Задачи по технической механике

Задачи по технической механике с решением

 

Если у вас нету времени на задачи по технической механике вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по технической механике помощь в учёбе

 

Аксиомы статики

Все теоремы и уравнения статики выводятся из нескольких исходных положений, принимаемых без доказательств и являющихся обобщением опытов и наблюдений за поведением тел, находящихся в равновесии. Эти положения, неоднократно подтвержденные практикой, называются аксиомами статики.

  • Аксиома 1 (закон инерции). Твердое тело, свободное от внешних воздействий, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Подробнее закон инерции будет рассмотрен в гл. 13.
  • Аксиома 2 (условие равновесия твердого тела под действием двух сил). Свободное твердое тело находится в равновесии под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю Задачи по технической механике и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.2).

Эту аксиому можно переписать следующим образом: Задачи по технической механике если а) Задачи по технической механике б) линии действия Задачи по технической механике и Задачи по технической механике совпадают.

Аксиома 3 (принцип присоединения и отбрасывания системы сил, эквивалентной нулю). Действие данной системы сил на твердое тело не изменится, если к ней добавить или от нее отнять уравновешенную систему сил Задачи по технической механике Задачи по технической механике если Задачи по технической механике

Аксиома 4 (правило параллелограмма сил). Равнодействующая двух сил, приложенных к твердому телу в одной точке под углом друг к другу, равна их геометрической сумме, т. е. выражается по модулю и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.3).

Другими словам Задачи по технической механике если a) Задачи по технической механике б) силы Задачи по технической механике приложены в одной точке.

Аксиома 5. (Закон равенства действия и противодействия). Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Другими словами, действие тела 1 (рис. 1.4) на тело Задачи по технической механике равно и противоположно направлено действию тела 2 на тело 1 Задачи по технической механике т. е. противодействию.

Эту аксиому можно сокращенно записать в следующем виде: a) Задачи по технической механике б) линии действия Задачи по технической механике и Задачи по технической механике совпадают. Силы Задачи по технической механике и Задачи по технической механике хотя и равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, не уравновешивают друг друга, так как они приложены не к одному, а к двум различным телам.

Задачи по технической механике

Аксиома 6 (принцип отвердевания). Если деформируемое тело находится в равновесии, то это равновесие не нарушится, если тело станет твердым (отвердеет). Эта аксиома позволяет применять к любому деформируемому телу условия равновесия, полученные в статике для твердого тела. Условия эти являются необходимыми условиями равновесия деформируемых тел, но не всегда достаточными.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по технической механике с примерами онлайн

 

Следствия из аксиом

Следствие 1. Действие силы на твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Доказательство. Дано твердое тело, на которое действует сила Задачи по технической механике приложенная в точке Задачи по технической механике (рис. 1.5). Возьмем на линии действия этой силы какую-нибудь точку Задачи по технической механике и приложим в ней уравновешенную систему сил Задачи по технической механике Задачи по технической механике что вполне допустимо на основе аксиомы 3. Причем модули всех трех сил будут равны между собой: м направления сил Задачи по технической механике совпадают, а направление силы Задачи по технической механике им противоположно. Полученная система сил Задачи по технической механике но так как силы Задачи по технической механике образуют уравновешенную систему, т. е. Задачи по технической механике то на основа-нии_аксиомы 3 их можно отбросить. Отсюда следует, что Задачи по технической механике

Таким образом, вектор, изображающий силу Задачи по технической механике можно

Задачи по технической механике

считать приложенным в любой точке на линии ее действия. Такой вектор называется скользящим. Полученный результат справедлив только для сил, действующих на твердое тело. В применении к реальным конструкциям данным следствием можно пользоваться только тогда, когда определяются общие условия равновесия этой конструкции под действием лишь внешних сил и не учитываются возникающие в ней внутренние силы и деформации.

Следствие 2. Если к твердому телу приложена уравновешенная система сил, то любая из этих сил, взятая с обратным знаком, является равнодействующей для всех остальных сил.

Доказательство. Дано твердое тело, которое находится в равновесии под действием системьнсил Задачи по технической механике Задачи по технической механике (рис. 1.6). Заменим систему сил Задачи по технической механике одной силой Задачи по технической механике Согласно аксиоме 2 силы Задачи по технической механике должны быть равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, Задачи по технической механике

Из этого следствия можно сделать вывод, что нахождение равнодействующей данной системы сил можно заменить нахождением силы, уравновешивающей эту систему.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по технической механике онлайн

 

 

Виды связей и их реакции.

