Высшая математика

Содержание:

  1. Краткий курс лекций по высшей математике с примерами решения
  2. Алгебра средняя школа
  3. Геометрия. Планиметрия средняя школа
  4. Аналитическая геометрия
  5. Аналитическая геометрия в пространстве
  6. Линейная алгебра
  7. Математический анализ
  8. Дифференциальные уравнения
  9. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
  10. Дифференциальное исчисление функции многих переменных
  11. Интегральное исчисление
  12. Матрицы и их применение
  13. Системы линейных алгебраических уравнений
  14. Векторная алгебра
  15. Пределы
  16. Функции одной переменной. Дифференцирование
  17. Исследование функций и построение графиков
  18. Функции нескольких переменных
  19. Неопределенный интеграл
  20. Определенный и несобственный интеграл
  21. Кратные и криволинейные интегралы
  22. Комплексные числа
  23. Ряды
  24. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Некоторые виды ОДУ и методы их решения
  25. Системы ОДУ
  26. Элементы теории множеств и комбинаторики
  27. Случайные события и действия с ними
  28. Случайные величины
  29. Элементы вычислительной математики
  30. Полный курс лекций по высшей математике с примерами и образцами решения
  31. Аналитическая геометрия в высшей математике
  32. Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве
  33. Координаты на прямой
  34. Координаты на плоскости
  35. Расстояние между двумя точками на плоскости
  36. Деление отрезка в данном отношении
  37. Центр тяжести системы масс
  38. Площадь треугольника
  39. Уравнение линии в декартовых координатах
  40. Пересечение линий
  41. Уравнение линии в полярных координатах
  42. Параметрические уравнения линии
  43. Преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости
  44. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
  45. Расстояние между двумя точками в пространстве
  46. Цилиндрические асферические координаты
  47. Линии на плоскости
  48. Прямая на плоскости
  49. Окружность
  50. Эллипс
  51. Гипербола
  52. Парабола
  53. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
  54. Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка
  55. Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат
  56. Упрощение общего уравнения второй степени
  57. Некоторые алгебраические линии высших порядков
  58. Некоторые трансцендентные линии
  59. Векторы
  60. Основные понятия
  61. Линейные операции над векторами
  62. Проекция вектора на ось
  63. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора
  64. Переход от векторных соотношений к координатным
  65. Скалярное произведение двух векторов
  66. Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат
  67. Векторное произведение двух векторов
  68. Смешанное произведение трех векторов
  69. Линейная зависимость векторов
  70. Аффинные координаты
  71. Поверхности и линии в пространстве
  72. Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве
  73. Параметрические уравнения линии и поверхности
  74. Различные виды уравнения плоскости
  75. Различные виды уравнении прямой в пространстве
  76. Задачи, относящиеся к плоскостям
  77. Задачи, относящиеся к прямым в пространстве
  78. Задачи на прямую и плоскость
  79. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения
  80. Поверхности второго порядка
  81. Некоторые другие поверхности
  82. Алгебра в высшей математике
  83. Матрицы и определители
  84. Матрицы. Основные определения
  85. Линейные действия над матрицами
  86. Произведение матриц. Многочлены от матриц
  87. Определители и их свойства
  88. Обратная матрица
  89. Ранг матрицы
  90. Системы линейных уравнений
  91. Линейные системы. Основные определения
  92. Матричная запись линейной .системы
  93. Невырожденные линейные системы
  94. Произвольные линейные системы
  95. Метод Гаусса
  96. Комплексные числа
  97. Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними
  98. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа
  99. Геометрическое изображение комплексных чисел
  100. Действия над комплексными числами
  101. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа
  102. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
  103. Алгебраические уравнения
  104. Алгебраические многочлены
  105. Корни многочлена. Теорема Безу
  106. Квадратные уравнения
  107. Кубические уравнения
  108. Уравнения четвертой степени
  109. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители
  110. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей
  111. Линейные пространства
  112. Линейное пространство. Подпространство
  113. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства
  114. Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств
  115. Координаты вектора линейного пространства
  116. Ранг системы векторов линейного пространства
  117. Преобразование координат вектора при изменении базиса
  118. Евклидово пространство
  119. Унитарное пространство
  120. Линейные преобразования (линейные операторы)
  121. Линейное преобразование и его матрица
  122. Линейное преобразование в координатах
  123. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы
  124. Характеристическое уравнение линейного преобразования
  125. Собственные векторы линейного преобразования
  126. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду
  127. Действия над линейными преобразованиями
  128. Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному
  129. Ортогональные матрицы
  130. Ортогональные преобразования
  131. Квадратичные формы
  132. Квадратичная форма и ее матрица
  133. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных
  134. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду
  135. Закон инерции квадратичных форм
  136. Знакоопределенные квадратичные формы
  137. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных
  138. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости
  139. Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве
  140. Группы
  141. Понятие группы. Основные определения
  142. Примеры групп
  143. Подгруппа
  144. Группы преобразований. Симметрическая группа -й степени
  145. Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника
  146. Изоморфизм групп
  147. Разложение группы по подгруппе
  148. Нормальный делитель
  149. Классы сопряженных элементов
  150. Фактор-группа
  151. Гомоморфизм групп
  152. Представления групп
  153. Математический анализ в высшей математике
  154. Функции и пределы
  155. Понятие функции. Основные определения
  156. Предел последовательности
  157. Предел функции
  158. Бесконечно малые функции и их свойства
  159. Сравнение бесконечно малых функций
  160. Бесконечно большие функции
  161. Основные теоремы о пределах функций
  162. Некоторые важные пределы
  163. Непрерывность функции
  164. Точки разрыва функции
  165. Показательная функция. Гиперболические функции
  166. Производные и дифференциалы
  167. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
  168. Основные правила дифференцирования
  169. Основные формулы дифференцирования
  170. Дифференциал функции
  171. Основные теоремы дифференциального исчисления
  172. Формула Тейлора для некоторых функций
  173. Приближенные формулы
  174. Приложения производной
  175. Правило Лопитапя - Бернулли
  176. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
  177. Экстремум функции
  178. Направления выпуклости, точки перегиба
  179. Асимптоты
  180. Исследование функций и построение их графиков
  181. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
  182. Дифференциал длины дуги кривой
  183. Кривизна плоской кривой
  184. Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента
  185. Переменная векторная величина.
  186. Дифференцирование вектор-функций
  187. Уравнения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии
  188. Неопределенный интеграл
  189. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов
  190. Метод подстановки
  191. Метод интегрирования по частям
  192. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе
  193. Интегрирование рациональных функций
  194. Интегрирование простейших иррациональных функций
  195. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
  196. Определенный интеграл
  197. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства
  198. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
  199. Формула Ньютона - Лейбница
  200. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям
  201. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем
  202. Несобственные интегралы
  203. Интегралы Эйлера
  204. Площадь криволинейной фигуры
  205. Длина дуги кривой
  206. Объем тела. Площадь поверхности вращения
  207. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
  208. Множества в -мерном пространстве
  209. Понятие функции нескольких переменных
  210. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
  211. Частные производные функции нескольких переменных
  212. Полный дифференциал функции нескольких переменных
  213. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
  214. Дифференцирование неявных и сложных функций
  215. Экстремум функции нескольких переменных
  216. Условный экстремум
  217. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
  218. Семейства линий и их огибающие. Семейства поверхностей и их огибающие
  219. Двойной интеграл
  220. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл
  221. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах
  222. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
  223. Вычисление площадей плоских областей
  224. Вычисление объемов тел
  225. Вычисление площадей поверхностей
  226. Приложения двойных интегралов в механике
  227. Несобственные двойные интегралы
  228. Тройной интеграл
  229. Понятие тройного интеграла. Оценка тройного интеграла
  230. Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах
  231. Замена переменных в тройном интеграле
  232. Приложения тройных интегралов
  233. Криволинейные интегралы
  234. Криволинейные интегралы первого рода
  235. Криволинейные интегралы второго рода
  236. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
  237. Приложения криволинейных интегралов
  238. Интегралы по поверхности
  239. Поверхностные интегралы первого рода
  240. Поверхностные интегралы второго рода
  241. Формула Стокса. Формула Остроградского
  242. Приложения интегралов по поверхности
  243. Числовые ряды
  244. Основные понятия. Необходимый признак сходимости
  245. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши
  246. Признак Д’Аламбера. Признак Коши. Другие признаки
  247. Знакопеременные ряды
  248. Действия над рядами
  249. Некоторые числовые ряды и их суммы
  250. Функциональные ряды
  251. Сходимость функциональных рядов
  252. Равномерная сходимость функциональных рядов
  253. Степенные ряды. Действия над степенными рядами
  254. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
  255. Применения рядов в приближенных вычислениях
  256. Ряды Фурье
  257. Степенные ряды с комплексной переменной
  258. Дифференциальные уравнения в высшей математике
  259. Дифференциальные уравнения первого порядка
  260. Уравнение с разделяющимися переменными
  261. Однородные уравнения
  262. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
  263. Уравнения в полных дифференциалах
  264. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
  265. Дифференциальные уравнения второго порядка
  266. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения порядка
  267. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  268. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
  269. Дифференциальные уравнения высших порядков
  270. Системы дифференциальных уравнений
  271. Основные понятия
  272. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков
  273. Линейные однородные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами
  274. Линейные неоднородные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами
  275. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  276. Нормальные системы дифференциальных уравнений
  277. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
  278. Дифференциальные уравнения с частными производными
  279. Основные определения
  280. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
  281. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
  282. Основные дифференциальные уравнения математической физики
  283. Элементы векторного и тензорного анализа
  284. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля
  285. Градиент скалярного поля. Производная по направлению
  286. Векторное поле. Векторные линии
  287. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное поле. Теорема Остроградского
  288. Циркуляция векторного поля
  289. Ротор векторного поля. Теорема Стокса
  290. Потенциальное поле
  291. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа
  292. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора
  293. Действия над тензорами
  294. Тензоры в евклидовом пространстве
  295. Тензорное поле
  296. Численные методы в высшей математике
  297. Приближенное решение уравнений
  298. Отделение корней уравнения
  299. Метод хорд
  300. Метод касательных
  301. Метод итераций
  302. Метод Чебышева
  303. Интерполирование функций
  304. Интерполяционный многочлен Лагранжа
  305. Разности различных порядков. Разделенные разности
  306. Интерполяционный многочлен Ньютона
  307. Приближенное вычисление определенных интегралов
  308. Формулы прямоугольников
  309. Формула трапеций
  310. Формула парабол
  311. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью рядов
  312. Приближенное решение дифференциальных уравнений
  313. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
  314. Метод Эйлера
  315. Метод Рунге - Кутта
  316. Теория вероятностей и математическая статистика в высшей математике
  317. Случайные события и их вероятности
  318. Классификация событий
  319. Действия над событиями. Соотношения между событиями
  320. Различные определения вероятности события
  321. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий
  322. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса
  323. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики
  324. Дискретные случайные величины
  325. Функция распределения. Плотность распределения
  326. Математическое ожидание случайной величины
  327. Дисперсия случайной величины
  328. Некоторые другие числовые характеристики
  329. Некоторые законы распределения случайных величин
  330. Основные теоремы теории вероятностей
  331. Элементы математической статистики и математической обработки результатов измерений
  332. Основные понятия математической статистики
  333. Доверительный интервал. Доверительная вероятность
  334. Оценка точного значения измеряемой величины
  335. Оценки точности измерений
  336. Эмпирические формулы
  337. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление
  338. Элементы теории функций комплексной переменной
  339. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность
  340. Основные элементарные функции комплексной переменной
  341. Дифференцирование функций комплексной переменной
  342. Интегрирование функций комплексной переменной
  343. Интегральная формула Коши
  344. Ряд Тейлора. Ряд Лорана
  345. Нули функции. Особые точки
  346. Вычеты функций
  347. Элементы операционного исчисления
  348. Оригинал и изображение
  349. Основные правила и формулы операционного исчисления
  350. Основные теоремы операционного исчисления
  351. Решение дифференциальных уравнений и их систем
  352. Некоторые оригиналы и их изображения в высшей математике
  353. Некоторые математические знаки в высшей математике и даты их возникновения

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решений по предмету "Высшая математика". Если у вас нет времени на решение заданий по высшей математике - вы всегда можете попросить меня. Напишите мне в воцап, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня.

Краткий курс лекций по высшей математике с примерами решения

Выберите интересующую вас тему:

Высшая математика

Алгебра средняя школа

  1. Математика для чайников
  2. Целые числа
  3. Как решать дробные уравнения
  4. Рациональные числа
  5. Разложение на множители
  6. Формулы сокращенного умножения
  7. Действия со степенями
  8. Действия с корнями
  9. Умножение логарифмов: пример решения
  10. Логарифмы: примеры и решения
  11. Свойства логарифмов
  12. Метод интервалов
  13. Решение дробных неравенств
  14. Логарифмические неравенства
  15. Тригонометрические неравенства
  16. Таблица синусов и косинусов
  17. Упростить выражение: пример упрощения
  18. Формулы приведения
  19. Как привести к общему знаменателю
  20. Найти значение выражения
  21. Решение кубических уравнений
  22. Теорема Виета
  23. Свойства корней
  24. Уравнение 4 степени
  25. Аналитическое решение уравнения
  26. Решение систем уравнений
  27. Методы решения тригонометрических уравнений
  28. Знаки тригонометрических функций

Геометрия. Планиметрия средняя школа

  1. Признаки равенства треугольников
  2. Теорема Пифагора
  3. Свойства прямоугольного треугольника
  4. Как найти длину

Аналитическая геометрия

  1. Простейшие задачи аналитической геометрии
  2. Прямая линия на плоскости
  3. Линии второго порядка
  4. Декартова система координат: примеры решения
  5. Полярная система координат: примеры решения
  6. Переход к полярным координатам
  7. Полярные координаты
  8. Уравнение прямой
  9. Уравнение прямой через две точки
  10. Найдите координаты точки пересечения прямых
  11. Найти угол между прямыми: примеры решения
  12. Уравнение окружности и прямой
  13. Уравнение эллипса
  14. Каноническое уравнение эллипса
  15. Каноническое уравнение параболы
  16. Каноническое уравнение гиперболы
  17. Уравнение гиперболы
  18. Уравнение нормали: пример решения

Аналитическая геометрия в пространстве

  1. Уравнение плоскости
  2. Уравнение плоскости по трем точкам
  3. Прямая в пространстве
  4. Прямые и плоскости в пространстве
  5. Уравнение прямой в пространстве
  6. Скрещивающиеся прямые
  7. Расстояние между скрещивающимися прямыми
  8. Формулы двойного угла
  9. Поверхность второго порядка

Линейная алгебра

  1. Арифметические n-мерные векторные пространства
  2. Системы линейных уравнений
  3. Решение разных задач методом гаусса
  4. Матрицы
  5. Матрицы и системы линейных уравнений
  6. Определители
  7. Применение определителей

Математический анализ

  1. Понятие функции. Теория пределов
  2. Предел числовой последовательности
  3. Определение предела функции
  4. Непрерывность функции

Дифференциальные уравнения

  1. Дифференциальные уравнения
  2. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

  1. Производная функции в точке
  2. Производная и дифференциал
  3. Производная и экономические задачи
  4. Теоремы, связанные с понятием производной
  5. Применение производных к исследованию функций
  6. Построение графика функции

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

  1. Функции многих переменных
  2. Дифференцирование функций многих переменных
  3. Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
  4. Метод наименьших квадратов

Интегральное исчисление

  1. Неопределенный интеграл
  2. Методы интегрирования
  3. Интегрирование некоторых классов функций
  4. Определенный интеграл
  5. Методы определенного интегрирования
  6. Приложения определенного интеграла

Матрицы и их применение

  1. Действия над матрицами
  2. Сложение матриц: примеры решения
  3. Вычитание матриц: примеры решения
  4. Единичная матрица: вид, примеры, онлайн
  5. Умножение матриц
  6. Матрица в математике: примеры решения
  7. Умножение матрицы на вектор
  8. Вычислить определитель матрицы
  9. Вычислить определитель
  10. Определитель матрицы примеры решения
  11. Найти определитель матрицы
  12. Нахождение обратной матрицы
  13. Обратная матрица примеры решения
  14. Как найти ранг матрицы: пример решения
  15. Ранг матрицы: примеры решения
  16. Матрица: пример решения
  17. Собственные числа матрицы
  18. Собственные векторы матрицы
  19. Матрица перехода
  20. Собственные значения матрицы
  21. Жорданова форма матрицы
  22. Критерий Сильвестра
  23. Матрица смежности графа

Системы линейных алгебраических уравнений

  1. Правило Крамера
  2. Метод Крамера: пример решения
  3. Решить систему уравнений методом Гаусса
  4. Матричные уравнения: пример решения
  5. Метод Гаусса: пример решения
  6. Метод Жордана Гаусса
  7. Система линейных уравнений
  8. Фундаментальная система решений
  9. Решение слау
  10. Решение систем линейных уравнений

Векторная алгебра

  1. Векторы
  2. Координаты вектора
  3. Длина вектора по координатам
  4. Скалярное произведение векторов примеры решения
  5. Векторное произведение векторов
  6. Векторное произведение примеры решения
  7. Умножение векторов: пример решения
  8. Линейная комбинация векторов
  9. Найти угол между векторами: пример решения
  10. Компланарные векторы
  11. Линейная зависимость векторов

Пределы

  1. Пределы в математике
  2. Свойства пределов функции
  3. Сложение и вычитание пределов
  4. Вычисление пределов
  5. Первый замечательный предел: пример решения
  6. Второй замечательный предел: пример решения
  7. Замечательные пределы примеры решения
  8. Как решать пределы: пример решения
  9. Пределы для чайников
  10. Найти предел используя правило Лопиталя
  11. Правило Лопиталя: пример решения
  12. Решение пределов со степенями
  13. Как решать пределы с корнями: в числителе
  14. Примеры решений пределов с корнями
  15. Предел логарифма: пример решения
  16. Пределы: примеры решения
  17. Пределы функций примеры решения

Функции одной переменной. Дифференцирование

  1. Высшая математика для чайников
  2. Высшая математика в примерах
  3. Матанализ для чайников
  4. Область определения функции примеры решения
  5. Как найти область определения функции: решение
  6. Найти область определения функции
  7. Область значения функции
  8. Область допустимых значений
  9. Непрерывность функции
  10. Что такое производная
  11. Определение производной
  12. Найти производную функции
  13. Найти производную функцию
  14. Дифференцируемая функция: пример решения
  15. Правила дифференцирования
  16. Производная показательно степенной функции
  17. Производная примеры решения
  18. Производная функции
  19. Производная частного
  20. Как найти производную: примеры решения
  21. Формулы производных
  22. Таблица производных
  23. Таблица производных полная: для студентов
  24. Производная натурального логарифма
  25. Производная неявной функции
  26. Производная функции заданной неявно
  27. Смешанная производная
  28. Производная экспоненты
  29. Производная показательной функции
  30. Производная косинуса
  31. Производная синуса
  32. Производная котангенса: пример решения
  33. Производная тангенса
  34. Производная сложной функции примеры решений
  35. Механический смысл производной
  36. Физический смысл производной
  37. Геометрический и физический смысл производной
  38. Геометрический смысл производной в точке
  39. Геометрический смысл производной
  40. Контрольная производная и ее геометрический смысл
  41. График производной функции
  42. Найти первую и вторую производные функции
  43. Производные высших порядков
  44. Уравнения касательной и нормали
  45. Дифференциал функции нескольких переменных
  46. Дифференциал функции
  47. Полный дифференциал функции: пример решения
  48. Ряд тейлора примеры решения
  49. Разложение в ряд Тейлора
  50. Формула Тейлора
  51. Ряд Маклорена
  52. Разложение в ряд маклорена
  53. Найти три первых отличных от нуля

Исследование функций и построение графиков

  1. Полное исследование функции
  2. Полное исследование графика функции
  3. Исследовать функцию на непрерывность: пример решения
  4. Исследовать функцию на экстремум
  5. Экстремум функции
  6. Экстремум функции двух переменных
  7. Экстремум функции трёх переменных
  8. Исследование функции: пример решения
  9. Исследование графика функции
  10. Наибольшее значение функции
  11. Наименьшее значение функции
  12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
  13. Наибольшее и наименьшее значение функции
  14. Экстремумы функции наибольшее и наименьшее значения
  15. Найти оптимум функции
  16. Выпуклость функции
  17. Точки перегиба функции
  18. Точки разрыва функции: примеры решения
  19. Асимптоты графика функции
  20. Преобразование графиков тригонометрических функций
  21. Преобразование графиков функций
  22. Элементарные преобразования графиков функций
  23. Найдите координаты точки пересечения графиков

Функции нескольких переменных

  1. Функции многих переменных
  2. Частная производная функции
  3. Частные производные первого порядка
  4. Частные производные второго порядка
  5. Найти частные производные
  6. Условный экстремум
  7. Метод Лагранжа
  8. Метод множителей Лагранжа
  9. Функция Лагранжа
  10. Градиент функции: пример решения
  11. Производная по направлению

Неопределенный интеграл

  1. Неопределенный интеграл
  2. Найти неопределенный интеграл: примеры решения
  3. Найти неопределённый интеграл: пример решения
  4. Как решать интегралы: обучение онлайн
  5. Метод интегрирования
  6. Интегралы для чайников
  7. Замена переменной в неопределенном интеграле
  8. Изменить порядок интегрирования
  9. Внесение под знак дифференциала: подведение
  10. Интегрирование по частям примеры решения
  11. Интеграл произведения
  12. Интеграл примеры решения
  13. Таблица интегралов
  14. Интеграл натурального логарифма
  15. Интеграл от экспоненты
  16. Интегрирование рациональных дробей
  17. Интегрирование иррациональных функций
  18. Интегрирование тригонометрических функций

Определенный и несобственный интеграл

  1. Замена переменной в определенном интеграле
  2. Вычислить определенный интеграл
  3. Площадь криволинейной трапеции
  4. Найти площадь фигуры ограниченной линиями
  5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
  6. Площадь фигуры ограниченной линиями
  7. Определенный интеграл примеры решений
  8. Решение определённых интегралов
  9. Вычислить несобственный интеграл
  10. Несобственный интеграл примеры решения
  11. Несобственный интеграл первого рода
  12. Несобственный интеграл второго рода

Кратные и криволинейные интегралы

  1. Двойной интеграл: примеры решения
  2. Интегрирование двойных интегралов
  3. Вычислить двойной интеграл
  4. Криволинейный интеграл: примеры решения
  5. Вычислить криволинейный интеграл
  6. Криволинейный интеграл 1 рода
  7. Криволинейный интеграл 2 рода
  8. Тройной интеграл
  9. Формула Грина
  10. Теорема Гаусса
  11. Длина дуги кривой
  12. Вычислить длину дуги кривой
  13. Объём тела вращения
  14. Вычислить объем тела
  15. Найдите объем тела ограниченного
  16. Площадь поверхности вращения: пример решения

Комплексные числа

  1. Комплексные числа: примеры решения
  2. Формы комплексного числа
  3. Тригонометрические комплексные числа
  4. Алгебраические комплексные числа
  5. Показательные комплексные числа
  6. Модуль комплексного числа
  7. Теорема Муавра Лапласа
  8. Формула Муавра

Ряды

  1. Числовые ряды
  2. Степенные ряды
  3. Ряды математика
  4. Сумма ряда
  5. Найти сумму ряда: пример решения
  6. Ряды: примеры решения
  7. Сходимость ряда
  8. Найти сходимость ряда
  9. Признаки сходимости рядов
  10. Предельный признак сравнения
  11. Признак Даламбера: пример решения
  12. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера
  13. Интегральный признак Коши
  14. Исследовать ряд на сходимость: пример решения
  15. Знакочередующиеся ряды
  16. Сходимость знакочередующихся рядов
  17. Признак Лейбница
  18. Исследовать ряд на абсолютную сходимость
  19. Исследовать ряд на условную сходимость
  20. Степенные ряды
  21. Построить ряд по степеням
  22. Сходимость степенного ряда
  23. Найти область сходимости ряда: пример решения
  24. Интервал сходимости степенного ряда
  25. Область сходимости ряда
  26. Степенной ряд сходимость: пример решения
  27. Функциональные ряды
  28. Сходимость функционального ряда
  29. Равномерная сходимость функционального ряда
  30. Область сходимости функционального ряда
  31. Ряд Фурье: примеры решения
  32. Разложение в ряд фурье функций
  33. Разложить в ряд фурье
  34. Ряд фурье функции

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Некоторые виды ОДУ и методы их решения

  1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
  2. Общее решение дифференциального уравнения
  3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
  4. Решение дифференциальных уравнений
  5. Дифференциальные уравнения примеры с решениями
  6. Дифференциальные уравнения второго порядка
  7. Дифференциальные уравнения первого порядка
  8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
  9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
  10. Линейные дифференциальные уравнения
  11. Дифференциальные уравнения высших порядков
  12. Нелинейные дифференциальные уравнения
  13. Однородные дифференциальные уравнения
  14. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
  15. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
  16. Неоднородные дифференциальные уравнения
  17. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
  18. Дифференциальное уравнение Бернулли
  19. Уравнение Бернулли дифференциальные уравнения
  20. Дифференциальные уравнения примеры решения
  21. Метод вариации произвольных постоянных
  22. Метод вариации постоянных
  23. Коэффициент вариации
  24. Метод вариации постоянных произвольных
  25. Решение задачи Коши
  26. Найти общее решение уравнения
  27. Общее решение уравнения

Системы ОДУ

  1. Системы дифференциальных уравнений
  2. Системы линейных дифференциальных уравнений
  3. Найти фундаментальную систему решений

Элементы теории множеств и комбинаторики

  1. Операции над множествами
  2. Таблица истинности логических выражений
  3. Комбинаторика
  4. Формулы комбинаторики

Случайные события и действия с ними

  1. Как найти вероятность: пример решения
  2. Формула Байеса
  3. Формула Пуассона
  4. Распределение Пуассона
  5. Биномиальное распределение
  6. Биномиальный закон распределения
  7. Отрицательное биномиальное распределение

Случайные величины

  1. Значения случайной величины
  2. Случайная вероятность
  3. Функция распределения
  4. Функция распределения дискретной случайной
  5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
  6. Дисперсия дискретной случайной величины
  7. Дисперсия случайной величины
  8. Формула дисперсии
  9. Среднее квадратическое отклонение
  10. Непрерывная случайная величина
  11. Функция плотности распределения
  12. Геометрическое распределение
  13. Нормальный закон распределения
  14. Нормальный закон распределения случайной величины
  15. Нормальное распределение примеры решения
  16. Равномерное распределение
  17. Показательное распределение

Элементы вычислительной математики

  1. Метод наименьших квадратов примеры решения
  2. Метод неопределенных коэффициентов
  3. Численные методы решения слау
  4. Метод Ньютона
  5. Метод Симпсона
  6. Метод Эйлера
  7. Частное решение дифференциального уравнения
  8. Уравнение в полных дифференциалах
  9. Формула Симпсона: пример решения
  10. Симплекс метод: примеры решения
  11. Алгебра логики
  12. Реляционная модель данных
  13. Реляционная алгебра
  14. Дерево решений: метод и задачи
  15. Метод Якоби
  16. Уравнения в полных дифференциалах
  17. Вычислить с точностью до 0.001

Полный курс лекций по высшей математике с примерами и образцами решения

Аналитическая геометрия

Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве

Координаты на прямой

На прямой зафиксируем одно из двух определяемых ею направлений и назовем его положительным, другое - отрицательным. Прямую, на которой указано положительное направление, называют осью. Отрезок, ограниченный точками А и В, называют направленным отрезком или вектором, если указано, какая из данных точек является началом, какая - концом. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначают AB. Величиной направленного отрезка AB некоторой оси называют его длину, взятую со знаком плюс, когда направление этого отрезка совпадает с положительным направлением данной оси, и со знаком минус, когда оно совпадает с отрицательным направлением оси. Величину направленного отрезка AB обозначают AB. Координатной осью называют прямую, на которой зафиксированы начало отсчета, положительное направление и выбран масштаб для измерения длин. Координатой точки М координатной оси (рис. 1.1) называют величину ОМ направленного отрезка ОМ, где О - начало координат. Если обозначить координату точки М через х, то по определению х = ОМ.

Высшая математика

Запись М (х) означает, что точка М имеет координату х. Если даны две точки Высшая математика то величина направленного отрезка Высшая математика вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

а расстояние между ними - по формуле

Высшая математика Высшая математика

Простым отношением трех различных точек Высшая математика лежащих на одной прямой и взятых в указанном порядке, называют число

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - величины направленных отрезков Высшая математика Если точка М принадлежит отрезку Высшая математика простое отношение положительно Высшая математика так как числитель и знаменатель в последней формуле одного знака. В этом случае говорят, что точка М делит отрезок Высшая математика внутренним образом. Если точкаМ лежит вне отрезка Высшая математика, то Высшая математика (числитель и знаменатель в формуле имеют противоположные знаки); точка М делит отрезок Высшая математика внешним образом. Если точки Высшая математика совпадают, то Высшая математика Пусть Высшая математика - точки координатной оси Ох, тогда

Высшая математика Высшая математика

откуда

Высшая математика Высшая математика

Эта формула определяет координату точки М. делящей направленный отрезок Высшая математика в данном отношении Высшая математика Если точка М совпадает с серединой отрезка Высшая математика то Высшая математика поэтому ее координата определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Пример 1.1. Даны две точки Высшая математика Найти величину направленного отрезка Высшая математика и расстояние между точками.

Решение: В данном случае Высшая математика по формулам (1.1) и (1.2) находим Высшая математика

Координаты на плоскости

Прямоугольными декартовыми координатами точки М называют числа, определяемые формулами

Высшая математика

где Высшая математика - величина отрезка Высшая математика оси Ох, Высшая математика — величина направленного отрезка Высшая математика оси Оу (рис. 1.2). Полярная система координат на плоскости определяется точкой О (полюс), исходящим из нее лучом ОР (полярная ось), масштабным отрезком е и направлением отсчета углов (рис. 1.3).

Полярными координатами точки М, не совпадающей с полюсом, называют расстояние Высшая математика (полярный радиус) от точки М до полюса О и величину угла Высшая математика (полярный угол) между полярной осью ОР и лучом ОМ. Для полюса считают Высшая математика (Высшая математика не определен). Полярный угол имеет бесконечное множество значений, главным значением его называют значение, удовлетворяющее условию Высшая математика При соответствующем выборе прямоугольной декартовой и полярной систем координат (рис. 1.4) связь между декартовыми координатами х и у точки М и ее полярными координатами Высшая математика выражается формулами

Высшая математика Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

Высшая математика

Пример 1.2. Найти прямоугольные декартовы координаты точек Высшая математика Высшая математика в системе, для которой полюс совпадает с началом координат, полярная ось - с положительной полуосью Ох.

Решение: Применяя формулы (1.7), находим координаты точки А:

Высшая математика

Аналогично находим координаты точки В: Высшая математика

Расстояние между двумя точками на плоскости

В прямоугольной декартовой системе координат расстояние между двумя точками Высшая математика определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

В частном случае, когда одна из точек, например Высшая математика совпадает с началом координат, формула (1.9) принимает вид

Высшая математика Высшая математика

Пример 1.3. Вычислить расстояние между точками Высшая математика и расстояние от точки Высшая математика до начала координат.

Решение: По формулам (1.9) и (1.10) получаем

Высшая математика

Пример 1.4. Вычислить периметр треугольника с вершинами в точках Высшая математика

Решение: По формуле (1.9) находим

Высшая математика

Следовательно, Р = а+b+с=12.

Деление отрезка в данном отношении

Отношением, в котором точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки Высшая математика делитотрезок Высшая математика называют число Высшая математика определяемое формулой (1.3). Если даны точки Высшая математика то координаты точки М(х, у), делящей отрезок Высшая математика в отношении Высшая математикаопределяются формулами

Высшая математика Высшая математика

Когда точка М является серединой отрезка Высшая математика то ее координаты вычисляют по формулам

Высшая математика Высшая математика

Пример 1.5. Даны две точки Высшая математика На прямой Высшая математика найти точку М, которая в три раза ближе к Высшая математика чем к Высшая математика и находится вне отрезка Высшая математика Найти середину этого отрезка.

Решение: Искомая точка М делит отрезок Высшая математика в отношении Высшая математика По формулам (1.11), считая в них Высшая математика находим

Высшая математика

С помощью формул (1.12) находим точку Высшая математика - середину отрезка Высшая математика

Пример 1.6. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках Высшая математика

Высшая математика

Решение: Пусть S (х, у) - точка пересечения медиан АК, BL, СМ треугольника АВС (рис. 1.5, а). Так как точка L - середина отрезка АС, то она имеет координаты Высшая математика Отрезок BL точкой S делится в отношении Высшая математика Считая точку В первой, точку L второй, по формулам (1.11) находим

Высшая математика

Следовательно, координаты точки пересечения медиан треугольника по координатам его вершин определяются формулами

Высшая математика Высшая математика

Центр тяжести системы масс

Дана система масс Высшая математика помещенных соответственно в точках Высшая математика некоторой плоскости. Формулы, выражающие координаты центра тяжести этой системы масс, имеют вид

Высшая математика

где знаком Высшая математика обозначена сумма однотипных слагаемых.

Пример 1.7. В вершинах Высшая математика треугольника АВС сосредоточены равные массы Высшая математика Найти центр тяжести этой материальной системы.

Решение: Формулы (1.14) при Высшая математика принимают вид

Высшая математика

Используя условие Высшая математика получаем

Высшая математика

Замечание. Из последнего примера и формул (1.13) следует, что центр тяжести данной системы находится в точке пересечения медиан треугольника.

Площадь треугольника

Каковы бы ни были три точки Высшая математика площадь Высшая математика треугольника АВС вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

Правая часть формулы равна Высшая математика в.том случае, когда кратчайший поворот отрезка AB к отрезку АС положителен (рис. 1.5, а), и Высшая математика когда указанный поворот отрицателен (рис. 1.5, б). В формуле (1.15) берут знак плюс, когда выражение в квадратных скобках положительно, и минус, когда оно отрицательно.

Пример 1.8. Даны две точки А (3,5), В (6 ,- 2). На оси Оу найти такую точку С, чтобы площадь треугольника АВС равнялась 15 квааратным единицам. Пусть Высшая математика - искомая точка ( Высшая математика так как точка лежит на оси Оу). В формулу (1.15) подставим значения Высшая математика Высшая математика и найдем у:

Высшая математика

Итак, условию задачи удовлетворяют координаты точек Высшая математика

Уравнение линии в декартовых координатах

Уравнением линии относительно фиксированной системы координат называют такое.уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на данной линии. Уравнение линии в декартовых координатах в общем виде записывается так:

F (x, у) = 0,

где F (x, у) - функция переменных x и у.

Пример 1.9. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух данных точек Высшая математика

Решение: Пусть Высшая математика - произвольная точка данного геометрического места. По условию Высшая математика По формуле (1.9) получаем

Высшая математика

Подставляя эти выражения в равенство Высшая математика находим уравнение данного множества точек:

Высшая математика

Упростим это уравнение. Возведем в квадрат обе части уравнения и раскроем скобки в подкоренных выражениях:

Высшая математика

Произведя преобразования, получим Зx + у - 1 = 0. Это уравнение прямой линии.

Пример 1.10. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(а,Ь).

Решение: Пусть М (x, у) — произвольная точка данной окружности. По определению окружности (как множества точек, равноудаленных от данной точки) для любой ее точки имеем Высшая математика Выражая расстояние между точками М и С по формуле Высшая математика и подставляя его в левую часть данного равенства, получим уравнение Высшая математика которое можно записать так:

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (1.16) является уравнением окружности радиуса R с центром в точке С (а, Ь).

