Задачи на кручение

Содержание:

  1. Пример решения задачи 78.
  2. Вычисление моментов, передаваемых на вал. построение эпюр крутящих моментов для валов
  3. Пример решения задачи 79.
  4. Пример решения задачи 80.
  5. Напряжения и перемещения при кручении брусьев круглого поперечного сечения
  6. Пример решения задачи 81.
  7. Пример решения задачи 82.
  8. Пример решения задачи 83.
  9. Пример решения задачи 84.
  10. Пример решения задачи 85.
  11. Пример решения задачи 86.
  12. Пример решения задачи 87.
  13. Пример решения задачи 88.
  14. Пример решения задачи 89.
  15. Пример решения задачи 90.
  16. Статически неопределимые задачи кручения
  17. Пример решения задачи 93.
  18. Пример решения задачи 94.
  19. Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения
  20. Пример решения задачи 95.
  21. Пример решения задачи 96.

Под кручением понимается такой вид иагруження бруса, при котором в его поперечных сечениях возникают только крутящие моменты.

Кручение имеет место при действии па брус внешних пар сил, плоскости которых перпендикулярны к оси стержня.

Задачи на кручение

Моменты этих внешних пар, являющиеся нагрузкой для бруса, называют внешними, вращающими или скручивающими моментами.

Простейший случай кручения показан на рис. 79: брус находится под действием двух равных и противоположных скручивающих моментов, приложенных по концам. Моменты пар, приложенных к брусу, должны удовлетворять условию равновесия

Задачи на кручение

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

В общем случае на брус может действовать несколько скручивающих моментов, приложенных в различных сечениях и взаимно уравновешивающихся. Для случая, представленного па рис. 80,

Задачи на кручение

При действии на брус скручивающих моментов в его поперечных сечениях возникают крутящие моменты Задачи на кручениеЗадачи на кручение (рис. 81). Чтобы определить крутящий момент в каком-либо произвольном сечении бруса, необходимо мысленно разрезать его по этому сечению, отбросить одну

Задачи на кручение из его частей, а к оставшейся части приложить уравновешивающий крутящий момент и найти его величину из условия равновесия. Крутящий момент в любом сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения, и направлен в противоположную сторону п-о отношению к результирующему моменту.

Крутящий момент, действующий на одну часть бруса (левую), равен Рис. 82 и противоположно направлен крутящему моменту, действующему в том же сечении на его другую часть (правую) (рис. 82).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Расчет рамы по сопромату примеры и решения

Задачи на сжатие и растяжение по сопромату примеры и решения

Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения

Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения

В простейшем случае, когда брус нагружен по концам двумя равными и противоположно направленными скручивающими моментами Задачи на кручение (см. рис. 79), крутящий момент в любом поперечном сечении бруса имеет одинаковую величину:

Задачи на кручение

Если к брусу приложено несколько скручивающих моментов, то крутящий момент будет оставаться постоянным в пределах каждого участка между местами приложения скручивающих моментов и меняется скачком на границах участков. Изменение крутящих моментов по длине бруса изображают графически в виде эпюры крутящих моментов.

Пример решения задачи 78.

Для бруса Задачи на кручение изображенного на .рис. 83, а, определить реактивный момент в заделке, а также Задачи на кручение

величины крутящих моментов в поперечных сечениях участков Задачи на кручение построить эпюру крутящих моментов, если Задачи на кручениеЗадачи на кручение

Решение:

Определим реактивный момент Задачи на кручение в заделке, составив уравнение равновесия бруса

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

Знак «плюс» указывает, что направление момента в заделке предварительно было выбрано правильно.

