Задачи на эпюры

Задачи на эпюры по сопромату построение примеры и решения

На рис. 1.1,а изображен брус, загруженный сосредоточенными силами Задачи на эпюры и равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью Задачи на эпюры Силу Задачи на эпюры надо определить из условия, что вся система внешних сил находится в равновесии. Требуется построить эпюру внутренних продольных сил Задачи на эпюры

Кроме общей системы координат всего стержня Задачи на эпюры для отдельных его участков введем местные системы Задачи на эпюрыЗадачи на эпюры в целях удобства записи уравнений. Найдем силу Задачи на эпюры

Задачи на эпюры

При определении внутренних сил используем метод сечений.

Участок 1. Сечением Задачи на эпюры положение которого определим координатой Задачи на эпюры разрежем стержень на две части и рассмотрим, как более простую, левую отсеченную часть (рис. 1.1,Ь).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:

Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением

В центре сечения Задачи на эпюры прикладываем неизвестную внутреннюю силу Задачи на эпюры которую считаем (предполагаем) положительной, то есть растягивающей и направленной от сечения Задачи на эпюры вправо. Она выражает взаимодействие левой и правой частей стержня, передаваемое через сечение Задачи на эпюры Величину и действительный знак Задачи на эпюры найдем из условия равновесия отсеченной части стержня:

Задачи на эпюры

Формула для Задачи на эпюры выражает уравнение прямой, которую строим по двум точкам:

Задачи на эпюры По этим точкам построена прямая на участке 1 (рис. 1.2). Аналогично поступаем с участками стержня 2 и 3.

Участок 2 (рис. 1.1,с) :

Задачи на эпюры

Участок эпюры Задачи на эпюры см. на рис. 1.2.

Задачи на эпюры

Задачи на эпюры

Участок 3. Рассмотрим, как более простую, правую отсеченную часть (рис. 1.1 ,d). По-прежнему считаем внутреннюю силу Задачи на эпюры то есть растягивающей и потому направленной от сечения.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Задачи на кручение по сопромату примеры и решения

Расчёт балки задачи по сопромату примеры и решения

Задачи с двутавром по сопромату примеры и решения

Метод мора примеры решения задач по сопромату

Поэтому вектор Задачи на эпюры приложенный к правой отсеченной части, будет направлен влево.

Задачи на эпюры

Функция Задачи на эпюры и на длине третьего участка изображается горизонтальной линией с ординатой Задачи на эпюры (рис. 1.2).

Окончательная эпюра продольной силы вместе со схемой стержня и его нагрузкой показана на рисунке 1.2.
Задачи на эпюры
В точке приложения внешней сосредоточенной силы Задачи на эпюры функция Задачи на эпюры имеет разрыв первого рода, обычно называемый «скачком». Ордината Задачи на эпюры относится к сечению, бесконечно близкому слева от точки приложения Задачи на эпюры а ордината Задачи на эпюры - справа. Абсолютное значение скачка будет Задачи на эпюры Численно оно равно внешней сосредоточенной силе Задачи на эпюры Аналогичный скачок Задачи на эпюры имеется и в точке приложения силы Задачи на эпюры По скачкам удобно делать качественную проверку правильности построенной эпюры.

Пример построение эпюры крутящих моментов

При построении эпюр внутренних моментов, возникающих от деформации кручения, будем придерживаться правила знаков, изображенного на рис.2.1. На этом рисунке показаны два возможных случая взаимодействия рассеченных частей скручиваемого стержня.

Момент считается положительным, если при взгляде на сечение с конца его внешней нормали Задачи на эпюры видим момент вращающим по
ходу часовой стрелки. Для отрицательного момента - он будет направлен против часовой стрелки.

Задачи на эпюры

В технике употребляется терминология « винт с правой нарезкой» или «...с левой нарезкой...», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент Задачи на эпюры а при свинчивании гайки - отрицательный.

На рис. 2.2 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу изображена суммарная эпюра Задачи на эпюры

В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3 - го участка.

