Задачи по матрицам

Задачи по матрицам с решением

 

Если у вас нету времени на задачи по матрицам вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по матрицам помощь в учёбе

 

Матрицы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицей размера Задачи по матрицам называется прямоугольная таблица чисел Задачи по матрицам расположенных в Задачи по матрицам строках и Задачи по матрицам столбцах:

Задачи по матрицам

Числа называются элементами матрицы. Матрица может быть записана так: Задачи по матрицам

Матрица размера Задачи по матрицам называется матрицей-строкой и имеет вид: Задачи по матрицам Матрица размера Задачи по матрицам называется матрицей-столбцом и имеет вид:

Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов Задачи по матрицам при этом число Задачи по матрицам называется порядком матрицы. Пример квадратной матрицы 3-го порядка:
Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Главной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов Задачи по матрицам идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний угол. Побочной диагональю квадратной матрицы называется диагональ, составленная из элементов Задачи по матрицам идущая из правого верхнего угла этой матрицы в левый нижний угол.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю, называется треугольной, например:
Задачи по матрицам
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие выше и ниже главной диагонали, равны нулю, называется диагональной, Т.е. Задачи по матрицам При Задачи по матрицам
Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная диагональная матрица с единичными элементами называется единичной и обозначается буквой Задачи по матрицам Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид:

Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Транспонированием квадратной матрицы называется такое преобразование, при котором ее строки становятся столбцами с теми же номерами, а столбцы - строками.

Матрицу, транспонированную по отношению к матрице Задачи по матрицам обозначают Задачи по матрицам

Например, Задачи по матрицам для матрицы Задачи по матрицам имеет вид:
Задачи по матрицам
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы Задачи по матрицам называются равными, если они имеют одинаковую размерность и все их соответствующие элементы совпадают.

Определители второго и третьего порядка ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем второго порядка квадратной матрицы

Задачи по матрицам называется число, равное
Задачи по матрицам

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по матрицам с примерами онлайн

 

Задача 1:

Задачи по матрицам
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определителем третьего порядка квадратной матрицы
Задачи по матрицам называется число, равное

Задачи по матрицам

Задачи по матрицам

Данная формула называется правилом треугольников. Элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения отрезками или треугольниками.

Задачи по матрицам
Знаки (+) и (-) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель (4).

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по матрицам онлайн

 

Задачи с решением

 

Задача 2:

Задачи по матрицам

 

Свойства определителей

Свойство 1. Определитель квадратной матрицы Задачи по матрицам не меняется при транспонировании: Задачи по матрицам

Свойство 2. При перестановке местами двух строк (столбцов) определитель Задачи по матрицам меняет знак:

Задачи по матрицам

Свойство 3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.

Свойство 4. Общий множитель для элементов некоторой строки (столбца) определителя Задачи по матрицам можно вынести за знак определителя:

Задачи по матрицам
Это свойство можно сформулировать иначе: умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя Задачи по матрицам на число Задачи по матрицам равносильно умножению определителя на это число.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя Задачи по матрицам равны нулю, то и сам определитель равен нулю:

Задачи по матрицам

Это свойство вытекает из предыдущего при Задачи по матрицам

Свойство 6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя Задачи по матрицам пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
Задачи по матрицам

Свойство 8. Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя Задачи по матрицам прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель Задачи по матрицам то величина определителя не изменится:
Задачи по матрицам

Замечание: пользуясь свойством 8, можно, не меняя величину определителя, все элементы некоторой строки (столбца) определителя, кроме одного, сделать равными нулю.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Минором Задачи по матрицам элемента Задачи по матрицам определителя Задачи по матрицам называется определитель, полученный из определителя Задачи по матрицам вычеркиванием Задачи по матрицам строки Задачи по матрицам столбца, на пересечении которых стоит элемент Задачи по матрицам

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по матрицам заказать готовую онлайн

 

Задача 3:

Найдите минор Задачи по матрицам элемента Задачи по матрицам определителя 3-го порядки Задачи по матрицам

  • Решение:

Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебраическим дополнением Задачи по матрицам элемента Задачи по матрицам определителя Задачи по матрицам называется минор Задачи по матрицам этого элемента со знаком Задачи по матрицам где Задачи по матрицам - номер строки, a Задачи по матрицам - номер столбца, на пересечении которых стоит элемент Задачи по матрицам

Задачи по матрицам

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по матрицам расчетно графическая работа

 

Задача 4:


Для определителя Задачи по матрицам

Свойство 9. Определитель Задачи по матрицам численно равен сумме произведений элементов любой его строки на соответствующие алгебраические дополнения.
Задачи по матрицам

 

Задача 5:

Вычислим определитель 3-го порядка разложением по элементам первой строки:

Задачи по матрицам

Свойство 10. Алгебраическая сумма произведений элементов любой строки (столбца) определителя Задачи по матрицам на алгебраическое дополнение соответствующих элементов другой строки (столбца) равна нулю.