Для определения крутящих моментов и построения эпюры применим метод сечений для каждого из трех участков бруса. Проведем сечение Задачи на кручение на участке Задачи на кручение Часть бруса, расположенная слева от сечения, будет находиться в равновесии под действием скручивающего момента Задачи на кручение (реакции заделки) и момента Задачи на кручение приложенного в сечении Задачи на кручение и заменяющего действие отброшенной правой части (рис. 83, б). Значение Задачи на кручение найдем из условия равновесия:

Задачи на кручение

или

Задачи на кручение

Если взять сечение Задачи на кручение (на участке Задачи на кручение), то крутящий момент Задачи на кручение (рис. 83, в), возникающий в этом сечении, должен уравновешивать сумму скручивающих моментов Задачи на кручение действующих на отсеченную левую часть, т. е.

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

Ту же величину крутящего момента Задачи на кручение для сечения Задачи на кручение получим, если будем рассматривать равновесие правой отсеченной части, па которую действуют скручивающие моменты Задачи на кручение В этом случае

Задачи на кручение

Но из условия равновесия

Задачи на кручение

Знак крутящего момента физического смысла не имеет. Условимся считать крутящий момент положительным, если он при взгляде на сечение со стороны отброшенной части направлен по часовой стрелке.

Для левой части бруса, отсеченной любой плоскостью в пределах участка Задачи на кручение

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

По найденным данным строим эпюру крутящих моментов (рис. 83, г). Для этого проводим ось абсцисс Задачи на кручение параллельно оси бруса. Точки Задачи на кручение соответствуют сечениям, в которых приложены скручивающие моменты. В точке Задачи на кручение отложим ординату Задачи на кручение величина которой в выбранном масштабе соответствует крутящему моменту Задачи на кручение- Так как на участке Задачи на кручение крутящий момент постоянен, то проведем прямую линию Задачи на кручение параллельную оси Задачи на кручение

Далее, от точки Задачи на кручение отложим отрезок Задачи на кручение величина которого в выбранном масштабе будет соответствовать крутящему моменту Задачи на кручение Крутящий момент на участке Задачи на кручение постоянен. Поэтому из точки Задачи на кручение проведем линию Задачи на кручение параллельную Задачи на кручение Заметим, что в тех сечениях, где приложены скручивающие моменты, ординаты эпюры изменяются скачком на величину, равную значению приложенного момента. Аналогично строится эпюра и на участке Задачи на кручение (ординаты отложены вниз от оси, так как Задачи на кручение отрицателен).

Следует обратить внимание на то, что наибольший крутящий момент равен 1,4 кн-м, в то время как наибольший скручивающий момент равен 1,6 кн-м. Это общее положение — лишь в частных случаях величины наибольшего крутящего момента и наибольшего скручивающего момента совпадают. В дальнейшем следует учесть, что .расчет бруса на прочность и на жесткость ведут по наибольшему крутящему моменту.

Вычисление моментов, передаваемых на вал. построение эпюр крутящих моментов для валов

На практике обычно известны не моменты, действующие на вал, а передаваемая валом мощность и его угловая скорость. В СИ единицей мощности является ватт (вт) — работа в один джоуль, совершенная в одну секунду Задачи на кручениеУгловая скорость в этой системе измеряется в радианах в секунду Задачи на кручение

Как известно из теоретической механики, между моментом, мощностью и угловой скоростью существует зависимость Задачи на кручение

где Задачи на кручение — в -ваттах, Задачи на кручение — в радианах в секунду, Задачи на кручение — в ньютоно-метрах.

Пример решения задачи 79.

Изображенный на рис. 84 трансмиссионный вал .получает движение при помощи ременной передачи от шкива, насаженного на валу двигателя (на

Задачи на кручение рисунке не показан), к шкиву Задачи на кручение на валу. В свою очередь шкивы Задачи на кручение сидящие на этом валу, также через ременные передачи приводят в движение рабочие машины. Эти шкивы передают мощности Задачи на кручениеЗадачи на кручение Вал вращается с угловой скоростью Задачи на кручение

Построить эпюру крутящих моментов без учета трения в подшипниках.

