Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности с решением

Напишите мне и я помогу вам, если у вас не хватает времени. А если вы хотите самостоятельно подготовить работу то я подобрала для вас теорию и практику, по ней вы сможете подготовиться.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по теории вероятности помощь в учёбе

Случайные события. Вероятность события

Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Достоверным называется событие Задачи по теории вероятности, которое происходит в каждом опыте.

Невозможным называется событие Задачи по теории вероятности, которое в результате опыта произойти не может.

Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно.

Суммой (объединением) двух событий А и В (обозначается Задачи по теории вероятности) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т. е. А или В, или оба одновременно.

  • Произведением (пересечением) двух событий А и В (обозначается Задачи по теории вероятности Задачи по теории вероятности) называется такое событие, которое заключается в том, что оба события А и В происходят вместе.

Противоположным событию А называется такое событие Задачи по теории вероятности, которое заключается в том, что событие А не происходит.

События Задачи по теории вероятности образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие.

Свойства операций над событиями:

Задачи по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по теории вероятности с примерами онлайн

Задачи с решением

Задача 1.1:

Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в Задачи по теории вероятности -й партии или ничью. Построить пространство Задачи по теории вероятности элементарных исходов.

Решение:

Обозначим события Задачи по теории вероятности - в Задачи по теории вероятности -й партии выиграл первый игрок, Задачи по теории вероятности - второй, Задачи по теории вероятности - ничья. Тогда возможные исходы игры:

1. Обе партии выиграл первый игрок Задачи по теории вероятности.
2. Обе партии выиграл второй игрок Задачи по теории вероятности.
3. Обе партии закончились вничью Задачи по теории вероятности
4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй - второй Задачи по теории вероятности
5. В первой выиграл первый игрок, во второй - ничья Задачи по теории вероятности
6. В первой партии победа второго игрока, во второй - первого Задачи по теории вероятности
7. В первой - победа второго игрока, во второй - ничья Задачи по теории вероятности
8. В первой - ничья, во второй - победа первого игрока Задачи по теории вероятности
9. В первой - ничья, во второй - победа второго игрока Задачи по теории вероятности

Ответ: Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по теории вероятности заказать

Задача 1.2:

Пусть А, В, С - три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1. Произошло только А.

2. Произошли А и В, но С не произошло.

3. Все три события произошли.

4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.

5. Произошли, по крайней мере, два события.

6. Произошло одно и только одно событие.

7. Произошли два и только два события.

8. Ни одно событие не произошло.

9. Произошло не более двух событий.

Решение:

1. Обозначим Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности, что события В и С не произошли, тогда событие «произошло только А » можно записать в виде Задачи по теории вероятности.
2. Задачи по теории вероятности
3. Задачи по теории вероятности.
4. Событие произошло, по крайней мере, одно из событий можно представить как сумму этих событий: Задачи по теории вероятности.
5. Произошли, по крайней мере, два события - это сумма Задачи по теории вероятности.
6. Произошло одно и только одно событие - это сумма событий Задачи по теории вероятности.
7. Произошли два и только два события - это можно записать в виде Задачи по теории вероятности
8. Задачи по теории вероятности
9. Задачи по теории вероятности, т. е. три события одновременно не произошли.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по теории вероятности онлайн

Классическое определение вероятности. Элементы комбинаторики

Классическое определение вероятности: вероятность случайного события А определяется по формуле

Задачи по теории вероятности (2.1)

где Задачи по теории вероятности- число равновозможных исходов данного опыта;Задачи по теории вероятности- число равновозможных исходов, приводящих к появлению события. Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую область случайным образом попадает точка Т, причем все точки области равноправны в отношении попадания точки Т. Тогда за вероятность попадания точки Т в область А принимается отношение

Задачи по теории вероятности (2.2)

где Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности геометрические меры (длина, площадь, объем и т. д.) областей А и Задачи по теории вероятности соответственно.

  • Пусть имеется множество Задачи по теории вероятности, состоящее из Задачи по теории вероятности различных элементов, Задачи по теории вероятности-выборкой называется множество, состоящее из Задачи по теории вероятности элементов, взятых из множества Задачи по теории вероятности.

Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества Задачи по теории вероятности может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями.

