Взаимное пересечение поверхностей тел с примерами и образцами выполнения

Содержание:

1. Пересечение прямой линии с поверхностями тел
2. Линии пересечения и перехода
3. Общие правила построения линий пересечения поверхностей
4. Пересечение поверхностей цилиндра и призмы
5. Пересечение цилиндрических поверхностей
6. Пересечение  поверхностей многогранников
7. Пересечение  поверхностей цилиндра и конуса
8. Пересечение  поверхностей сферы и цилиндра
9. Пересечение  поверхностей тора и цилиндра
10. Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

Взаимное пересечение поверхностей. Поверхности могут взаимно пересекаться. При этом линии одной поверхности пересекаются с другой поверхностью и образуют точки, которые в совокупности представляют линию пересечения.

Пересечение прямой линии с поверхностями тел

Конструкции деталей можно рассматривать как сочетание различных геометрических тел. Необхо­димо уметь строить линии пересечения поверхнос­тей этих тел. Пример, где требуется подобное по­строение, показан на рис. 195, на котором изо­бражен бункер, ограниченный цилиндрической поверхностью А, пересекающейся с конической поверхностью Б и поверхностью пирамиды В.

В зависимости от вида поверхностей тел линии пересечения могут быть лекальными кривыми или ломаными.

Для решения задач на построение линий пере­сечения поверхностей необходимо предварительно усвоить построение точек пересечения прямой с поверхностями различных геометрических тел.

Рис. 195

Если прямая пересекается с поверхностью тела, получаются две точки, одновременно принадлежа­щие как поверхности тела, так и прямой линии. Такие точки называются точками входа и выхода (рис. 196. а; точки N и М). Для нахождения этих точек выполняются построения в следующем по­рядке.

Через данную прямую проводят вспомогатель­ную плоскость (обычно проецирующую). Напри­мер, на рис. 196, а, где изображено пересечение прямой АВ с поверхностью пирамиды, через пря­мую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Р. Затем находят линии пересечения вспомогательной плоскости с повер­хностью данного геометрического тела (линии КС и ЕD). На пересечении полученных линий с за­данной прямом находят искомые точки (точки N и М).

На комплексном чертеже точки входа и выхода определяют следующим образом (рис. 196. б). Горизонтальные проекции kс и ed прямых КС и ED совпадают с горизонтальным следом плоскости Р_H. Фронтальные проекции точек k', с’, е' и d' определяют, пользуясь вертикальными линиями связи, проведенными из точек k, с, е и d до пере­сечения с фронтальными проекциями основания пирамиды. Соединяют точки k' с с' и е' с d' прямыми. На пересечении фронтальных проекций найденных прямых с проекцией а'Ь' данной пря­мой получают фронтальные проекции n' и т' искомых точек входа и выхода. Проведя через них вертикальные линии связи, находят горизонталь­ные проекции п и т этих точек.

Рис. 196

В некоторых частных случаях можно обой­тись без применения вспомогательной плоскос­ти. Например, точки входа и выхода прямой АВ с поверхностью прямого кругового цилин­дра (рис. 197, а) определяют следующим образом.

Горизонтальная проекция цилиндрической по­верхности представляет собой окружность, поэто­му горизонтальные проекции всех точек, располо­женных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек, будут расположены на этой окружности (рис. 197, а).

Фронтальные проекции  n' и m' искомых точек определяют, проводя через точки n и m верти­кальные линии связи до встречи с данной фрон­тальной проекцией а'Ь' прямой АВ.

На рис. 197, б, в показано построение точек входа и выхода прямой АВ и поверхности прямого кругового конуса. Через прямую АВ проводят вспомогательную плоскость Р, проходящую через вершину конуса. Плоскость Р пересечет конус по образующим SH₃ SH_4.

На комплексном чертеже изображение плос­кости Р строят следующим образом. На прямой АВ берут произвольную точку К и соединяют ее с вершиной S конуса прямой линией. Две пересе­кающиеся прямые АВ и SK определяют плоскость Р.