Решение:

Машина, соединенная ременной передачей со шкивом Задачи на кручение потребляет мощность Задачи на кручение так что скручивающий момент, передаваемый от вала машине,

Задачи на кручение

Скручивающий момент, передаваемый через шкив Задачи на кручение

Задачи на кручение

Через шкив Задачи на кручение передается скручивающий момент

Задачи на кручение

Скручивающий момент, передаваемый валу двигателем через шкив Задачи на кручение

Задачи на кручение

На участках вала между шкивами будут действовать крутящие моменты следующей величины: момент в любом поперечном сечении на участке Задачи на кручение определим из условия равновесия части вала, расположенной левее сечения Задачи на кручение

Задачи на кручение

отсюда

Задачи на кручение

Аналогично для сечения Задачи на кручение на участке Задачи на кручение

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

для сечения Задачи на кручение

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

Для построения эпюры крутящих моментов проведем ось абсцисс, параллельную оси вала. От точки Задачи на кручение отложим ординату Задачи на кручение соответствующую крутящему моменту Задачи на кручение Этот момент на участке Задачи на кручение не изменяется, поэтому эпюра на этом участке представляет собой прямую Задачи на кручение (рис. 84, б). Крутящему моменту Задачи на кручение соответствует ордината Задачи на кручение эпюры.

На участке Задачи на кручение крутящий момент постоянен. Наконец, от точки Задачи на кручение отложим ординату Задачи на кручение равную в выбранном масштабе Задачи на кручение Момент, представленный на эпюре ординатой Задачи на кручение постоянен на всем участке Задачи на кручение вала.

Из уравнения равновесия

Задачи на кручение

следует, что за шкивом Задачи на кручение и перед шкивом Задачи на кручение крутящие моменты равны нулю. Эпюра крутящих моментов вала будет ограничена линией Задачи на кручение Из эпюры видно, что наиболее нагруженным участком вала является участок между шкивами Задачи на кручение в поперечных сечениях которого возникают наибольшие крутящие моменты.

Задачи на кручение

Пример решения задачи 80.

Сохраняя данные предыдущего примера, построить эпюру крутящих моментов для вала с расположением шкивов, показанном на рис. 85, а.

Решение:

Применим метод сечений к каждому участку вала в отдельности. На участке вала слева от шкива Задачи на кручение крутящий момент равен нулю. В любом сечении участка Задачи на кручение крутящий момент Задачи на кручение { уравновешивает скручивающий момент Задачи на кручение приложенный слева от сечения (правую часть отбрасываем), т. е.

Задачи на кручение

Этот момент на рис. 85, б представлен в масштабе ординатой Задачи на кручение отложенной вверх от оси абсцисс. В любом сечении участка Задачи на кручение вала крутящий момент Задачи на кручение равен алгебраической сумме скручивающих моментов, расположенных слева от сечения:

Задачи на кручение

Этот момент представлен на эпюре ординатой Задачи на кручение

Крутящий момент Задачи на кручение определим как алгебраическую сумму скручивающих моментов, приложенных слева от сечения Задачи на кручение

Задачи на кручение

Знак «минус» показывает, что крутящий момент Задачи на кручение отрицателен, а следовательно, ординату Задачи на кручение надо отложить вниз от оси абсцисс. Правее сечения Задачи на кручение крутящий момент равен нулю. Ломаная линия Задачи на кручение представляет собой эпюру крутящих моментов (рис. 85,6).

Сравнивая эпюры, представленные на рис. 84, б и 85, б, видим, что наибольший крутящий момент в первом случае равен 2781 Задачи на кручение а во втором случае — 1625 Задачи на кручение Отсюда следует, что величина наибольшего крутящего момента зависит от порядка расположения шкивов и в особенности от положения шкива Задачи на кручение получающего скручивающий момент от двигателя. Далее будет установлено, что рациональным расположением шкивов па валу можно получить экономию в материале, гак как уменьшение максимального крутящего момента ведет,'конечно, и к уменьшению требуемого диаметра вала.

