Задачи по физике

Ответы на вопросы по заказу заданий по физике:

Сколько стоит помощь?

• Цена зависит от объёма, сложности и срочности. Присылайте любые задания по любым предметам - я изучу и оценю.

Какой срок выполнения?

• Мне и моей команде под силу выполнить как срочный заказ, так и сложный заказ. Стандартный срок выполнения – от 1 до 3 дней. Мы всегда стараемся выполнять любые работы и задания раньше срока.

Если требуется доработка, это бесплатно?

• Доработка бесплатна. Срок выполнения от 1 до 2 дней.

Могу ли я не платить, если меня не устроит стоимость?

• Оценка стоимости бесплатна.

Каким способом можно оплатить?

• Можно оплатить любым способом: картой Visa / MasterCard, с баланса мобильного, google pay, apple pay, qiwi и т.д.

Какие у вас гарантии?

• Если работу не зачли, и мы не смогли её исправить – верну полную стоимость заказа.

В какое время я вам могу написать и прислать задание на выполнение?

• Присылайте в любое время! Я стараюсь быть всегда онлайн.

Содержание:

1. Ответы на вопросы по заказу заданий по физике:
2. Классификация задач по физике
3. Общечастные методы. Метод ДИ
4. Задача 6.1
5. Решение:
6. Метод упрощения и усложнения. Метод оценки
7. Задача 7.1
8. Решение:
9. Задача 7.2
10. Решение:
11. Задача 7.3
12. Решение:
13. Метод постановки задачи
14. Задача 8.1
15. Решение:
16. Еще одна классификация поставленных задач
17. Задача 9.1
18. Решение:
19. Задача 9.2
20. Решение:
21. Кинематика материальной точки
22. Задача 10.1
23. Задача 10.2
24. Решение:
25. Динамика материальной точки
26. Задача 11.1
27. Решение:
28. Законы сохранения
29. Задача 13.1
30. Решение:
31. Динамика твердого тела
32. Задача 14.1
33. Решение:
34. Основная задача в теории поля тяготения
35. Поле тяготения системы материальных точек
36. Задача 17.1
37. Решение:
38. Задача 17.2
39. Решение:
40. Электростатическое поле в вакууме
41. Задача 19.1
42. Решение:
43. Дифракция света
44. Задача 28.1
45. Решение:
46. Задача 28.2
47. Решение:
48. Первое начало термодинамики
49. Задача 29.1
50. Решение:

Классификация задач по физике

Известно, что классифицировать различные объекты можно по любым их признакам. Но наиболее совершенной является классификация по существенным признакам. Физические задачи имеют множество признаков. Для того чтобы получить оптимальные классификации задач по физике необходимо выделить существенные признаки физической задачи. Итак: что такое физическая задача? каковы ее существенные признаки? Полезно поставить и ряд других вопросов: когда и как возникает физическая задача? что значит решить физическую задачу? какие бывают физические задачи? Вопросы эти не так просты и далеко не так маловажны, как может показаться на первый взгляд.

При изучении какого-либо физического явления какие-то физические величины, характеризующие это явление, могут быть известны, а другие — нет. Если при исследовании какого-либо физического явления человек о нем знает все (в рамках этого явления), то никаких вопросов и задач для него не возникает.

Задачи и вопросы возникают тогда, когда в процессе этого исследования некоторые физические величины, характеризующие данное явление, по каким-то причинам неизвестны. Следовательно, задача ставится (формулируется) человеком при изучении физического явления, когда в нем (явлении) неизвестны какие-либо связи, взаимодействия, физические величины и т. д. Таким образом, можно предложить такое определение физической задачи. Физическая задача — это физическое явление, точнее — его словесная модель (или совокупность явлений) с некоторыми известными и неизвестными физическими величинами, характеризующими это явление. Решить физическую задачу — это значит найти (восстановить) неизвестные связи, физические величины и т. д. Из этих определений немедленно следуют две классификации физических задач. Первая основана на различии методов нахождения неизвестных величин, а вторая — учитывает содержание физического явления, которое отражает каждая физическая задача.

Возможны два способа нахождения неизвестных величин какого-либо физического явления: экспериментальный и теоретический. В экспериментальном методе на опыте, путем измерений определяют неизвестные величины. В теоретическом методе эти неизвестные величины определяют путем физического анализа данного явления, с помощью соответствующих физических законов, управляющих этим явлением. Физические законы связывают между собой различные физические величины, среди которых могут оказаться и известные, и неизвестные. Если в результате применения соответствующих физических законов составлена замкнутая система уравнений, в число неизвестных которой входят и те неизвестные физические величины, которые необходимо определить, то после решения этой системы уравнений данная задача может быть решена теоретически. Из этих двух способов и следует первая классификация физических задач. Задачи могут быть экспериментальными и теоретическими. Задачу называют экспериментальной, если для ее решения необходимо использовать измерения.

Экспериментальные задачи не будут исследоваться в этой книге (их обычно рассматривают в лабораторном практикуме). Теоретической физической задачей назовем физическое явление (или совокупность явлении) с некоторыми известными и неизвестными физическими величинами характеризующими это явление, если такую задачу решают не используя измерений. В этом пособии мы будем рассматривать только теоретические физические задачи. В дальнейшем эпитет «теоретическая» перед словом «задача» будет для краткости опускаться.

Классификацию теоретических задач проведем по двум важнейшим признакам физической задачи, сформулированным выше (задача ставится и решается человеком и задача выражает какое-либо физическое явление). По первом) признаку разделим все физические задачи на два класса, непоставленные и поставленные, поставленной назовем задачу, в которой или не обеспечена совокупность необходимых данных (за исключением табличных величин) для ее решения, или не проведена ее идеализация, или то и другое вместе взятое. Более подробно непоставленные задачи будут рассмотрены ниже.

В поставленной задаче не только обеспечена полнота величин и их значений, необходимых для ее решения, но и проведен процесс идеализации. Следовательно, поставленная задача — это некоторым образом «препарированная» задача, которая всегда имеет решение.

Классификацию поставленных задач проведем на основации второго существенного признака: задача выражает какое-либо физическое явление. По тем же признакам что и физические явления, классифицируются и физические задачи: к какому типу относится физическое явление, которое выражает данная физическая задача, к такому же типу относится и соответствующая задача. Короче каково физическое явление, такова и соответствующая этому явлению задача.

По общему признаку все поставленные задачи разделим на классические и квантовые. Далее, каждую классическую (и, конечно, квантовую) задачу можно было бы отнести по частным признакам к соответствующему типу (вплоть до подразделения по элементарным признакам). Но едва ли целесообразно проводить такую более подробную классификацию задач — не только потому, что для этого предварительно потребовалось бы изложить всю совокупность физических явлении (т. е. весь курс общей физики), но и вследствие того, что для начинающих изучать общую физику она окажется весьма громоздкой и, по-видимому, малополезной при решении задач. Поэтому мы ограничимся вышеприведенной общей классификацией по двум обобщенным признакам (непоставленные и поставленные, классические и квантовые задачи). Заметим, что если анализ физической системы, часто еще до окончательного решения, позволяет определить, является ли задача классической или квантовой, какие в ней введены идеальные объекты и идеальные процессы, каковы взаимодействия и их возможные последствия и т. д., то принадлежность данной задачи к непоставленной или поставленной иногда можно установить только после ее решения.

Полезно ввести еще понятие о так называемой основной задаче. Каждое физическое явление характеризуется определенной совокупностью физических величин. Эти величины связаны между собой некоторыми физическими законами. Среди множества законов, управляющих данным физическим явлением, имеется один или несколько главных, фундаментальных. Нахождение физических величин, входящих в фундаментальные законы, составляет содержание основной задачи физического явления. Далее, используя второстепенные законы, определяют всю совокупность физических величин, характеризующих данное явление. Можно показать, что любая основная задача из общего курса физики заключается в нахождении состояния соответствующей физической системы.

Этапы решения поставленной задачи:

В процессе решения поставленной задачи полезно различать три этапа: физический, математический и анализ решения. Физический этап начинается с ознакомления с условиями задачи и заканчивается составлением замкнутой системы уравнений, в число неизвестных которой входят и искомые величины. После составления замкнутой системы уравнений задача считается физически решенной.

Математический этап начинается решением замкнутой системы уравнений и заканчивается получением числового ответа. Этот этап можно разделить на два следующих:

а) получение решения задачи в общем виде,

б) нахождение числового ответа задачи.

