Высшая математика

Высшая математика - это курс обучения в средней или высшей школе, включающий высшую алгебру и математический анализ и теорию вероятности. Высшая математика обычно включает элементы аналитической геометрии, высшей алгебры и линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, теории множеств, теории вероятностей и математической статистики.

Подборка лекций, задач и примеров по высшей математике призвана улучшить понимание изучаемого предмета. Многие примеры и задачи иллюстрируют связь между математикой и другими дисциплинами. Все это делает эту страницу полезной для самостоятельного изучения высшей математики студентами вне университета и школьниками вне школы. Отличительной особенностью является то, что, в отличие от других сайтов, эта страница содержит значительное количество практических задач по высшей математике и представляет собой сочетание традиционных лекций и сборников задач, таким образом, сочетая в себе традиционные лекции и сборники задач по высшей математике, содержащие подробные решения рассматриваемых заданий и примеров по предмету высшая математика. 

Содержание:

• Краткий курс лекций по высшей математике с примерами решения

1. Алгебра средняя школа
2. Геометрия. Планиметрия средняя школа
3. Аналитическая геометрия
4. Аналитическая геометрия в пространстве
5. Линейная алгебра
6. Математический анализ
7. Дифференциальные уравнения
8. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
9. Дифференциальное исчисление функции многих переменных
10. Интегральное исчисление
11. Матрицы и их применение
12. Системы линейных алгебраических уравнений
13. Векторная алгебра
14. Пределы
15. Функции одной переменной. Дифференцирование
16. Исследование функций и построение графиков
17. Функции нескольких переменных
18. Неопределенный интеграл
19. Определенный и несобственный интеграл
20. Кратные и криволинейные интегралы
21. Комплексные числа
22. Ряды
23. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Некоторые виды ОДУ и методы их решения
24. Системы ОДУ
25. Элементы теории множеств и комбинаторики
26. Случайные события и действия с ними
27. Случайные величины
28. Элементы вычислительной математики

• Полный курс лекций по высшей математике с примерами и образцами решения

1. Аналитическая геометрия в высшей математике
2. Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве
3. Координаты на прямой
4. Координаты на плоскости
5. Расстояние между двумя точками на плоскости
6. Деление отрезка в данном отношении
7. Центр тяжести системы масс
8. Площадь треугольника
9. Уравнение линии в декартовых координатах
10. Пересечение линий
11. Уравнение линии в полярных координатах
12. Параметрические уравнения линии
13. Преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости
14. Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
15. Расстояние между двумя точками в пространстве
16. Цилиндрические асферические координаты
17. Линии на плоскости
18. Прямая на плоскости
19. Окружность
20. Эллипс
21. Гипербола
22. Парабола
23. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы
24. Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка
25. Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат
26. Упрощение общего уравнения второй степени
27. Некоторые алгебраические линии высших порядков
28. Некоторые трансцендентные линии
29. Векторы
30. Основные понятия
31. Линейные операции над векторами
32. Проекция вектора на ось
33. Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора
34. Переход от векторных соотношений к координатным
35. Скалярное произведение двух векторов
36. Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат
37. Векторное произведение двух векторов
38. Смешанное произведение трех векторов
39. Линейная зависимость векторов
40. Аффинные координаты
41. Поверхности и линии в пространстве
42. Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве
43. Параметрические уравнения линии и поверхности
44. Различные виды уравнения плоскости
45. Различные виды уравнении прямой в пространстве
46. Задачи, относящиеся к плоскостям
47. Задачи, относящиеся к прямым в пространстве
48. Задачи на прямую и плоскость
49. Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения
50. Поверхности второго порядка
51. Некоторые другие поверхности
52. Алгебра в высшей математике
53. Матрицы и определители
54. Матрицы. Основные определения
55. Линейные действия над матрицами
56. Произведение матриц. Многочлены от матриц
57. Определители и их свойства
58. Обратная матрица
59. Ранг матрицы
60. Системы линейных уравнений
61. Линейные системы. Основные определения
62. Матричная запись линейной .системы
63. Невырожденные линейные системы
64. Произвольные линейные системы
65. Метод Гаусса
66. Комплексные числа
67. Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними
68. Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа
69. Геометрическое изображение комплексных чисел
70. Действия над комплексными числами
71. Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа
72. Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме
73. Алгебраические уравнения
74. Алгебраические многочлены
75. Корни многочлена. Теорема Безу
76. Квадратные уравнения
77. Кубические уравнения
78. Уравнения четвертой степени
79. Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители
80. Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей
81. Линейные пространства
82. Линейное пространство. Подпространство
83. Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства
84. Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств
85. Координаты вектора линейного пространства
86. Ранг системы векторов линейного пространства
87. Преобразование координат вектора при изменении базиса
88. Евклидово пространство
89. Унитарное пространство
90. Линейные преобразования (линейные операторы)
91. Линейное преобразование и его матрица
92. Линейное преобразование в координатах
93. Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы
94. Характеристическое уравнение линейного преобразования
95. Собственные векторы линейного преобразования
96. Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду
97. Действия над линейными преобразованиями
98. Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному
99. Ортогональные матрицы
100. Ортогональные преобразования
101. Квадратичные формы
102. Квадратичная форма и ее матрица
103. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных
104. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду
105. Закон инерции квадратичных форм
106. Знакоопределенные квадратичные формы
107. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных
108. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости
109. Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве
110. Группы
111. Понятие группы. Основные определения
112. Примеры групп
113. Подгруппа
114. Группы преобразований. Симметрическая группа -й степени
115. Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника
116. Изоморфизм групп
117. Разложение группы по подгруппе
118. Нормальный делитель
119. Классы сопряженных элементов
120. Фактор-группа
121. Гомоморфизм групп
122. Представления групп
123. Математический анализ в высшей математике
124. Функции и пределы
125. Понятие функции. Основные определения
126. Предел последовательности
127. Предел функции
128. Бесконечно малые функции и их свойства
129. Сравнение бесконечно малых функций
130. Бесконечно большие функции
131. Основные теоремы о пределах функций
132. Некоторые важные пределы
133. Непрерывность функции
134. Точки разрыва функции
135. Показательная функция. Гиперболические функции
136. Производные и дифференциалы
137. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
138. Основные правила дифференцирования
139. Основные формулы дифференцирования
140. Дифференциал функции
141. Основные теоремы дифференциального исчисления
142. Формула Тейлора для некоторых функций
143. Приближенные формулы
144. Приложения производной
145. Правило Лопитапя - Бернулли
146. Признаки постоянства, возрастания и убывания функции
147. Экстремум функции
148. Направления выпуклости, точки перегиба
149. Асимптоты
150. Исследование функций и построение их графиков
151. Задачи на наибольшие и наименьшие значения
152. Дифференциал длины дуги кривой
153. Кривизна плоской кривой
154. Окружность кривизны. Центр и радиус кривизны. Эволюта и эвольвента
155. Переменная векторная величина.
156. Дифференцирование вектор-функций
157. Уравнения касательной к пространственной линии. Кривизна пространственной линии
158. Неопределенный интеграл
159. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов
160. Метод подстановки
161. Метод интегрирования по частям
162. Интегрирование рациональных дробей с квадратным трехчленом в знаменателе
163. Интегрирование рациональных функций
164. Интегрирование простейших иррациональных функций
165. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
166. Определенный интеграл
167. Определенный интеграл, его геометрический смысл и свойства
168. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
169. Формула Ньютона - Лейбница
170. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям
171. Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем
172. Несобственные интегралы
173. Интегралы Эйлера
174. Площадь криволинейной фигуры
175. Длина дуги кривой
176. Объем тела. Площадь поверхности вращения
177. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
178. Множества в -мерном пространстве
179. Понятие функции нескольких переменных
180. Предел и непрерывность функции нескольких переменных
181. Частные производные функции нескольких переменных
182. Полный дифференциал функции нескольких переменных
183. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора
184. Дифференцирование неявных и сложных функций
185. Экстремум функции нескольких переменных
186. Условный экстремум
187. Касательная плоскость и нормаль к поверхности
188. Семейства линий и их огибающие. Семейства поверхностей и их огибающие
189. Двойной интеграл
190. Понятие двойного интеграла, его геометрический и механический смысл
191. Вычисление двойного интеграла в декартовых прямоугольных координатах
192. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
193. Вычисление площадей плоских областей
194. Вычисление объемов тел
195. Вычисление площадей поверхностей
196. Приложения двойных интегралов в механике
197. Несобственные двойные интегралы
198. Тройной интеграл
199. Понятие тройного интеграла. Оценка тройного интеграла
200. Вычисление тройного интеграла в декартовых прямоугольных координатах
201. Замена переменных в тройном интеграле
202. Приложения тройных интегралов
203. Криволинейные интегралы
204. Криволинейные интегралы первого рода
205. Криволинейные интегралы второго рода
206. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
207. Приложения криволинейных интегралов
208. Интегралы по поверхности
209. Поверхностные интегралы первого рода
210. Поверхностные интегралы второго рода
211. Формула Стокса. Формула Остроградского
212. Приложения интегралов по поверхности
213. Числовые ряды
214. Основные понятия. Необходимый признак сходимости
215. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости. Признаки сравнения. Интегральный признак Коши
216. Признак Д’Аламбера. Признак Коши. Другие признаки
217. Знакопеременные ряды
218. Действия над рядами
219. Некоторые числовые ряды и их суммы
220. Функциональные ряды
221. Сходимость функциональных рядов
222. Равномерная сходимость функциональных рядов
223. Степенные ряды. Действия над степенными рядами
224. Ряд Тейлора. Ряд Маклорена
225. Применения рядов в приближенных вычислениях
226. Ряды Фурье
227. Степенные ряды с комплексной переменной
228. Дифференциальные уравнения в высшей математике
229. Дифференциальные уравнения первого порядка
230. Уравнение с разделяющимися переменными
231. Однородные уравнения
232. Линейные уравнения. Уравнение Бернулли
233. Уравнения в полных дифференциалах
234. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
235. Дифференциальные уравнения второго порядка
236. Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка. Случаи понижения порядка
237. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
238. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
239. Дифференциальные уравнения высших порядков
240. Системы дифференциальных уравнений
241. Основные понятия
242. Простейшие интегрируемые дифференциальные уравнения высших порядков
243. Линейные однородные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами
244. Линейные неоднородные уравнения -го порядка с постоянными коэффициентами
245. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
246. Нормальные системы дифференциальных уравнений
247. Применение матриц к решению систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
248. Дифференциальные уравнения с частными производными
249. Основные определения
250. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка
251. Линейные дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
252. Основные дифференциальные уравнения математической физики
253. Элементы векторного и тензорного анализа
254. Скалярное поле. Поверхности и линии уровня скалярного поля
255. Градиент скалярного поля. Производная по направлению
256. Векторное поле. Векторные линии
257. Поток векторного поля через поверхность. Дивергенция. Соленоидальное поле. Теорема Остроградского
258. Циркуляция векторного поля
259. Ротор векторного поля. Теорема Стокса
260. Потенциальное поле
261. Оператор Гамильтона. Операции второго порядка в векторном анализе. Оператор Лапласа
262. Полилинейные функции векторного аргумента. Понятие тензора
263. Действия над тензорами
264. Тензоры в евклидовом пространстве
265. Тензорное поле
266. Численные методы в высшей математике
267. Приближенное решение уравнений
268. Отделение корней уравнения
269. Метод хорд
270. Метод касательных
271. Метод итераций
272. Метод Чебышева
273. Интерполирование функций
274. Интерполяционный многочлен Лагранжа
275. Разности различных порядков. Разделенные разности
276. Интерполяционный многочлен Ньютона
277. Приближенное вычисление определенных интегралов
278. Формулы прямоугольников
279. Формула трапеций
280. Формула парабол
281. Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью рядов
282. Приближенное решение дифференциальных уравнений
283. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов
284. Метод Эйлера
285. Метод Рунге - Кутта
286. Теория вероятностей и математическая статистика в высшей математике
287. Случайные события и их вероятности
288. Классификация событий
289. Действия над событиями. Соотношения между событиями
290. Различные определения вероятности события
291. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей. Независимость событий
292. Формула полной вероятности. Формулы Бейеса
293. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики
294. Дискретные случайные величины
295. Функция распределения. Плотность распределения
296. Математическое ожидание случайной величины
297. Дисперсия случайной величины
298. Некоторые другие числовые характеристики
299. Некоторые законы распределения случайных величин
300. Основные теоремы теории вероятностей
301. Элементы математической статистики и математической обработки результатов измерений
302. Основные понятия математической статистики
303. Доверительный интервал. Доверительная вероятность
304. Оценка точного значения измеряемой величины
305. Оценки точности измерений
306. Эмпирические формулы
307. Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление
308. Элементы теории функций комплексной переменной
309. Понятие функции комплексной переменной. Предел и непрерывность
310. Основные элементарные функции комплексной переменной
311. Дифференцирование функций комплексной переменной
312. Интегрирование функций комплексной переменной
313. Интегральная формула Коши
314. Ряд Тейлора. Ряд Лорана
315. Нули функции. Особые точки
316. Вычеты функций
317. Элементы операционного исчисления
318. Оригинал и изображение
319. Основные правила и формулы операционного исчисления
320. Основные теоремы операционного исчисления
321. Решение дифференциальных уравнений и их систем
322. Некоторые оригиналы и их изображения в высшей математике
323. Некоторые математические знаки в высшей математике и даты их возникновения

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решений по предмету "Высшая математика". Если у вас нет времени на решение заданий по высшей математике - вы всегда можете попросить меня. Напишите мне в whatsapp, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня.

Краткий курс лекций по высшей математике с примерами решения

Выберите интересующую вас тему:

Алгебра средняя школа

1. Математика для чайников
2. Системы счисления
3. Приближённые вычисления
4. Целые числа
5. Как решать дробные уравнения
6. Рациональные числа
7. Разложение на множители
8. Формулы сокращенного умножения
9. Действия со степенями
10. Действия с корнями
11. Умножение логарифмов: пример решения
12. Логарифмы: примеры и решения
13. Свойства логарифмов
14. Метод интервалов
15. Решение дробных неравенств
16. Логарифмические неравенства
17. Тригонометрические неравенства
18. Таблица синусов и косинусов
19. Упростить выражение: пример упрощения
20. Формулы приведения
21. Как привести к общему знаменателю
22. Найти значение выражения
23. Решение кубических уравнений
24. Теорема Виета
25. Свойства корней
26. Уравнение 4 степени
27. Аналитическое решение уравнения
28. Решение систем уравнений
29. Методы решения тригонометрических уравнений
30. Знаки тригонометрических функций

Геометрия. Планиметрия средняя школа

1. Признаки равенства треугольников
2. Теорема Пифагора
3. Свойства прямоугольного треугольника
4. Как найти длину

Аналитическая геометрия

1. Простейшие задачи аналитической геометрии
2. Прямая линия на плоскости
3. Линии второго порядка
4. Декартова система координат: примеры решения
5. Полярная система координат: примеры решения
6. Переход к полярным координатам
7. Полярные координаты
8. Уравнение прямой
9. Уравнение прямой через две точки
10. Найдите координаты точки пересечения прямых
11. Найти угол между прямыми: примеры решения
12. Уравнение окружности и прямой
13. Уравнение эллипса
14. Каноническое уравнение эллипса
15. Каноническое уравнение параболы
16. Каноническое уравнение гиперболы
17. Уравнение гиперболы
18. Уравнение нормали: пример решения
19. Метод координат на прямой и его применение
20. Разложение вектора по базису

Аналитическая геометрия в пространстве

1. Уравнение плоскости
2. Уравнение плоскости по трем точкам
3. Прямая в пространстве
4. Прямые и плоскости в пространстве
5. Уравнение прямой в пространстве
6. Скрещивающиеся прямые
7. Расстояние между скрещивающимися прямыми
8. Формулы двойного угла
9. Поверхность второго порядка

Линейная алгебра

1. Арифметические n-мерные векторные пространства
2. Системы линейных уравнений
3. Решение разных задач методом гаусса
4. Матрицы
5. Матрицы и системы линейных уравнений
6. Определители
7. Применение определителей

Математический анализ

1. Понятие функции. Теория пределов
2. Предел числовой последовательности
3. Определение предела функции
4. Непрерывность функции
5. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
6. Производная от обратной функции
7. Дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически
8. Производные некоторых элементарных функций
9. Теоремы дифференциального исчисления
10. Возрастание и убывания функции на промежутке
11. Выпуклость и вогнутость графика функции
12. Эластичность функции
13. Линии и поверхности уровня
14. Предел функции двух переменных в точке
15. Частные производные функции многих переменных
16. Полное приращение и полный дифференциал функции многих переменных
17. Частные производные высших порядков
18. Экстремум функции многих переменных
19. Разностные уравнения
20. Гиперболические функции

Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения
2. Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1. Производная функции в точке
2. Производная и дифференциал
3. Производная и экономические задачи
4. Теоремы, связанные с понятием производной
5. Применение производных к исследованию функций
6. Построение графика функции

Дифференциальное исчисление функции многих переменных

1. Функции многих переменных
2. Дифференцирование функций многих переменных
3. Экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению
4. Метод наименьших квадратов

Интегральное исчисление

1. Неопределенный интеграл
2. Методы интегрирования
3. Интегрирование некоторых классов функций
4. Определенный интеграл
5. Методы определенного интегрирования
6. Приложения определенного интеграла

Матрицы и их применение

1. Действия над матрицами
2. Сложение матриц: примеры решения
3. Вычитание матриц: примеры решения
4. Единичная матрица: вид, примеры, онлайн
5. Умножение матриц
6. Матрица в математике: примеры решения
7. Умножение матрицы на вектор
8. Вычислить определитель матрицы
9. Вычислить определитель
10. Определитель матрицы примеры решения
11. Найти определитель матрицы
12. Нахождение обратной матрицы
13. Обратная матрица примеры решения
14. Как найти ранг матрицы: пример решения
15. Ранг матрицы: примеры решения
16. Матрица: пример решения
17. Собственные числа матрицы
18. Собственные векторы матрицы
19. Матрица перехода
20. Собственные значения матрицы
21. Жорданова форма матрицы
22. Критерий Сильвестра
23. Матрица смежности графа

Системы линейных алгебраических уравнений

1. Правило Крамера
2. Метод Крамера: пример решения
3. Решить систему уравнений методом Гаусса
4. Матричные уравнения: пример решения
5. Метод Гаусса: пример решения
6. Метод Жордана Гаусса
7. Система линейных уравнений
8. Фундаментальная система решений
9. Решение слау
10. Решение систем линейных уравнений

Векторная алгебра

1. Векторы
2. Координаты вектора
3. Длина вектора по координатам
4. Скалярное произведение векторов примеры решения
5. Векторное произведение векторов
6. Векторное произведение примеры решения
7. Умножение векторов: пример решения
8. Линейная комбинация векторов
9. Найти угол между векторами: пример решения
10. Компланарные векторы
11. Линейная зависимость векторов
12. Квадратичные формы
13. Прямоугольная система координат в пространстве

Пределы

1. Пределы в математике
2. Свойства пределов функции
3. Сложение и вычитание пределов
4. Вычисление пределов
5. Первый замечательный предел: пример решения
6. Второй замечательный предел: пример решения
7. Замечательные пределы примеры решения
8. Как решать пределы: пример решения
9. Пределы для чайников
10. Найти предел используя правило Лопиталя
11. Правило Лопиталя: пример решения
12. Решение пределов со степенями
13. Как решать пределы с корнями: в числителе
14. Примеры решений пределов с корнями
15. Предел логарифма: пример решения
16. Пределы: примеры решения
17. Пределы функций примеры решения
18. Множество
19. Линейные (векторные) n - мерные пространства
20. Линейные преобразования

Функции одной переменной. Дифференцирование

1. Матанализ для чайников
2. Область определения функции примеры решения
3. Как найти область определения функции: решение
4. Найти область определения функции
5. Область значения функции
6. Область допустимых значений
7. Непрерывность функции
8. Что такое производная
9. Определение производной
10. Найти производную функции
11. Найти производную функцию
12. Дифференцируемая функция: пример решения
13. Правила дифференцирования
14. Производная показательно степенной функции
15. Производная примеры решения
16. Производная функции
17. Производная частного
18. Как найти производную: примеры решения
19. Формулы производных
20. Таблица производных
21. Таблица производных полная: для студентов
22. Производная натурального логарифма
23. Производная неявной функции
24. Производная функции заданной неявно
25. Смешанная производная
26. Производная экспоненты
27. Производная показательной функции
28. Производная косинуса
29. Производная синуса
30. Производная котангенса: пример решения
31. Производная тангенса
32. Производная сложной функции примеры решений
33. Механический смысл производной
34. Физический смысл производной
35. Геометрический и физический смысл производной
36. Геометрический смысл производной в точке
37. Геометрический смысл производной
38. Контрольная производная и ее геометрический смысл
39. График производной функции
40. Найти первую и вторую производные функции
41. Производные высших порядков
42. Уравнения касательной и нормали
43. Дифференциал функции нескольких переменных
44. Дифференциал функции
45. Полный дифференциал функции: пример решения
46. Ряд тейлора примеры решения
47. Разложение в ряд Тейлора
48. Формула Тейлора
49. Ряд Маклорена
50. Разложение в ряд маклорена
51. Найти три первых отличных от нуля
52. Дифференциальное вычисление функции одной переменной
53. Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных

Исследование функций и построение графиков

1. Полное исследование функции
2. Полное исследование графика функции
3. Исследовать функцию на непрерывность: пример решения
4. Исследовать функцию на экстремум
5. Экстремум функции
6. Экстремум функции двух переменных
7. Экстремум функции трёх переменных
8. Исследование функции: пример решения
9. Исследование графика функции
10. Наибольшее значение функции
11. Наименьшее значение функции
12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке
13. Наибольшее и наименьшее значение функции
14. Экстремумы функции наибольшее и наименьшее значения
15. Найти оптимум функции
16. Выпуклость функции
17. Точки перегиба функции
18. Точки разрыва функции: примеры решения
19. Асимптоты графика функции
20. Преобразование графиков тригонометрических функций
21. Преобразование графиков функций
22. Элементарные преобразования графиков функций
23. Найдите координаты точки пересечения графиков

Функции нескольких переменных

1. Функции многих переменных
2. Частная производная функции
3. Частные производные первого порядка
4. Частные производные второго порядка
5. Найти частные производные
6. Условный экстремум
7. Метод Лагранжа
8. Метод множителей Лагранжа
9. Функция Лагранжа
10. Градиент функции: пример решения
11. Производная по направлению

Неопределенный интеграл

1. Неопределенный интеграл
2. Найти неопределенный интеграл: примеры решения
3. Найти неопределённый интеграл: пример решения
4. Как решать интегралы: обучение онлайн
5. Метод интегрирования
6. Интегралы для чайников
7. Замена переменной в неопределенном интеграле
8. Изменить порядок интегрирования
9. Внесение под знак дифференциала: подведение
10. Интегрирование по частям примеры решения
11. Интеграл произведения
12. Интеграл примеры решения
13. Таблица интегралов
14. Интеграл натурального логарифма
15. Интеграл от экспоненты
16. Интегрирование рациональных дробей
17. Интегрирование иррациональных функций
18. Интегрирование тригонометрических функций

Определенный и несобственный интеграл

1. Замена переменной в определенном интеграле
2. Вычислить определенный интеграл
3. Площадь криволинейной трапеции
4. Найти площадь фигуры ограниченной линиями
5. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями
6. Площадь фигуры ограниченной линиями
7. Определенный интеграл примеры решений
8. Решение определённых интегралов
9. Вычислить несобственный интеграл
10. Несобственный интеграл примеры решения
11. Несобственный интеграл первого рода
12. Несобственный интеграл второго рода

Кратные и криволинейные интегралы

1. Двойной интеграл: примеры решения
2. Интегрирование двойных интегралов
3. Вычислить двойной интеграл
4. Криволинейный интеграл: примеры решения
5. Вычислить криволинейный интеграл
6. Криволинейный интеграл 1 рода
7. Криволинейный интеграл 2 рода
8. Тройной интеграл
9. Формула Грина
10. Теорема Гаусса
11. Длина дуги кривой
12. Вычислить длину дуги кривой
13. Объём тела вращения
14. Вычислить объем тела
15. Найдите объем тела ограниченного
16. Площадь поверхности вращения: пример решения

Комплексные числа

1. Комплексные числа: примеры решения
2. Формы комплексного числа
3. Тригонометрические комплексные числа
4. Алгебраические комплексные числа
5. Показательные комплексные числа
6. Модуль комплексного числа
7. Теорема Муавра Лапласа
8. Формула Муавра

Ряды

1. Числовые ряды
2. Степенные ряды
3. Ряды математика
4. Сумма ряда
5. Найти сумму ряда: пример решения
6. Ряды: примеры решения
7. Сходимость ряда
8. Найти сходимость ряда
9. Признаки сходимости рядов
10. Предельный признак сравнения
11. Признак Даламбера: пример решения
12. Исследовать сходимость ряда по признаку Даламбера
13. Интегральный признак Коши
14. Исследовать ряд на сходимость: пример решения
15. Знакочередующиеся ряды
16. Сходимость знакочередующихся рядов
17. Признак Лейбница
18. Исследовать ряд на абсолютную сходимость
19. Исследовать ряд на условную сходимость
20. Степенные ряды
21. Построить ряд по степеням
22. Сходимость степенного ряда
23. Найти область сходимости ряда: пример решения
24. Интервал сходимости степенного ряда
25. Область сходимости ряда
26. Степенной ряд сходимость: пример решения
27. Функциональные ряды
28. Сходимость функционального ряда
29. Равномерная сходимость функционального ряда
30. Область сходимости функционального ряда
31. Ряд Фурье: примеры решения
32. Разложение в ряд фурье функций
33. Разложить в ряд фурье
34. Ряд фурье функции

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Некоторые виды ОДУ и методы их решения

1. Обыкновенные дифференциальные уравнения
2. Общее решение дифференциального уравнения
3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
4. Решение дифференциальных уравнений
5. Дифференциальные уравнения примеры с решениями
6. Дифференциальные уравнения второго порядка
7. Дифференциальные уравнения первого порядка
8. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
9. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка
10. Линейные дифференциальные уравнения
11. Дифференциальные уравнения высших порядков
12. Нелинейные дифференциальные уравнения
13. Однородные дифференциальные уравнения
14. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
15. Однородные дифференциальные уравнения второго порядка
16. Неоднородные дифференциальные уравнения
17. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах
18. Дифференциальное уравнение Бернулли
19. Уравнение Бернулли дифференциальные уравнения
20. Дифференциальные уравнения примеры решения
21. Метод вариации произвольных постоянных
22. Метод вариации постоянных
23. Коэффициент вариации
24. Метод вариации постоянных произвольных
25. Решение задачи Коши
26. Найти общее решение уравнения
27. Общее решение уравнения

Системы ОДУ

1. Системы дифференциальных уравнений
2. Системы линейных дифференциальных уравнений
3. Найти фундаментальную систему решений

Элементы теории множеств и комбинаторики

1. Операции над множествами
2. Таблица истинности логических выражений
3. Комбинаторика
4. Формулы комбинаторики

Случайные события и действия с ними

1. Как найти вероятность: пример решения
2. Формула Байеса
3. Формула Пуассона
4. Распределение Пуассона
5. Биномиальное распределение
6. Биномиальный закон распределения
7. Отрицательное биномиальное распределение

Случайные величины

1. Значения случайной величины
2. Случайная вероятность
3. Функция распределения
4. Функция распределения дискретной случайной
5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины
6. Дисперсия дискретной случайной величины
7. Дисперсия случайной величины
8. Формула дисперсии
9. Среднее квадратическое отклонение
10. Непрерывная случайная величина
11. Функция плотности распределения
12. Геометрическое распределение
13. Нормальный закон распределения
14. Нормальный закон распределения случайной величины
15. Нормальное распределение примеры решения
16. Равномерное распределение
17. Показательное распределение

Элементы вычислительной математики

1. Метод наименьших квадратов примеры решения
2. Метод неопределенных коэффициентов
3. Численные методы решения слау
4. Метод Ньютона
5. Метод Симпсона
6. Метод Эйлера
7. Частное решение дифференциального уравнения
8. Уравнение в полных дифференциалах
9. Формула Симпсона: пример решения
10. Симплекс метод: примеры решения
11. Алгебра логики
12. Реляционная модель данных
13. Реляционная алгебра
14. Дерево решений: метод и задачи
15. Метод Якоби
16. Уравнения в полных дифференциалах
17. Вычислить с точностью до 0.001

Полный курс лекций по высшей математике с примерами и образцами решения

Аналитическая геометрия

Координаты на прямой, на плоскости, в пространстве

Координаты на прямой

На прямой зафиксируем одно из двух определяемых ею направлений и назовем его положительным, другое - отрицательным. Прямую, на которой указано положительное направление, называют осью. Отрезок, ограниченный точками А и В, называют направленным отрезком или вектором, если указано, какая из данных точек является началом, какая - концом. Направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В обозначают AB. Величиной направленного отрезка AB некоторой оси называют его длину, взятую со знаком плюс, когда направление этого отрезка совпадает с положительным направлением данной оси, и со знаком минус, когда оно совпадает с отрицательным направлением оси. Величину направленного отрезка AB обозначают AB. Координатной осью называют прямую, на которой зафиксированы начало отсчета, положительное направление и выбран масштаб для измерения длин. Координатой точки М координатной оси (рис. 1.1) называют величину ОМ направленного отрезка ОМ, где О - начало координат. Если обозначить координату точки М через х, то по определению х = ОМ.

Запись М (х) означает, что точка М имеет координату х. Если даны две точки то величина направленного отрезка вычисляется по формуле

а расстояние между ними - по формуле

Простым отношением трех различных точек лежащих на одной прямой и взятых в указанном порядке, называют число

где - величины направленных отрезков Если точка М принадлежит отрезку простое отношение положительно так как числитель и знаменатель в последней формуле одного знака. В этом случае говорят, что точка М делит отрезок внутренним образом. Если точкаМ лежит вне отрезка , то (числитель и знаменатель в формуле имеют противоположные знаки); точка М делит отрезок внешним образом. Если точки совпадают, то Пусть - точки координатной оси Ох, тогда

откуда

Эта формула определяет координату точки М. делящей направленный отрезок в данном отношении Если точка М совпадает с серединой отрезка то поэтому ее координата определяется формулой

Пример 1.1. Даны две точки Найти величину направленного отрезка и расстояние между точками.

Решение: В данном случае по формулам (1.1) и (1.2) находим

Координаты на плоскости

Прямоугольными декартовыми координатами точки М называют числа, определяемые формулами

где - величина отрезка оси Ох, — величина направленного отрезка оси Оу (рис. 1.2). Полярная система координат на плоскости определяется точкой О (полюс), исходящим из нее лучом ОР (полярная ось), масштабным отрезком е и направлением отсчета углов (рис. 1.3).

Полярными координатами точки М, не совпадающей с полюсом, называют расстояние (полярный радиус) от точки М до полюса О и величину угла (полярный угол) между полярной осью ОР и лучом ОМ. Для полюса считают ( не определен). Полярный угол имеет бесконечное множество значений, главным значением его называют значение, удовлетворяющее условию При соответствующем выборе прямоугольной декартовой и полярной систем координат (рис. 1.4) связь между декартовыми координатами х и у точки М и ее полярными координатами выражается формулами

Пример 1.2. Найти прямоугольные декартовы координаты точек в системе, для которой полюс совпадает с началом координат, полярная ось - с положительной полуосью Ох.

Решение: Применяя формулы (1.7), находим координаты точки А:

Аналогично находим координаты точки В:

Расстояние между двумя точками на плоскости

В прямоугольной декартовой системе координат расстояние между двумя точками определяется формулой

В частном случае, когда одна из точек, например совпадает с началом координат, формула (1.9) принимает вид

Пример 1.3. Вычислить расстояние между точками и расстояние от точки до начала координат.

