Заказать чертежи по начертательной геометрии

Заказать чертежи по начертательной геометрии онлайн

 

Если у вас нету времени на чертежи по начертательной геометрии вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по начертательной геометрии помощь в учёбе

 

Проекционный метод и виды проецирования

Основным методом начертательной геометрии является проекционный метод. Он заключается в том, что через точку А проводят проецирующую прямую l до пересечения с плоскостью проекций. Точку пересечения А/ называют проекцией данной точки.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Центральное проецирование заключается в том, что проецирующие прямые проводят из одного центра S. Полученные таким образом проекции называют центральными проекциями.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

  • Если проецирующие прямые проводятся параллельно какому-либо направлению N, то такое проецирование называют параллельным. Параллельное проецирование делится на косоугольное и ортогональное (прямоугольное).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

При ортогональном проецировании проецирующие прямые проводятся перпендикулярно плоскости проекций. Плоскости проекций устанавливаются параллельно или перпендикулярно условному уровню горизонта. Полученные проекции называют прямоугольными проекциями.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Начертательная геометрия

 

Инвариантные свойства (аксиомы) проецирования

Ортогональное проецирование обладает следующими инвариантными свойствами:

  • каждой точке соответствует одна проекция;
  • каждой проекции соответствует множество точек, располагаемых на проецирующей прямой;

Заказать чертежи по начертательной геометрии

- геометрический объект (прямая, плоскость, поверхность), находящийся в пространстве в общем положении, проецируется на плоскость проекций с искажением, т.е. с изменением линейных и угловых тразмеров;

Заказать чертежи по начертательной геометрии

- если прямая, плоскость или плоский угол параллельны плоскости проекций, то они проецируются на эту плоскость в натуральную величину;

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

- е сли прямая перпендикулярна плоскости проекций, то она «вырождается» на проекции в точку;

- если плоскость или плоский угол перпендикулярны плоскости проекций, то они на проекции «вырождаются» в линии.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по начертательной геометрии с примерами онлайн

 

Ортогональное проецирование на две и три плоскости проекций

Так как одна проекция точки в соответствии со свойствами проецирования не определяет однозначно положение точки в пространстве, то целесообразно использовать

проецирование на две плоскости проекций – горизонтальную H и фронтальную V. Двумя плоскостями проекций евклидово пространство делится на четыре части, называемые четвертями

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если точку спроецировать на две плоскости проекций, а затем пространственный макет преобразовать в плоскость, повернув плоскость Н на 90°, то получится проекционный чертеж, получивший название эпюра Монжа на две плоскости проекций.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если в систему двух плоскостей ввести еще одну плоскость W (профильную), то пространство

разделится на 8 октантов. Октанты отличаются друг от друга знаками координат.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрииЗаказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по начертательной геометрии заказать

 

Образование и свойства эпюра Монж

Рассмотрим проецирование точки в одном из октантов, например, в первом. Из пространственного макета видно, что проекции точки находятся в вершинах прямоугольного параллелепипеда. Преобразуем макет так, чтобы плоскости проекций совместились в одну. Для этого мысленно разрежем макет вдоль оси OY и повернем плоскости Н и W (на 90°, как показано на чертеже). При этом саму точку А удалим, оставив только ее проекции и оси OX, OYH ,OYW и OZ

Заказать чертежи по начертательной геометрии

В результате преобразований получается проекционный чертеж точки, или эпюр Монжа, который имеет следующие свойства:

  • - горизонтальная проекция точки А/ определяется координатами X и YH;
  • - фронтальная проекция точки А// определяется координатами X и Z;
  • - профильная проекция точки А/// определяется координатами Z и YW;
  • - проекции А/ и А// всегда находятся на одной вертикальной линии связи;
  • - проекции А// и А/// всегда находятся на одной горизонтальной линии связи;
  • - отрезок АXА/ равен отрезку AZA///, так как они оба являются координатой Y;
  • - по двум проекциям точки всегда можно построить третью проекцию

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Необходимо построить проекции точки А с координатами (-30, -15, -20). Предварительно по таблице знаков (см. с. 8) определяем номер октанта – седьмой. Вычерчиваем оси координат.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

От начала координат откладываем координату X (-30) вправо, так как она со знаком минус, и получаем точку АX. Через точку АX проводим вертикальную линию связи. От точки вверх откладываем координату Y (-15) и получаем горизонтальную проекцию точки А/

Заказать чертежи по начертательной геометрии

От точки Ах вниз откладываем координату Z (-20) и получаем фронтальную проекцию точки А//.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Через точку А// проводим горизонтальную линию связи, и на пересечении с вертикальной осью получаем точку АZ. От нее откладываем влево координату Y (-15) и получаем профильную проекцию точки А///.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Определение октанта по заданному эпюру точки Предположим, необходимо определить номер октанта, в котором находится точка, если задан эпюр точки в двух или трех проекциях.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Определяем знаки координат точки. Так как точка АX находится влево от начала координат, то координата X имеет знак «плюс». Так как координата Y, использованная для построения горизонтальной проекции точки, отложена вверх, то координата Y имеет знак «минус». Так как координата Z, использованная для построения фронтальной проекции точки, отложена вниз, то координата Z имеет знак «минус». Значит точка А имеет знаки координат (+, -, -).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Определяем номер октанта, в котором находится точка. Это можно сделать двумя способами: по таблице знаков или по модели октантов, которую можно представить зрительным воображением. Второй способ реализуется так: если координата X имеет знак +, то точка А может находиться только в I, II, III или IV октантах; так как координата Y имеет знак «минус», то это может быть только во II и III октантах; если координата Z имеет знак «минус», то точка А может находиться только в III октанте

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по начертательной геометрии онлайн

 