Число упорядоченных Задачи по теории вероятности-выборок (размещений) с повторениямиЗадачи по теории вероятности и без повторений Задачи по теории вероятности равноЗадачи по теории вероятности

  • Если Задачи по теории вероятности то размещения без повторений называются перестановками, т. е. это - расположение элементов исходного множества в определенном порядке. Число перестановок из Задачи по теории вероятности элементов равно

Задачи по теории вероятности (2.5)

Пустое множество можно упорядочить только одним способом:

Задачи по теории вероятности

Число неупорядоченных Задачи по теории вероятности-выборок (сочетаний) с повторениями Задачи по теории вероятности и без повторений Задачи по теории вероятности равно
Задачи по теории вероятности
Число различных разбиений множества из Задачи по теории вероятности элементов на Задачи по теории вероятностинепересекающихся подмножеств (причем в первом подмножестве Задачи по теории вероятностиэлементов, во втором Задачи по теории вероятности элементов и т. д., а Задачи по теории вероятности) равно

Задачи по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по теории вероятности заказать готовую онлайн

Задача 2.1:

Бросают 2 игральные кости. Найти вероятности следующих событий: А - сумма числа очков не превосходит 5; В - произведение числа очков не превосходит 4; С - произведение числа очков делится на 8.

Решение:

Определим общее число исходов: поскольку в случае подбрасывания одной кости имеем 6 исходов, то в случае подбрасывания двух костей имеем Задачи по теории вероятности исходов. Найдем число благоприятных исходов.

Множество исходов, благоприятных событию А, состоит из 10 исходов: {(1, 1), (1, 2), (I, 3), (1,4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (4, 1)}.

Соответственно, вероятность того, что сумма числа очков не превосходит 5 равна Задачи по теории вероятности

Множество исходов, благоприятных событию С , состоит из 8 исходов: {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 1)}.

Соответственно, вероятность того, что произведение числа очков не превосходит 4 равна Задачи по теории вероятности

Множество исходов, благоприятных событию С, состоит из 5 исходов: {(2,4), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (6, 4)}.

Соответственно, вероятность того, что произведение числа очков делится на 8 равна Задачи по теории вероятности

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по теории вероятности расчетно графическая работа

Теоремы сложения и умножения

Вероятность суммы несовместных событий Задачи по теории вероятности равна сумме вероятностей этих событий

Задачи по теории вероятности

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей каждого из событий минус вероятность их совместного появления:

Задачи по теории вероятности

Вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по следующей формуле:

Задачи по теории вероятности

Вероятность суммы п событий Задачи по теории вероятности равна

Задачи по теории вероятности

С учетом того, что Задачи по теории вероятности, вероятность суммы Задачи по теории вероятностисобытий (если Задачи по теории вероятности) удобнее вычислять по формуле

Задачи по теории вероятности

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность второго при наличии первого.

Задачи по теории вероятности

Для независимых событий

Задачи по теории вероятности

Вероятность произведения п событий Задачи по теории вероятности равна Задачи по теории вероятности где Задачи по теории вероятности - вероятность появления события Задачи по теории вероятности, при условии, что события Задачи по теории вероятности в данном опыте произошли.

В случае независимых событий данная формула упрощается:

Задачи по теории вероятности

Задача 3.1:

В ящике находится 10 деталей, из которых только 4 окрашены. Наудачу извлекают 3 детали. Определить вероятность, что хотя бы одна из взятых деталей окрашена.

Решение:

Пусть событие Задачи по теории вероятностисостоит в том, что изъята хотя бы одна окрашенная деталь. Тогда Задачи по теории вероятности- ни одна из изъятых деталей не окрашена. Воспользуемся утверждением Задачи по теории вероятности

По классическому определению вероятности определим Задачи по теории вероятности

Рассчитаем количество благоприятных исходов (изъято 3 детали из неокрашенных деталей): Задачи по теории вероятности

Далее определим количество всевозможных исходов (общее количество вариантов для изъятия 3 деталей из 10 возможных): Задачи по теории вероятности

Отсюда получаем, что Задачи по теории вероятности

А подставляя в Задачи по теории вероятности, получаем, что Задачи по теории вероятности

Формула полной вероятности. Формула Байеса

Допустим, что проводится некоторый опыт, об условиях которого можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез): Задачи по теории вероятности, Задачи по теории вероятности при Задачи по теории вероятности

Событие Задачи по теории вероятности может появляться совместно с одной из гипотез Задачи по теории вероятности. Тогда полная вероятность события Задачи по теории вероятности равна

Задачи по теории вероятности (4.1)

Если опыт произведен и произошло некоторое событие Задачи по теории вероятности, то определить вероятность гипотезы Задачи по теории вероятности с учетом того, что произошло событие Задачи по теории вероятности можно по формуле Байеса:

Задачи по теории вероятности

Задача 4.1:

В первой урне находится 7 черных и 3 белых шара, а во второй урне - 4 черных и 6 белых шаров. Из наудачу взятой урны достали один шар, который оказался белым. Какова вероятность того, что этот шар был вынут из первой урны?