Решение: По формулам (1.9) и (1.10) получаем

Пример 1.4. Вычислить периметр треугольника с вершинами в точках

Решение: По формуле (1.9) находим

Следовательно, Р = а+b+с=12.

Деление отрезка в данном отношении

Отношением, в котором точка М, лежащая на прямой, проходящей через точки делитотрезок называют число определяемое формулой (1.3). Если даны точки то координаты точки М(х, у), делящей отрезок в отношении определяются формулами

Когда точка М является серединой отрезка то ее координаты вычисляют по формулам

Пример 1.5. Даны две точки На прямой найти точку М, которая в три раза ближе к чем к и находится вне отрезка Найти середину этого отрезка.

Решение: Искомая точка М делит отрезок в отношении По формулам (1.11), считая в них находим

С помощью формул (1.12) находим точку - середину отрезка

Пример 1.6. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника с вершинами в точках

Решение: Пусть S (х, у) - точка пересечения медиан АК, BL, СМ треугольника АВС (рис. 1.5, а). Так как точка L - середина отрезка АС, то она имеет координаты Отрезок BL точкой S делится в отношении Считая точку В первой, точку L второй, по формулам (1.11) находим

Следовательно, координаты точки пересечения медиан треугольника по координатам его вершин определяются формулами

Центр тяжести системы масс

Дана система масс помещенных соответственно в точках некоторой плоскости. Формулы, выражающие координаты центра тяжести этой системы масс, имеют вид

где знаком обозначена сумма однотипных слагаемых.

Пример 1.7. В вершинах треугольника АВС сосредоточены равные массы Найти центр тяжести этой материальной системы.

Решение: Формулы (1.14) при принимают вид

Используя условие получаем

Замечание. Из последнего примера и формул (1.13) следует, что центр тяжести данной системы находится в точке пересечения медиан треугольника.

Площадь треугольника

Каковы бы ни были три точки площадь треугольника АВС вычисляется по формуле

Правая часть формулы равна в.том случае, когда кратчайший поворот отрезка AB к отрезку АС положителен (рис. 1.5, а), и когда указанный поворот отрицателен (рис. 1.5, б). В формуле (1.15) берут знак плюс, когда выражение в квадратных скобках положительно, и минус, когда оно отрицательно.

Пример 1.8. Даны две точки А (3,5), В (6 ,- 2). На оси Оу найти такую точку С, чтобы площадь треугольника АВС равнялась 15 квааратным единицам. Пусть - искомая точка ( так как точка лежит на оси Оу). В формулу (1.15) подставим значения и найдем у:

Итак, условию задачи удовлетворяют координаты точек

Уравнение линии в декартовых координатах

Уравнением линии относительно фиксированной системы координат называют такое.уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки этой линии и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на данной линии. Уравнение линии в декартовых координатах в общем виде записывается так:

F (x, у) = 0,

где F (x, у) - функция переменных x и у.

Пример 1.9. Составить уравнение множества точек, равноудаленных от двух данных точек

Решение: Пусть - произвольная точка данного геометрического места. По условию По формуле (1.9) получаем

Подставляя эти выражения в равенство находим уравнение данного множества точек:

Упростим это уравнение. Возведем в квадрат обе части уравнения и раскроем скобки в подкоренных выражениях:

Произведя преобразования, получим Зx + у - 1 = 0. Это уравнение прямой линии.

Пример 1.10. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке С(а,Ь).

Решение: Пусть М (x, у) — произвольная точка данной окружности. По определению окружности (как множества точек, равноудаленных от данной точки) для любой ее точки имеем Выражая расстояние между точками М и С по формуле и подставляя его в левую часть данного равенства, получим уравнение которое можно записать так:

Уравнение (1.16) является уравнением окружности радиуса R с центром в точке С (а, Ь).

Если точка С совпадает с началом координат, то уравнение (1.16) принимает вид

Замечание. Если точка N (х, у) лежит внутри круга радиуса R с центром в начале координат, то ее координаты удовлетворяют неравенству если вне указанного круга, то неравенству

Пример 1.11. Точка М движется так, что в любой момент времени ее расстояние до точки А(4,0) вдвое больше расстояния до точки В (1,0). Найти уравнение траектории движения точки М.

Решение: Текущие координаты точки М в прямоугольной декартовой системе координат обозначим через х, у. По условию Выразим длины отрезков МА и МВ через координаты соответствующих точек с помощью формулы (1.9):

Подставляя эти выражения в равенство получаем уравнение траектории движения точки М: Упростим это уравнение, для чего возведем в квадрат обе части и приведем подобные члены

Итак, траекторией движения точки М является окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат.

Пересечение линий

Координаты точек пересечения двух линий, заданных уравнениями 'F (х, у) = 0, Ф (х, у) = 0, находят из системы этих уравнений

F (x ,y )= 0 , Ф (х,у) = 0. (1.18)

Число действительных решений равно числу точек пересечения. Если система (1.18) не имеет действительных решений, то данные линии не пересекаются.

Пример 1.12. Найти точки пересечения линий Из последнего уравнения выражаем у = - х + 4 и подставляем в первое уравнение: откуда Подставим эти значения в уравнение у = - х + 4 и найдем Следовательно, получены две точки пересечения М (1,3), N (3,1).

Пример 1.13. Найти точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получаем систему уравнений

Вычитая второе уравнение из первого, получаем -14х + 28 = 0, откуда х = 2. Второе уравнение системы при х = 2 сводится к квадратному относительно у: Решив его, найдем Следовательно, данные окружности пересекаются в точках

Уравнение линии в полярных координатах

Уравнение линии на плоскости в полярных координатах в общем виде можно записать так:

где - функция переменных ( - полярные координаты). Если это уравнение разрешимо относительно то его можно представить в виде

Пример 1.14. Составить уравнение прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей от нее отрезок, длина которого равна

Решение: Обозначим буквой А точку пересечения данной прямой с полярной осью ОР (рис. 1.6). Пусть - произвольная точка данной прямой. Из прямоугольного треугольника ОАМ находим, что Полученное уравнение является искомым; ему удовлетворяют координаты любой точки данной прямой и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей этой прямой.

Пример 1.15. Составить уравнение окружности радиуса касающейся полярной оси в полюсе, центр которой расположен выше полярной оси (рис. 1.7).

Решение: Пусть - произвольная точка окружности, ОА - диаметр окружности, равный Так как в треугольнике ОАМ угол при вершине М прямой, угол при вершине О равен то или Это искомое уравнение данной окружности.

Параметрические уравнения линии

Уравнения вида

называются параметрическими уравнениями линии, если при изменении t в некотором промежутке формулы (1.19) дают координаты любой точки данной линии и только таких точек.

Если линия задана уравнением в полярных координатах, то ее параметрические уравнения можно записать так:

В уравнениях (1.20) роль параметра играет полярный угол

Пример 1.16. Составить параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат.

Решение: Пусть М (х ,у ) - произвольная точка данной окружности, t - величина угла, образуемого отрезком ОМ и осью абсцисс, Р и Q — основания перпендикуляров, опущенных из точки М на координатные оси (рис. 1.8). Так как по определению х = ОР, у = OQ и OP = Rcost, OQ= Rsint, то x = Rcost, y = Rsint.

Следовательно, параметрические уравнения данной окружности имеют вид х= Rcost, у = Rsint, где

Исключив из этих уравнений параметр t (для чего возведем в квадрат оба равенства и почленно сложим), получим уравнение (см. уравнение (1.17)).

Пример 1.17. Составить параметрические уравнения циклоиды. Циклоидой называют линию, являющуюся траекторией фиксированной точки окружности радиуса R, катящейся по прямой.

Решение: Указанную прямую примем за ось Ох декартовой прямоугольной системы координат (рис. 1.9). Предположим, что фиксированная точка при начальном положении окружности находилась в начале координат, а после того как окружность повернулась на угол г, заняла положение М.

Поскольку х = OP = OK - РК, у = MP = CK - CN и OK = МК = Rt, PK=MN = Rsint, CK = R, CN = Rcost, то x = Rt-R sin t, y = R -R cos t, или

x = R (t-sin t), y = R (1-cost). (1.21)

Уравнения (1.21) называются параметрическими уравнениями циклоиды.

Преобразования декартовых прямоугольных координат на плоскости

Одна и та же точка имеет различные координаты в разных системах декартовых координат. Существует связь между координатами точки в разных системах координат.

Параллельный перенос. Пусть даны две системы декартовых прямоугольных координат с общим масштабным отрезком: Оху (старая) и (новая), соответствующие оси которых параллельны (рис. 1.10).

Положительные полуоси имеют одинаковые направления, начало новой системы находится в точке старые координаты которой (новые координаты ее равны нулю). Относительно таких систем говорят, что одна получена из другой путем параллельного переноса.

Старые координаты х, у точки М через ее новые координаты X ,Y и старые координаты нового начала выражаются формулами

откуда

Поворот координатных осей. Новая система получена путем поворота старой на угол вокруг точки О (рис. 1.11). Старые декартовы прямоугольные х, у точки М через ее новые координаты выражаются формулами

Чтобы выразить через х, у, необходимо разрешить систему (1.24) относительно . Можно сделать проще: считать систему старой, тогда переход к новой системе Оху совершается поворотом на угол поэтому в формулах (1.24) достаточно поменять местами записать вместо

В общем случае,, когда даны две системы Оху и (рис. 1.12), вводя промежуточную систему и применяя последовательно формулы (1.22) и (1.24), получаем

Замечание. Система координат Оху, в которой кратчайший поворот положительной полуоси Ох до совпадения с положительной полуосью Оу совершается против часовой стрелки, называется правой; если указанный поворот совершается по часовой стрелке, система называется левой. Формулы (1.25) остаются прежними, если обе системы координат являются левыми. Если одна система правая, другая левая, то в формулах (1.25) изменится знак перед так как в случае простейшего преобразования координат разноименных систем формулы имеют вид

Прямоугольные декартовы координаты в пространстве

Прямоугольная декартова система координат в пространстве определяется заданием масштаба (отрезка для измерения длин) и трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в определенном порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, сами оси - координатными осями, первая из них- осью абсцисс, вторая- осью ординат, третья-осью аппликат. Обозначим начало координат буквой О; координатные оси будем обозначать соответственно через Ох, Oy, Oz (рис. 1.13).

Пусть М - произвольная точка пространства; проведем через нее три плоскости, перпендикулярные координатным осям, и точки пересечения с осями обозначим соответственно через Прямоугольными декартовыми координатами точки М называются числа, определяемые формулами

где - величины направленных отрезков соответствующих координатных осей. Число х называется первой координатой или абсциссой, число у - второй координатой или ординатой, число z - третьей координатой или аппликатой точки М.

Координатные плоскости Оху, Oxz, Oyz делят все точки пространства, не принадлежащие этим плоскостям, на восемь частей, называемых октантами.

Начиная с I октанта, в котором все координаты положительны, пронумеруем октанты I, II, III, IV верхнего полупространства (z > 0) против часовой стрелки (для наблюдателя со стороны положительной оси Oz). В нижнем полупространстве (z < 0) проведем соответствующую нумерацию октантов V, VI, VII, VIII так, чтобы V находился под I, VI - под II, VII - под III, VIII - под IV. Знаки координат точек в различных октантах приведены в табл. 1.1.

Очевидно, знаки координат однозначно определяют октант пространства.

Расстояние между двумя точками в пространстве

Если -две любые точки пространства, то расстояние между ними определяется формулой

В частном случае, когда точка совпадает с началом координат то формула (1.26) принимает вид

Пример 1.18. Вычислить расстояние между точками и а также расстояние от точки до начала координат.

Решение: По формулам (1.26) и (1.27) соответственно получаем

Замечание. Формулы (1.26) и (1.27) упрощаются, когда точки лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей, или в самой этой плоскости. В этом случае получаем формулы (1.9) и (1.10).

Цилиндрические асферические координаты

В плоскости П фиксируем точку О и исходящий из нее луч ОР (рис. 1.14). Через точку О проведем прямую, перпендикулярную плоскости П, и укажем на ней положительное направление; полученную ось обозначим Oz. Выберем масштаб для измерения длин. Пусть М - произвольная точка пространства, N - ее проекция на плоскость П, - проекция на ось Oz. Обозначим через полярные координаты точки N в плоскости П относительно полюса О и полярной оси ОР. Цилиндрическими координатами точки М называются числа где - полярные координаты точки - величина направленного отрезка оси Oz. Запись обозначает, что точка М имеет цилиндрические координаты

Наименование «цилиндрические координаты» объясняется тем, что координатная поверхность (т. е. множество точек, имеющих одну и ту же первую координату ) является цилиндром (на рис. 1.14 он изображен штрихами).

Если выбрать систему прямоугольных декартовых координат так, как показано на рис. 1.14, то декартовы координаты х, у, z точки М будут связаны с ее цилиндрическими координатами формулами

Сферические координаты вводят следующим образом. Выберем масштаб для измерения длин отрезков, фиксируем плоскость П с точкой О и полуосью Ох, ось Oz, перпендикулярную плоскости П (рис. 1.15). Пусть М ~ произвольная точка пространства (отличная от О), N — проекция ее на плоскость П, - расстояние точки М до начала координат, - угол, образуемый отрезком ОМ с осью Oz, - угол, на который нужно повернуть ось Ох против часовой стрелки (если смотреть со стороны положительного направления оси Oz), чтобы она совпала с лучом ON; называется широтой, — долготой.

Сферическими координатами точки М называются три числа определенные выше. Если точка М имеет сферические координаты то пишут

Наименование «сферические координаты» связано с тем, что координатная поверхность (т.е. множество точек, имеющих одну и ту же координату является сферой (на рис. 1.15 одна из таких сфер изображена штрихами); фиксировав другое значение получим другую сферу.

Для того чтобы соответствие между точками пространства и тройками сферических координат было взаимно однозначным, обычно считают, что изменяются в следующих границах: Если выбрать оси прямоугольной декартовой системы координат так, как указано на рис. 1.15, то декартовы координаты х, у, z точки М связаны с ее сферическими координатами формулами

Линии на плоскости

Алгебраической линией (кривой) порядка называют линию, определяемую алгебраическим уравнением степени относительно декартовых координат. Линии первого порядка определяются уравнением Ах + Ву + С = О а линии второго порядка - уравнением ,

Линии первого порядка - прямые.. К линиям второго порядка относятся окружность, эллипс, гипербола, парабола.

Прямая на плоскости

Прямую линию на плоскости относительно системы декартовых прямоугольных координат можно задать различными способами. Прямая однозначно определяется углом, образуемым ею с осью Ох, и величиной направленного отрезка, отсекаемого на оси Оу, координатами двух точек и т. п.

Различные виды уравнения прямой иа плоскости. Прямая, параллельная оси Оу прямоугольной декартовой системы координат (рис. 2.1), пересекающая ось Ох в точке имеет уравнение

Угловым коэффициентом прямой называют тангенс угла наклона ее к положительной полуоси Ох прямоугольной декартовой системы координат

Угловой коэффициент прямой через координаты двух ее различных точек определяется формулой

Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид

где - угловой коэффициент, b = OD - величина направленного отрезка OB, отсекаемого на оси Оу (рис. 2.2).

Уравнение прямой, имеющей угловой коэффициент и проходящей через данную точку записывается так:

Уравнение прямой проходящей через две данные точки

Параметрические уравнения прямой проходящей через эти точки:

где принимает все действительные значения.

Уравнением прямой в отрезках называют уравнение

где - величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на оси Ох и оси Оу.

Общим уравнением прямой называют уравнение,

Ах + Ву+С= 0, (2.8)

в котором А и В одновременно в нуль не обращаются, т.е.

Пример 2.1. Составить параметрические уравнения сторон треугольника, вершины которого находятся в точках А (2, 3), В (4, 7), С (6,9).

Решение: Составим сначала уравнения прямых, на которых лежат стороны AB, ВС и АС соответственно. Используя уравнение (2.5), получаем

Обозначим буквой равные отношения, получим параметрические уравнения этих прямых:

Введя ограничения на изменение параметра получим уравнения соответствующих сторон треугольника AB, ВС, АС:

Пример 2.2. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямой, заданной уравнением .

Решение: Разделив это уравнение почленно на 21, получим

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.7), заключаем, что

Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Тангенс угла между двумя прямыми (рис. 2.3)

вычисляется по формуле

Необходимое и достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями вида (2.9), выражается равенством а условие их перпендикулярности - равенством

Если прямые заданы общими уравнениями

то тангенс угла между ними определяется формулой

Необходимое' и достаточное условие параллельности прямых, заданных уравнениями (2.12) и (2.13), выражается равенством

или

а условие их перпендикулярности - равенством

Отметим, что прямые Ах + Ву + С = 0, Вх - Ау + С = 0 перпендикулярны в силу условия (2.17).

Пример 2.3. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями 5х + Зу + 15 = 0, х + 4у-7 = 0.

Решение: Применяем формулу (2.14). Так как в данном случае то

Замечание. При другой нумерации прямых получаем Очевидно,

Пример 2.4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (4 ,-5 ) и параллельной прямой Зх + 4у + 12 = 0.

Решение: Искомое уравнение имеет вид Зх + 4у + С = 0, где С пока не определено. Вид уравнения следует из условия (2.16) при (считаем соответствующие коэффициенты равными). Чтобы найти значение С, необходимо подставить координаты точки М в искомое уравнение (точка М лежит на прямой, поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению этой прямой). Подставляя координаты х = 4, у = -5 в уравнение Зх + 4у + С = 0, получаем 3-4 + 4- (-5) + С = 0, откуда С = 8. Таким образом, уравнение прямой имеет вид Зх + 4у + 8 = 0.

Пример 2.5 Составить уравнение прямой, проходящей через точку М (-3,2) и перпендикулярной прямой 4х + 5у-7 = 0.

Решение: Искомое уравнение имеет вид 5х -4у + С = 0. Действительно, для прямых выполнено условие (2.17): 4-5+ 5-(-4) = 0. Точка М (-3,2) лежит на прямой 5х - 4у + С = 0, поэтому ее координаты должны удовлетворять этому уравнению: 5 (-3 )-4 -2 + С = 0. Отсюда находим, что С = 23. Итак, уравнение прямой принимает ввд 5х - 4у + 23 = 0.

Пример 2.6. Вершины треугольника находятся в точках А (3,4), Л (-2,1), С (-3 ,-5 ). Составить уравнение прямой, на которой лежит высота, опущенная из вершины В на сторону АС.

Решение: Найдем сначала угловой коэффициент прямой, проходящей через точки А и С. Считая точку А первой, точку С второй, т.е. полагая по формуле (2.2) получаем Прямая, на которой лежит высота, опущенная из точки В на сторону АС. будет перпендикулярна прямой, проходящей через точки А и С. Угловой коэффициент этой прямой обозначим через Используя условие перпендикулярности двух прямых, заданное формулой (2.11), находим

Составим уравнение прямой, проходящей через точку В (-2,1) и имеющей заданный угловой коэффициент Подставляя значения в уравнение (2.4), получаем

Расстояние от точки до прямой. Уравнения биссектрис углов между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой Ах + Ву + С= 0 вычисляют по формуле

Уравнения биссектрис углов между прямыми имеют вид

Пример 2.7. Найти расстояние от точки до прямой, заданной уравнением 4 х -З у -1 5 = 0.

Решение: Воспользуемся формулой (2.18). Так как в данном случае А = 4, В = - 3, С = - 15, то

Пример 2.8. Дан треугольник с вершинами P (2,-1), Q ( 6 ,-4 ), R (10,3). Найти длину высоты, опущенной из точки R.

Решение: Задача сводится к вычислению расстояния от точки R до прямой PQ. Запишем уравнение этой прямой. На основании уравнения (2.5) имеем или Расстояние точки R(10,3) до этой прямой вычислим по формуле (2.18)

Следовательно, длина высоты равна 8.

Замечание. Эту задачу можно решить н другими способами. Например, длину искомой высоты можно вычислить, зная площадь треугольника PQR и длину основания PQ. Эта же длина равна расстоянию между двумя точками R и М (М - основание высоты, опущенной из точки R на PQ). В свою очередь координаты точки М находятся в результате решения системы уравнений стороны PQ и высоты RM.

Пример 2.9. Составить уравнения биссектрис углов, образованных прямыми Зх - 4у - 7 = 0, 8х + 6у -1 = 0.

В соответствии с формулой (2.19) получаем

Преобразуя эти уравнения, находим

Отсюда получаем уравнения биссектрис

Задачи, относящиеся к прямым. Рассмотрим примеры решения задач, в условиях которых даны уравнения прямых.

Пример 2.10. Даны уравнения двух сторон параллелограмма х + 2у + 2 = 0 и х + у - 4 = 0 и уравнение одной из диагоналей х - 2 = 0. Найти координаты вершин параллелограмма.

Решение: Решая систему уравнений х + 2у + 2 = 0, х + у - 4 = 0, находим точку А (10, - 6) — одну из вершин параллелограмма. Две другие вершины найдем как точки пересечения данной диагонали со сторонами, т. е. определим их координаты из систем уравнений х + 2 у +2 = 0, х - 2 = 0; х + у - 4 = 0 , х - 2 = 0. Это будут точки В (2,2) и D (2,-2). Середина диагонали BD находится в точке S (2, 0). Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то четвертая вершина С (х, у) может быть найдена как конец отрезка АС по известному концу А и середине S: (х + 10)/2 = 2, (у + (-6))/2 = 0. Отсюда получаем х = —6, у = 6, т. е. точку С (-6, 6) - четвертую вершину параллелограмма ABCD.

Пример 2.11. Составить уравнение линии, расстояние каждой точки которой до точки А (2,0) относится к ее расстоянию до прямой 5х + 8 = 0 как 5:4.

Решение: Пусть М ( х ,у ) - произвольная точка данной линии, N-основание перпендикуляра, проведенного через точку М к прямой 5х+ 8= 0, или х = -8/5. Расстояния точки М до точки А и до прямой х = -8/5 определяются соответственно формулами (последнее равенство следует также из формулы (2.18)). По условию задачи откуда Преобразуем это уравнение:

Выделим полные квадраты в левой части полученного уравнения:

Последнее уравнение примет вид или если перейти к новым координатам X = х + 8, У = у.

Полученное уравнение определяет гиперболу с полуосями (см. уравнение (2.25)).

Окружность

Каноническим уравнением окружности радиуса R с центром в точке называют уравнение

Когда центр окружности находится в начале координат, уравнение принимает вид

Если уравнение второй степени, не содержащее члена с произведением координат и имеющее равные коэффициенты при т.е. уравнение определяет некоторую линию, то эта линия - окружность.

Пример 2.12. Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

Решение: Разделив обе части уравнения на 4 и выделив полные квадраты, получим

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.20), заключаем, что

Пример 2.13. Какое множество точек плоскости определяет уравнение

Так как это уравнение сводится к уравнению которому удовлетворяют лишь координаты х = 2, у = -5, то оно определяет единственную точку С (2 ,-5 ).

Эллипс

Эллипсом называют геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть постоянная величина.

Каноническое уравнение эллипса

где — большая, — малая полуоси (рис. 2.4).

Координаты фокусов эллипса, определяемого уравнением (2.21): т.е. где

Эксцентриситетом эллипса е называют отношение фокусного расстояния 2с к длине большой оси

Фокальными радиусами точки М эллипса называют отрезки прямых, соединяющих эту точку с фокусами . Их длины можно вычислить по формулам

Директрисами эллипса (2.21) называют прямые, определяемые уравнениями

Пример 2.14. Какую линию определяет уравнение ?

Решение: Разделим это уравнение почленно на 12: Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.21), заключаем, что оно определяет эллипс с полуосями

Найдем фокусы этого эллипса. Из формулы (2.22) следует, что поскольку в „ данном случае . Следовательно, фокусы эллипса находятся в точках

Пример 2.15. В прямоугольной декартовой системе координат построить линию, определяемую уравнением

Решение: Преобразуем это уравнение, возводя в квадрат обе его части:

Последнее уравнение определяет эллипс с полуосями Если решить это уравнение относительно у, получим

В условии задачи дано второе из этих уравнений. Оно определяет не весь эллипс, а только ту его часть, для точек которой т. е. половину эллипса, расположенную ниже оси Ох.

Пример 2.16. Записать каноническое уравнение эллипса, проходящего через точки

Решение: Каноническое уравнение эллипса имеет вид Так как точки М и N лежат на эллипсе, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:

Решая полученную систему уравнений, находим, что

Таким образом, получено каноническое уравнение эллипса

Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний до двух данных точек (фокусов) той же плоскости есть величина постоянная.

Каноническое уравнение гиперболы

где - действительная, b = OB - мнимая полуоси (рис. 2.5).

Координаты фокусов гиперболы (2.25): т. е. где

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния 2с к длине действительной оси

Асимптотами гиперболы называют прямые, определяемые уравнениями

Директрисами гиперболы называются прямые, определяемые уравнениями

Гипербола с равными полуосями называется равносторонней, ее каноническое уравнение имеет вид

Фокальные радиусы точки правой ветви гиперболы вычисляется по формулам

фокальные радиусы точки левой ветви — по формулам

Пример 2.17. Какую линию определяет уравнение ?

Решение: Разделив обе части уравнения на 36, получим Сравнивая это уравнение с уравнением (2.25), заключаем, что оно определяет гиперболу с действительной полуосью и мнимой полуосью

Пример 2.18. Найти полуоси, координаты фокусов и эксцентриситет гиперболы, заданной уравнением Вычислить длины фокальных радиусов точки

Решение: Разделив обе части уравнения на 20, получим Сравнивая это уравнение с уравнением (2.25), заключаем, что т. е. Из формулы (2.26) следует, что По формуле (2.27) находим Поскольку точка М лежит на левой ветви гиперболы, то при вычислении необходимо пользоваться формулами (2.32) Отметим, что

Пример 2.19. Записать уравнения асимптот и директрис гиперболы

Решение: Приводя уравнение гиперболы к каноническому виду (2.25), заключаем, что В соответствии с (2.28) записываем уравнения асимптот По формуле (2.26) находим а по формуле (2.27) - эксцентриситет Согласно (2.29), получаем уравнения директрис

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы), лежащих в той же плоскости. Уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через начало координат (рис. 2.6), имеет вид

уравнение ее директрисы

Парабола, определяемая уравнением (2.33), имеет фокус фокальный радиус ее точки вычисляется по формуле

Парабола, симметричная относительно оси Оу и проходящая через начало координат (рис. 2.7), определяется уравнением

Фокус этой параболы находится в точке уравнение директрисы имеет вид Фокальный радиус ее точки М (х, у) выражается формулой

Замечание. Каждое из уравнений определяет параболу.

Пример 2.20. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы Вычислить расстояние точки М (2,4) до фокуса.

Решение: Сравнивая уравнение с уравнением (2.33), находим, что 2р = 8, откуда р = 4, р /2 = 2. В соответствие с формулой (2.34) получаем уравнение х = -2 директрисы параболы, фокус параболы находится в точке F (2,0). Точка М (2,4) лежит на параболе, так как ее координаты удовлетворяют уравнению По формуле (2.3 5) находим фокальный радиус точки М:

Пример 2.21. Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы Вычислить расстояние точки М (6,9) до фокуса.

Решение: Сравнивая уравнение с уравнением (2.36), получаем откуда Следовательно, фокус параболы находится в точке F (0,1), уравнение директрисы имеет вид у = — 1, а фокальный радиус точки М:

Пример 2.22. Составить уравнение параболы, симметричной относительно оси Ох и проходящей через точки М (5, 4), N (15, - 6).

Решение: Так как парабола симметрична относительно оси Ох, то в ее уравнение у входит только во второй степени. Уравнение этой параболы имеет вид - некоторые постоянные. Найдем использовав условия задачи. Поскольку точки М и N лежат на параболе, то их координаты должны удовлетворять ее уравнению Из уравнений находим

Таким образом, данная парабола определяется уравнением

Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Пусть - дуга эллипса, гиперболы или параболы (рис. 2.8). Проведем через фокус F прямую, перпендикулярную директрисе точку их пересечения обозначим через А, проекцию точки М на эту прямую - буквой N. В точке F проведем перпендикуляр к прямой AN (оси линии обозначим буквой Р точку ее пересечения с дугой а длину отрезка FP - буквой и назовем ее фокальным параметром линии

Пусть — полярные координаты точки М в системе координат с полюсом в точке F и полярной осью FN, тогда

Уравнение (2.37) называется полярным уравнением эллипса, гиперболы, параболы (это уравнение определяет одну из двух ветвей гиперболы).

Отметим, что для параболы фокальный параметр совпадает с параметром р, входящим в уравнение (2.33), для эллипса и гиперболы, заданных соответственно уравнениями (2.21) и (2.25), он выражается формулой

Пример 2.23. Какую линию определяет уравнение в полярных координатах?

Решение: Разделим на 5 числитель и знаменатель правой части уравнения:

Сравнивая полученное уравнение с уравнением (2.37) и учитывая формулу (2.38), получаем откуда Поскольку то данное уравнение определяет эллипс с полуосями

Пример 2.24. Какую линию определяет уравнение в полярных координатах?

Решение: Разделив числитель и знаменатель правой части на 4, приведем это уравнение к виду (2.37):

Следовательно, Данное уравнение определяет гиперболу с полуосями

Некоторые другие виды уравнений линий второго порядка

Уравнение приводится к виду и определяет параболу с осью, параллельной оси

Уравнение приводится к виду и определяет параболу с осью, параллельной оси

Равносторонняя гипербола имеет уравнение (2.30), а в системе координат, осями которой являются ее асимптоты, определяется уравнением

Уравнение

приводится к виду (2.39) и определяет гиперболу.

Параметрические уравнения эллипса имеют вид

Параметрические уравнения гиперболы имеют вид

а также

где - гиперболические функции аргумента (см. п. 13.11).

Параметрические уравнения параболы можно записать так:

Уравнение

определяет эллипс при гиперболу при параболу при В случае это уравнение принимает вид

где а в случае имеют те же выражения.

Уравнение (2.40) называют уравнением эллипса, гиперболы, параболы, отнесенных к вершине; начало декартовой прямоугольной системы координат находится в вершине линии - точке пересечения с координатной осью (рис. 2.9).

Эллипс, гиперболу, параболу называют каноническими сечениями. В сечении конуса плоскостью, не проходящей через его вершину (рис. 2.10), получаются эти линии, а именно эллипс (сечение одной полости конуса плоскостью, не перпендикулярной его оси и не параллельно образующей), парабола (сечение плоскостью, параллельной его образующей), гипербола (речение плоскостью обеих полостей конуса)

Пример 2.25. Построить линию определяемую уравнением

Решение: Преобразуя это уравнение, получаем

Перейдем к новым координатам по формулам Х = х - 3 , Y = у —2. В новых координатах уравнение принимает вид оно определяет параболу. Строим системы координат последнею с началом в точке и саму параболу - в новой системе координат по ее каноническому уравнению (рис. 2.11).

Пример 2.26. Построить линию, определяемую уравнением

Решение: Преобразуя данное уравнение:

Переходя к новым координатам по формулам А' = х + 3, Y = у - 2, получаем уравнение определяющее гиперболу. Строим линию в системе координат (рис. 2.12), начало которой находится в точке

Пример 2.27. Какую линию определяет уравнение ?

Решение: Преобразуем это уравнение: (ху + х ) - (2 у + 2 ) - 12 = 0, х (у + 1 ) - 2 (у + 1) - 12 = 0, (у + 1 )(х -2 )-1 2 = 0, (х -2 )(у + 1)=12.

Переходя к новым координатам по формулам Х = х - 2 , Y = у + 1, получаем уравнение ХУ = 12, которое определяет гиперболу.

