольная таблица чисел, состоящая из строк и n столбцов, называется матрицей размерности и записывается в виде
Элементы называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, - номер столбца в котором стоит элемент.
Матрицы называются равными, если они одинаковой размерности и все их соответствующие элементы равны. Матрица, у которой число строк равно числу столбцов называется квадратной. Основные операции над матрицами.
1. Сложение и вычитание матриц. Суммой (разностью) матриц одинаковой размерности и , обозначаемой А+В (А-В), называется матрица С, элементы которой , где и - соответственно элементы матриц и .
2. Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число называется матрица В той же размерности, элементы которой , где элементы матрицы , т. е. при умножении матрицы на число надо каждый элемент матрицы умножить на это число.
3. Умножение матриц. Матрицу можно умножить на матрицу если число столбцов матрицы равно число строк матрицы . Произведением матрицы и называется матрица , элементы которой равны сумме произведений соответствующих элементов -ой строки матрицы на -ый столбец матрицы . Число строк матрицы произведения равно числу строк матрицы , а число столбцов равно числу столбцов матрицы .
4. Транспонирование матриц. Транспонированной матрицей называется матрица, полученная из матрицы заменой ее строк столбцами с теми же номерами.
Пример заказа контрольной работы 10.
1. Найти матрицу , если
.
2. Найти произведение матриц и , если
1) , ; 2) ;
3) , ; 4) , . 3. Найти матрицу , транспонированную данной, если
1 ); 2) [1 -1 3]; 3) .
Индивидуальные задания.
Найти произведение матриц.
Решение типового варианта
Найти произведение матриц АВ и ВА, если
А =, В=.
Решение:
а) Так как сомножители имеют размеры 2x3 и 3х2, то их произведение определено и имеет размеры 2x2: :
б) ,
Решение линейных алгебраических систем
Понятие обратной матрицы вводится только для квадратных невырожденных матриц . Матрица называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если , где -единичная матрица того же порядка, что и матрица А.
Известно, что для А существует единственная обратная матрица , которая определяется формулой
.
Матрица называется присоединенной матрицей, ее элементами являются алгебраические дополнения транспонированной матрицы .
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:
1) перестановка строк местами;
2) умножение каждого элемента строки на один и тот же множитель 0;
3) прибавление к элементам строки соответствующих элементов другой строки, умноженных на один и тот же множитель.
Две матрицы называются эквивалентными, если одна матрица получается из другой с помощью элементарных преобразований. Эквивалентность матриц А и В обозначается А В. Любую матрицу при помощи элементарных преобразований можно привести к ступенчатому виду.
Рангом матрицы называется число не нулевых строк ступенчатой матрицы.
Пусть задана система из m линейных уравнений с n неизвестными :
где числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами. Решением системы (3) называется совокупность n чисел (), которая при подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных каждое из уравнений обращает в тождество.
Если система (3) имеет хотя бы одно решение, она называется совместной; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Система называется определенной, если она имеет единственное решение и неопределенной, если она имеет более одного решения.
Если , то система называется однородной, в противном случае она называется неоднородной.
Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных
, называется основной матрицей системы (1).
Матрица АВ = называется расширенной матрицей системы (1).
Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (1) совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы, то есть . Причем, если ранг равен числу неизвестных (), то система (1) имеет единственное решение; если , то система (1) имеет бесконечное множество решений, которые зависят от () параметров. Если , то система решений не имеет.
Рассмотрим три метода решения систем линейных алгебраических уравнений.
Метод Гаусса. Метод Гаусса состоит в следующем:
1. Составляется расширенная матрица системы.
2. С помощью элементарных преобразований расширенная матрица приводится к ступенчатому виду.
3. Решается вопрос о совместности системы, и если система совместна, то о количестве решений.
4. Если система имеет единственное решение, то по ступенчатой матрице составляется эквивалентная система уравнений и находится решение, начиная с последней переменной.
5. Если система имеет бесконечное множество решений, то базисные переменные выражаются через свободные переменные, и записывается общее решение.
Матричный метод.
Матричный метод для решения неоднородных систем используется, если число уравнений системы равно числу неизвестных ().
Рассмотрим этот метод на примере решения системы трех уравнений с тремя неизвестными
(1)
Систему (1) можно записать в матричной форме: АХ = В, где матрица А - основная матрица системы, В - матрица-столбец свободных членов, X - матрица-столбец переменных, т. е.
.
Если матрица невырожденная, тогда .
