Задачи по сопромату

Задачи по сопромату с решением

 

Если у вас нету времени на задачи по сопротивлению материалов вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по сопромату помощь в учёбе

 

Основные задачи курса сопротивления материалов

В курсе сопротивления материалов изучаются основы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Несмотря на чрезвычайное разнообразие форм элементов конструкций (деталей машин, аппаратов, приборов и сооружений), с большей или меньшей степенью точности каждый из них для целей расчета можно рассматривать либо как брус (прямой или кривой), либо как пластинку или оболочку, либо как массивное тело.

В общем курсе сопротивления материалов рассматриваются в основном расчеты прямого бруса. Кроме того, дается расчет тонкостенных резервуаров и толстостенных труб, брусьев большой кривизны, гибких нитей, а в отдельных случаях и некоторые другие вопросы.

Под действием внешних сил (нагрузок), приложенных к брусу, он деформируется, при этом с достаточной для практических целей точностью можно считать, что до известных пределов

нагружения эти деформации являются упругими, т. е. исчезают после снятия нагрузки. Деформации, не исчезающие после снятия нагрузки, называют остаточными, или пластическими.

Из перечисленных трех категорий расчетов (на прочность, жесткость и устойчивость) основным является расчет на прочность. В настоящее время существует два основных принципиально различных подхода к расчету на прочность. Согласно первому из них прочность элемента конструкции считается нарушенной, если при действии приложенных к нему нагрузок хотя бы в одной его точке появляются признаки хрупкого разрушения или возникают пластические деформации. Иными словами, при таком подходе к расчету под нарушением прочности понимают не только разрушение в буквальном смысле слова (появление трещин, излом и т. п.), но и возникновение пластических деформаций (хотя бы местных).

Соответствующий метод расчета называют расчетом по опасной точке, или расчетом по допускаемым напряжениям.

При втором подходе к расчету нарушение прочности отождествляется с исчерпанием несущей способности конструкции, т. е. с переходом ее в такое состояние, при котором конструкция не оказывает сопротивления возрастанию действующих на нее нагрузок. Указанное состояние конструкции, называемое предельным, характеризуется ростом ее деформаций при постоянной (предельной) величине нагрузки. Соответствующий метод расчета называют расчетом по предельным нагрузкам*.

Расчет по предельным нагрузкам применим только к конструкциям из пластичных материалов при статическом действии нагрузок. Переход в предельное состояние связан с появлением пластических деформаций (возникновением текучести материала) не в одной и даже не в нескольких точках, а во всех точках элемента конструкции или некоторых его сечений.

Для обеспечения нормальной работы конструкции во многих случаях необходимо, чтобы упругие перемещения отдельных точек и сечений ее элементов не превышали некоторых малых, наперед заданных величин.

Расчет, целью которого является обеспечение указанных требований об ограничении упругих перемещений, называется расчетом на жесткость.

На устойчивость необходимо рассчитывать такие элементы конструкции, характер деформации которых претерпевает резкое качественное изменение при достижении нагрузкой некоторого определенного значения, называемого критическим. Примером может служить сравнительно гибкий сжатый стержень — при нагрузке меньшей критической он работает на сжатие, а при ее превышении — на сжатие и изгиб. Расчет должен обеспечить устойчивость первоначальной (прямолинейной) формы оси стержня (подробнее см. гл. XIII).

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение сопромата онлайн на заказ

 

Внутренние силовые факторы

 

Рассматриваемые в курсе сопротивления материалов расчеты связаны с необходимостью установления зависимостей между внешними силами, действующими на элементы конструкций, и возникающими при этом внутренними силами. Для этой цели используется метод сечений. Применительно к брусу метод сечений служит в первую очередь для определения внутренних сил, возникающих в поперечных сечениях бруса.

При этом определяется статический эквивалент системы возникающих в сечении внутренних сил — их главный вектор и главный момент. Практически вместо отыскания величины и направления главного вектора и главного момента определяют их составляющие по осям координат* (три составляющие главного вектора и три составляющие главного момента).

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил носят название внутренних силовых факторов или усилий в сечении.

На рис. 1.1, а показан прямой брус, находящийся в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил (напомним, что опорные реакции также входят в число внешних сил), а на рис. 1.1, б —

Задачи по сопромату

отсеченная часть бруса с соответствующими внешними силами (приложенными к этой части) и внутренними силовыми факторами, возникающими в проведенном сечении и заменяющими действие отброшенной части бруса на оставленную.

Каждый из шести внутренних силовых факторов соответствует определенному виду деформации бруса:

  • Задачи по сопромату — продольная сила, возникает при работе бруса на растяжение или сжатие;
  • Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — поперечные силы, соответствуют деформации сдвига (среза);
  • Задачи по сопромату — крутящий момент, возникает при работе бруса на кручение;
  • Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — изгибающие моменты, каждый из которых соответствует изгибу бруса в одной из координатных плоскостей.

В зависимости от характера нагружения бруса в каждом из его поперечных сечений возникают те или иные из указанных внутренних силовых факторов.

Составляя для оставленной части бруса шесть уравнений равновесия, можно найти значение каждого из внутренних силовых факторов. При этом в каждое из уравнений равновесия входит лишь один из внутренних силовых факторов.

Закон изменения каждого из внутренних силовых факторов по длине бруса наиболее удобно представить в виде графика — эпюры данного силового фактора. При построении эпюр аргументом является координата поперечного сечения бруса, а функцией — силовой фактор, закон изменения которого исследуется.

 

 

Напряжения

Задачи по сопромату

Внутренние силы распределены по сечению непрерывно, при этом их значения в разных точках сечения в общем случае неодинаковы. Метод сечений не позволяет найти закон распределения внутренних сил, а дает только их статический эквивалент. Задача о распределении внутренних сил статически неопределима; методы ее решения применительно к различным видам деформаций бруса (растяжению, кручению и т. д.) рассматриваются в соответствующих главах курса. При этом определяется интенсивность внутренних сил в различных точках рассматриваемого сечения.

 

Величина, характеризующая интенсивность внутренних сил, называется напряжением. Иными словами, напряжением в данной точке сечения называется предел отношения элементарной внутренней силы к площади выделенной в сечении площадки (рис. 1.2) при стремлении последней к нулю («стягивании» в точку):
Задачи по сопромату

Необходимо подчеркнуть, что если через ту же точку провести другое сечение, то и напряжение (в общем случае) получится иное, т. е. напряжение зависит не только от положения точки, но и от

направления (ориентировки в пространстве) сечения, проведенного через эту точку.

Напряжение р можно разложить на две составляющие: по нормали к сечению — нормальное напряжение о и составляющую, лежащую в плоскости сечения.— касательное напряжение т (рис. 1.3).

Касательное напряжение, в свою очередь, можно разложить на две составляющие, направленные вдоль координатных осей. Таким образом, вектор напряжения в данной точке по данной площадке дает три составляющие, показанные на рис. 1.4.

