Задачи с двутавром

Содержание:

1. Пример задачи с решением

Пример задачи с решением

Для балки из стали нагруженной, как показано на рис. 1:

1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;
2. подобрать сечение из прокатного двутавра, используя условия прочности по нормальным и касательным напряжениям;
3. построить для сечения эпюры нормальных и касательных напряжений;
4. в точке сечения исследовать напряженное состояние аналитическим способом:

а) найти положение главных площадок и значения напряжений, действующих на этих площадках;

б) определить положение площадок, где действуют и значения напряжений на этих площадках.

При расчете принять: коэффициент надежности по нагрузке

коэффициент условий работы

расчетное сопротивление изгибу

расчетное сопротивление сдвигу

нормативная нагрузка

Решение:

Определим опорные реакции из уравнений равновесия:

Отсюда

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

После определения реакций следует обязательно проверить правильность их вычисления, составив уравнение равновесия:

Следовательно, реакции найдены, верно.

• В соответствии с характером нагружения разобьем балку на три участка (рис. 1). Для каждого участка составим выражения применяя метод сечений (оставшиеся части балок показаны на рис. 1 ,б,в,г):

участок

участок II

участок III

При помощи полученных выражений построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2).

Заметим, что на участке имеется сечение, где В этом сечении изгибающий момент достигает экстремального значения, что следует из дифференциальной зависимости . Найдем его значение.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения

Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения

Сначала определим положение этого сечения. Приравняем выражение нулю:

Подставим значение в выражение и вычислим

Определим значение расчетной нагрузки по формуле:

где: коэффициент надежности по нагрузке;

значение нормативной нагрузки.

В нашем примере

Сечение прокатной двутавровой балки подбираем из условия прочности по нормальным напряжениям

где: наибольший изгибающий момент;

момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси

- коэффициент условий работы;

расчетное сопротивление изгибу.

Заметим, что наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях балки возникают в наиболее удаленных точках от нейтральной оси которая проходит через центр тяжести сечения.

Наибольший расчетный изгибающий момент равняется (см. эпюру М - рис. 2,в)

Из условия прочности по нормальным напряжениям (2) вычислим значение минимального момента сопротивления сечения:

Из сортамента выбираем ближайший больший номер двутавра, у которого

Таким будет двутавр

геометрические характеристики:

момент инерции статический момент полусечения и размеры поперечного сечения (рис. 3): высота двутавра ширина полки толщина стенки средняя толщина полки

Проверим прочность балки из двутавра по нормальным напряжениям (2):

Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки (двутавр № 22) условию прочности по касательным напряжениям:

где: наибольшая поперечная сила;

- момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси

статический момент сдвигаемой (отсеченной) части поперечного сечения относительно нейтральной оси

ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки;

расчетное сопротивление сдвигу.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках стенки двутавра находящихся на нейтральной оси (рис. 3, а)

Определим наибольшую расчетную поперечную силу (см. эпюру - рис. 2, б)

Проверим прочность балки по касательным напряжениям (3):

Таким образом, двутавр удовлетворяет условиям прочности по нормальным и касательным напряжениям

Заметим, что в некоторых случаях, кроме указанных выше проверок прочности, необходима ещё и проверка по главным напряжениям

В балках имеются сечения, где изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают больших значений и в этих сечениях могут быть точки, в которых напряжения также будут достигать значений, мало отличающихся от максимальных. Например, в двутавровом сечении такие точки находятся в месте перехода полки в стенку (точки 3 и 4 - см. рис. 3,а); другая точка (точка 6 - см. рис. 3,а) - у наружной поверхности полки в месте её примыкания к стенке (здесь возникают максимальные нормальные напряжения и наибольшие горизонтальные касательные напряжения).

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для заданного сечения (см. рис. 2).

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения определяются по формуле:

где: изгибающий момент в рассматриваемом сечении

момент инерции сечения относительно нейтральной оси

расстояние от нейтральной оси до точки, в которой вычисляются напряжения.

Знак напряжения определяется по физическому смыслу, т.е. если, например, точка находится в растянутой части сечения (при положительном моменте растянута нижняя часть), то напряжение в этой точке принимается положительным (растяжение).

Из формулы (4) видно, что нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейной зависимости (пропорционально расстоянию Поэтому для построения эпюры в сечение достаточно вычислить значения напряжений в крайних точках 1 и 2 (рис. 3,а) этого сечения. Изгибающий момент в сечении равняется:

Нормальные напряжения в точках 1 и 2 вычисляем по формуле (4)

Эпюра нормальных напряжений изображена на рис. 3,6.

В сечениях прокатных двутавровых балок большую часть поперечной силы воспринимает стенка. Эта часть составляет

В полках двутавра действуют только горизонтальные касательные напряжения Значения этих напряжений, обычно, невелики и поэтому они не имеют практического интереса.

