Задачи на косой изгиб

Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения

Определение 6.1. Пусть Задачи на косой изгиб Тогда косым изгибом балки называется такой поперечный изгиб, при котором отличны от нуля оба изгибающих момента:

Задачи на косой изгиб

Если прямой изгиб является частным случаем поперечного, то косой изгиб — комбинация прямых изгибов в плоскостях Задачи на косой изгиб и есть общий вариант поперечного изгиба. Название этого вида деформации связано с тем, что в общем случае деформированная ось бруса является пространственной кривой.

Вариант равенства Задачи на косой изгиб в определении исключается, так как в этом случае любая центральная система координат является главной (см. утверждение 3.8). И, следовательно, одну из осей всегда можно совместить с вектором изгибающего момента Задачи на косой изгибЗадачи на косой изгиб В результате придем к прямому поперечному изгибу (см. гл.5).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

В соответствии с принципом суперпозиции (см. утверждение П.2) напряжения при косом изгибе находятся как сумма напряжений от соответствующих прямых изгибов. В частности, для нормальных напряжений в соответствии с формулой в (5.6) имеем
Задачи на косой изгиб
где Задачи на косой изгиб — напряжения, вызванные моментами Задачи на косой изгиб

Из формулы (6.2) и определения 5.4 вытекают следующие выводы.

Утверждение 6.1.

1. Нейтральная линия является проходящей через центр тяжести прямой (рис. 6.1)
Задачи на косой изгиб

Причем она коллинеарпа вектору Задачи на косой изгиб только при условии равенства моментов инерции: Задачи на косой изгиб (это соответствует прямому поперечному изгибу).

2. На прямых, параллельных нейтральной линии, напряжения постоянны.

3. Нормальные напряжения принимают максимальное и минимальное значения в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии.

Второй пункт этого утверждения позволяет строить Задачи на косой изгиб на прямой, перпендикулярной нейтральной линии (см. рисунок), а третий — выбирать Задачи на косой изгиб как это делается при прямом изгибе (см. § 5.2).

Касательные напряжения вычисляются аналогично (6.2). Однако здесь должно проводиться суммирование соответствующих векторов:

Задачи на косой изгиб

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Метод сил: определение и расчёт

Задачи на изгиб по сопромату примеры и решения

Поперечный изгиб решение задач по сопромату

Плоский изгиб решение задач по сопромату

Также в векторном смысле должны складываться прогибы Задачи на косой изгиб и Задачи на косой изгиб вызванные моментами Задачи на косой изгиб

Задачи на косой изгиб

  • Оказывается, что при выполнении некоторых условий упругая линия балки и при косом изгибе может быть плоской.

Утверждение 6.2. Если угловой коэффициент уравнения нейтральной линии Задачи на косой изгиб не зависит от продольной координаты:

Задачи на косой изгиб

то упругая линия является плоской.

Пример решения задачи 6.1.

Построить эпюру нормальных напряжений и определить максимальные растягивающее и сжимающее напряжения для сечения, изображенного на рис. 6.2.

  • Решение:

Находим геометрические характеристики сечения. Сначала определяем положение главных центральных осей. Для этого используем вспомогательную систему координат Задачи на косой изгиб (см. рисунок). Поскольку Задачи на косой изгиб — ось симметрии, то она и является главной центральной осью (см. утверждение 3.4), и центр тяжести Задачи на косой изгиб имеет координаты Задачи на косой изгиб Рассматривая сечение как внешний квадрат с выброшенным треугольником Задачи на косой изгиб определяем координату Задачи на косой изгиб с помощью формул в (3.6):

Задачи на косой изгиб

где Задачи на косой изгиб — площади внешнего квадрата, квадрата Задачи на косой изгиб и треугольника Задачи на косой изгиб

Система координат Задачи на косой изгиб — главная центральная. Переходим к вычислению моментов инерции относительно ее осей. При этом используем указанные выше разбиение сечения и индексы, соответствующие его частям.

Прежде всего, отметим, что для квадратов любые центральные оси являются главными, и моменты инерции относительно них равны между собой (см. утверждение 3.8). Следовательно (см. табл. П.З),

Задачи на косой изгиб
Тогда главные моменты инерции сечения удобнее всего вычислить следующим образом:

Задачи на косой изгиб
Определяя проекции изгибающего момента на оси координат

Задачи на косой изгиб
найдем уравнение нейтральной линии (см. (6.3)):
Задачи на косой изгиб
Наибольшие растягивающее и сжимающее напряжения имеют место соответственно в точках Задачи на косой изгиб с координатами (см. рисунок)

Задачи на косой изгиб

и с учетом формулы (6.2) определяются следующим образом:

Задачи на косой изгиб
Эпюра нормальных напряжений для данного сечения приведена на рис. 6.2.

Второй вариант сочетания простейших видов деформаций стержня — комбинация изгиба и растя жен и я-сжатия, т.е. в этом случае кроме изгибающих моментов (условие (6.1)) отлична от нуля еще и нормальная сила:

Задачи на косой изгиб

Одним из способов реализации такого напряженного состояния является нагружение балки, указанное на рис. 6.3 а.

Задачи на косой изгиб

Определение 6.2. Внецснтреиным растяжением-сжатием прямого стержня называется его деформация, вызванная внешними силами, линии действия которых параллельны оси стержня, а их точки приложения Задачи на косой изгиб — полюсы — не совпадают с центром тяжести Задачи на косой изгиб сечения (см. рис. 6.36).