Задачи по сопромату

Индексы у составляющих (компонентов напряжения) ставят по следующим правилам: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке («адрес» площадки действия рассматриваемого напряжения), а второй — какой оси параллельно напряжение. При этом правиле у нормальных напряжений должны получаться два одинаковых индекса; принято указывать лишь один из них.

 

 

По методу определения (экспериментальный или расчетно-теоретический) и месту, занимаемому в расчетах на прочность, различают следующие виды напряжений:

  • 1. Предельные напряжения, при достижении которых появляются заметные пластические деформации (если материал пластичный) или признаки хрупкого разрушения (если материал хрупкий). Эти напряжения определяются при механических испытаниях материала и зависят от его свойств и вида деформации (растяжение, сжатие и т. д.). При статическом осевом нагружении роль предельного напряжения для пластичного материала играет физический предел текучести сгт или условный предел текучести Задачи по сопромату а для хрупкого — предел прочности*Задачи по сопроматуДля хрупко-пластичных материалов, несколько лучше сопротивляющихся сжатию, чем растяжению (некоторые легированные стали), в качестве предельных напряжений принимают условные пределы текучести: Задачи по сопромату при растяжении и Задачи по сопромату при сжатии** Задачи по сопромату
  • 2. Напряжения, возникающие в нагруженной конструкции, называют расчетными (рабочими) Задачи по сопромату Они зависят от нагрузок и размеров рассчитываемого элемента конструкции.
  • 3. Наибольшие напряжения, при которых прочность и долговечность конструкции обеспечены,"называют допускаемыми и обозначают Задачи по сопромату

Допускаемое напряжение составляет некоторую часть от предельного, а следовательно, в первую очередь зависит от материала рассчитываемой детали; кроме того, на величину допускаемого напряжения влияет точность методов расчета, однородность материала, степень ответственности рассчитываемого элемента (или конструкции в целом) и ряд других факторов.

 

 

Коэффициент запаса, условие прочности

 

Отношение предельного напряжения к наибольшему расчетному называют коэффициентом запаса прочности
Задачи по сопромату

Коэффициент запаса прочности (фактический) должен быть не меньше требуемого (заданного, допускаемого, нормативного) для данного элемента конструкции

Задачи по сопромату

Приведенное неравенство является условием прочности. Во многих случаях удобнее вести расчет на прочность, пользуясь понятием о допускаемом напряжении, которое равно отношению предельного напряжения к требуемому коэффициенту запаса прочности

Задачи по сопромату

При использовании понятия о допускаемом напряжении условие прочности представляют в виде:

Задачи по сопромату

Если максимальное рабочее напряжение значительно меньше допускаемого, конструкция является излишне тяжелой, неэкономичной.

  • Незначительное превышение рабочего напряжения над допускаемым неопасно для прочности конструкции, так как требуемый (нормативный) коэффициент запаса имеет для пластичного материала даже при наиболее благоприятных условиях работы и высокой точности расчета значение порядка 1,4 — 1,5, а для хрупкого материала не ниже 3 — 4. Для пластичного материала значение коэффициента запаса указано по отношению к пределу текучести, а для хрупкого — к пределу прочности (к временному сопротивлению).

Все сказанное о коэффициентах запаса и условиях прочности относится в основном к расчету по опасной точке (см. с. 5). При расчете по предельным нагрузкам под коэффициентом запаса следует понимать отношение нагрузки (силы, момента пары сил и т. п.), при которой наступает переход в предельное состояние (Задачи по сопромату Задачи по сопромату и т. п.), к фактически действующей нагрузке

Задачи по сопромату

Условие прочности удобнее всего представлять в виде:

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — требуемый (нормативный) коэффициент запаса прочности.

Несмотря на тождественность формы записи условий прочности при расчетах по опасной точке и по предельной нагрузке, эти расчеты принципиально различны, как это следует из пояснений, приведенных на с. 6 (подробнее см. гл. XIV).

 

 

Растяжение и сжатие

 

Основные сведения из теории

При работе бруса на растяжение (сжатие) в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила Задачи по сопромату представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса, т. е.
Задачи по сопромату

В дальнейшем, как правило, будем обозначать продольную силу Задачи по сопромату опуская индекс z.

Для расчета на прочность и для определения перемещений поперечных сечений бруса надо знать закон изменения продольных сил по его длине.

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения (на отсеченную часть — о. ч. бруса), т. е.

Задачи по сопромату

При растяжении продольную силу принято считать положительной.

Закон изменения продольной силы по длине бруса целесообразно представлять в виде графика — эпюры продольных сил. При построении этого графика аргументом является координата поперечного сечения, а функцией — продольная сила.

В поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — площадь поперечного сечения.

Удлинение или укорочение (изменение длины) бруса длиной Задачи по сопромату имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что продольная сила во всех сечениях одинакова, определяется по формуле

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату — модуль продольной упругости — физическая константа, характеризующая жесткость материала при линейной деформации. Для стали Задачи по сопромату

Произведение Задачи по сопромату обычно* называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии), а жесткостью бруса (участка бруса) называют отношение Задачи по сопромату численно равное силе, вызывающей удлинение (укорочение), равное единице длины, например 1 мм.

При решении статически неопределимых задач в ряде случаев удобно пользоваться величиной, обратной с, эту величину можно назвать коэффициентом податливости

Задачи по сопромату

Величина Задачи по сопромату численно равна изменению длины бруса (участка бруса) под действием осевой силы, равной единице силы, например 1 Н.

В случае если брус имеет ступенчато-переменное сечение, то для определения изменения его длины формулу (2.2) следует применить отдельно к каждому из участков, в пределах которого Задачи по сопромату и Задачи по сопромату и результаты просуммировать (см. ниже задачу 2.1).

Если сечение бруса и продольная сила, или одна из этих величин меняются непрерывно (например, брус в виде усеченного конуса или брус, растягиваемый действием собственной силы тяжести), то изменение длины бруса следует определять по формуле

Задачи по сопромату

В частном случае бруса постоянного сечения, находящегося под действием собственной силы тяжести, изменение его длины определяется по формуле
Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — сила тяжести (вес) бруса.

В наиболее общем случае, когда законы изменения поперечного сечения и продольной силы различны для отдельных участков бруса, изменение его длины определяется по формуле

Задачи по сопромату

Отношение удлинения (укорочения) бесконечно малого элемента бруса длиной Задачи по сопромату к его первоначальной длине называется продольной деформацией, или относительным удлинением (укорочением)

Задачи по сопромату

В известных пределах, зависящих от свойств материала, между продольной деформацией и соответствующим нормальным напряжением существует линейная зависимость

Задачи по сопромату

Зависимость (2.6) является математическим выражением закона Гука при линейной деформации.

Приведенные ранее формулы (2.2) ч- (2.5) получены на основе этого закона.

Как известно, при растяжении бруса его поперечное сечение уменьшается, а при сжатии — увеличивается.