Если точка С совпадает с началом координат, то уравнение (1.16) принимает вид

Высшая математика Высшая математика

Замечание. Если точка N (х, у) лежит внутри круга радиуса R с центром в начале координат, то ее координаты удовлетворяют неравенству Высшая математика если вне указанного круга, то неравенству Высшая математика

Пример 1.11. Точка М движется так, что в любой момент времени ее расстояние до точки А(4,0) вдвое больше расстояния до точки В (1,0). Найти уравнение траектории движения точки М.

Решение: Текущие координаты точки М в прямоугольной декартовой системе координат обозначим через х, у. По условию Высшая математика Выразим длины отрезков МА и МВ через координаты соответствующих точек с помощью формулы (1.9):

Высшая математика

Подставляя эти выражения в равенство Высшая математика получаем уравнение траектории движения точки М: Высшая математика Упростим это уравнение, для чего возведем в квадрат обе части и приведем подобные члены

Высшая математика

Итак, траекторией движения точки М является окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат.

Пересечение линий

Координаты точек пересечения двух линий, заданных уравнениями 'F (х, у) = 0, Ф (х, у) = 0, находят из системы этих уравнений

F (x ,y )= 0 , Ф (х,у) = 0. (1.18)

Число действительных решений равно числу точек пересечения. Если система (1.18) не имеет действительных решений, то данные линии не пересекаются.

Пример 1.12. Найти точки пересечения линий Высшая математика Из последнего уравнения выражаем у = - х + 4 и подставляем в первое уравнение: Высшая математика откуда Высшая математика Подставим эти значения в уравнение у = - х + 4 и найдем Высшая математика Следовательно, получены две точки пересечения М (1,3), N (3,1).

Пример 1.13. Найти точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями Высшая математика

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем систему уравнений

Высшая математика

Вычитая второе уравнение из первого, получаем -14х + 28 = 0, откуда х = 2. Второе уравнение системы при х = 2 сводится к квадратному относительно у: Высшая математикаРешив его, найдем Высшая математика Следовательно, данные окружности пересекаются в точках Высшая математика

Уравнение линии в полярных координатах

Уравнение линии на плоскости в полярных координатах в общем виде можно записать так:

Высшая математика

где Высшая математика - функция переменных Высшая математика (Высшая математика - полярные координаты). Если это уравнение разрешимо относительно Высшая математика то его можно представить в виде Высшая математика

Пример 1.14. Составить уравнение прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей от нее отрезок, длина которого равна Высшая математика

Решение: Обозначим буквой А точку пересечения данной прямой с полярной осью ОР (рис. 1.6). Пусть Высшая математика - произвольная точка данной прямой. Из прямоугольного треугольника ОАМ находим, что Высшая математика Полученное уравнение является искомым; ему удовлетворяют координаты любой точки данной прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой прямой.

Высшая математика

Пример 1.15. Составить уравнение окружности радиуса Высшая математика касающейся полярной оси в полюсе, центр которой расположен выше полярной оси (рис. 1.7).

Решение: Пусть Высшая математика - произвольная точка окружности, ОА - диаметр окружности, равный Высшая математика Так как в треугольнике ОАМ угол при вершине М прямой, угол при вершине О равен Высшая математика то Высшая математика или Высшая математика Это искомое уравнение данной окружности.

Параметрические уравнения линии

Уравнения вида

Высшая математика Высшая математика

называются параметрическими уравнениями линии, если при изменении t в некотором промежутке формулы (1.19) дают координаты любой точки данной линии и только таких точек.

Если линия задана уравнением Высшая математика в полярных координатах, то ее параметрические уравнения можно записать так:

Высшая математика Высшая математика

В уравнениях (1.20) роль параметра играет полярный угол Высшая математика

Пример 1.16. Составить параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат.

Высшая математика

Решение: Пусть М (х ,у ) - произвольная точка данной окружности, t - величина угла, образуемого отрезком ОМ и осью абсцисс, Р и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки М на координатные оси (рис. 1.8). Так как по определению х = ОР, у = OQ и OP = Rcost, OQ= Rsint, то x = Rcost, y = Rsint.

Следовательно, параметрические уравнения данной окружности имеют вид х= Rcost, у = Rsint, где Высшая математика

Исключив из этих уравнений параметр t (для чего возведем в квадрат оба равенства и почленно сложим), получим уравнение Высшая математика (см. уравнение (1.17)).

Пример 1.17. Составить параметрические уравнения циклоиды. Циклоидой называют линию, являющуюся траекторией фиксированной точки окружности радиуса R, катящейся по прямой.

Решение: Указанную прямую примем за ось Ох декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1.9). Предположим, что фиксированная точка при начальном положении окружности находилась в начале координат, а после того как окружность повернулась на угол г, заняла положение М.

Поскольку х = OP = OK - РК, у = MP = CK - CN и OK = МК = Rt, PK=MN = Rsint, CK = R, CN = Rcost, то x = Rt-R sin t, y = R -R cos t, или

x = R (t-sin t), y = R (1-cost). (1.21)

Уравнения (1.21) называются параметрическими уравнениями циклоиды.

Преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости

Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в разных системах координат.

Параллельный перенос. Пусть даны две системы декартовых прямоугольных координат с общим масштабным отрезком: Оху (старая) и Высшая математика (новая), соответствующие оси которых параллельны (рис. 1.10).

Высшая математика

Положительные полуоси имеют одинаковые направления, начало новой системы находится в точке Высшая математика старые координаты которой Высшая математика (новые координаты ее равны нулю). Относительно таких систем говорят, что одна получена из другой путем параллельного переноса.

Старые координаты х, у точки М через ее новые координаты X ,Y и старые координаты Высшая математика нового начала Высшая математика выражаются формулами

Высшая математика Высшая математика

откуда

Высшая математика Высшая математика

Поворот координатных осей. Новая система Высшая математика получена путем поворота старой на угол Высшая математика вокруг точки О (рис. 1.11). Старые декартовы прямоугольные х, у точки М через ее новые координаты Высшая математика выражаются формулами

Высшая математика Высшая математика

Чтобы выразить Высшая математика через х, у, необходимо разрешить систему (1.24) относительно Высшая математика. Можно сделать проще: считать систему Высшая математика старой, тогда переход к новой системе Оху совершается поворотом на угол Высшая математика поэтому в формулах (1.24) достаточно поменять местами Высшая математика записать Высшая математика вместо Высшая математика

Высшая математика

В общем случае,, когда даны две системы Оху и Высшая математика (рис. 1.12), вводя промежуточную систему Высшая математика и применяя последовательно формулы (1.22) и (1.24), получаем

Высшая математика

Замечание. Система координат Оху, в которой кратчайший поворот положительной полуоси Ох до совпадения с положительной полуосью Оу совершается против часовой стрелки, называется правой; если указанный поворот совершается по часовой стрелке, система называется левой. Формулы (1.25) остаются прежними, если обе системы координат являются левыми. Если одна система правая, другая левая, то в формулах (1.25) изменится знак перед Высшая математика так как в случае простейшего преобразования координат разноименных систем формулы имеют вид Высшая математика

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Прямоугольная декартова система координат в пространстве определяется заданием масштаба (отрезка для измерения длин) и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, сами оси - координатными осями, первая из них- осью абсцисс, вторая- осью ординат, третья-осью аппликат. Обозначим начало координат буквой О; координатные оси будем обозначать соответственно через Ох, Oy, Oz (рис. 1.13).

Пусть М - произвольная точка пространства; проведем через нее три плоскости, перпендикулярные координатным осям, и точки пересечения с осями обозначим соответственно через Высшая математика Прямоугольными декартовыми координатами точки М называются числа, определяемые формулами

Высшая математика

где Высшая математика - величины направленных отрезков Высшая математикаВысшая математикасоответствующих координатных осей. Число х называется первой координатой или абсциссой, число у - второй координатой или ординатой, число z - третьей координатой или аппликатой точки М.

Высшая математика

Координатные плоскости Оху, Oxz, Oyz делят все точки пространства, не принадлежащие этим плоскостям, на восемь частей, называемых октантами.

Высшая математика

Начиная с I октанта, в котором все координаты положительны, пронумеруем октанты I, II, III, IV верхнего полупространства (z > 0) против часовой стрелки (для наблюдателя со стороны положительной оси Oz). В нижнем полупространстве (z < 0) проведем соответствующую нумерацию октантов V, VI, VII, VIII так, чтобы V находился под I, VI - под II, VII - под III, VIII - под IV. Знаки координат точек в различных октантах приведены в табл. 1.1.

Очевидно, знаки координат однозначно определяют октант пространства.

Расстояние между двумя точками в пространстве

Если Высшая математика -две любые точки пространства, то расстояние между ними определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

В частном случае, когда точка Высшая математика совпадает с началом координат Высшая математика то формула (1.26) принимает вид

Высшая математика Высшая математика

Пример 1.18. Вычислить расстояние между точками Высшая математика и Высшая математика а также расстояние от точки Высшая математика до начала координат.

Решение: По формулам (1.26) и (1.27) соответственно получаем

Высшая математика

Замечание. Формулы (1.26) и (1.27) упрощаются, когда точки Высшая математика лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, или в самой этой плоскости. В этом случае получаем формулы (1.9) и (1.10).

Цилиндрические асферические координаты

В плоскости П фиксируем точку О и исходящий из нее луч ОР (рис. 1.14). Через точку О проведем прямую, перпендикулярную плоскости П, и укажем на ней положительное направление; полученную ось обозначим Oz. Выберем масштаб для измерения длин. Пусть М - произвольная точка пространства, N - ее проекция на плоскость П, Высшая математика - проекция на ось Oz. Обозначим через Высшая математика полярные координаты точки N в плоскости П относительно полюса О и полярной оси ОР. Цилиндрическими координатами точки М называются числа Высшая математика где Высшая математика - полярные координаты точки Высшая математика Высшая математика - величина направленного отрезка Высшая математика оси Oz. Запись Высшая математика обозначает, что точка М имеет цилиндрические координаты Высшая математика

Высшая математика

Наименование «цилиндрические координаты» объясняется тем, что координатная поверхность Высшая математика (т. е. множество точек, имеющих одну и ту же первую координату Высшая математика) является цилиндром (на рис. 1.14 он изображен штрихами).

Если выбрать систему прямоугольных декартовых координат так, как показано на рис. 1.14, то декартовы координаты х, у, z точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами Высшая математика формулами

Высшая математика Высшая математика

Сферические координаты вводят следующим образом. Выберем масштаб для измерения длин отрезков, фиксируем плоскость П с точкой О и полуосью Ох, ось Oz, перпендикулярную плоскости П (рис. 1.15). Пусть М ~ произвольная точка пространства (отличная от О), N — проекция ее на плоскость П, Высшая математика - расстояние точки М до начала координат, Высшая математика - угол, образуемый отрезком ОМ с осью Oz, Высшая математика - угол, на который нужно повернуть ось Ох против часовой стрелки (если смотреть со стороны положительного направления оси Oz), чтобы она совпала с лучом ON; Высшая математика называется широтой, Высшая математика — долготой.

Сферическими координатами точки М называются три числа Высшая математика определенные выше. Если точка М имеет сферические координаты Высшая математика то пишут Высшая математика

Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность Высшая математика (т.е. множество точек, имеющих одну и ту же координату Высшая математика является сферой (на рис. 1.15 одна из таких сфер изображена штрихами); фиксировав другое значение Высшая математика получим другую сферу.

Для того чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат Высшая математика было взаимно однозначным, обычно считают, что Высшая математика изменяются в следующих границах: Высшая математика Если выбрать оси прямоугольной декартовой системы координат так, как указано на рис. 1.15, то декартовы координаты х, у, z точки М связаны с ее сферическими координатами Высшая математика формулами

Высшая математика Высшая математика

Линии на плоскости

Алгебраической линией (кривой) Высшая математика порядка называют линию, определяемую алгебраическим уравнением Высшая математика степени относительно декартовых координат. Линии первого порядка определяются уравнением Ах + Ву + С = О Высшая математика а линии второго порядка - уравнением Высшая математикаВысшая математика ,Высшая математика

Линии первого порядка - прямые.. К линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Прямая на плоскости

Прямую линию на плоскости относительно системы декартовых прямоугольных координат можно задать различными способами. Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с осью Ох, и величиной направленного отрезка, отсекаемого на оси Оу, координатами двух точек и т. п.

Различные виды уравнения прямой иа плоскости. Прямая, параллельная оси Оу прямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.1), пересекающая ось Ох в точке Высшая математика имеет уравнение

Высшая математика Высшая математика

Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла Высшая математика наклона ее к положительной полуоси Ох прямоугольной декартовой системы координат

Высшая математика

Угловой коэффициент прямой через координаты двух ее различных точек Высшая математика определяется формулой

Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - угловой коэффициент, b = OD - величина направленного отрезка OB, отсекаемого на оси Оу (рис. 2.2).

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент Высшая математика и проходящей через данную точку Высшая математика записывается так:

Высшая математика Высшая математика

Уравнение прямой проходящей через две данные точки Высшая математикаВысшая математика

Высшая математика Высшая математика

Параметрические уравнения прямой проходящей через эти точки:

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика принимает все действительные значения.

Уравнением прямой в отрезках называют уравнение

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на оси Ох и оси Оу.

Общим уравнением прямой называют уравнение,

Ах + Ву+С= 0, (2.8)

в котором А и В одновременно в нуль не обращаются, т.е. Высшая математика

Пример 2.1. Составить параметрические уравнения сторон треугольника, вершины которого находятся в точках А (2, 3), В (4, 7), С (6,9).

Решение: Составим сначала уравнения прямых, на которых лежат стороны AB, ВС и АС соответственно. Используя уравнение (2.5), получаем

Высшая математика

Обозначим буквой Высшая математика равные отношения, получим параметрические уравнения этих прямых: Высшая математикаВысшая математика Высшая математика

Введя ограничения на изменение параметра получим уравнения соответствующих сторон треугольника AB, ВС, АС: Высшая математика Высшая математика Высшая математика

Пример 2.2. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямой, заданной уравнением Высшая математика.

Решение: Разделив это уравнение почленно на 21, получим

Высшая математика

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.7), заключаем, что Высшая математика

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Тангенс угла между двумя прямыми (рис. 2.3)

Высшая математика Высшая математика

вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями вида (2.9), выражается равенством Высшая математика а условие их перпендикулярности - равенством

Высшая математика Высшая математика

Если прямые заданы общими уравнениями

Высшая математика Высшая математика

то тангенс угла между ними определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Необходимое' и достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями (2.12) и (2.13), выражается равенством

Высшая математика

или

Высшая математика

а условие их перпендикулярности - равенством

Высшая математика

Отметим, что прямые Ах + Ву + С = 0, Вх - Ау + С = 0 перпендикулярны в силу условия (2.17).

Высшая математика

Пример 2.3. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями 5х + Зу + 15 = 0, х + 4у-7 = 0.

Решение: Применяем формулу (2.14). Так как в данном случае Высшая математика Высшая математикато

Высшая математика

Замечание. При другой нумерации прямых Высшая математикаВысшая математика получаем Высшая математика Очевидно, Высшая математика

Пример 2.4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (4 ,-5 ) и параллельной прямой Зх + 4у + 12 = 0.

Решение: Искомое уравнение имеет вид Зх + 4у + С = 0, где С пока не определено. Вид уравнения следует из условия (2.16) при Высшая математика (считаем соответствующие коэффициенты равными). Чтобы найти значение С, необходимо подставить координаты точки М в искомое уравнение (точка М лежит на прямой, поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой). Подставляя координаты х = 4, у = -5 в уравнение Зх + 4у + С = 0, получаем 3-4 + 4- (-5) + С = 0, откуда С = 8. Таким образом, уравнение прямой имеет вид Зх + 4у + 8 = 0.

Пример 2.5 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-3,2) и перпендикулярной прямой 4х + 5у-7 = 0.

Решение: Искомое уравнение имеет вид 5х -4у + С = 0. Действительно, для прямых выполнено условие (2.17): 4-5+ 5-(-4) = 0. Точка М (-3,2) лежит на прямой 5х - 4у + С = 0, поэтому ее координаты должны удовлетворять этому уравнению: 5 (-3 )-4 -2 + С = 0. Отсюда находим, что С = 23. Итак, уравнение прямой принимает ввд 5х - 4у + 23 = 0.

Пример 2.6. Вершины треугольника находятся в точках А (3,4), Л (-2,1), С (-3 ,-5 ). Составить уравнение прямой, на которой лежит высота, опущенная из вершины В на сторону АС.

Решение: Найдем сначала угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и С. Считая точку А первой, точку С второй, т.е. полагая Высшая математикаВысшая математика по формуле (2.2) получаем Высшая математика Прямая, на которой лежит высота, опущенная из точки В на сторону АС. будет перпендикулярна прямой, проходящей через точки А и С. Угловой коэффициент этой прямой обозначим через Высшая математика Используя условие перпендикулярности двух прямых, заданное формулой (2.11), находим Высшая математика

Составим уравнение прямой, проходящей через точку В (-2,1) и имеющей заданный угловой коэффициент Высшая математика Подставляя значения Высшая математикаВысшая математика в уравнение (2.4), получаем Высшая математикаВысшая математика

Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис углов между двумя прямыми. Расстояние от точки Высшая математика до прямой Ах + Ву + С= 0 вычисляют по формуле

Высшая математика Высшая математика

Уравнения биссектрис углов между прямыми Высшая математика Высшая математика имеют вид

Высшая математика Высшая математика

Пример 2.7. Найти расстояние от точки Высшая математика до прямой, заданной уравнением 4 х -З у -1 5 = 0.

Решение: Воспользуемся формулой (2.18). Так как в данном случае Высшая математика А = 4, В = - 3, С = - 15, то

Высшая математика

Пример 2.8. Дан треугольник с вершинами P (2,-1), Q ( 6 ,-4 ), R (10,3). Найти длину высоты, опущенной из точки R.

Решение: Задача сводится к вычислению расстояния от точки R до прямой PQ. Запишем уравнение этой прямой. На основании уравнения (2.5) имеем Высшая математика или Высшая математика Расстояние точки R(10,3) до этой прямой вычислим по формуле (2.18)

Высшая математика

Следовательно, длина высоты равна 8.

Замечание. Эту задачу можно решить н другими способами. Например, длину искомой высоты можно вычислить, зная площадь треугольника PQR и длину основания PQ. Эта же длина равна расстоянию между двумя точками R и М (М - основание высоты, опущенной из точки R на PQ). В свою очередь координаты точки М находятся в результате решения системы уравнений стороны PQ и высоты RM.

Пример 2.9. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми Зх - 4у - 7 = 0, 8х + 6у -1 = 0.

В соответствии с формулой (2.19) получаем

Высшая математика

Преобразуя эти уравнения, находим

Высшая математика

Отсюда получаем уравнения биссектрис Высшая математика

Задачи, относящиеся к прямым. Рассмотрим примеры решения задач, в условиях которых даны уравнения прямых.

Пример 2.10. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х + 2у + 2 = 0 и х + у - 4 = 0 и уравнение одной из диагоналей х - 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.

Решение: Решая систему уравнений х + 2у + 2 = 0, х + у - 4 = 0, находим точку А (10, - 6) — одну из вершин параллелограмма. Две другие вершины найдем как точки пересечения данной диагонали со сторонами, т. е. определим их координаты из систем уравнений х + 2 у +2 = 0, х - 2 = 0; х + у - 4 = 0 , х - 2 = 0. Это будут точки В (2,2) и D (2,-2). Середина диагонали BD находится в точке S (2, 0). Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то четвертая вершина С (х, у) может быть найдена как конец отрезка АС по известному концу А и середине S: (х + 10)/2 = 2, (у + (-6))/2 = 0. Отсюда получаем х = —6, у = 6, т. е. точку С (-6, 6) - четвертую вершину параллелограмма ABCD.

Пример 2.11. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой до точки А (2,0) относится к ее расстоянию до прямой 5х + 8 = 0 как 5:4.

Решение: Пусть М ( х ,у ) - произвольная точка данной линии, N-основание перпендикуляра, проведенного через точку М к прямой 5х+ 8= 0, или х = -8/5. Расстояния точки М до точки А и до прямой х = -8/5 определяются соответственно формулами Высшая математика Высшая математика(последнее равенство следует также из формулы (2.18)). По условию задачи Высшая математика Высшая математика откуда Высшая математикаПреобразуем это уравнение:

Высшая математика

Выделим полные квадраты в левой части полученного уравнения:

Высшая математика

Последнее уравнение примет вид Высшая математикаили Высшая математика если перейти к новым координатам X = х + 8, У = у.

Полученное уравнение определяет гиперболу с полуосями Высшая математика (см. уравнение (2.25)).

Окружность

Каноническим уравнением окружности радиуса R с центром в точке Высшая математика называют уравнение

Высшая математика Высшая математика

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение принимает вид Высшая математика

Если уравнение второй степени, не содержащее члена с произведением координат и имеющее равные коэффициенты при Высшая математика т.е. уравнение Высшая математика определяет некоторую линию, то эта линия - окружность.

Пример 2.12. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением Высшая математика

Решение: Разделив обе части уравнения на 4 и выделив полные квадраты, получим

Высшая математика

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.20), заключаем, что Высшая математика

Пример 2.13. Какое множество точек плоскости определяет уравнение Высшая математика

Так как это уравнение сводится к уравнению Высшая математика которому удовлетворяют лишь координаты х = 2, у = -5, то оно определяет единственную точку С (2 ,-5 ).

Эллипс

Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть постоянная величина.

Каноническое уравнение эллипса

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика — большая, Высшая математика — малая полуоси (рис. 2.4).

Координаты фокусов эллипса, определяемого уравнением (2.21): Высшая математикаВысшая математика т.е. Высшая математика где

Высшая математика Высшая математика

Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстояния 2с к длине большой оси Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

Фокальными радиусами точки М эллипса называют отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами Высшая математика. Их длины Высшая математика можно вычислить по формулам

Высшая математика Высшая математика

Директрисами эллипса (2.21) называют прямые, определяемые уравнениями

Высшая математика

Пример 2.14. Какую линию определяет уравнение Высшая математика?

Решение: Разделим это уравнение почленно на 12: Высшая математика Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.21), заключаем, что оно определяет эллипс с полуосямиВысшая математика

Найдем фокусы этого эллипса. Из формулы (2.22) следует, что Высшая математика поскольку в „ данном случае Высшая математикаВысшая математика. Следовательно, фокусы эллипса находятся в точках Высшая математика

Пример 2.15. В прямоугольной декартовой системе координат построить линию, определяемую уравнением Высшая математика

Решение: Преобразуем это уравнение, возводя в квадрат обе его части:

Высшая математика

Последнее уравнение определяет эллипс с полуосями Высшая математика Если решить это уравнение относительно у, получим

Высшая математика

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой Высшая математика т. е. половину эллипса, расположенную ниже оси Ох.

Пример 2.16. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки Высшая математика

Решение: Каноническое уравнение эллипса имеет вид Высшая математика Так как точки М и N лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:

Высшая математика

Решая полученную систему уравнений, находим, что Высшая математика

Таким образом, получено каноническое уравнение эллипса Высшая математика

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - действительная, b = OB - мнимая полуоси (рис. 2.5).

Высшая математика

Координаты фокусов гиперболы (2.25): Высшая математика т. е. Высшая математика где

Высшая математика

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния 2с к длине действительной оси Высшая математика

Высшая математика

Асимптотами гиперболы называют прямые, определяемые уравнениями

Высшая математика

Директрисами гиперболы называются прямые, определяемые уравнениями

Высшая математика Высшая математика

Гипербола с равными полуосями Высшая математика называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Фокальные радиусы точки правой ветви гиперболы вычисляется по формулам

Высшая математика Высшая математика

фокальные радиусы точки левой ветви — по формулам

Высшая математика Высшая математика

Пример 2.17. Какую линию определяет уравнение Высшая математика?

Решение: Разделив обе части уравнения на 36, получим Высшая математика Сравнивая это уравнение с уравнением (2.25), заключаем, что оно определяет гиперболу с действительной полуосью Высшая математика и мнимой полуосью Высшая математика

Пример 2.18. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением Высшая математика Вычислить длины фокальных радиусов точки Высшая математика

Решение: Разделив обе части уравнения на 20, получим Высшая математика Сравнивая это уравнение с уравнением (2.25), заключаем, что Высшая математика т. е. Высшая математика Из формулы (2.26) следует, что Высшая математика По формуле (2.27) находим Высшая математика Поскольку точка М лежит на левой ветви гиперболы, то при вычислении Высшая математика необходимо пользоваться формулами (2.32) Высшая математика Отметим, что Высшая математика

Пример 2.19. Записать уравнения асимптот и директрис гиперболы Высшая математика

Решение: Приводя уравнение гиперболы к каноническому виду (2.25), заключаем, что Высшая математика В соответствии с (2.28) записываем уравнения асимптот Высшая математика По формуле (2.26) находим Высшая математика а по формуле (2.27) - эксцентриситет Высшая математика Согласно (2.29), получаем уравнения директрисВысшая математика

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости. Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат (рис. 2.6), имеет вид

Высшая математика Высшая математика

уравнение ее директрисы

Высшая математика Высшая математика

Высшая математика

Парабола, определяемая уравнением (2.33), имеет фокус Высшая математика фокальный радиус ее точки Высшая математика вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало координат (рис. 2.7), определяется уравнением

Высшая математика Высшая математика

Фокус этой параболы находится в точке Высшая математика уравнение директрисы имеет вид Высшая математика Фокальный радиус ее точки М (х, у) выражается формулой Высшая математика

Замечание. Каждое из уравнений Высшая математика определяет параболу.

Пример 2.20. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы Высшая математика Вычислить расстояние точки М (2,4) до фокуса.

Решение: Сравнивая уравнение Высшая математика с уравнением (2.33), находим, что 2р = 8, откуда р = 4, р /2 = 2. В соответствие с формулой (2.34) получаем уравнение х = -2 директрисы параболы, фокус параболы находится в точке F (2,0). Точка М (2,4) лежит на параболе, так как ее координаты удовлетворяют уравнению Высшая математика По формуле (2.3 5) находим фокальный радиус точки М: Высшая математика

Пример 2.21. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы Высшая математика Вычислить расстояние точки М (6,9) до фокуса.

Решение: Сравнивая уравнение Высшая математика с уравнением (2.36), получаем Высшая математика откуда Высшая математика Следовательно, фокус параболы находится в точке F (0,1), уравнение директрисы имеет вид у = — 1, а фокальный радиус точки М: Высшая математика

Пример 2.22. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точки М (5, 4), N (15, - 6).

Решение: Так как парабола симметрична относительно оси Ох, то в ее уравнение у входит только во второй степени. Уравнение этой параболы имеет вид Высшая математика- некоторые постоянные. Найдем Высшая математика использовав условия задачи. Поскольку точки М и N лежат на параболе, то их координаты должны удовлетворять ее уравнению Высшая математика Из уравнений Высшая математика находим Высшая математика

Таким образом, данная парабола определяется уравнением Высшая математика

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Пусть Высшая математика - дуга эллипса, гиперболы или параболы (рис. 2.8). Проведем через фокус F прямую, перпендикулярную директрисе Высшая математика точку их пересечения обозначим через А, проекцию точки М на эту прямую - буквой N. В точке F проведем перпендикуляр к прямой AN (оси линии Высшая математика обозначим буквой Р точку ее пересечения с дугой Высшая математика а длину отрезка FP - буквой Высшая математика и назовем ее фокальным параметром линии Высшая математика

Пусть Высшая математика — полярные координаты точки М в системе координат с полюсом в точке F и полярной осью FN, тогда

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (2.37) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы, параболы (это уравнение определяет одну из двух ветвей гиперболы).

Отметим, что для параболы фокальный параметр совпадает с параметром р, входящим в уравнение (2.33), для эллипса и гиперболы, заданных соответственно уравнениями (2.21) и (2.25), он выражается формулой

Высшая математика

Пример 2.23. Какую линию определяет уравнение Высшая математика в полярных координатах?

Решение: Разделим на 5 числитель и знаменатель правой части уравнения:

Высшая математика

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.37) и учитывая формулу (2.38), получаем Высшая математика откуда Высшая математика Поскольку Высшая математика то данное уравнение определяет эллипс с полуосями Высшая математика

Пример 2.24. Какую линию определяет уравнение Высшая математика в полярных координатах?

Решение: Разделив числитель и знаменатель правой части на 4, приведем это уравнение к виду (2.37):

Высшая математика

Следовательно, Высшая математика Данное уравнение определяет гиперболу с полуосями Высшая математика

Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка

Уравнение Высшая математика приводится к видуВысшая математика и определяет параболу с осью, параллельной оси Высшая математика

Уравнение Высшая математика приводится к виду Высшая математикаи определяет параболу с осью, параллельной оси Высшая математика

Равносторонняя гипербола имеет уравнение (2.30), а в системе координат, осями которой являются ее асимптоты, определяется уравнением

Высшая математика Высшая математика

Уравнение

Высшая математика

приводится к виду (2.39) и определяет гиперболу.

Параметрические уравнения эллипса Высшая математика имеют вид

Высшая математика

Параметрические уравнения гиперболы Высшая математика имеют вид

Высшая математика

а также

Высшая математика

где Высшая математика - гиперболические функции аргумента Высшая математика (см. п. 13.11).

Параметрические уравнения параболы Высшая математика можно записать так:

Высшая математика

Уравнение

Высшая математика Высшая математика

определяет эллипс при Высшая математика гиперболу при Высшая математика параболу при Высшая математика В случае Высшая математика это уравнение принимает вид

Высшая математика

где Высшая математика а в случае Высшая математика имеют те же выражения.

Уравнение (2.40) называют уравнением эллипса, гиперболы, параболы, отнесенных к вершине; начало декартовой прямоугольной системы координат находится в вершине линии - точке пересечения с координатной осью (рис. 2.9).

Эллипс, гиперболу, параболу называют каноническими сечениями. В сечении конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 2.10), получаются эти линии, а именно эллипс (сечение одной полости конуса плоскостью, не перпендикулярной его оси и не параллельно образующей), парабола (сечение плоскостью, параллельной его образующей), гипербола (речение плоскостью обеих полостей конуса)

Высшая математика

Пример 2.25. Построить линию определяемую уравнением Высшая математикаВысшая математика

Решение: Преобразуя это уравнение, получаем Высшая математикаВысшая математикаВысшая математика

Перейдем к новым координатам по формулам Х = х - 3 , Y = у —2. В новых координатах уравнение принимает вид Высшая математика оно определяет параболу. Строим системы координат Высшая математика последнею с началом в точке Высшая математика и саму параболу - в новой системе координат по ее каноническому уравнению (рис. 2.11).

Пример 2.26. Построить линию, определяемую уравнением Высшая математика

Решение: Преобразуя данное уравнение:

Высшая математика

Переходя к новым координатам по формулам А' = х + 3, Y = у - 2, получаем уравнение Высшая математикаопределяющее гиперболу. Строим линию в системе координат Высшая математика (рис. 2.12), начало которой находится в точке Высшая математика

Высшая математика

Пример 2.27. Какую линию определяет уравнение Высшая математика?

Решение: Преобразуем это уравнение: (ху + х ) - (2 у + 2 ) - 12 = 0, х (у + 1 ) - 2 (у + 1) - 12 = 0, (у + 1 )(х -2 )-1 2 = 0, (х -2 )(у + 1)=12.

Переходя к новым координатам по формулам Х = х - 2 , Y = у + 1, получаем уравнение ХУ = 12, которое определяет гиперболу.

Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат

Рассмотрим уравнение второй степени относительно прямоугольных декартовых координат, не содержащее члена с произведением координат ху:

Высшая математика Высшая математика

Перейдем к новой системе координат Высшая математика полученной из исходной путем параллельного переноса (см. рис. 1.10) начала в точку Высшая математика при котором старые координаты (х,у) точки М выражаются через ее новые координаты (X, У) формулами (1.22).

Уравнение (2.41) путем выделения полных квадратов может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:

Высшая математика Высшая математика

в случае АС > 0 (линии эллиптического типа);

Высшая математика Высшая математика

в случае АС < 0 (линии гиперболического типа);

Высшая математика Высшая математика

в случае АС = 0, А = 0 (линии параболического типа).

Если С= 0, Высшая математика то уравнение (2.41) приводится к виду Высшая математика если Высшая математика и к одному из,уравнений Высшая математика когда Е = 0 .

Уравнение (2.42) определяет эллипс, уравнения (2.45) - гиперболы (с действительной осью Высшая математика ), уравнение (2.47) - параболу (с осью Высшая математика ), уравнения (2.46) - пару пересекающихся прямых Высшая математика уравнение (2.48) - пару параллельных прямых Высшая математика уравнение (2.49) - пару совпавших прямых Высшая математика уравнению (2.43) удовлетворяют координаты единственной точки X = 0, У = 0, уравнениям (2.44) и (2.50) не удовлетворяют координаты ни одной точки.

Пример 2.28. Построить линию, определяемую уравнением

Высшая математика

Решение: Преобразуем это уравнение:

Высшая математика

Перейдя к новым координатам по формулам Х = х - 2 , У = у + 1, получим уравнение Высшая математика определяющее гиперболу с полуосями Высшая математика (рис. 2.13). Центр гиперболы находится в точке, для которой Х = 0, У = 0.

Высшая математика

Так как X = x - 2 , У = у +1, то Высшая математика откуда x = 2, y = - 1. Получена точка Высшая математика в которой находится начало новой системы координат.

Пример 2.29. Построить линию, определяемую уравнением

Высшая математика

Решение: Выделяя полные квадраты в левой части уравнения, получаем

Высшая математика

Перехрдя к новым координатам по формулам ,Х = х + 2, У = у - 2, последнему уравнению придадим вид Высшая математика Эго уравнение определяет эллидс с полуосями Высшая математика (рис. 2.14), Пенгрэллипед находится в точке, для которой Х = 0, У = 0, или х + 2 = 0, у - 2 = 0, откуда х = -2, у = 2, т. е в точке Высшая математика

Упрощение общего уравнения второй степени

Общее уравнение второй степени относительно прямоугольных декартовых координат х и у

Высшая математика Высшая математика

при повороте координатных осей на угол Высшая математика для которого

Высшая математика Высшая математика

преобразуется в уравнение Высшая математика являющееся уравнением вида (2.41).

Формулы преобразования координат имеют вид

Высшая математика Высшая математика

причем

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика определяемся формулой (2.52)

Уравнение (2.51) определяет или пустое множество, или точку, или пару прямых (пересекающихся, паралельных, совпавших), или одну из линий (окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Пару прямых называют распадающейся линией второго порядка.

Пример 2.30. Построить линию, определяемую уравнением

Высшая математика

Решение: Это частный случай уравнения (2.51), для которого Высшая математикаВысшая математикаПо формуле (2.52) имеем Высшая математика Возьмем Высшая математика тогда Высшая математика Формулы (2.53) принимают вид

Высшая математика Высшая математика

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем

Высшая математика

Преобразуем левую часть последнего уравнения, выделив в ней полные квадраты: Высшая математика

Переходя к новым координатам по формулам

Высшая математика Высшая математика

последнее уравнение записываем так:

Высшая математика Высшая математика

Каноническое уравнение (III) определяет эллипс с полуосями Высшая математика Построим этот эллипс относительно новой системы декартовых прямоугольных координат Высшая математика Угол наклона оси Высшая математика к оси Ох уже известен Высшая математика осталось определить старые координаты точки Высшая математика В системе Высшая математика эта точка (центр эллипса) имеет координаты X = 0, Y = 0. По формулам (II) имеем Высшая математика откуда Высшая математика С помощью формул (I) находим координаты точки Высшая математика в старой системе координат Оху:

Высшая математика

Строим новую систему координат Высшая математика и сам эллипс по его каноническому уравнению (III) (рис. 2,15).

