Задачи по сопромату

Ответы на вопросы по заказу заданий по сопромату:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по сопромату:
2. Основные задачи курса сопротивления материалов
3. Внутренние силовые факторы
4. Напряжения
5. Коэффициент запаса, условие прочности
6. Растяжение и сжатие
7. Основные сведения из теории
8. Примеры расчетов на растяжение (сжатие)
9. Задача с решением 2.1.
10. Решение:
11. Задача с решением 2.2.
12. Решение:
13. Задача с решением 2.4.
14. Решение:
15. Основы теории напряженного и деформированного состояния
16. Примеры исследования напряженного и деформированного состояний
17. Задача с решением 3.1.
18. Решение:
19. Задача с решением 3.2.
20. Решение:
21. Кручение
22. Основные сведения из теории и расчетно-справочные данные
23. Примеры расчетов на кручение
24. Задача с решением 4.1.
25. Решение:
26. Задача с решением 4.2.
27. Решение:
28. Задача с решением 4.10.
29. Решение:
30. Геометрические характеристики плоских сечений
31. Основные сведения из теории
32. Примеры определения геометрических характеристик плоских сечений
33. Задача с решением 5.1.
34. Решение:

Основные задачи курса сопротивления материалов

В курсе сопротивления материалов изучаются основы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. Несмотря на чрезвычайное разнообразие форм элементов конструкций (деталей машин, аппаратов, приборов и сооружений), с большей или меньшей степенью точности каждый из них для целей расчета можно рассматривать либо как брус (прямой или кривой), либо как пластинку или оболочку, либо как массивное тело.

В общем курсе сопротивления материалов рассматриваются в основном расчеты прямого бруса. Кроме того, дается расчет тонкостенных резервуаров и толстостенных труб, брусьев большой кривизны, гибких нитей, а в отдельных случаях и некоторые другие вопросы.

Под действием внешних сил (нагрузок), приложенных к брусу, он деформируется, при этом с достаточной для практических целей точностью можно считать, что до известных пределов

нагружения эти деформации являются упругими, т. е. исчезают после снятия нагрузки. Деформации, не исчезающие после снятия нагрузки, называют остаточными, или пластическими.

Из перечисленных трех категорий расчетов (на прочность, жесткость и устойчивость) основным является расчет на прочность. В настоящее время существует два основных принципиально различных подхода к расчету на прочность. Согласно первому из них прочность элемента конструкции считается нарушенной, если при действии приложенных к нему нагрузок хотя бы в одной его точке появляются признаки хрупкого разрушения или возникают пластические деформации. Иными словами, при таком подходе к расчету под нарушением прочности понимают не только разрушение в буквальном смысле слова (появление трещин, излом и т. п.), но и возникновение пластических деформаций (хотя бы местных).

Соответствующий метод расчета называют расчетом по опасной точке, или расчетом по допускаемым напряжениям.

При втором подходе к расчету нарушение прочности отождествляется с исчерпанием несущей способности конструкции, т. е. с переходом ее в такое состояние, при котором конструкция не оказывает сопротивления возрастанию действующих на нее нагрузок. Указанное состояние конструкции, называемое предельным, характеризуется ростом ее деформаций при постоянной (предельной) величине нагрузки. Соответствующий метод расчета называют расчетом по предельным нагрузкам*.

Расчет по предельным нагрузкам применим только к конструкциям из пластичных материалов при статическом действии нагрузок. Переход в предельное состояние связан с появлением пластических деформаций (возникновением текучести материала) не в одной и даже не в нескольких точках, а во всех точках элемента конструкции или некоторых его сечений.

Для обеспечения нормальной работы конструкции во многих случаях необходимо, чтобы упругие перемещения отдельных точек и сечений ее элементов не превышали некоторых малых, наперед заданных величин.

Расчет, целью которого является обеспечение указанных требований об ограничении упругих перемещений, называется расчетом на жесткость.

На устойчивость необходимо рассчитывать такие элементы конструкции, характер деформации которых претерпевает резкое качественное изменение при достижении нагрузкой некоторого определенного значения, называемого критическим. Примером может служить сравнительно гибкий сжатый стержень — при нагрузке меньшей критической он работает на сжатие, а при ее превышении — на сжатие и изгиб. Расчет должен обеспечить устойчивость первоначальной (прямолинейной) формы оси стержня (подробнее см. гл. XIII).

Внутренние силовые факторы

Рассматриваемые в курсе сопротивления материалов расчеты связаны с необходимостью установления зависимостей между внешними силами, действующими на элементы конструкций, и возникающими при этом внутренними силами. Для этой цели используется метод сечений. Применительно к брусу метод сечений служит в первую очередь для определения внутренних сил, возникающих в поперечных сечениях бруса.

При этом определяется статический эквивалент системы возникающих в сечении внутренних сил — их главный вектор и главный момент. Практически вместо отыскания величины и направления главного вектора и главного момента определяют их составляющие по осям координат* (три составляющие главного вектора и три составляющие главного момента).

Составляющие главного вектора и главного момента внутренних сил носят название внутренних силовых факторов или усилий в сечении.

На рис. 1.1, а показан прямой брус, находящийся в равновесии под действием приложенных к нему внешних сил (напомним, что опорные реакции также входят в число внешних сил), а на рис. 1.1, б —

отсеченная часть бруса с соответствующими внешними силами (приложенными к этой части) и внутренними силовыми факторами, возникающими в проведенном сечении и заменяющими действие отброшенной части бруса на оставленную.

Каждый из шести внутренних силовых факторов соответствует определенному виду деформации бруса:

• — продольная сила, возникает при работе бруса на растяжение или сжатие;
• и — поперечные силы, соответствуют деформации сдвига (среза);
• — крутящий момент, возникает при работе бруса на кручение;
• и — изгибающие моменты, каждый из которых соответствует изгибу бруса в одной из координатных плоскостей.

В зависимости от характера нагружения бруса в каждом из его поперечных сечений возникают те или иные из указанных внутренних силовых факторов.

Составляя для оставленной части бруса шесть уравнений равновесия, можно найти значение каждого из внутренних силовых факторов. При этом в каждое из уравнений равновесия входит лишь один из внутренних силовых факторов.