Построение недостающей проекции точки

Предположим, задан эпюр точки А в двух проекциях А// и А///. Требуется построить недостаю-щую горизонтальную проекцию А/. Построения будем проводить, используя свойства эпюра Монжа.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Так как горизонтальная проекция точки А/ находится на одной вертикальной линии связи с фронтальной проекцией точки А//, то через точку А// проводим эту линию связи. На оси ОХ получаем точку АX.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Недостающая проекция А/ определяется координатами X и Y. Координата X известна, а коор-динату Y берем с профильной проекции (отрезок Аz А///). Так как отрезок отложен вправо, то значит координата Y имеет знак +. Замеряем координату Y и от-кладываем ее от точки AX вдоль линии связи вниз. Получаем искомую проекцию А/. Точка А имеет знаки координат (+, +, -) и находится в IV октанте.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Связь эпюра Монжа с проекционным чертежом

Эпюр Монжа является универсальным способом изображения геометрических объектов на плоскости. Он позволяет не только изобразить объект в проекциях, но и определить его положение в пространстве. Основными проекциями объекта являются:

А/ - горизонтальная проекция;

А// - фронтальная проекция;

А/// - профильная проекция.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

В проекционном черчении эпюр Монжа является теоретической основой для составления чертежа детали. В отличие от эпюра Монжа в проекционном черчении проекции называют видами:

  • - А/ - вид сверху;
  • - А// - вид спереди;
  • - А/// - вид слева.

Все свойства эпюра Монжа на чертеже сохраняются.

Прямые общего и частного положения

Прямой общего положения называется прямая, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Признаком прямой общего положения на эпюре является то, что ни одна проекция прямой не параллельна, не перпендикулярна осям проекций и ни на одной проекции прямая не «выродилась» в точку.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются прямыми частного положения. Горизонталь – это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций. Главный признак горизонтали на эпюре – h// всегда параллельна оси ОХ.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Фронталь – прямая, параллельная плоскости V. Главный признак фронтали на эпюре – f// параллельна ОХ. Профильная прямая – прямая, параллельная плоскости W. Горизонтальная и фронтальная проекции этой прямой параллельны осям OZ и OY.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по начертательной геометрии заказать готовую онлайн

 

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими.

В зависимости от того, к какой плоскости проекций прямая перпендикулярна, различают горизонтально-, фронтально и профильно-проецирующие прямые. Главный признак проецирующих прямых на эпюре – на одной из проекций прямая «вырождается» в точку.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по начертательной геометрии расчетно графическая работа

 

 

Построение следов прямой

Следами прямой называют точки пересечения прямой с плоскостями проекций. На пространственном макете представлены построения следов и их проекций. Различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

На эпюре представлено построение проекций горизонтального и фронтального следов прямой.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по начертательной геометрии с решением

 

 

Определение октантов, через которые проходит прямая

В точках следов прямая переходит из одного октанта в другой. Номера октантов можно определить по знакам координат прямой на участках прямой между следами и за их пределами.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Метод прямоугольного треугольника

Метод прямоугольного треугольника применяется для определения натуральной величины прямой и углов наклона ее к плоскостям проекций. Если на проекции прямой, например, горизонтальной, построить прямоугольный треугольник, одним катетом которого является сама проекция, а другим – разность аппликат концов прямой, то гипотенуза будет натуральной величиной (НВ) прямой.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если прямоугольный треугольник строится на горизонтальной проекции прямой, то одновременно с построением НВ прямой можно определить угол наклона прямой к горизонтальной плоскости проекций.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если прямоугольный треугольник строится на фронтальной проекции, то на катете откладывают разность ординат; если

  • – на профильной, то – разность абсцисс. В первом случае дополнительно определяется угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций, во втором – угол наклона прямой к профильной плоскости проекций.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Теорема Фалеса и ее применение для решения задач

Из элементарной геометрии известна теорема Фалеса: если на одной стороне угла отложить равные или пропорциональные отрезки и через засечки провести параллельные прямые, то и другая сторона угла разделится на равные или пропорциональные отрезки

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Задача: разделить проекции прямой АВ в отношении 2:4, предварительно построив недостающую профильную проекцию.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Используя свойства эпюра Монжа, строим профильную проекцию прямой, для чего отклады-ваем от оси OZ ординаты, замеренные на горизонтальной проекции прямой. Далее на любой проекции прямой, например на горизонтальной, проводим произвольную вспомогательную прямую m.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

  • Откладываем на вспомогательной прямой 6 равных отрезков произвольной длины. Конец последнего отрезка соединяем с точкой В/. На вспомогательной прямой берем точку F0 и из нее параллельно отрезку В0В/ проводим линию связи, которая делит А/В/, а затем и другие проекции в заданном отношении.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

Определение видимости скрещивающихся прямых

При рассмотрении пространственного чертежа двух скрещивающихся прямых можно сделать

вывод: на горизонтальной проекции будет видна та прямая, которая имеет бульшую аппликату в конкурирующем месте. На фронтальной проекции будет видна та прямая, которая имеет бульшую ординату. На профильной проекции будет видна прямая, имеющая бульшую абсциссу.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Для определения видимости прямых на проекциях необходимо:

  • - отметить конкурирующее место;
  • - провести через него линию связи;
  • - вдоль линии связи сравнить аппликаты скрещивающихся прямых, если определяется видимость на горизонтальной проекции;
  • - на рассматриваемой проекции будет видна та прямая, у которой больше аппликата (АВ).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

На фронтальной проекции будет видна также прямая АВ, так как в конкурирующем месте у нее больше ордината. Метод определения видимости скрещивающихся прямых получил название метод конкурирующих точек, или метод конкурирующих прямых.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Теорема прямого угла

Прямой угол может быть спроецирован в натуральную величину, если его плоскость будет параллельна плоскости проекций. Однако в соответствии с теоремой прямой угол также проецируется без искажения, если один из его катетов параллелен плоскости проекций.