 

 

Определители высших порядков

Определитель квадратной матрицы Задачи по матрицам порядка имеет вид:

Задачи по матрицам

Для определителей Задачи по матрицам порядка справедливы свойства, изложенные в разделе 1.3.

Определители Задачи по матрицам порядка могут быть вычислены двумя способами.

1. Метод разложения по строке или столбцу (метод понижения порядка):

Задачи по матрицам

 

 

Задача 6:


Вычислим определитель 4-го порядка Задачи по матрицам методом понижения порядка.

  • Решение:

Обозначим строки определителя через Задачи по матрицам а столбцы - Задачи по матрицам Приведем определитель к виду, в котором Задачи по матрицам а остальные элементы первого столбца равны нулю. Для этого поставим четвертый столбец на место первого, при этом определитель изменит знак:

Задачи по матрицам
Обратим в нули элементы первого столбца во второй, третьей и четвертой строках с помощью преобразований Задачи по матрицам
Задачи по матрицам

Метод приведения к треугольному виду.

Используя свойства, добьемся такой структуры определителя, при которой все его элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю. Тогда определитель будет численно равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.
Задачи по матрицам

 

 

Задача 7:


Вычислим определитель 5-го порядка Задачи по матрицам методом приведения к треугольному виду.

  • Решение:

Задачи по матрицам
Операции над матрицами и их свойства

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Суммой матриц Задачи по матрицам одинаковой размерности Задачи по матрицам называется матрица Задачи по матрицам элементы которой равны Задачи по матрицам где Задачи по матрицам

Свойство 1. Задачи по матрицам

Свойство 2. Задачи по матрицам

Свойство З. Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы Задачи по матрицам на число Задачи по матрицам называется матрица Задачи по матрицам элементы которой удовлетворяют условию: Задачи по матрицам где Задачи по матрицам

Свойство 4. Задачи по матрицам

Свойство 5. Задачи по матрицам

Свойство 6. Задачи по матрицам

Свойство 7. Задачи по матрицам

Свойство 8. Задачи по матрицам

 

Задача 8:

Найдите Задачи по матрицам если Задачи по матрицам

  • Решение:

Задачи по матрицам
ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Произведением матрицы Задачи по матрицам размерности Задачи по матрицам на матрицу Задачи по матрицам размерности Задачи по матрицам называется матрица Задачи по матрицам размерности Задачи по матрицам элементы которой находятся по формуле:

Задачи по матрицам

т.е. Задачи по матрицам равен сумме произведений элементов Задачи по матрицам строки матрицы Задачи по матрицам на элементы

Задачи по матрицам столбца матрицы Задачи по матрицам Число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы.

 

 

Задача 9:

Найдите Задачи по матрицам если Задачи по матрицам

  • Решение:

Задачи по матрицам

размерность матрицы Задачи по матрицам

Свойство 9. Задачи по матрицам

Свойство 10. Задачи по матрицам

Свойство Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрицы Задачи по матрицам называются перестановочными (коммутирующими), если Задачи по матрицам В общем случае произведение матриц не коммутативно: Задачи по матрицам

 

 

Задача 10:

Найдите Задачи по матрицам если Задачи по матрицам

  • Решение:

Задачи по матрицам

Задачи по матрицам
Свойство 12. Задачи по матрицам

Свойство 13. Задачи по матрицам

Свойство 14. Задачи по матрицам

Свойство 15. Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Квадратная матрица Задачи по матрицам порядка называется вырожденной , если определитель этой матрицы равен нулю Задачи по матрицам и невырожденной, если Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица Задачи по матрицам называется обратной к матрице Задачи по матрицам если

Задачи по матрицам

Основным методом вычисления обратной матрицы Задачи по матрицам является метод присоединенной матрицы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Матрица Задачи по матрицам составленная из алгебраических дополнений Задачи по матрицам соответствующих элементов Задачи по матрицам матрицы Задачи по матрицам называется присоединенной к матрице Задачи по матрицам

Задачи по матрицам

Теорема. Если матрица Задачи по матрицам невырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица Задачи по матрицам равная Задачи по матрицамтранспонированная присоединенная матрица. Доказательство теоремы проводится непосредственной проверкой того факта, что Задачи по матрицам Для обратной матрицы выполняются следующие соотношения:

Свойство 16. Задачи по матрицам

Свойство 17 Задачи по матрицам

Свойство 18. Задачи по матрицам

.

