Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Содержание:

  1. Пример 3:
  2. Якобиан функций

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

Задача двойной интеграл. Определение. Основные свойства двойного интеграла

 

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

 

Задача, приводящая к понятию двойного интеграла. Определение двойного интеграла . К понятию двойного интеграла мы приходим, решая конкретную задачу вычисления объема цилиндрического тела. Цилиндрическим телом называется тело, ограниченное плоскостью хОу, некоторой поверхностью и цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси (см. рис.1). Область D изменения переменных х и у называется основанием цилиндрического тела.

При определении объема тела будем исходить из двух принципов: !) если разбить тело на части, то его объем равен сумме объемов всех частей (свойство аддитивности); 2) объем прямого цилиндра, ограниченного плоскостью z = const, параллельной плоскости хОу, равен площади основания, умноженной на высоту. В дальнейшем мы будем предполагать, что область D является связной (состоящей из одного куска), квадрируемой (т. е. имеющей площадь) и ограниченной (т. е. расположенной внутри некоторого круга с центром в начале координат).

Пусть — непрерывная функция точки Р(х, у) в области всюду в области Z>, т. е. что рассматриваемая цилиндрическая поверхность целиком лежит над плоскостью хОу. Обозначим объем цилиндрического тела через V. Разобьем область D — основание цилиндрического тела — на некоторое число п непересекающихся квадрируемых областей произвольной формы; будем называть их частичными областями. Пронумеровав частичные области в каком-нибудь порядке, площади — через соответственно.

Назовем диаметром частичной области Dk величину Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах где символ р{Р; Q) означает расстояние между точками Р и Q.

Обозначим через d наибольший из диаметров частичных областей Dk (к = 1,2,..., п). Проведем через границу каждой частичной области цилиндрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz. В результате цилиндрическое тело окажется разбитым на п частичных цилиндричесжх тел. Заменим к-ое частичное тело прямым цилиндром с тем же основанием и высотой, равной аппликате какой-нибудь точки заменяемой поверхности (рис. 2). Объем такого цилиндра равен где точка — площадь области Dk.

Проделав описанные построения для каждого частичного цилиндрического тела, получим п-ступенчатое тело, объем которого (о Интуитивно ясно, что Vn тем точнее выражает искомый объем V, чем меньше размеры частичных областей Dk. Принимаем объем V цилиндрического тела равным пределу, к которому стремится объем (1) п-ступенчатого тела при n-юои стремлении к нулю наибольшего диаметра d частичных областей Dk.

Естественно, предел не должен зависеть от вида разбиения области D на частичные области Dk и от выбора точек Рк в частичных областях. Пусть /(х, у) — произвольная функция, заданная в области D. Сумма п (1) называется интегральной суммой для функции f(x}y) по области D, соответствующей данному разбиению этой области на п частичных областей и данному выбору точек Ж®*,!/*) на частичных областях Dk. Определение.

Если при d -* О существует предел интегральных сумм п не зависящий ни от способа разбиения области D на частичные области, ни от выбора точек Рк в частичных областях, то он называется двойным интегралом от функции f(P) (или f(x, у)) по области D и обозначается символом ИЛИ Итак, (2) Самафункция f(x, у) при этом называется интегрируемой в области D (f(P) — подынтегральная функция, f(P) dS — подынтегральное выражение, dS — дифференциал (или элемент) площади, область D — область интегрирования; точка Р(®, у) — переменная тонка интегрирования). ,..

Возвращаясь к цилиндрическому телу, заключаем: объем цилиндрического тела, ограниченного плоскостью хОу, поверхностью , и цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Ог, равен двойному интегралу от функции /(х, у) по области D, являющейся основанием цилиндрического тела ./ ИЛИ Здесь dx dy — элемент площади в декартовых координатах. Таков геометрический смысл двойного интеграла от неотрицательной функции.

Если то объем Если в области D функции f(P) принимает как положительные, так и отрицательные значения, то интеграл представляет алгебраическую сумму объемов тех частей тела, которые расположены над плоскостью хОу (берутся со знаком «+»), и тех частей тела, которые расположены под плоскостью хОу (берутся со знаком «-»). К составлению сумм вида (1) для функции двух независимых переменных и к последующему предельному переходу приводят самые разнообразные задачи, а не только задача об объеме цилиндрического тела. Сформулируем достаточные условия интегрируемости.