Пример 2.31. Построить линию, определяемую уравнением Высшая математика

Решение: В данном случае А = 3, 2В=4, С = 0. По формуле (2.52) находим Высшая математика В формулы (2.53) входят Высшая математика Найдем их значения с помощью формул (2.54) и (2.55), в которых знак можно выбрать по своему усмотрению. Выбрав везде знак плюс, получим

Высшая математика

Формулы (2.53) принимают вид

Высшая математика Высшая математика

Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

Высшая математика

Перейдем к новым координатам по формулам

Высшая математика Высшая математика

Последнее .уравнение в новых координатах примет вид

Высшая математика

Это каноническое уравнение определяет гиперболу с полуосями Высшая математика причем действительной осью будет ось Высшая математика Построим гиперболу в новой системе координат Высшая математика Найдем сначала старые координаты точки Высшая математика в которой находится центр гиперболы. Для этой точки X = 0, Y = 0. По формулам (V) получаем Высшая математика С помощью формул (IV) находим

Высшая математика Через точку Высшая математика проводим ось Высшая математика для которой Высшая математика и ось Высшая математикаперпендикулярную оси Высшая математика В системе координат Высшая математика строим гиперболу по ее каноническому уравнению (рис. 2.16).

Пример 2.32. Построить линию, определяемую уравнением Высшая математика

Решение: Поскольку А = 1, 2В = -2, С = 1, то по формуле (2.52)Высшая математикаВысшая математика Формулы (2.53) принимают вид

Высшая математика Высшая математика

Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

Высшая математика

Перейдем к новым координатам по формулам

Высшая математика Высшая математика

В новых координатах последнее уравнение принимает вид

Высшая математика

Высшая математика

Это уравнение определяет параболу. Вершина параболы находится в точке, для которой X = О, Y = О. Найдем старые координаты этой точки. По формулам (VII) находим Высшая математика С помощью формул (VI) получаем

Высшая математика

Строим систему координат Высшая математика и параболу по ее каноническому уравнению (рис. 2.17).

Некоторые алгебраические линии высших порядков

Декартов лист - линия, определяемая в прямоугольной декартовой системе координат алгебраическим уравнением

Высшая математика

В полярных координатах уравнение принимает вид

Высшая математика

Декартов лист можно задать и параметрическими уравнениями

Высшая математика

Линия эта изображена на рис. 2.18.

Циссоида. Рассмотрим окружность с диаметром Высшая математика и касательную к ней в точке А (рис. 2.19). Из точки О проведем луч OB, точку его пересечения с окружностью обозначим буквой С. На этом луче отложим отрезок Высшая математика

Высшая математика

Проведя другой луч и выполнив аналогичное построение, получим точку Высшая математика Таким способом можно построить сколько угодно точек. Множество точек Высшая математика называют циссоидой. Построив достаточное число указанных точек и соединив их плавной линией, получим циссоиду (см. рис. 2.19).

Уравнение циссоиды в декартовых прямоугольных координатах имеет вид

Высшая математика

в полярных координатах

Высшая математика

Параметрические уравнения циссоиды

Высшая математика

или

Высшая математика

где Высшая математика — полярный угол.

Строфоида. Рассмотрим точку А и прямую Высшая математика не проходящую через данную точку (рис. 2.20). Обозначим буквой С точку пересечения перпендикуляра к прямой Высшая математика проведенной в точке А, а длину отрезка Высшая математика Вокруг точки А вращается луч, на котором откладываются отрезки Высшая математика от точки В пересечения с данной прямой так, что Высшая математика Каждому положению луча соответствует пара точек Высшая математика построенных указанным способом. Множество пар точек Высшая математика называют строфоидой. Точки Высшая математика при этом называют сопряженными. Построив достаточное число точек и соединив их плавней линией, получим строфоиду (см. рис. 2.20). Название «строфоида» происходит отгреческого слова Высшая математика - поворот.

Уравнение строфоиды в полярных координатах

Высшая математика

в декартовых координатах

Высшая математика

Параметрические уравнения строфоиды

Высшая математика

Версьеря. Рассмотрим окружность с диаметром Высшая математика и отрезок ВМ, построенный так, что Высшая математика (рис. 2.21). Множество точек М называют версьерой.

В прямоугольных декартовых координатах уравнение версьеры имеет вид

Высшая математика

Высшая математика

Параметрические уравнения версьеры

Высшая математика

где роль параметра играет первая координата.

Рассматриваемую линию называют так же «локоном Аньези» в честь первой в Европе женщины, получившей известность благодаря заслугам на поприще математики.

Лемниската Бернулли — множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоянная величина, равная квадрату половины расстояния между данными точками.

Высшая математика

В декартовых прямоугольных координатах лемниската Бернулли (рис. 2.22) имеет уравнение

Высшая математика

в полярных

Высшая математика

При другом выборе системы координат (рис. 2.23) эта линия определяется соответственно уравнениями

Высшая математика

Название линии происходит от греческого слова Высшая математика - повязка, бант. Линия названа по имени ученого, открывшего ее. Уравнение лемнискаты впервые встречается в статье Я. Бернулли, опубликованной в 1694 г. в журнале «Acta eruditorum» («Труды ученных»).

Овал Кассини - множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоянная величина.

Уравнение овала Кассини в декартовых координатах

Высшая математика

в полярных

Высшая математика

Вид овала Кассини зависит от соотношения между постоянными Высшая математика В случае Высшая математика овал имеет форму замкнутой линии, симметричной относительно осей координат (рис. 2.24). При Высшая математика получаем лемнискату Бернулли. В случае Высшая математика овал состоит из двух замкнутых линий.

Овалы Кассини названы в честь французского ученного, впервые рассмотревшего их. Жан Доминик Кассини (1625 — 1712) открыл эти линии при попытке определить орбиту земли.

Высшая математика

Конхоида. В плоскости фиксируем прямую Высшая математика и точку О, отстоящую от этой прямой на расстоянии Высшая математика (рис. 2.25, а). Проведем луч OK, пересекающий прямую Высшая математика в точке К. На луче от точки К, по обе стороны от нее, отложены два отрезка Высшая математика таких, что Высшая математика где Высшая математика - заданное число. Вращая луч вокруг точки О (от 0 до 180° ) и проводя аналогичные построения (при одном и том же значении Высшая математика получим линию, описываемую точками М и Высшая математика которую называют конхоидой. Точку О при этом называют полюсом конхоиды, а прямую Высшая математика- ее базисом. Линия эта состоит из двух ветвей: одну ветвь описывает точка М, другую- точка Высшая математика

Высшая математика

Уравнение конхоиды в полярных координатах

Высшая математика

знак плюс - для верхней ветви, минус - для нижней. Форма конхоиды зависит от соотношения между параметрами Высшая математика При Высшая математика линия имеет вид, изображенный на рис. 2.25, б, в.

В прямоугольных декартовых координатах конхоида имеет уравнение

Высшая математика

Линию эту называют конхоидой Никомеда, по имени древнегреческого геометра, впервые открывшего ее.

Улитка Паскаля. Рассмотрим окружность радиуса Высшая математика с центром в точке С (рис. 2.26). Выберем на данной окружности точку О. Представим себе, что вокруг точки О вращается луч ОМ. В каждом его положении от точки N пересечения луча и окружности откладываем отрезок Высшая математика где Высшая математика - заданное положительное число. При повороте луча от 0 до 180° получим множество точек М. При дальнейшем' повороте луча от 180 до 360°, откладывая отрезок длины Высшая математика по направлению луча, мы фактически будем откладывать его в сторону, противоположную

Высшая математика

прежней, т. е. Высшая математика и получим точки Высшая математика Множество точек Высшая математика называют улиткой Паскаля.

Уравнения улитки Паскаля:

Высшая математика

Форма улитки Паскаля зависит от соотношения между параметрами Высшая математика Высшая математика (рис. 2.26), Высшая математика (рис. 2.27), Высшая математика(рис. 2.28).

Линия названа в честь Этьена Паскаля — французского математика-любителя, отца знаменитого Блеза Паскаля.

Кярдмодя - линия, описываемая точкой М окружности радиуса Высшая математика катящейся по окружности с таким же радиусом (рис. 2.29). Параметрические уравнения кардиоды

Высшая математика

в полярных координатах

Высшая математика

в декартовых координатах

Высшая математика

Уравнение Высшая математика также определяет кардиоду в полярной системе координат с полюсом в той же точке и противоположно направленной полярной осью.

Высшая математика

Калпа - линия, представляющая собой множество точек касания касательных, проведенных из данной точки к окружности заданного радиуса, центр которой перемещается по фиксированной прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.30).

Линия эта шиюминагг треческую букву к (каппа), откуда и происходит ее название.

Параметрические уравнения каппы

Высшая математика

в полярных координатах

Высшая математика

в декартовых координатах

Высшая математика

Роза - линия, заданная полярным уравнением Высшая математика или уравнением Высшая математика где Высшая математика - положительные числа. Роза целиком расположена в круге радиуса Высшая математика так как Высшая математика Роза состоит из конгруэнтных лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен Высшая математика Количество этих лепестков зависит от числа Высшая математика Если Высшая математика- целое число, то роза состоит из Высшая математика лепестков при нечетном Высшая математика и из Высшая математика лепестков при четном Высшая математика (рис. 2.31, а, б). Если Высшая математика - рациональное число, причем Высшая математика то роза состоит из Высшая математика лепестков в случае, когда Высшая математика - нечетные числа, или из Высшая математика лепестков, если одно из чисел будет четным. При этом в отличие от предыдущего случая каждый следующий лепесток будет частично покрывать предыдущий (рис. 2.31, в~е).

Если число Высшая математика является иррациональным, то роза состоит из бесконечного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Четырехлепестковой розой (см. рис. 2.31, б) называют линию, определяемую полярным уравнением

Высшая математика

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Высшая математика

Четырехлепестковая роза образуется множеством оснований перпендикуляров, опущенных из вершины О прямого угла на отрезок постоянной длины, концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О.

Трехлепеспсовой розой (см. рис. 2.31. а) называют линию, определяемую уравнением

Высшая математика

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Высшая математика

Астроида. Прямоугольник, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформируется так, что его диагональ сохраняет постоянную длину Высшая математика. Множество точек - оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямоугольника на его диагональ, называют астроидой (рис. 2.32, а)

Астроида имеет параметрические уравнения

Высшая математика

Исключив из этих уравнений параметр Высшая математика получим уравнение астроиды в прямоугольных координатах:

Высшая математика

Освобождаясь от дробных показателей, находим

Высшая математика

Астроиду можно рассматривать как траекторию точки окружности радиуса Высшая математика (рис. 2.32, б), катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус R которой в четыре раза больше Высшая математика Высшая математика

Высшая математика

Параметрическое уравнение астройды в этом случае

Высшая математика

Гипоцнклоида - плоская линия, описанная фиксированной точкой окружности радиуса Высшая математика катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R внутри ее (рис. 2.33, где М - вычерчивающая точка, А - ее исходное положение, Высшая математика - угол поворота окружности, AM - дуга линии).

Высшая математика

Параметрические уравнения гипоциклоиды

Высшая математика

где Высшая математика Форма кривой зависит от значения Высшая математика Если Высшая математика - взаимно простые числа), тогда М после q полных оборотов окружности возвращается в исходное положение и гипоциклоида - замкнутая линия, состоящая из q ветвей с q точками возврата при Высшая математика (рис. 2.34); при Высшая математика вместо q точек возврата линия имеет q других точек (рис. 2.35). При Высшая математика линия вырождается в диаметр неподвижной окружности, при Высшая математика является астроидой (см. рис. 2.32). При иррациональном т число ветвей бесконечно, точка М в исходное положение не возвращается. Обобщением гипоциклоиды является гипотрохоида.

Высшая математика

Гипотрохоида - плоская линия- траектория точки, жестко связанной с окружностью радиуса Высшая математика катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R внутри ее, причем вычерчивающая точка М находится на расстоянии h от центра окружности радиуса Высшая математика При Высшая математика кривая называется удлиненI ной гипоциклоидой (рис.2.36, Высшая математика ), при Высшая математика - укороченной (рис.2.37, Высшая математика ). Параметрические уравнения гипотрохоиды

Высшая математика

где Высшая математика При Высшая математика линия является эллипсом, при h = R + r- розой (см. рис. 2.31).

Высшая математика

Эпициклоида - плоская линия - траектория фиксированной точки окружности радиуса Высшая математика катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R вне ее (рис. 2.38, где М - вычерчивающая точка, А - ее исходное положение, Высшая математика - угол поворота окружности, AM - дуга кривой).

Высшая математика

Параметрические уравнения эпициклоиды

Высшая математика

где m = r/R. Форма кривой зависит от значения Высшая математика (рис. 2.39, а; Высшая математика = 1/3, рис. 2.39, б; Высшая математика = 2/3). Если Высшая математика = p/q (р и q - взаимно простые числа), точка М после q полных оборотов окружности возвращается в исходное положение и эпициклоида - замкнутая линия, состоящая из q ветвей с q точками возврата. При Высшая математика = 1 кривая является кардиодой (см. рис. 2.29). При иррациональном Высшая математика число ветвей бесконечно, точка М в исходное положение не возвращается. Обобщением эпициклоиды является эпитрохоида.

Эпитрохоида - плоская кривая - траектория точки, жестко связанной с производящей окружностью радиуса Высшая математика катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R вне ее, причин вычерчивающая точка М находится на расстоянии h от центра производящей окружности. При , Высшая математика линия называется удлиненной эпициклоидой (рис. 2.40, а; Высшая математика = 1/4 ), при Высшая математика - укороченной эпициклоидой (рис. 2.40, б; Высшая математика = 1/4 ). Параметрические уравнения эпитрохоиды

Высшая математика

где Высшая математика При r = R линия является улиткой Паскаля (см. рис. 2.27,2.28), при h = R + r - розой (см. рис. 2.31).

Высшая математика

Некоторые трансцендентные линии

Трансцендентной называется линия, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах не является алгебраическим. Простейшими примерами трансцендентных линий могут служить графики функций Высшая математикаВысшая математика и других тригонометрических функций.

Спираль Архимеда - траектория точки М, равномерно движущейся по прямой, которая равномерно вращается вокруг фиксированной точки О (рис. 2.41).

Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах

Высшая математика

в декартовых координатах

Высшая математика

Циклоида - траектория фиксированной точки окружности, которая без скольжения катится по прямой (см. пример 1.17, уравнения (1.21)).

Высшая математика

Рассмотрим траекторию точки,, жестко связанной с окружностью, катящейся по прямой, но находящуюся не на самой окружности, а на расстоянии d от ее центра При d < R вычерчивающая точка находится внутри окружности, ее траекторию называют укороченной циклоидой (рис. 2.42, а). Если d > R, то вычерчивающая точка находится вне окружности; ее траекторию называют удлиненной циклоидой Рис. 2.41 (рис. 2.42, б). Эти линии определяются параметрическими уравнениями

Высшая математика

Алгебраическая спираль - линия, определяемая алгебраическим уравнением Высшая математика относительно полярных координат.

Высшая математика

К алгебраическим спиралям относится спираль Архимеда, так как ее уравнение Высшая математика является алгебраическим уравнением первой степени относительно Высшая математика Другими .простейшими алгебраическими спиралями являются линии, определяемые уравнениями:

Высшая математика (гиперболическая спираль, рис. 2.43);

Высшая математика (конхоида гиперболической спирали, рис. 2.44);

Высшая математика (спираль Галилея, рис. 2.45);

Высшая математика (спираль Ферма, рис. 2.46);

Высшая математика(параболическая спираль, рис. 2.47);

Высшая математика (жезл, рис. 2.48).

Логарифмической спираль (рис. 2.49) — линия, определяемая уравнением

Высшая математика

Логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы всех своих точек под одним и тем же углом. На этом свойстве основано ее применение в технике. Так, в различных режущих инструментах и машинах вращающиеся ножи имеют профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. В силу этого угол резания остается постоянным. Логарифмическая спираль применяется в теории механизмов при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом (т.е. отношением их угловых скоростей). В природе некоторые раковины очерчены по логарифмической спирали (рис. 2.50).

Логарифмическая спираль впервые упоминается в письме Декарта к Мерсенну от 12 сентября 1638 г. (опубликовано в 1657 г.). Независимо от Декарта логарифмическая спираль была открыта Торричелли, который выполнил ее спрямление и квадратуру. Название «логарифмическая спираль» для данной линии предложил Лопиталь, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

Квадратриса. Дан отрезок AD длины Высшая математика середина которого находится в точке О (рис. 2.51, а). Отрезок ОА равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью Высшая математика а прямая КС, перпендикулярная AD, одновременно начинает равномерно двигаться от точки А к точке D со скоростью Высшая математика оставаясь параллельной исходному направлению. Точка М пересечения вращающегося отрезка и движущейся прямой вписывает линию, которую называют квадратрисой.

Уравнение квадратрисы в декартовых координатах

Высшая математика

в полярных координатах

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Линия имеет бесконечное множество точек пересечения с осью ординат, так Высшая математика при Высшая математика Квадратриса изображена на рис. 2.51, б, а на рис. 2.51, а указана та часть линии, которая соответствует значениям аргумента Высшая математика Название линии дал Лейбниц.

Высшая математика

Квадратрису впервые открыл Гиппий из Эллады (древнегреческий софист, | живший в V в. до н.э.) в поисках решения задачи о трисекции угла. К задаче о ' квадратуре круга эту линию применил древнегреческий геометр Динострат IV в. до н.э. В связи с этим линию называют квадратрисой Динострата.

Трактриса - линия, у которой длина касательной является постоянной величиной. Под длиной касательной понимают длину отрезка МТ, касательной между точкой касания М и точкой Т пересечения с осью Ох (рис. 2.52). Трактриса имеет параметрические уравнения

Высшая математика

ее уравнение в прямоугольных декартовых координатах

Высшая математика

Трактриса применяется в' одной из частей механизма карусельного токарного станка (рис. 2.53). Линия вертикального профиля антифрикционной пяты этого механизма обладает тем свойством, что длина ее касательной постоянна.

Высшая математика

Трактриса сыграла выдающуюся роль в истории математики в связи с открытием Н.И. Лобачевским новой геометрии и последующим развитием учения о неевклидовых геометриях. Геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере, полученной вращением трактрисы вокруг ее асимптоты.

Трактриса была открыта в XVII в. Ее название происходит от латинского слова tracto - тащу, влеку.

Цепная линия - кривая, форму которой принимает под действием силы тяжести нить с закрепленными концами (рис. 2.54). В прямоугольных декартовых координатах цепная линия имеет уравнение

Высшая математика

Длина дуги цепной линии от ее вершины до заданной точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке (рис. 2.55, s= MN). Проекция ординаты произвольной точки цепной линии на нормаль в этой точке является величиной постоянной, равной параметру Высшая математика цепной линии Высшая математика

Высшая математика

Свойства цепной линии применяются в строительстве и технике. Они используются в расчетах, связанных с провисанием нитей-проводов, тросов и т.д. В строительной технике применяется также линия свода определяемая уравнением

Высшая математика

Вопрос о форме линии провисания впервые рассмотрел Галилей (1638). Он полагал, что линия провисания является параболой. Против этого позже возражал Гюйгенс. Окончательное теоретическое решения вопроса о форме линии провисания дали Лейбниц, Гюйгенс, Я. Бернулли.

Векторы

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, например, таких как перемещение, скорость и т. п. Термин «вектор» ввел У. Гамильтон (около 1845 г.), обозначения: Высшая математика - Ж. Арган (1806), Высшая математика - А. Мебиус, Высшая математика - Коши (1853), Высшая математика - О. Хевисайд (1891)

Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, конец — в точке В, то вектор обозначается символом Высшая математика Начало вектора называют также точкой его приложения. Вектор иногда обозначается одной строчной буквой жирного шрифта а, b и т. д., или такой же буквой светлого шрифта с черточкой наверху Высшая математика и т. д.

Модулем вектора Высшая математика называется его длина, он обозначается через |Высшая математика | или просто Высшая математика Модуль вектора - скалярная неотрицательная величина.

Нуль-вектором (или нулевым вектором) называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом Высшая математика Его модуль равен нулю, а направление не определено.

Высшая математика

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными (рис. 3.1, Высшая математика ).

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными (рис. 3.2, а, Высшая математика ). Так как векторы Высшая математика имеют противоположные направления, то Высшая математика хотя Высшая математика

Высшая математика

Отметим, что Высшая математика где Высшая математика и Высшая математика - две различные точки окружности радиуса R с центром в точке О (рис. 3.2, б), поскольку векторы Высшая математика имеют разные направления.

Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными (векторы Высшая математика на рис. 3.2, а). Вектор противоположный вектору Высшая математика обозначается через — Высшая математика

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание, умножение вектора на число.

Суммой векторов а и b называют третий вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец - с концом вектора Ь при условии, что вектор b отложен из конца вектора а. Вектор с получается по правилу треугольника (рис. 3.3, а) или параллелограмма (рис. 3.3, б).

Высшая математика

Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой Высшая математика векторов Высшая математика называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора Высшая математика конец - с концом последнего Высшая математика при условии, что каждый последующий вектор Высшая математика отложен из конца предыдущего Высшая математика Указанный способ построения суммы называется правилом замыкающей.

Высшая математика

Сумма векторов обладает свойством переместительности (коммутативности, рис. 3.4):

a + b = b + a

и свойством сочетательности (ассоциативности)

(а + Ь)+с = а + (Ь+с).

Сумма трех некомпланарных векторов а, Ь, с наряду с правилом замыкающей получается и по правилу параллелепипеда: сумма а + b + с равна вектору Высшая математика где Высшая математика - диагональ параллелепипеда, построенного на векторах Высшая математика Высшая математика отложенных из одной точки (рис. 3.5).

Высшая математика

Высшая математика

Из определения суммы следует, что

Высшая математика

Разностью а - b двух векторов а и b называется такой вектор d, который в сумме с вектором b дает вектор а:

а —b = d, если b + d = a.

Чтобы получить разность а - b двух векторов а и Ь, необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого (рис. 3.6, а).

Разность а - b равна сумме двух векторов а и (-b), где (-b) - вектор, противоположный вектору b (рис. 3.6, б), т. е.

а - b ^ = а + (- b).

Векторы - диагонали параллелограмма ОАСВ (рис. 3.6, в), построенного на векторах Высшая математика являются соответственно суммой и разностью этих векторов.

Произведением вектора Высшая математика на число Высшая математика называется вектор

Высшая математика

удовлетворяющий условиям: Высшая математика одинаково направлены при Высшая математика имеют противоположные направления при Высшая математика (рис. 3.7). Очевидно, Высшая математика если Высшая математика или Высшая математика

Высшая математика

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

Высшая математика

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов Высшая математика выражается равенством

Высшая математика Высшая математика

Проекция вектора на ось

В пространстве заданы вектор Высшая математика и ось Высшая математика (рис. 3.8). Пусть Высшая математика - проекция точки А на ось Высшая математика Высшая математика - проекция точки В, т. е. основания перпендикуляров, опущенных из данных точек на эту ось.

Проекцией вектора на ось Высшая математика называется величина направленного отрезка (вектора) Высшая математика оси Высшая математика Проекция вектора Высшая математика на ось Высшая математика обозначается через Высшая математика т. е. Высшая математика вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика — угол между вектором Высшая математика и осью Высшая математика.

Высшая математика

Из равенства (3.2) следует, что если а = b то

Высшая математика

т. е. равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:

Высшая математика

Если Высшая математика — произвольная конечная система векторов; Высшая математика - произвольная система действительных чисел, то вектор

Высшая математика

называется линейной комбинацией векторов этой системы. Из равенств (3.4) - (3.6) следует, что

Высшая математика

Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Радиусом-вектором точки М называется вектор Высшая математика точка приложения которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке М(рис. 3.9).

Декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z вектора Высшая математика называются его проекции на координатные оси

Высшая математика Высшая математика

Каждая из записей

Высшая математика Высшая математика

означает что вектор Высшая математика имеет координаты X, Y, Z.

Если х,у, z — декартовы прямоугольные координаты точки М, то

Х = х, Y= у, Z = z,

т. е. координаты радиуса-вектора ОМ равны координатам точки М.

Высшая математика

Введем в рассмотрение единичные векторы i, j, к координатных осей (их называют ортами) и векторы Высшая математика Высшая математика где А, В, С — вершины прямоугольного параллелепипеда, для которого ОМ является диагональю (А, В, С - проекции точки М на координатные оси; ОА = X , ОВ= Y, ОС = Z - проекции вектора на координатные оси). По определению суммы Высшая математика поэтому

Высшая математика Высшая математика

Формула (3.10) выражает разложение вектора Высшая математика по базисным векторам i, j, k. Векторы стоящие в правой части формулы (3.10), называются составляющими или компонентами вектора Высшая математика.

На основании теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем формулу, выражающую длину вектора (3.9) или (ЗЛО) через его координаты:

Высшая математика Высшая математика

Из равенства (3.3) следует, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Координатами любого вектора называются его проекции на координатные оси.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов Высшая математика образуемых им с координатными осями.

Принимая во внимание формулу (3.2), для вектора (3.9) получаем

Высшая математика Высшая математика

Из равенств (3.11) и (3.12) следуют формулы для направляющих косинусов вектора Высшая математика

Высшая математика

откуда

Высшая математика

Из формулы (3.12) следует, что координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам; т. е.

Высшая математика

Пример 3.1. Дан вектор а = (2 ,-1 ,-2 ). Найти его длину и единичный ректор Высшая математика направления вектора Высшая математика

Решение: По формуле (3.11) находим длину вектора Высшая математика а по формулам (3.13) — его направляющие косинусы Высшая математика Высшая математика

Переход от векторных соотношений к координатным

Если даны векторы (т. е. известны их координаты) и указаны определенные соотношения между ними, то они равносильны аналогичным числовым соотношениям между координатами.

Координаты произведения вектора на число. Пусть дан вектор Высшая математика и число Высшая математика Координаты Высшая математика вектора Высшая математика

Высшая математика

Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их одноименные координаты.

Координаты суммы (разности) двух векторов. Пусть даны два вектораВысшая математика тогда X ,Y ,Z — координаты вектора суммы а + Ь:

Высшая математика

где Высшая математика - координаты разности а-Ь.

Координаты вектора, заданного двумя точками. Начало вектора Высшая математика находится в точке Высшая математика конец - в точке Высшая математика Выражение для I его координат Х, У, Z через координаты точек Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

Координаты линейной комбинации векторов. Заданы Высшая математика векторов Высшая математикаи их линейная комбинация

Высшая математика

Координаты X, Y, Z вектора а определяются формулами

Высшая математика

Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве Высшая математика Координаты точки М, делящей отрезок Высшая математика в отношении Высшая математика

Высшая математика

В частности, координаты середины отрезка определяются формулами

Высшая математика

Высшая математика

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе. Рассмотрим две декартовы прямоугольные системы координат с одним и тем же масштабным отрезком й одинаковыми направлениями одноименных координатных осей (рис. 3.10). Начало новой системы координат находится в точке Высшая математика Пусть М — произвольная точка пространства, х, у, z - ее координаты в старой системе, X, У, Z - в новой, тогда

Высшая математика

или

Высшая математика Высшая математика

Пример 3.2. Даны две точки А (3, - 4,7), В (5, - 6,8). Найти координаты вектора AB и координаты точки Е — середины отрезка АВ.

Решение: По формулам (3.15) и (3.16) соответственно получаем

Высшая математика

Пример 3.3. Даны четыре точки Л (5 ,6 ,-8 ), В (8,10, - 3), С (1,-2,4), D (7,6,14). Коллинеарны ли векторы AB и CD?

Решение: Так как AB = (8 - 5,10 - 6, - 3 - (-8)) = (3,4,5), CD = (7-l,6-(-2), 14-4) = (6,8,10) и CD = 2АВ, т. е. выполнено равенство (3.1), то векторы AB и CD коллинеарны.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов а и b. называется число, равное произведению их длин на косинус угла между Ними. Если обозначить скалярное произведение через ab, то

Высшая математика Высшая математика

Так как Высшая математика (рис. З.11), то равенство (3.18) можно представить в двух видах:

Высшая математика

Понятие скалярного произведения возникло в механике. Если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора b, то работа w указанной силы определяется равенством Высшая математика

Скалярным квадратом вектора а называется скалярное произведение вектора а на себя:

Высшая математика

т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Высшая математика

Векторы а и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда

ab = 0. (3.19)

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) переместительности (коммутативности)

ab = ba.

2) сочетательности (ассоциативности) относительно числового множителя

Высшая математика

3) распределительности (дистрибутивности) относительно суммы векторов

a(b+c)=ab+ac.

Скалярное произведение двух векторов

Высшая математика Высшая математика

выражается формулой

Высшая математика Высшая математика

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат.

Замечание. Если b = а, то формула (3.21) принимает вид Высшая математикаВысшая математика Поскольку Высшая математика то Высшая математика

Косинус угла между векторами (3.20) определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов (3.20) выражается равенством

Высшая математика Высшая математика

оно следует из формул (3.19) и (3.21).

Если ось Высшая математика образует с координатными осями углы Высшая математика соответственно, то проекция вектора s = (X , У, Z) на эту ось определяется равенством

Высшая математика

Примep 3.4. Даны два вектора а = (8,-7,-2), Ь = (7,-11,8). Найти угол между ними.

Решение: По формуле (3.22) получаем

Высшая математика

Пример 3.5. Доказать, что векторы а = (2,-4 ,6 ), Ь = (3,3,1) перпендикулярны.

Решение: По формуле (3.21) находим: ab = 2*3 + (-4)*3 + 6*1 = 0. Так как выполнено условие (3.19), то векторы а и b перпендикулярны.

Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат

Три некомпланарных вектора ОА = а, OB = Ь, ОС = с, взятых в указанном порядке (а - первый вектор, Ь - второй, с - третий) и приложенных в одной точке (рис. 3.12, а, б), называют тройкой векторов а, Ь, с. Будем смотреть с конца вектора с на плоскость, определяемую векторами а и Ь.

Высшая математика

Если кратчайший поворот от вектора а к вектору b совершается против часовой стрелки, то тройка векторов а, Ь, с называется правой (рис. 3.12, а), если указанный поворот совершается по часовой стрелке, тройка а, Ь, с называется левой (рис. 3.12, б).

Две тройки, обе правые или обе левые, называются тройками одной ориентации; если одна тройка является правой, а другая левой, то они называются тройками различной ориентации.

При круговой перестановке вектов (первый заменяется вторым, второй- третьим, третий - первым, рис. 3.12, в) ориентация тройки не меняется (см. рис. 3.12, а, б).

Если поменять местами два вектора, то ориентация тройки меняется, например если а, Ь, с — правая тройка, то тройка Ь, а, с (тех же векторов, взятых в порядке Ь, а, с) будет левой.

Прямоугольная декартова система координат называется правой, если тройка базисных векторов i, j, к правая; если эта тройка левая, то система координат называется левой.

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется третий вектор, обозначаемый символом [а, b] и удовлетворяющий условиям:

1) Высшая математика где Высшая математика - угол между векторами а и b;

2) вектор [а, b] перпендикулярен каждому из векторов а и b;

3) тройка векторов а, b, [а, b] имеет ту же ориентацию, что и i, j, k.

Для векторного произведения применяют и другие обозначения, например а х b.

Замечание. Бели пользоваться только правыми системами координат, то условие 3) можно заменить другим - тройка а, Ь, [а, Ь] является правой.

Понятие векторного произведения возникло в механике. Если вектор b изображает силу, приложенную в точке М, а = ОМ, то [а, b] выражает момент силы b относительно точки О.

Из условия 1) следует, что модуль векторного произведения [а, b] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 3.13), т. е.

Высшая математика

поэтому

Высшая математика

где е - единичный вектор направления вектора [а,b].

Высшая математика

Равенство [а,b] = 0 выражает необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов а и b; в частности, для любого вектора а [а,а]=0.

Векторное произведение двух векторов обладает свойствами:

1) антипересгановочности множителей [a,b] = -[b,a];

2) сочетательности относительно скалярного множителя

Высшая математика

3) распределительности относительно сложения

Высшая математика

Векторное произведение [а, b] двух векторов

Высшая математика Высшая математика

выражается формулой

Высшая математика Высшая математика

Эту формулу можно представить через символический определитель третьего порядка

Высшая математика Высшая математика

Замечание. Составим матрицу из координат векторов а и b

Высшая математика

Координаты векторного произведения Высшая математика равны минорам второго порядка этой матрицы, полученным путем поочередного вычеркивания первого, второго и третьего столбцов, причем второй минор нужно взять со знаком минус.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах (3.25), вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

которая следует из (3.11) и (3.24).

Площадь треугольника АВС определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Формула (3.29) следует из (3.24), так как площадь треугольника АВС составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах AB и АС.

Пример 3.6. Даны два вектора а = (5,3, -4), b = ( 6 ,7, - 8 ). Найти координаты векторного произведения [а, b].

Решение: По формуле (3.27) получаем

Высшая математика

Пример 3.7. Вершины треугольника находятся в точках А (1,1,3), Я (3 ,-1 ,6 ), С(5,1,-3). Вычислить его площадь.

Решение: С помощью формул (3.15) находим координаты векторов AB и АС: AB = (2, -2 ,3 ), АС = ( 4 ,0 ,- 6). Так как

Высшая математика

то

Высшая математика

Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора а, b, с. Вектор а умножим векторно на b, векторное произведение [а, b] умножим скалярно на с, в результате получаем число, которое называют векторно-скалярным произведением или смешанным произведением [а, b] с трех векторов а, b, с.

Высшая математика

Смешанное произведение [а, b] с трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ОА = а, ОВ = b, ОС = с (рис. 3.14), взятому со знаком плюс, если тройка (а, b, с) - правая, со знаком минус, когда эта тройка - левая:

Высшая математика Высшая математика

Векторы а, b, с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Высшая математика Высшая математика

Смешанное произведение [а,b]с и а [b, с] обозначают через abc:

abc = [а, b] с = а [b, с].

Если поменять местами два вектора, то смешанное произведение изменит лишь знак. Для трех векторов а, Ь, с:

abc = bca = cab = -bac = -cba = -acb.

Смешанное произведение трех векторов

Высшая математика Высшая математика

определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Из формул (3.30) н (3.33) следует, что объем параллелепипеда, построенного на векторах (3.32), вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках Высшая математикаВысшая математика определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов (3.32) выражается равенством

Высшая математика Высшая математика

которое следует из равенств (3.31), (3.33).

Пример 3.8. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а =(1,3,1), b = (2,1,3), с = (3, 1, 2).

Решение: По формуле (3.34) получаем

Высшая математика

Пример 3.9. Доказать, что векторы а= (1 ,-2 ,3 ), b = (4 ,-5 , 6 ), с = (5 ,-7 ,9 ) компланарны.

Решение: Так как

Высшая математика

т.е. выполнено условие (3.36), то данные векторы компланарны.

Пример 3.10. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках Высшая математика

Решение: В соответствии с формулой (3.35) находим

Высшая математика

Линейная зависимость векторов

Векторы Высшая математика называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа Высшая математика из которых по меньшей мере одно отлично от нуля, такие что

Высшая математика Высшая математика

В противном случае (т. е. когда таких чисел не существует) векторы называются линейно независимыми; другими словами, векторы линейно независимы, если равенство (3.37) выполняется лишь при

Высшая математика Высшая математика

Если один из векторов, например Высшая математика является нулевым, то система Высшая математика окажется линейно зависимой, так как равенство (3.37) будет выполнено при Высшая математика Если часть векторов Высшая математика линейно зависима, то и вся система Высшая математика линейно зависима, поскольку из равенства Высшая математика следует равенство' (3.37), в котором Высшая математика

Теорема 3.1. Векторы Высшая математика линейно зависимы тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Теорема 3.2. Два вектора а и b линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 3.3. Если Высшая математика - два неколлинеарных вектора некоторой плоскости, то любой третий вектор а той же плоскости можно единственным образом разложить по ним, т.е. представить в виде Высшая математика

Теорема 3.4. Три вектора а, b, с линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 3.5. Если векторы Высшая математика некомпланарны, то любой вектор Высшая математика можно единственным образом разложить по ним, т.е.

