Задачи по начертательной геометрии

Задачи по начертательной геометрии с решением

 

Если у вас нету времени на задачи по начертательной геометрии вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по начертательной геометрии помощь в учёбе

 

Методические указания к изучению начертательной геометрии

Для выполнения контрольной работы по начертательной геометрии необходимо изучить следующие темы.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать чертежи по начертательной геометрии

 

  • Тема 1. Введение. Предмет начертательной геометрии. Метод проекций. Центральные и параллельные проекции.
  • Тема 2. Точка, прямая, плоскость. Система плоскостей проекций. Проекции точки, расположенной в разных частях пространства. Проекции прямой. Деление отрезка в данном отношении. Следы прямой. Определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекций. Взаимное положение прямых. Задание плоскости на чертеже. Прямые линии и точки плоскости. Теорема о проекциях прямого плоского угла.
  • Тема 3. Проекционные и метрические задачи. Прямая: параллельная плоскости, пересекающая плоскость и перпендикулярная к ней. Плоскости: параллельные и пересекающиеся ( построение линии пересечения).
  • Тема 4. Способы преобразования проекций. Преобразование проекций способом замены плоскостей проекций, вращением вокруг линий уровня и проецирующих прямых линий. Основные задачи преобразования проекций.
  • Тема 5. Многогранники. Чертежи многогранников. Пересечение многогранников плоскостью и прямой. Взаимное пересечение многогранников.
  • Тема 6. Поверхности. Образование и задание поверхностей. Классификация поверхностей. Поверхности вращения (с прямой, криволинейной образующей), линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма, линейчатые винтовые поверхности (геликоиды, торсовые). Понятие об определителе и очерке поверхности. Линия и точка на поверхности.
  • Тема 7. Пересечение поверхности плоскостью и прямой. Пересечение поверхностей плоскостью частного положения. Конические и цилиндрические сечения. Общий прием построения плоских сечений. Построение точек пересечения прямой линии с поверхностью.
  • Тема 8. Взаимное пересечение поверхностей. Принцип определения точек, общих для двух поверхностей. Характерные (опорные) точки пересечения. Способы секущих плоскостей и секущих сфер. Пересечения цилиндрических и конических поверхностей общего вида. Видимость элементов пересеченных поверхностей.
  • Тема 9. Развертки многогранных и кривых поверхностей. Общие принципы построения разверток поверхностей. Развертывание конических и цилиндрических поверхностей общего вида. Построение точек и линий на развертке по их проекциям.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Начертательная геометрия

 

Аксонометрия

 

  • Тема 10. Основные положения и теоремы. Основная теорема аксонометрии. Обратимость аксонометрического изображения; вторичные проекции. Виды аксонометрии и коэффициенты искажения. Треугольник следов плоскости аксонометрических проекций. Построения изображений в системе стандартных аксонометрий. Решение основных задач в аксонометрии.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по начертательной геометрии с примерами онлайн

 

Проекции с числовыми отметками

 

  • Тема 11. Точка. Прямая. Плоскость. Задание точки и прямой на чертеже. Градуирование прямой. Уклон и интервал прямой. Масштаб уклона плоскости. Угол падения и угол простирания плоскости. Пересечение плоскостей. Пересечение прямой с плоскостью.
  • Тема 12. Поверхности. Гранные и кривые поверхности. Поверхности равного уклона. Топографическая поверхность. Пересечение поверхности плоскостью и прямой. Взаимное пересечение поверхностей. Построение границ земляных работ при проектировании инженерных сооружений.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по начертательной геометрии заказать


Тени

 

  • Тема 13. Тени в ортогональных и аксонометрических проекциях. Общие сведения. Тени собственные и падающие. Тень от точки, прямой и плоской фигуры. Способы лучевых сечений и обратных лучей. Тени гранных поверхностей. Построение границы собственной тени на конической и цилиндрической поверхности и на сфере. Выбор светового луча в аксонометрии. Построение собственных и падающих теней на аксонометрическом изображении.
  • Тема 14. Перспектива и тени в перспективе. Сущность метода и система плоскостей линейной перспективы. Перспектива точки и прямой. Пропорциональное деление отрезков прямых, определение истинной величины прямой. Точки схода прямых. Выбор точки зрения. Приемы построения перспективы (следа, луча, координат, архитекторов, сетки). Расположение источника света относительно картинной плоскости. Основные приемы построения тени точки, прямой и плоской фигуры. Собственные и падающие тени от поверхностей в перспективе.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по начертательной геометрии онлайн

 

Принятые обозначения

1. Точки, расположенные в пространстве, обозначаются прописными буквами латинского алфавита A,B,C,D,…L,N,…

2. Линии общего положения обозначаются строчными буквами латинского алфавита a,b,c,d,…l,n,…

3. Линии уровня обозначаются: h – горизонталь; f – фронталь.

4. Поверхности обозначаются прописными буквами греческого алфавита Задачи по начертательной геометрии

5. Плоскости проекций обозначаются:
П1 - горизонтальная плоскость проекций;
П2 - фронтальная плоскость проекций;
П3 - профильная плоскость проекций.
6. Проекции точек, линий, поверхностей обозначаются теми же буквами, что и оригинал с добавлением индекса плоскости проекций:
Задачи по начертательной геометрии - горизонтальные проекции;
Задачи по начертательной геометрии - фронтальные проекции;
Задачи по начертательной геометрии - профильные проекции.


 

Символы, обозначающие отношения между геометрическими фигурами:

1. Задачи по начертательной геометрии - совпадают:
Задачи по начертательной геометрии – прямая, проходящая через точки А и В, совпадает с
прямой, проходящей через точки C и D.