Напряжения и перемещения при кручении брусьев круглого поперечного сечения

При кручении брусьев круглого (сплошного и кольцевого) поперечного сечения:

а) поперечные сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и перпендикулярными к оси бруса и после деформации;

б) диаметр бруса не изменяется; не изменяется также и его длина и расстояния между поперечными сечениями;

в) образующие цилиндра из прямых линий превращаются в винтовые.

Угол поворота Задачи на кручение торцового поперечного сечения бруса по отношению к защемленному сечению (рис. 85) называют полным углом закручивания бруса.

•Взаимный угол поворота Задачи на кручение двух бесконечно близких сечений — угол закручивания элемента длиной Задачи на кручение связан (как видно из рис. 86) с углом сдвига Задачи на кручение зависимостью

Задачи на кручение

где Задачи на кручение — относительный угол закручивания. Задачи на кручение Касательное напряжение, возникающее в любой точке поперечного сечения (рис. 87), определяется по формуле

Задачи на кручение

где Задачи на кручение (или Задачи на кручение — крутящий момент в рассматриваемом сечении;

Задачи на кручение— полярный момент инерции сечения.

Для круга

Задачи на кручение

для кольца

Задачи на кручение

где Задачи на кручение отношение внутреннего диаметра кольца к наружному. В точках контура поперечного сечения касательные напряжения будут иметь наибольшее значение, определяемое по формуле

Задачи на кручение

где Задачи на кручение -полярный момент сопротивления.

Для сплошного круглого сечения

Задачи на кручение

для кольцевого сечения

Задачи на кручение

Угол закручивания бруса постоянного диаметра при одинаковом во всех поперечных сечениях крутящем моменте

Задачи на кручение

Произведение Задачи на кручение условно называют жесткостью сечения бруса при кручении.

Пример решения задачи 81.

Стальной брус диаметром Задачи на кручение и длиной Задачи на кручение жестко заделан одним концом, а другой конец нагружен скручивающим моментом. При закручивании точка Задачи на кручение (см. рис. 86), взятая на окружности концевого сечения, перемещается в положение Задачи на кручение проходя дугу Задачи на кручение длиной 3 мм. Определить: угол сдвига Задачи на кручение "а поверхности бруса; относительный угол закручивания Задачи на кручение полный угол закручивания Задачи на кручение наибольшее

касательное напряжение Задачи на кручение крутящий момент Задачи на кручение в поперечных сечениях бруса; Задачи на кручение

Решение:

Угол сдвига, как видно из чертежа, равен отношению длины Задачи на кручение дуги Задачи на кручение к длине бруса:

Задачи на кручение

Зная величину угла сдвига Задачи на кручение найдем относительный угол закручивания:

Задачи на кручение

Полный угол закручивания Задачи на кручение

Задачи на кручение

Наибольшее касательное напряжение Задачи на кручение определим на основании закона Гука:

Задачи на кручение

Крутящий момент в любом поперечном сечении бруса

Задачи на кручение

Пример решения задачи 82.

Стальной вал диаметром Задачи на кручение скручивается моментом Задачи на кручение Определить наибольшее напряжение Задачи на кручение угол сдвига Задачи на кручение на поверхности вала и относительный угол закручивания Задачи на кручение Задачи на кручение

Решение:

Наибольшее касательное напряжение определим по формуле

Задачи на кручение

где Задачи на кручение а следовательно,

Задачи на кручение

Зная Задачи на кручение определяем угол сдвига

Задачи на кручение

Тогда относительный угол закручивания

Задачи на кручение

Пример решения задачи 83.

Круглый дюралевым стержень длиной Задачи на кручение одним концом заделан жестко, а на другом конце нагружен скручивающим моментом. Определить величину момента и диаметр стержня, если наибольшее касательное напряжение Задачи на кручение а полный угол закручивания Задачи на кручение рад, модуль сдвига Задачи на кручениеЗадачи на кручение

Решение:

Наибольшее касательное напряжение определяют по формуле

Задачи на кручение

Из этой формулы можно было бы определить Задачи на кручение стержня, если найти величину Задачи на кручение или отношение Задачи на кручение

Нетрудно видеть, что величину этого отношения легко определить из формулы

Задачи на кручение откуда Задачи на кручение Следовательно, Задачи на кручение откуда

Задачи на кручение

Крутящий момент Задачи на кручение в любом поперечном сечении вала

Задачи на кручение

Пример решения задачи 84.

