Задачи на косой изгиб
Содержание:
Определение 6.1. Пусть Тогда косым изгибом балки называется такой поперечный изгиб, при котором отличны от нуля оба изгибающих момента:
Если прямой изгиб является частным случаем поперечного, то косой изгиб — комбинация прямых изгибов в плоскостях и есть общий вариант поперечного изгиба. Название этого вида деформации связано с тем, что в общем случае деформированная ось бруса является пространственной кривой.
Вариант равенства в определении исключается, так как в этом случае любая центральная система координат является главной (см. утверждение 3.8). И, следовательно, одну из осей всегда можно совместить с вектором изгибающего момента В результате придем к прямому поперечному изгибу (см. гл.5).
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:
Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением |
В соответствии с принципом суперпозиции (см. утверждение П.2) напряжения при косом изгибе находятся как сумма напряжений от соответствующих прямых изгибов. В частности, для нормальных напряжений в соответствии с формулой в (5.6) имеем где — напряжения, вызванные моментами
Из формулы (6.2) и определения 5.4 вытекают следующие выводы.
Утверждение 6.1.
1. Нейтральная линия является проходящей через центр тяжести прямой (рис. 6.1)
Причем она коллинеарпа вектору только при условии равенства моментов инерции: (это соответствует прямому поперечному изгибу).
2. На прямых, параллельных нейтральной линии, напряжения постоянны.
3. Нормальные напряжения принимают максимальное и минимальное значения в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии.
Второй пункт этого утверждения позволяет строить на прямой, перпендикулярной нейтральной линии (см. рисунок), а третий — выбирать как это делается при прямом изгибе (см. § 5.2).
Касательные напряжения вычисляются аналогично (6.2). Однако здесь должно проводиться суммирование соответствующих векторов:
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Также в векторном смысле должны складываться прогибы и вызванные моментами
- Оказывается, что при выполнении некоторых условий упругая линия балки и при косом изгибе может быть плоской.
Утверждение 6.2. Если угловой коэффициент уравнения нейтральной линии не зависит от продольной координаты:
то упругая линия является плоской.
Пример решения задачи 6.1.
Построить эпюру нормальных напряжений и определить максимальные растягивающее и сжимающее напряжения для сечения, изображенного на рис. 6.2.
- Решение:
Находим геометрические характеристики сечения. Сначала определяем положение главных центральных осей. Для этого используем вспомогательную систему координат (см. рисунок). Поскольку — ось симметрии, то она и является главной центральной осью (см. утверждение 3.4), и центр тяжести имеет координаты Рассматривая сечение как внешний квадрат с выброшенным треугольником определяем координату с помощью формул в (3.6):
где — площади внешнего квадрата, квадрата и треугольника
Система координат — главная центральная. Переходим к вычислению моментов инерции относительно ее осей. При этом используем указанные выше разбиение сечения и индексы, соответствующие его частям.
Прежде всего, отметим, что для квадратов любые центральные оси являются главными, и моменты инерции относительно них равны между собой (см. утверждение 3.8). Следовательно (см. табл. П.З),
Тогда главные моменты инерции сечения удобнее всего вычислить следующим образом:
Определяя проекции изгибающего момента на оси координат
найдем уравнение нейтральной линии (см. (6.3)): Наибольшие растягивающее и сжимающее напряжения имеют место соответственно в точках с координатами (см. рисунок)
и с учетом формулы (6.2) определяются следующим образом:
Эпюра нормальных напряжений для данного сечения приведена на рис. 6.2.
Второй вариант сочетания простейших видов деформаций стержня — комбинация изгиба и растя жен и я-сжатия, т.е. в этом случае кроме изгибающих моментов (условие (6.1)) отлична от нуля еще и нормальная сила:
Одним из способов реализации такого напряженного состояния является нагружение балки, указанное на рис. 6.3 а.
Определение 6.2. Внецснтреиным растяжением-сжатием прямого стержня называется его деформация, вызванная внешними силами, линии действия которых параллельны оси стержня, а их точки приложения — полюсы — не совпадают с центром тяжести сечения (см. рис. 6.36).