2. Задачи по начертательной геометрии – конгруэнтны:
Задачи по начертательной геометрии - горизонтальная проекция отрезка конгруентна его натуральной длине.
3. Задачи по начертательной геометрии - параллельны:
Задачи по начертательной геометрии – прямая а параллельна прямой b.
4. Задачи по начертательной геометрии - перпендикулярны:
Задачи по начертательной геометрии прямая m перпендикулярна прямой n.
5. Задачи по начертательной геометрии - скрещиваются: Задачи по начертательной геометрии ,прямые a и b скрещиваются.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по начертательной геометрии заказать готовую онлайн

 

 

Обозначения теоретико-множественных и логических операций:


1. Задачи по начертательной геометрии - принадлежит, является элементом:
Задачи по начертательной геометрии - точка А лежит на прямой m; Задачи по начертательной геометрии – прямая n проходит через точку В.
2. Задачи по начертательной геометрии - включает, содержит:
Задачи по начертательной геометрии – прямая а принадлежит плоскости Г;
Задачи по начертательной геометрии – плоскость Задачи по начертательной геометрии проходит через прямую b.
3. Задачи по начертательной геометрии - объединение множеств:
Задачи по начертательной геометрии – ломаная линия АВС есть объединение отрезков Задачи по начертательной геометрии
4. Задачи по начертательной геометрии - пересечение множеств:
Задачи по начертательной геометрии – точка К есть результат пересечения прямых а и b.
5. Задачи по начертательной геометрии - конъюнкция предложений; соответствует союзу «и».
6. Задачи по начертательной геометрии - дизъюнкция предложений; соответствует союзу «или».
7. Задачи по начертательной геометрии - импликация – логическое следствие:
Задачи по начертательной геометрии - если прямые а и b параллельны, то их одноименные проекции также параллельны.

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по начертательной геометрии расчетно графическая работа

 

Задачи с решениями

Задача 1.

Определить натуральную длину отрезка АВ(А1В1; А2В2) и углы его наклона к плоскостям проекций (рис.1, рис.2).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Строим прямоугольный треугольник по двум катетам (см. рис.1). За один катет принимаем фронтальную проекцию А2В2 отрезка АВ, за другой катет – отрезок, равный разности расстояний концов отрезка до плоскости П2. В0В2 = А1А1/. Угол β - угол наклона АВ к плоскости проекций П2. Можно найти длину отрезка АВ, строя прямоугольный треугольник не на фронтальной проекции А2В2, а на горизонтальной проекции А1В1 (рис.2). Тогда вторым катетом будет разность расстояний концов отрезка до плоскости П1. В1В0 = В2В2/. Угол α - угол наклона отрезка АВ к плоскости проекций П1.

 

 

 

Задача 2.

На прямой l(l1, l2) от точки А(А1, А2) отложить отрезок длиной 30 мм (рис.3).

  • Решение:

Выделяем на прямой l произвольный отрезок АМ и определяем его натуральную длину. Для этого строим прямоугольный треугольник по двум катетам А1М1 и М1М0 = М2М2/ .

Задачи по начертательной геометрии

На гипотенузе А1М0 построенного треугольника откладываем отрезок А1С0 = 30 мм.
Опустив из точки С0 перпендикуляр на горизонтальную проекцию прямой, получаем горизонтальную проекцию А1С1 , а по ней и
фронтальную А2С2 проекции искомого отрезка.

 

 

 

Задача 3.

Через прямую l (l1, l2) (рис.11а) провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (рис.4).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Признаком принадлежности прямой l фронтально
проецирующей плоскости является принадлежность (совпадение) фронтальной проекции l2 , прямой l с фронтальной проекцией ∆2 плоскости ∆ , т.е. если Задачи по начертательной геометрии(рис.4б).

 

 

Задача 4.

Построить проекции линии пересечения двух плоскостей Г(АВС) и Задачи по начертательной геометрии (рис.5а).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Плоскость ∆ ( ∆ 2) – фронтально проецирующая. Фронтальная проекция плоскости ∆ обладает собирательным свойством, поэтому фронтальная проекция N2M2 искомой линии пересечения совпадает с ∆ 2. Пользуясь условием, что искомая прямая MN принадлежит и плоскости Г (АВС), находим по фронтальной проекции её горизонтальную проекцию M1N1 (рис.5б).

 

Задача 5.

Построить проекции точки пересечения прямой l (l1, l2) с плоскостью Г(АВС). Определить видимость прямой l (l1, l2) относительно плоскости Г (рис.6а).

  • Решение:

Для решения задачи следует последовательно выполнить следующие три операции (рис.6б).
1-я операция. Через прямую l провести фронтально проецирующую плоскость ∆ (∆ 2 ) (см. задачу 3).
2-я операция. Построить проекции линии пересечения обеих плоскостей – данной Г и вспомогательной ∆, т.е. MN (M1N1; M2N2) (см. задачу 4).
3-я операция. В пересечении проекций данной прямой l и построенной MN отметить проекции (К1, К2) искомой точки.

Задачи по начертательной геометрии

Найдя точку пересечения, перейти к определению видимости прямой l . Для определения видимости прямой l на горизонтальной проекции (вид сверху) рассматриваем две горизонтально конкурирующие точки Задачи по начертательной геометрии Задачи по начертательной геометрии По фронтальной проекции видим, что точка 1 лежит по отношению к плоскости П1 выше, чем точка 2. Это значит, что сверху видимой является точка 1,
а точка 2 закрыта ею. Следовательно, на виде сверху отрезок прямой l , на котором лежит точка 2, является невидимым. На фронтальной проекции видимость можно определить, например, при помощи фронтально конкурирующих точек Задачи по начертательной геометрии и

Задачи по начертательной геометрии Сравниваем расстояние их по отношению к плоскости П2 . Сравнение показывает, что точка 3 прямой l , а следовательно, отрезок 3К, спереди не виден.

 

Задача 6.

