Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

Векторное поле. Векторные линии и их дифференциальные уравнения

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Определение. Если в каждой точке M(x,y,z) пространства или части пространства определена векторная величина то говорят, что там задано векторное поле а. Задание векторного поля равносильно заданию ipex скалярных функций от трех переменных , Примерами векторных полей могут служить: силовое поле — поле некоторой силы F, поле скоростей v течения некоторой жидкости и др.

Для геометрической характеристики векторного поля служат векторные линии. Векторной линией векторного поля а называется кривая, касательная к которой в любой точке М имеет то же направление, что и вектор поля а в этой точке (рис. 7). В силовом поле векторные линии называются силовыми линиями', в поле скоростей дви-женияжидкости векторные линии называются линиями тока. Рис. 7 3.1.

Дифференциальные уравнения векторных линий Пусть векторное поле определяется вектор-функцией ) — непрерывные функции переменных x, у, z, имеющие ограниченные частные производные первого порядка. Пусть — есть радиус-вектор текущей точки векторной линии векторного поля a (t — параметр). Из определения векторной линии следует, что вектор и вектор касательной к этой кривой должны быть коллинеарны в каждой точке векторной линии. Условием коллинеарности векторов является пропорциональность их координат:

Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности Таким образом, мы получили для векторных линий систему дифференциальных уравнений в симметричной форме. Допустим, что нам удалось найти два независимых интеграла системы (2): . Система уравнений (3) определяет векторную линию как линию пересечения двух поверхностей. Произвольно меняя параметры с, и Сг, мы получаем семейство векторных линий как семейство с двумя степенями свободы.

Пример 1. Найти векторные линии векторного поля 4 Выписываем дифференциальные уравнения векторных линий, или Интегрируя эту систему, получим два уравнения — произвольные постоянные. Пересечение плоскостей у — С\х с параболическими цилиндрами дает двух параметрическое семейство векторных линий поля (рис.8). Олредрм*т . Векторное поле называется плоским, если все векторы а параллельны одной и той же плоскости и в каждой плоскости, параллельной указан ной, векторное поле одно и то же.

Посмотрим, как плоское векторное поле описывается в координатах.

Если указанную в определении плоскость (или любую ей параллельную) принять за плоскость хОу, то векторы плоского поля не будут содержать компоненты по оси Oz и координаты векторов не будут зависеть от z: Дифференциальные уравнения векторныхл иний плоского поля можно записать в следующем виде Отсюда видно, что векторные линии плоского поля являются плоскими кривыми, лежащими в плоскостях, параллельных плоскости хОу.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Предельные точки последовательности. Числовая прямая
Первая квадратичная форма. Площадь поверхности. Кривизна
Поверхностное натяжение, смачивание, капиллярные явления
Оксиды

Пример 2. Найти векторные линии магнитного поля бесконечно длинного прямого провода. ^ Предположим, что проводник направлен вдоль оси Oz и по нему течет ток силы J, т.е. вектор тока Тогда вектор напряженности Н магнитного поля определяется по формуле — радиус-вектор точхи М, р — расстояние от оси провода до точки М. Раскрывая векторное произведение (6), получим Дифференциальные уравнения векторных линий: Отсюда х = const, = или . Окончательно имеем т.е. векторные линии являются офужносгями с центрами на оси О г (рис.9). Пример 3.

Найти векторные линии поля сил тяготения, образованного притягивающей материальной то*«ой массы ш, расположенной в начале координат. Дифференциальные уравнения векторных линий: стсуда, умножая каждую из дробей на , получим Чтобы получить уравнения векторных линий в параметрической форме, приравняем каждую из дробей величине у. Имеем Это — полупрямые, выходящие из начала координат. Чтобы из семейства векторных линий выделить одну, надо задать точку ), через которую эта векторная линия должна проходить, и по координатам заданной точки определить величины.

Пусть, например, точка А/о имеет координаты . Уравнение векторной линии, проходящей через точку, можно записать так: . Сама точка Л/о получается при значении параметра § 4. Поток вектора через поверхность и его свойства Рассмотрим сначала частный случай поля скоростей v течения жидкости. Выделим в поле некоторую поверхность Потоком жидкости через поверхность Е называется количество жидкости, протекающее через поверхность Е за единицу времени.

Этот поток легко вычислить

если скорость течения постоянна (v = const), а поверхность £ —плоская. В этом случае поток жидкости равен объему цилиндрического тела с параллельными основаниями и образующими длины |v|, так как за единицу времени кажд ая частица перемещается на величину v (рис. 10), где S — площадь основания, — высота цилиндра и n — нормаль к его основанию, Итак, при постоянной скорости v поток жидкости через плоскую поверхность Е равен Если скорость v изменяется непрерывно, а поверхность Е — гладкая, то можно разбить поверхность Е на столь малые части , чтобы каждую часть Е* можно было приближенно считать плоской и вектор v на ней постоянным.