Решив систему уравнений, находят решение задачи в общем виде. Произведя арифметические вычисления, получают числовой ответ задачи.

В математическом этапе почти отсутствует физическим элемент. Безусловно, что математический этап является менее важным, чем этап физический, но, необходимо подчеркнуть, он не является второстепенным. К сожалению, иногда недооценивают роль этого этапа, считая, что его вообще можно не проводить. Неверно также считать, что ошибки, допущенные на математическом этапе, являются второстепенными.

Если при решении системы уравнений, или при переводе единиц, или при арифметическом расчете совершена ошибка, решение задачи в целом окажется неверным. С точки зрения практики задача решена правильно только в том случае, если получен ее верный общий и числовой ответ. Неправильно математический этап считать второстепенным еще и потому, что после него должен следовать этап анализа решения. Последний этап вообще нельзя провести, если не получен общий и числовой ответ задачи.

Таким образом, для окончательного решения задачи по физике физический и математический этапы ее решения являются в равной степени необходимыми.

После получения решения в общем виде и числового ответа проводят этап анализа решения. На этом этапе выясняют, как и от каких физических величин зависит найденная величина, при каких условиях эта зависимость осуществляется и т. д. В заключение анализа общего решения рассматривается возможность постановки и решения других задач путем изменения и преобразования условий данной задачи. Иногда при анализе общего решения методом теории размерностей устанавливают правильность полученного решения. Заметим, что данный метод дает лишь необходимый признак правильности решения.

При анализе числового ответа часто исследуют:

а) размерность полученной величины;

б) соответствие полученного числового ответа физически возможным значениям искомой величины; например, если для скорости какого-либо тела получено значение большее, чем скорость света в вакууме то ответ этот явно ошибочен;

в) при получении многозначного ответа соответствие полученных ответов условиям задачи.

Анализ решения задачи в какой-то степени является творческим процессом, и поэтому его метод (который мы только что изложили) не должен быть очень жестким и может включать в себя (в зависимости от условий задачи) и ряд других элементов. Анализ решения тесно связан с методом постановки задачи, который будет изложен несколько позже.

Система этапов решения поставленной физической задачи важна не сама по себе. Одного знания этой системы еще недостаточно для решения задач. Особенность системы этапов заключается в том, что она непосредственно связана с проблемой системы методов решения задач по физике. Дело в том, что на каждом этапе решающий задачу должен осуществлять соответствующую этому этапу самостоятельную деятельность. Часто говорят, что, для того чтобы научиться решать задачи по физике, необходимо решать их самостоятельно. Это, конечно, верно. Но если не указать решающему задачу общих способов (методов) его деятельности, то он будет действовать на основе мучительного метода проб и ошибок. Отсюда вытекает необходимость в системе общих методов для проведения всех этапов решения произвольной задачи по физике как способов самостоятельной деятельности того, кто эту задачу решает.

Следовательно, система общих методов должна обладать следующими свойствами:

а) она должна быть универсальной, т. е. применяться к решению любой задачи из общего курса физики,

б) она должна охватывать все этапы решения произвольной задачи.

В результате анализа проведения каждого этапа решения произвольной задачи по физике можно предложить следующую систему общих методов, объединяющую:

1) метод анализа физической ситуации задачи;

2) метод применения физического закона;

3) систему обще-частных методов;

4) метод упрощения и усложнения; метод оценки;

5) метод анализа решения;

6) метод постановки задачи.

Необходимо отметить, что никакой метод, взятый отдельно, сам по себе не является универсальным. Каждый метод имеет смысл и проявляет свою наибольшую силу только в системе методов. Последняя же не всегда автоматически гарантирует решение задачи. Иногда задача может быть решена и без методов («интуитивно»). Но решения задач будут получены гораздо чаще и быстрее, если действовать согласно этим методам. Короче говоря, система методов - это не догма, а руководство к самостоятельной деятельности при решении задач по физике, это система разумных советов, а не инструкция. Для проведения каждого этапа при решении задачи могут быть использованы соответствующие методы. В следующих параграфах каждый метод рассматривается более подробно.  

Общечастные методы. Метод ДИ

Система обще-частных методов является универсальной в том смысле, что может быть применена к решению задач почти из любого раздела курса общей физики. Овладев сравнительно небольшим количеством обще-частных методов, можно успешно решать практически любые поставленные задачи. Общечастных методов относительно немного. Из них мы рассмотрим следующие: кинематический, динамический, законов сохранения, расчета физических полей, дифференцирования и интегрирования. Первые четыре метода будут рассмотрены в соответствующих главах. В настоящем параграфе изложен метод дифференцирования и интегрирования (метод ДИ).

В методе ДИ большое значение имеет положение о границах применимости физических законов. Как известно, содержание физического закона не является абсолютным, а его использование ограничено рамками условий применимости.

Часто физический закон можно распространить (изменив его форму) и за границы его применимости с помощью метода ДИ. В основе этого метода лежат два принципа: принцип возможности представления закона в дифференциальной форме и принцип суперпозиции (если величины, входящие в закон, аддитивны).

Сущность метода ДИ заключается в следующем:

Предположим, что физический закон имеет вид (6.1) где и — некоторые физические величины, причем условием его применимости является Как распространить данный закон на случай, если и является некоторой функцией от т. е. Выделим столь малый промежуток изменения величины , чтобы изменением величины на этом промежутке можно было пренебречь (рис. 6.1). Таким образом, приближенно на участке можно считать постоянной и, следовательно, условия применимости закона (6.1) на участке выполнены (приближенно). Тогда (6.2) где — изменение величины на участке .

6.1 Используя принцип суперпозиции (суммируя величины по всем участкам изменения величины ), получаем значение величины в виде (6.3)

где и — начальное и конечное значения величины .

Таким образом, метод ДИ состоит из двух частей. В первой находят дифференциал (6.2) искомой величины. Для этого в большинстве случаев производят или деление тел на столь малые части, чтобы последние можно было принять за материальные точки, или деление большого промежутка времени на такие малые промежуточки времени чтобы в течение этих малых промежутков процесс можно было приближенно считать равномерным (или стационарным), и т. д.

Во второй части метода производят суммирование (интегрирование). Наиболее трудными в этой части являются выбор беременной интегрирования и определение пределов интегрирования. Для определения переменной интегрирования необходимо детально проанализировать, от каких переменных зависит дифференциал искомой величины и какая переменная является главной, наиболее существенной. Эту переменную чаще всего и выбирают в качестве переменной при интегрировании. После этого все остальные переменные выражают как функции от этой переменной. В результате дифференциал искомой величины принимает вид функции от переменной интегрирования. Затем определяют пределы интегрирования как крайние (предельные) значения переменной интегрирования. После вычисления определенного интеграла получают числовое значение искомой величины.

Задача 6.1

Тонкий стержень длины равномерно заряжен зарядом Определить потенциал электрического поля этого заряда в точке расположенной на оси стержня на расстоянии от его конца (рис. 6.2). Среда — вакуум.

Решение:

Ответ, записанный в виде откуда следует, что является ошибочным, ибо эта формула справедлива только для потенциала электрического поля, созданного точечным электрическим зарядом. В нашем случае заряд расположен на теле (стержне), геометрическими размерами которого нельзя пренебречь по сравнению с характерным расстоянием рассматриваемым в данной задаче. Следовательно, заряд нельзя считать точечным.

Применим метод ДИ. Разделим стержень на столь малые участки, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку. Поэтому заряд, расположенный на таком участке, можно считать точечным. Рассмотрим один такой участок длины отстоящий от точки на расстоянии Заряд этого участка точечный и составляет Заряд создает электрическое поле, потенциал которого в точке может быть вычислен по формуле (6.4) Подставив в (6.4) значение получаем дифференциал искомой величины как функцию одной переменной: (6-5)

Первая часть метода закончена. Переходим к суммированию потенциалов полей, созданных всеми элементарными зарядами (по построению они все точечные), на которые был разделен первоначальный заряд Переменная интегрирования изменяется в пределах от м до м. Интегрируя (6.5) по в этих пределах, окончательно получаем значение искомой величины: Подставив числовые значения, получим Метод дифференцирования и интегрирования является универсальным и необходимым как при изучении теории, так и в особенности при решении задач по физике. В механике с помощью этого метода производят вычисление работы переменной силы, моментов инерции, при изучении физических полей его используют для расчета напряженностей и потенциалов полей, созданных неточечными массами, неточечными зарядами, макротоками и т. д. Математическую основу метода составляют дифференцирование и интегрирование функций. Поэтому рассматриваемый метод позволяет практически осуществить межпредметную связь при изучении курсов физики и высшей математики.