Высшая математика

Теорема 3.6. Всякие четыре вектора линейно зависимы.

Любая упорядоченная система трех линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов а, b, с называется базисом. Согласно теореме 3.5, всякий вектор d можно разложить по базису, т.е. представить в виде

d = xa + yb + zc. (3.39)

Числа Высшая математика называют координатами вектора d в базисе а, b, с.

Пример 3.11. Образуют ли базис векторы а = (8,2,3), b = (4,6,10), с = (3, - 2 , 1)?

Решение: Так как

Высшая математика

т. е. смешанное произведение отлично от нуля, то векторы некомпланарны. Значит, они линейно независимы и образуют базис.

Пример 3.12. Даны векторы а = (1,1,-1), b = (2,-1,3), с=(1,-2,1). d = (12, - 9,11). Доказать, что векторы а, b, с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

Поскольку

Высшая математика

то векторы а, b, с линейно независимы (некомпланарны) и образуют базис. Вектор d можно представить в виде d = ха + yb + zc (см. формулу (3.39)). Это равенство равносильно следующим равенствам:

Высшая математика

так как равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной координации векторов равны соответствующим линейным комбинациям одноименных координат (см. п. 3.5). Решив полученную систему уравнений, найдем Высшая математика Итак, Высшая математика вектор d в данном базисе имеет координаты Высшая математика

Аффинные координаты

Фиксируем некоторую точку О заданной плоскости и выберем два неколлинеарных вектора Высшая математика назовем эту точку началом координат, векторы Высшая математика - базисными. От точки О отложим векторы Высшая математика проведем прямые, которым принадлежат векторы Высшая математика фиксируем на них положительные направления, совпадающие с направлениями Высшая математика соответственно, получим две координатные оси Ох и Оу (рис. 3.15).

Высшая математика

Будем говорить, что построена общая декартова или аффинная систем^ координат Высшая математика Пусть а - любой вектор данной плоскости, отложим из точки О вектор ОА = а, тогда по теореме 3.3

Высшая математика

Числа х и у формулы (3.40) называются общими декартовыми или аффинными координатами вектора а в системе Высшая математика они также называются аффинными координатами точки А в той же системе, т. е. а = (х , у), А (х, у).

Так как Высшая математика то х и у - величины направленных отрезков Высшая математика координатных осей, Высшая математика - длина отрезка Высшая математика измеренная с помощью масштабного отрезка Высшая математика - длина отрезка Высшая математика измеренная с помощью масштабного отрезка Высшая математика Другими словами, аффинными координатами точки А (и вектора а = ОА ) называются числах и у, определяемые формулами

Высшая математика

где Высшая математика - величины направленных отрезков Высшая математика координатных осей (Высшая математика - проекция точки А на ось Ох, взятая параллельно оси Оу, Высшая математика - проекция точки А на ось Оу, взятая параллельно оси Ох; длины отрезков на каждой оси измеряются с помощью своего масштабного отрезка).

Аналогично вводится аффинная система координат в пространстве. Фиксируем начало координат - точку О, базис - три некомпланарных вектора Высшая математика отложим из точки О векторы Высшая математика координатные оси Ох, Оу, Oz. Если а - любой вектор, то, отложив из точки О вектор ОА = а, по теореме 3.5 получим

Высшая математика Высшая математика

Общими декартовыми или аффинными координатами вектора а (и точки А) называются числа х, у, z в разложении (3.41).

Пусть Высшая математика - проекция точки А на ось Ох, взятая параллельно координатной плоскости Оуz (определяемой векторами Высшая математика), т.е. точка пересечения оси Ох и плоскости, проходящей через точку А и параллельной плоскости Oyz; Высшая математика - проекция точки А на ось Оу, взятая параллельно плоскости Oxz, Высшая математика - проекция точки А на ось Oz, взятая параллельно плоскости Оху, тогда Высшая математикаВысшая математика

Следовательно, х, у, z - проекции вектора ОА на координатные оси, т.е. величины направленных отрезков Высшая математика длины отрезков на каждой координатной оси измеряются с помощью своего масштабного отрезка ( Высшая математика - на оси Ох, Высшая математика - на Оу, Высшая математика - на Oz).

В частном случае векторы Высшая математика попарно перпендикулярны и имеют равные длиныВысшая математика их называют ортами и обозначают i, j, k, система координат называется прямоугольной.

Термин «орт» ввел О. Хевисайд (1892), обозначения Высшая математика - Г. Грассман (1844), i, j, k - У. Гамильтон (1853).

Поверхности и линии в пространстве

Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве

Уравнением поверхности в фиксированной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.

Из этого определения вытекает способ решения следующей простой задачи: выяснить, лежит ли данная точка на поверхности, определяемой заданным уравнением. Для решения задачи необходимо подставить ее координаты в данное уравнение, если получается числовое равенство, то точка лежит на поверхности, в противном случае точка поверхности не принадлежит.

Всякое уравнение с тремя переменными x, у, z можно записать так:

F (x, y, z) = 0 , (4.1)

где F (х, у, z) - функция переменных х, у, z.

Из определения прямоугольных декартовых координат точки в пространстве (см. п 1.Т2) следует, что координатные плоскости Oyz, Oxz, Оху определяются соответственно уравнениями: Высшая математика (х = 0 — уравнение плоскости Oyz и т.д.).

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями. Пусть Высшая математика - линия, по которой пересекаются поверхности, определяемые уравнениями F (x, y, z) = 0 и Ф (х, у, z) = 0, т.е. множество общих точек этих поверхностей, тогда координаты любой точки линии Высшая математика одновременно удовлетворяют обоим уравнениям:

F (x, y, z) = 0 и Ф (х, у, z) = 0. (4.2)

Пример 4.1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(a,b,c).

Решение: Исходя из определения сферы как множества точек пространства, равноудаленных от данной точки (центра), для произвольной ее точки M (x ,y ,z ) получаем Высшая математика Так как

Высшая математика

или

Высшая математика Высшая математика

Для точки N, не лежащей на данной сфере, равенство Высшая математика не будет выполнено, поэтому ее координаты не удовлетворяют уравнению (4.3). Следовательно, уравнение (4.3) является уравнением сферы радиуса R с центром в точке С (а, Ь, с).

В частном случае, когда центр сферы находится в начале координат ( а = Ь = с = 0 ), уравнение (4.3) принимает вид

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (4.4) называется каноническим уравнением сферы.

Пример 4.2. Уравнения Высшая математика определяют окружность радиуса R = 5, лежащую в плоскости Оху.

Решение: Действительно, первое уравнение определяет сферу радиуса R = 5 с центром в начале координат, второе уравнение - координатную плоскость Оху.

Пример 4.3. Ось Ох прямоугольной декартовой системы координат в пространстве определяется уравнениями у = 0 , z = 0 .

Решение: Действительно, уравнение у=0 определяет координатную плоскость Oxz, а уравнение z=0 - координатную плоскость Оху. Ось Ох является линией пересечения координатных плоскостей Oxz и Оху (см. рис. 1.13).

Отметим, что ось Оу имеет уравнения х=0, z=0, а ось Oz - уравнения х=0, у=0.

Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением и-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью и-го порядка. Сфера - поверхность второго порядка, так как ее уравнение (см. (4.3) и (4.4)) является уравнением второй степени относительно декартовых координат.

Параметрические уравнения линии и поверхности

Параметрическими уравнениями линии в пространстве называются уравнения вида

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - функции некоторой переменной t (параметра), если при каждом значении t из конечного или бесконечного промежутка они дают координаты всех точек данной линии и только таких точек.

Параметрические уравнения часто применяются в механике для описания траектории движущейся точки, роль параметра t в таких случаях играет время.

Параметрическими уравнениями поверхности называются уравнения вида

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - функции двух переменных Высшая математика (параметров), если при любых значениях (меняющихся в некоторой области) они дают координаты всех точек данной поверхности и только таких точек.

Правые части уравнений (4.6) содержат два параметра, а уравнения (4.5)- только один параметр.

Пример 4.4. Составить параметрические уравнения винтовой линии. Винтовой линией называется линия, описываемая точкой, равномерно движущейся по образующей кругового цилиндра, который при этом вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

Решение: Выберем ось вращения цилиндра в качестве оси Оz декартовой прямоугольной системы координат в пространстве (рис. 4.1). Обозначим через v постоянную скорость прямолинейного движения точки вдоль образующей, Высшая математика - скорость вращательного движения, R - радиус цилиндра Пусть в начальный момент точка находилась на осн Ох (совпадала с точкой А), а в момент времени Высшая математика - в положении М. Обозначим буквой N проекцию точки М на плоскость Оху, буквой Р — проекцию точки N на ось Ох, буквой Q - проекцию точки N на ось Оу. Обозначим через Высшая математика угол между ОР и ON, получаем Высшая математика Высшая математика Высшая математика

Поскольку Высшая математика то

Высшая математика Высшая математика

Уравнения (4.7) являются параметрическими уравнениями винтовой линии.

Пример 4.5. Составить параметрические уравнения сферы радиуса R.

Решение: Введем в рассмотрение систему декартовых прямоугольных координат с началом в центре сферы и систему сферических координат с началом в той же точке (рис. 4.2). Пусть М — произвольная точка сферы, N - ее проекция на плоскость Оху. Обозначим угол, образуемый вектором ОМ с осью Оz, через Высшая математика (широта); угол, образуемый вектором ON с осью Высшая математика, через Высшая математика (долгота).

Высшая математика

Принимая во внимание определение декартовых координат (или связь между декартовыми и сферическими координатами, см. 1.13, формулы (1.29)), получаем параметрические уравнения сферы

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

Исключив из этих уравнений параметры Высшая математика (для чего нужно возвести в квадрат обе части каждого уравнения и почленно сложить), получим уравнение сферы (4.4).

Различные виды уравнения плоскости

Плоскость в пространстве можно задать различными способами (точкой и вектором, перпендикулярном плоскости, тремя точками и т. д.), в зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. Ненулевой вектор Высшая математика перпендикулярный плоскости, называют ее нормальным вектором. Если дана точка Высшая математика и нормальный вектор Высшая математика плоскости, то ее уравнение имеет вид

Высшая математика Высшая математика

В этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора

Равенство (4.9) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: Высшая математика, Высшая математика где M (x, y, z) - любая точка плоскости (рис. 4.3).

Общее уравнение плоскости. Уравнение первой степени относительно декартовых координат

Высшая математика Высшая математика

где А, В, С одновременно в нуль не обращаются, т.е.

Высшая математика Высшая математика

(4.11) определяет плоскость в пространстве. Уравнение (4.10) называется общим уравнением плоскости.

Высшая математика

Отметим частные случаи этого уравнения.

Если D = 0, то уравнение (4.10) принимает вид

Ах + Ву + Cz = 0

и определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис. 4.4, а; координаты х = у = z = 0 удовлетворяют данному уравнению).

Если С = 0, то уравнение (4.10) принимает вид

Ax + By + D = 0

и определяет плоскость, параллельную оси Oz (рис. 4.4, б); нормальный вектор Высшая математика перпендикулярен оси Oz, ибо С = 0.

Если Высшая математика то уравнение (4.10) принимает вил

Ах+ Ву = 0

и определяет плоскость, проходящую через ось Высшая математика (рис. 4.4, в; плоскость параллельна оси Oz и проходит через начало координат; в этом случае Высшая математика в силу условия (4.11)).

Если Высшая математика то уравнение (4.10) принимает вид

Высшая математика

и определяет плоскость, параллельную плоскости Высшая математика или перпендикулярную оси Ох (рис. 4.4, г; нормальный вектор Высшая математика перпендикулярен плоскости Высшая математика).

Если Высшая математика то уравнение (4.10) принимает вид

Высшая математика

и определяет координатную плоскость Высшая математика

Замечание. Если в уравнении (4.10) свободный член равен нулю (D = 0), то плоскость проходит через начало координат; если коэффициент прн одной из текущих координат равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси (например, если В=0, то плоскость параллельна оси Оу); еслй в нуль обращаются свободный член и один из коэффициентов при текущей координате, то плоскость проходит через соответствующую ось (если D = 0 и С = 0, то плоскость проходит через ось Высшая математика); если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости (когда А = 0, В = 0, плоскость параллельна плоскости Оху); если обращаются в нуль свободный член и два коэффициента при текущих координатах, то плоскость совпадает с соответствующей координатной плоскостью (когда 0 = 0, А = 0, С.= 0, плоскость совпадает с плоскостью Высшая математика

Высшая математика

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат. Если все коэффициенты уравнения (4.10) и его свободный член отличны от нуля, то уравнение можно привести к виду

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика Числа Высшая математика означают величины направленных отрезков, отсекаемых на осях координат. Этим объясняется название данного вида уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости. Уравнение

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - углы, образованные нормальным вектором плоскости с координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно, р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, называется нормальным (или нормированным) уравнением плоскости. Чтобы привести общее уравнение плоскости к виду (4.13), необходимо умножить его на нормирующий множитель

Высшая математика

где знак выбирается противоположным знаку D. После умножения уравнения (4.10) на число Высшая математика получаем нормированное уравнение плоскости

Высшая математика

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если даны три точки Высшая математика не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Равенство (4.14) выражает необходимое и достаточное условие (см. (3.36)) компланарности трех векторов Высшая математикаВысшая математикаВысшая математикагде М (х,у,z) - любая точка данной плоскости (рис. 4.5).

Уравнение плоскости, проходящей через две точки и параллельной данному вектору. Если задан вектор Высшая математика и две точки Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика причем векторы а и Высшая математика , неколлинеарны (рис. 4.6), то уравнение плоскости, проходящей через эту точку параллельно вектору а, имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Равенство (4.15) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов Высшая математика Высшая математикагде Высшая математика - любая тойка данной плоскости.

Высшая математика

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам. Если даны два неколлинеарных вектора (рис. 4.7) Высшая математика и точка Высшая математика то уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно векторам а и Ь, имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Равенство (4.16) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов: Высшая математика где М - произвольная точка данной плоскости.

Параметрические уравнения плоскости. Если даны два неколлинеарных вектора Высшая математика и точка Высшая математика то параметрические уравнения плоскости, проходящей через эту точку параллельно данным векторам, имеют вид

Высшая математика Высшая математика

Уравнения (4.17) следуют из равенства Высшая математика где M ( x, y, z ) - любая точка плоскости (равенство Высшая математика означает, что любой вектор Высшая математика можно разложить по векторам а и Ь).

Пример 4.6. Записать уравнение плоскости,. проходящей через точку Высшая математика и имеющей нормальный вектор Высшая математика

Решение: Так как в данном случае Высшая математикаВысшая математика А = 5, В = 6, С = —7, то уравнение (4.9) принимает вид

5 ( x - 2 ) + 6 ( y + 3 ) - 7 ( z - 4 ) = 0, или 5х + 6 у - 7z + 36 = 0.

Пример 4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Высшая математика параллельно векторам а = (5, - 4,8), b = (6, - 1,7).

Решение: Данные векторы неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны. В соответствии с уравнением (4.16) получаем

Высшая математика

Разлагая определитель по элементам первой строки, находим

Высшая математика

Высшая математика

Пример 4.8. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью Зх - 4у + 5z - 60 = 0.

Решение: Разделив обе части уравнения на 60 и преобразовав его, получим

Высшая математика

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (4.12), заключаем, что Высшая математика Высшая математика Таковы величины отрезков, отсекаемых плоскостью соответственно на осях Ох, Oy, Oz.

Пример 4.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки Высшая математика

Решение: В соответствии с уравнением (4.14) получаем

Высшая математика

Различные виды уравнении прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно задать различными способами (точкой и вектором, параллельной ей; двумя точками и т. п.), в связи с чем рассматривают различные виды ее уравнений.

Векторно-параметрическое уравнение прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный ей. Если даны точка Высшая математика и направляющий вектор Высшая математика прямой (рис. 4.8), то

Высшая математика (4.18)

где Высшая математика - радиус-вектор точки Высшая математика Высшая математика - радиус-вектор точки Высшая математика - переменная величина (параметр). Уравнение (4.18) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, проходящей через точку Высшая математика и имеющей направляющий вектор а. Равенство (4.18) следует из определения суммы векторов и необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов.

Высшая математика

Параметрические уравнения прямой. Переходя от векторного соотношения (4.18) к координатным, получаем

Высшая математика (4.19)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку Высшая математика и имеющей направляющий вектор Высшая математика

Канонические уравнения прямой. Выражая параметр t из уравнений (4.19) н приравнивая полученные выражения, находим, что

Высшая математика (4.20)

Уравнения (4.20) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через танку Высшая математика и имеющей направляющий вектор Высшая математика

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если даны две точки Высшая математика то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор Высшая математика поэтому уравнения (4.20) примут вид

Высшая математика

Пример 4.10. Записать параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку Высшая математика параллельно вектору а = (4,3,-2).

Решение: Так как в данном случае Высшая математикапараметрические уравнения (4.19) принимают вид

Высшая математика

канонические уравнения (4.20) запишутся так:

Высшая математика

Пример 4.11. Составить уравнения прямой; проходящей через точки Высшая математика Привести эти уравнения к параметрическому виду.

Решение: Поскольку Высшая математика то уравнения (4.21) примут вид

Высшая математика

Обозначая равные отношения буквой Высшая математика получаем параметрические уравнения данной прямой:

Высшая математика

Задачи, относящиеся к плоскостям

Взаимное расположение двух плоскостей. Даны две плоскости

Высшая математика Высшая математика

Необходимое и достаточное условие параллельности этих плоскостей выражается равенствами

Высшая математика (4.24)

а их совпадения - равенствами

Высшая математика (4.25)

Другими словами, плоскости параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны их коэффициенты при текущих координатах; например, плоскости Высшая математика параллельны. Плоскости совпадают тогда и только тогда, когда пропорциональны коэффициенты при текущих координатах и свободные члены; например, плоскости Высшая математика совпадают.

Если условие (4.24) не выполняется, то плоскости (4.22) и (4.23) пересекаются.

Угол между двумя плоскостями. Косинус угла между плоскостями (4.22) и (4.23) определяется формулой

Высшая математика (4.26)

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей (4.22) и (4.23) выражается равенством

Высшая математика (4.27)

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки Высшая математика до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле

Высшая математика Высшая математика

Пример 4.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку Высшая математика и параллельной плоскости х - 2 у + 4z - 1 = 0 .

Решение: Это уравнение будем искать в виде Высшая математика - неизвестный свободный член (в формуле (4.24) полагаем отношение равным единице).

Так как плоскость проходит через точку Высшая математика то ее координаты должны удовлетворять последнему уравнению: 2 - 2 - 3 + 4 ( - 5 ) + D = 0, 2 - 6 - 2 0 + D = 0, D=24. Следовательно, х —2y + 4z + 24=0 - искомое уравнение.

Пример 4.13. Найти угол между двумя плоскостями 11 x - 8 у - 7z + 6 = 0, 4x-10y + z - 5 = 0.

Решение: Косинус угла найдем по формуле (4.26), подставив в нее значения Высшая математика Высшая математика

Высшая математика

Пример 4.14. Вычислить расстояние от точки Высшая математика до плоскости Высшая математика

Решение: Подставив в формулу (4.28) значения Высшая математика Высшая математика Высшая математика получим

Высшая математика

Пример 4.15. Найти расстояние между параллельными плоскостями Высшая математика

Решение: Это расстояние равно расстоянию любой точки одной плоскости до другой. Выберем на первой плоскости произвольную точку. Приняв, например, что Высшая математика из уравнения Высшая математика найдем Высшая математика По формуле (4.28) находим расстояние от точки Высшая математика до плоскости Высшая математика

Высшая математика

Задачи, относящиеся к прямым в пространстве

Угол между двумя прямым - угол между поправляющими векторами этих прямых. Косинус угла между двумя прямыми

Высшая математика Высшая математика

определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Равенство Высшая математика выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых (4.29), (4.30). Необходимое и достаточное условие параллельности этих прямых выражается равенствами Высшая математикаВысшая математика или

Высшая математика (4.32)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Для исследования взаимного расположения прямых (4.29) и (4.30) рассматривается смешанное произведение трех векторов Высшая математикаВысшая математика Если Высшая математика т.е.

Высшая математика (4.33)

то прямые являются скрещивающимися. Неравенство (4.33) означает, что векторы Высшая математика некомпланарны.

Прямые (4.29) и (4.30) лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда Высшая математика т.е.

Высшая математика (4.34)

Эти пряные пересекаются, если первые две строки определителя не пропорционаяьны, т,е. не выполнено,условие (4.32). Прямые параллельны, когда первые две строки определителя пропорциональны. Прямые совпадают, если пропорциональны все строки определителя (4.34).

Замечание. Чтобы найти точку пересечения прямых (4.29) и (4.30), необходимо решить систему их уравнений; при этом целесообразно параметры обозначить различными . буквами (так как одна и та же точка пересечения прямых получается, как правило, при различных значениях параметра в уравнениях данных прямых).

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки Высшая математика до прямой (4.29) вычисляется по формуле

Высшая математика (4.35)

где Высшая математика - радиусы-векторы точек Высшая математика а - направляющий вектор прямой (рис. 4.9).

Расстояние между двумя прямыми. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми (4.29) и (4.30) определяется формулой

Высшая математика (4.36)

где Высшая математика - радиусы-векторы точек Высшая математика а, b - направляющие векторы данных прямых (рис. 4.10).

Пример 4.16. Найти угол между двумя прямыми Высшая математикаВысшая математика

Решение: Первая прямая имеет направляющий вектор а = (2,7,8 ), вторая - b = (8 , -11, - 7). По формуле (4.31) находим

Высшая математика

Следовательно, Высшая математика

Пример 4.17. Доказать, что прямые Высшая математика и Высшая математика пересекаются. Найти точку их пересечения.

Решение: Рассмотрим векторы Высшая математика а = (5, -7 ,- 3 ) , b = (1,1,2) и их смешанное произведение

Высшая математика

Высшая математика

Поскольку смешанное произведение трех векторов равно нулю, то векторы компланарны; значит, данные прямые лежат в одной плоскости. Так как направляющие векторы Высшая математика этих прямых неколлинеарны (их координаты не пропорциональны), то прямые пересекаются.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для координат, предварительно обозначив параметр буквой s в уравнениях второй прямой;

Высшая математика

Из первых двух уравнений следует, что Высшая математика откуда t = -1; следовательно, s = 2. При этих значениях Высшая математика третье уравнение обращается в тождество. Подставляя значение t = -1 в уравнения первой прямой (или s = 2 в уравнения второй прямой x = s, y = s, z = -3 + 2 s ), находим x = 2 , y = 2, z = 1. Итак, M ( 2 , 2 ,1) - точка пересечения данных прямых.

Пример 4.18. Найти расстояние от точки Высшая математика до прямой; Высшая математика

Решение: Найдем сначала векторное произведение, входящее в формулу (4.35):

Высшая математика

По формуле (4.35) получаем

Высшая математика

Задачи на прямую и плоскость

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Рассмотрим две плоскости, заданные общими уравнениями (4.22) и (4.23). Если условие (4.24) не выполнено (т. е. коэффициенты Высшая математика не пропорциональны коэффициентам Высшая математикаВысшая математика то плоскости пересекаются по прямой, определяемой уравнениями

Высшая математика

Эти уравнения приводятся к параметрическому виду

Высшая математика

Данная прямая имеет направляющий вектор

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - нормальные векторы данных плоскостей. Точка Высшая математика на прямой может быть выбрана произвольно; для этого необходимо в системе (4.37) зафиксировать значение одной переменной (например, Высшая математика ), из полученной системы уравнений найти значения двух других переменных Высшая математика

Пучок плоскостей — множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую (4.37), имеет вид

Высшая математика

где Высшая математика - любые действительные числа, причем хотя бы одно из них отлично от нуля. Это уравнение можно привести к виду

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика Уравнение (4.40) определяет все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует Высшая математика т.е. за исключением плоскости Высшая математика

Угол между прямой и плоскостью. Синус угла между прямой

Высшая математика Высшая математика

и плоскостью

Ax + By + Cz + D = 0 (4.42)

определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Взаимное расположение прямой й плоскости. Прямая (4.41) и плоскость (4.42) пересекаются, если

Высшая математика Высшая математика

перпендикулярны, когда

Высшая математика Высшая математика

параллельны, если

Высшая математика Высшая математика

совпадают, когда

Высшая математика Высшая математика

Координаты точки пересечения прямой (4.41) и плоскости (4.42) находятся из системы их уравнений.

Неравенство (4.44) означает, что нормальный вектор Высшая математика плоскости (4.42) и направляющий вектор Высшая математика прямой (4.41) не перпендикулярны, т.е. прямая и плоскость не параллельны.

Равенства (4.43) означают, что векторы Высшая математика и а коллинеарны, т.е. прямая (4.41) и плоскость (4.42) перпендикулярны.

Соотношения (4.46) показывают, что векторы Высшая математика и а перпендикулярны, т.е. прямая и плоскость параллельны, но точка Высшая математика прямой (4.41) не принадлежит плоскости (4.42).

Равенства (4.47) означают, что векторы Высшая математика и а перпендикулярны и точка Высшая математика прямой принадлежит плоскости (прямая лежит в плоскости).

Пример 4.19. Уравнения прямой Высшая математика привести к параметрическому виду.

Решение: Поскольку в этих уравнениях коэффициенты при текущих координатах непропорциональны, то плоскости, определяемые данными уравнениями, пересекаются. Данные уравнения определяют прямую. Выберем на прямой точку. Полагая в этих уравнениях, например, Высшая математика получаем

Высшая математика

откуда Высшая математика На прямой зафиксирована точка Высшая математика. По формуле (4.39) найдем направляющий вектор прямой. Так как Высшая математика то

Высшая математика

Параметрические уравнения (4.38) данной прямой принимают вид Высшая математикаВысшая математика

Замечание. В качестве направляющего вектора можно взять Высшая математика тогда Высшая математика

Пример 4.20. Найти угол между прямой Высшая математика Высшая математикаи плоскостью Высшая математика

Решение: Применяя формулу (4.43) для случая Высшая математика находим

Высшая математика

Пример 4.21. Найти проекцию точки М (1 ,-2 ,4 ) на плоскость 5х — Зу + 6z + 35 = 0.

Решение: Этой проекцией является точка пересечения перпендикуляра к плоскости, проходящей через точку М. Для прямой, перпендикулярной плоскости, направляющим вектором будет Высшая математика Параметрические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М, примут вид Высшая математика

Подставляя эти выражения в уравнение плоскости, находим:

Высшая математика

При этом значении t из уравнений прямой получаем: Высшая математика Высшая математикаСледовательно, точка N (-4,1, -2 ) - искомая проекция.

Пример 4.22. Вершины пирамиды находятся в точках Высшая математикаВысшая математика Найти: 1) длину ребра Высшая математика 2) угол между ребрами Высшая математика и Высшая математика 3) площадь грани Высшая математика 4) объем пирамиды Высшая математика 5) уравнение плоскости Высшая математика 6 ) уравнения прямой Высшая математика 7) угол между ребром Высшая математика и гранью Высшая математика 8 ) уравнения высоты, опущенной из вершины Высшая математика на грань Высшая математика

Найдем сначала координаты векторов Высшая математика и координаты векторного произведения Высшая математика По формуле (3.15) получаем

Высшая математика

С помощью формулы (3.26) находим

Высшая математика

1. Длина ребра Высшая математика равна расстоянию между точками Высшая математика которое вычислим по формуле (1.26):

Высшая математика

Тот же результат можно получить, найдя модуль вектора Высшая математика по формуле (3.11).

2. Угол между ребрами Высшая математика равен углу Высшая математика между векторами Высшая математика Высшая математика В соответствии с формулой (3.22) получаем

Высшая математика

3. Площадь грани Высшая математика равна площади треугольника Высшая математика, которую вычислим по формуле (3.29), использовав формулу (3.11) для модуля вектора и координаты вектора Высшая математика

Высшая математика

4. Объем пирамиды Высшая математика найдем по формуле (3.35):

Высшая математика

5. Уравнение плоскости Высшая математика как плоскости, проходящей через три точки (см. (4.14)), принимает вид

Высшая математика

Высшая математика

6 . Уравнения прямой Высшая математика как прямой, проходящей через две точки (см. (4.21)), запишутся так:

Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

7. Угол между ребром Высшая математика и гранью Высшая математика равен углу Высшая математика между плоскостью (I) и прямой (II). По формуле (4.43) находим

Высшая математика

8 . Уравнения высоты, опущенной из вершины Высшая математика на грань Высшая математика можно записать как уравнения прямой, проходящей через точку Высшая математика и перпендикулярной плоскости (I), имеющей нормальный вектор Высшая математика который для этой прямой будет направляющим вектором. Уравнения (4.19) в данном случае принимают вид Высшая математика

Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения

Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению (рис. 4.11). Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Oz, имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Особенность уравнения (4.48) состоит в том, что оно не содержит переменной Высшая математика Если уравнение Высшая математика определяет некоторую поверхность, то ею является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ох. Если уравнение Высшая математика определяет некоторую поверхность, то ею является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Оу. Поверхность, образованная вращением линии Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

вокруг оси Высшая математика (рис. 4.12), определяется уравнением

Высшая математика Высшая математика

Поверхность, образованная вращением линии Высшая математика вокруг оси Оу, имеет уравнение Высшая математика

Поверхность, образованная вращением линии Высшая математика вокруг оси Ох, определяется уравнением Высшая математика

Поверхностью вращения второго порядка называется поверхность, полученная вращением линии второго порядка вокруг ее оси.

Эллипсоидом вращения называется поверхность, полученная вращением эллипса вокруг одной из его осей. Уравнение эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса Высшая математика вокруг оси Oz, имеет вид Высшая математика

Высшая математика

Однополосным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Однополосный гиперболоид вращения, полученный вращением гиперболы Высшая математика вокруг оси Oz, имеет уравнение

Высшая математика

Двуполостным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. Двуполостный гиперболоид, полученный вращением гиперболы Высшая математикаx = 0 вокруг оси Oz, определяется уравнением

Высшая математика

Параболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением параболы вокруг ее оси. Уравнение параболоида вращения, полученного вращением параболы Высшая математика х = 0 вокруг оси Oz, имеет вид

Высшая математика

Пример 4.23. Составить уравнение поверхности, полученной вращением линии Высшая математика у = 0 вокруг оси Oz.

Решение: Данные уравнения определяют пару пересекающихся прямых в плоскости Oxz, проходящих через начало координат (являющихся пересечением плоскостей Высшая математика - Высшая математика с плоскостью Oxz). Приведем эти уравнения к виду (4.49):

Высшая математика

В соответствии с уравнением (4.50) получаем

Высшая математика

Последнее уравнение является уравнением конуса вращения, получающегося при вращении указанных прямых вокруг оси Oz.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность. Определяемая алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка:

Высшая математика (эллипсоид, рис. 4.13); Высшая математика

Высшая математика (однополосный гиперболоид, рис. 4.14); Высшая математика

Высшая математика (двуполостный гиперболоид, рис. 4.15); Высшая математика

Высшая математика (конус, рис. 4.16); Высшая математика

Высшая математика (эллиптический параболоид, рис. 4.17); Высшая математика

Высшая математика (гиперболический параболоид, рис. 4.18); Высшая математика

Высшая математика (эллиптический цилиндр, рис. 4 .19); Высшая математика

Высшая математика (гиперболический цилийдр, рис. 4.20); Высшая математика

Высшая математика (параболический цилиндр, рис. 4:21); Высшая математика

Высшая математика (пара пересекающихся плоскостей); Высшая математика

Высшая математика (пара параллельных плоскостей); Высшая математика

Высшая математика (пара совпадающих плоскостей). Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Высшая математика

Замечание 1 .Уравнение (4.51) при Высшая математика принимает вид

Высшая математика Высшая математика

и определяет сферу радиуса R с центром'в начале координат.

Общее уравнение второй степени, относительно x, у, z может быть приведено к одному из уравнений (4.51) - (4.63) или к одному из следующих уравнений:

Высшая математика Высшая математика

Уравнениям (4.64), (4.66) и (4.68) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства; уравнению (4.65) удовлетворяют координаты единственной точки О (0,0,0); уравнению (4.67) удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой х = 0 , у = 0 .

Замечание 2. Если уравнение

Высшая математика Высшая математика

(т.е. уравнение, у которого коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а коэффициенты при произведениях координат равны нулю) определяет некоторую поверхность, то этой поверхностью является сфера Уравнение (4.69) в этом случае может быть приведено к виду

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (4.70) является уравнением сферы радиуса Высшая математика с центром в точке Высшая математика

Прямые, целиком лежащие на некоторой поверхности, называются прямолинейными образующими данной поверхности.

Однополосный гиперболоид (4.52) имеет два семейства прямолинейных образующих:

Высшая математика

Гиперболический параболоид (4.56) также имеет два семейства прямолинейных образующих:

Высшая математика

Пример 4.24. Определить вид и параметры поверхности второго порядка, заданной уравнением

Высшая математика

Решение: Преобразуем это уравнение, выделив в левой части полные квадраты:

Высшая математика

Введем новые координаты по формулам (3.17):

Высшая математика Высшая математика

тогда уравнение примет вид

Высшая математика

Полученное уравнение определяет эллипсоид (см. (4.51)), для которого Высшая математикаВысшая математика Центр эллипсоида находится в точке Высшая математика в новой системе координат центром является точка с координатами Высшая математика Из этих равенств и формул (I) находим х = 1, у = -2, z = 3, т.е. координаты точки Высшая математика

Пример 4.25. Определить вид и параметры поверхности

Высшая математика

Решение: Преобразуем это уравнение:

Высшая математика

Переходя к новым координатам по формулам Высшая математика получаем

Высшая математика

Это уравнение определяет однополостный гиперболоид (см. (4.52)), для которого Высшая математика с центром в точке Высшая математика

Пример 4.26. Доказать, что уравнение Высшая математика определяет гиперболический параболоид.

Решение: Введем новые координаты по формулам x = X - Y , y = X + Y , z = Z, тогда уравнение примет вид

Высшая математика

Полученное уравнение является уравнением вида (4.56), для которого Высшая математикаВысшая математика оно определяет гиперболический параболоид.

Пример 4.27. Доказать что уравнение Высшая математика определяет конус.

Решение: Переходя к новым координатам по формулам Высшая математика, получаем Высшая математика или Высшая математика

Полученное уравнение является уравнением вида (4.54), для которого Высшая математика оно определяет конус.

Некоторые другие поверхности

В плоскости Oxz (у=0) задана линия Высшая математика своими параметрическими уравнениями

Высшая математика Высшая математика

не пересекающая ось Oz. Рассмотрим поверхность, полученную вращением этой лднии вокруг оси Oz. .

Параметрические уравнения рассматриваемой поверхности вращения имеют вид

Высшая математика Высшая математика

Тор — поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости данной окружности и не пересекающей ее. Эта поверхность напоминает спасательный круг, камеру автомобильной шины (рис. 4.22).

Рассмотрим тор, полученный вращением вокруг оси Oz окружности, заданной параметрическими уравнениями

Высшая математика

Эта окружность лежит в плоскости Oxz (у = 0) и определяется уравнениями вида (4.71), где Высшая математика

В соответствии с (4.72) получаем параметрические уравнения тора

Высшая математика Высшая математика

Катеноид — поверхность, полученная вращением цепной линии вокруг ее оси (рис. 4.23). Рассмотрим катеноид, полученный вращением вокруг оси Oz цепной линии, заданной параметрическими уравнениями

Высшая математика

Эта линия расположена в плоскости Oxz (у = 0). Она определена уравнениями вида (4.71), где Высшая математика В соответствии с (4.72) находят

Высшая математика

параметрические уравнения катеноида

Высшая математика

Исключая из этих уравнений параметры Высшая математика получаем

Высшая математика Высшая математика

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения. Минимальные поверхности возникли при решении следующей задачи: среди всех поверхностей, проходящих через данную замкнутую пространственную линию, найти ту, которая имеет минимальную площадь поверхности ограниченной данной линией. Отсюда происходит и название такой поверхности Бельгийский физик Плато предложил простой экспериментальный способ получения минимальных поверхностей посредством мыльных пленок, натянутых на проволочный каркас.

