Задачи на вероятность

Содержание:

  1. Примеры с решением 

Пример 2.11.

Куб с окрашенными гранями распилен на 27 одинаковых кубиков. Найдем вероятность того, что у выбранного наудачу кубика будет окрашена одна грань (две грани, три грани).

Решение:

Общее число элементарных исходов в данном опыте N = = 27. Обозначим: А — событие, заключающееся в том, что у выбранного кубика окрашена одна грань; В — две грани и С — три грани. Событию А благоприятствует Задачи на вероятность элементарных исходов (число граней у исходного куба), событию Задачи на вероятность исходов (число ребер у исходного куба), а событию С — 8 исходов (число вершин у исходного куба). Поэтому

Задачи на вероятность

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Предмет теория вероятности

Пример 2.12.

Из 33 карточек с написанными на них различными буквами русского алфавита наугад извлекаются пять карточек и располагаются слева направо в порядке извлечения. Найдем вероятность появления слова „РАДИО" (событие А).

Решение:

Поскольку карточки обратно не возвращаются и порядок выбора существен, то общее число элементарных исходов равно числу размещений без повторений из 33 элементов по пять элементов:

Задачи на вероятность

Событию А благоприятствует только один элементарный исход (Задачи на вероятность). Значит,

Задачи на вероятность

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Комбинаторика формулы: основные элементы

Число сочетаний: формула, расчет

Формула вероятности: теория и примеры

Дисперсия формула

Пример 2.13.

Из колоды в 52 игральные карты выбирают наудачу три карты. Найдем вероятность того, что среди этих карт будут тройка „пик", семерка „пик", туз „пик".

Решение:

Поскольку порядок выбора в данном случае не существен и карты обратно в колоду не возвращаются, то число элементарных исходов равно числу сочетаний без повторений из 52 элементов по три элемента, т.е.

Задачи на вероятность

Рассматриваемому событию А благоприятствует единственный исход (Задачи на вероятность). Поэтому

Задачи на вероятность

Пример 2.14.

Группа, состоящая из восьми человек, занимает место за круглым столом. Найдем вероятность того, что два определенных человека окажутся сидящими рядом.

Решение:

Так как упорядочивается все множество из восьми элементов, то мы имеем дело с перестановкой из восьми элементов. Поэтому

Задачи на вероятность

Рассматриваемому событию А благоприятствуют такие перестановки, когда два отмеченных лица садятся рядом: всего восемь различных пар мест за столом и за каждую пару мест данные лица могут сесть двумя способами. При этом остальные шесть человек могут разместиться на оставшихся местах произвольно. Значит,

Задачи на вероятность

и

Задачи на вероятность

Для сравнения приведем еще одно решение поставленной задачи. Заметим, что поскольку нас интересуют только два определенных лица, то порядок размещения остальных не играет роли. В свою очередь, если первый человек сел на определенное место, то второй может сесть на оставшиеся семь мест. При этом в двух случаях оба лица окажутся рядом и

Задачи на вероятность

Пример 2.15.

Из десяти первых букв русского алфавита составлены всевозможные трехбуквенные „слова". Найдем вероятность того, что случайно выбранное „слово" окажется „словом" „ИИИ".

Решение:

Число различных „слов" равно числу размещений с повторениями из 10 элементов по три элемента, т.е.

Задачи на вероятность

Поскольку благоприятствующий исход только один, то

Задачи на вероятность

Пример 2.16. Опыт состоит в четырехкратном случайном выборе С возвращением одной буквы из букв алфавита „А", „Б", „К", „О" и „М“ и записывании результата выбора слева направо в порядке поступления букв. Найдем вероятность того, что в результате будет записано слово „МАМА".

Число элементарных исходов равно числу размещений с повторениями из пяти элементов по четыре элемента, т.е.

Задачи на вероятность

Слову „МАМА" соответствует лишь один исход. Поэтому

Задачи на вероятность

Пример 2.17.