В плоскости Задачи по начертательной геометрии провести горизонталь Задачи по начертательной геометрии и фронталь Задачи по начертательной геометрии

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Известно, что фронтальная проекция h2 горизонтали h всегда параллельна оси XO. Поэтому построение горизонтали начинаем с проведения Задачи по начертательной геометрии (рис.7б). Горизонтальную проекцию находим из условия принадлежности горизонтали h плоскости Г. Фронтальная проекция горизонтали пересекает фронтальные проекции данных прямых l2 и m2 в точках 12 и 22 , которым соответствуют горизонтальные проекции 11 и 21. Через них и пройдет горизонтальная проекция h1 искомой горизонтали h . На (рис.7б) в плоскости Г
построена и фронталь f (f1; f2). Это построение выполнено аналогично построению горизонтали.

 

 

Задача 7.

Даны плоскость Задачи по начертательной геометрии и точка D(D1; D2). Опустить перпендикуляр из точки на эту плоскость (рис.8).
Известно, что если прямая перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы горизонтальная проекция прямой была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция – фронтальной проекции фронтали плоскости.

  • Решение:

Проводим горизонталь h (h1; h2 ) и фронталь f ( f1; f2) (см. задачу 6). Затем проводим проекции перпендикуляра: горизонтальную n1 – через D1 перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали h1 , и фронтальную n2 – через D2 перпендикулярно проекции фронтали f2 .

Задачи по начертательной геометрии

 

 

 

Задача 8.

Из произвольной точки плоскости Задачи по начертательной геометрии восстановить перпендикуляр (нормаль) к плоскости (рис.9а).

  • Решение:

Признаки перпендикулярности прямой и плоскости позволяют строить на чертеже проекции нормали к плоскости. На рис.16б дано построение нормали n ( n1; n2) в точке К (К1 ; К2) к плоскости Г (l ∩ m). Проекции нормали перпендикулярны соответствующим проекциям линий уровня плоскости Г.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

 

Задача 9.

Даны плоскость Задачи по начертательной геометрии и точка D; требуется определить расстояние от точки D до плоскости, заданной двумя пересекающимися прямыми l и m (рис. 10).

Задачи по начертательной геометрии

Порядок решения задачи:
1. Опустить перпендикуляр из точки D на плоскость Задачи по начертательной геометрии (см. задачу 7).
2. Определить точку пересечения перпендикуляра с плоскостью и отделить видимый участок перпендикуляра от невидимого, считая плоскость непрозрачной (см. задачу 5).
3. Определить натуральную величину расстояния от точки D до плоскости Г (см. задачу 1).

 

 

Задача 10.

Дана точка К(К12) и плоскость Г (АВС) провести через точку К плоскость, параллельную заданной плоскости Г (рис. 11).
Построение эпюра параллельных плоскостей основано на известном из стереометрии признаке: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Проводим через точку К(К12) прямые l (l1, l2) и m (m1 ; m2), параллельно сторонам АВ(А1В12В2) и АС(АС1,АС2).Плоскости Задачи по начертательной геометриипараллельны, т.к. их пересекающиеся прямые удовлетворяют условию: Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии

 

Задача 11.

Построить плоскость Задачи по начертательной геометрии параллельную плоскости Г (АВС) и отстоящую от неё на расстоянии 40 мм (рис. 12).
План решения задачи:
1. Из произвольной точки С (С12) заданной плоскости восстановить перпендикуляр к ней и ограничить его точкой N(N1;N2) (см. задачу 8).
2. Определить натуральную величину отрезка перпендикуляра по его проекции C1N1 и C2N2 (см. задачу 1).

Задачи по начертательной геометрии
3. На действительной величине отрезка перпендикуляра найти точку М0 на заданном расстоянии, считая от плоскости, и построить проекции этой точки М(М12) на проекциях перпендикуляра (см. задачу 2).

4. Задать искомую плоскость, соблюдая условие параллельности плоскостей (см. задачу 10).

 

 

Задача 12.

Через прямую l (l1,l2) провести плоскость ∆, перпендикулярную к плоскости Задачи по начертательной геометрии (рис.13).

  • Решение:

Если плоскость содержит в себе перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Чтобы провести через прямую l (l1, l2) искомую плоскость, надо из какой-либо точки прямой, например, А(А12), провести перпендикуляр к данной плоскости.
Строим проекции горизонтали h(h1;h2) и фронтали f(f1;f2) плоскости Задачи по начертательной геометрии Затем, проведя Задачи по начертательной геометрииполучим проекции перпендикуляра к

Задачи по начертательной геометрии

плоскости Г. Этот перпендикуляр АВ (А1В1; А2В2) совместно с данной прямой l (l1, l2) определяют искомую плоскость Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 13.

Построить линию пересечения двух плоскостей Г(АВС) и ∆(DEF) и отделить видимые их части от невидимых (рис.14).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Первая часть задачи сводится к построению линии пересечения двух плоскостей. Известно, что линией пересечения двух плоскостей является прямая линия, для построения которой достаточно определить две точки, общие обеим плоскостям. В данном случае общие точки для обеих плоскостей найдены как точки пересечения: М – стороны DE треугольника DEF с плоскостью Г(АВС); N – стороны ВС треугольника АВС с плоскостью ∆(DEF). Точка М определена с помощью вспомогательной фронтально проецирующей плоскости θ(θ2), точка N –
посредством горизонтально проецирующей плоскости Σ(Σ1) проведенных через DE и BC соответственно.
Линия пересечения плоскостей ограничена отрезком MN прямой, заключённым между точками встречи контура одной фигуры с ограниченной плоскостью другой.

