Учебник математики

ГЛАВА I

ЧИСЛА

§ 1. Натуральные числа

1.    Запись натуральных чисел.

Числа 1, 2, 3, 4, 5, ... , использующиеся для счета предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов, называют натуральными. Любое натуральное число в десятичной системе счисления записывают с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Например, запись 2457 означает, что 2 — цифра тысяч, 4 — цифра сотен, 5 — цифра десятков, 7 — цифра единиц, т. е.Учебник математики.

Вообще, если Учебник математики — цифра тысяч, Учебник математики — цифра сотен, Учебник математики — цифра десятков, Учебник математики — цифра единиц, то имеем Учебник математики.

Используется также сокращенная запись Учебник математики (написать Учебник математики нельзя, так как такая запись в соответствии с принятым в математике соглашением означает произведение чисел Учебник математики, Учебник математики, Учебник математики, Учебник математики). Аналогично, запись Учебник математики означает число Учебник математики, причем Учебник математики.

2.    Арифметические действия над натуральными числами.

Результатом сложения или умножения двух натуральных чисел всегда является натуральное число: если Учебник математики — натуральные числа, то Учебник математики — тоже натуральное число, Учебник математики и Учебник математики — слагаемые, Учебник математикисумма; Учебник математики — тоже натуральное число, Учебник математикимножители, Учебник математики — произведение.

Справедливы следующие свойства сложения и умножения натуральных чисел:

1°. Учебник математики (переместительное свойство сложения).

2°. Учебник математики (сочетательное свойство сложения).

3°. Учебник математики (переместительное свойство умножения).

4°. Учебник математики (сочетательное свойство умножения).

5°. Учебник математики (распределительное свойство умножения относительно сложения).

В результате вычитания или деления натуральных чисел не всегда получается натуральное число: например, 7 - 4 = 3 — натуральное число, тогда как 4 - 7 = -3 — не натуральное число; 21 : 7 = 3 — натуральное число, тогда как 11 : 2 = 5,5 — не натуральное число.

Если Учебник математики — натуральные числа, то при Учебник математики говорят,что Учебник математикиуменьшаемое, Учебник математикивычитаемое, Учебник математикиразность; при Учебник математики говорят, что Учебник математикиделимое, Учебник математикиделитель, Учебник математикичастное, число Учебник математики называют также кратным числа Учебник математики, а число Учебник математикиделителем числа Учебник математики. Если Учебник математики — кратное числа Учебник математики, то существует натуральное число Учебник математики такое, что Учебник математики.

Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляют числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получится число, которое называют значением выражения.

Напомним порядок арифметических действий в числовом выражении: сначала выполняют действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Например, если нужно найти значение выражения

Учебник математики,

то порядок действий таков:

Учебник математики

3. Деление с остатком.

Если натуральное число Учебник математики не делится на натуральное число Учебник математики, т. е. не существует такого натурального числа Учебник математики, что Учебник математики, то рассматривают деление с остатком. Например, при делении числа 43 на число 18 в частном получается 2 и в остатке 7, т. е. Учебник математики. В общем случае, если Учебник математики — делимое, Учебник математики — делитель (Учебник математики > Учебник математики), Учебник математики — частное, Учебник математики — остаток, то

Учебник математики    (1)

где Учебник математики < Учебник математики. Здесь Учебник математики — натуральные числа (исключение составляет случай, когда Учебник математики делится на Учебник математики без остатка и Учебник математики = 0). Например, если Учебник математики = 3, а Учебник математики = 2, то получаем

Учебник математики

Это формула чисел, которые при делении на 3 дают в остатке 2.

Пример:

Найти частное и остаток от деления числа 36 421 на число 25.

Решение: 

Выполним деление «углом»:

Учебник математики

Итак, частное 1456, а остаток 21. Воспользовавшись равенством (1), можем записать: Учебник математикиУчебник математики

4. Признаки делимости.

В некоторых случаях, не производя деления натурального числа Учебник математики на натуральное число Учебник математики, можно ответить на вопрос: выполнимо деление Учебник математики на Учебник математики без остатка или нет? Ответ на этот вопрос можно получить с помощью различных признаков делимости.

Теорема 1. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число (теорема о делимости суммы).

Не следует, однако, думать, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37 + 19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 не являются кратными числа 4. Заметим, однако, что если все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то сумма не делится на это число.

Теорема 2. Если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится на это число (теорема о делимости произведения).

Например, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение Учебник математики делится на 5, так как 105 делится на 5.

Теорема 3. Натуральное число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2 (признак делимости на 2).

Теорема 4. Натуральное число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5 (признак делимости на 5).

Теорема 5. Натуральное число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0 (признак делимости на 10).

Теорема 6. Натуральное число, содержащее не менее трех цифр, делится на 4 тогда и только тогда, когда делится на 4 двузначное число, образованное последними двумя цифрами заданного числа (признак делимости на 4).

Доказательство проведем для пятизначного числа Учебник математики Имеем

Учебник математики

Так как 100, 1000 и 10 000 делятся на 4, то делится на 4 и сумма Учебник математикиЗначит, если двузначное число Учебник математики делится на 4, то и Учебник математики делится на 4; если же Учебник математики не делится на 4, то и Учебник математики не делится на 4.

Например, число 15 436 делится на 4, так как число 36 делится на 4. Число 372 506 не делится на 4, так как 06, т.е. 6 не делится на 4.

Теорема 7. Натуральное число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 (признак делимости на 3).

Доказательство проведем для четырехзначного числа Учебник математики Имеем

Учебник математики

Числа 9, 99, 999 делятся на 3, поэтому Учебник математики делится на 3, и сумма Учебник математики будет делиться на 3 тогда и только тогда, когда делится на 3 число Учебник математики т. е. сумма цифр числа Учебник математики

Например, число 2742 делится на 3, так как делится на 3 сумма цифр этого числа 2 + 7 + 4 + 2 = 15. Число 17 941 не делится на 3, так как сумма цифр этого числа равна 22, а 22 не делится на 3.

Теорема 8. Натуральное число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9 (признак делимости на 9).

5. Разложение натурального числа на простые множители.

Если число имеет только два делителя (само число и единица), то его называют простым; если число имеет более двух делителей, то его называют составным.

Так, число 19 простое, ибо оно имеет только два делителя: 1 и 19; число 35 составное, оно имеет четыре делителя: 1, 5, 7, 35. Простое число 19 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел только одним способом, не учитывая порядок множителей: Учебник математики составное число 35 можно представить в виде произведения двух натуральных чисел более чем одним способом: Учебник математики

Заметим, что число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам.

Теорема 9 (основная теорема арифметики).

Любое натуральное число, кроме 1, либо является простым, либо его можно разложить на простые множители, притом только одним способом.

При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости и применяют запись столбиком, при которой делитель располагается справа от вертикальной черты, а частное записывается под делимым. Так, для числа 360 эта запись будет выглядеть следующим образом:

Учебник математики

Если в разложении числа на простые множители один и тот же множитель Учебник математики встречается Учебник математики раз, то записывают коротко: Учебник математики т. е.

Учебник математики

Выражение Учебник математики называют степенью, Учебник математикиоснованием степени, Учебник математикипоказателем степени.

Поэтому в приведенном примере можно записать:

Учебник математики

6. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел.

Пусть даны числа 72 и 96. Выпишем все делители числа 72:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9,12,18, 24, 36, 72.

Выпишем все делители числа 96:

1, 2, 3, 4, 6, 8,12,16, 24, 32, 48, 96.

Среди выписанных чисел есть одинаковые:

1,2,3,4,6,8,12,24.

Все эти числа называют общими делителями чисел 72 и 96, а наибольшее среди них — наибольшим общим делителем.

Для любых заданных натуральных чисел Учебник математики и Учебник математики можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается Учебник математики (читается: «Учебник математики от Учебник математики, Учебник математики»). Например, Учебник математики (72, 96) = 24. Если числа Учебник математики и Учебник математики таковы, что Учебник математики = 1, то числа Учебник математики и Учебник математики называют взаимно простыми.

Например, взаимно простыми будут числа 72 и 35 (хотя каждое из них — составное число).

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение общих простых множителей, взяв каждый из них с наименьшим (из имеющихся) показателем.

Пример 1.

Найти Учебник математики (48, 60, 72).

Решение: 

Выполним разложение на простые множители каждого из данных чисел:

Учебник математики

Значит, Учебник математики

Получили: Учебник математики (48, 60, 72) = 12.

Пример 2.

Найти Учебник математики (3780, 7056).

Решение:

Имеем:

Учебник математики

Учебник математики

Тогда Учебник математики взяты те простые множители, которые входят и в разложение числа 3780, и в разложение числа 7056. Итак, Учебник математики (3780, 7056) = 252.

7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел.

Пусть даны числа 12 и 18. Выпишем числа, кратные 12:

12, 24, 36, 48, 60, 72, ... .

Выпишем числа, кратные 18:

18, 36, 54, 72, ... .

Среди выписанных чисел есть одинаковые:

36, 72, ... .

Все эти числа называют общими кратными чисел 12 и 18, а наименьшее из них — число 36 — называют наименьшим общим кратным чисел 12, 18.

Аналогично определяют наименьшее общее кратное произвольных натуральных чисел Учебник математики и Учебник математики оно обозначается Учебник математики (читается: «Учебник математики»). Любое общее кратное чисел Учебник математики и Учебник математики делится на Учебник математики.

Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, надо разложить эти числа на простые множители и найти произведение всех получившихся простых множителей, взяв каждый из них с наибольшим (из имеющихся) показателем.

Пример: 

Найти Учебник математики (3780, 7056).

Решение: 

Имеем:

Учебник математики

Учебник математики Учебник математики

Тогда Учебник математики т. е. взяты все простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел 3780 и 7056.

Итак, К (3780, 7056) = 105 840.

Для любых натуральных чисел Учебник математики и Учебник математики справедливо равенство

Учебник математики

Если, в частности, числа Учебник математики и Учебник математики взаимно простые, т. е.Учебник математики то Учебник математики Это значит, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

8. Употребление букв в алгебре. Переменные.

В алгебре часто конкретные свойства чисел записывают с помощью букв. Например, переместительное свойство сложения (от перемены мест слагаемых сумма не меняется) записывают так: Учебник математики где вместо Учебник математики и Учебник математики можно подставить любые числа: 3 + 5 = 5 + 3, 100 + 3501 = 3501 + 100 и т. д. Число, подставляемое вместо буквы, называют ее значением.

В некоторых случаях (например, в уравнениях) вместо буквы можно подставить только определенные числа, чтобы написанное равенство было верным. Например, Учебник математики обращается в верное равенство лишь при Учебник математики Употребляемые в алгебре буквы называют переменными; смысл такого названия состоит в том, что числовое значение буквы можно изменить: например, в равенстве Учебник математики можно положить, например, Учебник математики = 3, Учебник математики = 5 или Учебник математики = 7, Учебник математики = 19 и т. д. — во всех случаях равенство будет верно. В равенстве Учебник математики можно положить, например, Учебник математики или Учебник математики разница в том, что в первом случае числовое равенство будет верным, а во втором — неверным. Равенство Учебник математики (см. п. 6) верно при следующих значениях переменных Учебник математики и Учебник математики:

Учебник математики = 18, Учебник математики = 25; Учебник математики = 100, Учебник математики = 99; Учебник математики = 13, Учебник математики = 1000 и т. п.

Равенство Учебник математики неверно при следующих значениях переменных:

Учебник математики = 8, Учебник математики = 6; Учебник математики = 25, Учебник математики = 150; Учебник математики = 7, Учебник математики = 777 и т. п.

§ 2. Рациональные числа

9. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби. Смешанные числа.

Обыкновенная дробь — это число вида Учебник математики , где Учебник математики — натуральные числа, например Учебник математики Число Учебник математики называют числителем дроби,Учебник математикизнаменателем. В частности, может быть Учебник математики = 1, в этом случае дробь имеет вид Учебник математики но чаще пишут просто Учебник математики. Это означает, что всякое натуральное число можно представить в виде обыкновенной дроби со знаменателем 1. Запись Учебник математики — другой вариант записи Учебник математики : Учебник математики.

Среди обыкновенных дробей различают правильные и неправильные дроби. Дробь Учебник математики  называют правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или равен ему.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби (или в виде натурального числа, если дробь Учебник математики такова, что Учебник математики кратно Учебник математики; например, Учебник математики = 4).

Пример:

Представить неправильную дробь в виде суммы натурального числа и правильной дроби: а) Учебник математики б) Учебник математики

Решение:

Учебник математики

Принято сумму натурального числа и правильной дроби записывать без знака сложения, т. е. вместо Учебник математики пишут Учебник математики, а вместо Учебник математики пишут Учебник математики.

Число, записанное в таком виде, называют смешанным числом. Оно состоит из двух частей: целой и дробной. Так, для числа Учебник математики целая часть равна 3, а дробная — Учебник математики Всякую неправильную дробь можно записать в виде смешанного числа (или в виде натурального числа). Верно и обратное: всякое смешанное или натуральное число можно записать в виде неправильной дроби. Например, Учебник математики Учебник математики 

10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение дробей.

Две дроби Учебник математики считают равными, если Учебник математики Например, равными будут дроби Учебник математики (так как Учебник математики), Учебник математики (так как Учебник математики).

Из определения равенства дробей следует, что равными будут дроби Учебник математики так как Учебник математикиУчебник математики — здесь мы используем сочетательное и переместительное свойства умножения натуральных чисел (см. п. 2). Значит, Учебник математики т. е. если числитель и знаменатель данной дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной. Это свойство называют основным свойством дроби.

Пользуясь основным свойством дроби, иногда можно заменить данную дробь другой, равной данной, но с меньшим числителем и меньшим знаменателем. Такую замену называют сокращением дроби.

Например, Учебник математики (числитель и знаменатель мы разделили на одно и то же число 3); полученную дробь снова можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 5, т. е. Учебник математики

В общем случае сокращение дроби возможно, если числитель и знаменатель не взаимно простые числа (см. п. 6); если же числитель и знаменатель — взаимно простые числа, то дробь называют несократимой: например, Учебник математики — несократимая дробь. Основная цель сокращения дроби — замена данной дроби равной ей несократимой дробью.

11. Приведение дробей к общему знаменателю.

Пусть даны две дроби Учебник математики Они имеют разные знаменатели: 3 и 8. Воспользовавшись основным свойством дроби (см. п. 10), можно заменить эти дроби другими, равными им, причем такими, что у полученных дробей будут одинаковые знаменатели.

Такое преобразование называют приведением дробей к общему знаменателю. Умножив числитель и знаменатель дроби Учебник математики на 8, получим Учебник математики умножив числитель и знаменатель дроби Учебник математики на 3, получим Учебник математики Итак, дроби Учебник математики приведены к общему знаменателю:

Учебник математики

Заметим, что это не единственное решение поставленной задачи. Например, дроби можно было привести к общему знаменателю 48:

Учебник математики

и к общему знаменателю 72:

Учебник математики

и вообще к любому знаменателю, делящемуся одновременно на 3 и на 8.

Таким образом, привести дроби к общему знаменателю можно многими способами, но обычно стараются привести дроби к наименьшему общему знаменателю, который равен наименьшему общему кратному знаменателей данных дробей.

Пример: 

Привести к наименьшему общему знаменателю дроби Учебник математики

Решение: 

Найдем наименьшее общее кратное чисел 24 и 30; получим К (24, 30) = 120 (см. п. 7).

Имеем 120 : 24 = 5, поэтому, чтобы привести дробьУчебник математики к знаменателю 120, надо ее числитель и знаменатель умножить на 5 (дополнительный множитель):

Учебник математики

Имеем далее 120 : 30 = 4, поэтому, чтобы привести дробь Учебник математики к знаменателю 120, надо ее числитель и знаменатель умножить на 4 (дополнительный множитель):

Учебник математики

Дроби приведены к общему знаменателю:

Учебник математики

На практике используют следующую запись:

Учебник математики

Итак, чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, нужно:

1)    найти наименьшее общее кратное знаменателей дробей;

2)    вычислить дополнительные множители, разделив наименьшее общее кратное на каждый знаменатель;

3)    умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

12. Арифметические действия над обыкновенными дробями.

Сложение обыкновенных дробей выполняют:

а)    если знаменатели дробей одинаковы, то к числителю первой дроби прибавляют числитель второй дроби и оставляют тот же знаменатель, т. е.

Учебник математики

б)    если знаменатели дробей различны, то дроби сначала приводят к общему знаменателю, предпочтительнее к наименьшему, а затем применяют правило а).

7 11

Пример 1.

Сложить дроби Учебник математики

Решение:

Имеем:

Учебник математики

Вычитание обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

а)    если знаменатели дробей одинаковы, то

Учебник математики

б)    если знаменатели различны, то сначала дроби приводят к общему знаменателю, а затем применяют правило а).

Умножение обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

Учебник математики

т. е. перемножают отдельно числители, отдельно знаменатели.

Произведение числителей есть числитель произведения; произведение знаменателей есть знаменатель произведения.

Например, Учебник математики

Деление обыкновенных дробей выполняют следующим образом:

Учебник математики

т. е. делимое Учебник математики умножают на дробь Учебник математики

Например, Учебник математики

Пример 2.

Найти значение числового выражения

Учебник математики

Решение: 

1) Учебник математики Сократив числитель и знаменатель на 3 (это полезно сделать до выполнения действий умножения в числителе и знаменателе), получим Учебник математики т.е. Учебник математики. Итак,Учебник математики

2) Учебник математики

3) при нахождении значения выражения Учебник математики Учебник математики действия сложения и вычитания можно выполнять одновременно. Наименьшим общим кратным чисел 15, 20, 30 является число 60. Приведем все три дроби к знаменателю 60, использовав дополнительные множители: для первой дроби — 4, для второй — 3, для третьей — 2. Получим

Учебник математикиУчебник математики

Пример З.

Выполнить действия:

а) Учебник математики

б) Учебник математики

Решение:

а) Способ 1-й. Обратим каждое из данных смешанных чисел в неправильную дробь, а затем выполним сложение:

Учебник математики

Обратим теперь неправильную дробь Учебник математики в смешанное число:

Учебник математики

Способ 2-й. Имеем Учебник математикиУчебник математикиУчебник математики

б) В случае умножения и деления смешанных чисел всегда переходят к неправильным дробям:

Учебник математики

Значит, Учебник математики

13.    Взаимно обратные числа.

Число Учебник математики называют обратным для числа Учебник математики, если Учебник математики Например, для

числа 3 обратным является Учебник математики поскольку Учебник математики для числа Учебник математики обратным является число Учебник математики поскольку Учебник математики

Правило деления обыкновенных дробей (см. п. 12) фактически означает умножение делимого на число, обратное делителю.

14.    Десятичные дроби.

В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен 10, 100, 1000 и вообще Учебник математики Например, Учебник математики Таким же

образом можно записать смешанное число или неправильную дробь с указанным выше знаменателем (превратив ее предварительно в смешанное число). Например, Учебник математики В этих случаях целую часть смешанного числа отделяют запятой от числителя дробной части. Таким образом, десятичная дробь — это, по существу, другая форма записи дроби со знаменателем Учебник математики

В виде десятичной дроби можно представить любую обыкновенную дробь, знаменатель которой является делителем некоторой степени числа 10. Например, 4 — делитель числа 100, поэтому дробь Учебник математикиможно представить в виде десятичной дроби: Учебник математикиУчебник математики125 — делитель числа 1000, поэтому дробь Учебник математики можно представить в виде десятичной:

Учебник математики

Общий вывод о представлении обыкновенной дроби в виде десятичной таков:

если в разложении знаменателя дроби на простые множители содержатся только двойки и пятерки, то эту дробь можно записать в виде десятичной;

если же дробь несократима и в разложение ее знаменателя на простые множители входят кроме двоек и пятерок другие простые множители, то эту дробь нельзя записать в виде десятичной дроби. Рассмотрим десятичную дробь 7,234. Имеем

Учебник математики

Значит, в дроби 7,234 содержится 7 единиц, 2 десятых, 3 сотых и 4 тысячных. Вообще в десятичной дроби после запятой может быть сколько угодно разрядов: десятые, сотые, тысячные, десятитысячные и т. д.

Дробь 7,234 можно записать так:

Учебник математики

Значит, 7,234 = 7,2340 = 7,23400.

Таким образом, если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить — получится равная ей дробь.

Для десятичных дробей вводится понятие значащей цифры числа. Значащими цифрами числа называют все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале. Например, в числе 23,4009 шесть значащих цифр; в числе 0,1023 четыре значащие цифры: 1, 0, 2, 3; в числе 0,0004 одна значащая цифра: 4.

15. Арифметические действия над десятичными дробями.

При сложении десятичных дробей надо записать их одну под другой так, чтобы одинаковые разряды были друг под другом, а запятая — под запятой, и сложить дроби так, как складывают натуральные числа. Сложим, например, дроби 12,7 и 3,442. Первая дробь содержит одну цифру после запятой, а вторая — три. Чтобы выполнить сложение, преобразуем первую дробь так, чтобы после запятой было три цифры: 12,7 = 12,700; тогда 

Учебник математики

Аналогично выполняется вычитание десятичных дробей. Найдем разность чисел 13,1 и 0,37:

Учебник математики

При умножении десятичных дробей достаточно перемножить заданные числа, не обращая внимания на запятые (как натуральные числа), а в произведении отделить запятой справа столько цифр, сколько их стоит после запятой в обоих множителях суммарно.

Например, умножим 2,7 на 1,3. Имеем Учебник математикиУчебник математики Запятой отделим справа две цифры (у первого числа после запятой одна цифра и у второго — одна цифра; 1 + 1 = 2). В итоге получаем Учебник математики

Если в произведении получается меньше цифр, чем надо отделить запятой, то впереди пишут недостающие нули, например

Учебник математики             Учебник математики

Рассмотрим умножение десятичной дроби на число 10, 100, 1000 и т. д. Пусть нужно умножить дробь 12,733 на 10. Имеем Учебник математики Отделив справа запятой три цифры, получим Учебник математики Но 127,330 = 127,33. Значит, Учебник математики Таким образом, умножение десятичной дроби на 10 сводится к переносу запятой на одну цифру вправо.

Вообще, чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000, надо в этой дроби перенести запятую на 1, 2, 3 цифры вправо (приписав в случае необходимости справа определенное число нулей). Например, Учебник математики

Деление десятичной дроби на натуральное число выполняется так же, как деление натурального числа на натуральное, а запятую в частном ставят после того, как закончено деление целой части. Пусть надо разделить 22,1 на 13. Имеем:

Учебник математики

Если целая часть делимого меньше делителя, то в ответе получается нуль целых, например

Учебник математики

Рассмотрим теперь деление десятичной дроби на десятичную. Пусть нужно разделить 2,576 на 1,12. Для этого и в делимом, и в делителе перенесем запятую вправо на столько цифр, сколько их имеется после запятой в делителе (в данном примере на две). Иными словами, умножим делимое и делитель на 100 — от этого частное не изменится. Тогда нужно разделить дробь 257,6 на натуральное число 112, т. е. задача сводится к уже рассмотренному случаю:

Учебник математики

Чтобы разделить десятичную дробь на Учебник математики надо в этой дроби перенести запятую на Учебник математики цифр влево (при этом в случае необходимости слева приписывается нужное число нулей). Например,

Учебник математики

При делении одного числа на другое не всегда получается конечная десятичная дробь, как это было в трех последних примерах. Попытаемся, например, разделить «уголком» число 280 на число 9:

Учебник математики

В результате получается так называемая бесконечная десятичная дробь. В таких случаях переходят к обыкновенным дробям. Например,

Учебник математики

Может оказаться так, что одни числа записаны в виде обыкновенных дробей, другие — в виде смешанных чисел, третьи — в виде десятичных дробей. При выполнении действий над такими числами можно поступать по-разному: либо обратить десятичные дроби в обыкновенные и применить правила действий над обыкновенными дробями, либо обратить обыкновенные дроби и смешанные числа в десятичные дроби (если это возможно) и применить правила действий над десятичными дробями.

16. Проценты.

Среди десятичных дробей особенно часто на практике используется дробь 0,01, которую называют процентом и обозначают 1%. Так, 1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5 и т. д. В хозяйственных и статистических расчетах, во многих отраслях науки части величин принято выражать в процентах. Чтобы найти, например, 23% от 60 кг, нужно 60 кг умножить на 0,23, т. е. Учебник математики Значит, 23% от 60 кг составляют 13,8 кг.

Пример 1.

Рабочий должен был изготовить за смену 80 деталей. По окончании рабочего дня оказалось, что он выполнил 150% сменного задания. Сколько деталей изготовил рабочий?

Решение: 

1) 150% = 1,5.

2) Учебник математики

Получили ответ: 120 деталей.

Пример 2.

Рабочий должен за смену изготовить 80 деталей. К 12 часам он изготовил 55 деталей. Сколько процентов задания выполнил рабочий к указанному времени?

Решение:

К 12 часам дня выполнена часть задания, выражающаяся дробью Учебник математики которую переводим в проценты:

Учебник математики

Пример З.

Рабочий к 12 часам изготовил 55 деталей, что составило 68,75% сменного задания. Сколько деталей рабочий должен изготовить за смену?

Решение: 

Обозначим количество деталей, составляющих сменное задание, буквой х. Из условия задачи следует, что

Учебник математики откуда Учебник математики

Рабочий должен изготовить 80 деталей.

17. Обращение обыкновенной дроби в бесконечную десятичную периодическую дробь.

Пусть дана десятичная дробь 2,73. Ее значение не изменится, если справа приписать любое число нулей (см. п. 14): Учебник математики Допускают также запись дроби 2,73 в виде десятичной дроби с бесконечным множеством нулей, т. е. 2,73= = 2,73000... . Здесь после запятой содержится бесконечно много десятичных знаков.

Теорема 10. Любую обыкновенную дробь можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Возьмем, например, число Учебник математики и будем делить числитель на знаменатель, постепенно получая десятичные знаки. При этом заметим, что любое натуральное число можно представить как бесконечную десятичную дробь, т. е. 3 = 3,0000... .

Имеем

Учебник математики

Таким образом, Учебник математики = 0,214285714... .

Выпишем последовательно остатки, которые получились при выполнении операции деления:

2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, ... .

Ясно, что все эти остатки меньше делителя, т. е. меньше числа 14. Это значит, что на каком-то шаге деления должен неизбежно снова появиться такой остаток, который уже встречался ранее. Так, на седьмом шаге появился остаток 2, который был на первом шаге. Ясно, что, как только появится остаток, который уже встречался, за ним пойдут остатки в той же последовательности, которая была ранее. В нашем примере за остатком 2 идет остаток 6, за ним 4, за ним 12 и т. д., т. е. мы получаем такую последовательность остатков:

2, 6, 4, 12, 8, 10, 2, 6, 4, 12, 8, 10, ... .

Периодически повторяющиеся группы остатков приведут соответственно к периодически повторяющейся группе цифр в десятичной записи числа. Так, в нашем примере получим

Учебник математики = 0,2142857142857142857... .

Последовательно повторяющуюся группу цифр (минимальную) после запятой в десятичной записи числа называют периодом, а бесконечную десятичную дробь, имеющую такой период в своей записи, называют периодической. Для краткости принято период записывать один раз, заключая его в круглые скобки:

0,2142857142857142857... = 0,2 (142857).

Если период начинается сразу после запятой, то дробь называют чистой периодической, если же между запятой и периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называют смешанной периодической. Так, 2,(23) = 2,2323232323... — чистая периодическая дробь; 0,2(142857) — смешанная периодическая дробь; 2,73 = 2,73000... = 2,73 (0) — смешанная периодическая дробь.

18*. Обращение бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную дробь.

Чтобы бесконечную десятичную дробь умножить на 10, 100, 1000 и т. д., достаточно, как и в конечной десятичной дроби, перенести запятую на один, два, три и т. д. знака вправо.

Например,

Учебник математики

Обращение периодической десятичной дроби в обыкновенную рассмотрим на примерах.

Пример: 

Обратить в обыкновенную дробь число: а) 0,(13); б) 2,(273); в) 0,2(54); г) 3,254(9).

Решение: 

а) Положим х = 0,(13) = 0,131313... . Умножим чистую периодическую дробь х на такое число, чтобы запятая переместилась ровно на период вправо. Поскольку в периоде две цифры, надо перенести запятую на две цифры вправо, а для этого достаточно умножить число х на 100, тогда

Учебник математики

Теперь вычтем х из 100л:, получим 100х — х = = 13,(13) - 0,(13). Значит, Учебник математики откуда находим Учебник математики
б)    Положим х = 2,(273). Эта чистая периодическая дробь содержит три цифры в периоде. Умножив х на 1000, получим

Учебник математики

Далее имеем

Учебник математики

в)    Положим х = 0,2(54). Перенесем в этой смешанной периодической дроби запятую вправо так, чтобы получилась чистая периодическая дробь. Для этого достаточно х умножить на 10, получим 10х = 2,(54).

Положим у = 2,(54) и обратим эту чистую периодическую дробь в обыкновенную так, как мы это делали в предыдущих примерах.

Имеем у = 2,(54), откуда

Учебник математики

Значит, 10х = Учебник математики откуда находим х = Учебник математики

г) Полагая х = 3,254(9), получим 1000х = 3254,(9).

Введем обозначение у = 1000х. Тогда имеем

Учебник математики

Заметим, что Учебник математики т. е. мы получили конечную десятичную дробь, или бесконечную дробь с нулем в периоде. Значит, 3,254(9) = 3,255(0). Это обстоятельство имеет место для любых десятичных дробей с девяткой в периоде: такую дробь можно представить в виде дроби с нулем в периоде. Для этого достаточно лишь увеличить на единицу последний десятичный знак перед периодом. Например, 0,45(9) = 0,46(0); 14,(9) = 15,(0) и т. д.

19. Множество рациональных чисел.

Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5, ... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5.....противоположные натуральным, называют отрицательными целыми числами. Число 0 также считают целым числом. Итак, целые числа — это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.

Целые числа и дроби (положительные и отрицательные) составляют вместе множество рациональных чисел.

Заметим, что любое рациональное число может быть представлено в виде отношения Учебник математики где Учебник математики — целое число, a Учебник математики — натуральное число, причем одно и то же число можно записать в виде отношения многими способами. Например,

Учебник математики

Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь. Для целых чисел — это дробь со знаменателем 1.