Чтобы найти точки входа и выхода, необходимо построить горизонтальные проекции образующих SH₃ и SH₄. Для этого продолжим s'k' и а'b' до пересечения с осью х в точках h'₂  и h'₁. Опустим линию связи из точки k' до пересечения с ab, полученную точку k соединим с s. Продлим гори­зонтальную проекцию прямой SK до пересечения с линией связи, опушенной из точки h'₂, получим точку h₂. Из точки h'₁ проведем линию связи до пересечения с продолжением прямой ab, получим точку h₁. Через следы h₁ и h₂ пройдет горизон­тальный след плоскости Р. Точки h₁ и h₂  соеди­ним прямой и получим горизонтальный след Р_Н  плоскости Р.

Основание конуса является горизонтальным следом конической поверхности. Поэтому, опреде­лив точки пересечения этого следа со следом Р_Н плоскости Р, можно найти и те две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью Р. На комплексном чертеже горизонтальная проекция основания ко­нуса (окружность) пересекается со следом Р_Н в точках h₃ и h₄. Эти точки соединяют с вершиной s и получают следы sh₃ и sh₄ образующих SH₃ и SH₄.

На пересечении найденных образующих с дан­ной прямой АВ находят искомые точки М и N — точки входа и выхода прямой АВ с конической поверхностью.

Горизонтальные проекции точек т и n находят на пересечении горизонтальных проекций обра­зующих sh₃ и sh₄ с горизонтальной проекцией прямой ab. Через точки m и n проводят вертикальные линии связи до пересечения а'b' и нахо­дят фронтальные проекции т‘ и n' точек входа и выхода.

Рис. 197

Точки входа и выхода прямой АВ с повер­хностью сферы (рис. 198) находят, проведя через прямую АВ вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость Р.

Вспомогательная плоскость Р пересекает сферу по окружности, которая проецируется на плос­кость Н в виде эллипса, что затрудняет построе­ние. Поэтому в данном случае необходимо приме­нить способ перемены плоскостей проекций. Но­вую плоскость проекций выбирают так, чтобы вспомогательная плоскость Р была бы ей парал­лельна, т.с. следует провести новую ось проекций x₁ так. чтобы она была параллельна фронтальной проекции а'b' прямой АВ (для упрощения по­строении на рис. 198 ось x₁ проведена через про­екцию а'b').

Затем необходимо построить новую горизон­тальную проекцию a₁b₁ прямой АВ и новую го­ризонтальную проекцию окружности диаметра D, по которой плоскость Р пересекает сферу. На пересечении новых горизонтальных проекций двух искомых точек m_} и n_} Обратным построе­нием определяем фронтальные т' и n' и горизон­тальные т и п проекции точек входа и выхода.

Рис. 198

Линии пересечения и перехода

Многие детали машин представляют собой кон­струкции из пересекающихся геометрических тел. Общая линия пересекающихся поверхностей на­зывается линией пересечения.

На чертежах линии пересечения поверхностей изображаются сплошной основной линией (рис. 199, а). В местах перехода поверхностей литых и штампованных деталей нет четкой линии пересечения. Воображаемая линия пересечения называется линией перехода и условно изобража­ется на чертежах сплошной тонкой линией. Эта линия начинается и заканчивается в точках пере­сечения продолжения контура взаимно пересека­ющихся поверхностей (рис. 199. б).

Рис. 199

Встречаются детали, имеющие всевозможные линии пересечения и перехода поверхностей. Особенно много линий перехода у поверхностей дета­лей, изготовленных литьем.

На рис. 200, а на приборе для испытания твер­дости видны линии переходов различных повер­хностей.

Кожух и крышка смесительного аппарата (рис. 200. б) имеют разнообразные линии перехо­да. Здесь можно видеть линии взаимного пересе­чения цилиндрических и других поверхностей.

