Задачи по эконометрике

Задачи по эконометрике с решением

 

Если у вас нету времени на задачи по эконометрике вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по эконометрике помощь в учёбе

 

Парная регрессия и корреляция

Парная регрессия - уравнение связи двух переменных

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия:

Нелинейные регрессии делятся на два класса: регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам, и регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

 

Регрессии, нелинейные по объясняющим переменным:

• • полиномы разных степеней
• • равносторонняя гипербола

Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам:

• • степенная
• • показательная
• • экспоненциальная

Построение уравнения регрессии сводится к оценке ее параметров. Для оценки параметров регрессий, линейных по параметрам, используют метод наименьших квадратов {ИНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака от теоретических минимальна, т.е.

Для линейных и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, решается следующая система относительно

Можно воспользоваться готовыми формулами, которые вытекают из этой системы:

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии

и индекс корреляции - для нелинейной регрессии

Оценку качества построенной модели даст коэффициент (индекс) детерминации, а также средняя ошибка аппроксимации.

Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических:

Допустимый предел значений - не более 8 - 10%.

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем по совокупности изменится результат от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения:

Задача дисперсионного анализа состоит в анализе дисперсии зависимой переменной:

где

- общая сумма квадратов отклонений;

- сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией («объясненная» или «факторная»);

- остаточная сумма квадратов отклонений.

Долю дисперсии, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака у характеризует коэффициент (индекс) детерминации

Коэффициент детерминации - квадрат коэффициента или индекса корреляции,

- оценивание качества уравнения регрессии - состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического и критического (табличного) значений критерия Фишера. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

где - число единиц совокупности;

- число параметров при переменных

- это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости Уровень значимости - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно принимается равной 0,05 или 0,01.

Если гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность. Если то гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по эконометрике с примерами онлайн

 

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения статистики - - принимаем или отвергаем гипотезу

Связь между критерием Фишера и статистикой Стьюдента выражается равенством

Если отклоняется, т.е. не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора Если то гипотеза не отклоняется и признается случайная природа формирования или

Для расчета доверительного интервала определяем предельную ошибку для каждого показателя:

Формулы для расчета доверительных интервалов имеют следующий вид:

Если в границы доверительного интервала попадает ноль, т.е. нижняя граница отрицательна, а верхняя положительна, то оцениваемый параметр принимается нулевым, так как он не может одновременно принимать и положительное, и отрицательное значения.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по эконометрике заказать

 

Прогнозное значение определяется путем подстановки в уравнение регрессии соответствующего (прогнозного) значения Вычисляется средняя стандартная ошибка прогноза

и строится доверительный интервал прогноза:

где

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по эконометрике онлайн

 

 

 

Задача 1

По семи территориям Уральского района за 199Х г. известны значения двух признаков (табл. 1.1).
Таблица 1.1

Требуется:

1. Для характеристики зависимости рассчитать параметры следующих функций:

а)линейной;

б)степенной;

в) показательной;

г) равносторонней гиперболы.

0ценить каждую модель через среднюю ошибку аппроксимации критерий Фишера.

• Решение:

1л. Для расчета параметров линейной регрессии решаем систему нормальных уравнений относительно

По исходным данным рассчитываем
Таблица 1.2

Уравнение регрессии: С увеличением среднедневной заработной платы на 1 руб. доля расходов на покупку продовольственных товаров снижается в среднем на 0,35 %-ных пункта. Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

Связь умеренная, обратная.

Определим коэффициент детерминации:

Вариация результата на 12,7% объясняется вариацией фактора Подставляя в уравнение регрессии фактические значения определим теоретические (расчетные) значения Найдем величину средней ошибки аппроксимации

В среднем расчетные значения отклоняются от фактических на 8,1%.

Рассчитаем критерий:

поскольку следует рассмотреть

Полученное значение указывает на необходимость принять гипотезу о случайной природе выявленной зависимости и статистической незначимости параметров уравнения и показателя тесноты связи.

16. Построению степенной модели предшествует процедура линеаризации переменных. В примере линеаризация производится путем логарифмирования обеих частей уравнения:

где

Для расчетов используем данные табл. 1.3.
Таблица 1.3

Рассчитаем

Получим линейное уравнение:

Выполнив его потенцирование, получим:

Подставляя в данное уравнение фактические значения получаем теоретические значения результата По ним рассчитаем показатели: тесноты связи - индекс корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Характеристики степенной модели указывают, что она несколько лучше линейной функции описывает взаимосвязь.