Закон изменения каждого из внутренних силовых факторов по длине бруса наиболее удобно представить в виде графика — эпюры данного силового фактора. При построении эпюр аргументом является координата поперечного сечения бруса, а функцией — силовой фактор, закон изменения которого исследуется.

Напряжения

Внутренние силы распределены по сечению непрерывно, при этом их значения в разных точках сечения в общем случае неодинаковы. Метод сечений не позволяет найти закон распределения внутренних сил, а дает только их статический эквивалент. Задача о распределении внутренних сил статически неопределима; методы ее решения применительно к различным видам деформаций бруса (растяжению, кручению и т. д.) рассматриваются в соответствующих главах курса. При этом определяется интенсивность внутренних сил в различных точках рассматриваемого сечения.

Величина, характеризующая интенсивность внутренних сил, называется напряжением. Иными словами, напряжением в данной точке сечения называется предел отношения элементарной внутренней силы к площади выделенной в сечении площадки (рис. 1.2) при стремлении последней к нулю («стягивании» в точку):

Необходимо подчеркнуть, что если через ту же точку провести другое сечение, то и напряжение (в общем случае) получится иное, т. е. напряжение зависит не только от положения точки, но и от

направления (ориентировки в пространстве) сечения, проведенного через эту точку.

Напряжение р можно разложить на две составляющие: по нормали к сечению — нормальное напряжение о и составляющую, лежащую в плоскости сечения.— касательное напряжение т (рис. 1.3).

Касательное напряжение, в свою очередь, можно разложить на две составляющие, направленные вдоль координатных осей. Таким образом, вектор напряжения в данной точке по данной площадке дает три составляющие, показанные на рис. 1.4.

Индексы у составляющих (компонентов напряжения) ставят по следующим правилам: первый индекс указывает, какой оси параллельна нормаль к площадке («адрес» площадки действия рассматриваемого напряжения), а второй — какой оси параллельно напряжение. При этом правиле у нормальных напряжений должны получаться два одинаковых индекса; принято указывать лишь один из них.

По методу определения (экспериментальный или расчетно-теоретический) и месту, занимаемому в расчетах на прочность, различают следующие виды напряжений:

1. Предельные напряжения, при достижении которых появляются заметные пластические деформации (если материал пластичный) или признаки хрупкого разрушения (если материал хрупкий). Эти напряжения определяются при механических испытаниях материала и зависят от его свойств и вида деформации (растяжение, сжатие и т. д.). При статическом осевом нагружении роль предельного напряжения для пластичного материала играет физический предел текучести сгт или условный предел текучести а для хрупкого — предел прочности*Для хрупко-пластичных материалов, несколько лучше сопротивляющихся сжатию, чем растяжению (некоторые легированные стали), в качестве предельных напряжений принимают условные пределы текучести: при растяжении и при сжатии**

2. Напряжения, возникающие в нагруженной конструкции, называют расчетными (рабочими) Они зависят от нагрузок и размеров рассчитываемого элемента конструкции.

3. Наибольшие напряжения, при которых прочность и долговечность конструкции обеспечены,"называют допускаемыми и обозначают

Допускаемое напряжение составляет некоторую часть от предельного, а следовательно, в первую очередь зависит от материала рассчитываемой детали; кроме того, на величину допускаемого напряжения влияет точность методов расчета, однородность материала, степень ответственности рассчитываемого элемента (или конструкции в целом) и ряд других факторов.

Коэффициент запаса, условие прочности

Отношение предельного напряжения к наибольшему расчетному называют коэффициентом запаса прочности

Коэффициент запаса прочности (фактический) должен быть не меньше требуемого (заданного, допускаемого, нормативного) для данного элемента конструкции

Приведенное неравенство является условием прочности. Во многих случаях удобнее вести расчет на прочность, пользуясь понятием о допускаемом напряжении, которое равно отношению предельного напряжения к требуемому коэффициенту запаса прочности

При использовании понятия о допускаемом напряжении условие прочности представляют в виде:

Если максимальное рабочее напряжение значительно меньше допускаемого, конструкция является излишне тяжелой, неэкономичной.

• Незначительное превышение рабочего напряжения над допускаемым неопасно для прочности конструкции, так как требуемый (нормативный) коэффициент запаса имеет для пластичного материала даже при наиболее благоприятных условиях работы и высокой точности расчета значение порядка 1,4 — 1,5, а для хрупкого материала не ниже 3 — 4. Для пластичного материала значение коэффициента запаса указано по отношению к пределу текучести, а для хрупкого — к пределу прочности (к временному сопротивлению).

Все сказанное о коэффициентах запаса и условиях прочности относится в основном к расчету по опасной точке (см. с. 5). При расчете по предельным нагрузкам под коэффициентом запаса следует понимать отношение нагрузки (силы, момента пары сил и т. п.), при которой наступает переход в предельное состояние ( и т. п.), к фактически действующей нагрузке

Условие прочности удобнее всего представлять в виде:

где — требуемый (нормативный) коэффициент запаса прочности.

Несмотря на тождественность формы записи условий прочности при расчетах по опасной точке и по предельной нагрузке, эти расчеты принципиально различны, как это следует из пояснений, приведенных на с. 6 (подробнее см. гл. XIV).

Растяжение и сжатие

Основные сведения из теории

При работе бруса на растяжение (сжатие) в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — продольная сила представляющая собой равнодействующую внутренних нормальных сил, возникающих в поперечном сечении бруса, т. е.

В дальнейшем, как правило, будем обозначать продольную силу опуская индекс z.

Для расчета на прочность и для определения перемещений поперечных сечений бруса надо знать закон изменения продольных сил по его длине.

Продольная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения (на отсеченную часть — о. ч. бруса), т. е.

При растяжении продольную силу принято считать положительной.

Закон изменения продольной силы по длине бруса целесообразно представлять в виде графика — эпюры продольных сил. При построении этого графика аргументом является координата поперечного сечения, а функцией — продольная сила.

В поперечных сечениях бруса возникают только нормальные напряжения, определяемые по формуле

где — площадь поперечного сечения.