 

Матричные уравнения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Если матрицы Задачи по матрицам известны, то равенство Задачи по матрицам называется матричным уравнением относительно матрицы Задачи по матрицам

Если Задачи по матрицам т.е. матрицы Задачи по матрицам - невырожденные, уравнение преобразуется следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на Задачи по матрицам и справа на Задачи по матрицамЗадачи по матрицам

т.к. Задачи по матрицам то получаем решение: Задачи по матрицам

 

 

Задача 11:

решите матрическое уравнение Задачи по матрицам

  • Решение:

Вычислим Задачи по матрицам значит матрица Задачи по матрицам - невырожденная.
Построим матрицу Задачи по матрицам обратную матрице Задачи по матрицам

Задачи по матрицам

Записываем решение матричного уравнения:

Задачи по матрицам

 

 

Ранг матрицы

Пусть в матрице Задачи по матрицам размерности Задачи по матрицам выбраны Задачи по матрицам строк и Задачи по матрицам столбцов, причем Задачи по матрицам Тогда элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу Задачи по матрицам порядка.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Определитель Задачи по матрицам этой матрицы называется минором Задачи по матрицам порядка матрицы Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Рангом матрицы Задачи по матрицам называется число, равное максимальному порядку Задачи по матрицам отличных от нуля миноров Задачи по матрицам этой матрицы: Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисным минором матрицы Задачи по матрицам называется любой минор порядка Задачи по матрицам отличный от нуля.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрицы называются эквивалентными и обозначаются Задачи по матрицам если Задачи по матрицам

Ранг матрицы Задачи по матрицам можно вычислить двумя способами.

 

1. Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице Задачи по матрицам элемент Задачи по матрицам тогда Задачи по матрицам Окаймляем этот элемент элементами Задачи по матрицам столбца и Задачи по матрицам строки, получаем минор 2-го порядка: Задачи по матрицам

Если Задачи по матрицам то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка. Если все миноры второго порядка равны нулю, то Задачи по матрицам если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то Задачи по матрицам

Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка Задачи по матрицам и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Задачи по матрицам а все Задачи по матрицам Тогда ранг матрицы будет равен Задачи по матрицам

 

2. Метод элементарных преобразований

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

1)транспонирование;

2) перестановка строк (столбцов);

3) умножение строки (столбца) на число Задачи по матрицам

4) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число;

5) отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.

Теорема. Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.

Определение ранга матрицы Задачи по матрицам методом элементарных преобразований сводится к приведению матрицы к диагональному виду, когда все элементы, кроме Задачи по матрицам равны нулю. Тогда ранг матрицы Задачи по матрицам равен числу отличных от нуля диагональных элементов.

 

Задача 12:

Вычислите ранг матрицы Задачи по матрицам методом элементарных преобразований.

  • Решение:

Задачи по матрицам

Системы Задачи по матрицам линейных уравнений с Задачи по матрицам неизвестными.
Рассмотрим систему линейных уравнений вида

Задачи по матрицам

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Решением системы линейных уравнений (1) называется такое множество чисел Задачи по матрицам при подстановке которых в каждое из уравнений системы получается верное равенство.

Система (1) может быть записана в матричном виде Задачи по матрицам где
Задачи по матрицам расширенная матрица системы,
Задачи по матрицам - основная матрица системы,
Задачи по матрицам - столбец неизвестных Задачи по матрицам столбец свободных членов

  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Определитель матрицы Задачи по матрицам называется главным определителем системы линейных уравнений и обозначается символом Задачи по матрицам
  • ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Система линейных уравнений (1) называется неоднородной, если матрица Задачи по матрицам не является нульматрицей Задачи по матрицам и называется однородной, если Задачи по матрицам


ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет решения, и называется несовместной - в противном случае. Система называется определенной, если она имеет единственное решение, и называется неопределенной, если она имеет бесконечное множество решений.

Системы Задачи по матрицам линейных уравнений с Задачи по матрицам неизвестными
Рассмотрим систему вида
Задачи по матрицам

Теорема (правило Крамера). Если главный определитель системы линейных уравнений (1) не равен нулю, то система совместна и определена, причем единственное решение вычисляется по формулам Крамера:

Задачи по матрицам

Здесь Задачи по матрицам - определители, получаемые из главного определителя системы Задачи по матрицам заменой Задачи по матрицам столбца на столбец свободных членов.

