Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

Уравнение Функции Бесселя. Дифференциальное уравнение Функции Неймана

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Решение задач по математике

Дифференциальным уравнением Бесселя называется уравнение вида где и — действительное число. Это уравнение имеет особую точку z = 0 (коэффициент при старшей производной в (7) обращается в нуль при х = 0). Сравнивая (5) и (7), заключаем, что для уравнения Бесселя так что х = 0 является нулем второго порядка (т = 2) функции Ро(х), нулем первого порядка функции р\(х) и не является нулем функции pi(x) (если v Ф 0).

Поэтому в силу теоремы 17 существует решение уравнения (7) в виде обобщенного степенного ряда где а — характеристический показатель, подлежащий определению. Перепишем выражение (8) в виде Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) и найдем производные:

Подставим эти выражения в уравнение (7), и приравнивая нулю коэффициенты при х в степени получим систему уравнений то из первого уравнения (9) следует, что , или Теперь из второго уравнения (9) будем иметь Рассмотрим сначала случай . Перепишем уравнение системы (9) в виде откуда получаем рекуррентную формулу для определения ак через ак-2'. ) Учитывая, что получаем отсюда а3 = 0 и вообще С другой стороны, каждый четный коэффициент может быть выражен через предыдущий по формуле Последовательное применение этой формулы позволяет найти выражение а2т через ао:

Подставим найденные значения коэффициентов в формулу (8), (10) Нетрудно проверить, что ряд в правой части (10) сходится на полуоси х > 0 и определяет там функцию (я) — частное решение уравнения Бесселя. Рассмотрим теперь второй случай, когда а = -и. Если v не равно положительному целому числу, то можно написать второе частное решение, которое получается из выражения (10) заменой v на -v (в уравнение (7) v входит четным образом), («О (

Если и равно целому положительному числу, то решение (101) теряет силу, так как начиная с некоторого числа один из множителей в знаменателе членов разложения (1(У) будет равен нулю.) Ряд в правой части (10') также сходится при всех значениях х > 0. Решения yi (ж) и у2(х) линейно независимы. Действительно, их отношение не является постоянным. 12.2. Г-функция Эйлера и ее свойства Для дальнейшего нам понадобятся некоторые свойства Г -функции Эйлера.

Она определяется следующим образом: Интегрированием по частям получаем основное функциональное уравнение для Г-функции: Так как и вообще Можно показать еще, что С помощью функционального уравнения (11) можно определить гамма-функцию для отрицательных значений аргумента. Записав уравнение (11) в виде Г(р) = , замечаем, что для малых р выполняется соотношение Г(р) ~ £. Аналогично, если m — положительное целое число, то для значений р, близких к числу -ш, имеем Можно показать, что Г(р) Ф 0 при всяком р, поэтому функция щ будет непрерывной для всех значений р, если положить Возвратимся к решению уравнения Бесселя (7). Коэффициент oq до сих пор оставался произвольным.

Если v Ф -п, где п > 0 — целое число, то, полагая найдем Подставляя это выражение для коэффициентов в (9), получаем Ряд (12) определяет функцию которая является решением уравнения Бесселя и называется функцией Бесселя первого рода и -го порядка.

Ряд отвечает случаю а = -и (и — нецелое) и определяет второе решение уравнения (7), линейно независимое с функцией Итак, если v не равно целому числу (, то функции Jv(x) и J-v(x) образуют фундаментальную систему решений уравнения Бесселя (7) и его общее решение имеет в этом случае вид При v целом выполняется линейная зависимость В самом деле, имеем Первые п членов ряда исчезают, так как а = 1. Введя обозначение т = к + п, находим Выпишем ряды для функций Бесселя первого рода нулевого (п = 0) и первого (n = 1) порядков: Функции Jb(x) и J\ (ж) (рис. 4) часто встречаются в приложениях, и для них имеются подробные таблицы. 12.4.

Рекуррентные формулы для функций Бесселя Используя формулу непосредственно проверкой убеждаемся в том, что Точно таким же вычислением находим Раскрывая в левых частях формул (15) и (16) производные произведений, получаем соответственно равенства Складывая и вычитая (17) и (18), получим две важные рекуррентные формулы: Формула (19) показывает, что производные функций Бесселя выражаются через бесселевы же функции.

Из формулы (20) вытекает, что, зная Jv{x) и Jv-\(x), можно найти (/1/+\(х). В частности, все функции Бесселя целых номеров выражаются через две функции Jo (ж) и J\{x)- Здесь оказывается полезным соотношение (14). При1/ = 1 из (20) находим, например, 12.5. Функции Бесселя полуцелого индекса Рассмотрим специальный класс бесселевых функций с индексом, равным половине нечетного целого числа. Этот класс встречается в приложениях и замечателен тем, что в рассматриваемом случае бесселевы функции могут быть выражены через элементарные. Так, при и = I путем несложных преобразований находим .