Найдя линию пересечения, переходим к отделению видимых участков пластинок от невидимых, начав с горизонтальной проекции (вид а сверху). С этой целью рассмотрим две горизонтально конкурирующие точки Задачи по начертательной геометрии

Сравнивая расстояния фронтальных проекций этих точек по отношению к плоскости П1. замечаем, что точка 6 пластинки DEF, а следовательно, и участок стороны DE, находится под плоскостью пластинки АВС. В точке М происходит переход невидимого участка прямой DE к видимому.
Аналогичными рассуждениями при помощи фронтально конкурирующих точек Задачи по начертательной геометрии определяем видимость на фронтальной проекции.

 

 

 

Задача 14.

Дана точка А(А12). Найти её проекции в системе П14 (рис.15а).
На рис. 15 показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, чтобы от проекций точки А(А12) в системе П12 перейти к проекциям (А14) той же точки в системе П14..
1.Опускаем из А1 перпендикуляр на новую ось проекций П14. На построенном перпендикуляре откладываем (от новой оси) отрезок А4Ах'2Ах.
Полученная таким образом точка А4 является проекцией точки А(А12) на новую плоскость проекции П4.

 

Задача 15.

Дана точка А(А12) найти её проекции в системе П24 (рис.15б). На рис.15б показаны те построения, которые надо произвести на эпюре, чтобы от проекции (А12) точки А в системе П12 перейти к проекциям (А2; А4) той же точки в системе П24 .
Задачи по начертательной геометрии

Для построения на эпюре новой проекции точки при замене одной из плоскостей проекций надо опустить перпендикуляр на новую ось из той же проекции точки, которая не меняется, и отложить на нем от новой оси в соответствующую сторону расстояние от заменяемой проекции до старой оси.

 

 

Задача 16.

Преобразовать горизонтально проецирующую плоскость Г(АВСD) в плоскость уровня (рис.16).

  • Решение:

Плоскость Г – горизонтально проецирующая. Для преобразования ее в плоскость уровня достаточно взамен плоскости проекции П2 ввести новую плоскость П4 , параллельную плоскости Г(АВСD). Линию пересечения плоскостей П1 и П4 принимаем за новую ось проекций X1.
Задачи по начертательной геометрии

Новая ось X1 параллельна вырожденной проекции Г1 плоскости Г, т.к. плоскость П4 параллельна данной плоскости Г.
Построив проекции точек А, В, С и D в новой системе П1 П4 и соединив их, получим проекцию четырехугольника А4В4С4D4, отображающего свои натуральные размеры.

 

 

Задача 17.

По данной фронтальной проекции К2 точки К построить горизонтальную проекцию К1, исходя из условия, что точка К принадлежит грани SАС (рис.17).
Построение точки на поверхности выполняется как построение точки на плоскости грани.

  • Решение:

На грани SАС при помощи прямой 1–2 (1121 ; 1222) по данной фронтальной проекции К2 точки К построена горизонтальная проекция К1 , исходя из условия, что точка К должна лежать в грани SАС.
На рис.18 показано построение К1 на грани SВС при помощи прямой, проведенной через вершину S пирамиды.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 18.

Задать на поверхности конуса произвольную точку А (рис.19).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

1-й способ (рис.19а). На основании конуса задаем произвольную точку К(К1 , К2) и проводим вспомогательную образующую через точки S и К. На этой образующей берем точку А, которая и лежит на заданной поверхности.
2-й способ (рис.19б). На поверхности конуса проводим вспомогательную параллель; ее фронтальная проекция является отрезком прямой, параллельным оси проекций XO, а горизонтальная проекция – окружностью. На этой параллели берем точку А , которая и лежит на поверхности.

 

Задача 19.

Построить горизонтальную проекцию линии на поверхности конуса по заданной фронтальной проекции (рис.20).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Построение горизонтальной проекции заданной линии начинаем с того, что отмечаем точки, принадлежащие очерковым
образующим. Эти точки называют характерными. Точка 3 принадлежит передней образующей, 8 – задней, 2 – правой, 1 – левой и точка 10 – основанию конуса. Между этими точками отмечают так называемые случайные точки, помогающие установить характер линии. Точки 4, 5, 6, 7 и 9 – случайные.
Горизонтальные проекции всех отмеченных точек находим из условия принадлежности их конусу (см.
задачу 16).

При соединении точек следует учитывать их видимость. В нашем примере все точки сверху видимы, поэтому и линия, соединяющая их, видима сверху.

 

 

Задача 20.

Построить проекции линии пересечения пирамиды SАВСD с проецирующей плоскостью Г(Г2) (рис.21).

  • Решение:

Известно, что любая поверхность пересекается плоскостью по некоторой линии, точки которой принадлежат как поверхности, так и пересекающей плоскости. Общим приемом построения проекций линии пересечения поверхности плоскостью является построение отдельных точек, принадлежащих этой линии, с последующим соединением их в определенной последовательности. Линия пересечения
поверхности любого многогранника плоскостью будет ломаная линия, которая состоит из отрезков прямых, являющихся линиями пересечения отдельных граней рассматриваемого многогранника с указанной плоскостью. Характерными точками
этой линии будут ее вершины, расположенные на ребрах многогранника. В нашем примере пирамида пересекается фронтально проецирующей плоскостью Задачи по начертательной геометрии это значит, что фронтальная проекция искомой линии пересечения Задачи по начертательной геометрии
непосредственно задана на чертеже и совпадает с фронтальной проекцией всей плоскости Г2 .
При помощи линии связи находим горизонтальные проекции Задачи по начертательной геометриисечения. Натуральная величина сечения определена способом замены плоскостей проекций (см. задачу 14). За новую горизонтальную плоскость проекций взята сама плоскость Г. Новой осью проекций является Г2 .

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 21.

Построить в прямоугольной изометрии сечение пирамиды фронтально проецирующей плоскостью. Пирамида задана своими ортогональными проекциями (рис.22).