Отношение поперечной деформации Задачи по сопромату к продольной Задачи по сопромату взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона (или коэффициентом поперечной деформации)

Задачи по сопромату

Коэффициент Пуассона является физической константой данного материала. Значения его лежат в пределах Задачи по сопромату (Задачи по сопромату для пробки и Задачи по сопромату для парафина). Для подавляющего большинства металлов и сплавов Задачи по сопромату

Так же как и при других видах деформации, расчеты на прочность при растяжении (сжатии) в зависимости от постановки задачи (цель расчета) могут быть разделены на три категории:

  • а) проверка прочности (проверочный расчет);
  • б) определение допускаемой нагрузки (разновидность проверочного расчета);
  • в) определение требуемых размеров поперечного сечения бруса (проектный расчет).

При проверочном расчете нагрузки, размеры и материал (допускаемое или предельное напряжения) известны. В результате расчета определяется наибольшее расчетное напряжение и сравнивается с допускаемым. Расчетная зависимость (условие прочности) в этом случае имеет вид:

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном поперечном сечении (т. е. сечении, в котором возникают наибольшие напряжения);

Задачи по сопромату — его площадь;

Задачи по сопромату — допускаемое напряжение.

Если вместо допускаемого напряжения задано предельное, то проверка прочности производится по зависимости

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — коэффициент запаса прочности (фактический) для опасного сечения бруса;

Задачи по сопромату — требуемый (заданный или нормативный) коэффициент запаса прочности;

Задачи по сопромату- предельное напряжение, принимаемое, как указано на с. 9, 10;
Задачи по сопромату — напряжение в опасном сечении.

Зависимости для двух остальных случаев расчета получаются путем преобразования формулы (2.7).

Так, имеем:

при определении допускаемой нагрузки

Задачи по сопромату

при проектном расчете требуемая площадь опасного сечения определяется по формуле

Задачи по сопромату

Во всех случаях в расчетные формулы входит внутренний силовой фактор — продольная сила, которая должна быть выражена с помощью метода сечений через внешние силы.

Следует заметить, что для брусьев из материалов, которые неодинаково сопротивляются растяжению и сжатию (например, чугун), опасным может оказаться не то сечение, где возникают наибольшие (по абсолютной величине) напряжения. Опасным является сечение, для которого коэффициент запаса прочности минимален. Конечно, приведенное определение верно и при одинаковом сопротивлении материала бруса растяжению и сжатию, т. е. такое определение понятия «опасное сечение» является наиболее общим.

Если использование только равнений равновесия для отсеченной части бруса или какои-либо системы не позволяет определить внутренние силы, систему называют статически неопределимой. Для ее решения необходимо составить помимо уравнений статики уравнения перемещений, основанные на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании закона Гука. Методика решения таких задач рассматривается в Приложении 1.

 

 

Возможно, вас также заинтересует этот блок ссылок:

Сопромат решение задач

Заказать решение задачи по сопромату

Сопромат помощь в решении задач

Контрольные по сопромату с решением онлайн

 

Примеры расчетов на растяжение (сжатие)

 

А. Статически определимые системы

Задача с решением 2.1.

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис. 2.1, а. Материал бруса сталь Ст. 3; Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Решение:

Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка.

При применении метода сечений, как известно, принципиально безразлично, равновесие какой из отсеченных (левой или правой) частей бруса рассматривать. В данном случае, применяя метод сечений, будем оставлять левую и отбрасывать правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки.

Проведем произвольное сечение Задачи по сопромату на участке Задачи по сопромату и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 2.1, б. Продольная сила в этом сечении Задачи по сопромату эту силу находим, проектируя на ось Задачи по сопромату бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Легко видеть, что то же значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка Задачи по сопромату т. е. Задачи по сопромату (для произвольного сечения Задачи по сопромату проведенного на участке Задачи по сопромату продольная сила определяется на основе рис. 2.1, в).

Проводя сечение на участке Задачи по сопромату например Задачи по сопромату и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис. 2.1, г, найдем:

Задачи по сопромату

  • После приобретения некоторого навыка в применении метода сечений можно не изображать отдельно отсеченную часть, а просто пользоваться соотношением

Задачи по сопромату

Заметим, что реакция заделки равна Задачи по сопромату

Таким образом, если определять значения продольных сил, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть бруса, конечно, получим те же результаты.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется Задачи по сопромату

по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного или даже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении бруса (рис. 2.1, д).

Эпюру нормальных напряжений (рис. 2.1, ё) получим, разделив значения Задачи по сопромату

на соответствующие площади поперечных сечений бруса.

Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.

Абсолютное (т. е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение Задачи по сопромату

произвольного поперечного сечения равно изменению

длины части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями.

Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемленного конца. Перемещение произвольного сечения Задачи по сопромату взятого в пределах участка Задачи по сопромату бруса, равно удлинению части бруса длиной Задачи по сопромату (см. рис. 2.1, а)

Задачи по сопромату

Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечений, совпадающих с границами участков.

Перемещение сечения Задачи по сопромату равно удлинению участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Перемещение сечения Задачи по сопромату относительно сечения Задачи по сопромату равно удлинению участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Абсолютное перемещение сечения Задачи по сопромату равно перемещению сечения Задачи по сопромату плюс перемещение сечения Задачи по сопромату относительно Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Перемещение сечения Задачи по сопромату относительно Задачи по сопромату равно удлинению участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Абсолютное перемещение сечения Задачи по сопромату найдем, просуммировав 'величины Задачи по сопромату и Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Построенная по полученным данным эпюра перемещений показана на рис. 2.1, ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечении, являющихся границами участков.

Следует иметь в виду, что тангенсы углов наклона отдельных участков эпюры А пропорциональны ординатам эпюры с на соответствующих участках. Так, например, для участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Указанную зависимость между эпюрами рекомендуется использовать для, так сказать, качественного контроля эпюры перемещений, т. е. не для окончательной оценки правильности эпюры, но, по крайней мере, для оценки ее правдоподобности. Имеются в виду следующие показатели правдоподобности эпюры Задачи по сопромату а) чем больше ординаты эпюры Задачи по сопромату тем больший наклон к оси абсцисс имеет эпюра Задачи по сопромату (предполагается, что материал всех участков бруса одинаков);

б) при перемене знака Задачи по сопромату меняет знак тангенс угла наклона эпюры Задачи по сопроматуРис. 2.2 иллюстрирует построение эпюры перемещений на основе принципа независимости действия сил. На рис. 2.2, б показана

Задачи по сопромату

эпюра Задачи по сопромату от действия только силы Задачи по сопромату (рис. 2.2, а), а на рис. 2.2, г — эпюра Задачи по сопромату от действия только силы Задачи по сопромату (рис. 2.2, в). Просуммировав указанные эпюры, получим эпюру по рис. 2.1, ж.

 

 

Задача с решением 2.2.