Эта теорема получила название теоремы прямого угла и широко используется в геометрических задачах.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

На эпюре показано использование теоремы прямого угла для построения проекций двух пересекающихся перпендикулярных прямых, одна из которых является фронталью.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Теорема прямого угла распространяется не только на пересекающиеся перпендикулярные прямые, но и на скрещивающиеся перпендикулярные прямые.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Плоскости общего и частного положения

Плоскость общего положения – это плоскость, не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Признак плоскости общего положения на эпюре – ни одна проекция плоскости (ни один след) не параллельна, не перпендикулярна осям проекций и ни на одной проекции плоскость не «выродилась» в прямую.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Плоскости, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называются плоскостями частного положения. Горизонтальная плоскость параллельна плоскости H. Главный признак плоскости на эпюре – фронтальная проекция «вырождается» в линию, параллельную оси ОХ.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Фронтальная плоскость параллельна плоскости V. На эпюре ее горизонтальная проекция «вырождается» в линию, параллельную ОХ. Следы горизонтальной и фронтальной плоскостей параллельны оси ОХ.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций, называются проецирующими. По аналогии с прямой различают горизонтально-, фронтально- и профильно-проецирующие плоскости. Главный признак проецирующих плоскостей на эпюре – на одной из проекций плоскость «вырождается» в линию. Проецирующие следы перпендикулярны соответствующим осям.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Проведение в плоскости горизонтали и фронтали

Горизонталь и фронталь, проведенные в заданной плоскости, называются главными линиями плоскости. Построение горизонтали начинается с фронтальной проекции, так как она всегда проводится параллельно оси ОХ из любой точки плоскости. На эпюре дано построение проекций горизонтали в плоскостях, заданных фигурой и следами.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проведение фронтали в плоскости начинается с горизонтальной проекции, так как она всегда параллельна оси ОХ.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Линии наибольшего наклона (ЛНН) плоскости

Различают линии наибольшего наклона плоскости к плоскости Н и к плоскости V. Первая линия проводится перпендикулярно горизонтали или горизонтальному следу, вторая – фронтали или фронтальному следу. Линии наибольшего наклона используются для определения углов наклона плоскости к плоскостям проекций.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Угол между плоскостью и плоскостью проекций

Угол между плоскостью и плоскостью проекций является двугранным углом. С помощью линий наибольшего наклона его можно заменить линейным плоским углом, численно равным двугранному. В задаче требуется определить угол между плоскостями ABC и H.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Для того, чтобы определить заданный угол, необходимо в плоскости треугольника провести линию наибольшего наклона к плоскости Н. Так как она проводится перпендикулярно горизонтали, то проведем в плоскости треугольника проекции горизонтали.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Используя горизонталь, проведем

проекции линии наибольшего наклона плоскости треугольника к плоскости проекций Н. Построение линии наибольшего наклона начинаем с горизонтальной проекции.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Линия наибольшего наклона АО определяет искомый двугранный угол. Угол наклона линии АО к плоскости H определяем методом прямоугольного треугольника, построив его на горизонтальной проекции линии АО.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Позиционные задачи на принадлежность

Задачи на принадлежность:

  • - точка принадлежит прямой;
  • - точка принадлежит плоскости;
  • - прямая принадлежит плоскости;
  • - точка принадлежит поверхности. Если точка принадлежит прямой, то проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой этой плоскости.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие этой плоскости.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если прямая принадлежит плоскости, то следы прямой находятся на одноименных следах плоскости.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит любой прямой или кривой линии, принадлежащей поверхности.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Проведение через прямую вспомогательных плоскостей

Вспомогательные плоскости широко используются при решении задач. В качестве таких плоскостей чаще всего используют проецирующие плоскости. След проецирующей плоскости, который не перпендикулярен оси ОХ, называется собирательным, так как он «собирает» на себя все объекты, находящиеся в плоскости. На эпюрах представлено проведение через прямую АВ фронтально-проецирующей и горизонтально-проецирующей плоскостей.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проведение через прямую плоскостей общего положения сложнее, чем проведение плоскостей частного положения. Чаще всего для решения задачи используют следы прямой, через которые проводят следы плоскости. На эпюре дано решение задачи с помощью следов.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

После нахождения следов прямой проводим через горизонтальный след прямой горизонтальный след плоскости, а через фронтальный след прямой – фронтальный след плоскости. Точку схода следов задаем произвольно.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

Пересечение прямой с плоскостью

Задана плоскость общего положения Q. Требуется найти точку пересечения (или точку встречи)

прямой АВ с плоскостью.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проводим через прямую вспомогательную плоскость Р. В качестве вспомогательной плоскости наиболее целесообразно взять проецирующую плоскость, т.е. перпендикулярную какой-либо плоскости проекций.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим линию пересечения заданной плоскости Q и вспомогательной плоскости Р. Линия пересечения плоскостей (1-2).