Построение линий пересечения и перехода поверхностей при выполнении чертежей трубопрово­дов, вентиляционных устройств, резервуаров, кожухов машин, станков требует точности.

Рис. 200

Общие правила построения линий пересечения поверхностей

Метод построения линий пересечения повер­хностей тел заключается в проведении вспомога­тельных секущих плоскостей и нахождении от­дельных точек линий пересечения данных повер­хностей в этих плоскостях.

Построение линии пересечения поверхностей тел начинают с нахождения очевидных точек. Например, на рис. 201, где изображены линии пересечения призмы с конусом, такими точками являются точки А и В. Затем определяют харак­терные точки, расположенные, например, на очерковых образующих поверхностей вращения или крайних ребрах, отделяющих видимую часть линий перехода от невидимой. На рис. 201 это точки С и D. Они располагаются на крайних ребрах верхней горизонтальной грани призмы.

Все остальные точки линии пересечения назы­ваются промежуточными (например, точки Е и F). Обычно их определяют с помощью вспомога­тельных параллельных секущих плоскостей (рис. 201, а).

В качестве вспомогательных плоскостей выби­рают такие плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям — пря­мым или окружностям, причем окружности до­лжны располагаться в плоскостях, параллельных плоскостям проекций.

В данном примере плоскость Р рассекает конус по окружности (рис. 201, в), с помощью которой находят горизонтальные проекции точек е и f.

Во всех случаях. перед тем как строить линию пересечения поверхностей на чертеже, необходи­мо представить себе эту линию в пространстве (рис. 201, б).

Рис. 201

Пересечение поверхностей цилиндра и призмы

На рис. 202 показано построение проекции линий пересечения поверхности треугольной при­змы с поверхностью прямого кругового цилиндра. Боковые грани призмы перпендикулярны плоскос­ти V (рис. 202, а), поэтому фронтальная проекция линий пересечения поверхностей этих тел совпа­дает с фронтальной проекцией основания призмы. Горизонтальные проекции линий пересечения поверхностей совпадают с горизонтальной проек­цией цилиндра и являются окружностью. Про­фильные проекции точек А и Е находим по гори­зонтальным и фронтальным проекциям с по­мощью линий связи. Для построения проекций промежуточных точек В, С, D используем вспомо­гательные секущие плоскости Р_V, Р_V1 и Р_V2, c помощью которых находим фронтальные проек­ции b', с'. d' точек B, С. D.

В данном примере можно обойтись без вспомо­гательных секущих плоскостей, намечая произво­льно на фронтальной проекции точки b', с', d'.

Опуская линии связи на горизонтальную проек­цию, находим горизонтальные проекции с, Ь, d точек С, В, D. На профильной проекции с помощью линий связи находим проекции Ь", с”, d".

На рис. 202, б показано построение изометри­ческой проекции. После построения изометричес­кой проекции цилиндра, используя размеры т и п (рис. 202, а), строят изометрическую проекцию основания призмы, на котором находят точки 1, 2. 3. 4. 5. От этих точек откладывают расстояния 1"е". 2“d" и т.п., взятые с профильной проекции комплексного чертежа, и находят точки А, В. С, D. Е

На изометрической проекции линия пересече­ния поверхностей цилиндра и призмы получается соединением точек А, В. С, D, Е, которые строят­ся но координатам, взятым с комплексного чертежа.

Рис. 202

Пересечение цилиндрических поверхностей

При выполнении машиностроительных черте­жей наиболее часто встречается случай пересече­ния двух цилиндрических поверхностей, оси кото­рых расположены под углом 90⁰.

Разберем пример построения линии пересече­ния поверхностей двух прямых круговых цилин­дров. оси которых перпендикулярны к плоскостям проекций (рис. 203, а).

В начале построения, как известно, находим проекции очевидных точек 1, 7 и 4.