Формулы Крамера. Если матрица А для системы (1) невырожденная, то для вычисления неизвестных верны формулы Крамера:
где - определитель матрицы А, - определители, которые получаются из заменой го столбца на столбец свободных членов исходной системы.
Пример заказа контрольной работы 11.
1. Решить системы уравнений, используя формулы Крамера, матричным методом и методом Гаусса.
2. Исследовать систему уравнений на совместность и в случае совместности решить ее:
1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8)
Индивидуальные задания.
1. Найти матрицу , обратную матрице А
2. Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее:
Решение типового варианта.
1. Найти матрицу , обратную матрице А, если
.
Решение:
Найдем определитель матрицы и алгебраические дополнения:
С учетом полученных результатов составляем обратную матрицу
.
3. Проверить совместность системы и в случае совместности решить ее:
а) С помощью элементарных преобразований найдем ранг основной матрицы системы и расширенной: Для этого приведем расширенную матрицу системы к ступенчатому виду:
.
Значит ранг основной матрицы равен рангу расширенной и равен числу переменных, то есть .
Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли исходная система имеет единственное решение.
Решим систему методом Гаусса. По ступенчатой матрице составим систему уравнений эквивалентную данной.
Из системы находим переменные: .
б) Метод обратной матрицы.
.
Найдем матрицу А 1. Вычислим определитель матрицы
.
Найдем присоединенную матрицу:
, тогда присоединенная матрица имеет вид
.
Значит .
Находим столбец переменных:
.
в) Формулы Крамера.
; ;
;
.
Тогда
4. Проверить совместность однородной системы и в случае совместности решить ее:
Решение:
Приведем основную матрицу системы к ступенчатому виду
.
Ранг матрицы равен двум (), значит система имеет бесконечное множество решений, зависящее от одного параметра ( = 3-2 = 1). Выберем в качестве базисных переменных - переменные , а в качестве свободной - переменную . Выразим переменные через .
Запишем ответ: .
Линейные операции над векторами. Прямая на плоскости
Вектором называется направленный отрезок. Вектор с началом в точке и концом в точке обозначается символом (или одной буквой, ,...). Длина отрезка называется длиной, или модулем вектора и обозначается .
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарности двух векторов и записывается в виде
.
К линейным операциям над векторами относятся:
1. Умножение вектора на число. Произведением вектора 0 на число 0 называется вектор , длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , если > 0, и противоположно ему, если <0.
2. Сложение векторов. Суммой двух векторов и называется вектор , соединяющий начало вектора с концом вектора , отложенного от конца вектора . Обозначается .
Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма».
3. Вычитание векторов. Разностью двух векторов и называется такой вектор , который нужно сложить с вектором , чтобы получить .
Пусть даны два вектора , . Тогда:
1. ;
2. ;
3. .
Если начало и конец вектора в прямоугольной системе координат заданы координатами и , тогда вектор имеет координаты , тогда длина вектора вычисляется по формуле .
Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:
,
где - угол между векторами и ().
Если векторы и заданы своими координатами: , , то скалярное произведение векторов и определяется формулой
.
Тогда косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:
, т.е.
Пример заказа контрольной работы 12.
1. Найти длину вектора = (2; 3; -6).
2. Определить длины сторон параллелограмма, диагоналями которого служат векторы = (2; -1; 3) и = ( 1; 2; -1).
3. Найти скалярное произведение векторов = (3; 4; 7) и = (2; -3; 2). 4. Найти скалярное произведение векторов и , если = 8, =5, а угол между ними .
5. Найти угол между векторами = (1; 2; 3) и = (6; 4;-2).
Индивидуальные задания
По координатам точек А, В, С для указанных векторов найти:
а) модуль вектора
б) скалярное произведение ;
в) угол между векторами и .
Решение типового варианта.
А(-1; 2; -3); В(3; 4; -6); С(1; 1; -1); .
Найдем координаты векторов ; ; , зная, что для того чтобы найти координаты вектора надо от координат конца отнять координаты начала, то есть ; ; . Тогда получаем:
= (4; 2; -3); = (-2; -3; 5); = (2; -1; 2).
Тогда:
= 4(4; 2;-3) + 3(-2;-3;5) = (10;-1;3);
= (4; 2; -3) - 2(2; 1; -2) = (0; 4; -7).
а) Модуль вектора найдем по формуле
.
б) Скалярное произведение векторов, заданных своими координатами
, определяется по формуле
= 10 • 0 + (-1) • 4 + 3 • (-7) = -25.