Задачи по начертательной геометрии

  • Решение:

Через точку О1 проводим прямые x , y, z , которые принимаем за оси натуральной системы координат (рис.29а).
Вычерчиваем аксонометрические оси координат с углами в 1200 между ними (рис.22б). По координатам, определенным непосредственным измерением ортогонального чертежа, строим аксонометрическую и вторичную горизонтальную проекции пирамиды. В нашем примере основание пирамиды АВСDЕ лежит на плоскости XOY, поэтому ее вторичная проекция совпадает с аксонометрической
проекцией и обозначена Задачи по начертательной геометрии Далее по координатам X и Y вершин сечения строим вторичную горизонтальную проекцию сечения Задачи по начертательной геометрии
Затем из точек Задачи по начертательной геометрии проводим проецирующие прямые, параллельные оси Задачи по начертательной геометрии до пересечения с соответствующими ребрами пирамиды в точках Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии
Соединяя найденные точки, получим фигуру сечения пирамиды фронтальнопроецирующей плоскостью.
Для решения задачи на построение линии пересечения двух фигур, одна из которых занимает проецирующее положение, достаточно выделить на чертеже уже имеющуюся проекцию линии пересечения, которая совпадает с вырожденной проекцией проецирующей фигуры. Вторую проекцию линии пересечения надо построить, исходя из условия ее принадлежности фигуре, занимающей общее положение.

Задачи по начертательной геометрии

Для решения этой задачи необходимо знать решение задач 18, 19, 20, а также нижеследующие задачи.

 

Задача 22.

Построить горизонтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности конуса (рис.23).
Определяем плоскую кривую. Так как плоскость, в которой находится кривая, параллельна образующей конуса, то кривая – парабола .
Строим характерные точки А , М , N , - они находятся на известных линиях поверхности.

Случайные точки 1 , 2, 3 , 4 строим с помощью параллелей конуса (см. задачу 18).

 

Задача 23.

Построить фронтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности конуса (рис.24). Кривая – гипербола, т.к. расположена в плоскости, параллельной двум образующим конуса.

Строим характерные точки: А (вершина гиперболы); N , M – конечные точки гиперболы; Т – точка видимости фронтальной проекции линии.
Случайные точки строим с помощью параллелей конуса.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 24.

Построить фронтальную проекцию плоской линии, принадлежащей поверхности сферы (рис.25).
Кривая – окружность , которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в эллипс, т.к. плоскость окружности наклонена к П2 . Характерные точки кривой - А , В и С , D (определяющие большую и малую оси эллипса), а также К и Т - точки видимости. Случайные точки - 1 , 2. Фронтальную проекцию точек строим с помощью окружностей, параллельных фронтальной плоскости.

 

Задача 25.

Построить горизонтальную проекцию линии, принадлежащей поверхности пирамиды (рис.26).
Характерные точки К , Т , N , D , принадлежащие ребрам пирамиды, и М , R – крайняя левая и самая низкая.
Задачи по начертательной геометрии

Горизонтальные проекции точек определяем с помощью прямых, параллельных основанию пирамиды.

 

Задача 26.

Построить пересечение конуса и призмы (рис.27).
Призма занимает проецирующее положение по отношению к фронтальной плоскости проекций, поэтому фронтальная проекция искомой линии пересечения совпадает с вырожденной проекцией призмы в пределах очерка конуса. Линия пересечения будет состоять из части эллипса и части окружности радиуса R .
Характерными точками будут А , С , D и M , N для эллипса и
M , N , K для окружности;
CD – малая ось эллипса;
M , N – точки излома;
K – крайняя правая точка окружности, определяющая радиус окружности R . Случайные точки – 1 , 2, 3 , 4 . Горизонтальные проекции точек определяем с помощью параллелей конуса. Определяем видимость кривой, учитывая, что проекция линии пересечения видима, если она принадлежит видимой части одной и второй поверхности.

 

Задача 27.

Построить развертку пирамиды SABC (рис.28). Гранями пирамиды являются треугольники, для построения которых достаточно определить натуральные длины их сторон – ребер пирамиды.

Задачи по начертательной геометрии

Основание пирамиды параллельно плоскости П1,поэтому подлежат определению только натуральные величины боковых ребер пирамиды. Строим развертку боковой поверхности пирамиды, используя натуральные величины ребер. Для этого по трем сторонам строим контур одной грани, к ней пристраиваем следующую и т.д.

 

Задача 28.

Построить на развертке цилиндра линию, принадлежащую поверхности цилиндра (рис.29).

  • Строим развертку цилиндра – прямоугольник, у которого одна сторона – высота цилиндра, другая – длина окружности основания. Выделяем образующие на поверхности цилиндра и наносим их на развертку. Строим точки, лежащие на образующих и принадлежащие кривой.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 29.

Построить точки пересечения прямой с поверхностью (рис. 30):
а) поверхность коническая; б) поверхность сферическая.

 

  • Через прямую проводим секущую плоскость так, чтобы она пересекла конус или сферу по окружности. Точки пересечения прямой и линии сечения К и Т являются точками пересечения прямой с поверхностью.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 30.

Построить пересечение двух поверхностей (рис.31). Для решения задачи такого типа применяется метод секущих плоскостей. Секущие плоскости – посредники выбираются так, чтобы при пересечении с каждой из поверхностей образовывались удобные для построения линии (прямые или окружности).
В данном примере в качестве посредников выбираем горизонтальные плоскости, которые рассекают тор и сферу по окружностям.
Строим характерные точки А, В, К, Т. Для определения К и Т используем плоскость – посредник Г.
Задачи по начертательной геометрии

Случайные точки определяем с помощью плоскостей Задачи по начертательной геометрии Определяем видимость кривой пересечения, учитывая, что на горизонтальной проекции видима только верхняя половина сферы.

 

Задача 31.

Построить пересечение соосных поверхностей вращения цилиндра и сферы, конуса и сферы (рис. 32).

