Задачи на устойчивость

Задачи на устойчивость по сопромату примеры и решения

С понятием устойчивости, которое будет неоднократно встречаться в этой книге, каждый читатель сталкивается повседневно. Рассмотрим, например, равновесные положения тяжелого шарика, помещенного на гладкую поверхность. На рис. 1.1 показаны равновесные состояния шарика в тех случаях, когда криволинейная поверхность обращена выпуклостью вниз (а) или вверх (б). Легко видеть, что
Задачи на устойчивость

эти положения шарика различаются между собой по характеру равновесия. Если слегка отклонить шарик от состояния равновесия, как показано пунктиром, и предоставить его самому себе, то в первом случае шарик начнет колебаться вокруг среднего положения, а во втором начнет сразу же удаляться от пего. В первом из этих случаев равновесие является устойчивым, а во втором — неустойчивым.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Отметим, что частота колебаний шарика по отношению К устойчивому положению зависит от кривизны поверхности: чем поверхность будет более пологой, тем частота окажется меньше *). На рис. 1,в показан предельный случай, когда криволинейная поверхность переходит в плоскость. Здесь любое положение шарика является равновесным; такой вид равновесия называют безразличным.
Обратимся теперь к задаче, известной из курса сопротивления материалов. Представим себе гибкую упругую полосу, установленную вертикально и закрепленную нижним концом (рис. 1.2). Допустим, что на верхний конец полосы передается сжимающая сила Задачи на устойчивость направленная вертикально вниз *).

При малых значениях силы полоса будет сжиматься, оставаясь прямолинейной. Если верхний конец полосы слегка отогнуть (пунктир на рис. 1.2), а затем отпустить, то полоса будет совершать колебания относительно вертикального положения.

Задачи на устойчивость

Такое равновесное положение стержня является устойчивым. Частота колебаний оказывается и здесь различной в зависимости от величины сжимающей силы. При возрастании нагрузки частота будет уменьшаться. Когда сила достигнет некоторого критического значения, частота малых колебаний обращается в нуль: стержень будет как бы в безразличном равновесии **), какой бы прогиб мы ему ни придали. Стержень, изготовленный из реального материала, уже при сравнительно небольших прогибах может получить пластические деформации и останется в отклоненном положении, дойдя до упора Задачи на устойчивость

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями

Решение статически неопределимых задач

Допустим, что к полосе приложена сжимающая сила, превышающая критическую; вертикальное положение стержня будет по-прежнему равновесным, но равновесие это является уже неустойчивым: при любом возмущении полоса изогнется, после чего уже не будет возвращаться к вертикальному состоянию. Как видим, можно провести аналогию между равновесными состояниями сжатого стержня и тяжелого шарика по рис. 1.1.

  • Условимся называть в дальнейшем равновесное положение упругого стержня устойчивым, если, получив малое отклонение от этого положения, стержень будет возвращаться к нему***). Происходящие вслед за этим малые колебания в реальных условиях быстро затухают из-за действия различного рода сил сопротивления.

Нагрузка, при которой начальная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической. Приложение к стержню силы, равной критической или превышающей ее, ведет к продольному изгибу (изгибу, совершающемуся под действием продольных сил)

Устойчивыми в закритической области будут уже искривленные формы равновесия; в критической точке происходи г разветвление (бифуркация) равновесных форм, характеризующееся обменом устойчивостью между этими формами.

Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула Эйлера

Определим критическую сжимающую нагрузку для стержня с прямой осью и постоянным по длине поперечным сечением (рис. 1.3, а). Пусть один конец стержня Задачи на устойчивость имеет шарнирно неподвижную опору, а второй конец Задачи на устойчивость — шарнирно подвижную. Будем считать, что сжимающая сила Задачи на устойчивость приложена в центре тяжести сечения и во все время нагружеиия направлена строго но вертикали. Расположим оси координат, как показано на рис. 1.3.

Задачи на устойчивость

При малых значениях силы Задачи на устойчивость ось стержня остается прямой и в стержне возникают напряжения сжатия Задачи на устойчивость где Задачи на устойчивость —площадь поперечного сечения. Когда, постепенно возрастая, сила Задачи на устойчивость достигнет критического значения, то наряду с прямолинейной формой равновесия должна иметь место другая, искривленная форма, как изображено на рис. 1.3, б.