Удлинение или укорочение (изменение длины) бруса длиной имеющего постоянное поперечное сечение, при условии, что продольная сила во всех сечениях одинакова, определяется по формуле

— модуль продольной упругости — физическая константа, характеризующая жесткость материала при линейной деформации. Для стали

Произведение обычно* называют жесткостью сечения бруса при растяжении (сжатии), а жесткостью бруса (участка бруса) называют отношение численно равное силе, вызывающей удлинение (укорочение), равное единице длины, например 1 мм.

При решении статически неопределимых задач в ряде случаев удобно пользоваться величиной, обратной с, эту величину можно назвать коэффициентом податливости

Величина численно равна изменению длины бруса (участка бруса) под действием осевой силы, равной единице силы, например 1 Н.

В случае если брус имеет ступенчато-переменное сечение, то для определения изменения его длины формулу (2.2) следует применить отдельно к каждому из участков, в пределах которого и и результаты просуммировать (см. ниже задачу 2.1).

Если сечение бруса и продольная сила, или одна из этих величин меняются непрерывно (например, брус в виде усеченного конуса или брус, растягиваемый действием собственной силы тяжести), то изменение длины бруса следует определять по формуле

В частном случае бруса постоянного сечения, находящегося под действием собственной силы тяжести, изменение его длины определяется по формуле

где — сила тяжести (вес) бруса.

В наиболее общем случае, когда законы изменения поперечного сечения и продольной силы различны для отдельных участков бруса, изменение его длины определяется по формуле

Отношение удлинения (укорочения) бесконечно малого элемента бруса длиной к его первоначальной длине называется продольной деформацией, или относительным удлинением (укорочением)

В известных пределах, зависящих от свойств материала, между продольной деформацией и соответствующим нормальным напряжением существует линейная зависимость

Зависимость (2.6) является математическим выражением закона Гука при линейной деформации.

Приведенные ранее формулы (2.2) ч- (2.5) получены на основе этого закона.

Как известно, при растяжении бруса его поперечное сечение уменьшается, а при сжатии — увеличивается.

Отношение поперечной деформации к продольной взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона (или коэффициентом поперечной деформации)

Коэффициент Пуассона является физической константой данного материала. Значения его лежат в пределах ( для пробки и для парафина). Для подавляющего большинства металлов и сплавов

Так же как и при других видах деформации, расчеты на прочность при растяжении (сжатии) в зависимости от постановки задачи (цель расчета) могут быть разделены на три категории:

а) проверка прочности (проверочный расчет);

б) определение допускаемой нагрузки (разновидность проверочного расчета);

в) определение требуемых размеров поперечного сечения бруса (проектный расчет).

При проверочном расчете нагрузки, размеры и материал (допускаемое или предельное напряжения) известны. В результате расчета определяется наибольшее расчетное напряжение и сравнивается с допускаемым. Расчетная зависимость (условие прочности) в этом случае имеет вид:

где и — соответственно нормальное напряжение и продольная сила в опасном поперечном сечении (т. е. сечении, в котором возникают наибольшие напряжения);

— его площадь;

— допускаемое напряжение.

Если вместо допускаемого напряжения задано предельное, то проверка прочности производится по зависимости

где — коэффициент запаса прочности (фактический) для опасного сечения бруса;

— требуемый (заданный или нормативный) коэффициент запаса прочности;

- предельное напряжение, принимаемое, как указано на с. 9, 10; — напряжение в опасном сечении.

Зависимости для двух остальных случаев расчета получаются путем преобразования формулы (2.7).

Так, имеем:

при определении допускаемой нагрузки

при проектном расчете требуемая площадь опасного сечения определяется по формуле

Во всех случаях в расчетные формулы входит внутренний силовой фактор — продольная сила, которая должна быть выражена с помощью метода сечений через внешние силы.

Следует заметить, что для брусьев из материалов, которые неодинаково сопротивляются растяжению и сжатию (например, чугун), опасным может оказаться не то сечение, где возникают наибольшие (по абсолютной величине) напряжения. Опасным является сечение, для которого коэффициент запаса прочности минимален. Конечно, приведенное определение верно и при одинаковом сопротивлении материала бруса растяжению и сжатию, т. е. такое определение понятия «опасное сечение» является наиболее общим.

Если использование только равнений равновесия для отсеченной части бруса или какои-либо системы не позволяет определить внутренние силы, систему называют статически неопределимой. Для ее решения необходимо составить помимо уравнений статики уравнения перемещений, основанные на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании закона Гука. Методика решения таких задач рассматривается в Приложении 1.

Примеры расчетов на растяжение (сжатие)

А. Статически определимые системы

Задача с решением 2.1.

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис. 2.1, а. Материал бруса сталь Ст. 3;

Решение:

Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка.

При применении метода сечений, как известно, принципиально безразлично, равновесие какой из отсеченных (левой или правой) частей бруса рассматривать. В данном случае, применяя метод сечений, будем оставлять левую и отбрасывать правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки.

Проведем произвольное сечение на участке и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 2.1, б. Продольная сила в этом сечении эту силу находим, проектируя на ось бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Легко видеть, что то же значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка т. е. (для произвольного сечения проведенного на участке продольная сила определяется на основе рис. 2.1, в).

Проводя сечение на участке например и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис. 2.1, г, найдем:

• После приобретения некоторого навыка в применении метода сечений можно не изображать отдельно отсеченную часть, а просто пользоваться соотношением

Заметим, что реакция заделки равна

Таким образом, если определять значения продольных сил, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть бруса, конечно, получим те же результаты.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется

по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного или даже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении бруса (рис. 2.1, д).

Эпюру нормальных напряжений (рис. 2.1, ё) получим, разделив значения

на соответствующие площади поперечных сечений бруса.

Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.

Абсолютное (т. е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение

произвольного поперечного сечения равно изменению

длины части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длины части бруса, заключенной между этими сечениями.

Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемленного конца. Перемещение произвольного сечения взятого в пределах участка бруса, равно удлинению части бруса длиной (см. рис. 2.1, а)

Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечений, совпадающих с границами участков.

