Уравнение окружности и прямой

Содержание:

1. Уравнение окружности

Уравнение окружности

Выведем уравнение окружности радиуса с центром в точке (рис.424).

Точка принадлежит данной окружности тогда и только тогда, когда или т.е.

Это и есть искомое уравнение. Решим теперь такую задачу:

Задача:

Найти множество всех точек, для которых сумма квадратов расстояний до двух данных точек постоянна.

Решение:

Пусть и — данные точки. Требуется найти множество всех таких точек для которых где данная величина.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Введем прямоугольную систему координат так, чтобы точки и имели координаты где (рис.425). Точка принадлежит искомому множеству точек тогда и только тогда, когда Раскрывая скобки и учитывая, что приводим это уравнение к виду:

При это уравнение является уравнением окружности с центром радиуса где — середина отрезка (рис.425); при ему удовлетворяют только координаты точки а при не удовлетворяют координаты ни одной точки.

Таким образом, искомое множество представляет собой либо окружность с центром либо саму точку либо не содержит ни одной точки, т.е. является пустым множеством.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Уравнение прямой. Уравнение с двумя переменными называется уравнением линии в заданной прямоугольной системе координат если ему удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии. Выведем уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному ненулевому вектору (рис.423).

Если точка отличная от лежит на данной прямой, то векторы перпендикулярны, а если точка не лежит на данной прямой, то векторы не перпендикулярны. Иными словами, точка отличная от лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда т.е.

Поскольку этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек данной прямой, включая точку и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой линии, то уравнение (1) и есть уравнение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данному ненулевому вектору

Обозначим число буквой Тогда уравнение (1) можно переписать так:

Так как вектор — ненулевой, то хотя бы одно из чисел и не равно нулю, т. е.

уравнение прямой является уравнением первой степени. Справедливо и обратное утверждение:

всякое уравнение первой степени, т.е. уравнение вида (2), в котором хотя бы одно из чисел не равно нулю, является уравнением прямой.

• В самом деле, пусть, например, число в уравнении (2) отлично от нуля. Тогда это уравнение можно записать так:

т.е. оно представляет собой уравнение прямой, проходящей через точку

с координатами и перпендикулярной к вектору