Виды математических моделей

Предмет: Экономика
Тип работы: Реферат
Язык: Русский
Дата добавления: 23.04.2020

 

 

 

 

  • Данный тип работы не является научным трудом, не является готовой выпускной квалификационной работой!
  • Данный тип работы представляет собой готовый результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала для самостоятельной подготовки учебной работы.

Если вам тяжело разобраться в данной теме напишите мне в whatsapp разберём вашу тему, согласуем сроки и я вам помогу!

 

По этой ссылке вы найдёте много образцов и примеров готовых тем для рефератов по экономике:

 

Рефераты по экономике

 

Посмотрите похожие темы рефератов возможно они вам могут быть полезны:

 

Внешнеторговая политика Российской Федерации

Валютная система при золотодолларовом стандарте

Разработка средств коллективной защиты для снижения уровней профессиональных рисков в гальваническом цехе

Экономическое поведение человека: основные мотивы и ограничения

 

Введение:

Математическая модель это совокупность математических объектов и взаимосвязей между ними, адекватно отражающая свойства и поведение изучаемого объекта.

Математика в самом общем смысле имеет дело с определением и использованием символических моделей. Математическая модель включает в себя класс неопределенных (абстрактных, символических) математических объектов, таких как числа или векторы, и отношения между этими объектами. 

Математическое отношение это гипотетическое правило, связывающее два или более символических объекта. Многие отношения можно описать с помощью математических операций, которые связывают один или несколько объектов с другим объектом или набором объектов (результатом операции). Абстрактная модель с ее объектами произвольной природы, отношениями и операциями определяется последовательным набором правил, которые вводят операции, которые могут быть использованы, и устанавливают общие отношения между их результатами. Конструктивное определение вводит новую математическую модель, использующую уже известные математические концепции (например, определение сложения и умножения матриц в терминах сложения и умножения чисел). 

Математическое моделирование

Математическая модель будет воспроизводить подходящим образом выбранные аспекты физической ситуации, если возможно установить правило соответствия, связывающее конкретные физические объекты и отношения с конкретными математическими объектами и отношениями. Поучительным и / или интересным может быть построение математических моделей, аналогов которым нет в физическом мире. Наиболее распространенными математическими моделями являются системы целых и действительных чисел и евклидова геометрия; определяющими свойствами этих моделей являются более или менее прямые абстракции физических процессов (подсчет, упорядочение, сравнение, измерение). 

Объекты и операции более общих математических моделей часто связаны с наборами действительных чисел, которые можно соотнести с результатами физических измерений.

Математическое моделирование это метод качественного и (или) количественного описания процесса с использованием так называемой математической модели, при построении которой реальный процесс или явление описывается с помощью того или иного адекватного математического аппарата. Математическое моделирование неотъемлемая часть современных исследований. 

Математическое моделирование типичная дисциплина, которая, как сейчас часто говорят, находится на «стыке» нескольких наук. Адекватная математическая модель не может быть построена без глубокого знания объекта, который «обслуживается» математической моделью. Иногда выражается иллюзорная надежда на то, что математическую модель может создать совместно математик, не знающий объекта моделирования, и специалист по «объекту», не знающий математики. Чтобы добиться успеха в области математического моделирования, необходимо знать как математические методы, так и объект моделирования. С этим связано, например, наличие такой специальности, как физик-теоретик, основным видом деятельности которого является математическое моделирование в физике. Утвердившееся в физике разделение специалистов на теоретиков и экспериментаторов, несомненно, произойдет и в других науках, как фундаментальных, так и прикладных. 

Классификация математических моделей

Из-за разнообразия используемых математических моделей их общая классификация затруднительна. В литературе обычно приводятся классификации, основанные на разных подходах. Один из таких подходов связан с характером моделируемого процесса, когда различают детерминированные и вероятностные модели. Наряду со столь распространенной классификацией математических моделей есть и другие. 

Классификация математических моделей по особенностям применяемого математического аппарата. В нем можно выделить следующие разновидности. 

Математические модели с сосредоточенными параметрами.

Обычно эти модели используются для описания динамики систем, состоящих из дискретных элементов. С математической точки зрения это системы обыкновенных линейных или нелинейных дифференциальных уравнений. 