Перемещение сечения равно удлинению участка

Перемещение сечения относительно сечения равно удлинению участка

Абсолютное перемещение сечения равно перемещению сечения плюс перемещение сечения относительно

Перемещение сечения относительно равно удлинению участка

Абсолютное перемещение сечения найдем, просуммировав 'величины и

Построенная по полученным данным эпюра перемещений показана на рис. 2.1, ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечении, являющихся границами участков.

Следует иметь в виду, что тангенсы углов наклона отдельных участков эпюры А пропорциональны ординатам эпюры с на соответствующих участках. Так, например, для участка

Указанную зависимость между эпюрами рекомендуется использовать для, так сказать, качественного контроля эпюры перемещений, т. е. не для окончательной оценки правильности эпюры, но, по крайней мере, для оценки ее правдоподобности. Имеются в виду следующие показатели правдоподобности эпюры а) чем больше ординаты эпюры тем больший наклон к оси абсцисс имеет эпюра (предполагается, что материал всех участков бруса одинаков);

б) при перемене знака меняет знак тангенс угла наклона эпюры Рис. 2.2 иллюстрирует построение эпюры перемещений на основе принципа независимости действия сил. На рис. 2.2, б показана

эпюра от действия только силы (рис. 2.2, а), а на рис. 2.2, г — эпюра от действия только силы (рис. 2.2, в). Просуммировав указанные эпюры, получим эпюру по рис. 2.1, ж.

Задача с решением 2.2.

Определить удлинение дюралюминиевой полосы переменного сечения (рис. 2.3). Принять

Решение:

Для определения удлинения бруса (полосы) непрерывно переменного поперечного сечения применим формулу (2.3)

В нашем случае

Переменную площадь сечения следует выразить через заданные размеры и координату поперечного сечения; при этом для упрощения последующих выкладок примем начало координат в точке пересечения боковых сторон трапеции, представляющей

собой вертикальную проекцию полосы (рис. 2.4). Из подобия треугольников и получаем:

откуда

Площадь произвольного поперечного сечения с абсциссой

при этом

или

и окончательно

Подставив в формулу для удлинения, получим

Подставив числовые значения, найдем:

Б. Статчески неопределимые системы

Задача с решением 2.4.

Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдоль оси силами и приложенными в его промежуточных сечениях (рис. 2.6, а), требуется построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Решение:

В данном случае имеем систему сил, направленных по одной прямой, и статика дает лишь одно уравнение равновесия

или

Для составления уравнения перемещений отбросим одну из заделок, например правую, и заменим ее действие на брус соответствующей силой реакции В результате получен брус, защемленный одним концом (статически определимый брус) и нагруженный, кроме заданных сил и неизвестной пока силой (рис. 2.6, б).

Брус по рис. 2.6, б нагружен так же, как заданный — эквивалентен заданному. Следовательно, перемещение сечения рассматриваемого бруса равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) это сечение жестко заделано

Подчеркиваем, что — суммарное перемещение сечения т. е. от действия всех сил Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений в виде

т. е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности:

— удлинению участка

— сумме удлинении участков и

— сумме укорочений участков и

Подчеркнем еще раз, что определяя перемещение сечения от каждой силы в отдельности, предполагаем, что она действует только одна (конечно, с соответствующей ей реакцией опоры ), а остальные силы в это время отсутствуют.

Подставив найденные значения в уравнение перемещений, получим

откуда Окончательно получаем

Конечно, можно не определять специально реакцию левой заделки, так как она численно равна продольной силе в сечениях крайнего левого участка бруса, а эпюру продольных сил можно строить, начиная с правого конца.

Построение эшоры продольных сил и нормальных напряжений ничем не отличается от рассмотренного в задаче 2.1, так как после определения реакции брус по рис. 2.6, б представляет собой статически определимый брус, нагруженный известными силами. Упомянутые эпюры представлены на рис. 2.6, в, г.

• Эпюру перемещений строим, начиная с левого конца бруса; при построении используем эпюру Построение эпюры перемещений служит в некоторой степени для контроля правильности решения задачи. Действительно, начиная строить эпюру от левого заделанного конца и получая в сечении ординату эпюры, равную нулю, мы тем самым имеем подтверждение правильности определения реакций. Вычисления характерных ординат эпюры не приводим, ограничиваясь их указанием на чертеже (рис. 2.6, д).

Для контроля правильности решения рассмотренной и подобных ей задач можно проверить, соблюдается ли равенство потенциальной энергии деформации бруса и работы приложенных к нему внешних сил.

Выполним эту проверку для решенной задачи.

Потенциальная энергия деформации бруса ступенчато-переменного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенными силами, определяется по формуле

Применительно к данной задаче имеем:

Работа внешних сосредоточенных сил определяется по формуле

где — перемещение точки приложения сил вызванное действием всех приложенных к брусу сил.

Значения берем из построенной эшоры перемещений (см. рис. 2.6, д):

Таким образом, равенство выполняется.

Кратко остановимся на особенностях решения некоторых задач, аналогичных рассмотренной.

1. Предположим, что до нагружения бруса между его правым торцом и заделкой имелся малый зазор Если при нагружении бруса зазор не закрывается, то система статически определима (см. задачу 2.1). Если величина абсолютного удлинения бруса (в предположении, что он может деформироваться свободно, т. е. правая заделка вообще отсутствует) больше зазора, то между правым торцом бруса и заделкой после его нагружения возникнет сила взаимодействия, определить которую с помощью одних лишь уравнений статики нельзя — система будет статически неопределима. Отличие ее от предыдущей (2.4) состоит в том, что суммарное (от заданных сил и правой опорной реакции) перемещение правого торца бруса следует приравнять не нулю, а величине зазора

В остальном решение не отличается от рассмотренного.

2. Если брус, подобный рассмотренному в задаче 2.4, подвергается нагреву (или охлаждению) на то, составляя выражение для суммарного перемещения сечения надо учесть свободное температурное удлинение (укорочение) бруса. Например, если брус нагревается по всей длине, то

где — коэффициент температурного линейного расширения;

— длина бруса.

В случае наличия зазора (до нагружения и нагрева) между торцом бруса и заделкой суммарное перемещение, вычисленное с учетом влияния температуры, следует, как уже указывалось, приравнять величине зазора. Конечно, это имеет смысл лишь при условии, что при нагружении и нагреве бруса зазор закрывается, в противном случае — система статически определима.