Аксиома о связях (принцип освобождаемости). Равновесие тела не нарушится, если наложенные на него связи заменить реакциями связей.

Всякое инженерное сооружение (балка, ферма, арка и др.) оказывает давление на опоры, т. е. на тела, препятствующие его перемещению. Силы, равные и противоположные

Задачи по технической механике

этому давлению, называются опорными си лами реакций или просто опорными реакциями. Присоединяя их к активным силам (нагрузкам), получим, согласно аксиоме о связях, уравновешенную систему сил. Таким образом, можем мысленно отбросить опоры, заменив действие их соответствующими опорными реакциями, и рассматривать сооружение как свободное тело, находящееся в равновесии под действием нагрузок и реакций.

В зависимости от характера закрепления тела или от вида опоры можно выделить следующие основные виды идеальных связей (т. е. такие связи, в которых отсутствует трение).

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по технической механике заказать готовую онлайн

 

Гладкая опорная поверхность.

Гладкой называется поверхность, трением тела о которую можно пренебречь. Реакция гладкой связи направлена по нормали1 к поверхностям в их точке касания.

Если одна из соприкасающихся поверхностей имеет

Задачи по технической механике

заостроение, то реакция должна быть направлена по нормали к другой. Например, к гладкому брусу Задачи по технической механике (рис. 1.7, а), опирающемуся в точке Задачи по технической механике на пол и в точке Задачи по технической механике на стену, приложены реакции: Задачи по технической механике — пола и Задачи по технической механике — стены (здесь и далее тело, осуществляющее связь, отмечено штриховкой).

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по технической механике расчетно графическая работа

 

Гибкая нерастяжимая связь.

Связь, выполненная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис. 1.7, б), не дает телу перемещаться от точки подвеса нити по направлению Задачи по технической механике поэтому реакция Задачи по технической механике натянутой нити направлена вдоль ее продольной оси и приложена к телу в точке крепления. К этому виду будем относить связи, осуществляемые с помощью тросов, канатов, цепей и т. д. Работают они только на растяжение.

Жесткий стержень. В некоторых конструкциях опорной связью может являться стержень Задачи по технической механике закрепленный на концах идеальными шарнирами (рис. 1.7, в). Весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой обычно пренебрегают. Вследствие отсутствия трения в шарнирах реакция стержня, согласно 2 й аксиоме, направлена вдоль его продольной оси.

Сферический шарнир. Этот вид связи закрепляет тело таким образом, что оно не может совершать никаких поступательных перемещений в пространстве, а может только поворачиваться относительно трех координатных осей, проходящих через центр шарнира. Для нахождения модуля и направления реакции Задачи по технической механике ее необходимо заменить тремя составляющими Задачи по технической механике с линиями действия, параллельными осям координат (рис. 1.7, г).

Шарнирио-неподвижная опора (рис. 1.8,а). Эта опора препятствует любому поступательному перемещению системы в ее плоскости, но дает ей возможность свободно поворачиваться вокруг оси шарнира (трением в шарнире пренебрегаем). Схематически такая опора изображается двумя стержнями (рис. 1.8, б), шарнирно соединенными на одном конце. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна как по модулю, так и по направлению и, следовательно, характеризуется двумя неизвестными величинами. Для их нахождения реакцию Задачи по технической механике необходимо заменить_двумя взаимно перпендикулярными составляющими Задачи по технической механике

Шарнирно-подвижная опора, (рис. 1.8, в). Эта опора препятствует лишь перемещению, перпендикулярному к опорной плоскости, но не препятствует перемещению осп шарнира параллельно этой плоскости. Реакция шарнир-но-подвижной опоры всегда перпендикулярна опорной плоскости. Таким образом, для шарнирно-подвижной опоры неизвестна только величина реакции. Схематически такая опора изображается в виде одного стержня с шарнирами по концам (рис. 1.8, г). Реакция такой опоры проходит через ось шарнира и направлена вдоль стержня. Шарнирно-неподвижная и шарнирно-подвижная опоры являются опорами балочных систем. Третий вид балочной опоры — жесткая заделка.