Математические модели с сосредоточенными параметрами широко используются для описания систем, состоящих из дискретных объектов или наборов идентичных объектов. Например, широко используется динамическая модель полупроводникового лазера. Эта модель включает две динамически изменяемые концентрации неосновных носителей заряда и фотонов в активной зоне лазера. 

В случае сложных систем количество динамических переменных и, следовательно, дифференциальных уравнений может быть большим (до 102 ... 103). В этих случаях полезны различные методы сокращения системы, основанные на временной иерархии процессов, оценка влияния различных факторов и пренебрежение малозначимыми из них и т. д. 

Метод последовательного расширения модели может привести к созданию адекватной модели сложной системы.

Математические модели с распределенными параметрами.

Модели этого типа описывают процессы диффузии, теплопроводности, распространения волн различной природы и т. д. эти процессы могут иметь не только физическую природу. Математические модели с распределенными параметрами широко используются в биологии, физиологии и других науках. Чаще всего в качестве основы математической модели используются уравнения математической физики, в том числе нелинейные. 

Математические модели, основанные на крайних принципах.

Фундаментальная роль принципа наибольшего действия в физике хорошо известна. Например, все известные системы уравнений, описывающие физические процессы, могут быть выведены из крайних принципов. Однако в других науках крайние принципы играют существенную роль. 

Принцип крайностей используется для аппроксимации эмпирических зависимостей аналитическим выражением. Графическое представление такой зависимости и конкретный тип аналитического выражения, описывающего эту зависимость, определяются с помощью экстремального принципа, называемого методом наименьших квадратов (метод Гаусса), суть которого заключается в следующем. 

Тип этой зависимости требуется определять из опыта. Предположим, что в результате эксперимента мы получили ряд экспериментальных точек и построили зависимость y от x. Обычно экспериментальные точки на таком графике расположены не совсем правильно, дают некоторый разброс, то есть обнаруживают случайные отклонения от видимой общей картины. Эти отклонения связаны с погрешностями измерения, неизбежными в любом эксперименте. Тогда возникает типичная практическая задача сглаживания экспериментальной зависимости. 

Для решения этой проблемы обычно используется вычислительный метод, известный как метод наименьших квадратов (или метод Гаусса).

Конечно, перечисленные разновидности математических моделей не исчерпывают всего математического аппарата, используемого при математическом моделировании. Особенно разнообразен математический аппарат теоретической физики и, в частности, ее важнейшего раздела физики элементарных частиц. 

Основной принцип классификации математических моделей

Области их применения часто используются как основной принцип классификации математических моделей.

Этот подход выделяет следующие области применения: 

  • физические процессы;
  • технические приложения, включая управляемые системы, искусственный интеллект;
  • жизненные процессы (биология, физиология, медицина);
  • большие системы, связанные с взаимодействием людей (социальные, экономические, экологические);
  • гуманитарные науки (лингвистика, искусство).

Типы математических моделей: детерминированная и вероятностная, теоретическая и экспериментальная факторная. Линейные и нелинейные, динамические и статические. непрерывный и дискретный, функциональный и структурный. 

По форме представления математических моделей различают инвариантные, алгоритмические, аналитические и графические модели объекта проектирования.

Структура модели это упорядоченный набор элементов и их взаимосвязей. Параметр это значение, которое характеризует свойство или режим работы объекта. Выходные параметры характеризуют свойства технического объекта, а внутренние параметры характеризуют свойства его элементов. Внешние параметры это параметры внешней среды, влияющие на функционирование технического объекта. 

К математическим моделям предъявляются требования адекватности, оперативности, универсальности. Эти требования противоречивы. 

В зависимости от степени абстракции при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний или метауровень, средний или макроуровень и нижний или микроуровень.

Метауровень соответствует начальным этапам проектирования, на которых выполняются научно-технический1 поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используются методы морфологического синтеза, теория графов, математическая логика, теория автоматического управления, теория массового обслуживания и теория конечных автоматов. 

На макроуровне объект рассматривается как динамическая система с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используются для определения параметров технического объекта и его функциональных элементов. 

На микроуровне объект представлен как сплошная среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используются уравнения в частных производных. На микроуровне разрабатываются элементы технической системы, неделимые по функциональному признаку, которые называются базовыми элементами. В этом случае базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества функциональных элементов одного типа одной физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней среды и других элементов технического объекта, которые являются внешняя среда по отношению к основному элементу. 