Решение:

Предварительно вычислим вероятность события Задачи по теории вероятности(вынутый наудачу шар - белый) по формуле полной вероятности: Задачи по теории вероятности

Здесь Задачи по теории вероятности - вероятность того, что шар извлечен из первой урны; Задачи по теории вероятности - вероятность того, что шар извлечен из второй урны; Задачи по теории вероятности - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из первой урны; Задачи по теории вероятности - условная вероятность того, что вынутый шар белый, если он извлечен из второй урны.

Тогда Задачи по теории вероятности

Теперь вычислим условную вероятность того, что этот шар был извлечен из первой урны, по формуле Байеса:

Задачи по теории вероятности

Повторение независимых опытов. Формула Бернулли

Пусть производится Задачи по теории вероятностинезависимых одинаковых опытов. В результате каждого опыта событие Задачи по теории вероятностипоявляется с вероятностью Задачи по теории вероятности. Вероятность Задачи по теории вероятности того, что в последовательности из Задачи по теории вероятностиопытов событие Задачи по теории вероятностипроизойдет ровно Задачи по теории вероятностираз (формула Бернулли), равна

Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - вероятность того, что событие Задачи по теории вероятности не произойдет в одном опыте.

Вычисление вероятностей Задачи по теории вероятности при больших значениях Задачи по теории вероятностипо формуле Бернулли проблематично. Поэтому вычисление соответствующих вероятностей проводится с помощью следующих приближенных формул:

1) Если количество испытаний велико Задачи по теории вероятности, а вероятность события мала Задачи по теории вероятности, так что Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности, то используется формула Пуассона

Задачи по теории вероятности

2) Если количество испытаний Задачи по теории вероятности велико, вероятности Задачи по теории вероятностии Задачи по теории вероятностине малы, так что выполняются следующие условия:

Задачи по теории вероятности

то применяются приближенные формулы Муавра - Лапласа:

Задачи по теории вероятности (5.3) - локальная

где Задачи по теории вероятности
- интегральнаяЗадачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - функция Лапласа.

Функции Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности табулированы (прил. 1, 2). При использовании таблиц следует помнить, чтоЗадачи по теории вероятности является четной Задачи по теории вероятности, а функция Лапласа - нечетной (Задачи по теории вероятности).

Пусть производится серия из Задачи по теории вероятностинезависимых испытаний, в результате каждого из которых может появиться одно из событий Задачи по теории вероятности с вероятностямиЗадачи по теории вероятности соответственно.

Вероятность того, что в серии из Задачи по теории вероятностииспытаний событие Задачи по теории вероятности наступит ровноЗадачи по теории вероятности раз, событие Задачи по теории вероятности раз, ..., событие Задачи по теории вероятности раз Задачи по теории вероятности равна

Задачи по теории вероятности

Наивероятнейшее число наступления события Задачи по теории вероятности — вычисляется по формуле Задачи по теории вероятности

Задача 5.1:

В среднем 70 % студентов группы сдают зачет с первого раза. Определить вероятность того, что из 5 человек, сдававших зачет, с первого раза сдадут ровно 3 студента.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли:

Задачи по теории вероятности

Задача 5.2:

Банк выдал шесть кредитов. Вероятность того, что кредит не будет погашен в срок, равна 0,2. Определить вероятность того, что в срок не будут погашены четыре кредита.

Решение:

Воспользуемся формулой Бернулли:

Задачи по теории вероятности

Случайная величина. Закон распределения и числовые характеристики

Под случайной величиной (СВ) понимается величина, которая в результате опыта со случайным исходом принимает то или иное значение, причем, заранее, до опыта, неизвестно, какое именно. Случайные величины в зависимости от вида множества значений могут быть дискретными (ДСВ) или непрерывными (НСВ).

Закон распределения случайной величины - это любая функция, таблица, правило и т. п., устанавливающая соответствие между значениями случайной величины и вероятностями ее наступления.