Метод упрощения и усложнения. Метод оценки

Этот метод используют при решении сложных задач, а также при решении непоставленных и нестандартных задач. Его широко применяют на этапе анализа решения физической задачи. На этом этапе метод упрощения и усложнения позволяет развернуть любую задачу в «блок» все более сложных или более простых задач. Типичным в этом отношении является пример 11.2 (см. § 11).

Составными частями метода упрощения и усложнения являются два взаимосвязанных и противоположных процесса: процесс упрощения (идеализация, оценка и отбрасывание второстепенных явлений, пренебрежение несущественными деталями и т. д.) и процесс усложнения (учет и рассмотрение ранее отброшенных объектов, явлений, деталей, усложнение физической системы, связей и т. д.). Материальную основу этих процессов составяет метод оценки.

Этот метод часто используют при анализе любой физической ситуации, производя оценку физических величин или оценку физических явлений. Оценка физической величины заключается, во-первых, в арифметическом (числовом) расчете порядка самой величины (оценка порядка) и, во-вторых, в сравнении однородных величин по их порядкам (сравнение по порядку).

При арифметическом расчете порядка величины, зависящей от других величин, числовое значение каждой из этих величин представляют в стандартном виде (произведение первой значащей цифры на десять в соответствующей степени). Затем оценивают порядок каждого слагаемого (если рассчитываемое выражение есть алгебраическая сумма). Выделяют слагаемые с наивысшим порядком. Слагаемые, порядок которых по крайней мере на два ниже слагаемых наивысшего порядка, отбрасывают. Точную значащую цифру оставшихся слагаемых определяют или с помощью логарифмической линейки, или на микрокалькуляторе.

Задача 7.1

Пусть в результате общего решения задачи получена следующая расчетная формула:

где л—объем газа, кг/моль — его молярная масса, Па — первоначальное давление газа, — его начальная температура, Па — конечное давление газа, — его конечная температура, — универсальная газовая постоянная, — изменение массы газа. Оценить порядок величины .

Решение:

Переводим данные величины в СИ, одновременно округляем их значения и представляем в стандартном виде. В результате получаем:

Из этих данных, во-первых, видно, что приближенные значения начальной и конечной температуры одинаковы и, следовательно, вместо первоначальной формулы получается более простое выражение

Во-вторых, конечное давление по порядку величины значительно меньше начального давления (на два порядка) и, следовательно, им можно пренебречь. В конечном итоге для оценки порядка величины получаем

откуда

Более точный, но и более длительный расчет дает для искомой величины значение Грубая, но быстрая оценка порядка искомой величины очень важна для последующего этапа анализа решения. При сравнении физических величин (зависящих от других величин) сначала находят их отношение в общем виде, а затем производят числовой расчет порядка этого отношения.

Задача 7.2

Сравнить силу тяготения двух протонов и силу их электрического отталкивания

Решение:

Найдем отношение этих сил: где — гравитационная постоянная — масса протона, — заряд протона, После арифметического расчета получаем Таким образом, сила тяготения двух протонов на 36 порядков меньше силы их электрического отталкивания (гравитационное взаимодействие фантастически мало по сравнению с электромагнитным взаимодействием).

Задача 7.3

Какое тело притягивает Луну сильнее: Земля или Солнце?

Решение:

На основании закона всемирного тяготения найдем отношение сил притяжения Земли и Солнца где — масса Земли, — масса Солнца, — среднее расстояние Луны (Земли) от Солнца, — среднее расстояние Луны от Земли. После расчета получаем

Следовательно, по порядку величины силы притяжения Луны к Земле и Солнцу одинаковы, но все-таки Солнце притягивает Луну примерно в два с половиной раза сильнее, чем Земля. В этом ничего парадоксального нет, если учесть, что под действием силы притяжения к Солнцу Луна движется вокруг Солнца, а под действием силы притяжения к Земле Луна движется вокруг Земли. Оценка физического явления сводится, во-первых, к получению фундаментального закона, управляющего данным явлением, и, во-вторых, к числовому расчету порядка физической величины. Часто задачи на оценку являются непоставленными.

Метод постановки задачи

Этот метод используют или на этапе анализа решения задачи, или (чаще всего) на этапе постановки задачи при решении непоставленных задач. Выше непоставленная задача была определена или как задача неидеализированная, или как задача с неполной (незамкнутой) системой физических величин и условий, или как то и другое, вместе взятое. Следовательно, непоставленная задача отличается от поставленной, во-первых, тем, что она не идеализирована, и, во-вторых, тем, что решение ее неоднозначно и такая задача распадается на ряд поставленных задач.

В типичной непоставленной задаче иногда нет конкретных данных, не всегда известно, что необходимо искать, нет дополнительных условий и т. д. Поэтому первым этапом (наиболее важным и наиболее трудным) в решении непоставленной задачи является постановка самой задачи. При проведении анализа физического явления (с этого и начинается метод постановки задачи) необходимо выяснить, какие можно ввести упрощения, чем можно пренебречь, какие можно ввести дополнительные условия и т. д. Ранее этот процесс был назван процессом идеализации. После разумной идеализации задачи необходимо выяснить, какие данные могут быть известны, что можно взять из справочников, таблиц и т. д. Некоторые данные впоследствии могут оказаться лишними, а некоторых может недоставать. Это выяснится только после решения задачи в общем виде. По-видимому, не существует метода (алгоритма) проведения процесса идеализации задачи — это творческий процесс.

После проведения процесса .идеализации задача ставится (формулируется): при таких-то условиях дано конкретно что-то, требуется найти нечто. На этом первый этап и решения, и постановки непоставленной задачи заканчивается. Задача поставлена. Далее идет уже известный этап — решение поставленной задачи. Необходимо вторично провести анализ физического явления (теперь это делается уже значительно быстрее), составить замкнутую систему уравнений и решить ее в общем виде. Прежде чем приступить к числовому расчету, надо убедиться в том, что все данные для этого имеются. Если их нет, то недостающие данные необходимо дополнительно добавить к первоначально заданным или взять из таблиц, справочников и т. д. Только после введения этих дополнительных данных, обеспечивающих однозначное решение поставленной задачи, можно считать, что задача поставлена. Затем идет арифметический расчет, на котором и заканчивается решение одной задачи данной проблемы.

Далее, снимая одно или несколько дополнительных условий (будем, например, учитывать трение, предположим, что данное тело не материальная точка и т. д.), можно сформулировать другие задачи и так же, как указано выше, решить их. Таким образом, с одной непоставленной задачей может быть связана большая группа («блок») разнообразных и различной степени трудности физических задач.

Задача 8.1

На клине (наклонной плоскости) расположено тело. Исследовать движение клина и тела (рис. 8.1).

Решение:

Задача не поставлена. Неясно, какие физические величины даны, что необходимо искать, нет дополнительных условий (где находятся данные тела, каковы их свойства и т. д.). На первом этапе анализа возможного физического явления попробуем сначала поставить задачу. В физическую систему целесообразно включить оба тела. Все остальные тела будем считать внешними. Проведем идеализацию задачи. Для этого введем ряд дополнительных условий и ограничений, при которых будет справедливо решение будущей (когда она будет поставлена) задачи.

8.1

Предположим, что:

• 1) данная физическая система находится на Земле;
• 2) трение между клином и Землей столь велико, что клин остается неподвижным относительно Земли;
• 3) клин и тело — абсолютно твердые тела, т, е. деформации их столь малы, что ими можно пренебречь. Однако возникающие при этом упругие силы мы учитывать будем; из этого условия, в частности, следует, что грани клина можно считать плоскими;
• 4) высота клина столь мала, что на всем ее протяжении можно было принять
• 5) тело — материальная точка;
• 6) трение между телом и клином мало и им можно пренебречь;
• 7) горизонтальная грань клина столь мала, что можно не учитывать шаровую форму Земли (т. е. считать направление вектора ускорения свободного падения Земли постоянным).