Определить удлинение дюралюминиевой полосы переменного сечения (рис. 2.3). Принять Задачи по сопромату

Решение:

Для определения удлинения бруса (полосы) непрерывно переменного поперечного сечения применим формулу (2.3)

Задачи по сопромату

В нашем случае Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Переменную площадь сечения Задачи по сопромату следует выразить через заданные размеры и координату Задачи по сопромату поперечного сечения; при этом для упрощения последующих выкладок примем начало координат в точке Задачи по сопромату пересечения боковых сторон трапеции, представляющей

Задачи по сопромату

собой вертикальную проекцию полосы (рис. 2.4). Из подобия треугольников Задачи по сопромату и Задачи по сопромату получаем:

Задачи по сопромату

откуда

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Площадь Задачи по сопромату произвольного поперечного сечения с абсциссой Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

при этом

Задачи по сопромату

или

Задачи по сопромату

и окончательно

Задачи по сопромату

Подставив Задачи по сопромату в формулу для удлинения, получим

Задачи по сопромату

Подставив числовые значения, найдем:

Задачи по сопромату

 

 

 

Б. Статчески неопределимые системы

 

Задача с решением 2.4.

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами Задачи по сопромату и Задачи по сопромату приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 2.6, а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Решение:

В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой, и статика дает лишь одно уравнение равновесия

Задачи по сопромату

или

Задачи по сопромату

Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например правую, и заменим ее действие на брус соответствующей силой реакции Задачи по сопромату В результате получен брус, защемленный одним концом (статически определимый брус) и нагруженный, кроме заданных сил Задачи по сопромату и Задачи по сопроматунеизвестной пока силой Задачи по сопромату (рис. 2.6, б).

Брус по рис. 2.6, б нагружен так же, как заданный — эквивалентен заданному. Следовательно, перемещение сечения Задачи по сопромату рассматриваемого бруса равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) это сечение жестко заделано

Задачи по сопромату

Подчеркиваем, что Задачи по сопромату — суммарное перемещение сечения Задачи по сопромату т. е. от действия всех сил Задачи по сопромату Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений в виде

Задачи по сопромату

т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату — удлинению участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату — сумме удлинении участков Задачи по сопромату и Задачи по сопромату

Задачи по сопромату — сумме укорочений участков Задачи по сопромату и Задачи по сопромату

Подчеркнем еще раз, что определяя перемещение сечения Задачи по сопромату от каждой силы в отдельности, предполагаем, что она действует только одна (конечно, с соответствующей ей реакцией опоры Задачи по сопромату ), а остальные силы в это время отсутствуют.

Подставив найденные значения Задачи по сопромату в уравнение перемещений, получим

Задачи по сопромату

откуда Задачи по сопромату Окончательно получаем Задачи по сопромату Задачи по сопромату

Конечно, можно не определять специально реакцию Задачи по сопромату левой заделки, так как она численно равна продольной силе в сечениях крайнего левого участка бруса, а эпюру продольных сил можно строить, начиная с правого конца.

Построение эшоры продольных сил и нормальных напряжений ничем не отличается от рассмотренного в задаче 2.1, так как после определения реакции Задачи по сопромату брус по рис. 2.6, б представляет собой статически определимый брус, нагруженный известными силами. Упомянутые эпюры представлены на рис. 2.6, в, г.

  • Эпюру перемещений строим, начиная с левого конца бруса; при построении используем эпюру Задачи по сопромату Построение эпюры перемещений служит в некоторой степени для контроля правильности решения задачи. Действительно, начиная строить эпюру от левого заделанного конца и получая в сечении Задачи по сопромату ординату эпюры, равную нулю, мы тем самым имеем подтверждение правильности определения реакций. Вычисления характерных ординат эпюры не приводим, ограничиваясь их указанием на чертеже (рис. 2.6, д).

Для контроля правильности решения рассмотренной и подобных ей задач можно проверить, соблюдается ли равенство потенциальной энергии деформации бруса и работы приложенных к нему внешних сил.

Выполним эту проверку для решенной задачи.

Потенциальная энергия деформации бруса ступенчато-переменного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенными силами, определяется по формуле

Задачи по сопромату

Применительно к данной задаче имеем:

Задачи по сопромату

Работа внешних сосредоточенных сил определяется по формуле

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — перемещение точки приложения сил Задачи по сопромату вызванное действием всех приложенных к брусу сил.

Значения Задачи по сопромату берем из построенной эшоры перемещений (см. рис. 2.6, д):

Задачи по сопромату

Таким образом, равенство Задачи по сопромату выполняется.

Кратко остановимся на особенностях решения некоторых задач, аналогичных рассмотренной.

1. Предположим, что до нагружения бруса между его правым торцом и заделкой имелся малый зазор Задачи по сопромату Если при нагружении бруса зазор не закрывается, то система статически определима (см. задачу 2.1). Если величина абсолютного удлинения бруса (в предположении, что он может деформироваться свободно, т. е. правая заделка вообще отсутствует) больше зазора, то между правым торцом бруса и заделкой после его нагружения возникнет сила взаимодействия, определить которую с помощью одних лишь уравнений статики нельзя — система будет статически неопределима. Отличие ее от предыдущей (2.4) состоит в том, что суммарное (от заданных сил и правой опорной реакции) перемещение правого торца бруса следует приравнять не нулю, а величине зазора

Задачи по сопромату

В остальном решение не отличается от рассмотренного.

2. Если брус, подобный рассмотренному в задаче 2.4, подвергается нагреву (или охлаждению) на Задачи по сопромату то, составляя выражение для суммарного перемещения сечения Задачи по сопромату надо учесть свободное температурное удлинение (укорочение) бруса. Например, если брус нагревается по всей длине, то

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — коэффициент температурного линейного расширения;

Задачи по сопромату — длина бруса.

В случае наличия зазора (до нагружения и нагрева) между торцом бруса и заделкой суммарное перемещение, вычисленное с учетом влияния температуры, следует, как уже указывалось, приравнять величине зазора. Конечно, это имеет смысл лишь при условии, что при нагружении и нагреве бруса зазор закрывается, в противном случае — система статически определима.

 

Возможно, вас также заинтересует этот блок ссылок:

Решение задач по сопромату с примерами онлайн

Помощь по сопромату онлайн

Курсовая работа по сопромату заказать готовую онлайн

РГР по сопромату расчетно графическая работа

 

 

Основы теории напряженного и деформированного состояния

 

Основные сведения из теории

Исследование напряженного состояния в точке тела

Напряженное состояние в точке тела характеризуется совокупностью всех нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку*. В общем случае среди этого бесчисленного множества площадок есть три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки называют главными; возникающие на них нормальные напряжения также называют главными и обозначают Задачи по сопромату ри этом индексы расставляют таким образом, чтобы были соблюдены следующие неравенства (в алгебраическом смысле): Задачи по сопромату

Различают линейное (или одноосное), плоское (или двухосное) и объемное (или трехосное) напряженные состояния. При линейном напряженном состоянии только одно из главных напряжений (Задачи по сопромату при одноосном растяжении или Задачи по сопромату при одноосном сжатии) отлично от нуля. При плоском напряженном состоянии не равны нулю два главных напряжения и, наконец, при объемном — все три главных напряжения отличны от нуля. Бесконечно малые элементы, выделенные главными площадками в окрестностях точек тела, находящихся в объемном, плоском и линейном напряженном состояниях, показаны (для случая положительных главных напряжений) на рис. 3.1, а, б, в.