Упрощение уравнения второй степени, не содержащего члена с произведением координат

Рассмотрим уравнение второй степени относительно прямоугольных декартовых координат, не содержащее члена с произведением координат ху:

Перейдем к новой системе координат полученной из исходной путем параллельного переноса (см. рис. 1.10) начала в точку при котором старые координаты (х,у) точки М выражаются через ее новые координаты (X, У) формулами (1.22).

Уравнение (2.41) путем выделения полных квадратов может быть приведено к одному из следующих канонических уравнений:

в случае АС > 0 (линии эллиптического типа);

в случае АС < 0 (линии гиперболического типа);

в случае АС = 0, А = 0 (линии параболического типа).

Если С= 0, то уравнение (2.41) приводится к виду если и к одному из,уравнений когда Е = 0 .

Уравнение (2.42) определяет эллипс, уравнения (2.45) - гиперболы (с действительной осью ), уравнение (2.47) - параболу (с осью ), уравнения (2.46) - пару пересекающихся прямых уравнение (2.48) - пару параллельных прямых уравнение (2.49) - пару совпавших прямых уравнению (2.43) удовлетворяют координаты единственной точки X = 0, У = 0, уравнениям (2.44) и (2.50) не удовлетворяют координаты ни одной точки.

Пример 2.28. Построить линию, определяемую уравнением

Решение: Преобразуем это уравнение:

Перейдя к новым координатам по формулам Х = х - 2 , У = у + 1, получим уравнение определяющее гиперболу с полуосями (рис. 2.13). Центр гиперболы находится в точке, для которой Х = 0, У = 0.

Так как X = x - 2 , У = у +1, то откуда x = 2, y = - 1. Получена точка в которой находится начало новой системы координат.

Пример 2.29. Построить линию, определяемую уравнением

Решение: Выделяя полные квадраты в левой части уравнения, получаем

Перехрдя к новым координатам по формулам ,Х = х + 2, У = у - 2, последнему уравнению придадим вид Эго уравнение определяет эллидс с полуосями (рис. 2.14), Пенгрэллипед находится в точке, для которой Х = 0, У = 0, или х + 2 = 0, у - 2 = 0, откуда х = -2, у = 2, т. е в точке

Упрощение общего уравнения второй степени

Общее уравнение второй степени относительно прямоугольных декартовых координат х и у

при повороте координатных осей на угол для которого

преобразуется в уравнение являющееся уравнением вида (2.41).

Формулы преобразования координат имеют вид

причем

где определяемся формулой (2.52)

Уравнение (2.51) определяет или пустое множество, или точку, или пару прямых (пересекающихся, паралельных, совпавших), или одну из линий (окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Пару прямых называют распадающейся линией второго порядка.

Пример 2.30. Построить линию, определяемую уравнением

Решение: Это частный случай уравнения (2.51), для которого По формуле (2.52) имеем Возьмем тогда Формулы (2.53) принимают вид

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем

Преобразуем левую часть последнего уравнения, выделив в ней полные квадраты:

Переходя к новым координатам по формулам

последнее уравнение записываем так:

Каноническое уравнение (III) определяет эллипс с полуосями Построим этот эллипс относительно новой системы декартовых прямоугольных координат Угол наклона оси к оси Ох уже известен осталось определить старые координаты точки В системе эта точка (центр эллипса) имеет координаты X = 0, Y = 0. По формулам (II) имеем откуда С помощью формул (I) находим координаты точки в старой системе координат Оху:

Строим новую систему координат и сам эллипс по его каноническому уравнению (III) (рис. 2,15).

Пример 2.31. Построить линию, определяемую уравнением

Решение: В данном случае А = 3, 2В=4, С = 0. По формуле (2.52) находим В формулы (2.53) входят Найдем их значения с помощью формул (2.54) и (2.55), в которых знак можно выбрать по своему усмотрению. Выбрав везде знак плюс, получим

Формулы (2.53) принимают вид

Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

Перейдем к новым координатам по формулам

Последнее .уравнение в новых координатах примет вид

Это каноническое уравнение определяет гиперболу с полуосями причем действительной осью будет ось Построим гиперболу в новой системе координат Найдем сначала старые координаты точки в которой находится центр гиперболы. Для этой точки X = 0, Y = 0. По формулам (V) получаем С помощью формул (IV) находим

Через точку проводим ось для которой и ось перпендикулярную оси В системе координат строим гиперболу по ее каноническому уравнению (рис. 2.16).

Пример 2.32. Построить линию, определяемую уравнением

Решение: Поскольку А = 1, 2В = -2, С = 1, то по формуле (2.52) Формулы (2.53) принимают вид

Подставим эти выражения в исходное уравнение и преобразуем его:

Перейдем к новым координатам по формулам

В новых координатах последнее уравнение принимает вид

Это уравнение определяет параболу. Вершина параболы находится в точке, для которой X = О, Y = О. Найдем старые координаты этой точки. По формулам (VII) находим С помощью формул (VI) получаем

Строим систему координат и параболу по ее каноническому уравнению (рис. 2.17).

Некоторые алгебраические линии высших порядков

Декартов лист - линия, определяемая в прямоугольной декартовой системе координат алгебраическим уравнением

В полярных координатах уравнение принимает вид

Декартов лист можно задать и параметрическими уравнениями

Линия эта изображена на рис. 2.18.

Циссоида. Рассмотрим окружность с диаметром и касательную к ней в точке А (рис. 2.19). Из точки О проведем луч OB, точку его пересечения с окружностью обозначим буквой С. На этом луче отложим отрезок

Проведя другой луч и выполнив аналогичное построение, получим точку Таким способом можно построить сколько угодно точек. Множество точек называют циссоидой. Построив достаточное число указанных точек и соединив их плавной линией, получим циссоиду (см. рис. 2.19).

Уравнение циссоиды в декартовых прямоугольных координатах имеет вид

в полярных координатах

Параметрические уравнения циссоиды

или

где — полярный угол.

Строфоида. Рассмотрим точку А и прямую не проходящую через данную точку (рис. 2.20). Обозначим буквой С точку пересечения перпендикуляра к прямой проведенной в точке А, а длину отрезка Вокруг точки А вращается луч, на котором откладываются отрезки от точки В пересечения с данной прямой так, что Каждому положению луча соответствует пара точек построенных указанным способом. Множество пар точек называют строфоидой. Точки при этом называют сопряженными. Построив достаточное число точек и соединив их плавней линией, получим строфоиду (см. рис. 2.20). Название «строфоида» происходит отгреческого слова - поворот.

Уравнение строфоиды в полярных координатах

в декартовых координатах

Параметрические уравнения строфоиды

Версьеря. Рассмотрим окружность с диаметром и отрезок ВМ, построенный так, что (рис. 2.21). Множество точек М называют версьерой.

В прямоугольных декартовых координатах уравнение версьеры имеет вид

Параметрические уравнения версьеры

где роль параметра играет первая координата.

Рассматриваемую линию называют так же «локоном Аньези» в честь первой в Европе женщины, получившей известность благодаря заслугам на поприще математики.

Лемниската Бернулли — множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоянная величина, равная квадрату половины расстояния между данными точками.

В декартовых прямоугольных координатах лемниската Бернулли (рис. 2.22) имеет уравнение

в полярных

При другом выборе системы координат (рис. 2.23) эта линия определяется соответственно уравнениями

Название линии происходит от греческого слова - повязка, бант. Линия названа по имени ученого, открывшего ее. Уравнение лемнискаты впервые встречается в статье Я. Бернулли, опубликованной в 1694 г. в журнале «Acta eruditorum» («Труды ученных»).

Овал Кассини - множество всех точек плоскости, для каждой из которых произведение расстояний до двух данных точек той же плоскости есть постоянная величина.

Уравнение овала Кассини в декартовых координатах

в полярных

Вид овала Кассини зависит от соотношения между постоянными В случае овал имеет форму замкнутой линии, симметричной относительно осей координат (рис. 2.24). При получаем лемнискату Бернулли. В случае овал состоит из двух замкнутых линий.

Овалы Кассини названы в честь французского ученного, впервые рассмотревшего их. Жан Доминик Кассини (1625 — 1712) открыл эти линии при попытке определить орбиту земли.

Конхоида. В плоскости фиксируем прямую и точку О, отстоящую от этой прямой на расстоянии (рис. 2.25, а). Проведем луч OK, пересекающий прямую в точке К. На луче от точки К, по обе стороны от нее, отложены два отрезка таких, что где - заданное число. Вращая луч вокруг точки О (от 0 до 180° ) и проводя аналогичные построения (при одном и том же значении получим линию, описываемую точками М и которую называют конхоидой. Точку О при этом называют полюсом конхоиды, а прямую - ее базисом. Линия эта состоит из двух ветвей: одну ветвь описывает точка М, другую- точка

Уравнение конхоиды в полярных координатах

знак плюс - для верхней ветви, минус - для нижней. Форма конхоиды зависит от соотношения между параметрами При линия имеет вид, изображенный на рис. 2.25, б, в.

В прямоугольных декартовых координатах конхоида имеет уравнение

Линию эту называют конхоидой Никомеда, по имени древнегреческого геометра, впервые открывшего ее.

Улитка Паскаля. Рассмотрим окружность радиуса с центром в точке С (рис. 2.26). Выберем на данной окружности точку О. Представим себе, что вокруг точки О вращается луч ОМ. В каждом его положении от точки N пересечения луча и окружности откладываем отрезок где - заданное положительное число. При повороте луча от 0 до 180° получим множество точек М. При дальнейшем' повороте луча от 180 до 360°, откладывая отрезок длины по направлению луча, мы фактически будем откладывать его в сторону, противоположную

прежней, т. е. и получим точки Множество точек называют улиткой Паскаля.

Уравнения улитки Паскаля:

Форма улитки Паскаля зависит от соотношения между параметрами (рис. 2.26), (рис. 2.27), (рис. 2.28).

Линия названа в честь Этьена Паскаля — французского математика-любителя, отца знаменитого Блеза Паскаля.

Кярдмодя - линия, описываемая точкой М окружности радиуса катящейся по окружности с таким же радиусом (рис. 2.29). Параметрические уравнения кардиоды

в полярных координатах

в декартовых координатах

Уравнение также определяет кардиоду в полярной системе координат с полюсом в той же точке и противоположно направленной полярной осью.

Калпа - линия, представляющая собой множество точек касания касательных, проведенных из данной точки к окружности заданного радиуса, центр которой перемещается по фиксированной прямой, проходящей через эту точку (рис. 2.30).

Линия эта шиюминагг треческую букву к (каппа), откуда и происходит ее название.

Параметрические уравнения каппы

в полярных координатах

в декартовых координатах

Роза - линия, заданная полярным уравнением или уравнением где - положительные числа. Роза целиком расположена в круге радиуса так как Роза состоит из конгруэнтных лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен Количество этих лепестков зависит от числа Если - целое число, то роза состоит из лепестков при нечетном и из лепестков при четном (рис. 2.31, а, б). Если - рациональное число, причем то роза состоит из лепестков в случае, когда - нечетные числа, или из лепестков, если одно из чисел будет четным. При этом в отличие от предыдущего случая каждый следующий лепесток будет частично покрывать предыдущий (рис. 2.31, в~е).

Если число является иррациональным, то роза состоит из бесконечного множества лепестков, частично накладывающихся друг на друга.

Четырехлепестковой розой (см. рис. 2.31, б) называют линию, определяемую полярным уравнением

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Четырехлепестковая роза образуется множеством оснований перпендикуляров, опущенных из вершины О прямого угла на отрезок постоянной длины, концы которого скользят по двум взаимно перпендикулярным прямым, пересекающимся в точке О.

Трехлепеспсовой розой (см. рис. 2.31. а) называют линию, определяемую уравнением

В декартовых координатах линия имеет уравнение

Астроида. Прямоугольник, две стороны которого лежат на двух взаимно перпендикулярных прямых, деформируется так, что его диагональ сохраняет постоянную длину . Множество точек - оснований перпендикуляров, опущенных из вершины прямоугольника на его диагональ, называют астроидой (рис. 2.32, а)

Астроида имеет параметрические уравнения

Исключив из этих уравнений параметр получим уравнение астроиды в прямоугольных координатах:

Освобождаясь от дробных показателей, находим

Астроиду можно рассматривать как траекторию точки окружности радиуса (рис. 2.32, б), катящейся по внутренней стороне другой окружности, радиус R которой в четыре раза больше

Параметрическое уравнение астройды в этом случае

Гипоцнклоида - плоская линия, описанная фиксированной точкой окружности радиуса катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R внутри ее (рис. 2.33, где М - вычерчивающая точка, А - ее исходное положение, - угол поворота окружности, AM - дуга линии).

Параметрические уравнения гипоциклоиды

где Форма кривой зависит от значения Если - взаимно простые числа), тогда М после q полных оборотов окружности возвращается в исходное положение и гипоциклоида - замкнутая линия, состоящая из q ветвей с q точками возврата при (рис. 2.34); при вместо q точек возврата линия имеет q других точек (рис. 2.35). При линия вырождается в диаметр неподвижной окружности, при является астроидой (см. рис. 2.32). При иррациональном т число ветвей бесконечно, точка М в исходное положение не возвращается. Обобщением гипоциклоиды является гипотрохоида.

Гипотрохоида - плоская линия- траектория точки, жестко связанной с окружностью радиуса катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R внутри ее, причем вычерчивающая точка М находится на расстоянии h от центра окружности радиуса При кривая называется удлиненI ной гипоциклоидой (рис.2.36, ), при - укороченной (рис.2.37, ). Параметрические уравнения гипотрохоиды

где При линия является эллипсом, при h = R + r- розой (см. рис. 2.31).

Эпициклоида - плоская линия - траектория фиксированной точки окружности радиуса катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R вне ее (рис. 2.38, где М - вычерчивающая точка, А - ее исходное положение, - угол поворота окружности, AM - дуга кривой).

Параметрические уравнения эпициклоиды

где m = r/R. Форма кривой зависит от значения (рис. 2.39, а; = 1/3, рис. 2.39, б; = 2/3). Если = p/q (р и q - взаимно простые числа), точка М после q полных оборотов окружности возвращается в исходное положение и эпициклоида - замкнутая линия, состоящая из q ветвей с q точками возврата. При = 1 кривая является кардиодой (см. рис. 2.29). При иррациональном число ветвей бесконечно, точка М в исходное положение не возвращается. Обобщением эпициклоиды является эпитрохоида.

Эпитрохоида - плоская кривая - траектория точки, жестко связанной с производящей окружностью радиуса катящейся без скольжения по другой неподвижной окружности радиуса R вне ее, причин вычерчивающая точка М находится на расстоянии h от центра производящей окружности. При , линия называется удлиненной эпициклоидой (рис. 2.40, а; = 1/4 ), при - укороченной эпициклоидой (рис. 2.40, б; = 1/4 ). Параметрические уравнения эпитрохоиды

где При r = R линия является улиткой Паскаля (см. рис. 2.27,2.28), при h = R + r - розой (см. рис. 2.31).

Некоторые трансцендентные линии

Трансцендентной называется линия, уравнение которой в прямоугольных декартовых координатах не является алгебраическим. Простейшими примерами трансцендентных линий могут служить графики функций и других тригонометрических функций.

Спираль Архимеда - траектория точки М, равномерно движущейся по прямой, которая равномерно вращается вокруг фиксированной точки О (рис. 2.41).

Уравнение спирали Архимеда в полярных координатах

в декартовых координатах

Циклоида - траектория фиксированной точки окружности, которая без скольжения катится по прямой (см. пример 1.17, уравнения (1.21)).

Рассмотрим траекторию точки,, жестко связанной с окружностью, катящейся по прямой, но находящуюся не на самой окружности, а на расстоянии d от ее центра При d < R вычерчивающая точка находится внутри окружности, ее траекторию называют укороченной циклоидой (рис. 2.42, а). Если d > R, то вычерчивающая точка находится вне окружности; ее траекторию называют удлиненной циклоидой Рис. 2.41 (рис. 2.42, б). Эти линии определяются параметрическими уравнениями

Алгебраическая спираль - линия, определяемая алгебраическим уравнением относительно полярных координат.

К алгебраическим спиралям относится спираль Архимеда, так как ее уравнение является алгебраическим уравнением первой степени относительно Другими .простейшими алгебраическими спиралями являются линии, определяемые уравнениями:

(гиперболическая спираль, рис. 2.43);

(конхоида гиперболической спирали, рис. 2.44);

(спираль Галилея, рис. 2.45);

(спираль Ферма, рис. 2.46);

(параболическая спираль, рис. 2.47);

(жезл, рис. 2.48).

Логарифмической спираль (рис. 2.49) — линия, определяемая уравнением

Логарифмическая спираль пересекает полярные радиусы всех своих точек под одним и тем же углом. На этом свойстве основано ее применение в технике. Так, в различных режущих инструментах и машинах вращающиеся ножи имеют профиль, очерченный по дуге логарифмической спирали. В силу этого угол резания остается постоянным. Логарифмическая спираль применяется в теории механизмов при проектировании зубчатых колес с переменным передаточным числом (т.е. отношением их угловых скоростей). В природе некоторые раковины очерчены по логарифмической спирали (рис. 2.50).

Логарифмическая спираль впервые упоминается в письме Декарта к Мерсенну от 12 сентября 1638 г. (опубликовано в 1657 г.). Независимо от Декарта логарифмическая спираль была открыта Торричелли, который выполнил ее спрямление и квадратуру. Название «логарифмическая спираль» для данной линии предложил Лопиталь, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

Квадратриса. Дан отрезок AD длины середина которого находится в точке О (рис. 2.51, а). Отрезок ОА равномерно вращается вокруг точки О с угловой скоростью а прямая КС, перпендикулярная AD, одновременно начинает равномерно двигаться от точки А к точке D со скоростью оставаясь параллельной исходному направлению. Точка М пересечения вращающегося отрезка и движущейся прямой вписывает линию, которую называют квадратрисой.

Уравнение квадратрисы в декартовых координатах

в полярных координатах

Линия имеет бесконечное множество точек пересечения с осью ординат, так при Квадратриса изображена на рис. 2.51, б, а на рис. 2.51, а указана та часть линии, которая соответствует значениям аргумента Название линии дал Лейбниц.

Квадратрису впервые открыл Гиппий из Эллады (древнегреческий софист, | живший в V в. до н.э.) в поисках решения задачи о трисекции угла. К задаче о ' квадратуре круга эту линию применил древнегреческий геометр Динострат IV в. до н.э. В связи с этим линию называют квадратрисой Динострата.

Трактриса - линия, у которой длина касательной является постоянной величиной. Под длиной касательной понимают длину отрезка МТ, касательной между точкой касания М и точкой Т пересечения с осью Ох (рис. 2.52). Трактриса имеет параметрические уравнения

ее уравнение в прямоугольных декартовых координатах

Трактриса применяется в' одной из частей механизма карусельного токарного станка (рис. 2.53). Линия вертикального профиля антифрикционной пяты этого механизма обладает тем свойством, что длина ее касательной постоянна.

Трактриса сыграла выдающуюся роль в истории математики в связи с открытием Н.И. Лобачевским новой геометрии и последующим развитием учения о неевклидовых геометриях. Геометрия Лобачевского реализуется на псевдосфере, полученной вращением трактрисы вокруг ее асимптоты.

Трактриса была открыта в XVII в. Ее название происходит от латинского слова tracto - тащу, влеку.

Цепная линия - кривая, форму которой принимает под действием силы тяжести нить с закрепленными концами (рис. 2.54). В прямоугольных декартовых координатах цепная линия имеет уравнение

Длина дуги цепной линии от ее вершины до заданной точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке (рис. 2.55, s= MN). Проекция ординаты произвольной точки цепной линии на нормаль в этой точке является величиной постоянной, равной параметру цепной линии

Свойства цепной линии применяются в строительстве и технике. Они используются в расчетах, связанных с провисанием нитей-проводов, тросов и т.д. В строительной технике применяется также линия свода определяемая уравнением

Вопрос о форме линии провисания впервые рассмотрел Галилей (1638). Он полагал, что линия провисания является параболой. Против этого позже возражал Гюйгенс. Окончательное теоретическое решения вопроса о форме линии провисания дали Лейбниц, Гюйгенс, Я. Бернулли.

Векторы

Понятие вектора возникло как математическая абстракция объектов, характеризующихся величиной и направлением, например, таких как перемещение, скорость и т. п. Термин «вектор» ввел У. Гамильтон (около 1845 г.), обозначения: - Ж. Арган (1806), - А. Мебиус, - Коши (1853), - О. Хевисайд (1891)

Основные понятия

Вектором называется направленный отрезок. Если начало вектора находится в точке А, конец — в точке В, то вектор обозначается символом Начало вектора называют также точкой его приложения. Вектор иногда обозначается одной строчной буквой жирного шрифта а, b и т. д., или такой же буквой светлого шрифта с черточкой наверху и т. д.

Модулем вектора называется его длина, он обозначается через | | или просто Модуль вектора - скалярная неотрицательная величина.

Нуль-вектором (или нулевым вектором) называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом Его модуль равен нулю, а направление не определено.

Единичным вектором называется вектор, длина которого равна единице.

Векторы, лежащие на параллельных прямых или на одной прямой, называются коллинеарными (рис. 3.1, ).

Коллинеарные векторы, имеющие одинаковые направления и равные длины, называются равными (рис. 3.2, а, ). Так как векторы имеют противоположные направления, то хотя

Отметим, что где и - две различные точки окружности радиуса R с центром в точке О (рис. 3.2, б), поскольку векторы имеют разные направления.

Векторы, противоположно направленные и имеющие равные длины, называются противоположными (векторы на рис. 3.2, а). Вектор противоположный вектору обозначается через —

Векторы, лежащие в параллельных плоскостях (или в одной плоскости), называются компланарными.

Вектор, точка приложения которого может быть выбрана произвольно, называется свободным.

Линейные операции над векторами

Линейными операциями над векторами называют сложение, вычитание, умножение вектора на число.

Суммой векторов а и b называют третий вектор с, начало которого совпадает с началом вектора а, а конец - с концом вектора Ь при условии, что вектор b отложен из конца вектора а. Вектор с получается по правилу треугольника (рис. 3.3, а) или параллелограмма (рис. 3.3, б).

Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой векторов называется вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора конец - с концом последнего при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего Указанный способ построения суммы называется правилом замыкающей.

Сумма векторов обладает свойством переместительности (коммутативности, рис. 3.4):

a + b = b + a

и свойством сочетательности (ассоциативности)

(а + Ь)+с = а + (Ь+с).

Сумма трех некомпланарных векторов а, Ь, с наряду с правилом замыкающей получается и по правилу параллелепипеда: сумма а + b + с равна вектору где - диагональ параллелепипеда, построенного на векторах отложенных из одной точки (рис. 3.5).

Из определения суммы следует, что

Разностью а - b двух векторов а и b называется такой вектор d, который в сумме с вектором b дает вектор а:

а —b = d, если b + d = a.

Чтобы получить разность а - b двух векторов а и Ь, необходимо отложить их из одной точки и соединить конец второго вектора с концом первого (рис. 3.6, а).

Разность а - b равна сумме двух векторов а и (-b), где (-b) - вектор, противоположный вектору b (рис. 3.6, б), т. е.

а - b ^ = а + (- b).

Векторы - диагонали параллелограмма ОАСВ (рис. 3.6, в), построенного на векторах являются соответственно суммой и разностью этих векторов.

Произведением вектора на число называется вектор

удовлетворяющий условиям: одинаково направлены при имеют противоположные направления при (рис. 3.7). Очевидно, если или

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов выражается равенством

Проекция вектора на ось

В пространстве заданы вектор и ось (рис. 3.8). Пусть - проекция точки А на ось - проекция точки В, т. е. основания перпендикуляров, опущенных из данных точек на эту ось.

Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка (вектора) оси Проекция вектора на ось обозначается через т. е. вычисляется по формуле

где — угол между вектором и осью .

Из равенства (3.2) следует, что если а = b то

т. е. равные векторы имеют равные проекции (на одну и ту же ось).

Проекция вектора на ось обладает следующими свойствами:

Если — произвольная конечная система векторов; - произвольная система действительных чисел, то вектор

называется линейной комбинацией векторов этой системы. Из равенств (3.4) - (3.6) следует, что

Декартовы прямоугольные координаты вектора в пространстве. Длина вектора. Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим в пространстве декартову прямоугольную систему координат. Радиусом-вектором точки М называется вектор точка приложения которого совпадает с началом координат, а конец находится в точке М(рис. 3.9).

Декартовыми прямоугольными координатами X, Y, Z вектора называются его проекции на координатные оси

Каждая из записей

означает что вектор имеет координаты X, Y, Z.

Если х,у, z — декартовы прямоугольные координаты точки М, то

Х = х, Y= у, Z = z,

т. е. координаты радиуса-вектора ОМ равны координатам точки М.

Введем в рассмотрение единичные векторы i, j, к координатных осей (их называют ортами) и векторы где А, В, С — вершины прямоугольного параллелепипеда, для которого ОМ является диагональю (А, В, С - проекции точки М на координатные оси; ОА = X , ОВ= Y, ОС = Z - проекции вектора на координатные оси). По определению суммы поэтому

Формула (3.10) выражает разложение вектора по базисным векторам i, j, k. Векторы стоящие в правой части формулы (3.10), называются составляющими или компонентами вектора .

На основании теоремы о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем формулу, выражающую длину вектора (3.9) или (ЗЛО) через его координаты:

Из равенства (3.3) следует, что равные векторы имеют равные координаты, поэтому координаты вектора не зависят от точки его приложения. Координатами любого вектора называются его проекции на координатные оси.

Направляющими косинусами вектора называются косинусы углов образуемых им с координатными осями.

Принимая во внимание формулу (3.2), для вектора (3.9) получаем

Из равенств (3.11) и (3.12) следуют формулы для направляющих косинусов вектора

откуда

Из формулы (3.12) следует, что координаты единичного вектора равны его направляющим косинусам; т. е.

Пример 3.1. Дан вектор а = (2 ,-1 ,-2 ). Найти его длину и единичный ректор направления вектора

Решение: По формуле (3.11) находим длину вектора а по формулам (3.13) — его направляющие косинусы

Переход от векторных соотношений к координатным

Если даны векторы (т. е. известны их координаты) и указаны определенные соотношения между ними, то они равносильны аналогичным числовым соотношениям между координатами.

Координаты произведения вектора на число. Пусть дан вектор и число Координаты вектора

Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда пропорциональны их одноименные координаты.

Координаты суммы (разности) двух векторов. Пусть даны два вектора тогда X ,Y ,Z — координаты вектора суммы а + Ь:

где - координаты разности а-Ь.

Координаты вектора, заданного двумя точками. Начало вектора находится в точке конец - в точке Выражение для I его координат Х, У, Z через координаты точек

Координаты линейной комбинации векторов. Заданы векторов и их линейная комбинация

Координаты X, Y, Z вектора а определяются формулами

Деление отрезка в данном отношении. Даны две точки в пространстве Координаты точки М, делящей отрезок в отношении

В частности, координаты середины отрезка определяются формулами

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном переносе. Рассмотрим две декартовы прямоугольные системы координат с одним и тем же масштабным отрезком й одинаковыми направлениями одноименных координатных осей (рис. 3.10). Начало новой системы координат находится в точке Пусть М — произвольная точка пространства, х, у, z - ее координаты в старой системе, X, У, Z - в новой, тогда

или

Пример 3.2. Даны две точки А (3, - 4,7), В (5, - 6,8). Найти координаты вектора AB и координаты точки Е — середины отрезка АВ.

Решение: По формулам (3.15) и (3.16) соответственно получаем

Пример 3.3. Даны четыре точки Л (5 ,6 ,-8 ), В (8,10, - 3), С (1,-2,4), D (7,6,14). Коллинеарны ли векторы AB и CD?

Решение: Так как AB = (8 - 5,10 - 6, - 3 - (-8)) = (3,4,5), CD = (7-l,6-(-2), 14-4) = (6,8,10) и CD = 2АВ, т. е. выполнено равенство (3.1), то векторы AB и CD коллинеарны.

Скалярное произведение двух векторов

Скалярным произведением двух векторов а и b. называется число, равное произведению их длин на косинус угла между Ними. Если обозначить скалярное произведение через ab, то

Так как (рис. З.11), то равенство (3.18) можно представить в двух видах:

Понятие скалярного произведения возникло в механике. Если вектор а изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора b, то работа w указанной силы определяется равенством

Скалярным квадратом вектора а называется скалярное произведение вектора а на себя:

т. е. скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины.

Векторы а и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда

ab = 0. (3.19)

Скалярное произведение обладает свойствами:

1) переместительности (коммутативности)

ab = ba.

2) сочетательности (ассоциативности) относительно числового множителя

3) распределительности (дистрибутивности) относительно суммы векторов

a(b+c)=ab+ac.

Скалярное произведение двух векторов

выражается формулой

т.е. скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений одноименных координат.

Замечание. Если b = а, то формула (3.21) принимает вид Поскольку то

Косинус угла между векторами (3.20) определяется формулой

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов (3.20) выражается равенством

оно следует из формул (3.19) и (3.21).

Если ось образует с координатными осями углы соответственно, то проекция вектора s = (X , У, Z) на эту ось определяется равенством

Примep 3.4. Даны два вектора а = (8,-7,-2), Ь = (7,-11,8). Найти угол между ними.

Решение: По формуле (3.22) получаем

Пример 3.5. Доказать, что векторы а = (2,-4 ,6 ), Ь = (3,3,1) перпендикулярны.

Решение: По формуле (3.21) находим: ab = 2*3 + (-4)*3 + 6*1 = 0. Так как выполнено условие (3.19), то векторы а и b перпендикулярны.

Правые и левые тройки векторов. Правые и левые системы координат

Три некомпланарных вектора ОА = а, OB = Ь, ОС = с, взятых в указанном порядке (а - первый вектор, Ь - второй, с - третий) и приложенных в одной точке (рис. 3.12, а, б), называют тройкой векторов а, Ь, с. Будем смотреть с конца вектора с на плоскость, определяемую векторами а и Ь.

Если кратчайший поворот от вектора а к вектору b совершается против часовой стрелки, то тройка векторов а, Ь, с называется правой (рис. 3.12, а), если указанный поворот совершается по часовой стрелке, тройка а, Ь, с называется левой (рис. 3.12, б).

Две тройки, обе правые или обе левые, называются тройками одной ориентации; если одна тройка является правой, а другая левой, то они называются тройками различной ориентации.

При круговой перестановке вектов (первый заменяется вторым, второй- третьим, третий - первым, рис. 3.12, в) ориентация тройки не меняется (см. рис. 3.12, а, б).

Если поменять местами два вектора, то ориентация тройки меняется, например если а, Ь, с — правая тройка, то тройка Ь, а, с (тех же векторов, взятых в порядке Ь, а, с) будет левой.

Прямоугольная декартова система координат называется правой, если тройка базисных векторов i, j, к правая; если эта тройка левая, то система координат называется левой.

Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется третий вектор, обозначаемый символом [а, b] и удовлетворяющий условиям:

1) где - угол между векторами а и b;

2) вектор [а, b] перпендикулярен каждому из векторов а и b;

3) тройка векторов а, b, [а, b] имеет ту же ориентацию, что и i, j, k.

Для векторного произведения применяют и другие обозначения, например а х b.

Замечание. Бели пользоваться только правыми системами координат, то условие 3) можно заменить другим - тройка а, Ь, [а, Ь] является правой.

Понятие векторного произведения возникло в механике. Если вектор b изображает силу, приложенную в точке М, а = ОМ, то [а, b] выражает момент силы b относительно точки О.

Из условия 1) следует, что модуль векторного произведения [а, b] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 3.13), т. е.