Теперь, введя эти условия и ограничения, можно поставить (сформулировать) первую задачу: материальная точка массой движется по абсолютно твердой наклонной плоскости с высоты Начальная скорость тела

Угол при основании наклонной плоскости Определить время движения тела до основания наклонной плоскости (или ускорение или скорость или какой-либо другой параметр движения) , если трение между телом и наклонной плоскостью отсутствует. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Задача поставлена и, как показывает ее решение (оно несложно), поставлена корректно. Анализ этого решения показывает, что искомое время зависит от высоты наклонной плоскости и угла следующим образом: (8.1)

Подстановка числовых значений приводит к результату

Одна поставленная задача решена. Снимая постепенно ограничения и дополнительные условия, сформулированные выше, можно поставить более сложные задачи. Например, снимая условие п. 6, получаем задачу о движении материальной точки с учетом силы трения. Решение этой второй задачи полезно сравнить с первым решением (8.1).

Если снять условие п. 5, то будем иметь задачу о движении нематериальной точки (твердого тела) по наклонной плоскости. При этом снова необходимо ввести предположение о форме тела (шар, цилиндр и т. д.).

Решение третьей задачи можно сравнить с первыми двумя, исследовать возникающие здесь вопросы (почему в одном случае время больше, меньше и т. д., и т. п.). Таким образом, из одной непоставленной задачи можно получить множество ( «блок» ) самых разнообразных задач.

Еще одна классификация поставленных задач

Полезно дать еще одну классификацию поставленных задач. Эта классификация основана на одной очень важной особенности самого процесса решения задачи. Речь идет о средствах, необходимых и достаточных для решения той или иной задачи по физике. По этому признаку поставленные задачи можно разделить на элементарные, стандартные и нестандартные задачи. Мы приведем не очень строгие определения этих задач (хотя можно было бы дать и более корректные их определения).

Элементарной назовем поставленную задачу, для решения которой необходимо и достаточно воспроизвести и применить лишь один соответствующий физический закон.

Стандартную определим как поставленную задачу, для решения которой необходимо и достаточно привлечь лишь систему «обычных» знаний и «стандартных» методов и приемов.

В распространенных сборниках задач по физике, как правило, приводят стандартные задачи.

Приведем примеры элементарной, стандартной и нестандартной задач.

Задача 9.1

По проводнику, выполненному в виде окружности радиуса идет постоянный ток Определить индукцию магнитного поля этого тока в центре окружности. Среда — вакуум.

Решение:

Оно очевидно. Для того чтобы получить его, достаточно записать закон Био — Савара — Лапласа в интегральной форме для кругового тока:

Таким образом, для решения этой задачи необходимо и достаточно привлечь конкретный закон, причем метод применения этого закона заключается именно в его записи. Следовательно, данная задача—элементарная. Иногда элементарные задачи называют тренировочными или подстановочными. Задачи подобного рода действительно оправдывают свои многочисленные названия.

Они могут быть названы и тренировочными (при решении таких задач тренируется память), и подстановочными (после написания соответствующего закона для получения числового ответа в эту формулу достаточно подставить данные значения величин и произвести арифметический расчет), и элементарными. Мы оставим за ними последнее название. Учитывая, что элементарные задачи могут быть решены и без общего подхода (хотя некоторые его элементы также используют при решении и таких задач), мы не будем рассматривать их в данной книге.

Задача 9.2

На наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом, поместили два соприкасающихся бруска массами и (рис. 9.1). Определить силу взаимодействия между брусками в процессе движения, если коэффициенты трения между наклонной плоскостью и этими брусками соответственно равны и причем

Решение:

Эту сравнительно несложную задачу уже нельзя решить, просто записав «соответствующий» физический закон (например, второй закон Ньютона: ), хотя бы потому, что необходимо знать не только закон, но и метод его применения.

Применим метод анализа физической ситуации. После записи условий задачи, построения чертежа и анализа данных и искомых величин переходим к основной части физического анализа. В физическую систему включим тела и Остальные тела будут внешними. Тела системы можно принять за материальные точки.

В системе происходит движение этих тел вследствие их взаимодействия как с внешними телами (Земля и наклонная плоскость), так и между собой. Необходимо определить один из параметров этого взаимодействия: одну из внутренних сил. Эта задача связана с основной задачей динамики материальной точки.

Применим к каждому телу второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с наклонной плоскостью, а оси координат выберем так, как показано на рис. 9.1. Легко видеть, что на каждое из тел и действуют четыре силы: сила тяжести сила реакции опоры сила трения и искомая сила взаимодействия между ними

9.1

Проецируя эти силы на оси координат, получаем замкнутую систему из двух уравнений с двумя неизвестными: Решая полученную систему, наводим ответ в общем виде:

Мы видели, что для решения этой задачи необходимо и достаточно было применить лишь второй закон Ньютона, стандартный метод анализа физической ситуации задачи и метод применения физического закона. Следовательно, решенная задача — стандартная. Нестандартная — это также поставленная задача, но применение в процессе ее решения только «обычных» законов и методов не приводит к цели: система уравнений получается незамкнутой. Остается неучтенным какое-то «нечто» (что и делает задачу нестандартной), некоторая «изюминка», о которой нужно как-то догадаться. Безусловно, о том, как догадаться, как ее отыскать, никаких общих и универсальных практических советов, по-видимому, здесь дать нельзя.

Кинематика материальной точки

В кинематике движение тел рассматривают формально, без объяснения причин изменения движения и, следовательно, не используют ни понятия силы ни понятия массы тела. Простейшей физической системой является либо одна материальная точка, либо их относительно небольшая совокупность.

10.1

Положение материальной точки относительно какой-либо системы отсчета в произвольный момент времени определяется радиусом-вектором (рис. 10.1). Если ввести единичные векторы (орты) направленные по соответствующим осям то радиус-вектор можно представить в таком виде: (10.1) где — компоненты радиуса-вектора Одновременное задание трех функций и эквивалентно заданию одной векторной функции от скалярного аргумента Уравнение (10.1) называют законом движения материальной точки. Таким образом, закон движения (10.1) определяет положение материальной точки в любой момент времени. Вектор скорости и вектор ускорения определяются через соответствующие производные: (10.2) (10.3) Закон движения (10.1) является фундаментальным в кинематике. Зная закон движения, можно определить и другие физические величины, характеризующие движение материальной точки, например компоненты вектора скорости ускорения и т. д.:

(10.4)

(10.5)

Следовательно, с законом движения (10.1) связана основная задача кинематики. Формально этих задач две: прямая и обратная. Прямая основная задача кинематики заключается в нахождении любого параметра движения по известному закону движения. Она решается путем последовательного применения основных законов кинематики (10.1) — (10.3). Обратная задача кинематики состоит в определении закона движения по какому-либо известному параметру движения (вектора скорости или ускорения ). Обратная задача значительно труднее прямой. Можно доказать, что огромное разнообразие кинематических задач сводится к этим двум. Рассмотрим несколько примеров прямой и обратной задач кинематики.

Задача 10.1

Определить модуль скорости материальной точки в момент времени если точка движется по закону где

Решение:

Физический анализ. Физическая система состоит из одного идеального объекта — материальной точки. Задан формально закон ее движения. Следовательно, наша задача — прямая задача кинематики (по известному закону движения определить один из параметров движения — в данном случае модуль вектора скорости). Используя известный закон движения, находим, что компоненты радиуса-вектора Таким образом, материальная точка движется в плоскости поэтому каждый из векторов и имеет две компоненты. По определению вектора скорости из уравнений (10.2), (10.4), (10.6) и (10.7) получаем компоненты вектора скорости: Отсюда находим искомый модуль вектора скорости: Подставив числовые значения, получим

Задача 10.2

Материальная точка движется по закону где Определить вектор скорости, вектор ускорения и траекторию движения материальной точки.

Решение:

Это тоже прямая задача кинематики. Находим компоненты радиуса-вектора:

Таким образом, движение материальной точки происходит в плоскости Далее, определяем компоненты вектора скорости: Из уравнений (10.12), (10.13) находим компоненты вектора ускорения: Для получения уравнения траектории исключим время из системы уравнений (10.9) — (10.10): Материальная точка движется по параболе.

Динамика материальной точки

При изучении движения тел в динамике для учета cyществующих между ними взаимодействий необходимо ввести понятие силы Возникает очень важный вопрос: как находить силы, действующие на любое тело?