Теорема 1. Всякая функция у), непрерывная в ограниченной замкнутой области D, интегрируема в этой области. Требование непрерывности подынтегральной функции часто оказывается слишком стеснительным. Для приложений важна следующая теорема, гарантирующая существование двойного интеграла для некоторого класса разрывных функций. Будем говорить, что некоторое множество точек плоскости, имеет площадь нуль, если его можно заключить в многоугольную фигуру сколь угодно малой площади. Теорема 2.

Если функция /(ж, у) ограничена в замкнутой ограниченной области D и непрерывна всюду в D, кроме некоторого множества точек площади нуль, то эта функция интегрируема в области D.

§2. Основные свойства двойного интеграла Двойные интегралы обладают рядом свойств, аналогичных свойствам определенного интеграла для функций одной независимой переменной. 2.1. Линейное свойство Если функции ) интегрируемы в области D, а а и р — любые вещественные числа, то функция af) также интегрируема в области D, причем о) 2.2. Интегрирование неравенств Если функции ) интегрируемы в области D и всюду в этой области то (2) т. е. неравенства можно интегрировать. В частности, интегрируя очевидные неравенства получим Площадь плоской области Площадь плоской области D равна двойному интегралу по этой области от функции, тождественно равной единице.

Действительно, интегральная сумма для функции /(Р) = 1 в области D имеет вид и при Любом разбиении области D на частичные области Dt, равна ее площади S. Но тогда и предел этой суммы, т. е. двойной интеграл, равен площади S области D: или, что то же, (3) 2.4. Оценка интеграла Пусть функция /(Р) непрерывна в ограниченной замкнутой области D, пусть М и тп — наибольшее и наименьшее значения /(Р) в области D и 5 — ее площадь. Тогда (4) 2.5.

Аддитивность : Если функция /(Р) интегрируема в области D и область Z) разбита на две области D\ и Di без общих внутренних точек, то /(Р) интегрируема на каждой из областей D\ и Di, причем (5) 2.6. Теорема о среднем значении Теорема 3 (о среднем значении). Если функция /(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то найдется по крайней мере одна точка Рс области D такая, что будет справедлива формула и где S — площадь области D В самом деле, так как /(Р) непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она принимает в D свое наибольшее значение М и свое наименьшее значение т.

По свойству 4 об оценке интеграла имеем Таким образом, число заключено между наибольшим и наименьшим значениями функции /(Р) в области D. В силу непрерывности функции /(Р) в области D она принимает в некоторой точке Рс G D значение, равное этому числу, откуда S Значение f(Pc), определяемое поформуле (7), называется средним значением функции f(P) в области D. Геометрически й смысл теоремы о среднем значении.

Если в области D функция /(Р) ^ О, то формула (6) означает, что существует прямой цилиндр с основанием D (площадь которого равна 5) и высотой Н = /(Рс), объем которого равен объему цилиндрического тела (рис. 3). § 3. Сведение двойного интеграла к повторному Одним из эффективных способов вычисления двойного интеграла является сведение его к повторному. 3.1. Случай прямоугольника Пусть область D — замкнугый прямоугольник П со сторонами, параллельными осям координат .

 

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Шрифты чертежные
Мощность цепи синусоидального тока. Понятие о коэффициенте мощности
Линейные диофантовы уравнения
Пространственное строение молекул

 

Пусть функция f{x, у) непрерывна в прямоугольнике П. Двойной интеграл можно интерпретировать как (алгебраический) объем цилиндрического тела с основанием П, ограниченного поверхностью Рассмотрим соответствующее цилиндрическое тело. Проведем плоскость перпендикулярную оси Оу (рис.4). Эта плоскость рассечет цилиндрическое тело по криволинейной трапеции , ограниченной сверху плоской линией z, описываемой уравнениями Площадь трапеции АВВ\А\ выражается интегралом где интегрирование производится по х, а уо — второй аргумент подынтегральной функции — рассматривается при этом как постоянный (с ^ Уо ^ d).