По форме представления математических моделей различают инвариантные, алгоритмические, аналитические и графические модели объекта проектирования.

В инвариантном виде математическая модель представлена ​​системой уравнений без какой-либо связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным методом численного решения и записываются в виде последовательности вычислений. К числу алгоритмических моделей относятся имитационные модели, предназначенные для моделирования физических и информационных процессов, происходящих в объекте в процессе его функционирования под воздействием различных факторов внешней среды. 

Аналитическая модель представляет собой явную зависимость искомых переменных от заданных значений (обычно зависимость выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получаются на основе физических законов или в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений. Аналитические математические модели позволяют легко и просто решить задачу определения оптимальных параметров. Поэтому, если есть возможность получить модель в таком виде, всегда желательно ее реализовать, даже если в этом случае необходимо выполнить ряд вспомогательных процедур. Такие модели обычно получают методом планирования эксперимента (вычислительного или физического). 

Графическая (схематическая) модель представлена ​​в виде графиков, схем замещения, динамических моделей, диаграмм и т. д. для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений графических элементов и компонентов инвариантных математических моделей. 

Разделение математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются только при решении задач структурного синтеза. Параметры структурных моделей это признаки функциональных или конструктивных элементов, составляющих технический объект и которыми один вариант конструкции объекта отличается от другого. Эти параметры называются морфологическими переменными. Структурные модели представлены в виде таблиц, матриц и графиков. Наиболее перспективным является использование древовидных графов типа AND-OR-tree. Такие модели широко используются на метауровне при выборе технического решения. 

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют вид систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Они широко используются на всех уровнях дизайна. На метауровне функциональные задачи позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне выбора конструкции и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на микроуровне оптимизации параметров базовых элементов. 

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получаются на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные на основе поведения объекта во внешней среде, рассматриваемого как «черный ящик». В этом случае эксперименты могут быть физическими (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительными (на теоретической математической модели). 

При построении теоретических моделей используются физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к прямому применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона, Гука, Кирхгофа и т. д.

Виды математических моделей

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, так и экспериментальных моделей. Экспериментальные модели формальны. Они не учитывают весь комплекс физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруженную в эксперименте связь между отдельными параметрами системы, которые могут варьироваться и (или) измеряться. Такие модели адекватно описывают изучаемые процессы только в ограниченной области пространства параметров, в которой параметры варьировались в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят особый характер, а физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, происходящих как во всей технической системе, так и в каждом из ее элементов в отдельности. Следовательно, экспериментальные математические модели нельзя принимать как законы физики. Однако методы, используемые для построения этих моделей, широко используются при проверке научных гипотез. 

Функциональные математические модели могут быть линейными и нелинейными. Линейные модели содержат только линейные функции величин, характеризующих состояние объекта при его эксплуатации, и их производные. Характеристики многих элементов реальных объектов нелинейны. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции этих величин и их производных и являются нелинейными. 

Если при моделировании учитываются инерционные свойства объекта и (или) изменение во времени объекта или внешней среды, то модель называется динамической. В противном случае модель статична. Математическое представление динамической модели в общем случае может быть выражено системой дифференциальных уравнений и статической системой алгебраических уравнений. 

Если воздействие внешней среды на объект носит случайный характер и описывается случайными функциями. В этом случае требуется построение вероятностной математической модели. Однако такая модель очень сложна, и ее использование при проектировании технических объектов требует много компьютерного времени. Поэтому его используют на завершающей стадии проектирования. 

Большинство процедур проектирования выполняется на детерминированных моделях. Детерминированная математическая модель характеризуется взаимно однозначным соответствием между внешним воздействием на динамическую систему и ее реакцией на это влияние. В вычислительном эксперименте при проектировании обычно задаются некоторые стандартные типовые воздействия на объект: пошаговые, импульсные, гармонические, кусочно-линейные, экспоненциальные и др. они называются тестовыми воздействиями. 

Программирование

На этом этапе выполняются следующие действия.