Построение проекций промежуточных точек показано на рис. 203, б. Если в данном примере применить общий способ построения линий пере­сечения с помощью вспомогательных взаимно параллельных плоскостей, пересекающих обе цилин­дрические поверхности по образующим, то на пересечении этих образующих будут найдены искомые промежуточные точки линии пересече­ния (например, точки 2, 3, 5 на рис. 203, а). Од­нако в данном случае выполнять такое построение нет необходимости по следующим соображениям.

Горизонтальная проекция искомой линии пере­сечения поверхностей совпадает с окружностью — горизонтальной проекцией большого цилиндра. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с окружностью — профильной проекци­ей малого цилиндра. Таким образом, фронталь­ную проекцию искомой линии пересечения легко найти по общему правилу построения кривой линии по точкам, когда две проекции точек извес­тны. Например, по горизонтальной проекции точ­ки 3 (рис. 203, б) находят профильную проекцию 3". Но двум проекциям 3 и 3" определяют фрон­тальную проекцию 3' точки 3. принадлежащей линии пересечения цилиндров.

Построение изометрической проекции пересека­ющихся цилиндров начинают с построения изометрической проекции вертикального цилин­дра. Далее через точку а₁ параллельно оси х про­водят ось горизонтального цилиндра. Положение точки О₁ определяется величиной h₁, взятой с комплексного чертежа (рис. 203, б). Отрезок, равный h, откладываем от точки О вверх по оси z (рис. 203, в). Откладывая от точки О₁ по оси горизонтального цилиндра отрезок l, получим точку О₂ — центр основания горизонтального цилиндра.

Изометрическая проекция линии пересечения поверхностей строится по точкам с помощью трех координат. Однако в данном примере искомые точки можно построить иначе.

Так, например, точки 3 и 2 строят следующим образом. От центра О₂ (рис. 203, в) вверх, парал­лельно оси z, откладывают отрезки т и п, взятые с комплексного чертежа. Через концы этих отрез­ков прямые, параллельные оси у, до пересечения с основанием горизонтального цилиндра в точках 3₁ и 2₁. Затем из точек 1...3 проводят прямые, параллельные оси х, и на них откладывают отрез­ки, равные расстоянию от основания горизонтального цилиндра до линии пересечения, взятые с фронтальной или горизонтальной проекции комплексного чертежа. Конечные точки этих отрезков будут принадлежать линии пересечения. Через полученные точки проводят по лекалу кривую, выделяя се видимые и невидимые части.

Рис. 203

Пример взаимного пересечения цилиндрических поверхностей с осями, перпендикулярными друг к другу, приведен на рис. 204, а. Одна цилиндрическая поверхность корпуса имеет вертикальную ось, а другая (половина цилиндра) — горизонталь­ную.

Если диаметры пересекающихся цилиндричес­ких поверхностей одинаковы. то профильная про­екция линии пересечения представляет собой две пересекающиеся прямые (рис. 204, б).

Если пересекающиеся цилиндрические поверхности имеют оси, расположенные под углом, отличным от прямого угла, то линию их пересечения строят с помощью вспомогательных секущих плоскостей или другими способами (например, способом сфер).

Рис. 204

Пересечение  поверхностей многогранников

При пересечении двух многогранников линия пересечения поверхностей представляет собой ломаную линию.

Если ребра двух призм взаимно перпендикуляр­ны (рис. 205, а), то линия пересечения призм строится следующим образом.

Горизонтальная и профильная проекции линии пересечения совпадают соответственно с горизон­тальной проекцией пятиугольника (основания одной призмы) и с профильной проекцией четырехугольника (основания другой призмы). Фрон­тальную проекцию ломаной линии пересечения строят по точкам пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

Например, взяв горизонтальную 1 и про­фильную 1" проекции точки 1 пересечения ребра пятиугольной призмы с гранью четырех­угольной (рис. 205, а) и пользуясь известным приемом построения, с помощью линии связи можно легко найти фронтальную проекцию 1' точки 1, принадлежащей линии пересечения призм.

Изометрическая проекция двух пересекающих­ся призм (рис. 205, б) может быть построена по координатам соответствующих точек.