Так как поток жидкости через поверхность Е равен сумме потоков жидкости через все ее части Е*, то мы получаем для вычисления потока приближенную формулу Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности где п — общее число частей Efc, на которые разбита поверхность Е, Рк — точка, лежащая на fc-ой части, Аак — площадь части Е* поверхности, означает скалярное произведение векторов в точке *(рис. 11).

Назовем потоком жидкости через поверхность Е предел суммы (2) при стремлении к нулю наибольшего из . диаметров площадок Е*, где d — наибольший из диаметров частей . Интеграл (3), определяющий поток жидкости, берется от скалярной функции (v, п°) по площади поверхности Е. Понятие потока произвольного вектора а через поверхность Е вводится по аналогии с введенным выше понятием потока жидкости через поверхность. Определение.

Потоком вектора {векторного поля) а через поверхность Е называется интеграл по поверхности Е от проекции вектора а на нормаль к поверхности ( = n da). Ясно, что интеграл (4) существует, если вектор непрерывен,т. е. непрерывны его координаты ), и поверхность Е — гладкая, т. е. имеетнепрерывно меняющуюся касательную плоскость. Пример 1. Поле создается точечным зарядом (электрическое поле) или точечной маосой (поле тяготения), помещенными в начале координат.

Тогда вектор напряженности поля в любой точке Р будет равен где ч — величина заряда (массы), г ОР — радиус-вектор точки Р. Требуется найти поток вектора напряженности Е через Sn — сферу радиуса R с центром в начале координат. Так как направление нормали к сфере совпадает с направлением радиус-вектора г, и поэтому На сфере 5д радиуса R имеем . Поэтому поток вектора чероз Sn равен 4.1. Свойства потока вектора через поверхность 1. Линейность. где А и ц — постоянные числа. 2. Аддитивность. Если поверхность Е разбита кусочно-гладкой кривой на две части , то поток через поверхность Е равен сумме потоков через поверхности Ei и Е2, Это свойство позволяет распространить понятие потока на кусочно-гладкие поверхности Е.

Понятие ориентации поверхности Взяв, к примеру, цилиндрическую поверхность, замечаем, что если в некоторой ее точке М выбрать определенный (один из двух) единичный вектор нормали и непрерывно перемещаться затем по поверхности вместе с соответствующим вектором нормали по любому пути, не переходящему через край поверхности, то при возвращении в точку М единичный вектор нормали совпадает с исходным (рис. 12). Вместе с тем, существуют поверхности, для которых это не так.

Примером такой поверхности может служить лист Мёбиуса (рис. 13). Существует путь (отмеченная на рисунке пунктиром средняя линия листа), перемещаясь по которому, мы возвратимся в начальную точку с единичным вектором нормали, противоположным исходному. Описанное свойство разбивает все поверхности на два класса — двусторонние, или ориентируемые (плоскость, сфера, поверхность куба и т. п.), и односторонние, или неориентируемые (лист Мёбиуса). 3. Зависимость потока от ориентации поверхности (от ориентации вектора нормали к поверхности). Понятие потока вводится только для двусторонних поверхностей.

Будем считать, что если в одной точке такой поверхности направление вектора нормали уже выбрано, то Рис. 13 в любой другой ее точке берется тот вектор нормали, который получается из выбранного при непрерывном перемещении точки по поверхности (без перехода через границу). В частности, на замкнутой поверхности во всех точках берется либо внешняя нормаль, либо внутренняя (внутренняя нормаль направлена внутрьтела, ограниченного замкнутой поверхностью).

Обозначим через ту сторону поверхности £, на которой выбран вектор нормали п+ = п, а через Е~ — сторону поверхности Е, на которой берется вектор нормали (п_ = -п). Тогда получим (7) где . Таким образом, при изменении ориентации поверхности (при изменении направления вектора нормали п° к поверхности Е) поток вектора меняет знак на противоположный.

Пример 2. Вычислить поток радиус-вектора через поверхность прямого кругового цилиндра высоты Н с радиусом основания R и осью Ог. Поверхность состоит из трех частей: боковой поверхности £j, верхнего основания £2 и нижнего основания £3 цилиндра. Искомый поток П в силу свойства аддитивности равен — потоки данного поля через и соответственно. На боковой поверхности цилиндра вектор внешней нормали п? параллелен плоскости хОу, и поэтому (см. рис. 14).

Следовательно, Векторное поле Векторные линии и их дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения векторных линий Поток вектора через поверхность и его свойства Свойства потока вектора через поверхность Понятие ориентации поверхности На верхнем основании £2 вектор нормали параллелен оси Oz, и поэтому можно положить п§ = к-Тогда имеем так что На нижнем основании вектор г перпендикулярен к вектору нормали п" = -к. Поэтому Здесь символ означает двойной интеграл по замкнутой поверхности,