Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Задача 1. Два маленьких стальных шарика брошены одновременно из одной и той же точки с поверхности земли с начальными скоростями и01=5м/с и v02 = 8 м/с, направленными под углами «,=80° и а2 = 20° к горизонту соответственно. Чему равно расстояние между шариками, спустя время / = -^с после броска? Траектории шариков лежат в одной вертикальной плоскости. Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение. Шарики движутся в поле тяже- yi сти Земли с постоянным ускорением g (со- v~-v л противлением воздуха пренебрегаем).

Выберем систему координат так, как показано на рис. 20, начало отсчёта поместим в точку бросания. Для радиус-векторов шарики Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения Искомое расстояние / равно модулю разности радиус-векторов шариков в момент времени / = — с . Так как шарики были брошены из од- 3 ной и той же точки, то /*0| = г02, следовательно: / = . (Остальные слагаемые при вычитании радиус-вектопов уничтожились.)

В свою очередь по теореме косинусов (см. рис. 20): Подставляя в это равенство числовые значения входящих в него величин, получим \v0l -v02\ = 7м/с. Тогда искомое расстояние между шариками в момент времени * Задача 2. Два тела брошены вертикально вверх с поверхности земли из одной точки вслед друг за другом с интервалом времени г, с одинаковыми начальными скоростями v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить, через сколько времени они «встретятся»?

Про- т комментируйте решение для Решение. Направим ось Оу вертикально вверх, начало отсчёта поместим в точку бросания. Отсчёт времени будем вести, начиная с момента бросания первого тела. Начальные условия движения тел: О 'о = = 0, vy0l =v0; 2) t0 = г,у02 = О, vy02 = v0. Проекции ускорений тел при отсутствии сопротивления воздуха равны: avl=ay2=-g. Уравнения движения тел в проекциях на ось Оу с учётом начальных условий имеют вид: (Заметим, что у2 = О при 0 Для наглядности изобразим графики этих функций на одном чертеже (рис. 21).

Из чертежа видно, что «встреча» произойдёт в некоторый момент времени в точке А, где пересекаются графики yx(t). Таким образом, ^^ условие «встречи»: у, (О = Уг (Л)»то есть = v0 ft -г) 2 ' 2 Решая это уравнение относительно /v, находим: tx = — + —. Проанализируем по- g 2 лученное выражение при Известно (см. Пример 7), что время полёта тела, брошенного вертикально, равно 2v0/g.

Поэтому, если v0 2v0/g. Это означает, что сначала упадёт на землю первое тело, а только затем будет брошено вверх второе. Иными словами, тела «встретятся» в точке бросания. Задача 3. Мальчик, находясь на плоском склоне горы с углом наклона (р- 30°, бросает камень в сторону подъёма горы, сообщив ему начальную скорость v0, направленную под углом /? = 60° к горизонту. На каком расстоянии от мальчика упадёт камень? Сопротивлением воздуха пренебречь. Решение.

Выберем систему отсчёта так, как показано на рис. 22, поместив начало отсчёта О в точку бросания.

В этой системе отсчёта начальная скорость камня составляет с осью Ох угол а = ft-(p = 30°. Начальные условия: Рис 22 Проекции ускорения камня в отсутствие сопротивления воздуха равны (см. рис. 22): ах = gx = -gsin#?, ау =gy =-g. Здесь мы учли, что угол между вектором g и перпендикуляром к поверхности горы равен углу наклона горы (р- 30° (почему?), кроме того, по условию задачи (р = а . Запишем уравнения системы (14) с учётом начальных условий: t2 Г x(t) = (y0cos«)/-(gsin^>)—, y(t) = (v0sina)t-(gcosp)—.