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Продолжаем заданную прямую АВ до пересечения с линией (1-2) и получаем точку К. Точка К – искомая. После построения точки К необходимо определить видимость прямой АВ относительно плоскости Q, которая считается геометрически непрозрачной.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Позиционные задачи на пересечение плоскостей

Если пересекающиеся плоскости заданы различными способами, например, плоской фигурой и параллельными прямыми, то построение и пересечения наиболее целесообразно производить

методом вспомогательных плоскостей:

  • - пересекают обе плоскости вспомогательной плоскостью частного положения;
  • - строят линии пересечения обеих плоскостей с вспомогательной плоскостью;
  • - находят общую точку линий пересечения;
  • - повторяют построения с другой вспомогательной плоскостью;
  • - полученные две общие точки соединяют прямой линией, которая является искомой.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии Заказать чертежи по начертательной геометрии

На эпюре представлено решение задачи методом вспомогательных плоскостей.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если обе пересекающиеся плоскости заданы следами, то задача решается с использованием правила: линия пересечения плоскостей, заданных следами, определяется проекциями точек пересечения одноименных следов плоскостей.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Пересечение плоскостей, заданных плоскими фигурами

При пересечении двух плоскостей, заданных плоскими фигурами, возможны два случая: полное и неполное пересечение. Из показанных иа рисунке примеров видно, что в обоих случаях линия пересечения MN определяется двумя точками М и N, каждая из которых является точкой встречи стороны одного треугольника с плоскостью другого. Кроме того, линия пересечения MN может быть построена и с помощью точек А и В. Отсюда следует вывод: для того, чтобы построить линию пересечения, необходимо решить две произвольно взятые задачи на пересечение сторон одного треугольника с плоскостью другого. Эти задачи – типовые.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

На эпюре представлено решение задачи на пересечение треугольников ABC и EDK. Решены две задачи на пересечение ED и EК с треугольником ABC. Полученные точки М и N определяют линию пересечения треугольников. Видимость проекций треугольников определена методом конкурирующих прямых (см. «Определение видимости скрещивающихся прямых»).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Определение видимости пересекающихся объектов

Видимость пресекающихся объектов определяется методом конкурирующих прямых (точек). Если одним из пересекающихся объектов является плоскость или поверхность, то они считаются геометрически непрозрачными. В точке встречи прямой с плоскостью видимость меняется. На эпюре представлено пересечение прямой с плоскостью. Отметим на горизонтальной проекции любое конкурирующее место. В данном месте скрещиваются АВ и ЕК. Проводим линию связи и сравниваем аппликаты АВ и ЕК. У АВ аппликата больше, она будет видна. Видимость на фронтальной проекции определяется аналогично, но сравниваются ординаты.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Видимость двух пересекающихся треугольников определяется аналогично. Отметим на фронтальной проекции конкурирующее место: ВС скрещивается с ED. Проводим линию связи и вдоль нее сравниваем ординаты конкурирующих прямых.

Ордината ED больше, значит, она будет видна на фронтальной проекции. Но в точке N ее видимость изменится. На горизонтальной проекции отметим, например, место, где скрещиваются ЕК и АВ. Сравним их аппликаты. Аппликата АВ больше, и она будет видна в данном месте.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Позиционные задачи на параллельность Если две прямые общего положения параллельны, то их одноименные проекции взаимно параллельны. Однако если параллельные прямые являются профильными прямыми, то их параллельность надо проверить на профильной проекции.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости взаимно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости. На эпюре через точку К проведена плоскость, параллельная заданной.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если две параллельные плоскости заданы следами, то одноименные следы этих плоскостей взаимно параллельны.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Проведение перпендикуляра к плоскости

Из элементарной геометрии известно: прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, принадлежащим этой плоскости.

В качестве таких прямых наиболее целесообразно взять горизонталь и фронталь.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проекции перпендикуляра к плоскости проводятся следующим образом: горизонтальная проекция перпендикуляра

  • – перпендикулярно h/ или РH, фронтальная проекция
  • – перпендикулярно f// или РV.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если на плоскость опускают перпендикуляр или восстанавливают его из плоскости, то такая задача называется прямой задачей.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если к прямой проводят плоскость, перпендикулярную заданной прямой, то такая задача называется обратной задачей. Она решается по тому же алгоритму, что и прямая задача.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Определение расстояния от точки до плоскости

Требуется определить расстояние от точки до плоскости. Обший план решения задачи:

  • - опускаем из точки перпендикуляр на плоскость;
  • - находим точку встречи его с плоскостью;
  • - определяем натуральную величину расстояния.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Для того, чтобы опустить перпендикуляр на плоскость, проводим в ней горизонталь и фронталь. Далее из заданной точки проводим проекции перпендикуляра к плоскости согласно алгоритму перпендикулярности.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим точку встречи перпендикуляра с плоскостью. Это типовая задача о пересечении прямой с плоскостью (см. разд. «Пересечение прямой с плоскостью»).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Методом прямоугольного треугольника на любой из проекций перпендикуляра определяем натуральную величину расстояния от точки до плоскости.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Восстановление перпендикуляра заданной длины

Требуется восстановить из плоскости перпендикуляр длиной 15 мм. Общий план решения:

  • - из любой точки плоскости восстанавливаем перпендикуляр;
  • - ограничиваем перпендикуляр в любой точке и определяем НВ полученного отрезка;
  • - на натуральной величине отрезка отмеряем длину 15 мм и возвращаем ее на проекции.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

В плоскости треугольника проводим горизонталь и фронталь для того, чтобы восстановить из плоскости перпендикуляр и построить его проекции.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Ограничиваем перпендикуляр в произвольной точке М и определяем методом прямоугольного

треугольника натуральную величину ограниченного отрезка перпендикуляра. Отмеряем на натуральной величине 15 мм и полученную точку K возвращаем на проекции перпендикуляра.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Определение расстояния от точки до прямой

Требуется определить расстояние от точки до прямой. Общий план решения задачи:

  • - через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную за данной прямой;
  • - находим точку встречи прямой с плоскостью;
  • - определяем натуральную величину расстояния.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Через заданную точку проводим плоскость, перпендикулярную прямой АВ. Плоскость задаем пересекающимися горизонталью и фронталью, проекции которых строим согласно алгоритму перпендикулярности (обратная задача)