1в.Построению уравнения показательной кривой предшествует процедура линеаризации переменных при логарифмировании обеих частей уравнения:

где
Для расчетов используем данные табл. 1.4.
Таблица 1.4

Значения параметров регрессии составили:

Получено линейное уравнение:

Произведем потенцирование полученного уравнения и запишем его в обычной форме:

Тесноту связи оценим через индекс корреляции

Связь умеренная.

что говорит о повышенной ошибке аппроксимации, но в допустимых пределах. Показательная функция чуть хуже, чем степенная, она описывает изучаемую зависимость.

1г. Уравнение равносторонней гиперболы линеаризуется при замене: Тогда Для расчетов используем данные табл. 1.5.

Значения параметров регрессии составили:

Получено уравнение:
Индекс корреляции:
По уравнению равносторонней гиперболы получена наибольшая оценка тесноты связи: (по сравнению с линейной, степенной и показательной регрессиями), достается на допустимом уровне:

где

Следовательно, принимается гипотеза о статистически незначимых параметрах этого уравнения. Этот результат можно объяснить сравнительно невысокой теснотой выявленной зависимости и небольшим числом наблюдений.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по эконометрике заказать готовую онлайн

 

Множественная регрессия и корреляция

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

Множественная регрессия - уравнение связи с несколькими независимыми переменными:

где - зависимая переменная (результативный признак);

- независимые переменные (факторы).

Для построения уравнения множественной регрессии чаще используются следующие функции:

• • линейная-
• • степенная -
• • экспонента-
• • гипербола -

Можно использовать и другие функции, приводимые к линейному виду.

Для оценки параметров уравнения множественной регрессии применяют метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений и нелинейных уравнений, приводимых к линейным, строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Для ее решения может быть применен метод определителей:

где определитель системы;

- частные определители; которые получаются путем замены соответствующего столбца матрицы определителя системы данными левой часта системы.
Другой вид уравнения множественной регрессии - уравнение регрессии в стандартизованном масштабе:

где стандартизованные перемеиные;

- стандартизованные коэффициенты рецессии.

К уравнению множественной регрессии в стандартизованном масштабе применим МНК. Стандартизованные коэффициенты регрессии коэффициенты) определяются из следующей системы уравнений:

Связь коэффициентов множественной регрессии стандартизованными коэффициентами описывается соотношением

Параметр определяется как

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле

Для расчета частных коэффициентов эластичности применяется следующая формула:

Тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает индекс множественной корреляции:

Значение индекса множественной корреляции лежит в пределах от 0 до 1 и должно быть больше или равно максимальному парному индексу корреляции:

Индекс множественной корреляции для уравнения в стандартизованном масштабе можно записать в виде

Прн линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить через матрицу парных коэффициентов корреляции:

где
определитель матрицы

парных коэффициентов корреляции;
- определитель матрицы

межфакторной корреляции.
Частные коэффициенты (или индексы) корреляции, измеряющие влияние на фактора при неизменном уровне других факторов, можно определить по формуле

или по рекуррентной формуле:

Частные коэффициенты корреляции изменяются в пределах от -1 до1.

Качество построенной модели в целом оценивает коэффициент (индекс) детерминации. Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат индекса множественной корреляции:

Скорректированный индекс множественной детерминации содержит поправку на число степеней свободы и рассчитывается по формуле

где - число наблюдений;

- число факторов.

Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью критерия Фишера:

Частный критерий оценивает статистическую значимость присутствия каждого из факторов в уравнении. В общем виде для фактора частный критерий определится как

Оценка значимости коэффициентов чистой регрессии с помощью критерия Стьюдента сводится к вычислению значения

где -средняя квадратичсская ошибка коэффициента регрессии она может быть определена по следующей формуле:

При построении уравнения множественной регрессии может возникнуть проблема мультиколлинеарности факторов, их тесной линейной связанности.

Считается, что две переменные явно коллинеарны, т.е. находятся между собой в линейной зависимости, если

По величине парных коэффициентов корреляции обнаруживается лишь явная коллинеарность факторов. Наибольшие трудности в использовании аппарата множественной регрессии возникают при наличии мультиколлинеарности факторов. Чем сильнее мультиколлинеарность факторов, тем менее надежна оценка распределения суммы объясненной вариации по отдельным факторам с помощью метода наименьших квадратов.