Мы предполагаем, что переход от прямолинейной формы к изогнутой происходит без изменения величины силы Задачи на устойчивость т. е. при постоянной длине осевой линии. Но тогда точка Задачи на устойчивость должна получить некоторое смещение Задачи на устойчивость можно показать, что при малых прогибах Задачи на устойчивость пропорционально квадрату стрелы прогиба упругой линии и, таким образом, является величиной второго порядка малости.

В дальнейшем на рисунках условно будет приниматься, что точка Задачи на устойчивость вообще не смещается по вертикали.

Выпишем выражение для кривизны изогнутой оси стержня

Задачи на устойчивость

где Задачи на устойчивость — момент инерции поперечного сечения, Задачи на устойчивость — изгибающий момент в некотором сечении.

Общее выражение для кривизны имеет вид

Задачи на устойчивость

где Задачи на устойчивость прогиб в сечении Задачи на устойчивость

Будем считать здесь прогибы малыми по сравнению с длиной стержня. Изогнутая ось будет тогда пологой кривой; считая Задачи на устойчивость можно при этом принять

Задачи на устойчивость

Изгибающий момент в сечении Задачи на устойчивость равен

Задачи на устойчивость

Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

Задачи на устойчивость

Как видно из рис. 1.3, при изгибе стержня, соответствующем сплошной линии, прогиб Задачи на устойчивость положителен, а вторая производная отрицательна; таким образом, в уравнение типа (5) прогиб и вторая производная входят с разными знаками. Исходя из этого, мы, независимо от правила знаков для Задачи на устойчивость и Задачи на устойчивость приходим к одному и тому же уравнению.

В курсах сопротивления материалов последующее решение задачи ведут, исходя из уравнения второго порядка типа (5). Здесь мы перейдем от (5) к уравнению четвертого порядка, так как это придаст решению более общий характер и позволит распространить его на другие граничные условия.

Принимая Задачи на устойчивость продифференцируем (5) дважды по Задачи на устойчивость тогда получим:

Задачи на устойчивость
Это соотношение можно также непосредственно получить, исходя из известного уравнения упругой линии

Задачи на устойчивость

вводя фиктивную поперечную нагрузку интенсивностью Задачи на устойчивость Рассмотрим деформированный элемент стержня, находящийся под действием сжимающих усилий Задачи на устойчивость (рис. 1.4, а); равнодействующая этих усилий, направленная вдоль нормали, будет по рис. 1,4 б равна Задачи на устойчивость а величина Задачи на устойчивость равна Задачи на устойчивость отсюда приходим к (6). Введем обозначение

Задачи на устойчивость

тогда уравнение (6) примет вид

Задачи на устойчивость

Однородному линейному дифференциальному уравнению (6) соответствует характеристическое уравнение Задачи на устойчивость корни его

Задачи на устойчивость

равны Задачи на устойчивость Следовательно, интеграл уравнения (6) будет

Задачи на устойчивость

Для решения задачи существенно то обстоятельство, что корни Задачи на устойчивость получаются мнимыми; это в свою очередь объясняется тем, что в уравнение типа (5) величины Задачи на устойчивость входят с разными знаками.

Решение (9) должно удовлетворять граничным условиям, которые в данном случае имеют вид

Пользуясь этими условиями, находим:

Задачи на устойчивость

Отсюда Задачи на устойчивость Полагая Задачи на устойчивость будем иметь

Задачи на устойчивость

Для аргумента Задачи на устойчивость получаются значения

Задачи на устойчивость

где Задачи на устойчивость — произвольное целое число. Отбрасывая решение Задачи на устойчивость как не отвечающее исходным данным задачи, находим:
Задачи на устойчивость
или, по (6),
Задачи на устойчивость
Изменяя число я, получаем последовательный ряд значений силы Задачи на устойчивость которым соответствуют различные искривленные равновесные формы.

Под критической силой мы условились понимать силу, при которой прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Следовательно, из всех возможных значений силы надо выбрать наименьшее и принять Задачи на устойчивость Считая, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости стержня, будем под Задачи на устойчивость понимать минимальный момент инерции сечения Задачи на устойчивость

Вводя для критической силы обозначение Задачи на устойчивость получаем:

Задачи на устойчивость

Формула такого вида была получена Л. Эйлером [1.9J, [1.10] и носит его имя.