§ 3. Действительные числа

20. Иррациональные числа.

Для измерения используются не только рациональные числа, но и числа иной природы, т. е. не являющиеся целыми или дробными. Все такие числа называют иррациональными.

Учебник математики

Например, длина диагонали квадрата со стороной 1 (рис. 1.1) должна выражаться некоторым положительным числом Учебник математики таким, что Учебник математики (по теореме Пифагора, см. с. 422), т. е. таким, что Учебник математики Число Учебник математики не может быть целым, так как Учебник математики и т. д. Число Учебник математики не может быть и дробным; если Учебник математики несократимая дробь, где Учебник математики тоже будет несократимой дробью, где Учебник математики значит, Учебник математикине является целым числом, а потому не может быть равно 2. Поэтому длина диагонали квадрата выражается иррациональным числом, оно обозначается Учебник математики (читается: «квадратный корень из двух»).

Аналогично, не существует рационального числа, квадрат которого равен 5, 7, 10. Соответствующие иррациональные числа обозначаются Учебник математикиУчебник математики Противоположные им числа также иррациональны, они обозначаются Учебник математики

Следует подчеркнуть, что к иррациональным числам приводит не только задача отыскания числа, квадрат которого равен заданному положительному числу. Например, число Учебник математики выражающее отношение длины окружности к диаметру, нельзя представить в виде обыкновенной дроби — это иррациональное число.

Любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби (см. п. 17) и в свою очередь любая бесконечная десятичная периодическая дробь представляет собой рациональное число (см. п. 18). В то же время любое иррациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной непериодической дроби и в свою очередь любая бесконечная десятичная непериодическая дробь есть иррациональное число.

Вообще, любое действительное число предста-вимо в виде бесконечной десятичной дроби, причем периодической, если это рациональное число (см. п. 17), и непериодической, если это иррациональное число.

21. Действительные числа. Числовая прямая.

Рациональные и иррациональные числа составляют вместе множество действительных чисел.

Проведем прямую Учебник математики отметим на ней точку О, которую примем за начало отсчета, выберем направление и единичный отрезок [0; 1] (рис. 1.2).

Учебник математики

В этом случае говорят, что задана координатная прямая. Каждому числу соответствует одна точка прямой Учебник математики Пусть, например, дано число 3. Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок три раза, получим точку А — эта точка и соответствует числу 3.

Возьмем число Учебник математики Отложим от точки О в заданном направлении единичный отрезок четыре раза, а затем еще Учебник математики часть отрезка, получим точку В — она и соответствует числу Учебник математики

Если точка М прямой Учебник математики соответствует некоторому числу Учебник математики то это число называют координатой точки, в таком случае пишут Учебник математики Так, для точек J, А, В (рис. 1.2) можно указать их координаты J (1), А (3), Учебник математики Координатой точки О считается число

нуль.

Отложим теперь три раза единичный отрезок от точки О в направлении, противоположном заданному. Получим точку А', симметричную точке А относительно начала отсчета О. Координатой точки А является число 3, а координату точки А' записывают так: -3. Аналогично, координатой точки В', симметричной точке В, на рисунке 1.2 считается число Учебник математики

Точка О, соответствующая числу 0, отделяет на координатной прямой точки с положительными координатами от точек с отрицательными координатами.

Заданное направление на координатной прямой называют положительным (обычно оно идет вправо), а направление, противоположное заданному,— отрицательным.

Каждому действительному числу соответствует единственная точка координатной прямой. Каждая точка координатной прямой соответствует единственному действительному числу — достаточно найти расстояние от этой точки до начала отсчета и поставить перед найденным числом знак + или - в зависимости от того, справа или слева от начала отсчета находится заданная точка). Для краткости обычно вместо фразы «точка координатной прямой, соответствующая действительному числу Учебник математики», пишут и говорят «точка Учебник математики», а употребляя термин «число Учебник математики», имеют в виду «действительное число Учебник математики».

Множество действительных чисел называют также числовой прямой. Геометрической моделью числовой прямой служит координатная прямая.

22.    Обозначения некоторых числовых множеств.

N — множество натуральных чисел.

Z — множество целых чисел.

Q — множество рациональных чисел.

R — множество действительных чисел.

Запись Учебник математики (читается: «Учебник математики принадлежит множеству N») обозначает, что Учебник математики — натуральное число. Аналогичный смысл имеют следующие обозначения: Учебник математики (Учебник математики — целое число), Учебник математики (Учебник математики — рациональное число), Учебник математики (х — действительное число).

23.    Сравнение действительных чисел.

Для любых неравных действительных чисел Учебник математики и Учебник математики можно сказать, какое больше, а какое меньше. Говорят, что число Учебник математики больше числа Учебник математики, и пишут Учебник математики>Учебник математики, если разность Учебник математики- Учебник математики — положительное число; если же разность Учебник математикиУчебник математики — отрицательное число, то говорят, что число Учебник математики меньше числа Учебник математики, и пишут Учебник математики<Учебник математики. Согласно этому определению, любое положительное число больше нуля, любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа. Для любых заданных чисел Учебник математикии Учебник математики верно одно и только одно из отношений: Учебник математики>Учебник математики, Учебник математики<Учебник математики, Учебник математики = Учебник математики.

С геометрической точки зрения неравенство Учебник математики<Учебник математики(Учебник математики > Учебник математики) означает, что точка Учебник математикирасположена на координатной прямой левее (правее) точки Учебник математики

Знаки <, > называют знаками строгих неравенств. Иногда используют знаки Учебник математикизнаки нестрогих неравенств; запись Учебник математики означает, что верно одно из двух: или число Учебник математики меньше числа Учебник математики, или число Учебник математики равно числу Учебник математики. Например, Учебник математики — верные неравенства. Неравенства Учебник математики называют неравенствами одного знака; неравенства Учебник математики и Учебник математики называют неравенствами противоположных знаков. Если числа Учебник математики таковы, что Учебник математики то используется запись Учебник математики

Пример: 

Сравнить числа Учебник математики и 0,67.

Решение: 

Составим разность Учебник математики - 0,67 и найдем значение этой разности:

Учебник математики

Разность отрицательна, поэтому Учебник математики < 0,67.

24. Свойства числовых неравенств.

Для любых действительных чисел Учебник математики выполняются следующие свойства:

1°. Если Учебник математики

2°. Если Учебник математики (свойство транзитивности).

3°. Если Учебник математики

4°. Если Учебник математикиположительное число (с > 0), то Учебник математики Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же положительное число и сохранить тот же знак неравенства, то получится верное неравенство.

Доказательство: 

Рассмотрим разность Учебник математики Имеем

Учебник математики

По условию, с — положительное число, а так как Учебник математики то и Учебник математики — положительное число. Но произведение двух положительных чисел есть положительное число, значит,Учебник математики Таким образом, Учебник математики Но если разность Учебник математики — положительное число, то Учебник математики

5°. Если Учебник математики — отрицательное число (с < 0), то Учебник математики Это свойство имеет следующий смысл: если обе части верного неравенства умножить на одно и то же отрицательное число и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится верное неравенство.

6°. Если Учебник математики(если почленно сложить два верных неравенства одного знака, то получится верное неравенство).

7°. Если Учебник математики — положительные числа, причем Учебник математики (если почленно перемножить верные неравенства одного знака, левые и правые части которых — положительные числа, то получится верное неравенство).

Доказательство: 

Так как Учебник математики, то, по свойству 4°, Учебник математики; аналогично, из Учебник математики Так как, далее, Учебник математики

8°. Если Учебник математики

9°. Если Учебник математики

10°. Если Учебник математики то для любого натурального числа Учебник математики выполняется неравенство Учебник математики

25. Числовые промежутки.

Возьмем два числа Учебник математики и Учебник математики такие, что Учебник математики, и отметим на координатной прямой соответствующие им точки.

Произвольная точка х, лежащая между Учебник математики и Учебник математики, соответствует числу, которое удовлетворяет неравенствам Учебник математики Множество всех чисел х, удовлетворяющих этим неравенствам, обозначают Учебник математики и называют интервалом.

Множество всех чисел х, каждое из которых удовлетворяет неравенствам Учебник математикиобозначают Учебник математики и называют отрезком.

Интервал и отрезок — это конечные числовые промежутки. Конечные числовые промежутки бывают еще двух видов: Учебник математики — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам Учебник математики — это множество чисел х, удовлетворяющих неравенствам Учебник математики. Эти промежутки называют полуинтервалами.

Бывают и бесконечные числовые промежутки. Множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству Учебник математики, обозначаютУчебник математики и называют лучом, а множество всех чисел х, удовлетворяющих неравенству Учебник математики, обозначают Учебник математики и называют открытым лучом. ЗнакУчебник математики читается: «плюс бесконечность».

Аналогично, может быть луч вида Учебник математики(числа, удовлетворяющие неравенству Учебник математики) и открытый луч вида Учебник математики (числа, удовлетворяющие неравенству Учебник математики). Знак Учебник математики читается: «минус бесконечность».

В приведенной ниже таблице для каждого вида числового промежутка даны его геометрическое изображение, обозначение и запись с помощью неравенств.

Учебник математики

На практике не всегда используют термины «интервал», «отрезок», «полуинтервал», «луч», заменяя их общим названием числовой промежуток.

26. Модуль действительного числа.

Модулем (абсолютной величиной) действительного числа Учебник математики называют само это число, если Учебник математики, и противоположное число -Учебник математики, если Учебник математики< 0. Модуль числа Учебник математики обозначают |Учебник математики|. Итак,

Учебник математики

Например, Учебник математики, так как  Учебник математики 3,14...);

|-3,7| = -(-3,7) = 3,7, так как -3,7 < 0.

Геометрически |Учебник математики| означает расстояние на координатной прямой точки Учебник математики от точки О (рис. 1.3).

Свойства модулей:

Учебник математики

27. Формула расстояния между двумя точками координатной прямой.

Если Учебник математики и Учебник математики— две точки координатной прямой, то расстояние между ними выражается формулой

Учебник математики

(рис. 1.4). Так,Учебник математики

Пример: 

Найти все такие точки х, которые удовлетворяют: а) уравнению |х - 1| = 3; б) неравенству |х + 1| Учебник математики 2.

Решение: 

а) Уравнению удовлетворяют такие точки х, расстояние которых от точки 1 равно 3. Это точки -2 и 4 (рис. 1.5). Значит, уравнение имеет два корня: -2; 4.

б) Неравенству удовлетворяют такие точки х, которые удалены от точки - 1 на расстояние, меньшее или равное 2. Это точки из отрезка [-3; 1] (рис. 1.6).

Учебник математики

28.    Правила действий над положительными и отрицательными числами.

Сумма двух чисел одного знака есть число того же знака; чтобы найти модуль такой суммы, надо сложить модули слагаемых. Например, (+12) + (+8) = +20; (-12) + (-8) = -20.

Сумма двух чисел с разными знаками есть число, которое имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем; чтобы найти модуль этой суммы, надо из большего модуля вычесть меньший. Например, (+12) + (-8) = + (12 - 8) = 4; (-12) + (+8) = = -(12 - 8) = -4.

Чтобы из одного числа вычесть другое, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Например, 12 - (-8) = 12 + 8 = 20; 12 - (+8) = 12 + (-8) = 4.

Произведение (частное) двух чисел одного знака есть число положительное, а произведение (частное) двух чисел разных знаков есть число отрицательное; чтобы найти модуль произведения (частного), надо перемножить (разделить) модули данных чисел. Например, Учебник математикиУчебник математики

29.    Свойства арифметических действий над действительными числами.

Учебник математики

Эти свойства называют иногда основными законами алгебры, причем свойства 1° и 5° выражают переместительный закон соответственно сложения и умножения, свойства 2° и 6° — сочетательный закон, а свойство 7° — распределительный закон умножения относительно сложения.

Из этих свойств выводятся другие свойства. Например, Учебник математики В самом деле, имеем

Учебник математики

30.    Пропорции.

Пусть Учебник математики — действительные числа, отличные от 0, и пусть имеет место равенство Учебник математики Это равенство называют пропорцией, числа Учебник математикикрайними членами, а числа Учебник математики и Учебник математики — средними членами пропорции.

Для пропорции можно использовать и запись Учебник математики

Например, можно составить пропорцию из чисел 2,5; -4; -5 и 8:

Учебник математики

Справедливы следующие утверждения:

Теорема 11. Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.

Теорема 12. Крайние члены пропорции можно

поменять местами, т. е. если Учебник математики

Теорема 13. Средние члены пропорции можно

поменять местами, т. е. если Учебник математики

31.    Целая часть числа. Дробная часть числа.

Пусть х — действительное число. Его целой частью называют наибольшее целое число, не превосходящее х; целую часть числа х обозначают [х]. Дробной частью числа х называют разность между числом и его целой частью, т. е. х - [х]; дробную часть числа обозначают {х}. Значит,

{х} = х - [х].

Например, [2,35] = 2, {2,35} = 0,35;

[10] = 10, {10} = 0;

[-0,85] = -1, {-0,85} = -0,85 - (-1) = 0,15.

32. Степень с натуральным показателем.

Пусть Учебник математики — действительное число, а Учебник математики — натуральное число, большее единицы, Учебник математики-й степенью числа Учебник математики называют произведение Учебник математики множителей, каждый из которых равен Учебник математики:

Учебник математики

Если Учебник математики = 1, то полагают Учебник математики

Число Учебник математикиоснование степени, Учебник математикипоказатель степени.

Например, Учебник математики

Справедливы следующие свойства степени с натуральным показателем:

Учебник математики

33. Степень с нулевым показателем. Степень с отрицательным целым показателем.

Полагают по определению: если Учебник математики, то

Учебник математики

Например, Учебник математики Нулевая степень числа 0 не имеет смысла.

Полагают по определению: если Учебник математики и Учебник математики — натуральное число, то

Учебник математики

Например, Учебник математики

Справедливо равенство

Учебник математики

34. Стандартный вид положительного действительного числа.

Любое положительное число Учебник математики можно представить в виде Учебник математикиУчебник математики — целое число.

Примеры

1.    Если а = 395, то Учебник математики и Учебник математики = 2.

2.    Если а = 4,13, то Учебник математики и Учебник математики = 0.

3.    Если а = 0,0023, то Учебник математики Учебник математики = -3.

Если положительное число Учебник математики представлено в виде Учебник математики Учебник математики — целое число, то говорят, что число Учебник математики записано в стандартном виде; при этом показатель Учебник математики называют порядком числа.

Для того чтобы положительное число Учебник математики представить в стандартном виде, нужно поставить запятую так, чтобы в целой части оказалась одна значащая цифра (см. п. 14), и умножить полученное число на Учебник математики так, чтобы в результате умножения запятая вернулась на то место, которое она занимала в числе Учебник математики. Так мы действовали в примерах 1, 2, 3.

В примере 1, отделив в числе 395 первую значащую цифру, получили 3,95; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на две цифры вправо — это равносильно умножению на Учебник математики. Значит, Учебник математики

В примере 2 уже отделена запятой одна значащая цифра, поэтому Учебник математики

В примере 3, отделив запятой в числе 0,0023 первую значащую цифру, получили 2,3; чтобы вернуться к исходному числу, надо запятую передвинуть на три цифры влево — это равносильно делению на Учебник математики или умножению на Учебник математики Значит, Учебник математики

35. Определение арифметического корня. Свойства арифметических корней.

Если Учебник математики и Учебник математики — натуральное число, большее 1, то существует, и только одно, неотрицательное число х такое, что выполняется равенство Учебник математики Это число х называют арифметическим корнем Учебник математики-й степени из неотрицательного числа Учебник математики и обозначают Учебник математики Число Учебник математики называют подкоренным числом, Учебник математикипоказателем корня. Если Учебник математики = 2, то обычно пишут Учебник математики (опуская показатель корня) и называют это выражение квадратным корнем. Часто вместо термина «корень» употребляют термин «радикал».

Итак, согласно определению, запись Учебник математики где Учебник математики означает, во-первых, что Учебник математики и, во-вторых, что Учебник математики т. е.

Учебник математики

Например, Учебник математики Если Учебник математики то справедливы следующие свойства:

Учебник математики

Свойство 1° распространяется на произведение любого числа множителей. Например, Учебник математикиУчебник математики 

Пример: 

Упростить: Учебник математики Учебник математики

Решение:

Учебник математики

Учебник математики

Учебник математики  (показатели корня и подкоренного выражения разделили на 2).

36.    Корень нечетной степени из отрицательного числа.

Пусть Учебник математики < 0, а Учебник математики — натуральное число, большее 1. Если Учебник математики — нечетное число, то существует одно и только одно действительное число х такое, что Учебник математикиУчебник математики. Это число обозначают Учебник математики и называют корнем нечетной степени Учебник математики из отрицательного числа Учебник математики.

Если же Учебник математики — четное число, то равенство Учебник математики не выполняется ни при каком действительном значении х. Это значит, что на множестве действительных чисел нельзя определить корень четной степени из отрицательного числа.

Например, Учебник математикиУчебник математики

Запись Учебник математики не имеет смысла.

В случае нечетных показателей корней свойства радикалов, справедливые для неотрицательных значений подкоренных выражений (п. 35), верны и для отрицательных значений подкоренных выражений.

Например, Учебник математики для любых Учебник математики и Учебник математики.

37.    Степень с дробным показателем.

Полагают по определению: если Учебник математики — натуральные числа, Учебник математики, то

Учебник математики

если Учебник математики > 0, то

Учебник математики

Нецелая степень отрицательного числа не имеет смысла.

Пример:

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Учебник математики

Учебник математики

38. Свойства степеней с рациональными показателями.

Для любого числа Учебник математики определена операция возведения в натуральную степень (см. п. 32); для любого числа Учебник математики определена операция возведения в нулевую и целую отрицательную степень (см. п. 33); для любого Учебник математики определена операция возведения в положительную дробную степень (см. п. 37), и, наконец, для любого Учебник математики определена операция возведения в отрицательную дробную степень (см. п. 37).

Пример: 

Вычислить Учебник математикиУчебник математики

Решение:

Учебник математики

Учебник математики

В итоге получаем

Учебник математики

Если Учебник математики — любые рациональные числа, то:

Учебник математики


39. Приближенные значения чисел. Абсолютная и относительная погрешности.

При округлении десятичной дроби до какого-нибудь разряда все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. Если первая следующая за этим разрядом цифра больше или равна 5, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на 1. Если же первая следующая за этим разрядом цифра меньше 5, то последнюю оставшуюся цифру не изменяют.

Пример 1.

Округлить число Учебник математики = 2471,05624 с точностью до: а) десятков; б) единиц; в) десятых; г) сотых; д) тысячных.

Решение: 

а) Цифра единиц, следующая за разрядом десятков, равна 1, т. е. меньше 5. Значит, округлив до десятков, имеем Учебник математики Учебник математики 2470. Знак Учебник математики называют знаком приближенного равенства.

б) Цифра десятых равна 0, значит, округлив до единиц, имеем Учебник математики Учебник математики 2471.

в) Цифра сотых равна 5, значит, округлив до десятых, имеем Учебник математики Учебник математики 2471,1.

г) Цифра тысячных равна 6, значит, округлив до сотых, имеем Учебник математики Учебник математики 2471,06.

д) Цифра десятитысячных равна 2, значит, округлив до тысячных, имеем Учебник математики Учебник математики 2471,056.

Все найденные значения называют приближенными значениями числа Учебник математики = 2471,05624.

Приближенные значения появляются не только при округлении чисел. Они возникают, например, при различных измерениях (длин, масс, температур и т. д.). При этом важно знать, с какой точностью выполнено измерение.

Пусть Учебник математики — приближенное значение числа Учебник математики. Тогда модуль разности чисел Учебник математики и Учебник математики, т. е. |Учебник математики - Учебник математики|, называют абсолютной погрешностью приближенного значения числа Учебник математики, а отношение абсолютной погрешности к модулю приближенного значения называют относительной погрешностью приближенного значения. Относительную погрешность обычно выражают в процентах.

Пример 2.

Взвесив деталь, масса которой равна 54,12705 г, на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, получили приближенное значение массы 54,1 г. Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближенного значения.

Решение: 

Найдем абсолютную погрешность:

|54,12705 - 54,1| = 54,12705 - 54,1 = 0,02705.

Относительная погрешность равна Учебник математикиУчебник математики

При измерениях, как правило, точные значения величин бывают неизвестны, поэтому важны сведения об абсолютных погрешностях приближенных значений. Если, например, деталь массы Учебник математики взвесили на весах с ценой деления шкалы 0,1 г, то это значит, что абсолютная погрешность измерения будет не более 0,1 г. Так, если, взвесив деталь, получили 54,1 г, то точное значение массы Учебник математики может отклоняться от 54,1 в ту или иную сторону не более чем на 0,1, т. е. Учебник математики Короче это записывают так: Учебник математики = 54,1 ±0,1.

Вообще если абсолютная погрешность приближенного значения Учебник математики, найденного для интересующего нас числа Учебник математики, не превосходит некоторого числа h, то пишут Учебник математики = Учебник математики± h; говорят, что Учебник математики — приближенное значение числа Учебник математики с точностью до h.

Пример 3.

Найти с точностью до 0,01 приближенное значение числа Учебник математики = 2471,05624 .

Решение. Округлив число Учебник математики (альфа) до сотых, получим (см. пример 1, г) Учебник математики = 2471,06.

Абсолютная погрешность этого приближенного значения равна |2471,05624 - 2471,06| = 0,00376 < 0,01. Значит, 2471,06 — приближенное значение числа Учебник математики с точностью до 0,01.

В математических таблицах обычно даются приближенные значения величин. При этом считают, что абсолютная погрешность не превосходит половины единицы последнего разряда. Например, найдя по таблице для числа Учебник математики значение 1,4142, мы должны понимать, что это — приближенное значение с точностью до 0,0001, т. е. что его абсолютная погрешность не превосходит 0,00005:

Учебник математики =1,4142 ± 0,00005.

40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку.

Возьмем иррациональное число Учебник математики. Имеем:

Учебник математики

Для числа Учебник математики используют представление в виде бесконечной десятичной дроби: Учебник математики = 1,4142... .

Числа 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142 называют десятичными приближениями числа Учебник математики по недостатку с точностью соответственно до 1, до 0,1, до 0,01, до 0,001, до 0,0001. Числа 2; 1,5; 1,42; 1,415,1,4143 называют десятичными приближениями числа Учебник математики по избытку соответственно с той же точностью.

Число Учебник математики имеет вид Учебник математики = 3,1415926... . Десятичное приближение числа Учебник математики с точностью до 0,0001 по недостатку равно 3,1415, а по избытку - 3,1416.

41*. Правило извлечения квадратного корня из натурального числа.

Пусть нужно извлечь квадратный корень из натурального числа Учебник математики, причем известно, что корень извлекается. Чтобы найти результат, иногда удобно воспользоваться следующим правилом.

1. Разобьем число Учебник математики на грани (справа налево начиная с последней цифры), включив в каждую грань по две рядом стоящие цифры. При этом следует учесть, что если Учебник математики состоит из четного числа цифр, то в первой (слева) грани будет две цифры; если же число Учебник математики состоит из нечетного числа цифр, то первая грань состоит из одной цифры. Количество граней показывает, сколько цифр содержит целая часть числа Учебник математики.

2.    Подбираем наибольшую цифру такую, что ее квадрат не превосходит числа, находящегося в первой грани; эта цифра — первая цифра числа Учебник математики .

3.    Возведем первую цифру результата в квадрат, вычтем полученное число из первой грани, припишем к найденной разности справа вторую грань. Получится некоторое число А. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число Учебник математики. Теперь подберем такую наибольшую цифру х, чтобы произведение числа Учебник математики на х не превосходило числа А. Цифра х —

вторая цифра результата, т. е. искомого числа Учебник математики.

4.    Произведение числа Учебник математики на х вычтем из числа А, припишем к найденной разности справа третью грань, получится некоторое число В. Удвоив имеющуюся часть результата, получим число Учебник математики. Теперь подберем такую наибольшую цифру у, чтобы произведение числа Учебник математики на у не превосходило числа В. Цифра у — третья цифра результата.

Следующий шаг правила повторяет 4-й шаг. Это продолжается до тех пор, пока не используется последняя грань.

Пример 1: 

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Разобьем число на грани: 13'83'84. Получили три грани, значит, в результате должно получиться трехзначное число. Первая цифра результата 3, так как Учебник математики Вычтя 9 из 13, получим 4. Приписав к 4 следующую грань, получим А = 483. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 3, получим Учебник математики = 6. Подберем теперь такую наибольшую цифру х, чтобы произведение двузначного числа Учебник математики т. е. Учебник математики на х было меньше числа 483. Такой цифрой будет 7, так как Учебник математики — это меньше 483, а Учебник математики — это больше 483. Итак, вторая цифра результата 7.

Вычтя 469 из 483, получим 14. Приписав к этому числу справа последнюю грань, получим Учебник математики = 1484. Удвоив имеющуюся часть результата, т. е. число 37, получим В = 74. Подберем теперь такую наибольшую цифру у, чтобы произведение трехзначного числа Учебник математики, т. е. Учебник математики, на у не превосходило 1484. Такой цифрой будет 2, так как Учебник математики. Цифра 2 — последняя цифра результата. В ответе получили 372.

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение:

Учебник математики

Если корень не извлекается, то после последней цифры заданного числа ставят запятую и образуют дальнейшие грани, каждая из которых имеет вид 00. В этом случае процесс извлечения корня бесконечен; он прекращается, когда достигается требуемая точность.

Пример 3.

Вычислить Учебник математики с точностью до 0,01.

Решение:

Учебник математики

Итак, с точностью до 0,01 имеем Учебник математики = 2,65.

42. Понятие о степени с иррациональным показателем.

Пусть Учебник математики — иррациональное число. Поясним, какой смысл вкладывается в запись Учебник математики, где Учебник математики — положительное число. Рассмотрим три случая: Учебник математики = 1, Учебник математики > 1, 0 < Учебник математики < 1.

1)    Если Учебник математики = 1, то полагают Учебник математики

2)    Пусть Учебник математики > 1. Возьмем любое рациональное число Учебник математики и любое рациональное число Учебник математики Тогда Учебник математики и Учебник математики В этом случае под Учебник математики понимают такое число, которое заключено между Учебник математики для любых рациональных чисел Учебник математики таких, что Учебник математики а Учебник математики Такое число существует и единственно для любого Учебник математики > 1 и любого иррационального Учебник математики.

3) Пусть 0 < Учебник математики < 1. Возьмем любое рациональное число Учебник математики и любое рациональное число Учебник математики Тогда Учебник математики В этом случае под Учебник математики понимают такое число, которое заключено между Учебник математики для любых рациональных чисел Учебник математики удовлетворяющих неравенству Учебник математики Такое число существует и единственно для любого числа Учебник математики из интервала (0; 1) и любого иррационального Учебник математики.

43. Свойства степеней с действительными показателями.

Если Учебник математики и х, у — любые действительные числа, то справедливы следующие свойства:

Учебник математики

§ 4*. Комплексные числа

44. Понятие о комплексном числе.

Процесс расширения понятия числа от натуральных к действительным был связан как с потребностями практики, так и с нуждами самой математики. Сначала для счета предметов использовались натуральные числа. Необходимость выполнения деления привела к понятию обыкновенной (и десятичной) дроби, необходимость выполнения вычитания — к понятиям нуля и отрицательного числа, необходимость извлечения корней из положительных чисел — к понятию иррационального числа.

Все перечисленные операции выполнимы на множестве действительных чисел. Однако остались и невыполнимые на этом множестве операции, например извлечение квадратного корня из отрицательного числа. Значит, имеется потребность в дальнейшем расширении понятия числа, в появлении новых чисел, отличных от действительных.

Геометрически действительные числа изображаются точками на координатной прямой: каждому действительному числу соответствует одна точка прямой («образ» действительного числа) и, обратно, каждая точка координатной прямой соответствует одному действительному числу. Координатная прямая сплошь заполнена образами действительных чисел, т. е., выражаясь фигурально, «на ней нет места для новых чисел». Возникает предположение о том, что геометрические образы новых чисел надо искать уже не на прямой, а на плоскости. Однако каждую точку М координатной плоскости ху можно отождествить с координатами этой точки. Поэтому естественно в качестве новых чисел ввести упорядоченные пары действительных чисел (упорядоченные в том смысле, что Учебник математики — разные точки, а значит, и разные числа).

Комплексным числом называют всякую упорядоченную пару Учебник математики действительных чисел Учебник математики

Два комплексных числа Учебник математики называют равными тогда и только тогда, когда Учебник математики

45. Арифметические операции над комплексными числами.

Суммой комплексных чисел Учебник математики Учебник математики называют комплексное число Учебник математики

Например, Учебник математики

Учебник математики

Комплексным нулем считают пару (0; 0). Числом, противоположным числу Учебник математики считают число Учебник математики обозначают его Учебник математики

Разностью комплексных чисел Учебник математики называют, как обычно, такое число Учебник математики Разность всегда существует и единственна. В самом деле, пусть Учебник математики Тогда Учебник математикиУчебник математики Это значит, что Учебник математики откуда находим Учебник математики Учебник математики

Таким образом, получаем следующее правило вычитания комплексных чисел: Учебник математикиУчебник математики

Например, (9; 10) - (8; 12) = (9 - 8; 10 - 12) = (1;-2).

Произведением комплексных чисел Учебник математикиУчебник математики называют комплексное число Учебник математики

Например, если Учебник математики то

Учебник математики

Арифметические операции над комплексными числами обладают теми же свойствами, что арифметические операции над действительными числами (см. п. 29).

Пусть Учебник математики Существует, и только одно, комплексное число Учебник математики такое, что Учебник математики Это число и называют, как обычно, частным от деления z на w.

Имеем Учебник математикиУчебник математики Так какУчебник математики то должны выполняться равенства

Учебник математики

Из этой системы двух уравнений с двумя переменными находим (см. п. 164) Учебник математикиУчебник математики Итак,

Учебник математики

Получили следующее правило деления комплексных чисел: если Учебник математики то

Учебник математики

Например,

Учебник математики

46. Алгебраическая форма комплексного числа.