Функцией распределения случайной величины Задачи по теории вероятности называется вероятность того, что она примет значение меньшее, чем аргумент функции Задачи по теории вероятности:

Задачи по теории вероятности (6.1)

Свойства функции распределения:

Задачи по теории вероятности

Рядом распределения дискретной СВ Задачи по теории вероятности называется таблица, в верхней строке которой перечислены все возможные значения СВ Задачи по теории вероятности а в нижней - вероятности их появления Задачи по теории вероятности
Задачи по теории вероятности
Так как события Задачи по теории вероятности несовместны и образуют полную группу, то справедливо контрольное соотношение

Задачи по теории вероятности (6.3)

  • Функция распределения любой дискретной СВ есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений:

Задачи по теории вероятности (6.4)

Плотностью распределения (плотностью вероятности) Задачи по теории вероятности непрерывной случайной величины Задачи по теории вероятности называется производная ее функции распределения: Задачи по теории вероятности

Основные свойства плотности распределения:

1. Плотность распределения неотрицательна: Задачи по теории вероятности

2. Условие нормировки: Задачи по теории вероятности (6.6)

3. Вероятность попадания случайной величины Задачи по теории вероятности на произвольный участок Задачи по теории вероятности равна

Задачи по теории вероятности

4. Функция распределения Задачи по теории вероятности случайной величины Задачи по теории вероятности выражается через ее плотность:

Задачи по теории вероятности

Математическое ожидание характеризует среднее значение СВ и определяется по формуле:

Задачи по теории вероятности

Свойства математического ожидания:

Задачи по теории вероятности

Начальный момент Задачи по теории вероятности-то порядка СВ Задачи по теории вероятности есть математическое ожидание Задачи по теории вероятности-й степени этой случайной величины:

Задачи по теории вероятности

Центрированной случайной величиной Задачи по теории вероятности называется СВ, математическое ожидание которой находится в начале координат (в центре числовой оси)Задачи по теории вероятности

Операция центрирования (переход от нецентрированной величины Задачи по теории вероятности к центрированной Задачи по теории вероятности ) имеет вид Задачи по теории вероятности

Центральный момент порядка Задачи по теории вероятности СВ Задачи по теории вероятностиесть математическое ожидание Задачи по теории вероятности-й степени центрированной случайной величины Задачи по теории вероятности :

Задачи по теории вероятности
Дисперсия случайной величины характеризует степень рассеивания (разброса) значений случайной величины относительно ее математического ожидания и определяется по формуле:

Задачи по теории вероятности

Свойства дисперсии:

Задачи по теории вероятности

Средним квадратическим отклонением (СКО) СВ Задачи по теории вероятностиназывается характеристика

Задачи по теории вероятности (6.13)

СКО измеряется в тех же физических единицах, что и СВ, и характеризует ширину диапазона значений СВ.

Правило Задачи по теории вероятности Практически все значения СВ находятся в интервале

Задачи по теории вероятности (6.14)

Модой (Мо) случайной величины называется ее наиболее вероятное значение, т. е. то значение, для которого вероятность Задачи по теории вероятности (для дискретной СВ) или Задачи по теории вероятности (для непрерывных СВ) достигает максимума.

Медианой (Ме) случайной величины Задачи по теории вероятностиназывается такое ее значение, для которого выполняется условие Задачи по теории вероятности. Медиана, как правило, существует только для непрерывных случайных величин.

Задача 6.1:

В коробке 7 шаров, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекают 3 шара. Найти закон распределения случайной величины Задачи по теории вероятности, равной числу красных шаров в выборке.

Решение:

В выборке из трех шаров может не оказаться ни одного красного шара, может появиться один, два или три красных шара. Следовательно, случайная величина Задачи по теории вероятностиможет принимать только четыре значения: Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

Найдем вероятности этих значений.

Первый способ.Задачи по теории вероятности

Второй способ.

Обозначим событие Задачи по теории вероятности- появление красного шара, следовательно Задачи по теории вероятности-появление не красного.

Задачи по теории вероятности
Следовательно, данная случайная величина Задачи по теории вероятностиимеет следующий закон распределения:

Задачи по теории вероятности

Проверка:

Задачи по теории вероятности

Задача 6.2:

Вероятность того, что в магазине будет в наличии необходимая студенту книга, равна 0,3. Составить закон распределения числа посещенных магазинов, которые последовательно посетит студент, чтобы купить книгу, если в городе 3 магазина. Найти числовые характеристики случайной величины

Решение:

В качестве случайной величины Задачи по теории вероятностивыступает количество магазинов, которые посетит студент, чтобы купить книгу. Возможные значения, которые примет случайная величина Задачи по теории вероятности: 1, 2, 3.

