Задачи с двутавром

Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения

Пример задачи с решением

Для балки из стали Задачи с двутавром нагруженной, как показано на рис. 1:

1. построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов;

2. подобрать сечение из прокатного двутавра, используя условия прочности по нормальным и касательным напряжениям;

3. построить для сечения Задачи с двутавром эпюры нормальных и касательных напряжений;

4. в точке Задачи с двутавром сечения Задачи с двутавром исследовать напряженное состояние аналитическим способом:

а) найти положение главных площадок и значения напряжений, действующих на этих площадках;

б) определить положение площадок, где действуют Задачи с двутавром и значения напряжений на этих площадках.

При расчете принять: коэффициент надежности по нагрузке Задачи с двутавром

коэффициент условий работы Задачи с двутавром

расчетное сопротивление изгибу Задачи с двутавром

расчетное сопротивление сдвигу Задачи с двутавром

нормативная нагрузка Задачи с двутавром

Решение:

Определим опорные реакции Задачи с двутавром из уравнений равновесия:

Задачи с двутавром

Отсюда Задачи с двутавром

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

После определения реакций Задачи с двутавром следует обязательно проверить правильность их вычисления, составив уравнение равновесия:

Задачи с двутавром

Следовательно, реакции найдены, верно.

  • В соответствии с характером нагружения разобьем балку на три участка (рис. 1). Для каждого участка составим выражения Задачи с двутавром применяя метод сечений (оставшиеся части балок показаны на рис. 1 ,б,в,г):

Задачи с двутавром

участок Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

участок II Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

участок III Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

При помощи полученных выражений построим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов (рис. 2).
Задачи с двутавром

Заметим, что на участке Задачи с двутавром имеется сечение, где Задачи с двутавром В этом сечении изгибающий момент достигает экстремального значения, что следует из дифференциальной зависимости Задачи с двутавром. Найдем его значение.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения

Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения

Сначала определим положение этого сечения. Приравняем выражение Задачи с двутавром нулю:

Задачи с двутавром

Подставим значение Задачи с двутавром в выражение Задачи с двутавром и вычислим

Задачи с двутавром

Определим значение расчетной нагрузки по формуле:

Задачи с двутавром

где: Задачи с двутавром коэффициент надежности по нагрузке;

Задачи с двутавром значение нормативной нагрузки.

В нашем примере Задачи с двутавром

Сечение прокатной двутавровой балки подбираем из условия прочности по нормальным напряжениям

Задачи с двутавром

где: Задачи с двутавром наибольший изгибающий момент;

Задачи с двутавром момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси Задачи с двутавром

Задачи с двутавром - коэффициент условий работы;

Задачи с двутавром расчетное сопротивление изгибу.

Заметим, что наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях балки возникают в наиболее удаленных точках от нейтральной оси Задачи с двутавром которая проходит через центр тяжести сечения.

Наибольший расчетный изгибающий момент равняется (см. эпюру М - рис. 2,в)
Задачи с двутавром

Из условия прочности по нормальным напряжениям (2) вычислим значение минимального момента сопротивления сечения:

Задачи с двутавром

Из сортамента выбираем ближайший больший номер двутавра, у которого Задачи с двутавром

Таким будет двутавр Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

геометрические характеристики:

момент инерции Задачи с двутавром статический момент полусечения Задачи с двутавром и размеры поперечного сечения (рис. 3): высота двутавра Задачи с двутавром ширина полки Задачи с двутавром толщина стенки Задачи с двутавром средняя толщина полки Задачи с двутавром

Проверим прочность балки из двутавра Задачи с двутавром по нормальным напряжениям (2):

Задачи с двутавром

Определим, удовлетворяет ли принятое сечение балки (двутавр № 22) условию прочности по касательным напряжениям:

Задачи с двутавром

где: Задачи с двутавром наибольшая поперечная сила;

Задачи с двутавром - момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси Задачи с двутавром

Задачи с двутавром статический момент сдвигаемой (отсеченной) части поперечного сечения относительно нейтральной оси Задачи с двутавром

Задачи с двутавром ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки;

Задачи с двутавром расчетное сопротивление сдвигу.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках стенки двутавра находящихся на нейтральной оси Задачи с двутавром (рис. 3, а)

Определим наибольшую расчетную поперечную силу (см. эпюру Задачи с двутавром - рис. 2, б)

Задачи с двутавром

Проверим прочность балки по касательным напряжениям (3):

Задачи с двутавром

Таким образом, двутавр Задачи с двутавром удовлетворяет условиям прочности по нормальным и касательным напряжениям

Заметим, что в некоторых случаях, кроме указанных выше проверок прочности, необходима ещё и проверка по главным напряжениям

Задачи с двутавром

В балках имеются сечения, где изгибающий момент и поперечная сила одновременно достигают больших значений и в этих сечениях могут быть точки, в которых напряжения Задачи с двутавром также будут достигать значений, мало отличающихся от максимальных. Например, в двутавровом сечении такие точки находятся в месте перехода полки в стенку (точки 3 и 4 - см. рис. 3,а); другая точка (точка 6 - см. рис. 3,а) - у наружной поверхности полки в месте её примыкания к стенке (здесь возникают максимальные нормальные напряжения и наибольшие горизонтальные касательные напряжения).