Отметим, что в тех частных случаях, когда два из главных напряжений (или все три) равны между собой, главных площадок не три, а бесчисленное множество. Никакие промежуточные случаи невозможны, т. е. главных площадок либо три, либо бесконечное множество.

Максимальные касательные напряжения возникают на площадках, составляющих углы по 45° с площадками действия максимального Задачи по сопромату и минимального Задачи по сопромату главных напряжений.

Площадка действия максимального касательного напряжения показана (заштрихована) на рис. 3.2; вторая площадка (перпендикулярная указанной) для упрощения чертежа не изображена. Касательные напряжения на этих двух площадках равны по абсолютной величине, что вытекает из закона парности касательных напряжений, формулировка которого приведена несколько ниже.

Задачи по сопромату

Максимальные касательные напряжения связаны с главными зависимостью

Задачи по сопромату

  • Для исследования напряженного состояния в данной точке тела (конструкции), т. е. для получения зависимостей, позволяющих определить напряжение по любой, проходящей через указанную точку площадке, должны быть известны напряжения по каким-либо грем (любым) взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Эти площадки и возникающие на них напряжения называют исходными. Для элементов (точек), показанных на рис. 3.1 и 3.2, исходными являются главные площадки.

В наиболее общем случае вектор напряжения, возникающего на каждой из исходных площадок, может быть представлен в виде трех составляющих (рис. 3.3)*. Эти девять составляющих носят название компонентов напряженного состояния в данной точке. Из указанных девяти компонентов независимыми являются шесть, так как составляющие касательных напряжений попарно равны друг другу:

Задачи по сопромату

Приведенные соотношения выражают закон парности касательных напряжений: на любых двух взаимно перпендикулярных

гранях элемента составляющие касательных напряжений, направленные перпендикулярно к общему ребру этих граней, всегда равны по величине и направлены либо к этому ребру, либо от него.

Задачи по сопромату

Остановимся несколько подробнее на исследовании плоского напряженного состояния. При плоском напряженном состоянии всегда можно выделить элемент таким образом, чтобы одна из его граней была свободна от напряжений (рис. 3.4). Эта грань является одной из главных площадок (касательные напряжения на ней отсутствуют),

Задачи по сопромату

ее можно назвать нулевой главной площадкой. Обычно ограничиваются определением напряжений, возникающих на площадках, принадлежащих серии* (семейству) площадок, перпендикулярных свободной от напряжений грани элемента. Нормальное и касательное напряжения, возникающие на произвольной площадке, нормаль к которой составляет угол Задачи по сопромату с осью Задачи по сопромату определяются по формулам:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Угол Задачи по сопромату отсчитывается от оси Задачи по сопромату против хода часовой стрелки. При пользовании как формулами (3.2), (3.3), так и формулами, приведенными ниже, придерживаются следующих правил знаков: растягивающее нормальное напряжение считают положительным; касательное напряжение считают положительным, если внешнюю нормаль к площадке его действия надо повернуть на 90° по часовой стрелке для того, чтобы ее направление совпало с направлением Задачи по сопромату (рис. 3.5).

Задачи по сопромату

Среди площадок рассматриваемой серии есть две главные площадки, направления нормалей к которым определяются из выражения

Задачи по сопромату

Величины соответствующих главных напряжений определяют по формуле

Задачи по сопромату

Здесь принят индекс «гл», так как до определения величин этих напряжений нельзя установить, следует ли их обозначить Задачи по сопромату и Задачи по сопромату или Задачи по сопромату и Задачи по сопромату и т. п. (см. ниже 3.2).

Максимальное касательное напряжение после определения величин главных напряжений находят по формуле (3.1).

В случае если на одной из исходных (ненулевых) площадок отсутствует нормальное напряжение (рис. 3.6), напряженное состояние иногда называют упрощенным плоским*. В этом случае взамен формул (3.2), (3.3), (3.4) имеем:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Главные напряжения определяются формалами:

Задачи по сопромату

Подчеркнем, что для данного типа напряженного состояния характерно равенство нулю всегда промежуточного по величине главного напряжения.

Из формул (3.1) и (3.9) следует, что для упрощенного плоского напряженного состояния

Задачи по сопромату

Упрощенное плоское напряженное состояние наиболее часто встречается при практических инженерных расчетах, так как именно этот тип напряженного состояния имеет место в точках бруса в общем случае его нагружения (см. гл. X).

Частным случаем плоского напряженного состояния является чистый сдвиг. При чистом сдвиге в окрестности точки можно выделить элемент таким образом, чтобы по четырем его граням действовали только равные по модулю касательные напряжения, а две грани были от напряжений свободны (рис. 3.7). При чистом сдвиге не равные нулю главные напряжения связаны с исходными касательными напряжениями зависимостью

Задачи по сопромату

Промежуточное по величине главное напряжение Задачи по сопромату

Таким образом, чистый сдвиг можно охарактеризовать как такое плоское напряженное состояние, при котором не равные нулю главные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку. Подчеркнем также, что показанные на рис. 3.7 исходные касательные напряжения максимальны для данной точки тела Задачи по сопромату На рис. 3.8 показано взаимное расположение площадок действия максимальных касательных напряжений и главных площадок.

Задачи по сопромату

Одноосное напряженное состояние возникает, в частности, в точках бруса, работающего на растяжение (рис. 3.9) или сжатие. Нормальное и касательное напряжения в сечении, нормаль к которому составляет угол Задачи по сопромату с продольной осью бруса, связаны с напряжениями Задачи по сопроматувозникающими в поперечном сечении бруса, зависимостями:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

В общем случае объемного напряженного состояния (см. рис. 3.3) главные напряжения определяются как корни кубического уравнения

Задачи по сопромату

Здесь

Задачи по сопромату

Величины Задачи по сопромату называют инвариантами напряженного состояния в данной точке, так как их значения остаются неизменными при любом выборе исходных площадок. Конечно, формула (3.14) справедлива и для всех частных случаев напряженных состояний (плоского и т д.), но в этих случаях удобнее пользоваться зависимостями (3.5), (3.9).

При применении формулы (3.14) правило знаков для касательных напряжений отлично от указанного выше, а именно Задачи по сопромату приписывают знак плюс, если на площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением координатной оси, вектор т направлен также в сторону положительного направления соответствующей оси. Согласно этому правилу все касательные напряжения, показанные на рис. 3.3, положительны.