Катеноид обладает следующим свойством. Рассмотрим две окружности, полученные пересечением катеноида (4.74) соответственно плоскостями Высшая математика Любая поверхность, края которой совпадают с этими окружностями, имеет площадь большую, чем часть катеноида, расположенная между указателей окружностями. Мыльная пленка, соединяющая данные окружности под действием сил внутреннего натяжения, принимает форму катеноида.

Геликоид - поверхность, описанная прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось под постоянным углом Высшая математика и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. При Высшая математика геликоид называют прямым (рис. 4.24, а), при Высшая математика геликоид называют косым (рис. 4.24, б).

Рассмотрим прямой геликоид, описанный прямой, перпендикулярной оси Oz (см. рис. 4.24, о). Пусть М (х, у, z) - произвольная точка поверхности, Р - ее проекция на плоскость Оху, Q, L - проекции точки Р соответственно на оси Ох, Оу. Обозначим через Высшая математика расстояние точки М до оси Oz Высшая математика а через Высшая математика - угол, образуемый отрезком ОР с осью Ох.

Параметрические уравнения геликоида имеют вид

Высшая математика

где Высшая математика — некоторая постоянная.

Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) при Высшая математика дают ступени винтовой лестницы.

Представление о геликоиде можно составить, например, наблюдая движение винта вертолета при его вертикальном взлете. Отметим, что первоначально вертолеты называли геликоптерами, винтокрылыми. Первый эскиз геликоида был нарисован еще Леонардо да Винчи.

Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясняется следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных видов равномерного движения — прямолинейного и вращательного. Вследствие этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного из указанных видов движения к другому, что имеет место практически в любой машине.

Псевдосфера - поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг ее асимптоты (рис. 4.25). Рассмотрим псевдосферу, полученную вращением вокруг оси Oz трактрисы

Высшая математика

Эта трактриса лежит в плоскости Oxz (у = 0), ось Oz служит ее асимптотой. Линия задана параметрическими уравнениями вида (4.71), где Высшая математика

Высшая математика

Высшая математикаВ соответствии с (4.72) получены параметрические уравнения псевдосферы

Высшая математика

Важность псевдосферы состоит в том, что на ней частично реализуется плоская неевклидова геометрия Лобачевского. Этот удивительный факт установил итальянский математик Эудженио Бельтрами в 1868 г., уже после смерти Н.И. Лобачевского.

Алгебра

Матрицы и определители

Матрицы. Основные определения

Матрицей называется система Высшая математика чисел, расположенных в прямоугольной таблице из Высшая математика строк и Высшая математика столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Обозначения матрицы:

Высшая математика

Элементы Высшая математика составляют i-ю строку Высшая математика элементы Высшая математика составляют Высшая математика столбец Высшая математика - элемент, принадлежащий i-й строке и Высшая математика столбцу матрицы, числа i, Высшая математика называют индексами элемента. Матрицу, имеющую Высшая математика строк и Высшая математика столбцов, называют матрицей размеров Высшая математика (читается Высшая математика). Употребляются и более краткие обозначения матрицы размеров Высшая математика

Высшая математика

Матрицу обозначают также одной заглавной буквой, например

Высшая математика

Если необходимо отметить, что матрица А имеет Высшая математика строк и Высшая математика столбцов, т. е. необходимо указать ее размеры, то пишут Высшая математика

Две матрицы Высшая математика называются равными, если Высшая математика Высшая математика другими словами, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной матрицей, или матрицей-строкой. Строчная матрица имеет виц

Высшая математика

Матрица

Высшая математика

имеющая один столбец, называется столбцовой матрицей, или матрицейстолбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу обозначают буквой О:

Высшая математика

Квадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов Высшая математика т. е. матрица вида

Высшая математика

Порядком квадратной матрицы называется число ее строк.

Будем говорить, что элементы Высшая математика квадратной матрицы образуют ее главную диагональ, а элементы Высшая математика - вторую диагональ.

Квадратная матрица называется симметрической, если Высшая математика т. е. равны ее элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т. е. матрица

Высшая математика

Скалярной называется диагональная матрица, у которой Высшая математика (c = const) при Высшая математика

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой Е:

Высшая математика

Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по Одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:

Высшая математика

Матрица произвольных размеров вида

Высшая математика

где Высшая математика называется квазитреугольной (ступенчатой или трапециевидной).

Матрица Высшая математика, полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А. Если А — матрица размером Высшая математика то Высшая математика имеет размеры Высшая математика

Высшая математика

Например, если Высшая математика

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования: 1) умножение строки (или столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число; 3) перестановка местами двух строк (столбцов).

Термин «матрица» был введен Д. Сильвестром в 1851 г.

Линейные действия над матрицами

Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число. Сложение и вычитание определяются только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц Высшая математика называется такая матрица Высшая математика что

Высшая математика Высшая математика

т. е. матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых. Сумма двух матриц А и В обозначается А + В.

Разностью двух матриц Высшая математика называется матрица Высшая математика для которой

Высшая математика Высшая математика

Произведением матрицы Высшая математика на число Высшая математика (или числа Высшая математика на матрицу А) называется матрица Высшая математика для которой

Высшая математика Высшая математика

т. е. матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число Высшая математика Произведение матрицы А на число Высшая математика обозначается Высшая математика (или Высшая математика

Матрицу Высшая математика называют матрицей, противоположной матрице А, и обозначают -А .

Замечание. Разность А - В двух матриц можно определить так:

А - В = А + (-В). (5.5)

Линейные действия над матрицами обладают следующими свойствами: Высшая математика Высшая математика Высшая математикаВысшая математикаВысшая математика где А, В, С - матрицы одних и тех же размеров; О - нулевая матрица; (-А ) - матрица, противоположная матрице Высшая математика — любые действительные числа.

Пример 5.1. Найти сумму и разность двух матриц

Высшая математика

Решение: В соответствии с формулами (5.2) и (5.3) получаем

Высшая математика

Пример 5.2. Даны две матрицы

Высшая математика

Найти ЗА-2В.

Решение: В соответствии с формулами (5.4) и (5.5) получаем Высшая математика и Высшая математика

Высшая математика

Произведение матриц. Многочлены от матриц

Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы множимого равно числу строк матрицы множителя.

Произведением матрицы Высшая математика на матрицу Высшая математика называется такая матрица Высшая математика для которой

Высшая математика Высшая математика

т. е. элемент Высшая математика матрицы Высшая математика равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы Высшая математика столбца матрицы Высшая математика Матрица Высшая математика имеет Высшая математика строк (как и матрица А) и Высшая математика столбцов (как и матрица Высшая математика). Произведение матрицы А на матрицу В обозначается AB.

Замечание. Из того, что матрицу А можно умножить на В, не следует, что матрицу В можно умножать на А. В общем случае Высшая математика Если АВ= ВА, то матрицы А к В называются перестановочными или коммутативными.

При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, а нулевая матрица О - роль нуля, так как АЕ = ЕА = А, АО = ОА = О.

Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если имеют смысл соответствующие действия, то выполняются равенства: Высшая математика Высшая математика Высшая математика где Высшая математика - любое действительное число.

Отметим, что Высшая математика где штрихом обозначена матрица, транспонированная данной.

Целой положительной степенью Высшая математика квадратной матрицы А называется произведение Высшая математика матриц, каждая из которых равна А, т.е. Высшая математика Матрица Высшая математика имеет тот же порядок, что и матрица А. Нулевой степенью квадратной матрицы Высшая математиканазывается единичная матрица того же порядка, что и А, т. е. Высшая математика Первой степенью Высшая математика матрицы А называется сама матрица А, т. е. Высшая математика Многочленом (или полиномом) степени Высшая математика (Высшая математика — целое неотрицательное число) от квадратной матрицы А называется выражение вида

Высшая математика

где Высшая математика - любые числа, причем Высшая математика Обозначим многочлен от матрицы А через Р(А), тогда по определению

Высшая математика

или

Высшая математика Высшая математика

Из определения следует, что многочлен от матрицы можно получить, если в обычный многочлен Высшая математика вместо х подставить квадратную матрицу (и учесть, что Высшая математика ).

Пусть дан многочлен Р (х). Если Р (А) является нулевой матрицей, т. е. Р (А) = 0 , то матрица А называется корнем многочлена Р(х), амногочлен Р (х) — аннулирующим многочленом для матрицы А.

Пример 5.3. Найти произведение AB и ВА матриц

Высшая математика

Решение: Обе матрицы являются квадратными матрицами одного и того же порядка (второго), поэтому можно получить произведения AB и ВА. Применяя формулу (5.6.) для случая Высшая математика получаем

Высшая математика

Отметим, что Высшая математика т. е. результат умножения зависит от порядка множителей.

Пример 5.4. Даны две матрицы

Высшая математика

Найти произведение AB. Можно ли получить произведение ВА?

Решение: Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (ширина матрицы А равна высоте матрицы В), поэтому произведение AB определено. Умножая строку матрицы А на столбец матрицы В, по формуле (5.6) получаем

Высшая математика

Произведение ВА не определено, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Пример 5.5. Найти многочлен Р(А), если Высшая математика и Высшая математика В соответствии с определением многочлена от матрицы (см. формулу (5.7)) получаем Высшая математика или

Высшая математика

Определители и их свойства

Определителем квадратной матрицы второго порядка

Высшая математика

называется число, равное Высшая математика и обозначаемое символом

Высшая математика

Числа Высшая математика называются элементами определителя матрицы второго порядка. Каждый элемент определителя обозначен буквой Высшая математика с двумя индексами; первый (1) обозначает номер строки, второй (2) - номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент (например, элемент Высшая математика принадлежит второй строке й первому столбцу определителя).

Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы употребляются следующие обозначения;

Высшая математика

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

Высшая математика

называют число

Высшая математика

Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части этой формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком плюс, какие со знаком минус, полезно правило, схематически изображенное на рис. 5.1.

Высшая математика

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента Высшая математика обозначим Высшая математика

Алгебраическим дополнением элемента Высшая математика определителя называется его минор, взятый со знаком Высшая математика Алгебраическое дополнение элемента Высшая математика будем обозначать через Высшая математика В соответствии с определением Высшая математика

Определители матриц второго порядка и третьего порядка короче называют определителями второго и третьего порядка.

Свойства определителей:

1) определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами;

2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет лишь знак;

3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю;

4) множитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно вынести за знак определителя;

5) определитель равен нулю, если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю;

6) определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;

7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, Высшая математика т. е.

Высшая математика

Эта формула выражает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

По аналогии с формулой (5.10) вводятся определители четвертого порядка:

Высшая математика Высшая математика

или

Высшая математика

где Высшая математика - алгебраическое дополнение элемента Высшая математика определители пятого порядка и т. д.

Теорема 5.1 (теорема замещения). Суммы произведений произвольных чисел Высшая математика соответственно на алгебраические дополнения элементов некоторого столбца (строки) матрицы порядка Высшая математика равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки) числами Высшая математика

Теорема 5.2 (теорема аннулирования). Сумма произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки)равна нулю.

Теорема 5.3. Определитель произведения двух квадратных матриц А и В одного порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц:

Высшая математика

Название "детерминант" предложил Гаусс. Современное изложение теории определителей дал Коши. Обозначение определителя в виде квадратной таблицы чисел с двумя вертикальными чертами ввел Кэли в 1841 г. ,

Пример 5.7. Вычислить определитель Высшая математика

Решение: В соответствии с формулой (5.8) получаем Высшая математика

Пример 5.8. Вычислить определитель Высшая математика

Решение: Умножая первую строку на -1 и прибавляя ко второй, находим

Высшая математика

Пример 5.9. Вычислить определитель третьего порядка

Высшая математика

тремя способами: 1)по определению; 2) по формуле (5.10); 3) преобразованием его с помощью свойств.

Решение:

Высшая математика

3) Умножая первую строку на (-2 ) и прибавляя ко второй, затем умножая первую строку на (-3 ) и прибавляя к третьей, получаем

Высшая математика

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим

Высшая математика

Пример 5.10. Вычислить определитель матрицы

Высшая математика

Применяя формулу (5.11), получаем

Высшая математика

Вычисляя определители третьего порядка, находим Высшая математика

Замечание. Этот определитель можно вычислить путем его преобразований на основании свойств:

Высшая математика

Обратная матрица

Матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квадратная матрица Высшая математика удовлетворяющая равенствам

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной или особенной.

Всякая невырожденная квадратная матрица

Высшая математика

имеет единственную обратную матрицу

Высшая математика

где Высшая математика — алгебраическое дополнение элемента Высшая математика матрицы А. Отметим, что алгебраические дополнения элементов каждой строки матрицы А в формуле (5.14) записаны в столбец с тем же номером.

В случаях Высшая математика формулы (5.13) и (5.14) принимают соответственно вид

Высшая математика

Теорема 5.4. Произвольную невырожденную матрицу А с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице Е:

Высшая математика Высшая математика

Теорема 5.5. Если к единичной матрице порядка Высшая математика применить те же элементарные преобразования только над строками и в том же порядке, с помощью которых невырожденная квадратная матрица А порядка п приводится к единичной, то полученная при этом матрица будет обратной матрице А.

Эта теорема дает способ нахождения матрицы, обратной данной, с помощью элементарных преобразований. При этом удобно записывать матрицы А а Е рядом, отделяя их вертикальной чертой (рассматривать расширенную матрицу Высшая математика), и одновременно производить элементарные преобразования над строками матриц А и Е. В результате преобразования строк матрица Высшая математика преобразуется в матрицу Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

Этот метод вычисления обратной матрицы называют методом Жордана.

Замечание 1. Теорема 5.5. верна применительно к элементарным преобразованиям над строками. Когда преобразования производятся над столбцами, то матрицу E располагают под матрицей А, рассматривают расширенную матрицу Высшая математика тогда

Высшая математика Высшая математика

Замечание 2. Если в соотношении (5.18) на место единичной матрицы справа от вертикальной черты поставить матрицу В, то в результате соответствующих преобразований получим матрицу Высшая математика

Высшая математика

Замечание 3. Если в соотношении (3.19) на место единичной матрицы под горизонтальной чертой поставить матрицу В, то в результате соответствующих преобразований'получим матрицу Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

Обратная матрица используется при решении матричных уравнений вида

Высшая математика Высшая математика

где А, В - невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка. Эти уравнения имеют соответственно решения

Высшая математика Высшая математика

Матрицы Высшая математика можно найти с помощью элементарных преобразований в соответствии с соотношениями (5.20) и (5.21).

Пример 5.11. Найти матрицу, обратную матрице Высшая математика

Решение: Так как Высшая математика то матрица А имеет обратную. Поскольку Высшая математика то по второй из формул (5.15) находим

Высшая математика

Пример 5.12. Найти матрицу, обратную матрице

Высшая математика

Решение: Вычислим определитель данной матрицы:

Высшая математика

Так как Высшая математика то матрица А имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Высшая математика

По второй из формул (5.16) находим

Высшая математика

Пример 5.13. С помощью элементарных преобразований найти матрицу Высшая математика обратную матрице

Высшая математика

Решение: Составляем матрицу (А | Е) и преобразуем ее; приводя матрицу А к единичной, матрица Е будет приведена к Высшая математика

Высшая математика

Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных преобразований: элементы первой строки умножены на (-1 ) и сложены с элементами второй строки, элементы первой строки умножены на ( - 2 ) и сложены элементами третьей строки.

Умножив последнюю строку второй матрицы на (-1 ), получим третью матрицу (матрица А приведена к верхней треугольной форме).

Умножая третью строку на (- 1 ) и прибавляя ее ко второй, а затем к nepi строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку на ( - 1 ) и прибавляя к первой строке, .получаем пятую матрицу; слева от черты - единичная матрица, справа - матрица Высшая математика, обратная исходной матрице А.

Замечание. Элементарные преобразования производятся в этапа: 1) матрица А преобразуется к верхней треугольной форме с единичными диагональными элементами (путем преобразования строк «сверху вниз»); 2 ) полученная матрица преобразуется к единичной (путем преобразования строк « снизу вверх»).

Пример 5.14. Даны две матрицы

Высшая математика

Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению АХ = В.

Решение: Это уравнение разрешимо, так как Высшая математика его решение Высшая математика (см. первую из формул (5.23)). Матрицу Высшая математика найдем с помощью элементарных преобразований в соответствии с соотношением (5.20). Составляем матрицу [А | В], преобразуем ее, приводя матрицу А к единичной:

Высшая математика

Отсюда следует, что

Высшая математика

Называя шагом переход сц одной матрицы к другой, дадим пояснения к выполненным преобразованиям. I шаг - поменяли местами первую и третью строки (чтобы Высшая математика). II шаг - первую строку умножили на -2 и прибавили ко второй; первую строку умножили на -3 и прибавили к третьей. III шаг - третью строку умножили на -1 и прибавили ко второй. IV шаг - вторую строку умножили на 1/2. V шаг - вторую строку умножили на 5 и прибавили к третьей. VI шаг - третью строку умножили на 1/2. VII шаг - третью строку умножили на - 3 и прибавили к первой; третью строку умножили на - 2 и прибавили ко второй. VIII шаг - вторую строку умножили на —2 и прибавили к первой.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размером Высшая математика

Высшая математика

Выберем в ней произвольно s различных строк и s различных столбцов, причем Высшая математика где Высшая математика - меньшее из чисел Высшая математика Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А. Например, если дана матрица

Высшая математика

то, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу второго порядка и ее определитель

Высшая математика

Этот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить другие миноры второго порядка, а также миноры третьего порядка Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: Высшая математика Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения.

1. Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел Высшая математика

... Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая.

3. Для квадратной матрицы Высшая математика порядка Высшая математика тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров. Если все миноры порядка Высшая математика данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка Высшая математика данной матрицы есть отличные от нуля а все миноры порядка Высшая математика+ 1 равны нулю или не существуют, то Высшая математика

Отметим некоторые очевидные свойства ранга матрицы.

1. Ранг матрицы, полученной из данной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы (5.1) равен Высшая математика поскольку ее минор с главной диагональю Высшая математика равен произведению Высшая математика а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

Пример 5.15. Найти ранг матрицы

Высшая математика

Решение: Среди миноров второго порядка этой матрицы имеется один, отличный отнуля:

Высшая математика

Все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум Высшая математика

Пример 5.16. Найти ранг матрицы

Высшая математика

Применяя элементарные преобразования, приводим данную матрицу к квазитреугольной форме:

Высшая математика

(Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки на (-1), (-8 ), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам; третья матрица получена из второй путем прибавления второй строки к третьей.)

Ранг последней матрицы равен Трем, так как имеется отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы

Высшая математика

а определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен нулю (как содержащий нулевую строку). Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем Высшая математика

Системы линейных уравнений

Линейные системы. Основные определения

Системой уравнений называют множество уравнений с Высшая математика неизвестными Высшая математика для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

Системой m линейных уравнений с Высшая математика неизвестными Высшая математика или линейной системой, называется система вида

Высшая математика

где Высшая математика - числа. Числа Высшая математика Высшая математика называются коэффициентами, Высшая математика - свободными членами. Коэффициенты обозначены буквой Высшая математика с двумя индексами Высшая математика первый (i) указывает номер уравнения, второй (k) — номер неизвестной, к которой относится данный коэффициент. Число уравнений Высшая математика может быть больше, равно или меньше числа неизвестных Высшая математика

Линейная система называется неоднородной, если среди свободных членов имеются отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю, то линейная система называется однородной. Однородная линейная система имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Решением линейной системы (6.1) называется упорядоченная совокупность Высшая математика чисел

Высшая математика (6.3)

подстановка которых вместо Высшая математика соответственно Высшая математика Высшая математикаобращает в тождество каждое из уравнений этой системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Отметим, что однородная система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение: Высшая математика

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Совместная система называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является также решением другой и обратно, т. е. если они имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования: 1) умножение уравнения системы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на любое число; 3) перестановка местами двух уравнений системы.

При элементарных преобразованиях линейной системы получают систему, равносильную данной.

Выражение «решить линейную систему» означает выяснить, совместна она или несовместна; в случае совместности - найти все ее решения.

Матричная запись линейной .системы

Линейную систему (6.1) можно записать в матричном виде. Матрица

Высшая математика Высшая математика

составленная из коэффициентов линейных уравнений системы (6.1), называется основной матрицей системы (или матрицей системы). Матрица

Высшая математика Высшая математика

полученная из основной присоединением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы (6.1).

Рассмотрим столбцовые матрицы, составленные из неизвестных и свободных членов:

Высшая математика Высшая математика

Поскольку матрица Л согласована с матрицей X (число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы X ), то можно найти произведение

Высшая математика

Элементами этой столбцовой матрицы являются левые части уравнений системы (6.1), поэтому на основании определения равенства матриц

АХ = В. (6.7)

Таким образом, система линейных уравнений (6.1) записана в виде одного матричного уравнения (6.7), где А, X, В определяются формулами (6.4) и (6.6); эта запись системы называется матричной.

Каждой линейной системе (6.1) соответствует единственная пара матриц Л, В и обратно: каждой паре матриц - единственная линейная система. Система (6.1) может быть записана и в таком виде

Высшая математика Высшая математика

Если Высшая математика - решение системы (6.1), то матрица

Высшая математика (6.9)

называется вектор-решением этой системы. Матрица (6.9) удовлетворяет уравнению (6.7).

Пример 6.1. Представить в матричной форме линейную систему уравнений

Высшая математика

Решение: В данном случае формулы (6.4) и (6.6) запишутся так:

Высшая математика

поэтому уравнение (6.7) принимает вид

Высшая математика

Эта система имеет вектор-решение Высшая математика

Замечание. В соответствии с формулой (6.8) данная система представима в виде

Высшая математика

Невырожденные линейные системы

Определителем системы Высшая математика линейных уравнений с Высшая математика неизвестными Высшая математика

Высшая математика

называется определитель матрицы из коэффициентов уравнений этой системы:

Высшая математика

Обозначим через Высшая математика определитель, полученный заменой в определителе Высшая математика столбца из коэффициентов при неизвестной Высшая математика столбцом свободных членов системы (6.10):

Высшая математика

где Высшая математика

Линейная система (6.10) называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля Высшая математика

Теорема 6.1. Невырожденная линейная система (6.10) имеет единственное решение

Высшая математика

где Высшая математика определены соответственно формулами (6.11) к (6.12).

Эта теорема называется теоремой Крамера, а формулы (6.13) — формулами Крамера.

Следствие из теоремы Крамера Если однородная линейная система

Высшая математика

имеет ненулевое решение, то ее определитель Высшая математика равен нулю. Систему (6.10) Высшая математика линейных уравнений с Высшая математика неизвестными можно записать в матричном виде

Высшая математика (6.14)

где

Высшая математика

Если система является невырожденной, т. е. Высшая математика единственное решение (6.15) то она имеет

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - матрица, обратная матрице А, а В определяется третьей из формул (6.15).

Пример 6.2. Решить систему уравнений

Высшая математика

Решение: Составим определитель системы Высшая математика и определителиВысшая математика

Высшая математика

Определитель системы Высшая математика т. е. данная система является невырожденной, поэтому применимы теорема 6.1 и формулы (6.13). Вычислим определители Высшая математика пользуемся формулами (6.13), полагая в них Высшая математика Так как Высшая математика то

Высшая математика

Пример 6.3. Решить систему уравнений

Высшая математика

Решение: Данную систему запишем в матричном виде (6.14), где

Высшая математика

Вычисляем определитель матрицы А, находим матрицу Высшая математика

Высшая математика

По формуле (6.16) получаем решение системы

Высшая математика

т. е. Высшая математика

Произвольные линейные системы

Рассмотрим линейную систему (6.1), ее основную матрицу А и расширенную Высшая математика определяемую формулой (6.5).

Теорема 6.2. (Кронекера — Капелли). Для совместности системы (6.1) необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Теорема 6.3. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 6.4. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных. то множество ее решений является бесконечным.

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу этой матрицы. Базисными неизвестными совместной системы, ранг матрицы которой равен Высшая математика, назовем Высшая математика неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные назовем свободными.

Из теорем 6.2 - 6.4 следует, что решение системы линейных уравнений можно производить следующим образом.

1. Находят ранг Высшая математика матрицы А системы и ранг Высшая математика расширенной матрицы Высшая математика Если Высшая математика то система несовместна.

2. Если Высшая математика то выделяют базисный минор и базисные неизвестные. Исходную систему уравнений заменяют эквивалентной ей системой, состоящей из тех Высшая математика уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.

Отметим, что в случае, когда число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера Если число базисных неизвестных меньше числа всех неизвестных, то из соответствующей системы находят выражения базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечное множество решений исходной системы.

Пример 6.4. Решить систему уравнений

Высшая математика

Поскольку

Высшая математика

то система совместна. В матрице А минор Высшая математика отличен от нуля, ему соответствует система уравнений Высшая математика в которой Высшая математика- базисные неизвестные, Высшая математика - свободная неизвестная. Решая эту систему по формулам Крамера, находим

Высшая математика

где Высшая математика может принимать любые действительные значения.

Метод Гаусса

Пусть дана система (6.1) Высшая математика линейных алгебраических уравнений с Высшая математика неизвестными Высшая математика

Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, применяемый для решения системы (6.1), состоит в следующем.

Предполагая, что Высшая математика (это всегда можно сделать сменой нумерации уравнений), умножая первое уравнение системы (6.1) на Высшая математика и прибавляя ко второму, получаем уравнение, в котором коэффициент при Высшая математика обращается в нуль. Умножая первое уравнение на Высшая математика и прибавляя к третьему, получаем уравнение, также не содержащее члена Высшая математика Аналогичным Путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений:

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика — некоторые новые коэффициенты.

Полагая Высшая математика и оставляя неюменньши первые два уравнения системы (6.17), преобразуем ее так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффициент при Высшая математика обратился в нуль. Продолжая этот процесс, систему (6.17) можно привести к одной из следующих систем:

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - некоторые коэффициенты, Высшая математика - свободные члены;

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

Система (6.18) имеет единственное решение, значение Высшая математика находится из последнего уравнения, Высшая математика - из предпоследнего, Высшая математика - из первого.

Система (6.19) имеет бесконечное множество решений. Из последнего уравнения можно выразить одно из неизвестных (например, Высшая математика ) через остальные Высшая математика неизвестных Высшая математика входящих в это уравнение. Из предпоследнего уравнения можно выразить Высшая математика через эти неизвестные и т. д. В полученных формулах, выражающих Высшая математика через Высшая математика последние неизвестные могут принимать любые значения.

Система (6.20) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять ее последнему уравнению. Итак, метод последовательного исключения неизвестных применим к любой системе линейных уравнений. Решая систему этим методом, преобразования совершаются не над уравнениями, а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Пример 6.5. Решить систему уравнений

Высшая математика

Решение: Составляем матрицу и преобразуем ее:

Высшая математика

Высшая математика

Последней матрице соответствует совместная система четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Высшая математика

Решая эту систему, находим Высшая математикаВысшая математика

Следовательно, исходная система имеет решение Высшая математика

Пример 6.6. Решить систему уравнений

Высшая математика

Решение: Записывая соответствующую матрицу и совершая преобразования, получаем

Высшая математика

Третья матрица получена из предыдущей переменой местами последних трех строк. Последней матрице соответствует система уравнений

Высшая математика

Эта система несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворить ее третьему уравнению.

Следовательно, исходная система также несовместна.

Пример 6.7. Решить систему уравнений

Высшая математика

Преобразуя матрицу, получаем

Высшая математика

Таким образом, данная система сводится к системе двух уравнений относительно четырех неизвестных:

Высшая математика

общее решение которой определяется формулами

Высшая математика

где Высшая математика могут принимать любые действительные значения.

Пример 6.8. Решить систему уравнений

Высшая математика

Составляем матрицу и преобразуем ее:

Высшая математика

Последняя матрица получена в результате сложения третьей, умноженной на (-1 ), и четвертой строк. Этой матрице соответствует система уравнений

Высшая математика

имеющая решение Высшая математика

Комплексные числа

Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними

Пару Высшая математика действительных чисел Высшая математика называют упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое — вторым. Примеры упорядоченных пар: (0,1); (2,3); (3,2). Отметим, что последние две пары различны, хотя и образованы одними и теми же числами.

Каждую упорядоченную пару чисел обозначим одной буквой, введем понятие равенства двух пар, определим действия над ними. Рассмотрим две упорядоченные пары

Высшая математика

Эти лары называют равными, если Высшая математика т. е.

Высшая математика Высшая математика

Суммой двух пар (7.1) называют упорядоченную пару

Высшая математика

а их произведением — упорядоченную пару

Высшая математика

Из соотношения (7.3) видно, что пара

Высшая математика Высшая математика

обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет исходной пары: Высшая математика Пара (7.5) играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; назовем ее нуль-парой.

Разностью Высшая математика двух упорядоченных пар (7.1) называют такую упорядоченную пару Высшая математика

Вычитание упорядоченных пар (7.1) определяется следующим образом:

Высшая математика Высшая математика

Частным Высшая математика где Высшая математика двух упорядоченных пар (7.1) называют такую упорядоченную пару Высшая математика

Если Высшая математика то частное Высшая математика двух упорядоченных пар (7.1) определяется формулой

Высшая математика Высшая математика

Из этой формулы следует, что если Высшая математика то

Высшая математика

Значит, роль единицы при делении двух упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара

Высшая математика Высшая математика

Рассмотрим упорядоченные пары

Высшая математика Высшая математика

Арифметические действия над упорядоченными парами вида (7.9) производятся так, как и над действительными числами. Действительные числа отождествляются с парами вида (7.9).

Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом называют упорядоченную пару Высшая математика действительных чисел Высшая математикаРассмотрим упорядоченную пару

Высшая математика Высшая математика

Применяя формулу (7.4), получаем Высшая математика Поскольку (-1,0) = -1 (см. формулу (7.9)), то

Высшая математика Высшая математика

Упорядоченную пару (7.10), удовлетворяющую соотношению (7.11), называют мнимой единицей. С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число Высшая математика т. е. упорядоченную пару действительных чисел. В самом деле, так как Высшая математика т.е.

Высшая математика Высшая математика

Поскольку Высшая математикаЗначит, в правой части формулы (7.12) можно менять местами слагаемые. Выражение Высшая математика называют алгебраической формой комплексного числа. Число Высшая математика называют действительной частью,' число Высшая математика — мнимой частью комплексного числа Высшая математика Обозначая комплексное число Высшая математика одной буквой Высшая математика записывают Высшая математика где Re - начальные буквы латинского слова realis (действительный). Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (мнимый).

Кроме этих обозначений, употребляют и другие, например: Высшая математика где Высшая математика

Отметим частные случаи формулы (7.12). Если Высшая математика то Высшая математика — действительное число; если Высшая математика то

Высшая математика Высшая математика

Число Высшая математика называют чисто мнимым или просто мнимым.

Два комплексных числа Высшая математика называют равными, когда Высшая математика

Высшая математика

Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части:

Высшая математика

Если дано комплексное число Высшая математика то число Высшая математика отличающееся от Высшая математика только знаком при мнимой части, называют числом, сопряженным числу Высшая математика, и обозначают Высшая математика. Числом, сопряженным Высшая математика , будет, очевидно, число Высшая математика, поэтому говорят о паре сопряженных чисел. Действительные числа, и только они, сопряжет сами себе.

Обозначение i для мнимой единицы Высшая математика ввел Эйлер в 1777 г.

Геометрическое изображение комплексных чисел

На плоскости выберем систему прямоугольных декартовых координат (рис. 7.1). Комплексному числу Высшая математика сопоставим точку Высшая математика этой плоскости с координатами Высшая математика Если Высшая математика то получим действительное число Высшая математика которое изображается точкой Высшая математика на оси Ох. Вследствие этого ось Ох называют действительной осью (точками оси абсцисс изображаются действительные числа). Если Высшая математика то получаем чисто мнимое число Высшая математика которое изображается точкой Высшая математика лежащей на оси Оу. По этой причине ось ординат называют мнимой осью (точками этой оси изображаются чисто мнимые числа). Отметим, что мнимая единица i изображается точкой (0,1), расположенной на положительной полуоси ординат и отстоящей от начала координат на расстояние, равное единице. Число ( - i) изображается на оси ординат точкой (0,-1), симметричной точке (0,1). Любое комплексное число Высшая математика изображается точкой, нс лежащей на осях координат. Обратно, любой точке Высшая математика плоскости соответствует комплексное число Высшая математика Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости установлено взаюшо однозначное соответствие. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называют комплексной плоскостью.

Рассматривают также комплексную переменную z = x + iy, где х, у - действительные переменные, i — мнимая единица Значения этой переменнойкомплексные числа, изображаемые точками комплексной плоскости. Вследствие этого комплексную плоскость называют также плоскостью комплексной переменной.

Действия над комплексными числами

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами (см. формулы (7.3), (7.4), (7.6), (7.7)) следует, что

Высшая математика

Формула (7.14) определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула (7.15) означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Отметим, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел Высшая математика являются действительными числами: Высшая математикаВысшая математика

Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами. Если Высшая математика Высшая математика — любые комплексные числа, то верны следующие равенства:

Высшая математика

Полагая Высшая математика в формуле (7.17), получаем

Высшая математика Высшая математика

Формулой (7.18) определяется число Высшая математика, обратное комплексному числу Высшая математикаВысшая математика

Натуральные степени мнимой единицы Высшая математика принимают лишь четыре значения: Высшая математика определяемые формулами

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

При возведении комплексного числа Высшая математика в степень Высшая математика ( Высшая математика - натуральное число) пользуются формулой бинома Ньютона:

Высшая математика Высшая математика

В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам (7.19) и.приводят.подобные члены, в результате подучают Некоторое комплексное число c + di.

Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу:

Высшая математика

Числа Высшая математика определяются из равенств

Высшая математика

причем Высшая математика будут действительными, так как при любых Высшая математика выражения Высшая математика являются положительными. Знаки Высшая математика выбирают так, чтобы выполнялось равенство Высшая математика Извлечение квадратного корня из комплексного числа Высшая математика всегда возможно и дает два значения Высшая математика различающихся лишь знаком.

Пример 7.1. Даны два комплексных числа Высшая математика Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Решение: В соответствии с формулами (7.14) — (7.17) получаем

Высшая математика

Пример 7.2. Возвести в указанные степени данные комплексные числа: Высшая математика

Решение: Применяя формулы (7.19) и (7.20) при Высшая математика получаем

Высшая математика

Пример 7.3. Извлечь корень квадратный из числа Высшая математика

Решение: Обозначим Высшая математика Поскольку в данном случае Высшая математика то формулы (7.22) примут вид

Высшая математика

Так как Высшая математика Получено два значения корня: Высшая математика

Пример 7.4. Найти значение выражения Высшая математика

Решение: Поскольку Высшая математика Высшая математика

Пример 7.5. Показать, что комплексное число Высшая математика является корнем уравнения Высшая математика

Решение: Так как Высшая математика Высшая математика- корень уравнения.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число Высшая математика заданное в алгебраической форме, можно представить и в другом виде Изобразим число а точкой Высшая математика комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 7.2). Модулем комплексного числа Высшая математика называют длину Высшая математика радиуса-вектора ОМ точки Высшая математика, изображающей данное число. Модуль комплексного числа а обозначают символом Высшая математика Следовательно, по определению

Высшая математика Высшая математика

Так как Высшая математика (см. рис. 7.2), то

Высшая математика

т.е. модуль комплексного числа равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. Если Высшая математика т. е. число Высшая математика является действительным, причем Высшая математика то формула (7.24) принимает вид Высшая математика Аргументом комплексного числа Высшая математика называют величину угла Высшая математика наклона радиуса-вектора Высшая математика точки Высшая математика к положительной полуоси Ох. Аргумент комплексного числа Высшая математика обозначают символом Высшая математика Угол Высшая математика может принимать любые действительные значения. Аргумент комплексного числа Высшая математика имеет бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное Высшая математика Аргумент не определен лишь для числа Высшая математика модуль которого равен нулю. Среди значений аргумента комплексного числа Высшая математика существует одно и только одно, заключенное между Высшая математика включая последнее значение. Его называют главным значением и обозначают Высшая математика Итак, аргумент комплексного числа удовлетворяет соотношениям

Высшая математика

С помощью модуля и аргумента комплексное число Высшая математика можно представить в другой форме. Поскольку

Высшая математика Высшая математика

то

Высшая математика Высшая математика

где

Высшая математика

Выражение, стоящее в правой части формулы (7.26), называют тригонометрической формой комплексного числа. Отметим особенности тригонометрической формы: 1) первый множитель — неотрицательное число, Высшая математика 2) записаны косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена на Высшая математика

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную Высшая математика Следовательно, если

Высшая математика Высшая математика

то

Высшая математика Высшая математика

и обратно, из равенств (7.29) следует формула (7.28).

