Задачи на эпюры
Содержание:
На рис. 1.1,а изображен брус, загруженный сосредоточенными силами и равномерно распределенной нагрузкой с интенсивностью Силу надо определить из условия, что вся система внешних сил находится в равновесии. Требуется построить эпюру внутренних продольных сил
Кроме общей системы координат всего стержня для отдельных его участков введем местные системы в целях удобства записи уравнений. Найдем силу
При определении внутренних сил используем метод сечений.
Участок 1. Сечением положение которого определим координатой разрежем стержень на две части и рассмотрим, как более простую, левую отсеченную часть (рис. 1.1,Ь).
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по сопротивлению материалов:
Предмет сопротивление материалов (сопромат): формулы и лекции и примеры заданий с решением |
В центре сечения прикладываем неизвестную внутреннюю силу которую считаем (предполагаем) положительной, то есть растягивающей и направленной от сечения вправо. Она выражает взаимодействие левой и правой частей стержня, передаваемое через сечение Величину и действительный знак найдем из условия равновесия отсеченной части стержня:
Формула для выражает уравнение прямой, которую строим по двум точкам:
По этим точкам построена прямая на участке 1 (рис. 1.2). Аналогично поступаем с участками стержня 2 и 3.
Участок 2 (рис. 1.1,с) :
Участок эпюры см. на рис. 1.2.
Участок 3. Рассмотрим, как более простую, правую отсеченную часть (рис. 1.1 ,d). По-прежнему считаем внутреннюю силу то есть растягивающей и потому направленной от сечения.
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Поэтому вектор приложенный к правой отсеченной части, будет направлен влево.
Функция и на длине третьего участка изображается горизонтальной линией с ординатой (рис. 1.2).
Окончательная эпюра продольной силы вместе со схемой стержня и его нагрузкой показана на рисунке 1.2. В точке приложения внешней сосредоточенной силы функция имеет разрыв первого рода, обычно называемый «скачком». Ордината относится к сечению, бесконечно близкому слева от точки приложения а ордината - справа. Абсолютное значение скачка будет Численно оно равно внешней сосредоточенной силе Аналогичный скачок имеется и в точке приложения силы По скачкам удобно делать качественную проверку правильности построенной эпюры.
Пример построение эпюры крутящих моментов
При построении эпюр внутренних моментов, возникающих от деформации кручения, будем придерживаться правила знаков, изображенного на рис.2.1. На этом рисунке показаны два возможных случая взаимодействия рассеченных частей скручиваемого стержня.
Момент считается положительным, если при взгляде на сечение с конца его внешней нормали видим момент вращающим по ходу часовой стрелки. Для отрицательного момента - он будет направлен против часовой стрелки.
В технике употребляется терминология « винт с правой нарезкой» или «...с левой нарезкой...», причем правый винт наиболее распространен, являясь стандартом. Полезно заметить, что при навинчивании гайки на правый винт мы прикладываем положительный момент а при свинчивании гайки - отрицательный.
На рис. 2.2 дан пример определения по методу сечений внутренних крутящих моментов по участкам и внизу изображена суммарная эпюра
В данном случае для консольного стержня вести вычисления удобно, идя справа налево, начав их с 3 - го участка.
Участок 3 (рис. 2.2, Ь). Неизвестный момент прикладываем к отсеченной части как положительный, после чего пишем условие равновесия отсеченной части :
Участок 2 (рис. 2.2, Ь). Положение сечения фиксируем с помощью местной координаты
Найдем реактивный момент в заделке из условия равновесия всего стержня это дает
тм, что совпадает с найденным на участке 1 по методу сечений. Этого конечно следовало ожидать, так как по существу реактивный момент - это внутреннее усилие, действующее в поперечно^ сечении, где соединены торец стержня и заделка.
Предварительные указания
Изгиб балок является более сложной деформацией, чем деформации центрального растяжения или сжатия и кручения, рассмотренные ранее в примерах 1 и 2. Даже при плоском изгибе (которым мы здесь ограничиваемся) в поперечных сечениях возникают не одно, а два внутренних усилия: поперечная сила и изгибающий момент
При построении и проверке правильности эпюр важно учитывать так называемые дифференциальные зависимости, выражающие условия равновесия элемента стержня Ниже приводятся правила знаков для и и упомянутые дифференциальные зависимости.
Правило знаков для дано на рис. 3.1, а для - на рис 3.2.
Поперечная сила положительна, если она стремится вращать элемент балки по ходу часовой стрелки, и наоборот (рис. 3.1). При этом на эпюре ординаты откладываются вверх, а отрицательные - вниз от оси
Изгибающий момент будем считать положительным, если он создает такую кривизну элемента балки, что его выпуклость обращена вниз (при этом растянутыми оказываются нижние продольные волокна балки). Для отрицательного момента наоборот выпуклость вверх и удлинение верхних продольных волокон (рис. 3.2).
Особенность эпюры состоит в том, что на графике ординаты откладываются не вверх, а вниз от оси а отрицательные - вверх (сравните эп. на рис.3.1 и 3.2). Можно сказать, что ордината при любом знаке момента всегда откладывается в сторону растянутых волокон. Говорят, что эпюра строится всегда «на растянутых волокнах изгибаемого стержня».
- Это последнее утверждение особенно полезно при построении эпюр в наклонных и вертикальных стержнях, чем будем пользоваться в дальнейших разделах курса.