Обозначим через событие Задачи по теории вероятности - в первом магазине есть книга, Задачи по теории вероятности - книга есть во второй, Задачи по теории вероятности - в третьей. Тогда Задачи по теории вероятности. Вероятность противоположного события, что книга занята

Задачи по теории вероятности

Для составления закона распределения рассчитаем соответствующие вероятности:

Задачи по теории вероятности

Проверка: Задачи по теории вероятности
Запишем закон распределения в виде таблицы.Задачи по теории вероятности

Вычислим математическое ожидание случайной величины и ее дисперсию:

Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности

Задача 6.3:

Случайная величина Задачи по теории вероятностираспределена по закону, определяемому плотностью вероятности вида

Задачи по теории вероятности

Определить константу Задачи по теории вероятности, функцию распределения Задачи по теории вероятности, математическое ожидание, дисперсию величины Задачи по теории вероятности а также вероятность ее попадания в интервал [-0,5; 1,5).

Решение:

Вначале вычислим значение константы с из условия нормировки. Для этого определим значение интеграла в левой части условия нормировки. Так какЗадачи по теории вероятности в точке -1 обращается в нуль, то на интервале [-3;-1) функция раскрывается со знаком «-», а на [—1;3] - со знаком «+».

Задачи по теории вероятности

Из условия нормировки следует, что Задачи по теории вероятности

Плотность вероятности примет вид

Задачи по теории вероятности

Определим функцию распределения Задачи по теории вероятности. Так как плотность вероятности задана различными формулами на разных интервалах, то и ее первообразную - функцию распределения - для каждого интервала определим в отдельности.

Задачи по теории вероятности

Окончательно имеем

Задачи по теории вероятности

График функции распределения имеет вид, приведенный на рис. 6.1:

Задачи по теории вероятности

Вычислим вероятность Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности

20 20 10 Вычислим математическое ожидание случайной величины:

Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

Вычислим дисперсию случайной величины:

Задачи по теории вероятности

Типовые законы распределения

Дискретная СВ Задачи по теории вероятности имеет геометрическое распределение, если она принимает значения Задачи по теории вероятности с вероятностями

Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности- параметр распределения Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики геометрического распределения:

Задачи по теории вероятности

Дискретная СВ Задачи по теории вероятности имеет биномиальное распределение, если она принимает значения Задачи по теории вероятности со следующими вероятностями:

Задачи по теории вероятности Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - параметры распределения Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики биномиального распределения:

Задачи по теории вероятности

Дискретная СВ Задачи по теории вероятности имеет распределение Пуассона, если она принимает значения Задачи по теории вероятности со следующими вероятностями:

Задачи по теории вероятности (7.3)

где Задачи по теории вероятности- параметр распределения Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики пуассоновской СВ: Задачи по теории вероятности
Непрерывная СВ Задачи по теории вероятности имеет равномерное распределение, если ее плотность вероятности в некотором интервале Задачи по теории вероятности постоянна, т. е. если все значения Задачи по теории вероятности этом интервале равновероятны:

Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики равномерно распределенной СВ:

Задачи по теории вероятности

Непрерывная СВ Задачи по теории вероятности, принимающая только положительные значения, имеет экспоненциальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности- параметр распределения Задачи по теории вероятности.
Числовые характеристики экспоненциальной СВ: Задачи по теории вероятностиНепрерывная СВ Задачи по теории вероятности имеет нормальное распределение, если ее плотность вероятности и функция распределения равны:

Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности параметры распределения Задачи по теории вероятности функция Лапласа. Значения функции Лапласа приведены в прил. 2. При использовании таблицы значений функции Лапласа следует учитывать, что Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

Числовые характеристики нормальной СВ:

Задачи по теории вероятности

Функция одного случайного аргумента

Если Задачи по теории вероятности — непрерывная случайная величина, то плотность вероятности Задачи по теории вероятности величины Задачи по теории вероятностиопределяется по формуле

Задачи по теории вероятности Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - плотность вероятности величины Задачи по теории вероятности; Задачи по теории вероятности - функции, обратные функции Задачи по теории вероятности; Задачи по теории вероятности - число обратных функций для данного Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики функции Задачи по теории вероятности одного случайного аргумента Xопределяются по следующим формулам: - начальные моменты:
Задачи по теории вероятности
- математическое ожидание:
Задачи по теории вероятности
- центральные моменты:
Задачи по теории вероятности
- дисперсия:

Задачи по теории вероятности

Задача 8.1:

Случайная величина Задачи по теории вероятности задана плотностью распределения:

Задачи по теории вероятности

Определить плотность распределения случайной величины Задачи по теории вероятности , математическое ожидание и дисперсию случайной величины Задачи по теории вероятности.