Построим эпюры нормальных и касательных напряжений для заданного сечения Задачи с двутавром (см. рис. 2).

Нормальные напряжения в любой точке поперечного сечения определяются по формуле:

Задачи с двутавром

где: Задачи с двутавром изгибающий момент в рассматриваемом сечении Задачи с двутавром

Задачи с двутавром момент инерции сечения относительно нейтральной оси Задачи с двутавром

Задачи с двутавром расстояние от нейтральной оси Задачи с двутавром до точки, в которой вычисляются напряжения.

Знак напряжения определяется по физическому смыслу, т.е. если, например, точка находится в растянутой части сечения (при положительном моменте растянута нижняя часть), то напряжение в этой точке принимается положительным (растяжение).

Из формулы (4) видно, что нормальные напряжения в поперечном сечении изменяются по линейной зависимости (пропорционально расстоянию Задачи с двутавром Поэтому для построения эпюры Задачи с двутавром в сечение Задачи с двутавром достаточно вычислить значения напряжений в крайних точках 1 и 2 (рис. 3,а) этого сечения.
Изгибающий момент в сечении Задачи с двутавром равняется:
Задачи с двутавром

Нормальные напряжения в точках 1 и 2 вычисляем по формуле (4)

Задачи с двутавромЗадачи с двутавром

Эпюра нормальных напряжений изображена на рис. 3,6.

Задачи с двутавром
В сечениях прокатных двутавровых балок большую часть поперечной силы воспринимает стенка. Эта часть составляет Задачи с двутавромЗадачи с двутавром

В полках двутавра действуют только горизонтальные касательные напряжения Задачи с двутавром Значения этих напряжений, обычно, невелики и поэтому они не имеют практического интереса.

Вертикальные напряжения в полках Задачи с двутавром довольно точно равны нулю. Они возникают в полках лишь в пределах стенки, их распределение, как и значения, которые малы, не могут быть определены методами сопротивления материалов.

Поэтому эпюра касательных напряжений Задачи с двутавром строится только для стенки. Напряжения в стенке, изменяются по закону квадратной параболы.

Касательные напряжения в любой точке стенки двутаврового сечения балки вычисляются по формуле
Задачи с двутавром

где: Задачи с двутавром поперечная сила в рассматриваемом сечении Задачи с двутавром

Задачи с двутавром момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси Задачи с двутавром

Задачи с двутавром ширина поперечного сечения балки на уровне рассматриваемой точки - в примере толщина стенки двутавра;

Задачи с двутавром статический момент отсеченной части поперечного сечения относительно нейтральной оси Задачи с двутавром

это часть поперечного сечения, которая располагается по одну сторону от прямой, проведенной через рассматриваемую точку и параллельной нейтральной оси Задачи с двутавром

Поперечная сила в сечении Задачи с двутавром равняется (рис.1 и 2):

Задачи с двутавром

Для построения эпюры касательных напряжений определим их значения в характерных точках (рис.3, а).

Точки 3 и 4 (в месте сопряжения полки со стенкой): статический момент для вычисления напряжений в этих точках (статический момент полки) можно определить вычитанием из статического момента полусечения двутавра (приведенного в сортаменте) статического момента половины стенки

Задачи с двутавром

Точка 5 (на нейтральной оси Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

Эпюра касательных напряжений Задачи с двутавром приведена на рис.3,в.

Определим долю поперечной силы, которая воспринимается стенкой двутавра. Для этого умножим площадь эпюры Задачи с двутавром состоящую из площади прямоугольника и площади квадратной параболы (на рис. 3,в они разделены пунктирной линией) на толщину стенки

Задачи с двутавром

что составляет Задачи с двутавром от значения поперечной силы Задачи с двутавром

Исследуем напряженное состояние в заданной точке Задачи с двутавром сечения Задачи с двутавром (рис. 2,а и 3,а). Для этого сначала выделим в окрестности этой точки элементарный параллелепипед, на гранях (площадках) которого будут действовать нормальные и касательные напряжения.