 

Основные понятия векторной алгебры

Сложение двух сил. геометрическую сумму Задачи по технической механике Двух сил Задачи по технической механике мы находили по правилу параллелограмма (рис. 1.3). Однако иногда удобнее пользоваться другим построением, которое называется правилом треугольника (рис. 1.9):

Задачи по технической механике

а) от произвольной точки Задачи по технической механике откладываем вектор, изображающий одну из сил, например, Задачи по технической механике т. е. в точку Задачи по технической механике поместим начало вектора Задачи по технической механике

б) из конца вектора Задачи по технической механике откладываем вектор Задачи по технической механике

в) геометрической суммой двух сил Задачи по технической механике называется вектор Задачи по технической механике начало которого совладает с началом вектора Задачи по технической механике а конец — с концом вектора Задачи по технической механике

Модуль Задачи по технической механике определяется из Задачи по технической механике Он может быть найден двумя методами: графическим и графоаналитическим. При графическом решении задачи заданные силы откладываем на чертеже в выбранном масштабе, а затем после проведения вышеуказанных геометрических построений получаем величину в данном масштабе. Графические методы будут подробно рассмотрены в гл. 5. При решении задачи графоаналитическим методом нет необходимости соблюдать масштаб.

В этом случае достаточно знать величину угла между заданными силами, а затем по теореме косинусов имеем

Задачи по технической механике (1.1)

 

 

Сложение системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым неудобным. Для нахождения этим способом суммы сил Задачи по технической механике нужно:

а) в конец первого вектора Задачи по технической механике поместить начало второго вектора Задачи по технической механике в конец вектора Задачи по технической механике поместить начало вектора Задачи по технической механике и т. д.;

б) построить результирующий вектор Задачи по технической механике начало которого совпадает с началом вектора Задачи по технической механике а конец с концом вектора Задачи по технической механике На рис. 1.10 приведен_пример построения суммы Задачи по технической механике четырех векторов Задачи по технической механике

Вектор Задачи по технической механике называют замыкающим вектором многоугольника. При построении силового многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть н_аправлены в одну сторону, а у замыкающего вектора Задачи по технической механике — в противоположную сторону. Если линии действия сил Задачи по технической механике пересекаются в одной точке, то главный вектор этой системы будет равен равнодействующей, приложенной в точке пересечения.

Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости (правило параллелепипеда). Применяя последовательно правило параллелограмма, можно найти геометрическую сумму любого числа сил, приложенных вводной точке. Найдем сначала сумму трех сил Задачи по технической механике, приложенных в точке Задачи по технической механикеи не лежащих в одной плоскости (рис. 1.11).

Сложив по правилу параллелограмма силы Задачи по технической механике получим их сумму Задачи по технической механике Затем, сложив силы Задачи по технической механике найдем сумму Задачи по технической механике трех данных сил Задачи по технической механике Из рис. 2-11 видно, что геометрическая сумма трех сил Задачи по технической механике и Задачи по технической механике не лежащих в одной плоскости, изображается диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах.

Разложение силы по двум заданным направлениям.

Задачи по технической механике

Разложим заданную силу Задачи по технической механике (рис. 1.12, а) по направлениям, заданным прямыми ОВ и ОК, которые лежат в одной плоскости с этой силой. Задача сводится к построению такого параллелограмма, для которого сила Задачи по технической механике будет являться диагональю. Для решения задачи проводим через конец силы Задачи по технической механике прямые, параллельные ОВ и ОК. Силы Задачи по технической механике и будут искомыми составляющими, так как Задачи по технической механике

Разложение можно также произвести построением силового треугольника (рис. 1.12, б)._Для этого от произвольной точки 0 откладываем силу Задачи по технической механикеи через ее конец и начало проводим прямые, параллельные ОВ и ОК, до их взаимного пересечения.