поэтому

где е - единичный вектор направления вектора [а,b].

Равенство [а,b] = 0 выражает необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов а и b; в частности, для любого вектора а [а,а]=0.

Векторное произведение двух векторов обладает свойствами:

1) антипересгановочности множителей [a,b] = -[b,a];

2) сочетательности относительно скалярного множителя

3) распределительности относительно сложения

Векторное произведение [а, b] двух векторов

выражается формулой

Эту формулу можно представить через символический определитель третьего порядка

Замечание. Составим матрицу из координат векторов а и b

Координаты векторного произведения равны минорам второго порядка этой матрицы, полученным путем поочередного вычеркивания первого, второго и третьего столбцов, причем второй минор нужно взять со знаком минус.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах (3.25), вычисляется по формуле

которая следует из (3.11) и (3.24).

Площадь треугольника АВС определяется формулой

Формула (3.29) следует из (3.24), так как площадь треугольника АВС составляет половину площади параллелограмма, построенного на векторах AB и АС.

Пример 3.6. Даны два вектора а = (5,3, -4), b = ( 6 ,7, - 8 ). Найти координаты векторного произведения [а, b].

Решение: По формуле (3.27) получаем

Пример 3.7. Вершины треугольника находятся в точках А (1,1,3), Я (3 ,-1 ,6 ), С(5,1,-3). Вычислить его площадь.

Решение: С помощью формул (3.15) находим координаты векторов AB и АС: AB = (2, -2 ,3 ), АС = ( 4 ,0 ,- 6). Так как

то

Смешанное произведение трех векторов

Пусть даны три вектора а, b, с. Вектор а умножим векторно на b, векторное произведение [а, b] умножим скалярно на с, в результате получаем число, которое называют векторно-скалярным произведением или смешанным произведением [а, b] с трех векторов а, b, с.

Смешанное произведение [а, b] с трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, построенного на векторах ОА = а, ОВ = b, ОС = с (рис. 3.14), взятому со знаком плюс, если тройка (а, b, с) - правая, со знаком минус, когда эта тройка - левая:

Векторы а, b, с компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю, т. е.

Смешанное произведение [а,b]с и а [b, с] обозначают через abc:

abc = [а, b] с = а [b, с].

Если поменять местами два вектора, то смешанное произведение изменит лишь знак. Для трех векторов а, Ь, с:

abc = bca = cab = -bac = -cba = -acb.

Смешанное произведение трех векторов

определяется формулой

Из формул (3.30) н (3.33) следует, что объем параллелепипеда, построенного на векторах (3.32), вычисляется по формуле

Объем треугольной пирамиды с вершинами в точках определяется формулой

Необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов (3.32) выражается равенством

которое следует из равенств (3.31), (3.33).

Пример 3.8. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а =(1,3,1), b = (2,1,3), с = (3, 1, 2).

Решение: По формуле (3.34) получаем

Пример 3.9. Доказать, что векторы а= (1 ,-2 ,3 ), b = (4 ,-5 , 6 ), с = (5 ,-7 ,9 ) компланарны.

Решение: Так как

т.е. выполнено условие (3.36), то данные векторы компланарны.

Пример 3.10. Вычислить объем треугольной пирамиды, вершины которой находятся в точках

Решение: В соответствии с формулой (3.35) находим

Линейная зависимость векторов

Векторы называются линейно зависимыми, если существуют действительные числа из которых по меньшей мере одно отлично от нуля, такие что

В противном случае (т. е. когда таких чисел не существует) векторы называются линейно независимыми; другими словами, векторы линейно независимы, если равенство (3.37) выполняется лишь при

Если один из векторов, например является нулевым, то система окажется линейно зависимой, так как равенство (3.37) будет выполнено при Если часть векторов линейно зависима, то и вся система линейно зависима, поскольку из равенства следует равенство' (3.37), в котором

Теорема 3.1. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда по меньшей мере один из них является линейной комбинацией остальных.

Теорема 3.2. Два вектора а и b линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Теорема 3.3. Если - два неколлинеарных вектора некоторой плоскости, то любой третий вектор а той же плоскости можно единственным образом разложить по ним, т.е. представить в виде

Теорема 3.4. Три вектора а, b, с линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны.

Теорема 3.5. Если векторы некомпланарны, то любой вектор можно единственным образом разложить по ним, т.е.

Теорема 3.6. Всякие четыре вектора линейно зависимы.

Любая упорядоченная система трех линейно независимых (т.е. некомпланарных) векторов а, b, с называется базисом. Согласно теореме 3.5, всякий вектор d можно разложить по базису, т.е. представить в виде

d = xa + yb + zc. (3.39)

Числа называют координатами вектора d в базисе а, b, с.

Пример 3.11. Образуют ли базис векторы а = (8,2,3), b = (4,6,10), с = (3, - 2 , 1)?

Решение: Так как

т. е. смешанное произведение отлично от нуля, то векторы некомпланарны. Значит, они линейно независимы и образуют базис.

Пример 3.12. Даны векторы а = (1,1,-1), b = (2,-1,3), с=(1,-2,1). d = (12, - 9,11). Доказать, что векторы а, b, с образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе.

Поскольку

то векторы а, b, с линейно независимы (некомпланарны) и образуют базис. Вектор d можно представить в виде d = ха + yb + zc (см. формулу (3.39)). Это равенство равносильно следующим равенствам:

так как равные векторы имеют равные координаты и координаты линейной координации векторов равны соответствующим линейным комбинациям одноименных координат (см. п. 3.5). Решив полученную систему уравнений, найдем Итак, вектор d в данном базисе имеет координаты

Аффинные координаты

Фиксируем некоторую точку О заданной плоскости и выберем два неколлинеарных вектора назовем эту точку началом координат, векторы - базисными. От точки О отложим векторы проведем прямые, которым принадлежат векторы фиксируем на них положительные направления, совпадающие с направлениями соответственно, получим две координатные оси Ох и Оу (рис. 3.15).

Будем говорить, что построена общая декартова или аффинная систем^ координат Пусть а - любой вектор данной плоскости, отложим из точки О вектор ОА = а, тогда по теореме 3.3

Числа х и у формулы (3.40) называются общими декартовыми или аффинными координатами вектора а в системе они также называются аффинными координатами точки А в той же системе, т. е. а = (х , у), А (х, у).

Так как то х и у - величины направленных отрезков координатных осей, - длина отрезка измеренная с помощью масштабного отрезка - длина отрезка измеренная с помощью масштабного отрезка Другими словами, аффинными координатами точки А (и вектора а = ОА ) называются числах и у, определяемые формулами

где - величины направленных отрезков координатных осей ( - проекция точки А на ось Ох, взятая параллельно оси Оу, - проекция точки А на ось Оу, взятая параллельно оси Ох; длины отрезков на каждой оси измеряются с помощью своего масштабного отрезка).

Аналогично вводится аффинная система координат в пространстве. Фиксируем начало координат - точку О, базис - три некомпланарных вектора отложим из точки О векторы координатные оси Ох, Оу, Oz. Если а - любой вектор, то, отложив из точки О вектор ОА = а, по теореме 3.5 получим

Общими декартовыми или аффинными координатами вектора а (и точки А) называются числа х, у, z в разложении (3.41).

Пусть - проекция точки А на ось Ох, взятая параллельно координатной плоскости Оуz (определяемой векторами ), т.е. точка пересечения оси Ох и плоскости, проходящей через точку А и параллельной плоскости Oyz; - проекция точки А на ось Оу, взятая параллельно плоскости Oxz, - проекция точки А на ось Oz, взятая параллельно плоскости Оху, тогда

Следовательно, х, у, z - проекции вектора ОА на координатные оси, т.е. величины направленных отрезков длины отрезков на каждой координатной оси измеряются с помощью своего масштабного отрезка ( - на оси Ох, - на Оу, - на Oz).

В частном случае векторы попарно перпендикулярны и имеют равные длины их называют ортами и обозначают i, j, k, система координат называется прямоугольной.

Термин «орт» ввел О. Хевисайд (1892), обозначения - Г. Грассман (1844), i, j, k - У. Гамильтон (1853).

Поверхности и линии в пространстве

Уравнение поверхности. Уравнения линии в пространстве

Уравнением поверхности в фиксированной системе координат называется такое уравнение с тремя переменными, которому удовлетворяют координаты любой точки данной поверхности и только они.

Из этого определения вытекает способ решения следующей простой задачи: выяснить, лежит ли данная точка на поверхности, определяемой заданным уравнением. Для решения задачи необходимо подставить ее координаты в данное уравнение, если получается числовое равенство, то точка лежит на поверхности, в противном случае точка поверхности не принадлежит.

Всякое уравнение с тремя переменными x, у, z можно записать так:

F (x, y, z) = 0 , (4.1)

где F (х, у, z) - функция переменных х, у, z.

Из определения прямоугольных декартовых координат точки в пространстве (см. п 1.Т2) следует, что координатные плоскости Oyz, Oxz, Оху определяются соответственно уравнениями: (х = 0 — уравнение плоскости Oyz и т.д.).

Линию в пространстве можно рассматривать как пересечение двух поверхностей, поэтому она определяется двумя уравнениями. Пусть - линия, по которой пересекаются поверхности, определяемые уравнениями F (x, y, z) = 0 и Ф (х, у, z) = 0, т.е. множество общих точек этих поверхностей, тогда координаты любой точки линии одновременно удовлетворяют обоим уравнениям:

F (x, y, z) = 0 и Ф (х, у, z) = 0. (4.2)

Пример 4.1. Составить уравнение сферы радиуса R с центром в точке C(a,b,c).

Решение: Исходя из определения сферы как множества точек пространства, равноудаленных от данной точки (центра), для произвольной ее точки M (x ,y ,z ) получаем Так как

или

Для точки N, не лежащей на данной сфере, равенство не будет выполнено, поэтому ее координаты не удовлетворяют уравнению (4.3). Следовательно, уравнение (4.3) является уравнением сферы радиуса R с центром в точке С (а, Ь, с).

В частном случае, когда центр сферы находится в начале координат ( а = Ь = с = 0 ), уравнение (4.3) принимает вид

Уравнение (4.4) называется каноническим уравнением сферы.

Пример 4.2. Уравнения определяют окружность радиуса R = 5, лежащую в плоскости Оху.

Решение: Действительно, первое уравнение определяет сферу радиуса R = 5 с центром в начале координат, второе уравнение - координатную плоскость Оху.

Пример 4.3. Ось Ох прямоугольной декартовой системы координат в пространстве определяется уравнениями у = 0 , z = 0 .

Решение: Действительно, уравнение у=0 определяет координатную плоскость Oxz, а уравнение z=0 - координатную плоскость Оху. Ось Ох является линией пересечения координатных плоскостей Oxz и Оху (см. рис. 1.13).

Отметим, что ось Оу имеет уравнения х=0, z=0, а ось Oz - уравнения х=0, у=0.

Поверхность, определяемая алгебраическим уравнением и-й степени относительно декартовых координат, называется поверхностью и-го порядка. Сфера - поверхность второго порядка, так как ее уравнение (см. (4.3) и (4.4)) является уравнением второй степени относительно декартовых координат.

Параметрические уравнения линии и поверхности

Параметрическими уравнениями линии в пространстве называются уравнения вида

где - функции некоторой переменной t (параметра), если при каждом значении t из конечного или бесконечного промежутка они дают координаты всех точек данной линии и только таких точек.

Параметрические уравнения часто применяются в механике для описания траектории движущейся точки, роль параметра t в таких случаях играет время.

Параметрическими уравнениями поверхности называются уравнения вида

где - функции двух переменных (параметров), если при любых значениях (меняющихся в некоторой области) они дают координаты всех точек данной поверхности и только таких точек.

Правые части уравнений (4.6) содержат два параметра, а уравнения (4.5)- только один параметр.

Пример 4.4. Составить параметрические уравнения винтовой линии. Винтовой линией называется линия, описываемая точкой, равномерно движущейся по образующей кругового цилиндра, который при этом вращается вокруг своей оси с постоянной угловой скоростью.

Решение: Выберем ось вращения цилиндра в качестве оси Оz декартовой прямоугольной системы координат в пространстве (рис. 4.1). Обозначим через v постоянную скорость прямолинейного движения точки вдоль образующей, - скорость вращательного движения, R - радиус цилиндра Пусть в начальный момент точка находилась на осн Ох (совпадала с точкой А), а в момент времени - в положении М. Обозначим буквой N проекцию точки М на плоскость Оху, буквой Р — проекцию точки N на ось Ох, буквой Q - проекцию точки N на ось Оу. Обозначим через угол между ОР и ON, получаем

Поскольку то

Уравнения (4.7) являются параметрическими уравнениями винтовой линии.

Пример 4.5. Составить параметрические уравнения сферы радиуса R.

Решение: Введем в рассмотрение систему декартовых прямоугольных координат с началом в центре сферы и систему сферических координат с началом в той же точке (рис. 4.2). Пусть М — произвольная точка сферы, N - ее проекция на плоскость Оху. Обозначим угол, образуемый вектором ОМ с осью Оz, через (широта); угол, образуемый вектором ON с осью , через (долгота).

Принимая во внимание определение декартовых координат (или связь между декартовыми и сферическими координатами, см. 1.13, формулы (1.29)), получаем параметрические уравнения сферы

где

Исключив из этих уравнений параметры (для чего нужно возвести в квадрат обе части каждого уравнения и почленно сложить), получим уравнение сферы (4.4).

Различные виды уравнения плоскости

Плоскость в пространстве можно задать различными способами (точкой и вектором, перпендикулярном плоскости, тремя точками и т. д.), в зависимости от этого рассматривают различные виды ее уравнения.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и перпендикулярной данному вектору. Ненулевой вектор перпендикулярный плоскости, называют ее нормальным вектором. Если дана точка и нормальный вектор плоскости, то ее уравнение имеет вид

В этом уравнении коэффициенты А, В, С являются координатами нормального вектора

Равенство (4.9) выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов: , где M (x, y, z) - любая точка плоскости (рис. 4.3).

Общее уравнение плоскости. Уравнение первой степени относительно декартовых координат

где А, В, С одновременно в нуль не обращаются, т.е.

(4.11) определяет плоскость в пространстве. Уравнение (4.10) называется общим уравнением плоскости.

Отметим частные случаи этого уравнения.

Если D = 0, то уравнение (4.10) принимает вид

Ах + Ву + Cz = 0

и определяет плоскость, проходящую через начало координат (рис. 4.4, а; координаты х = у = z = 0 удовлетворяют данному уравнению).

Если С = 0, то уравнение (4.10) принимает вид

Ax + By + D = 0

и определяет плоскость, параллельную оси Oz (рис. 4.4, б); нормальный вектор перпендикулярен оси Oz, ибо С = 0.

Если то уравнение (4.10) принимает вил

Ах+ Ву = 0

и определяет плоскость, проходящую через ось (рис. 4.4, в; плоскость параллельна оси Oz и проходит через начало координат; в этом случае в силу условия (4.11)).

Если то уравнение (4.10) принимает вид

и определяет плоскость, параллельную плоскости или перпендикулярную оси Ох (рис. 4.4, г; нормальный вектор перпендикулярен плоскости ).

Если то уравнение (4.10) принимает вид

и определяет координатную плоскость

Замечание. Если в уравнении (4.10) свободный член равен нулю (D = 0), то плоскость проходит через начало координат; если коэффициент прн одной из текущих координат равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси (например, если В=0, то плоскость параллельна оси Оу); еслй в нуль обращаются свободный член и один из коэффициентов при текущей координате, то плоскость проходит через соответствующую ось (если D = 0 и С = 0, то плоскость проходит через ось ); если равны нулю два коэффициента при текущих координатах, то плоскость параллельна соответствующей координатной плоскости (когда А = 0, В = 0, плоскость параллельна плоскости Оху); если обращаются в нуль свободный член и два коэффициента при текущих координатах, то плоскость совпадает с соответствующей координатной плоскостью (когда 0 = 0, А = 0, С.= 0, плоскость совпадает с плоскостью

Уравнение плоскости в отрезках, отсекаемых на осях координат. Если все коэффициенты уравнения (4.10) и его свободный член отличны от нуля, то уравнение можно привести к виду

где Числа означают величины направленных отрезков, отсекаемых на осях координат. Этим объясняется название данного вида уравнения плоскости.

Нормальное уравнение плоскости. Уравнение

где - углы, образованные нормальным вектором плоскости с координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно, р - длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, называется нормальным (или нормированным) уравнением плоскости. Чтобы привести общее уравнение плоскости к виду (4.13), необходимо умножить его на нормирующий множитель

где знак выбирается противоположным знаку D. После умножения уравнения (4.10) на число получаем нормированное уравнение плоскости

Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Если даны три точки не лежащие на одной прямой, то уравнение плоскости, проходящей через эти точки, имеет вид

Равенство (4.14) выражает необходимое и достаточное условие (см. (3.36)) компланарности трех векторов где М (х,у,z) - любая точка данной плоскости (рис. 4.5).

Уравнение плоскости, проходящей через две точки и параллельной данному вектору. Если задан вектор и две точки

причем векторы а и , неколлинеарны (рис. 4.6), то уравнение плоскости, проходящей через эту точку параллельно вектору а, имеет вид

Равенство (4.15) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов где - любая тойка данной плоскости.

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и параллельной двум неколлинеарным векторам. Если даны два неколлинеарных вектора (рис. 4.7) и точка то уравнение плоскости, проходящей через данную точку параллельно векторам а и Ь, имеет вид

Равенство (4.16) выражает необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов: где М - произвольная точка данной плоскости.

Параметрические уравнения плоскости. Если даны два неколлинеарных вектора и точка то параметрические уравнения плоскости, проходящей через эту точку параллельно данным векторам, имеют вид

Уравнения (4.17) следуют из равенства где M ( x, y, z ) - любая точка плоскости (равенство означает, что любой вектор можно разложить по векторам а и Ь).

Пример 4.6. Записать уравнение плоскости,. проходящей через точку и имеющей нормальный вектор

Решение: Так как в данном случае А = 5, В = 6, С = —7, то уравнение (4.9) принимает вид

5 ( x - 2 ) + 6 ( y + 3 ) - 7 ( z - 4 ) = 0, или 5х + 6 у - 7z + 36 = 0.

Пример 4.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам а = (5, - 4,8), b = (6, - 1,7).

Решение: Данные векторы неколлинеарны, так как их координаты не пропорциональны. В соответствии с уравнением (4.16) получаем

Разлагая определитель по элементам первой строки, находим

Пример 4.8. Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат плоскостью Зх - 4у + 5z - 60 = 0.

Решение: Разделив обе части уравнения на 60 и преобразовав его, получим

Сравнивая последнее уравнение с уравнением (4.12), заключаем, что Таковы величины отрезков, отсекаемых плоскостью соответственно на осях Ох, Oy, Oz.

Пример 4.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Решение: В соответствии с уравнением (4.14) получаем

Различные виды уравнении прямой в пространстве

Прямую в пространстве можно задать различными способами (точкой и вектором, параллельной ей; двумя точками и т. п.), в связи с чем рассматривают различные виды ее уравнений.

Векторно-параметрическое уравнение прямой. Направляющим вектором прямой называется любой ненулевой вектор, параллельный ей. Если даны точка и направляющий вектор прямой (рис. 4.8), то

(4.18)

где - радиус-вектор точки - радиус-вектор точки - переменная величина (параметр). Уравнение (4.18) называется векторно-параметрическим уравнением прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор а. Равенство (4.18) следует из определения суммы векторов и необходимого и достаточного условия коллинеарности двух векторов.

Параметрические уравнения прямой. Переходя от векторного соотношения (4.18) к координатным, получаем

(4.19)

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой, проходящей через точку и имеющей направляющий вектор

Канонические уравнения прямой. Выражая параметр t из уравнений (4.19) н приравнивая полученные выражения, находим, что

(4.20)

Уравнения (4.20) называются каноническими уравнениями прямой, проходящей через танку и имеющей направляющий вектор

Уравнение прямой, проходящей через две точки. Если даны две точки то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор поэтому уравнения (4.20) примут вид

Пример 4.10. Записать параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку параллельно вектору а = (4,3,-2).

Решение: Так как в данном случае параметрические уравнения (4.19) принимают вид

канонические уравнения (4.20) запишутся так:

Пример 4.11. Составить уравнения прямой; проходящей через точки Привести эти уравнения к параметрическому виду.

Решение: Поскольку то уравнения (4.21) примут вид

Обозначая равные отношения буквой получаем параметрические уравнения данной прямой:

Задачи, относящиеся к плоскостям

Взаимное расположение двух плоскостей. Даны две плоскости

Необходимое и достаточное условие параллельности этих плоскостей выражается равенствами

(4.24)

а их совпадения - равенствами

(4.25)

Другими словами, плоскости параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны их коэффициенты при текущих координатах; например, плоскости параллельны. Плоскости совпадают тогда и только тогда, когда пропорциональны коэффициенты при текущих координатах и свободные члены; например, плоскости совпадают.

Если условие (4.24) не выполняется, то плоскости (4.22) и (4.23) пересекаются.

Угол между двумя плоскостями. Косинус угла между плоскостями (4.22) и (4.23) определяется формулой

(4.26)

Необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей (4.22) и (4.23) выражается равенством

(4.27)

Расстояние от точки до плоскости. Расстояние от точки до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 вычисляется по формуле

Пример 4.12. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку и параллельной плоскости х - 2 у + 4z - 1 = 0 .

Решение: Это уравнение будем искать в виде - неизвестный свободный член (в формуле (4.24) полагаем отношение равным единице).

Так как плоскость проходит через точку то ее координаты должны удовлетворять последнему уравнению: 2 - 2 - 3 + 4 ( - 5 ) + D = 0, 2 - 6 - 2 0 + D = 0, D=24. Следовательно, х —2y + 4z + 24=0 - искомое уравнение.

Пример 4.13. Найти угол между двумя плоскостями 11 x - 8 у - 7z + 6 = 0, 4x-10y + z - 5 = 0.

Решение: Косинус угла найдем по формуле (4.26), подставив в нее значения

Пример 4.14. Вычислить расстояние от точки до плоскости

Решение: Подставив в формулу (4.28) значения получим

Пример 4.15. Найти расстояние между параллельными плоскостями

Решение: Это расстояние равно расстоянию любой точки одной плоскости до другой. Выберем на первой плоскости произвольную точку. Приняв, например, что из уравнения найдем По формуле (4.28) находим расстояние от точки до плоскости

Задачи, относящиеся к прямым в пространстве

Угол между двумя прямым - угол между поправляющими векторами этих прямых. Косинус угла между двумя прямыми

определяется формулой

Равенство выражает необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых (4.29), (4.30). Необходимое и достаточное условие параллельности этих прямых выражается равенствами или

(4.32)

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Для исследования взаимного расположения прямых (4.29) и (4.30) рассматривается смешанное произведение трех векторов Если т.е.

(4.33)

то прямые являются скрещивающимися. Неравенство (4.33) означает, что векторы некомпланарны.

Прямые (4.29) и (4.30) лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда т.е.

(4.34)

Эти пряные пересекаются, если первые две строки определителя не пропорционаяьны, т,е. не выполнено,условие (4.32). Прямые параллельны, когда первые две строки определителя пропорциональны. Прямые совпадают, если пропорциональны все строки определителя (4.34).

Замечание. Чтобы найти точку пересечения прямых (4.29) и (4.30), необходимо решить систему их уравнений; при этом целесообразно параметры обозначить различными . буквами (так как одна и та же точка пересечения прямых получается, как правило, при различных значениях параметра в уравнениях данных прямых).

Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой (4.29) вычисляется по формуле

(4.35)

где - радиусы-векторы точек а - направляющий вектор прямой (рис. 4.9).

Расстояние между двумя прямыми. Кратчайшее расстояние между двумя прямыми (4.29) и (4.30) определяется формулой

(4.36)

где - радиусы-векторы точек а, b - направляющие векторы данных прямых (рис. 4.10).

Пример 4.16. Найти угол между двумя прямыми

Решение: Первая прямая имеет направляющий вектор а = (2,7,8 ), вторая - b = (8 , -11, - 7). По формуле (4.31) находим

Следовательно,

Пример 4.17. Доказать, что прямые и пересекаются. Найти точку их пересечения.

Решение: Рассмотрим векторы а = (5, -7 ,- 3 ) , b = (1,1,2) и их смешанное произведение

Поскольку смешанное произведение трех векторов равно нулю, то векторы компланарны; значит, данные прямые лежат в одной плоскости. Так как направляющие векторы этих прямых неколлинеарны (их координаты не пропорциональны), то прямые пересекаются.

Чтобы найти точку пересечения, приравняем выражения для координат, предварительно обозначив параметр буквой s в уравнениях второй прямой;

Из первых двух уравнений следует, что откуда t = -1; следовательно, s = 2. При этих значениях третье уравнение обращается в тождество. Подставляя значение t = -1 в уравнения первой прямой (или s = 2 в уравнения второй прямой x = s, y = s, z = -3 + 2 s ), находим x = 2 , y = 2, z = 1. Итак, M ( 2 , 2 ,1) - точка пересечения данных прямых.

Пример 4.18. Найти расстояние от точки до прямой;

Решение: Найдем сначала векторное произведение, входящее в формулу (4.35):

По формуле (4.35) получаем

Задачи на прямую и плоскость

Прямая как линия пересечения двух плоскостей. Рассмотрим две плоскости, заданные общими уравнениями (4.22) и (4.23). Если условие (4.24) не выполнено (т. е. коэффициенты не пропорциональны коэффициентам то плоскости пересекаются по прямой, определяемой уравнениями

Эти уравнения приводятся к параметрическому виду

Данная прямая имеет направляющий вектор

где - нормальные векторы данных плоскостей. Точка на прямой может быть выбрана произвольно; для этого необходимо в системе (4.37) зафиксировать значение одной переменной (например, ), из полученной системы уравнений найти значения двух других переменных

Пучок плоскостей — множество всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую. Уравнение пучка плоскостей, проходящих через прямую (4.37), имеет вид

где - любые действительные числа, причем хотя бы одно из них отлично от нуля. Это уравнение можно привести к виду

где Уравнение (4.40) определяет все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует т.е. за исключением плоскости

Угол между прямой и плоскостью. Синус угла между прямой

и плоскостью

Ax + By + Cz + D = 0 (4.42)

определяется формулой

Взаимное расположение прямой й плоскости. Прямая (4.41) и плоскость (4.42) пересекаются, если

перпендикулярны, когда

параллельны, если

совпадают, когда

Координаты точки пересечения прямой (4.41) и плоскости (4.42) находятся из системы их уравнений.

Неравенство (4.44) означает, что нормальный вектор плоскости (4.42) и направляющий вектор прямой (4.41) не перпендикулярны, т.е. прямая и плоскость не параллельны.

Равенства (4.43) означают, что векторы и а коллинеарны, т.е. прямая (4.41) и плоскость (4.42) перпендикулярны.

Соотношения (4.46) показывают, что векторы и а перпендикулярны, т.е. прямая и плоскость параллельны, но точка прямой (4.41) не принадлежит плоскости (4.42).

Равенства (4.47) означают, что векторы и а перпендикулярны и точка прямой принадлежит плоскости (прямая лежит в плоскости).

Пример 4.19. Уравнения прямой привести к параметрическому виду.

Решение: Поскольку в этих уравнениях коэффициенты при текущих координатах непропорциональны, то плоскости, определяемые данными уравнениями, пересекаются. Данные уравнения определяют прямую. Выберем на прямой точку. Полагая в этих уравнениях, например, получаем

откуда На прямой зафиксирована точка . По формуле (4.39) найдем направляющий вектор прямой. Так как то

Параметрические уравнения (4.38) данной прямой принимают вид

Замечание. В качестве направляющего вектора можно взять тогда

Пример 4.20. Найти угол между прямой и плоскостью

Решение: Применяя формулу (4.43) для случая находим

Пример 4.21. Найти проекцию точки М (1 ,-2 ,4 ) на плоскость 5х — Зу + 6z + 35 = 0.

Решение: Этой проекцией является точка пересечения перпендикуляра к плоскости, проходящей через точку М. Для прямой, перпендикулярной плоскости, направляющим вектором будет Параметрические уравнения прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через точку М, примут вид

Подставляя эти выражения в уравнение плоскости, находим:

При этом значении t из уравнений прямой получаем: Следовательно, точка N (-4,1, -2 ) - искомая проекция.

Пример 4.22. Вершины пирамиды находятся в точках Найти: 1) длину ребра 2) угол между ребрами и 3) площадь грани 4) объем пирамиды 5) уравнение плоскости 6 ) уравнения прямой 7) угол между ребром и гранью 8 ) уравнения высоты, опущенной из вершины на грань

Найдем сначала координаты векторов и координаты векторного произведения По формуле (3.15) получаем

С помощью формулы (3.26) находим

1. Длина ребра равна расстоянию между точками которое вычислим по формуле (1.26):

Тот же результат можно получить, найдя модуль вектора по формуле (3.11).

2. Угол между ребрами равен углу между векторами В соответствии с формулой (3.22) получаем

3. Площадь грани равна площади треугольника , которую вычислим по формуле (3.29), использовав формулу (3.11) для модуля вектора и координаты вектора

4. Объем пирамиды найдем по формуле (3.35):

5. Уравнение плоскости как плоскости, проходящей через три точки (см. (4.14)), принимает вид

6 . Уравнения прямой как прямой, проходящей через две точки (см. (4.21)), запишутся так:

7. Угол между ребром и гранью равен углу между плоскостью (I) и прямой (II). По формуле (4.43) находим

8 . Уравнения высоты, опущенной из вершины на грань можно записать как уравнения прямой, проходящей через точку и перпендикулярной плоскости (I), имеющей нормальный вектор который для этой прямой будет направляющим вектором. Уравнения (4.19) в данном случае принимают вид

Цилиндрические поверхности. Поверхности вращения

Цилиндрической называется поверхность, описываемая прямой (образующей), движущейся вдоль некоторой линии (направляющей) и остающейся параллельной исходному направлению (рис. 4.11). Уравнение цилиндрической поверхности, образующие которой параллельны оси Oz, имеет вид

Особенность уравнения (4.48) состоит в том, что оно не содержит переменной Если уравнение определяет некоторую поверхность, то ею является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Ох. Если уравнение определяет некоторую поверхность, то ею является цилиндрическая поверхность с образующей, параллельной оси Оу. Поверхность, образованная вращением линии

вокруг оси (рис. 4.12), определяется уравнением

Поверхность, образованная вращением линии вокруг оси Оу, имеет уравнение

Поверхность, образованная вращением линии вокруг оси Ох, определяется уравнением

Поверхностью вращения второго порядка называется поверхность, полученная вращением линии второго порядка вокруг ее оси.

Эллипсоидом вращения называется поверхность, полученная вращением эллипса вокруг одной из его осей. Уравнение эллипсоида вращения, полученного вращением эллипса вокруг оси Oz, имеет вид

Однополосным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси. Однополосный гиперболоид вращения, полученный вращением гиперболы вокруг оси Oz, имеет уравнение

Двуполостным гиперболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением гиперболы вокруг ее действительной оси. Двуполостный гиперболоид, полученный вращением гиперболы x = 0 вокруг оси Oz, определяется уравнением

Параболоидом вращения называется поверхность, полученная вращением параболы вокруг ее оси. Уравнение параболоида вращения, полученного вращением параболы х = 0 вокруг оси Oz, имеет вид

Пример 4.23. Составить уравнение поверхности, полученной вращением линии у = 0 вокруг оси Oz.

Решение: Данные уравнения определяют пару пересекающихся прямых в плоскости Oxz, проходящих через начало координат (являющихся пересечением плоскостей - с плоскостью Oxz). Приведем эти уравнения к виду (4.49):

В соответствии с уравнением (4.50) получаем

Последнее уравнение является уравнением конуса вращения, получающегося при вращении указанных прямых вокруг оси Oz.