Сначала следует выяснить, с какими другими телами взаимодействует данное тело. Далее определить, как данное тело взаимодействует с этими телами, каков вид (тип) этого взаимодействия.

Выше отмечалось, что для классических физических систем существенны следующие виды взаимодействий: гравитационное (закон всемирного тяготения Ньютона и электромагнитное (его частные случаи: сила Кулона сила Лоренца сила трения упругая сила Таким образом, на данное тело только в результате взаимодействия его с каким-либо другим телом могут действовать несколько различных сил. Очень важно осознавать, чем эти силы отличаются качественно. Следующим этапом является количественная оценка каждой силы: нужно определить, какой порядок ее величины. Может оказаться, что некоторые силы настолько малы, что ими можно пренебречь (в условиях данной задачи).

Задача 11.1

Два тела массами и связаны невесомой нитью и движутся по горизонтальной поверхности (на Земле) под действием силы направленной горизонтально и приложенной к телу (рис. 11.1). Определить силы, действующие на каждое тело, если коэффициент трения между каждым телом и и горизонтальной поверхностью равен

Решение:

Рассмотрим тело На него действует сила Определим другие силы. Тело взаимодействует с Землей, нитью и телом С Землей тело взаимодействует по закону всемирного тяготения и, следовательно, на него действует сила тяжести направленная вниз.

11.1

Далее, тело взаимодействует с Землей упруго (появляется упругая сила реакции опоры направленная вверх). Кроме того, в результате взаимодействия тела с Землей возникает сила трения Тело взаимодействует с нитью только упруго: на тело действует упругая сила натяжения нити направленная влево (так как нить невесома, то сила тяготения между нитью и телом равна нулю). Тело может взаимодействовать с телом только по закону всемирного тяготения, но эта сила настолько мала, что ею в условиях данной задачи можно пренебречь. Итак, на тело действуют пять сил: и

Рассуждая таким же образом, можно показать, что на тело действуют четыре силы: упругая сила натяжения нити сила тяжести упругая сила реакции опоры и сила трения На невесомую и нерастяжимую нить действуют только две упругие силы натяжения: и Легко видеть, что на основании второго закона Ньютона (11.1)

эти силы численно равны (так как масса нити то, по второму закону Ньютона, для нити т. е. Второй закон Ньютона является фундаментальным законом динамики материальной точки. Он справедлив только в инерциальной системе отсчета для одного тела (материальной точки). В частном случае при движении тел со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме с второй закон Ньютона можно записать в виде (11.2) или (11.3)

В неинерциальной системе отсчета в правой части уравнений (11.1) — (11.3) появляются силы инерции. Содержание (физический смысл) фундаментальных законов (11.1) — (11.3) заключается в том, что изменения импульса или скорости материальной точки обусловлены и определяются действием сил.

Следовательно, если известны силы и начальные условия (положение и скорость материальной точки в начальный момент времени), то можно найти изменение ее движения. В этом и заключается основная (идеальная) задача динамики: в основной задаче динамики по заданным силам и начальным условиям определяют изменение движения системы (механическое состояние системы).

Чтобы найти изменение движения тела, необходимо знать закон его движения. Определение закона движения по какому-либо известному параметру движения (и начальным условиям), как было показано выше, составляет содержание обратной задачи кинематики. Какой-либо параметр движения материальной точки определяется в динамике путем последовательного применения второго закона Ньютона для описания движения каждого тела системы. Этот закон записывают или в форме (11.4) (тогда определяют вектор ускорения а каждого тела и, решая далее обратную задачу кинематики, находят закон движения), или в виде (11.2) (тогда находят вектор скорости каждого тела и после решения обратной задачи кинематики определяют закон движения), или в форме (11.3) (тогда получают непосредственно закон движения, решив это дифференциальное уравнение).

Для того чтобы в каждом конкретном случае правильно записать второй закон Ньютона, необходимо знать метод применения этого закона. Этот метод достаточно подробно был приведен в § 1.

Законы сохранения

Кроме кинематического и динамического методов решения задач в физике существует еще один, может быть более важный, метод применения законов сохранения. Этот метод является более универсальным, чем кинематический и динамический. Если применение динамико-кинематического метода ограничено рамками только классических физических систем, то метод законов сохранения используется и в классических, и в квантовых системах.

Необходимо все же отметить, что в классических физических системах динамико-кинематический метод является более общим, чем метод законов сохранения. В особенности это относится к механическим системам. В принципе, любая, поставленная механическая задача может быть физически решена с помощью динамико-кинематического метода.

Этого нельзя утверждать относительно метода законов сохранения: далеко не все механические задачи решаются путем использования законов сохранения. Однако в более сложных системах метод законов сохранения иногда быстрее приводит к успеху, чем применение динамико-кинематического метода.

Мы уже отмечали, что одного универсального способа (метода) решения задач по физике не существует. Огромное значение здесь имеет лишь система методов. Поэтому нет смысла противопоставлять один метод другому: каждый метод обладает и сильными, и слабыми сторонами. Природа столь разнообразна в своих свойствах и проявлениях что для раскрытия связей в физических явлениях необходимо разумное сочетание различных методов. Поэтому и при решении физических задач целесообразно использовать систему методов, в том числе динамико-кинематический и метод законов сохранения.

В основе рассматриваемого метода лежит совокупность законов сохранения. В физике их довольно много. В классических системах используются следующие четыре: закон сохранения импульса, закон сохранения энергии (в механических системах его частный случай — закон сохранения энергии в механике), закон сохранения момента импульса и закон сохранения электрического заряда. Общим для всех этих законов является утверждение о сохранении какой-то физической величины при определенных условиях. Если обозначить эту неизменяющуюся физическую величину через а набор условий, при которых выполняется утверждение закона, через то законы сохранения можно сформулировать в обобщенной форме: если выполняется то или в другом виде: если выполняется то где — изменение величины

В большинстве случаев законы сохранения применяют, если происходит процесс взаимодействия тел. В этом процессе необходимо различать три этапа: первый характеризуется состоянием тел до их взаимодействия, второй есть сам процесс взаимодействия, и третий этап характеризуется состоянием тел после их взаимодействия. Процесс взаимодействия тел несуществен для законов сохранения. Для них важно только, чтобы значение соответствующей физической величины не изменялось в результате этого процесса (ее значения в начале и в конце взаимодействия должны быть равны).

Поэтому метод применения законов сохранения заключается в следующем:

• 1) выясняют, какие тела включаются в физическую систему;
• 2) проверяют, выполняются ли условия
• 3) выбирают инерциальную систему отсчета (относительно которой впоследствии будут определяться значения величины
• 4) находят значение величины в начале взаимодействия тел;
• 5) определяют значение величины в конце взаимодействия;
• 6) записывают закон сохранения в виде или в форме
• 7) если закон векторный, то обычно проецируют его на оси координат и получают три эквивалентных уравнения:
• 

В этом параграфе рассмотрены только два закона: закон сохранения импульса и закон сохранения энергии в механике. Остальные законы мы обсудим несколько позже.

Задача 13.1

Абсолютно неупругий удар. Два тела массами и двигавшиеся со скоростями и относительно некоторой ИСО, сталкиваются абсолютно неупруго. Определить их скорость после удара. Действием других тел пренебречь.

Решение:

В физическую систему включим два тела: и Так как по условию влиянием внешних тел можно пренебречь, то выбранная система является замкнутой. Заметим, что законы движения тел (если использовать кинематический метод) найти нельзя, ибо не заданы начальные условия (при неизвестны координаты тел).

Физическое явление заключается в абсолютно неупругом взаимодействии двух тел замкнутой системы. Даны массы и скорости тел до взаимодействия, требуется определить скорость тел после взаимодействия.