в) Косинус угла между двумя векторами вычисляется по формуле:
. Так как =-25, а , то .
Прямая на плоскости
Различные виды уравнений прямой на плоскости:
1. Общее уравнение прямой:
,
где А, В, С - некоторые числа, причём А и В одновременно не обращаются в нуль. Вектор =(А,В) перпендикулярен прямой и называется нормальным вектором прямой.
2. Уравнение прямой по точке и нормальному вектору:
,
где А, В - координаты нормального вектора, а точка - координаты точки, которая лежит на прямой.
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом:
,
где - угловой коэффициент прямой (, где - угол между прямой и положительным направлением оси Ох), а - ордината точки пересечения прямой с осью Оу.
4. Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту :
.
5. Уравнение прямой в отрезках:
.
где а, b - величины длины отрезков, которые прямая отсекает на координатных осях и соответственно.
6. Уравнение прямой по двум точкам. Если известны координаты двух точек прямой , , то прямую можно задать уравнением:
где , - точки, принадлежащие прямой.
Взаимное расположение прямых на плоскости.
Углом между прямыми будем называть наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.
1. Если прямые заданы общими уравнениями , , то угол между ними находится из формулы
,
Условие параллельности этих прямых имеет вид: .
Условие перпендикулярности этих прямых: .
2. Если прямые заданы уравнениями и , то угол между ними (с точностью до смежного) находится по формуле:
.
Прямые параллельны, если выполняется равенство и перпендикулярны, если .
Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле:
Пример заказа контрольной работы 13.
1. Дано общее уравнение прямой . Написать: а) уравнение с угловым коэффициентом; б) уравнение в отрезках на осях.
2. Записать уравнения прямых, проходящих через точку А(3; -1) и параллельной: а) оси абсцисс; б) оси ординат; в) биссектрисе первого координатного угла; г) прямой .
3. Записать уравнение прямой проходящей через точку А(-1; 3) и перпендикулярно прямой .
4. Записать уравнение прямой проходящей через точку О (0;0) и образующей угол с прямой .
5. Точка А(2; -5) - вершина квадрата, одна из сторон которого лежит на прямой . Найти площадь квадрата.
6. Написать уравнения сторон ромба с диагоналями 10 и 6 см, приняв большую диагональ за ось абсцисс и меньшую за ось ординат.
Индивидуальные задания.
Пусть заданы координаты точки и общее уравнение прямой . Найти:
а) угловой коэффициент прямой ;
б) уравнение прямой , проходящей через точку и параллельной прямой ;
в) уравнение прямой , проходящей через точку и перпендикулярной прямой ;
г) расстояние от точки до прямой .
Решение типового варианта.
Пусть (2; 5) и .
а) Для того, чтобы найти угловой коэффициент прямой надо из общего уравнения выразить переменную . Тогда угловой коэффициент будет равен коэффициенту стоящему при переменной . В нашем случае получаем:
, тогда = 6.
б) Так как прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Значит, угловой коэффициент искомой прямой . Для составления уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: . В нашем случае получим:
в) Так как прямые перпендикулярны, то произведение их угловых коэффициентов равно -1, то есть . Значит, . Для составления уравнения прямой воспользуемся уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту: . То есть:
г) Для вычисления расстояния от точки до прямой воспользуемся формулой:
.
Предел и непрерывность функции
Окрестностью точки называется любой интервал с центром в точке . Пусть функция определена в некоторой окрестности точки кроме, быть может, самой точки .
Тогда число А называется пределом функции точке , если для любого > о существует > о, такое, что для всех таких, что выполняется неравенство . Если А - предел функции в точке , то пишут: .
Операции над пределами.
Пусть функции и определены в некоторой окрестности точки и . Тогда:
1. Предел суммы (разности) этих функций равен сумме (разности) их пределов:
.
2. Предел произведения функций равен произведению их пределов:
.
3. Предел частного функций равен частному их пределов (при условии 0):
4. Постоянный множитель можно выносить за знак предела функции:
.
5. , где 1, B .
Замечательные пределы:
Первый замечательный предел .
Второй замечательный предел .
Пример заказа контрольной работы 14.
1. Найти пределы функций:
1) ; 5) ;
2) ; 6) ;
3) ; 7) ;
4) ; 8) .
2. Найти пределы функций:
1) ; 4) ;
2) ; 5) .
3) ;
Индивидуальные задания.
Вычислить пределы:
Решение типового варианта.