Решение:

Определим плотность распределения, воспользовавшись формулой (8.1).

Для этого построим график Задачи по теории вероятности на интервале (-1; 2) и определим количество обратных функций на интервалах.

Задачи по теории вероятности

Из графика видно, что на интервале (0; 1) у Задачи по теории вероятности существует две обратные функции, на участке (1; 4) - одна. На оставшихся промежутках обратных функций не существует. Задачи по теории вероятности

Мы определили плотность распределения случайной величины Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности

Далее определим математическое ожидание, начальный момент второго порядка и дисперсию случайной величины Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности

Векторные случайные величины

Функцией распределения двухмерной случайной величины называется вероятность совместного выполнения двух событий Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности (9.1)

Свойства двухмерной функции распределения:

Задачи по теории вероятности

Функция распределения может задаваться для непрерывных и дискретных случайных величин.

Для непрерывной двухмерной случайной величины Задачи по теории вероятности существует двухмерная плотность распределения:

Задачи по теории вероятности

Свойства двухмерной плотности:

1.Задачи по теории вероятности

2. Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

3. Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

4. Условие нормировки Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

5.Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

Для дискретных случайных величин Задачи по теории вероятности закон распределения задается матрицей распределения, содержащей вероятности Задачи по теории вероятности появления всех возможных пар значений Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности

удовлетворяющих условию

Задачи по теории вероятности

Одномерные ряды вероятностей, составляющих Задачи по теории вероятности определяются по формулам:

Задачи по теории вероятности

Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение.

Условные плотности для непрерывных составляющих Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности определяются по следующим формулам:

Задачи по теории вероятности

Условные ряды распределения для дискретных составляющих Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятностиопределяются по следующим формулам:

Задачи по теории вероятности

Величина Задачи по теории вероятности независима от величины Задачи по теории вероятности, если ее закон распределения не зависит от того, какое значение приняла величина Задачи по теории вероятности. Для независимых величин выполняются следующие соотношения:

  • 1) Задачи по теории вероятности (9.15)
  • 2) для непрерывных Задачи по теории вероятности (9.16)
  • 3) для дискретных Задачи по теории вероятности для Задачи по теории вероятности (9.17)

Смешанный начальный момент порядка Задачи по теории вероятности равен математическому ожиданию произведения Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности:

Задачи по теории вероятности

Смешанный центральный момент порядка Задачи по теории вероятности равен математическому ожиданию произведения центрированных величин Задачи по теории вероятности и Задачи по теории вероятности:

Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - элементы матрицы вероятностей дискретной величины Задачи по теории вероятности;

Задачи по теории вероятности - совместная плотность вероятности непрерывной величины Задачи по теории вероятности. Рассмотрим наиболее часто используемые начальные и центральные моменты:

Задачи по теории вероятности (9.20)

Задачи по теории вероятности Корреляционный момент Задачи по теории вероятности характеризует степень тесноты линейной зависимости величин Задачи по теории вероятностии Задачи по теории вероятности и рассеивание относительно точки Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности (9.22)

Коэффициент корреляции Задачи по теории вероятности характеризует степень линейной зависимости величин:

Задачи по теории вероятности
Для любых случайных величин Задачи по теории вероятности
Если величины Задачи по теории вероятностии Задачи по теории вероятностинезависимы, то Задачи по теории вероятности

Задача 9.1:

Плотность вероятности двумерной случайной величины Задачи по теории вероятности равна:

Задачи по теории вероятности

Определить функцию распределения случайной величины Задачи по теории вероятности и коэффициент корреляции случайных величин Задачи по теории вероятностии Задачи по теории вероятности.