Рассмотрим теперь дифференциальные зависимости, получаемые из рис.3.3. Вектор интенсивности распределенной нагрузки если он ориентирован в положительном направлении оси Из условий для элемента балки на рис. 3.3, можно получить:
Из (3.1) и (3.2) легко получить еще одно равенство: Путем интегрирования (3.1) и (3.3) придем к следующим важным выводам.
Если на данном участке балки отсутствует распределенная нагрузка, т.е. то На таком участке эпюра постоянна, а эпюра - прямолинейная.
Если то эпюра прямолинейная, а изменяется по квадратной параболе.
При переменной распределенной нагрузке обе эпюры и будут криволинейными.
С учетом сделанных указаний, перейдем к рассмотрению примера.
Пример построения эпюр в консольной балке
Балка имеет два участка, для которых указаны местные системы координат На первом участке в качестве отсеченной части будем рассматривать левую часть балки относительно линии разреза 1, а на втором - правую по отношению к сечению 2.
Участок 1. В сечении разреза 1 (рис.3.4, надо приложить поперечную силу и изгибающий момент предполагая их направления положительными. Только в этом случае мы найдем эти внутренние усилия из уравнений равновесия правильными и по величине и по знаку. Для левой отсеченной части найдем
Полученные уравнения прямой для и квадратной параболы для иллюстрируют общие выводы, данные выше в указаниях. Прямую строим по крайним точкам: Для момента в крайних точках получим Нулевая точка в эпюре поперечных сил соответствует локальному экстремуму изгибающего момента в этой точке, что изображено на рис.3.4,с. Это следует из зависимости (3.2), а также из правила отыскания экстремума кривых, известного в аналитической геометрии. dM, dz Согласно этому правилу надо приравнять нулю первую производную, найти абсциссу и вычислить что для кривой дает
Напомним геометрический смысл первой производной от некоторой функции: она равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в рассматриваемой точке. Так на эпюре в произвольной точке В точке экстремума касательная будет горизонтальной и
Участок 2. Так как рассматриваем правую отсеченную часть, необходимо заранее вычислить реакции в заделке Составляем условия равновесия всей балки и из них вычисляем реакции
Знаки минусы указывают на то, что фактические направления реакций противоположны указанным на рис.3.4,а. На рисунке 3.4,б на отсеченной части второго участка показаны их истинные направления, а числовые значения - без знаков минусов. Теперь найдем формулы для
Для крайних точек имеем: Общий вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов приведен на рис. 3.4,с. Качественная проверка по разрывам в эпюрах («по скачкам») показывает, что везде, где имеют место точки приложения сосредоточенных внешних сил (включая реакции) на эпюре имеются соответствующие скачки. Сосредоточенные моменты дают скачки в эпюре При этом скачки (разрывы) точно соответствуют значениям сил и моментов.
На участке, загруженном распределенной нагрузкой - эпюра криволинейная, а на свободном от нее - линейная.
Пример эпюры внутренних сил в двухопорной балке
Рассмотрим балку, изображенную на рис. 4.1,а , где показана разбивка балки на участки и их нумерация. В состав внешней нагрузки, кроме указанной на схеме, входят и опорные реакции, которые надо предварительно определить из условий равновесия всей балки.
Определение опорных реакций. Реакции находим из условий а равенство нулю суммы проекций на вертикальную ось используем как проверку.
Проверка выполняется.
Последовательно составляем условия равновесия отсеченных частей балки (рис.4.1,б), откуда получаем формулы для внутренних усилий в балке
Напомним, что к отсеченным частям искомые внутренние усилия прикладываем как заведомо положительные, в соответствии с принятым правилом знаков (смотрите Пример 3).
Участок 1 (рис.4.1,б) . Его представляет левая отсеченная часть балки:
Участок 2 (рис.4.1,б). Для левой отсеченной части имеем:
выражает уравнение прямой, которую построим по крайним точкам:
Участок 3 (рис.4.1,Ь). Для левой отсеченной части найдем:
Прямую для строим по точкам: Для момента квадратную параболу строим по крайним точкам а также делаем вычисления для точки где функция имеет локальный экстремум. В этой точке первая производная от момента, равная поперечной силе, обращается в ноль, т.е. Теперь находим
Участок 4 Более просто рассмотреть правую отсеченную часть, для которой получим:
Для точек найдём
Полные эпюры поперечных сил и изгибающих моментов вместе с нагрузкой на балку даны на рис 4.2. Для правильного изображения эпюры изгибающих моментов следует особое внимание обращать на точки сопряжения соседних участков. Так например, сопряжение 2-го и 3-го участков должно быть плавным, так как производная функции момента в этой точке не имеет разрыва.
Это видно по эпюре , где нет скачка. Напротив, в точке эпюра имеет разрыв и на эпюре моментов это отражается в виде «перелома касательных». При этом острие перелома направлено в сторону действия силы Подчеркнем, что получить правильное очертание эпюр можно, только тщательно соблюдая масштаб и ординат и длин участков при изображении эпюры.
Внизу рис. 4.2 дано качественное изображение кривой изгиба балки, построенное по эпюре моментов. Положительным моментам отвечает искривление выпуклостью вниз, а отрицательным - вверх. На границах их разделяют точки перегиба, где