Для оценки мультиколлинеарности факторов может использоваться определитель матрицы парных коэффициентов корреляции между факторами.

Если бы факторы не коррелировали между собой, то матрица парных коэффициентов корреляции между факторами была бы единичной матрицей, поскольку все недиагональные элементы были бы равны нулю. Так, для включающего три объясняющих переменных уравнения

матрица коэффициентов корреляции между факторами имела бы определитель, равный 1:

так как
Если же, наоборот, между факторами существует полная линейная зависимость и все коэффициенты корреляции равны 1, то определитель такой матрицы равен 0:

.
Чем ближе к 0 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем сильнее мультиколлинеарность факторов и ненадежнее результаты множественной регрессии. И наоборот, чем ближе к 1 определитель матрицы межфакторной корреляции, тем меньше мультиколлинеарность факторов.

Проверка мультиколлинеарности факторов может быть проведена методом испытания гипотезы о независимости переменных

Доказано, что величина

имеет приближенное распределение степенями

свободы. Если фактическое значение превосходит табличное (критическое) то гипотеза отклоняется. Это означает, что недиагональные ненулевые коэффициенты

корреляции указывают на коллинеарность факторов. Мультиколлинеарность считается доказанной.

Для применения МНК требуется, чтобы дисперсия остатков была гомоскедастичной. Это значит, что для каждого значения фактора х, остатки £, имеют одинаковую дисперсию. Если это условие не соблюдается, то имеет место гетероскедастичность.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по эконометрике расчетно графическая работа

 

При нарушении гомоскедастичности мы имеем неравенства

При малом объеме выборки для оценки гетероскедастичности может использоваться метод Гольдфельда Кнандта. Основная идея теста Гольдфельда - Квандта состоит в следующем:

• 1) упорядочение наблюдений по мере возрастания переменной
• 2) исключение из рассмотрения центральных наблюдений; при этом - число оцениваемых параметров;
• 3) разделение совокупности из наблюдений на две группы (соответственно с малыми и с большими значениями фактора и определение по каждой из групп уравнений регрессии;
• 4) определение остаточной суммы квадратов для первой и второй групп и нахождение их отношения:

При выполнении нулевой г ипотезы о гомоскедастичности отношение будет удовлетворять критерию со степенями свободы для каждой остаточной суммы квадратов. Чем больше величина превышает табличное значение критерия, тем более нарушена предпосылка о равенстве дисперсий остаточных величин.

Уравнения множественной регрессии могут включать в качестве независимых переменных качественные признаки (например, профессия, пол, образование, климатические условия, отдельные регионы и т.д.). Чтобы ввести такие переменные в регрессионную модель, их необходимо упорядочить и присвоить им те или иные значения, т.е. качественные переменные преобразовать в количественные.

Такого вида сконструированные переменные принято в эконометрике называть фиктивными переменными. Например, включать в модель фактор «пол» в виде фиктивной переменной можно в следующем виде:

Коэффициент регрессии при фиктивной переменной интерпретируется как среднее изменение зависимой переменной при переходе от одной категории (женский пол) к другой (мужской пол) при неизменных значениях остальных параметров. На основе критерия Стьюдента делается вывод о значимости влияния фиктивной переменной, существенности расхождения между категориями.

 

Задача 2

По 30 территориям России имеются данные, представленные в табл. 2.1.

Таблица 2.1

Требуется:

1. Построить уравнение множественной регрессии в стандартизованной и естественной форме; рассчитать частные коэффициенты эластичности, сравнить их и пояснить различия между ними.

2. Рассчитать линейные коэффициенты частной корреляции и коэффициент множественной корреляции, сравнить их с линейными коэффициентами парной корреляции, пояснить различия между ними.

3. Рассчитать общий и частные критерии Фишера.