Используя введенные в п. 45 определения сложения и умножения комплексных чисел, легко получить следующие равенства:

Учебник математики

Условились вместо Учебник математики писать просто Учебник математики, а комплексное число (0; 1) обозначать буквой Учебник математики и называть мнимой единицей. Тогда равенство (1) принимает вид Учебник математики т. е.

Учебник математики

а равенство (2) — вид

Учебник математики

Запись Учебник математики называют алгебраической формой комплексного числа Учебник математики при этом число Учебник математики называют действительной частью комплексного числа z, a bi — его мнимой частью.

Например, Учебник математикиУчебник математики

Если мнимая часть комплексного числа Учебник математики отлична от нуля, то число называют мнимым, если при этом Учебник математики = 0, т. е. число имеет вид bi, то его называют чисто мнимым, наконец, если у комплексного числа Учебник математики мнимая часть равна нулю, то получается действительное число Учебник математики.

Алгебраическая форма существенно облегчает выполнение арифметических операций над комплексными числами.

Сложение. Известно (см. п. 45), что

Учебник математики

Выполнив сложение тех же чисел в алгебраической форме, считая Учебник математики и с + di обычными двучленами, находим

Учебник математики

Сравнивая равенства (7) и (8), замечаем, что получился верный результат.

Вычитание. Известно (см. п. 45), что

Учебник математики

Выполнив вычитание тех же чисел в алгебраической форме, считая Учебник математики и с + di обычными двучленами, находим

Учебник математики

Сравнивая равенства (9) и (10), замечаем, что получился верный результат.

Умножение. Известно (см. п. 45), что

Учебник математики

Выполнив умножение тех же чисел в алгебраической форме, считая Учебник математики и с + di обычными двучленами, находим

Учебник математики

Воспользуемся тем, что Учебник математики (см. равенство (5)); тогда Учебник математики В результате получаем

Учебник математики

Сравнивая равенства (11) и (12), замечаем, что получился верный результат.

Деление. Известно (см. п. 45), что если Учебник математики то

Учебник математики

Выполним деление тех же чисел в алгебраической форме, считая Учебник математики и с + di обычными двучленами, a Учебник математики— обычной дробью. Умножив числитель и знаменатель этой дроби на с - di (предполагая, что значение дроби от этого не изменится), находим

Учебник математики

Итак,

Учебник математики

Сравнивая равенства (13) и (14), замечаем, что получился верный результат.

Подводя итоги, приходим к следующему важному практическому выводу: над комплексными числами, записанными в алгебраической форме, можно осуществлять все арифметические операции как над обычными двучленами, учитывая лишь, что Учебник математики Чтобы преобразовать в комплексное число дробь вида Учебник математики нужно числитель и знаменатель дроби умножить на число с — di; числа с + di и с - di называют комплексно-сопряженными.

Пример 1.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Применив формулу Учебник математикиУчебник математики, получим

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Учебник математики

Учебник математики

Пример 3.

Найти действительные числа х и у такие, что выполняется равенство Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики Учебник математики Тогда заданное равенство можно переписать в виде

Учебник математики

Комплексные числа Учебник математики равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части (Учебник математики = с) и коэффициенты при мнимых частях (Ь = d). Значит, приходим к системе уравнений

Учебник математики

из которой находим (см. п. 164) Учебник математикиУчебник математики

Пример 4.

Найти комплексные числа z, удовлетворяющие равенству Учебник математики

Решение: 

Будем искать комплексное число z в виде х + yi. Имеем

Учебник математики

Из последнего равенства следует, что

Учебник математики

Эта система имеет два решения (см. п. 164): (2; 3) и (-2; -3). Значит, Учебник математики

Пример 5.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Имеем (см. п. 58)        Учебник математики

Учебник математики

Значит, Учебник математики Учебник математики

Далее, имеем Учебник математикиУчебник математики

Значит, Учебник математикиУчебник математики

47. Отыскание комплексных корней уравнений.

Пусть Учебник математики > 0. Так как Учебник математикиУчебник математики Тем самым мы получаем возможность извлекать квадратные корни из отрицательных действительных чисел. Это позволяет находить не только действительные, но и мнимые корни уравнений.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики

Решение.

Имеем (см. п. 137) Учебник математики Учебник математики Итак, Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение.

Имеем Учебник математикиУчебник математики Значит, либо х - 2 = 0, откуда находим Учебник математики либо Учебник математики откуда находим Учебник математикиУчебник математики Итак, Учебник математики Учебник математики

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА II

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

§ 5. Основные понятия

48. Виды алгебраических выражений.

Из чисел и переменных с помощью знаков сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в рациональную степень и извлечения корня и с помощью скобок составляют алгебраические выражения.

Примеры алгебраических выражений:

Учебник математики

Если алгебраическое выражение не содержит деления на переменные и извлечения корня из переменных (в частности, возведения в степень с дробным показателем), то его называют целым выражением. Из написанных выше целыми являются выражения 1), 2) и 6).

Если алгебраическое выражение составлено из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения, возведения в степень с натуральным показателем и деления, причем используется деление на выражения с переменными, то его называют дробным выражением. Так, из написанных выше дробными являются выражения 3) и 4).

Целые и дробные выражения называют рациональными выражениями. Так, из написанных выше рациональными являются выражения 1), 2), 3), 4) и 6).

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных (или возведение переменных в дробную степень), то его называют иррациональным выражением. Так, из написанных выше иррациональными являются выражения 5) и 7).

Итак, алгебраические выражения могут быть рациональными и иррациональными. Рациональные выражения, в свою очередь, разделяются на целые и дробные.

49. Допустимые значения переменных. Область определения алгебраического выражения.

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных. Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений переменных — ОДЗ).

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных. Так, при любых значениях переменных имеют смысл целые выражения 1), 2), 6) из п. 48.

Дробные выражения не имеют смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Так, дробное выражение 3) из п. 48 имеет смысл при всех Учебник математики, кроме Учебник математики = 1, а дробное выражение 4) имеет смысл при всех Учебник математики кроме значений Учебник математики

Иррациональное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают в отрицательное число выражение, содержащееся под знаком корня четной степени или под знаком возведения в дробную степень. Так, иррациональное выражение 5) имеет смысл только при тех Учебник математики при которых Учебник математики а иррациональное выражение 7) имеет смысл только при Учебник математики (см. п. 48).

Если в алгебраическом выражении переменным придать допустимые значения, то получится числовое выражение; его значение называют значением алгебраического выражения при выбранных значениях переменных.

Пример.

Найти значение выражения

Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики

50. Понятие тождественного преобразования выражения. Тождество.

Рассмотрим два выражения

Учебник математики

При х = 2 имеем Учебник математикиУчебник математики Числа 0 и 3 называют соответственными значениями выражений Учебник математики при х = 2. Найдем соответственные значения тех же выражений при х = 1:

 

Учебник математики

Соответственные значения двух выражений могут быть равными друг другу (так, в рассмотренном примере выполняется равенствоУчебник математики), а могут и отличаться друг от друга (так, в рассмотренном примере Учебник математики).

Если соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные, совпадают при всех допустимых значениях переменных, то выражения называют тождественно равными.

Тождеством называют равенство, верное при всех допустимых значениях входящих в него переменных.

Так, тождественно равны выражения Учебник математикиУчебник математики

Примеры тождеств:

Учебник математики

Пропорция (см. п. 30) Учебник математики есть тождество при всех значениях Учебник математики, кроме Учебник математики = 1, поскольку при Учебник математики = 1 знаменатели дробей обращаются в нуль, т. е. дроби не будут иметь смысла.

Замена выражения Учебник математики выражением Учебник математики (сократили на с) есть тождественное преобразование выражения Учебник математики при ограничениях Учебник математики Значит, Учебник математикиУчебник математики  — тождество при всех значениях переменных, кроме Ь = 0, с = 0. Верные числовые равенства также называют тождествами.

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения.

 

 

§ 6. Целые рациональные выражения

51. Одночлены и операции над ними.

Одночленом называют такое выражение, которое содержит числа, натуральные степени переменных и их произведения. Например, Учебник математики Учебник математики — одночлены, тогда как выражения Учебник математики — не являются одночленами.

Любой одночлен можно привести к стандартному виду, т. е. представить в виде произведения числового множителя, стоящего на первом месте, и степеней различных переменных. Числовой множитель одночлена, записанного в стандартном виде, называют коэффициентом одночлена. Сумму показателей степеней всех переменных называют степенью одночлена.

Если между двумя одночленами поставить знак умножения, то получится одночлен, называемый произведением исходных одночленов. При возведении одночлена в натуральную степень также получается одночлен. Результат обычно приводят к стандартному виду.

Приведение одночлена к стандартному виду, умножение одночленов — тождественные преобразования.

Пример 1.

Привести к стандартному виду одночлен Учебник математики

Решение: 

Учебник математики

Пример 2.

Выполнить умножение одночленов Учебник математики

Решение: 

Учебник математики Учебник математики

Пример 3.

Возвести одночлен Учебник математики в четвертую степень.

Решение:

Учебник математикиУчебник математики

Одночлены, приведенные к стандартному виду, называют подобными, если они отличаются только коэффициентом или совсем не отличаются. Подобные одночлены можно складывать и вычитать, в результате чего снова получается одночлен, подобный исходным (иногда получается 0). Сложение и вычитание подобных одночленов называют приведением подобных членов.

Пример 4.

Выполнить сложение одночленов Учебник математики

Решение:

Учебник математикиУчебник математики

52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду.

Многочленом называют сумму одночленов. Если все члены многочлена записать в стандартном виде (см. п. 51) и выполнить приведение подобных членов, то получится многочлен стандартного вида.

Всякое целое выражение можно преобразовать в многочлен стандартного вида — в этом состоит цель преобразований (упрощений) целых выражений.

Пример 1.

Привести многочлен Учебник математикиУчебник математики к стандартному виду.

Решение: 

Сначала приведем к стандартному виду члены многочлена.

Получим Учебник математикиУчебник математикиПосле приведения подобных членов получим многочлен стандартного вида Учебник математики

Пример 2.

Привести многочлен Учебник математикиУчебник математики к стандартному виду.

Решение: 

Если перед скобками стоит знак плюс, то скобки можно опустить, сохранив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим

Учебник математики

Пример 3.

Учебник математики

Решение: 

Если перед скобками стоит знак минус, то скобки можно опустить, изменив знаки всех слагаемых, заключенных в скобки. Воспользовавшись этим правилом раскрытия скобок, получим

Учебник математики

Пример 4.

Учебник математики

Решение: 

Произведение одночлена и многочлена равно сумме произведений этого одночлена и каждого члена многочлена:

Учебник математики

Пример 5.

Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математикиУчебник математики

Пример 6.

Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики

Учебник математики

Осталось привести подобные члены (они подчеркнуты). Получим

Учебник математики

53. Формулы сокращенного умножения.

В некоторых случаях приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с использованием тождеств:

Учебник математики

Эти тождества называют формулами сокращенного умножения.

Рассмотрим примеры, в которых нужно преобразовать заданное выражение в многочлен стандартного вида.

Пример 1.

Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись формулой (1), получим

Учебник математики

Пример 2.

Учебник математики

Решение: 

Учебник математикиУчебник математики

Пример 3. 

Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись формулой (3), получим

Учебник математики

Пример 4.

Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись формулой (4), получим

Учебник математики

54. Разложение многочленов на множители.

Иногда можно преобразовать многочлен в произведение нескольких множителей — многочленов или одночленов. Такое тождественное преобразование называют разложением многочлена на множители. В этом случае говорят, что многочлен делится на каждый из этих множителей.

Рассмотрим некоторые способы разложения многочленов на множители.

1. Вынесение общего множителя за скобки. Это преобразование является непосредственным следствием распределительного закона

Учебник математики

Пример 1.

Разложить на множители многочлен Учебник математики

Решение:

Учебник математикиУчебник математики

Обычно при вынесении общего множителя за скобки каждую переменную, входящую во все члены многочлена, выносят с наименьшим показателем, который она имеет в данном многочлене. Если все коэффициенты многочлена — целые числа, то в качестве коэффициента общего множителя берут наибольший по модулю общий делитель всех коэффициентов многочлена.

2. Использование формул сокращенного умножения. Формулы (1) — (7) из п. 53, будучи прочитанными «справа налево», во многих случаях оказываются полезными для разложения многочленов на множители.

Пример 2.

Разложить на множители Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики Применив формулу (1) (разность квадратов), получим Учебник математикиУчебник математики Применив теперь формулы (4) и (5) (сумма кубов, разность кубов), получим

Учебник математики

Пример 3.

Учебник математики

Решение: 

Сначала вынесем за скобки общий множитель. Для этого найдем наибольший общий делитель коэффициентов 4, 16, 16 и наименьшие показатели степеней, с которыми переменные а или Ь входят в составляющие данный многочлен одночлены. Получим

Учебник математики

Так как, далее, по формуле (2), Учебник математикиУчебник математики то окончательно получаем Учебник математикиУчебник математики

3. Способ группировки. Он основан на том, что пе-реместительный и сочетательный законы сложения позволяют группировать члены многочлена различными способами. Иногда удается такая группировка, что после вынесения за скобки общих множителей в каждой группе в скобках остается один и тот же многочлен, который в свою очередь как общий множитель может быть вынесен за скобки.

Рассмотрим примеры разложения многочлена на множители способом группировки

Пример 4.

Учебник математики

Решение: 

Произведем группировку следующим образом:

Учебник математики

В первой группе вынесем за скобки общий множитель Учебник математики, во второй — общий множитель 5. Получим Учебник математики Теперь многочлен (х - 3) как общий множитель вынесем за скобки: Учебник математикиУчебник математикиТаким образом, получаем

Учебник математики

Пример 5.

Учебник математики

Решение: 

Учебник математикиУчебник математики

Пример 6.

Учебник математики

Решение: 

Здесь никакая группировка не приведет к появлению во всех группах одного и того же многочлена. В таких случаях иногда оказывается полезным представить какой-либо член многочлена в виде некоторой суммы, после чего снова попробовать применить способ группировки. В нашем примере целесообразно представить Учебник математики в виде суммы Учебник математики Получим

Учебник математики

Пример 7.

Учебник математики

Решение: 

Прибавим и отнимем одночлен Учебник математики

Получим Учебник математикиУчебник математики

Здесь применен метод выделения полного квадрата.

55. Многочлены от одной переменной.

Многочлен Учебник математики, где Учебник математики — числа (Учебник математики), a х — переменная, называют многочленом первой степени; многочлен Учебник математики Учебник математики где Учебник математики — числа (Учебник математики), а х — переменная, называют многочленом второй степени или квадратным трехчленом; многочлен Учебник математики Учебник математикигде Учебник математики — числа (Учебник математики), a х — переменная, называют многочленом третьей степени.

Вообще если Учебник математики — числа (Учебник математики), а х — переменная, то многочлен

Учебник математики

называют многочленом п-й степени (относительно х); Учебник математики — члены многочлена, Учебник математики — коэффициенты, Учебник математики — старший член многочлена, Учебник математики — коэффициент при старшем члене, Учебник математикисвободный член многочлена. Обычно многочлен записывают по убывающим степеням переменной, т. е. степени переменной х постепенно уменьшаются, в частности на первом месте стоит старший член, на последнем — свободный член. Степень многочлена — это степень старшего члена.

Например, Учебник математики — многочлен пятой степени, в котором Учебник математики — старший член, 1 — свободный член многочлена.

Если коэффициент при старшем члене равен 1, то многочлен называют приведенным, если указанный коэффициент отличен от 1, то неприведенным.

Корнем многочлена Р(х) называют такое значение х, при котором многочлен обращается в нуль. Например, число 2 является корнем многочлена Учебник математики так как Учебник математики Учебник математики

56. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Если Учебник математики — корни квадратного трехчлена Учебник математики (т. е. корни уравнения Учебник математики = 0), то

Учебник математики

Эта формула применяется для разложения квадратного трехчлена на множители.

Пример:

Разложить на множители Учебник математики

Решение: 

Применив формулу корней квадратного уравнения (см. п. 137) к уравнению Учебник математикиУчебник математики, находим Учебник математики Значит,

Учебник математики

57.    Разложение на множители двучлена Учебник математикиУчебник математики

Известно, что

Учебник математики

Если перемножить многочлены Учебник математикиУчебник математики то получим

Учебник математики

Обобщением формул (1), (2), (3) является формула разложения на множители двучлена Учебник математики

Учебник математики

Если, в частности, Учебник математики = 1, то получаем

Учебник математики

Например, Учебник математикиУчебник математики

58.    Возведение двучлена в натуральную степень (бином Ньютона).

В этом пункте речь идет о том, как двучлен (или бином) Учебник математики возвести в любую натуральную степень.

Учебник математики

Воспользовавшись тем, что Учебник математики можно вывести формулу

Учебник математики

Вообще справедлива следующая формула (бином Ньютона):

Учебник математики

Пример: 

Для Учебник математики по формуле бинома Ньютона получаем

Учебник математики

 

 

§ 7. Дробные рациональные выражения

 

59. Рациональная дробь и ее основное свойство.

Любое дробное выражение (см. п. 48) можно преобразовать к виду Учебник математики , где Р и Q — многочлены. Такую дробь Учебник математики называют рациональной дробью

Примеры рациональных дробей:

Учебник математики

Основное свойство дроби выражается тождеством Учебник математики справедливым при условиях Учебник математики и Учебник математики здесь R — целое рациональное выражение. Это значит, что числитель и знаменатель рациональной дроби можно умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, одночлен или многочлен. Например,

Учебник математики

Основное свойство дроби может быть использовано для перемены знаков у членов дроби. Если числитель и знаменатель дроби Учебник математики умножить на -1, получим Учебник математики. Таким образом, значение дроби не изменится, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя. Если же изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то и дробь изменит свой знак: Учебник математики

Значит, Учебник математики

Например,   Учебник математики

60. Сокращение рациональных дробей.

Сократить дробь — это значит разделить числитель и знаменатель дроби на их общий множитель. Возможность такого сокращения обусловлена основным свойством дроби.

Для того чтобы сократить рациональную дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь можно сократить. Если общих множителей нет, то преобразование дроби посредством сокращения невозможно.

Пример: 

Сократить дробь  Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики

Учебник математики

Значит,   Учебник математики

Сокращение дроби выполнено при условии Учебник математикиУчебник математики

61. Приведение рациональных дробей к общему знаменателю.

Общим знаменателем нескольких рациональных дробей называют целое рациональное выражение, которое делится на знаменатель каждой дроби (см. п. 54).

Например, общим знаменателем дробей Учебник математики и Учебник математики служит многочлен (х + 2)(х - 2), так как он делится и на х + 2, и на х - 2. Общим знаменателем могут также служить и многочлен 3Учебник математики и многочлен х (х + 2) (х - 2), и многочлен Учебник математикиУчебник математикии т. д. Обычно берут такой общий знаменатель, что любой другой общий знаменатель делится на выбранный. Такой простейший знаменатель называют наименьшим общим знаменателем.

В рассмотренном выше примере наименьший общий знаменатель равен (х + 2)(х - 2). Имеем

Учебник математики

Приведение данных дробей к общему знаменателю достигнуто путем умножения числителя и знаменателя первой дроби на х - 2, а числителя и знаменателя второй дробей на х + 2. Многочлены х - 2 и х + 2 называют дополнительными множителями соответственно для первой и второй дроби. Дополнительный множитель для данной дроби равен частному от деления общего знаменателя на знаменатель данной дроби.

Чтобы несколько рациональных дробей привести к общему знаменателю, нужно:

1)    разложить знаменатель каждой дроби на множители;

2)    составить общий знаменатель, включив в произведение все множители полученных в п. 1) разложений; если некоторый множитель имеется в нескольких разложениях, то он берется с показателем степени, равным наибольшему из имеющихся;

3)    найти дополнительные множители для каждой из дробей (для этого общий знаменатель делят на знаменатель дроби);

4)    домножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель, привести дроби к общему знаменателю.

Пример: 

Привести к общему знаменателю дроби

Учебник математики

Решение: 

Разложим знаменатели дробей на множители:

Учебник математики

В общий знаменатель надо включить следующие множители: Учебник математики , а также наименьшее общее кратное чисел 12, 18, 24, т. е. К (12, 18, 24) = 72. Значит, общий знаменатель имеет вид Учебник математикиУчебник математики

Дополнительные множители: для первой дроби Учебник математики для второй дроби Учебник математики для третьей дроби Учебник математики Значит, получаем

Учебник математики

 

62. Сложение и вычитание рациональных дробей.

Сумма двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей с одинаковыми знаменателями тождественно равна дроби с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей складываемых дробей:

Учебник математики

Аналогично обстоит дело в случае вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:

Учебник математики

Пример 1.

Упростить выражение Учебник математики

Решение: 

Выполним сложение данных дробей: 

Учебник математики

Для сложения или вычитания рациональных дробей с разными знаменателями нужно прежде всего привести дроби к общему знаменателю, а затем выполнить операции над полученными дробями с одинаковыми знаменателями.

Пример 2.

Упростить выражение Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики

Значит,

Учебник математики

63. Умножение и деление рациональных дробей.

Произведение двух (и вообще любого конечного числа) рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителей, а знаменатель — произведению знаменателей перемножаемых дробей:

Учебник математики

Частное от деления двух рациональных дробей тождественно равно дроби, числитель которой равен произведению числителя первой дроби на знаменатель второй дроби, а знаменатель — произведению знаменателя первой дроби на числитель второй дроби:

Учебник математики

Сформулированные правила умножения и деления распространяются и на случай умножения или деления на многочлен: достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем 1.

Учитывая возможность сокращения рациональной дроби, полученной в результате умножения или деления рациональных дробей, обычно стремятся до выполнения этих операций разложить на множители числители и знаменатели исходных дробей.

Пример 1.

Выполнить умножение Учебник математикиУчебник математики

Решение:

Имеем:

Учебник математики

Использовав правило умножения дробей, получим

Учебник математики

Пример 2.

Выполнить деление Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Имеем:

Учебник математики

Использовав правило деления дробей, получим

Учебник математики

64. Возведение рациональной дроби в целую степень.

Чтобы возвести рациональную дробь Учебник математики в натуральную степень Учебник математики, нужно возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель дроби; первое выражение — числитель, а второе выражение — знаменатель результата:

Учебник математики

Пример 1.

Преобразовать в дробь степень Учебник математики

Решение: 

Применив правила возведения в степень дроби и одночлена, получим Учебник математикиУчебник математики

При возведении дроби в целую отрицательную степень используется тождество Учебник математикисправедливое для всех значений переменных, при которых Учебник математики

Пример 2.

Преобразовать в дробь выражение

 

Учебник математики

Решение:

Учебник математики

65. Преобразование рациональных выражений.

Преобразование любого рационального выражения сводится к сложению, вычитанию, умножению и делению рациональных дробей, а также к возведению дроби в натуральную степень. Всякое рациональное выражение можно преобразовать в дробь, числитель и знаменатель которой — целые выражения; в этом, как правило, состоит цель тождественных преобразований рациональных выражений.

Пример: 

Упростить выражение

Учебник математики

Решение: 

Выполняя действия с рациональными дробями, получим:

Учебник математики

 

 

§ 8. Иррациональные выражения

 

66. Простейшие преобразования арифметических корней (радикалов).

При преобразовании арифметических корней используются их свойства 1°—5° (см. п. 35).

Рассмотрим несколько примеров на применение свойств арифметических корней для простейших преобразований радикалов. При этом все переменные будем считать принимающими только неотрицательные значения.

Пример 1.

Извлечь корень из произведения Учебник математики

Решение: 

Применив свойство 1°, получим 

Учебник математики

Пример 2.

Вынести множитель из-под знака корня Учебник математики

Решение: 

Имеем

Учебник математики

Такое преобразование называют вынесением множителя из-под знака корня. Цель преобразования — упростить подкоренное выражение.

Пример 3.

Упростить Учебник математики

Решение:

По свойству 3° имеем Учебник математикиУчебник математики

Обычно стараются подкоренное выражение упростить, для чего выносят множители за знак корня. Имеем Учебник математики Итак, Учебник математики

Пример 4.

Упростить Учебник математики

Решение: 

Преобразуем выражение Учебник математики внеся множитель под знак корня: Учебник математикиУчебник математики По свойству 4° имеем

Учебник математики

Пример 5.

Упростить Учебник математики

Решение: 

По свойству 5° мы имеем право показатель корня и показатель степени подкоренного выражения разделить на одно и то же натуральное число. Если в рассматриваемом примере разделить указанные показатели на 3, то получим Учебник математикиУчебник математики

Пример 6.

Упростить выражения: Учебник математики

Решение: 

а) По свойству 1° получаем, что для перемножения корней одной и той же степени достаточно перемножить подкоренные выражения и из полученного результата извлечь корень той же степени. Значит,

Учебник математики

б)    Прежде всего мы должны привести радикалы к одному показателю. Согласно свойству 5° мы можем показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и тоже натуральное число. Поэтому Учебник математики Далее имеем Учебник математики А теперь в полученном результате разделим показатели корня и степени подкоренного вьфажения на 3: Учебник математики

Итак, Учебник математики

в)    Приведем радикалы к одному показателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное чисел 8 и 12, т. е. К (8, 12) = 24. Далее показатели корня и степени подкоренного выражения для первого из перемножаемых радикалов следует умножить на 3, а для второго — на 2. Получим

Учебник математики

На практике при выполнении действий над радикалами довольно часто переходят к дробным показателям. Например,

Учебник математики

67. Тождество Учебник математики

Упростим выражение Учебник математики. Здесь могут представиться два случая: Учебник математики или Учебник математики Если Учебник математики, то Учебник математики например, Учебник математикиУчебник математики Если же Учебник математики то Учебник математики например, Учебник математики Итак,

Учебник математики

Но точно так же определяется модуль действительного числа (см. п. 26). Таким образом,

Учебник математики

Например, Учебник математики Вообще, если Учебник математики — четное число, т. е. Учебник математики то 

Учебник математики

Пример: 

Упростить выражение

Учебник математики

Решение: 

Имеем:

Учебник математики

Поскольку заданное выражение содержит слагаемое Учебник математики то Учебник математики откуда находим, что Учебник математики

Значит, х - 3 < 0, а потому Учебник математики Итак, Учебник математики и мы получаем

Учебник математики

68. Преобразование иррациональных выражений.

Для преобразования иррациональных выражений используются свойства радикалов (см. п. 35) и свойства степени с рациональным показателем (см. п. 38).

Пример: 

Упростить выражение

 

Учебник математики

Решение:

Учебник математики

Учебник математики

Обычно стараются записать ответ так, чтобы в знаменателе не содержалась иррациональность. Для избавления от иррациональности в знаменателе дробиУчебник математики умножим и числитель, и знаменатель на Учебник математики — это выражение называют сопряженным для выражения Учебник математикиПолучим

Учебник математики

 

 

 

ГЛАВА III

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

 

 

§ 9. Определение и свойства функций

 

69.    Определение функции.

Если даны числовое множество X и правило f, позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества X определенное число у, то говорят, что задана функция у = f(x) с областью определения X; пишут:

Учебник математики

При этом переменную х называют независимой переменной или аргументом, а переменную у — зависимой переменной. Для области определения функции используют также обозначение D (f). Множество всех значений функции у = f(x), Учебник математики, называют областью значений функции и обозначают E(f).

Если функция задана выражением, то допускается ее задание в виде у = f(x) без условия Учебник математики в случае, когда область определения выражения f(x) совпадает с областью определения функции.

Например, запись «функция Учебник математики» означает Учебник математики Учебник математики  поскольку область определения выражения Учебник математики задается неравенством Учебник математики

70.    Аналитическое задание функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у = f(x), где f(x) — некоторое выражение с переменной х. В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.

Пример 1.

Учебник математики Область определения этой функции — луч Учебник математикиЧтобы найти значение функции в любой точке Учебник математики достаточно найти числовое значение выражения Учебник математики в выбранной точке. Функция задана аналитически.

Пример 2.

Функция у = f(ж) задана аналитически формулой Учебник математики Найти: Учебник математики

Учебник математики

Решение: 

а) Чтобы найти f(-x), надо в f(x) всюду вместо х подставить (-х). Получим

Учебник математики

Итак,

Учебник математики

Пример 3.

Найти область определения функции Учебник математики

Решение: 

Выражение Учебник математики определено при всех х, кроме того значения, которое обращает знаменатель в 0, — это значение х = -2. Значит, область определения функции состоит из всех чисел, кроме х = - 2.

Пример 4.

Найти область определения функции Учебник математики

Решение: 

Выражение Учебник математики определено при тех х, при которых Учебник математики т. е. при Учебник математики Значит, область определения функции — луч Учебник математики

Иногда функция задается на различных промежутках различными формулами. Такую функцию называют кусочной.

Пример:

Учебник математики
Эта функция определена на отрезке [-1; 1]. Для вычисления ее значений нужно точно определить, какой формулой следует воспользоваться для заданного конкретного значения аргумента. Например, если нужно вычислить f(0,5), воспользуемся равенством f(x) = х + 2 (поскольку число х = 0,5 удовлетворяет условию Учебник математики) и получим f(0,5) = 2,5. Если же нужно вычислить f(-0,5), то воспользуемся равенством f(x) = 2х + 3 (поскольку число х = 0,5 удовлетворяет условию Учебник математики) и получим f(-0,5) = 2.

71. Табличное задание функции.

На практике часто используют табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов, таблица квадратных корней.

Во многих случаях табличное задание функции оказывается удобным. Оно позволяет найти значения функции для значений аргумента, имеющихся в таблице, без всяких вычислений. На практике часто зависимость одной величины от другой находят опытным путем. В этом случае одной величине придают определенные значения, а потом из опыта для каждого из таких значений находят значение (обычно приближенное) второй величины. Таким образом, опыт позволяет составить некоторую таблицу значений функции. Существуют методы, позволяющие по такой таблице подбирать формулы, задающие функции (с определенной точностью).

72. Числовая плоскость. Координатная плоскость, оси координат.

Множество всех пар (Под парой чисел понимают два числа, которые рассматриваются в определенном порядке.) действительных чисел называют числовой плоскостью.

Как для множества всех действительных чисел есть геометрическая модель — координатная прямая (см. п. 21), так и для множества всех пар действительных чисел есть геометрическая модель — координатная плоскость.