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим точку встречи прямой АВ с плоскостью. Это типовая задача о пересечении прямой с плоскостью (см. разд. «Пересечение прямой с плоскостью»).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Найденную точку соединяем с заданной точкой. Методом прямоугольного треугольника определяем натуральную величину отрезка между двумя точками, что является искомым расстоянием от заданной точки до заданной прямой.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Перпендикулярность плоскостей

Плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости. Поэтому для проведения плоскости, перпендикулярной другой плоскости, необходимо сначала провести перпендикуляр к плоскости, а затем через него провести искомую плоскость. На эпюре плоскость задана двумя пересекающимися прямыми, одна из которых перпендикулярна плоскости ABC.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если плоскости заданы следами, то возможны следующие случаи:

- если две перпендикулярные плоскости являются проецирующими, то их собирательные следы взаимно перпендикулярны;

Заказать чертежи по начертательной геометрии

- плоскость общего положения и проецирующая плоскость перпендикулярны, ссли собирательный след проецирующей плоскости перпендикулярен одноименному слсду плоскости общего положения;

Заказать чертежи по начертательной геометрии

- если одноименные следы двух плоскостей общего положения перпендикулярны, то плоскости не перпендикулярны друг другу.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Метод замены плоскостей проекций

Метод замены плоскостей проекций заключается в том, что плоскости проекций заменяются другими плоскостями так, чтобы геометрический объект в новой системе плоскостей проекций стал занимать частное положение, что позволяет упростить решение задач. На пространственном макете показана замена плоскости V на новую V1. Показано также проецирование точки А на исходные плоскости проекций и новую плоскость проекций V1. При замене плоскостей проекций ортогональность системы сохраняется.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Преобразуем пространственный макет в плоскостной путем поворота плоскостей по стрелкам. Получим три плоскости проекций, совмещенные в одну плоскость.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Затем удалим плоскости проекций и оставим только проекции точки. Из эпюра точки следует правило: при замене V на V1 для того, чтобы построить новую фронтальную проекцию точки, необходимо от новой оси отложить аппликату точки, взятую из предыдущей системы плоскостей проекций. Аналогично можно доказать, что при замене Н на Н1 необходимо отложить ординату точки.Заказать чертежи по начертательной геометрии

Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций

Первая типовая задача метода замены плоскостей проекций – это преобразование прямой общего положения сначала в линию уровня, а затем в проецирующую прямую. Эта задача является одной из основных, так как применяется при решении других задач, например, при определении расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, при определении двугранного угла и т.д.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Производим замену V → V1. Новую ось проводим параллельно горизонтальной проекции. Строим новую фронтальную проекцию прямой, для чего от новой оси откладываем аппликаты точек. Новая фронтальная проекция прямой является НВ прямой. Сама прямая становится фронталью. Определяется угол α°.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Производим замену Н → Н1. Новую ось проводим перпендикулярно фронтальной проекции прямой. Строим новую горизонтальную проекцию прямой, для чего от новой оси откладываем ординаты прямой, взятые из предыдущей системы плоскостей проекций. Прямая становится горизонтально-проецирующей прямой и «вырождается» в точку.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Вторая типовая задача метода замены плоскостей проекций

Вторая типовая задача метода замены плоскостей проекций – это преобразование плоскости общего положения сначала в проецирующую, а затем в плоскость уровня. Эта задача является одной из основных задач, так как широко применяется при определении натуральной величины плоских фигур, углов и сечений поверхностей.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проводим в плоскости горизонталь. Производим замену V → V1. Новую ось проводим перпендикулярно h/. Строим новую фронтальную проекцию плоскости, для чего от новой оси откладываем аппликаты точек. Новая фронтальная проекция плоскости «вырождается» в прямую, так как плоскость стала фронтально-проецирующей.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Производим замену Н → Н1. Новую ось проводим параллельно фронтальной проекции плоскости. Строим новую горизонтальную проекцию плоскости, для чего откладываем ординаты точек, взятые из предыдущей системы плоскостей проекций. Плоскость становится горизонтальной плоскостью и на H1 проецируется в натуральную величину.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Параметры вращения и методы преобразования эпюра вращением

При вращении геометрического объекта, например точки, можно выделить следующие параметры вращения, которые определяют все геометрические построения:

  • - объект вращения (как правило, в качестве объектов вращения берут точки);
  • - ось вращения (проецирующая прямая, линия уровня, следы плоскости);
  • - плоскость вращения (ее располагают перпендикулярно оси вращения);
  • - центр вращения точки (он находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения);
  • - радиус вращения (расстояние между объектом и центром вращения);

- траектория вращения точки (окружность, совпадающая с плоскостью вращения). Основное правило вращения: конечное положение точки после вращения определится, если от центра вращения вдоль плоскости вращения отложить радиус вращения в НВ.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Метод вращения вокруг проецирующей оси

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Метод вращения вокруг горизонтали или фронтали

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Метод вращения вокруг следов плоскости

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Метод вращения вокруг проецирующих осей заключается в том, что объект вращают до тех пор, пока он не займет частное положение. На пространственном макете показано вращение точки вокруг горизонтально-проецирующей прямой. Плоскость вращения при этом будет являться горизонтальной плоскостью. Натуральную величину радиуса вращения точки определять не надо, так как он на горизонтальной проекции отображен в натуральной величине. Горизонтальная проекция точки будет перемещаться по окружности, фронтальная проекция – по прямой линии, параллельной оси ОХ. При вращении вокруг фронтально-проецирующей оси перемещения будут противоположными.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Требуется определить натуральную величину прямой АВ. Через любую точку прямой АВ проводим, например, горизонтально-проецирующую ось i. На фронтальной проекции проводим плоскость вращения точки А перпендикулярно оси

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим центр вращения О. Радиусом О/ А/ из точки О/ проводим дугу окружности до тех пор, пока прямая АВ не займет положение фронтали. Тогда на фронтальной проекции определится НВ прямой и угол ее наклона к плоскости Н.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