Найти пределы функций:
1) , 2) ; 3)
Решение:
1)
Имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, разделим числитель и знаменатель дроби под знаком предела почленно на в наибольшей степени, т. е. на :
.
2) .
Имеем неопределенность вида . Чтобы ее раскрыть, разложим числитель и знаменатель дроби на множители, а затем под знаком предела сократим дробь на общий множитель .
Так как =7 и =-5 - корни уравнения , то верно следующее равенство: .
Аналогично, и =-5 - корни уравнения , тогда . Подставляя в предел получим:
.
3) .
Имеем неопределенность вида . Для ее раскрытия воспользуемся вторым замечательным пределом. Для этого прибавим и вычтем в скобке 1, и (-1) приведем к общему знаменателю с дробью:
Преобразуем показатель степени:
Непрерывность функции. Теоретические сведения
Непрерывность функции определяется в точках, принадлежащих области определения.
Функция называется непрерывной в точке , если в точке существуют односторонние пределы функции, они равны между собой и равны значению функции в точке , т. е. если
или .
Те точки области определения, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.
Классификация точек разрыва. Если точка разрыва функции принадлежит множеству и является двухсторонней предельной точкой этого множества, то различают разрывы двух видов.
1. Функция имеет в точке разрыв первого рода, если в этой точке существуют односторонние пределы функции, но по крайней мере один из них не равен значению данной функции в точке . При этом возможны случаи:
,
в этом случае в точке имеет устранимый разрыв; если
,
то в этом случае в точке имеет разрыв с конечным скачком.
При этом число называют скачком функции в точке .
2. Функция имеет в точке разрыв второго рода, если в этой точке по крайней мере один из односторонних пределов бесконечен или не существует.
Отметим важное свойство элементарных функций. Элементарная функция непрерывна в каждой точке своей области определения.
Функция называется непрерывной на отрезке [a; b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка, причем в точке она непрерывна справа , а в точке - слева ().
Пример заказа контрольной работы 16.
1. Установить область непрерывности функции и найти ее точки разрыва.
2. При каких значениях А функция будет непрерывной в точке = 3? Построить ее график.
Индивидуальные задания.
Исследовать данные функции на непрерывность и построить их графики.
Решение типового варианта.
Исследовать данную функцию на непрерывность
Решение:
Функция определена и непрерывна на интервалах (; 0), (0;2) и (2; ), где она задана непрерывными элементарными функциями. Следовательно, разрыв возможен только в точках =0 и = 2.
Исследуем на непрерывность функцию в точке =0. Для этого вычислим односторонние пределы и значение функции в точке = 0. Имеем:
Так как , то в точке = 0 данная функция имеет эазрыв с конечным скачком, и этот скачок равен .
Для точки =2 имеем:
Так как , то в точке =2 функция непрерывна.
Производная
Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции в точке и обозначается одним из следующих символов: , , Таким образом
.
Если указанный предел существует, то функцию называют дифференцируемой в точке , а операцию нахождения производной - дифференцированием.
Если С- постоянное число и - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:
1. ;
2. ;
3. ;
4. .
Производная сложной функции. Если , , т.е. - сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то .
Таблица производных основных элементарных функций
Пример заказа контрольной работы 17.
1. Найти производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3) .
2. Используя формулы и правила дифференцирования, найти производные данных функций:
1) ; 9) ;
2) ; 10) ;
3) ; 11) ;
4) ; 12) ;
5) ; 13) ;
6) 14) ;
7) 15) ;
8) ;
Индивидуальные задания
Найти производные данных функций:
Решение типового варианта
Найти производные данных функций:
1) ,
2) ,
3) .
Решение:
1) ,
2) ,
3) ,
Исследование функции и построение графиков. Возрастание, убывание функции. Экстремумы функции
Определение. Функция называется возрастающей на области , если () выполняется неравенство:.(Рис. 5.1.)
Определение. Функция называется убывающей на области , если () выполняется неравенство: .(Рис. 5.2.)
Рис. 5.1 Рис. 5.2
Теорема (достаточное условие возрастания (убывания) функции). Если функция дифференцируема на интервале (а; b) и (), то функция возрастает (убывает) на интервале (а; b).
Интервалы, на которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонности функции.
Определение. Точка называется точкой локального максимума функции , если для любой точки из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: .
Определение. Точка называется точкой локального минимума функции , если для любой точки из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: .
Значение функции в точке локального максимума (минимума) назвается максимумом (минимумом) функции. Максимум и минимум функции называется экстремумом функции. (Рис. 5.3.)