Проекция силы на ось. Проекцией Задачи по технической механике силы Задачи по технической механике на ось Задачи по технической механике (рис. 1.13) называется скалярная величина, равная длине отрезка ОВ, отсекаемого от оси перпендикулярными ей плоскостями, проведенными через начало и конец вектораЗадачи по технической механике

Другими словами, проекция силы на ось равна ее модулю, умноженному на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси:

Задачи по технической механике (1.2)

Проекция будет положительной, если направление силы

Задачи по технической механике

составляет с положительным направлением оси острый угол, и отрицательной — если тупой; т.е. Задачи по технической механике если cos Задачи по технической механике равна нулю, если Задачи по технической механике и отрицательна, если Задачи по технической механике

Разложение силы по направлениям координатных осей.

Для того, чтобы разложить силу Задачи по технической механике по направлениям трех координатных осей, нужно построить на_этих осях такой параллелепипед, для которого вектор Задачи по технической механике будет являться диагональю (рис. 1.14, а).

Проекции вектора Задачи по технической механике на оси прямоугольной декартовой системы координат на основании формул (1.2) будут иметь вид:

Задачи по технической механике (1.3)

Возводя теперь эти выражения почленно в квадрат и складывая их, получим Задачи по технической механике так как Задачи по технической механике Задачи по технической механике В результате выражение для модуля вектора примет вид:

Задачи по технической механике (1.4)

  • Модуль вектора равен квадратному корню из суммы квадратов его проекций на три любые взаимно перпеи дикулярные оси.

Косинус угла между вектором и положительным направлением оси проекций называется направляющим косинусом. Он равен отношению проекции вектора на соответствующую ось к модулю вектора.

Задачи по технической механике

Если вектор силы лежит в одной из координатных плоскостей, например, Задачи по технической механике (рис. 1.14,6), то формулы (1.4) и (1.5) примут вид:

Задачи по технической механике (1.6)

Задачи по технической механике (1.7)

 

 

Геометрические условия равновесия плоской системы сходящихся сил

Система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, называется системой сходящихся сил. В предыдущем параграфе уже отмечалось, что произвольная система сходящихся сил может быть заменена равнодействующей, равной главному вектору данной системы сил. Если система сходящихся сил находится в равновесии, то ее равнодействующая, а следовательно, и ее главный вектор равны нулю.

  • В соответствии с двумя способами определения главного вектора условия равновесия системы сходящихся сил могут быть также записаны в двух формах. Рассмотрим сначала геометрические условия равновесия системы сходящихся сил.

Теорема. Для равновесия свободного твердого тела под действием плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут. Доказательство необходимости. Дано твердое тело, которое находится_в равновесии под действием системы сходящихся сил Задачи по технической механике (рис. 2.1, а). Следовательно, согласно Задачи по технической механике С_другой стороны, согласно 4-й аксиоме статики, Задачи по технической механикеЗадачи по технической механике поэтому Задачи по технической механике Равнодействующая Задачи по технической механике является замыкающим вектором силового многоугольника, а так как она равна нулю, то конец последнего вектора

Задачи по технической механике

совпадает с началом первого вектора, т. е. силовой многоугольник замкнут.

Доказательство достаточности. Так как силовой многоугольник замкнут (рис. 2.1, б), то геометрическая сумма сил системы равна нулю, т. е. Задачи по технической механике Если геометрическая сумма системы сходящихся сил равиа нулю, то система сил уравновешена: Задачи по технической механике а это означает, что тело под действием такой системы находится в равновесии.

 

 

Равновесие трех непараллельных сил

Теорема. Если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, представляют собой уравновешенную систему, то их линии действия пересекаются в одной точке.

Доказательство. Дано тело, которое находится в равновесии под действием трех сил Задачи по технической механике т. е. Задачи по технической механике Задачи по технической механике Продолжим линии действия двух из них, пусть это будут силы Задачи по технической механике так как линии действия сил непараллельны, они пересекутся в некоторой точке Задачи по технической механике (рис. 2.2).

Задачи по технической механике

На основании следствия 1 перенесем их точки приложения в точку Задачи по технической механике и согласно аксиоме 4 заменим эти силы равнодействующей Задачи по технической механике Так как Задачи по технической механике Задачи по технической механике и поскольку тело находится в равновесии, то Задачи по технической механике На основании аксиомы 2 силы Задачи по технической механике должны быть равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, поэтому линия действия силы Задачи по технической механике совпадает с линией действия силы Задачи по технической механикеи, следовательно, проходит через точку Задачи по технической механике пересечения линий действия сил Задачи по технической механике На основании теоремы, доказанной в предыдущем параграфе, ясно, что это условие является необходимым, но не достаточным, т. е. пересечение линий действия трех сил, приложенных к телу, не гарантирует равновесия этого тела.