Например, изометрическую проекцию двух точек 5 и 5₁, симметрично расположенных на левой грани пятиугольной призмы, строят так. Принимая для удобства построений за начало координат точку О, лежащую на верхнем основа­нии пятиугольной призмы, откладываем влево от О по оси х отрезок ОЕ, величину которого берут с комплексного чертежа на фронтальной или горизонтальной проекции. Далее из точки Е вниз параллельно оси z откладываем отрезок EF, рав­ный а, и, наконец, от точки F влево и вправо параллельно оси у откладываем отрезки F5 и F5_1, равные с/2.

Далее от точки F параллельно оси х откладыва­ем отрезок n, взятый с комплексного чертежа. Через его конец проводим прямую, параллельную оси у, и откладываем на ней отрезок, равный с. Вниз параллельно оси z откладываем отрезок, равный Ь, и параллельно у — отрезок, равный k. В результате получаем изометрию основания че­тырехугольной призмы.

Рис. 205

Точки 1 и 4 на ребрах пятиугольной призмы можно построить, используя только одну коорди­нату z.

Примеры, где требуются подобные построения, показаны на рис. 206, на которых видны линии пересечения поверхностей призм.

Рис. 206

Линию пересечения поверхностей четыреху­гольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 207, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1' и 3' очевидны. Про­фильные проекции 1“ и 3“ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

Линию пересечения поверхностей четыреху­гольной призмы с четырехугольной пирамидой (рис. 207, а) строят по точкам пересечения ребер одного многогранника с гранями другого многогранника.

Например, проекции точек 1 и 3 искомой ли­нии пересечения находят следующим образом. Фронтальные проекции 1' и 3' очевидны. Про­фильные проекции 1“ и 3“ и горизонтальные 1 и 3 находят с помощью линий связи. Аналогично находят точки 2 и 4.

На рис. 207, б и в показана последовательность построения диметрической проекции. Сначала строят пирамиду. Для построения призмы от точ­ки О откладывают отрезок ОО₁, взятый с фрон­тальной проекции комплексного чертежа (О' О'₁ ). и получают точку О₁ (рис. 207, б). Через точку О₁ проводят параллельно оси х ось симметрии призмы и по ней от точки откладывают вправо и влево половины высоты призмы. Через точки О₂ и О₃ проводят прямые, параллельные осям у и z, на которых откладывают соответственно половину и целую длину диагоналей четырехугольника основания призмы. Соединив концы диагоналей прямыми, получают диметрическую проекцию основания призмы.

Диметрические проекции точек пересечения 2. 4, б. 8 ребер призмы и пирамиды получаются без дополнительных построений (рис. 207, в).

Диметрические проекции точек пересечения 1, 3, 5. 7 ребер пирамиды с гранями призмы находят по координатам известным способом.

В этом примере диметрические проекции точек 1, 3, 5 и 7 можно построить иначе. От середины левого основания призмы — точки О₂ — отклады­ваем вверх и вниз по оси z соответственно отрезки т и n, взятые с комплексного чертежа. Через концы отрезков т и n проводят прямые, парал­лельные оси у, до пересечения с контуром основания призмы в точках А, В, С и D. Через эти точ­ки проводят прямые, параллельные оси х, до пе­ресечения с ребрами пирамиды. В результате по­лучают искомые точки 1, 3, 5 и 7.

Рис. 207

На рис. 208 показан корпус оптического компа­ратора, который имеет элементы пересечения поверхностей пирамид и призм. На рисунке видна линия пересечения поверхностей этих тел.

Рис. 208

Пересечение  поверхностей цилиндра и конуса

Пример пересечения поверхностей цилиндра и конуса показан на рис. 209, б. Построение линии пересечения поверхностей прямого кругового усе­ченного конуса, имеющего вертикальную ось, с цилиндром, расположенным горизонтально, пока­зано на рис. 209, а. Оси цилиндра и конуса пере­секаются в точке О₁ и лежат в одной плоскости.