Учебник математики

Координатная плоскость ху определяется двумя взаимно перпендикулярными координатными прямыми с общим началом О и одинаковым масштабом (рис. 1.7). Точка О — начало координат. Горизонтальную прямую называют осью абсцисс или осью х, вертикальную — осью ординат или осью у.

Если отметить на координатной плоскости все точки с абсциссой Учебник математики, то получится прямая, параллельная оси у (рис. 1.7); говорят, что Учебник математики — уравнение этой прямой. Если отметить на координатной плоскости все точки с ординатой Учебник математики, то получится прямая, параллельная оси х (рис. 1.7); говорят, что Учебник математики — уравнение этой прямой.

О координатной плоскости см. также «Геометрия», п. 101.

73. График функции, заданной аналитически.

Пусть функция задана аналитически формулой у = f(x). Если на координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а ордината равна соответствующему значению функции, — то получится множество точек (х; f(x)) — график функции.

Например, графиком функции у = х является множество точек вида (х; х), т. е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество точек есть биссектриса координатных углов I и III (рис. 1.8).

Учебник математики

На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом предполагают, что найденные точки достаточно точно показывают ход изменения функции. 

Пример: 

Построить график функции Учебник математики

Решение: 

Составим таблицу некоторых значений функции:

Учебник математики

Нанесем найденные точки (0; 0); (0,5; 0,25); (-0,5; 0,25); (1; 1); (-1; 1); (2; 4); (-2; 4); (3; 9); (-3; 9) на координатную плоскость (рис. 1.9). Соединив эти точки плавной линией, получим график (а точнее, эскиз графика) функции Учебник математики (рис. 1.10). Эту линию называют параболой. Вообще параболой является график любой функции вида Учебник математики (см. п. 111).

Учебник математики

74. Четные и нечетные функции.

Функцию у = f(x), Учебник математики, называют четной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x) = f(x).

Функцию у = f(x), Учебник математики, называют нечетной, если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-х) = -f(x).

Например, Учебник математики — четные функции, а Учебник математики — нечетные функции.

Если функция у = f(x) такова, что хотя бы для одной пары значений х и - х оказалось, что Учебник математики, и хотя бы для одной пары значений х и -х оказалось, что Учебник математики, то функция не является ни четной, ни нечетной.

Из определения следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: если Учебник математики, то и Учебник математики (т. е. X — симметричное относительно О множество).

Пример.

Исследовать на четность функции:

Учебник математики

Решение: 

а) Имеем Учебник математики Значит, Учебник математики для всех х. Функция является четной.

б)    Имеем Учебник математики Значит, Учебник математики для всех х. Функция является нечетной.

в)    Имеем Учебник математики Заметим, что Учебник математикиУчебник математики Не выполняется ни равенство Учебник математикиУчебник математики ни равенство Учебник математики Значит, функция не является ни четной, ни нечетной.

75. График четной функции. График нечетной функции.

Графики четной и нечетной функций обладают следующими особенностями:

Если функция является четной, то ее график симметричен относительно оси ординат.

Если функция является нечетной, то ее график симметричен относительно начала координат.

Пример 1.

Построить график функции Учебник математики

Решение. Имеем Учебник математики Значит, функция четна, а потому ее график симметричен относительно оси ординат.

Если Учебник математики Графиком функции у = х при Учебник математики служит биссектриса первого координатного угла. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно оси у, получим график функции Учебник математики (рис. 1.11).

Пример 2.

Построить график функции Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математикиУчебник математики Значит, функция нечетна, а потому график ее симметричен относительно начала координат.

Если Учебник математики Значит, при Учебник математики имеем Учебник математики Графиком будет ветвь параболы. Она изображена на рисунке 1.12. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно начала координат, получим график функции Учебник математики (рис. 1.13).

Учебник математики

76. Периодические функции.

Функцию у = f(x), Учебник математики, называют периодической, если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области определения функции справедливо равенство f(x + Т) = f(x) = f(x - Т).

Число Т называют периодом функции у = f(x).

Из этого определения сразу следует, что если Т — период функции у = f(x), то 2Т, 3Т, AT, -Т, -2Т, -ЗТ, -4Т — также периоды функции. Значит, у периодической функции бесконечно много периодов. Если Т — период функции, то и число вида kT, где k — любое целое число, также является периодом функции.

Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.

Графики периодических функций обладают следующей особенностью. Если Т — основной период функции у = f(x), то для построения ее графика достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси х длиной Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси х на ± Т, ± 2Т, ± ЗТ, ... (рис. 1.14). Чаще всего в качестве такого промежутка длиной Т выбирают промежуток с концами в точках Учебник математики или (0; 0) и (Т; 0).

Учебник математики

Примеры периодических функций с основным периодом:

Учебник математики

77. Монотонные функции.

Функцию у = f(x), Учебник математики, называют возрастающей на промежутке Учебник математики (Учебник математики — знак включения одного множества в другое), если для любых Учебник математики выполняется неравенство

Учебник математики

Функцию у = f(x), Учебник математики, называют убывающей на промежутке Учебник математики, если для любых Учебник математики выполняется неравенство

Учебник математики

Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке, если, какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции.

При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика возрастающей функции увеличивается (рис. 1.15), а ордината графика убывающей функции уменьшается (рис. 1.16).

Возрастающие и убывающие функции объединяют термином «монотонные функции».

Пример.

Исследовать на монотонность функцию Учебник математики

Учебник математики

Решение: 

Пусть Учебник математики. Тогда по свойствам числовых неравенств (см. п. 24) имеем Учебник математики,

Учебник математики 

Итак, Учебник математики, а это значит, что функция Учебник математики возрастает на всей числовой прямой.

 

 

§ 10. Виды функций

 

78. Постоянная функция.

Постоянной называют функцию, заданную формулой Учебник математики — некоторое число.

Графиком постоянной функции Учебник математики является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку Учебник математики на оси ординат. На рисунке 1.17 изображены графики нескольких постоянных функций. В частности, графиком функции у = 0 является ось абсцисс.  

Учебник математики

79. Прямая пропорциональность.

Прямой пропорциональностью называют функцию, заданную формулой

y = kx,

где Учебник математики. Число k называют коэффициентом пропорциональности .

Перечислим свойства функции у = kx.

1)    Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2)    у = kx — нечетная функция.

В самом деле, f(-x) = k(-x) = -kx = -f(x).

3)    При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Теорема 1. Графиком прямой пропорциональности у = kx является прямая, проходящая через начало координат.

Доказательство. Проведем прямую через начало координат и точку А (1; k) и докажем, что она является графиком функции у = kx.

Рассмотрим сначала случай, когда k > 0 (рис. 1.18).

Учебник математики

Возьмем любую точку М (х; у), лежащую на прямой Учебник математики. Из подобия треугольников ОA1 и ОМх заключаем, что Учебник математики, т.е. Учебник математики, откуда у = kx. Возьмем теперь точку P (х; у), не лежащую на прямой Учебник математики. Тогда координаты точки Учебник математики с той же абсциссой, но лежащей на прямой Учебник математики, удовлетворяют уравнению у= kx; значит, координаты точки P этому уравнению не удовлетворяют. Итак, точки прямой Учебник математики, и только они, удовлетворяют формуле у = kx; значит, прямая Учебник математики — график функции у = kx.

Рассмотрим теперь случай, когда k < 0. Возьмем две функции: у = kx и у = -kx. При одной и той же абсциссе х ординаты графиков этих функций равны по модулю, но противоположны по знаку. Значит, графики этих функций симметричны относительно оси абсцисс. Но -k > 0 и, по доказанному выше, графиком функции y = -kx является прямая. Поскольку при преобразовании симметрии прямая переходит в прямую, то и графиком функции у = kx является прямая.

На рисунке 1.19, изображен график функции у = kx при k > 0, а на рисунке 1.20 — график функции у = kx при k < 0.

Учебник математики

Пример: 

Построить график функции у = 2х.

Решение: 

Мы знаем, что графиком является прямая, проходящая через начало координат. Для ее построения достаточно найти одну точку графика, отличную от начала координат, и провести прямую через начало координат и найденную точку. В качестве такой точки выберем точку (1; 2) (если х = 1, то Учебник математики). График функции у = 2х изображен на рисунке 1.21.

80. Линейная функция.

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

Учебник математики

где k и Учебник математики — действительные числа. Если, в частности, k = 0, то получаем постоянную функцию Учебник математики; если Учебник математики, то получаем прямую пропорциональность у = kx.

Перечислим свойства линейной функции Учебник математики при Учебник математики.

1)    Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2)    Функция Учебник математики ни четна, ни нечетна.

3)    При k > 0 функция возрастает, а при k < 0 убывает на всей числовой прямой.

Теорема 2. Графиком линейной функции Учебник математики является прямая.

Доказательство. Если k = 0, то получаем постоянную функцию Учебник математики, ее графиком является прямая, параллельная оси х (см. п. 78).

Если Учебник математики, то получаем прямую пропорциональность у = kx, ее графиком, по теореме 1, является прямая, проходящая через начало координат (см. п. 79).

Пусть Учебник математики. Если точка Учебник математики принадлежит графику функции y = kx (т. е. выполняется равенство Учебник математикиУчебник математики), то точка Учебник математики принадлежит графику функции Учебник математики (т. е. выполняется равенство Учебник математики).

Но преобразование фигуры F, при котором произвольная ее точка Учебник математики переходит в точку Учебник математики является параллельным переносом (см. п. 112), а при параллельном переносе прямая переходит в параллельную ей прямую.

Итак, графиком функции Учебник математики является прямая, параллельная графику прямой пропорциональности у = kx.

На рисунке 1.22 изображен график функции у = kx + b. Это прямая, параллельная прямой, служащей графиком функции у = kx, и проходящая через точку (0; b) на оси ординат.

Число k называют угловым коэффициентом прямой, оно равно тангенсу угла Учебник математики между прямой и положительным лучом оси х, т. е. k = tg Учебник математики.

Пример: 

Построить график функции Учебник математики

Решение: 

Графиком линейной функции является прямая, а для построения прямой достаточно знать две точки графика. Заполним таблицу:

Учебник математики

(аргументу х дали значения 0 и 4 и по формуле Учебник математики нашли соответствующие значения у). Отметим на координатной плоскости точки (0; 4) и (4; 2) и проведем через эти точки прямую (рис. 1.23).

Учебник математики

81. Взаимное расположение графиков линейных функций.

Пусть даны две линейные функции:

Учебник математики

Их графиками служат прямые (см. п. 80). Эти прямые пересекаются, если Учебник математики (рис. 1.24). Прямые параллельны, если Учебник математики. Последний случай, в свою очередь, можно разбить на два: если Учебник математики и Учебник математики, то прямые совпадают; если Учебник математики и Учебник математики, то прямые параллельны и не совпадают (рис. 1.25).

Учебник математики

82. Обратная пропорциональность.

Обратной пропорциональностью называют функцию, заданную формулой 

Учебник математики

где Учебник математики. Число k называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Перечислим свойства функции Учебник математики

1) Область определения — множество всех действительных чисел, кроме нуля.

2)    Учебник математики - нечетная функция .

В самом деле, Учебник математики

3)    Если k > 0, то функция Учебник математики убывает на промежутке Учебник математики и на промежутке Учебник математики. Если k < 0, то функция Учебник математики возрастает на промежутке Учебник математики и на промежутке Учебник математики.

Построим график функции Учебник математики. Сначала построим ветвь графика на промежутке Учебник математики Составим таблицу значений функции:

 Учебник математики

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой

(рис. 1.26). Это и будет ветвь графика функции Учебник математики, на промежутке Учебник математики.

Воспользовавшись нечетностью функции Учебник математики, добавим к построенной ветви ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции Учебник математики (рис. 1.27).

Аналогичный вид имеет график функции Учебник математики при любом положительном k. На рисунке 1.28 изображен график функции Учебник математики.

Учебник математикиУчебник математики

Если k < 0, то ветви графика обратной пропорциональности расположены не в I и III координатных четвертях, как в случае, когда k > 0, а во II и IV. На рисунке 1.29 изображены графики функций

Учебник математики

График обратной пропорциональности Учебник математики называют гиперболой.

83. Функция Учебник математики

Перечислим свойства функции Учебник математики.

1)    Область определения функции — вся числовая прямая.

2)    Учебник математики — четная функция.

В самом деле, Учебник математики

3)    На промежутке Учебник математики функция возрастает.

В самом деле, если Учебник математики а это и означает возрастание функции (см. п. 77).

4) На промежутке Учебник математики функция убывает.

В самом деле, если Учебник математики а потому Учебник математики а это и означает убывание функции (см. п. 77).

Графиком функции Учебник математики является парабола (см. п. 73). Этот график изображен на рисунке 1.10.

84. Функция Учебник математики

Перечислим свойства функции Учебник математики.

1)    Область определения функции — вся числовая прямая.

2)    Учебник математики — нечетная функция.

В самом деле, Учебник математикиУчебник математики

3)    Функция Учебник математики возрастает на всей числовой прямой.

График функции Учебник математики изображен на рисунке 1.30. Его называют кубической параболой.

Учебник математики

85. Степенная функция с натуральным показателем.

Функцию

Учебник математики

где Учебник математики — натуральное число, называют степенной функцией с натуральным показателем. При Учебник математики = 1 получаем функцию у = х, ее свойства рассмотрены в п. 79, а график (прямая) изображен на рисунке 1.8 (п. 73). При Учебник математики = 2 получаем функцию Учебник математики, ее свойства рассмотрены в п. 83, а график (парабола) изображен на рисунке 1.10 (п. 72). При Учебник математики = 3 получаем функцию Учебник математики, ее свойства рассмотрены в п. 84, а график (кубическая парабола) изображен на рисунке 1.30.

Пусть Учебник математики — произвольное четное натуральное число, большее двух: ге = 4, 6, 8, ... .В этом случае функция Учебник математики обладает теми же свойствами, что и функция Учебник математики. График такой функции напоминает параболу Учебник математики , только ветви графика при |х| > 1 тем круче идут вверх, чем больше Учебник математики, а при |х| < 1 тем «теснее прижимаются» к оси х, чем больше Учебник математики (рис. 1.31).

Пусть Учебник математики — произвольное нечетное число, большее трех: Учебник математики = 5, 7, 9, ... . В этом случае функция Учебник математики обладает теми же свойствами, что и функция Учебник математики. График такой функции напоминает кубическую параболу, только ветви графика тем круче идут вверх (при х > 0), вниз (при х < 0), чем больше Учебник математики (рис. 1.32). Отметим также, что на промежутке (0; 1) график степенной функции Учебник математики тем медленнее отдаляется от оси х с ростом х, чем больше Учебник математики.

Учебник математики

86. Степенная функция с целым отрицательным показателем.

Рассмотрим функцию

Учебник математики,

где Учебник математики — натуральное число. При Учебник математики = 1 получаем Учебник математики или Учебник математики. Свойства этой функции рассмотрены в п. 82, а ее график (гипербола) изображен на рисунке 1.27.

Пусть Учебник математики — нечетное число, большее единицы, Учебник математики = 3, 5, 7, .... В этом случае функция Учебник математики, т. е. Учебник математики, обладает теми же свойствами, что и функция Учебник математики. График функции Учебник математики (Учебник математики = 3, 5, 7, ...) напоминает график функции Учебник математики (рис. 1.33).

Пусть Учебник математики — четное число. Перечислим некоторые свойства функции Учебник математики, т. е. функции Учебник математики.

1) Функция определена при всех Учебник математики

2) Учебник математики - четная функция.

3) Учебник математики убывает на Учебник математики и возрастает на Учебник математики.

График функции Учебник математики, где Учебник математики — четное натуральное число, изображен на рисунке 1.34.

Учебник математики

87. Функция Учебник математики

Перечислим свойства функции Учебник математики.

1)    Область определения — луч Учебник математики. Это следует из того, что выражение Учебник математикиопределено лишь при Учебник математики.

2)    Функция Учебник математики ни четна, ни нечетна.

3)    Функция Учебник математики возрастает на луче Учебник математики.

В самом деле, пусть Учебник математики. Докажем, что тогда Учебник математики. Предположим противное, т. е. что Учебник математики. Тогда Учебник математики (см. свойство 10° числовых неравенств, п. 24), т. е. Учебник математики а это противоречит условию. Значит, наше предположение неверно, а верным является неравенство Учебник математики.

Для построения графика составим таблицу значений функции:

Учебник математики

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой. Получим график функции Учебник математики (рис. 1.35).

Учебник математики

88. Функция Учебник математики

Перечислим свойства функции Учебник математики.

1)    Область определения функции — вся числовая прямая.

2)    Функция Учебник математики нечетна, так как Учебник математики.

3)    Функция Учебник математики возрастает на всей числовой прямой.

Для построения ветви графика при Учебник математики составим таблицу значений функции Учебник математики

Учебник математики

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой; затем к построенной ветви добавим ветвь, симметричную ей относительно начала координат. Получим график функции Учебник математики (рис. 1.36).

Учебник математики

 

89. Функция Учебник математики

При четном Учебник математики функция Учебник математики обладает теми же свойствами, что и функция Учебник математики (см. п. 87), и график ее напоминает график функции Учебник математики (рис. 1.36).

При нечетном Учебник математики функция Учебник математики обладает теми же свойствами, что и функция Учебник математики (см. п. 88), и график ее напоминает график функции Учебник математики (рис. 1.35). 

90. Степенная функция с положительным дробным показателем.

Рассмотрим функцию

Учебник математики,

где Учебник математики — положительная несократимая дробь. Перечислим некоторые свойства этой функции.

1)    Область определения — луч Учебник математики.

2)    Функция ни четная, ни нечетная.

3)    Функция Учебник математики возрастает на Учебник математики.

Учебник математики       Учебник математики

На рисунке 1.37 изображен график функции Учебник математики. Он заключен между графиками функций Учебник математики, заданных на промежутке Учебник математики.

Подобный вид имеет график любой функции вида Учебник математики, где Учебник математики.

На рисунке 1.38 изображен график функции Учебник математики. Подобный вид имеет график любой степенной функции Учебник математики, где Учебник математики.

91. Степенная функция с отрицательным дробным показателем.

Рассмотрим функцию

Учебник математики,

где Учебник математики — положительная несократимая дробь. Перечислим свойства этой функции.

1)    Область определения — промежуток Учебник математики.

2)    Функция ни четная, ни нечетная.

3)    Функция Учебник математики убывает на Учебник математики.

Построим для примера график функции Учебник математики. Составим таблицу значений функции:

 Учебник математики

Нанесем полученные точки на координатную плоскость и соединим их плавной кривой (рис. 1.39). Подобный вид имеет график любой функции Учебник математики, где Учебник математики — отрицательная дробь.

Учебник математики

92.    Функция у = [х].

Построим график функции у = [х] (см. п. 31). Если Учебник математики, то у = [х] = 0; если Учебник математики, то у = [х] = 1; если Учебник математики, то у = [х] = = -1 и т. д. График функции у = [х] изображен на рисунке 1.40.

93.    Функция у = {х}.

Построим график функции у = {х}, т. е. у = х - [х] (см. п. 31). Заметим, что {х + 1} = {х} = {х - 1}, т. е. у = {х} — периодическая функция с основным периодом 1 (см. п. 76). Поэтому достаточно сначала построить ветвь графика на любом промежутке длиной 1, например на [0; 1). Если Учебник математики, то [х] = 0, а потому {х} = х.

На рисунке 1.41, а изображен график функции у = {х} на промежутке [0; 1), а на рисунке 1.42 изображен график функции у = {х} на всей числовой прямой.

Учебник математики

 

94. Показательная функция.

Показательная функция задается формулой Учебник математики, где Учебник математики. Перечислим свойства функции Учебник математики при Учебник математики.

1)    Область определения функции — вся числовая прямая.

2)    Область значений функции — промежуток Учебник математики.

3)    Функция не является ни четной, ни нечетной. Это следует из того, что Учебник математикиУчебник математики.

4)    Функция возрастает на всей числовой прямой.

График функции Учебник математики при Учебник математики выглядит так, как показано на рисунке 1.43.

Учебник математики

Пример 1.

Построить график функции Учебник математики.

Решение: 

Составим таблицу:

Учебник математики

С помощью найденных точек строим график функции Учебник математики (рис. 1.44).

Учебник математики

Свойства функции Учебник математики при Учебник математики:

1)    Область определения функции — вся числовая прямая.

2)    Область значений — Учебник математики.

3)    Функция не является ни четной, ни нечетной.

4)    Функция убывает на всей числовой прямой.

График функции Учебник математики при Учебник математики выглядит так, как показано на рисунке 1.45.

Пример 2.

Построить график функции Учебник математики
Решение: 

Составим таблицу:

Учебник математики

Учебник математики

С помощью найденных точек строим график функции Учебник математики (рис. 1.46).

95. Обратная функция. График обратной функции.

Сравним две функции: Учебник математики; их графики изображены на рисунках 1.47 и 1.48. Обе они определены на отрезке Учебник математики и имеют областью своих значений отрезок Учебник математики. Первая функция обладает следующим свойством: для любого Учебник математики из от_ резка Учебник математики есть только одно значение Учебник математики из отрезка Учебник математики такое, что Учебник математики

Учебник математики

Геометрически указанное выше свойство означает следующее: любая горизонтальная прямая, пересекающая ось у между точками Учебник математики, пересекает график функции у = f(x) только в одной точке. Вторая функция этим свойством не обладает: например, для значения Учебник математики прямая Учебник математики пересекает график функции у = g(x) в трех точках. Значит, в первом случае при каждом фиксированном Учебник математики из отрезка Учебник математики уравнение Учебник математики имеет только один корень Учебник математики, а во втором случае при некоторых у, например при Учебник математики, уравнение Учебник математики имеет более одного корня.

Если функция у = f(x) такова, что для любого ее значения Учебник математики уравнение Учебник математики имеет относительно х единственный корень, то говорят, что функция у = f(x) обратима.

Так, функция у = f(x), график которой изображен на рисунке 1.47, обратима, а функция у = g(x), график которой изображен на рисунке 1.48, необратима.

Если функция у = f(x) обратима, то, выразив х из формулы у = f(x) и поменяв затем х и у местами, получим обратную функцию; ее обозначают Учебник математики.

Обратимся еще раз к рисункам 1.47 и 1.48. Сравнивая графики функций у = f(x) и у = g(x), замечаем, что у = f(x) — возрастающая функция (и у нее есть обратная функция), тогда как функция у = g(x) не является ни возрастающей, ни убывающей (и у нее нет обратной функции). Возрастание или убывание функции обеспечивает существование обратной функции.

Теорема 3. Если функция у = f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке X и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает (убывает) на Y.

Пример: 

Доказать, что у функции у = 2х - 1 есть обратная, и найти ее.

Решение: 

Функция у = 2х - 1 возрастает на всей числовой прямой; значит, у нее есть обратная функция. Чтобы найти обратную функцию, надо из формулы у = 2х - 1 выразить х.

Получим Учебник математики. Поменяв х и у местами, получим Учебник математики. Это и есть искомая обратная функция.

Если точка (х; у) принадлежит графику функции у = f(x), то точка (у; х) принадлежит графику обратной функции. Поэтому график обратной функции получается из графика функции у = f(x) с помощью преобразования плоскости ху, переводящего точки (у; х) в точки (х; у). Этим преобразованием является преобразование осевой симметрии относительно прямой у = х (ось симметрии).

Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции у = f(x), надо график функции у = f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой у = х (рис. 1.49).

Например, если Учебник математики, где Учебник математики — натуральное, Учебник математики. Поменяв х и у местами, получим Учебник математики. Графики двух взаимно обратных функций Учебник математики симметричны относительно прямой у = х (рис. 1.50).

Учебник математики

96. Логарифмическая функция.

Показательная функция Учебник математики, обладает всеми свойствами, которые гарантируют существование обратной функции (см. теорему 3):

1)    область определения — Учебник математики;

2)    область значений — Учебник математики;

3)    функция Учебник математики монотонна (возрастает при а > 1 и убывает при 0 < а < 1).

Эти свойства обеспечивают существование функции, обратной к показательной, определенной на Учебник математики и имеющей областью своих значений множество Учебник математики

Эта обратная функция обозначается так:

Учебник математики

(читается: «логарифм числа х по основанию а»). Итак, логарифмическая функция Учебник математики, где Учебник математики и Учебник математики, — это функция, обратная к показательной функции Учебник математики.

Логарифмическая функция Учебник математики обладает следующими свойствами (они вытекают из теоремы 3):

1)    область определения — Учебник математики;

2)    область значений — Учебник математики;

3) функция возрастает на промежутке Учебник математики; при Учебник математики, убывает на Учебник математики; при Учебник математики.

Отметим, что логарифмическая функция ни четная, ни нечетная.

График функции Учебник математики может быть получен из графика функции Учебник математики с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х. На рисунке 1.51 построен график логарифмической функции для Учебник математики, а на рисунке 1.52 — для Учебник математики.

Учебник математики

97. Число е. Функция у = ех. Функция у = In х.

Среди показательных функций Учебник математики, где Учебник математики, особый интерес для математики и ее приложений представляет функция, обладающая следующим свойством: касательная к графику функции (см. п. 215) в точке (0; 1) образует с осью х угол 45° (рис. 1.53). Основание Учебник математики такой показательной функции принято обозначать буквой е. Подсчитано, что е = 2,7182818284590..., и установлено, что е — иррациональное число.

Логарифмическую функцию, обратную показательной функции Учебник математики, т. е. функцию Учебник математики,

Учебник математики

принято обозначать Учебник математики (Учебник математики читается «натуральный логарифм»). Графики функций Учебник математики и Учебник математики симметричны относительно прямой у = х (рис. 1.54).

98. Числовая окружность.

Пусть дана окружность радиуса 1. Поставим в соответствие каждому действительному числу t точку окружности по следующему правилу:

1)    если t = 0, то ему соответствует точка А — правый конец горизонтального диаметра;

2)    если t > 0, то, отправляясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длины t; конец этого пути и будет искомой точкой M(t) (рис. 1.55);

3)    если t < 0, то, отправляясь из точки А в направлении по часовой стрелке, опишем по окружности путь длины |t|; конец этого пути и будет искомой точкой M(t).

Учебник математики

Каждому действительному числу соответствует единственная точка окружности.

Единичную окружность с установленным соответствием называют числовой окружностью.

Если точка М соответствует числу t, то она соответствует любому числу вида Учебник математики — длина единичной окружности, а k — целое число Учебник математики, показывающее количество полных обходов окружности в положительном или отрицательном направлении.

На рисунках 1.56 и 1.57 представлены два основных макета числовой окружности.

Учебник математики

 

99. Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Поместим единичную числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат так, чтобы центр окружности совпал с началом координат (рис. 1.58).

Учебник математики

Если M(t) — точка числовой окружности, соответствующая числу t, то ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t; абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t; отношение Учебник математики, где Учебник математики, называют тангенсом числа t и обозначают tg t; отношение Учебник математики, где Учебник математики, называют котангенсом числа t и обозначают ctg t. Функции

Учебник математики

называют тригонометрическими функциями. На практике переходят к более привычным обозначениям у = sin х, у = cos х и т. д.

Основные значения тригонометрических функций приведены в таблице 1.

Учебник математики

100. Знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности.

Знаки тригонометрических функций по четвертям числовой окружности схематически представлены на рисунке 1.59.

Учебник математики

101.    Свойства тригонометрических функций.

1.    Функции sin t, tg t, ctg t — нечетные:

sin(-t) = - sin t;

tg(-t) = - tg t;

ctg(-t) = - ctg t.

2.    Функция cos t — четная:

cos (-t) = cos t.

3.    Функции sin t, cos t — периодические, Учебник математики — основной период:

Учебник математики

где k — любое целое число.

4.    Функции у = tg t, у = ctg t — периодические, Учебник математики — основной период:

Учебник математики

где k — любое целое число.

102.    Свойства и график функции у = sin х.

1)    Область определения — множество всех действительных чисел.

2)    Область значений — отрезок [-1; 1].

3)    Функция периодическая; основной период равен Учебник математики.

4)    Функция нечетная.

5)    Функция возрастает на промежутках Учебник математикиУчебник математики и убывает на промежутках Учебник математикиУчебник математики  (рис. 1.60).
Взяв контрольные точки (0; 0), Учебник математикиУчебник математики построим полуволну — график функции у = = sin х на отрезке Учебник математики (рис. 1.61). Так как функция у = sin х нечетная, то, выполнив симметрию построенного графика относительно начала координат, получим график функции на отрезке Учебник математики (рис. 1.62). Наконец, воспользовавшись периодичностью функции у = sin х, можно построить график на всей области определения (рис. 1.63).

Учебник математики

103. Свойства и график функции у = cos х.

1)    Область определения функции — множество всех действительных чисел.

2)    Область значений — отрезок [-1; 1].

3)    Функция периодическая с основным периодом Учебник математики.

4)    Функция четная.

5)    Функция убывает на промежутках Учебник математики и возрастает на промежутках Учебник математики

График функции y = cos x изображен на рисунке 1.64.

Учебник математики

104. Свойства в график функции у = tg х.

1)    Область определения: Учебник математики

2)    Область значений — вся числовая прямая.

3)    Функция периодическая с основным периодом Учебник математики.

4)    Функция нечетная.

5)    Функция возрастает на промежутках Учебник математикиУчебник математики

Выбрав несколько контрольных точек: (0; 0), Учебник математики — построим график функции у = tg х на промежутке Учебник математики(рис. 1.65).

Учебник математики

Воспользовавшись нечетностью функции у = tg х, построим график на интервале Учебник математики(рис.1.66). Наконец, воспользовавшись периодичностью функции у = tg х, построим график на всей области определения (рис. 1.67).

Учебник математики

105. Свойства и график функции у = ctg х.

1)    Область определения функции: Учебник математики

2)    Область значений функции — вся числовая прямая.

3)    Функция периодическая с основным периодом Учебник математики.

4)    Функция нечетная.

5)    Функция у = ctg х убывает на промежутках Учебник математики.

График функции у = ctg х изображен на рисунке 1.68.

Учебник математики

106*. Функция у = arcsin х.

Функция у = sin х возрастает на отрезке Учебник математики, принимает на нем все свои значения от -1 до 1 (см. рис. 1.63). Значит, для функции у = sin х, Учебник математики, существует обратная функция (см. п. 95). Эту функцию обозначают у = arcsin х (читается: «арксинус ж»).