Величина интеграла (1) зависит от выбора

значения уо. Положим (2) Выражение (2) дает площадь поперечного сечения цилиндрического тел а как функции от у. Поэтому объем цилиндрического тела можно вычислить по формуле С другой стороны, этот объем выражается двойным интегралом от функции /(ж, у) по прямоугольнику П. Значит, Заменяя S(y) его выражением (2), получим Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному

Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Последнее соотношение обычно записывается так Объем цилиндрического тела можно отыскать также по площадям сечений плоскостями х = х0. Это приводит к формуле (4) Каждое из выражений, стоящих в правых частях формул (3) и (4), содержит две последовательные операции обыкновенного интегрирования функции /(ж, у).

Они называются повторными интегралами от функции /(ж, у) по области П. Если /(ж, у) непрерывна в замкнутом прямоугольнике П, то переход к повторным интегралам всегда возможен и (5) т. е. значения повторных интегралов от непрерывной функции /(ж, у) не зависят от порядка интегрирования. Пример 1. Найти двойной интеграл от функции по области Имеем (см. рис. 5): 3.2. Случай произвольной области Предположим теперь, что областью интегрирования является произвольная ограниченная квадрируемая зам к нута я область D на плоскости хОу, удовлетворяющая следующему условию: любая прямая, параллельная оси Оу, пересекает границу области D не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 6 а).

Заключим область D внутрь прямоугольника так, как показано на рис. 66. Отрезок [а, 6] является ортогональной проекцией области D на ось Оху а отрезок [с, dj — ортогональной проекцией области D на ось Оу. Точками А и С граница области D разбивается на две кривые ABC и АЕС. Каждая из этих кривых пересекается с произвольной прямой, параллельной оси Оу, не более чем в одной точке. Поэтому их уравнения можно записать в форме, разрешенной относительно у:

Пусть f{x, у) — некоторая функция, непрерывная в области D. Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело плоскостью . В сечении получим криволинейную трапецию PQMN (рис.7), площадь которой выражается обыкновенным интегралом от функции /(х, у), рассматриваемой как функция одной переменной у. При этом переменная у изменяется от ординаты точки Р до ординаты точки Q\ точка Р естьто*!-ка «входа» прямой х = const (в плоскости ) в область — точка ее «выхода» из этой области.

Так как уравнение кривой ABC есть , а кривой то эти ординаты при взятом х соответственно равны . Следовательно, интеграл дает нам выражение для площади плоского сечения цилиндрического тела как функции положения секущей плоскости х = const. Объем всего тела будет равен интегралу от этого выражения по ж в промежутке изменения . Таким образом, В частности, для площади S области D получим Предположим теперь, что каждая прямая пересекает границу области D не более чем в двух точках Р и Q, абсциссы которых равны соответственно (или по целому отрезку) (рис. 8).

Проводя аналогичные рассуждения, приходим к формуле также сводящей вычисление двойного интеграла к повторному. Пример 2. Вычислить двойной интеграл от функции по области D. ограниченной линиями ^ Первый способ. Изобразим область интегрирования D. Прямая у = х и парабола у = х2 пересекаются в точках ). Значит, х изменяется 8 пределах от 0 Любая прямая х = const ) пересекает границу области не более чем в двух точках. Поэтому применима формула (8): Второй способ (рис. 10). Применяя формулу (10). получим тот же результат:

Пример 3:

Вычислить обьем тела, ограниченного поверхностью пересекается с плоскостью хОу по линии эллипс с полуосями в силу симметрии данного тела относительно координатных плоскостей жОж и у Ох получаем: Замечание. Если область D такова, что некоторые прямые (осртекальны е или горизонтальные) пересекают ее границу более чем в двух точках, то для вычисления двойного интеграла по области D следует разбитьее подходящим образом на части, свссгм к повторному каяцый из интегралов поэтом частям и полученные результаты сложить. Пример 4.

Вычислить двойной интеграл по области D, заключенной между двумя квадратами с центрам и в начале координат и сторонами, параллельными осям координат, если сторона внутреннего квадрата равна 2, а внешнего — 4. непрерывна как в большом квадрате Q, сторона которого равна 4, так и в малом квадрате Р. сторона которого равна 2 (рис. 12). Согласно теореме 1, интегралы от функции е*** по указанным квадратам существуют, так что величина искомого интеграла §4. Замена переменных в двойном интеграле 4.1. Понятие криволинейных координат точки.