Задачи по сопромату

Площадки, равнонаклоненные ко всем главным площадкам, носят название октаэдрических. Напряжения, возникающие на этих площадках, также называют октаэдрическими. При известных (заданных или найденных) главных напряжениях величины октаэдрических напряжений определяют по формулам: октаэдрические нормальные напряжения

Задачи по сопромату

октаэдрические касательные напряжения

Задачи по сопромату

 

 

 

Примеры исследования напряженного и деформированного состояний

 

Задача с решением 3.1.

Для заданного напряженного состояния (рис. 3.13) требуется:

а) составить выражение для определения нормального и касательного напряжений на произвольной площадке, принадлежащей серии площадок, параллельных оси Задачи по сопромату

б) пользуясь полученными выражениями, определить нормальное и касательное напряжения на площадке, нормаль к которой составляет угол 20° с положительным направлением оси Задачи по сопромату а также вычислить максимальное касательное напряжение для рассматриваемой серии площадок;

в) определить для рассматриваемой точки величину максимального касательного напряжения.

Решение:

В рассматриваемом случае исходные площадки главные. По принятому для главных напряжений правилу индексов Задачи по сопромату для заданного напряженного состояния имеем: Задачи по сопромату Задачи по сопромату Задачи по сопромату Все три главных напряжения отличны от нуля, т. е. заданное напряженное состояние объемное (трехосное).

Напряжения в серии площадок, параллельных оси Задачи по сопромату не зависят от Задачи по сопромату и, следовательно, могут быть определены по формулам (3.2), (3.3), полученным для плоского напряженного состояния. На рис. 3.14 показаны площадки, являющиеся исходными при исследовании указанной серии. При применении формул (3.2), (3.3) заменяем Задачи по сопромату на Задачи по сопромату и учитываем, что касательные напряжения на исходных площадках отсутствуют:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

При Задачи по сопромату (см. рис. 3.14) получим:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Напряжения Задачи по сопромату и Задачи по сопромату показаны на рис. 3.14. Максимальное касательное напряжение для рассматривае мой серии площадок определим, положив Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Соответствующая площадка показана также на рис. 3.14.

Найденное касательное напряжение не является максимальным для заданного напряженного состояния —оно максимально только для площадок исследуемой серии. Максимальное касательное напряжение возникает на площадке, параллельной промежуточному главному напряжению Задачи по сопромату и делящей пополам угол между площадками действия Задачи по сопромату и Задачи по сопромату (рис. 3.15). Величина этого напряжения

Задачи по сопромату

На площадке, перпендикулярной к заштрихованной площадке (см. рис. 3.15), возникает такое же по абсолютной величине касательное напряжение.

Задачи по сопромату

 

 

 

Задача с решением 3.2.

Для заданного напряженного состояния (рис. 3.16) требуется:

а) определить главные напряжения и максимальное касательное напряжение;

б) определить нормальное и касательное напряжения по площадке, нормаль к которой составляет угол Задачи по сопромату с положительным направлением оси Задачи по сопромату

Решение:

Для заданного напряженного состояния одна из исходных площадок от напряжений свободна, следовательно, это заведомо не объемное напряженное состояние и для определения главных напряжений можно применить формулу (3.5)

Задачи по сопромату

Оба найденных главных напряжения отличны от нуля и положительны, следовательно, напряженное состояние плоское, а равное нулю главное напряжение минимально и должно быть обозначено Задачи по сопромату. Итак имеем: Задачи по сопромату Задачи по сопромату

Площадки действия напряжений Задачи по сопромату и Задачи по сопромату показаны на рис. 3.17. Углы между нормалями к указанным площадкам и осью Задачи по сопромату определяются на основании формулы (3.4):

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Максимальное касательное напряжение

Задачи по сопромату

Заметим, что площадка действия Задачи по сопромату неперпендикулярна к свободной от напряжения грани элемента, изображенного на рис. 3.16, и, следовательно, на рис. 3.17 ее показать нельзя.

Задачи по сопромату

На рис. 3.17 показана площадка, нормаль к которой составляет угол Задачи по сопромату с осью Задачи по сопромату. Напряжения на этой площадке [см. формулы (3.2) и (3.3)]:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

 

 

Кручение

 

Основные сведения из теории и расчетно-справочные данные

При работе бруса на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент Задачи по сопромату (обозначаемый также Задачи по сопромату ), представляющий собой результирующий момент внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении бруса. Для бруса круглого поперечного сечения указанное определение крутящего момента может быть записано в виде интегрального соотношения*

Задачи по сопромату

Для расчета на прочность и определения перемещений поперечных сечений бруса надо знать закон изменения крутящих моментов по длине бруса. Величина Задачи по сопромату определяется с помощью метода сечений через внешние силы (моменты): крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен сумме моментов относительно продольной оси Задачи по сопромату бруса всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения

Задачи по сопромату

Системы, в которых значения внутренних силовых факторов (в частности, крутящих моментов) не могут быть определены только из уравнений статики, как известно из предыдущего, называются статически неопределимыми. Для их решения дополнительно к уравнениям статики должны быть составлены уравнения перемещений. Методика решения этих задач рассмотрена ниже на числовых примерах (см. задачи 4.10 и 4.11).

 

 

Примеры расчетов на кручение

 

А. Статически определимые системы

Задача с решением 4.1.

Брус круглого поперечного сечения, изображенный на рис. 4.4, а, нагружен парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его оси.

Задачи по сопромату

Определить из расчета на прочность диаметры поперечных сечений участков Задачи по сопромату Задачи по сопромату и Задачи по сопромату принимая Задачи по сопромату При найденных значениях диаметров построить эпюру угловых перемещений поперечных сечений бруса.

Решение:

Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что в данном случае проще, применяя метод сечений, оставлять правую и отбрасывать левую часть бруса — это дает возможность не определять реактивный момент в заделке.

Проводим произвольное сечение на участке Задачи по сопромату и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 4.4, б:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

В любом сечении участка Задачи по сопромату крутящий момент имеет найденное значение Задачи по сопромату Эпюра крутящих моментов на этом участке прямая, параллельная оси абсцисс. Для определенности условимся считать крутящий момент положительным, если, смотря на торец оставленной части бруса, видим момент направленным по часовой стрелке. Согласно этому правилу Задачи по сопромату отрицателен и ординаты эпюры откладываем вниз от ее оси. Проводя произвольное сечение на участке Задачи по сопромату и учитывая, что крутящий момент в произвольном сечении равен сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от этого сечения, найдем:

Задачи по сопромату

В данном случае отсеченную часть бруса отдельно не показываем. На участке Задачи по сопромату крутящий момент постоянен и (по принятому правилу знаков) положителен.

Аналогично для любого сечения участка Задачи по сопромату имеем:

Задачи по сопромату

Эпюра крутящих моментов, построенная по полученным данным, показана на рис. 4.4, в.