Метод вращения вокруг линий уровня

Линиями уровня называют горизонталь, фронталъ и профильную прямую. Метод вращения вокруг линий уровня заключается в том, что в плоскости проводят h или f, берут их за ось и вращают плоскость до тех пор, пока она не займет частное положение относительно плоскостей проекций, например, параллельное какой-либо плоскости. Конечное положение точки после вращения определится, если от центра вращения вдоль плоскости вращения отложить радиус вращения в натуральной величине. Метод чаще всего применяют для определения натуральной величины плоских фигур. Рассмотрим решение задачи на определение натуральной величины треугольника.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проводим в плоскости ABC горизонталь. Определяем объекты вращения – точки В и С. Точка А находится на оси и будет неподвижной. На горизонтальной проекции через точки В и С проводим плоскости вращения перпендикулярно h/. Найдем центр вращения точки В. Определим НВ RB. Найдем положение точки В после вращения.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Положение точки С после вращения можно определить аналогично. Но можно и так: соединим новую точку В/ с точкой 1/1 и на продолжении этой прямой с плоскостью вращения точки С найдем новое положение точки С/1.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Метод вращения плоскости вокруг следов и способы построения совмещенного следа

Метод вращения вокруг следов чаще называют методом совмещения. Он заключается в том, что плоскость вместе с находящимися в ней геометрическими объектами вращают вокруг какого-либо следа до совмещения с плоскостью проекций. После совмещения объект отображается на плоскости проекций в натуральной величине. Метод совмещения, как метод вращения, также подчиняется всем законам вращения. Главным вопросом метода совмещения является вопрос построения совмещенного следа.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Пусть осью вращения является след QH. В первом способе построения совмещенного следа на следе, который вращается, возьмем любую точку А и найдем ее горизонтальную проекцию, через которую проведем плоскость вращения. Известным способом найдем совмещенное положение точки АС/, а затем QVC.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Во втором способе построения также берем точку А на фронтальном следе. Через точку А/ проводим плоскость вращения. Циркулем замеряем расстояние QXA// и проводим дугу. На пересечении с плоскостью вращения находим точку А/C.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Методика решения задач способом совмещения

Задача: построить проекции равностороннего треугольника, принадлежащего плоскости Q, если задана фронтальная проекция его стороны. Задачу решить способом совмещения путем вращения вокруг горизонтального следа плоскости.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Сначала находим горизонтальные проекции точек А и В. Точка А лежит на фронтальном следе, значит, А/ будет лежать на оси ОХ. Точку В/ находим с помощью горизонтали. Вторым способом строим совмещенный фронтальный след.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим совмещенное положение точки В. Для этого точку 1// горизонтали дугой переводим на совмещенный след и строим новое положение горизонтали. Через точку В/ проводим плоскость вращения и на пересечении с новым положением горизонтали находим совмещенное положение точки В. Точки А и В в совмещенном положении соединяем. Получаем НВАВ. На ней строим равносторонний треугольник АВС. Через полученную совмещенную точку С проводим горизонталь и плоскость вращения и «обратным ходом» возвращаем ее на проекции

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

Метод плоско-параллельного перемещения (ППП)

Плоско-параллельное перемещение – это вид механического движения, при котором все точки объекта перемещаются в плоскостях, параллельных какой-либо плоскости проекций. При ППП(Н) горизонтальная проекция объекта меняет свое положение, но не меняет своей конфигурации. Фронтальная проекция меняет свою конфигурацию, причем проекции точек перемещаются по прямым линиям, параллельным оси ОХ. При ППП(V) наблюдается обратная картина. Задача: построить натуральную величину плоского угла ABC.

План решения:

  • – методом ППП(Н) переведем плоскость угла во фронтально проецирующее положение;
  • – методом ППП(V) преобразуем плоскость угла в горизонтальную плоскость.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Для того, чтобы плоскость угла стала фронтально-проецирующей, она должна содержать прямую, перпендикулярную V. В качестве такой прямой возьмем горизонталь и повернем угол так, чтобы линия h/ стала перпендикулярна OX.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

На фронтальной проекции угол «выродился» в прямую. Переместим прямую в горизонтальное положение. На горизонтальной проекции получим натуральную величину угла.

 

 

Определение угла между прямой и плоскостью

Наиболее эффективным методом определения угла между прямой и плоскостью является метод дополнительного угла. Дополнительным углом называется угол между прямой и перпендикуляром, опущенным из любой точки прямой на плоскость. Искомый и дополнительный углы связаны формулой, которая реализуется графически.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Требуется определить угол между прямой и плоскостью, заданной следами. Из любой точки прямой, например В, опустим перпендикуляр на заданную плоскость. Проекции перпендикуляра проводятся перпендикулярно следам плоскости. Между проекциями прямой и проекциями перпендикуляра образуются проекции дополнительного угла.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Определим натуральную величину дополнительного угла методом вращения вокруг горизонтали. Объектом вращения будет вершина В угла. Проводим через В/ плоскость вращения, находим центр вращения О, определяем натуральную величину радиуса вращения Rв и откладываем его вдоль плоскости вращения. Графически находим искомый угол.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Определение угла между плоскостями

Наиболее эффективным методом определения угла между двумя плоскостями является метод дополнительного угла. Дополнительным углом называется угол между двумя перпендикулярами, опущенными из любой точки на обе плоскости. Искомый и дополнительный углы связаны формулой, которая реализуется графически.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Требуется определить угол между двумя плоскостями. Из любой точки между плоскостями, например В, опустим перпендикуляры на заданные плоскости. Проекции перпендикуляров проводим согласно алгоритму перпендикулярности. Между проекциями перпендикуляров образуются проекции дополнительного угла.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Определим натуральную величину дополнительного угла методом вращения вокруг горизонтали. Объектом вращения будет вершина В угла. Проводим через В/ плоскость вращения, находим центр вращения О, определяем натуральную величину радиуса вращения Rв и откладываем его вдоль плоскости вращения. Графически находим искомый угол.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Методы построения сечений многогранников