Вернемся к уравнению изогнутой оси стержня
Задачи на устойчивость

Мы получили синусоиду, имеющую, вообще говоря, Задачи на устойчивость полуволн. Критической силе Задачи на устойчивость соответствует синусоида с одной полуволной:

Задачи на устойчивость

здесь Задачи на устойчивость стрела прогиба.

Принимая последовательно Задачи на устойчивость и т. д., получим искривленные формы равновесия в виде синусоиды с двумя, тремя и более полуволнами в пределах длины стержня. При этом сила Задачи на устойчивость будет в четыре, девять и т. д. раз превышать критическую величину.

Эти формы равновесия, вообще говоря, неустойчивы, по их можно осуществить, если перейти к новой системе, поставив в точках перегиба синусоиды дополнительные шарнирные подкрепления.

Нами подразумевалось, что сжимающее напряжение в стержне лежит в пределах действия закона Гука, т. е. не превышает предела пропорциональности материала; следовательно, формулой Эйлера можно пользоваться лишь при этом условии. Напомним также, что мы применяем приближенное выражение (3) для кривизны изогнутой оси, что является уместным лишь при прогибах, достаточно малых по сравнению с длиной стержня. Именно поэтому величина стрелы

Прогиба Задачи на устойчивость осталась в конечном счете неопределенной. В § 5 будет показано, что если исходить из «точного» уравнения упругой линии, то результат получится иной: каждому значению силы Задачи на устойчивость будут отвечать равновесные формы со вполне определенными прогибами.

Однако в окрестности точки разветвления равновесных состояний изогнутые формы стержня сколько угодно близки к прямолинейной форме, и поэтому при определении критической силы мы вправе исходить из приближенного выражения для кривизны.

С математической точки зрения рассмотренная нами задача представляет собой задачу о собственных значениях линейного однородного уравнения типа (5). Тривиальное решение Задачи на устойчивость относится к начальному, иеискривлепиому равновесному состоянию стержня. Нетривиальное решение соответствует так называемым собственным функциям задачи, которые в данном случае имеют вид (17). Первая и высшие критические силы (15) являются собственными значениями параметра Задачи на устойчивость входящего в основное уравнение, т. е. такими значениями Задачи на устойчивость при которых это уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи *).

Приведем два примера определения критической силы по формуле Эйлера.

Пример решения задачи1.1.

Звено тяги управления к рулю высоты в самолете (рис. 1.5) передает сжимающее усилие. Звено представляет собой дюралюиновую трубу длиной Задачи на устойчивость внешний диаметр сечеиия Задачи на устойчивость

Задачи на устойчивость

толщина стенки Задачи на устойчивостьОпределить критическую силу, принимая Задачи на устойчивостьЗадачи на устойчивость и предел пропорциональности материала Задачи на устойчивость Находим момент инерции сечения. Для тонкостенной трубы принимаем

Задачи на устойчивость

Критическая сила равна

Задачи на устойчивость

Площадь сечения Задачи на устойчивость Критической силе соответствует напряжение

Задачи на устойчивость

лежащее ниже предела пропорциональности.

Пример решения задачи 1.2.

Крыша цельнометаллического вагона, состоящая из обшивки и продольных подкрепляющих ребер (стрингеров), передает сжимающие усилия. Определить критическую нагрузку для панели крыши, состоящей из стрингера и присоединенной к нему плоской панели обшивки

Задачи на устойчивость
(рис. 1.6). Стрингер-уголок Задачи на устойчивость толщина обшивки Задачи на устойчивость ширина полосы Задачи на устойчивость Материал — сталь Ст. 3, Задачи на устойчивостьЗадачи на устойчивость Задачи на устойчивостьСчитается, что потеря устойчивости возможна лишь в направлении, перпендикулярном плоскости обшивки. Концы панели принимаем присоединенными шарнирно к поперечным подкреплениям (шпангоутам), расстоиние между которыми составляет 800 мм.

Определяем координату центра тяжести сечения Задачи на устойчивость

Задачи на устойчивость

Момент инерции сечения относительно центральной оси равен

Задачи на устойчивость

Находим критическую силу:

Задачи на устойчивость

Соответствующее напряжение Задачи на устойчивость лежит ниже Задачи на устойчивость