Устойчивость стержней

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Устойчивость сжатых стержней Общие понятия Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня Влияние условия закрепления стержня на величину критической силы Пределы применимости формулы Эйлера Практический способ расчета сжатых стержней на устойчивость Выбор рациональной формы поперечного сечения сжатого стержня.

Примеры расчетов на устойчивость Библиографический список Устойчивость сжатых стержней Общие понятия При расчёте на прочность элементов конструкций предполагается, что при их деформации имеет место заранее известная форма равновесия. Однако это возможно лишь при определенной величине внешних нагрузок. В зависимости от внешних сил деформированный стержень может находиться в устойчивом или неустойчивом состоянии равновесия.

Упругое равновесие будет устойчивым, если деформированный стержень при любом малом отклонении от состояния равновесия стремится возвратиться и возвращается к первоначальному состоянию после удаления внешнего воздействия Упругое равновесие будет неустойчивым, если деформированный стержень, выведенный из состояния равновесия каким-либо внешним воздействием, после удаления внешнего воздействия в исходное состояние не возвращается (рис 1.1, б).

Между этими двумя состояниями равновесия существует переходное состояние, при котором деформированный стержень находится в безразличном равновесии: он может сохранить первоначально приданную ему форму, но может и потерять её от самого незначительного воздействия. Это состояние безразличного равновесия называют критическим (рис. 1.1, в).

При потере устойчивости происходит переход к некоторому новому положению равновесия, причём переход сопровождается, как правило, большими перемещениями, возможным возникновением остаточных деформаций, а в отдельных случаях выходом конструкции из строя. Наиболее простым примером является потеря устойчивости центрально сжатого стержня (рис. 1.2, а). Тонкостенная труба, нагруженная внешним давлением, при превышении определённой величины его также теряет устойчивость (рис. 1.2, б.). Потеря устойчивости может происходить и при изгибе, например, тонкой полосы (рис. 1.2, в).

Из всего многообразия расчётов на устойчивость упругих систем подробно рассмотрим лишь случай потери устойчивости центрально сжатого стержня. Наименьшее значение центрально приложенной сжимающей силы, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится криволинейной, называют критической силой. До момента наступления критического состояния центрально сжатого стержня упругие деформации растут весьма незначительно, почти незаметно для глаза.

Но с момента наступления критического состояния, деформации нарастают крайне быстро и практически нет времени для принятия мер по предотвращению грозящей катастрофы. Поэтому при расчёте на устойчивость критическая нагрузка подобна разрушающей при расчёте на прочность. Конструкция должна удовлетворять не только требованиям прочности и жёсткости, но и требованиям устойчивости. В целях безопасности допускаемая нагрузка, естественно, должна быть меньше критической, т.е. условие устойчивости запишется где – допускаемая нагрузка; – критическая сила; – коэффициент запаса устойчивости.

Для стальных стоек nу = 1,8-3,0, причём меньшее значение устанавливаются для стержней с большей гибкостью; для чугунных стоек nу=5,0-5,5; для деревянных Явление потери устойчивости центрально cжатого стержня называют продольным изгибом. 1.2. Формула Эйлера для определения критической силы сжатого стержня Рассмотрим сжатый стержень с шарнирно закреплёнными концами в критическом состоянии, т.е. когда сжимающая сила достигла своего критического значения.

При этом примем, что стержень находится в слегка изогнутом состоянии. Если моменты инерции относительно двух главных центральных осей (Z, У) поперечного сечения не равны между собой, то изогнутая ось стержня находится в плоскости оси наименьшей жёсткости. Изобразим искривлённую ось стержня в прямоугольной системе координат z, у Предположим, что критическая сила не вызывает в стержне напряжений, превышающих предел пропорциональности, и что рассматриваются только малые отклонения оси стержня от прямолинейной формы.

В этом случае дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня запишется в виде где у - прогиб стержня в сечении x , а 2 Обозначим 2, тогда уравнение (9.2) примет вид Решение этого уравнения где А и В – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий. Из условия, что при х=0, у=0, находим В=0. После этого уравнение изогнутой оси станет (1.5) При имеем у=0. Это условие даст следующее выражение: При действии критической силы стержень кроме криволинейной формы равновесия, может иметь ещё и прямолинейную, т. е. ∆→ 0.

Следовательно, Этому равенству удовлетворяет либо . Нас же интересует значение силы Р, при котором становится возможной другая, криволинейная форма равновесия. В этом случае А ≠ 0 и должно выполняться условие Корень этого уравнения может иметь бесконечное количество значений: где n – целое число. Отсюда . Подставив выражение (1.6) в (1.5), получим уравнение упругой линии сжатого стержня после потери устойчивости: Каждому значению n будет соответствовать своя форма изогнутой оси (рис. 1.2,б) и своё значение критической силы Ркр,n.