 

 

Аналитические условия равновесия плоской системы сходящихся сил

Теорема. Для равновесия свободного твердого тела под действием плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций этих сил на каждую из осей системы координат Задачи по технической механике были равны нулю.

Доказательство необходимости. Дано тело, которое находится в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил, следовательно Задачи по технической механике или Задачи по технической механике мы доказали, что модуль любой силы, в том числе и равнодействующей, определяется на плоскости по формуле

Задачи по технической механике

Так как под корнем стоит сумма положительных слагаемых, то Задачи по технической механике обратится в нуль только тогда, когда одновременно

Задачи по технической механике (2.2)

Но так как в свою очередь

Задачи по технической механике (23)

то мы получим доказательство необходимости в следующем виде:

Задачи по технической механике (2.4)

Уравнения (2.4) называются уравнениями равновесия системы сходящихся сил на плоскости.

Доказательство достаточности. Пусть выполняются условия (2.4), тогда будут справедливы и выражения (2.2). Следовательно, Задачи по технической механике т. е. система Задачи по технической механике Задачи по технической механике является уравновешенной системой сил, а это значит, что тело под действием такой системы сил будет находиться в равновесии.

Методика решения задач Решение каждой задачи можно условно разделить на три этапа.

  • Первый этап. Отбрасываем внешние связи системы тел, равновесие которой рассматривается, и заменяем их действие реакциями. Необходимость этого вызвана тем, что положения статики применимы только к свободным от внешних связей телам или системам тел.
  • Второй этап. Расчленяем систему тел на отдельные элементы. Это дает нам возможность определить внутренние силы (если это необходимо).
  • Третий этап. Составляем условия равновесия для каждого отдельного элемента, из которых находим искомые неизвестные величины и направления сил или реакций.

В зависимости от метода решения задач условия равновесия используются в геометрической или аналитической форме.

 

 

Задания с решением

 

Задача 1.

Кронштейн, состоящий из стержней ОВ и ВК, соединенных между собой и со стеной шарнирами, нагружен силой Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике (рис. 2.3,а).

Требуется определить силы, возникающие в стержнях ОВ и ВК, пренебрегая весом самих стержней.

  • Решение:

Реакции стержней ОВ и ВК, равные искомым силам направлены вдоль их осей. Первоначально предположим, что обе реакции положительны (т.е. направлены от узла В), а стержни кронштейна растянуты (рис. 2.3, а).

Графоаналитический метод.

Для определения неизвестных сил строим силовой треугольник (рис. 2.3,6). Из треугольника ВОК определяем модули сил Задачи по технической механике и Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Для определения направлений реакций Задачи по технической механике надо обойти силовой треугольник по его периметру в направлении известной силы Задачи по технической механике (в данном случае по часовой стрелке).

Из построенного силового треугольника видно, что действительное направление реакции Задачи по технической механике противоположно первоначально принятому на рис. 2.3, а.

Задачи по технической механике

Следовательно, стержень ОВ под действием силы Задачи по технической механике будет растянут, а стержень ВК сжат.

Аналитический метод.

Для решения воспользуемся уравнениями равновесия (2.4). В соответствии с выбранным направлением осей (рис. 2.3, в) будем иметь

Задачи по технической механике

Знак минус перед значением Задачи по технической механике указывает на то, что действительное направление этой силы противоположно первоначально принятому на рис. 2.3, а.

Полученные величины усилий полностью совпадают с теми, которые были определены графоаналитическим методом.

 

 

Задача 2.

Требуется определить реакции опор в точках В и К и усилия в стержнях фермы, изображенной на рис. 2.4, а если в узле Задачи по технической механике приложена горизонтальная сила Задачи по технической механике

  • Решение:

Неизвестные реакции и силы будем определять аналитическим методом.

Реакция шарнирно-подвижной опоры Задачи по технической механике направлена по нормали к горизонтальной плоскости. Реакцию шарнирно-неподвижной опоры В заменим двумя составляющими Задачи по технической механике (рис. 2.4,6).