В урне имеются четыре шара различного цвета. Наудачу из урны извлекают шар и после определения его цвета возвращают обратно. Найдем вероятность того, что среди восьми выбранных шаров будут только шары одного цвета (событие А)? будет по два шара разного цвета (событие В).

Решение:

  • Число элементарных исходов равно числу размещений

Задачи на вероятность

с повторениями из четырех элементов по восемь элементов.

Для того чтобы найти число исходов, благоприятствующих событию А, предположим сначала, что вынимают только шары первого цвета. Это можно сделать только одним способом. Аналогично только одним способом можно выбрать шары второго, третьего и четвертого цветов. Поэтому Задачи на вероятность и Задачи на вероятность

Число исходов, благоприятствующих событию В, равно числу тех сочетаний с повторениями из четырех элементов по восемь элементов, в которых каждый элемент повторяется по два раза, т.е.

Задачи на вероятность

Значит,

Задачи на вероятность

Пример 2.18.

Первенство по баскетболу оспаривают 18 команд, которые путем жеребьевки распределены на две подгруппы по девять команд в каждой. Пять команд обычно занимают первые места. Найдем вероятность попадания всех лидирующих команд в одну подгруппу (событие А); трех лидирующих команд в одну подгруппу, а двух — в другую (событие В).

Решение:

Пространство элементарных исходов в данном случае состоит из всевозможных способов выбрать из 18 команд, среди которых пять лидирующих, девять команд в первую подгруппу (тогда вторую подгруппу будут составлять оставшиеся девять команд), причем события А и В происходят тогда, когда в первую подгруппу попадет определенное число лидирующих команд и команд аутсайдеров.

Значит, мы имеем дело с гипергеометрической схемой, в которой к = 2, п = 18, тц = 5, т = 9.

Событие А происходит тогда, когда в первую подгруппу попадают или пять лидирующих команд и четыре команды-аутсайдера Задачи на вероятность, или девять команд-аутсайдеров Задачи на вероятность. Значит,

Задачи на вероятность

Аналогично событие В происходит тогда, когда в первую подгруппу попадут или три лидирующие команды и шесть команд-аутсайдеров Задачи на вероятность или две лидирующие команды и семь команд-аутсайдеров Задачи на вероятность. Таким образом,

Задачи на вероятность

Пример 2.19.

На бесконечную шахматную доску со стороной квадрата а наудачу бросают монету радиуса г, г < а/2. Найдем вероятность того, что монета попадет целиком внутрь одного квадрата. Задачи на вероятность

Решение:

Пусть Задачи на вероятность— координаты центра упавшей монеты. В силу бесконечности шахматной доски можно считать, что элементарные исходы данного эксперимента полностью определяются положением центра упавшей монеты относительно вершин квадрата, содержащаго этот центр.

Помещая начало координат в одну из вершин указанного квадрата (рис. 2.2), можно записать множество элементарных исходов в виде

Задачи на вероятность

Область А, соответствующая рассматриваемому событию, имеет вид

Задачи на вероятность

т.е. является квадратом со стороной Задачи на вероятность. В соответствии с формулой геометрической вероятности находим

Задачи на вероятность

Пример 2.20.

В любые моменты интервала времени

Задачи на вероятность

равновозможны поступления в приемник двух независимых сигналов. Сигналы искажаются, если разность между моментами их поступления меньше т. Определим вероятность того, что сигналы будут искажены.

Решение:

Изобразим случайные моменты Задачи на вероятность поступления сигналов в приемник в виде точки на плоскости с координатами Задачи на вероятность. Областью возможных значений является квадрат площадью Задачи на вероятность Задачи на вероятность (рис. 2.3). Сигналы будут искажены, если Задачи на вероятность Эта область лежит между прямыми Задачи на вероятностьПлощадь ее равна

Задачи на вероятность

Следовательно,

Задачи на вероятность

Задачи на вероятность

Задачи на вероятность