Поверхности второго порядка

Поверхностью второго порядка называется поверхность. Определяемая алгебраическим уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.

Канонические уравнения поверхностей второго порядка:

(эллипсоид, рис. 4.13);

(однополосный гиперболоид, рис. 4.14);

(двуполостный гиперболоид, рис. 4.15);

(конус, рис. 4.16);

(эллиптический параболоид, рис. 4.17);

(гиперболический параболоид, рис. 4.18);

(эллиптический цилиндр, рис. 4 .19);

(гиперболический цилийдр, рис. 4.20);

(параболический цилиндр, рис. 4:21);

(пара пересекающихся плоскостей);

(пара параллельных плоскостей);

(пара совпадающих плоскостей).

Замечание 1 .Уравнение (4.51) при принимает вид

и определяет сферу радиуса R с центром'в начале координат.

Общее уравнение второй степени, относительно x, у, z может быть приведено к одному из уравнений (4.51) - (4.63) или к одному из следующих уравнений:

Уравнениям (4.64), (4.66) и (4.68) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства; уравнению (4.65) удовлетворяют координаты единственной точки О (0,0,0); уравнению (4.67) удовлетворяют координаты точек, лежащих на прямой х = 0 , у = 0 .

Замечание 2. Если уравнение

(т.е. уравнение, у которого коэффициенты при квадратах координат равны между собой, а коэффициенты при произведениях координат равны нулю) определяет некоторую поверхность, то этой поверхностью является сфера Уравнение (4.69) в этом случае может быть приведено к виду

Уравнение (4.70) является уравнением сферы радиуса с центром в точке

Прямые, целиком лежащие на некоторой поверхности, называются прямолинейными образующими данной поверхности.

Однополосный гиперболоид (4.52) имеет два семейства прямолинейных образующих:

Гиперболический параболоид (4.56) также имеет два семейства прямолинейных образующих:

Пример 4.24. Определить вид и параметры поверхности второго порядка, заданной уравнением

Решение: Преобразуем это уравнение, выделив в левой части полные квадраты:

Введем новые координаты по формулам (3.17):

тогда уравнение примет вид

Полученное уравнение определяет эллипсоид (см. (4.51)), для которого Центр эллипсоида находится в точке в новой системе координат центром является точка с координатами Из этих равенств и формул (I) находим х = 1, у = -2, z = 3, т.е. координаты точки

Пример 4.25. Определить вид и параметры поверхности

Решение: Преобразуем это уравнение:

Переходя к новым координатам по формулам получаем

Это уравнение определяет однополостный гиперболоид (см. (4.52)), для которого с центром в точке

Пример 4.26. Доказать, что уравнение определяет гиперболический параболоид.

Решение: Введем новые координаты по формулам x = X - Y , y = X + Y , z = Z, тогда уравнение примет вид

Полученное уравнение является уравнением вида (4.56), для которого оно определяет гиперболический параболоид.

Пример 4.27. Доказать что уравнение определяет конус.

Решение: Переходя к новым координатам по формулам , получаем или

Полученное уравнение является уравнением вида (4.54), для которого оно определяет конус.

Некоторые другие поверхности

В плоскости Oxz (у=0) задана линия своими параметрическими уравнениями

не пересекающая ось Oz. Рассмотрим поверхность, полученную вращением этой лднии вокруг оси Oz. .

Параметрические уравнения рассматриваемой поверхности вращения имеют вид

Тор — поверхность, полученная вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости данной окружности и не пересекающей ее. Эта поверхность напоминает спасательный круг, камеру автомобильной шины (рис. 4.22).

Рассмотрим тор, полученный вращением вокруг оси Oz окружности, заданной параметрическими уравнениями

Эта окружность лежит в плоскости Oxz (у = 0) и определяется уравнениями вида (4.71), где

В соответствии с (4.72) получаем параметрические уравнения тора

Катеноид — поверхность, полученная вращением цепной линии вокруг ее оси (рис. 4.23). Рассмотрим катеноид, полученный вращением вокруг оси Oz цепной линии, заданной параметрическими уравнениями

Эта линия расположена в плоскости Oxz (у = 0). Она определена уравнениями вида (4.71), где В соответствии с (4.72) находят

параметрические уравнения катеноида

Исключая из этих уравнений параметры получаем

Катеноид является единственной минимальной поверхностью среди поверхностей вращения. Минимальные поверхности возникли при решении следующей задачи: среди всех поверхностей, проходящих через данную замкнутую пространственную линию, найти ту, которая имеет минимальную площадь поверхности ограниченной данной линией. Отсюда происходит и название такой поверхности Бельгийский физик Плато предложил простой экспериментальный способ получения минимальных поверхностей посредством мыльных пленок, натянутых на проволочный каркас.

Катеноид обладает следующим свойством. Рассмотрим две окружности, полученные пересечением катеноида (4.74) соответственно плоскостями Любая поверхность, края которой совпадают с этими окружностями, имеет площадь большую, чем часть катеноида, расположенная между указателей окружностями. Мыльная пленка, соединяющая данные окружности под действием сил внутреннего натяжения, принимает форму катеноида.

Геликоид - поверхность, описанная прямой, которая вращается с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной оси, пересекает ось под постоянным углом и одновременно перемещается поступательно с постоянной скоростью вдоль этой оси. При геликоид называют прямым (рис. 4.24, а), при геликоид называют косым (рис. 4.24, б).

Рассмотрим прямой геликоид, описанный прямой, перпендикулярной оси Oz (см. рис. 4.24, о). Пусть М (х, у, z) - произвольная точка поверхности, Р - ее проекция на плоскость Оху, Q, L - проекции точки Р соответственно на оси Ох, Оу. Обозначим через расстояние точки М до оси Oz а через - угол, образуемый отрезком ОР с осью Ох.

Параметрические уравнения геликоида имеют вид

где — некоторая постоянная.

Наглядное представление о положении отдельных прямых (лучей) при дают ступени винтовой лестницы.

Представление о геликоиде можно составить, например, наблюдая движение винта вертолета при его вертикальном взлете. Отметим, что первоначально вертолеты называли геликоптерами, винтокрылыми. Первый эскиз геликоида был нарисован еще Леонардо да Винчи.

Разнообразные геликоиды широко применяются на практике. Это объясняется следующим: геликоид образован сложением двух самых распространенных видов равномерного движения — прямолинейного и вращательного. Вследствие этого геликоид можно применить там, где необходимо перейти от одного из указанных видов движения к другому, что имеет место практически в любой машине.

Псевдосфера - поверхность, полученная вращением трактрисы вокруг ее асимптоты (рис. 4.25). Рассмотрим псевдосферу, полученную вращением вокруг оси Oz трактрисы

Эта трактриса лежит в плоскости Oxz (у = 0), ось Oz служит ее асимптотой. Линия задана параметрическими уравнениями вида (4.71), где

В соответствии с (4.72) получены параметрические уравнения псевдосферы

Важность псевдосферы состоит в том, что на ней частично реализуется плоская неевклидова геометрия Лобачевского. Этот удивительный факт установил итальянский математик Эудженио Бельтрами в 1868 г., уже после смерти Н.И. Лобачевского.

Алгебра

Матрицы и определители

Матрицы. Основные определения

Матрицей называется система чисел, расположенных в прямоугольной таблице из строк и столбцов. Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Обозначения матрицы:

Элементы составляют i-ю строку элементы составляют столбец - элемент, принадлежащий i-й строке и столбцу матрицы, числа i, называют индексами элемента. Матрицу, имеющую строк и столбцов, называют матрицей размеров (читается ). Употребляются и более краткие обозначения матрицы размеров

Матрицу обозначают также одной заглавной буквой, например

Если необходимо отметить, что матрица А имеет строк и столбцов, т. е. необходимо указать ее размеры, то пишут

Две матрицы называются равными, если другими словами, если они одинаковых размеров и их соответствующие элементы равны.

Матрица, состоящая из одной строки, называется строчной матрицей, или матрицей-строкой. Строчная матрица имеет виц

Матрица

имеющая один столбец, называется столбцовой матрицей, или матрицейстолбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Нулевую матрицу обозначают буквой О:

Квадратной называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов т. е. матрица вида

Порядком квадратной матрицы называется число ее строк.

Будем говорить, что элементы квадратной матрицы образуют ее главную диагональ, а элементы - вторую диагональ.

Квадратная матрица называется симметрической, если т. е. равны ее элементы, симметричные относительно главной диагонали.

Диагональной называется квадратная матрица, у которой все элементы, не принадлежащие главной диагонали, равны нулю, т. е. матрица

Скалярной называется диагональная матрица, у которой (c = const) при

Единичной называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны единице. Единичную матрицу обозначают буквой Е:

Треугольной называется квадратная матрица, все элементы которой, расположенные по Одну сторону от главной диагонали, равны нулю. Различают соответственно верхнюю и нижнюю треугольные матрицы:

Матрица произвольных размеров вида

где называется квазитреугольной (ступенчатой или трапециевидной).

Матрица , полученная из данной матрицы А заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется транспонированной относительно А. Если А — матрица размером то имеет размеры

Например, если

Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования: 1) умножение строки (или столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к элементам строки (столбца) соответственных элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число; 3) перестановка местами двух строк (столбцов).

Термин «матрица» был введен Д. Сильвестром в 1851 г.

Линейные действия над матрицами

Линейными действиями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число. Сложение и вычитание определяются только для матриц одинаковых размеров.

Суммой двух матриц называется такая матрица что

т. е. матрица, элементы которой равны суммам соответствующих элементов матриц слагаемых. Сумма двух матриц А и В обозначается А + В.

Разностью двух матриц называется матрица для которой

Произведением матрицы на число (или числа на матрицу А) называется матрица для которой

т. е. матрица, полученная из данной умножением всех ее элементов на число Произведение матрицы А на число обозначается (или

Матрицу называют матрицей, противоположной матрице А, и обозначают -А .

Замечание. Разность А - В двух матриц можно определить так:

А - В = А + (-В). (5.5)

Линейные действия над матрицами обладают следующими свойствами: где А, В, С - матрицы одних и тех же размеров; О - нулевая матрица; (-А ) - матрица, противоположная матрице — любые действительные числа.

Пример 5.1. Найти сумму и разность двух матриц

Решение: В соответствии с формулами (5.2) и (5.3) получаем

Пример 5.2. Даны две матрицы

Найти ЗА-2В.

Решение: В соответствии с формулами (5.4) и (5.5) получаем и

Произведение матриц. Многочлены от матриц

Произведение определяется для квадратных матриц одного и того же порядка, а также для прямоугольных матриц, у которых число столбцов матрицы множимого равно числу строк матрицы множителя.

Произведением матрицы на матрицу называется такая матрица для которой

т. е. элемент матрицы равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы столбца матрицы Матрица имеет строк (как и матрица А) и столбцов (как и матрица ). Произведение матрицы А на матрицу В обозначается AB.

Замечание. Из того, что матрицу А можно умножить на В, не следует, что матрицу В можно умножать на А. В общем случае Если АВ= ВА, то матрицы А к В называются перестановочными или коммутативными.

При умножении матриц единичная матрица Е играет роль единицы, а нулевая матрица О - роль нуля, так как АЕ = ЕА = А, АО = ОА = О.

Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если имеют смысл соответствующие действия, то выполняются равенства: где - любое действительное число.

Отметим, что где штрихом обозначена матрица, транспонированная данной.

Целой положительной степенью квадратной матрицы А называется произведение матриц, каждая из которых равна А, т.е. Матрица имеет тот же порядок, что и матрица А. Нулевой степенью квадратной матрицы называется единичная матрица того же порядка, что и А, т. е. Первой степенью матрицы А называется сама матрица А, т. е. Многочленом (или полиномом) степени ( — целое неотрицательное число) от квадратной матрицы А называется выражение вида

где - любые числа, причем Обозначим многочлен от матрицы А через Р(А), тогда по определению

или

Из определения следует, что многочлен от матрицы можно получить, если в обычный многочлен вместо х подставить квадратную матрицу (и учесть, что ).

Пусть дан многочлен Р (х). Если Р (А) является нулевой матрицей, т. е. Р (А) = 0 , то матрица А называется корнем многочлена Р(х), амногочлен Р (х) — аннулирующим многочленом для матрицы А.

Пример 5.3. Найти произведение AB и ВА матриц

Решение: Обе матрицы являются квадратными матрицами одного и того же порядка (второго), поэтому можно получить произведения AB и ВА. Применяя формулу (5.6.) для случая получаем

Отметим, что т. е. результат умножения зависит от порядка множителей.

Пример 5.4. Даны две матрицы

Найти произведение AB. Можно ли получить произведение ВА?

Решение: Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (ширина матрицы А равна высоте матрицы В), поэтому произведение AB определено. Умножая строку матрицы А на столбец матрицы В, по формуле (5.6) получаем

Произведение ВА не определено, так как число столбцов матрицы В не равно числу строк матрицы А.

Пример 5.5. Найти многочлен Р(А), если и В соответствии с определением многочлена от матрицы (см. формулу (5.7)) получаем или

Определители и их свойства

Определителем квадратной матрицы второго порядка

называется число, равное и обозначаемое символом

Числа называются элементами определителя матрицы второго порядка. Каждый элемент определителя обозначен буквой с двумя индексами; первый (1) обозначает номер строки, второй (2) - номер столбца, на пересечении которых находится соответствующий элемент (например, элемент принадлежит второй строке й первому столбцу определителя).

Определитель матрицы называют также детерминантом. Для определителя матрицы употребляются следующие обозначения;

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

называют число

Заметим, что каждое слагаемое алгебраической суммы в правой части этой формулы представляет собой произведение элементов определителя, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца. Этому произведению приписывается соответствующий знак. Чтобы запомнить, какие произведения следует брать со знаком плюс, какие со знаком минус, полезно правило, схематически изображенное на рис. 5.1.

Минором какого-либо элемента определителя называется определитель, полученный из данного вычеркиванием той строки и того столбца, которым принадлежит данный элемент. Минор элемента обозначим

Алгебраическим дополнением элемента определителя называется его минор, взятый со знаком Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать через В соответствии с определением

Определители матриц второго порядка и третьего порядка короче называют определителями второго и третьего порядка.

Свойства определителей:

1) определитель не изменится при замене всех его строк соответствующими столбцами;

2) при перестановке двух соседних строк (столбцов) определитель меняет лишь знак;

3) определитель с двумя одинаковыми строками (столбцами) равен нулю;

4) множитель, общий для элементов некоторой строки (столбца), можно вынести за знак определителя;

5) определитель равен нулю, если все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю;

6) определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель;

7) определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Например, т. е.

Эта формула выражает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки.

По аналогии с формулой (5.10) вводятся определители четвертого порядка:

или

где - алгебраическое дополнение элемента определители пятого порядка и т. д.

Теорема 5.1 (теорема замещения). Суммы произведений произвольных чисел соответственно на алгебраические дополнения элементов некоторого столбца (строки) матрицы порядка равны определителю матрицы, которая получается из данной заменой элементов этого столбца (строки) числами

Теорема 5.2 (теорема аннулирования). Сумма произведений элементов одного из столбцов (строк) матрицы на соответствующие алгебраические дополнения элементов другого столбца (строки)равна нулю.

Теорема 5.3. Определитель произведения двух квадратных матриц А и В одного порядка равен произведению определителей перемножаемых матриц:

Название "детерминант" предложил Гаусс. Современное изложение теории определителей дал Коши. Обозначение определителя в виде квадратной таблицы чисел с двумя вертикальными чертами ввел Кэли в 1841 г. ,

Пример 5.7. Вычислить определитель

Решение: В соответствии с формулой (5.8) получаем

Пример 5.8. Вычислить определитель

Решение: Умножая первую строку на -1 и прибавляя ко второй, находим

Пример 5.9. Вычислить определитель третьего порядка

тремя способами: 1)по определению; 2) по формуле (5.10); 3) преобразованием его с помощью свойств.

Решение:

3) Умножая первую строку на (-2 ) и прибавляя ко второй, затем умножая первую строку на (-3 ) и прибавляя к третьей, получаем

Разлагая этот определитель по элементам первого столбца, находим

Пример 5.10. Вычислить определитель матрицы

Применяя формулу (5.11), получаем

Вычисляя определители третьего порядка, находим

Замечание. Этот определитель можно вычислить путем его преобразований на основании свойств:

Обратная матрица

Матрицей, обратной квадратной матрице А, называется квадратная матрица удовлетворяющая равенствам

где - единичная матрица.

Квадратная матрица называется невырожденной или неособенной, если ее определитель отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то матрица называется вырожденной или особенной.

Всякая невырожденная квадратная матрица

имеет единственную обратную матрицу

где — алгебраическое дополнение элемента матрицы А. Отметим, что алгебраические дополнения элементов каждой строки матрицы А в формуле (5.14) записаны в столбец с тем же номером.

В случаях формулы (5.13) и (5.14) принимают соответственно вид

Теорема 5.4. Произвольную невырожденную матрицу А с помощью элементарных преобразований можно привести к единичной матрице Е:

Теорема 5.5. Если к единичной матрице порядка применить те же элементарные преобразования только над строками и в том же порядке, с помощью которых невырожденная квадратная матрица А порядка п приводится к единичной, то полученная при этом матрица будет обратной матрице А.

Эта теорема дает способ нахождения матрицы, обратной данной, с помощью элементарных преобразований. При этом удобно записывать матрицы А а Е рядом, отделяя их вертикальной чертой (рассматривать расширенную матрицу ), и одновременно производить элементарные преобразования над строками матриц А и Е. В результате преобразования строк матрица преобразуется в матрицу

Этот метод вычисления обратной матрицы называют методом Жордана.

Замечание 1. Теорема 5.5. верна применительно к элементарным преобразованиям над строками. Когда преобразования производятся над столбцами, то матрицу E располагают под матрицей А, рассматривают расширенную матрицу тогда

Замечание 2. Если в соотношении (5.18) на место единичной матрицы справа от вертикальной черты поставить матрицу В, то в результате соответствующих преобразований получим матрицу

Замечание 3. Если в соотношении (3.19) на место единичной матрицы под горизонтальной чертой поставить матрицу В, то в результате соответствующих преобразований'получим матрицу

Обратная матрица используется при решении матричных уравнений вида

где А, В - невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка. Эти уравнения имеют соответственно решения

Матрицы можно найти с помощью элементарных преобразований в соответствии с соотношениями (5.20) и (5.21).

Пример 5.11. Найти матрицу, обратную матрице

Решение: Так как то матрица А имеет обратную. Поскольку то по второй из формул (5.15) находим

Пример 5.12. Найти матрицу, обратную матрице

Решение: Вычислим определитель данной матрицы:

Так как то матрица А имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

По второй из формул (5.16) находим

Пример 5.13. С помощью элементарных преобразований найти матрицу обратную матрице

Решение: Составляем матрицу (А | Е) и преобразуем ее; приводя матрицу А к единичной, матрица Е будет приведена к

Вторая матрица получена из первой в результате следующих элементарных преобразований: элементы первой строки умножены на (-1 ) и сложены с элементами второй строки, элементы первой строки умножены на ( - 2 ) и сложены элементами третьей строки.

Умножив последнюю строку второй матрицы на (-1 ), получим третью матрицу (матрица А приведена к верхней треугольной форме).

Умножая третью строку на (- 1 ) и прибавляя ее ко второй, а затем к nepi строке, получаем четвертую матрицу. Умножая ее вторую строку на ( - 1 ) и прибавляя к первой строке, .получаем пятую матрицу; слева от черты - единичная матрица, справа - матрица , обратная исходной матрице А.

Замечание. Элементарные преобразования производятся в этапа: 1) матрица А преобразуется к верхней треугольной форме с единичными диагональными элементами (путем преобразования строк «сверху вниз»); 2 ) полученная матрица преобразуется к единичной (путем преобразования строк « снизу вверх»).

Пример 5.14. Даны две матрицы

Найти матрицу X, удовлетворяющую уравнению АХ = В.

Решение: Это уравнение разрешимо, так как его решение (см. первую из формул (5.23)). Матрицу найдем с помощью элементарных преобразований в соответствии с соотношением (5.20). Составляем матрицу [А | В], преобразуем ее, приводя матрицу А к единичной:

Отсюда следует, что

Называя шагом переход сц одной матрицы к другой, дадим пояснения к выполненным преобразованиям. I шаг - поменяли местами первую и третью строки (чтобы ). II шаг - первую строку умножили на -2 и прибавили ко второй; первую строку умножили на -3 и прибавили к третьей. III шаг - третью строку умножили на -1 и прибавили ко второй. IV шаг - вторую строку умножили на 1/2. V шаг - вторую строку умножили на 5 и прибавили к третьей. VI шаг - третью строку умножили на 1/2. VII шаг - третью строку умножили на - 3 и прибавили к первой; третью строку умножили на - 2 и прибавили ко второй. VIII шаг - вторую строку умножили на —2 и прибавили к первой.

Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу размером

Выберем в ней произвольно s различных строк и s различных столбцов, причем где - меньшее из чисел Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А. Например, если дана матрица

то, взяв первую и третью строку, третий и пятый столбец, получим матрицу второго порядка и ее определитель

Этот определитель является минором второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить другие миноры второго порядка, а также миноры третьего порядка Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю.

Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы А обозначают одним из символов: Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг ее считается равным нулю.

Из определения ранга матрицы получаем следующие утверждения.

1. Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел

... Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица нулевая.

3. Для квадратной матрицы порядка тогда и только тогда, когда матрица невырожденная.

При нахождении ранга матрицы можно пользоваться свойствами миноров. Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка также равны нулю. Таким образом, если среди миноров порядка данной матрицы есть отличные от нуля а все миноры порядка + 1 равны нулю или не существуют, то

Отметим некоторые очевидные свойства ранга матрицы.

1. Ранг матрицы, полученной из данной транспонированием, равен рангу исходной матрицы.

2. Ранг матрицы не изменится, если вычеркнуть или приписать нулевую строку (т. е. строку, все элементы которой равны нулю) или нулевой столбец.

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квазитреугольной форме. Ранг квазитреугольной матрицы (5.1) равен поскольку ее минор с главной диагональю равен произведению а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

Пример 5.15. Найти ранг матрицы

Решение: Среди миноров второго порядка этой матрицы имеется один, отличный отнуля:

Все миноры третьего порядка равны нулю. Следовательно, ранг данной матрицы равен двум

Пример 5.16. Найти ранг матрицы

Применяя элементарные преобразования, приводим данную матрицу к квазитреугольной форме:

(Вторая матрица получена из первой путем поочередного умножения первой строки на (-1), (-8 ), 1 и прибавления ко второй, третьей и четвертой строкам; третья матрица получена из второй путем прибавления второй строки к третьей.)

Ранг последней матрицы равен Трем, так как имеется отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы

а определитель самой матрицы (определитель четвертого порядка) равен нулю (как содержащий нулевую строку). Следовательно, ранг исходной матрицы равен трем

Системы линейных уравнений

Линейные системы. Основные определения

Системой уравнений называют множество уравнений с неизвестными для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

Системой m линейных уравнений с неизвестными или линейной системой, называется система вида

где - числа. Числа называются коэффициентами, - свободными членами. Коэффициенты обозначены буквой с двумя индексами первый (i) указывает номер уравнения, второй (k) — номер неизвестной, к которой относится данный коэффициент. Число уравнений может быть больше, равно или меньше числа неизвестных

Линейная система называется неоднородной, если среди свободных членов имеются отличные от нуля. Если все свободные члены равны нулю, то линейная система называется однородной. Однородная линейная система имеет вид

Решением линейной системы (6.1) называется упорядоченная совокупность чисел

(6.3)

подстановка которых вместо соответственно обращает в тождество каждое из уравнений этой системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Отметим, что однородная система всегда совместна, так как она имеет нулевое решение:

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной. Совместная система называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если любое решение одной из них является также решением другой и обратно, т. е. если они имеют одно и то же множество решений. Любые две несовместные системы считаются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями линейной системы называются следующие преобразования: 1) умножение уравнения системы на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одному уравнению другого уравнения, умноженного на любое число; 3) перестановка местами двух уравнений системы.

При элементарных преобразованиях линейной системы получают систему, равносильную данной.

Выражение «решить линейную систему» означает выяснить, совместна она или несовместна; в случае совместности - найти все ее решения.

Матричная запись линейной .системы

Линейную систему (6.1) можно записать в матричном виде. Матрица

составленная из коэффициентов линейных уравнений системы (6.1), называется основной матрицей системы (или матрицей системы). Матрица

полученная из основной присоединением столбца свободных членов, называется расширенной матрицей системы (6.1).

Рассмотрим столбцовые матрицы, составленные из неизвестных и свободных членов:

Поскольку матрица Л согласована с матрицей X (число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы X ), то можно найти произведение

Элементами этой столбцовой матрицы являются левые части уравнений системы (6.1), поэтому на основании определения равенства матриц

АХ = В. (6.7)

Таким образом, система линейных уравнений (6.1) записана в виде одного матричного уравнения (6.7), где А, X, В определяются формулами (6.4) и (6.6); эта запись системы называется матричной.

Каждой линейной системе (6.1) соответствует единственная пара матриц Л, В и обратно: каждой паре матриц - единственная линейная система. Система (6.1) может быть записана и в таком виде

Если - решение системы (6.1), то матрица

(6.9)

называется вектор-решением этой системы. Матрица (6.9) удовлетворяет уравнению (6.7).

Пример 6.1. Представить в матричной форме линейную систему уравнений

Решение: В данном случае формулы (6.4) и (6.6) запишутся так:

поэтому уравнение (6.7) принимает вид

Эта система имеет вектор-решение

Замечание. В соответствии с формулой (6.8) данная система представима в виде

Невырожденные линейные системы

Определителем системы линейных уравнений с неизвестными

называется определитель матрицы из коэффициентов уравнений этой системы:

Обозначим через определитель, полученный заменой в определителе столбца из коэффициентов при неизвестной столбцом свободных членов системы (6.10):

где

Линейная система (6.10) называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля

Теорема 6.1. Невырожденная линейная система (6.10) имеет единственное решение

где определены соответственно формулами (6.11) к (6.12).

Эта теорема называется теоремой Крамера, а формулы (6.13) — формулами Крамера.

Следствие из теоремы Крамера Если однородная линейная система

имеет ненулевое решение, то ее определитель равен нулю. Систему (6.10) линейных уравнений с неизвестными можно записать в матричном виде

(6.14)

где

Если система является невырожденной, т. е. единственное решение (6.15) то она имеет

где - матрица, обратная матрице А, а В определяется третьей из формул (6.15).

Пример 6.2. Решить систему уравнений

Решение: Составим определитель системы и определители

Определитель системы т. е. данная система является невырожденной, поэтому применимы теорема 6.1 и формулы (6.13). Вычислим определители пользуемся формулами (6.13), полагая в них Так как то

Пример 6.3. Решить систему уравнений

Решение: Данную систему запишем в матричном виде (6.14), где

Вычисляем определитель матрицы А, находим матрицу

По формуле (6.16) получаем решение системы

т. е.

Произвольные линейные системы

Рассмотрим линейную систему (6.1), ее основную матрицу А и расширенную определяемую формулой (6.5).

Теорема 6.2. (Кронекера — Капелли). Для совместности системы (6.1) необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был равен рангу расширенной матрицы.

Теорема 6.3. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема 6.4. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных. то множество ее решений является бесконечным.

Базисным минором матрицы называется отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу этой матрицы. Базисными неизвестными совместной системы, ранг матрицы которой равен , назовем неизвестных, коэффициенты при которых образуют базисный минор. Остальные неизвестные назовем свободными.

Из теорем 6.2 - 6.4 следует, что решение системы линейных уравнений можно производить следующим образом.

1. Находят ранг матрицы А системы и ранг расширенной матрицы Если то система несовместна.

2. Если то выделяют базисный минор и базисные неизвестные. Исходную систему уравнений заменяют эквивалентной ей системой, состоящей из тех уравнений, в которые вошли элементы базисного минора.

Отметим, что в случае, когда число базисных неизвестных равно числу неизвестных системы, система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера Если число базисных неизвестных меньше числа всех неизвестных, то из соответствующей системы находят выражения базисных неизвестных через свободные, используя, например, формулы Крамера Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получают бесконечное множество решений исходной системы.

Пример 6.4. Решить систему уравнений

Поскольку

то система совместна. В матрице А минор отличен от нуля, ему соответствует система уравнений в которой - базисные неизвестные, - свободная неизвестная. Решая эту систему по формулам Крамера, находим

где может принимать любые действительные значения.

Метод Гаусса

Пусть дана система (6.1) линейных алгебраических уравнений с неизвестными

Метод последовательного исключения неизвестных, или метод Гаусса, применяемый для решения системы (6.1), состоит в следующем.

Предполагая, что (это всегда можно сделать сменой нумерации уравнений), умножая первое уравнение системы (6.1) на и прибавляя ко второму, получаем уравнение, в котором коэффициент при обращается в нуль. Умножая первое уравнение на и прибавляя к третьему, получаем уравнение, также не содержащее члена Аналогичным Путем преобразуем все остальные уравнения, в результате чего придем к системе, эквивалентной исходной системе уравнений:

где — некоторые новые коэффициенты.

Полагая и оставляя неюменньши первые два уравнения системы (6.17), преобразуем ее так, чтобы в каждом из остальных уравнений коэффициент при обратился в нуль. Продолжая этот процесс, систему (6.17) можно привести к одной из следующих систем:

где - некоторые коэффициенты, - свободные члены;

где

где

Система (6.18) имеет единственное решение, значение находится из последнего уравнения, - из предпоследнего, - из первого.

Система (6.19) имеет бесконечное множество решений. Из последнего уравнения можно выразить одно из неизвестных (например, ) через остальные неизвестных входящих в это уравнение. Из предпоследнего уравнения можно выразить через эти неизвестные и т. д. В полученных формулах, выражающих через последние неизвестные могут принимать любые значения.

Система (6.20) несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворять ее последнему уравнению. Итак, метод последовательного исключения неизвестных применим к любой системе линейных уравнений. Решая систему этим методом, преобразования совершаются не над уравнениями, а над матрицами, составленными из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Пример 6.5. Решить систему уравнений

Решение: Составляем матрицу и преобразуем ее:

Последней матрице соответствует совместная система четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

Решая эту систему, находим

Следовательно, исходная система имеет решение

Пример 6.6. Решить систему уравнений

Решение: Записывая соответствующую матрицу и совершая преобразования, получаем

Третья матрица получена из предыдущей переменой местами последних трех строк. Последней матрице соответствует система уравнений

Эта система несовместна, так как никакие значения неизвестных не могут удовлетворить ее третьему уравнению.

Следовательно, исходная система также несовместна.

Пример 6.7. Решить систему уравнений

Преобразуя матрицу, получаем

Таким образом, данная система сводится к системе двух уравнений относительно четырех неизвестных:

общее решение которой определяется формулами

где могут принимать любые действительные значения.

Пример 6.8. Решить систему уравнений

Составляем матрицу и преобразуем ее:

Последняя матрица получена в результате сложения третьей, умноженной на (-1 ), и четвертой строк. Этой матрице соответствует система уравнений

имеющая решение

Комплексные числа

Упорядоченные пары действительных чисел и операции над ними

Пару действительных чисел называют упорядоченной, если указано, какое из них считается первым, какое — вторым. Примеры упорядоченных пар: (0,1); (2,3); (3,2). Отметим, что последние две пары различны, хотя и образованы одними и теми же числами.

Каждую упорядоченную пару чисел обозначим одной буквой, введем понятие равенства двух пар, определим действия над ними. Рассмотрим две упорядоченные пары

Эти лары называют равными, если т. е.