Напомним, что касательные напряжения имеют два индекса: первый, указывает с какой осью параллельна, внешняя нормаль площадки, второй - с какой осью параллелен вектор напряжения. Правило знаков для касательного напряжения: оно считается положительным, если одновременно направления внешней нормали и вектор касательного напряжения совпадают или одновременно не совпадают с направлением соответствующих координатных осей.

  • Нормальные напряжения имеют один индекс, который указывает, с какой осью параллелен вектор напряжения. Правило знаков для нормального напряжения: растягивающее напряжение считается положительным, сжимающее - отрицательным.

На вертикальных площадках, совпадающих с поперечным сечением, действуют нормальные Задачи с двутавром и касательные Задачи с двутавром напряжения. Нормальные напряжения будут сжимающими, так как точка Задачи с двутавром находится в сжатой зоне (при положительном изгибающем моменте сжата верхняя часть балки), а касательные напряжения совпадают с направлением поперечной силы (при положительной поперечной силе они стремятся повернуть элемент по ходу часовой стрелки).

На горизонтальных площадках возникают только касательные напряжения Задачи с двутавром которые на основании закона парности равны напряжениям Задачи с двутавром то есть Задачи с двутавром (см. рис. 4).

Нормальные напряжения Задачи с двутавром равняются нулю, так как принято допущение - продольные волокна не давят друг на друга.

На вертикальных площадках (в плоскости Задачи с двутавром которые перпендикулярны оси Задачи с двутавром нормальные и касательные напряжения равняются нулю.

Напряжения, действующие на площадках выделенного параллелепипеда, принято называть исходными.

Задачи с двутавром

В дальнейшем для простоты изображения будем рассматривать прямоугольный элемент, являющийся проекцией параллелепипеда на вертикальную плоскость (рис. 5).

Задачи с двутавром

Определим значения исходных напряжений: а) нормальных по формуле (4):

Задачи с двутавром

б) касательных по формуле (5):

Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

Знак минус у напряжения Задачи с двутавром принят потому, что внешняя нормаль площадки совпадает с осью Задачи с двутавром а направление вектора напряжений не совпадает с осью Задачи с двутавром

Значения главных напряжений вычисляются по формулам:

Задачи с двутавром

Тогда

Задачи с двутавром

Положение главных площадок определим по формулам:

Задачи с двутавром

где Задачи с двутавром - углы наклона внешних нормалей главных площадок (векторы Задачи с двутавромЗадачи с двутавром

Положительный угол Задачи с двутавром откладывается от оси Задачи с двутавром против хода часовой стрелки, а отрицательный - по ходу часовой стрелки.

Исходный элемент и элемент с главными площадками, а также векторы напряжений действующих на площадках этих элементов показаны на рис. 6.

Задачи с двутавром
Примем главные площадки за исходные, совместив ось координат Задачи с двутавром направлением Задачи с двутавром ось Задачи с двутавром - с напряжением Задачи с двутавром (рис.7). В этом

случае напряжения, действующие на наклонных площадках, вычисляются по формулам:
Задачи с двутавром

где: Задачи с двутавром угол, который отсчитывается от направления напряжения

Задачи с двутавром (оси Задачи с двутавром при повороте осей Задачи с двутавром против хода часовой стрелки угол Задачи с двутавром считается положительным.

Задачи с двутавром
Из формулы (8) для Задачи с двутавром видно, что наибольшие касательные

напряжения действуют на площадках, наклоненных к главным на угол Задачи с двутавром

Вычислим значения напряжений на площадках, наклоненных на
угол Задачи с двутавром по формулам (8). Тогда Задачи с двутавромЗадачи с двутавром

Нормальные напряжения равняются:
Задачи с двутавром (сжатие)
Касательные напряжения
Задачи с двутавром

2 2 Заметим, что направления векторов напряжений Задачи с двутавром определяются в соответствии с указанным выше правилом в повернутых осях Задачи с двутавром на углы 45° Задачи с двутавром - см. рис. 7.

Исходный элемент с главными площадками и элемент, на площадках которого действуют Задачи с двутавром и соответствующие нормальные

напряжения Задачи с двутавром показаны на рис. 7.

IV ПРИЛОЖЕНИЯ

Задачи с двутавром

Задачи с двутавром

Задачи с двутавром высота двутавра;

Задачи с двутавром ширина полки;

Задачи с двутавром толщина стенки;

Задачи с двутавром средняя толщина полки;
Задачи с двутавром момент инерции

Задачи с двутавром момент сопротивления

Задачи с двутавром статический момент полусечения

Задачи с двутавром радиус инерции