Как и ранее, сначала определяют проекции очевидных 1, 7 и характерных 4, 10 точек линии пересечения.

Для определения промежуточных точек прово­дят вспомогательные горизонтальные секущие плоскости Р₁…Р₅. (рис. 209, а). Они будут рассе­кать конус по окружности, а цилиндр по образую­щим (рис. 209, б). Искомые точки линии пересе­чения находятся на пересечении образующих с окружностями.

Для определения горизонтальных проекций точек пересечения из центра O₁ проводят горизонтальные проекции дуг окружностей (рис. 209, а), по которым вспомогательные плос­кости Р₁…Р₅ пересекают конус. Размеры радиусов этих дуг окружностей взяты с профильной про­екции.

Так как профильные проекции точек 1“… 12“ известны, то, проводя линии связи до пересечения с соответствующими дугами окружностей, находят горизонтальные проекции точек 1… 12. Используя линии связи, по двум имеющимся проекциям, профильной и горизонтальней, находим фронталь­ные проекции точек пересечения 1'...12'.

Полученные на фронтальной и горизонтальной проекциях точки, принадлежащие к линии пере­сечения. обводят по лекалу.

На горизонтальной проекции часть линии пере­сечения будет видимой, а часть — невидимой. Границу этих частей линии пересечения определяют с помощью вспомогательной секущей плос­кости Р₃, проведенной через ось цилиндра. Точки, расположенные над плоскостью Р₃ (см. профиль­ную проекцию), будут на плоскости Н видимы, а точки, расположенные под плоскостью Р_3,— неви­димы.

Изометрическую проекцию пересекающихся поверхностей цилиндра и конуса вычерчивают в такой последовательности. Вначале выполняют изометрическую проекцию конуса (рис. 209, в). Затем от центра О нижнего основания конуса по его оси вверх откладывают координату ОО₁ = h и получают точку О₁, через которую проводят ось цилиндра параллельно изометрической оси х. От точки О₁ по этой оси откладывают координату х = О₁О₂ точки О₂ — центра окружности основания цилиндра.

Для построения линии пересечения находят изометрические проекции точек этой линии с помощью их координат, взятых с комплексного чертежа. За начало координат принимается точка О₂ (центр основания цилиндра). Параллельно оси у проводят до пересечения с овалом следы плос­костей сечения с координатами по оси z, взятых с профильной проекции. Из полученных точек А, В, С... параллельно оси х проводят прямые — об­разующие цилиндра, на них откладывают ко­ординаты Al, В2, ..., взятые с фронтальной проекции комплексного чертежа, и получают точки 2... 12, принадлежащие искомой линии пере­сечения.

Через найденные точки проводят кривую ли­нию по лекалу.

Рис. 209

На рис. 210 показана деталь. Линию пересечения конической поверхности с цилиндрической строят описанным выше спосо­бом.

Рис. 210

Построение линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса, оси которых параллельны (рис. 211), аналогично построению, рассмотренно­му на рис. 209.

Выбирают вспомогательные горизонтальные плоскости, например Р₁, Р₂ и Р₃, которые пересекают конус и цилиндр по окружностям (рис. 211, б). Диаметр окружностей, образованных в результате пересечения этих плоскостей с ци­линдрам, одинаков и равен D; диаметры окруж­ностей, полученных в результате пересечения плоскостей с конусом, — различные. Взаимное пересечение горизонтальных проекций этих ок­ружностей дают искомые горизонтальные проек­ции точек 1...9 линии пересечения (рис. 211, а). Фронтальные проекции 1'...9' этих точек находят с помощью линий связи на фронтальных следах Р_V1, Р_V2, Р_V3 вспомогательных плоскостей. Про­фильные проекции точек строят по двум их извес­тным проекциям.

Характерными точками в данном примере явля­ются: высшая точка линии пересечения — точка 5, нахождение проекций которой начинают с име­ющейся горизонтальной проекции, и точки 1, 9

Точки 1 и 9 получились от пересечения основа­ний цилиндра и конуса.