Время полёта г камня найдём из последнего уравнения, зная, что Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения А именно г = —=—. (Значение г = 0 мы отбросили, т. к. оно не связа-V3 g но с вопросом задачи). Подставляя найденное значение г в уравнение для .г(/), определим искомое расстояние (иными словами, дальность полёта): 3 g Задача 4. Массивная платформа движется с постоянной скоростью К0 по горизонтальному полу.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Допускаемые напряжения условие прочности
Односторонние пределы, правосторонний предел, левосторонний
Площадь криволинейной трапеции 2
Стехиометрические соотношения в химии

С заднего края платформы производится удар по мячу. Модуль начальной скорости мяча относительно платформы равен у\ u = 2VQ9 причём вектор и составляет угол а = 60° с горизонтом (рис. 23). На какую максимальную высоту над полом поднимется мяч? На каком расстоянии от края платформы будет находиться мяч в момент _ j. w_ ,0 приземления. Высотой платформы и со-противлением воздуха пренебречь. Все скорости лежат в одной вертикальной плоскости. (ФЗФТШ при МФТИ, 2009.)

Решение. Для описания движения мяча и платформы введём систему отсчёта, связанную с полом. Ось Ох направим горизонтально в направлении удара, а ось Оу — вертикально вверх (рис. 23). Движение мяча происходит с постоянным ускорением а, причём ах = 0, aY = -g, где g - величина ускорения свободного падения. Проекции начальной скорости v0 мяча на оси Ох и Оу равны: v0,x = V0, + = -К + 2F0 • cos 60° = -V0 + V0 = 0, % = К,- + =10 + • sin 60° = >/3F0.

Равенство нулю горизонтальной скорости мяча означает, что его движение происходит только по вертикали, и он упадёт в точке удара. Максимальную высоту подъёма (ynvix) и время полёта мяча найдём из законов кинематики равноускоренного движения: а/ Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения Zt Учитывая, что при у = у^ проекция вертикальной скорости обращается в ноль vY = 0 , а в момент приземления мяча t = Гполёта его координата по оси Оу обращается в ноль у = 0 , имеем:

ЗУ- т = 1 полета 2 g 2 g — S За время полёта мяча платформа сместится на расстояние полета 8 У шах которое и является искомым расстоянием между мячом и платформой в момент приземления мяча. Контрольные вопросы 1. На рис. 24 показана траектория движения тела. Его начальное положение обозначено точкой А, конечное - точкой С. Чему равны проекции перемещения тела на оси Ох и Оу, модуль перемещения и пройденный телом путь? 2. Тело движется равномерно и прямолинейно на плоскости хОу.

Его координаты в зависимости от времени изменяются в соответствии с уравнениями: (величины измерены в СИ). Запишите уравнение у = у(х) траектории тела. Чему равны начальные координаты тела и его координаты через 2 с после начала движения? 3. Стержень АВ, ориентированный вдоль оси Ох, движется с постоянной скоростью v = 0,1 м/с в положительном направлении оси. Передним концом стержня является точка А, задним - точка В.

Чему равна длина стержня, если в момент времени tA = 1 Ос после начала движения координата точки А равна х,=3м, а в момент времени tB- 30с координата точки В равна *Л=4,5м? (МИЭТ, 2006 г.) 4. Как при движении двух тел определяется их относительная скорость? 5. Автобус и мотоцикл находятся друг от друга на расстоянии L = 20 км . Если они будут двигаться в одном направлении с некоторыми скоростями г\ и v2 соответственно, то мотоцикл догонит автобус через время / = 1 час.

Чему равна скорость мотоцикла

относительно автобуса? 6. Что называют средней путевой скоростью тела? 7. Первый час пути поезд проехал со скоростью 50 км/ч , следующие 2 часа он ехал со скоростью 80 км/ч . Найдите среднюю скорость поезда за эти 3 часа. Выберите правильный вариант ответа и обоснуйте свой выбор: 1) 60 км/ч; 2) 65 км/ч; 3) 70 км/ч; 4) 72 км/ч; 5) 75 км/ч. (РГТУ им. К. Э. Циолковского (МАТИ), 2006 г.) 8. Одну пятую часть пути автомобиль ехал со скоростью г\ = 40 км/ч , а оставшийся путь - со скоростью v2 = 60 км/ч .