Возможно, вас также заинтересует этот блок ссылок:

Решение задач по сопромату с примерами онлайн

Помощь по сопромату онлайн

Курсовая работа по сопромату заказать готовую онлайн

РГР по сопромату расчетно графическая работа

Основы теории напряженного и деформированного состояния

Основные сведения из теории

Исследование напряженного состояния в точке тела

Напряженное состояние в точке тела характеризуется совокупностью всех нормальных и касательных напряжений, возникающих на всем бесчисленном множестве площадок, которые можно провести через данную точку*. В общем случае среди этого бесчисленного множества площадок есть три такие взаимно перпендикулярные площадки, на которых отсутствуют касательные напряжения. Эти площадки называют главными; возникающие на них нормальные напряжения также называют главными и обозначают ри этом индексы расставляют таким образом, чтобы были соблюдены следующие неравенства (в алгебраическом смысле):

Различают линейное (или одноосное), плоское (или двухосное) и объемное (или трехосное) напряженные состояния. При линейном напряженном состоянии только одно из главных напряжений ( при одноосном растяжении или при одноосном сжатии) отлично от нуля. При плоском напряженном состоянии не равны нулю два главных напряжения и, наконец, при объемном — все три главных напряжения отличны от нуля. Бесконечно малые элементы, выделенные главными площадками в окрестностях точек тела, находящихся в объемном, плоском и линейном напряженном состояниях, показаны (для случая положительных главных напряжений) на рис. 3.1, а, б, в.

Отметим, что в тех частных случаях, когда два из главных напряжений (или все три) равны между собой, главных площадок не три, а бесчисленное множество. Никакие промежуточные случаи невозможны, т. е. главных площадок либо три, либо бесконечное множество.

Максимальные касательные напряжения возникают на площадках, составляющих углы по 45° с площадками действия максимального и минимального главных напряжений.

Площадка действия максимального касательного напряжения показана (заштрихована) на рис. 3.2; вторая площадка (перпендикулярная указанной) для упрощения чертежа не изображена. Касательные напряжения на этих двух площадках равны по абсолютной величине, что вытекает из закона парности касательных напряжений, формулировка которого приведена несколько ниже.

Максимальные касательные напряжения связаны с главными зависимостью

• Для исследования напряженного состояния в данной точке тела (конструкции), т. е. для получения зависимостей, позволяющих определить напряжение по любой, проходящей через указанную точку площадке, должны быть известны напряжения по каким-либо грем (любым) взаимно перпендикулярным площадкам, проходящим через эту точку. Эти площадки и возникающие на них напряжения называют исходными. Для элементов (точек), показанных на рис. 3.1 и 3.2, исходными являются главные площадки.

В наиболее общем случае вектор напряжения, возникающего на каждой из исходных площадок, может быть представлен в виде трех составляющих (рис. 3.3)*. Эти девять составляющих носят название компонентов напряженного состояния в данной точке. Из указанных девяти компонентов независимыми являются шесть, так как составляющие касательных напряжений попарно равны друг другу:

Приведенные соотношения выражают закон парности касательных напряжений: на любых двух взаимно перпендикулярных

гранях элемента составляющие касательных напряжений, направленные перпендикулярно к общему ребру этих граней, всегда равны по величине и направлены либо к этому ребру, либо от него.

Остановимся несколько подробнее на исследовании плоского напряженного состояния. При плоском напряженном состоянии всегда можно выделить элемент таким образом, чтобы одна из его граней была свободна от напряжений (рис. 3.4). Эта грань является одной из главных площадок (касательные напряжения на ней отсутствуют),

ее можно назвать нулевой главной площадкой. Обычно ограничиваются определением напряжений, возникающих на площадках, принадлежащих серии* (семейству) площадок, перпендикулярных свободной от напряжений грани элемента. Нормальное и касательное напряжения, возникающие на произвольной площадке, нормаль к которой составляет угол с осью определяются по формулам:

Угол отсчитывается от оси против хода часовой стрелки. При пользовании как формулами (3.2), (3.3), так и формулами, приведенными ниже, придерживаются следующих правил знаков: растягивающее нормальное напряжение считают положительным; касательное напряжение считают положительным, если внешнюю нормаль к площадке его действия надо повернуть на 90° по часовой стрелке для того, чтобы ее направление совпало с направлением (рис. 3.5).

Среди площадок рассматриваемой серии есть две главные площадки, направления нормалей к которым определяются из выражения

Величины соответствующих главных напряжений определяют по формуле

Здесь принят индекс «гл», так как до определения величин этих напряжений нельзя установить, следует ли их обозначить и или и и т. п. (см. ниже 3.2).

Максимальное касательное напряжение после определения величин главных напряжений находят по формуле (3.1).

В случае если на одной из исходных (ненулевых) площадок отсутствует нормальное напряжение (рис. 3.6), напряженное состояние иногда называют упрощенным плоским*. В этом случае взамен формул (3.2), (3.3), (3.4) имеем:

Главные напряжения определяются формалами:

Подчеркнем, что для данного типа напряженного состояния характерно равенство нулю всегда промежуточного по величине главного напряжения.

Из формул (3.1) и (3.9) следует, что для упрощенного плоского напряженного состояния

Упрощенное плоское напряженное состояние наиболее часто встречается при практических инженерных расчетах, так как именно этот тип напряженного состояния имеет место в точках бруса в общем случае его нагружения (см. гл. X).

Частным случаем плоского напряженного состояния является чистый сдвиг. При чистом сдвиге в окрестности точки можно выделить элемент таким образом, чтобы по четырем его граням действовали только равные по модулю касательные напряжения, а две грани были от напряжений свободны (рис. 3.7). При чистом сдвиге не равные нулю главные напряжения связаны с исходными касательными напряжениями зависимостью

Промежуточное по величине главное напряжение

Таким образом, чистый сдвиг можно охарактеризовать как такое плоское напряженное состояние, при котором не равные нулю главные напряжения равны по модулю и противоположны по знаку. Подчеркнем также, что показанные на рис. 3.7 исходные касательные напряжения максимальны для данной точки тела На рис. 3.8 показано взаимное расположение площадок действия максимальных касательных напряжений и главных площадок.