Применим закон сохранения импульса. Возможность применения этого закона проверена. ИСО выбрана в условиях задачи. Определяем импульс каждого тела до взаимодействия и находим их геометрическую сумму: Далее находим импульс системы после взаимодействия (в результате абсолютно неупругого удара тела движутся с общей скоростью ): По закону сохранения импульса получаем

отсюда

Проецируя это векторное уравнение на оси координат, находим компоненты искомого вектора скорости:

Таким образом, тела будут двигаться вдоль оси со скоростью Иногда выбранная физическая система в целом не является замкнутой, и, следовательно, закон сохранения импульса в этом случае применять нельзя. Однако она может быть замкнутой по какому-либо направлению (например, вдоль оси ), т. е. алгебраическая сумма проекций внешних сил на это направление равна нулю. Тогда (только для этого направления) можно записать закон сохранения импульса в скалярной форме:

Динамика твердого тела

Ускорение центра масс твердого тела определяется по теореме о движении центра масс: (14.1) где — масса, а — геометрическая сумма внешних сил, действующих на твердое тело. Внешний вид уравнения (14.1) совпадает со вторым законом Ньютона для материальной точки (11.4), и, следовательно, метод его применения состоит из тех же операций. Векторное уравнение (14.1) эквивалентно трем уравнениям: (14.2) Для материальной точки и соответственно для твердого тела справедливо уравнение движения , (14.3) где — геометрическая сумма моментов всех внешних сил, действующих на твердое тело, относительно неподвижной точки Если точку считать началом декартовой системы координат, то, как обычно, векторное уравнение (14.3) эквивалентно трем уравнениям: (14-4) где — проекции вектора момента импульса на оси координат. Их называют моментами импульса твердого тела относительно неподвижных осей соответственно. Можно показать, что для материальной точки и для твердого тела

(14.5)

где — моменты инерции материальной точки и твердого тела относительно осей соответственно, а — проекции вектора угловой скорости на те же оси.

С учетом (14.5) уравнения (14.4) можно записать в виде

(14.6) Если моменты инерции и постоянны, то уравнения движения приобретают вид (14.7) где - проекции вектора углового ускорения на оси координат. Эти уравнения называют уравнениями движения относительно неподвижных осей и соответственно.

Твердое тело имеет шесть степеней свободы, поэтому для описания его движения необходимы шесть независимых уравнений. Таковыми и являются или два векторных уравнения (14.1) и (14.3), или эквивалентная им система шести уравнений (14.2) и (14.6). Метод применения законов (14.2) ничем не отличается от метода применения второго закона Ньютона.

Метод применения законов (14.6) также очень похож на метод применения второго закона Ньютона, если к последнему добавить две дополнительные операции: нахождение момента инерции тела и момента внешних сил относительно соответствующей оси. Таким образом, динамический метод и для описания движения твердого тела остается практически тем же.

Задача 14.1

Рассмотрим упрощенную задачу из примера 11.2 и учтем, что блок в виде сплошного цилиндра радиуса имеет массу Определить ускорение системы и силы натяжения нити.

14.1

Решение:

В физическую систему по-прежнему включим те же четыре тела: грузы массами нить и блок (рис. 14.1). Теперь блок не только является телом, массу которого необходимо учитывать, но его нельзя принять и за материальную точку. Будем считать блок твердым телом. Его центр масс неподвижен, а сам блок вращается вокруг одной неподвижной оси проходящей через центр масс. Применим к блоку уравнение движения (14.7) относительно неподвижной оси Инерциальная система отсчета выбрана. На блок действуют две неравные силы натяжения: Остальные силы, действующие на блок, компенсируют друг друга. Моменты сил и относительно оси составляют и Момент инерции блока относительно этой же оси (сплошной цилиндр) В дальнейшем индекс оси у моментов сил, моментов импульсов, моментов инерций и других величин мы будем опускать. Используя уравнение движения (14.7), получаем

Применяя второй закон Ньютона к материальным точкам и находим Уравнение связи линейного и углового ускорений замыкает систему уравнений:

Решая полученную систему уравнений, получаем:

Ускорение системы значительно уменьшилось. Интересно также отметить, как сильно теперь отличаются значения сил натяжения нити и натяжение и должно быть значительно больше ибо моменты этих сил имеют противоположные знаки.

Основная задача в теории поля тяготения

Основной закон ноля тяготения — закон всемирного тяготения Ньютона: (16.1) где — гравитационная постоянная. В форме (16.1) закон справедлив лишь для материальных точек и сферических тел. Этот закон можно записать в векторном виде: (16.2)

16.1

где — вектор силы тяготения, действующий на тело — радиус-вектор, проведенный из тела к телу (рис. 16.1). Основной характеристикой каждой точки поля тяготения является напряженность — векторная величина, определяемая из уравнения (16.3) где — сила тяготения, действующая на материальную точку с массой помещенную в данную точку. Напряженность и потенциал поля тяготения, созданного материальной точкой массы в точке, удаленной на расстояние от этой массы, выражаются формулами (16.4) (16.5) Напряженность и потенциал одной и той же точки поля тяготения связаны между собой соотношением (16.6)

Состояние рассматриваемой физической системы (поля тяготения) определяется значением вектора в любой точке поля. Напряженность поля тяготения является его фундаментальной характеристикой в том смысле, что, зная , можно определить не только любой параметр, характеризующий само поле, но и описать поведение физических систем в этом поле.

Действительно, из соотношения (16.6) можно определить потенциал , из уравнения (16.3) можно найти силу, с которой поле действует на тело, находящееся в этом поле. Если известны начальные условия для этого тела, то, применяя динамический метод, можно определить закон его движения. Зная же закон движения тела, можно найти все остальные характеристики и параметры, определяющие его движение.

Отсюда следует формулировка основной задачи в теории поля тяготения. Она заключается в расчете поля. Рассчитать поле тяготения — это значит в каждой его точке определить вектор напряженности или потенциал .

Поле тяготения системы материальных точек

В основе метода расчета физических полей лежит фундаментальный физический принцип — принцип суперпозиции. В том случае, если поле создано системой материальных точек, сначала определяют поле (т. е. соответствующий вектор ) для каждого тела отдельно. Затем по принципу суперпозиции находят результирующее поле (вектор ) как геометрическую сумму векторов напряженности: (17.1)

Поле тяготения одной материальной точки рассчитано в предыдущем параграфе. Описание движения даже одного тела в поле тяготения материальной точки представляет некоторые математические трудности.

Заметим, что физически решить такие задачи, т. е. составить замкнутую систему уравнений, применяя или динамический, или метод законов сохранения, относительно легко. Трудности для студентов первого курса возникают на математическом этапе, когда необходимо решать полученную систему (обычно дифференциальных) уравнений. Сначала полезно решить несколько элементарных задач на оценку: рассчитать напряженность и потенциал поля тяготения на поверхности Луны, Солнца, Марса (указав, что — это напряженность поля тяготения на поверхности Земли), определить (оценить) первую и вторую космические скорости для Земли, Луны, Марса и т. д.

Затем можно сформулировать первую задачу на описание движения материальной точки в известном поле тяготения. Целесообразно даже дать ее как непоставленную.

Задача 17.1

На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью (т. е. предполагается, что двигатели ракеты мгновенно сообщают ей начальную скорость и далее отключаются). Описать ее движение.

Решение:

Задача не поставлена. Первое упрощение очевидно: сопротивлением воздуха пренебрегаем. Ракету можно принять за материальную точку. Описать ее движение возможно, если будет найден закон движения ракеты. Закон движения существенно зависит от значения начальной скорости . Предположим, что столь мала, что в точке наивысшего подъема ускорение свободного падения (а это напряженность поля тяготения Земли) незначительно отличается (скажем, не более чем на 1 %) от ускорения свободного падения на поверхности Земли. Полезно оценить эту высоту и соответствующую начальную скорость Так как, по предположению, и то и т. е. и Таким образом, если то ускорение ракеты приблизительно постоянно и мы получаем тривиальную школьную задачу о равнозамедленном движении материальной точки вертикально вверх с постоянным ускорением Закон движения в этом случае записываем в виде

и далее определяем любой параметр движения. Не будем также рассматривать и случай, когда начальная скорость больше или равна — второй космической скорости для Земли. Итак, мы можем сформулировать первую задачу в таком виде.

Задача 17.2

На северном полюсе Земли вертикально вверх запускают ракету с начальной скоростью удовлетворяющей условиям. Найти закон ее движения. Сопротивлением воздуха пренебречь. Действие Луны, Солнца и других тел на движение ракеты не учитывать.

Решение:

В физическую систему включим два тела: ракету и Землю. Ракету можно принять за материальную точку. Поле тяготения Земли (сферическое тело) известно. Происходит движение материальной точки (ракеты) в известном (неоднородном) поле тяготения. Необходимо определить закон движения ракеты. Это основная задача динамики материальной точки.