Запишем уравнения равновесия для узлов В, К, О (рис. 2.4, в)

а) Узел В. Задачи по технической механике

б) Узел К. Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

в) Узел 0. Задачи по технической механике

Полученная система шести уравнений содержит шесть неизвестных: Задачи по технической механике Решим эту систему. Из второго уравнения (в) имеем: Задачи по технической механике Задачи по технической механике Тогда из первого уравнения (в) получим Задачи по технической механике Задачи по технической механике

Уравнения (б) с учетом найденного значения Задачи по технической механике запишутся следующим образом: Задачи по технической механике откуда Задачи по технической механике

Подставляя значения Задачи по технической механике и Задачи по технической механике в уравнение (а), будем иметь: Задачи по технической механике Задачи по технической механике откуда Задачи по технической механикеЗадачи по технической механике Знак минус перед значениями Задачи по технической механике и Задачи по технической механике указывает на то, что действительное направление их противоположно принятому на рис. 3.4, б.

Большинство задач статики сводится к определению реакций связей, в частности, к определению реакций опор различного вида. На практике наиболее часто встречаются опоры трех видов:

  • а) шарнирно-подвижная опора;
  • б) шарнирно-неподвижная опора;
  • в) неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка.

Первые два вида опор были рассмотрены.

В случае жесткой заделки исключены какие бы то ни было перемещения балки, как линейные, так и угловые. В этом случае на заделанный конец балки со стороны опорных плоскостей действует некоторая совокупность реакций (рис. 4.6, а), которая представляет собой произвольную плоскую систему сил. Используя теорему о параллельном переносе сил, эту систему заменим одной силой — реакцией Задачи по технической механикеравной главному вектору, и парой с моментом Задачи по технической механике равным главному моменту этих сил относительно точки В (рис. 4.6, а). Эта совокупность силы и пары представляет собой реакцию заделки. Нахождение неизвестной по модулю и направлению реакции Задачи по технической механике можно_заменить нахождением ее двух составляющих Задачи по технической механике Таким образом, для нахождения реакции жесткой_заделки надо определить две проекции силы Задачи по технической механике и момент Задачи по технической механике (рис. 4.6,а). Условное обозначение жесткой заделки показано на рис. 4.6,6.

Все аксиомы и положения статики справедливы для сосредоточенных сил. На практике же часто приходится иметь дело с параллельными силами, расположенными вдоль данной плоскости по некоторому закону. Такая система распределенных сил характеризуется интенсивностью Задачи по технической механике которая равна силе, приходящейся на единицу длины загруженного участка. Измеряется интенсивность в ньютонах на метр Задачи по технической механике При решении задач статики такую систему сил необходимо предварительно заменять ее равнодействующей.

Если нагрузка равномерно распределена вдоль оси сооружения (рис. 4.7,а), то в этом случае интенсивность Задачи по технической механике является величиной постоянной, и равнодействующая Задачи по технической механике такой системы сил будет равна по модулю

Задачи по технической механике (4.16)

Направление силы Задачи по технической механике совпадает с направлением сил,

Задачи по технической механике

образующих систему, а точкой ее приложения является середина отрезка, вдоль которого действует данная система сил.

Если нагрузка распределена вдоль оси сооружения по линейному закону (рис. 4.7,6), то для такой системы сил интенсивность является величиной переменной, изменяющейся от нуля до максимального значения Задачи по технической механике Равнодействующая такой системы сил равна площади ее интенсивности и приложена в центре тяжести Задачи по технической механике на расстоянии Задачи по технической механике от точки Задачи по технической механике

Задачи по технической механике (4.17)

 

 

Задача 3.

На балку ВК с двумя опорами действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Задачи по технической механике пара с моментом Задачи по технической механике и сосредоточенная сила, модуль которой равен Задачи по технической механике (рис. 4.8). Требуется определить неизвестные опорные реакции.

  • Решение:

Для определения неизвестных опорных реакций воспользуемся второй формулой уравнений равновесия. Предварительно заменим равномерно распределенную нагрузку ее равнодействующей Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Из последнего выражения видно, что в случае действия на балку только вертикальной нагрузки горизонтальная составляющая реакции шарнирно-неподвижной опоры будет равна нулю. Для проверки правильности найденных реакций воспользуемся уравнением

Задачи по технической механике

 

 

 

Задача 4.