Аналогично, при получаем Обе эти формулы можно записать в виде Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) 12.6. Нули бесселевых функций При решении многих прикладных вопросов необходимо иметь представление о распределении нулей функций Бесселя.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Особенности расчета методом сил многопролетных неразрезных балок
Расчет по предельным состояниям
Столкновения частиц. Неупругие столкновения. Передача энергии при ударе
Задача о беспорядках и встречах

Нули функций и J-x^x) совпадают с нулями sin х и cos х соответственно. Можно показать, что для больших значений х имеет место асимптотическое представление1* (сравните справедливое как для целых, так и для дробных v. Формула (22) показывает, как ведет себя функция Бесселя при возрастании аргумента. Это колеблющаяся функция, бесчисленное множество раз обращающаяся в нуль, причем амплитуда колебаний стремится к нулю при х —» +оо. Распределение нулей функции Бесселя с целым положительным индексом, т. е. корней уравнения устанавливается следующей теоремой. Теорема 18.

Функция не имеет комплексных нулей, но имеет бесконечное множество действительных нулей, расположенных симметрично относительно точки х = 0, которая в случае п = 1,2,... принадлежит к их числу. Все нули функции простые за исключением точки х = 0, которая при п = 1,2,... является нулем кратности п соответственно. 12.7. Ортогональность и норма функций Бесселя Ортогональность функций Бесселя Рассмотрим дифференциальное уравнение где А — некоторый числовой параметр, отличный от нуля. Нетрудно проверить, что уравнению (23) удовлетворяет функция Бесселя Jv(\x).

Перепишем уравнение (23) в виде и обозначим — какие-либо значения параметра А. Тогда будем иметь тождества Умножая первое тождество на ), второе — ) и вычитая одно из другого, получим Умножив все члены последнего тождества на ж, замечаем, что его можно записать в виде Интегрируя последнее тождество по ж в пределах от 0 до 1, будем иметь равенства (25) следует, что если Ai, Аг есть нули функции то левая часть (25), а значит, и правая, равны нулю, так что Это означает, согласно определению, что функции ортогональны с весом р(х) = х на отрезке [0,1). Бесселева функция Jv{x) имеет счетное множество нулей и, следовательно, система функций — фиксировано) (26) 2.

Если А,, Аг являются корнями уравнения то в этом случае при из () также имеем Следовательно, система функций ,где Ап — корни уравнения Jl(x) = О, ортогональна на отрезке [0, 1] с весом р 3. Пусть А|, Аг являются корнями уравнения где h — некоторое фиксированное число. Уравнение (28) встречается в математической физике и при v > -1 имеет бесконечное множество положительных корней, но не имеет комплексных корней (исключая случай , когда есть два чисто мнимых корня).

Записав левую часть равенства (25)

в виде убеждаемся в ортогональности бесселевых функций по нулям линейной комбинации хJu(x) - hji,(x) = 0 функции Бесселя и ее производной: где — корни уравнения (28). Норма функций Бесселя Величина 12.8. Функции Неймана (Вебера) Всякое нетривиальное решение уравнения Бесселя называют цилиндрической функцией.

При v нецелом функции образуют функциональную систему решений уравнения Бесселя (7). При и = п — целом имеет место линейная зависимость Чтобы к решению Jr\x) подыскать такое, которое ему не пропорционально, поступаем так: при нецелом и составляем функцию Она является линейной комбинацией решений линейного однородного уравнения (7) и, следовательно, сама есть решение этого уравнения. Переходя в (30) к пределу при v —» п и пользуясь правилом Лопиталя, будем иметь Характерное свойство функций J/y\(х) (функций Бесселя 2-го рода) — наличие особенности в начале координат (рис. 5)

Найденное решение уравнения Бес- селя (7) при v = п вместе с Jn(x) составляет фундаментальную систему решений уравнения Уравнение Функции Бесселя Дифференциальное уравнение Г-функция Эйлера и ее свойства Рекуррентные формулы для функций Бесселя полуцелого индекса Нули бесселевых функций Ортогональность и норма Функции Неймана (Вебера) Функцию .Л£(ж) называют также функцией Неймана или функцией Вебера.

При достаточно больших х Таким образом, на больших расстояниях от начала координат цилиндрические функции 1 -го и 2-го рода относятся друг к другу как косинус и синус, но затухают с ростом х благодаря множителю Эти функции удобны для представления стоячих цилиндрических волн. По аналогии с показательными функциями (формулы Эйлера) можно построить линейную комбинацию функций Jv(x) и дающую функции, связанные с бе- гущими волнами. Так мы приходим к бесселевым функциям 3-го рода или функциям Ханкеля, определяемым соотношениями Упражнения Найдите общее решение уравнений:

Найдите решение задачи Коши: Проинтегрируйте уравнения, найдя, где указано, частные решения: Найдите общие решения следующих линейных неоднородных дифференциальных уравне- Виды частных решений неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами для различных правых частей Правая часть*) дифференциальных уравнений Корни характеристического уравнения Виды частного решения 1. Число 0 не является корнем характеристического уравнения Число 0 — корень характеристического уравнения кратности г 2.

Число а не является корнем характеристического уравнения Число а является корнем характеристического уравнения кратности г 3. Числа ±»'/3 не являются корнями характеристического уравнения Числа ±«/9 являются корнями характеристического уравнения кратности г 4. Числа а ± i/З не являются корнями характеристического уравнения Числа a ± i/З являются корнями характеристического уравнения кратности г *) Первые три вида правых частей являются частными случаями четвертого. Укажите вид частных решений следующих линейных неоднородных уравнений: Методом вариации постоянных проинтегрируйте следующие уравнения: Проинтегрируйте следующие уравнения Эйлера: Ответы