Найдите среднюю скорость автомобиля на всем пути. (МИФИ, 2006 г.) 9. Материальная точка начинает двигаться по оси Ох по закону *(/) = 5 + 4/-2г(м). На каком расстоянии от начала координат скорость точки будет равна нулю? (МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006 г.) 10. Конькобежец, разогнавшись до скорости v0 = 5 м/с, начал скользить прямолинейно и равнозамедленно. Спустя время t = 20 с модуль скорости конькобежца стал равен v = 3 м/с.

Чему равно ускорение конькобежца? Задачи 1. Пешеход треть всего пути бежал со скоростью v{ =9км/ч, треть всего времени шёл со скоростью v2 =4 км/ч , а оставшуюся часть шел со скоростью, равной средней скорости на всем пути. Найдите эту скорость. (ЗФТШ при МФТИ, 2001 г.) 2. Тело, двигаясь равноускоренно и прямолинейно из состояния покоя, прошло расстояние S за время г. Какую скорость имело тело в тот момент, когда оно прошло расстояние S/n , где п - некоторое положительное число? (МИФИ, 2006 г.) 3. Тело падает без начальной скорости и достигает поверхности земли через 4с. С какой высоты падало тело?

Сопротивлением воздуха пренебречь. Выберите правильный вариант ответа и обоснуйте свой выбор: 1) 20м; 2) 40 м; 3) 80м;4) 120м;5) 160 м. (РГТУ им. К. Э. Циолковского (МАТИ), 2006 г.) 4. Камень, брошенный с поверхности земли вертикально вверх, упал на землю через Т = 2с. Определите путь 5, пройденный камнем за время г = 1,5с после броска. Сопротивлением воздуха пренебречь. Ускорение свободного падения принять равным g = 10м/с2. (МИЭТ, 2006 г.)

Выберем систему координат. Искомое расстояние. Проекция ускорения 5. Из одной точки на высоте h от поверхности земли брошены с одинаковыми скоростями камень А вертикально вверх и камень В вертикально вниз. Известно, что камень А достиг верхней точки своей траектории одновременно с падением камня В на землю. Какой максимальной высоты (считая от поверхности земли) достиг камень А? Сопротивление воздуха не учитывать. (МФТИ, 1997 г.) 6.

Камень брошен горизонтально со склона горы, образующего угол а = 45° с горизонтом (рис. 25). Чему равна начальная скорость v0 камня, если он упал на склон на расстоянии / = 50 м от точки бросания? Сопротивлением воздуха пренебречь. 7. Тело брошено горизонтально. Через 3 с после броска угол между направлением полной скорости и направлением полного ускорения стал равным 60°. Определите величину полной скорости тела в этот момент времени.

Сопротивлением воздуха пренебречь. (РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2006 г.) Указание. Под полной скоростью и полным ускорением понимайте просто скорость и ускорение тела. 8. Снаряд разорвался на несколько осколков, полетевших во все стороны с одинаковыми скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за время . Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через время t2. Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально?

Сопротивление воздуха не учитывать. (МФТИ, 1997 г.) 9. Камень, брошенный под углом к горизонту, достиг наибольшей высоты 5 м. Найдите полное время полёта камня. Сопротивлением воздуха пренебречь. (РГУ нефти и газа им. И. М. Губкина, 2006 г.) 10. Камень, брошенный с поверхности земли под углом а = 30° к горизонту, дважды побывал на одной и той же высоте h спустя время =3с и =5с после начала движения. Найдите начальную скорость камня v0.

Ускорение свободного падения принять равным g = 10м/с2 . Сопротивлением воздуха пренебречь. (Институт криптографии, связи и информатики Академии ФСБ РФ, 2006 г.) 11. С какой скоростью v0 должен вылететь снаряд из пушки в момент старта ракеты, чтобы сбить её? Ракета стартует вертикально с постоянным ускорением я = 4м/с2. Расстояние от пушки до места старта ракеты (они находятся на одном горизонтальном уровне) равно / = 9км. Пушка стреляет под углом « = 45° к горизонту. Сопротивлением воздуха пренебречь.