Пусть в области D* плоскости uOv задана пара фунмдий которые м ы будем считать непрерывными в этой области и имеющими непрерывные частные производные. В силу уравнения (1) кажд ой точке М*(«, v) области D* отвечает одна определенная точка М(х, у) в плоскости хОу и тем самым точкам области D* отвечает некоторое множество D точек (ж, у) в плоскости хОу (рис. 13). При этом говорят, что функции (1) осуществляют отображение области D4 на множество D.

Предположим, что различным точкам (u, v) отвечают различные точки (х,у). Это равносильно однозначной разрешимости уравнений (1) относительно u, v: В этом случае отображение называется взаимно однозначным отображением области D* на область D. При таком преобразовании любая непрерывная кривая L*, лежащая в области D*, перейдет в непрерывную кривую L, лежащую в области D. Если функции д(х} у) и h(x, у) также непрерывны, то любая непрерывная линия LCD с помощью преобразования (2) перейдете непрерывную линию L* С D*.

По заданной паре Щ, Vo значений переменных и, v из области D* можнооднознач-ноопределитьнетолькоположениеточки M*(u<)> Vq) в самой области £)*,нои положение соответствующей точии М(хо, уо) в области D, хо = 4>(ио, v0), 3/0 = o,vo). Это дает основание рассматривать числа u, v как некоторые новые координаты точки D области М на плоскости хОу. Их называют криволинейными координатами точки М. Множество точек области D, у которых одна из коорди нат сохраняет постоянное значение, называют координатной линией.

Полагая в формуле (1) и = vq, получим параметрические уравнения координатной линии, Здесь роль параметра играет переменная и. Придавая координате v различные (возможные для нее) постоянные значения, получим семейство координатных линий (v = const) на плоскости хОу. Аналогично получаем и другое семейство координатных линий (и = const). При наличии взаимно однозначного соответств ия между областями D* и D различные координатные линии одного и того же семейства не пересекаются между собой, и через любую точку области D проходит по одной линии из каждого семейства.

Сетка криволинейных координатных линий на плоскости хОр является образом прямоугольной сетки на плоскости uOv (см. рис. 13). 4.2. Элемент площади в криволинейных координатах. Якобиан и его геометрический смысл Выделим в области D* на плоскости Uo*V малый прямоугольник P*P?P$Pl со сторонами, параллельными осям координат 0*и и О' v и длинами сторон Аи и Av (для определенности считаем, что А) соответс твенно (рис. 14 а).

Его площадь Прямоугольник переходит в криволинейный четырехугольник * в области D (рис. 146). Если вершины Р) имеют координаты , то,согласно формулам (1), соответствующие им вершины Pi имеют координаты ), Пользуясь формулой Тейлора для функции двух переменных и ограничиваясь членами первого поря/рса огносительно Аи и Av, получим следующие приближенные значения координат для вершин четырехугольника где функции все их производные вычислены в точке ).

Найденные выражения для координат точек показывают, что с точностью до малых высшего порядка четырехугольник P\PiPiPa есть параллелограмм. Это следует изтого, что Тогда площадь ДS четырехугольника можно приближенно выразить через длину векторного произведения , Задача, приводящая к понятию двойного интеграла Определение двойного интеграла Основные свойства двойного интеграла Площадь плоской области Сведение двойного интеграла к повторному

Замена переменных в двойном интеграле Элемент площади в криволинейных координатах Якобиан и его геометрический смысл Формула замены переменных в двойном интеграле Двойной интеграл в полярных координатах Определитель Из формул (7) и (8) видео, что абсолютная величина якобиана играет роль локального коэффициента растяжения области D' (в данной точке (tx, v)) при отображении ее на область D при помощи формул преобразования (1). 4.3.

Формула замены переменных в двойном интеграле Пусть непрерывные функции осуществляют взаимнооднозначное отображение области D* на D и имеют непрерывные частные производные первого порядка. Пусть в области D на плоскости хОу задана непрерывная функция Каждому значению функции ) в области D соответствует равное значение функции г = в области D', где . Разобьем область D* на частичные области и построим соответствующее разбиение области D. Выберем в соответствующих частичных областях точки (и, v) и (ж, у) так, чтобы значения функций в них совпадали, и составим интегральные суммы для функций z = /(ж, у) и v) по областям D и D*.