Если комплексное число Высшая математика задано в тригонометрической форме Высшая математика то комплексно-сопряженное число Высшая математика записывается в форме Высшая математика поэтому Высшая математика (рис. 7.3).

Высшая математика

Пример 7.6. Комплексное число Высшая математика записать в алгебраической и тригонометрической форме.

Решение: Умножая числитель и знаменатель данной дроби на число, сопряженное знаменателю, получаем

Высшая математика

Высшая математика

Это - алгебраическая форма данного числа: Высшая математика

Применяя формулы (7.27), находим Высшая математика Высшая математика откуда главное значение Высшая математика Следовательно, тригонометрическая форма данного числа имеет вид Высшая математика

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Произведение двух комплексных чисел

Высшая математика

где Высшая математика находится по формуле

Высшая математика Высшая математика

Из этой формулы следует, что

Высшая математика

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом их произведения.

Если Высшая математика то

Высшая математика Высшая математика

откуда

Высшая математика

Эти формулы означают, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.

Если Высшая математика то

Высшая математика Высшая математика

откуда

Высшая математика

т. e. модуль комплексного числа Высшая математика, обратного числу Высшая математика равен обратной величине модуля числа Высшая математика а его главное значение аргумента отличается от главного значения аргумента Высшая математика лишь знаком.

Если Высшая математика - натуральное число и Высшая математика то

Высшая математика Высшая математика

откуда Высшая математика Высшая математика

Формула (7.34) называется формулой Муавра. При Высшая математика она принимает вид

Высшая математика

Корнем Высшая математика степени из комплексного числа Высшая математика называется такое комплексное число Высшая математика что Высшая математика

Извлечение корня Высшая математика степени из комплексного числа Высшая математика всегда возможно и дает Высшая математика различных значений:

Высшая математика

где Высшая математика

Из формул видно, что все Высшая математика значений корня Высшая математика-й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса Высшая математика с центром в точке нуль и делят эту окружность на Высшая математика равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действительного числа также имеет Высшая математика различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от знака Высшая математика и четности Высшая математика. Корень Высшая математика-й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю Высшая математика

Корни n-й степени из единицы определяются формулой

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

Пример 7.7. Найти значения квадратного корня из числа z = i.

Решение: Представим сначала это число в тригонометрической форме: Высшая математика В соответствии с формулой (7.36) имеем

Высшая математика

Следовательно,

Высшая математика

Пример 7.8. Найти все значения корня 6-й степени из числа -64.

Решение: Представим данное число в тригонометрической форме: Высшая математика Формула (7.36) принимает вид

Высшая математика

Замечая, что Высшая математика и придавая Высшая математика указанные значения, находим шесть искомых значений:

Высшая математика

Эти значения изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R = 2 (рис. 7.4.).

Высшая математика

Пример 7.9. Решить уравнение Высшая математика

Решение: Так как Высшая математика то

Высшая математика

Применяя формулу (7.36), получаем

Высшая математика

Полагая в этой формуле Высшая математика находим

Высшая математика

Алгебраические уравнения

Алгебраические многочлены

Алгебраическим многочленом степени Высшая математика называется сумма целых неотрицательных степеней переменной х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида

Высшая математика

Для сокращенной записи многочленов употребляют обозначения Высшая математикаВысшая математика и т .п .

Два многочлена Высшая математика считают равными и пишут Высшая математика в том и только в том случае, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

Теорема 8.1. Для любых двух многочленов Высшая математика можно найти такие многочлены Высшая математика что

Высшая математика Высшая математика

причем степень Высшая математика меньше степени Высшая математика или же Высшая математика Многочлены Высшая математика и Высшая математика определяются однозначно.

Многочлен Высшая математика называется частным от деления Высшая математика на Высшая математика, а Высшая математика - остатком от этого деления.

Замечание . Формулу (8.1) можно записать так:

Высшая математика

Если остаток от деления Высшая математика на Высшая математика равен нулю, то многочлен Высшая математика называется делителем многочлена Высшая математика; в этом случае говорят, что Высшая математика делится на Высшая математика (или нацело делится на Высшая математика).

Многочлен Высшая математика тогда и только тогда является делителем многочлена Высшая математика, когда существует многочлен Высшая математика удовлетворяющий равенству

Высшая математика

Многочлен Высшая математика называется общим делителем для многочленов Высшая математика и Высшая математика если он является делителем каждого из этих многочленов.

Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени (т. е. постоянных).

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов Высшая математика называется общий делитель Высшая математика который делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f( x ) и g ( x ) обозначается так:Высшая математика

Наибольший общий делитель многочленов Высшая математика можно найти с помощью алгоритма Евклида. Если

Высшая математика Высшая математика

то Высшая математика

Замечание . Наибольший общий делитель многочленов определен с точностью до постоянного множителя: если d (х) — наибольший общий делитель многочленов Высшая математика где с - любое число, отличное от нуля, также является их наибольшим общим делителем.

Пример 8.1. Найти частное q (х) и остаток Высшая математика прн делении многочлена Высшая математика на многочлен Высшая математика Выразить Высшая математика через Высшая математика

Решение: Выполняя деление, находим

Высшая математика

Итак, Высшая математика Высшая математика

Пример 8.2. Найти общий наибольший делитель двух многочленов Высшая математика

Решение: Произведя деление Высшая математика получим первое из равенств (8.2): Высшая математикатак как Высшая математика Разделив Высшая математика на Высшая математика найдем второе из указанных равенств:Высшая математикапоскольку Высшая математика

Остаток Высшая математика нацело делится на остаток Высшая математикаВысшая математикаВысшая математика

Следовательно, Высшая математика является общим наибольшим делителем данных многочленов. В соответствии с замечанием общим наибольшим делителем будет также Высшая математика

Корни многочлена. Теорема Безу

Значением многочлена

Высшая математика Высшая математика

при х = с называется число

Высшая математика

Число с называется корнем многочлена Высшая математика или корнем уравнения Высшая математикаесли Высшая математика т. е.

Высшая математика

Теорема 8.2. (Безу). Остаток Высшая математика от деления многочлена Высшая математика на линейный многочлен х — с равен значению Высшая математика многочлена Высшая математика при х = с, т. е.

Высшая математика Высшая математика

Следствие. Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена Высшая математика когда Высшая математика делится н а х - с.

Если многочлен Высшая математика задан формулой (8.3) и

Высшая математика

где

Высшая математика

то коэффициенты многочлена q (х) определяются формулами

Высшая математика Высшая математика

а остаток Высшая математика — по формуле Высшая математика

Коэффициенты частного и остаток вычисляются по следующей схеме:

Высшая математика

Эту схему, называемую схемой Горнера, используют также для вычисления значений многочлена, Поскольку Высшая математика (см. формулу (8.4)).

Если с - корень многочлена Высшая математика т. е: Высшая математика то многочлен Высшая математика делится на х — с. Может оказаться, что Высшая математика делится и на более высокие степени х - с . Пусть существует такое натуральное число Высшая математика что Высшая математика нацело делится на Высшая математика, но уже не делится на Высшая математика. В этом случае Высшая математика причем число с не является корнем многочлена Высшая математика Число Высшая математика называется кратностью корня с многочлена Высшая математика а число с - Высшая математика-кратным корнем этого многочлена. Если Высшая математика = I, то говорят, что число с - простой корень многочлена Высшая математика.

Теорема 8.3. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

Эту теорему раньше называли «основной теоремой высшей алгебры».

Следствие 1. Всякий многочлен Высшая математика степени единственным образом, с точностью до порядка сомножителей, разлагается в произведение Высшая математика линейных множителей: если Высшая математика — корни многочлена (8.3), то

Высшая математика Высшая математика

Следствие 2. Всякий многочлен Высшая математика степени Высшая математика имеет Высшая математика корней, считая равные и комплексные.

Следствие 3. Если многочлены Высшая математика степени которых не превышают Высшая математика, имеют равные значения более чем при Высшая математика различных значениях переменной, то Высшая математика

Если многочлен

Высшая математика

для которого Высшая математика имеет корни Высшая математика то его коэффициенты выражаются формулами Виета:

Высшая математика

Эти формулы означают следующее: в правой части Высшая математика равенства Высшая математика находится сумма всевозможных произведений по Высшая математика корней, взятая со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности Высшая математика.

Последняя из формул (8.8) свидетельствует о том, что корни многочлена (8.7) являются делителями его свободного члена.

Формулы Виета дают возможность найти многочлен по корням.

Теорема 8.4. Если комплексное число Высшая математика является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то его корнем будет также и сопряженное число Высшая математика

Следствие . 1. Многочлен Высшая математика в этом случае делится на квадратный трехчлен Высшая математика c действительными коэффициентами Высшая математика

Следствие 2. Комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены.

Следствие 3. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Если же действительных корней больше одного, то их будет нечетное число (так как комплексные корни попарно сопряжены).

Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить, причем единственным способом (с точностью до порядка множителей), в виде произведения его старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида х — с, соответствующих его действительным корням, и квадратных вида Высшая математика соответствующих парам его сопряженных комплексных корней.

Пример 8.3. Разделить многочлен Высшая математика на х -1.

Решение: Коэффициенты многочлена: Высшая математикаКоэффициенты частного Высшая математика и остаток Высшая математика находим по схеме Горнера, считая Высшая математика

Высшая математика

Следовательно, частное Высшая математикаа остаток Высшая математика

Пример 8.4. Вычислить значение многочлена Высшая математикаВысшая математика при х = 3.

Решение: По схеме Горнера находим:

Высшая математика

Итак, Высшая математика поскольку Высшая математика

Пример 8.5. Показать, что число х = 4 является корнем многочлена Высшая математика

Решение: С помощью схемы Горнера находим, что Высшая математика

Высшая математика

Так как Высшая математика то Высшая математика - корень многочлена.

Пример 8.6. Найти многочлен третьей степени, корни которого Высшая математика Высшая математика

Решение: Воспользуемся формулами Виета. При Высшая математика многочлен (8.7) и формулы (8.8) принимают соответственно вид

Высшая математика

Подставляя в последние три формулы значения корней, получаем Высшая математикаВысшая математикаСледовательно, Высшая математика

Пример 8.7. Найти многочлен четвертой степени, имеющий корни Высшая математика

Решение: При Высшая математика многочлен (8.7) и формулы (8.8) запишутся так:

Высшая математика

По эти формулам находим Высшая математика Итак, Высшая математика

Квадратные уравнения

Алгебраическим уравнением Высшая математика степени с одной переменной х называется уравнение вида

Высшая математика

где Высшая математика - заданные числа, называемые коэффициентами.

Корнем алгебраического уравнения (8.9) называется такое значение переменной х = с, при котором оно обращается в тождество, т.е. Высшая математика Высшая математика

Выражение «решить уравнение» означает найти все его корни. Квадратным называется уравнение вида

Высшая математика Высшая математика

Корни уравнения (8.10) вычисляются по формуле

Высшая математика Высшая математика

Выражение

Высшая математика

называется дискриминантом квадратного уравнения (8.10).

Если Высшая математика - действительные числа, то квадратное уравнение (8.10) при Высшая математика имеет два различных действительных корня, при Высшая математика - два равных действительных корня, при Высшая математика - два комплексно-сопряженных корня.

Отметим, что коэффициенты квадратного уравнения (8.10) могут быть и комплексными числами. Его корни также вычисляются по формулам (8.11). В этом случае дискриминант будет комплексным числом.

Уравнение (8.10) можно привести к виду

Высшая математика

Корни этого уравнения вычисляются по формуле

Высшая математика

которая является частным случаем формулы (8.11).

Пример 8.8. Решить уравнение Высшая математика

Решение: По формуле (8.13) получаем Высшая математика Это уравнение имеет корни Высшая математика

Пример 8.9. Решить уравнение Высшая математика с комплексными коэффициентами.

Решение: По формуле (8.13) находим Высшая математикаВысшая математика

Кубические уравнения

Кубическим называется уравнение

Высшая математика Высшая математика

Это уравнение с помощью формулы Высшая математика можно привести к виду

Высшая математика Высшая математика

Корни кубического уравнения (8.15) вычисляются по формуле Высшая математика где (8.16)

Высшая математика Высшая математика

или

Высшая математика Высшая математика

Все три корня уравнения (8.15) определяются следующими формулами:

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - любое из трех значений Высшая математика определяемых первой из формул (8.16), Высшая математика - то из трех значений Высшая математика которое соответствует Высшая математика на основании равенства

Высшая математика Высшая математика

- кубические корни из единицы.

Дискриминантом уравнения (8.15) называется выражение

Высшая математика

Уравнение (8.15) при Высшая математика имеет один действительный и два комплексносопряженных корня: при D = 0 - три действительных корня, причем два равных; при D > 0 - три различных действительных корня.

Замечание . Третий случай ( D > 0 ) называется неприводимым. В этом случае все корни уравнения (8.15) с действительными коэффициентами являются действительными, однако для нахождения их по формуле (8.17) следует извлекать кубические корни из комплексных чисел.

Формула (8.17) называется формулой Кардано. Правило, соответствующее этой формуле, впервые опубликовано в книге итальянского ученого Д. Кардано «Великое искусство или о правилах алгебры» (1545). Это правило решения кубического уравнения было получено ранее (1535) другим итальянским математиком Н. Тартальей.

Пример 8.10. Решить уравнение Высшая математика Это уравнение вида (8.15), для которого Высшая математика

Решение: Составим выражение

Высшая математика

По формулам (8.16) находим Высшая математика

Высшая математика

Следовательно, Высшая математика равенство (8.19) выполняется. По формулам (8.18) с учетом формул (8.20) находим

Высшая математика

Замечание. Корни Высшая математика можно найти и другим способом. Так как Высшая математика - корень уравнения, то многочлен Высшая математика делится на (z +З). Произведя это деление, получим Высшая математика Данное уравнение примет вид Высшая математика откуда Высшая математика Последнее уравнение имеет корни

Высшая математика

Пример 8.11. Решит уравнение Высшая математика

Решение: Разложим на множители многочлен в левой части уравнения: к Высшая математикаВысшая математика Данное уравнение примет вид Высшая математика и распадается на два уравнения: Высшая математика которые имеют корни Высшая математика

Уравнения четвертой степени

Алгебраическое уравнение четвертой степени

Высшая математика

с помощью подстановки Высшая математика можно привести к уравнению

Высшая математика Высшая математика

в котором коэффициент при Высшая математика равен нулю.

Это уравнение можно записать так:

Высшая математика

где Высшая математика - вспомогательный параметр. Значение параметра выберем так, чтобы вычитаемый многочлен был полным квадратом. В этом случае многочлен имеет два равных корня, так как его дискриминант равен нулю, т. е.

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (8.22) принимает вид

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика- отличный от нуля корень уравнения (8.23).

Уравнение (8.24) распадается на два квадратных уравнения:

Высшая математика

Корни этих уравнений будут корнями уравнения (8.21).

Пример 8.12. Решить уравнение Высшая математика.

Решение: Это уравнение вида (8.21), для которого Высшая математика Уравнение (8.23) в данном случае сводится к квадратному уравнению относительно параметра Высшая математика или Высшая математика которое имеет корни Высшая математика Высшая математика При Высшая математика уравнения (8.25) запишутся так: Высшая математика Высшая математика Первое из них имеет корни Высшая математика а второе - Высшая математикаВысшая математика Эти числа являются и корнями исходного уравнения.

Пример 8.13. Решить уравнение Высшая математика

Решение: Разложим на множители многочлен в левой части уравнения:

Высшая математика

Следовательно, уравнение примет вид Высшая математика откуда Высшая математика

Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители

Если Высшая математика - корни многочлена Высшая математикаВысшая математика то уравнение (8.9) можно записать так:

Высшая математика

Если Высшая математика - сопряженные комплексные корни, то Высшая математикаВысшая математика где р и q - действительные числа Высшая математика

Предположим, что левая часть уравнения (8.9) разложена на множители вида х - с и Высшая математика Приравнивая нулю каждый множитель, получаем уравнения, каждое из которых является линейным или квадратным. Корни этих уравнений будут корнями уравнения (8.9).

Пример 8.14. Решить уравнение Высшая математика

Решение: Разлагаем на множители многочлен в левой части уравнения:

Высшая математика

Высшая математика

Данное уравнение принимает вид Высшая математика и распадается на два уравнения: Высшая математика первое из них имеет корень Высшая математика, а второе — два комплексно-сопряженных корня Высшая математика

Пример 8.15. Решить уравнение Высшая математика

Высшая математика

Пример 8.16. Решить уравнение Высшая математика

Решение: При разложении на множители используется результат примера 8.14.

Высшая математика

Пример 8.17. Решить уравнение Высшая математика

Решение: Так как Высшая математика

Высшая математика

Замечание. Алгебраические уравнения Высшая математика степени Высшая математика в общем случае в радикалах не решаются, т. е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам. Это впервые доказал норвежский математик Н.Х Абель. Однако имеются частные виды уравнений любой степени, разрешимые в радикалах (например, Высшая математика). Вопрос о том, каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы алгебраическое уравнение решалось в радикалах, исследовал французский математик Э. Галуа

Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей

Целой рациональной функцией называют алгебраический многочлен. Дробной рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

Высшая математика

Если Высшая математика то рациональная дробь называется правильной.

Элементарными дробями называются рациональные дроби вида

Высшая математика

где Высшая математика - натуральные числа; с, р, q, А, В, С - действительные числа; Высшая математика (корни трехчлена Высшая математика являются комплексными).

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму элементарных дробей на основании следующей теоремы.

Теорема 8.5. Если дана правильная рациональная дробь (8.26) и

Высшая математика

где Высшая математика - попарно различные действительные корни многочлена Q (x) кратности Высшая математика где Высшая математика Высшая математика- попарно различные при разных Высшая математика корни многочлена Q(x) кратности Высшая математика то существуют действительные числа

Высшая математика

такие, что

Высшая математика

Отметим, что каждому действительному корню с кратности Высшая математика соответствует сумма Высшая математика элементарных дробей вида Высшая математика

Высшая математика

а каждой паре комплексно-сопряженных корней Высшая математика (таких, что Высшая математика кратности Высшая математика - сумма дробей вида Высшая математика

Высшая математика

Пример 8.18. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную дробь Высшая математика

Решение: Так как Высшая математика то искомое разложение имеет вид

Высшая математика

где коэффициенты А, В, С пока не определены.

Приводя к общему знаменателю правую часть и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

Высшая математика

Из этой системы уравнений находим Высшая математика Следовательно,

Высшая математика

Пример 8.19. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную дробь Высшая математика

Решение: Разлагая знаменатель на множители, получаем Высшая математикаВысшая математика

Данную рациональную дробь представим в виде суммы элементарных дробей

Высшая математика Высшая математика

откуда

Высшая математика Высшая математика

или

Высшая математика

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем уравнения Высшая математикаВысшая математика из которых находим Высшая математика

Следовательно, разложение (I) примет вид

Высшая математика

Замечание. Коэффициенты А, В, С разложения (I) можно получить и другим способом. Полагая в тождестве (II) х = 1, получаем 3 = С*3, С=1. Положив в этом тождестве х = —2, получим Высшая математика, откуда А = 1/3. Аналогично при х = 0 находим 1 = А - 2В+2С, В = 2/3.

Линейные пространства

Линейное пространство. Подпространство

Линейным действительным пространством или векторным действительным пространством называется множество V элементов х, у, z ,..., для которых определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие следующим аксиомам: I. х + у = х + у, II. (x+y)+z=x+(y+z), III. Существует нулевой элемент Высшая математика такой, что Высшая математика, IV. Для каждого Высшая математика существует противоположный элемент - х такой, что х + (-х ) = 0, V. 1 х = х, Высшая математика Высшая математикаВысшая математика Высшая математика

Эти аксиомы выполняются соответственно для всех Высшая математика

Элементы действительного линейного пространства называются векторами.

Замечание. Аналогично определяется комплексное линейное про странство: вместо множества R действительных чисел рассматривается множество С комплексных чисел.

Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения.

1. В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.

2. Для любого элемента х линейного пространства существует единственны элемент -х.

3. Для элемента -х противоположным будет элемент х.

4. Для любого элементах произведение Ох = 0, где 0 - нуль, 0 — нулевой элемен

5. Для любого элемента х (-1 )х = -х , где (-х ) - элемент, противоположный х

6. Для любого числа Высшая математика произведение Высшая математика где 0 - нулевой элемент.

7. Если Высшая математика и Высшая математика то х =0.

8. Если Высшая математика и Высшая математика то Высшая математика

Равенство Высшая математика выполняется тогда и только тогда, когда Высшая математика или х = 0.

Замечание. Сумму х + (-у ) обозначают х - у и называют разноси элементов х и у.

Примеры линейных пространств.

1. Множество Высшая математика всех свободных векторов Высшая математика для которых определены сложение и умножение вектора на число так, как в п. 3.2, является линейным пространством. Отметим, что роль нулевого элемента здесь играет нулевой вектор; для любого вектора а противоположным является -а . Аксиомы I - V выполняются, о чем свидетельствуют формулы п. 3.2.

2. Множество всех матриц размером Высшая математика для которых определены сложение матриц и умножение матрицы на число соответственно формулами (5.2), (5.4). Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицы Высшая математика противоположной является матрица Высшая математика Аксиомы I - VIII выполняются (см. п. 5.2, свойства 1 - 8 линейных операций над матрицами).

3. Множество Высшая математика всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа Высшая математика для которых операции сложения многочленов и умножения многочлена на действительное число определены обычными правилами. Нулевой элемент - многочлен, все коэффициенты которого равны нулю; для многочлена Высшая математика противоположным будет Высшая математика

Замечание. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу Высшая математика не является линейным пространством, так как сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже Высшая математика (т. е. не принадлежать рассматриваемому множеству).

4. Множество Высшая математика элементами которого являются упорядоченные совокупности Высшая математика действительных чисел Высшая математика Каждый элемент этого множества будем обозначать одним символом, например х, у,..., и писать Высшая математика Действительные числа Высшая математика называют координатами элемента х. Линейные операции над элементами Высшая математика определяются формулами Высшая математика Высшая математикаВысшая математика Отметим, что элемент 0 = (0,0,..., 0) является нулевым, элемент Высшая математика - противоположным элементуВысшая математикаВысшая математика

5. Множество Высшая математика всех функций x = x(t), определенных и непрерывных на отрезке Высшая математика Операции сложения этих функций и умножения функции на число определяются обычными правилами. Нулевым элементом является функция x(t)= 0 для всех Высшая математика Элементом, противоположным элементу Высшая математика будет Высшая математика

Множество Высшая математика называется подпространством линейного пространства V, если выполняются следующие условия: 1. В множестве W определены те же операции, что и в множестве V. 2. Если Высшая математика то Высшая математика 3. Если Высшая математика то Высшая математика Очевидно, всякое подпространство W линейного пространства V является линейным пространством, т.е. в W выполняются аксиомы I - VIII. Прежде всего, в W имеется нулевой элемент 0: если Высшая математика то Высшая математика Для любого элемента Высшая математика имеется противоположный элемент -х : если Высшая математика то Высшая математика

Отметим, что нулевой элемент 0 линейного пространства У образует подпространство этого пространства, которое, называют нулевым подпространством.

Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство, этого пространства. Эти подпространства называются тривиальными, а все другие, если они имеются, - нетривиальными. Приведем примеры нетривиальных подпространств. 1. Множество Высшая математика всех свободных векторов Высшая математика параллельных некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, представляет подпространство линейного пространства Высшая математика 2. Множество Высшая математика всех свободных векторов Высшая математика параллельных некоторой прямой, также является подпространством линейного пространства Высшая математика 3. Множество Высшая математика всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа Высшая математика является подпространством линейного пространства Высшая математика

Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства

Рассмотрим векторы (элементы) Высшая математика линейного пространства. Вектор Высшая математика где Высшая математика - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов Высшая математика а числа Высшая математика - коэффициентами этой линейной комбинации. Если все числа Высшая математика равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. Если хотя бы одно из чисел Высшая математика отлично от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной. Система векторов

Высшая математика Высшая математика

называется линейно зависимой, если существуют числа

Высшая математика Высшая математика

не все равные нулю, такие, что

Высшая математика Высшая математика

Если таких чисел не существует, т. е. равенство (9.3) выполняется только в случае

Высшая математика Высшая математика

то система векторов (9.1) называется линейно независимой.

Другими словами, векторы (9.1) называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нуль-векгору, и линейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация является нуль-вектором.

Из определения линейной зависимости и линейной независимости векторов вытекают следующие утверждения.

1. Всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, является линейно зависимой.

2. Если Высшая математика векторов системы (9.1) линейно зависимы, то и вся система линейно зависима.

3. Если из системы линейно независимых векторов Высшая математика отбросить Высшая математика векторов, то оставшиеся векторы образуют также линейно независимую систему.

4. Если среди векторов системы (9.1) имеются такие векторы Высшая математика что Высшая математика - некоторое число, то система (9.1) линейно зависима.

Теорема 9.1. Векторы Высшая математика линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

Эта теорема выражает необходимое и достаточное условие линейной зависимости п векторов Высшая математика.

Два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они линейно зависимы, и неколлинеарными, если они линейно независимы. Три вектора линейного пространства называются компланарными, если они линейно зависимы, и некомпланарными, если они линейно независимы. Введенные понятия коллинеарности и компланарности векторов линейного пространства совпадают с известными из аналитической геометрии понятиями коллинеарности и компланарности обычных векторов.

Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств

Число Высшая математика называется размерностью линейного пространства V, если выполняются следующие условия: 1) в V существует Высшая математика линейно независимых векторов; 2) любая система Высшая математика + 1 векторов из V линейно зависима. Размерность линейного пространства V обозначают dim V (от французского слова dimension - размерность). Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Размерность линейного пространства- это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нем. Понятие размерности согласуется с наглядным Представлением о ней; так, пространство Высшая математика всех свободных векторов является трехмерным (dim Высшая математика = 3), пространство Высшая математика - двумерным, пространство Высшая математика - одномерным.

Базисом n-мерного линейного пространства Высшая математика называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства. Приведем примеры базисов некоторых линейных пространств. Базис пространства Высшая математика образует любая тройка некомпланарных векторов, так как эти векторы линейно независимы (см. теорему 3.4), и любая четверка векторов линейно зависима (см. теорему 3.6). Базис пространства Высшая математика образует два любых неколлинеарных вектора, поскольку они линейно независимы (см. теорему 3:2). и любой вектор плоскости, определяемой двумя векторами, можно разложить по ним (см. терему 3.3). Базисом линейного пространства Высшая математика является любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.

Линейное пространство, в котором имеется базис, состоящий из конечного числа векторов, называется конечномерным. Примерами конечномерных пространств являются пространства Высшая математика

Линейное пространство Высшая математика является n-мерным, а его базис образует система векторов Высшая математика

Линейное пространство Называется бесконечномерным, если при любом натуральном числе Высшая математика в нем найдется Высшая математика линейно независимых векторов. Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство Высшая математика всех функций х = х (t), определенных и непрерывных на отрезке Высшая математика

Два линейных пространства V и U называются изоморфными, когда между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если Высшая математика где Высшая математика то Высшая математика Высшая математика где Высшая математика - действительное число.

Теорема 9.2. Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

В частности, пространство Высшая математика (всех свободных векторов) и пространство Высшая математика (всех упорядоченных троек действительных чисел) изоморфны. Отметим также, что каждое конечномерное линейное пространство размерности п изоморфно линейному пространству Высшая математика

Координаты вектора линейного пространства

Теорема 9.3. Если Высшая математика - базис линейного Высшая математика-мерного пространства Высшая математика то любой вектор х этого пространства линейно выражается через базисные векторы Высшая математика т. е.

Высшая математика Высшая математика

Коэффициенты Высшая математика этого разложения определяются однозначно.

Выражение (9.5) называется разложением вектора х по базису Высшая математика. Координатами вектора х в базисе Высшая математика называют коэффициенты Высшая математика в разложении этого вектора по данному базису, т. е. в формуле (9.5). Если вектор х в некотором базисе имеет координаты Высшая математика, то пишут х = ( Высшая математика), или х ( Высшая математика).

Операции над векторами сводятся к операциям над их координатами на основании следующих свойств.

1. Вектор является нулевым вектором линейного пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2. Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат данных векторов в том же базисе.

3. Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат на это число (в одном и том же базисе).

4. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

5. Вектор у является линейной комбинацией векторов Высшая математика тогда и только тогда, когда каждая координата вектора у является такой же линейной комбинацией соответствующих координат этих векторов в одном и том же базисе.

Пример 9.1. Пусть Высшая математика - четырехмерное линейное пространство с базисом Высшая математика Найти координаты векторов Высшая математика в этом базисе.

Решение: Представим каждый из векторов Высшая математика и х в виде (9.5). Так как Высшая математикаВысшая математика то. вектор Высшая математика имеет координаты (0,0,1,0). Поскольку Высшая математика то вектор х имеет координаты (3,0, -5,7).

Пример 9.2. В некотором базисе даны векторы х (1,2,-2,-1,3), у ( 4 ,- 3 ,-2 ,1 ,-1 ). Найти координаты вектора 5х-3у.

Решение: Так как 5х = (5 ,10, -10,-5,15), -3 у = (-1 2 ,9 ,6 ,-3 ,3 ), то вектор 5х - Зу = 5х + ( - Зу) имеет координаты ( - 7,19, - 4, - 8,18).

Ранг системы векторов линейного пространства

Рассмотрим систему Высшая математика векторов

Высшая математика Высшая математика

линейного Высшая математика-мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Системе векторов (9.6) поставим в соответствие матрицу

Высшая математика Высшая математика

в Высшая математика столбце которой записаны координаты вектора Высшая математика Матрицу (9.7) называют матрицей системы векторов (9.6) в данном базисе, а ранг этой матрицы - рангом системы векторов Высшая математика Обратно, если дана матрица (9.7) , то ей можно поставить в соответствие систему (9.6) Высшая математика векторов линейного Высшая математикамерного пространства. Согласно свойству 5 п. 9.4, будем говорить, что столбцы матрицы (9.7) линейно зависимы, если векторы (9.6) линейно зависимы и обратно.

Теорема 9.4. Для того чтобы т векторов п-мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен Высшая математика.

Следствие 1. Система Высшая математика векторов Высшая математика-мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы Высшая математика векторов линейного пространства равен Высшая математика то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно Высшая математика

Пример 9,3. Найти максимальное число линейно независимых векторов в системе Высшая математика

Решение: Матрица данной системы векторов имеет вид

Высшая математика

Так как ранг этой матрицы равен 3 (см. пример 5.16), то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно 3.

Теорема 9.5. Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т. е. равно рангу этой матрицы.

Преобразование координат вектора при изменении базиса

В линейном Высшая математика-мерном пространстве Высшая математика фиксируем два базиса

Высшая математика Высшая математика

Матрицей перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) называется матрица системы векторов (9.9) в базисе (9.8). Каждый вектор системы (9.9) можно разложить по базису (9.8). Пусть

Высшая математика Высшая математика

тогда матрица перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) имеет вид

Высшая математика Высшая математика

Матрица перехода от одного базиса к другому невырожденная (так как базисные векторы линейно независимы). Всякую невырожденную матрицу Высшая математика-го порядка можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса Высшая математика-мерного линейного пространства к другому базису этого пространства. Очевидно, матрица Высшая математика обратная матрице (9.11), является матрицей перехода от базиса (9.9) к базису (9.8).

Теорема 9.6. Если Высшая математика - координаты вектора х в базисе Высшая математика Высшая математика - координаты того же вектора в базисе Высшая математика то

Высшая математика

где

Высшая математика

Т - матрица, определяемая формулой (9.11).

Высшая математика

Замечание. Теорема 9.6 выражает старые координаты Высшая математика вектора х через его новые координаты. Чтобы получить формулы, выражающие новые координаты через старые, умножим слева равенство (9.12) на матрицу Высшая математика обратную матрице Т, получим Высшая математика или Высшая математика.

Пример 9.4. В пространстве Высшая математика рассмотрим базис Высшая математика где i, j - орты, и базис Высшая математика где Высшая математика - орты, причем Высшая математика образует с i угол Высшая математика (рис.9.1).

Решение: В данном случае Высшая математика Матрица перехода от базиса i, j к базису Высшая математика имеет вид

Высшая математика

Если вектор а имеет координаты х, у в базисе i, j; Высшая математика - в базисе Высшая математика , то Высшая математика

Евклидово пространство

Определение евклидова пространства. В линейном действительном пространстве V, кроме операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число, введем еще одну операцию, которую назовем скалярным умножением векторов. Каждой упорядоченной паре векторов Высшая математика поставим в соответствие действительное число, которое назовем их скалярным произведением и обозначим (х, у). Потребуем, чтобы для любых Высшая математика и любого числа Высшая математика выполнялись следующие аксиомы: I. (х, у) = (у, х), II. (х + у, z)= = (х, z) + (y, г), Высшая математика IV. (х,х)>0 для всех Высшая математика (х,х) = 0 для х = 0.

Очевидно, скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой: (0, у) = (Ох, у) = 0 (х, у) = 0.

Скалярное произведение (х, х) вектора х на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается Высшая математика т. е.

Высшая математика Высшая математика

Евклидовым пространством называется Линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая аксиомам I - IV. Если л-мерное линейное пространство является евклидовым, то будем называть его евклидовым Высшая математика-мерным пространством, а базис этого линейного прбстранства - базисом евклидова пространства.

Примеры евклидовых пространств. 1 В линейном пространстве Высшая математика скалярное произведение двух векторов а и b определим так, как в п. 3.6; аксиомы I - IV для него будут выполнены (см. свойства скалярного произведения и определение скалярного квадрата вектора).

Следовательно, линейное пространство Высшая математика всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения является евклидовым пространством.

2. Рассмотрим Высшая математика-мерное линейное пространство Высшая математика упорядоченных совокупностей Высшая математика действительных чисел. Скалярное произведение двух его элементов Высшая математика Высшая математика по аналогии с формулой (3.21) определим соотношением

Высшая математика Высшая математика

Легко видеть, что все аксиомы I - IV скалярного произведения при этом выполняются. Таким образом, рассматриваемое линейное пространство со скалярным произведением (9.15) является евклидовым пространством, его обозначают Высшая математика

3. В бесконечномерном линейном пространстве Высшая математика всех функций, непрерывных на отрезке Высшая математика скалярное произведение двух его функций х (t), Высшая математика определим формулой

Высшая математика Высшая математика

Непосредственной проверкой можно убедится в том, что аксиомы I - IV скалярь ного произведения будут выполнены, в частности Высшая математика при Высшая математика (х,х) = 0 при Высшая математика

Следовательно, линейное пространство Высшая математика с указанным определением скалярного произведения любых двух его элементов является евклидовым пространством.