Суммой двух пар (7.1) называют упорядоченную пару

а их произведением — упорядоченную пару

Из соотношения (7.3) видно, что пара

обладает тем свойством, что сложение ее с любой другой упорядоченной парой не меняет исходной пары: Пара (7.5) играет роль нуля при сложении упорядоченных пар; назовем ее нуль-парой.

Разностью двух упорядоченных пар (7.1) называют такую упорядоченную пару

Вычитание упорядоченных пар (7.1) определяется следующим образом:

Частным где двух упорядоченных пар (7.1) называют такую упорядоченную пару

Если то частное двух упорядоченных пар (7.1) определяется формулой

Из этой формулы следует, что если то

Значит, роль единицы при делении двух упорядоченных пар выполняет упорядоченная пара

Рассмотрим упорядоченные пары

Арифметические действия над упорядоченными парами вида (7.9) производятся так, как и над действительными числами. Действительные числа отождествляются с парами вида (7.9).

Понятие комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа

Комплексным числом называют упорядоченную пару действительных чисел Рассмотрим упорядоченную пару

Применяя формулу (7.4), получаем Поскольку (-1,0) = -1 (см. формулу (7.9)), то

Упорядоченную пару (7.10), удовлетворяющую соотношению (7.11), называют мнимой единицей. С помощью мнимой единицы можно выразить любое комплексное число т. е. упорядоченную пару действительных чисел. В самом деле, так как т.е.

Поскольку Значит, в правой части формулы (7.12) можно менять местами слагаемые. Выражение называют алгебраической формой комплексного числа. Число называют действительной частью,' число — мнимой частью комплексного числа Обозначая комплексное число одной буквой записывают где Re - начальные буквы латинского слова realis (действительный). Im - начальные буквы латинского слова imaginarius (мнимый).

Кроме этих обозначений, употребляют и другие, например: где

Отметим частные случаи формулы (7.12). Если то — действительное число; если то

Число называют чисто мнимым или просто мнимым.

Два комплексных числа называют равными, когда

Комплексное число равно нулю, когда равны нулю его действительная и мнимая части:

Если дано комплексное число то число отличающееся от только знаком при мнимой части, называют числом, сопряженным числу , и обозначают . Числом, сопряженным , будет, очевидно, число , поэтому говорят о паре сопряженных чисел. Действительные числа, и только они, сопряжет сами себе.

Обозначение i для мнимой единицы ввел Эйлер в 1777 г.

Геометрическое изображение комплексных чисел

На плоскости выберем систему прямоугольных декартовых координат (рис. 7.1). Комплексному числу сопоставим точку этой плоскости с координатами Если то получим действительное число которое изображается точкой на оси Ох. Вследствие этого ось Ох называют действительной осью (точками оси абсцисс изображаются действительные числа). Если то получаем чисто мнимое число которое изображается точкой лежащей на оси Оу. По этой причине ось ординат называют мнимой осью (точками этой оси изображаются чисто мнимые числа). Отметим, что мнимая единица i изображается точкой (0,1), расположенной на положительной полуоси ординат и отстоящей от начала координат на расстояние, равное единице. Число ( - i) изображается на оси ординат точкой (0,-1), симметричной точке (0,1). Любое комплексное число изображается точкой, нс лежащей на осях координат. Обратно, любой точке плоскости соответствует комплексное число Таким образом, между множеством комплексных чисел и множеством точек плоскости установлено взаюшо однозначное соответствие. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называют комплексной плоскостью.

Рассматривают также комплексную переменную z = x + iy, где х, у - действительные переменные, i — мнимая единица Значения этой переменнойкомплексные числа, изображаемые точками комплексной плоскости. Вследствие этого комплексную плоскость называют также плоскостью комплексной переменной.

Действия над комплексными числами

Из определения комплексного числа (как упорядоченной пары действительных чисел) и определения арифметических действий над упорядоченными парами (см. формулы (7.3), (7.4), (7.6), (7.7)) следует, что

Формула (7.14) определяет правило сложения двух комплексных чисел: чтобы сложить два комплексных числа, необходимо сложить отдельно их действительные и мнимые части. Формула (7.15) означает, что при вычитании одного комплексного числа из другого необходимо вычесть отдельно их действительные и мнимые части.

Отметим, что сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел являются действительными числами:

Арифметические действия над комплексными числами подчиняются тем же законам, что и действия над действительными числами. Если — любые комплексные числа, то верны следующие равенства:

Полагая в формуле (7.17), получаем

Формулой (7.18) определяется число , обратное комплексному числу

Натуральные степени мнимой единицы принимают лишь четыре значения: определяемые формулами

где

При возведении комплексного числа в степень ( - натуральное число) пользуются формулой бинома Ньютона:

В правой части этого равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам (7.19) и.приводят.подобные члены, в результате подучают Некоторое комплексное число c + di.

Квадратным корнем из комплексного числа называют комплексное число, квадрат которого равен данному комплексному числу:

Числа определяются из равенств

причем будут действительными, так как при любых выражения являются положительными. Знаки выбирают так, чтобы выполнялось равенство Извлечение квадратного корня из комплексного числа всегда возможно и дает два значения различающихся лишь знаком.

Пример 7.1. Даны два комплексных числа Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Решение: В соответствии с формулами (7.14) — (7.17) получаем

Пример 7.2. Возвести в указанные степени данные комплексные числа:

Решение: Применяя формулы (7.19) и (7.20) при получаем

Пример 7.3. Извлечь корень квадратный из числа

Решение: Обозначим Поскольку в данном случае то формулы (7.22) примут вид

Так как Получено два значения корня:

Пример 7.4. Найти значение выражения

Решение: Поскольку

Пример 7.5. Показать, что комплексное число является корнем уравнения

Решение: Так как - корень уравнения.

Модуль и аргумент комплексного числа. Тригонометрическая форма комплексного числа

Комплексное число заданное в алгебраической форме, можно представить и в другом виде Изобразим число а точкой комплексной плоскости. Рассмотрим радиус-вектор этой точки (рис. 7.2). Модулем комплексного числа называют длину радиуса-вектора ОМ точки , изображающей данное число. Модуль комплексного числа а обозначают символом Следовательно, по определению

Так как (см. рис. 7.2), то

т.е. модуль комплексного числа равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов его действительной и мнимой частей. Если т. е. число является действительным, причем то формула (7.24) принимает вид Аргументом комплексного числа называют величину угла наклона радиуса-вектора точки к положительной полуоси Ох. Аргумент комплексного числа обозначают символом Угол может принимать любые действительные значения. Аргумент комплексного числа имеет бесконечное множество значений, отличающихся одно от другого на число, кратное Аргумент не определен лишь для числа модуль которого равен нулю. Среди значений аргумента комплексного числа существует одно и только одно, заключенное между включая последнее значение. Его называют главным значением и обозначают Итак, аргумент комплексного числа удовлетворяет соотношениям

С помощью модуля и аргумента комплексное число можно представить в другой форме. Поскольку

то

где

Выражение, стоящее в правой части формулы (7.26), называют тригонометрической формой комплексного числа. Отметим особенности тригонометрической формы: 1) первый множитель — неотрицательное число, 2) записаны косинус и синус одного и того же аргумента; 3) мнимая единица умножена на

Два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную Следовательно, если

то

и обратно, из равенств (7.29) следует формула (7.28).

Если комплексное число задано в тригонометрической форме то комплексно-сопряженное число записывается в форме поэтому (рис. 7.3).

Пример 7.6. Комплексное число записать в алгебраической и тригонометрической форме.

Решение: Умножая числитель и знаменатель данной дроби на число, сопряженное знаменателю, получаем

Это - алгебраическая форма данного числа:

Применяя формулы (7.27), находим откуда главное значение Следовательно, тригонометрическая форма данного числа имеет вид

Действия над комплексными числами, заданными в тригонометрической форме

Произведение двух комплексных чисел

где находится по формуле

Из этой формулы следует, что

т. е. модуль произведения равен произведению модулей множителей, а сумма аргументов множителей является аргументом их произведения.

Если то

откуда

Эти формулы означают, что модуль частного равен модулю делимого, деленному на модуль делителя, а разность аргументов делимого и делителя является аргументом частного двух комплексных чисел.

Если то

откуда

т. e. модуль комплексного числа , обратного числу равен обратной величине модуля числа а его главное значение аргумента отличается от главного значения аргумента лишь знаком.

Если - натуральное число и то

откуда

Формула (7.34) называется формулой Муавра. При она принимает вид

Корнем степени из комплексного числа называется такое комплексное число что

Извлечение корня степени из комплексного числа всегда возможно и дает различных значений:

где

Из формул видно, что все значений корня -й степени из комплексного числа z расположены на окружности радиуса с центром в точке нуль и делят эту окружность на равных частей.

Отметим, что корень n-й степени из действительного числа также имеет различных значений. Среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от знака и четности . Корень -й степени из нуля имеет только одно значение, равное нулю

Корни n-й степени из единицы определяются формулой

где

Пример 7.7. Найти значения квадратного корня из числа z = i.

Решение: Представим сначала это число в тригонометрической форме: В соответствии с формулой (7.36) имеем

Следовательно,

Пример 7.8. Найти все значения корня 6-й степени из числа -64.

Решение: Представим данное число в тригонометрической форме: Формула (7.36) принимает вид

Замечая, что и придавая указанные значения, находим шесть искомых значений:

Эти значения изображаются вершинами правильного шестиугольника, вписанного в окружность радиуса R = 2 (рис. 7.4.).

Пример 7.9. Решить уравнение

Решение: Так как то

Применяя формулу (7.36), получаем

Полагая в этой формуле находим

Алгебраические уравнения

Алгебраические многочлены

Алгебраическим многочленом степени называется сумма целых неотрицательных степеней переменной х, взятых с некоторыми числовыми коэффициентами, т. е. выражение вида

Для сокращенной записи многочленов употребляют обозначения и т .п .

Два многочлена считают равными и пишут в том и только в том случае, когда равны их коэффициенты при одинаковых степенях х.

Теорема 8.1. Для любых двух многочленов можно найти такие многочлены что

причем степень меньше степени или же Многочлены и определяются однозначно.

Многочлен называется частным от деления на , а - остатком от этого деления.

Замечание . Формулу (8.1) можно записать так:

Если остаток от деления на равен нулю, то многочлен называется делителем многочлена ; в этом случае говорят, что делится на (или нацело делится на ).

Многочлен тогда и только тогда является делителем многочлена , когда существует многочлен удовлетворяющий равенству

Многочлен называется общим делителем для многочленов и если он является делителем каждого из этих многочленов.

Два многочлена называются взаимно простыми, если они не имеют других общих делителей, кроме многочленов нулевой степени (т. е. постоянных).

Наибольшим общим делителем отличных от нуля многочленов называется общий делитель который делится на любой другой общий делитель этих многочленов. Наибольший общий делитель многочленов f( x ) и g ( x ) обозначается так:

Наибольший общий делитель многочленов можно найти с помощью алгоритма Евклида. Если

то

Замечание . Наибольший общий делитель многочленов определен с точностью до постоянного множителя: если d (х) — наибольший общий делитель многочленов где с - любое число, отличное от нуля, также является их наибольшим общим делителем.

Пример 8.1. Найти частное q (х) и остаток прн делении многочлена на многочлен Выразить через

Решение: Выполняя деление, находим

Итак,

Пример 8.2. Найти общий наибольший делитель двух многочленов

Решение: Произведя деление получим первое из равенств (8.2): так как Разделив на найдем второе из указанных равенств:поскольку

Остаток нацело делится на остаток

Следовательно, является общим наибольшим делителем данных многочленов. В соответствии с замечанием общим наибольшим делителем будет также

Корни многочлена. Теорема Безу

Значением многочлена

при х = с называется число

Число с называется корнем многочлена или корнем уравнения если т. е.

Теорема 8.2. (Безу). Остаток от деления многочлена на линейный многочлен х — с равен значению многочлена при х = с, т. е.

Следствие. Число с тогда и только тогда будет корнем многочлена когда делится н а х - с.

Если многочлен задан формулой (8.3) и

где

то коэффициенты многочлена q (х) определяются формулами

а остаток — по формуле

Коэффициенты частного и остаток вычисляются по следующей схеме:

Эту схему, называемую схемой Горнера, используют также для вычисления значений многочлена, Поскольку (см. формулу (8.4)).

Если с - корень многочлена т. е: то многочлен делится на х — с. Может оказаться, что делится и на более высокие степени х - с . Пусть существует такое натуральное число что нацело делится на , но уже не делится на . В этом случае причем число с не является корнем многочлена Число называется кратностью корня с многочлена а число с - -кратным корнем этого многочлена. Если = I, то говорят, что число с - простой корень многочлена .

Теорема 8.3. Всякий многочлен, степень которого не меньше единицы, имеет хотя бы один корень (действительный или комплексный).

Эту теорему раньше называли «основной теоремой высшей алгебры».

Следствие 1. Всякий многочлен степени единственным образом, с точностью до порядка сомножителей, разлагается в произведение линейных множителей: если — корни многочлена (8.3), то

Следствие 2. Всякий многочлен степени имеет корней, считая равные и комплексные.

Следствие 3. Если многочлены степени которых не превышают , имеют равные значения более чем при различных значениях переменной, то

Если многочлен

для которого имеет корни то его коэффициенты выражаются формулами Виета:

Эти формулы означают следующее: в правой части равенства находится сумма всевозможных произведений по корней, взятая со знаком плюс или минус в зависимости от четности или нечетности .

Последняя из формул (8.8) свидетельствует о том, что корни многочлена (8.7) являются делителями его свободного члена.

Формулы Виета дают возможность найти многочлен по корням.

Теорема 8.4. Если комплексное число является корнем многочлена с действительными коэффициентами, то его корнем будет также и сопряженное число

Следствие . 1. Многочлен в этом случае делится на квадратный трехчлен c действительными коэффициентами

Следствие 2. Комплексные корни всякого многочлена с действительными коэффициентами попарно сопряжены.

Следствие 3. Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень. Если же действительных корней больше одного, то их будет нечетное число (так как комплексные корни попарно сопряжены).

Следствие 4. Всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить, причем единственным способом (с точностью до порядка множителей), в виде произведения его старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида х — с, соответствующих его действительным корням, и квадратных вида соответствующих парам его сопряженных комплексных корней.

Пример 8.3. Разделить многочлен на х -1.

Решение: Коэффициенты многочлена: Коэффициенты частного и остаток находим по схеме Горнера, считая

Следовательно, частное а остаток

Пример 8.4. Вычислить значение многочлена при х = 3.

Решение: По схеме Горнера находим:

Итак, поскольку

Пример 8.5. Показать, что число х = 4 является корнем многочлена

Решение: С помощью схемы Горнера находим, что

Так как то - корень многочлена.

Пример 8.6. Найти многочлен третьей степени, корни которого

Решение: Воспользуемся формулами Виета. При многочлен (8.7) и формулы (8.8) принимают соответственно вид

Подставляя в последние три формулы значения корней, получаем Следовательно,

Пример 8.7. Найти многочлен четвертой степени, имеющий корни

Решение: При многочлен (8.7) и формулы (8.8) запишутся так:

По эти формулам находим Итак,

Квадратные уравнения

Алгебраическим уравнением степени с одной переменной х называется уравнение вида

где - заданные числа, называемые коэффициентами.

Корнем алгебраического уравнения (8.9) называется такое значение переменной х = с, при котором оно обращается в тождество, т.е.

Выражение «решить уравнение» означает найти все его корни. Квадратным называется уравнение вида

Корни уравнения (8.10) вычисляются по формуле

Выражение

называется дискриминантом квадратного уравнения (8.10).

Если - действительные числа, то квадратное уравнение (8.10) при имеет два различных действительных корня, при - два равных действительных корня, при - два комплексно-сопряженных корня.

Отметим, что коэффициенты квадратного уравнения (8.10) могут быть и комплексными числами. Его корни также вычисляются по формулам (8.11). В этом случае дискриминант будет комплексным числом.

Уравнение (8.10) можно привести к виду

Корни этого уравнения вычисляются по формуле

которая является частным случаем формулы (8.11).

Пример 8.8. Решить уравнение

Решение: По формуле (8.13) получаем Это уравнение имеет корни

Пример 8.9. Решить уравнение с комплексными коэффициентами.

Решение: По формуле (8.13) находим

Кубические уравнения

Кубическим называется уравнение

Это уравнение с помощью формулы можно привести к виду

Корни кубического уравнения (8.15) вычисляются по формуле где (8.16)

или

Все три корня уравнения (8.15) определяются следующими формулами:

где - любое из трех значений определяемых первой из формул (8.16), - то из трех значений которое соответствует на основании равенства

- кубические корни из единицы.

Дискриминантом уравнения (8.15) называется выражение

Уравнение (8.15) при имеет один действительный и два комплексносопряженных корня: при D = 0 - три действительных корня, причем два равных; при D > 0 - три различных действительных корня.

Замечание . Третий случай ( D > 0 ) называется неприводимым. В этом случае все корни уравнения (8.15) с действительными коэффициентами являются действительными, однако для нахождения их по формуле (8.17) следует извлекать кубические корни из комплексных чисел.

Формула (8.17) называется формулой Кардано. Правило, соответствующее этой формуле, впервые опубликовано в книге итальянского ученого Д. Кардано «Великое искусство или о правилах алгебры» (1545). Это правило решения кубического уравнения было получено ранее (1535) другим итальянским математиком Н. Тартальей.

Пример 8.10. Решить уравнение Это уравнение вида (8.15), для которого

Решение: Составим выражение

По формулам (8.16) находим

Следовательно, равенство (8.19) выполняется. По формулам (8.18) с учетом формул (8.20) находим

Замечание. Корни можно найти и другим способом. Так как - корень уравнения, то многочлен делится на (z +З). Произведя это деление, получим Данное уравнение примет вид откуда Последнее уравнение имеет корни

Пример 8.11. Решит уравнение

Решение: Разложим на множители многочлен в левой части уравнения: к Данное уравнение примет вид и распадается на два уравнения: которые имеют корни

Уравнения четвертой степени

Алгебраическое уравнение четвертой степени

с помощью подстановки можно привести к уравнению

в котором коэффициент при равен нулю.

Это уравнение можно записать так:

где - вспомогательный параметр. Значение параметра выберем так, чтобы вычитаемый многочлен был полным квадратом. В этом случае многочлен имеет два равных корня, так как его дискриминант равен нулю, т. е.

Уравнение (8.22) принимает вид

где - отличный от нуля корень уравнения (8.23).

Уравнение (8.24) распадается на два квадратных уравнения:

Корни этих уравнений будут корнями уравнения (8.21).

Пример 8.12. Решить уравнение .

Решение: Это уравнение вида (8.21), для которого Уравнение (8.23) в данном случае сводится к квадратному уравнению относительно параметра или которое имеет корни При уравнения (8.25) запишутся так: Первое из них имеет корни а второе - Эти числа являются и корнями исходного уравнения.

Пример 8.13. Решить уравнение

Решение: Разложим на множители многочлен в левой части уравнения:

Следовательно, уравнение примет вид откуда

Решение алгебраических уравнений способом разложения многочлена на множители

Если - корни многочлена то уравнение (8.9) можно записать так:

Если - сопряженные комплексные корни, то где р и q - действительные числа

Предположим, что левая часть уравнения (8.9) разложена на множители вида х - с и Приравнивая нулю каждый множитель, получаем уравнения, каждое из которых является линейным или квадратным. Корни этих уравнений будут корнями уравнения (8.9).

Пример 8.14. Решить уравнение

Решение: Разлагаем на множители многочлен в левой части уравнения:

Данное уравнение принимает вид и распадается на два уравнения: первое из них имеет корень , а второе — два комплексно-сопряженных корня

Пример 8.15. Решить уравнение

Пример 8.16. Решить уравнение

Решение: При разложении на множители используется результат примера 8.14.

Пример 8.17. Решить уравнение

Решение: Так как

Замечание. Алгебраические уравнения степени в общем случае в радикалах не решаются, т. е. не существует формул, которые давали бы возможность вычислить корни уравнения по его коэффициентам. Это впервые доказал норвежский математик Н.Х Абель. Однако имеются частные виды уравнений любой степени, разрешимые в радикалах (например, ). Вопрос о том, каково необходимое и достаточное условие для того, чтобы алгебраическое уравнение решалось в радикалах, исследовал французский математик Э. Галуа

Разложение дробной рациональной функции в сумму элементарных дробей

Целой рациональной функцией называют алгебраический многочлен. Дробной рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

Если то рациональная дробь называется правильной.

Элементарными дробями называются рациональные дроби вида

где - натуральные числа; с, р, q, А, В, С - действительные числа; (корни трехчлена являются комплексными).

Всякую правильную рациональную дробь можно разложить в сумму элементарных дробей на основании следующей теоремы.

Теорема 8.5. Если дана правильная рациональная дробь (8.26) и

где - попарно различные действительные корни многочлена Q (x) кратности где - попарно различные при разных корни многочлена Q(x) кратности то существуют действительные числа

такие, что

Отметим, что каждому действительному корню с кратности соответствует сумма элементарных дробей вида

а каждой паре комплексно-сопряженных корней (таких, что кратности - сумма дробей вида

Пример 8.18. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную дробь

Решение: Так как то искомое разложение имеет вид

где коэффициенты А, В, С пока не определены.

Приводя к общему знаменателю правую часть и сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем

Из этой системы уравнений находим Следовательно,

Пример 8.19. Разложить в сумму элементарных дробей рациональную дробь

Решение: Разлагая знаменатель на множители, получаем

Данную рациональную дробь представим в виде суммы элементарных дробей

откуда

или

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем уравнения из которых находим

Следовательно, разложение (I) примет вид

Замечание. Коэффициенты А, В, С разложения (I) можно получить и другим способом. Полагая в тождестве (II) х = 1, получаем 3 = С*3, С=1. Положив в этом тождестве х = —2, получим , откуда А = 1/3. Аналогично при х = 0 находим 1 = А - 2В+2С, В = 2/3.

Линейные пространства

Линейное пространство. Подпространство

Линейным действительным пространством или векторным действительным пространством называется множество V элементов х, у, z ,..., для которых определены операции сложения элементов и умножения элемента на действительное число, удовлетворяющие следующим аксиомам: I. х + у = х + у, II. (x+y)+z=x+(y+z), III. Существует нулевой элемент такой, что , IV. Для каждого существует противоположный элемент - х такой, что х + (-х ) = 0, V. 1 х = х,

Эти аксиомы выполняются соответственно для всех

Элементы действительного линейного пространства называются векторами.

Замечание. Аналогично определяется комплексное линейное про странство: вместо множества R действительных чисел рассматривается множество С комплексных чисел.

Из определения линейного пространства вытекают следующие утверждения.

1. В линейном пространстве имеется единственный нулевой элемент.

2. Для любого элемента х линейного пространства существует единственны элемент -х.

3. Для элемента -х противоположным будет элемент х.

4. Для любого элементах произведение Ох = 0, где 0 - нуль, 0 — нулевой элемен

5. Для любого элемента х (-1 )х = -х , где (-х ) - элемент, противоположный х

6. Для любого числа произведение где 0 - нулевой элемент.

7. Если и то х =0.

8. Если и то

Равенство выполняется тогда и только тогда, когда или х = 0.

Замечание. Сумму х + (-у ) обозначают х - у и называют разноси элементов х и у.

Примеры линейных пространств.

1. Множество всех свободных векторов для которых определены сложение и умножение вектора на число так, как в п. 3.2, является линейным пространством. Отметим, что роль нулевого элемента здесь играет нулевой вектор; для любого вектора а противоположным является -а . Аксиомы I - V выполняются, о чем свидетельствуют формулы п. 3.2.

2. Множество всех матриц размером для которых определены сложение матриц и умножение матрицы на число соответственно формулами (5.2), (5.4). Роль нулевого элемента здесь играет нулевая матрица; для матрицы противоположной является матрица Аксиомы I - VIII выполняются (см. п. 5.2, свойства 1 - 8 линейных операций над матрицами).

3. Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа для которых операции сложения многочленов и умножения многочлена на действительное число определены обычными правилами. Нулевой элемент - многочлен, все коэффициенты которого равны нулю; для многочлена противоположным будет

Замечание. Множество всех многочленов степени, точно равной натуральному числу не является линейным пространством, так как сумма двух таких многочленов может оказаться многочленом степени ниже (т. е. не принадлежать рассматриваемому множеству).

4. Множество элементами которого являются упорядоченные совокупности действительных чисел Каждый элемент этого множества будем обозначать одним символом, например х, у,..., и писать Действительные числа называют координатами элемента х. Линейные операции над элементами определяются формулами Отметим, что элемент 0 = (0,0,..., 0) является нулевым, элемент - противоположным элементу

5. Множество всех функций x = x(t), определенных и непрерывных на отрезке Операции сложения этих функций и умножения функции на число определяются обычными правилами. Нулевым элементом является функция x(t)= 0 для всех Элементом, противоположным элементу будет

Множество называется подпространством линейного пространства V, если выполняются следующие условия: 1. В множестве W определены те же операции, что и в множестве V. 2. Если то 3. Если то Очевидно, всякое подпространство W линейного пространства V является линейным пространством, т.е. в W выполняются аксиомы I - VIII. Прежде всего, в W имеется нулевой элемент 0: если то Для любого элемента имеется противоположный элемент -х : если то

Отметим, что нулевой элемент 0 линейного пространства У образует подпространство этого пространства, которое, называют нулевым подпространством.

Само линейное пространство V можно рассматривать как подпространство, этого пространства. Эти подпространства называются тривиальными, а все другие, если они имеются, - нетривиальными. Приведем примеры нетривиальных подпространств. 1. Множество всех свободных векторов параллельных некоторой плоскости, для которых обычным образом определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, представляет подпространство линейного пространства 2. Множество всех свободных векторов параллельных некоторой прямой, также является подпространством линейного пространства 3. Множество всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа является подпространством линейного пространства

Линейная зависимость и линейная независимость векторов линейного пространства

Рассмотрим векторы (элементы) линейного пространства. Вектор где - некоторые числа, называется линейной комбинацией векторов а числа - коэффициентами этой линейной комбинации. Если все числа равны нулю, то линейная комбинация называется тривиальной. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, линейная комбинация называется нетривиальной. Система векторов

называется линейно зависимой, если существуют числа

не все равные нулю, такие, что

Если таких чисел не существует, т. е. равенство (9.3) выполняется только в случае

то система векторов (9.1) называется линейно независимой.

Другими словами, векторы (9.1) называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нуль-векгору, и линейно независимыми, если только их тривиальная линейная комбинация является нуль-вектором.

Из определения линейной зависимости и линейной независимости векторов вытекают следующие утверждения.

1. Всякая система векторов, содержащая нуль-вектор, является линейно зависимой.

2. Если векторов системы (9.1) линейно зависимы, то и вся система линейно зависима.

3. Если из системы линейно независимых векторов отбросить векторов, то оставшиеся векторы образуют также линейно независимую систему.

4. Если среди векторов системы (9.1) имеются такие векторы что - некоторое число, то система (9.1) линейно зависима.

Теорема 9.1. Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией всех остальных.

Эта теорема выражает необходимое и достаточное условие линейной зависимости п векторов .

Два вектора линейного пространства называются коллинеарными, если они линейно зависимы, и неколлинеарными, если они линейно независимы. Три вектора линейного пространства называются компланарными, если они линейно зависимы, и некомпланарными, если они линейно независимы. Введенные понятия коллинеарности и компланарности векторов линейного пространства совпадают с известными из аналитической геометрии понятиями коллинеарности и компланарности обычных векторов.

Размерность и базис линейного пространства. Изоморфизм линейных пространств

Число называется размерностью линейного пространства V, если выполняются следующие условия: 1) в V существует линейно независимых векторов; 2) любая система + 1 векторов из V линейно зависима. Размерность линейного пространства V обозначают dim V (от французского слова dimension - размерность). Если пространство состоит из одного нулевого элемента, то его размерность считают равной нулю. Размерность линейного пространства- это наибольшее возможное количество линейно независимых элементов в нем. Понятие размерности согласуется с наглядным Представлением о ней; так, пространство всех свободных векторов является трехмерным (dim = 3), пространство - двумерным, пространство - одномерным.

Базисом n-мерного линейного пространства называется любая упорядоченная система n линейно независимых векторов этого пространства. Приведем примеры базисов некоторых линейных пространств. Базис пространства образует любая тройка некомпланарных векторов, так как эти векторы линейно независимы (см. теорему 3.4), и любая четверка векторов линейно зависима (см. теорему 3.6). Базис пространства образует два любых неколлинеарных вектора, поскольку они линейно независимы (см. теорему 3:2). и любой вектор плоскости, определяемой двумя векторами, можно разложить по ним (см. терему 3.3). Базисом линейного пространства является любой ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой.

Линейное пространство, в котором имеется базис, состоящий из конечного числа векторов, называется конечномерным. Примерами конечномерных пространств являются пространства

Линейное пространство является n-мерным, а его базис образует система векторов

Линейное пространство Называется бесконечномерным, если при любом натуральном числе в нем найдется линейно независимых векторов. Примером бесконечномерного пространства может служить линейное пространство всех функций х = х (t), определенных и непрерывных на отрезке

Два линейных пространства V и U называются изоморфными, когда между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие такое, что если где то где - действительное число.

Теорема 9.2. Два линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую размерность.

В частности, пространство (всех свободных векторов) и пространство (всех упорядоченных троек действительных чисел) изоморфны. Отметим также, что каждое конечномерное линейное пространство размерности п изоморфно линейному пространству

Координаты вектора линейного пространства

Теорема 9.3. Если - базис линейного -мерного пространства то любой вектор х этого пространства линейно выражается через базисные векторы т. е.

Коэффициенты этого разложения определяются однозначно.

Выражение (9.5) называется разложением вектора х по базису . Координатами вектора х в базисе называют коэффициенты в разложении этого вектора по данному базису, т. е. в формуле (9.5). Если вектор х в некотором базисе имеет координаты , то пишут х = ( ), или х ( ).

Операции над векторами сводятся к операциям над их координатами на основании следующих свойств.

1. Вектор является нулевым вектором линейного пространства тогда и только тогда, когда все его координаты в любом базисе равны нулю.

2. Координаты суммы двух векторов в некотором базисе равны сумме соответствующих координат данных векторов в том же базисе.

3. Координаты произведения вектора на число равны произведению соответствующих координат на это число (в одном и том же базисе).

4. Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты в одном и том же базисе.

5. Вектор у является линейной комбинацией векторов тогда и только тогда, когда каждая координата вектора у является такой же линейной комбинацией соответствующих координат этих векторов в одном и том же базисе.

Пример 9.1. Пусть - четырехмерное линейное пространство с базисом Найти координаты векторов в этом базисе.

Решение: Представим каждый из векторов и х в виде (9.5). Так как то. вектор имеет координаты (0,0,1,0). Поскольку то вектор х имеет координаты (3,0, -5,7).

Пример 9.2. В некотором базисе даны векторы х (1,2,-2,-1,3), у ( 4 ,- 3 ,-2 ,1 ,-1 ). Найти координаты вектора 5х-3у.

Решение: Так как 5х = (5 ,10, -10,-5,15), -3 у = (-1 2 ,9 ,6 ,-3 ,3 ), то вектор 5х - Зу = 5х + ( - Зу) имеет координаты ( - 7,19, - 4, - 8,18).

Ранг системы векторов линейного пространства

Рассмотрим систему векторов

линейного -мерного пространства, координаты которых заданы в одном и том же базисе. Системе векторов (9.6) поставим в соответствие матрицу

в столбце которой записаны координаты вектора Матрицу (9.7) называют матрицей системы векторов (9.6) в данном базисе, а ранг этой матрицы - рангом системы векторов Обратно, если дана матрица (9.7) , то ей можно поставить в соответствие систему (9.6) векторов линейного мерного пространства. Согласно свойству 5 п. 9.4, будем говорить, что столбцы матрицы (9.7) линейно зависимы, если векторы (9.6) линейно зависимы и обратно.

