Задачи на изгиб

Содержание:

  1. Алгоритм расчета на прочность при продольно-поперечном изгибе заключается в следующем.
  2. Пример решения задачи 11.1.
  3. Пример решения задачи 11.2.
  4. Пример решения задачи 11.3.

Определение 11.1. Продольно-поперечным изгибом стержня (балки) называется такой изгиб, при котором продольные силы оказывают влияние на упругую линию, и напряжения Задачи на изгиб в любом его поперечном сечении распределены так, что векторы внутренних силовых имеют вид

Задачи на изгиб

Справедливы условия, аналогичные приведенным в утверждении 5.1.

Утверждение 11.1 (условия продольно-поперечного изгиба). Необходимым условием продольно-поперечного изгиба балки при силовом нагружении является следующий вид векторов внешних сосредоточенных и распределенных сил и моментов:

Задачи на изгиб

Изгиб стержня под действием продольной силы также рассматривается в рамках внецентренного растяжения сжатия. Однако там полагается, что изгибающие моменты не зависят от продольных сил.

Далее в рамках определения 5.3 будем рассматривать только прямой продольно-поперечный изгиб в плоскости Задачи на изгиб полагая, что оси системы координат Задачи на изгиб являются главными центральными для любого поперечного сечения.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

Пусть на стержень кроме нагрузок, обеспечивающих прямой поперечный изгиб, действуют в положительном направлении оси Задачи на изгиб продольные погонная нагрузка Задачи на изгиб и сосредоточенная сила Задачи на изгиб приложенная в точке с координатой Задачи на изгиб Эта продольная нагрузка для недеформированного состояния приведена на рис. 11.1 а (здесь опоры не указаны). Она, очевидно, соответствуст сжимающему продольному усилию.

Задачи на изгиб

Если при деформации направление внешних сил не меняется, то полный изгибающий

момент имеет вид, рис. 11.1 б:

Задачи на изгиб Задачи на изгиб где Задачи на изгиб — изгибающие моменты от поперечной и продольной нагрузок, Задачи на изгиб — ордината точки приложения силы Задачи на изгиб в деформированном состоянии, а Задачи на изгиб — единичная функция Хевисайда, определяемая так: Задачи на изгиб

Формула для Задачи на изгиб очевидным образом может быть обобщена на случай конечного числа сосредоточенных сил. Кроме того, возможен такой вариант продольной нагрузки, когда ее направление в деформированном состоянии зависит от угла поворота Задачи на изгиб поперечного сечения (рис. 11.2):

Задачи на изгиб

При Задачи на изгиб нагрузка называется следящей. Формулы (11.3) соответствуют Задачи на изгиб Далее везде ограничимся этим вариантом.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Расчётная схема: определение и пример с решением

Метод сил: определение и расчёт

Задачи на косой изгиб по сопромату примеры и решения

Поперечный изгиб решение задач по сопромату

Подстановка равенств (11.3) в уравнения (5.15) или (5.20) приводит к уравнению упругой линии при продольно-поперечном изгибе, к которым должны быть добавлены соответствующие граничные условия (5.24) (5.26).

Далее будем рассматривать только линейный вариант, полагая, как правило, что погонная продольная нагрузка отсутствует Задачи на изгиб а единственная сосредоточенная сила приложена на конце стержня:

Задачи на изгиб

Уравнение (11.5) аналогично (5.22) и (5.23) может быть также представлено так:

Задачи на изгиб

Как правило, при решении задач применяются следующие формы уравнений, вытекающие из (11.5) и (11.7) при учете (5.20):

Задачи на изгиб

где верхний знак соответствует сжимающим Задачи на изгиб а нижний растягивающим усилиям Задачи на изгиб

Отметим, что (11.5), (11.6) и первое уравнение в (11.8) могут использоваться только в СО задачах, а второе уравнение в (11.8) — в задачах с силовыми граничными условиями (5.24).

Таким образом первый шаг при исследовании продольно-поперечного изгиба заключается в определении упругой линии с помощью решения соответствующих краевых задач (см. также § 5.2). При некоторых значениях продольных сил (они совпадают с критическими силами, определенными в §11.2) эти решения обращаются в бесконечность, что связано с линеаризацией уравнений.

Если использовать нелинейные уравнения типа (5.14), то в окрестностях указанных значений сил прогибы будут большими, но конечными. Однако эти вопросы обычно в сопротивлении материалов не рассматриваются.

Подход, связанный с решением краевых задач, при переменных характеристиках стержня и разрывной нагрузке становится достаточно сложным. Приближенный способ определения упругой линии, позволяющий избежать решения краевой задачи.

