Задачи по высшей математике

Задачи по высшей математике с решением

Каждый студент в той или иной мере оказывается не готов к задачам по высшей математике. Не выучены правила или преподаватель некачественно объясняет, или неполучается решение конкретного примера, или вообще ни один раз за семестр не был на лекциях. И тому и другому студенту может очень пригодиться моя помощь: высшая математика не зря считается одним из самых трудных предметов, поэтому напишите мне я вам помогу! Если у вас много свободного времени то ниже я разместила курс лекций по высшей математике с примерами решения задач он вам поможет разобраться самостоятельно.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на промежутке

Вы уже накопили некоторый опыт отыскания наибольшего и наименьшего значений функции. Чаще всего мы использовали для этого график функции. Пусть, например, дана функция Задачи по высшей математике
Построив ее график (см. рис. 143), легко сделать вывод о том, что Задачи по высшей математике

В некоторых случаях мы могли найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика. Например, для функции Задачи по высшей математике можно рассуждать так: ясно, что Задачи по высшей математике значит, Задачи по высшей математике (это значение достигается функцией в точке х =0). С другой стороны, ясно, что Задачи по высшей математике, значит, Задачи по высшей математике (это значение достигается функцией при х = 3 или при х = - 3).

  • В более сложных случаях для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции используется производная.

Пусть функция у = Дх) непрерывна на отрезке [а, Ь] — несколько графиков таких функций представлено на рис. 146—148. Анализируя указанные геометрические модели, можно прийти к следующим выводам.

1. Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на нем и своего наибольшего, и своего наименьшего значений.

Задачи по высшей математике

Это — весьма солидная теорема курса математического анализа, доказательство ее требует достаточной продвинутости в изучении курса.

2. Наибольшего и наименьшего значений непрерывная функция может достигать как на концах отрезка, так и внутри него.
Здесь возможны варианты — некоторые из них представлены на рис. 146—148. Смотрите: на рис. 146 и наибольшее, и наименьшее значения достигаются внутри отрезка. На рис. 147 наименьшее

Задачи по высшей математике
значение достигается внутри отрезка, а наибольшее — в концевой точке. На рис. 148 и наибольшее, и наименьшее значения достигаются в концевых точках.

3. Если наибольшее (или наименьшее) значение достигается внутри отрезка, то только в стационарной или критической точке.

В этом нет ничего удивительного, поскольку в этом случае наибольшее (или наименьшее) значение функции одновременно является экстремумом, а экстремум достигается только в стационарной или критической точке.

Подводя итог сказанному, нетрудно составить


АЛГОРИТМ ОТЫСКАНИЯ НАИМЕНЬШЕГО И НАИБОЛЬШЕГО ЗНАЧЕНИЙ НЕПРЕРЫВНОЙ ФУНКЦИИ у = f(x) HA ОТРЕЗКЕ [а, д]

1. Найти производную Задачи по высшей математике

2. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка [а, д].

3. Вычислить значения функции Задачи по высшей математике в точках, отобранных на втором шаге (п. 2), и в точках а и Ь; выбрать среди этих значений наш меньшее (это и будет Задачи по высшей математике) и наибольшее (это и будет Задачи по высшей математике).

Алгоритм, как видите, сравнительно простой, для его иллюстрации достаточно одного примера. Мы приводим два примера, из которых второй — для тех, кому интересны математические «изюминки».

Задачи с решением

Задача 1.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции Задачи по высшей математике

а) на отрезке [-4, 6]; б) на отрезке [0, 6]; в) на отрезке [-2, 2].

Решение:

Воспользуемся алгоритмом.

1) Имеем Задачи по высшей математике

2) Производная существует при всех х, значит, критических точек у функции нет, а стационарные найдем из условия Задачи по высшей математике. Имеем:Задачи по высшей математике

Дальнейшие рассуждения зависят от условий задачи.