Внецентренное растяжение сжатие есть совокупность косого изгиба и растяжения сжатия. Действительно, рассматривая в силу принципа суперпозиции (см. утверждение П.2) только одну внешнюю силу получим, что в поперечном сечении стержня имеют место следующие отличные от нуля внутренние силовые факторы:
Нормальные напряжения, в силу принципа суперпозиции и формул (1.5), (6.2), определяются следующим образом:
где — напряжения, вызванные нормальной силой
Утверждение 6.3.
1. Нейтральная линия является не проходящей через центр тяжести прямой Причем она коллинсарна вектору только при условии равенства моментов инерции: (это соответствует комбинации прямого поперечного изгиба и растяжения сжатия).
2. На прямых, параллельных нейтральной линии, напряжения постоянны.
3. Нормальные напряжения принимают максимальное и минимальное значения в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии.
Построение и выбор проводится так же, как и при косом изгибе (см. § 6.1).
Уравнение нейтральной линии также может быть записано в виде
где — радиусы инерции сечения (см. (3.4)).
В некоторых случаях (например, для балок, плохо работающих на растягивающие напряжения) важным является следующее понятие. Определение 6.3. Множество называется ядром сечения если любая точка является полюсом с нейтральной линией, либо лежащей вне либо имеющей общие точки только с ее границей
Очевидно, если полюс принадлежит ядру, то нормальные напряжения в сечении имеют один и тот же знак.
При решении задач на отыскание ядра сечения находится его граница как множество полюсов, которым соответствуют нейтральные линии, пересекающие границу сечения только в одной точке, либо касающиеся ее. При этом центр тяжести сечения обязательно является внут-Рис. 6.4 ренней точкой ядра, поскольку,
как следует из уравнений (6.10) или (6.11), при стремлении к нему полюса нейтральная линия переходит в бесконечность. На рис. 6.4 в качестве примера указаны две граничные точки ядра с нейтральными линиями
Пример решения задачи 6.2.
Определить положение нейтральной линии, построить эпюру нормальных напряжений и найти напряжение, действующее в точке приложения силы для сечения, изображенного на рис. 6.5.
- Решение:
Находим геометрические характеристики сечения. Его разбиение на два прямоугольника и их нумерация указаны на рисунке. Сначала определяем положение главных центральных осей. Для этого используем вспомогательную систему координат (см. рисунок, средняя линия второго прямоугольника, которая является его главной центральной осыо). Поскольку ось симметрии, то она и является главной центральной осью (см. утверждение 3.4), и центр тяжести имеет координаты Его вторую координату определяем с помощью формул в (3.6): Система координат — главная центральная. Находим главные моменты инерции и квадраты радиусов инерции (см. табл. П.З):
Определяем координаты точки приложения силы:
Уравнение нейтральной линии имеет вид (см. (6.11))
что эквивалентно следующему равенству:
Нормальное напряжение в точке приложения силы определяем по формуле (6.9):
Эпюра нормальных напряжений для данного сечения в случае растягивающего усилия приведена на рис. 6.5.
Пример решения задачи 6.3.
Определить ядро сечения, изображенного на рис. 6.6.
- Решение:
Находим геометрические характеристики сечения, разбивая его на квадрат и треугольник (см. рисунок).
Сначала определяем положение главных центральных осей. Для этого используем вспомогательную систему координат — средняя линия квадрата). Поскольку — ось симметрии, то она — главная центральная, и центр тяжести имеет координаты Его первую координату определяем с помощью формул в (3.6):
Здесь — площади квадрата и треугольника.
Система координат — главная центральная. Вычисляем главные моменты инерции (в первом случае учитываем симметрию сечения и разбиваем треугольник на два) и квадраты радиусов инерции (см. табл. П.З): Записываем уравнение нейтральной линии (см. (6.11)):
В соответствии с определением 6.3 для полюсов, лежащих на границе ядра, в данном случае соответствующие нейтральные линии должны проходить через угловые точки сечения. Так как сечение симметрично относительно оси то достаточно рассмотреть точки лежащие слева от нее. Они имеют следующие координаты:
Подставляя их в качестве координат в уравнение нейтральной линии, получаем уравнения прямых, задающих правую часть границы ядра (здесь — текущие координаты):
После соответствующих преобразований получаем
Эти прямые ограничивают правую часть ядра сечения, а его левая часть симметрична правой относительно оси Целиком ядро изображено на рис. 6.6.