Разработано два метода построения сечений многогранников – метод ребер и метод граней. В методе ребер находят точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, т.е. несколько раз решают типовую задачу о пересечении прямой с плоскостью. В методе граней находят линии пересечения граней многогранника с плоскостью, т.е. решают типовую задачу о пересечении плоскостей.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Рассмотрим пересечение пирамиды фронтально-проецирующей плоскостью. Решаем задачу методом ребер. Так как секущая плоскость фронтально-проецирующая, то на фронтальной проекции точки пересечения определяются без построений. По линиям связи находим горизонтальные проекции точек, соединив которые получим сечение.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Если секущая плоскость является плоскостью общего положения, то задача усложняется. При построении точек сечения проводим через ребра вспомогательные плоскости частного положения, находим линии пересечения заданной и вспомогательной плоскостей и на пересечении ребер с линиями пересечения находим искомые точки.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение разверток многогранников

При построении разверток многогранников используют два метода: метод раскатки и метод нормального сечения. Наиболее распространен первый метод. Метод раскатки заключается в том, что многогранник условно разрезают по ребрам и «раскатывают» грани в одну плоскость.

Рассмотрим построение развертки пирамиды.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Требуется построить развертку и указать на ней точки К и М, лежащие на поверхности пирамиды. Сначала определяем натуральную величину ребер методом вращения вокруг оси i. Проекции точки К находим с помощью вспомогательной прямой.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Далее на свободном поле чертежа строим основание пирамиды. К основанию пристраиваем боковые грани пирамиды. Точку К на развертке строим с помощью вспомогательной прямой. Все построения проводятся с помощью циркуля.

Построение проекций особых точек на поверхности

Особые (характерные) точки

– это точки, лежащие на образующих поверхности, основаниях, и точки, совпадающие с осями. При построении проекций характерных точек используется одно из свойств эпюра Монжа : АХА/ = AZA///.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение промежуточных точек на поверхности

Промежуточные точки занимают общее положение на поверхности. Их построение связано с определенными трудностями. Имеется два способа построения проекций промежуточных точек: способ образующих и метод секущих вспомогательных плоскостей. Первый метод заключается в том, что через проекцию точки проводят образующую линию (прямую), строят ее проекции и на них находят проекции точки. По второму способу через точку проводят вспомогательную плоскость, строят сечение поверхности вспомогательной плоскостью и на контуре сечения находят проекцию промежуточной точки. Третью проекцию строят с помощью упомянутого свойства эпюра Монжа. В качестве вспомогательных плоскостей применяют плоскости, которые образуют простые сечения поверхностей.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

 

Конические, цилиндрические и сферические сечения

Прямой круговой конус является поверхностью, имеющей большое количество разнообразных сечений. Если секущая плоскость перпендикулярна оси, то в сечении образуется окружность. Если секущая плоскость наклонна к оси и пересекает обе образующие, то в сечении будет эллипс. При пересечении конуса плоскостью, параллельной оси, в сечении получается гипербола. Парабола образуется в сечении конуса, если секущая плоскость параллельна образующей. Если плоскость проходит через вершину, то сечением конуса является треуголь-ник. Плоскости, образующие в сечении конуса наиболее простые фигуры (окружность известного радиуса и треугольник), при решении различных геометрических задач используются в качестве вспомогательных.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

В сечении прямого кругового цилиндра образуется окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра. Если секущая плоскость не перпендикулярна оси, то в сечении будет эллипс. В сечении цилиндра образуется прямоугольник, если плоскость параллельна оси.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Всякое сечение сферы есть окружность, если направление проецирования перпендикулярно плоскости сечения, и эллипс, если это условие не соблюдается.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение сечений поверхностей плоскостями частного положения

Поверхность может быть рассечена плоскостями частного и общего положения. Наиболее эффективным методом построения сечений поверхностей является метод секущих вспомогательных плоскостей. Он включает в себя ряд последовательных логических действий.

Рассмотрим пример построения сечения конуса плоскостью частного положения.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим характерные точки и строим их проекции. Характерными точками являются точки, в которых секущая плоскость пересекает оси, очерковые образующие, основания. В данном примере это точки 1, 2 и 3. Проекции этих точек строим с использованием свойства эпюра Монжа: АXА/ = АZА///.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Далее на секущей плоскости назначаем произвольные промежуточные точки 4, 5. Строим проекции точки 4. Проводим через нее горизонтальную вспомогательную плоскость. На горизонтальной проекции поверхности строим сечение конуса – окружность R. На пересечении линии связи с контуром окружности находим точки 4//. Проекции точки 5 строим аналогично.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение сечений поверхностей плоскостями общего положения

Рассмотрим построение сечения конуса плоскостью общего положения. Характерными точками являются точки 1, 8, в которых след пересекает окружность основания конуса, так как они лежат в одной плоскости Н. Наивысшую точку сечения найдем с помощью вспомогательной плоскости Q, проходящей через вершину конуса. В сечении конуса плоскостью Q будет треугольник. Построим линию пересечения заданной плоскости и плоскости Q. На пересечении этих элементов найдем высшую точку 4.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Точку касания линии сечения с очерковой образующей найдем аналогично с помощью вспомогательной плоскости Р

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Промежуточные точки 2, 3, 6 и 7 найдем методом секущих вспомогательных плоскостей, в качестве которых используем горизонтальные плоскости. Полученные точки соединяем плавной линией.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