а) Обе стационарные точки (и х = - 3, и х = 5) принадлежат заданному отрезку [-4, 6]. Значит, на третьем шаге алгоритма мы составим такую таблицу значений функции Задачи по высшей математике

Задачи по высшей математике

Таким образом, ytttut - -174 (достигается в точке х = 5); =82 (достигается в точке х = - 3).
б) Отрезку [0, 6] принадлежит лишь одна из двух найденных стационарных точек, а именно точка х = 5. Значит, на третьем шаге мы составим такую таблицу значений функции Задачи по высшей математике
Задачи по высшей математике
Таким образом, Задачи по высшей математике

в) Отрезку (-2,2] не принадлежит ни одна из найденных стационарных точек, значит, достаточно вычислить значения функции в концевых точках: Задачи по высшей математике

Таким образом, в этом случае Задачи по высшей математике


Задача 2.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции Задачи по высшей математике на отрезке [0, 2].

Решение:

Если Задачи по высшей математике, и функция принимает вид:

Задачи по высшей математике, и функция принимает вид Задачи по высшей математике. Таким образом, речь идет о кусочной функцииЗадачи по высшей математике где

Задачи по высшей математике
1) Вычисляя Задачи по высшей математике мы должны учесть, что при х> 1 следует пользоваться формулой Задачи по высшей математике Получим: Задачи по высшей математике

При х < 1 следует пользоваться формулой Задачи по высшей математике. Получим Задачи по высшей математике

В «точке стыка» х = 1 производная не существует, это — критическая точка функции.
Задачи по высшей математике
2) Критическую точку мы уже нашли — это точка х = 1. Найдем стационарные точки, решив уравнение f'(x)=0.

Если Задачи по высшей математике уравнение Задачи по высшей математике не имеет корней.

Если Задачи по высшей математике из уравнения Задачи по высшей математике находим: Задачи по высшей математике Из этих двух значений заданному отрезку [0, 2] при-3 надлежит только точка Задачи по высшей математике

3) Составим таблицу значений функции Задачи по высшей математике включив в нее точких Задачи по высшей математике — концы заданного отрезка и лежащие внутри отрезка критическую и стационарную точки.

Задачи по высшей математике

Из имеющихся в таблице значений наименьшим является Задачи по высшей математике наибольшим 38.

Ответ: Задачи по высшей математике

  • А как быть, если речь идет об отыскании наибольшего или наименьшего значения функции, непрерывной на незамкнутом промежутке, например, на интервале?

Можно построить график функции и снять информацию с полученной графической модели. Но чаще оказывается более удобным использовать следующую теорему.

Теорема. Пусть функция y-f(x) непрерывна на промежутке X и имеет внутри него единственную стационарную или критическую точку х = х0. Тогда:

Задачи по высшей математике
На рис. 149 и 150 приведены соответствующие геометрические иллюстрации.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать высшую математику

Пример 3.

Найти наибольшее значение функции Задачи по высшей математике на луче Задачи по высшей математике

Производная всюду существует, значит, критических точек у функции

Решение:

Задачи по высшей математике (см. пример 7 из § 35).
Стационарные точки найдем из соотношения Задачи по высшей математике. Получаем: Задачи по высшей математике откуда находим, что Задачи по высшей математике. Заданному лучу Задачи по высшей математике принадлежит лишь точка Задачи по высшей математике, а при х > 1 имеем Задачи по высшей математике Значит, х = 1 — точка максимума функции, причем Задачи по высшей математике

Поскольку х = 1 — единственная точка экстремума функции на заданном промежутке, причем точка максимума, то, по теореме 1,
Задачи по высшей математике
Ранее (см. рис. 143) был построен график функции на заданном луче — он хорошо иллюстрирует полученный результат.

Задачи по высшей математике

Задача 6.

Вычислить производные функций:

Решение:

а) Применим правила дифференцирования суммы и сложной функции:
Задачи по высшей математике

Задача 7.

Вычислить производные функций: Решение:

а) Данная функция является степенно-показательной. Найдем сначала логарифм данной функции: Задачи по высшей математикеПродифференцируем полученное равенство по правилу дифференцирования сложной функции:

Задачи по высшей математике

Замечание. Этот же результат можно получить, производных данной функции, как производных от показательной функций отдельно.

б) Так как дифференцирование данной дроби усложнено за счет вида ее знаменателя, то предварительно прологарифмируем обе части равенства:
Задачи по высшей математике
Дифференцируя обе части равенства, получаем:

Задачи по высшей математике
в) Производную данной функции найдем как сумму двух производных, одна из которых равна производной этой функции, вычисленной как производная степенной функции, а вторая - производной этой функции, вычисленной как производная показательной функции:

Задачи по высшей математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по высшей математике

Задача 8.