На консольную балку ВК действует равномерно распределенная нагрузка интенсивностью Задачи по технической механике пара с моментом Задачи по технической механике и сосредоточенная сила, модуль которой равен Задачи по технической механике Задачи по технической механике (рис. 4.6). Требуется определить неизвестные опорные реакции.

  • Решение:

Для определения неизвестных реакций воспользуемся первой формой уравнений равновесия.

Задачи по технической механике

Знак минус указывает на то, что заданное на рис. 4.6 направление реактивного момента Мв противоположно действительному. Для проверки полученных реакций воспользуемся уравнением

Задачи по технической механике

 

 

 

Задача 5.

По лестнице длиной Задачи по технической механике сила тяжести которой равна Задачи по технической механике поднимается человек с силой тяжести Задачи по технической механике (рис. 4.11). Требуется определить наибольший угол между полом и нижним концом лестницы, при котором не произошло бы ее перемещение. Коэффициент трения лестницы о пол и стену 0,5.

  • Решение:

Пусть человек находится на расстоянии Задачи по технической механике от верхнего конца лестницы. В_предельном положении на лестницу действуют активные силы Задачи по технической механике а также нормальные реакции пола и стены Задачи по технической механике и силы трения Задачи по технической механике Последние направлены в стороны, противоположные возможным перемещениям концов лестницы (рис. 4.11). Составим уравнения равновесия лестницы:

Задачи по технической механике

Принимая во внимание, что Задачи по технической механике и подставляя эти выражения в первые два уравнения, получим

Задачи по технической механике

Подставляя найденные значения реакций в третье уравнение равновесия, будем иметь Задачи по технической механике Разделим полученное уравнение на Задачи по технической механике тогда

Задачи по технической механике

Из полученного выражения видно, что при уменьшении расстояния Задачи по технической механике угол Задачи по технической механике увеличивается. Таким образом, самое опасное положение лестницы будет при Задачи по технической механике тогда Задачи по технической механике Это и есть наименьшее значение угла между полом и нижним концом лестницы, при котором не произойдет ее перемещение.

 

 

 

Задача 6.

Пусть_на балку, изображенную на рис. 5.5, действуют силы Задачи по технической механике Требуется определить опорные реакции.

  • Решение:

Выберем масштаб сил Задачи по технической механике и построим_сило-вой многоугольник. Построение останавливается на реакции Задачи по технической механике так как ее направление нам известно, а модуль нет. Известно также,

Задачи по технической механике

что конец силы Задачи по технической механике будет находиться в точке Ь, поскольку силовой многоугольник при равновесии должен быть замкнутым.

Затем строим веревочный многоугольник, начиная его из точки В, где приложена неизвестная по направлению реакции Задачи по технической механике Замыкающая сторона веревочного многоугольника согласно условиям равновесия соединит точки К и В. После этого в силовом многоугольнике проводим из точки Задачи по технической механике прямую, параллельную линии КВ. Точка ее пересечения с линией действия реакции Задачи по технической механике даст нам неизвестную вершину силового многоугольника и позволит определить нам модули и направления искомых реакций. Таким образом, вектор Задачи по технической механике будет изображать в выбранном масштабе реакцию Задачи по технической механике а вектор Задачи по технической механике — реакцию.

 

 

 

Задача 7.

Найти координаты центра тяжести однородной пластинки, изображенной на рис. 7.11.

  • Решение:

Проводим оси координат и разбиваем площадь пластинки на три части: два прямоугольника и треугольник. Центры тяжести прямоугольников находятся на пересечении диагоналей, а центр тяжести треугольника — на пересечении медиан. Определяем координаты центров тяжести каждой части:

Задачи по технической механике

Находим площади частей и площадь всей пластинки.

Задачи по технической механике

Подставляя вычисленные значения в формулы (7.7), получим координаты центра тяжести всей пластинки: Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

 

 

 

Задача 8.

Найти координаты центра тяжести плоского сечения, составленого из швеллера № 30 и равнобокого уголка № 20 с толщиной полки 12 мм (рис. 7.12).