График функции у = arcsin х может быть получен из графика функции у = sin х, Учебник математики, с помощью преобразования симметрии последнего относительно прямой у = х (рис. 1.69).

Учебник математики

Перечислим свойства функции у = arcsin х.
1) Область определения — отрезок [-1; 1].
2) Область значений — отрезок Учебник математики.
3) Функция нечетная: arcsin (-х) = -arcsin х.
4) Функция возрастающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arcsin х и х = sin у, Учебник математики, эквивалентны. Подставив в равенство х = sin у вместо у его выражение, т. е. arcsin х, получим х = sin (arcsin х). Следовательно, для любого х; из [-1; 1] имеем:

sin (arcsin х) = х; Учебник математики

Последние два соотношения позволяют истолковать arcsin Учебник математики, где Учебник математики, так: arcsin Учебник математикиэто число, взятое в пределах от  Учебник математики и такое, что его синус равен Учебник математики.

Пример: 

Вычислить: Учебник математики

Решение: 

а) По определению, Учебник математики  - это такое число, что Учебник математикиОтсюда следует, что Учебник математики. Таким образом,

Учебник математики

б) Рассуждая аналогично, получаем Учебник математики Но по свойству нечетности имеем Учебник математикиУчебник математики следовательно, arcsin Учебник математики

107*. Функция у = arccos х.

Функция у = cos х убывает на отрезке [0; Учебник математики], принимает на нем все значения от -1 до 1 (см. рис. 1.64). Значит, для функции у = cos х, Учебник математики, существует обратная функция (см. п. 95). Ее обозначают arccos х (читается: «арккосинус х»).

График функции у = arccos х получается из графика функции у = cos х, Учебник математики, с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х (рис. 1.70).

Учебник математики

Перечислим свойства функции у = arccos х.

1)    Область определения — отрезок [-1; 1].

2)    Область значений функции — отрезок Учебник математики.

3)    Функция не является ни четной, ни нечетной.

4)    Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arccos х и х = cos у, Учебник математики, эквивалентны. Подставив в равенство х = cos у вместо у выражение arccos х, получим cos (arccos х) = х. Следовательно, для любого х из промежутка [-1; 1] имеем:

cos (arccos х) = х; Учебник математики. Последние два соотношения позволяют истолковать Учебник математикиУчебник математики — это число, взятое в пределах от 0 до Учебник математики и такое, что его косинус равен Учебник математики. Отметим, что имеет место следующее тождество:

Учебник математики

В его справедливости можно убедиться с помощью графика функции у = arccos х (рис. 1.71).

Учебник математики

Пример: 

Вычислить: Учебник математики

Решение: 

а) По определению, Учебник математики - это такое число у, что Учебник математики и Учебник математики. Отсюда следует, что Учебник математики Таким образом, Учебник математики
б) По формуле (1) имеем Учебник математики

Значит, Учебник математики

108*. Функция у = arctg х.

Функция у = tg х возрастает на интервале Учебник математики принимает на нем все свои значения (см. рис. 1.67). Поэтому на указанном интервале для функции у = tg х существует обратная функция (см. п. 95). Ее обозначают у = arctg х (читается: «арктангенс х»).

График функции у = arctg х получается из графика функции у= tg х, Учебник математики с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х (рис. 1.72).

Учебник математики

Перечислим свойства функции у = arctg х.

1)    Область определения — множество всех действительных чисел.

2)    Область значений функции — интервал Учебник математики ;

3)    Функция нечетная: arctg (-х) = -arctg х.

4)    Функция возрастающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arctg х и х = tg у, Учебник математики , эквивалентны. Для любого х имеем:

Учебник математики

Последние соотношения позволяют истолковать arctg Учебник математики так: arctg Учебник математикиэто число, взятое в пределах от Учебник математики (исключая сами значения Учебник математики) и такое, что его тангенс равен Учебник математики.

Пример: 

Вычислить: a) arctg 1; б) arctg Учебник математики.

Решение: 

а) По определению, у = arctg 1 — это такое число, что tg у = 1 и Учебник математики . Отсюда следует, что Учебник математики . Таким образом, Учебник математики

б) Рассуждая аналогично, получаем Учебник математики

Но Учебник математики Значит, Учебник математикиУчебник математики

109*. Функция у = arcctg х.

Функция у = ctg х убывает на интервале Учебник математики, принимает на нем все свои значения (см. рис. 1.68). Следовательно, на этом интервале для функции у = ctg х существует обратная функция (см. п. 95). Ее обозначают у = arcctg х (читается: «арккотангенс х»).

График функции у = arcctg х получается из графика функции у = ctg х, Учебник математики, с помощью преобразования симметрии относительно прямой у = х (рис. 1.73).

Учебник математики

Перечислим свойства функции у = arcctg х.

1) Область определения — множество всех действительных чисел.

2) Область значений функции — интервал Учебник математики.

3) Функция не является ни четной, ни нечетной.

4) Функция убывающая.

Из сказанного выше следует, что записи у = arcctg х и х = ctg у, 0 < у < Учебник математики, эквивалентны. Для любого х имеем:

ctg (arcctg х) = х; 0 < arcctg х < Учебник математики.

Последние соотношения позволяют истолковать arcctg Учебник математики так: arcctg Учебник математикиэто число, взятое в пределах от 0 до Учебник математики(исключая сами значения 0 и Учебник математики) и такое, что его котангенс равен Учебник математики.

Имеет место тождество

arcctg (-х) = Учебник математики - arcctg х.    (1)

Пример: 

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Сначала вычислим Учебник математики Это такое число, что Учебник математики Значит, Учебник математики

По формуле (1) имеем Учебник математики

Значит, Учебник математики

 

 

§ 11. Преобразования графиков

 

110. Построение графика функции у = mf(x).

Задача 1.

Построить график функции у = mf(x), где m > 0, Учебник математики, если задан график функции у = f(x).

Решение: 

Ординаты точек графика функции у = mf(x) получаются умножением на Учебник математики соответствующих ординат точек графика функции у = f(x). Такое преобразование графика функции у = f(x) называют его растяжением от оси х с коэффициентом Учебник математики, если Учебник математики > 1, и сжатием к оси х, если 0 < Учебник математики < 1.

Задача 2.

Построить график функции у = - f(x), если задан график функции у = f(x).

Решение: 

При одном и том же значении х ординаты точек графика функции у = f(x) и графика функции у = - f(x) отличаются только знаком. Значит, график функции у = - f(x) можно получить из графика у = f(x) преобразованием симметрии последнего относительно оси х (рис. 1.74).

На рисунке 1.75 изображены графики функций Учебник математики

Задача 3.

Построить график функции у = mf(x), где m < 0, Учебник математики, если задан график функции у = f(x).

Решение: 

Так как Учебник математики, то график функции у = mf(x) может быть получен при помощи растяжения (сжатия) графика функции у = f(x) от оси х с коэффициентом |m| и последующим преобразованием симметрии относительно оси х (см. задачи 1 и 2).

Учебник математики

 

На рисунке 1.76 изображены графики функций Учебник математики, а на рисунке 1.77 — графики функций Учебник математики.

Учебник математики

111. Графики функций Учебник математики

Графиком функции Учебник математики является парабола. Чтобы построить график функции Учебник математики, нужно осуществить растяжение (сжатие) параболы Учебник математики от оси х с коэффициентом Учебник математики; при этом если Учебник математики, то график функции Учебник математики нужно еще подвергнуть преобразованию симметрии относительно оси х (см. п. 110).

На рисунке 1.78 изображены графики функции Учебник математики для Учебник математики, равного 1; -1; 3; Учебник математики . Все эти графики называют параболами. При Учебник математики > 0 ветви параболы, служащей графиком функции Учебник математики, направлены вверх, а при Учебник математики < 0 — вниз.

Аналогично, зная график функции Учебник математики , можно построить график функции вида Учебник математики. На рисунке 1.79 изображены эти графики для случаев Учебник математики, равного 1; -1; 3.

Учебник математики

112. Построение графика функции Учебник математикиУчебник математики 

Пусть известен график функции у = f(x), а построить нужно график функции Учебник математики

Положим Учебник математики Тогда формулу Учебник математикиУчебник математики или, что то же самое, Учебник математики, можно переписать в виде у' = f(x'). Таким образом, график функции Учебник математикиУчебник математики, построенный в координатной плоскости ху, совпадает с графиком функции у' = f(x'), построенным в координатной плоскости х'у'.

Формулы Учебник математики, или, что то же самое, Учебник математикиУчебник математики, задают параллельный перенос координатной плоскости ху в плоскости х'у'; при этом началом координат в плоскости х'у' служит точка Учебник математики плоскости ху.

Чтобы построить график функции Учебник математики, нужно:

1)    выполнить параллельный перенос плоскости, выбрав началом новой системы координат х'у' точку Учебник математики;

2)    в плоскости х'у' построить график функции у' = f(x').

Пример: 

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики.

Решение: 

1) Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат х'у' в точку О' (2; 4).

2) В плоскости х'у' построим график функции Учебник математикиУчебник математики. Это и есть требуемый график (рис. 1.80).

На рисунке 1.81, изображены графики функций у = f(x), у = f(x) -2, у = f(x) + 3, а на рисунке 1.82 — графики функций у = f(x), у = f(x - 2), у = f(x + 3).

Учебник математики

113. График квадратичной функции.

Квадратичной функцией называют функцию

Учебник математики,

где Учебник математики — любые действительные числа, причем Учебник математики. Для построения графика этой функции выполним следующие преобразования квадратного трехчлена Учебник математики:

Учебник математики

Итак, Учебник математики

Для построения графика функции Учебник математикиУчебник математики нужно (см. п. 112) выполнить параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат х'у' в точку О' Учебник математикиУчебник математики, и в плоскости х'у' построить параболу — график функцииУчебник математики. Прямая Учебник математики является осью симметрии параболы, служащей графиком квадратичной функции Учебник математики, а точка О' Учебник математикиУчебник математики — точка пересечения параболы с ее осью симметрии — является вершиной параболы.

Если Учебник математики > 0, то ветви параболы, служащей графиком функции Учебник математики, направлены вверх (рис. 1.83); в этом случае функция убывает на промежутке Учебник математики
и возрастает на промежутке Учебник математики Если Учебник математики < 0, то ветви параболы направлены вниз (рис. 1.84); в этом случае функция возрастает на промежутке Учебник математики и убывает на промежутке Учебник математики

Учебник математики

Пример: 

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики.

Решение: 

Имеем: Учебник математикиУчебник математики

Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат х'у' в точку О'(-4; -3), и построим в координатной плоскости х'у' параболу — график функции Учебник математики.

Это и есть график функции Учебник математики (рис. 1.85).

Учебник математики

114. Способы построения графика квадратичной функции.

Графиком функции Учебник математики, где Учебник математики, является парабола (см. п. 113). Для ее построения на практике используют три способа.

Способ 1-й.

Отыскание координат вершины параболы по формулам.

Учебник математики

Пример 1.

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики.

Решение: 

Здесь Учебник математики Значит,

Учебник математики

Итак, (1; -1) — вершина параболы. Для построения графика функции Учебник математикиУчебник математики надо знать координаты еще нескольких точек:

Учебник математики

Отметив вершину параболы, точки (0; 1), (2; 1), (3; 7) и точку (-1; 7), симметричную точке (3; 7) относительно прямой х = 1 — оси параболы, строим требуемый график (рис. 1.86). Заметим, что запоминать формулы координат вершины параболы не следует. Достаточно воспользоваться тем, что если Учебник математики — абсцисса вершины параболы, то в этой точке Учебник математики 0 (см. п. 217). Из уравнения Учебник математики0, находим Учебник математики -это абсцисса вершины параболы.

Учебник математики

Способ 2-й.

Построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена Учебник математики.

Пример 2.

Построить график функции Учебник математики

Решение: 

Найдем точки графика, имеющие ординату, равную свободному члену квадратного трехчлена, т. е. равную пяти. Для этого решим уравнение Учебник математики

Учебник математики

Мы нашли две точки графика: А(0;5) и В(4;5). Отметим их на координатной плоскости (рис. 1.87).

Учебник математики

Мы знаем, что графиком является парабола. Точки А и В лежат на этой параболе и имеют одинаковую ординату. Значит, точки A и В симметричны относительно оси симметрии параболы, а потому ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Так как абсцисса точки А равна нулю, а абсцисса точки В равна четырем, то уравнение оси параболы х = 2. Подставив значение х = 2 в формулу Учебник математики, получим у = 4- 8 + 5 = 1. Значит, вершина С параболы, т. е. единственная точка параболы, лежащая на ее оси симметрии, имеет координаты Учебник математики. Отметив на координатной плоскости точку С (2; 1), построим параболу, проходящую через три точки: А, В, С. Это и будет график функции Учебник математики (рис. 1.87). Для более точного построения можно найти координаты еще нескольких точек и построить их.

Способ 3-й.

Построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть Учебник математики — корни квадратного трехчлена Учебник математики (о решении уравнения Учебник математики см. п. 137). Тогда парабола, служащая графиком функции Учебник математики , пересекает ось абсцисс в точках Учебник математики, а ось симметрии параболы проходит перпендикулярно отрезку АВ через его середину. Зная абсциссу Учебник математики вершины С параболы (точка С лежит на оси симметрии параболы, поэтому Учебник математики) найдем по формуле Учебник математики ее ординату, а затем построим параболу по трем точкам: А, В, С.

Пример 3.

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Из уравнения Учебник математики находим Учебник математикиУчебник математики. Значит, мы знаем две точки искомой параболы: А(1; 0) и В(5; 0). Уравнение оси симметрии параболы таково: х = 3. Подставив значение 3 вместо х в формулу Учебник математикиУчебник математики находим у = 4. Значит, вершиной параболы служит точка С(3; 4). По трем точкам А, В и С строим параболу — график функции Учебник математикиУчебник математики (рис. 1.88).

Учебник математики

115. Построение графика функции у = f(kx).

Задача 1.

Построить график функции у = = f(kx), где k > 0, Учебник математики, если задан график функции У = f(x).

Решение: 

Ордината графика функции у = f(kx) в точке х равна ординате графика функции у = f(x) в точке kx. Это значит, что график функции у = f(kx) получается из графика функции у = f(x) сжатием с коэффициентом k к оси у (если 0 < k < 1, то фактически получается растяжение от оси у с коэффициентом Учебник математики)

На рисунке 1.89 изображены графики функций у = arccos х и у = arccos 2х, на рисунке 1.90 — графики функций Учебник математики

Учебник математики

Задача 2.

Зная график функции у = f(x), построить график функции у = f(-x).

Решение: 

Ордината графика функции у = f(-x) в точке х равна ординате графика функции у = f(x) в точке -х. Это значит, что график функции у = f(-х) может быть получен из графика функции у = f(х) преобразованием симметрии последнего относительно оси у.

На рисунке 1.91 изображены графики функций Учебник математики

Учебник математики

Задача 3.

Зная график функции у = f(х), построить график функции у = f(kx), где k < 0.

Решение: 

Имеем f(kx) = f(-|k| х). Поэтому график функции у = f(kx) может быть получен сжатием графика функции у = f(x) с коэффициентом Учебник математики к оси у и симметрией полученного графика Учебник математики относительно оси у.

На рисунке 1.92 изображены графики функций Учебник математики

116. Сжатие и растяжение графиков тригонометрических функций.

Здесь речь идет о построении графиков функций вида Учебник математикиУчебник математики

Вообще говоря, построение графика функции Учебник математикиУчебник математики осуществляется в три этапа:

1)    строят график функции у = sin х (см. п. 102);

2)    строят график функции у = sin kx (см. п. 115);

3)    строят график функции Учебник математикиУчебник математики (см. п. 110). Аналогично обстоит дело с другими тригонометрическими функциями.

На практике обычно при построении графика функции Учебник математики выполняют растяжение и сжатие для одной полуволны графика функции у = sin х (у = cos х), а затем строят весь график. При построении графика функции Учебник математикиУчебник математики выполняют растяжение и сжатие для одной ветви графика функции у = tg х (у = ctg х), а затем строят весь график.

Пример: 

Построить график функции у = -3 cos 2х.

Решение: 

Построим одну полуволну графика функции у = cos х. Осуществив ее сжатие к оси у с коэффициентом 2, получим график функции у = cos 2х. Теперь осуществим растяжение полученного графика от оси х с коэффициентом 3, а затем преобразование симметрии относительно оси х. В результате мы получим график функции у = -3 cos 2х.
На рисунке 1.93 показана одна полуволна графика, а на рисунке 1.94 — весь график.

Учебник математики

117. График гармонического колебания Учебник математикиУчебник математики

Тригонометрические функции используются для описания колебательных процессов. Один из наиболее важных процессов такого рода описывается формулой

Учебник математики

Эту формулу называют формулой гармонических или синусоидальных колебаний. Величину А называют амплитудой колебания, она характеризует размах колебания. Величину Учебник математики называют частотой колебания. Чем больше Учебник математики, тем больше число колебаний за единицу времени (число колебаний за единицу времени равно Учебник математики). Наконец, Учебник математики называют начальной фазой колебания

Если, например, груз, висящий на пружине, вывести из положения равновесия, то он начнет совершать вертикальные колебания. Закон движения выражается формулой (1), где у — отклонение груза от положения равновесия, а х — время. Тот же закон встречается в теории переменного электрического тока. При вращении прямоугольной рамки, сделанной из проводящего электрический ток материала, в магнитном поле по ней идет переменный ток. Если рамка вращается равномерно, сила тока меняется по закону гармонических колебаний (1).

Построим график функции Учебник математики Прежде всего преобразуем функцию к виду Учебник математикиУчебник математики . Построение графика этой функции выполним в несколько этапов.

1)    Осуществим параллельный перенос системы координат, поместив начало новой системы х'у' в точку Учебник математики.

2)    В системе х'у' построим график функции у' = sin х' (при этом можно ограничиться одной полуволной).

3)    Осуществив сжатие построенного графика к оси у' с коэффициентом со, получим график Учебник математики

4)    Осуществив растяжение последнего графика от оси х' с коэффициентом А, получим требуемый график.

Пример 1.

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики Построение графика выполним в несколько этапов.

1)    Осуществим параллельный перенос системы координат, выбрав началом новой системы точку О'Учебник математики. В системе х'у' нам нужно построить график функции Учебник математики

2)    Строим график функции у' = sin х'.

3)    Выполнив сжатие графика к оси у' с коэффициентом Учебник математики (т. е. растяжение с коэффициентом 3), получим график функции Учебник математики

4)    Осуществим растяжение последнего графика от оси х' с коэффициентом 2. Полученный график является графиком функции Учебник математики (рис. 1.95).

Учебник математики

На практике вместо сжатия, растяжения и параллельного переноса часто поступают иначе: отыскивают значения х, при которых заданная функция обращается в нуль, и значения, при которых она принимает наибольшее и наименьшее значения. Далее график строят по точкам.

Пример 2.

Построить график гармонического колебания Учебник математики

Решение: 

Решим сначала уравнение Учебник математикиУчебник математики Имеем (см. п. 154): Учебник математикиУчебник математики Дадим параметру k два значения: 0 и 1. При k = 0 имеем Учебник математики , при k = 1 имеем Учебник математики

Значит, точки Учебник математики служат концами одной полуволны искомой синусоиды. Далее, серединой отрезка Учебник математики является точка Учебник математики в которой функция Учебник математики принимает максимальное значение, равное трем. Значит, Учебник математики — точка максимума (см. п. 217). Отмечаем на координатной плоскости точки Учебник математики и строим полуволну искомого графика (рис. 1.96). После этого строим график заданного гармонического колебания (рис. 1.97).

Учебник математики

 

 

 

ГЛАВА IV

ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ

 

 

§ 12. Преобразование выражений, содержащих переменную под знаком логарифма

 

118.    Понятие трансцендентного выражения.

Трансцендентным выражением называют выражение, содержащее переменные под знаком трансцендентной функции, т. е. под знаком показательной, логарифмической, тригонометрических или обратных тригонометрических функций. Примеры трансцендентных выражений:

Учебник математики

119.    Определение логарифма положительного числа. Натуральные логарифмы.

Логарифмом положительного числа х по основанию Учебник математики называют показатель степени, в которую нужно возвести число Учебник математики, чтобы получить число х:

Учебник математики

Равенство Учебник математики означает, что Учебник математики. Например, Учебник математики Учебник математики

Учебник математикиУчебник математики

В записи Учебник математики число Учебник математики основание логарифма, х — логарифмируемое число.

Из определения логарифма вытекают следующие важные равенства:

Учебник математики

Первое следует из того, что Учебник математики, а второе — из того, что Учебник математики.

Вообще имеет место равенство Учебник математики

Если основание логарифма равно числу е (см. п. 97), то логарифм называют натуральным. Вместо записи Учебник математики Справедливы равенства:

Учебник математики

120. Свойства логарифмов.

1°. Если Учебник математики, то

Учебник математики

(логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей).

Например, Учебник математикиУчебник математики

2°. Если Учебник математики, то

Учебник математики

(логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя).

Например, Учебник математикиУчебник математики

Если Учебник математики, то написать

Учебник математики

нельзя, так как правая часть такого «равенства» не имеет смысла (логарифм отрицательного числа не существует). Здесь можно рассуждать так: Учебник математики — отрицательные числа, следовательно, Учебник математики. Но тогда Учебник математики Значит, Учебник математикиУчебник математики

Так как Учебник математики, то, применив свойство 1°, получим

Учебник математики

Итак, если Учебник математики, то

Учебник математики

и, аналогично

Учебник математики

3°. Если x > 0, то

Учебник математики

(логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания степени).

Например, Учебник математики

Учебник математики

Пример: 

Вычислить Учебник математики, если Учебник математики.

Решение:

Учебник математики

Справедливо следующее утверждение: если k — четное число, то Учебник математики для любого Учебник математики. Например, Учебник математики.

121. Переход к новому основанию логарифма.

Справедливы следующие два свойства, позволяющие перейти к новому основанию логарифма: 1°. Если х > 0, то

Учебник математики

(формула перехода к новому основанию).

Например, Учебник математики

Учебник математики

2°. Если х > 0, то

Учебник математики

Например, Учебник математики

Пример 1.

Вычислить Учебник математики Учебник математики

Решение: 

Перейдем в Учебник математики к основанию 2:

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Согласно свойству 2° основание логарифма и логарифмируемое число можно возвести в одну и ту же степень, при этом числовое значение выражения не изменится:

Учебник математики

122. Логарифмирование и потенцирование.

Если некоторое выражение А составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления и возведения в степень, то, используя свойства логарифмов, можно выразить Учебник математики через логарифмы входящих в выражение А чисел. Такое преобразование называют логарифмированием.

Пример 1.

Прологарифмировать по основанию 5 выражение Учебник математики, где Учебник математики — положительные числа.

Решение: 

Используя свойства логарифмов (см. п. 120), получим

Учебник математики

Часто приходится решать обратную задачу: находить выражение по его логарифму. Такое преобразование называют потенцированием.

Пример 2.

Найти х, если

Учебник математики

Решение:

Учебник математики

Учебник математики

Из равенства Учебник математики находим, что Учебник математики

123. Десятичный логарифм. Характеристика и мантисса десятичного логарифма.

Если основание логарифма равно 10, то логарифм называют десятичным. Вместо записи Учебник математики принята запись lg х. На рисунках 1.98 и 1.99 изображены графики функций Учебник математики

Учебник математики

В частности, для десятичных логарифмов справедливы равенства:

Учебник математики

Пусть положительное число Учебник математики представлено в стандартном виде (см. п. 34) Учебник математикиУчебник математики — порядок числа Учебник математики). Прологарифмируем число Учебник математики по основанию 10, воспользовавшись свойствами логарифма (см. п. 120):

Учебник математики

Поскольку Учебник математики т. e. Учебник математики Поэтому из равенства (1) следует, что Учебник математики есть наибольшее целое числа, не превосходящее число Учебник математики. Значит, Учебник математики есть целая часть числа Учебник математики, т. е. Учебник математики (см. п. 31). Слагаемое Учебник математики есть дробная часть числа Учебник математики, т. е. Учебник математики (см. п. 31). Целую часть числа Учебник математики, т. е. порядок числа Учебник математики, называют характеристикой Учебник математики, а дробную часть числа Учебник математикиего мантиссой.

Имеет место следующее утверждение: если число Учебник математики > 0 умножить на Учебник математики, где k — целое число, то мантисса логарифма не изменится; иными словами, Учебник математики и Учебник математики имеют одинаковые мантиссы.

В самом деле, имеем

Учебник математики

Мантиссой числа Учебник математики является Учебник математики, т. е. то же число, которое служит мантиссой для Учебник математики.

 

 

§ 13. Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений

 

124.    Тригонометрические выражения.

Выражение, в котором переменная содержится под знаками тригонометрических функций, называют тригонометрическим. Для преобразования тригонометрических выражений используют свойства тригонометрических функций, отмеченные в пп. 100—105, и формулы тригонометрии, указанные ниже в пп. 125—131.

125.    Формулы сложения и вычитания аргументов. 

Учебник математики

Формулы (1)—(4) справедливы для любых Учебник математики Формула (5) верна при Учебник математики отличных от Учебник математики Формула (6) верна при Учебник математики отличных от Учебник математики

Пример 1.

Вычислить sin 75°.

Решение: 

Имеем sin 75° = sin (30° + 45°). Воспользовавшись формулой (3) при Учебник математики получим 

sin (30° + 45°) = sin 30° cos 45° + cos 30° sin 45°.

Известно, что Учебник математики Учебник математики (см. п. 99). Значит, Учебник математикиУчебник математики

Итак, Учебник математики

Пример 2.

Упростить выражение Учебник математики

Решение: 

Воспользуемся для Учебник математики и Учебник математики формулами (3) и (1) и учтем, что Учебник математикиУчебник математики

Учебник математики

Пример 3.

Вычислить cos 15°.

Решение: 

Имеем 15° = 45° - 30°. Воспользовавшись формулой (2) при Учебник математики получим

cos 15° = cos (45° - 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =

Учебник математики

Пример 4.

Найти Учебник математики, если Учебник математики.

Решение: 

Воспользуемся формулой (5) и учтем, что Учебник математики:

Учебник математики

126. Формулы приведения.

Под формулами приведения понимают обычно формулы, сводящие значение тригонометрической функции аргумента вида Учебник математики к функции аргумента Учебник математики

Пусть, например, нужно вычислить Учебник математики

Имеем:

Учебник математики

Аналогично,

Учебник математики

Подобным же образом выводятся и остальные формулы приведения. Эти формулы даны в следующей таблице:

Учебник математики

127. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Если в формуле (2) из п. 125 положить Учебник математики, то получим

Учебник математики

откуда, в свою очередь, находим, что

Учебник математики

Тождество (2) справедливо при Учебник математики а тождество (3) — при Учебник математики

Равенства (1), (2), (3) связывают между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента. Известны еще два равенства, связывающие между собой различные тригонометрические функции одного и того же аргумента:

Учебник математики

Перемножая эти равенства, получаем равенство

Учебник математики

справедливое при Учебник математики

Пример 1.

Известно, что Учебник математики, причем Учебник математикиУчебник математики Найти cos t, tg t, ctg t.

Решение: 

Из формулы (1) получаем Учебник математикиУчебник математики. Подставив вместо sin t его значение, получим

Учебник математики

Итак, Учебник математики; значит, либо Учебник математикиУчебник математики

По условию, Учебник математики, т. е. аргумент t принадлежит III четверти. Но в III четверти косинус отрицателен; значит, из двух указанных выше возможностей выбираем одну: Учебник математики

Зная sin t и cos t, находим tg t и ctg t:

Учебник математики

Пример 2.

Известно, что Учебник математики, причем Учебник математики. Найти sin t, cos t, tg t.

Peшeние: 

Из формулы (3) находим Учебник математикиУчебник математики

Подставив вместо ctg t его значение, получим

Учебник математики

Итак, Учебник математики. Значит, либо Учебник математики, либо Учебник математики По условию, Учебник математики Значит, t принадлежит II четверти, а во II четверти синус положителен. Поэтому из двух указанных возможностей выбираем одну: Учебник математики

Для отыскания значения cos t воспользуемся определением котангенса: Учебник математики. Из этого равенства находим

Учебник математики

Осталось вычислить значение tg t. Из равенства Учебник математики находим, что Учебник математики. Итак,

Учебник математики

128. Формулы двойного аргумента.

Если в формулах (3), (1), (5) из п. 125 положить Учебник математики то получим следующие тождества:

Учебник математики

С помощью формул (1), (2) и (3) можно выразить синус, косинус, тангенс любого (допустимого) аргумента через тригонометрические функции вдвое меньшего аргумента. Например, справедливы следующие равенства:

Учебник математики

В ряде случаев полезным оказывается использование полученных формул «справа налево», т. е. замена выражения 2 sin t cos t выражением sin 2t (или выражения sin t cos t — выражением Учебник математики, выражения Учебник математики — выражением cos 2t и, наконец, выражения Учебник математики    — выражением tg 2t.

Пример: 

Упростить выражение tg t - ctg t.

Решение:

Учебник математикиУчебник математики

129. Формулы понижения степени.

Зная, что Учебник математики (см. n. 128), находим, что

Учебник математики

Формулы (1) и (2) называют формулами понижения степени. Они позволяют преобразовывать Учебник математики и Учебник математики в выражения, содержащие первую степень косинуса двойного аргумента. Например, используя формулы (1) и (2), можем получить следующие равенства:

Учебник математики

Формулы (1) и (2) используют и «справа налево» для преобразования сумм 1 + cos 2t, 1 - cos 2t в произведения. Например, верны следующие равенства:

Учебник математики

Пример 1.

Доказать тождество Учебник математики

Решение: 

Знаменатель правой части преобразуем по формуле (1), а числитель — по формуле синуса двойного аргумента (см. п. 128). Получим

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики, если известно, что Учебник математики.

Решение: 

Воспользовавшись тем, что Учебник математикиУчебник математики, применим формулы понижения степени. Получим

Учебник математики

130. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение.

Учебник математики

Пример 1.

Преобразовать в произведение cos 48° - cos 12°.

Решение: 

Применив формулу разности косинусов при Учебник математики, получим

Учебник математики

Так как Учебник математики , то окончательно получим

cos 48° - cos 12° = - sin 18°.