Внецентренное растяжение сжатие есть совокупность косого изгиба и растяжения сжатия. Действительно, рассматривая в силу принципа суперпозиции (см. утверждение П.2) только одну внешнюю силу Задачи на косой изгиб получим, что в поперечном сечении стержня имеют место следующие отличные от нуля внутренние силовые факторы:
Задачи на косой изгиб

Нормальные напряжения, в силу принципа суперпозиции и формул (1.5), (6.2), определяются следующим образом:

Задачи на косой изгиб

где Задачи на косой изгиб — напряжения, вызванные нормальной силой Задачи на косой изгиб

Утверждение 6.3.

1. Нейтральная линия является не проходящей через центр тяжести прямой
Задачи на косой изгиб
Причем она коллинсарна вектору Задачи на косой изгиб только при условии равенства моментов инерции: Задачи на косой изгиб (это соответствует комбинации прямого поперечного изгиба и растяжения сжатия).

2. На прямых, параллельных нейтральной линии, напряжения постоянны.

3. Нормальные напряжения принимают максимальное и минимальное значения в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной линии.

Построение Задачи на косой изгиб и выбор Задачи на косой изгиб проводится так же, как и при косом изгибе (см. § 6.1).

Уравнение нейтральной линии также может быть записано в виде
Задачи на косой изгиб

где Задачи на косой изгиб — радиусы инерции сечения (см. (3.4)).

В некоторых случаях (например, для балок, плохо работающих на растягивающие напряжения) важным является следующее понятие.
Определение 6.3. Множество Задачи на косой изгиб называется ядром сечения Задачи на косой изгиб если любая точка Задачи на косой изгиб является полюсом с нейтральной линией, либо лежащей вне Задачи на косой изгиб либо имеющей общие точки только с ее границей Задачи на косой изгиб

Очевидно, если полюс принадлежит ядру, то нормальные напряжения в сечении имеют один и тот же знак.

При решении задач на отыскание ядра сечения находится его граница Задачи на косой изгиб как множество полюсов, которым соответствуют нейтральные линии, пересекающие границу Задачи на косой изгиб сечения только в одной точке, либо касающиеся ее. При этом центр тяжести сечения обязательно является внут-Рис. 6.4 ренней точкой ядра, поскольку,

как следует из уравнений (6.10) или (6.11), при стремлении к нему полюса нейтральная линия переходит в бесконечность. На рис. 6.4 в качестве примера указаны две граничные точки ядра Задачи на косой изгиб с нейтральными линиями Задачи на косой изгиб

Пример решения задачи 6.2.

Определить положение нейтральной линии, построить эпюру нормальных напряжений и найти напряжение, действующее в точке приложения силы для сечения, изображенного на рис. 6.5.
Задачи на косой изгиб

  • Решение:

Находим геометрические характеристики сечения. Его разбиение на два прямоугольника и их нумерация указаны на рисунке.
Сначала определяем положение главных центральных осей. Для этого используем вспомогательную систему координат Задачи на косой изгиб (см. рисунок, Задачи на косой изгиб средняя линия второго прямоугольника, которая является его главной центральной осыо). Поскольку Задачи на косой изгиб ось симметрии, то она и является главной центральной осью (см. утверждение 3.4), и центр тяжести Задачи на косой изгиб имеет координаты Задачи на косой изгиб Его вторую координату определяем с помощью формул в (3.6):
Задачи на косой изгиб
Система координат Задачи на косой изгиб — главная центральная. Находим главные моменты инерции и квадраты радиусов инерции (см. табл. П.З):

Задачи на косой изгиб

Определяем координаты точки приложения силы:

Задачи на косой изгиб

Уравнение нейтральной линии имеет вид (см. (6.11))

Задачи на косой изгиб

что эквивалентно следующему равенству:

Задачи на косой изгиб

Нормальное напряжение в точке приложения силы определяем по формуле (6.9):

Задачи на косой изгиб

Эпюра нормальных напряжений для данного сечения в случае растягивающего усилия Задачи на косой изгиб приведена на рис. 6.5.

Пример решения задачи 6.3.

Определить ядро сечения, изображенного на рис. 6.6.

Задачи на косой изгиб

  • Решение:

Находим геометрические характеристики сечения, разбивая его на квадрат и треугольник (см. рисунок).

Сначала определяем положение главных центральных осей. Для этого используем вспомогательную систему координат Задачи на косой изгиб — средняя линия квадрата). Поскольку Задачи на косой изгиб — ось симметрии, то она — главная центральная, и центр тяжести Задачи на косой изгиб имеет координаты Задачи на косой изгиб Его первую координату определяем с помощью формул в (3.6):

Задачи на косой изгиб

Здесь Задачи на косой изгиб — площади квадрата и треугольника.

Система координат Задачи на косой изгиб — главная центральная. Вычисляем главные моменты инерции Задачи на косой изгиб (в первом случае учитываем симметрию сечения и разбиваем треугольник на два) и квадраты радиусов инерции (см. табл. П.З):
Задачи на косой изгиб
Записываем уравнение нейтральной линии (см. (6.11)):

Задачи на косой изгиб

В соответствии с определением 6.3 для полюсов, лежащих на границе Задачи на косой изгиб ядра, в данном случае соответствующие нейтральные линии должны проходить через угловые точки сечения. Так как сечение симметрично относительно оси Задачи на косой изгиб то достаточно рассмотреть точки Задачи на косой изгиб лежащие слева от нее. Они имеют следующие координаты:

Задачи на косой изгиб

Подставляя их в качестве координат Задачи на косой изгиб в уравнение нейтральной линии, получаем уравнения прямых, задающих правую часть границы ядра (здесь Задачи на косой изгиб — текущие координаты):

Задачи на косой изгиб
После соответствующих преобразований получаем

Задачи на косой изгиб

Эти прямые ограничивают правую часть ядра сечения, а его левая часть симметрична правой относительно оси Задачи на косой изгиб Целиком ядро изображено на рис. 6.6.