Одноосное напряженное состояние возникает, в частности, в точках бруса, работающего на растяжение (рис. 3.9) или сжатие. Нормальное и касательное напряжения в сечении, нормаль к которому составляет угол с продольной осью бруса, связаны с напряжениями возникающими в поперечном сечении бруса, зависимостями:

В общем случае объемного напряженного состояния (см. рис. 3.3) главные напряжения определяются как корни кубического уравнения

Здесь

Величины называют инвариантами напряженного состояния в данной точке, так как их значения остаются неизменными при любом выборе исходных площадок. Конечно, формула (3.14) справедлива и для всех частных случаев напряженных состояний (плоского и т д.), но в этих случаях удобнее пользоваться зависимостями (3.5), (3.9).

При применении формулы (3.14) правило знаков для касательных напряжений отлично от указанного выше, а именно приписывают знак плюс, если на площадке, внешняя нормаль к которой совпадает с положительным направлением координатной оси, вектор т направлен также в сторону положительного направления соответствующей оси. Согласно этому правилу все касательные напряжения, показанные на рис. 3.3, положительны.

Площадки, равнонаклоненные ко всем главным площадкам, носят название октаэдрических. Напряжения, возникающие на этих площадках, также называют октаэдрическими. При известных (заданных или найденных) главных напряжениях величины октаэдрических напряжений определяют по формулам: октаэдрические нормальные напряжения

октаэдрические касательные напряжения

Примеры исследования напряженного и деформированного состояний

Задача с решением 3.1.

Для заданного напряженного состояния (рис. 3.13) требуется:

а) составить выражение для определения нормального и касательного напряжений на произвольной площадке, принадлежащей серии площадок, параллельных оси

б) пользуясь полученными выражениями, определить нормальное и касательное напряжения на площадке, нормаль к которой составляет угол 20° с положительным направлением оси а также вычислить максимальное касательное напряжение для рассматриваемой серии площадок;

в) определить для рассматриваемой точки величину максимального касательного напряжения.

Решение:

В рассматриваемом случае исходные площадки главные. По принятому для главных напряжений правилу индексов для заданного напряженного состояния имеем: Все три главных напряжения отличны от нуля, т. е. заданное напряженное состояние объемное (трехосное).

Напряжения в серии площадок, параллельных оси не зависят от и, следовательно, могут быть определены по формулам (3.2), (3.3), полученным для плоского напряженного состояния. На рис. 3.14 показаны площадки, являющиеся исходными при исследовании указанной серии. При применении формул (3.2), (3.3) заменяем на и учитываем, что касательные напряжения на исходных площадках отсутствуют:

При (см. рис. 3.14) получим:

Напряжения и показаны на рис. 3.14. Максимальное касательное напряжение для рассматривае мой серии площадок определим, положив

Соответствующая площадка показана также на рис. 3.14.

Найденное касательное напряжение не является максимальным для заданного напряженного состояния —оно максимально только для площадок исследуемой серии. Максимальное касательное напряжение возникает на площадке, параллельной промежуточному главному напряжению и делящей пополам угол между площадками действия и (рис. 3.15). Величина этого напряжения

На площадке, перпендикулярной к заштрихованной площадке (см. рис. 3.15), возникает такое же по абсолютной величине касательное напряжение.

Задача с решением 3.2.

Для заданного напряженного состояния (рис. 3.16) требуется:

а) определить главные напряжения и максимальное касательное напряжение;

б) определить нормальное и касательное напряжения по площадке, нормаль к которой составляет угол с положительным направлением оси

Решение:

Для заданного напряженного состояния одна из исходных площадок от напряжений свободна, следовательно, это заведомо не объемное напряженное состояние и для определения главных напряжений можно применить формулу (3.5)

Оба найденных главных напряжения отличны от нуля и положительны, следовательно, напряженное состояние плоское, а равное нулю главное напряжение минимально и должно быть обозначено . Итак имеем:

Площадки действия напряжений и показаны на рис. 3.17. Углы между нормалями к указанным площадкам и осью определяются на основании формулы (3.4):

Максимальное касательное напряжение

Заметим, что площадка действия неперпендикулярна к свободной от напряжения грани элемента, изображенного на рис. 3.16, и, следовательно, на рис. 3.17 ее показать нельзя.

На рис. 3.17 показана площадка, нормаль к которой составляет угол с осью . Напряжения на этой площадке [см. формулы (3.2) и (3.3)]:

Кручение

Основные сведения из теории и расчетно-справочные данные

При работе бруса на кручение в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор — крутящий момент (обозначаемый также ), представляющий собой результирующий момент внутренних касательных сил, действующих в поперечном сечении бруса. Для бруса круглого поперечного сечения указанное определение крутящего момента может быть записано в виде интегрального соотношения*

Для расчета на прочность и определения перемещений поперечных сечений бруса надо знать закон изменения крутящих моментов по длине бруса. Величина определяется с помощью метода сечений через внешние силы (моменты): крутящий момент в произвольном поперечном сечении бруса численно равен сумме моментов относительно продольной оси бруса всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения

Системы, в которых значения внутренних силовых факторов (в частности, крутящих моментов) не могут быть определены только из уравнений статики, как известно из предыдущего, называются статически неопределимыми. Для их решения дополнительно к уравнениям статики должны быть составлены уравнения перемещений. Методика решения этих задач рассмотрена ниже на числовых примерах (см. задачи 4.10 и 4.11).

Примеры расчетов на кручение

А. Статически определимые системы

Задача с решением 4.1.

Брус круглого поперечного сечения, изображенный на рис. 4.4, а, нагружен парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его оси.

Определить из расчета на прочность диаметры поперечных сечений участков и принимая При найденных значениях диаметров построить эпюру угловых перемещений поперечных сечений бруса.

Решение:

Строим эпюру крутящих моментов. Заметим, что в данном случае проще, применяя метод сечений, оставлять правую и отбрасывать левую часть бруса — это дает возможность не определять реактивный момент в заделке.