Норма вектора евклидова пространства. Нормой вектора евклидова пространства называется арифметическое значение корня из скалярного квадрата этого вектора. Норму вектора х обозначим Высшая математика тогда по определению

Высшая математика Высшая математика

Норма вектора обладает следующими свойствами; 1) Высшая математика тогда и только тогда. когда х = 0; 2) Высшая математика где Высшая математика-действительное число; 3) Высшая математика 4) Высшая математика

Неравенством Коши - Буняковского называют неравенство

Высшая математика Высшая математика

а неравенством треугольника - неравенство

Высшая математика Высшая математика

Запишем норму и неравенства (9.18), (9.19) для векторов (элементов) каждого из рассмотренных выше евклидовых пространств.

В евклидовом пространстве Высшая математика с обычным определением скалярного произведения норма вектора совпадает с его длиной, т. е. Высшая математика это следует из формул Высшая математика и (9.17). Неравенства (9.18) и (9.19) принимают соответственно вид Высшая математика Отметим, что неравенство Высшая математика следует из формулы (3.18). Неравенство Высшая математика следует из определений суммы векторов и длины вектора; оно имеет простой геометрический смысл (в треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны).

В евклидовом пространстве Высшая математиканорма элемента x(t) определяется формулой

Высшая математика

неравенства (9.18) и (9.19) принимают вид

Высшая математика

В евклидовом пространстве Высшая математика со скалярным произведением (9.15) норма элемента Высшая математика определяется формулой

Высшая математика

неравенства (9.18) и (9.19) принимают вид

Высшая математика

Угол между двумя векторами евклидова пространства. Углом между, двумя векторами х и у евклидова пространства называется угол Высшая математика для которого

Высшая математика Высшая математика

Отметим, что в пространстве Высшая математика всех свободных векторов введенное понятие угла совпадает с понятием угла, рассматриваемого в векторной алгебре.

Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, иуфюй вектор ортогонален любому другому вектору. В пространстве Высшая математика ортогональность векторов означает их перпендикулярность.

Из определений следует, что ненулевые векторы х и у ортогональны тогда и только тогда, когда Высшая математика

Равенство

Высшая математика Высшая математика

выполняется тогда и только тогда, когда х и у колпинеарны ( Высшая математика ). Другими словами, в формуле (9.18) равенство достигается лишь в случае коллинеарности векторов х и у.

Ортонормироваиный базис. Система векторов Высшая математика называется ортогональной, если эти векторы ортогональны, т. е. Высшая математика

Теорема 9.7. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима

Вектор а называется нормированным или единичным, если Высшая математика Если а - ненулевой вектор, то каждый из векторов

Высшая математика

будет нормированным. Нахождение для данного вектора нормированного вектора по формулам (9.22) называется нормированием данного вектора, а множитель Высшая математика — нормирующим множителем.

Система векторов Высшая математика называется ортонормированной, если она ортогональна и каждый вектор является нормированным, т. е.

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

Базис Высшая математика-мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если базисные векторы образуют ортонормированную систему.

Теорема 9.8. Во всяком евклидовом Высшая математика-мерном пространстве Высшая математика существует ортонормироваиный базис.

Выражение скалярного пронзведення через координаты векторов в ортонормированием базисе. Пусть в Высшая математика-мерном евклидовом пространстве фиксирован ортонормироваиный базис Высшая математика и даны векторы этого пространства

Высшая математика

Скалярное произведение этих векторов выражается формулой

Высшая математика Высшая математика

Отсюда следует, что

Высшая математика

Унитарное пространство

Комплексное линейное пространство U называется унитарным пространством, если каждой паре векторов Высшая математика поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у, причем выполняются следующие аксиомы: Высшая математика II. (х+ у, z) = (x, z)+(y, z), Высшая математика IV. (х ,х ) > 0 если Высшая математика для всех Высшая математика и всех Высшая математика (С - множества комплексных чисел).

Замечание . Черта означает комплексную сопряженность: Высшая математика — комплексное число, сопряженное комплексному числу (у, х).

Из аксиом скалярного произведения в унитарном пространстве вытекают следующие свойства:

1) (x ,y + z) = (x ,y )+ (x ,z) для любых Высшая математика

2) Высшая математика для любых Высшая математика и любого Высшая математика

3) (0, х) = (х, 0) = 0 для любого Высшая математика

4) Высшая математика

Примером унитарного пространства является множество Высшая математика упорядоченных систем Высшая математика комплексных чисел

Высшая математика

для которых скалярное произведение определено формулой

Высшая математика

где Высшая математика - комплексное число, сопряженное числу Высшая математика

Унитарным преобразованием комплексного линейного пространства называется линейное преобразование, сохраняющее положительно определенную эрмитову форму Высшая математика где Высшая математика — координаты вектора пространства В ортонормированном базисе относительно эрмитова произведения, задаваемого этой формой, унитарное преобразование записывается унитарной матрицей. Унитарной матрицей называется квадратная невырожденная матрица А, удовлетворяющая условию Высшая математика где Высшая математика - обратная матрица, Высшая математика - транспонированная и комплексносопряженная матрица. Определитель унитарной матрицы по модулю равен единице. Все характеристические корни унитарной матрицы по модулю равны единицы. Всякая (действительная) ортогональная матрица есть в то же время унитарная матрица.

Линейные преобразования (линейные операторы)

Линейное преобразование и его матрица

Если указано правило Высшая математика по которому каждому вектору х линейного пространства V ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то будем говорить, что в нем задано преобразование (отображение, оператор) Высшая математика или задано преобразование пространства V в себя, и писать Высшая математика : Высшая математика. Говорят также, что преобразование Высшая математика переводит вектор х в вектор у, и пишут Высшая математика Вектор у называют образом вектора х, а х - прообразом вектора у.

Преобразование, при котором каждый вектор имеет единственный прообраз, называется взаимно однозначным (или биективным).

Преобразование Высшая математика линейного пространства V называется линейным преобразованием (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства Высшая математика и любого действительного числа Высшая математика выполняются условия

Высшая математика

(Если рассматривается комплексное пространство, то Высшая математика - любое комплексное число.)

Из этих условий следует, что

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика — любые числа (действительные или комплексные). Обратно, из равенства (Ю.1) следуют условия 1) и 2). Итак, линейное преобразование (линейный оператор) определяется равенством (10, 1).

Отметим, что линейное преобразование переводит нулевой вектор в нулевой, так как, согласно условию 2) Высшая математика

Простейшим примером линейного преобразования является тождественное преобразование или преобразование Высшая математика т.е. преобразование, которое каждому вектору линейного пространства ставит в соответствие тот же вектор. Линейное преобразование будет вполне определено, если заданы образы базисных векторов рассматриваемого пространства.

Пусть Высшая математика — линейное преобразование Высшая математика-мерного линейного пространства, переводящее базисные векторы Высшая математика в векторы Высшая математика. Каждый из последних векторов разложим по базису:

Высшая математика

Матрица

Высшая математика

в которой Высшая математика столбец состоит из координат вектора Высшая математика называется матрицей линейного преобразования Высшая математика в базисе Высшая математика ранг Высшая математика матрицы А называется рангом преобразования Высшая математика а число Высшая математика - дефектом этого преобразования.

Высшая математика

Итак, каждому линейному преобразованию Высшая математика-мерного линейного пространства соответствует матрица порядка Высшая математика в данном базисе; и наоборот, каждой матрице порядка Высшая математика соответствует линейное преобразование Высшая математика-мерного пространства.

Отметим, что матрица тождественного преобразования в любом базисе будет единичной; обратно, любой единичной матрице Высшая математика-го порядка соответствует тождественное преобразование линейного Высшая математика-мерного пространства.

Пример 10.1. В пространстве Высшая математика всех свободных векторов на плоскости определим преобразование поворота всех векторов вокруг начала координат на угол Высшая математика

Решение: Каждому вектору х (рис. 10.1) этой плоскости ставим в соответствие вектор Высшая математика полученный вращением вектора х на один и тот же угол Высшая математика Это преобразование является линейным, поскольку условия 1) и 2 ), определяющие линейное преобразование, будут выполнены. Найдем матрицу этого линейного преобразования в базисе i, j . (рис. 10.2, а, б). Так как Высшая математикаВысшая математика то

Высшая математика

Высшая математика

Линейное преобразование в координатах

Рассмотрим линейное преобразованиеВысшая математика Высшая математика-мерного линейного пространства, заданное в некотором базисе Высшая математика матрицей

Высшая математика Высшая математика

Координаты вектора х и его образа Высшая математика известны:

Высшая математика

Зависимость между координатами векторов х и у выражается формулами

Высшая математика Высшая математика

Формулы (10.4) можно записать в матричном виде

Y = AX, Высшая математика

где А определяется формулой (10.2), Х и Y - формулами

Высшая математика

Если переменные Высшая математика связаны с переменными Высшая математика формулами (10.4), то будем говорить, что задано линейное однородное преобразование переменных с матрицей А, переводящее переменные Высшая математика в переменные Высшая математика. Оно обладает теми же свойствами, что и линейное преобразование «-мерного линейного пространства Линейное однородное преобразование переменных (10.4) или (Ю.5) называется невырожденным, если Высшая математика

Замечание. При рассмотрении линейных преобразований (линейных операторов) пользуются и другими обозначениями. Если Высшая математика где Высшая математика - линейное преобразование (линейный оператор) с матрицей А в некотором базисе, то пишут у = Ах. Условия 1) и 2), определяющие линейное преобразование, можно записать в виде Высшая математика

Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы

В n-мерном линейном пространстве фиксируем два базиса: Высшая математикаи Высшая математика первый из них назовем старым, второй — новым. Предположим, что известно преобразование, переводящие старый базис в новый.

Теорема 10.1. Если Высшая математика и Высшая математика - два базиса линейного пространства, А — матрица линейного преобразования в старом базисе Высшая математика, то матрица В этого преобразования в новом базисе Высшая математика имеет вид

Высшая математика Высшая математика

где Т — матрица перехода от старого базиса к новому.

Следствие. Если линейное преобразование имеет невырожденную матрицу в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырожденной в любом другом базисе.

Матрица В называется подобной матрице А, если существует невырожденная квадратная матрица С, удовлетворяющая равенству Высшая математика

Две квадратные матрицы А и В порядка Высшая математика тогда и только тогда являются матрицами одного и того же линейного преобразования пространства Высшая математика в соответствующих базисах, когда матрица В подобна матрице А.

Пример 10.2. В базисе Высшая математика преобразование Высшая математика имеет матрицу

Высшая математика

Решение: Найти матрицу преобразования Высшая математика в базисе Высшая математика

Так как

Высшая математика

то по формуле ( 1 0 .6 ) получаем

Высшая математика

Характеристическое уравнение линейного преобразования

Теорема 10.2. Если линейное преобразование Высшая математика в базисе Высшая математика имеет матрицу А и в базисе Высшая математика - матрицу В,

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика — любое действительное число, Е - единичная матрица Высшая математика-го порядка.

Отметим, что Высшая математика является многочленом степени Высшая математика относительно Высшая математика и называется характеристическим многочленом матрицы А или характеристическим многочленом линейного преобразования Высшая математика

Замечание. Равенство (10.7) означает, что характеристический многочлен линейного преобразования остается неизменным при переходе к новому базису; матрица линейного преобразования меняется.

Характеристическим уравнением линейного преобразования называется уравнение

Высшая математика Высшая математика

где А — матрица этого преобразования в некотором базисе. Очевидно, характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса. Уравнение (10.8) называют также характеристическим уравнением матрицы А, а корни уравнения - характеристическими числами линейного преобразования Высшая математика или характеристическими числами матрицы А.

Если линейное преобразование Высшая математика в некотором базисе Высшая математика имеет квадратную матрицу Высшая математика порядка Высшая математика то характеристическое уравнение ( 10.8 ) запишется так:

Высшая математика Высшая математика

Левая часть равенства (10.9) является характеристическим многочленом матрицы А; обозначим его Высшая математика тогда характеристическое уравнение (10.9) примет вид Высшая математика

Пример 10.3. Найти характеристический многочлен и характеристические числа матрицы

Высшая математика

Решение: В соответствии с определением характеристического многочлена получаем

Высшая математика

Высшая математика

Приравнивая этот многочлен нулю, находим характеристическое уравнение Высшая математика или Высшая математика Разлагая левую часть этого уравнения на множители Высшая математика Высшая математикаприводим данное уравнение к виду Высшая математика откуда Высшая математика Эти корни - характерист ичсскис числа данной матрицы.

Собственные векторы линейного преобразования

Ненулевой вектор х линейного пространства называется собственным вектором линейного преобразования Высшая математика этого пространства, если существует число Высшая математика такое, что

Высшая математика Высшая математика

причем Высшая математика - действительное число для действительного линейного пространства и комплексное число в случае комплексного пространства. Число Высшая математика называется собственным значением вектора х относительно преобразования Высшая математика Равенство (10.10) можно записать в матричном виде

Высшая математика Высшая математика

где А - матрица преобразования Высшая математика в некотором базисе, X - матрица-столбец из координат собственного вектора х в том же базисе. Ненулевая матрица-столбец X, удовлетворяющая уравнению ( 10.11 ), называется собственным вектором-столбцом матрицы А с собственным значением Высшая математика.

Собственные векторы и собственные значения обладают следующими свойствами.

1. Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное собственное значение Высшая математика.

2. Если х - собственный вектор линейного преобразования Высшая математика с собственным числом Высшая математика и Высшая математика - любое, отличное от нуля число, то Высшая математика - также собственный вектор преобразования Высшая математикас собственным значением Высшая математика

3. Если х и у - линейно независимые собственные векторы линейного преобразования Высшая математика с одним и тем же собственным значением Высшая математика, то х + у - также собственный вектор этого преобразования с собственным значением Высшая математика.

4. Если х и у - собственные векторы линейного преобразования Высшая математика с собственными числами Высшая математика причем Высшая математика то х и у линейно независимы.

Следствие. Если Высшая математика - линейно независимые собственные векторы линейного преобразования Высшая математика с одним и тем же собственным значением Высшая математика, то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов является собственным вектором этого преобразования с собственным значением Высшая математика.

Теорема 10.3. В комплексном линейном пространстве все корни характеристического уравнения и только они являются собственными значениями линейного преобразования.

Координаты собственного вектора Высшая математика находятся из системы уравнений

Высшая математика Высшая математика

Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю (см. следствие из теоремы Крамера), т. е.

Высшая математика Высшая математика

Это означает, что число Высшая математика является корнем характеристического уравнения.

Замечания. 1. Уравнение (10.13) является алгебраическим уравнением Высшая математика-степени относительно Высшая математика Такое уравнение имеет ровно Высшая математика корней, считая равные и комплексные. Среди корней этого уравнения может не оказаться действительных.

2. Собственными значениями линейного преобразования действительного пространства являются только действительные корни характеристического уравнения.

Собственные значения линейного преобразования называются также собственными значениями матрицы этого преобразования. Собственное значение называется m-кратным, если оно является m-кратным корнем характеристического уравнения.

Теорема 10.4. Корни характеристического уравнения действительной симметрической матрицы являются действительными числами.

Следствие. Действительная симметрическая матрица имеет только действительные собственные векторы.

Система (10.12) для определения координат собственного вектора в этом случае имеет только действительные решения, так как Высшая математика и Высшая математика - действительные числа

Теорема 10.5. Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Пример 10.4. Найти действительные собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

Высшая математика

Решение: Составляем характеристическое уравнение матрицы А

Высшая математика

Разложим на множители многочлен в левой части уравнения: Высшая математикаВысшая математикаВысшая математика Уравнение принимает вид Высшая математика откуда Высшая математика Следовательно, линейное преобразование с данной матрицей имеет только одно действительное собственное значение Высшая математика

Для отыскания соответствующего собственного вектора используем систему уравнений (10.12), которая принимает вид

Высшая математика

при Высшая математика Решая полученную систему, находим Высшая математика Полагая Высшая математика получаем собственный вектор х = (1, 2 , 1).

Замечание. Собственный вектор линейного преобразования определяется с точностью до произвольного множителя (см. свойство 2 собственного вектора).

Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду

Теорема 10.6 . Матрица линейногопреобразования имеет диагональный вид

Высшая математика Высшая математика

тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что матрица Высшая математика является диагональной. Следовательно, если матрица А приводима к диагональному виду, то

Высшая математика

Высшая математика — характеристические числа матрицы А.

Теорема 10.7. Матрица А линейного преобразования Высшая математика-мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда , когда существует базис этого пространства , состоящий из собственных векторов данного преобразования.

Если все собственные числа матрицы А попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.

Действия над линейными преобразованиями

Произведение преобразований. Рассмотрим преобразование Высшая математика переводящие вектор х в вектор у, т. е. Высшая математика К вектору у применим преобразование g, переводящие вектор у в вектор z, т. е. z=g(y). Так как Высшая математика то имеем преобразование Высшая математика переводящее вектор х в вектор z, причем z получен в результате последовательного применения преобразований Высшая математика. Преобразование, заключающееся в последовательном применении преобразований Высшая математика , называется произведением преобразования Высшая математика на преобразование g или композицией этих преобразований и обозначается Высшая математика (или просто Высшая математика); отметим, что справа записывается первое преобразование. Таким образом,

Высшая математика Высшая математика

Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием.

Теорема 10.8. Если в некотором базисе линейные преобразования Высшая математика имеют соответственно матрицы А и В, то их произведение Высшая математика в том же базисе имеет матрицу ВА.

Сумма преобразований. Суммой преобразований Высшая математика некоторого пространства называется преобразование h такое, что для любого вектора х этого пространства

Высшая математика Высшая математика

Сумму преобразований Высшая математика будем обозначать Высшая математика Очевидно Высшая математика .

Теорема 10.9. Если линейные преобразования Высшая математика в некотором базисе имеют соответственно матрицы А и В, то преобразование Высшая математика в том же базисе имеет матрицу А + В.

Пример 10.5. Даны два линейных преобразования

Высшая математика

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее Высшая математика

Решение: Первое преобразование задано матрицей А, второе - матрицей В, где

Высшая математика

Искомое преобразование в соответствии с теоремой 10.8. имеет матрицу ВА. Умножив матрицу В на матрицу А, получим

Высшая математика

Следовательно, искомое преобразование определяется формулами Высшая математика

Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному

Линейное преобразование называется невырожденным, если его матрица является невырожденной; в противном случае линейное преобразование называется вырожденным.

Теорема 10.10. Линейное преобразование является невырожденным тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно.

Следствие. Линейное невырожденное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой; обратно также верно: если линейное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой, то оно будет невырожденным.

Теорема 10.11. Произведение двух линейных невырожденных преобразований есть невырожденное линейное преобразование. Преобразование Высшая математика называется обратным преобразованию Высшая математика если для любого вектора х

Высшая математика Высшая математика

т. е. произведение этих преобразований является тождественным преобразованием. Из определения следует, что если Высшая математика — преобразование, обратное преобразованию Высшая математика то Высшая математика - преобразование, обратное Высшая математика. Преобразования Высшая математика и Высшая математика, удовлетворяющие условию (10.17), называются взаимно обратными.

Линейное преобразование имеет обратное преобразование тогда и только тогда, когда оно является невырожденным.

Для любого невырожденного линейного преобразования с матрицей А в некотором базисе существует единственное обратное преобразование с матрицей Высшая математика в том же базисе.

Пример 10.6. Найти линейное преобразование, обратное преобразованию Высшая математика

Решение: Это преобразование имеет матрицу А, определитель которой отличен от нуля, поэтому для него существует обратное преобразование с матрицей Высшая математика. Так как

Высшая математика

то обратное преобразование выражается формулами Высшая математикаВысшая математика

Ортогональные матрицы

Матрица

Высшая математика Высшая математика

называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов

Высшая математика

является ортонормированной.

Векторы (10.19) будут ортонормированиями (см. п. 9.7), если

Высшая математика Высшая математика

для любых Высшая математика

Примеры ортогональных матриц:

Высшая математика

Отметим, что единичная матрица любого порядка является ортогональной.

Теорема 10.12. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А выражается равенством

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика - матрица, полученная из матрицы А транспонированием, Е - единичная матрица того же порядка, что и А.

Следствие 1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

Следствие 2. Ортогональная матрица является невырожденной матрицей.

Следствие 3. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Следствие 4. Равенство Высшая математика выражает необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А.

Следствие 5. Матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы, является ортогональной.

Следствие 6 . Матрица, обратная ортогональной матрице, является ортогональной.

Замечания. 1. Из условия Высшая математика не следует, что А - ортогональная матрица. Например, матрица Высшая математика для которой Высшая математика не является ортогональной, так как Высшая математика.

2. Сумма ортогональных матриц не является ортогональной матрицей.

3. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А можно выразить равенством Высшая математика

Теорема 10.13. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Ортогональные преобразования

Линейное преобразование евклидова пространства называется ортогональным, если в некотором ортонормированием базисе его матрица ортогональна.

Теорема 10.14. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный.

Теорема 10.15. Ортогональное преобразование не меняет скалярного произведения векторов.

Следствие 1. При ортогональном преобразовании Высшая математика остается неизменной норма вектора, т. е. Высшая математика

С л е д с т в и е 2. При ортогональном преобразовании Высшая математика остается неизменным угол между векторами, т. е.

Высшая математика

Ортогональные преобразования обладают следующими свойствами.

1. Ортогональное преобразование является невырожденным.

2. Для любого ортогонального преобразования существует обратное преобразование, являющееся ортогональным.

3. Если ортогональное преобразование имеет матрицу А, то обратное ему преобразование имеет матрицу Высшая математика

4. Произведение двух ортогональных преобразований является ортогональным преобразованием.

Квадратичные формы

Квадратичная форма и ее матрица

Квадратичной формой Высшая математика Высшая математика действительных переменных Высшая математика называется сумма вида

Высшая математика

или

Высшая математика

где Высшая математика - некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что Высшая математика

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (11.1) соответствует единственная симметрическая матрица

Высшая математика Высшая математика

И наоборот, всякой симметрической матрице (11.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма Высшая математика переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. Высшая математика и вырожденной, если Высшая математика

Квадратичную форму ( 1 1.1) Высшая математика переменных Высшая математика можно записать в матричном виде. Действительно, если X - матрица-столбец из переменных Высшая математика - матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то

Высшая математика Высшая математика

где А определяется формулой (11.3).

Пример 11.1. Записать матрицу квадратичной формы Высшая математикаВысшая математика и найти ее ранг.

Решение: В данном случае Высшая математикаВысшая математика поэтому

Высшая математика

Вычислим определитель этой матрицы

Высшая математика

Так как Высшая математика то ранг матрицы равен трем Высшая математика Эта квадратичная форма является невырожденной, поскольку Высшая математика

Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных

Рассмотрим квадратичную форму (11.1). Перейдем к новым переменным Высшая математика по формулам

Высшая математика Высшая математика

или в матричном виде

Высшая математика Высшая математика

где

Высшая математика

В квадратичной форме (11.1) вместо Высшая математика подставим их выражения через Высшая математика определяемые формулами (11.5), получим квадратичную форму Высшая математика переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма Высшая математика переводится в квадратичную форму Высшая математика линейным однородным преобразованием (П.5). Линейное однородное преобразование (1 1 .6 ) называется невырожденным, если Высшая математика

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если Высшая математика и Высшая математика конгруэнтны, то будем писать Высшая математика

Свойства конгруэнтности квадратичных форм.

1. Высшая математика

2. Если Высшая математика то Высшая математика

Теорема 11.1. Квадратичная форма Высшая математика с матрицей А линейным однородным преобразованием Высшая математика переводится в квадратичную форму Высшая математика сматрицей Высшая математика

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные фермы имеют одинаковые ранги.

Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду

Квадратичная форма Высшая математика называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т. е.

Высшая математика Высшая математика

Каноническая квадратная форма называется нормальной (или имеет нормальный ввд), если Высшая математика т. е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или -1. Например, квадратичная форма Высшая математика для которой Высшая математика имеет канонический вид; квадратная форма Высшая математика является нормальной, так как Высшая математика

Теорема 11.2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду

Высшая математика

где Высшая математика - новые переменные.

Некоторые из коэффициентов Высшая математика могут оказаться равными нулю; число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу Высшая математика матрицы квадратичной формы Высшая математика

Теорема 11.3. Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду

Высшая математика

Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Закон инерции квадратичных форм

Закон инерции квадратичных форм выражает

Теорема 11.4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы Высшая математика Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 11.5. Две действительные квадратичные формы от Высшая математика переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Знакоопределенные квадратичные формы

Действительная квадратичная форма Высшая математика называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из Высшая математика положительных квадратов: Высшая математика где

Высшая математика Высшая математика

т. е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений Высшая математика назовем нулевой, если Высшая математика и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.

Теорема 11.6. Действительная квадратичная форма Высшая математика является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных Высшая математика

Пусть дана квадратичная форма Высшая математика с матрицей Высшая математика Главными минорами квадратичной формы Высшая математика называются миноры

Высшая математика

т. е. миноры порядка 1,2,.... Высшая математика матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.

Теорема 11.7. Квадратичная форма Высшая математика с действительной матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду

Высшая математика Высшая математика

Теорема 11.8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного — отрицательны.

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными.

Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

Пример 11.2. Доказать, что квадратичная форма Высшая математикаВысшая математика положительно-определенная.

Запишем матрицу А этой квадратичной формы и определитель матрицы А:

Высшая математика

Так как главные миноры матрицы Высшая математика и Высшая математика т.е. все положительны, то данная квадратичная форма является положительно-определенной.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных

Теорема 11.9. Если существует ортогональное преобразование с матрицей С, приводящее действительную квадратичную форму Высшая математика к каноническому виду

Высшая математика Высшая математика

то Высшая математика - характеристические числа матрицы А квадратичной формы Высшая математика

Теорема 11.10. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Теорема 11.11. Для любой действительной симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Т, что Высшая математика — диагональная матрица.

Следствие. Любая действительная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду.

Теорема 11.12. Если линейное преобразование действительного линейного пространства имеет действительную симметрическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого преобразования.

Из этих теорем следует правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму Высшая математика переменных к каноническому виду. Это правило состоит в следующем: 1) записать матрицу данной квадратичной формы, найти ее собственные значения и Высшая математика попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их; 2 ) составить матрицу из ортонормированных собственных вектор-столбцов; 3) записать искомое ортогональное преобразование с помощью последней матрицы.

Пример 11.3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму двух переменных Высшая математика

Высшая математика

Решение: Поскольку в данном случае Высшая математика то матрица А этой квадратичной формы и ее характеристическое уравнение Высшая математика запишутся так:

Высшая математика

Характеристическое уравнение Высшая математика или Высшая математика имеет корни Высшая математика которые являются собственными значениями матрицы А.

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Координаты (s, t) этих векторов определяются из системы уравнений ( 1 0 .12 ), которая в данном случае имеет вид

Высшая математика

При Высшая математика имеем две системы

Высшая математика

Из этих систем находим собственные векторы Высшая математика где Высшая математика. Положив Высшая математика получим Высшая математика Нормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составим матрицу В:

Высшая математика

С помощью матрицы В записываем искомое ортогональное преобразование

Высшая математика

Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду Высшая математика

Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости

Фигурой второго порядка на плоскости называется множество точек этой плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени

Высшая математика

где Высшая математика одновременно в нуль не обращаются. Отметим, что это множество, в частности, может состоять из единственной точки или оказаться пустым.

Первые три члена левой части уравнения (11.12) образуют квадратичную форму двух переменных Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

с симметрической матрицей

Высшая математика Высшая математика

По теореме 11.10 эту квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду

Высшая математика Высшая математика

с матрицей

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика — характеристические числа матрицы А, т. е. корни характеристического уравнения матрицы А:

Высшая математика Высшая математика

При этом ортогональном преобразовании уравнение (11.12) примет вид

Высшая математика Высшая математика

Это уравнение можно привести к каноническому виду путем выделения в левой части полных квадратов.

Фигуру второго порядка, определяемую уравнением (11.12), называют центральной, если Высшая математика и нецентральной, когда Высшая математика

Отметим, что при ортогональном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняется, т. е. det С = det А. Так как Высшая математика (см. (11.16)), то

Высшая математика Высшая математика

Пусть уравнение (11.18) определяет центральную фигуру, т. е. Высшая математика. Здесь возможны два случая: 1) Высшая математика (числа Высшая математика одного знака), фигура называется фигурой эллиптического типа; 2 ) Высшая математика (числа Высшая математика имеют разные знаки), фигура называется фигурой гиперболического типа.

Если Высшая математика то уравнение (11.18), выделив в его левой части полные квадраты, можно привести к виду

Высшая математика

или

Высшая математика Высшая математика

где

Высшая математика Высшая математика

Формулы (11.21) выражают зависимость между координатами Высшая математика при параллельном переносе координатных осей в точку Высшая математика

В случае Высшая математика уравнение (11.20) приводится к одному из канонических видов

Высшая математика Высшая математика

в зависимости от знаков Высшая математика Высшая математика

Уравнение (11.25) определяет эллипс, уравнению (11.23) не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, уравнению (11.24) удовлетворяют координаты одной точки Высшая математика

В случае Высшая математика уравнение (11.20) приводится к одному из канонических видов

Высшая математика Высшая математика

в зависимости от знаков Высшая математика

Уравнение (11.25) определяет гиперболу с действительной осью Высшая математика уравнение (11.26) — гиперболу с действительной осью Высшая математика уравнение (11.27) - пару пересекающихся прямых, так как оно распадается на два уравнения

Высшая математика

Обратимся к нецентральным фигурам, т.е. к случаю когда Высшая математика В силу (11.19) из равенства Высшая математика следует, что Высшая математика Последнее равенство означает, что одно из чисел Высшая математика равно нулю (оба числа Высшая математика в нуль обратиться не могут, так как это означало бы, что квадратичная форма (11.13) является вырожденной, чего быть не может, поскольку Высшая математика ). Если Высшая математика то уравнение (11.18) можно привести к виду ЯВысшая математика и записать так:

Высшая математика Высшая математика

Осуществим параллельный перенос репера Высшая математика на вектор Высшая математика получим новую систему координат Высшая математика причем Высшая математика определяются формулами (11.21). Уравнение (11.28) приведем к виду

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (11.29) определяет параболу с осью Высшая математика

Если в уравнении (11.18) Высшая математикаВысшая математика), то, выделив полный квадрат, его можно записать так:

Высшая математика Высшая математика

Осуществив параллельный перенос репера Высшая математика на вектор Высшая математика т.е. выполнив преобразование Высшая математика получим новую систему координат Высшая математика в которой уравнение (11.30) принимает один из видов:

Высшая математика Высшая математика

в зависимости от соотношения знаков чисел Высшая математика Первое из уравнений (11.31) определяет пару параллельных прямых Высшая математика второму уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, третье уравнение определяет пару совпавших прямых Высшая математика

Операция перехода от уравнения (11.12) к уравнению (11.18) называется отнесением фигуры к главным осям. Новые оси координат параллельны осям симметрии фигуры. Главными направлениями фигуры, заданной уравнением (11.12), называют направления ортогональных собственных векторов матрицы квадратичной формы, соответствующей этому уравнению.

Из теорем п. 11.6 следует, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение (11.12) принимает канонический вид. Чтобы выбрать эту систему координат, необходимо сделать следующее.

1. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму, соответствующую данному уравнению.

2. С помощью этого преобразования определить главные направления фигуры, т. е. векторы Высшая математика - ортонормированные собственные векторы матрицы указанной квадратичной формы.

3. Найти уравнение фигуры в репере Высшая математика

4. Выделить полные квадраты в полученном уравнении.

5. Совершить параллельный перенос системы Высшая математика на соответствующий вектор Высшая математика и составить каноническое уравнение фигуры в репере Высшая математика

Пример 11.4. Какую линию на плоскости определяет уравнение Высшая математика

Решение: С помощью теории квадратичных форм приведем это уравнение к каноническому виду. Левая часть уравнения - квадратичная форма Высшая математикаВысшая математика которая с точность до обозначений переменных Высшая математикаВысшая математика (см. п. 11.6, пример 11.3) приведена к каноническому виду Высшая математика посредством ортогонального преобразования Высшая математикаВысшая математика

Это преобразование данное уравнение переводит в уравнение

Высшая математика

Полученное уравнение определяет эллипс с полуосями Высшая математика

Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве

Фигурой второго порядка в пространстве называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

Высшая математика

где Высшая математика

Сумма первых шести членов левой части уравнения (11.32) представляет собой квадратичную форму трех переменных, х, у, z:

Высшая математика

с симметрической матрицей

Высшая математика Высшая математика

Фигура второго порядка называется центральной, если Высшая математика и нецентральной, если Высшая математика

С помощью ортогонального преобразования квадратичную форму (11.33) можно привести к каноническому виду Высшая математика где Высшая математика - корни характеристического уравнения Высшая математика Матрица квадратичной формы Высшая математика принимает вид

Высшая математика Высшая математика

Указанное ортогональное преобразование приводит уравнение (11 .32) к виду

Высшая математика

Центральные фигуры. Если Высшая математика то Высшая математика так как Высшая математика Выделяя полные квадраты в левой части уравнения (11.36), можно привести его к виду

Высшая математика Высшая математика

где Высшая математика

Поскольку Высшая математика то ни одно из чисел не равно нулю, все эти числа могут иметь один знак Высшая математика или только два из них одного знака.

1. Если все числа Высшая математика одного знака, то уравнение (11.37) можно привести к одному из следующих канонических видов:

Высшая математика Высшая математика

в зависимости от Высшая математика

Уравнение (11.38) определяет эллипсоид, уравнению (11.39) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства уравнению (11.40) удовлетворяют координаты единственной точки ( X = 0 , Y= 0 , Z= 0 ).

2. Пусть знак одного из этих чисел противоположен знаку двух других: предположим,что Высшая математика Уравнение (11.37) можно привести к одному из канонических видов

Высшая математика

в зависимости от Высшая математика

Уравнения (11.41) — (11.43) определяют соответственно однополосный гиперболоид, двуполостный гиперболоид и конус второго порядка.

Нецентральные фигуры. Если det А = 0, или Высшая математика то одно или два из этих чисел равны нулю.

1. Пусть Высшая математика тогда уравнение (11.36) приводится к виду

Высшая математика Высшая математика

Если Высшая математика то имеем

Высшая математика Высшая математика

в случае Высшая математика получаем

Высшая математика Высшая математика

Уравнения (11.45) и (11.46) определяют соответственно эллиптический и гиперболический параболоиды.

2. Пусть Высшая математика тогда имеем уравнение

Высшая математика Высшая математика

которое приводится к одному из следующих канонических видов:

Высшая математика Высшая математика

Уравнение (11.48) определяет эллиптический цилиндр, каждое из уравнений (11.51), (11.50) - гиперболический цилиндр, уравнение (11.52) - пару пересекающихся плоскостей; уравнению (11.49) не удовлетворяют координаты ни одной точки.

3. Если Высшая математика то уравнейие (11.36) приводится к виду Высшая математика или

Высшая математика Высшая математика

и определяет параболический цилиндр.

4. Если Высшая математика то имеем уравнение Высшая математика которое приводится к одному из канонических видов

Высшая математика Высшая математика

Первое из уравнений (11.54) определяет пару параллельных плоскостей Высшая математика третье уравнение — пару совпавших плоскостей; второму уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства.

Пример 11.5. Какую поверхность определяет уравнение Высшая математика Высшая математика

Это уравнение ввда (11.32), для которого Высшая математика Высшая математика Левая часть данного уравнения является квадратичной формой Высшая математика трех переменных Высшая математика Составим матрицу А этой квадратичной формы и характеристическое уравнение матрицы А :

Высшая математика

Характеристическое уравнение Высшая математика Высшая математика или Высшая математика имеет корни Высшая математика (так как Высшая математикаВысшая математика). Следовательно, квадратичную форму f(x,y,z) можно привести к виду Высшая математика В новых координатах X, Y, Z данное уравнение имеет вид Высшая математика или

Высшая математика

оно определяет эллипсоид с полуосями Высшая математика

Группы

Понятие группы. Основные определения

Группой называется множество G элементов Высшая математика для которых определена операция (сложения или умножения), которая каждой упорядоченной паре Высшая математика элементов G ставит в соответствие единственный элемент Высшая математика данного множества, причем операция обладает следующими свойствами:

1) операция ассоциативна, т.е. для любых Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

2) в G существует нейтральный элемент Высшая математика такой, что для любого элемента Высшая математика

Высшая математика Высшая математика

3) для каждою элемента Высшая математика существует обратный ему элемент Высшая математика такой, что

Высшая математика Высшая математика

Если, кроме того, для любых Высшая математика выполняется условие

Высшая математика Высшая математика

то группа называется коммутативной или абелевой группой.