Для определения модуля сдвига Задачи на кручение материала испытывают на кручение образец круглого поперечного сечения и производят с помощью зеркальных приборов измерения углов поворота двух его сечении. Вычислить модуль упругости, если приращению кр\гяшего момента Задачи на кручение соответствуют углы

поворота Задачи на кручение Расстояние между сечениями Задачи на кручение диаметр образца Задачи на кручение

Решение:

Приращение угла закручивания на длине Задачи на кручение соответствующее .изменению крутящего момента Задачи на кручение будет

Задачи на кручение

Полярный момент инерции сечения

Задачи на кручение

Модуль упругости определим из формулы для угла закручивания:

Задачи на кручение

Пример решения задачи 85.

Стальная проволока длиной Задачи на кручение и диаметром Задачи на кручение одним концом закреплена в зажиме, а другой конец нагружен закручивающей парой сил. При каком угле закручивания Задачи на кручение наибольшие касательные напряжения достигнут Задачи на кручение если модуль сдвига Задачи на кручение

Решение:

Зная величину наибольшего касательного напряжения Задачи на кручение а также модуль упругости Задачи на кручение можно определить угол сдвига на наружной поверхности проволоки:

Задачи на кручение

Угол закручивания Задачи на кручение определим по формуле

Задачи на кручение

Эту задачу можно решить иначе, а именно: определим крутящий момент:

Задачи на кручение

Тогда угол закручивания

Задачи на кручение РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ ПРИ КРУЧЕНИИ

Условие прочности при кручении бруса круглого поперечного сечения имеет вид

Задачи на кручение

где Задачи на кручение — допускаемое напряжение. Величину допускаемого .напряжения Задачи на кручение при кручении принимают равной Задачи на кручение от допускаемого напряжения Задачи на кручение при растяжении.

Зная диаметр бруса и допускаемое напряжение для его материала при данных условиях работы, можно определить максимальный допускаемый крутящий момент:

Задачи на кручение

При проектном расчете требуемый «полярный момент сопротивления поперечного сечения бруса определяется но формуле

Задачи на кручение

Во многих случаях расчет валов должен быть выполнен не только на прочность, но и на жесткость. Условие жесткости

Задачи на кручение

здесь Задачи на кручение —допускаемый относительный угол закручивания.

Если величина Задачи на кручение задана в Задачи на кручение то величина Задачи на кручение должна быть подставлена в Задачи на кручение либо можно перевести значение Задачи на кручениев Задачи на кручение и тогда

Задачи на кручение

При определении диаметра вала из условия жесткости («гири проектном 'расчете) находят требуемую величину полярного момента инерции:

Задачи на кручение

Допускаемый по условию жесткости крутящий момент определяется но формуле

Задачи на кручение

Пример решения задачи 86.

При Задачи на кручение проверить прочность вала, имеющего диаметр Задачи на кручение Вал передает мощность 150 квт и вращается с угловой скоростью Задачи на кручение

Решение:

Определяем крутящий момент, равный моменту, передаваемому валу Задачи на кручение Полярный момент сопротивления поперечного сечения вала

Задачи на кручение

Наибольшее напряжение

Задачи на кручение

Пример решения задачи 87.