Рис. 5.3
Необходимое и достаточное условия существования экстремума функции
Теорема (необходимое условие существования экстремума)
Если дифференцируемая функция имеет экстремум в точке , то .
Замечание. Обратная теорема неверна, то есть если , то это не значит, что точка - точка экстремума.
Точки, в которых производная обращается в нуль или не существует, называются критическими.
Теорема (достаточное условие существования экстремума).
Если при переходе через критическую точку производная дифференцируемой функции меняет свой знак с плюса на минус, то точка - точка локального максимума; если производная меняет свой знак с минуса на плюс, то точка - точка локального минимума.
Правило исследования функции на экстремум.
1. Найти точки, в которых производная функции обращается в нуль или не существует, то есть найти критические точки.
2. Среди критических точек выбрать те, которые принадлежат области определения функции.
3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой из выбранных точек.
Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
Определение. График функции называется выпуклым вниз (или вогнутым) на интервале (а; b), если на этом график расположен выше касательной к графику проведенной в любой точке интервала (a; b).
Определение. График функции называется выпуклым вверх (или выпуклым) на интервале (а; b), если на этом график расположен ниже касательной к графику проведенной в любой точке интервала (а; b).
Теорема. Если функция на интервале (а; b) дважды дифференцируема и для любого из интервала (а; b), то график функции на интервале (а; b) вогнутый; если для любого из интервала (а; b), то график функции на интервале (а; b) выпуклый.
Определение. Точка графика дифференцируемой функции называется точкой перегиба функции , если в ней характер выпуклости меняется на противоположный.
Теорема. если для функции вторая производная в некоторой точке обращается в нуль или не существует, и при переходе через эту точку меняет свой знак на противоположный, то точка является точкой перегиба графика функции .
Асимптоты графика функции
Определение. Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки графика этой функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.
Определение. Прямая называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов в точке равен бесконечности.
Замечание. Вертикальные асимптоты существуют в точках разрыва функции.
Определение. Прямая называется наклонной асимптотой графика функции при стремящемся к бесконечности, если , где . Если =0, то асимптота называется горизонтальной.
Теорема. Для того, чтобы график функции имел наклонную асимптоту необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы:
.
Если хотя бы один из пределов не существует или равен бесконечности, то график функции наклонной асимптоты не имеет.
Пример заказа контрольной работы 18.
1. Найти точки экстремума функций:
а) ; в) ;
б) ; г) .
2. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функций:
а) ; в) у = 2х2 + \пх]
б) ; г) .
3. Найти асимптоты графиков функций:
а) ; г) ;
б) ; д) .
в) ;
Индивидуальные задания
1. Найти экстремумы функции.
2. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
3. Найти асимптоты кривой.
Решение типового варианта.
1. Исследовать на экстремум функцию .
2. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции .
3. Найти асимптоты функции .
Решение:
1. Найдем производную функции:
Найдем критические точки, то есть точки в которых производная обращается в нуль или не существует:
.
Областью определения функции является вся числовая прямая, значит обе критические точки принадлежат области определения. Методом интервалов исследуем знак первой производной слева и справа от каждой из критических точек.
Следовательно, для , значит, функция значит, функция убывает на этом промежутке; для , возрастает на этом промежутке. По достаточному условию существования экстремума в точке функция имеет локальный минимум, так как при переходе через эту точку производная меняет свой знак с минуса на плюс. При этом . Точка = 1 не является точкой экстремума.
2. Выше была найдена первая производная функции: . Найдем вторую производную:
.
Найдем точки, в которых вторая производная обращается в нуль:
. Методом интервалов исследуем знак второй производной слева и справа от каждой из полученных точек.
Следовательно, для , и график функции вогнутый, а для , и график функции выпуклый. Таким образом, при переходе через точки меняется характер выпуклости. Следовательно, точки и (1;0) являются точками перегиба графика данной функции.
3. Найдем вертикальные асимптоты. Точками разрыва функции являются точки в которых знаменатель обращается в нуль, то есть =1 и =-1. Вычислим односторонние пределы в точках разрыва функции. Для точки =1 имеем:
; .
Для точки =-1:
; .
Следовательно, прямые = 1 и = -1 являются вертикальными асимптотами.
Найдем наклонную асимптоту , если она существует. Вычислим пределы:
;
.
Следовательно, прямая =0 является горизонтальной асимптотой.
Возможно, вас также заинтересует