Задачи по начертательной геометрии

Соосные поверхности пересекаются по общим параллелям (окружностям), плоскости которых, как известно, перпендикулярны осям вращения. Определяем характерные точки А, В как точки пересечения очерков. Строим линии пересечения поверхностей.

 

Задача 32.

Построить пересечение двух поверхностей вращения, оси которых пересекаются в точке О (рис.33). Используем секущие сферы, центры которых находятся в точке О.

 

  • Каждая сфера-посредник соосна с обоими пересекающимися цилиндрами. Линии пересечения сферы и цилиндра пересекаются между собой и определяют точки, принадлежащие линии пересечения двух цилиндров. Для определения радиусов максимальной и минимальной секущих сфер решаем следующие задачи.


Задачи по начертательной геометрии

Rmax есть величина, равная расстоянию от О2 до самой далекой характерной точки А2. Для определения Rmin вписываем сферы в каждую из пересекающихся поверхностей R1 и R2 . Минимальным радиусом секущей сферы ( Rmin ) будет больший из двух радиусов
вписанных сфер - R2 = Rmin .

 

 

Задача 33.

Через прямую АВ (А6 , В6 ) (рис.34а) провести плоскость Σ , уклон которой Задачи по начертательной геометрииСтроим сетку углового масштаба и с его помощью определяем интервал плоскости l (рис. 34 б). Сторона каждого квадрата сетки углового масштаба
соответствует 1 м.

 

  • Так как прямая АВ является горизонтальной прямой, то она является одной из горизонталей искомой плоскости.
  • Проводим перпендикулярно горизонтали искомой плоскости направление масштаба уклонов Задачи по начертательной геометрии на котором от заданной прямой откладываем отрезки, равные интервалу l, определенному с помощью углового масштаба. Через полученные отметки проводим ряд горизонталей плоскости Задачи по начертательной геометрии

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 34.

Через прямую АВ (А5 , В6) провести плоскость Задачи по начертательной геометрии уклон которой Задачи по начертательной геометрии масштаб 1 : 200 (рис.35).
Задачи по начертательной геометрии

  • Строим сетку углового масштаба и определяем интервал плоскости (в масштабе 1:200 сторона каждого квадрата сетки – 0,5 см).
  • Вычерчиваем вспомогательный конус, вершина которого расположена на заданной прямой в точке, имеющей целую отметку (например В6), а уклон образующей равен уклону искомой плоскости. Плоскость эта должна проходить через заданную прямую АВ и касаться конуса.

Радиус R основания конуса равен интервалу плоскости L , высота конуса равна 1м.
Из точки В6 чертежа радиусом R = L проводим окружность – горизонталь поверхности конуса, имеющую отметку 5. Касательная АК (А5 , К5) является горизонталью искомой плоскости. Направление масштаба уклона плоскости Задачи по начертательной геометрииперпендикулярно горизонтали АК.

 

Задача 35.

Через заданную на чертеже дугу BCD окружности, лежащую в горизонтальной плоскости, провести коническую поверхность (рис.36). Уклон образующих i = 3 : 4, масштаб 1 : 200.
Из центра дуги проводим нормаль, и от места её пересечения с дугой (внутрь или наружу) откладываем отрезки, равные интервалу конической поверхности. На рис. 36 а представлен фрагмент насыпи, а на рис. 36 б – фрагмент выемки.

Задачи по начертательной геометрии

 

Задача 36.

Построить линию пересечения двух плоскостей откоса дна котлована с бровками АВ и ВС. Уклон откосов i = 2:3, масштаб 1 : 200 (рис.37а).

  • Заданные прямые АВ и ВС являются горизонталями плоскостей откоса. Проводим масштаб уклона Задачи по начертательной геометрии перпендикулярно АВ с интервалом L , определённым из углового масштаба, Аналогично строим масштаб уклонов Задачи по начертательной геометрии (рис.37б).
  • Строим горизонтали плоскостей откосов, Через точки пересечения горизонталей с одинаковыми отметками проводим линию пересечения плоскостей откосов BD.


Задачи по начертательной геометрии

Задачи по начертательной геометрии

Строим горизонтали плоскости Ʃ и дуги окружностей – горизонталей конической поверхности. Находим точки пересечения одноименных горизонталей и соединяем их плавной кривой, которая является искомой линией пересечения

 

Задача 38.

Определить линию пересечения топографической поверхности с плоскостью заданной масштабом уклонов Задачи по начертательной геометрии (рис. 39).
Задачи по начертательной геометрии

Решение сводится к определению точек пересечения горизонталей плоскости и топографической поверхности, имеющих одинаковые отметки, которые соединяются между собой отрезками ломанной линии.

 

Задача 39.

Определить линию пересечения конической и топографической поверхности (рис. 40).
Аналогично предыдущей задаче находим точки пересечения одноименных горизонталей и соединяем их отрезками ломаной линии. Для уточнения контура, поскольку тридцать пятые горизонтали не пересекаются, дополнительно проводим (штриховой линией) горизонтали с отметкой 34,5, проведенные интерполяцией.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 40.

Построить профиль 1-1 топографической поверхности (рис. 41а).
Точки пересечения горизонталей поверхности с вертикально проецирующей плоскостью при помощи полоски бумаги с рис. 41а переносим на рис. 41б на горизонтальную линию. Из полученных точек восставляются перпендикуляры до пересечения с горизонтальными линиями, имеющими такие же отметки, как и отмеченные точки. Линия, соединяющая полученные точки пересечения, представляет собой профиль топографической поверхности.

Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 41.

Определить границы земляных работ на прямолинейном горизонтальном участке дороги с отметкой 20. Уклоны откосов выемок 1:1, уклон откосов насыпей 1:1,5 (рис.42).

Так как дорога имеет отметку 20, то точки нулевых работ находятся в пересечении горизонталей с отметкой 20 с бровками дороги - точки 0. В этих точках соприкасаются границы земляных работ выемки и насыпи.