Ступенчатый стальной брус Задачи на кручение круглого сечения нагружен, как показано на рис. 88, а, скручивающими моментами

Задачи на кручение

Требуется определить максимальные касательные'напряжения в сечениях Задачи на кручение вала, если Задачи на кручение Определить коэффициент запаса, если для материала бруса предел текучести при чистом сдвиге Задачи на кручение

Решение:

Составив уравнение равновесия, определим-реактивный момент в заделке:

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение Крутящий момент в произвольном сечении Задачи на кручение участка Задачи на кручение

Задачи на кручение

Крутящий момент в произвольном сечении Задачи на кручение участка Задачи на кручение

Задачи на кручение

Крутящий момент в произвольном сечении Задачи на кручение участка Задачи на кручение

Задачи на кручение

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 88, б). Определим полярные моменты сопротивления поперечных сечений бруса: на участке Задачи на кручение

Задачи на кручение

на участке Задачи на кручение

Задачи на кручение

на участке Задачи на кручение

Задачи на кручение

Искомые напряжения:

Задачи на кручение

Коэффициент запаса определяем для наиболее нагруженного участка бруса

Задачи на кручение

Пример решения задачи 88.

Проверить 'прочность валов зубчатой передачи от электродвигателя к станку (рис. 89), приняв допускаемое напряжение Задачи на кручение Передаваемая мощность Задачи на кручение Угловая скорость вала электродвигателя Задачи на кручениеЗадачи на кручение Коэффициент полезного действия передачи Задачи на кручение

Решение:

Угловая скорость ведущего вала

Задачи на кручение

Вычислим вращающий момент на валу Задачи на кручение

Задачи на кручение

Крутящий момент в любом (расположенном левее шестерни Задачи на кручение поперечном сечении вала Задачи на кручение

Задачи на кручение (на рис. 89 изображена эпюра крутящих моментов для вала Задачи на кручение

Проверяем прочность этого вала

Задачи на кручение Определим вращающий момент па валу 2:

Задачи на кручение

Крутящий момент в любом (расположенном между зубчатыми колесами) поперечном сечении вала 2

Задачи на кручение

Проверим прочность вала 2: Задачи на кручение

Пример решения задачи 89.

Определить диаметр вала, передающего мощность Задачи на кручение Угловая скорость вала Задачи на кручениеЗадачи на кручение

Допускаемое напряжение Задачи на кручение допускаемый относительный угол закручивания Задачи на кручение

Задачи на кручение

Решение:

Крутящий момент, возникающий в любом -поперечном сечении вала, равен передаваемому валом вращающему моменту:

Задачи на кручение

Из условия прочности Задачи на кручение следует

Задачи на кручение

Из условия жесткости

Задачи на кручение

следует

Задачи на кручение

(здесь Задачи на кручение

Окончательно принимаем Задачи на кручение

Пример решения задачи 90.

На валу насажены три шкива, из которых шкив Задачи на кручение соединен со шкивом двигателя при помощи ремня и -получает мощность Задачи на кручение а шкивы Задачи на кручение и Задачи на кручение эту мощность отдают станкам, соответственно Задачи на кручениеЗадачи на кручение (рис. 90, а). Определить диаметры вала Задачи на кручение если допускаемое напряжение Задачи на кручениеЗадачи на кручение а угловая скорость вала Задачи на кручение Определить угол поворота сечения, совпадающего с серединой шкива Задачи на кручение по отношению к сечению Задачи на кручение если Задачи на кручение

Решение:

В этой задаче вал имеет ступенчатую форму. Чтобы определить диаметры вала Задачи на кручение необходимо найти величины скручивающих моментов, передаваемых шкивами, после чего определить крутящие

моменты в сечениях на участках Задачи на кручение вала. Скручивающий момент, действующий на шкив Задачи на кручение

Задачи на кручение Скручивающие моменты, действующие на шкивы Задачи на кручение

Задачи на кручение

Крутящий момент в любом сечении участка Задачи на кручение вала

Задачи на кручение

Крутящий момент в любом сечении участка Задачи на кручение вала

Задачи на кручение

Строим эпюру крутящих моментов (рис. 90, б). Зная величины крутящих моментов, а также величину допускаемого напряжения Задачи на кручение определим диаметры вала на участках Задачи на кручение