Теорема 9.4. Для того чтобы т векторов п-мерного линейного пространства были линейно независимы, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен .

Следствие 1. Система векторов -мерного линейного пространства линейно независима тогда и только тогда, когда матрица этой системы векторов является невырожденной.

Следствие 2. Если ранг матрицы системы векторов линейного пространства равен то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно

Пример 9,3. Найти максимальное число линейно независимых векторов в системе

Решение: Матрица данной системы векторов имеет вид

Так как ранг этой матрицы равен 3 (см. пример 5.16), то максимальное число линейно независимых векторов этой системы равно 3.

Теорема 9.5. Максимальное число линейно независимых строк всякой матрицы равно максимальному числу ее линейно независимых столбцов, т. е. равно рангу этой матрицы.

Преобразование координат вектора при изменении базиса

В линейном -мерном пространстве фиксируем два базиса

Матрицей перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) называется матрица системы векторов (9.9) в базисе (9.8). Каждый вектор системы (9.9) можно разложить по базису (9.8). Пусть

тогда матрица перехода от базиса (9.8) к базису (9.9) имеет вид

Матрица перехода от одного базиса к другому невырожденная (так как базисные векторы линейно независимы). Всякую невырожденную матрицу -го порядка можно рассматривать как матрицу перехода от одного базиса -мерного линейного пространства к другому базису этого пространства. Очевидно, матрица обратная матрице (9.11), является матрицей перехода от базиса (9.9) к базису (9.8).

Теорема 9.6. Если - координаты вектора х в базисе - координаты того же вектора в базисе то

где

Т - матрица, определяемая формулой (9.11).

Замечание. Теорема 9.6 выражает старые координаты вектора х через его новые координаты. Чтобы получить формулы, выражающие новые координаты через старые, умножим слева равенство (9.12) на матрицу обратную матрице Т, получим или .

Пример 9.4. В пространстве рассмотрим базис где i, j - орты, и базис где - орты, причем образует с i угол (рис.9.1).

Решение: В данном случае Матрица перехода от базиса i, j к базису имеет вид

Если вектор а имеет координаты х, у в базисе i, j; - в базисе , то

Евклидово пространство

Определение евклидова пространства. В линейном действительном пространстве V, кроме операций сложения векторов и умножения вектора на действительное число, введем еще одну операцию, которую назовем скалярным умножением векторов. Каждой упорядоченной паре векторов поставим в соответствие действительное число, которое назовем их скалярным произведением и обозначим (х, у). Потребуем, чтобы для любых и любого числа выполнялись следующие аксиомы: I. (х, у) = (у, х), II. (х + у, z)= = (х, z) + (y, г), IV. (х,х)>0 для всех (х,х) = 0 для х = 0.

Очевидно, скалярное произведение равно нулю, если хотя бы один из векторов нулевой: (0, у) = (Ох, у) = 0 (х, у) = 0.

Скалярное произведение (х, х) вектора х на себя называется скалярным квадратом этого вектора и обозначается т. е.

Евклидовым пространством называется Линейное действительное пространство, в котором задана операция скалярного умножения векторов, удовлетворяющая аксиомам I - IV. Если л-мерное линейное пространство является евклидовым, то будем называть его евклидовым -мерным пространством, а базис этого линейного прбстранства - базисом евклидова пространства.

Примеры евклидовых пространств. 1 В линейном пространстве скалярное произведение двух векторов а и b определим так, как в п. 3.6; аксиомы I - IV для него будут выполнены (см. свойства скалярного произведения и определение скалярного квадрата вектора).

Следовательно, линейное пространство всех свободных векторов с обычным определением скалярного произведения является евклидовым пространством.

2. Рассмотрим -мерное линейное пространство упорядоченных совокупностей действительных чисел. Скалярное произведение двух его элементов по аналогии с формулой (3.21) определим соотношением

Легко видеть, что все аксиомы I - IV скалярного произведения при этом выполняются. Таким образом, рассматриваемое линейное пространство со скалярным произведением (9.15) является евклидовым пространством, его обозначают

3. В бесконечномерном линейном пространстве всех функций, непрерывных на отрезке скалярное произведение двух его функций х (t), определим формулой

Непосредственной проверкой можно убедится в том, что аксиомы I - IV скалярь ного произведения будут выполнены, в частности при (х,х) = 0 при

Следовательно, линейное пространство с указанным определением скалярного произведения любых двух его элементов является евклидовым пространством.

Норма вектора евклидова пространства. Нормой вектора евклидова пространства называется арифметическое значение корня из скалярного квадрата этого вектора. Норму вектора х обозначим тогда по определению

Норма вектора обладает следующими свойствами; 1) тогда и только тогда. когда х = 0; 2) где -действительное число; 3) 4)

Неравенством Коши - Буняковского называют неравенство

а неравенством треугольника - неравенство

Запишем норму и неравенства (9.18), (9.19) для векторов (элементов) каждого из рассмотренных выше евклидовых пространств.

В евклидовом пространстве с обычным определением скалярного произведения норма вектора совпадает с его длиной, т. е. это следует из формул и (9.17). Неравенства (9.18) и (9.19) принимают соответственно вид Отметим, что неравенство следует из формулы (3.18). Неравенство следует из определений суммы векторов и длины вектора; оно имеет простой геометрический смысл (в треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей стороны).

В евклидовом пространстве норма элемента x(t) определяется формулой

неравенства (9.18) и (9.19) принимают вид

В евклидовом пространстве со скалярным произведением (9.15) норма элемента определяется формулой

неравенства (9.18) и (9.19) принимают вид

Угол между двумя векторами евклидова пространства. Углом между, двумя векторами х и у евклидова пространства называется угол для которого

Отметим, что в пространстве всех свободных векторов введенное понятие угла совпадает с понятием угла, рассматриваемого в векторной алгебре.

Два вектора евклидова пространства называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Очевидно, иуфюй вектор ортогонален любому другому вектору. В пространстве ортогональность векторов означает их перпендикулярность.

Из определений следует, что ненулевые векторы х и у ортогональны тогда и только тогда, когда

Равенство

выполняется тогда и только тогда, когда х и у колпинеарны ( ). Другими словами, в формуле (9.18) равенство достигается лишь в случае коллинеарности векторов х и у.

Ортонормироваиный базис. Система векторов называется ортогональной, если эти векторы ортогональны, т. е.

Теорема 9.7. Ортогональная система ненулевых векторов линейно независима

Вектор а называется нормированным или единичным, если Если а - ненулевой вектор, то каждый из векторов

будет нормированным. Нахождение для данного вектора нормированного вектора по формулам (9.22) называется нормированием данного вектора, а множитель — нормирующим множителем.

Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и каждый вектор является нормированным, т. е.

где

Базис -мерного евклидова пространства называется ортонормированным, если базисные векторы образуют ортонормированную систему.

Теорема 9.8. Во всяком евклидовом -мерном пространстве существует ортонормироваиный базис.

Выражение скалярного пронзведення через координаты векторов в ортонормированием базисе. Пусть в -мерном евклидовом пространстве фиксирован ортонормироваиный базис и даны векторы этого пространства

Скалярное произведение этих векторов выражается формулой

Отсюда следует, что

Унитарное пространство

Комплексное линейное пространство U называется унитарным пространством, если каждой паре векторов поставлено в соответствие комплексное число, обозначаемое (х, у) и называемое скалярным произведением векторов х и у, причем выполняются следующие аксиомы: II. (х+ у, z) = (x, z)+(y, z), IV. (х ,х ) > 0 если для всех и всех (С - множества комплексных чисел).

Замечание . Черта означает комплексную сопряженность: — комплексное число, сопряженное комплексному числу (у, х).

Из аксиом скалярного произведения в унитарном пространстве вытекают следующие свойства:

1) (x ,y + z) = (x ,y )+ (x ,z) для любых

2) для любых и любого

3) (0, х) = (х, 0) = 0 для любого

4)

Примером унитарного пространства является множество упорядоченных систем комплексных чисел

для которых скалярное произведение определено формулой

где - комплексное число, сопряженное числу

Унитарным преобразованием комплексного линейного пространства называется линейное преобразование, сохраняющее положительно определенную эрмитову форму где — координаты вектора пространства В ортонормированном базисе относительно эрмитова произведения, задаваемого этой формой, унитарное преобразование записывается унитарной матрицей. Унитарной матрицей называется квадратная невырожденная матрица А, удовлетворяющая условию где - обратная матрица, - транспонированная и комплексносопряженная матрица. Определитель унитарной матрицы по модулю равен единице. Все характеристические корни унитарной матрицы по модулю равны единицы. Всякая (действительная) ортогональная матрица есть в то же время унитарная матрица.

Линейные преобразования (линейные операторы)

Линейное преобразование и его матрица

Если указано правило по которому каждому вектору х линейного пространства V ставится в соответствие единственный вектор у этого пространства, то будем говорить, что в нем задано преобразование (отображение, оператор) или задано преобразование пространства V в себя, и писать : . Говорят также, что преобразование переводит вектор х в вектор у, и пишут Вектор у называют образом вектора х, а х - прообразом вектора у.

Преобразование, при котором каждый вектор имеет единственный прообраз, называется взаимно однозначным (или биективным).

Преобразование линейного пространства V называется линейным преобразованием (линейным оператором), если для любых векторов этого пространства и любого действительного числа выполняются условия

(Если рассматривается комплексное пространство, то - любое комплексное число.)

Из этих условий следует, что

где — любые числа (действительные или комплексные). Обратно, из равенства (Ю.1) следуют условия 1) и 2). Итак, линейное преобразование (линейный оператор) определяется равенством (10, 1).

Отметим, что линейное преобразование переводит нулевой вектор в нулевой, так как, согласно условию 2)

Простейшим примером линейного преобразования является тождественное преобразование или преобразование т.е. преобразование, которое каждому вектору линейного пространства ставит в соответствие тот же вектор. Линейное преобразование будет вполне определено, если заданы образы базисных векторов рассматриваемого пространства.

Пусть — линейное преобразование -мерного линейного пространства, переводящее базисные векторы в векторы . Каждый из последних векторов разложим по базису:

Матрица

в которой столбец состоит из координат вектора называется матрицей линейного преобразования в базисе ранг матрицы А называется рангом преобразования а число - дефектом этого преобразования.

Итак, каждому линейному преобразованию -мерного линейного пространства соответствует матрица порядка в данном базисе; и наоборот, каждой матрице порядка соответствует линейное преобразование -мерного пространства.

Отметим, что матрица тождественного преобразования в любом базисе будет единичной; обратно, любой единичной матрице -го порядка соответствует тождественное преобразование линейного -мерного пространства.

Пример 10.1. В пространстве всех свободных векторов на плоскости определим преобразование поворота всех векторов вокруг начала координат на угол

Решение: Каждому вектору х (рис. 10.1) этой плоскости ставим в соответствие вектор полученный вращением вектора х на один и тот же угол Это преобразование является линейным, поскольку условия 1) и 2 ), определяющие линейное преобразование, будут выполнены. Найдем матрицу этого линейного преобразования в базисе i, j . (рис. 10.2, а, б). Так как то

Линейное преобразование в координатах

Рассмотрим линейное преобразование -мерного линейного пространства, заданное в некотором базисе матрицей

Координаты вектора х и его образа известны:

Зависимость между координатами векторов х и у выражается формулами

Формулы (10.4) можно записать в матричном виде

Y = AX,

где А определяется формулой (10.2), Х и Y - формулами

Если переменные связаны с переменными формулами (10.4), то будем говорить, что задано линейное однородное преобразование переменных с матрицей А, переводящее переменные в переменные . Оно обладает теми же свойствами, что и линейное преобразование «-мерного линейного пространства Линейное однородное преобразование переменных (10.4) или (Ю.5) называется невырожденным, если

Замечание. При рассмотрении линейных преобразований (линейных операторов) пользуются и другими обозначениями. Если где - линейное преобразование (линейный оператор) с матрицей А в некотором базисе, то пишут у = Ах. Условия 1) и 2), определяющие линейное преобразование, можно записать в виде

Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы

В n-мерном линейном пространстве фиксируем два базиса: и первый из них назовем старым, второй — новым. Предположим, что известно преобразование, переводящие старый базис в новый.

Теорема 10.1. Если и - два базиса линейного пространства, А — матрица линейного преобразования в старом базисе , то матрица В этого преобразования в новом базисе имеет вид

где Т — матрица перехода от старого базиса к новому.

Следствие. Если линейное преобразование имеет невырожденную матрицу в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырожденной в любом другом базисе.

Матрица В называется подобной матрице А, если существует невырожденная квадратная матрица С, удовлетворяющая равенству

Две квадратные матрицы А и В порядка тогда и только тогда являются матрицами одного и того же линейного преобразования пространства в соответствующих базисах, когда матрица В подобна матрице А.

Пример 10.2. В базисе преобразование имеет матрицу

Решение: Найти матрицу преобразования в базисе

Так как

то по формуле ( 1 0 .6 ) получаем

Характеристическое уравнение линейного преобразования

Теорема 10.2. Если линейное преобразование в базисе имеет матрицу А и в базисе - матрицу В,

где — любое действительное число, Е - единичная матрица -го порядка.

Отметим, что является многочленом степени относительно и называется характеристическим многочленом матрицы А или характеристическим многочленом линейного преобразования

Замечание. Равенство (10.7) означает, что характеристический многочлен линейного преобразования остается неизменным при переходе к новому базису; матрица линейного преобразования меняется.

Характеристическим уравнением линейного преобразования называется уравнение

где А — матрица этого преобразования в некотором базисе. Очевидно, характеристическое уравнение не зависит от выбора базиса. Уравнение (10.8) называют также характеристическим уравнением матрицы А, а корни уравнения - характеристическими числами линейного преобразования или характеристическими числами матрицы А.

Если линейное преобразование в некотором базисе имеет квадратную матрицу порядка то характеристическое уравнение ( 10.8 ) запишется так:

Левая часть равенства (10.9) является характеристическим многочленом матрицы А; обозначим его тогда характеристическое уравнение (10.9) примет вид

Пример 10.3. Найти характеристический многочлен и характеристические числа матрицы

Решение: В соответствии с определением характеристического многочлена получаем

Приравнивая этот многочлен нулю, находим характеристическое уравнение или Разлагая левую часть этого уравнения на множители приводим данное уравнение к виду откуда Эти корни - характерист ичсскис числа данной матрицы.

Собственные векторы линейного преобразования

Ненулевой вектор х линейного пространства называется собственным вектором линейного преобразования этого пространства, если существует число такое, что

причем - действительное число для действительного линейного пространства и комплексное число в случае комплексного пространства. Число называется собственным значением вектора х относительно преобразования Равенство (10.10) можно записать в матричном виде

где А - матрица преобразования в некотором базисе, X - матрица-столбец из координат собственного вектора х в том же базисе. Ненулевая матрица-столбец X, удовлетворяющая уравнению ( 10.11 ), называется собственным вектором-столбцом матрицы А с собственным значением .

Собственные векторы и собственные значения обладают следующими свойствами.

1. Собственный вектор линейного преобразования имеет единственное собственное значение .

2. Если х - собственный вектор линейного преобразования с собственным числом и - любое, отличное от нуля число, то - также собственный вектор преобразования с собственным значением

3. Если х и у - линейно независимые собственные векторы линейного преобразования с одним и тем же собственным значением , то х + у - также собственный вектор этого преобразования с собственным значением .

4. Если х и у - собственные векторы линейного преобразования с собственными числами причем то х и у линейно независимы.

Следствие. Если - линейно независимые собственные векторы линейного преобразования с одним и тем же собственным значением , то любая нетривиальная линейная комбинация этих векторов является собственным вектором этого преобразования с собственным значением .

Теорема 10.3. В комплексном линейном пространстве все корни характеристического уравнения и только они являются собственными значениями линейного преобразования.

Координаты собственного вектора находятся из системы уравнений

Эта система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю (см. следствие из теоремы Крамера), т. е.

Это означает, что число является корнем характеристического уравнения.

Замечания. 1. Уравнение (10.13) является алгебраическим уравнением -степени относительно Такое уравнение имеет ровно корней, считая равные и комплексные. Среди корней этого уравнения может не оказаться действительных.

2. Собственными значениями линейного преобразования действительного пространства являются только действительные корни характеристического уравнения.

Собственные значения линейного преобразования называются также собственными значениями матрицы этого преобразования. Собственное значение называется m-кратным, если оно является m-кратным корнем характеристического уравнения.

Теорема 10.4. Корни характеристического уравнения действительной симметрической матрицы являются действительными числами.

Следствие. Действительная симметрическая матрица имеет только действительные собственные векторы.

Система (10.12) для определения координат собственного вектора в этом случае имеет только действительные решения, так как и - действительные числа

Теорема 10.5. Собственные векторы действительной симметрической матрицы, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны.

Пример 10.4. Найти действительные собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

Решение: Составляем характеристическое уравнение матрицы А

Разложим на множители многочлен в левой части уравнения: Уравнение принимает вид откуда Следовательно, линейное преобразование с данной матрицей имеет только одно действительное собственное значение

Для отыскания соответствующего собственного вектора используем систему уравнений (10.12), которая принимает вид

при Решая полученную систему, находим Полагая получаем собственный вектор х = (1, 2 , 1).

Замечание. Собственный вектор линейного преобразования определяется с точностью до произвольного множителя (см. свойство 2 собственного вектора).

Приведение матрицы линейного преобразования к диагональному виду

Теорема 10.6 . Матрица линейногопреобразования имеет диагональный вид

тогда и только тогда, когда каждый базисный вектор является собственным вектором этого преобразования.

Матрица А называется приводимой к диагональному виду, если существует невырожденная матрица Т такая, что матрица является диагональной. Следовательно, если матрица А приводима к диагональному виду, то

— характеристические числа матрицы А.

Теорема 10.7. Матрица А линейного преобразования -мерного линейного пространства приводима к диагональному виду тогда и только тогда , когда существует базис этого пространства , состоящий из собственных векторов данного преобразования.

Если все собственные числа матрицы А попарно различны, то матрица приводится к диагональному виду.

Действия над линейными преобразованиями

Произведение преобразований. Рассмотрим преобразование переводящие вектор х в вектор у, т. е. К вектору у применим преобразование g, переводящие вектор у в вектор z, т. е. z=g(y). Так как то имеем преобразование переводящее вектор х в вектор z, причем z получен в результате последовательного применения преобразований . Преобразование, заключающееся в последовательном применении преобразований , называется произведением преобразования на преобразование g или композицией этих преобразований и обозначается (или просто ); отметим, что справа записывается первое преобразование. Таким образом,

Произведение линейных преобразований является линейным преобразованием.

Теорема 10.8. Если в некотором базисе линейные преобразования имеют соответственно матрицы А и В, то их произведение в том же базисе имеет матрицу ВА.

Сумма преобразований. Суммой преобразований некоторого пространства называется преобразование h такое, что для любого вектора х этого пространства

Сумму преобразований будем обозначать Очевидно .

Теорема 10.9. Если линейные преобразования в некотором базисе имеют соответственно матрицы А и В, то преобразование в том же базисе имеет матрицу А + В.

Пример 10.5. Даны два линейных преобразования

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее

Решение: Первое преобразование задано матрицей А, второе - матрицей В, где

Искомое преобразование в соответствии с теоремой 10.8. имеет матрицу ВА. Умножив матрицу В на матрицу А, получим

Следовательно, искомое преобразование определяется формулами

Невырожденные линейные преобразования. Преобразование, обратное данному

Линейное преобразование называется невырожденным, если его матрица является невырожденной; в противном случае линейное преобразование называется вырожденным.

Теорема 10.10. Линейное преобразование является невырожденным тогда и только тогда, когда оно взаимно однозначно.

Следствие. Линейное невырожденное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой; обратно также верно: если линейное преобразование ненулевой вектор переводит в ненулевой, то оно будет невырожденным.

Теорема 10.11. Произведение двух линейных невырожденных преобразований есть невырожденное линейное преобразование. Преобразование называется обратным преобразованию если для любого вектора х

т. е. произведение этих преобразований является тождественным преобразованием. Из определения следует, что если — преобразование, обратное преобразованию то - преобразование, обратное . Преобразования и , удовлетворяющие условию (10.17), называются взаимно обратными.

Линейное преобразование имеет обратное преобразование тогда и только тогда, когда оно является невырожденным.

Для любого невырожденного линейного преобразования с матрицей А в некотором базисе существует единственное обратное преобразование с матрицей в том же базисе.

Пример 10.6. Найти линейное преобразование, обратное преобразованию

Решение: Это преобразование имеет матрицу А, определитель которой отличен от нуля, поэтому для него существует обратное преобразование с матрицей . Так как

то обратное преобразование выражается формулами

Ортогональные матрицы

Матрица

называется ортогональной, если соответствующая ей система векторов

является ортонормированной.

Векторы (10.19) будут ортонормированиями (см. п. 9.7), если

для любых

Примеры ортогональных матриц:

Отметим, что единичная матрица любого порядка является ортогональной.

Теорема 10.12. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А выражается равенством

где - матрица, полученная из матрицы А транспонированием, Е - единичная матрица того же порядка, что и А.

Следствие 1. Модуль определителя ортогональной матрицы равен единице.

Следствие 2. Ортогональная матрица является невырожденной матрицей.

Следствие 3. Произведение двух ортогональных матриц есть ортогональная матрица.

Следствие 4. Равенство выражает необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А.

Следствие 5. Матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы, является ортогональной.

Следствие 6 . Матрица, обратная ортогональной матрице, является ортогональной.

Замечания. 1. Из условия не следует, что А - ортогональная матрица. Например, матрица для которой не является ортогональной, так как .

2. Сумма ортогональных матриц не является ортогональной матрицей.

3. Необходимое и достаточное условие ортогональности матрицы А можно выразить равенством

Теорема 10.13. Матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.

Ортогональные преобразования

Линейное преобразование евклидова пространства называется ортогональным, если в некотором ортонормированием базисе его матрица ортогональна.

Теорема 10.14. Линейное преобразование евклидова пространства является ортогональным тогда и только тогда, когда оно ортонормированный базис переводит в ортонормированный.

Теорема 10.15. Ортогональное преобразование не меняет скалярного произведения векторов.

Следствие 1. При ортогональном преобразовании остается неизменной норма вектора, т. е.

С л е д с т в и е 2. При ортогональном преобразовании остается неизменным угол между векторами, т. е.

Ортогональные преобразования обладают следующими свойствами.

1. Ортогональное преобразование является невырожденным.

2. Для любого ортогонального преобразования существует обратное преобразование, являющееся ортогональным.

3. Если ортогональное преобразование имеет матрицу А, то обратное ему преобразование имеет матрицу

4. Произведение двух ортогональных преобразований является ортогональным преобразованием.

Квадратичные формы

Квадратичная форма и ее матрица

Квадратичной формой действительных переменных называется сумма вида

или

где - некоторые числа, называемые коэффициентами. Не ограничивая общности, можно считать, что

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или комплексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме (11.1) соответствует единственная симметрическая матрица

И наоборот, всякой симметрической матрице (11.3) соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. и вырожденной, если

Квадратичную форму ( 1 1.1) переменных можно записать в матричном виде. Действительно, если X - матрица-столбец из переменных - матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то

где А определяется формулой (11.3).

Пример 11.1. Записать матрицу квадратичной формы и найти ее ранг.

Решение: В данном случае поэтому

Вычислим определитель этой матрицы

Так как то ранг матрицы равен трем Эта квадратичная форма является невырожденной, поскольку

Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных

Рассмотрим квадратичную форму (11.1). Перейдем к новым переменным по формулам

или в матричном виде

где

В квадратичной форме (11.1) вместо подставим их выражения через определяемые формулами (11.5), получим квадратичную форму переменных с некоторой матрицей С. В этом случае говорят, что квадратичная форма переводится в квадратичную форму линейным однородным преобразованием (П.5). Линейное однородное преобразование (1 1 .6 ) называется невырожденным, если

Две квадратичные формы называются конгруэнтными, если существует невырожденное линейное однородное преобразование, переводящее одну форму в другую. Если и конгруэнтны, то будем писать

Свойства конгруэнтности квадратичных форм.

1.

2. Если то

Теорема 11.1. Квадратичная форма с матрицей А линейным однородным преобразованием переводится в квадратичную форму сматрицей

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные фермы имеют одинаковые ранги.

Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду

Квадратичная форма называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т. е.

Каноническая квадратная форма называется нормальной (или имеет нормальный ввд), если т. е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или -1. Например, квадратичная форма для которой имеет канонический вид; квадратная форма является нормальной, так как

Теорема 11.2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду

где - новые переменные.

Некоторые из коэффициентов могут оказаться равными нулю; число отличных от нуля коэффициентов в этой формуле равно рангу матрицы квадратичной формы

Теорема 11.3. Любую действительную квадратичную форму линейным невырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду

Число входящих сюда квадратов равно рангу формы.

Закон инерции квадратичных форм

Закон инерции квадратичных форм выражает

Теорема 11.4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индексом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инерции - сигнатурой формы Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 11.5. Две действительные квадратичные формы от переменных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Знакоопределенные квадратичные формы

Действительная квадратичная форма называется положительно-определенной, если она приводится к нормальному виду, состоящему из положительных квадратов: где

т. е. если ранг и положительный индекс инерции равны числу неизвестных.

Систему значений назовем нулевой, если и ненулевой, если хотя бы одно из них отлично от нуля.

Теорема 11.6. Действительная квадратичная форма является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных

Пусть дана квадратичная форма с матрицей Главными минорами квадратичной формы называются миноры

т. е. миноры порядка 1,2,.... матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.

Теорема 11.7. Квадратичная форма с действительной матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны.

Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, если она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду

Теорема 11.8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного — отрицательны.

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными.

Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

Пример 11.2. Доказать, что квадратичная форма положительно-определенная.

Запишем матрицу А этой квадратичной формы и определитель матрицы А:

Так как главные миноры матрицы и т.е. все положительны, то данная квадратичная форма является положительно-определенной.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных

Теорема 11.9. Если существует ортогональное преобразование с матрицей С, приводящее действительную квадратичную форму к каноническому виду

то - характеристические числа матрицы А квадратичной формы

Теорема 11.10. Для любой действительной квадратичной формы существует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Теорема 11.11. Для любой действительной симметрической матрицы А существует такая ортогональная матрица Т, что — диагональная матрица.

Следствие. Любая действительная симметрическая матрица может быть приведена к диагональному виду.

Теорема 11.12. Если линейное преобразование действительного линейного пространства имеет действительную симметрическую матрицу в некотором ортонормированном базисе, то существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов этого преобразования.

Из этих теорем следует правило нахождения ортогонального преобразования, приводящего квадратичную форму переменных к каноническому виду. Это правило состоит в следующем: 1) записать матрицу данной квадратичной формы, найти ее собственные значения и попарно ортогональных собственных векторов, пронормировать их; 2 ) составить матрицу из ортонормированных собственных вектор-столбцов; 3) записать искомое ортогональное преобразование с помощью последней матрицы.

Пример 11.3. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму двух переменных

Решение: Поскольку в данном случае то матрица А этой квадратичной формы и ее характеристическое уравнение запишутся так:

Характеристическое уравнение или имеет корни которые являются собственными значениями матрицы А.

Найдем собственные векторы, соответствующие полученным собственным значениям. Координаты (s, t) этих векторов определяются из системы уравнений ( 1 0 .12 ), которая в данном случае имеет вид

При имеем две системы

Из этих систем находим собственные векторы где . Положив получим Нормировав эти векторы, запишем их координаты в столбцы, составим матрицу В:

С помощью матрицы В записываем искомое ортогональное преобразование

Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду

Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости

Фигурой второго порядка на плоскости называется множество точек этой плоскости, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению второй степени

где одновременно в нуль не обращаются. Отметим, что это множество, в частности, может состоять из единственной точки или оказаться пустым.

Первые три члена левой части уравнения (11.12) образуют квадратичную форму двух переменных

с симметрической матрицей

По теореме 11.10 эту квадратичную форму ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду

с матрицей

где — характеристические числа матрицы А, т. е. корни характеристического уравнения матрицы А:

При этом ортогональном преобразовании уравнение (11.12) примет вид

Это уравнение можно привести к каноническому виду путем выделения в левой части полных квадратов.

Фигуру второго порядка, определяемую уравнением (11.12), называют центральной, если и нецентральной, когда

Отметим, что при ортогональном преобразовании переменных определитель матрицы квадратичной формы не меняется, т. е. det С = det А. Так как (см. (11.16)), то

Пусть уравнение (11.18) определяет центральную фигуру, т. е. . Здесь возможны два случая: 1) (числа одного знака), фигура называется фигурой эллиптического типа; 2 ) (числа имеют разные знаки), фигура называется фигурой гиперболического типа.

Если то уравнение (11.18), выделив в его левой части полные квадраты, можно привести к виду

или

где

Формулы (11.21) выражают зависимость между координатами при параллельном переносе координатных осей в точку

В случае уравнение (11.20) приводится к одному из канонических видов

в зависимости от знаков

Уравнение (11.25) определяет эллипс, уравнению (11.23) не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, уравнению (11.24) удовлетворяют координаты одной точки

В случае уравнение (11.20) приводится к одному из канонических видов

в зависимости от знаков

Уравнение (11.25) определяет гиперболу с действительной осью уравнение (11.26) — гиперболу с действительной осью уравнение (11.27) - пару пересекающихся прямых, так как оно распадается на два уравнения

Обратимся к нецентральным фигурам, т.е. к случаю когда В силу (11.19) из равенства следует, что Последнее равенство означает, что одно из чисел равно нулю (оба числа в нуль обратиться не могут, так как это означало бы, что квадратичная форма (11.13) является вырожденной, чего быть не может, поскольку ). Если то уравнение (11.18) можно привести к виду Я и записать так:

Осуществим параллельный перенос репера на вектор получим новую систему координат причем определяются формулами (11.21). Уравнение (11.28) приведем к виду

Уравнение (11.29) определяет параболу с осью

Если в уравнении (11.18) (и ), то, выделив полный квадрат, его можно записать так:

Осуществив параллельный перенос репера на вектор т.е. выполнив преобразование получим новую систему координат в которой уравнение (11.30) принимает один из видов:

в зависимости от соотношения знаков чисел Первое из уравнений (11.31) определяет пару параллельных прямых второму уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки плоскости, третье уравнение определяет пару совпавших прямых

Операция перехода от уравнения (11.12) к уравнению (11.18) называется отнесением фигуры к главным осям. Новые оси координат параллельны осям симметрии фигуры. Главными направлениями фигуры, заданной уравнением (11.12), называют направления ортогональных собственных векторов матрицы квадратичной формы, соответствующей этому уравнению.

Из теорем п. 11.6 следует, что существует декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение (11.12) принимает канонический вид. Чтобы выбрать эту систему координат, необходимо сделать следующее.

1. Найти ортогональное преобразование, приводящее к каноническому виду квадратичную форму, соответствующую данному уравнению.

2. С помощью этого преобразования определить главные направления фигуры, т. е. векторы - ортонормированные собственные векторы матрицы указанной квадратичной формы.

3. Найти уравнение фигуры в репере

4. Выделить полные квадраты в полученном уравнении.

