Векторные и топографические диаграммы

Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей

Совокупность радиус-векторов, изображающих синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения, токи и т. д., называется векторной диаграммой. Векторные диаграммы наглядно иллюстрируют ход решения задачи. При точном построении векторов можно непосредственно из диаграммы определить амплитуды и фазы искомых величин. Приближенное (качественное) построение диаграмм при аналитическом решении служит надежным контролем корректности хода решения и позволяет легко определить квадрант, в котором находятся определяемые векторы.

При построении векторных диаграмм для цепей с последовательным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принимать вектор тока (см. лекцию №8), а к нему под соответствующими углами подстраивать векторы напряжений на отдельных элементах. Для цепей с параллельным соединением элементов за базовый (отправной) вектор следует принять вектор напряжения (см. лекцию №8), ориентируя относительно него векторы токов в параллельных ветвях.

Для наглядного определения величины и фазы напряжения между различными точками электрической цепи удобно использовать топографические диаграммы. Они представляют собой соединенные соответственно схеме электрической цепи точки на комплексной плоскости, отображающие их потенциалы. На топографической диаграмме, представляющей собой в принципе векторную диаграмму, порядок расположения векторов напряжений строго соответствует порядку расположения элементов в схеме, а вектор падения напряжения на каждом последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения на каждом предыдущем элементе.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

В качестве примера построим векторную диаграмму токов, а также топографическую диаграмму потенциалов для схемы, расчет которой был приведен в лекции №5 (см. рис. 1).

Векторные и топографические диаграммы
Параметры схемы: Векторные и топографические диаграммы

При данных параметрах и заданном напряжении на входе схемы Векторные и топографические диаграммы найденные значения токов (см. лекцию № 5) равны: Векторные и топографические диаграммы

При построении векторной диаграммы зададимся масштабами токов и напряжений (см. рис. 2). Векторную диаграмму можно строить, имея запись комплекса в показательной форме, т.е. по значениям модуля и фазы. Однако на практике удобнее проводить построения, используя алгебраическую форму записи, поскольку при этом вещественная и мнимая составляющие комплексной величины непосредственно откладываются на соответствующих осях комплексной плоскости, определяя положение точки на ней.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Мощность в электрических цепях

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Построение векторной диаграммы токов осуществляется непосредственно на основании известных значений их комплексов. Для построения топографической диаграммы предварительно осуществим расчет комплексных потенциалов (другой вариант построения топографической диаграммы предполагает расчет комплексов напряжений на элементах цепи с последующим суммированием векторов напряжений вдоль контура непосредственно на комплексной плоскости).

При построении топографической диаграммы обход контуров можно производить по направлению тока или против. Чаще используют второй вариант.

Векторные и топографические диаграммы
В этом случае с учетом того, что в электротехнике принято, что ток течет от большего потенциала к меньшему, потенциал искомой точки равен потенциалу предыдущей плюс падение напряжения на элементе между этими точками. Если на пути обхода встречается источник ЭДС, то потенциал искомой точки будет равен потенциалу предыдущей плюс величина этой ЭДС, если направление обхода совпадает с направлением ЭДС, и минус величина ЭДС, если не совпадает. Это вытекает из того, что напряжение на источнике ЭДС имеет направление, противоположное ЭДС.

Обозначив на схеме по рис. 1 точки между элементами цепи е и а и приняв потенциал точки а за нуль ( Векторные и топографические диаграммы ), определим потенциалы этих точек:

Векторные и топографические диаграммы

или Векторные и топографические диаграммы

Векторные и топографические диаграммы
Таким образом, в результате проведенных вычислений получено, что Векторные и топографические диаграммы . Но разность потенциалов точек Векторные и топографические диаграммы и Векторные и топографические диаграммы равно напряжению Векторные и топографические диаграммы приложенному к цепи, а оно равно 120 В. Таким образом, второй закон Кирхгофа выполняется, а следовательно, вычисления выполнены верно. В соответствии с полученными результатами строится топографическая диаграмма на рис. 2. Следует обратить внимание на ориентацию векторов, составляющих топографическую диаграмму, относительно векторов тока: для резистивных элементов соответствующие векторы параллельны, для индуктивного и емкостных - ортогональны.