Вертикальные напряжения в полках довольно точно равны нулю. Они возникают в полках лишь в пределах стенки, их распределение, как и значения, которые малы, не могут быть определены методами сопротивления материалов.

Поэтому эпюра касательных напряжений строится только для стенки. Напряжения в стенке, изменяются по закону квадратной параболы.

Касательные напряжения в любой точке стенки двутаврового сечения балки вычисляются по формуле

где: поперечная сила в рассматриваемом сечении

момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси

ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки - в примере толщина стенки двутавра;

статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной оси

это часть поперечного сечения, которая располагается по одну сторону от прямой, проведенной через рассматриваемую точку и параллельной нейтральной оси

Поперечная сила в сечении равняется (рис.1 и 2):

Для построения эпюры касательных напряжений определим их значения в характерных точках (рис.3, а).

Точки 3 и 4 (в месте сопряжения полки со стенкой): статический момент для вычисления напряжений в этих точках (статический момент полки) можно определить вычитанием из статического момента полусечения двутавра (приведенного в сортаменте) статического момента половины стенки

Точка 5 (на нейтральной оси

Эпюра касательных напряжений приведена на рис.3,в.

Определим долю поперечной силы, которая воспринимается стенкой двутавра. Для этого умножим площадь эпюры состоящую из площади прямоугольника и площади квадратной параболы (на рис. 3,в они разделены пунктирной линией) на толщину стенки

что составляет от значения поперечной силы

Исследуем напряженное состояние в заданной точке сечения (рис. 2,а и 3,а). Для этого сначала выделим в окрестности этой точки элементарный параллелепипед, на гранях (площадках) которого будут действовать нормальные и касательные напряжения.

Напомним, что касательные напряжения имеют два индекса: первый, указывает с какой осью параллельна, внешняя нормаль площадки, второй - с какой осью параллелен вектор напряжения. Правило знаков для касательного напряжения: оно считается положительным, если одновременно направления внешней нормали и вектор касательного напряжения совпадают или одновременно не совпадают с направлением соответствующих координатных осей.

• Нормальные напряжения имеют один индекс, который указывает, с какой осью параллелен вектор напряжения. Правило знаков для нормального напряжения: растягивающее напряжение считается положительным, сжимающее - отрицательным.

На вертикальных площадках, совпадающих с поперечным сечением, действуют нормальные и касательные напряжения. Нормальные напряжения будут сжимающими, так как точка находится в сжатой зоне (при положительном изгибающем моменте сжата верхняя часть балки), а касательные напряжения совпадают с направлением поперечной силы (при положительной поперечной силе они стремятся повернуть элемент по ходу часовой стрелки).

На горизонтальных площадках возникают только касательные напряжения которые на основании закона парности равны напряжениям то есть (см. рис. 4).

Нормальные напряжения равняются нулю, так как принято допущение - продольные волокна не давят друг на друга.

На вертикальных площадках (в плоскости которые перпендикулярны оси нормальные и касательные напряжения равняются нулю.

Напряжения, действующие на площадках выделенного параллелепипеда, принято называть исходными.

В дальнейшем для простоты изображения будем рассматривать прямоугольный элемент, являющийся проекцией параллелепипеда на вертикальную плоскость (рис. 5).

Определим значения исходных напряжений: а) нормальных по формуле (4):

б) касательных по формуле (5):

Знак минус у напряжения принят потому, что внешняя нормаль площадки совпадает с осью а направление вектора напряжений не совпадает с осью

Значения главных напряжений вычисляются по формулам:

Тогда

Положение главных площадок определим по формулам:

где - углы наклона внешних нормалей главных площадок (векторы

Положительный угол откладывается от оси против хода часовой стрелки, а отрицательный - по ходу часовой стрелки.

Исходный элемент и элемент с главными площадками, а также векторы напряжений действующих на площадках этих элементов показаны на рис. 6.

Примем главные площадки за исходные, совместив ось координат направлением ось - с напряжением (рис.7). В этом

случае напряжения, действующие на наклонных площадках, вычисляются по формулам:

где: угол, который отсчитывается от направления напряжения

(оси при повороте осей против хода часовой стрелки угол считается положительным.

Из формулы (8) для видно, что наибольшие касательные

напряжения действуют на площадках, наклоненных к главным на угол

Вычислим значения напряжений на площадках, наклоненных на угол по формулам (8). Тогда

Нормальные напряжения равняются: (сжатие) Касательные напряжения

2 2 Заметим, что направления векторов напряжений определяются в соответствии с указанным выше правилом в повернутых осях на углы 45° - см. рис. 7.

Исходный элемент с главными площадками и элемент, на площадках которого действуют и соответствующие нормальные

напряжения показаны на рис. 7. IV ПРИЛОЖЕНИЯ

высота двутавра;

ширина полки;

толщина стенки;

средняя толщина полки; момент инерции

момент сопротивления

статический момент полусечения

радиус инерции