Практически, кроме первой формы (n=1) потери устойчивости сжатого стержня осуществить остальные трудно, так как при увеличении силы Р выше критического значения, соответствующего первой форме, возникнут большие остаточные деформации или даже произойдёт разрушения стержня. Поэтому критическая сила, соответствующая n=1, считается как опасная (разрушающая). Считая, что n=1, а из формулы (1.3) получим (1.8) Формула (1.8) называется формулой Эйлера. 1.3.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Конструктивное решение

Прямой изгиб

Асимптотическое поведение функций. Сравнение бесконечно малых функций

Экстремум функции нескольких переменных

Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы При выводе формулы Эйлера было показано, что в случае достижения внешней силой критического значения, изогнутая ось стержня описывает полуволну синусоиды. Это легко осуществляется при шарнирном закреплении его концов. При других способах закрепления количество полуволн изменяется.

Поэтому для общего способа опорных закреплений стержня формулу Эйлера запишем в следующем виде: – приведённая длина, на которой укладывается одна полуволна; – коэффициент приведения длины, зависит от закрепления концов стержня. Величина коэффициента μ для некоторых распространённых закреплений концов сжатого стержня приведена на рис. 1.4. 1.4.

Пределы применимости формулы Эйлера Вывод формулы Эйлера выполняется на основе дифференциального уравнения упругой оси в предположении, что деформации подчиняются закону Гука. Следовательно, напряжения, соответствующие критической силе, должны быть меньше или равны пределу пропорциональности: (1.10) Критическое напряжение с учётом выражения (1.9) запишется так: где – минимальный радиус инерции сечения, (1.12) Под λ понимаем гибкость стержня.

10 Из формулы (1.11) следует, что критическое напряжение зависит от свойств материала (модуль упругости Е) и геометрических характеристик сечения, выраженных через гибкость стержня. Пределы применимости формулы (1.11) можно выразить через гибкость стержня. Тогда уравнение (1.12) запишется так: Отсюда определяем продольную гибкость С учётом этого, условие применимости формулы Эйлера можно записать так: В этом случае критические напряжения будут меньше предела пропорциональности.

В качестве примера определим предельное значение гибкости предел пропорциональности, Если для стержней фактическая гибкость то для расчёта на устойчивость формула Эйлера непригодна, так как критическое напряжение σкр будет больше предела пропорциональности σпц. Ф.С. Ясинский на основе обработки результатов экспериментов по продольному изгибу стержней за пределом упругости предложил формулу для вычисления критического напряжения где λ – гибкость стержня; а, в и с – размерные опытные коэффициенты, величина которых различна для разных материалов, например:

для Ст. 3 – λпр=100; а=310 МПа; в=1,14 МПа; с=0; для Ст. 5 – λпр=85; а=467 МПа; в=3,62 МПа; с=0; для чугуна для сосны – λпр=110; а=293 МПа; в=0,194 МПа; с=0. Изменение величины критического напряжения в зависимости от значения гибкости стержня можно показать графически. На рис. 1.5 эта зависимость показана для Ст. 3. Для участка правее точки А гибкость стержня λ > λпр, т. е. в этом случае справедлива формула Эйлера (1.12), а критические напряжения σкр меньше предела пропорциональности σпц.

Стержни, для которых справедлива формула Эйлера, называют стержнями большой гибкости, и они испытывают только упругие деформации. Ввиду того что стержни с чрезмерно большой гибкостью воспринимают малые нагрузки, на практике гибкость ограничивают величиной λ = 200. Для участка диаграммы, расположенного левее точки А, при гибкости стержней λ > λпр критические напряжения σкр больше предела пропорциональности σпц, и здесь формула Эйлера несправедлива, так как даёт завышенные результаты расчета критических напряжений. На этом участке используют формулу Ясинского (1.13) при с=0, это изображается на диаграмме прямой линией АВ.

Точка В здесь соответствует пределу текучести σт или гибкости λ = 40.

Стержни, у которых гибкость находится в пределах (40 ≤ λ ≤ 100), т.е. для которых справедлива формула Ясинского, называют стержнями средней гибкости. Они испытывают упруго-пластичные деформации. На участке диаграммы левее точки В возникают только пластические деформации, и расчёт стержня на устойчивость не производится, так как их разрушение происходит раньше, чем возникает потеря устойчивости. Стержни с гибкостью до 40 называют стержнями малой гибкости. 1.5.

Практический способ расчёта сжатых стержней на устойчивость 12 Сжатые стержни кроме проверки на прочность должны быть проверены на устойчивость (рис. 1.6). Условие прочности имеет вид: Условие устойчивости: Здесь А – площадь поперечного сечения стержня без учёта ослаблений отверстиями, пазами и т.п.; АН – площадь сечения с учётом ослаблений, – допускаемое напряжение на устойчивость; nу – коэффициент запаса на устойчивость. Величину коэффициента запаса nу принимают несколько больше основного коэффициента запаса на прочность.