5. Совершить параллельный перенос системы на соответствующий вектор и составить каноническое уравнение фигуры в репере

Пример 11.4. Какую линию на плоскости определяет уравнение

Решение: С помощью теории квадратичных форм приведем это уравнение к каноническому виду. Левая часть уравнения - квадратичная форма которая с точность до обозначений переменных (см. п. 11.6, пример 11.3) приведена к каноническому виду посредством ортогонального преобразования

Это преобразование данное уравнение переводит в уравнение

Полученное уравнение определяет эллипс с полуосями

Упрощение уравнений фигур второго порядка в пространстве

Фигурой второго порядка в пространстве называется множество точек пространства, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению

где

Сумма первых шести членов левой части уравнения (11.32) представляет собой квадратичную форму трех переменных, х, у, z:

с симметрической матрицей

Фигура второго порядка называется центральной, если и нецентральной, если

С помощью ортогонального преобразования квадратичную форму (11.33) можно привести к каноническому виду где - корни характеристического уравнения Матрица квадратичной формы принимает вид

Указанное ортогональное преобразование приводит уравнение (11 .32) к виду

Центральные фигуры. Если то так как Выделяя полные квадраты в левой части уравнения (11.36), можно привести его к виду

где

Поскольку то ни одно из чисел не равно нулю, все эти числа могут иметь один знак или только два из них одного знака.

1. Если все числа одного знака, то уравнение (11.37) можно привести к одному из следующих канонических видов:

в зависимости от

Уравнение (11.38) определяет эллипсоид, уравнению (11.39) не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства уравнению (11.40) удовлетворяют координаты единственной точки ( X = 0 , Y= 0 , Z= 0 ).

2. Пусть знак одного из этих чисел противоположен знаку двух других: предположим,что Уравнение (11.37) можно привести к одному из канонических видов

в зависимости от

Уравнения (11.41) — (11.43) определяют соответственно однополосный гиперболоид, двуполостный гиперболоид и конус второго порядка.

Нецентральные фигуры. Если det А = 0, или то одно или два из этих чисел равны нулю.

1. Пусть тогда уравнение (11.36) приводится к виду

Если то имеем

в случае получаем

Уравнения (11.45) и (11.46) определяют соответственно эллиптический и гиперболический параболоиды.

2. Пусть тогда имеем уравнение

которое приводится к одному из следующих канонических видов:

Уравнение (11.48) определяет эллиптический цилиндр, каждое из уравнений (11.51), (11.50) - гиперболический цилиндр, уравнение (11.52) - пару пересекающихся плоскостей; уравнению (11.49) не удовлетворяют координаты ни одной точки.

3. Если то уравнейие (11.36) приводится к виду или

и определяет параболический цилиндр.

4. Если то имеем уравнение которое приводится к одному из канонических видов

Первое из уравнений (11.54) определяет пару параллельных плоскостей третье уравнение — пару совпавших плоскостей; второму уравнению не удовлетворяют координаты ни одной точки пространства.

Пример 11.5. Какую поверхность определяет уравнение

Это уравнение ввда (11.32), для которого Левая часть данного уравнения является квадратичной формой трех переменных Составим матрицу А этой квадратичной формы и характеристическое уравнение матрицы А :

Характеристическое уравнение или имеет корни (так как ). Следовательно, квадратичную форму f(x,y,z) можно привести к виду В новых координатах X, Y, Z данное уравнение имеет вид или

оно определяет эллипсоид с полуосями

Группы

Понятие группы. Основные определения

Группой называется множество G элементов для которых определена операция (сложения или умножения), которая каждой упорядоченной паре элементов G ставит в соответствие единственный элемент данного множества, причем операция обладает следующими свойствами:

1) операция ассоциативна, т.е. для любых

2) в G существует нейтральный элемент такой, что для любого элемента

3) для каждою элемента существует обратный ему элемент такой, что

Если, кроме того, для любых выполняется условие

то группа называется коммутативной или абелевой группой.

В любой группе нейтральный элемент определен однозначно; для каждого элемента существует единственный обратный элемент.

Группа состоящая из конечного числа элементов, называется конечной. Число элементов группы называют ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется бесконечной.

Группа называется аддитивной или группой по сложению, когда групповая операция, ставящая в соответствие паре элементов элемент является сложением. В этом случае символ операции заменяется знаком нейтральный элемент называют нулем и обозначают символом Элемент, обратный к элементу называют противоположным и обозначают

Группа называется мультипликативной или группой по умножению, когда групповая операция, ставящая в соответствие упорядоченной паре элемент является умножением. В данном случае произведение обозначается или нейтральный элемент называется единицей и обозначается символом 1:

Произведение элементов, равных называют степенью элемента и обозначают . Отрицательные степени элемента можно определить или как элементы группы G, обратные положительным степеням, или как произведения соответствующего числа множителей, равных элементу Эти определения совпадают, так как верно равенство

В любой группе G для степеней каждого элемента при любых показателях и (положительных, отрицательных или нулевых) выполняются равенства

Если операция в группе называется сложением, то вместо степеней элемента говорят о кратных этого элемента и пишут

В каждой мультипликативной группе однозначно разрешимы уравнения первое из них имеет решение второе -

Если группа является коммутативной, то эти уравнения не различаются, они имеют одинаковые решения

Примеры групп

1. Множество всех целых чисел с операцией сложения образует аддитивную группу. Действительно, сумма двух целых чисел также является целым числом. В этом случае говорят, что множество целых чисел замкнуто относительно операции сложения. Сложение целых чисел коммутативно: В данном множестве имеется нейтральный элемент, т.е. число такое, что при любом целом числе Для каждого элемента целого числа существует обратный элемент (противоположное число), т.е. такое число что Рассматриваемая группа является коммутативной, так как

Замечание 1. Множество всех целых чисел не образуют группу по умножению, так как обратные для целых чисел (отличных от - 1 и 1 ) не являются целыми числами. Например, для числа 2 обратное число не принадлежит множеству целых чисел.

2. Множество всех действительных чисел, отличных от нуля, с операцией умножения образует мультипликативную группу. Эта группа является коммутативной так как

Замечание 2. Множество всех действительных чисел не образует группу по умножению, поскольку для числа нет обратного.

3. Множество всех векторов трехмерного пространства образует группу по сложению. Эта группа является коммутативной

4. Множество матриц размером /их п образует коммутативную группу по сложению Для матрицы А обратным элементом является матрица ( - А); нейтральный элемент - нулевая матрица О.

5. Множество всех невырожденных квадратных матриц порядка образует мультипликативную группу. Эта группа, которую называют полной линейной группой, не является коммутативной ( в общем случае ).

Замечание 3. Множество всех квадратных матриц порядка не образует группу по умножению, так как для некоторых его элементов нет обратных (вырожденная матрица не имеет обратной).

6 . Множество всех невырожденных линейных преобразований линейного пространства образует мультипликативную группу.

7. Множество, состоящее из двух чисел +1,-1, образует группу по умножению. Действительно, каждой из произведений (+ 1) ( - 1) = - 1, (+1)(+1) = + 1, (-1 )(-1) = + 1 принадлежит данному множеству. Умножение ассоциативно. Существует единица - число + 1, которое удовлетворяет условию (-.1) ( + 1) = - 1, (+1) (+1) = +1. Для каждого элемента существует обратный: каждое из этих двух чисел совпадает со своим обратным.

Замечание 4. Множество, состоящее из двух чисел +1,-1, не образует группу по сложению, так как сумма (+ 1)+ (- 1) = 0 , а число 0 не принадлежит данному множеству. (В таком случае говорят, что данное множество не является замкнутым относительно операции сложения).

8 . Множество, состоящее из одного элемента образует аддитивную группу. Действительно, сумма принадлежит данному множеству. Свойства операции сложения очевидны.

9. Множество, состоящее из одного элемента 1, образует мультипликативную группу.

Группа, образованная одним элементом, называется единичной.

Подгруппа

Подгруппой группу G называется подмножество ее элементов, образующее группу относительно операции, определенной в G. Чтобы убедится в том, что множество группы G является ее подгруппой, необходимо проверить, что: 1) произведение (сумма) любых двух элементов принадлежит ; 2) для любого элемента обратный элемент принадлежит . Этого будет достаточно, так как ассоциативный закон выполняется для любых трех элементов G, в том числе и для элементов , а нейтральный элемент будет принадлежать (как произведение или сумма ).

Примеры подгрупп некоторых групп.

I. Множество всех действительных чисел является аддитивной группой.

Подгруппами аддитивной группы всех действительных чисел являются в частности, следующие: 1) аддитивная группа рациональных чисел; 2 ) аддитивная группа целых чисел; 3) аддитивная группа всех целых чисел, кратных числу например аддитивная группа четных чисел.

Группа целых чисел является подгруппой группы рациональных чисел.

Замечание 1. Множество нечетных чисел не образует группу по сложению, так как сумма двух нечетных чисел является четным числом (и не принадлежит данному множеству).

II. Мультипликативная группа всех действительных чисел, отличных от нуля, имеет, в частности, следующие подгруппы: 1) мультипликативную группу положительных действительных чисел; 2 ) мультипликативную группу рациональных чисел, отличных от нуля; 3) множество, состоящее из двух чисел + 1 , - 1 с операцией умножения.

Замечание 2. Мультипликативная группа положительных действительных чисел не является подгруппой аддитивной группы всех действительных чисел, так как групповые операции в рассматриваемых множествах— разные (соответственно умножение, сложение).

III. Мультипликативная группа невырожденных матриц порядка и имеет, в частности, подгруппы: 1) группу ортогональных матриц; 2 ) группу диагональных матриц; 3) группу матриц с положительным определителем; 4) группу матриц с определителем, равным единицы (эта группа называется унимодулярной).

Пересечение двух подгрупп группы G является подгруппой в G. Например, в аддитивной группе целых чисел пересечение подгруппы четных чисел и подгруппы чисел, кратных трем, будет подгруппой чисел, кратных шести.

Каждая группа является своей подгруппой. Далее, каждая группа имеет единичную подгруппу, состоящую из одного нейтрального элемента (единицы или нуля). Эти две подгруппы называются несобственными (или тривиальными) подгруппами. Остальные подгруппы называются собственными (или истинными) подгруппами. В любой группе все подгруппы каждой группы являются в тоже время подгруппами исходной группы. Например, аддитивная группа целых чисел является подгруппой аддитивной группы рациональных чисел, которая в свою очередь есть подгруппа аддитивной группы всех действительных чисел; аддитивная группа целых чисел — подгруппа аддитивной группы всех действительных чисел.

Группы преобразований. Симметрическая группа -й степени

Преобразованием множества X называется взаимно однозначное отображение этого множества на себя. Преобразование множества X обозначим буквой Р. Определение преобразования Р множества X означает следующее: любому элементу ставится в соответствие единственный элемент того же множества; называется образом элемента х, а х - прообразом . Каждый элемент имеет единственный прообраз .

Умножением преобразований называется последовательное их выполнение. Произведение двух преобразований Р, Q обозначается PQ (справа записано то преобразование, которое выполняется первым; по определению (QP) х = Q (Рх)). Очевидно, произведение двух преобразований данного множества является преобразованием данного множество. Отметим, что в общем случае умножение не является коммутативным, т.е. Можно показать, что произведение преобразований подчиняется ассоциативному закону. Роль единицы при умножении преобразований выполняет тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому элементу множества его самого. Для каждого преобразования Р существует обратное преобразование , которое каждому элементу ставит в соответствие его единственный прообраз , причем Следовательно, множество преобразований Р данного множествах образует группу.

Если множество X конечно и состоит из элементов, то всевозможные взаимно однозначные отображения этого множества на себя называются подстановками. Подстановку из элементов можно обозначить так:

где - те же числа обозначающие данные элементы и записанные в другом порядке.

Примеры подстановок при

Первая подстановка означает такое взаимно однозначное отображение множества (1, 2, 3,4, 5) на себя, при котором 1 переходит в 3, 2 — в 1 и т. д. Вторая подстановка называется тождественной, каждый элемент соответствует сам себе. Равенство двух других подстановок показывает, что расположение столбцов в записи подстановки не играет роли. Подстановки, отличающиеся только порядком следования столбцов, не считаются различными.

Умножением подстановок называют последовательное их выполнение (сначала правого сомножителя, затем левого). Умножение подстановок ассоциативно, но не коммутативно. Например, если то

то

Единицей при умножении подстановок из элементов служит тождественная подстановка

Каждая подстановка из элементов имеет обратную:

Чтобы получить подстановку, обратную данной, необходимо поменять местами строки.

Множество подстановок из элементов относительно введенной операции умножения образует группу. Группа подстановок из элементов называется симметрической группой -й степени и обозначается Число подстановок из элементов равно , поэтому группа имеет порядок .

Рассмотрим группу подстановок из трех элементов Поскольку из трех элементов можно составить шесгъ различных перестановок то и число различных подстановок для них равно шести

Обозначим эти подстановки следующим образом:

Отметим, что - тождественная подстановка; для каждой подстановки существует обратная:

Группа (симметрическая группа подстановок из 3 элементов) некоммутативна, поскольку, например,

Группу можно представить следующей таблицей умножения, в которой слева стоят левые множители сверху - правые а на пересечении соответствующей строки и столбца - их произведение. Таблицы такого рода называют таблицами Кэли (табл. 12.1).

Группа вращений правильного многоугольника. Циклические группы. Группа симметрий правильного треугольника

Пусть дан правильный -угольник с центром в точке О (рис. 12.1, = 6 ). Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот правильный -угольник совмещается сам с собой. Таких поворотов будет : - поворот на угол (тождественное преобразование); - поворот на угол - поворот на угол - поворот на угол Под умножением поворотов будем понимать последовательное их выполнение: причем при любом в частности Умножение поворотов является ассоциативным (и коммутативным). Множество указанных поворотов правильного многоугольника образует группу по умножению, роль единицы играет тождественное преобразование - поворот Для каждого элемента существует обратный элемент так как т.е. где - единичный элемент.

Положим тогда В этом случае говорят, что группа образована степенями одного из своих элементов (или что она порождается одним из своих элементов); таким элементом является элемент Группы, образованные степенями одного из своих элементов, называются циклическими. Таким образом, группа вращения правильного -угольника является циклической группой порядка , эта группа обозначается . Отметим, что аддитивная группа целых чисел также будет .циклической, она порождается одним из своих элементов - числом 1: 2 = 1+1, 3=(1 + 1)+1 и т. д. Эта группа является бесконечной циклической группой, ее обозначают .

Пусть дан правильный треугольник АВС с центром в точке О (рис. 12.2). Рассмотрим все симметрии данной фигуры, т.е. те преобразования плоскости, при которых этот треугольник переходит в себя (или самосовмещается). К ним относятся: три поворота плоскости вокруг точки О соответственно на углы (частный случай рассмотренных выше вращений правильного -угольника при ); три осевых симметрии определяемых соответственно осями симметрии проходящими через вершину правильного треугольника и середину его противоположной стороны (см. рис. 12.2).

Будем характеризовать каждое самосовмещение подстановкой на множестве вершин А, В, С правильного треугольника

где - те же буквы А, В, С, взятые в некотором порядке. Принятое нами соответствие между самосовмещениями треугольника и подстановками множества его вершин дает

Множество самосовмещений образует группу относительного умножения (последовательного выполнения двух самосовмещений). Роль единицы играет тождественное преобразование, каждый элемент данного преобразования имеет обратный. Эта группа называется группой симметрий треугольника.

Изоморфизм групп

Группы называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую операцию, т.е. такое, что если то

Симметрическая группа трех элементов и группа симметрий правильного треугольника с вершинами А, В, С изоморфны. Эти группы отличаются только обозначениями элементов и названиями соответствующих преобразований. Циклическая группа порядка и изоморфна группе вращений правильного -угольника; бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел.

Если - изоморфное отображение группы то где - единичные элементы групп соответственно, и для любого

Разложение группы по подгруппе

Пусть дана группа G и некоторая ее подгруппа Фиксировав любой элемент рассмотрим множество элементов - любой элемент Это множество называется левым смежным классом группы G по подгруппе порожденным элементом х. Два любых смежных класса группы G по подгруппе или совпадают, или не имеют ни одного общего элемента.

Вся группа G распадается на непересекающиеся левые смежные классы по подгруппе . Это разложение называется левосторонним разложением группы G по подгруппе . Очевидно, одним из левых смежных классов этого разложения будет сама подгруппа , этот смежный класс порождается элементом (или любым элементом поскольку ).

Аналогично вводится понятие правого смежного класса группы G по подгруппе , порожденного элементом х; это множество т. е. множество всех элементов вида где х - фиксированный элемент G, — любой элемент из . Аналогичным образом получается правостороннее разложение группы G по подгруппе . Если группа G абелева, то оба ее разложения по любой подгруппе (левостороннее и правостороннее) совпадают. В этом случае говорят просто о разложении группы по подгруппе. Приведем пример такого разложения.

Пусть G — аддитивная группа целых чисел и - ее подгруппа, состоящая из всех чисел, кратных Разобьем группу G на классы, относя к одному классу все те числа, которые при делении на дают одинаковые остатки. Разложение данной группы G по указанной подгруппе состоит из различных смежных классов, порождаемых соответственно числами 0,1,2,........... - 1. В классе, порождаемом числом где собраны все те числа, которые при делении на число дают остаток

Полученное разложение группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных , при = 3 можно представить следующим образом:

Замечание. В некоммутативной группе левостороннее и правостороннее разложения могут оказаться различными. Обратимся к симметрической группе (см. п. 12.4). Из таблицы Кэли для этой группы видно, что множество элементов образует подгруппу, обозначим ее Левостороннее разложение группы по подгруппе В состоит из классов В, а правостороннее - из классов В, т. е. эти разложения различны. Отметим, что левостороннее и правостороннее разложение этой группы по ее подгруппе третьего порядка совпадают; каждое из них состоит из двух классов:

Теорема 12.1 (Лагранжа). Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 1. Порядок любого элемента конечной группы является делителем порядка группы.

Следствие 2. Всякая конечная группа, порядок которой есть простое число, является циклической.

Нормальный делитель

Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группы (или инвариантной подгруппой), если левостороннее и правостороннее разложения этой группы по указанной подгруппе совпадают.

Из определения следует, что любая подгруппа коммутативной группы является в ней нормальным делителем. Далее, в любой группе G сама группа и ее единичная подгруппа будут нормальными делителями: разложение группы G по самой этой группе состоит из одного элемента G, разложения группы G по единичной подгруппе совпадают с разложением группы на отдельные элементы. Приведем примеры нормальных делителей в некоммутативных группах.

1. В симметричной группе (см. п. 12.4) подгруппа является нормальным делителем, так как левостороннее и правостороннее разложения совпадают, они состоят из двух классов:

2. В мультипликативной группе невырожденных квадратных матриц порядка подгруппа матриц с определителем, равным единице, будет нормальным делителем. Действительно, левый и правый смежные классы по этой подгруппе, порождаемые матрицей М, совпадают с классом всех матриц, определитель которых равен определителю матрицы М (как известно, определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц).

Можно дать и другие определения нормального делителя, равносильные исходному. Приведем одно из них.

Подгруппа Н группы G называется нормальным делителем этой группы, если для любого т. е. для любого и элемента существуют такие,что

Классы сопряженных элементов

Элементы группы G называют сопряженными, если в G существует хотя бы один такой элемент х, что

В этом случае говорят, что элемент получается из элемента трансформированием с помощью элементах Из равенства(12.5) находим

т.е. элемент при этом получается из элемента трансформированием элементом

Теорема 12.2. Подгруппа Н группы G тогда и только тогда будет нормальным делителем в G, если вместе с любым своим элементом h она содержит все элементы, сопряженные с ним в G.

Замечание. Нормальный делитель называют также инвариантной подгруппой. Из теоремы 12.2 следует происхождение этого названия. Если Н - нормальный делитель группы G, то трансформирование любого элемента подгруппы Н с помощью элемента группы G дает снова элемент подгруппы Н (подгруппа Н остается неизменяемой по отношению к операции трансформирования элементов Н ).

Теорема 12.3. Пересечение двух нормальных делителей группы является нормальным делителем этой группы.

Фактор-группа

Фактор-группой группы G по нормальному делителю Н называется группа всех смежных классов этой группы G по подгруппе Н.

Таким образом, с группой Q можно связать некоторый набор новых групп - ее фактор-групп по различным нормальным делителям.

Отметим, что фактор-группа абелевой группы является абелевой; факторгруппа циклической группы — циклической группой.

Примеры фактор-групп.

1. Пусть G - аддитивная группа целых чисел, Н - подгруппа чисел, делящихся на 3. Найдем фактор группу G/Н . Групповой операцией в данном случае является сложение. Число смежных классов равно трем (см. пример в п. 12.7): множество чисел, делящихся на 3, два множества чисел, дающих при делении на 3 соответственно остатки 1 и 2. Обозначим эти смежные классы [0], [1], [2]. В этом множестве введем операцию сложения следующим образом: сложив соответствующие числа в квадратных скобках, определим, какой остаток при делении на 3 дает их сумма, и будем считать суммой смежных классов тот, которому принадлежит полученный остаток. Таблица умножения для фактор-группы имеет вид [0]+[0] = [1]+[2] = [2]+[1] = [0], [0]+[1] = [1]+[0] = [2]+[2] = [1]. [0)+[2] = [2]+[0] = [1]+[1 ]= [2]. Отсюда видно, что фактор-группа абелева. Кроме того, все смежные классы порождаются классом [1], они совпадают со степенями этого класса: [1], [1]+[1]=[2], [1]+[1]+[1] = [0]. Поскольку фактор-группа порождена одним элементом, то она циклическая.

2. Пусть G - аддитивная группа целых чисел, Н - подгруппа целых чисел, кратных натуральному числу Фактор-группой G/Н является конечная группа порядка состоящая из классов Эта факторгруппа циклическая, как и сама группа G.

3. Пусть G - мультипликативная группа всех невырожденных матриц порядка - подгруппа матриц с определителем, равным единице. Фактор-группа G /H изоморфна мультипликативной группе отличных от нуля действительных чисел.

Гомоморфизм групп

Если — группы и — такое отображение, при котором для любых элементов х ,у группы G

то называется гомоморфным отображением или гомоморфизмом группы G в группу Отметим, что в определении гомоморфизма имеется в виду, что каждый элемент группы G поставлен в соответствие хотя бы одному элементу группы но разным элементам из G может соответствовать один и тот же элемент из Другими словами, отображение группы G в группу не предполагается взаимно однозначным, как в случае изоморфизма.

Очевидно, каждая группа гомоморфна себе самой, так как можно положить f ( x ) = х для всех Далее, каждая группа гомоморфна единичной группе ( состоящей из одного нейтрального элемента ). Примером гомоморфного отображения групп может служить циклическая группа шестого порядка с элементами которая гомоморфна циклической группе второго порядка с элементами Е, А:

Равенство (12.6) означает, что образ произведения двух элементов равен произведению образов этих элементов (которые, впрочем, могут называться по-разному в группах G и ), поэтому говорят, что гомоморфизм «сохраняет групповую операцию». Гомоморфизм групп сохраняет не только групповую операцию, но также нейтральный и обратный элементы: если - гомоморфное отображение группы G в группу , то где - нейтральные элементы групп G и соответственно.

Теорема 12.4. Каждая группа гомоморфна любой своей фактор-группе. Обратно, если группа G гомоморфна группе , то изоморфна факторгруппе G по некоторому нормальному делителю Н.

Представления групп

С точки зрения алгебры изоморфные группы не считаются различными. О группе, изоморфной некоторой подгруппе группы подстановок, говорят, что она представлена подстановками.

Теорема 12.5. (Кэли). Каждая конечная группа изоморфна некоторой группе подстановок (т. е. всякую конечную группу можно представить подстановками).

Следовательно, при описании любой конечной группы можно воспользоваться преимуществами группы подстановок.

Для теории и приложений наиболее интересны линейные представления конечных групп. Говоря о линейном представлении конечной группы G, предполагают, что дано векторное пространство в котором действуют линейные невырожденные преобразования. Эти преобразования образуют группу , которой гомоморфна исходная группа G; при этом говорят, что группа представляет группу G.

Гомоморфное отображение Г группы G в группу невырожденных линейных преобразований n-мерного векторного пространства называется линейным представлением группы G.

Следовательно, если Г - линейное представление группы G группой , то каждому элементу поставлено в соответствие невырожденное линейное преобразование пространства так, что для любых справедливо соотношение Как известно, при этом где - нейтральные элементы групп G, соответственно, и для любого

Пространство , в котором действуют преобразования из группы , называется пространством представления группы G. Размерность пространства называют размерностью (или степенью) рассматриваемого представления.

Вместо линейных преобразований часто рассматривают соответствующие им матрицы.

Математический анализ

Функции и пределы

Понятие функции. Основные определения

Рассмотрим множество X элементов х и множество У элементов у. Если каждому элементу по определенному правилу поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве X задана функция со значениями в множестве Y. Элементы называются значениями аргумента, а элементы - значениями функции. Множество X называют областью определения функции, множество всех значений функции - областью значений этой функции.

Замечание. Функцию, заданную на множестве X со значениями в множестве У, называют также отображением множества X в множество У. Если множество У является множеством значений функции, то рассматриваемую функцию называют отображением множества X на множество У.

Функцию, заданную на множестве X, называют также оператором, заданным на множестве X, и обозначают символом . В случае, когда X и У - числовые множества, соответствующие функции называются числовыми функциями. Если рассматриваются действительные числа, то функции называют действительными (вещественными) функциями одной действительной (вещественной) переменной.

Употребляются следующие обозначения функции: и т. п. Значение, которое функция у = f ( x ) принимает при обозначается через

Функция и аргумент могут обозначатся также другими буквами, например и т.д.

К простейшим областям определения функции относятся отрезок, интервал, полуинтервалы или совокупность указанных промежутков. Например, для функции областью определения является отрезок [—3,3], а областью ее значений - отрезок [-3,0]; для функции область определения и область значений совпадают с интервалом

Графиком функции у = f ( x ) называется множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют данной функциональной зависимости, т. е. точек Например, графиком функции является полуокружность радиуса с центром в начале координат, расположенная ниже оси Ох.

К традиционным основным способам задания функции относятся: аналитический (с помощью одной или нескольких формул); графический (с помощью графика); табличный (с помощью таблицы значений).

Функция заданная формулой

правая часть которой не содержит у, называется явной функцией.

Функция у = у (х), определяемая уравнением

F (x, y)= 0, (13.2)

называется функцией, заданной неявно, или неявной функцией.

Отметим, что одно уравнение вида (13.2) может определять несколько функций. Например, уравнение определяет две функции

Обратимся к функции (13.1). Каждому по определенному закону ставится в соответствие единственное значение . С другой стороны, каждому соответствует одно или несколько значений .

В случае, когда каждому по некоторому закону соответствует только одно значение , получаем функцию

заданную на множестве Y со значениями в множестве X. Функцию (13.3) называют обратной функцией по отношению к функции (13.1). Функции (13.1) и (13.3) в этом случае называются взаимно обратными. Для взаимно обратных функций выполняются тождества:

Примеры взаимно обратных функций:

Если придерживаться стандартных обозначений (у - функция, х - аргумент), то обратную функцию (13.3) следует писать в виде Например, можно говорить, что функции взаимно обратные.

Функцию, обратную к функции удобно обозначать символом

Если - функции своих аргументов, причем область определения функции содержит область значений то каждому х из области определения функции соответствует у такое, что Эта функция, определяемая соответствием

называется функцией от функции или сложной функцией. (Применяются также и другие названия: композиция функций суперпозиция функций . ) Например, если

Рассматривают также функции, являющиеся композициями более чем двух функций. Так, функция представляет собой композицию следующих функций:

Функция называется четной, если для любых из области ее определения выполняется равенство Функция называется нечетной, если для любых из области ее определения выполняется равенство Например, - четные функции, - нечетные функции.

Функция называется периодической, если существует число такое, что при всех из области ее определения выполняется равенство Число Т в этом случае называется периодом функции. Всякая периодическая функция имеет бесконечное множество периодов. Говоря о периоде функции обычно имеют в виду наименьший положительный период: так, периодом функции является число периодом функции - число

Функция называется ограниченной на множестве X, если существует такое число С > 0, что для всех неравенство

Тригонометрические и обратные тригонометрические функции, функции называются основными элементарными функциями.

Элементарными функциями называются все функции, которые можно получить из основных элементарных функций с помощью алгебраических действий и образования сложных функций. Например, функции и т д являются элементарными.

Термин «функция» впервые появился в 1673 г. в одной из работ Лейбница. Под функциями Лейбниц понимал некоторые отрезки прямых. И. Бернулли дал определение функции как аналитического выражения, состоящего из переменной и постоянных величин (1718), он же применил обозначение (без скобок). Обозначение впервые предложил Эйлер в 1734 г.

Предел последовательности

Числовой последовательностью (или последовательностью) называется функция

определенная на множестве натуральных чисел. Каждое значение называется элементом последовательности, а число - его номером.

Числовую последовательность с элементом обозначают либо , либо либо

Примеры числовых последовательностей: 1) (с) = (с,с,с,...); 2) 3)

Числовая последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов; среди них могут быть равные (см. примеры 1) и 3)).

Число называется пределом последовательности если для любого числа найдется такое натуральное число N, что при всех выполняется неравенство

Предел последовательности обозначают при (читается: стремится к , когда стремится к бесконечности).

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. Последовательность, у которой нет предела, называется расходящейся.

Интервал называется -окрестностью точки и обозначается

Определение предела имеет следующий геометрический смысл: число а является пределом последовательности , если в любой его -окрестности содержатся почти все члены , или вне этой окрестности находится лишь конечное число членов данной последовательности.

Из определения предела последовательности следует, что предел постоянной равен этой постоянной поскольку в данном случае для любого Из определения следует также, что последовательность может иметь только один предел.

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число А, что (соответственно ) для всех номеров

Последовательность , ограниченная сверху и снизу, называется просто ограниченной.

Очевидно, последовательность ограничена тогда и только тогда, когда существует такое число С > 0, что для всех номеров

Например, последовательности ограничены, последовательность ограничена снизу, но не ограничена сверху, последовательность (ncosfttt) не является ограниченной ни сверху, ни снизу.

Теорема 13.1. Если последовательность имеет предел, то она ограничена

Число называется верхней гранью последовательности если: 1) при всех 2) для любого существует такой номер N, что . Верхняя грань последовательности обозначается sup или

Аналогично определяется нижняя грань последовательности и обозначается или.

В качестве примеров отметим, что

Последовательность называется монотонно возрастающей (монотонно убывающей), если (соответственно ) при всех Монотонно возрастающие или монотонно убывающие последовательности называются просто монотонными.

Теорема 13.2. Всякая ограниченная сверху (снизу) монотонно возрастающая (монотонно убывающая) последовательность имеет предел, причем (соответственно ).

Если последовательности имеют пределы, то пределы их суммы, разности, произведения, частного существуют и находятся по формулам

Пример 13.1. Последовательность сходится и имеет предел

Решение: Действительно, каково бы ни было число найдется такое натуральное число N, что для n>N; неравенство будет выполнено при всех n > N , если т. е. в качестве N можно взять большее из двух последовательных натуральных чисел, между которыми заключено число Например, если если и т. д.

Замечание. Одновременно показано, что последовательность имеет пределом нуль, т. е.

Пример 13.2. Последовательность является расходящейся.

Решение: В самом деле, каково бы ни было число вне его -окрестности, например при заведомо лежит бесконечное множество элементов данной последовательности (хотя среди них и много равных между собой); это означает, что не является ее пределом.

Пример 13.3. Найти

Разделив числитель и знаменатель дроби на и применив формулы (13.4) - (13.8), получим

Предел функции

Постоянная b называется пределом функции при (или в точке ), если для любого числа существует такое число что при всех х, удовлетворяющих условию

выполняется неравенство

Предел функции при х, стремящемся к обозначают:

Рассматривают также односторонние пределы функций: предел слева (х стремится к оставаясь меньше ) и предел справа (х стремится к оставаясь больше ). Если односторонние пределы равны: то предел функции в точке существует и равен Если односторонние пределы различны или хотя бы один из х -* а них не сущ