В заключение заметим, что векторы напряжений ориентированы относительно точек топографической диаграммы противоположно положительным направлениям напряжений относительно соответствующих точек электрической цепи. В этой связи допускается не указывать на топографической диаграмме направления векторов напряжений.

Потенциальная диаграмма

Потенциальная диаграмма применяется при анализе цепей постоянного тока. Она представляет собой график распределения потенциала вдоль участка цепи или контура, при этом по оси абсцисс откладываются сопротивления резистивных элементов, встречающихся на пути обхода ветви или контура, а по оси ординат - потенциалы соответствующих точек. Таким образом, каждой точке рассматриваемого участка или контура соответствует точка на потенциальной диаграмме.

Рассмотрим построение потенциальной диаграммы на примере схемы на рис. 3.

Векторные и топографические диаграммы
При параметрах схемы Векторные и топографические диаграммы токи в ветвях схемы равны: Векторные и топографические диаграммы

Построим потенциальную диаграмму для контура Векторные и топографические диаграммы.

Для выбора масштаба по оси абсцисс просуммируем сопротивления резисторов вдоль рассматриваемого контура: Векторные и топографические диаграммы после чего определим потенциалы точек контура относительно потенциала произвольно выбранной точки а, потенциал которой принят за нуль:

Векторные и топографические диаграммы
Таким образом, координаты точек потенциальной диаграммы: Векторные и топографические диаграммы С учетом выбранных масштабов на рис. 4 построена потенциальная диаграмма для выбранного контура.

Преобразование линейных электрических схем

Для упрощения расчета и повышения наглядности анализа сложных электрических цепей во многих случаях рационально подвергнуть их предварительному преобразованию. Очевидно, что преобразование должно приводить к упрощению исходной схемы за счет уменьшения числа ее ветвей и (или) узлов. Такое преобразование называется целесообразным. В этом случае, каким бы ни был метод преобразования, должно быть выполнено условие постоянного тока в ветви участка цепи, на которое эти преобразования не влияют. Из последнего, если участок схемы, который не содержит источник энергии, преобразуется, то мощность исходной схемы и эквивалентной схемы одинакова. Если в преобразуемые участки входят источники энергии, то в общем случае мощности в исходной и преобразованной цепях будут различны.

Рассмотрим наиболее важные случаи преобразования электрических цепей.

1. Преобразование последовательно соединенных элементов

Рассмотрим участок цепи на рис. 5,а. При расчете внешней по отношению к этому участку цепи данную ветвь можно свести к виду на рис. 5,6, где

Векторные и топографические диаграммы

или

Векторные и топографические диаграммы

Векторные и топографические диаграммы
При этом при вычислении эквивалентной ЭДС Векторные и топографические диаграммы-я ЭДС берется со знаком Векторные и топографические диаграммы если ее направление совпадает с направлением эквивалентной ЭДС, и Векторные и топографические диаграммы если не совпадает.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Преобразование параллельно соединенных ветвей

Пусть имеем схему на рис. 6,а.

Векторные и топографические диаграммы
Согласно закону Ома для участка цепи с источником ЭДС

Векторные и топографические диаграммы

где Векторные и топографические диаграммы .

Тогда

Векторные и топографические диаграммы

где

Векторные и топографические диаграммы

Векторные и топографические диаграммы

причем со знаком Векторные и топографические диаграммы в (4) записываются ЭДС Векторные и топографические диаграммы и ток Векторные и топографические диаграммы если они направлены к тому же узлу, что и ЭДС Векторные и топографические диаграммы ;в противном случае они записываются со знаком Векторные и топографические диаграммы

Взаимные преобразования “треугольник-звезда”

Векторные и топографические диаграммы
В ряде случаев могут встретиться схемы, соединения в которых нельзя отнести ни к последовательному, ни к параллельному типу (см. рис. 7). В таких случаях преобразования носят более сложный характер: преобразование треугольника в звезду и наоборот.

Преобразовать треугольник в звезду - значит заменить три сопротивления, соединенных в треугольник между какими-то тремя узлами, другими тремя сопротивлениями, соединенными в звезду между теми же точками. При этом на участках схемы, не затронутых этими преобразованиями, токи должны остаться неизменными.

Без вывода запишем формулы эквивалентных преобразований

Треугольник Векторные и топографические диаграммы звезда

Векторные и топографические диаграммы

Звезда Векторные и топографические диаграммы треугольник

Векторные и топографические диаграммы