Это делается потому, что для центрально сжатых стержней ряд обстоятельств, неизбежных на практике (эксцентриситет приложения сжимающих сил, начальная кривизна и неоднородность стержня), способствует продольному изгибу. При других видах деформаций эти факторы влияют значительно меньше, не вызывая заметного роста напряжений и перемещений. Допускаемые напряжения на устойчивость [σу] и допускаемое напряжения на прочность при сжатии [σ] взаимно связаны соотношением где φ – коэффициент уменьшения основного допускаемого значения. Этот коэффициент для разных материалов в зависимости от гибкости стержня можно определить в П. 6. Условие устойчивости сжатого стержня будет удовлетворять, если 13 (1.17)

В практике расчёт сжатых стержней на устойчивость может быть двух видов: проверочный и проектировочный. При проверке устойчивости в зависимости от заданных размеров поперечного сечения стержня, его длины и вида опорных закреплений, а также заданной сжимающей силы находят величину действительного напряжения и сравнивают ее с допускаемой. В некоторых случаях находят допускаемую и критическую силу, а также коэффициент запаса. В проектировочных расчётах определяют размеры поперечного сечения сжатого стержня по заданной величине сжимающей силы, длине и виду концевых закреплений.

В этом случае условие устойчивости используют в виде (1.18) Расчёт проводят методом последовательных приближений, так как Например, в первом приближении задаются величиной φ = 0,5-0,6 (коэффициент φ имеет значения от нуля до единицы). В соответствии с принятым значением коэффициента φ1 находят по формуле (1.17) площадь поперечного сечения По найденной площади определяют размеры сечения заданной формы и находят его геометрические характеристики , а также гибкость В зависимости от расчётного значения λ находят в П. 6 коэффициент φ1Т для заданного материала и сравнивают его с принятым φ1.

Если он отличается от заданного более чем на 3%, то расчёт повторяют, причём для второго этапа принимают φ2(зад) = 0,5(φ1 + φ1Т). После окончательно принятых размеров сечения выполняют проверку на прочность при наличии ослаблений, используя условия прочности: Расхождение не должно превышать ± 5 %. 1.6. Выбор рациональной формы поперечного сечения сжатого стержня С точки зрения экономии материала наиболее рациональной формой поперечного сечения сжатого стержня будет такая, при которой величина наименьшего радиуса инерции imin при одной и той же площади является 14 наибольшей.

Для оценки рациональности поперечного сечения можно использовать безразмерную величину , называемую удельным радиусом инерции. Чем больше эта величина, тем сечение более рационально. Так, например для кольцевого сечения 2 , для двутавра (0,41 – 0,27), квадрата – 0,289, круга – 0,283, прямоугольника – 0,209. Самым нерациональным из них является прямоугольное сечение. Кроме этого, при проектировании сечений из расчёта на устойчивость более рациональными являются стержни, обладающие равноустойчивостью во всех направлениях или близкие к ним.

К таким сечениям относят круглые, кольцевые, квадратные и т.д. Прокатные профили, как двутавры, швеллеры, уголки, не являются рациональными с этой точки зрения. Однако из них можно скомпоновать сечение, отвечающее этому требованию, как показано рис. 1.7. 1.7. Примеры расчётов на устойчивость Пример 1.1 Для заданных стержней (рис. 1.8) найти значения критической сила Ркр, допускаемой силы [Р] и коэффициента запаса устойчивости nу. Стержни изготовлены из малоуглеродистой стали с механическими характеристиками σт = 240 МПа, [σ] = 160 МПа.

Длина стержней l = 0,85 м, сечение прямоугольное размерами вхh = 60х40 мм. Способы закрепления концов и соответствующие коэффициенты приведения μ показаны на рис. 1.8. 1. Геометрические характеристики сечения: площадь поперечного сечения минимальный осевой момент инерции минимальный радиус инерции сечения 2. Гибкость стержней определяем по формуле 3. Находим значения критического напряжения: 4. Значение критической силы найдём по формуле 5.

Допускаемую величину сжимающей

силы находим в соответствии с (1.17) из выражения где коэффициент понижения допускаемого напряжения находим по табл. 1.1 с использованием линейной интерполяции: Аналогично находим при λ=147,8 φ=0,329. Величина допускаемой силы: 6. Коэффициент запаса устойчивости: Стержень из малоуглеродистой стали с механической характеристикой [σ]т = 160 МПа, жёстко защемлён и нагружен сжимающей силой Р=300 кН. Длина стержня l = 2,8 м (рис. 1.9).

Подобрать из условия рвноустойчивости размеры сечения в форме двух швеллеров. Решение 1. В первом приближении задаёмся φ1 = 0,6. 2. Требуемую площадь поперечного сечения находим по формуле (1.9): 3. Выбираем по сортаменту сечение в форме двух швеллеров №14У, площадь которого сечения Момент инерции Из условия равноустойчивости считаем Радиус инерции 4. Гибкость стержня 5. По табл. 9.1 находим при λ=99,8 φ1табл = 0,618. 6. Во втором приближении принимаем 7.

Требуемая площадь сечения 8. Из сортамента выбираем два швеллера №14У с геометрическими характеристиками 9. Гибкость стержня 10. По табл. 1.1 находим φ2табл = 0,618 – значение отличается от заданного на величину что допускается. 11. Из условия равноустойчивости – момент инерции швеллера относительно оси У; в – расстояние между осями Тогда, решая равенство 12. Ширина сечения В составит где z0 – координата центра тяжести швеллера Таблица 1. Коэффициенты φ Гибкость Значение φ для стали марок 4, 3, 2, ОС стали марки чугуна дерева