Составлен план создания и использования модели программного обеспечения. Как правило, модельная программа создается с использованием средств компьютерного моделирования. Поэтому на плане указывается: тип компьютера; средство автоматизации моделирования; примерный расход памяти компьютера на создание модельной программы и ее рабочих массивов; стоимость компьютерного времени на один цикл модели; оценка затрат на программирование и отладку модельной программы. 

Затем исследователь приступает к программированию модели. Описание имитационной модели служит техническим заданием для программирования. Специфика работы над программированием моделей зависит от доступных исследователю средств автоматизации моделирования. Существенных отличий создания модельной программы от обычной автономной отладки программных модулей большой программы или программного комплекса нет. В соответствии с текстом модель разделена на блоки и подблоки. В отличие от обычной автономной отладки программных модулей, при автономной отладке блоков и подблоков модели программы объем работы значительно увеличивается, так как для каждого модуля необходимо создать и отладить имитатор внешней среды. Очень важно проверить реализацию функций модуля в модельное время t и оценить стоимость компьютерного времени за цикл работы модели в зависимости от значений параметров модели. Работа завершается в процессе автономной отладки компонентов модели путем подготовки форм для представления входных и выходных данных моделирования. 

Затем перейдите ко второй проверке программы модели системы. В ходе этой проверки устанавливается соответствие операций в программе описанию модели. Для этого программа переводится обратно в схему модели (ручная «прокрутка» позволяет найти грубые ошибки статики модели). 

После устранения грубых ошибок ряд блоков объединяется и начинается сложная отладка модели с помощью тестов. Тестовая отладка начинается с нескольких блоков, затем в этот процесс вовлекается все больше и больше блоков модели. Отметим, что сложная отладка модельной программы намного сложнее, чем отладка программных пакетов, поскольку ошибки в динамике моделирования в этом случае гораздо труднее обнаружить из-за квазипараллельной работы различных компонентов модели. По завершении комплексной отладки модельной программы необходимо произвести переоценку затрат компьютерного времени на один цикл расчета на модели. Полезно получить приблизительное время моделирования для одного цикла моделирования. 

Следующим этапом является подготовка технической документации на макет сложной системы.

Результатом этого этапа по окончании комплексной отладки модельной программы должны стать следующие документы: 

  • описание имитационной модели;
  • описание модельной программы с указанием системы программирования и принятых обозначений;
  • полная схема модельной программы;
  • полная запись модельной программы на языке моделирования;
  • подтверждение надежности модельной программы (результаты комплексной отладки модельной программы);
  • описание входных и выходных величин с необходимыми пояснениями (размеры, шкалы, диапазоны значений, обозначения);
  • оценка временных затрат компьютера на один цикл моделирования;
  • инструкция по работе с модельной программой.

Для проверки адекватности модели объекту исследования после составления формального описания системы исследователь составляет план проведения натурных экспериментов с прототипом системы. Если прототипа системы нет, то при моделировании одних и тех же явлений можно использовать систему вложенных IM, которые отличаются друг от друга степенью детализации. Затем более подробная модель служит прототипом обобщенного МИ. Если построить такую ​​последовательность невозможно либо из-за недостатка ресурсов для выполнения этой работы, либо из-за недостатка информации, то они обходятся без проверки адекватности ИМ. Согласно этому плану параллельно с отладкой ИИ проводится серия натурных экспериментов на реальной системе, в ходе которых накапливаются результаты контроля. Имея в своем распоряжении результаты контроля и результаты испытаний МИ, исследователь проверяет соответствие модели объекту. 

Если на этапе отладки обнаружены ошибки, которые можно устранить только на предыдущих этапах, можно вернуться к предыдущему этапу. Помимо технической документации к результатам этапа прилагается машинная реализация модели (программа, переведенная в компьютерный код компьютера, на котором будет происходить моделирование). 

Тестирование модели

Это важный шаг в создании модели. В этом случае необходимо сделать следующее. Во-первых, убедиться в правильности динамики развития алгоритма моделирования объекта исследования при имитации его функционирования (верификации модели). Во-вторых, определить степень адекватности модели и объекта исследования. Под адекватностью программной имитационной модели реальному объекту понимается совпадение с заданной точностью векторов характеристик поведения объекта и модели. При отсутствии адекватности имитационная модель калибруется («корректируются» характеристики алгоритмов компонентов модели). 