Алгоритм расчета на прочность при продольно-поперечном изгибе заключается в следующем.

1. Вычисляется полный изгибающий момент Задачи на изгиб если это возможно, по решению краевой задачи для второго уравнения в (11.8), либо по найденной упругой линии с помощью соотношений (11.3).

В первом случае используются указанные в (5.27) в скобках силовые условия стыковки участков:

Задачи на изгиб

где Задачи на изгиб — внешние сосредоточенные момент и сила в сечении Задачи на изгиб

2. Проводится расчет на прочность так же, как и при внецен-тренном растяжении сжатии (см. § 5.2). При этом нормальные напряжения в сечении вычисляются по вытекающей из (6.9) формуле:

Задачи на изгиб

Однако проектировочный расчет здесь осложняется тем, что упругая линия как решение краевой задачи и, соответственно, Задачи на изгиб и нормальные напряжения зависят от геометрических параметров сечения сложным нелинейным образом.

Поэтому обычно ограничиваются поверочным расчетом (определяют запас прочности Задачи на изгиб см. определение П.18). При этом возможны три варианта расчетов: а) считается неизменной продольная нагрузка; б) полагается фиксированной поперечная нагрузка; в) поперечная и продольная нагрузки изменяются пропорционально. В последних двух вариантах задача сводится к уравнению типа Задачи на изгиб которое, как правило, является сложным нелинейным и решается с использованием какого-либо численного метода.

Пример решения задачи 11.1.

Для балки постоянной жесткости, изображенной на рис. 11.3, определить полный изгибающий момент

и упругую линию.

  • Решение:

Нумерация характерных сечений балки указана на рисунке.

Поскольку в данном случае раничные условия являются силовыми (см. (5.24)):

Задачи на изгиб

то для решения используем второе дифференциальное уравнение в (11.8), где следует положить Задачи на изгиб Его общие решения для участков 1-2 и 2-3 имеют вид

Задачи на изгиб

Константы Задачи на изгиб определяются из указанных выше граничных условий и условий стыковки участков (см. (11.9), на обоих участках использована одна и та же система координат):

Задачи на изгиб

Тогда приходим к системе линейных алгебраических уравнений

Задачи на изгиб

решение которой таково:

Задачи на изгиб

Следовательно, изгибающие моменты на каждом участке определяются выражениями:

Задачи на изгиб

Далее, вычисляя изгибающие моменты от продольной нагрузки

Задачи на изгиб

с помощью уравнения (11.5)по участкам находим упругую линию балки Задачи на изгиб Задачи на изгиб

Пример решения задачи 11.2.

Для балки постоянной жесткости, изображенной на рис. 11.4, определить полный изгибающий момент и упругую линию. Поперечная сила Задачи на изгиб приложена в середине балки Задачи на изгиб

  • Решение:

Нумерация характерных сечений балки указана на рисунке. Решение задачи с использованием кинематических граничных условий (см. (5.25)):

Задачи на изгиб

приводит к громоздким уравнениям, поэтому воспользуемся симметрией задачи и рассмотрим участок 1-2. Для решения используем дифференциальное уравнение в форме (11.7), где следует положить Задачи на изгиб Его общее решение для рассматриваемого участка имеет вид

Задачи на изгиб

Константы Задачи на изгиб определяются из следующих граничных условий:

Задачи на изгиб

Тогда приходим к системе линейных алгебраических уравнений

Задачи на изгиб

Решая ее, получаем

Задачи на изгиб

Тогда изгибающие моменты и прогибы на участке определяются выражениями:

Задачи на изгиб

Пример решения задачи 11.3.

Выполнить поверочный расчет на прочность изображенной на рис. 11.3 балки прямоугольного поперечного сечения с основанием Задачи на изгиб и высотой Задачи на изгиб считая, что продольная сила остается постоянной. В расчетах принять: Задачи на изгибЗадачи на изгиб

  • Решение:

Вычисляем площадь, момент инерции и момент сопротивления изгибу сечения балки (см. табл. П.б):

Задачи на изгиб

Находим параметры Задачи на изгиб (см. (11.8)), Задачи на изгиб

Задачи на изгиб

и с учетом результатов примера определяем изгибающие моменты:

Задачи на изгиб

Исследуя эти функции, убеждаемся, что изгибающий момент достигает наибольшего значения при Задачи на изгиб Задачи на изгиб Поскольку изгибающий момент пропорционален поперечной силе Задачи на изгиб а продольная сила но условию задачи считается неизменной, то уравнение для запаса прочности Задачи на изгиб (см. п. 2 алгоритма) является линейным Задачи на изгиб

Задачи на изгиб

Отсюда находим

Задачи на изгиб