Задачи на кручение

тогда Задачи на кручение

Задачи на кручение

тогда Задачи на кручение откуда Задачи на кручениеЗадачи на кручение

принимаем

Задачи на кручение

Для определения углов закручивания будем руководствоваться правилом: угол закручивания отсчитывает ся от сечения вала в месте расположения главного шкива Задачи на кручение

Определим угол поворота сечения Задачи на кручение относительно сечения Задачи на кручение

Так как вал вращается, то неподвижных сечений здесь нет. Но пас интересуют .не повороты сечений вообще, а углы поворота отдельных сечений, получающиеся в результате деформации вала. "Поэтому, приняв условно сечение Задачи на кручение за неподвижное, вычислим значения углов поворота отдельных сечений относительно сечения Задачи на кручение

На участке Задачи на кручение угол поворота сечения, расположенного на расстоянии Задачи на кручение от сечения Задачи на кручение будет Задачи на кручение где Задачи на кручение угол поворота сечения Задачи на кручение относительно сечения Задачи на кручение

Задачи на кручение — крутящий момент на участке Задачи на кручение

При Задачи на кручение

т. е. угол поворота сечения Задачи на кручение относительно сечения Задачи на кручение составляет Задачи на кручение

На участке Задачи на кручение угол поворота сечения, расположенного -на расстоянии Задачи на кручение от сечения Задачи на кручение равен алгебраической сумме углов закручивания участков Задачи на кручение и части участка Задачи на кручение длиной Задачи на кручение т. е.

Задачи на кручение

Эпюра углов закручивания показана на рис. 90, в

Статически неопределимые задачи кручения

т. е. на основе применения лишь метода сечении. Так же как и при решении .статически неопределимых задач на растяжение (сжатие), дополнительно к уравнениям статики должны быть составлены уравнения перемещении.

Пример решения задачи 93.

В сечении Задачи на кручение бруса круглого поперечного сечения приложен скручивающий момент Задачи на кручение Концы -бруса жестко заделаны (рис. 93, а). Определить реактивные моменты в заделках; построить эпюру крутящих моментов н найти требуемый диаметр бруса, если допускаемое напряжение Задачи на кручениеЗадачи на кручение

Решение:

В заделках бруса возникают реактивные моменты Задачи на кручение которые связаны с заданным моментом уравнением равновесия

Задачи на кручение

Неизвестных величии две, а уравнение статики можно составить лишь одно и, следовательно, задача статически неопределима.

Составим второе уравнение, т. е. уравнение перемещений. При этом учтем, что угол поворота сечения Задачи на кручение одинаков как по отношению к левому, так и к правому концу

Задачи на кручение

где

Задачи на кручение

После подстановки значений Задачи на кручение получим

Задачи на кручение

Решая совместно уравнения (1) и (2), найдем

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

Взяв произвольное поперечное сечение на расстоянии Задачи на кручение от левой опоры, найдем, что крутящий момент в этом сечении

Задачи на кручение

В произвольном поперечном -сечении вала на расстоянии Задачи на кручение от левой опоры крутящий момент

Задачи на кручение

Эпюра крутящих моментов показана на рис. 93, б. Диаметр бруса определим по наибольшему крутящему моменту из формулы

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

Пример решения задачи 94.

Стальной валик и дюралевая трубка жестко заделаны на одном конце, а на другом скреплены с диском, к которому приложен скручивающий момент Задачи на кручение (рис. 94). Определить (в долях Задачи на кручение) крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях трубки и валика.

Модули сдвига: стали Задачи на кручение дюраля Задачи на кручение

Решение:

В поперечных сечениях валика возникает крутящий момент Задачи на кручение а трубки — Задачи на кручение Сумма этих Задачи на кручение моментов равна скручивающему моменту, приложенному к диску.

Задачи на кручение

Задача статически неопределима, так как уравнение статики можно составить только одно, а неизвестных моментов два.