Якобиан функций

Переходя в равенстве (9) к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра d* частичных областей D\ (в силу непрерывности отображения (I) будет стремиться к нулю и наибольший из диаметров d частичных областей в D), будем иметь где Условие J Ф 0 является условием локальной взаимнооднозначности отображения, осуществляемого функциями Теорема 4.

Дгя того чтобы преобразовать двойной интеграл, заданный в декартовых координатах, в двойной интеграл в криволинейных координатах, нужно заменить в подынтегральной функции /(ж, у) переменные ж и у соответственно через а элемент площади dx dy — его выражением в криволинейных координатах: Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболами м Отыскание площади указанной фигуры сводупся к вычислению двойного интеграла по области О.

Введем новые, криволинейные координаты и и о формулами Из условия аадачи ясио, что. Значит, в плоскости uOv мы получили прямоугольник (рис. 156) — фигуру более простую, чем заданная фигура D. Выразим х и у из соотношений (11) через и и t>: Рис.15 Тогда Двойной интеграл в полярных координатах Вычисление двойного интеграла часто упрощается заменой прямоугольных координат х и у полярными координатами по формулам Элемент площади в полярных координатах имеет вид и формулу перехода от интеграла в декартовых координатах к интегралу в полярных координатах можно записать так:

В этом случае (13) Элемент площади в полярных координатах можно получить и из геометрических соображений (см. рис. 16). Площадь заштрихованной на рисунке области А = пл. сектора . сектора Отбрасывая бесконечно малую величину высшего порядка, получаем и принимаем за элемент площади в полярных координатах. Итак, чтобы преобразовать двойной интеграл в декартовых координатах в двойной интеграл в полярных координатах, нужно а: и у в подынтегральной функции заменить соответственно через р costp и psiny, а элементплощади в декартовых координатах dx dy заменить элементом площади в полярных координатах р dp dip.

Займемся теперь вычислением двойного интеграла в полярных координатах. Как и в случае прямоугольных декартовых координат, вычисление интеграла в полярных координатах осуществляется путем сведения его к повторному интегралу. Рассмотрим сначала случай, когда полюс О лежит вне заданной области D. Пусть область D обладает тем свойством, что любой луч, исходящий из полюса (координатная линия у пересекает ее границу не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 17).

Отметим крайние значения i полярного угла являются пределами внешнего интегрирования. Луч ц> = проходит через точку А контура области D, а луч через точку В. Точки Aw В разбивают контур области D на две части: АСВ и AFB. Пусть — их полярные уравнения, причем ) — однозначные непрерывные функции удовлетворяющие условию Функции являются пределами внутреннего интегрирования. Переходя к повторным интегралам, получаем следующую формулу В частности, для площади S области D при F(p, г 1 получаем Пустьтеперьполюс О расположен внутри области D.

Предположим, чтообласть D является звездной относительно полюса, т. е. любой луч tp = const пересекает границу области только в одной точке или по целрму отрезку (рис. 18). Пусть — уравнение границы области в полярных координатах. Тогда Рис. 18 Пример. Вычислить интеграл где область — четверть единичного круга, расположенная в первом квадранте.

Перейдем к полярным координатам Тогда областью интегрирования будет прямоугольник Преобразованный интеграл / легко вычисляется: г Замечание. Если якобиан отличен от нуля в области D, то отображение в некоторой окрестности каждой точки этой области является взаимнооднозначным. При этом может, однако, случиться, что отображение всей области не будет взаимнооднозначным.

Рассмотрим отображение, определяемое функциями Якобиан этих функций равен и, следовательно, везде отличен от нуля. Несмотря на это, для мы получим , так что это отображение не является взаимнооднозначным. С другой стороны, если якобиан отображения обращается в нуль в какой-нибудь точке, то, тем не менее, отображение в окрестности этой точки может оказаться взаимно однозначным. Например, для отображения, определяемого функциями якобиан равен нулю и при , но отображение является взаимнооднозначным. Обратное отображение определяется функциями