• Решение:

1. Линейное уравнение множественной регрессии от имеет вид: Для расчета его параметров применим метод стандартизации переменных и построим искомое уравнение в стандартизованном масштабе: Расчет коэффициентов выполним по формулам

Получим уравнение

Для построения уравнения в естественной форме рассчитаем и используя формулы для перехода от

Значение определим из соотношения

Для характеристики относительной силы влияния на рассчитаем средние коэффициенты эластичности:

С увеличением средней заработной платы на 1% от ее среднего уровня средний душевой доход у возрастает на 1,02% от своего среднего уровня; при повышении среднего возраста безработного на 1% среднедушевой доход у снижается на 0,87% от своего среднего уровня. Очевидно, что сила влияния средней заработной платы на средний душевой доход у оказалась большей, чем сила влияния среднего возраста безработного К аналогичным выводам о силе связи приходим при сравнении модулей значений

Различия в силе влияния фактора на результат, полученные при сравнении и объясняются тем, что коэффициент эластичности исходит из соотношения средних: а коэффициент - из соотношения средних квадратических отклонений:

2. Линейные коэффициенты частной корреляции здесь рассчитываются по рекуррентной формуле:

Если сравнить значения коэффициентов парной и частной корреляции, то приходим к выводу, что из-за слабой межфакторной связи коэффициенты парной и частной корреляции

отличаются незначительно: выводы о тесноте и направлении связи на основе коэффициентов парной и частной корреляции совпадают:

Расчет линейного коэффициента множественной корреляции выполним с использованием коэффициентов

Зависимость от характеризуется как тесная, в которой 72% вариации среднего душевого дохода определяются вариацией учтенных в модели факторов: средней заработной платы и среднего возраста безработного. Прочие факторы, не включенные в модель, составляют соответственно 28% от общей вариации

3. Общий критерий проверяет гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи

Сравнивая приходим к выводу о необходимости отклонить гипотезу так как С вероятностью делаем заключение о статистической значимости уравнения в целом и показателя тесноты связи которые

сформировались под неслучайным воздействием факторов Частные критерии - оценивают статистическую

значимость присутствия факторов в уравнении множественной регрессии, оценивают целесообразность включения в уравнение одного фактора после другого фактора, т.е. оценивает целесообразность включения в уравнение фактора после того, как в него был включен фактор Соответственно указывает на целесообразность включения в модель фактора после фактора

Сравнивая приходим к выводу о целесообразности включения в модель фактора после фактора так как Гипотезу о несущественности прироста за счет включения дополнительного фактора отклоняем и

приходим к выводу о статистически подтвержденной целесообразности включения фактора после фактора

Целесообразность включения в модель фактора после фактора проверяет

Низкое значение (немногим больше 1) свидетельствует о статистической незначимости прироста за счет включения в

модель фактора после фактора Следовательно, подтверждается нулевая гипотеза о нецелесообразности включения в модель фактора (средний возраст безработного). Это означает, что парная регрессионная модель зависимости среднего дохода от средней заработной платы является достаточно статистически значимой, надежной и что нет необходимости улучшать ее, включая дополнительный фактор (средний возраст безработного).

 

 

Система эконометрических уравнений

 

Сложные экономические процессы описывают с помощью системы взаимосвязанных (одновременных) уравнений.

Различают несколько видов систем уравнений: • система независимых уравнений - когда каждая зависимая переменная у рассматривается как функция одного и того же набора факторов

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

• система рекурсивных уравнений - когда зависимая переменная одного уравнения выступает в виде фактора в другом уравнении:

Для решения этой системы и нахождения ее параметров используется метод наименьших квадратов;

• система взаимосвязанных (совместных) уравнений - когда одни и те же зависимые переменные в одних уравнениях входят в левую часть, а в других - в правую:

Такая система уравнений называется структурной формой модели.

Эндогенные переменные - взаимозависимые переменные, которые определяются внутри модели (системы)

Экзогенные переменные - независимые переменные, которые определяются вне системы

Предопределенные переменные - экзогенные и лаговые (за предыдущие моменты времени) эндогенные переменные системы.

Коэффициенты при переменных - структурные коэффициенты модели.

Система линейных функций эндогенных переменных от всех предопределенных переменных системы - приведенная форма модели:

где коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации - выполнение счетного правила:

- уравнение идентифицируемо;

- уравнение неидентифицируемо;

- уравнение сверхидентифицируемо,

где - число эндогенных переменных в уравнении,

- число предопределенных переменных, отсутствующих в уравнении, но присутствующих в системе.

Достаточное условие идентификации - определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен нулю, и ранг этой матрицы не менее числа эндогенных переменных системы без единицы.

Для решения идентифицируемого уравнения применяется косвенный метод наименьших квадратов, для решения сверхидентифи-цированных - двухшаговый метод наименьших квадратов.

