Задачи на устойчивость

Содержание:

1. Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула Эйлера
2. Приведем два примера определения критической силы по формуле Эйлера.
3. Пример решения задачи 1.1.
4. Пример решения задачи 1.2.

С понятием устойчивости, которое будет неоднократно встречаться в этой книге, каждый читатель сталкивается повседневно. Рассмотрим, например, равновесные положения тяжелого шарика, помещенного на гладкую поверхность. На рис. 1.1 показаны равновесные состояния шарика в тех случаях, когда криволинейная поверхность обращена выпуклостью вниз (а) или вверх (б). Легко видеть, что

эти положения шарика различаются между собой по характеру равновесия. Если слегка отклонить шарик от состояния равновесия, как показано пунктиром, и предоставить его самому себе, то в первом случае шарик начнет колебаться вокруг среднего положения, а во втором начнет сразу же удаляться от пего. В первом из этих случаев равновесие является устойчивым, а во втором — неустойчивым.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Отметим, что частота колебаний шарика по отношению К устойчивому положению зависит от кривизны поверхности: чем поверхность будет более пологой, тем частота окажется меньше *). На рис. 1,в показан предельный случай, когда криволинейная поверхность переходит в плоскость. Здесь любое положение шарика является равновесным; такой вид равновесия называют безразличным. Обратимся теперь к задаче, известной из курса сопротивления материалов. Представим себе гибкую упругую полосу, установленную вертикально и закрепленную нижним концом (рис. 1.2). Допустим, что на верхний конец полосы передается сжимающая сила направленная вертикально вниз *).

При малых значениях силы полоса будет сжиматься, оставаясь прямолинейной. Если верхний конец полосы слегка отогнуть (пунктир на рис. 1.2), а затем отпустить, то полоса будет совершать колебания относительно вертикального положения.

Такое равновесное положение стержня является устойчивым. Частота колебаний оказывается и здесь различной в зависимости от величины сжимающей силы. При возрастании нагрузки частота будет уменьшаться. Когда сила достигнет некоторого критического значения, частота малых колебаний обращается в нуль: стержень будет как бы в безразличном равновесии **), какой бы прогиб мы ему ни придали. Стержень, изготовленный из реального материала, уже при сравнительно небольших прогибах может получить пластические деформации и останется в отклоненном положении, дойдя до упора

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Двухопорная балка по сопромату задачи с примерами и решениями

Решение статически неопределимых задач

Допустим, что к полосе приложена сжимающая сила, превышающая критическую; вертикальное положение стержня будет по-прежнему равновесным, но равновесие это является уже неустойчивым: при любом возмущении полоса изогнется, после чего уже не будет возвращаться к вертикальному состоянию. Как видим, можно провести аналогию между равновесными состояниями сжатого стержня и тяжелого шарика по рис. 1.1.

• Условимся называть в дальнейшем равновесное положение упругого стержня устойчивым, если, получив малое отклонение от этого положения, стержень будет возвращаться к нему***). Происходящие вслед за этим малые колебания в реальных условиях быстро затухают из-за действия различного рода сил сопротивления.

Нагрузка, при которой начальная форма равновесия перестает быть устойчивой, называется критической. Приложение к стержню силы, равной критической или превышающей ее, ведет к продольному изгибу (изгибу, совершающемуся под действием продольных сил)

Устойчивыми в закритической области будут уже искривленные формы равновесия; в критической точке происходи г разветвление (бифуркация) равновесных форм, характеризующееся обменом устойчивостью между этими формами.

Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула Эйлера

Определим критическую сжимающую нагрузку для стержня с прямой осью и постоянным по длине поперечным сечением (рис. 1.3, а). Пусть один конец стержня имеет шарнирно неподвижную опору, а второй конец — шарнирно подвижную. Будем считать, что сжимающая сила приложена в центре тяжести сечения и во все время нагружеиия направлена строго но вертикали. Расположим оси координат, как показано на рис. 1.3.

При малых значениях силы ось стержня остается прямой и в стержне возникают напряжения сжатия где —площадь поперечного сечения. Когда, постепенно возрастая, сила достигнет критического значения, то наряду с прямолинейной формой равновесия должна иметь место другая, искривленная форма, как изображено на рис. 1.3, б.

Мы предполагаем, что переход от прямолинейной формы к изогнутой происходит без изменения величины силы т. е. при постоянной длине осевой линии. Но тогда точка должна получить некоторое смещение можно показать, что при малых прогибах пропорционально квадрату стрелы прогиба упругой линии и, таким образом, является величиной второго порядка малости.

В дальнейшем на рисунках условно будет приниматься, что точка вообще не смещается по вертикали.

Выпишем выражение для кривизны изогнутой оси стержня

где — момент инерции поперечного сечения, — изгибающий момент в некотором сечении.

Общее выражение для кривизны имеет вид

где прогиб в сечении

Будем считать здесь прогибы малыми по сравнению с длиной стержня. Изогнутая ось будет тогда пологой кривой; считая можно при этом принять

Изгибающий момент в сечении равен

Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

Как видно из рис. 1.3, при изгибе стержня, соответствующем сплошной линии, прогиб положителен, а вторая производная отрицательна; таким образом, в уравнение типа (5) прогиб и вторая производная входят с разными знаками. Исходя из этого, мы, независимо от правила знаков для и приходим к одному и тому же уравнению.