Пример 2.

Преобразовать в произведение

sin х + cos 2х - sin Зх.

Решение:

Учебник математики

131. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму.

Учебник математики

Пример: 

Преобразовать в сумму произведение sin 43° cos 19°.

Решение: 

Воспользовавшись формулой (1) при Учебник математики, получим

Учебник математики

132*. Преобразование выражения Учебник математики к виду Учебник математики.

Любое выражение вида Учебник математики можно представить в виде Учебник математики.

Для этого вынесем за скобки выражение Учебник математики: Учебник математики

Ho Учебник математики. Это значит, что точка с координатами Учебник математики удовлетворяет уравнению Учебник математики, т. е. лежит на числовой окружности; поэтому существует такое Учебник математики, что

Учебник математики

Обозначив для краткости Учебник математики через А, получаем

Учебник математики

Применив к выражению в скобках формулу (2) из п. 125, получим

Учебник математики

Числа Учебник математики связаны друг с другом соотношениями:

Учебник математики

Например, Учебник математики где Учебник математики

133*. Примеры преобразований выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Пример 1.

Упростить выражение cos (arcsin х), где Учебник математики.

Решение: 

Положим arcsin х = у. Тогда sin у = х, Учебник математики. Нужно найти cos у.

Известно, что Учебник математики значит, Учебник математикиУчебник математики Но Учебник математики, а на отрезке Учебник математики косинус принимает лишь неотрицательные значения. Поэтому Учебник математики т.е. Учебник математикиУчебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики.

Решение: 

Положим Учебник математики. Тогда Учебник математики

Нужно вычислить Учебник математики

Имеем Учебник математики ; значит,Учебник математикиУчебник математики 

Так как, далее, Учебник математикиУчебник математики 

откудаУчебник математики

По условию, Учебник математики значит, Учебник математики а в интервале Учебник математики имеем Учебник математики Итак, Учебник математики т. е. Учебник математики

Пример 3.

Доказать, что для любого х из [- 1; 1] справедливо тождество

Учебник математики

Решение: 

Вычислим значения синуса левой и правой частей проверяемого равенства:

Учебник математики

Синусы, как мы видим, равны, поэтому, чтобы убедиться в справедливости равенства (1), осталось показать, что Учебник математики принадлежат одно-му и тому же промежутку монотонности функции у = sin х (без проверки этого условия можно получить неверный результат, ведь тригонометрические функции могут принимать одинаковые значения и для различных значении аргумента, например Учебник математики)

Имеем Учебник математики Далее, Учебник математикиа поэтому Учебник математики Итак, arcsin х и Учебник математики принадлежат одному промежутку монотонности Учебник математики функции у = sin х. Теперь можно считать, что тождество (1) доказано. Аналогично можно доказать, что

Учебник математики

 

 

ГЛАВА V

УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ

 

 

 

§ 14. Уравнения с одной переменной

 

134.    Определение уравнения. Корни уравнения.

Равенство с переменной f(x) = g (х) называют уравнением с одной переменной х, если поставлена задача найти все те же значения х, при которых равенство с переменной обращается в верное числовое равенство. Всякое значение переменной, при котором выражения /(х) и g(x) принимают равные числовые значения, называют корнем уравнения.

Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Пример 1.

Уравнение 3 + х = 7 имеет единственный корень 4, так как при этом и только при этом значении переменной равенство 3 + х = 7 является верным.

Пример 2.

Уравнение (х - 1)(х - 2) = 0 имеет два корня: 1 и 2.

Пример 3.

Уравнение Учебник математики не имеет действительных корней.

Заметим, что можно говорить и о мнимых корнях уравнений. Так, уравнение Учебник математики имеет два мнимых корня: Учебник математики (см. п. 47). Всюду ниже речь идет только о действительных корнях уравнений.

135.    Равносильность уравнений.

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными. Равносильными считаются и уравнения, каждое из которых не имеет корней.

Например, уравнения х + 2 = 5 и х + 5 = 8 равносильны, так как каждое из них имеет единственный корень — число 3. Равносильны и уравнения Учебник математики — ни одно из них не имеет корней.

Уравнения Учебник математики неравносильны, так как первое имеет только один корень 6, тогда как второе имеет два корня: 6 и - 6.

В процессе решения уравнения его стараются заменить более простым, но равносильным данному. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в равносильное ему уравнение.

Теорема 1.

Если в уравнении какое-нибудь слагаемое перенести из одной части в другую, изменив его знак, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Учебник математики равносильно уравнению Учебник математики

Теорема 2.

Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.

Например, уравнение Учебник математики равносильно уравнению Учебник математики (обе части первого уравнения мы умножили на 3).

136. Линейные уравнения.

Линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

Учебник математики

где Учебник математики — действительные числа; Учебник математики называют коэффициентом при переменной, Учебник математикисвободным членом.

Для линейного уравнения Учебник математики могут представиться три случая:

1)    Учебник математики; в этом случае корень уравнения равен Учебник математики;

2)    Учебник математики; в этом случае уравнение принимает вид Учебник математики, что верно при любом х, т. е. корнем уравнения служит любое действительное число;

3)    Учебник математики; в этом случае уравнение принимает вид Учебник математики, оно не имеет корней.

Многие уравнения в результате преобразований сводятся к линейным.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

По теореме 1 (см. п. 135), данное уравнение равносильно уравнению Учебник математики . Если разделить обе части этого уравнения на коэффициент при х, то по теореме 2 получим равносильное данному уравнение Учебник математики. Итак, Учебник математики — корень уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Это уравнение сводится к линейному уравнению. Умножив обе части уравнения на 12 (наименьшее общее кратное знаменателей 3, 4, 6,12), получим

Учебник математики

и далее

Учебник математики

137. Квадратные уравнения.

Уравнение вида

Учебник математики

где Учебник математики — действительные числа, причем Учебник математики, называют квадратным уравнением. Если Учебник математики, то квадратное уравнение называют приведенным, если Учебник математики, то неприведенным. Коэффициенты Учебник математики имеют следующие названия: Учебник математикипервый коэффициент, Учебник математикивторой коэффициент, с — свободный член. Корни уравнения Учебник математики находят по формуле

Учебник математики

Выражение Учебник математики называют дискриминантом квадратного уравнения (1). Если D < 0, то уравнение (1) не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > О, то уравнение имеет два действительных корня.

В случае, когда D = О, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

Используя обозначение Учебник математики, можно переписать формулу (2) в виде Учебник математикиЕсли Учебник математики, то формулу (2) можно упростить:

Учебник математики

 

Итак,

Учебник математики

Формула (3) особенно удобна, если Учебник математики — целое число, т. е. коэффициент Учебник математики — четное число.

Пример 1.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Здесь Учебник математики. Имеем:

Учебник математики

Так как Учебник математики, то уравнение имеет два корня, которые найдем по формуле (2):

Учебник математики

Итак, Учебник математикиУчебник математики — корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Здесь Учебник математики По формуле (3) находим Учебник математики т. е. х = 3 — единственный корень уравнения.

Пример 3.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Здесь Учебник математикиУчебник математикиТак как D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.

138.    Неполные квадратные уравнения.

Если в квадратном уравнении Учебник математики второй коэффициент Учебник математики или свободный член с равен нулю, то квадратное уравнение называют неполным. Неполные уравнения выделяют потому, что для отыскания их корней можно не пользоваться формулой корней квадратного уравнения — проще решить уравнение методом разложения его левой части на множители.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Имеем х(2х — 5) = 0. Значит, либо х = 0, либо 2х - 5 = 0, т. е. х = 2,5.

Итак, уравнение имеет два корня: 0 и 2,5.

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Разделив обе части уравнения на 3, получим Учебник математики

Значит, либо Учебник математики, откуда Учебник математики , либо Учебник математикиУчебник математики откуда Учебник математики.

Итак, уравнение имеет два корня: Учебник математики

Пример 3.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математики при любых х, то уравнение Учебник математики не имеет корней.

139.    Теорема Виета.

Теорема 3.

Если приведенное квадратное уравнение

Учебник математики

имеет действительные корни, то их сумма равна -р, а произведение равно q, т. е.

Учебник математики

(сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену).

Выведем еще некоторые соотношения между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения

Учебник математики

Найдем сумму квадратов корней:

Учебник математики

Воспользовавшись формулами (1), получим

Учебник математики

Найдем сумму кубов корней:

Учебник математики

Воспользовавшись формулами (1) и (2), получим

Учебник математики

Справедлива теорема, обратная теореме Виета.

Теорема 4.

Если числа Учебник математики таковы, что Учебник математикиУчебник математики — корни квадратного уравнения Учебник математики.

Эта теорема позволяет в ряде случаев находить корни квадратного уравнения без использования формулы корней.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики.

Решение: 

Попробуем найти два числа Учебник математики такие, что

Учебник математики

Такими числами являются 2 и 7. По теореме 4, они и служат корнями заданного квадратного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Попробуем найти такие два числа Учебник математики, чтобы выполнялись равенства

Учебник математики

Такими числами будут -7 и 4. Они и являются корнями заданного уравнения.

140. Системы и совокупности уравнений.

Рассмотрим уравнение

Учебник математики

Ясно, что Учебник математики, а сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю.

Поэтому сначала надо решить уравнения Учебник математики и Учебник математики, а затем найти их общие корни. Корнями уравнения Учебник математики служат числа 1 и -1, а корнями уравнения Учебник математики — числа 1 и 2. Общим является число 1 — это корень исходного уравнения.

В том случае, когда нужно найти значения переменной, удовлетворяющие обоим заданным уравнениям, говорят, что задана система уравнений. Для обозначения системы используют фигурную скобку:

Учебник математики

Рассмотрим теперь уравнение Учебник математики Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел равно нулю.

Поэтому сначала надо решить уравнения Учебник математики и Учебник математики, а затем объединить их корни. Корнями первого уравнения являются числа 1 и -1, а корнями второго — числа 2 и -2. Значит, 1, -1, 2, -2 — корни исходного уравнения.

Несколько уравнений с одной переменной образуют совокупность уравнений, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является корнем хотя бы одного из данных уравнений. Для обозначения совокупности иногда используют квадратную скобку:

Учебник математики

141. Уравнения, содержащие переменную под знаком модуля.

Пример 1.

Решить уравнение |3х - 5| = 2.

Решение:

 Если Учебник математики, то либо Учебник математики, либо Учебник математики. Это значит, что заданное уравнение равносильно совокупности двух уравнений: Учебник математики Из уравнения Зх - 5 = 2 находим Учебник математики; из уравнения -(Зх - 5) = 2 находим Учебник математики.

Итак, уравнение имеет два корня. Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение |2х - 8| = Зх + 1.

Решение: 

Способ 1-й. Если Учебник математики, то |2х - 8| = 2х - 8 и данное уравнение примет вид 2х - 8 = Зх + 1. Это можно записать так:

Учебник математики

Из уравнения 2х - 8 = Зх + 1 находим х = -9. Однако при этом значении переменной неравенство Учебник математики не выполняется; значит, найденное значение не может быть корнем данного уравнения.

Если 2х - 8 < 0, то |2х - 8| = -(2х - 8) и данное уравнение примет вид 8 - 2х = Зх + 1. Это можно записать так:

Учебник математики

Из уравнения 8 - 2х = Зх + 1 находим Учебник математики. Неравенство Учебник математики верно; значит, Учебник математики — корень данного уравнения.

Способ 2-й. Так как Зх + 1 = |2х - 8|, должно выполняться условие Учебник математики. Так как уравнение Учебник математики, сводится к совокупности уравнений Учебник математики, то получаем

2x - 8 = 3x + 1; 2х - 8 = - (Зх + 1).

Из первого уравнения находим х = -9 , из второго Учебник математики . Из найденных двух значений неравенству Учебник математики удовлетворяет второе значение и не удовлетворяет первое. Значит, Учебник математики — единственный корень уравнения.

Уравнение вида Учебник математики можно решать геометрически (см. п. 26).

142. Понятие следствия уравнения. Посторонние корни.

Пусть даны два уравнения:

Учебник математики

Если каждый корень уравнения (1) является одновременно и корнем уравнения (2), то уравнение (2) называют следствием уравнения (1). Равносильность уравнений означает, что каждое из уравнений является следствием другого.

В процессе решения уравнения часто приходится применять такие преобразования, которые приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но кроме них уравне-ние-следствие может иметь и такие решения, которые не являются корнями исходного уравнения; это так называемые посторонние корни. Чтобы выявить и отсеять посторонние корни, обычно поступают так: все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение.

Если при решении уравнения мы заменили его уравнением-следствием, то указанная выше проверка является неотъемлемой частью решения уравнения. Поэтому важно знать, при каких преобразованиях данное уравнение переходит в уравнение-следствие.

Рассмотрим уравнение

f(x) = g(x)    (3)

и умножим обе его части на одно и то же выражение h(x), имеющее смысл при всех значениях х. Получим уравнение

Учебник математики

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни уравнения h(x) = 0. Значит, уравнение (4) есть следствие уравнения (3). Ясно, что уравнения (3) и (4) равносильны, если «постороннее» уравнение h(x) = 0 не имеет корней.

Итак, если обе части уравнения умножить на выражение h(x), имеющее смысл при любых значениях х, то получится уравнение, являющееся следствием исходного. Полученное уравнение будет равносильно исходному, если уравнение h(x) = 0 не имеет корней. Заметим, что обратное преобразование, т. е. переход от уравнения (4) к уравнению (3) путем деления обеих частей уравнения (4) на выражение h(x), как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней (в этом случае могут «потеряться» корни уравнения h(x) = 0). Например, уравнение (х - 2)(х - 3) = 2(х - 3) имеет два корня: 3 и 4. Деление же обеих частей уравнения на х - 3 приводит к уравнению х - 2 = 2, имеющему только один корень 4; произошла потеря корня.

Снова возьмем уравнение (3) и возведем обе его части в квадрат. Получим уравнение

Учебник математики

корнями которого служат как корни уравнения (3), так и корни «постороннего» уравнения f(x) = -g(x); уравнение (5) — следствие уравнения (3).

Например, уравнение х - 1 = 3 имеет корень 4. Если обе части уравнения х - 1 = 3 возвести в квадрат, то получится уравнение Учебник математики, имеющее два корня: 4 и - 2. Значит, уравнение Учебник математики — следствие уравнения х - 1 = 3. При переходе от уравнения х - 1 = 3 к уравнению Учебник математики появился посторонний корень х = -2.

Итак, при возведении обеих частей уравнения в квадрат (и вообще в любую четную степень) получается уравнение, являющееся следствием исходного. Значит, при указанном преобразовании возможно появление посторонних корней. Заметим, что возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень приводит к уравнению, равносильному данному.

143. Уравнения с переменной в знаменателе.

Рассмотрим уравнение вида

Учебник математики

Решение уравнения (1) основано на следующем утверждении: дробь Учебник математики равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля (на 0 делить нельзя!). Записывают это так:

Учебник математики

В соответствии со сказанным, решение уравнения Учебник математики проводится в два этапа: сначала нужно решить уравнение р(х) = 0, а затем для каждого его корня выяснить, обращается ли при найденном значении переменной х знаменатель q(x) в нуль. Если Учебник математикиУчебник математики, то найденный корень уравнения р(х) = 0 является и корнем уравнения (1); если q(x) = 0, то полученный корень уравнения р(х) = 0 не является корнем уравнения (1).

Таким образом, уравнение р(х) = 0 является следствием (см. п. 142) уравнения Учебник математики. При переходе от уравнения Учебник математики к уравнению р(х) = 0 (освобождение от знаменателя) могут появиться посторонние корни. Отсеять их можно с помощью условия Учебник математикиУчебник математики (или с помощью непосредственной подстановки каждого корня уравнения р(х) = 0 в уравнение (1)).

Пример: 

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Из уравнения Зх - 6 = 0 находим х = 2. Так как при х = 2 знаменатель Учебник математики обращается в нуль, х = 2 — посторонний корень, а потому заданное уравнение не имеет корней.

144. Область определения уравнения (ОДЗ).

Областью определения уравнения f(x) = g(x) называют множество всех тех значений переменной х, при которых выражения f(x) и g(x) имеют смысл (одновременно).

Пример 1.

Найти область определения уравнения:

Учебник математики

Решение: 

а) Выражения Учебник математики и 1 + 2х определены при всех х. Значит, область определения уравнения — вся числовая прямая.

б)    Выражение Учебник математики не определено при х = 1, а выражение Учебник математики не определено при х = 2. Значит, область определения уравнения можно задать условиями Учебник математики

в)    Корень четной степени имеет смысл лишь при неотрицательных значениях подкоренного выражения. Значит, одновременно должны выполняться условия    Учебник математики Все эти неравенства справедливы при Учебник математики — область определения уравнения.

г)    Логарифм имеет смысл лишь при положительных значениях логарифмируемого выражения. Значит, должны одновременно выполняться два неравенства: х - 3 > 0, откуда х>3, и 5 - х > 0, откуда х < 5. Итак, (3; 5) — область определения уравнения.

Вместо термина «область определения уравнения» часто используют термин «область допустимых значений переменной» (ОДЗ).

Ясно, что корни уравнения f(x) = g(х) должны принадлежать его области определения (его ОДЗ). Но иногда бывает так, что в процессе преобразований уравнения его область определения меняется (чаще всего она расширяется) и из найденных значений переменной одни принадлежат области определения уравнения f(x) = g(х), а другие не принадлежат. Тогда первые являются корнями уравнения, а вторые — нет (это посторонние корни).

Так, при решении уравнения Учебник математики

(см. п. 143), область определения которого задается условием Учебник математики, мы перешли к уравнению Зх - 6 = 0, областью определения которого является вся числовая прямая (область определения расширилась). Уравнение Зх - 6 = 0 имеет корень х = 2, который не принадлежит области определения исходного уравнения и, следовательно, является посторонним корнем.

Общий вывод таков: если в процессе преобразований уравнения его область определения расширилась, то могут появиться посторонние корни. Поэтому все найденные значения переменной надо проверить подстановкой в исходное уравнение или с помощью области определения (ОДЗ) исходного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

lg (х - 5) = lg (2х - 9).    (1)

Решение: 

Если Учебник математики, то, в силу монотонности логарифмической функции, Учебник математики (если Учебник математики, например Учебник математики, то и Учебник математики, а именно Учебник математики). Значит, от заданного уравнения можно перейти к уравнению

Учебник математики

откуда находим х = 4. Но при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) область определения расширилась: в уравнении (1) она задается неравенством х > 5, тогда как для уравнения (2) областью определения служит вся числовая прямая. Поэтому найденное значение х = 4, являющееся корнем уравнения (2), может оказаться посторонним корнем для уравнения (1). В данном случае именно это и происходит, поскольку х = 4 не принадлежит области определения уравнения (1) (не удовлетворяет неравенству х > 5). Итак, х = 4 — посторонний корень, т. е. заданное уравнение не имеет корней.

145. Рациональные уравнения.

Уравнение f(x) = g(x) называют рациональным, если f(x) и g(x) — рациональные вьфажения. При этом если f(x) и g(x) — целые выражения, то уравнение называют целым; если же хотя бы одно из выражений f(х), g(x) является дробным, то рациональное уравнение f(x) = g(x) называют дробным.

Например, целыми являются линейные (см. п. 136), квадратные (см. п. 137) уравнения.

Чтобы решить рациональное уравнение, нужно:

1)    найти общий знаменатель всех имеющихся дробей;

2)    заменить данное уравнение целым, умножив обе его части на общий знаменатель;

3)    решить полученное целое уравнение;

4)    исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель.

Пример: 

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Общим знаменателем имеющихся дробей является 2х(2 - х). Найдя дополнительные множители для каждой дроби, освободимся от знаменателей. Имеем:

Учебник математики

Из уравнения Учебник математики находим Учебник математики (см. п. 137). Осталось проверить, обращают ли найденные корни выражение 2х(2 - х) в нуль, т. е. проверить выполнение условия Учебник математики Замечаем, что 2 не удовлетворяет этому условию, а 4 удовлетворяет. Значит, х = 4 — единственный корень уравнения.

146. Решение уравнения р(х) = 0 методом разложения его левой части на множители.

Суть этого метода состоит в следующем. Пусть нужно решить уравнение р(х) = 0, где р(х) — многочлен степени Учебник математики. Предположим, что удалось разложить многочлен на множители:Учебник математики, где Учебник математики — многочлены более низкой степени, чем Учебник математики. Тогда уравнение р(х) = 0 принимает вид Учебник математики. Если Учебник математики — корень уравнения Учебник математики а потому хотя бы одно из чисел Учебник математики равно нулю.

Значит, Учебник математики — корень хотя бы одного из уравнений

Учебник математики

Верно и обратное: если Учебник математики — корень хотя бы одного из уравнений Учебник математики то Учебник математики — корень уравнения Учебник математики т. е. уравнения р (х) = 0.

Итак, если Учебник математики, где Учебник математики— многочлены, то вместо уравнения р(х) = 0 нужно решить совокупность уравнений Учебник математикиУчебник математики Все найденные корни этих уравнений, и только они, будут корнями уравнения р(х) = 0.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Разложим на множители левую часть уравнения. Имеем Учебник математикиоткуда Учебник математики

Значит, либо х + 2 = 0, либо Учебник математики. Из первого уравнения находим х = - 2, второе уравнение не имеет корней. Итак, получили ответ: -2.

Метод разложения на множители применим к любым уравнениям вида р(х) = 0, где р(х) необязательно многочлен. Пусть Учебник математики но среди выражений Учебник математики есть выражения более сложного вида, чем многочлены (например, иррациональные, логарифмические и т. д.). Среди корней уравнений Учебник математикиУчебник математики могут быть посторонние для уравнения р(х) = 0.

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики; значит, либо Учебник математики, либо Учебник математики.Из уравнения Учебник математики находим х = 0, из уравнения Учебник математики находим Учебник математики.

Но х = -3 не удовлетворяет исходному уравнению, так как при этом значении не определено выражение Учебник математики . Это посторонний корень.

Итак, уравнение имеет два корня: 3; 0.

147. Решение уравнений методом введения новой переменной.

Суть этого метода поясним на примерах.

Пример 1.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Положив Учебник математики, получим уравнение

Учебник математики

откуда находим Учебник математики. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Учебник математики

Первое квадратное уравнение не имеет действительных корней, так как его дискриминант отрицателен.

Из второго квадратного уравнения находим Учебник математикиУчебник математики. Это корни заданного уравнения.

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Положим Учебник математики, тогда

Учебник математики

и уравнение примет вид

Учебник математики

Решив это уравнение (см. п. 145), получим

Учебник математики

Но Учебник математики. Значит, нам остается решить совокупность уравнений

Учебник математики

Из первого уравнения находим Учебник математикиУчебник математики; из второго уравнения получаем Учебник математики Учебник математики Тем самым найдены четыре корня заданного уравнения.

148. Биквадратные уравнения.

Биквадратным уравнением называют уравнение вида

Учебник математики

Биквадратное уравнение решается методом введения новой переменной: положив Учебник математики, придем к квадратному уравнению Учебник математики

Пример: 

Решить уравнение Учебник математики.

Решение: 

Положив Учебник математики, получим квадратное уравнение Учебник математики, откуда находим Учебник математикиУчебник математики. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Учебник математики Первое уравнение не имеет действительных корней, из второго находим Учебник математики Это — корни заданного биквадратного уравнения.

149. Решение задач с помощью составления уравнений.

С помощью уравнений решаются многочисленные задачи, к которым приводят самые разнообразные вопросы физики, механики, экономики и т. д. Прежде всего напомним общий порядок решения задач с помощью уравнений.

1)    Вводят переменные, т. е. буквами х, у, z обозначают неизвестные величины, которые либо требуется найти в задаче, либо они необходимы для отыскания искомых величин.

2)    С помощью введенных переменных и данных в задаче чисел и их соотношений составляют систему уравнений (или одно уравнение).

3)    Решают составленную систему уравнений (или уравнение) и из полученных решений отбирают те, которые подходят по смыслу задачи.

4)    Если буквами х, у, z обозначили не искомые величины, то с помощью полученных решений находят ответ на вопрос задачи.

Задача 1.

Для перевозки 60 т груза из одного места в другое затребовали некоторое количество машин. Ввиду неисправности дороги на каждую машину пришлось грузить на 0,5 т меньше, чем предполагалось, поэтому дополнительно потребовались 4 машины. Какое количество машин было затребовано первоначально?

Решение: Обозначим через х количество машин, затребованных первоначально. Тогда на самом деле было вызвано (х + 4) машин. Так как надо было перевезти 60 т груза, то предполагалось, что на одну машину будут грузить Учебник математики т груза, а на самом деле грузили Учебник математики т груза, что на 0,5 т меньше, чем предполагалось. В результате мы приходим к уравнению

Учебник математики

Это уравнение имеет два корня: х = -24, х = 20. Ясно, что по смыслу задачи значение х = —24 не подходит. Таким образом, первоначально было затребовано 20 машин.

Задача 2.

Моторная лодка, движущаяся со скоростью 20 км/ч, прошла расстояние между двумя пунктами по реке туда и обратно без остановок за 6 ч 15 мин. Расстояние между пунктами равно 60 км. Найти скорость течения реки.

Решение: 

Пусть х км/ч — скорость течения реки. Тогда лодка, собственная скорость которой 20 км/ч, идет по течению со скоростью (20 + х) км/ч, а против течения — со скоростью (20 - х) км/ч. Время, за которое лодка пройдет путь между пунктами по течению, составит Учебник математики ч, а время, за которое лодка пройдет обратный путь, составит Учебник математики ч. Так как путь туда и обратно лодка проходит за 6 ч 15 мин, т. е. Учебник математики ч, приходим к уравнению

Учебник математики

решив которое, находим два корня: х = 4, х = -4. Ясно, что значение х = -4 не подходит по смыслу задачи. Итак, скорость течения реки равна 4 км/ч.

Задача 3.

Найти двузначное число, зная, что цифра его единиц на 2 больше цифры десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.

Решение: 

Напомним, что любое двузначное число может быть записано в виде 10х + у, где х — цифра десятков, а у — цифра единиц. Согласно условию, если х — цифра десятков, то цифра единиц равна х + 2 и мы получаем

Учебник математики

Решив это уравнение, найдем Учебник математики

Второй корень не подходит по смыслу задачи.

Итак, цифра десятков равна 2, цифра единиц равна 4; значит, искомое число равно 24.

Задача 4.

Двое рабочих, работая вместе, выполнили некоторую работу за 6 ч. Первый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу на 5 ч скорее, чем второй рабочий, если последний будет работать отдельно. За сколько часов каждый из них, работая отдельно, может выполнить всю работу?

Решение: 

Производительность труда, т. е. часть работы, выполняемая в единицу времени (обозначим ее через А), и время, необходимое для выполнения всей работы (обозначим его через t), — взаимно обратные величины, т. е. At = 1. Поэтому если обозначить через х ч время, необходимое для выполнения всей работы первому рабочему, а через (х + 5) ч — второму, то часть работы, выполняемая первым рабочим за 1 ч, равна Учебник математики , а часть работы, выполняемая вторым рабочим за 1 ч, равна Учебник математики Согласно условию, они, работая вместе, выполнили всю работу за 6 ч. Доля работы, выполненная за 6 ч первым рабочим, есть Учебник математики , а доля работы, выполненная за 6 ч вторым рабочим, есть Учебник математики Так как вместе они выполнили всю работу, т. е. доля выполненной работы равна 1, получаем уравнение

Учебник математики

решив которое, найдем х = 10.

Итак, первый рабочий может выполнить всю работу за 10 ч, а второй — за 15 ч.

Задача 5.

Из сосуда емкостью 54 л, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24 л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз?

Решение: 

Пусть в первый раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54 - х) л кислоты. Долив сосуд водой, получили 54 л смеси, в которой растворилось (54 - х) л кислоты. Значит, в 1 л смеси содержится Учебник математики л кислоты (концентрация раствора). Во второй раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве смеси содержалось Учебник математики л кислоты. Таким образом, в первый раз было вылито х л кислоты, во второй Учебник математики л кислоты, а всего 

за два раза вылито 54 - 24 = 30 л кислоты. В результате приходим к уравнению

Учебник математики

Решив это уравнение, найдем два корня: Учебник математикии Учебник математики. Ясно, что значение 90 не удовлетворяет условию задачи.

Итак, в первый раз было вылито 18 л кислоты.

Задача 6.

Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение: 

Пусть масса добавленного олова составляет х кг. Тогда получится сплав массой (12 + х) кг, содержащий 40% меди. Значит, в новом сплаве имеется 0,4(12 + х) кг меди. Исходный сплав массой 12 кг содержал 45% меди, т. е. меди в нем было Учебник математики. Так как масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, приходим к уравнению

Учебник математики

Решив это уравнение, получим х = 1,5. Таким образом, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова.

Задача 7.

Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько стали того и другого сорта надо взять, чтобы после переплавки получить 140 т стали с содержанием никеля 30% ?

Решение: 

Пусть масса стали первого сорта равна х т, тогда стали второго сорта надо взять (140 - х) т. Содержание никеля в стали первого сорта составляет 5%; значит, в х т стали первого сорта содержится 0,05л; т никеля. Содержание никеля в стали второго сорта составляет 40%; значит, в (140 - х) т стеши второго сорта содержится 0,4 (140 - х) т никеля. По условию после соединения взятых двух сортов должно получиться 140 т стали с 30% -ным содержанием никеля, т. е. после переплавки в полученной стали должно быть 0,3 * 140 т никеля. Но это количество никеля складывается из 0,05л; т, содержащихся в стали первого сорта, и из 0,4 (140 - х) т, содержащихся в стали второго сорта. Таким образом, приходим к уравнению

0,05х + 0,4 (140 - х) = 0,3 * 140,

из которого находим х = 40. Следовательно, надо взять 40 т стали с 5% -ным и 100 т стали с 40% -ным содержанием никеля.

150. Иррациональные уравнения.

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень. Например, иррациональными являются уравнения Учебник математики Учебник математики

Используются два основных метода решения иррациональных уравнений:

1)    метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень;

2)    метод введения новых переменных (см. п. 147).