 

Косвенный МНК состоит в следующем:

• • составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
• • путем алгебраических преобразований переходят от приведенной формы к уравнениям структурной формы модели, получая тем самым численные оценки структурных параметров.

Двухшаговый МНК заключается в следующем:

• • составляют приведенную форму модели и определяют численные значения параметров каждого ее уравнения обычным МНК;
• • выявляют эндогенные переменные, находящиеся в правой части структурного уравнения, параметры которого определяют двухша-говым МНК, и находят расчетные значения по соответствующим уравнениям приведенной формы модели;
• • обычным МНК определяют параметры структурного уравнения, используя в качестве исходных данных фактические значения предопределенных переменных и расчетные значения эндогенных переменных, стоящих в правой части данного структурного уравнения.

 

 

Задача 3

Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

найти структурные коэффициенты модели.

• Решение:

1. Модель имеет три эндогенные и три экзогенные переменные.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условия идентификации.

Первое уравнение.

эндогенных переменных -

отсутствующих экзогенных -

Выполняется необходимое равенство: 2 = 1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

в первом уравнении отсутствуют Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнен ие.

эндогенных переменных -

отсутствующих экзогенных -

Выполняется необходимое равенство: 3 = 2+ 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: во втором уравнении отсутствуют Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

эндогенных переменных -

отсутствующих экзогенных -

Выполняется необходимое равенство: 2=1 + 1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

в третьем уравнении отсутствуют Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Определитель матрицы не равен 0, ранг матрицы равен 2, следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

Данное выражение содержит переменные которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

2) во втором уравнении СФМ нет переменных Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует которого нет в СФМ.

Выразим из третьего уравнения ПФМ:

Подставим его в выражение

Второй этап: аналогично, чтобы выразить через искомые заменим в выражении значение на полученное из первого уравнения ПФМ:

Следовательно,

Подставим полученные во второе уравнение ПФМ:

Это уравнение можно получить из ПФМ иным путем. Суммируя все уравнения, получим

Далее из первого и второго уравнений ПФМ исключим домножив первое уравнение на 3, а второе - на (-2) и просуммировав их:

Затем аналогичным путем из полученных уравнений исключаем а именно:

3) из второго уравнения ПФМ выразим так как его нет в третьем уравнении СФМ:

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

Таким образом, СФМ примет вид

 

 

Временные ряды в эконометрических исследованиях

 

Модели, построенные по данным, характеризующим один объект за ряд последовательных моментов (периодов), называются моделями временных рядов.

Временной ряд - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Каждый уровень временного ряда формируется из трендовой циклической и случайной компонент.

Модели, в которых временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, - аддитивные модели, как произведение -мультипликативные модели временного ряда. Аддитивная модель имеет вид:

мультипликативная модель:

 

Построение аддитивной и мультипликативной моделей сводится к расчету значений для каждого уровня ряда. Построение модели включает следующие шаги:

• 1) выравнивание исходного ряда методом скользящей средней;
• 2) расчет значений сезонной компоненты
• 3) устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных в аддитивной или в мультипликативной модели;
• 4) аналитическое выравнивание уровней или и расчет значений использованием полученного уравнения тренда;
• 5) расчет полученных по модели значений
• 6) расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

Автокорреляция уровней ряда - это корреляционная зависимость между последовательными уровнями временного ряда:

где - коэффициент автокорреляции уровней ряда первого порядка;

где - коэффициент автокорреляции уровней ряда второго порядка.

Формулы для расчета коэффициентов автокорреляции старших порядков легко получить из формулы линейного коэффициента корреляции.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровией первого, второго и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда, а график зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) - коррело-граммой.

Построение аналитической функции для моделирования тенденции (тренда) временного ряда называют аналитическим выравниванием временного ряда. Для этого чаще всего применяются следующие функции:

• линейная

• гипербола

• экспонента

• степенная функция

• парабола второго и более высоких порядков

Параметры трендов определяются обычным МНК, в качестве независимой переменной выступает время а в качестве зависимой переменной - фактические уровни временного ряда Критерием отбора наилучшей формы тренда является наибольшее зиачение скорректированного коэффициента детерминации

При построении моделей регрессии по временным рядам для устранения тенденции используются следующие методы.