Заметим, что ординаты эпюры на участке Задачи по сопромату дают значение реактивного момента Задачи по сопромату

При нагружении бруса сосредоточенными моментами эпюра Задачи по сопромату всегда имеет такой же характер, как и в рассматриваемом случае: на отдельных участках она ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс; в местах приложения внешних моментов (пар сил) получаются скачки на величину этих моментов.

Переходим к расчету на прочность.

Требуемая величина полярного момента сопротивления поперечного сечения определяется по формуле (4.6)

Задачи по сопромату

Для участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Или, учитывая, что

Задачи по сопромату

имеем:

Задачи по сопромату

Округляя по ГОСТ 6636 — 60, принимаем Задачи по сопромату

Для участка Задачи по сопромату Задачи по сопромату так как крутящие моменты в поперечных сечениях участков Задачи по сопромату и Задачи по сопромату по абсолютной величине одинаковы.

Для участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

откуда

Задачи по сопромату

Округляя по ГОСТ 6636 — 60, принимаем Задачи по сопромату

Построение эпюры углов поворота поперечных сечений бруса (эпюры угловых перемещений) принципиально ничем не отличается от построения эпюры линейных перемещений при осевом нагружении бруса (см. задачу 2.1). На каждом из участков эпюра будет линейной, поэтому для ее построения достаточно вычислить перемещения сечений, являющихся границами участков.

Построение эпюры начинаем от заделки, т. е. от неподвижного сечения Задачи по сопромату Угол поворота сечения Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Аналогично определяется угол поворота сечения Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Построенная по этим данным эпюра угловых перемещений изображена на рис 4.4, г.

 

 

Задача с решением 4.2.

На вал постоянного сечения насажены четыре шкива (рис. 4.5, а). Шкив Задачи по сопромату передаст от источника энергии на вал мощность Задачи по сопромату а остальные шкивы снимают с вала и передают рабочим машинам мощности соответственно Задачи по сопроматуЗадачи по сопромату и Задачи по сопромату Вал вращается со скоростью Задачи по сопромату Определить его диаметр из расчетов на прочность и жесткость, если Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Решение:

Угловая скорость вала (в Задачи по сопромату)

Задачи по сопромату

На рис. 4.5, б показана расчетная схема вала. Величины моментов, передаваемых каждым из шкивов, вычисленные по формуле (4.10), указаны на этой схеме. Для выявления опасного сечения (участка) вала построим эпюру крутящих моментов. Потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снимаемых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности Задачи по сопромату В действительности потери имеют место, но их величина незначительна — не превышает Задачи по сопромату передаваемой мощности. Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива Задачи по сопромату На Задачи по сопромату участке

Задачи по сопромату

на Задачи по сопромату участке

Задачи по сопромату

на Задачи по сопромату участке

Задачи по сопромату

Скачки на эпюре соответствуют сечениям, где подается или снимается определенная мощность. Из построенной эпюры Задачи по сопромату (рис. 4.5, в) следует, что опасными являются сечения участка между шкивами Задачи по сопромату и Задачи по сопромату

Расчетный (наибольший) крутящий момент

Задачи по сопромату

Определяем диаметр вала из расчета на прочность

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Определяем диаметр вала из расчета на жесткость [формула (4.9)]

Задачи по сопромату

Отсюда требуемый полярный момент инерции сечения вала

Задачи по сопромату

Диаметр вала при найденном значении Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Окончательно принимаем Задачи по сопромату При этом наибольшие касательные напряжения в опасном сечении вала будут ниже допускаемых

Задачи по сопромату

 

 

Б. Статически неопределимые системы

Задача с решением 4.10.

Проверить прочность стального ступенчатого бруса, жестко заделанного обоими концами (рис. 4.16, а). Построить эпюру Задачи по сопромату Принять Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Решение:

В заделках возникают реактивные пары сил с моментами Задачи по сопромату и Задачи по сопромату Для системы пар сил, лежащих в параллельных плоскостях, статика дает только одно уравнение равновесия Задачи по сопромату Неизвестных реактивных моментов два, следовательно, система один раз статически неопределима.

Уравнение равновесия имеет вид

Задачи по сопромату

Для составления уравнения перемещений отбросим правую заделку и заменим ее действие на брус соответствующим реактивным моментом Задачи по сопромату (рис. 4.16, б). Полученный таким образом статически определимый брус эквивалентен заданному, а потому угол поворота сечения Задачи по сопромату равен нулю, так как фактически это сечение жестко заделано

Задачи по сопромату

Применяя принцип независимости действия сил, перепишем уравнение перемещений в виде

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — угол поворота сечения Задачи по сопромату от действия момента Задачи по сопромату

Задачи по сопромату — то же от действия момента Задачи по сопромату

Задачи по сопромату — то же от искомого момента Задачи по сопромату

Знаки в выражениях углов поворота приняты такими же, как знаки соответствующих моментов в уравнении равновесия

Полярные моменты инерции сечений отдельных участков имеют следующие значения (см. рис. 4.16, а, б):

участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

участков Задачи по сопромату и Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

где

Задачи по сопромату

Подставляя значения углов поворота Задачи по сопромату и Задачи по сопромату в уравнение перемещений, получаем:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

откуда

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Знак минус указывает, что направление момента Задачи по сопромату противоположно предварительно принятому (см. рис. 4.16, а).

Применяя метод сечений, строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.16, в).

Вычисляем значения максимальных касательных напряжений в поперечных сечениях участков Задачи по сопромату и Задачи по сопромату бруча. Очевидно, что сечения участков Задачи по сопромату и Задачи по сопромату менее опасны.

Для участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Для участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Максимальное напряжение в опасном сечении ниже допускаемого на 5,34%, т. е. прочность бруса обеспечена.

Построим эпюру углов поворота поперечных сечений бруса. Построение начнем с крайнего левого сечения. Оно неподвижно. Сечение Задачи по сопромату отстоящее от заделки на расстоянии z, повернется на угол

Задачи по сопромату

Следовательно, угол поворота Задачи по сопромату является линейной функцией от Задачи по сопромату Поэтому для построения эпюры на первом участке достаточно вычислить угол поворота сечения Задачи по сопромату равный углу закручивания участка Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Это значение в определенном масштабе откладываем в точке Задачи по сопромату ерпендикулярно к оси эпюры Задачи по сопромату (рис. 4.16, г). На остальных участках направление Задачи по сопромату противоположно Задачи по сопромату и углы поворота сечений уменьшаются по сравнению с Задачи по сопромату Определяем значения углов закручивания каждого из участков

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Строя по найденным значениям эпюру Задачи по сопромату (Задачи по сопромату и т. д.), убеждаемся, что в сечении Задачи по сопромату она имеет нулевую ординату. Этот результат подтверждает правильность составления и решения уравнения перемещений.

Для контроля правильности решения задачи рекомендуется читателю самостоятельно проверить, выполняется ли равенство (см. также с. 25)

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — потенциальная энергия деформации бруса;

Задачи по сопромату — работа действующих на брус внешних моментов (Задачи по сопромату — угол поворота в радианах сечения, где приложен момент Задачи по сопромату).