Задачи по начертательной геометрии

Анализируя положение горизонталей на плане местности с отметкой полотна дороги, можно заметить, что левые точки нулевых работ часть дороги будет находится в выемке, так как в этом направлении рельеф местности повышается (горизонтали топографической поверхности имеют большие отметки, чем полотно дороги), а справа – на насыпи (рельеф местности на этом участке понижается).
С помощью углового масштаба уклонов определяем интервалы откосов выемки и откосов насыпей.
Перпендикулярно бровкам дороги проводим масштабы уклонов плоскостей откосов выемки Задачи по начертательной геометрии и масштабы уклонов плоскостей откосов насыпи Задачи по начертательной геометрии

Проведя горизонтали плоскостей откосов, определяем точки пересечения этих горизонталей с одноименными горизонталями топографической поверхности. Линии, соединяющие полученные точки, являются границами земляных работ.

 

Задача 42.

Определить линию пересечения откоса насыпи с топографической поверхностью в случае, когда их горизонтали не пересекаются (рис.43)

Задачи по начертательной геометрии

В рассматриваемом примере горизонтали с отметками 8 и 10 плоскости откоса насыпи не пересекаются с горизонталями 9 и 10 топографической поверхности. Для определения точки, принадлежащей линии пересечения, проводим в
плоскости откоса произвольную прямую А10В9 и определяем точку ее пересечения с топографической поверхностью, проводя для этого через прямую вспомогательную плоскость ( эта плоскость определяется параллельными прямыми AD и BC). Линия пересечения D10C9 вспомогательной плоскости с топографической поверхностью определяет в пересечении с прямой А10В9 искомую точку К. Вторая общая точка для плоскости откоса к топографической поверхности – точка L определена аналогично.

 

Задача 43.

По ортогональным проекциям построить прямоугольную изометрию (рис.44а).

Задачи по начертательной геометрии

Построение изометрии необходимо проводить в такой последовательности:
а) на ортогональном чертеже задать проекции осей натуральной системы координат (рис.44б);

б) задать аксонометрические оси и построить вторичную проекцию (аксонометрию плана) (рис.44в);
в) построить аксонометрию всей фигуры (рис.44г).

 

Задача 44.

Построить собственные и падающую тень призмы на горизонтальную плоскость (рис.45).
Прежде, чем строить падающую тень призмы, определяем контуры собственной тени, рассматривая положение граней относительно направления лучей света. В тени находятся правая, задняя и нижняя грани призмы. Контур собственной тени призмы при заданном направлении световых лучей представляет собой ломаную линию АВСDЕ, составленную из ребер призмы.

От контура собственной тени строим контур падающей тени. Так как ребро АВ перпендикулярно горизонтальной плоскости, то направление тени от отрезка АВ на горизонтальной плоскости параллельно вторичной проекции светового луча

Задачи по начертательной геометрии

(проекции луча на этой плоскости). Отрезки ВС и DC параллельны горизонтальной плоскости, поэтому тени этих отрезков на эту плоскость параллельны самим отрезкам.

 

Задача 45.

Построить тень, падающую от отрезка АВ на призму (рис. 46).

Задачи по начертательной геометрии

Тень от вертикального отрезка на землю (горизонтальную плоскость) совпадает с направлением вторичной проекции светового луча. Но она действительна до точки Задачи по начертательной геометрии так как эта точка лежит на линии пересечения плоскости земли с гранью призмы. В этой точке тень от отрезка преломляется на грань призмы.
Тень от отрезка АВ , упавшая на вертикальную грань призмы, изобразится вертикальной прямой Задачи по начертательной геометрии так как АВ параллелен этой грани. Тень от отрезка АВ, упавшая на верхнюю грань призмы, совпадает с направлением вторичной проекции светового луча, т.е. Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 46.

Построить собственные и падающие тени заданных призм (рис. 47).
Определяем грани, находящиеся в собственной тени, и контуры этих теней. Это – правые, задние и нижние грани призм.

Задачи по начертательной геометрии

Построение падающих теней от ребер Задачи по начертательной геометрии на горизонтальную плоскость выполнено аналогично с построениями в примере 46 (см. рис.47). Построение падающей тени вертикального отрезка EF аналогично построениям, выполненным при решении задачи 46. Тень от ребра FK падает на вертикальную (переднюю грань) и горизонтальную (верхняя грань) плоскости. Тень от отрезка FK по вертикальной плоскости будет направлена от точки Задачи по начертательной геометрии в точку 1/ (точку пересечения ребра FK с этой вертикальной плоскостью) на участке Задачи по начертательной геометрии Тень от отрезка FK на горизонтальной плоскости будет параллельна самому отрезку Задачи по начертательной геометрии
Тень от отрезка МК падает на горизонтальную плоскость, и поэтому параллельна самому отрезку.

 

Задача 47.

По ортогональному чертежу прямой l построить перспективу (рис.48а).

Задачи по начертательной геометрии

Выполним предварительные построения на ортогональном чертеже. Задаем основание главного луча S1P1 ,проведя Задачи по начертательной геометрии (рис.48б). Определяем картинный след прямой (точку пересечения прямой с картиной) - Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии
Для построения точки схода F прямой l проводим через S1 прямую Задачи по начертательной геометрииЗадачи по начертательной геометрии и отмечаем точку Задачи по начертательной геометрии являющуюся основанием точки схода. Выполним предварительные построения на картине (рис.48в).
Зададим линии hh и OO , расстояние между которыми равно высоте точки зрения, т.е. расстоянию от S2 до оси X на ортогональном чертеже. На hh , примерно посередине, проведем главную линию картины Задачи по начертательной геометрии

Затем приступаем к построению перспективы прямой. Так как прямая l – горизонтальная прямая, то точка схода прямой (и ее вторичная проекция) лежит на hh , а картинный след (и его вторичная проекция) – на OO. Построим эти точки, отложив Задачи по начертательной геометрии
Соединив построенные точки, получаем перспективу прямой 1 . Так прямая 1 принадлежит предметной плоскости, то перспектива прямой и ее вторичная проекция совпадают.