  • Решение:

Из сортамента для прокатной стали имеем: Швеллер № 30 (ГОСТ 8240—72 с изм.), Задачи по технической механике Задачи по технической механике Уголок равнобокий № 20, толщина полки 12 мм (ГОСТ 8504—72 с изм.), Задачи по технической механике

Так как в данном примере ось Задачи по технической механике проходит вдоль нижней полки швеллера и отстоит от нижней полки уголка на 0.3 м, то координата будет равна: Задачи по технической механике

По формулам (7.7) определяем координаты центра тяжести составного сечения Задачи по технической механике

 

 

 

Задача 9.

Гусеничный кран грузоподъемностью Задачи по технической механике сила тяжести которого без стрелы равна Задачи по технической механике установлен на абсолютно жесткой горизонтальной площадке (рис. 8.4). Требуется выполнить проверку устойчивости данного крана.

  • Решение:

Устойчивость крана проверяем в рабочем состоянии (грузовая устойчивость) и в нерабочем (собственная устойчивость). Коэффициенты грузовой и собственной устойчивости должны быть не менее 1,15. Грузовая устойчивость проверяется исходя из опрокидывания крана вокруг ребра В (рис. 8.4, а). В этом случае: Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике где Задачи по технической механике Задачи по технической механике — суммарный опрокидывающий момент, создаваемый давлением ветра на груз Задачи по технической механике стрелу Задачи по технической механике и кабину кранаЗадачи по технической механике

Следовательно: Задачи по технической механике

Собственная устойчивость проверяется исходя из опрокидывания крана вокруг ребра Задачи по технической механике (рис. 8.4,6). В этом случае Задачи по технической механике

Следовательно Задачи по технической механике

 

 

 

Задача 10.

Найти уравнение и закон движения, а также построить график движения точки Задачи по технической механике (рис. 9.7), находящейся на ободе колеса, которое равномерно катится без скольжения по прямой линии. Диаметр колеса равен Задачи по технической механике а закон движения оси колеса задан в виде Задачи по технической механике

  • Решение:

За ось Задачи по технической механике примем прямую линию, по которой катится колесо. Начало координат Задачи по технической механике возьмем в точке Задачи по технической механике на ободе колеса в начальный момент времени.

В некоторый момент времени Задачи по технической механике ось колеса займет положение Задачи по технической механике (см. рис. 9.7). При этом точка окружности Задачи по технической механике герейдет в положение Задачи по технической механике а сама окружность колеса будет касаться оси Задачи по технической механике в точке Задачи по технической механике Так как колесо катится без скольжения, то длина дуги Задачи по технической механике будет равна расстоянию Задачи по технической механике Таким образом, угол Задачи по технической механике на который повернулась точка Задачи по технической механике будет равен:

Задачи по технической механике

Найдем абсциссу Задачи по технической механике точки Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Из прямоугольного треугольника Задачи по технической механике легко можно найти

Задачи по технической механике

Значит

Задачи по технической механике

Аналогично находится координата Задачи по технической механике точки Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Итак, уравнения движения точкиЗадачи по технической механике

Задачи по технической механике (9.9)

Теперь найдем траекторию точки Задачи по технической механике исключив из уравнения ее движения время Задачи по технической механике Для этого запишем эти уравнения в виде

Задачи по технической механике

Возведя обе части каждого из последних соотношений в квадрат и складывая полученные равенства, будем иметь Задачи по технической механикеЗадачи по технической механике или Задачи по технической механике

Следовательно

Задачи по технической механике (9.10)

В это равенство входит время Задачи по технической механике которое можно найти из второго уравнения движения точки Задачи по технической механике (9.9):

Задачи по технической механике, то есть Задачи по технической механике

Тогда, подставляя найденное время Задачи по технической механике в соотношение (9.10), мы получим зависимость между Задачи по технической механике и Задачи по технической механике Задачи по технической механике Задачи по технической механике

Найденная траектория точки Задачи по технической механике которая называется циклоидой, показана на рис. 9.8.

Определим теперь закон движения точки Задачи по технической механике по этой траектории. Для этого вычислим производные от Задачи по технической механике

Задачи по технической механике

Подставляя эти значения в равенства (9.8), будем иметь

Задачи по технической механике

При вычислении интеграла было принято, что время меньше Задачи по технической механике

Окончательно получим закон движения точки Задачи по технической механике в следующем виде:

Задачи по технической механике (9.11)

График движения точки Задачи по технической механике показан на рис. 9.9.