Метод возведения обеих частей уравнения в одну

и ту же степень состоит в следующем:

а) преобразуют заданное иррациональное уравнение к виду

Учебник математики

б)    возводят обе части полученного уравнения в п-ю степень:

Учебник математики

в)    учитывая, что Учебник математики, получают уравнение

f(x) = g(x);

г)    решают уравнение и, в случае четного п, делают проверку, так как возведение обеих частей уравнения в одну и ту же четную степень может привести к появлению посторонних корней (см. п. 142). Эта проверка чаще всего осуществляется с помощью подстановки найденных значений переменной в исходное уравнение.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Возведем обе части уравнения в шестую степень; получим х - 3 = 64, откуда х = 67.

Проверка: 

Подставив 67 вместо х в данное уравнение, получим Учебник математики, т. е. 2 = 2 — верное равенство.

Ответ: 67.

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Преобразуем уравнение к виду

Учебник математики

и возведем обе части его в квадрат. Получим

Учебник математики

далее,

Учебник математики

Еще раз возведем обе части уравнения в квадрат:

Учебник математики

откуда Учебник математики

Проверка: 

1) При х = 5 имеем

Учебник математики — верное равенство.

Таким образом, х = 5 является корнем заданного уравнения.

2) При х = 197 имеем Учебник математики Таким образом, х = 197 — посторонний корень.

Ответ: 5.

Пример 3.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Применим метод введения новой переменной.

Положим Учебник математики и мы получаем уравнение Учебник математики, откуда находим Учебник математики

Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений

Учебник математики

Возведя обе части уравнения Учебник математики в пятую степень, получим х - 2 = 32, откуда х = 34.

Уравнение Учебник математики не имеет корней, поскольку под знаком возведения в дробную степень может содержаться только неотрицательное число, а любая степень неотрицательного числа неотрицательна.

Ответ: 34.

161. Показательные уравнения.

Показательное уравнение вида

Учебник математики

где Учебник математики равносильно уравнению f(х) = g(x).

Имеются два основных метода решения показательных уравнений:

1)    метод уравнивания показателей, т. е. преобразование заданного уравнения к виду Учебник математики а затем к виду f(х) = g(x);

2)    метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Данное уравнение равносильно уравнению Учебник математики откуда находим Учебник математики Учебник математики Решив это квадратное уравнение, получим Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Приведем все степени к одному основанию Учебник математики. Получим уравнение Учебник математики Учебник математики которое преобразуем к виду Учебник математики Учебник математики Уравнение равносильно уравнению х = 2х - 3, откуда находим х = 3.

Пример 3.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Применим метод введения новой переменной. Так как Учебник математики,то данное уравнение можно переписать в виде

Учебник математики

Введем новую переменную, положив Учебник математики Получим квадратное уравнение Учебник математики с корнями Учебник математики Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений Учебник математики

Из первого уравнения находим х = 2. Второе уравнение не имеет корней, так как Учебник математики при любых значениях х.

О т в е т: 2.

152. Логарифмические уравнения.

Чтобы решить логарифмическое уравнение вида

Учебник математики

где Учебник математики нужно:

1)    решить уравнение f(x) = g(x);

2)    из найденных корней отобрать те, которые удовлетворяют неравенствам f(x) > 0 и g(x) > 0; остальные корни уравнения f(x) = g(x) являются посторонними для уравнения (1).

Имеются два основных метода решения логарифмических уравнений:

1)    метод, заключающийся в преобразовании уравнения к виду Учебник математики затем к виду f(x) = g(x);

2)    метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение:

Перейдем от заданного уравнения к уравнению Учебник математики и решим его. Имеем Учебник математики Проверку найденных значений х выполним с помощью неравенств Учебник математики Число -3 этим неравенствам удовлетворяет, а число 4 — нет. Значит, 4 — посторонний корень.

Ответ: -3.

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись тем, что сумма логарифмов равна логарифму произведения (см. п. 120), преобразуем уравнение к виду

Учебник математики

Из последнего уравнения находим Учебник математики

Осталось сделать проверку. Ее можно выполнить с помощью системы неравенств

Учебник математики

Подставив поочередно найденные значения -1 и -5,5 в эти неравенства, убеждаемся, что -1 удовлетворяет всем неравенствам, а -5,5 — нет, например при этом значении не выполняется первое неравенство. Значит, -5,5 — посторонний корень.

Ответ: -1.

Пример 3.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математикиУчебник математики заданное уравнение можно переписать следующим образом:

Учебник математики

Введем новую переменную, положив Учебник математики Получим

Учебник математики

и далее

Учебник математики

Но Учебник математики; из уравнения Учебник математики находим х = 4.

Ответ: 4.

153. Примеры решения показательно-логарифмических уравнений.

Пример 1.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Область определения уравнения: х > 0. При этом условии выражения, входящие в обе части уравнения (1), принимают только положительные значения. Прологарифмировав обе части уравнения (1) по основанию 10, получим уравнение

Учебник математики

равносильное уравнению (1). Далее имеем Учебник математикиУчебник математики

Полагая Учебник математики получим уравнение Учебник математикиУчебник математики, откуда Учебник математики Остается решить совокупность уравнений Учебник математики Из этой совокупности получим Учебник математики — корни уравнения (1).

Здесь применен метод логарифмирования, заключающийся в переходе от уравнения f(x) = g(x) к уравнению

Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики    (2)

Решение: 

Воспользовавшись определением логарифма, преобразуем уравнение (2) к виду

Учебник математики

Полагая Учебник математики, получим уравнение Учебник математики корнями которого являются Учебник математики

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

Учебник математики

Так как Учебник математики, а -1 < 0, первое уравнение совокупности не имеет решения. Прологарифмировав обе части второго уравнения совокупности по основанию 5, получим

Учебник математики

откуда находим Учебник математики — корни уравнения (2).

154. Простейшие тригонометрические уравнения.

Уравнение Учебник математики имеет бесконечно много корней. Например, уравнению Учебник математики удовлетворяют следующие значения: Учебник математики Учебник математикиУчебник математики и т. д. Общая формула, по которой находят все корни уравнения Учебник математики, такова:

Учебник математики    (1)

Здесь Учебник математики может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются простейшие тригонометрические уравнения) Учебник математики называют параметром. Записывают обычно Учебник математики, подчеркивая тем самым, что параметр Учебник математики может принимать любые целые значения.

Решения уравнения Учебник математики, находят по формуле

Учебник математики    (2)

Уравнение Учебник математики решается по формуле

Учебник математики    (3)

а уравнение Учебник математики — по формуле

Учебник математики    (4)

Пример 1.

Решить уравнение Учебник математики .

Решение: 

По формуле (1) имеем

Учебник математики

Так как Учебник математики (см. п. 106), то Учебник математикиУчебник математики

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись формулой (2), получим

Учебник математики

Так как Учебник математики (см. п. 107), то получаем

Учебник математики

Пример 3.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись формулой (3), получим

Учебник математики

откуда находим

Учебник математики

Заметим, что в некоторых случаях удобнее пользоваться частными формулами:

Учебник математики

Во всех формулах Учебник математики — любое целое число.

155. Методы решения тригонометрических уравнений.

Имеются два основных метода решения тригонометрических уравнений:

1)    метод разложения на множители;

2)    метод введения новой переменной.

Пример 1.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Перенесем 1 в левую часть и, выполнив преобразования левой части, разложим ее на множители.

Применим к sin 5х + sin х формулу для суммы синусов (см. п. 130) и воспользуемся тем, что Учебник математикиУчебник математики (см. п. 129). Тогда уравнение примет вид 2 sin Зх cos 2х + (1 - cos 2х) - 1 = 0 и далее cos 2х (2 sin Зх; - 1) = 0. Теперь задача свелась к решению совокупности уравнений cos 2х = 0; 2 sin Зх - 1 = 0.

Из уравнения cos 2х = 0 находим Учебник математики, т. е.

Учебник математики

Из уравнения 2 sin 3x - 1 = 0 находим Учебник математики и далее

Учебник математики

Таким образом, решения заданного уравнения таковы:

Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математики, уравнение можно переписать следующим образом:

Учебник математики

и далее Учебник математики

Положив cos х = у, получим квадратное уравнение Учебник математики. Решив это уравнение, получимУчебник математики Значит, либо Учебник математики , откуда находим Учебник математики, либо cos х = -3 — это уравнение не имеет решений, так как Учебник математики

Ответ: Учебник математики

156. Однородные тригонометрические уравнения.

Однородными тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида

Учебник математики

(однородное уравнение 1-й степени),

Учебник математики

(однородное уравнение 2-й степени).

Рассмотрим случай, когда Учебник математики. Разделим обе части первого уравнения на cos х, а обе части второго уравнения на Учебник математики. В результате получим следующие уравнения, алгебраические относительно tg х, а потому решаемые подстановкой tg х = у:

Учебник математики

При Учебник математики однородному уравнению не удовлетворяют те значения х, при которых cos х = 0. Поэтому деление на cos х (или Учебник математики) обеих частей однородного уравнения в случае Учебник математики не приводит к потере корней.

Пример 1.

Решить уравнение

8 sin х - 7 cos х = 0.

Решение: 

Разделив обе части уравнения почленно на cos х, получим 8 tg х - 7 = 0. Далее имеем

Учебник математики, откуда

Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Разделив обе части этого однородного уравнения второй степени на Учебник математики, получим

Учебник математики. Далее положим Учебник математики, тогда приходим к квадратному уравнению

Учебник математики

Решив совокупность уравнений tg х = -3, tg х = 1, получим

Учебник математики

Пример 3.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение:

Учебник математики

В полученном уравнении отсутствует член вида Учебник математики Здесь делить обе части уравнения на Учебник математики нельзя, так как те значения х, при которых Учебник математики = 0, удовлетворяют уравнению (1), а потому деление на Учебник математики приведет к потере корней. Поступим иначе: разложив левую часть уравнения (1) на множители, получим Учебник математики

Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений

cos х = 0; Учебник математики  (2)

Из первого уравнения совокупности (2) находим Учебник математики Разделив обе части однородного уравнения первой степени Учебник математики на cos х, получим Учебник математики, откуда

Учебник математики

Итак, получаем две серии решений:

Учебник математики

157*. Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнений).

Если Учебник математики то справедливы следующие тождества:

Учебник математики

В самом деле,

Учебник математики

Итак, sin х и cos х (а значит, и tg х, и ctg х) рационально выражаются через Учебник математики, поэтомуподстановку Учебник математики называют универсальной.

Она может быть использована в уравнениях вида R (sin х; cos х) = 0, где R (sin х; cos х) — рациональное выражение относительно sin х и cos х.

Поскольку использование универсальной подстановки возможно лишь при Учебник математики, нужно проверять, не являются ли числа вида Учебник математики решениями заданного уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение

3 sin х + 4 cos х = 5.

Решение: 

Выразив sin х и cos х через Учебник математики по формулам (1) и введя новую переменную Учебник математики, придем к рациональному уравнению

Учебник математики

Решив это уравнение, получим Учебник математики. Из уравнения Учебник математики находим

Учебник математики

 

Проверкой убеждаемся, что значения Учебник математики не удовлетворяют заданному уравнению.

Ответ: Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение

3 sin 2х + cos 2х + 1 = 0.

Решение: 

Воспользуемся универсальной подстановкой. Выразив sin 2х и cos 2х через tg х и введя новую переменную Учебник математики, получим рациональное уравнение

Учебник математики

откуда Учебник математики . Из уравнения Учебник математики находим

Учебник математики

Нужно еще проверить, не удовлетворяют ли заданному уравнению те значения х, при которых

Учебник математики, т. е. значения Учебник математики. Подставив Учебник математики вместо х в выражение 3 sin 2х + cos 2х + 1, получим

Учебник математики

Таким образом, значения Учебник математики являются решениями заданного уравнения.

Ответ: Учебник математики Учебник математики

158*. Метод введения вспомогательного аргумента (для тригонометрических уравнений).

Иногда при решении тригонометрических уравнений оказывается полезным заменить выражение Учебник математикиУчебник математики на Учебник математики, где Учебник математикиУчебник математики (см. п. 132). В этом случае Учебник математики называют вспомогательным аргументом.

Пример 1.

Решить уравнение

8 cos х + 15 sin х = 17.

Решение: 

Разделив обе части уравнения на Учебник математики, получим

Учебник математики    (1)

Так как Учебник математики, существует такое Учебник математики, Учебник математики Перепишем уравнение (1) в виде 

Учебник математики

Но Учебник математики Значит, Учебник математики, откуда х Учебник математики Так как Учебник математикиУчебник математики получаем следующие решения заданного уравнения:

Учебник математики

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Имеем:

Учебник математики

Полагая Учебник математики получим

Учебник математики

и далее

Учебник математики

Решив совокупность уравнений Учебник математики Учебник математики, получим Учебник математики

Учтя, что Учебник математики , получаем

Учебник математики

159. Графическое решение уравнений.

На практике довольно часто оказывается полезным графический метод решения уравнений. Он заключается в следующем: для решения уравнения f(х) = 0 строят график функции у = f(x) и находят абсциссы точек пересечения графика с осью х; эти абсциссы и являются корнями уравнения. Так, для решения уравнения Учебник математики достаточно построить график квадратичной функции Учебник математики и найти абсциссы точек пересечения этого графика с осью х.

Например, график функции Учебник математики (см. рис. 1.88) пересекает ось х в точках (1; 0) и (5; 0); значит, уравнение Учебник математики имеет два корня: Учебник математики. График функции Учебник математики (см. рис. 1.87) не пересекает ось абсцисс; значит,

уравнение Учебник математики не имеет действительных корней.

Часто уравнение f(x) = 0 заменяют равносильным уравнением g(x) = h(x), затем строят графики функций у = g(x) и у = h(x) (если это проще, чем построение графика функции у = f(x)) и находят абсциссы точек пересечения построенных графиков.

Так, для решения уравнения Учебник математики можно преобразовать уравнение к виду Учебник математики затем построить графики функций Учебник математики и у = Зх - 1 и найти абсциссы точек пересечения этих графиков.

Пример 1.

Решить графически уравнение

Учебник математики

Решение: 

Уравнение целесообразно переписать в виде

Учебник математики

Теперь решение уравнения может быть сведено к нахождению абсцисс точек пересечения графиков функций Учебник математики и у = х + 2.

Учебник математики

На рисунке 1.100 построены в одной системе координат графики функций Учебник математики и у = х + 2. Определяем абсциссы точек А и В пересечения этих графиков: Учебник математики Таким образом, заданное уравнение имеет два корня: -1; 2.

Пример 2.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Построим в одной системе координат графики функций Учебник математики и у = |х-2|. График

функции Учебник математики изображен на рисунке 1.101. Чтобы построить график функции у = |х-2|, рассмотрим два случая: если Учебник математики, то Учебник математики и потому |х - 2| = х - 2; если же х <2, то х - 2 < 0 и потому |х - 2| = 2 - х. Таким образом, запись у = |х - 2| эквивалентна записи

Учебник математики

График этой функции изображен на рисунке 1.102.

Учебник математики

На рисунке 1.103, оба графика изображены в одной системе координат. Они пересекаются в двух точках с абсциссами Учебник математики Это два корня данного уравнения.

С графическим методом решения уравнения f(x) = g(x) связан функциональный метод решения уравнения, основанный на том, что если одна из функций у = f(x) и у = g(x) возрастает, а другая убывает, то уравнение f(x) = g(x) либо не имеет корней (рис. 1.104), либо имеет единственный корень (рис. 1.105).

Пример 3.

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

Легко заметить, что х = 2 — корень уравнения. Так как функция Учебник математики возрастает, а функция у = 6 - х убывает, то других корней это уравнение не имеет (рис. 1.106).

Учебник математики

160. Уравнения с параметром.

Пусть дано равенство с переменными х, Учебник математики:

Учебник математики

Если ставится задача для каждого действительного значения а решить это уравнение относительно х, то уравнение Учебник математики называют уравнением с переменной х и параметром Учебник математики.

Решить уравнение с параметром Учебник математики — значит для каждого значения Учебник математики найти значения х, удовлетворяющие этому уравнению.

Пример 1.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Рассмотрим прежде всего те значения параметра, которые обращают в нуль коэффициент при х (при этих значениях параметра невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х, а при остальных значениях параметра такое деление возможно). Такими значениями являются Учебник математики = 0, Учебник математики = 2. При Учебник математики = 0 уравнение принимает вид 0 * х = -2. Это уравнение не имеет корней. При Учебник математики = 2 данное уравнение принимает вид 0 * х = 0, корнем его служит любое действительное число. При Учебник математики уравнение можно преобразовать к виду Учебник математики, откуда находим Учебник математики .

Таким образом, если Учебник математики = 0, то уравнение не имеет корней; если Учебник математики = 2, то корнем служит любое действительное число; если Учебник математики, то Учебник математики.

Пример 2.

Решить уравнение

Учебник математики

Решение: 

Выделим особо значение параметра Учебник математики = 1. Дело в том, что при Учебник математики = 1 данное уравнение не является квадратным, а при Учебник математики оно квадратное. Решать уравнение в каждом из этих случаев надо по-своему. При Учебник математики = 1 уравнение принимает вид 6х + 7 = 0, откуда находим Учебник математики. В случае Учебник математики для квадратного уравнения выделим те значения параметра, при которых дискриминант уравнения обращается в нуль. Имеем Учебник математики Значит, Учебник математики значение параметра, на которое нам надо обратить внимание.

Если Учебник математики и, следовательно, уравнение не имеет действительных корней; если Учебник математики и Учебник математики, то D > 0 и мы получаем

Учебник математики

если Учебник математики , то D = 0 и мы получаем Учебник математики, т. е. (поскольку Учебник математикиУчебник математики.

Итак, если Учебник математики то действительных корней нет; если Учебник математики = 1, то Учебник математики; если Учебник математики,то Учебник математики; если Учебник математики и Учебник математики, то

Учебник математики

Пример 3.

При каких значениях параметра Учебник математики уравнение

Учебник математики

имеет два различных отрицательных корня?

Решение: 

Так как уравнение должно иметь два различных действительных корня Учебник математики его дискриминант должен быть положительным. Имеем

Учебник математики

Значит, должно выполняться неравенство Учебник математикиУчебник математики

По теореме Виета для заданного уравнения имеем

Учебник математики

Так как, по условию, Учебник математики, то Учебник математики и Учебник математики

В итоге мы приходим к системе неравенств (см. п. 177):

Учебник математики

Из первого неравенства системы находим (см. п. 180, 183) Учебник математики; из второго Учебник математики; из третьего Учебник математики. С помощью координатной прямой (рис. 1.107) находим, что либо Учебник математики, либо Учебник математики

Учебник математики

 

 

§ 15. Уравнения с двумя переменными

 

161. Решение уравнения с двумя переменными. График уравнения с двумя переменными.

Рассмотрим уравнение с двумя переменными f(x; у) = 0. Пару значений переменных, обращающую уравнение с двумя переменными в верное равенство, называют решением уравнения. Если дано уравнение с двумя переменными х и у, то принято в записи его решения на первое место ставить значение переменной х, а на второе — значение у.

Так, пары (10; 0), (16; 2), (-2; -4) являются решениями уравнения х - Зу = 10. В то же время пара (1; 5) решением уравнения не является.

Это уравнение имеет и другие решения. Для их отыскания удобно выразить одну переменную через другую, например х через у, получив уравнение х = 10 + Зу. Выбрав произвольное значение у, можно вычислить соответствующее значение х. Например, если у = 7, то х = 10 + 3 * 7 = 31; значит, пара (31; 7) является решением уравнения; если у = -2, то х = 10 + 3 (-2) = 4; значит, пара (4; -2) также является решением заданного уравнения.

Уравнения с двумя переменными называют равносильными, если они имеют одни и те же решения (или оба не имеют решений).

Для уравнений с двумя переменными справедливы теоремы 1 и 2 (см. п. 135) о равносильных преобразованиях уравнения.

Пусть дано уравнение с двумя переменными f(х; у) = 0. Если все его решения изобразить точками на координатной плоскости, то получится некоторое множество точек плоскости. Это множество называют графиком уравнения f(х; у) = 0.

Например, графиком уравнения Учебник математики является парабола Учебник математики (см. рис. 1.10); графиком уравнения у - х = 0 является прямая (биссектриса первого и третьего координатных углов, см. рис. 1.8); графиком уравнения у - 3 = 0 является прямая, параллельная оси х (рис. 1.108), а графиком уравнения х + 2 = 0 — прямая, параллельная оси у (рис. 1.109). Графиком уравнения Учебник математики является одна точка (1; 2), так как координаты только этой точки удовлетворяют уравнению.

Учебник математики

162. Линейное уравнение с двумя переменными и его график.

Уравнение вида Учебник математики, где х, у — переменные, а Учебник математики — числа, называют линейным; числа Учебник математики называют коэффициентами при переменных, с — свободным членом.

Графиком любого линейного уравнения Учебник математики, у которого хотя бы один из коэффициентов при переменных отличен от нуля, является прямая; если Учебник математики, то эта прямая параллельна оси у, если Учебник математики, то эта прямая параллельна оси х.

Пример: 

Построить график уравнения 2х-3у = -6.

Решение: 

Графиком этого линейного уравнения является прямая. Для построения прямой достаточно знать две ее точки. Подставив в уравнение 2х - 3у = -6 вместо х значение 0, получим -Зу = -6, откуда у = 2. Подставив в уравнение 2х - 3у = -6 вместо у значение 0, получим 2х = -6, откуда х = -3.

Итак, мы нашли две точки графика: (0;2) и (-3;0). Проведя через них прямую, получим график уравнения 2х - Зу = -6 (рис. 1.110).

Учебник математики

Если линейное уравнение имеет вид 0 * х + 0 * у = с, то могут представиться два случая:

1)    с = 0; в этом случае уравнению удовлетворяет любая пара ( х; у), а потому графиком уравнения является вся координатная плоскость;

2)   Учебник математики в этом случае уравнение не имеет решения; значит, его график не содержит ни одной точки.

§ 16. Системы уравнений

163. Системы двух уравнений с двумя переменными. Равносильные системы.

Пусть даны два уравнения с двумя переменными: f(x; у) = 0 и g(x; у) = 0. Если ставится задача найти все общие решения двух уравнений с двумя переменными, то говорят, что надо решить систему уравнений. Пару значений переменных, обращающую в верное равенство каждое уравнение системы, называют решением системы уравнений. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

Уравнения, образующие систему, объединяются фигурной скобкой. Например, запись

Учебник математики

означает, что уравнения Учебник математики образуют систему.

Две системы уравнений называют равносильными, если эти системы имеют одни и те же решения. Если, в частности, обе системы не имеют решений, то они также считаются равносильными. При решении системы уравнений обычно заменяют данную систему другой, более простой или по каким-либо причинам более «удобной», но равносильной первоначальной. Возможность такой замены обусловлена следующими двумя теоремами.

Теорема 5.

Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение системы заменить уравнением, ему равносильным, то полученная система будет равносильна заданной.

Так, системы

Учебник математики

равносильны.

Следствие: 

Если каждое уравнение системы заменить равносильным уравнением, то получится система, равносильная данной.

Так, равносильными будут следующие системы:

Учебник математики

Теорема 6.

Если одно уравнение системы двух уравнений с двумя переменными оставить без изменения, а другое уравнение заменить суммой или разностью обоих уравнений системы, то полученная система будет равносильна заданной.

Так, системы

Учебник математики

равносильны: мы заменили уравнение х - Зу = 10 суммой двух уравнений заданной системы, а уравнение Зх — 2у = 2 оставили неизменным.

164. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом подстановки.

Метод подстановки заключается в следующем.

1)    Одно из уравнений системы преобразуют к виду, в котором у выражен через х (или х через у).

2)    Полученное выражение подставляют вместо у (или вместо х) во второе уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной.

3)    Находят корни этого уравнения.

4)    Воспользовавшись выражением у через х (или х через у), находят соответствующие значения у (или х).

Пример: 

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Из первого уравнения находим х = Зу + 10. Подставим выражение Зу + 10 вместо х во второе уравнение системы. Получим Учебник математикиУчебник математики откуда находим Учебник математики Соответствующие значения х найдем из уравнения х = 3у + 10. Если у = 0, то х = 10; если у = -4, то х = -2. Итак, система имеет два решения: (-2; -4) и (10; 0).

165. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом сложения.

Метод сложения основан на теоремах 5 и 6 (см. п. 163). Суть его поясним на примерах.

Пример 1.

Решить систему уравнений

Учебник математики           (1)

Решение: 

Умножив обе части второго уравнения системы на 3, получим систему

Учебник математики        (2)

равносильную данной по теореме 5.

Сложим уравнения полученной системы. По теореме 6, система

Учебник математики       (3)

равносильна системе (2). Система (3), в свою очередь, преобразуется к виду

Учебник математики

Из уравнения 11х = 55 находим х = 5. Подставив это значение в уравнение 2х + Зу = 7, находим У = -1.

Итак, (5; -1) — решение системы (3), а значит, и решение равносильной ей системы (1).

Пример 2.

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Если обе части первого уравнения системы умножить на 2 и вычесть полученное уравнение из второго уравнения системы, то взаимно уничтожатся члены, содержащие переменные во второй степени:

Учебник математики

Мы приходим к более простой системе

Учебник математики

которую нетрудно решить методом подстановки. Имеем у = х - 1; значит,

Учебник математики

Если х = 0, то у = х - 1 = 0 - 1 = -1; если х = 1,5, то у = х - 1 = 1,5 - 1 = 0,5

Ответ: (0; -1) и (1,5; 0,5).

166. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методом введения новых переменных.

Метод введения новых переменных применяется при решении систем двух уравнений с двумя переменными одним из следующих способов: 1) вводится одна новая переменная только для одного уравнения системы; 2) вводятся две новые переменные сразу для обоих уравнений.

Пример 1.

Решить систему

Учебник математики

Решение: 

Положим Учебник математики, тогда Учебник математики и первое уравнение системы примет вид Учебник математики . Решим полученное уравнение относительно новой переменной z:

Учебник математики

Таким образом, либо Учебник математики, т.е. Учебник математики, либо Учебник математики

Итак, первое уравнение заданной системы распалось на два уравнения: Учебник математики В соответствии с этим нам предстоит теперь решить совокупность двух систем:

Учебник математики

Из первой системы находим х = 2, у = 3, из второй х = 3, у = 2.

Ответ: (2; 3); (3; 2).

Пример 2.

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Положим Учебник математики

Тогда Учебник математики и система примет вид

Учебник математики

Полученную систему можно решить методом подстановки. Выразив из второго уравнения Учебник математики через Учебник математики, получим Учебник математики. Подставим этот результат в первое уравнение системы (1):

Учебник математики

Соответственно находим Учебник математики Итак, нашли два решения системы (1):

Учебник математики

 

Возвращаясь к исходным переменным, получим совокупность двух систем

Учебник математики

каждую из которых нетрудно решить методом подстановки (выразив, например, у через х из первого уравнения). Первая система не имеет действительных решений, а вторая имеет два решения: (3; 4) и (4; 3). Они и будут решениями исходной системы.

167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя переменными.

Для того чтобы графически решить систему двух уравнений с двумя переменными, нужно в одной системе координат построить графики уравнений и найти координаты точек пересечения этих графиков.

Пример 1.

Решить графически систему линейных уравнений

Учебник математики

Решение: 

Построим прямую — график уравнения Зх + 2у = 5 — по двум точкам, например (1; 1) и (3; -2) (рис. 1.111).

Учебник математики

Построим прямую — график уравнения 2х - у = 8 — по точкам (0; -8) и (4; 0) (рис. 1.111).

Полученные прямые не параллельны, их пересечением служит точка М(3; -2). Значит, (3; -2) — решение заданной системы.

Пример 2.

Решить графически систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Графиком уравнения Учебник математики является окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 5 (см. «Геометрия», п. 107). Графиком уравнения ху = 12 является гипербола Учебник математикиУчебник математики (см. п. 82). Построив графики в одной системе координат (рис. 1.112), найдем координаты точек А, В, С, D пересечения окружности и гиперболы: А(4; 3), Б(3; 4), С(-4; -3), D (-3; -4). Значит, решения заданной системы таковы:

(4; 3), (3; 4), (-4; -3), (-3; -4).

Учебник математики


168. Исследование системы двух линейных уравнений с двумя переменными.

Пусть даны два линейных уравнения с двумя переменными и все коэффициенты при переменных отличны от нуля:

Учебник математики

Графиком каждого из этих линейных уравнений является прямая (см. п. 162). Если Учебник математики , то прямые пересекаются в одной точке; если Учебник математики, то прямые совпадают; если Учебник математики то прямые параллельны и не совпадают.

Отсюда следует, что система двух линейных уравнений с двумя переменными

Учебник математики

имеет единственное решение, если Учебник математики,

имеет бесконечно много решений, если Учебник математики ,

не имеет решении, если Учебник математики

Например, система

Учебник математики

имеет одно решение, так как Учебник математики . Система

Учебник математики

не имеет решений, поскольку Учебник математики Система

Учебник математики

имеет бесконечно много решений, поскольку Учебник математикиУчебник математики

169*. Решение систем двух уравнений с двумя переменными методами умножения и деления.

Методы умножения и деления при решении систем уравнений основаны на следующем утверждении.

Теорема 7.

Если обе части уравнения Учебник математикиУчебник математики ни при каких значениях (х; у) одновременно не обращаются в нуль, то системы

Учебник математики

равносильны.

Пример 1.

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Рассмотрим первое уравнение. Левая его часть обращается в 0 при у = 0. Если у = 0, то правая часть обращается в 0 при х = 0. Но при х = 0 левая часть не имеет смысла. Значит, нет таких пар (х; у), при которых обе части первого уравнения системы одновременно обращаются в 0. Поэтому можно заменить первое уравнение произведением обоих уравнений системы, оставив второе уравнение системы без изменений.

Получим

Учебник математики

Преобразовав первое уравнение этой системы, получим

8 = (х + у) - (х - у), т.е. у = 4.

Подставив найденное значение у во второе уравнение системы, получим

Учебник математики     (1)

Решим это иррациональное уравнение (см. п. 150):

Учебник математики

Второе значение не удовлетворяет уравнению (1), т. е. является посторонним корнем. Значит, система имеет одно решение

Учебник математики

Пример 2.