Пересечение прямой с поверхностью (общий метод)

Задана поверхность Ф. Требуется найти точки пересечения (или точки встречи) прямой АВ с поверхностью.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проводим через прямую вспомогательную плоскость Р. В качестве вспомогательной плоскости наиболее целесообразно взять такую плоскость общего или частного положения, которая в сечении поверхности образовывала бы наиболее простые фигуры, например, многоугольник или окружность.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Строим сечение поверхности вспомогательной плоскостью Р.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Находим общие точки заданной прямой и контура построенного сечения. Полученные точки М и N являются искомыми.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

 

Пересечение прямой с поверхностью методом преобразования эпюра

При решении задач на пересечение прямой с поверхностью в некоторых случаях целесообразно использовать методы преобразования с тем, чтобы перевести прямую общего положения в частную, что позволяет упростить решение задач. Этот прием эффективен, если поверхностью является, например, сфера. Рассмотрим пересечение прямой общего положения со сферой.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Решим задачу методом перемены плоскостей проекций. Произведем замену V→V1. Новую ось расположим параллельно горизонтальной проекции прямой. Во второй системе плоскостей проекций прямая занимает положение фронтали.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Проводим через прямую вспомогательную плоскость. Затем построим сечение сферы вспомогательной плоскостью. В сечении будет окружность радиуса R. Полученные точки встречи прямой с поверхностью возвращаем на исходные проекции.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение линий пересечения поверхностей методом секущих вспомогательных плоскостей

Одной из основных и актуальных задач начертательной геометрии является задача построения линий пересечения поверхностей. Линия пересечения (ЛП) поверхностей – это линия, общая для обеих поверхностей. Наиболее распространенным и универсальным способом построения ЛП является метод секущих вспомогательных плоскостей. На рисунке показаны виды пересечений.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Пусть пересекаются две поверхности Ф1 и Ф2. Сначала находим характерные точки. Такими точками считаются точки пересечения образующих линий (точки 1, 2). Затем пересекаем обе поверхности вспомогательной плоскостью. В качестве вспомогательных плоскостей берут плоскости, которые образуют простые сечения поверхностей. Строим сечения обеих поверхностей.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Далее находим общие точки построенных сечений (точки 3, 4). Повторяем описанные построения с другой вспомогательной плоскостью (3-5 раз). Полученные точки соединяем плавной линией с учетом видимости участков этой линии.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение линий пересечения поверхностей методом секущих концентрических сфер

Метод концентрических сфер базируется на частном случае пересечения поверхностей: соосные со сферой тела вращения пересекаются по окружностям, фронтальные проекции которых «вырождаются» в прямые линии.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Рассмотрим метод на примере пересечения двух цилиндров. Сначала определяем характерные точки 1. Далее в месте пересечения осей находим центр сфер О. Из центра О проводим нормали N1 и N2, максимальную нормаль берем за минимальный радиус сфер. Проводим сферу минимального радиуса, находим линии пересечения ее с цилиндрами и в месте их пересечения –точку 3

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Повторяем описанные построения, используя сферы большего радиуса. В результате построений получаем промежуточные точки 2, 4. Полученные точки соединяем плавной линией.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

 

Теорема Монжа и ее использование для построения линий пересечения поверхностей

Если две поверхности второго порядка описаны вокруг одной и той же сферы, то они пересекаются по кривым линиям второго порядка, фронтальная проекция которых «вырождается» в прямые линии, соединяющие противоположные характерные точки. Характерными точками являются точки пересечения образующих линий

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Пересекаются цилиндр и конус. Обе поверхности описаны вокруг одной и той же сферы. Следовательно, на фронтальной проекции линии пересечения «вырождаются» в прямые линии. Находим характерные точки поверхностей и соединяем их прямыми линиями.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Далее находим характерные точки на прямых линиях пересечения и строим их горизонтальные проекции. Промежуточные точки строим методом секущих вспомогательных плоскостей, подчинив их одной из поверхностей, например, конусу. Полученные точки соединяем плавными линиями.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Построение разверток кривых поверхностей

Вce поверхности делятся на развертывемые и неразвертываемые. Развертка поверхности –это геометрически закономерное преобразование поверхности в плоскость. Все многогранники и линейчатые поверхности являются развертываемыми. Нелинейчатые поверхности, как правило, неразвертываемые. Основным способом построения разверток является способ раскатки. На рисунке показаны развертки конуса и цилиндра.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Рассмотрим построение развертки усеченного конуса. Известно, что конус развертывается в сектор окружности с радиусом, равным длине образующей. Угол сектора определяется по формуле (см. рисунок). Разделим основание на восемь частей. Отметим точки пересечения образующих с сечением. Каждую точку сносим на НВ образующей.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Строим сектор развертки, делим окружность сектора на восемь частей. На каждую образующую на развертке наносим точки сечения, замеряя на эпюре НВ расстояния от вершины конуса до каждой точки. Полученные точки соединяем плавной линией.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Неразвертываемые поверхности могут быть развернуты условно-приближенно путем аппроксимации (замены) неразвертываемых поверхностей развертываемыми поверхностями. Для этого исходную поверхность делят на отсеки (см. рисунок) и участки неразвертываемой поверхности заменяют развертываемыми поверхностями (цилиндрическими, коническими или плоскостями).

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

 

Рассмотрим построение развертки поверхности тора. Делим поверхность тора на отсеки.

Выделим один отсек и заменим участок торовой поверхности цилиндрической. В этом случае поверхность отсека можно развернуть.

Заказать чертежи по начертательной геометрии

Строим развертку поверхности отсека. Построения ясны из чертежа. Полная развертка тора будет состоять из нескольких разверток отсеков в зависимости от их количества.

 

Заказать чертежи по начертательной геометрии