Проводим произвольное сечение на участке и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса, изображенной отдельно на рис. 4.4, б:

В любом сечении участка крутящий момент имеет найденное значение Эпюра крутящих моментов на этом участке прямая, параллельная оси абсцисс. Для определенности условимся считать крутящий момент положительным, если, смотря на торец оставленной части бруса, видим момент направленным по часовой стрелке. Согласно этому правилу отрицателен и ординаты эпюры откладываем вниз от ее оси. Проводя произвольное сечение на участке и учитывая, что крутящий момент в произвольном сечении равен сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от этого сечения, найдем:

В данном случае отсеченную часть бруса отдельно не показываем. На участке крутящий момент постоянен и (по принятому правилу знаков) положителен.

Аналогично для любого сечения участка имеем:

Эпюра крутящих моментов, построенная по полученным данным, показана на рис. 4.4, в.

Заметим, что ординаты эпюры на участке дают значение реактивного момента

При нагружении бруса сосредоточенными моментами эпюра всегда имеет такой же характер, как и в рассматриваемом случае: на отдельных участках она ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс; в местах приложения внешних моментов (пар сил) получаются скачки на величину этих моментов.

Переходим к расчету на прочность.

Требуемая величина полярного момента сопротивления поперечного сечения определяется по формуле (4.6)

Для участка

Или, учитывая, что

имеем:

Округляя по ГОСТ 6636 — 60, принимаем

Для участка так как крутящие моменты в поперечных сечениях участков и по абсолютной величине одинаковы.

Для участка

откуда

Округляя по ГОСТ 6636 — 60, принимаем

Построение эпюры углов поворота поперечных сечений бруса (эпюры угловых перемещений) принципиально ничем не отличается от построения эпюры линейных перемещений при осевом нагружении бруса (см. задачу 2.1). На каждом из участков эпюра будет линейной, поэтому для ее построения достаточно вычислить перемещения сечений, являющихся границами участков.

Построение эпюры начинаем от заделки, т. е. от неподвижного сечения Угол поворота сечения

Аналогично определяется угол поворота сечения

Построенная по этим данным эпюра угловых перемещений изображена на рис 4.4, г.

Задача с решением 4.2.

На вал постоянного сечения насажены четыре шкива (рис. 4.5, а). Шкив передаст от источника энергии на вал мощность а остальные шкивы снимают с вала и передают рабочим машинам мощности соответственно и Вал вращается со скоростью Определить его диаметр из расчетов на прочность и жесткость, если

Решение:

Угловая скорость вала (в )

На рис. 4.5, б показана расчетная схема вала. Величины моментов, передаваемых каждым из шкивов, вычисленные по формуле (4.10), указаны на этой схеме. Для выявления опасного сечения (участка) вала построим эпюру крутящих моментов. Потери в подшипниках не учитываются, поэтому сумма снимаемых с вала мощностей равна подводимой к нему мощности В действительности потери имеют место, но их величина незначительна — не превышает передаваемой мощности. Эпюра крутящих моментов начинается от середины шкива На участке

на участке

на участке

Скачки на эпюре соответствуют сечениям, где подается или снимается определенная мощность. Из построенной эпюры (рис. 4.5, в) следует, что опасными являются сечения участка между шкивами и

Расчетный (наибольший) крутящий момент

Определяем диаметр вала из расчета на прочность

Определяем диаметр вала из расчета на жесткость [формула (4.9)]

Отсюда требуемый полярный момент инерции сечения вала

Диаметр вала при найденном значении

Окончательно принимаем При этом наибольшие касательные напряжения в опасном сечении вала будут ниже допускаемых

Б. Статически неопределимые системы

Задача с решением 4.10.

Проверить прочность стального ступенчатого бруса, жестко заделанного обоими концами (рис. 4.16, а). Построить эпюру Принять

Решение:

В заделках возникают реактивные пары сил с моментами и Для системы пар сил, лежащих в параллельных плоскостях, статика дает только одно уравнение равновесия Неизвестных реактивных моментов два, следовательно, система один раз статически неопределима.

Уравнение равновесия имеет вид

Для составления уравнения перемещений отбросим правую заделку и заменим ее действие на брус соответствующим реактивным моментом (рис. 4.16, б). Полученный таким образом статически определимый брус эквивалентен заданному, а потому угол поворота сечения равен нулю, так как фактически это сечение жестко заделано

Применяя принцип независимости действия сил, перепишем уравнение перемещений в виде

где — угол поворота сечения от действия момента

— то же от действия момента

— то же от искомого момента

Знаки в выражениях углов поворота приняты такими же, как знаки соответствующих моментов в уравнении равновесия

Полярные моменты инерции сечений отдельных участков имеют следующие значения (см. рис. 4.16, а, б):

участка

участка

участков и

где

Подставляя значения углов поворота и в уравнение перемещений, получаем:

откуда

Знак минус указывает, что направление момента противоположно предварительно принятому (см. рис. 4.16, а).

Применяя метод сечений, строим эпюру крутящих моментов (рис. 4.16, в).

Вычисляем значения максимальных касательных напряжений в поперечных сечениях участков и бруча. Очевидно, что сечения участков и менее опасны.

Для участка

Для участка

Максимальное напряжение в опасном сечении ниже допускаемого на 5,34%, т. е. прочность бруса обеспечена.

Построим эпюру углов поворота поперечных сечений бруса. Построение начнем с крайнего левого сечения. Оно неподвижно. Сечение отстоящее от заделки на расстоянии z, повернется на угол

Следовательно, угол поворота является линейной функцией от Поэтому для построения эпюры на первом участке достаточно вычислить угол поворота сечения равный углу закручивания участка

Это значение в определенном масштабе откладываем в точке ерпендикулярно к оси эпюры (рис. 4.16, г). На остальных участках направление противоположно и углы поворота сечений уменьшаются по сравнению с Определяем значения углов закручивания каждого из участков

Строя по найденным значениям эпюру ( и т. д.), убеждаемся, что в сечении она имеет нулевую ординату. Этот результат подтверждает правильность составления и решения уравнения перемещений.

Для контроля правильности решения задачи рекомендуется читателю самостоятельно проверить, выполняется ли равенство (см. также с. 25)

где — потенциальная энергия деформации бруса;

— работа действующих на брус внешних моментов ( — угол поворота в радианах сечения, где приложен момент ).