В курсах сопротивления материалов последующее решение задачи ведут, исходя из уравнения второго порядка типа (5). Здесь мы перейдем от (5) к уравнению четвертого порядка, так как это придаст решению более общий характер и позволит распространить его на другие граничные условия.

Принимая продифференцируем (5) дважды по тогда получим:

Это соотношение можно также непосредственно получить, исходя из известного уравнения упругой линии

вводя фиктивную поперечную нагрузку интенсивностью Рассмотрим деформированный элемент стержня, находящийся под действием сжимающих усилий (рис. 1.4, а); равнодействующая этих усилий, направленная вдоль нормали, будет по рис. 1,4 б равна а величина равна отсюда приходим к (6). Введем обозначение

тогда уравнение (6) примет вид

Однородному линейному дифференциальному уравнению (6) соответствует характеристическое уравнение корни его

равны Следовательно, интеграл уравнения (6) будет

Для решения задачи существенно то обстоятельство, что корни получаются мнимыми; это в свою очередь объясняется тем, что в уравнение типа (5) величины входят с разными знаками.

Решение (9) должно удовлетворять граничным условиям, которые в данном случае имеют вид

Пользуясь этими условиями, находим:

Отсюда Полагая будем иметь

Для аргумента получаются значения

где — произвольное целое число. Отбрасывая решение как не отвечающее исходным данным задачи, находим: или, по (6), Изменяя число я, получаем последовательный ряд значений силы которым соответствуют различные искривленные равновесные формы.

Под критической силой мы условились понимать силу, при которой прямолинейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Следовательно, из всех возможных значений силы надо выбрать наименьшее и принять Считая, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жесткости стержня, будем под понимать минимальный момент инерции сечения

Вводя для критической силы обозначение получаем:

Формула такого вида была получена Л. Эйлером [1.9J, [1.10] и носит его имя.

Вернемся к уравнению изогнутой оси стержня

Мы получили синусоиду, имеющую, вообще говоря, полуволн. Критической силе соответствует синусоида с одной полуволной:

здесь стрела прогиба.

Принимая последовательно и т. д., получим искривленные формы равновесия в виде синусоиды с двумя, тремя и более полуволнами в пределах длины стержня. При этом сила будет в четыре, девять и т. д. раз превышать критическую величину.

Эти формы равновесия, вообще говоря, неустойчивы, по их можно осуществить, если перейти к новой системе, поставив в точках перегиба синусоиды дополнительные шарнирные подкрепления.

Нами подразумевалось, что сжимающее напряжение в стержне лежит в пределах действия закона Гука, т. е. не превышает предела пропорциональности материала; следовательно, формулой Эйлера можно пользоваться лишь при этом условии. Напомним также, что мы применяем приближенное выражение (3) для кривизны изогнутой оси, что является уместным лишь при прогибах, достаточно малых по сравнению с длиной стержня. Именно поэтому величина стрелы

Прогиба осталась в конечном счете неопределенной. В § 5 будет показано, что если исходить из «точного» уравнения упругой линии, то результат получится иной: каждому значению силы будут отвечать равновесные формы со вполне определенными прогибами.

Однако в окрестности точки разветвления равновесных состояний изогнутые формы стержня сколько угодно близки к прямолинейной форме, и поэтому при определении критической силы мы вправе исходить из приближенного выражения для кривизны.

С математической точки зрения рассмотренная нами задача представляет собой задачу о собственных значениях линейного однородного уравнения типа (5). Тривиальное решение относится к начальному, иеискривлепиому равновесному состоянию стержня. Нетривиальное решение соответствует так называемым собственным функциям задачи, которые в данном случае имеют вид (17). Первая и высшие критические силы (15) являются собственными значениями параметра входящего в основное уравнение, т. е. такими значениями при которых это уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи *).

Приведем два примера определения критической силы по формуле Эйлера.

Пример решения задачи 1.1.

Звено тяги управления к рулю высоты в самолете (рис. 1.5) передает сжимающее усилие. Звено представляет собой дюралюиновую трубу длиной внешний диаметр сечеиия

толщина стенки Определить критическую силу, принимая и предел пропорциональности материала Находим момент инерции сечения. Для тонкостенной трубы принимаем

Критическая сила равна

Площадь сечения Критической силе соответствует напряжение

лежащее ниже предела пропорциональности.

Пример решения задачи 1.2.

Крыша цельнометаллического вагона, состоящая из обшивки и продольных подкрепляющих ребер (стрингеров), передает сжимающие усилия. Определить критическую нагрузку для панели крыши, состоящей из стрингера и присоединенной к нему плоской панели обшивки

(рис. 1.6). Стрингер-уголок толщина обшивки ширина полосы Материал — сталь Ст. 3, Считается, что потеря устойчивости возможна лишь в направлении, перпендикулярном плоскости обшивки. Концы панели принимаем присоединенными шарнирно к поперечным подкреплениям (шпангоутам), расстоиние между которыми составляет 800 мм.

Определяем координату центра тяжести сечения

Момент инерции сечения относительно центральной оси равен

Находим критическую силу:

Соответствующее напряжение лежит ниже