Задача Коши для уравнения теплопроводности

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим однородное уравнение теплопроводности отвечающее случаю . отсутствию источников. Задача Коши ставится так: найти функцию t), удовлетворяющую уравнению и начальному условию Задача Коши для уравнения теплопроводности Физический смысл задачи состоит в определении температуры однородного бесконечного стержня в любой момент времени по известной его температуре в момент времени . Считается, что боковая поверхность стержня теплоизолирована, так что через нее тепло из стержня не уходит.

Предположи м, что достаточно гладкие функции, убываююте при х2 +t2 +00 настолько быстро, что сущ ествуют преобразования Фурье 2) законны операции дифференцирования Тогда, применяя преобразование Фурье к обеим частям уравнения (1) и условию (2), от задачи (1)-(2) перейдем к задаче Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (величина £ играет роль параметра). Решение задачи (5)-(6) имеет вид Ранее мы установили, что где преобразование Фурье функции .

Отсюда, полагая t = получаем Таким образом, в правой части равенства (7) стоит произведение преобразований Фурье функций Пользуясь теоремой о свертке, в силу которой равенство (7) можно представить в виде Левая часть формулы (8) есть преобразование Фурье (по аргументу х) искомой функции и(х, t) , так что формулу (8) можно переписать так: откуда, пользуясь выражением для свертки функций 4>(х) ие Л, имеем Полученная формула дает решение исходной задачи (1)-(2) и называется интегралом Пуассона.

В самом деле, можно доказать, что для любой непрерывной и ограниченной функции ip{x) функция u(x}t), определяемая формулой (9), имеет производные любого порядка по х и по t при t > 0 и удовлетворяет уравнению (1) при t > 0 и Vx. Покажем, что функция удовлетворяет начальному условию . Положим Тогда так что откуда при получим так как Сформулируем следующий важный результат. Теорема 1. В классе ограниченных функций решение задачи Кош и (1)-(2) единственно и непрерывно зависит от начальной функции. Пример.

Найти решение задачи Коши Задача Коши для уравнения теплопроводности А Пользуясь формулой Пуассона (9), получаем Прообразуем интеграл в правой чести.

Имеем Сделаем замену переменного Тогда интефал в правой части последнего равенства примет вид Из формулы (и) (Здесь мы воспольэов опись тем, что получаем, что / Таким образом, решение поставленной задачи о предел и тся формулой Лелю видеть, что построен ноя функция u(x,f) удовлетворяет начальному условию (2'). Непосредственной проверкой легко убедиться в том, что ата фуниция при удовлетворяет уравнение SautWtl. Из формулы Пуассона (9) следует, что тепло расоросграня ется вдоль стержня мгновенно.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Действительно, пусть начальная температура ) положительна для и равна нулю вне этого отрезка. Тогда для последующего распределения температур получаем откуда видяо, что при сколь угодно малых t > 0 и сколь угодно больших |х| имеем tt(x,t) > 0. Это обьяс кяется неточностью теоретических предпосылок при выводе уравнения теплопроводности , не учитыва юших инерциальн ость движе ния молекул. Тем не менее, уравнение тепло про водности дает хорошее количественное согласование с опытом. Более точное описание процессов переноса тепла дается так называемыми уравнениями переноса. 2.1.

Фундаментальное решение уравнения теплопроводности Функция входящая в формулу Пуассона (9), называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности. Рассматриваемая как функция аргументов х, t, она удовлетворяет уравнению щ = а2ихх, в чем можно убедиться непосредственной проверкой. Фундаментальное решение имеет важный физический смысл, связанный с понятием теплового импульса. Допустим, что начальное распределение ip(x) температур таково:

Тогда в силу (9) распределение температур и, в стержне будет иметь вид По теореме о среднем где имеем Переходя в последнем равенстве к пределу при е -* 0, получим Это означает, что функция G(x, t\ хо) представляет распределение температур в стержне в момент t > 0, если в начальный момент t = 0 в точке х = Хо имелся бесконечный пик температур (при е -* 0 функция 4>е{х) +оо), а в остальных точках стержня температура была равна нулю.

может быть приближенно реализовано следующим образом: в момент t = 0 к точке х = Хо стержня на очень короткий промежуток времени подносится узкое пламя очень высокой температуры (тепловой импульс плотности ср). Это начальное распределение температур описы вается так называемой 6 - функцией Дирака, обозначаемой символом 6(х - Хо).

Не являясь функцией в обычном смысле, б-функция определяется формально при помощи соотношений на любом интервале (а, Р), содержащем точку хо Основным свойством, определяющим б-функцию, является следующее: для всякой непрерывной функции f(x) Таким образом, фундаментальное решение G(x, t\xq) является решением уравнения теплопроводности в бесконечном стержне при начальном распределении температуры График функции G(x}t;xa) при в различных значениях t > Оимеетвид (рис. 1).

Кривые 1, 2, 3 соответствуют моментам времени • Рисунок показывает, каквыравнива-ется температура в стержне после теплового импульса. Решение Задача Коши для уравнения теплопроводности задачи теплопроводности в бесконечном стержне при начальном условии можно рассматривать как результат суперпозиции температур, возникающих в точке х в момент времени t вследствие непрерывно распределенных по стержню тепловых импульсов интенсивности у>(Л) в точке Л, приложенных в момент t = 0.