Геометрические характеристики плоских сечений

Основные сведения из теории

При расчетах на прочность, жесткость и устойчивосгь используются геометрические характеристики поперечного сечения бруса: площадь. осевые и полярный моменты инерции, осевые и полярный моменты сопротивления. Кроме того, при их определении вспомогательную роль играют статические моменты* и центробежные моменты инерции сечения.

Напомним определения, свойства и методы вычисления перечисленных характеристик (рис. 5.1).

Площадь сечения [длина²]

Статический момент сечения — сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до данной оси, взятая по всей площади сечения — [длина³]:

где и — расстояния от центра тяжести сечения соответственно до осей и

Статический момент сечения может быть как положительным, так и отрицательным. Относительно любой оси, проходящей через центр тяжести сечения, он равен нулю.

Осевой (или экваториальный) момент инерции сечения — сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их

расстояний до данной оси, взятая по всей площади сечения — [длина⁴]:

Полярный момент инерции [длина⁴]

Осевые и полярный моменты инерции — величины существенно положительные.

Центробежный момент инерции [длина⁴]

может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести две взаимно перпендикулярные оси, относительно которых центробежный момент инерции сечения равен нулю. Эти оси называются главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Практический интерес представляют лишь главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, они называются главными централышми осями (для краткости в дальнейшем будем в большинстве случаев называть их просто главными осями).

Осевые моменты инерции относительно главных осей (главные моменты инерции) экстремальны — относительно одной из них момент инерции максимален, а относительно другой — минимален. Для расчетов на прочность и жесткость при изгибе, сочетании изгиба с растяжением и в ряде других случаев нужно знать положение главных центральных осей и величины соответствующих моментов инерции.

В случае, если сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, то эта ось и ось к ней* перпендикулярная, проходящая через центр тяжести сечения, являются главными центральными осями.

При вычислении главйых моментов инерции сечений, составленных из простейших геометрических фигур или стандартных прокатных профилей, широко применяются формулы перехода от центральных к параллельным им нецентральным осям (рис. 5.2). Эти формулы имеют следующий вид:

для осевого момента инерции

для центробежного момента инерции

Координаты и должны быть подставлены в формулу (5.2) со своими знаками ( и — координаты начала новой системы координат в старых осях). В частном случае, если исходные оси и главные, и взамен (5.2)

имеем

Приведем формулы для вычисления моментов инерции прямоугольника, треугольника, круга и кольца.

А. Прямоугольник (рис. 5.3)

где — сторона, параллельная оси, относительно которой вычисляется момент инерции.

Для оси, совпадающей с одной из сторон прямоугольника (не главный момент инерции),

Б. Равнобедренный треугольник (рис. 5.4). Главные моменты инерции

Заметим, что формула (5.6) дает величину момента инерции любого треугольника относительно оси, параллельной его основанию, но, если треугольник неравнобедренный, указанная ось не будет главной.

В. Круг (рис. 5.5)

Г. Кольцо (рис. 5.6)

где

Заметим, что для круга и кольца все центральные оси главные и моменты инерции относительно этих осей равны между собой. Этим же свойством обладает любое сечение, у которого два главных центральных момента инерции одинаковы (см. ниже задачу 5.5).

При вычислении моментов инерции сложных сечений (составленных из простейших фигур или прокатных профилей) координаты их центра тяжести определяют по формулам:

где — соответственно площадь и координаты центра тяжести каждой из состовляющих фигур;

— площадь и статистические моменты всего сечения.

Моменты инерции (осевые и центробежные) сложных сечений относительно данных осей определяют путем суммирования соответствующих моментов инерции составляющих фигур относительно тех же осей (см. примеры в § 13).

При этом используются формулы (5.1 — 5.3) перехода от центральных к параллельным им нецентральным осям.

В тех случаях, когда сечение не имеет ни одной оси симметрии, сначала вычисляют моменты инерции относительно некоторых целесообразно выбранных (см. ниже задачу 5.6) центральных осей и (исходные оси), затем определяют угол наклона главных осей по отношению к исходным и величины главных моментов инерции.

Связь между моментами исходных осей (, ) и осей, повернутых на произвольный угол (рис. 5.7), имеет вид:

Угол поворота главных осей по отношению к исходным определяется из зависимости

Эта формула дает два значения угла : и При угол дает положение главной оси, относительно которой момент инерции максимален. Положительный угол следует откладывать от оси против хода часовой стрелки.

Для определения положения (угла наклона) главных осей взамен формулы (5.13) можно применять формулы

где и — угла, образуемые главными осями и соответственно с осью

и — главные моменты инерции.

Главные моменты инерции можно вычислить по формуле (5.11), подставляя в нее последовательно и но практически удобнее пользоваться формулами, не содержащими тригонометрических функций. Эти формулы имеют вид:

Примеры определения геометрических характеристик плоских сечений

Задача с решением 5.1.

Определить положение главных центральных осей и вычислить величины главных центральных моментов инерции сечения, имеющего форму полукруга (рис. 5.8, а).

Решение:

1. Определяем положение центра тяжести сечения. Центр тяжести лежит на оси так как она является осью симметрии. Выбираем вспомогательные оси и и определяем координаты и Очевидно,

Так как полукруг не может быть разбит на части более простой формы, то статический момент его может быть определен лишь путем интегрирования:

где

Тогда

Для определения статического момента полукруга можно также разбить его площадь на элементарные секторы (рис. 5.18, б). Площадь каждого из таких секторов определяется как площадь треугольника с основанием и высотой т. е.

а ордината его центра тяжести

Таким образом,

2. Определяем главные центральные моменты инерции сечения. Одной из главных осей является ось симметрии вторая главная ось проходит через центр тяжести сечения перпендикулярно первой.

Очевидно,

Определим момент инерции

Возможно, вас также заинтересует:

• Заказать работу по сопромату помощь в учёбе
• Решение сопромата онлайн на заказ
• Сопромат помощь в решении задач
• Контрольные по сопромату с решением онлайн
• Решение задач по сопромату с примерами онлайн
• Помощь по сопромату онлайн
• Курсовая работа по сопромату заказать готовую онлайн
• Помощь онлайн в учёбе