Применим второй закон Ньютона. Инерциальную систему отсчета свяжем с Землей (так как масса Земли значительно больше массы ракеты, то Землю принимаем за неподвижное тело), ось направим вертикально вверх, начало координат поместим в центр Земли. На ракету действует единственная сила — сила тяготения. Очень важно отметить, что эта сила переменная. Тогда, по второму закону Ньютона, (17.2)

Задача физически решена: получено одно дифференциальное уравнение для неизвестной функции — координаты ракеты, которая и является искомым законом движения. Однако решение этого уравнения для студентов первого курса является весьма затруднительным. Необходимо подчеркнуть два момента. Во-первых, нужно отметить, что уравнение (17.2) в принципе решается и в конечном итоге можно получить искомый закон движения ракеты. Во-вторых, уже здесь можно сказать студентам, что иногда в процессе решения физических задач получаются такие уравнения, точного решения для которых не существует вообще. Тогда необходимо обратиться к ЭВМ для получения числовых и приближенных решений.

Попробуем упростить постановку задачи, используя не динамический метод, а метод законов сохранения. Применим закон сохранения энергии к выбранной системе Земля — ракета:

(17.3)

где — скорость ракеты в точке с координатой Отсюда можно определить максимальную координату ракеты

(17.4) Если начальная скорость например, равна первой космической скорости то максимальная координата а максимальная высота подъема Из уравнения (17.3) можно получить зависимость скорости ракеты от координаты (17-5) График этой зависимости представлен на рис. 17,1. Теперь мы можем сформулировать вторую, более простую задачу.

17.1

Электростатическое поле в вакууме

Фундаментальным законом электростатического поля является закон Кулона (19.1) Он справедлив для точечных и неподвижных электрических зарядов. Закон Кулона по форме очень похож на закон всемирного тяготения Ньютона. Поэтому почти все, что было сказано в гл. 5 о поле тяготения, можно буквально повторить и для электростатического поля. Основными характеристиками электростатического поля являются напряженность и потенциал Для поля созданного точечным зарядом, (19.2) (19.3)

Напряженность и потенциал электростатического поля связаны соотношением (16.6).

Состояние электростатического поля как физической системы определяется значением вектора напряженности в любой точке поля.

Следовательно, основная задача электростатики заключается в расчете электрического поля, здесь полезно различать три случая:

1) поле создано системой точечных зарядов;

2) поле создано системой точечных и неточечных зарядов, расположенных на телах правильной геометрической формы;

3) поле создано произвольным распределением зарядов.

Хотя первый случаи рассматривался в поле тяготения, весьма полезно вначале рассчитать поля диполя (не только в точках, расположенных на его осях, но и в произвольной точке), квадруполя и других точечных систем. Во втором случае сначала по теореме Гаусса рассчитывают поля неточечных зарядов, а затем, используя принцип суперпозиции, определяют суммарное поле. При произвольном распределении зарядов используют метод ДИ.

Если характеристики поля будут рассчитаны, то задачи о движении заряженных частиц в известном поле можно решить или динамическим методом, или методом законов сохранения.

Задача 19.1

Рассчитать напряженность поля прямой бесконечной нити, равномерно заряженной с линейной плотностью в точке удаленной от нити на расстояние

Решение:

Заряд нити неточечный, поэтому непосредственно использовать формулу (19.2) нельзя. Применим сначала теорему Гаусса. В силу симметрии поля вектор напряженности в любой точке нормален цилиндрической поверхности, проходящей через эту точку. Ось симметрии этой поверхности совпадает с нитью. Поэтому в качестве замкнутой поверхности выберем цилиндр длиной с осью симметрии, совпадающей с нитью, боковая поверхность которого проходит через точку (рис. 19.1). Поток вектора через боковую поверхность цилиндра а электрический заряд, расположенный внутри цилиндра, По теореме Гаусса,

19.1

Отсюда определяем искомую напряженность: (19.4) Попробуем применить метод ДИ. Разделим нить на столь малые элементы, чтобы заряд, находящийся на каждом таком элементе, был точечным. Рассмотрим один такой элемент длиной с зарядом (рис. 19.2). В точке элементарная напряженность поля этого заряда (19.5) Из треугольника находим Так как то из треугольника определяем Подставляя значения и в уравнение (19.5), получаем

(19.6) Проекции вектора на оси и

(19.7)

(19.8) Отсюда после интегрирования получаем Таким образом, окончательно что совпадает с выражением (19.4), полученным с помощью теоремы Гаусса.

19.2

На первый взгляд метод ДИ при расчете поля нити оказался более трудоемким, чем использование теоремы Гаусса. В данном примере это действительно так. Но метод ДИ является универсальным, он может быть применен практически и в тех случаях, когда теорема Гаусса оказывается бесплодной.

Дифракция света

Основная задача при изучении дифракции заключается в расчете дифракционной картины, т. е. в нахождении распределения интенсивности света Более узкой задачей является нахождение положения максимумов и минимумов дифракционного спектра. Часто при расчете дифракционных картин используются метод зон Френеля и метод ДИ.

Задача 28.1

На прямоугольную бесконечную щель шириной а падает (перпендикулярно плоскости щели) плоская монохроматическая волна с длиной волны (рис. 28.1). Найти распределение интенсивности света в дифракционной картине на экране Решить ту же задачу для системы параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками шириной (дифракционная решетка).

28.1

Решение:

Элементарное применение метода зон Френеля позволяет найти условие минимума дифракционной картины на одной щели (28.1) и условие максимума (28.2) Однако мы не получили распределения интенсивности света в дифракционной картине. Применим метод ДИ. Зона шириной (рис. 28.1), находящаяся на расстоянии от края щели посылает в направлении, определяемом углом волну, уравнение которой имеет вид (28.3) где (28.4) В уравнении (28.3) учтено, что для волны, распространяющейся в направлении расстояния отсчитываются на этой прямой. Следовательно, и фаза волны, излучаемой зоной равна Проинтегрировав уравнение (28.4) по всей щели для точки , получим значение произвольной постоянной:

Подставляя значение из (28.4) в уравнение (28.3), находим (28.5) Интегрируя уравнение (28.5) по всей щели, получаем

Следовательно, амплитуда колебаний в точке (28.6) Так как интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, то из уравнения (28.6) получаем закон для распределения интенсивности света на экране в случае дифракции на одной щели: (28.7) Легко видеть, что из уравнений (28.6) и (28.7) получается условие минимума (28.1). Дифракционная решетка состоит из параллельных щелей шириной разделенных непрозрачными промежутками шириной (рис. 28.2). Величину называют периодом дифракционной решетки.

28.2

Для количественного расчета дифракционной картины, получаемой с помощью дифракционной решетки, воспользуемся методом зон Френеля. Разделим фронт плоской монохроматической волны, падающей нормально на дифракционную решетку (рис. 28.2), в каждой щели на зоны Френеля параллельными плоскостями так же, как и в случае дифракции на одной щели. Расстояние между соседними плоскостями равно Если в каждой щели укладывается четное число зон, то в данном направлении (в точке ) образуется минимум. Если в каждой щели укладывается нечетное число зон, то в каждой щели остается одна непогашенная зона. Пусть эти зоны располагаются у левых краев щелей (точки ). Разность хода между соседними источниками (непогашенными зонами) постоянна: (28.8) Данной разности хода соответствует постоянная разность фаз (28.9) Следовательно, задача о расчете дифракционной картины дифракционной решетки свелась к задаче о расчете интерференционной картины от многих когерентных источников с постоянной разностью фаз (28.9). Последняя задача была решена в § 27 методом векторных диаграмм. Учитывая формулы (27.14) и (28.9), получаем закон распределения интенсивности света в дифракционном спектре дифракционной решетки: (28.10)

где — интенсивность, создаваемая одной щелью (см. формулу (28.7)). Из уравнения (28.10) можно получить условие главных максимумов (28.11)

Задача 28.2

Нащель шириной мм падает нормально к плоскости щели плоская монохроматическая волна с длиной волны Определить угловое положение первого максимума дифракционной картины. Среда — вакуум.

Решение:

Угловое положение первого максимума можно определить из условия максимума (28.2). Отсюда (28.12) Более точно угловое положение максимумов находят о помощью формулы (28.7). Найдем экстремум функции взяв первую производную этой функции по и приравняв ее нулю:

Отсюда получим трансцендентное уравнение для определения экстремальных значений

которое после введения обозначения (28.13) принимает вид (28.14) Корнями трансцендентного уравнения (28.14) являются следующие числа: (28.15) Учитывая (28.15), из уравнения (28.13) определяем угловое положение первого дифракционного максимума: (28.16) Из формул (28.16) и (28.12) видно, что более точное решение (28.16) значительно отличается от приближенного (28.12). Нетрудно оценить ошибку приближенного решения: т. е. Необходимо заметить, что формула (28.7) не только дает возможность найти точное угловое положение максимумов дифракционной картины от одной щели, но и определить интенсивность этих максимумов.