Решение:

Определим функцию распределения двумерной случайной величины Задачи по теории вероятности по формуле (9.3):

Задачи по теории вероятности

Далее определим математические ожидания составляющих вектора случайных величин по формуле (9.18):

Задачи по теории вероятности

Математическое ожидание Задачи по теории вероятностивычисляется аналогично, т. е. Задачи по теории вероятности

Определим дисперсии составляющих вектора случайных величин по формуле (9.19):

Задачи по теории вероятности

Таким образом, Задачи по теории вероятности

Далее определим смешенный начальный момент (1, 1) порядка по (9.18):

Задачи по теории вероятности

По формуле (22) получим ковариацию:

Задачи по теории вероятности

Отсюда по формуле (9.23) получим коэффициент корреляции двух случайных величин Задачи по теории вероятностии Задачи по теории вероятности: Задачи по теории вероятности

Оценка закона распределения. Точечные и интервальные оценки численных характеристик

Генеральной совокупностью называется множество объектов, из которых производится выборка. Каждый из объектов задает фиксированное значение случайной величины.

Выборка - множество Задачи по теории вероятности случайно отобранных объектов (значений) из генеральной совокупности.

Объемом выборки Задачи по теории вероятностиназывается число входящих в нее объектов.

Вариационным рядом называется выборкаЗадачи по теории вероятности, полученная в результате расположения значений исходной выборки в порядке возрастания. Значения Задачи по теории вероятности называются вариантами.

Эмпирическая функция распределения определяется формулой

Задачи по теории вероятности

Эмпирическая функция распределения Задачи по теории вероятности является наилучшей оценкой функции распределения Задачи по теории вероятности (несмещенной, состоятельной, эффективной).

Если анализируемая СВ Задачи по теории вероятностиявляется дискретной с известным множеством значений Задачи по теории вероятности}, то по исходной выборке объемом п определяется статист ический ряд распределения вероятностей:Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - частота появленияЗадачи по теории вероятности-го значенияЗадачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности- число значений Задачи по теории вероятности, в выборке.

Если анализируемая СВ Задачи по теории вероятностиявляется непрерывной, то по исходной выборкеЗадачи по теории вероятности

гдеЗадачи по теории вероятности- номер интервала;

М - число непересекающихся и примыкающих друг к другу интервалов, на которые разбивается диапазон значений Задачи по теории вероятности:Задачи по теории вероятности

гдеЗадачи по теории вероятности - целая часть числа Задачи по теории вероятности (желательно, чтобыЗадачи по теории вероятностибез остатка делилось на М); Задачи по теории вероятности- левая и правая границыЗадачи по теории вероятности-го интервала Задачи по теории вероятности, причем Задачи по теории вероятностиЗадачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности - длина Задачи по теории вероятности-го интервала;

Задачи по теории вероятности - количество чисел в выборке, попадающих вЗадачи по теории вероятности-й интервал;

Задачи по теории вероятности - частота попадания вЗадачи по теории вероятности-й интервал;

Задачи по теории вероятности - статистическая плотность вероятности в Задачи по теории вероятности-м интервале.

При построении интервального статистического ряда вероятностей используют следующие методы разбиения диапазона значений на интервалы:

1) равноинтервальный, т. е. все интервалы одинаковой длинны:

Задачи по теории вероятности

2) равновероятностный, т. е. границы интервалов выбирают так, чтобы в каждом интервале было одинаковое число выборочных значений (необходимо, чтобы Задачи по теории вероятностибез остатка делилось на М):

Задачи по теории вероятности

Гистограмма - статистический аналог графика плотности вероятностиЗадачи по теории вероятностиСВ и она строится по интервальному статистическому ряду.

Гистограмма представляет собой совокупность прямоугольников, построенных, как на основаниях, на интервалах Задачи по теории вероятности статистического ряда с высотой, равной статистической плотности вероятности Задачи по теории вероятности в соответствующем интервале. Для равноинтервального метода все прямоугольники гистограммы имеют одинаковую ширину, а для равновероятностного метода - одинаковую площадь. Сумма площадей всех прямоугольников гистограммы равна единице.

Статистической оценкой Задачи по теории вероятности параметра Задачи по теории вероятности распределения называется приближенное значение параметра, вычисленное по результатам эксперимента (по выборке).

Точечной называется оценка, определяемая одним числом.

Оценка Задачи по теории вероятности называется состоятельной, если при увеличении объема выборки п она сходится по вероятности к значению параметра Задачи по теории вероятности:

Задачи по теории вероятности
Оценка Задачи по теории вероятностиназывается несмещенной, если ее математическое ожидание точно равно параметру Задачи по теории вероятности для любого объема выборки:

Задачи по теории вероятности

Несмещенная оценка Задачи по теории вероятности является эффективной, если ее дисперсия минимальна по отношению к дисперсии любой другой оценки этого параметра.