 

Задача 48.

Построить перспективу отрезка АВ (рис.49).
Задачи по начертательной геометрии

Перспектива точки строится в пересечении перспектив двух прямых, проходящих через точку в пространстве.
Строим перспективу прямой l , которой принадлежит отрезок АВ (см. предыдущую задачу). Чтобы на построенной прямой зафиксировать положение определенной точки, в пространстве через эту точку проводим вспомогательную прямую и строим перспективу этой прямой. Вспомогательные прямые могут быть любого направления. Для построения перспективы точки В через нее проводим прямую n , перпендикулярную картине Задачи по начертательной геометрии В перспективе известна точка схода такой прямой – она совпадает с главной точкой картины.
Для построения перспективы точки А через нее проведена прямая m, проходящая через точку стояния (основание точки зрения). Для этой прямой известно направление ее в перспективе – она параллельна главной линии.

 

Задача 49.

Построить перспективу плана здания (рис.50).

Задачи по начертательной геометрии

При анализе формы плоской фигуры замечаем, что она содержит отрезки из пучков параллельных прямых.
Построив точку схода Задачи по начертательной геометрии перспективных изображений пучка прямых АВ, ЕМ, КN и их картинные следы Задачи по начертательной геометрии строим перспективу этих прямых. Заметим, что пучок параллельных прямых АЕ, ВС, КТ, MN не имеет в пределах чертежа доступную точку схода. Поэтому на перспективном изображении положение каждой вершины многоугольника плана определен с помощью вспомогательных прямых, проходящих через точку стояния (см. в задаче 48 построение перспективы точки В).

 

Задача 50.

Построить перспективу вертикального отрезка АВ (рис.51).

Вначале строим перспективу точки А, принадлежащей предметной плоскости. Для этого проводим через точку А две вспомогательные прямые: Задачи по начертательной геометрии t – идущую в точку стояния.

Задачи по начертательной геометрии

Через перспективу точки А проводим вертикальную прямую – направление перспективы отрезка АВ. Для того чтобы получить перспективу точки В , через прямую n проводим вертикальную плоскость и строим линию пересечения плоскости Задачи по начертательной геометрии с картиной Задачи по начертательной геометрии затем, отложив на этой прямой от основания картины отрезок Задачи по начертательной геометрии равный величине отрезка Задачи по начертательной геометрии проводим в плоскости горизонталь заданной высоты до пересечения с вертикальной прямой – направлением перспективы отрезка АВ. Заметим, что прямая n является нулевой горизонталью плоскости (предметным следом плоскости Задачи по начертательной геометрии ). Так как горизонталь параллельна n , то в перспективе они пересекаются в общей точке схода (в нашем примере точкой схода является главная точка картины, так как Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 51.

Построить собственные и падающую тень призмы при заданном направлении светового луча (рис. 52).
Прежде чем строить падающую тень призмы, определяем контур собственной тени. Так как при заданном направлении световых лучей в тени находятся правая и задняя часть призмы, то контур собственной тени представляет собой ломаную линию ABCDE, составленную из ребер призмы.
Строим контур падающей тени от контура собственной тени. Так как ребро АВ перпендикулярно предметной плоскости, то направление тени от отрезка АВ

Задачи по начертательной геометрии

совпадает с направлением вторичной проекции светового луча. В пересечении перспективы светового луча и вторичной проекции его отмечаем тень от точки, через которую проходит световой луч. Заметим, что в данной задаче направление световых лучей параллельно
плоскости картины (вторичная проекция заданного светового луча параллельна линии hh), и поэтому на перспективном изображении сохраняется параллельность световых лучей.

 

Задача 52.

Построить тень, падающую от отрезка АВ (рис.53).

Тень от отрезка АВ на предметной плоскости направлена по вторичной проекции светового луча. Она действительна до точки Задачи по начертательной геометрии в которой тень от отрезка преломляется на грань призмы

Задачи по начертательной геометрии

Отрезок АВ параллелен вертикальной грани призмы, поэтому тень от него на этой грани будет вертикальна (участок Задачи по начертательной геометрии
Тень от отрезка АВ, упавшая на верхнею грань призмы, совпадает с направлением вторичной проекции светового луча Задачи по начертательной геометрии

 

 

Задача 53.

Построить собственные и падающие тени заданных призм (рис. 54).

Задачи по начертательной геометрии

Определяем грани находящиеся в собственной тени, и контуры этих теней. В тени находятся правые и задние грани призм.
Построение падающих теней от ребер призмы на предметную плоскость выполнено аналогично с построением в задаче 51 (см. рис. 52).
Построение падающей тени вертикального отрезка АВ выполнено аналогично с построениями в задаче 52 (см. рис. 53).
Тень от отрезка ВС падает на вертикальную (передняя грань) и горизонтальную (верхняя грань) плоскости. Для построения тени от отрезка ВС на передней грани определяем точку пересечения этого отрезка с плоскостью – точку Задачи по начертательной геометрии Тень отрезка АВ по вертикальной плоскости направлена от точки Задачи по начертательной геометрии до точки Задачи по начертательной геометрии на участке Задачи по начертательной геометрии
Тень от отрезка ВС на горизонтальной плоскости (верхней грани) параллельна самому отрезку BC, и поэтому перспектива отрезка и тень от него на этой плоскости пересекаются в общей точке схода.

Отрезок CD также параллелен горизонтальной плоскости, на которую падает тень от него, поэтому тень и перспектива этого отрезка пересекаются в общей точке схода.