Наличие ошибок во взаимодействии компонентов модели возвращает исследователя к этапу создания имитационной модели. Не исключено, что в процессе формализации исследователь чрезмерно упростил физические явления, исключил из рассмотрения ряд важных аспектов функционирования системы, что привело к неадекватности модели объекту. В этом случае исследователь должен вернуться к этапу формализации системы.

В случаях, когда выбор метода формализации оказался неудачным, исследователю необходимо повторить этап составления концептуальной модели с учетом новой информации и опыта. Наконец, когда у исследователя недостаточно информации об объекте, он должен вернуться к этапу составления содержательного описания системы и уточнить его с учетом результатов тестирования предыдущей модели системы. 

Исследование свойств имитационной модели

При этом оценивается точность моделирования явлений, стабильность результатов моделирования, чувствительность критериев качества к изменению параметров модели. В некоторых случаях получить эти оценки очень сложно. Однако без успешных результатов этой работы ни разработчик, ни заказчик IM не будут доверять модели. Разные исследователи, в зависимости от типа ИМ, разработали разные интерпретации концепций точности, стабильности, стационарности и чувствительности ИМ. Пока нет общепринятой теории имитации явлений на компьютере. Каждый исследователь должен опираться на собственный опыт организации моделирования и понимание особенностей объекта моделирования. 

Точность моделирования явлений это оценка влияния стохастических элементов на функционирование модели сложной системы.

Стабильность результатов моделирования характеризуется сходимостью управляемого параметра моделирования к определенному значению при увеличении времени моделирования варианта сложной системы.

Стационарность режима моделирования характеризует определенное равновесие процессов в модели системы, когда дальнейшая имитация бессмысленна, поскольку исследователь не будет получать новую информацию от модели и продолжение имитации практически приводит только к увеличению потребления. компьютерного времени. Необходимо предусмотреть такую ​​возможность и разработать метод определения момента выхода на стационарный режим моделирования. Чувствительность ИМ выражается значением минимального приращения выбранного критерия качества, рассчитанного на основе статистики моделирования, с последовательным варьированием параметров моделирования во всем диапазоне их изменения. 

Работа имитационной модели. Этот этап начинается с разработки плана эксперимента, который позволяет исследователю получить как можно больше информации с минимальными вычислительными затратами. Статистическое обоснование плана эксперимента обязательно. Планирование экспериментов это процедура выбора количества и условий экспериментов, необходимых и достаточных для решения задачи с требуемой точностью. В этом случае необходимо: стремление к минимизации общего количества экспериментов, обеспечение возможности одновременного изменения всех переменных; использование математического аппарата, формализующего многие действия экспериментаторов; выбор четкой стратегии, позволяющей принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов на модели. 

Затем исследователь приступает к рабочим расчетам на модели. Это очень трудоемкий процесс, требующий больших затрат компьютерных ресурсов и обилия бумажной волокиты. Отметим, что уже на ранних этапах создания ИМ необходимо тщательно продумать состав и объемы моделируемой информации, чтобы существенно облегчить дальнейший анализ результатов моделирования. Результатом работы являются результаты моделирования. 

Заключение

Анализ результатов моделирования. Этот этап завершает технологическую цепочку этапов создания и использования имитационных моделей. Получив результаты моделирования, исследователь приступает к их интерпретации. Здесь возможны следующие циклы моделирования. В первом цикле имитационного эксперимента в ИИ выбор вариантов исследуемой системы обеспечивается заранее заданием начальных условий моделирования для машинной программы модели. Во втором цикле имитационного эксперимента модель модифицируется на языке моделирования, поэтому программу необходимо снова перевести и отредактировать. 

Не исключено, что в процессе интерпретации результатов исследователь установил наличие ошибок либо при создании модели, либо при формализации объекта моделирования. В этих случаях осуществляется возврат к этапам построения описания имитационной модели или к составлению концептуальной модели системы соответственно. 

Результатом этапа интерпретации результатов моделирования являются рекомендации по проектированию системы или ее модификации. Имея в своем распоряжении рекомендации, исследователи начинают принимать проектные решения. На интерпретацию результатов моделирования существенно влияют визуальные возможности используемого компьютера и реализованной на нем системы моделирования.