Состоятельная несмещенная оценка математического ожидания, называемая выборочным средним Задачи по теории вероятности, вычисляется по формуле

Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики Задачи по теории вероятности
Состоятельная несмещенная оценка дисперсии равна

Задачи по теории вероятности

Числовые характеристики Задачи по теории вероятности

Состоятельная несмещенная оценка среднего квадратического отклонения:

Задачи по теории вероятности

Состоятельная оценка начального момента Задачи по теории вероятности-го порядка определяется по формуле

Задачи по теории вероятности

Состоятельная оценка центрального момента Задачи по теории вероятности-го порядка равна

Задачи по теории вероятности

Несмещенная состоятельная и эффективная оценка вероятности случайного события Задачи по теории вероятности в схеме независимых опытов Бернулли:

Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности- число опытов, в которых произошло событие Задачи по теории вероятности;
Задачи по теории вероятности- число проведенных опытов.

Числовые характеристики Задачи по теории вероятности

Доверительным называется интервал, в который с заданной вероятностью (надежностью) Задачи по теории вероятностипопадают значения параметра Задачи по теории вероятности. Вероятность Задачи по теории вероятностивыбирается близкой к единице: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.

Доверительный интервал надежностью Задачи по теории вероятностидля математического ожидания случайной величины Задачи по теории вероятности с неизвестным законом распределения:Задачи по теории вероятности

где Задачи по теории вероятности - значение аргумента функции Лапласа Задачи по теории вероятности

Доверительный интервал надежностью Задачи по теории вероятностидля математического ожидания нормально распределенной случайной величины Задачи по теории вероятности:

Задачи по теории вероятности (10.14)

где Задачи по теории вероятности - значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента.

Доверительный интервал надежностью у для дисперсии случайной величины Задачи по теории вероятности с неизвестным законом распределения:

Задачи по теории вероятности (10.15)

где Задачи по теории вероятности - значение аргумента функции Лапласа Задачи по теории вероятности

Доверительный интервал надежностью у для дисперсии нормально распределенной случайной величины Задачи по теории вероятности:

Задачи по теории вероятностигде Задачи по теории вероятности значения, взятые из таблицы распределения Задачи по теории вероятности(прил. 4).

Доверительный интервал надежностью у для вероятности события Задачи по теории вероятностив схеме независимых опытов Бернулли:

Задачи по теории вероятности(10.17)

где Задачи по теории вероятности - частота появления события Задачи по теории вероятности в п опытахЗадачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности- число опытов, в которых произошло событие Задачи по теории вероятности;
Задачи по теории вероятности- число проведенных опытов.

Задача 10.1:

С помощью измерительного прибора, практически не имеющего систематический ошибки, было сделано восемь независимых измерений некоторой величины. Результаты замеров приведены в таб. 10.1:

Задачи по теории вероятности

Определить несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии случайной величины Задачи по теории вероятности.

Решение:

Для определения несмещенной оценки математического ожидания воспользуемся формулой (10.7):

Задачи по теории вероятности

Для расчета несмещенной оценки дисперсии воспользуемся формулой (10.8):

Задачи по теории вероятности

Задача 10.2:

В отделе ОТК были измерены диаметры 300 шариков, изготовленных станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала приведены в табл. 10.2:

Задачи по теории вероятности

Определить несмещенные оценки и доверительные интервалы надежностью 96 % для математического ожидания и дисперсии случайной величины. Построить гистограмму.

Решение:

На основании полученной информации построим интервальный статистический ряд вероятностей (таблица 10.3).Задачи по теории вероятности

На основании построенного интервального ряда построим статистический аналог графика плотности распределения случайной величины Задачи по теории вероятности, отобразим значения Задачи по теории вероятности на рис. 10.1:

Задачи по теории вероятности

Далее по формулам (10.7) и (10.8) определим несмещенные оценки математического ожидания и дисперсии:

Задачи по теории вероятности

Далее по формуле (10.13) определим доверительный интервал надежностью 96% для математического ожидания:

Задачи по теории вероятности

Определим Задачи по теории вероятности, которое вычисляется как Задачи по теории вероятности

Задачи по теории вероятности

Аналогично, по формуле (10.15) определим доверительный интервал для дисперсии:
Задачи по теории вероятности