Задача Больца. Условия трансверсальности

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Рассмотрим задачу о слабом экстремуме функционала несколько более общего вида, чем классический функционал . Пусть теперь f(x) — функционал Больца. Задачу назовем задачей Больца. Пусть x0(t) — точка экстремума. Слабая окрестность этой точки состоит из гладких функций x{t), мало отличающихся вместе с производной на промежутке ) и ее производной соответственно.

Допустимые приращения h{t) = - x0(t) — гладкие фушщии, мало отличающиеся от нуля, но в отличие от случая задачи с закрепленными концами, уже, вообще говоря, h(a) Ф 0, h(b) Ф 0. Необходимое условие экстремума в этой задаче выглядит так: при любом допустимом приращении h{t) функция x0(t) должна удовлетворять соотношению.

Как и в классической задаче, проинтегрируем второе слагаемое в выражении, стоящем под знаком интеграла, по частям, предполагая, что функция L(t, x(t), x'(t)) дважды дифференцируема. Имеем Здесь внеинтегральный член в нуль не обращается, и мы получаем соотношение ь Задача Больца Условия трансверсальности которому должна удовлетворять функция Для любых h(t).

В частности, равенство (1) тождественно выполняется для всех h(t), обращающихся в нуль на концах отрезка (а, 6).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Как было показано выше, отсюда следует, что x0{t) — экстремаль, т.е. x0(t) удовлетворяет уравнению Эйлера (2) § 1. При этом формула(1) принимает вид Рассмотрим последнее тождество на всех h(t) таюх.что Тогда Аналогично, для всех h(t) таких, что должно выполняться Таким образом, необходимое условие слабого экстремума для функционала Больца имеет тот же характер, что и необходимое условие в классической задаче — функция, доставляющая экстремум функционалу Больца, должна являться решением краевой задачи для уравнения Эйлера (2) § 1.

уоювиями трансверсальности. Если терминальная часть функционала Больца отсутствует (/(я, т) = 0), то условия (2) имеют совсем простой вид: Задача Больца Условия трансверсальности и во многих прикладных задачах означают просто ортогональность экстремальных траекторий граничным вертикалям t = а и t = б1*.

Если на одном из концов отрезка задано условие закрепления, то в качестве краевых условий для уравнения Эйлера выступают условие закрепления на одном конце и условие трансверсальности на другом. В заключение заметим, что везде выше предполагалась непрерывная дифферен-цируемостьфункции 1{$, т), задающей терминальнуючаегь функционала Больца. Очень часто интегральный функционал, подлежащий исследованию, задастся как интеграл подлине дуги, что приводит к экстремальным задачам для функционалов вида Задача Больца Условия трансверсальности В этом случае и условия (2) эквивалентны тому, что