Построение изометрической проекции пересекающихся конуса и цилиндра (рис. 211, в) выполня­ется по этапам, подробно описанным в предыдущем примере (см. рис. 209, в). Построение начи­нается проведением изометрических осей конуса и цилиндра, затем их оснований (эллипсов) с центрами на расстоянии друг от друга, определяе­мом координатой n₃. Для построения линий пере­сечения находят изометрические проекции точек этой линии с помощью координат, взятых с чер­тежа.

Рис. 211

На рис. 212 показана деталь, имеющая форму двух цилиндров, пересекающихся с конусом. Оси цилиндра и конуса параллельны.

Рис. 212

Примеры пересечения поверхностей даны на рис. 213. Линии пересечения показаны красным цветом.

Рис. 213

Пересечение  поверхностей сферы и цилиндра

Прямой круговой цилиндр, расположенный перпендикулярно плоскости Н, пересекается с шаром, центр которого расположен на оси цилин­дра, по окружности, которая изображается на фронтальной проекции отрезком прямой (рис 214). Проводя через точки А и В пересече­ния контурных образующих цилиндра и очерка шара вспомогательную горизонтальную плоскость Р, заметим следующее. Плоскость Р пересечет как цилиндр, так и шар по окружности одинакового диаметра, которая расположена в проецирующей плоскости. Следовательно, се фронтальная проек­ция будет изображаться в виде прямой а'b’.

При пересечении поверхности конуса или по­верхности вращения с шаром, центр которого расположен на оси этих поверхностей, также по­лучается окружность (рис. 214, а).

Если центр шара расположен вне оси цилиндра (рис. 214, б), то для построения линии пересече­ния применяют вспомогательные горизонтальные плоскости. Например, вспомогательная горизонтальная плоскость Р пересекает цилиндр по ок­ружности радиуса r, а шар — по окружности ради­уса R. Точки пересечения а и b горизонтальных проекций этих окружностей принадлежат горизонтальной проекции линии пересечения. Фронтальные проекции а' и b' строят, используя ли­нии связи.

Одной из характерных точек данной линии пересечения является верхняя точка D. Горизон­тальная проекция этой точки находится на пере­сечении прямой, соединяющей центры окружнос­тей радиусов r и R с горизонтальной проекцией основания цилиндрической поверхности. Для по­строения фронтальной проекции точки D через точку d проводят дугу радиуса r₁, строят фрон­тальную проекцию дуги (отрезок прямой, парал­лельной оси х) и с помощью линии связи находят точку d'.

Рис. 214

Пересечение  поверхностей тора и цилиндра

Патрубок, форма которого образована пересека­ющимися поверхностями тора и цилиндра, пока­зан на рис. 215. Выполнен комплексный чертеж с построением линии пересечения поверхностей и тора, и цилиндра. В этом примере очевидные точки 1 и 5. Для определения проекций промежу­точных точек используют вспомогательные плос­кости Р_Н и P_Н1, параллельные фронтальной плос­кости проекции. Например, плоскость Р_Н пересе­кает поверхность тора по окружности радиуса R, а поверхность цилиндра — по двум образующим Взаимное пересечение этих образующих с дугою окружности радиуса R дает на фронтальной про­екции две точки 2' и 4', принадлежащие искомой линии пересечения.

Рис. 215

Построение линий пересечения поверхностей способом вспомогательных сфер

Для построения линии пересечения поверхнос­тей вместо вспомогательных секущих плоскостей при определенных условиях удобно применять вспомогательные сферические поверхности.

В отличие от метода вспомогательных секущих плоскостей метод вспомогательных сфер имеет преимущество, так как при построении фронтальной проекции линии пересечения поверхностей не используются две другие проекции пересекающих­ся поверхностей (рис. 216).