Доказательство:
Задачи по матрицам основная матрица системы (2),

a Задачи по матрицам - алгебраические дополнения элементов Задачи по матрицам этой матрицы Задачи по матрицам

Чтобы найти неизвестное Задачи по матрицам домножим первое уравнение системы на Задачи по матрицам второе уравнение - на Задачи по матрицам уравнение - на Задачи по матрицам и сложим все полученные уравнения. В результате получим:

Задачи по матрицам

В этом уравнении выражение

Задачи по матрицам

где Задачи по матрицам - главный определитель системы (1), полученный разложением по элементам первой строки, а выражения

Задачи по матрицам

поскольку представляют собой сумму произведений элементов Задачи по матрицам строки на алгебраические дополнения первой, отличной от Задачи по матрицам строки.
В правой части уравнения имеем

Задачи по матрицам

Таким образом, уравнение примет вид Задачи по матрицам следовательно, Задачи по матрицам Для получения любого неизвестного Задачи по матрицам достаточно домножить соответствующие уравнения на Задачи по матрицам а затем сложить. В результате получаем

Задачи по матрицам

 

 

Задача 13:

Решите систему:

Задачи по матрицам
По формулам Крамера:

Задачи по матрицам

Посчитаем значения неизвестных:

Задачи по матрицам

Системы Задачи по матрицам линейных уравнений с Задачи по матрицам неизвестными. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему линейных уравнений вида

Задачи по матрицам

Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система линейных уравнений (3) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы:

Задачи по матрицам

Если Задачи по матрицам то система заведомо не имеет решений.

 

 

Задача 14:

Решите систему

Задачи по матрицам

по теореме Кронекера - Капелли система несовместна. Если Задачи по матрицам то возможны два случая:

1) Задачи по матрицам (числу неизвестных) - тогда решение единственное и может быть получено по формулам Крамера;

2) Задачи по матрицам - тогда решений бесконечно много.

Схема отыскания решения системы Задачи по матрицам линейных уравнений с Задачи по матрицам неизвестными

Пусть Задачи по матрицам Тогда любой отличный от нуля

минор, составленный из коэффициентов матрицы порядка Задачи по матрицам можно выбрать в качестве базисного, при этом неизвестные Задачи по матрицам имеющие своими коэффициентами элементы базисного минора, называются базисными неизвестными, а остальные Задачи по матрицам неизвестных - свободными. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения. Пусть, для определенности, базисный минор располагается в первых Задачи по матрицам строках и Задачи по матрицам столбцах матрицы Задачи по матрицам системы:

Задачи по матрицам

Тогда Задачи по матрицам - базисные неизвестные, а Задачи по матрицам - свободные неизвестные.

Перенесем свободные неизвестные в правую часть уравнений системы:

Задачи по матрицам

Система (4) является следствием исходной системы (3) и ее решение может быть найдено или по формулам Крамера, или матричным способом. При этом базисные неизвестные Задачи по матрицам выражаются определенным образом через свободные. Если свободные неизвестные принимают значения

Задачи по матрицам

то базисные неизвестные выражаются через свободные Задачи по матрицамЗадачи по матрицам

Общее решение неоднородной системы Задачи по матрицам можно записать в виде матрицы-столбца:

Задачи по матрицам

Поскольку свободные неизвестные могут принимать произвольные числовые значения, то исходная система имеет бесконечно много решений. Общее решение Задачи по матрицам при Задачи по матрицам может быть записано в матричном виде следующим образом:

Задачи по матрицам где частные решения Задачи по матрицам получены при следующих значениях постоянных:

Задачи по матрицам

 

 

 

Задача 15:

Решите систему Задачи по матрицам

Рассмотрим расширенную матрицу системы:

Задачи по матрицам

Следовательно, Задачи по матрицам поэтому система совместна и не определена. Выберем Задачи по матрицам в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:

Задачи по матрицам

Полагая Задачи по матрицам - произвольные числа, получаем общее решение системы
Задачи по матрицам

Однородные системы

Однородная система имеет вид:

Задачи по матрицам

ей соответствует матричное уравнение Задачи по матрицам

Однородная система всегда совместна, так как Задачи по матрицам поскольку нулевой столбец не меняет ранг матрицы, всегда существует нулевое решение Задачи по матрицам

Теорема. Для того чтобы однородная система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Задачи по матрицам

Следствие. Для того чтобы однородная система Задачи по матрицам линейных уравнений с Задачи по матрицам неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Задачи по матрицам

Если Задачи по матрицам то заведомо Задачи по матрицам и тогда возникают свободные неизвестные Задачи по матрицам система имеет нетривиальные решения, причем их бесконечно много.