Первое начало термодинамики

Из опыта известно, что все макротела состоят из микрообъектов (молекул, атомов, ионов и т. д.). Микрообъекты находятся в хаотическом (тепловом) движении. Так как молекулы, атомы и т. д., имеют весьма малые размеры, то в сравнительно небольшом по объему макротеле находится огромное количество микрообъектов.

Например, в идеального газа при нормальных условиях содержится молекул. Следовательно, физические системы, которые необходимо рассматривать при решении задач этого раздела, состоят из большого числа объектов. Легко показать, что динамическое (механическое) описание таких систем не только практически невозможно, но и бессмысленно. Поэтому для исследования физических систем в молекулярной физике существует два метода, взаимно дополняющих друг друга: термодинамический и статистический. Статистический метод будет рассмотрен в следующей главе.

В основе термодинамического метода лежит несколько фундаментальных законов, полученных из опыта. Это, во-первых, уравнение состояния (29.1) где — давление, — объем, — термодинамическая температура системы. В этой и следующей главе в качестве физической системы будем рассматривать только идеальный газ. Для идеального газа уравнение состояния (29.1) превращается в уравнение Менделеева — Клапейрона (29 2)

где — масса газа, — молярная масса, — универсальная газовая постоянная.

Уравнения состояния (29.1) или (29.2) справедливы только для физических систем, находящихся в состоянии термодинамического равновесия. В этом состоянии физическая система в каждой точке объема характеризуется вполне определенным и одним и тем же значением давления и соответственно температуры

Следовательно, термодинамически равновесное состояние физической системы, состоящей из большого количества молекул, характеризуется небольшим количеством параметров (давление , объем , температура и некоторые другие). Эти параметры называют макропараметрами, а само состояние системы — макросостоянием. Понятие термодинамически равновесного состояния системы является идеализированным. В любом реальном случае или давление , или температура в какой-либо точке объема , занимаемом системой, изменяются, но это изменение (для равновесного состояния) должно быть столь малым, чтобы им можно было пренебречь.

Основу термодинамического метода составляют также первое и второе начала термодинамики. По первому началу термодинамики, (29.3) где (29.4). — элементарное количество теплоты, полученной системой, — ее молярная теплоемкость, — изменение внутренней энергии физической системы, а

(29.5)

— элементарная работа, совершенная системой. Для идеального газа (29-6) где — число степеней свободы его молекул.

Первое начало термодинамики в форме (29.3) справедливо для элементарных квазистатических процессов. В результате квазистатического процесса система проходит через последовательный ряд равновесных состояний. Так как равновесное состояние системы может быть изображено точкой в некоторой системе координат (обычно ), то квазистатический процесс в этой же системе координат представляется некоторой линией.

Графическое изображение различных процессов очень часто используют при решении задач термодинамическим методом. Квазистатическими считают следующие изопроцессы: изохорный (), изобарный и изотермический Другие процессы (например, адиабатный: ) также могут быть квазистатическими, если они протекают столь медленно, что система проходит через последовательный ряд равновесных состояний.

Количество теплоты и работа являются характеристиками процессов теплопередачи и совершения работы. Эти процессы различны: первый происходит на микроуровне (в результате взаимодействия микрообъектов — молекул, атомов и т. д.), второй — на макроуровне (в результате взаимодействия макротел). Процесс теплопередачи называют элементарным, если изменение температуры столь мало, что теплоемкость можно считать постоянной. Тогда количество теплоты можно рассчитать по формуле (29.4). Для расчета количества теплоты в случае неэлементарного процесса теплопередачи применяют метод ДИ (см. §6): (29.7)

Для вычисления этого интеграла необходимо знать зависимость теплоемкости от других параметров.

Если теплоемкость постоянна то процесс называют политропным и для таких процессов (29.8) Процесс совершения работы называют элементарным, если изменение объема столь мало, что давление можно считать постоянным. Конечно, давление и в элементарном процессе изменяется, но это изменение должно быть столь малым, чтобы им можно было пренебречь, приближенно считая давление постоянным. Тогда работу можно рассчитать по формуле (29.5). Для неэлементарного процесса работу рассчитывают методом ДИ:

(29.9)

29.1

В системе координат работа численно равна площади заштрихованной фигуры на рис. 29.1 (кривая 1-2 изображает соответствующий процесс).

Таким образом, элементарный процесс, для которого применяется уравнение первого начала термодинамики в форме (29.3), должен удовлетворять двум выше сформулированным условиям.

Для неэлементарного процесса первое начало термодинамики записывают в виде (29.10)

или, учитывая (29.7) и (29.9), (29.11)

где — изменение внутренней энергии в этом процессе (оно не зависит от вида процесса, а определяется только начальным и конечным состояниями физической системы).

Основная задача термодинамики равновесных процессов заключается в нахождении всех макросостояний физической системы. Если начальное и конечное состояния системы известны, можно определить изменение ее внутренней энергии.

Если, кроме того, известны и промежуточные состояния системы (т. е. известен процесс), то можно найти работу, совершенную системой, рассчитать количество теплоты, полученной (или отданной) системой, и т. д.

Задача 29.1

Водород объемом находившийся при нормальных условиях, сначала изохорно перевели в состояние с давлением, в раз большим первоначального, а затем изобарно в состояние с объемом, в раз большим, первоначального. Определить изменение внутренней энергии газа, работу, совершенную им, и полученное количество теплоты.

Решение:

Физическая система состоит из некоторой массы (ее нетрудно определить) идеального газа, молярная масса которого известна. Начальное макросостояние системы ( на рис. 29.2) известно (нормальное давление нормальная температура и объем известны по условию). Состояния и процессы, в которых участвовала система, изобразим графически в системе координат (рис. 29.2). Найдем параметры второго 2 и третьего 3 макросостояний системы. Для этого используем уравнение Менделеева — Клапейрона (29.2) и определения изопроцессов:

(29.12)

(29.13)

29.2

Так как процессы, в которых участвовала система, являются квазистатическими и политропными, то искомые величины можно определить по приведенным выше формулам. Изменение внутренней энергии (29.14) В изохорном процессе и работа равна нулю. Работа в изобарном процессе (29.15) Количество теплоты (29 16) В последнем соотношении использована формула Майера (29.17) Количество теплоты можно было бы рассчитать по первому началу термодинамики (29.11):

это совпадает с полученным ранее результатом (29.16). Для числового расчета необходимо выбрать разумные значения величин и Из уравнений (29.13) видно, что значение определяет максимальное давление а произведение — максимальную температуру Значение не может превышать ибо при давлениях, равных (и больших) , газ уже не является идеальным.

Произведение не может превышать значения так как при температурах (и больших), во-первых, могут расплавиться стенки сосуда (необходимо их охлаждать) и, во-вторых, молекулярный водород станет атомарным, а при еще больших температурах в сосуде окажется уже водородная плазма. Полагая и из формул (29.14), (29.15) и (29.16) получаем:

Полезно было бы исследовать такой вопрос: каково должно быть соотношение между и (при ), чтобы отношение было максимальным? Оставляя этот вопрос читателям, поставим другой: как изменились бы искомые величины, если бы система из начального состояния перешла в конечное (квазистатически) по пунктирной прямой (рис. 29.2)? Ответ на этот вопрос легко получить из первого начала термодинамики (29.11). Изменение внутренней энергии не зависит от вида процесса, а определяется начальным и конечным состояниями системы. Поэтому изменение внутренней энергии остается прежним и будет равно Работа уменьшится (площадь трапеции меньше площади прямоугольника ). Следовательно, по первому началу термодинамики (29.11) система получит и меньшее количество теплоты.

Возможно, вас также заинтересует:

• Решение задач по физике с примерами онлайн
• Контрольная работа по физике заказать
• Контрольная работа на тему физика атомного ядра заказать
• Контрольная работа по физике на тему термодинамика заказать
• Помощь по физике онлайн
• Курсовая работа по физике заказать готовую онлайн
• РГР по физике расчетно графическая работа