 

 

Геометрические характеристики плоских сечений

 

Основные сведения из теории

При расчетах на прочность, жесткость и устойчивосгь используются геометрические характеристики поперечного сечения бруса: площадь. осевые и полярный моменты инерции, осевые и полярный моменты сопротивления. Кроме того, при их определении вспомогательную роль играют статические моменты* и центробежные моменты инерции сечения.

Напомним определения, свойства и методы вычисления перечисленных характеристик (рис. 5.1).

Площадь сечения [длина2]

Задачи по сопромату

Статический момент сечения — сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до данной оси, взятая по всей площади сечения — [длина3]:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — расстояния от центра тяжести сечения соответственно до осей Задачи по сопромату и Задачи по сопромату

Статический момент сечения может быть как положительным, так и отрицательным. Относительно любой оси, проходящей через центр тяжести сечения, он равен нулю.

Осевой (или экваториальный) момент инерции сечения — сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их

расстояний до данной оси, взятая по всей площади сечения — [длина4]:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Полярный момент инерции [длина4]

Задачи по сопромату

Осевые и полярный моменты инерции — величины существенно положительные.

Центробежный момент инерции [длина4]

Задачи по сопромату

может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Задачи по сопромату

Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю. Эти оси называются главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Практический интерес представляют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, они называются главными централышми осями (для краткости в дальнейшем будем в большинстве случаев называть их просто главными осями).

Осевые моменты инерции относительно главных осей (главные моменты инерции) экстремальны — относительно одной из них момент инерции максимален, а относительно другой — минимален. Для расчетов на прочность и жесткость при изгибе, сочетании изгиба с растяжением и в ряде других случаев нужно знать положение главных центральных осей и величины соответствующих моментов инерции.

В случае, если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось и ось к ней* перпендикулярная, проходящая через центр тяжести сечения, являются главными центральными осями.

При вычислении главйых моментов инерции сечений, составленных из простейших геометрических фигур или стандартных прокатных профилей, широко применяются формулы перехода от центральных к параллельным им нецентральным осям (рис. 5.2). Эти формулы имеют следующий вид:

для осевого момента инерции

Задачи по сопромату

для центробежного момента инерции

Задачи по сопромату

Координаты Задачи по сопромату и Задачи по сопромату должны быть подставлены в формулу (5.2) со своими знаками (Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — координаты начала новой системы координат в старых осях). В частном случае, если исходные оси Задачи по сопромату и Задачи по сопромату главные, Задачи по сопромату и взамен (5.2)

Задачи по сопромату

имеем Задачи по сопромату

Приведем формулы для вычисления моментов инерции прямоугольника, треугольника, круга и кольца.

А. Прямоугольник (рис. 5.3)

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — сторона, параллельная оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

Для оси, совпадающей с одной из сторон прямоугольника (не главный момент инерции),

Задачи по сопромату

Б. Равнобедренный треугольник (рис. 5.4). Главные моменты инерции

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Заметим, что формула (5.6) дает величину момента инерции любого треугольника относительно оси, параллельной его основанию, но, если треугольник неравнобедренный, указанная ось не будет главной.

В. Круг (рис. 5.5)

Задачи по сопромату

Г. Кольцо (рис. 5.6)

Задачи по сопромату

где

Задачи по сопромату

Заметим, что для круга и кольца все центральные оси главные и моменты инерции относительно этих осей равны между собой. Этим же свойством обладает любое сечение, у которого два главных центральных момента инерции одинаковы (см. ниже задачу 5.5).

Задачи по сопромату

При вычислении моментов инерции сложных сечений (составленных из простейших фигур или прокатных профилей) координаты их центра тяжести определяют по формулам:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату — соответственно площадь и координаты центра тяжести каждой из состовляющих фигур;

Задачи по сопромату — площадь и статистические моменты всего сечения.

Моменты инерции (осевые и центробежные) сложных сечений относительно данных осей определяют путем суммирования соответствующих моментов инерции составляющих фигур относительно тех же осей (см. примеры в § 13).

При этом используются формулы (5.1 — 5.3) перехода от центральных к параллельным им нецентральным осям.

В тех случаях, когда сечение не имеет ни одной оси симметрии, сначала вычисляют моменты инерции относительно некоторых целесообразно выбранных (см. ниже задачу 5.6) центральных осей Задачи по сопромату и Задачи по сопромату (исходные оси), затем определяют угол наклона главных осей по отношению к исходным и величины главных моментов инерции.

Задачи по сопромату

Связь между моментами исходных осей (Задачи по сопромату, Задачи по сопромату) и осей, повернутых на произвольный угол Задачи по сопромату (рис. 5.7), имеет вид:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Угол поворота главных осей по отношению к исходным определяется из зависимости

Задачи по сопромату

Эта формула дает два значения угла Задачи по сопромату : Задачи по сопромату и Задачи по сопромату При Задачи по сопромату угол Задачи по сопромату дает положение главной оси, относительно которой момент инерции максимален. Положительный угол Задачи по сопромату следует откладывать от оси Задачи по сопромату против хода часовой стрелки.

Для определения положения (угла наклона) главных осей взамен формулы (5.13) можно применять формулы

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

где Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — угла, образуемые главными осями Задачи по сопромату и Задачи по сопромату соответственно с осью Задачи по сопромату

Задачи по сопромату и Задачи по сопромату — главные моменты инерции.

Главные моменты инерции можно вычислить по формуле (5.11), подставляя в нее последовательно Задачи по сопромату и Задачи по сопромату но практически удобнее пользоваться формулами, не содержащими тригонометрических функций. Эти формулы имеют вид:

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

 

 

 

Примеры определения геометрических характеристик плоских сечений

 

Задача с решением 5.1.

Определить положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции сечения, имеющего форму полукруга (рис. 5.8, а).

Решение:

1. Определяем положение центра тяжести сечения. Центр тяжести лежит на оси Задачи по сопромату так как она является осью симметрии. Выбираем вспомогательные оси Задачи по сопромату и Задачи по сопромату и определяем координаты Задачи по сопромату и Задачи по сопромату Очевидно,

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Так как полукруг не может быть разбит на части более простой формы, то статический момент его может быть определен лишь путем интегрирования:

Задачи по сопромату

где

Задачи по сопромату

Тогда

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

Для определения статического момента Задачи по сопромату полукруга можно также разбить его площадь на элементарные секторы (рис. 5.18, б). Площадь каждого из таких секторов определяется как площадь треугольника с основанием Задачи по сопромату и высотой Задачи по сопромату т. е.

Задачи по сопромату

а ордината его центра тяжести

Задачи по сопромату

Таким образом,

Задачи по сопромату

Задачи по сопромату

2. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. Одной из главных осей является ось симметрии Задачи по сопромату вторая главная ось Задачи по сопромату проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой.

Очевидно,

Задачи по сопромату

Определим момент инерции Задачи по сопромату

Задачи по сопромату