Метод отклонений от тренда предполагает вычисление трендовых значений для каждого временного ряда модели, например и расчет отклонений от трендов: Для дальнейшего анализа используют не исходные данные, а отклонения от тренда.

Метод последовательных разностей заключается в следующем: если ряд содержит линейный тренд, тогда исходные данные заменяются первыми разностями:

если параболический треид - вторыми разностями:

В случае экспоненциального и степенного тренда метод последовательных разностей применяется к логарифмам исходных данных.

Модель, включающая фактор времени, имеет вид

Параметры этой модели определяются обычным МНК.

Автокорреляция в остатках - корреляционная зависимость между значениями остатков за текущий и предыдущие моменты времени.

Для определения автокорреляции остатков используют критерий Дарвина - Уотсона и расчет величины:

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка определяется по формуле

Критерий Дарбина - Уотсона и коэффициент автокорреляции остатков первого порядка связаны соотношением

Эконометрические модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называются моделями с распределенным лагом.

Модель с распределенным лагом в предположении, что максимальная величина лага конечна, имеет вид

Коэффициент регрессии при переменной характеризует среднее абсолютное изменение при изменении на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени без учета воздействия лаговых значений фактора Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.

В момент воздействие факторной переменной на результат составит условных единиц; в момент времени воздействие можно охарактеризовать суммой и т.д. Эти суммы называют промежуточными мультипликаторами. Для максимального лага воздействие фактора на результат описывается суммой которая называется долгосрочным мультипликатором.

Величины

называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты имеют одинаковые знаки, то для любого

Величина среднего лага модели множественной регрессии определяется по формуле средней арифметической взвешенной:

и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент

Медианный лаг - это период, в течение которого с момента времени будет реализована половина общего воздействия фактора на результат:

где - медианный лаг.

Оценку параметров моделей с распределенными лагами можно проводить согласно одному из двух методов: методу Койка или методу Алмон.

В распределении Койка делается предположение, что коэффициенты при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

Уравнение регрессии преобразуется к виду

После несложных преобразований получаем уравнение, оценки параметров которого приводят к оценкам параметров исходного уравнения.

В методе Алмон предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному распределению:

Уравнение регрессии примет вид

 

Расчет параметров модели с распределенным лагом методом Алмон проводится по следующей схеме:

• 1) устанавливается максимальная величина лага
• 2) определяется степень полинома описывающего структуру лага;
• 3) рассчитываются значения переменных
• 4) определяются параметры уравнения линейной регрессии
• 5) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.

Модели, содержащие в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, называются моделями авторегрессии, например:

Как и в модели с распределенным лагом, в этой модели характеризует краткосрочное изменение под воздействием изменения на 1 ед. Долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии рассчитывается как сумма краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:

Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.

 

 

Задача 4

По данным за 18 месяцев построено уравнение регрессии зависимости прибыли предприятия (млн руб.) от цен на сырье (тыс. руб. за 1 т) и производительности труда (ед. продукции на 1 работника):

При анализе остаточных величин были использованы значения, приведенные в табл. 4.1.
Таблица 4.

Требуется:

1. По трем позициям рассчитать

2. Рассчитать критерий Дарбина - Уотсона.

3. Оценить полученный результат при 5%-ном уровне значимости.

4. Указать, пригодно ли уравнение для прогноза.

• Решение:

1 определяется путем подстановки фактических значений в уравнение регрессии:

Остатки рассчитываются по формуле

Следовательно,

- те же значения, что и но со сдвигом на один месяц. Результаты вычислений оформим в виде табл. 4.2.
Таблица 4.2

2. Критерий Дарбина - Уотсона рассчитывается по формуле

3. Фактическое значение сравниваем с табличными значениями при 5%-ном уровне значимости. При месяцев и (число факторов) нижнее значение равно 1,05, а верхнее - 1,53. Так как фактическое значение близко к 4, можно считать, что автокорреляция в остатках характеризуется отрицательной величиной. Чтобы проверить значимость отрицательного коэффициента автокорреляции, найдем величину:

что значительно меньше, чем Это означает наличие в остатках автокорреляции.

4. Уравнение регрессии не может быть использовано для прогноза, так как в нем не устранена автокорреляция в остатках, которая может иметь разные причины. Автокорреляция в остатках может означать, что в уравнение не включен какой-либо существенный фактор. Возможно также, что форма связи неточна, а может быть, в рядах динамики имеется общая тенденция.