Участок 3 (рис. 2.2, Ь). Неизвестный момент Задачи на эпюры прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части :

Задачи на эпюры

Участок 2 (рис. 2.2, Ь). Положение сечения фиксируем с помощью местной координаты Задачи на эпюры

Задачи на эпюры

Найдем реактивный момент в заделке Задачи на эпюры из условия равновесия всего стержня Задачи на эпюры это дает Задачи на эпюры

тм, что совпадает с Задачи на эпюры найденным на участке 1 по методу сечений. Этого конечно следовало ожидать, так как по существу реактивный момент - это внутреннее усилие, действующее в поперечно^ сечении, где соединены торец стержня и заделка.
Задачи на эпюры

Предварительные указания

Изгиб балок является более сложной деформацией, чем деформации центрального растяжения или сжатия и кручения, рассмотренные ранее в примерах 1 и 2. Даже при плоском изгибе (которым мы здесь ограничиваемся) в поперечных сечениях возникают не одно, а два внутренних усилия: поперечная сила Задачи на эпюры и изгибающий момент Задачи на эпюры

При построении и проверке правильности эпюр Задачи на эпюры важно учитывать так называемые дифференциальные зависимости, выражающие условия равновесия элемента стержня Задачи на эпюры Ниже приводятся правила знаков для Задачи на эпюры и Задачи на эпюры и упомянутые дифференциальные зависимости.

Правило знаков для Задачи на эпюры дано на рис. 3.1, а для Задачи на эпюры- на рис 3.2.
Задачи на эпюры

Поперечная сила положительна, если она стремится вращать элемент балки по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 3.1). При этом на эпюре ординаты Задачи на эпюры откладываются вверх, а отрицательные - вниз от оси Задачи на эпюры

Изгибающий момент будем считать положительным, если он создает такую кривизну элемента балки, что его выпуклость обращена вниз (при этом растянутыми оказываются нижние продольные волокна балки). Для отрицательного момента наоборот выпуклость вверх и удлинение верхних продольных волокон (рис. 3.2).

Особенность эпюры Задачи на эпюры состоит в том, что на графике ординаты Задачи на эпюры откладываются не вверх, а вниз от оси Задачи на эпюры а отрицательные - вверх (сравните эп. Задачи на эпюры на рис.3.1 и 3.2). Можно сказать, что ордината Задачи на эпюры при любом знаке момента всегда откладывается в сторону растянутых волокон. Говорят, что эпюра Задачи на эпюры строится всегда «на растянутых волокнах изгибаемого стержня».

  • Это последнее утверждение особенно полезно при построении эпюр в наклонных и вертикальных стержнях, чем будем пользоваться в дальнейших разделах курса.

Рассмотрим теперь дифференциальные зависимости, получаемые из рис.3.3. Вектор интенсивности распределенной нагрузки Задачи на эпюры если он ориентирован в положительном направлении оси Задачи на эпюры
Задачи на эпюры
Из условий Задачи на эпюры для элемента балки на рис. 3.3, можно получить:

Задачи на эпюры

Из (3.1) и (3.2) легко получить еще одно равенство:
Задачи на эпюры
Путем интегрирования (3.1) и (3.3) придем к следующим важным выводам.

Если на данном участке балки отсутствует распределенная нагрузка, т.е. Задачи на эпюры то Задачи на эпюры На таком участке эпюра Задачи на эпюры постоянна, а эпюра Задачи на эпюры - прямолинейная.

Если Задачи на эпюры то эпюра Задачи на эпюры прямолинейная, а Задачи на эпюрыЗадачи на эпюры изменяется по квадратной параболе.

При переменной распределенной нагрузке обе эпюры и Задачи на эпюры будут криволинейными.

С учетом сделанных указаний, перейдем к рассмотрению примера.

Пример построения эпюр Задачи на эпюры в консольной балке

Балка имеет два участка, для которых указаны местные системы координат Задачи на эпюры На первом участке в качестве отсеченной части будем рассматривать левую часть балки относительно линии разреза 1, а на втором - правую по отношению к сечению 2.

Участок 1. В сечении разреза 1 (рис.3.4,Задачи на эпюры надо приложить поперечную силу Задачи на эпюры и изгибающий момент Задачи на эпюры предполагая их направления положительными. Только в этом случае мы найдем эти внутренние усилия из уравнений равновесия правильными и по величине и по знаку. Для левой отсеченной части найдем

Задачи на эпюры

Полученные уравнения прямой для Задачи на эпюры и квадратной параболы для Задачи на эпюры иллюстрируют общие выводы, данные выше в указаниях. Прямую строим по крайним точкам: Задачи на эпюры Для момента в крайних точках получим Задачи на эпюры Нулевая точка в эпюре поперечных сил соответствует локальному экстремуму изгибающего момента в этой точке, что изображено на рис.3.4,с. Это следует из зависимости (3.2), а также из правила отыскания экстремума кривых, известного в аналитической геометрии.
dM, dz
Согласно этому правилу надо приравнять нулю первую производную, найти абсциссу Задачи на эпюры и вычислить Задачи на эпюры что для кривой Задачи на эпюры дает