Вспомогательные сферические поверхности для построения линий пересечения поверхностей тел можно применять лишь при следующих условиях:

а) пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями вращения;

б) оси поверхностей вращения должны пересе­каться; точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;

в) оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций.

Примеры применения вспомогательных сфери­ческих поверхностей показаны на рис. 216, а и б.

На рис. 216, а дано построение фронтальных проекций линии пересечения поверхностей двух цилиндров, оси которых пересекаются под острым углом.

Вспомогательные сферические поверхности проводят из точки О' пересечения осей цилин­дров.

Построим, например, фронтальную проекцию некоторой промежуточной точки линии пересече­ния. Для этого из точки О' проводят сферичес­кую поверхность радиуса R, которая на данной проекции изобразится в виде окружности этого же радиуса. Окружность радиуса R пересечет горизонтальный цилиндр по окружностям диаметра АС и ВD, а наклонно расположенный цилиндр — по окружностям диаметра АВ.

В пересечении полученных проекций окружнос­тей — отрезков а'b' и c'd'— находят проекцию 2' промежуточной точки линии пересечения.

Вводя еще целый ряд вспомогательных сфери­ческих поверхностей, можно построить необходи­мое число точек линии пересечения.

Пределы радиусов сферических поверхностей находят следующим образом (рис. 216, а и б): наибольшая окружность сферической поверхности должна пересекаться с контурными образующими 1—1 и II— II цилиндра и наименьшая должна быть касательной к одной из данных пересекающихся поверхностей и пересекаться с образующими дру­гой поверхности.

Рис. 216

Если поверхности двух конусов (рис. 217, а) описаны около шара, то они касаются шара по двум окружностям; эти окружности пересекаются в двух точках, которые проецируются на фрон­тальную плоскость проекций в точку р'. Плоскости, в которых лежат эти окружности, пересекают­ся по прямой, соединяющей точки пересечения линий касания конусов с шаром. Окружности проецируются на фронтальную плоскость проек­ций в виде прямых линий.

Соединив очевидную точку s' пересечения конусов с точкой р‘, получим линию пересечения конусов с шаром, которая представляет собой фронтальную проекцию эллипса.

Разберем второй подобный пример. Если два прямых круговых цилиндра с осями, пересекаю­щимися в точке О' (рис. 217, б), описаны около шара с центром в точке О, то фронтальная про­екция шара будет окружностью, касательной к контурным образующим цилиндров. Линии пере­сечения поверхностей этих цилиндров представля­ют собой эллипсы, фронтальные проекции кото­рых изображаются в виде прямых линий а'b' и c'd'.

Рис. 217

Примеры и образцы решения задач:

• Решение задач по инженерной графике
• Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

1. Заказать чертежи
2. Помощь с чертежами
3. Заказать чертеж в компасе
4. Заказать чертеж в автокаде
5. Заказать чертежи по инженерной графике
6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
7. Заказать черчение

Учебные лекции:

1. Инженерная графика
2. Начертательная геометрия
3. Оформление чертежей
4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
5. Техническое рисование
6. Машиностроительные чертежи
7. Геометрические построения
8. Деление окружности на равные части
9. Сопряжение линий
10. Коробовые кривые линии
11. Построение уклона и конусности
12. Лекальные кривые
13. Параллельность и перпендикулярность
14. Методы преобразования ортогональных проекций
15. Поверхности
16. Способы проецирования
17. Метрические задачи
18. Способы преобразования чертежа
19. Кривые линии
20. Кривые поверхности
21. Трёхгранник Френе
22. Проецирование многогранников
23. Проецирование тел вращения
24. Развёртывание поверхностей
25. Проекционное черчение
26. Проецирование
27. Проецирование точки
28. Проецирование отрезка прямой линии
29. Проецирование плоских фигур
30. Способы преобразования проекций
31. Аксонометрическое проецирование
32. Проекции геометрических тел
33. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
34. Сечение полых моделей
35. Разрезы
36. Требования к чертежам деталей
37. Допуски и посадки
38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
40. Передачи и их элементы