Вычислить производную Задачи по высшей математике функции, заданной неявным способом: Задачи по высшей математике

Решение:

Продифференцируем равенство, считая, что х - аргумент Задачи по высшей математике, а у - функция отх;

Задачи по высшей математике
Откуда, разрешив относительно Задачи по высшей математике, получаем:Задачи по высшей математике

Задача 9.

Написать уравнение касательной и нормали к эллипсу

Задачи по высшей математике

Решение:

Уравнение касательной имеет вид Задачи по высшей математике

где Задачи по высшей математике

Вычислим Задачи по высшей математике дифференцируя обе части уравнения эллипса и разрешая полученное равенство относительно

Задачи по высшей математике откуда Задачи по высшей математике

Уравнение нормали: Задачи по высшей математике
Уравнение искомой касательной: Задачи по высшей математике

Задача 10.


Вычислить Задачи по высшей математикепараметрическими уравнениями: Задачи по высшей математике

Решение:

Воспользуемся формулой: Задачи по высшей математике для функции, заданной следующими
Для этого найдем Задачи по высшей математике
Следовательно, Задачи по высшей математике

Задача 11.

Найти пределы: Решение:

а) Здесь неопределенность вида Задачи по высшей математике.

Преобразовав функцию Задачи по высшей математике в частное, приходим к неопределенности вида Задачи по высшей математике, к которой применяем правило Лопиталя:

Задачи по высшей математике

Здесь предварительно функцию преобразовали в частное, сложив дроби; неопределенность вида Задачи по высшей математике свели к виду [0/0], к которому применили правило Лопиталя.

Задачи по высшей математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать контрольную по высшей математике

Задача 12.

Найти экстремумы функций:

Задачи по высшей математике

Решение:

Найдем экстремумы каждой функции по следующему алгоритму:

Функция определена на всей числовой оси. Найдем Задачи по высшей математике и критические точки данной функции:

Задачи по высшей математике

Так как Задачи по высшей математике при любом х, то при переходе через критическую точку х = 1 производная Задачи по высшей математике не меняет знак. Достаточные условия экстремума для этой функции не выполняются; функция не имеет экстремума.

б) Функция определена на всей числовой оси, Задачи по высшей математике

Производная данной функции не обращается в нуль, однако при х = 1 производная у' не существует. Следовательно, х = 1 является критической точкой. Легко убедиться, что у' меняет знак при переходе через точку х = 1 с минуса на плюс: Задачи по высшей математике

Задачи по высшей математике
График данной функции представлен на рис. 1, из которого видно, что в точке х = 1 функция достигает минимума. Экстремум такого рода называют острым экстремумом.

в) Функция определена при любом Задачи по высшей математике критические точки Задачи по высшей математике

Задачи по высшей математике
Из таблицы видно, что достаточные условия экстремума выполняются только в одной критической точке: Задачи по высшей математике
г) Функция определена при Задачи по высшей математике

Задачи по высшей математике
Имеем: Задачи по высшей математике

д) Функция определена при любом Задачи по высшей математике
Легко убедиться, что при переходе через критическую точку х = 0 производная у' меняет знак с плюса на минус: Задачи по высшей математике

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по высшей математике на заказ

Задача 13.

Исследовать на выпуклость (вогнутость) кривые:

Задачи по высшей математике

Решение:

Будем проводить исследование по следующему алгоритму:

а) Найдем область определения функции: функция Задачи по высшей математике определена на всей числовой оси.

Найдем нули второй производной: Задачи по высшей математике при Задачи по высшей математике
Разобьем область определения функции точками Задачи по высшей математике на промежутки.

Исследуем на знак Задачи по высшей математике на каждом промежутке, оформив таблицу:

Задачи по высшей математике
Из таблицы видно, что на промежутке Задачи по высшей математике кривая Задачи по высшей математике выпукла

(или выпукла вверх), а на остальных двух промежутках кривая вогнута.
При этом в окрестностях точек Задачи по высшей математике вторая производная Задачи по высшей математике меняет знак, то есть точки Задачи по высшей математике являются точками перегиба кривой Задачи по высшей математике

б) Функция определена при любом х;Задачи по высшей математике

Легко убедиться, что в окрестности каждой из этих точек у" меняет свой Точки перегиба кривой: Задачи по высшей математике