Задачи на эпюры

Задачи на эпюры


Напомним геометрический смысл первой производной от некоторой функции: она равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в рассматриваемой точке. Так на эпюре Задачи на эпюры в произвольной точке Задачи на эпюры В точке экстремума касательная будет горизонтальной и Задачи на эпюры

Участок 2. Так как рассматриваем правую отсеченную часть, необходимо заранее вычислить реакции в заделке Задачи на эпюры Составляем условия равновесия всей балки и из них вычисляем реакции

Задачи на эпюры

Знаки минусы указывают на то, что фактические направления реакций противоположны указанным на рис.3.4,а. На рисунке 3.4,б на отсеченной части второго участка показаны их истинные направления, а числовые значения - без знаков минусов. Теперь найдем формулы для Задачи на эпюры

Задачи на эпюры

Задачи на эпюры

Для крайних точек имеем: Задачи на эпюрыОбщий вид эпюр поперечных сил Задачи на эпюры и изгибающих моментов Задачи на эпюры приведен на рис. 3.4,с. Качественная проверка по разрывам в эпюрах («по скачкам») показывает, что везде, где имеют место точки приложения сосредоточенных внешних сил (включая реакции) на эпюре Задачи на эпюры имеются соответствующие скачки. Сосредоточенные моменты дают скачки в эпюре Задачи на эпюры При этом скачки (разрывы) точно соответствуют значениям сил и моментов.

На участке, загруженном распределенной нагрузкой - эпюра Задачи на эпюры криволинейная, а на свободном от нее - линейная.

Пример эпюры внутренних сил в двухопорной балке

Рассмотрим балку, изображенную на рис. 4.1,а , где показана разбивка балки на участки и их нумерация. В состав внешней нагрузки, кроме указанной на схеме, входят и опорные реакции, которые надо предварительно определить из условий равновесия всей балки.

Определение опорных реакций. Реакции Задачи на эпюры находим из условий Задачи на эпюры а равенство нулю суммы проекций на вертикальную ось Задачи на эпюры используем как проверку.

Задачи на эпюры

Проверка Задачи на эпюры выполняется.

Задачи на эпюры
Последовательно составляем условия равновесия отсеченных частей балки (рис.4.1,б), откуда получаем формулы для внутренних усилий в балке Задачи на эпюры

Напомним, что к отсеченным частям искомые внутренние усилия прикладываем как заведомо положительные, в соответствии с принятым правилом знаков (смотрите Пример 3).

Участок 1 (рис.4.1,б) . Его представляет левая отсеченная часть балки:

Задачи на эпюры

Участок 2 (рис.4.1,б). Для левой отсеченной части имеем:

Задачи на эпюры

Задачи на эпюры выражает уравнение прямой, которую построим по крайним точкам:

Задачи на эпюры

Участок 3 (рис.4.1,Ь). Для левой отсеченной части найдем:

Задачи на эпюры

Прямую для Задачи на эпюры строим по точкам: Задачи на эпюры Задачи на эпюры Для момента квадратную параболу строим по крайним точкам Задачи на эпюры а также делаем вычисления для точки Задачи на эпюры где функция Задачи на эпюры имеет локальный экстремум. В этой точке первая производная от момента, равная поперечной силе, обращается в ноль, т.е. Задачи на эпюры Теперь находим Задачи на эпюрыЗадачи на эпюры

Участок 4 Задачи на эпюры Более просто рассмотреть правую отсеченную часть, для которой получим:

Задачи на эпюры

Для точек Задачи на эпюры найдём Задачи на эпюры

Полные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов вместе с нагрузкой на балку даны на рис 4.2. Для правильного изображения эпюры изгибающих моментов следует особое внимание обращать на точки сопряжения соседних участков. Так например, сопряжение 2-го и 3-го участков должно быть плавным, так как производная функции момента в этой точке не имеет разрыва.

Это видно по эпюре Задачи на эпюры , где нет скачка. Напротив, в точке Задачи на эпюры эпюра Задачи на эпюры имеет разрыв и на эпюре моментов это отражается в виде «перелома касательных». При этом острие перелома направлено в сторону действия силы Задачи на эпюры Подчеркнем, что получить правильное очертание эпюр можно, только тщательно соблюдая масштаб и ординат и длин участков при изображении эпюры.

Внизу рис. 4.2 дано качественное изображение кривой изгиба балки, построенное по эпюре моментов. Положительным моментам отвечает искривление выпуклостью вниз, а отрицательным - вверх. На границах их разделяют точки перегиба, где Задачи на эпюры
Задачи на эпюры