Угол поворота диска, к которому приложен -скручивающий момент, равен углу закручивания валика. Точно так же можно утверждать, что угол поворота диска равен углу закручивания трубки. Следовательно, углы закручивания валика и трубки одинаковы:

Задачи на кручение

Используя формулу для угла закручивания, получаем

Задачи на кручение

или

Задачи на кручение

где

Задачи на кручение

После несложных преобразований получаем

Задачи на кручение

или

Задачи на кручение

Используя уравнение статики, получаемм

Задачи на кручение

откуда

Задачи на кручение

и

Задачи на кручение

Кручение стержней прямоугольного поперечного сечения

Задачу об определении касательных-напряжений при кручении стержней 'прямоугольного поперечного сечения Методами сопротивления материалов решить нельзя. Это связано с тем, что в данном случае 'первоначально плоские поперечные сечения искривляются, как это видно из рис. 95, а. По степени перекашивания сетки квадратиков, нанесенных на боковых гранях стержня, можно судить о величине касательных напряжений в различных точках. Квадратики, лежащие у ребер стержня, не перекашиваются — в этом месте касательные напряжения равны нулю. Наибольшее искажение квадратиков возникает в средних точках -боковых граней бруса— здесь касательные напряжения достигают своего наибольшего значения. На рис. 95, б представлено поперечное сечение бруса. Наибольшие касательные напряжения возникают в точках Задачи на кручение т. е. в серединах 'длинных-сторон прямоугольника. Величина этих 'напряжений определяется по формуле

Задачи на кручение

где Задачи на кручение — соответственно меньшая и большая «стороны поперечного сечения; Задачи на кручение —числовой коэффициент, зависящий от отношения Задачи на кручение Задачи на кручение

Величины этого коэффициента приведены в табл. 5.

Таблица 5 Задачи на кручение

Наибольшее .напряжение Задачи на кручение в середине малой стороны поперечного сечения определяют-по формуле

Задачи на кручение

где Задачи на кручение — табличная величина, зависящая также от отношения Задачи на кручение (см. табл. 5).

Угол закручивания

Задачи на кручение

где Задачи на кручение —численный коэффициент, зависящий от отношения Задачи на кручение (см. табл. 5), а величина Задачи на кручение — геометрическая характеристика крутильной жесткости для бруса прямоугольного сечения.

Пример решения задачи 95.

Определить максимальное напряжение, возникающее в поперечном сечении стального стержня и его угол закручивания. Поперечное сечение — прямоугольник со сторонами Задачи на кручение и Задачи на кручение скручивающий момент Задачи на кручение Длина стержня Задачи на кручениеЗадачи на кручение

Решение:

Выбор коэффициентов Задачи на кручение производим по отношению

Задачи на кручение

Такого значения Задачи на кручение в табл. 5 нет. Поэтому определим а интерполированием по значениям, соответствующим Задачи на кручение

Задачи на кручение

После этого определим Задачи на кручение по формуле Задачи на кручение

Угол закручивания

Задачи на кручение

Значение коэффициента (Задачи на кручение определим интерполированием по значениям Задачи на кручение при Задачи на кручение

Задачи на кручение

Пример решения задачи 96.

Определить размеры прямоугольного сечения стержня с отношением сторон Задачи на кручение -нагруженного моментомЗадачи на кручение Допускаемое напряжение Задачи на кручение допускаемый относительный угол закручивания Задачи на кручение

Решение:

Из условия прочности

Задачи на кручение найдем

Задачи на кручение

где Задачи на кручение (взято из табл. 5).

Но Задачи на кручение откуда

Задачи на кручение

Найдем значения Задачи на кручение из условия жесткости:

Задачи на кручение откуда

Задачи на кручение

-где Задачи на кручение (взято по табл. 5), Задачи на кручение подставлено Задачи на кручение Учитывая, что Задачи на кручение имеем

Задачи на кручение

Из последнего выражения

Задачи на кручение Тогда Задачи на кручение

Принимаем размеры, полученные из условия жесткости.