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно; для каждого элемента существует единственный обратный элемент.

Группа состоящая из конечного числа элементов, называется конечной. Число элементов группы называют ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется бесконечной.

Группа называется аддитивной или группой по сложению, когда групповая операция, ставящая в соответствие паре элементов Высшая математика элемент Высшая математика является сложением. В этом случае символ операции Высшая математика заменяется знаком Высшая математика Высшая математика нейтральный элемент называют нулем и обозначают символом Высшая математика Высшая математика Элемент, обратный к элементу Высшая математика называют противоположным и обозначают Высшая математика

Группа называется мультипликативной или группой по умножению, когда групповая операция, ставящая в соответствие упорядоченной паре Высшая математика элемент Высшая математика является умножением. В данном случае произведение Высшая математика обозначается Высшая математика или Высшая математика нейтральный элемент называется единицей и обозначается символом 1: Высшая математика

Произведение Высшая математика элементов, равных Высшая математика называют Высшая математика степенью элемента Высшая математика и обозначают Высшая математика. Отрицательные степени элемента Высшая математика можно определить или как элементы группы G, обратные положительным степеням, или как произведения соответствующего числа множителей, равных элементу Высшая математикаЭти определения совпадают, так как верно равенство

Высшая математика

В любой группе G для степеней каждого элемента Высшая математика при любых показателях Высшая математика и Высшая математика (положительных, отрицательных или нулевых) выполняются равенства

Высшая математика

Если операция в группе называется сложением, то вместо степеней элемента Высшая математика говорят о кратных этого элемента и пишут Высшая математика

В каждой мультипликативной группе однозначно разрешимы уравнения Высшая математика первое из них имеет решение Высшая математика второе - Высшая математика

Если группа является коммутативной, то эти уравнения не различаются, они имеют одинаковые решения Высшая математика

Примеры групп

1. Множество всех целых чисел с операцией сложения образует аддитивную группу. Действительно, сумма Высшая математика двух целых чисел Высшая математика также является целым числом. В этом случае говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операции сложения. Сложение целых чисел коммутативно: Высшая математика В данном множестве имеется нейтральный элемент, т.е. число Высшая математика такое, что Высшая математика при любом целом числе Высшая математика Для каждого элемента целого числа Высшая математика существует обратный элемент (противоположное число), т.е. такое число Высшая математика что Высшая математика Рассматриваемая группа является коммутативной, так как Высшая математика

Замечание 1. Множество всех целых чисел не образуют группу по умножению, так как обратные для целых чисел (отличных от - 1 и 1 ) не являются целыми числами. Например, для числа 2 обратное число Высшая математика не принадлежит множеству целых чисел.

2. Множество всех действительных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения образует мультипликативную группу. Эта группа является коммутативной так как Высшая математика

Замечание 2. Множество всех действительных чисел не образует группу по умножению, поскольку для числа Высшая математика нет обратного.

3. Множество всех векторов трехмерного пространства образует группу по сложению. Эта группа является коммутативной Высшая математика

4. Множество матриц размером /их п образует коммутативную группу по сложению Высшая математика Для матрицы А обратным элементом является матрица ( - А); нейтральный элемент - нулевая матрица О.

5. Множество всех невырожденных квадратных матриц порядка Высшая математика образует мультипликативную группу. Эта группа, которую называют полной линейной группой, не является коммутативной ( в общем случае Высшая математика).

Замечание 3. Множество всех квадратных матриц порядка Высшая математика не образует группу по умножению, так как для некоторых его элементов нет обратных (вырожденная матрица не имеет обратной).

6 . Множество всех невырожденных линейных преобразований линейного пространства образует мультипликативную группу.

7. Множество, состоящее из двух чисел +1,-1, образует группу по умножению. Действительно, каждой из произведений (+ 1) ( - 1) = - 1, (+1)(+1) = + 1, (-1 )(-1) = + 1 принадлежит данному множеству. Умножение ассоциативно. Существует единица - число + 1, которое удовлетворяет условию (-.1) ( + 1) = - 1, (+1) (+1) = +1. Для каждого элемента существует обратный: каждое из этих двух чисел совпадает со своим обратным.

Замечание 4. Множество, состоящее из двух чисел +1,-1, не образует группу по сложению, так как сумма (+ 1)+ (- 1) = 0 , а число 0 не принадлежит данному множеству. (В таком случае говорят, что данное множество не является замкнутым относительно операции сложения).

8 . Множество, состоящее из одного элемента Высшая математика образует аддитивную группу. Действительно, Высшая математика сумма принадлежит данному множеству. Свойства операции сложения очевидны.

9. Множество, состоящее из одного элемента 1, образует мультипликативную группу.

Группа, образованная одним элементом, называется единичной.

Подгруппа

Подгруппой группу G называется подмножество Высшая математика ее элементов, образующее группу относительно операции, определенной в G. Чтобы убедится в том, что множество Высшая математика группы G является ее подгруппой, необходимо проверить, что: 1) произведение (сумма) любых двух элементов Высшая математика принадлежит Высшая математика; 2) для любого элемента Высшая математика обратный элемент принадлежит Высшая математика. Этого будет достаточно, так как ассоциативный закон выполняется для любых трех элементов G, в том числе и для элементов Высшая математика, а нейтральный элемент Высшая математика будет принадлежать Высшая математика (как произведение Высшая математика или сумма Высшая математика).

Примеры подгрупп некоторых групп.

I. Множество всех действительных чисел является аддитивной группой.

Подгруппами аддитивной группы всех действительных чисел являются в частности, следующие: 1) аддитивная группа рациональных чисел; 2 ) аддитивная группа целых чисел; 3) аддитивная группа всех целых чисел, кратных числу Высшая математика например аддитивная группа четных чисел.

Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел.

Замечание 1. Множество нечетных чисел не образует группу по сложению, так как сумма двух нечетных чисел является четным числом (и не принадлежит данному множеству).

II. Мультипликативная группа всех действительных чисел, отличных от нуля, имеет, в частности, следующие подгруппы: 1) мультипликативную группу положительных действительных чисел; 2 ) мультипликативную группу рациональных чисел, отличных от нуля; 3) множество, состоящее из двух чисел + 1 , - 1 с операцией умножения.

Замечание 2. Мультипликативная группа положительных действительных чисел не является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел, так как групповые операции в рассматриваемых множествах— разные (соответственно умножение, сложение).

III. Мультипликативная группа невырожденных матриц порядка и имеет, в частности, подгруппы: 1) группу ортогональных матриц; 2 ) группу диагональных матриц; 3) группу матриц с положительным определителем; 4) группу матриц с определителем, равным единицы (эта группа называется унимодулярной).

Пересечение двух подгрупп группы G является подгруппой в G. Например, в аддитивной группе целых чисел пересечение подгруппы четных чисел и подгруппы чисел, кратных трем, будет подгруппой чисел, кратных шести.

Каждая группа является своей подгруппой. Далее, каждая группа имеет единичную подгруппу, состоящую из одного нейтрального элемента (единицы или нуля). Эти две подгруппы называются несобственными (или тривиальными) подгруппами. Остальные подгруппы называются собственными (или истинными) подгруппами. В любой группе все подгруппы каждой группы являются в тоже время подгруппами исходной группы. Например, аддитивная группа целых чисел является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел, которая в свою очередь есть подгруппа аддитивной группы всех действительных чисел; аддитивная группа целых чисел — подгруппа аддитивной группы всех действительных чисел.

Группы преобразований. Симметрическая группа Высшая математика-й степени

Преобразованием множества X называется взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Преобразование множества X обозначим буквой Р. Определение преобразования Р множества X означает следующее: любому элементу Высшая математика ставится в соответствие единственный элемент Высшая математика того же множества; Высшая математика называется образом элемента х, а х - прообразом Высшая математика. Каждый элемент Высшая математика имеет единственный прообраз Высшая математика.

Умножением преобразований называется последовательное их выполнение. Произведение двух преобразований Р, Q обозначается PQ (справа записано то преобразование, которое выполняется первым; по определению (QP) х = Q (Рх)). Очевидно, произведение двух преобразований данного множества является преобразованием данного множество. Отметим, что в общем случае умножение не является коммутативным, т.е. Высшая математика Можно показать, что произведение преобразований подчиняется ассоциативному закону. Роль единицы при умножении преобразований выполняет тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому элементу множества его самого. Для каждого преобразования Р существует обратное преобразование Высшая математика, которое каждому элементу Высшая математика ставит в соответствие его единственный прообраз Высшая математика, причем Высшая математика Следовательно, множество преобразований Р данного множествах образует группу.

Если множество X конечно и состоит из Высшая математика элементов, то всевозможные взаимно однозначные отображения этого множества на себя называются подстановками. Подстановку из Высшая математика элементов можно обозначить так:

Высшая математика

где Высшая математика - те же числа Высшая математика обозначающие данные элементы и записанные в другом порядке.

Примеры подстановок при Высшая математика

Высшая математика

Первая подстановка означает такое взаимно однозначное отображение множества (1, 2, 3,4, 5) на себя, при котором 1 переходит в 3, 2 — в 1 и т. д. Вторая подстановка называется тождественной, каждый элемент соответствует сам себе. Равенство двух других подстановок показывает, что расположение столбцов в записи подстановки не играет роли. Подстановки, отличающиеся только порядком следования столбцов, не считаются различными.

Умножением подстановок называют последовательное их выполнение (сначала правого сомножителя, затем левого). Умножение подстановок ассоциативно, но не коммутативно. Например, если то

Высшая математика

то

Высшая математика

Единицей при умножении подстановок из Высшая математика элементов служит тождественная подстановка

Высшая математика

Каждая подстановка из Высшая математика элементов имеет обратную:

Высшая математика

Чтобы получить подстановку, обратную данной, необходимо поменять местами строки.

Множество подстановок из Высшая математика элементов относительно введенной операции умножения образует группу. Группа подстановок из Высшая математика элементов называется симметрической группой Высшая математика-й степени и обозначается Высшая математика Число подстановок из Высшая математика элементов равно Высшая математика, поэтому группа Высшая математика имеет порядок Высшая математика.

Рассмотрим группу подстановок из трех элементов Высшая математикаПоскольку из трех элементов можно составить шесгъ различных перестановок Высшая математика то и число различных подстановок для них равно шести Высшая математика

Обозначим эти подстановки следующим образом:

Высшая математика

Отметим, что Высшая математика - тождественная подстановка; для каждой подстановки существует обратная:

Высшая математика

Группа Высшая математика (симметрическая группа подстановок из 3 элементов) некоммутативна, поскольку, например, Высшая математика

Высшая математика

Группу Высшая математика можно представить следующей таблицей умножения, в которой слева стоят левые множители Высшая математика сверху - правые Высшая математика а на пересечении соответствующей строки и столбца - их произведение. Таблицы такого рода называют таблицами Кэли (табл. 12.1).

Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника

Пусть дан правильный Высшая математика-угольник Высшая математика с центром в точке О (рис. 12.1, Высшая математика = 6 ). Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот правильный Высшая математика-угольник совмещается сам с собой. Таких поворотов будет Высшая математика: Высшая математика - поворот на угол Высшая математика (тождественное преобразование); Высшая математика - поворот на угол Высшая математика - поворот на угол Высшая математика - поворот на угол Высшая математика Под умножением поворотов будем понимать последовательное их выполнение: Высшая математика причем Высшая математика при любом Высшая математика в частности Высшая математика Умножение поворотов является ассоциативным (и коммутативным). Множество указанных поворотов правильного многоугольника образует группу по умножению, роль единицы играет тождественное преобразование - поворот Высшая математика Для каждого элемента Высшая математика существует обратный элемент Высшая математика так как Высшая математика т.е. Высшая математика где Высшая математика - единичный элемент.

Высшая математика

Положим Высшая математика тогда Высшая математика В этом случае говорят, что группа образована степенями одного из своих элементов (или что она порождается одним из своих элементов); таким элементом является элемент Высшая математика Группы, образованные степенями одного из своих элементов, называются циклическими. Таким образом, группа вращения правильного Высшая математика-угольника является циклической группой порядка Высшая математика, эта группа обозначается Высшая математика. Отметим, что аддитивная группа целых чисел также будет .циклической, она порождается одним из своих элементов - числом 1: 2 = 1+1, 3=(1 + 1)+1 и т. д. Эта группа является бесконечной циклической группой, ее обозначают Высшая математика.

Пусть дан правильный треугольник АВС с центром в точке О (рис. 12.2). Рассмотрим все симметрии данной фигуры, т.е. те преобразования плоскости, при которых этот треугольник переходит в себя (или самосовмещается). К ним относятся: три поворота Высшая математика плоскости вокруг точки О соответственно на углы Высшая математика (частный случай рассмотренных выше вращений правильного Высшая математика-угольника при Высшая математика); три осевых симметрии Высшая математика определяемых соответственно осями симметрии Высшая математика проходящими через вершину правильного треугольника и середину его противоположной стороны (см. рис. 12.2).

Высшая математика

Будем характеризовать каждое самосовмещение Высшая математика подстановкой на множестве вершин А, В, С правильного треугольника

Высшая математика

где Высшая математика - те же буквы А, В, С, взятые в некотором порядке. Принятое нами соответствие между самосовмещениями треугольника и подстановками множества его вершин дает

Высшая математика

Множество самосовмещений Высшая математика образует группу относительного умножения (последовательного выполнения двух самосовмещений). Роль единицы играет тождественное преобразование, каждый элемент данного преобразования имеет обратный. Эта группа называется группой симметрий треугольника.

Изоморфизм групп

Группы Высшая математика называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую операцию, т.е. такое, что если Высшая математика то Высшая математика

Симметрическая группа Высшая математика трех элементов Высшая математика и группа симметрий правильного треугольника с вершинами А, В, С изоморфны. Эти группы отличаются только обозначениями элементов и названиями соответствующих преобразований. Циклическая группа порядка и изоморфна группе вращений правильного Высшая математика-угольника; бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел.

Если Высшая математика - изоморфное отображение группы Высшая математика то Высшая математика где Высшая математика - единичные элементы групп Высшая математика соответственно, и для любого Высшая математика

Разложение группы по подгруппе

Пусть дана группа G и некоторая ее подгруппа Высшая математика Фиксировав любой элемент Высшая математика рассмотрим множество элементов Высшая математика - любой элемент Высшая математика Это множество Высшая математика называется левым смежным классом группы G по подгруппе Высшая математика порожденным элементом х. Два любых смежных класса группы G по подгруппе Высшая математика или совпадают, или не имеют ни одного общего элемента.

Вся группа G распадается на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе Высшая математика. Это разложение называется левосторонним разложением группы G по подгруппе Высшая математика. Очевидно, одним из левых смежных классов этого разложения будет сама подгруппа Высшая математика, этот смежный класс порождается элементом Высшая математика (или любым элементом Высшая математика поскольку Высшая математика ).

Аналогично вводится понятие правого смежного класса группы G по подгруппе Высшая математика, порожденного элементом х; это множество Высшая математика т. е. множество всех элементов вида Высшая математика где х - фиксированный элемент G, Высшая математика— любой элемент из Высшая математика. Аналогичным образом получается правостороннее разложение группы G по подгруппе Высшая математика. Если группа G абелева, то оба ее разложения по любой подгруппе (левостороннее и правостороннее) совпадают. В этом случае говорят просто о разложении группы по подгруппе. Приведем пример такого разложения.

Пусть G — аддитивная группа целых чисел и Высшая математика - ее подгруппа, состоящая из всех чисел, кратных Высшая математика Разобьем группу G на классы, относя к одному классу все те числа, которые при делении на Высшая математика дают одинаковые остатки. Разложение данной группы G по указанной подгруппе Высшая математика состоит из Высшая математика различных смежных классов, порождаемых соответственно числами 0,1,2,........... Высшая математика - 1. В классе, порождаемом числом Высшая математика где Высшая математика собраны все те числа, которые при делении на число Высшая математика дают остаток Высшая математика

Полученное разложение группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных Высшая математика, при Высшая математика = 3 можно представить следующим образом:

Высшая математика

Замечание. В некоммутативной группе левостороннее и правостороннее разложения могут оказаться различными. Обратимся к симметрической группе Высшая математика (см. п. 12.4). Из таблицы Кэли для этой группы видно, что множество элементов Высшая математика образует подгруппу, обозначим ее Высшая математика Левостороннее разложение группы Высшая математика по подгруппе В состоит из классов В, Высшая математика Высшая математика а правостороннее - из классов В, Высшая математикаВысшая математика т. е. эти разложения различны. Отметим, что левостороннее и правостороннее разложение этой группы по ее подгруппе третьего порядка Высшая математика совпадают; каждое из них состоит из двух классов: Высшая математика

Теорема 12.1 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 1. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 2. Всякая конечная группа, порядок которой есть простое число, является циклической.

Нормальный делитель

Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группы (или инвариантной подгруппой), если левостороннее и правостороннее разложения этой группы по указанной подгруппе совпадают.

Из определения следует, что любая подгруппа коммутативной группы является в ней нормальным делителем. Далее, в любой группе G сама группа и ее единичная подгруппа будут нормальными делителями: разложение группы G по самой этой группе состоит из одного элемента G, разложения группы G по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные элементы. Приведем примеры нормальных делителей в некоммутативных группах.

1. В симметричной группе Высшая математика (см. п. 12.4) подгруппа Высшая математика является нормальным делителем, так как левостороннее и правостороннее разложения совпадают, они состоят из двух классов: Высшая математика Высшая математикаВысшая математика

2. В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц порядка Высшая математика подгруппа матриц с определителем, равным единице, будет нормальным делителем. Действительно, левый и правый смежные классы по этой подгруппе, порождаемые матрицей М, совпадают с классом всех матриц, определитель которых равен определителю матрицы М (как известно, определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц).

Можно дать и другие определения нормального делителя, равносильные исходному. Приведем одно из них.

Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группы, если Высшая математика для любого Высшая математика т. е. для любого Высшая математика и элемента Высшая математика существуют Высшая математика такие,что Высшая математика

Классы сопряженных элементов

Элементы Высшая математика группы G называют сопряженными, если в G существует хотя бы один такой элемент х, что

Высшая математика Высшая математика

В этом случае говорят, что элемент Высшая математика получается из элемента Высшая математика трансформированием с помощью элементах Из равенства(12.5) находим

Высшая математика

т.е. элемент Высшая математика при этом получается из элемента Высшая математика трансформированием элементом Высшая математика

Теорема 12.2. Подгруппа Н группы G тогда и только тогда будет нормальным делителем в G, если вместе с любым своим элементом h она содержит все элементы, сопряженные с ним в G.

Замечание. Нормальный делитель называют также инвариантной подгруппой. Из теоремы 12.2 следует происхождение этого названия. Если Н - нормальный делитель группы G, то трансформирование любого элемента подгруппы Н с помощью элемента группы G дает снова элемент подгруппы Н (подгруппа Н остается неизменяемой по отношению к операции трансформирования элементов Н ).

Теорема 12.3. Пересечение двух нормальных делителей группы является нормальным делителем этой группы.

Фактор-группа

Фактор-группой группы G по нормальному делителю Н называется группа всех смежных классов этой группы G по подгруппе Н.

Таким образом, с группой Q можно связать некоторый набор новых групп - ее фактор-групп по различным нормальным делителям.

Отметим, что фактор-группа абелевой группы является абелевой; факторгруппа циклической группы — циклической группой.

Примеры фактор-групп.

1. Пусть G - аддитивная группа целых чисел, Н - подгруппа чисел, делящихся на 3. Найдем фактор группу G/Н . Групповой операцией в данном случае является сложение. Число смежных классов равно трем (см. пример в п. 12.7): множество чисел, делящихся на 3, два множества чисел, дающих при делении на 3 соответственно остатки 1 и 2. Обозначим эти смежные классы [0], [1], [2]. В этом множестве введем операцию сложения следующим образом: сложив соответствующие числа в квадратных скобках, определим, какой остаток при делении на 3 дает их сумма, и будем считать суммой смежных классов тот, которому принадлежит полученный остаток. Таблица умножения для фактор-группы имеет вид [0]+[0] = [1]+[2] = [2]+[1] = [0], [0]+[1] = [1]+[0] = [2]+[2] = [1]. [0)+[2] = [2]+[0] = [1]+[1 ]= [2]. Отсюда видно, что фактор-группа абелева. Кроме того, все смежные классы порождаются классом [1], они совпадают со степенями этого класса: [1], [1]+[1]=[2], [1]+[1]+[1] = [0]. Поскольку фактор-группа порождена одним элементом, то она циклическая.

2. Пусть G - аддитивная группа целых чисел, Н - подгруппа целых чисел, кратных натуральному числу Высшая математика Фактор-группой G/Н является конечная группа порядка Высшая математика состоящая из классов Высшая математика Эта факторгруппа циклическая, как и сама группа G.

3. Пусть G - мультипликативная группа всех невырожденных матриц порядка Высшая математика - подгруппа матриц с определителем, равным единице. Фактор-группа G /H изоморфна мультипликативной группе отличных от нуля действительных чисел.

Гомоморфизм групп

Если Высшая математика — группы и Высшая математика — такое отображение, при котором для любых элементов х ,у группы G

Высшая математика Высшая математика

то Высшая математика называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом группы G в группу Высшая математика Отметим, что в определении гомоморфизма имеется в виду, что каждый элемент группы G поставлен в соответствие хотя бы одному элементу группы Высшая математика но разным элементам из G может соответствовать один и тот же элемент из Высшая математика Другими словами, отображение группы G в группу Высшая математика не предполагается взаимно однозначным, как в случае изоморфизма.

Очевидно, каждая группа гомоморфна себе самой, так как можно положить f ( x ) = х для всех Высшая математика Далее, каждая группа гомоморфна единичной группе ( состоящей из одного нейтрального элемента Высшая математика). Примером гомоморфного отображения групп может служить циклическая группа Высшая математика шестого порядка с элементами Высшая математика которая гомоморфна циклической группе Высшая математика второго порядка с элементами Е, А:

Высшая математика

Равенство (12.6) означает, что образ произведения двух элементов равен произведению образов этих элементов (которые, впрочем, могут называться по-разному в группах G и Высшая математика), поэтому говорят, что гомоморфизм «сохраняет групповую операцию». Гомоморфизм групп сохраняет не только групповую операцию, но также нейтральный и обратный элементы: если Высшая математика - гомоморфное отображение группы G в группу Высшая математика, то Высшая математика где Высшая математика - нейтральные элементы групп G и Высшая математика соответственно.

Теорема 12.4. Каждая группа гомоморфна любой своей фактор-группе. Обратно, если группа G гомоморфна группе Высшая математика, то Высшая математика изоморфна факторгруппе G по некоторому нормальному делителю Н.

Представления групп

С точки зрения алгебры изоморфные группы не считаются различными. О группе, изоморфной некоторой подгруппе группы подстановок, говорят, что она представлена подстановками.

Теорема 12.5. (Кэли). Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок (т. е. всякую конечную группу можно представить подстановками).

Следовательно, при описании любой конечной группы можно воспользоваться преимуществами группы подстановок.

Для теории и приложений наиболее интересны линейные представления конечных групп. Говоря о линейном представлении конечной группы G, предполагают, что дано векторное пространство Высшая математика в котором действуют линейные невырожденные преобразования. Эти преобразования образуют группу Высшая математика, которой гомоморфна исходная группа G; при этом говорят, что группа Высшая математика представляет группу G.

Гомоморфное отображение Г группы G в группу Высшая математика невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства Высшая математика называется линейным представлением группы G.

Следовательно, если Г - линейное представление группы G группой Высшая математика , то каждому элементу Высшая математика поставлено в соответствие невырожденное линейное преобразование Высшая математика пространства Высшая математика так, что для любых Высшая математика справедливо соотношение Высшая математика Как известно, при этом Высшая математика где Высшая математика - нейтральные элементы групп G, Высшая математика соответственно, и Высшая математика для любого Высшая математика

Пространство Высшая математика, в котором действуют преобразования из группы Высшая математика, называется пространством представления группы G. Размерность пространства Высшая математика называют размерностью (или степенью) рассматриваемого представления.

Вместо линейных преобразований часто рассматривают соответствующие им матрицы.

Математический анализ

Функции и пределы

Понятие функции. Основные определения

Рассмотрим множество X элементов х и множество У элементов у. Если каждому элементу Высшая математика по определенному правилу Высшая математика поставлен в соответствие единственный элемент Высшая математика, то говорят, что на множестве X задана функция Высшая математика со значениями в множестве Y. Элементы Высшая математика называются значениями аргумента, а элементы Высшая математика - значениями функции. Множество X называют областью определения функции, множество всех значений функции - областью значений этой функции.

Замечание. Функцию, заданную на множестве X со значениями в множестве У, называют также отображением множества X в множество У. Если множество У является множеством значений функции, то рассматриваемую функцию называют отображением множества X на множество У.

Функцию, заданную на множестве X, называют также оператором, заданным на множестве X, и обозначают символом Высшая математика. В случае, когда X и У - числовые множества, соответствующие функции называются числовыми функциями. Если рассматриваются действительные числа, то функции называют действительными (вещественными) функциями одной действительной (вещественной) переменной.

Употребляются следующие обозначения функции: Высшая математика Высшая математика и т. п. Значение, которое функция у = f ( x ) принимает при Высшая математика обозначается через Высшая математика

Функция и аргумент могут обозначатся также другими буквами, например Высшая математика и т.д.

К простейшим областям определения функции относятся отрезок, интервал, полуинтервалы или совокупность указанных промежутков. Например, для функции Высшая математика областью определения является отрезок [—3,3], а областью ее значений - отрезок [-3,0]; для функции Высшая математика область определения и область значений совпадают с интервалом Высшая математика

Графиком функции у = f ( x ) называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, т. е. точек Высшая математика Например, графиком функции Высшая математика является полуокружность радиуса Высшая математика с центром в начале координат, расположенная ниже оси Ох.

К традиционным основным способам задания функции относятся: аналитический (с помощью одной или нескольких формул); графический (с помощью графика); табличный (с помощью таблицы значений).

Функция заданная формулой

Высшая математика Высшая математика

правая часть которой не содержит у, называется явной функцией.

Функция у = у (х), определяемая уравнением

F (x, y)= 0, (13.2)

называется функцией, заданной неявно, или неявной функцией.

Отметим, что одно уравнение вида (13.2) может определять несколько функций. Например, уравнение Высшая математика определяет две функции Высшая математика

Обратимся к функции (13.1). Каждому Высшая математика по определенному закону ставится в соответствие единственное значение Высшая математика. С другой стороны, каждому Высшая математика соответствует одно или несколько значений Высшая математика .

В случае, когда каждому Высшая математика по некоторому закону Высшая математика соответствует только одно значение Высшая математика , получаем функцию

Высшая математика Высшая математика

заданную на множестве Y со значениями в множестве X. Функцию (13.3) называют обратной функцией по отношению к функции (13.1). Функции (13.1) и (13.3) в этом случае называются взаимно обратными. Для взаимно обратных функций выполняются тождества:

Высшая математика

Примеры взаимно обратных функций: Высшая математика

Если придерживаться стандартных обозначений (у - функция, х - аргумент), то обратную функцию (13.3) следует писать в виде Высшая математика Например, можно говорить, что функции Высшая математика взаимно обратные.

Функцию, обратную к функции Высшая математика удобно обозначать символом Высшая математика

Если Высшая математика - функции своих аргументов, причем область определения функции Высшая математика содержит область значений Высшая математика то каждому х из области определения функции Высшая математика соответствует у такое, что Высшая математика Эта функция, определяемая соответствием

Высшая математика

называется функцией от функции или сложной функцией. (Применяются также и другие названия: композиция функций Высшая математика суперпозиция функций Высшая математика . ) Например, если Высшая математика

Рассматривают также функции, являющиеся композициями более чем двух функций. Так, функция Высшая математика представляет собой композицию следующих функций: Высшая математика

Функция Высшая математика называется четной, если для любых Высшая математика из области ее определения выполняется равенство Высшая математика Функция Высшая математика называется нечетной, если для любых Высшая математика из области ее определения выполняется равенство Высшая математика Например, Высшая математика - четные функции, Высшая математикаВысшая математика - нечетные функции.

Функция Высшая математика называется периодической, если существует число Высшая математика такое, что при всех Высшая математика из области ее определения выполняется равенство Высшая математика Число Т в этом случае называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Говоря о периоде функции Высшая математика обычно имеют в виду наименьший положительный период: так, периодом функции Высшая математика является число Высшая математика периодом функции Высшая математика - число Высшая математика

Функция Высшая математика называется ограниченной на множестве X, если существует такое число С > 0, что для всех Высшая математика неравенство Высшая математика

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, функции Высшая математика называются основными элементарными функциями.

Элементарными функциями называются все функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. Например, функции Высшая математикаВысшая математика и т д являются элементарными.

Термин «функция» впервые появился в 1673 г. в одной из работ Лейбница. Под функциями Лейбниц понимал некоторые отрезки прямых. И. Бернулли дал определение функции как аналитического выражения, состоящего из переменной и постоянных величин (1718), он же применил обозначение Высшая математика (без скобок). Обозначение Высшая математика впервые предложил Эйлер в 1734 г.

Предел последовательности

Числовой последовательностью (или последовательностью) называется функция

Высшая математика

определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение Высшая математика Высшая математика называется элементом последовательности, а число Высшая математика - его номером.

Числовую последовательность с элементом Высшая математика обозначают либо Высшая математика, Высшая математика либо Высшая математика либо Высшая математика

Примеры числовых последовательностей: 1) (с) = (с,с,с,...); 2) Высшая математика 3) Высшая математика

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов; среди них могут быть равные (см. примеры 1) и 3)).

Число Высшая математика называется пределом последовательности Высшая математика если для любого числа Высшая математика найдется такое натуральное число N, что при всех Высшая математика выполняется неравенство Высшая математика

Предел последовательности Высшая математика обозначают Высшая математика при Высшая математика(читается: Высшая математика стремится к Высшая математика, когда Высшая математика стремится к бесконечности).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, у которой нет предела, называется расходящейся.

Интервал Высшая математика называется Высшая математика-окрестностью точки Высшая математика и обозначается Высшая математика

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности Высшая математика, если в любой его Высшая математика-окрестности содержатся почти все члены Высшая математика, или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Из определения предела последовательности следует, что предел постоянной равен этой постоянной Высшая математика поскольку в данном случае Высшая математика Высшая математика для любого Высшая математика Из определения следует также, что последовательность может иметь только один предел.

Последовательность Высшая математика называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число А, что Высшая математика (соответственно Высшая математика) для всех номеров Высшая математика

Последовательность Высшая математика, ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

Очевидно, последовательность Высшая математика ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число С > 0, что Высшая математика для всех номеров Высшая математика

Например, последовательности Высшая математика ограничены, последовательность Высшая математика ограничена снизу, но не ограничена сверху, последовательность (ncosfttt) не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

Теорема 13.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена

Число Высшая математика называется верхней гранью последовательности Высшая математика если: 1) Высшая математика при всех Высшая математика 2) для любого Высшая математика существует такой номер N, что Высшая математика . Верхняя грань последовательности Высшая математика обозначается sup Высшая математика или Высшая математика

Аналогично определяется нижняя грань последовательности Высшая математика и обозначается Высшая математика илиВысшая математика.

В качестве примеров отметим, что Высшая математика Высшая математика

Последовательность Высшая математика называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если Высшая математика (соответственно Высшая математика) при всех Высшая математика Монотонно возрастающие или монотонно убывающие последовательности называются просто монотонными.

Теорема 13.2. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая) последовательность Высшая математика имеет предел, причем Высшая математика (соответственно Высшая математика).

Если последовательности Высшая математика имеют пределы, то пределы их суммы, разности, произведения, частного существуют и находятся по формулам

Высшая математика Высшая математика

Пример 13.1. Последовательность Высшая математика сходится и имеет предел Высшая математика

Решение: Действительно, каково бы ни было число Высшая математика найдется такое натуральное число N, что Высшая математика для n>N; неравенство Высшая математика будет выполнено при всех n > N , если Высшая математика т. е. в качестве N можно взять большее из двух последовательных натуральных чисел, между которыми заключено число Высшая математика Например, если Высшая математика если Высшая математика и т. д.

Замечание. Одновременно показано, что последовательность Высшая математика имеет пределом нуль, т. е.

Высшая математика Высшая математика

Пример 13.2. Последовательность Высшая математика является расходящейся.

Решение: В самом деле, каково бы ни было число Высшая математика вне его Высшая математика-окрестности, например при Высшая математика заведомо лежит бесконечное множество элементов данной последовательности (хотя среди них и много равных между собой); это означает, что Высшая математика не является ее пределом.

Пример 13.3. Найти Высшая математика

Разделив числитель и знаменатель дроби на Высшая математика и применив формулы (13.4) - (13.8), получим

Высшая математика

Предел функции

Постоянная b называется пределом функции Высшая математика при Высшая математика (или в точке Высшая математика), если для любого числа Высшая математика существует такое число Высшая математика что при всех х, удовлетворяющих условию

Высшая математика

выполняется неравенство

Высшая математика

Предел функции Высшая математика при х, стремящемся к Высшая математика обозначают:

Высшая математика

Рассматривают также односторонние пределы функций: предел слева Высшая математика (х стремится к Высшая математика оставаясь меньше Высшая математика) и предел справа Высшая математика (х стремится к Высшая математика оставаясь больше Высшая математика). Если односторонние пределы равны: Высшая математика то предел функции Высшая математика в точке Высшая математика существует и равен Высшая математика Если односторонние пределы различны или хотя бы один из х -* а них не существует, то не существует и предел функции в соответствующей точке.

Если с - постоянная величина, то Высшая математика

Если функции Высшая математика имеют пределы при Высшая математика то

Высшая математика

Из (13.10) следует, что

Высшая математика

Высшая математика

где m - натуральное число.

Если Высшая математика существует, то

Высшая математика

Число А называется пределом функции Высшая математика при х, стремящемся к Высшая математика или Высшая математика, если для любого числа Высшая математика можно указать положительное число N, такое, что при всех значениях х, удовлетворяющих условию | х | > N , выполнялось неравенство Высшая математика

Пример 13.4. Найти Высшая математика

Решение: Применяя формулы (13.9), (13.12), (13.14), получаем

Высшая математика

Пример 13.5. Найти Высшая математика

Решение: С помощью формулы (13.11) и формул, указанных в примере 13.4, находим

Высшая математика

Пример 13.6. Высшая математика

Решение: При х = 1 числитель и знаменатель дроби равны нулю, имеем неопределенность вида Высшая математикаЧтобы раскрыть ее, предварительно преобразуем данную дробь, разложив многочлены на множители:

Высшая математика

Переходя к пределу, получаем

Высшая математика

Пример 13.7. Найти Высшая математика

При Высшая математика числитель н знаменатель дроби обращаются в нуль, имеем неопределенность вида Высшая математика Чтобы раскрыть эту неопределенность, предварительно преобразуем дробь:

Высшая математика

Переходя к пределу с использованием формулы (13.15), находим

Высшая математика

Бесконечно малые функции и их свойства

Функция Высшая математика называется бесконечно малой при Высшая математика (или при Высшая математика), если ее предел равен нулю:

Высшая математика

Например, функция Высшая математика есть бесконечно малая при Высшая математика так как Высшая математика функция Высшая математика является бесконечно малой при Высшая математикапоскольку