Общее решение Задачи по матрицам при Задачи по матрицам может быть записано в матричном виде следующим образом:

Задачи по матрицам

и совпадает с соответствующим общим решением неоднородной системы при Задачи по матрицам

 

 

Задача 16:

Решите систему Задачи по матрицам

Рассмотрим матрицу системы:
Задачи по матрицам
Следовательно, Задачи по матрицам Выберем Задачи по матрицам в качестве базисных неизвестных и запишем преобразованную систему:

Задачи по матрицам

Полагая Задачи по матрицам где Задачи по матрицам и Задачи по матрицам - произвольные числа, получаем общее решение однородной системы в виде:
Задачи по матрицам

Метод Гаусса решения систем Задачи по матрицам линейных уравнений с Задачи по матрицам неизвестными

Одним из основных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса.

Эквивалентными преобразованиями системы являются следующие:

  • 1) перемена местами двух любых уравнений системы;
  • 2) умножение любого уравнения системы на произвольное число Задачи по матрицам
  • 3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на произвольное число Задачи по матрицам

Элементарным преобразованиям уравнений соответствуют элементарные преобразования элементов расширенной матрицы системы Задачи по матрицам Заметим, что элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга.

Сформулируем алгоритм Гаусса как преобразование строк матрицы Задачи по матрицам к верхнему треугольному виду, которое позволяет не только вычислить ранги матриц Задачи по матрицам но и записать решение системы.

Наиболее удобен метод Гаусса - Ньютона, в котором матрицу приводят не к треугольному, а к диагональному виду. При этом сразу получается решение системы уравнений.

 

 

 

Задача 17:

Решите систему Задачи по матрицам
Запишем расширенную матрицу системы

Задачи по матрицам
Ранг основной матрицы системы равен трем, совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система линейных уравнений совместна. Вернемся к системе уравнений:

Задачи по матрицам

 

 

Решение задач:

 

Задача 18:

Вычислите ранг матрицы

Задачи по матрицам

  • Решение:

Задачи по матрицам

В левом верхнем углу матрицы стоит определитель треугольного вида, который равен произведению элементов, стоящих на его главной диагонали Задачи по матрицам значит ранг матрицы равен четырем.

Ответ: ранг матрицы равен 4.

 

 

Задача 19.

Решите систему линейных уравнений

Задачи по матрицам

  • Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

Задачи по матрицам

Если Задачи по матрицам то неизвестные можно найти по формулам Крамера:
Задачи по матрицам
Вычислим основной определитель матрицы системы Задачи по матрицам разложением по элементам первой строки:

Задачи по матрицам

Чтобы получить определитель Задачи по матрицам заменим в Задачи по матрицам первый столбец столбцом свободных членов

Задачи по матрицам

Аналогично вычисляем Задачи по матрицам

Задачи по матрицам

Отсюда Задачи по матрицам
Ответ: Задачи по матрицам

 

 

Задача 20.

Решите систему линейных уравнений

Задачи по матрицам

  • Решение:

Запишем расширенную матрицу системы
Задачи по матрицам
Ранг основной матрицы системы равен единице и совпадает с рангом расширенной матрицы системы, следовательно, по теореме Кронекера - Капелли система линейных уравнений совместна. Она равносильна уравнению:

Задачи по матрицам

В качестве базисного неизвестного выберем Задачи по матрицам остальные неизвестные считаем свободными. При Задачи по матрицам выразим базисное неизвестное через эти параметры:

Задачи по матрицам

Итак,

Задачи по матрицам
Ответ: Задачи по матрицам

 

 

Задача 21.

Решите систему линейных уравнений

Задачи по матрицам

  • Решение:

Запишем расширенную матрицу системы

Задачи по матрицам

Задачи по матрицам
В левом верхнем углу матрицы стоит треугольный определитель Задачи по матрицам значит его можно считать базисным минором. Ранг основной
углу матрицы стоит треугольный определитель
матрицы системы линейных уравнений равен трем и равен рангу ее расширенной матрицы, следовательно, система совместна по теореме Кронекера - Капелли. Для удобства продолжим преобразования матрицы и приведем базисный минор не только к треугольному, но и к диагональному виду. С помощью преобразований получим:

Задачи по матрицам

Восстановим по полученной матрице решение системы уравнений:

Задачи по матрицам

Базисный минор содержит базисные неизвестные Задачи по матрицам Свободными являются неизвестные Задачи по матрицам Придадим свободным неизвестным значения Задачи по матрицам и перенесем их в правую часть уравнений:

Задачи по матрицам

Ответ: Задачи по матрицам