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Ни при каких значениях (х; у) обе части второго уравнения системы не обращаются в нуль одновременно. Значит, можно применить метод деления, перейдя от заданной системы к системе

Учебник математики

Из второго уравнения этой системы находим

Учебник математики

Подставим найденное выражение у через х в первое уравнение системы. Получим Учебник математики и далее — Учебник математики Из уравнения Учебник математики Учебник математики находим, что если х = 5, то у = 3. Итак, (5; 3) — решение системы.

170. Системы показательных и логарифмических уравнений.

Решение систем показательных и логарифмических уравнений не содержит каких-либо принципиально новых моментов. Используются обычные приемы решения логарифмических и показательных уравнений (см. пп. 151, 152) и обычные приемы решения систем уравнений (см. пп. 164—166, 169).

Пример: 

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Рассмотрим первое уравнение системы. Воспользуемся тем, что Учебник математики

Учебник математики (см. п. 121). Тогда уравнение можно записать в виде Учебник математики и далее Учебник математики(см. п. 120), откуда Учебник математики Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

Учебник математики

Задача свелась к решению следующей системы уравнений:

Учебник математики

Подставим 15у + 4 вместо Учебник математики в первое уравнение:

(15у + 4)у = 256, Учебник математики 

Если у = 4, то Учебник математикиУчебник математики откуда находим Учебник математики Если Учебник математики то

Учебник математики

 т.е. Учебник математики — это уравнение не имеет действительных корней.

Итак, мы нашли две пары значений переменных:

Учебник математики

Так как заданная система содержит выражения Учебник математики то должны выполняться условия х > 0, у > 0. Поэтому пара Учебник математики исходной системе не

удовлетворяет.

Ответ: (8; 4).

171*. Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными.

При решении систем тригонометрических уравнений используются обычные приемы решения систем уравнений и формулы тригонометрии.

Пример: 

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Положим Учебник математики Тогда получим систему Учебник математики Из первого уравнения этой системы находим Учебник математики Подставив выражение Учебник математики вместо Учебник математики во второе уравнение системы, получим

Учебник математики

Если Учебник математики

Если Учебник математики то

Учебник математики

Итак, мы получили две пары решений

Учебник математики

Так как Учебник математики то нам остается решить две системы уравнений:
Учебник математики

Из уравнения sin х = 1 находим Учебник математики

Из уравнения Учебник математики находим Учебник математики

Значит, решения системы Учебник математики имеют вид

Учебник математики

Из уравнения Учебник математики находим Учебник математики Учебник математики

Из уравнения cos у = 1 находим Учебник математики

Значит, решения системы Учебник математики имеют вид

Учебник математики

Замечание: 

При решении систем тригонометрических уравнений следует использовать различные обозначения для параметра Учебник математики в записи решений первого и второго уравнений системы. Иными словами, если в первом уравнении системы при записи решения в качестве параметра использована буква k, то для второго уравнения эту букву уже использовать нельзя — в рассмотренном примере для этой цели использовалась буква Учебник математики.

172. Системы трех уравнений с тремя переменными.

Рассмотрим систему трех уравнений с тремя переменными

Учебник математики

Решением такой системы называют всякую тройку чисел, удовлетворяющую каждому уравнению системы.

Для систем трех уравнений с тремя переменными применяются методы решения, аналогичные тем, что используются для систем двух уравнений с двумя переменными.

Пример: 

Решить систему уравнений

Учебник математики

Решение: 

Применим метод подстановки. Выразим из первого уравнения х через у и z и подставим результат во второе и третье уравнения системы.

Учебник математики

Последние два уравнения полученной системы в свою очередь образуют систему двух уравнений с двумя переменными. Решим эту систему методом подстановки.

Учебник математики

Из уравнения Учебник математики находим Учебник математики. Из уравнения у = z - 3 получаем соответственно Учебник математики а из уравнения х = 2 - у - z находим Учебник математики

Итак, получили два решения исходной системы: (3; -2; 1) и (-1; 0; 3).

173. Решение задач с помощью составления систем уравнений.

3адача 1.

Два пешехода идут навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми равно 30 км. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то встреча произойдет через 2,5 ч после выхода второго. Если же второй пешеход выйдет на 2 ч раньше первого, то встреча произойдет через 3 ч после выхода первого. С какой скоростью идет каждый пешеход?

Решение: 

Пусть х км/ч — скорость первого пешехода, а у км/ч — скорость второго пешехода. Если первый выйдет на 2 ч раньше второго, то, согласно условию, он будет идти до встречи 4,5 ч, тогда как второй — 2,5 ч. За 4,5 ч первый пройдет путь 4,5л: км, а за 2,5 ч второй пройдет путь 2,5у км. Их встреча означает, что суммарно они прошли путь 30 км, т. е.

4,5х + 2,5у = 30 — первое уравнение.

Если второй выйдет на 2 ч раньше первого, то, согласно условию, он будет идти до встречи 5 ч, тогда как первый — 3 ч. Рассуждая, как и выше, придем ко второму уравнению:

Зх + 5у = 30.

В итоге получаем систему уравнений

Учебник математики

откуда находим х = 5, у = 3.

Ответ: первый пешеход идет со скоростью 5 км/ч, а второй — 3 км/ч.

Задача 2.

У старшего брата было вдвое больше денег, чем у младшего. Они положили свои деньги на год на счета в разные банки, причем младший брат нашел банк, который дает на 5% годовых больше, чем банк старшего брата. Сняв свои деньги со счетов через год, старший брат получил 4600 руб., а младший — 2400 руб. Сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки?

Решение: 

Пусть х руб. — сумма денег, которую положил в банк младший брат, тогда 2х руб. — сумма денег, которую положил в банк старший брат.

Пусть, далее, банк старшего брата дает у% годовых, тогда банк младшего брата дает (у + 5)% годовых.

Значит, через год на счету старшего брата будет Учебник математики руб., а на счету младшего брата будет Учебник математики руб.

В итоге приходим к системе уравнений

Учебник математики

Решив эту систему, получим х = 2000, у = 15.

Осталось получить ответ на вопрос задачи: сколько денег было бы у братьев в сумме, если бы они с самого начала поменяли свои банки? В этом случае младший брат положил бы свои 2000 руб. в банк под 15% годовых, а старший — 4000 руб. в банк под 20% годовых. Младший брат в конце года получил бы 2300 руб., а старший — 4800 руб. Всего у них стало бы 7100 руб.

Ответ: 7100 руб.

 

 


ГЛАВА VI

НЕРАВЕНСТВА

 

 

§ 17. Решение неравенств

 

174. Основные понятия, связанные с решением неравенств с одной переменной.

Пусть дано неравенство f(x) > g(x). Всякое значение переменной х, при котором данное неравенство, обращается в верное числовое неравенство, называют решением неравенства. Решить неравенство с переменной — значит найти все его решения или доказать, что их нет.

Два неравенства с одной переменной называют равносильными, если решения этих неравенств совпадают; в частности, неравенства равносильны, если оба не имеют решений.

При решении неравенств обычно заменяют данное неравенство другим, более простым, но равносильным данному; полученное неравенство снова заменяют более простым, равносильным данному неравенством и т. д. Такие замены осуществляются на основе следующих утверждений.

Теорема 1.

Если из одной части неравенства перенести в другую слагаемое с противоположным знаком, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 2.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному. 

Теорема 3.

Если обе части неравенства с одной переменной умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

Например, неравенства Учебник математики равносильны по теореме 1. Неравенства Учебник математики и Учебник математики равносильны по теореме 2 (обе части

неравенства Учебник математики разделили на положительное число 3, оставив без изменения знак < исходного неравенства). Неравенства -6х < 12 и х > -2 равносильны по теореме 3 (обе части неравенства —6х <12 разделили на отрицательное число -6, изменив при этом знак < исходного неравенства на знак >).

На практике иногда полезны теоремы, являющиеся обобщениями теорем 2 и 3.

Теорема 4.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной положительные значения, то получится неравенство, равносильное данному.

Теорема 5.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же выражение, принимающее при всех значениях переменной отрицательные значения, изменив при этом знак неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.

175. Графическое решение неравенств с одной переменной.

Для графического решения неравенства f(x) > g(x) нужно построить графики функций у = f(x) и у = g(x) и выбрать те участки оси абсцисс, на которых график функции у = f(x) расположен выше графика функции у = g(x).

Пример: 

Решить графически неравенство

Учебник математики

Решение: 

Построим в одной системе координат графики функций Учебник математики (рис. 1.113).

Учебник математики

Из рисунка видно, что график функции Учебник математики расположен выше графика функции Учебник математики при х > 2.

Ответ: Учебник математики

176. Линейные неравенства с одной переменной.

Линейным называют неравенство вида Учебник математики (или соответственно Учебник математики). Если Учебник математики, то неравенство Учебник математики равносильно неравенству Учебник математики (см. теорему 2); значит, множество решений неравенства есть промежуток Учебник математики . Если Учебник математики, то неравенство Учебник математики равносильно неравенству Учебник математики (см. теорему 3); значит, множество решений неравенства есть промежуток Учебник математики . Если Учебник математики, то неравенство принимает вид Учебник математики; оно не имеет решений, если Учебник математики, и верно при любых х, если b < 0.

Многие неравенства в процессе преобразований сводятся к линейным.

Пример: 

Решить неравенство

Учебник математики

Решение: 

Раскрыв скобки, получим

Учебник математики

По теореме 1 это неравенство равносильно заданному неравенству. Разделим теперь обе части неравенства (1) на отрицательное число -9 и изменим знак неравенства. Получим согласно теореме 3 неравенство, равносильное неравенству (1): Учебник математики.

Значит, множество решений заданного неравенства есть луч Учебник математики .

177. Системы неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют систему неравенств, если ставится задача найти все общие решения заданных неравенств.

Значение переменной, при котором каждое неравенство системы обращается в верное числовое неравенство, называют решением системы неравенств.

Неравенства, образующие систему, объединяют фигурной скобкой. Например, запись

Учебник математики

означает, что неравенства 2х-1 > З и Зх-2 < 11 образуют систему.

Иногда используют запись в виде двойного неравенства.

Например, систему неравенств

Учебник математики

можно записать в виде двойного неравенства

1 < 2х + 1 < 5.

Пример 1.

Решить систему неравенств

Учебник математики

Решение: 

Первое неравенство системы преобразуется в равносильное ему неравенство Учебник математики, а второе — в неравенство Учебник математики. Таким образом, задача сводится к решению системы

Учебник математики

С помощью координатной прямой (рис. 1.114) находим, что множество решений системы есть интервал Учебник математики (пересечение зашрихованных на
рис. 1.114 промежутков).

Учебник математики

Пример 2.

Решить систему неравенств

Учебник математики

Решение: 

Выполнив преобразования каждого из неравенств системы, получим

Учебник математики

Значений х, удовлетворяющих одновременно неравенствам Учебник математики и Учебник математики, нет; следовательно, заданная система неравенств не имеет решений.

178. Совокупность неравенств с одной переменной.

Говорят, что несколько неравенств с одной переменной образуют совокупность неравенств, если ставится задача найти все такие значения переменной, каждое из которых является решением хотя бы одного из данных неравенств.

Значение переменной, при котором хотя бы одно из неравенств, образующих совокупность, обращается в верное числовое неравенство, называют решением совокупности неравенств.

Пример: 

Решить совокупность неравенств

Учебник математики

Решение: 

Преобразовав каждое из неравенств, получим совокупность, равносильную заданной:

Учебник математики С помощью числовой прямой находим, что решением заданной совокупности является промежуток Учебник математики (рис. 1.115) (объединения заштрихованных на рис. 1.115. промежутков).

Учебник математики

179. Дробно-линейные неравенства.

Дробно-линейные неравенства — это неравенства вида Учебник математики

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Дробь положительна, если числитель и знаменатель ее имеют одинаковые знаки, т. е. либо оба положительны, либо оба отрицательны. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств

Учебник математики

Из первой находим Учебник математики

Из второй находим Учебник математики

В итоге получили следующие решения заданного неравенства:

Учебник математики

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Имеем последовательно:

Учебник математики

 

Умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства (см. теорему 3, п. 174). Получим

Учебник математики

Дробь меньше или равна нулю в двух случаях: 1) если числитель меньше или равен нулю, а знаменатель больше нуля; 2) если числитель больше или равен нулю, а знаменатель меньше нуля. Значит, мы получаем совокупность двух систем неравенств

Учебник математики

Из первой находим Учебник математики

Из второй находим Учебник математики т. е. система не имеет решений.

Значит, множество решений заданного неравенства есть промежуток Учебник математики .

180. Квадратные неравенства.

Здесь речь идет о неравенствах вида

Учебник математики

Теорема 6.

Если дискриминант Учебник математики квадратного трехчлена Учебник математики отрицателен, а старший коэффициент Учебник математики положителен, то при всех значениях х выполняется неравенство Учебник математики

Рассмотрим теперь случай, когда Учебник математики. Для решения неравенства Учебник математики (или Учебник математикиУчебник математики) нужно разложить квадратный трехчлен Учебник математики на множители по формуле

Учебник математики

(см. п. 56), затем разделить обе части неравенства Учебник математики (или Учебник математики) на число Учебник математики, сохранив знак неравенства, если Учебник математики, и изменив знак неравенства на противоположный, если Учебник математики (см. п. 174), т. е. перейти к неравенству

Учебник математики

(или Учебник математики). Теперь остается воспользоваться тем, что произведение двух чисел положительно (отрицательно), если множители имеют одинаковые (разные) знаки.

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Найдем корни трехчлена Учебник математики Из уравнения Учебник математики получаем Учебник математикиУчебник математики Значит, Учебник математики, и мы приходим к неравенству Учебник математики и далее Учебник математики. Выражения х + 2 и Учебник математики должны иметь одинаковые знаки, т. е.

Учебник математики

Из первой системы находим Учебник математики, а из второй х < -2.

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Преобразуем неравенство к виду Учебник математики и, умножив обе части последнего неравенства на -1, получим Учебник математики. Корни квадратного трехчлена Учебник математики таковы: Учебник математики. Разложив квадратный трехчлен

на множители, получим Учебник математики и далее Учебник математики. От последнего неравенства переходим к совокупности систем неравенств

Учебник математики

Первая система не имеет решений, а из второй находим

Учебник математики

Пример 3.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Квадратный трехчлен Учебник математики имеет два одинаковых корня Учебник математики. Значит,

Учебник математики и неравенство принимает вид Учебник математики. Это неравенство выполняется при всех х, кроме х = 3.

Пример 4.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Последовательно имеем

Учебник математики

откуда Учебник математики

Из первой системы получаем Учебник математики, из второй Учебник математики.

181. Графическое решение квадратных неравенств.

Графиком квадратичной функции Учебник математикиУчебник математики является парабола с ветвями, направленными вверх, если Учебник математики, и вниз, если Учебник математики. При этом возможны три случая:

1)    парабола пересекает ось х (т. е. уравнение Учебник математики имеет два различных корня);

2)    парабола имеет вершину на оси х (т. е. уравнение Учебник математики имеет один корень);

3)    парабола не пересекает ось х (т. е. уравнение Учебник математики не имеет корней).

Итого возможны шесть положений параболы, служащей графиком функции Учебник математики относительно оси х, — они представлены на рисунках 1.116—1.121. Опираясь на эти графические иллюстрации, можно решать квадратные неравенства.

Учебник математики

Учебник математики

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Уравнение Учебник математики имеет два корня: Учебник математикиПорабола, служащая графиком функции Учебник математики имеет вид, изображенный на рисунке 1.116. Неравенство Учебник математики выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси х: это будет при Учебник математики или при Учебник математики, т. е. при х < -2 или при Учебник математики .

Значит, решения неравенства таковы: Учебник математикиУчебник математики (см. пример 1 из п. 180).

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Уравнение Учебник математики имеет два корня: Учебник математики . Парабола, служащая графиком функции Учебник математики, имеет вид, изображенный на рисунке 1.116. Неравенство Учебник математикиУчебник математики выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат на оси х или ниже ее: это будет при х из промежутка Учебник математики. Значит, множество решении неравенства есть отрезок Учебник математики (см. пример 2 из п. 180).

Пример 3.

Решить неравенство Учебник математики.

Решение: 

Уравнение Учебник математики имеет один корень х = 2. Парабола, служащая графиком

функции Учебник математики, имеет вид, изображенный на рисунке 1.120. Неравенство Учебник математики выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат выше оси х. Таких точек нет; значит, неравенство не имеет решений.

Пример 4.

Решить неравенство Учебник математики.

Решение: 

Уравнение Учебник математики не имеет действительных корней. Парабола, служащая графиком функции у = —Зх + х - 5, имеет вид, изображенный на рисунке 1.121. Неравенство Учебник математики выполняется при тех значениях х, при которых точки параболы лежат ниже оси х. Так как вся парабола лежит ниже оси х, то неравенство выполняется при любых значениях х.

182. Неравенства с модулями.

При решении неравенств, содержащих переменные под знаком модуля, используют определение модуля:

Учебник математики

Иногда полезно воспользоваться геометрической интерпретацией модуля действительного числа, согласно которой Учебник математики означает расстояние точки Учебник математики координатной прямой от начала отсчета О, а Учебник математики означает расстояние между точками Учебник математики и Учебник математики на координатной прямой (см. п. 27).

Кроме того, можно использовать метод возведения в квадрат обеих частей неравенства, основанный на следующей теореме.

Теорема 7.

Если выражения f(x) и g(x) при любых х принимают только неотрицательные значения, то неравенства Учебник математики равносильны.

Применяется эта теорема при решении неравенств с модулями так.

Пусть нужно решить неравенство

Учебник математики

Так как при любых х из области определения выражений f(х) и g(x) справедливы соотношения Учебник математикиУчебник математики то данное неравенство равносильно неравенству

Учебник математики

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математики

Решение:

Способ 1-й.

| х - 1| можно рассматривать как расстояние на координатной прямой между точками х и 1. Значит, нам нужно указать на координатной прямой все точки х, которые удалены от точки 1 меньше чем на 2 единицы. С помощью координатной прямой (рис. 1.122) устанавливаем, что множество решений неравенства есть интервал (-1; 3).

Учебник математики

Способ 2-й.

Возведя обе части данного неравенства в квадрат, получим равносильное ему неравенство Учебник математики Решая последнее неравенство, получим Учебник математики, откуда находим, что -1 < х < 3 (см. п. 180 или 181).

Способ 3-й.

По определению модуля числа,

Учебник математики

поэтому данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств

Учебник математики

Из первой системы получаем Учебник математики, из второй системы -1 <х < 1. Объединив эти решения, получим промежуток (-1; 3).

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математики.

Решение: 

Имеем Учебник математики. Нам нужно указать на координатной прямой все такие точки х, которые удалены от точки -2,5 на расстояние, большее или равное 3,5. С помощью координатной прямой (рис. 1.123) находим решения: Учебник математики.

Учебник математики

Пример 3.

Решить неравенство Учебник математики.

Решение: 

Возведя обе части неравенства в квадрат, получим неравенство Учебник математики, равносильное данному. Преобразовав последнее неравенство, получим Учебник математики, откуда находим Учебник математики.

Пример 4.

Решить неравенство Учебник математики.

Решение: 

Если Учебник математики, то |2х + 4| = 2х + 4 и, следовательно, неравенство примет вид 2х + 4 < Зх + + 2. Если же 2х + 4 < 0, то |2х + 4| = -(2х + 4) и неравенство примет вид Учебник математикиУчебник математики. Таким образом, данное неравенство можно заменить совокупностью двух систем неравенств:

Учебник математики

Из первой системы находим Учебник математики, вторая система не имеет решений. Значит, множество решений неравенства — луч Учебник математики.

183. Решение рациональных неравенств методом промежутков.

(этот метод иногда называют методом интервалов) 

Решение рациональных неравенств вида Учебник математики (вместо знака > может быть и любой другой знак неравенства), где р(х) и q(x) — многочлены, основано на следующем рассуждении.

Рассмотрим выражение Учебник математики, где Учебник математики Если х > d, то каждый из множителей Учебник математики положителен и, следовательно, на промежутке Учебник математики имеем h(x) > 0. Если с < х < d, то х - d < 0, а остальные множители по-прежнему положительны. Значит, на интервале (с; d) имеем h(x) < 0. Аналогично, на интервале (b; с) будет h(x) > 0 и т. д. (рис. 1.124).

Изменение знаков h(x) удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (ее называют «кривой знаков»), которую чертят справа налево, начиная сверху (рис. 1.125). Эту иллюстрацию нужно понимать так: на тех промежутках, где эта кривая проходит выше координатной прямой, выполняется неравенство h(x) > 0, на тех же промежутках, где кривая проходит ниже прямой, имеем h(x) < 0.

Учебник математики

Для проведенного выше рассуждения было несущественно количество линейных множителей в числителе и знаменателе, а также взаимное расположение корней числителя и знаменателя дроби на координатной прямой. Поэтому оно применимо для любой функции у = f(x) вида

Учебник математики

где числа Учебник математики попарно различны. Изменение знаков функции у = f(x) мы также можем иллюстрировать с помощью кривой знаков, которую чертят справа налево, начиная сверху, и проводят через все отмеченные на координатной прямой точки Учебник математики. На этом основан метод промежутков, который с успехом применяется для решения рациональных неравенств.

Пример 1.

Решить неравенство

Учебник математики

Решение: 

Выполним преобразования левой части неравенства

Учебник математики

и умножим обе части неравенства на 8; получим неравенство Учебник математики равносильное данному.

Изменение знаков функции у = f(x), где

Учебник математики

иллюстрируем с помощью кривой знаков (рис. 1.126). Значения х, при которых f(x) < 0 (заштриховано), удовлетворяют следующим неравенствам:

Учебник математики

Это решения исходного неравенства.

Учебник математики


Пример 2.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математики и далее Учебник математики

Начертим кривую знаков для функции Учебник математикиУчебник математики (рис. 1.127). С ее помощью находим решения неравенства:

Учебник математики

Пример 3.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 
Выражение Учебник математики обращается в нуль при х = 1 и при х = -2, а при остальных значениях х оно положительно. Значения х = 1 и х = -2 удовлетворяют данному нестрогому неравенству, т. е. являются его решениями. Пусть теперь Учебник математики тогда Учебник математики, а потому, разделив обе части заданного неравенства на

Учебник математикиУчебник математики и сохранив знак заданного неравенства, получим неравенство Учебник математики, равносильное исходному (см. п. 174). Полученное неравенство имеет решение Учебник математики. В ответ нужно включить и отмеченное выше решение х = -2.

Ответ: Учебник математики

184. Показательные неравенства.

При решении неравенств вида Учебник математики следует помнить, что показательная функция Учебник математики возрастает при Учебник математики и убывает при Учебник математики (см. п. 94). Значит, в случае, когда Учебник математики, неравенство Учебник математики равносильно неравенству того же смысла f(х) > g(x). В случае же, когда Учебник математики, неравенство Учебник математики равносильно неравенству противоположного смысла f(х) < g(x).

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Здесь основание степени больше 1, поэтому, сравнивая показатели, запишем неравенство того же смысла Зх + 7 < 2х - 1. Решив это неравенство, получим х < -8.

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математики, то заданное неравенство можно записать в виде

Учебник математики

Так как 0 < 0,04 < 1, то, сравнивая показатели, запишем неравенство противоположного смысла Учебник математикиУчебник математики. Далее,

Учебник математики

185. Логарифмические неравенства.

При решении неравенств вида Учебник математики следует помнить, что логарифмическая функция Учебник математики возрастает при Учебник математики и убывает при Учебник математики (см. п. 96). Значит, в случае, когда Учебник математики, от исходного неравенства следует перейти к неравенству того же смысла f(х) > g(x). В случае же, когда Учебник математики, от исходного неравенства следует перейти к неравенству противоположного смысла f(х) < g(x). При этом следует учитывать, что логарифмическая функция определена лишь на множестве положительных чисел. Значит, должны выполняться неравенства f(х) > 0 и g(x) > 0.

Таким образом, неравенство Учебник математики при Учебник математики равносильно системе неравенств

Учебник математики

а при Учебник математики равносильно системе неравенств

Учебник математики

Заметим, что систему (1) можно упростить: неравенство f(x) > 0 вытекает из неравенств f(x) > g(x), g(x) > 0, поэтому неравенство f(x) > 0 можно опустить, т. е. переписать систему (1) в виде

Учебник математики

Аналогично, систему (2) можно переписать в виде 

Учебник математики 

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Так как Учебник математики, то данное неравенство можно переписать в виде Учебник математикиУчебник математики Далее имеем

Учебник математики

откуда Учебник математики

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Чтобы все логарифмы имели смысл, должны выполняться неравенства х + 2 > 0 и 2х - 6 > 0. Используя свойства логарифмов, преобразуем заданное неравенство:

Учебник математики

Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств

Учебник математики

Имеем последовательно:

Учебник математики

С помощью координатной прямой (рис. 1.128) устанавливаем, что множество решений последней системы, а значит, и заданного неравенства есть интервал (3; 8).

Учебник математики

186*. Иррациональные неравенства.

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:

Теорема 8.

Если обе части неравенства принимают на некотором множестве X только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X).

Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.

Рассмотрим неравенство вида

Учебник математики   (1)

Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства Учебник математики и решением неравенства g(x) > 0 (из неравенства (1) следует, что Учебник математики). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств

 

Учебник математики

 

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе

Учебник математики

Итак, неравенство Учебник математики равносильно системе неравенств

Учебник математики

Рассмотрим теперь неравенство вида

Учебник математики          (2)

Как и выше, заключаем, что Учебник математики, но в отличие от предыдущего случая здесь g(x) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев: g(x) < 0, Учебник математики. Получим совокупность систем неравенств:

Учебник математики

В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство — оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.

В итоге приходим к следующему результату: неравенство Учебник математики равносильно совокупности двух систем неравенств:

Учебник математики

Пример 1.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Это неравенство равносильно системе неравенств

Учебник математики

Решив систему, находим Учебник математики

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем неравенств:

Учебник математики

Второе неравенство второй системы можно опустить как следствие третьего неравенства той же системы.

Решив первую систему, получим х < -3, из второй системы получаем Учебник математики Объединив найденные решения, получим Учебник математики

187. Решение тригонометрических неравенств.

Рассмотрим примеры графического решения простейших тригонометрических неравенств, т. е. неравенств вида Учебник математики где f(х) — одна из тригонометрических функций.

Пример 1.

Решить неравенство sin х > 0.

Решение: 

Построим график функции у = sin х и выберем на оси х значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие выше оси х. Одним из промежутков, содержащих такие точки оси х, является интервал Учебник математики (рис. 1.129), а всего таких интервалов будет бесконечно много,

Учебник математики

причем в силу периодичности функции у = sin х каждый из них получается из Учебник математики сдвигом по оси х на Учебник математики Таким образом, решением заданного неравенства служит объединение интервалов вида Учебник математики Это можно записать так:

Учебник математики

Пример 2.

Решить неравенство Учебник математики

Решение: 

Построим график функции у = cos х и проведем прямую Учебник математики Нас интересуют те значения аргумента х, которым соответствуют точки графика, лежащие ниже прямой Учебник математики Одним из нужных нам промежутков является интервал Учебник математики (рис. 1.130).

Учебник математики

Воспользовавшись периодичностью функции у = cos х, запишем ответ:

Учебник математики

Пример 3.

Решить неравенство Учебник математики.

Решение: 

Построим график функции у = tg х и проведем прямую у = -1. Нас интересуют те значения х, которым соответствуют точки графика, лежащие не ниже прямой у = — 1.

Учебник математики

Одним из нужных нам промежутков является Учебник математики (рис. 1.131), а всего таких промежутков будет бесконечно много, причем в силу периодичности функции у = tg х каждый получается из Учебник математикисдвигом по оси х на Учебник математики Это позволяет записать решение следующим образом:

Учебник математики

188. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство f(x; у) > g(x; у). Решением неравенства с двумя переменными называют пару значений переменных, которая обращает неравенство с переменными в верное числовое неравенство. Известно, что пара действительных чисел (х; у) однозначно определяет точку координатной плоскости. Это дает возможность изобразить решения неравенства или системы неравенств с двумя переменными геометрически, в виде некоторого множества точек координатной плоскости.

Пример 1.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства х + у — 1 > 0.

Решение: 

Преобразуем данное неравенство к виду у > -х + 1. Построим на координатной плоскости прямую у = -х + 1. Так как ордината любой точки, лежащей выше прямой у = —х + 1, больше, чем ордината точки, имеющей такую же абсциссу, но лежащей на прямой, то множество точек плоскости, расположенных выше этой прямой, и будет геометрическим изображением решений заданного неравенства (рис. 1.132).

Учебник математики

Пример 2.

Изобразить на координатной плоскости множество решений неравенства Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Преобразуем неравенство к виду Учебник математики. Построим на координатной плоскости параболу — график функции Учебник математики.

Так как ордината любой точки, лежащей выше параболы Учебник математики, больше, чем ордината точки, имеющей ту же абсциссу, но лежащей на параболе, и так как неравенство Учебник математики нестрогое, то геометрическим изображением решений заданного неравенства будет множество точек плоскости, лежащих на параболе Учебник математики и выше нее (рис. 1.133).

Пример 3.

Изобразить на координатной плоскости множество решений системы неравенств

Учебник математики

Решение: 

Геометрическим изображением решений системы неравенств Учебник математики является множество точек первого координатного угла (рис. 1.134). Геометрическим изображением решений неравенства х + у < 5 или у < 5 - х является множество точек, лежащих ниже прямой, служащей графиком функции у = 5 - х (рис. 1.135).

Учебник математики

Учебник математики

Наконец, геометрическим изображением решений неравенства ху > 4 или, поскольку х > 0, неравенства Учебник математики является множество точек, лежащих выше ветви гиперболы, служащей графиком функции Учебник математики (рис. 1.136). В итоге получаем множество точек координатной плоскости, лежащих в первом координатном углу ниже прямой, служащей графиком функции у = 5 - х, и выше гиперболы, служащей графиком функции Учебник математики Учебник математики(рис. 1.137).

 

 

§ 18. Доказательство неравенств

 

189. Метод оценки знака разности.

Суть этого метода заключается в следующем: для того, чтобы установить справедливость неравенства f(x; у; z) > g(x; у; z) Учебник математики, составляют разность f(x; у; z) - g(x; у; z) и доказывают, что она положительна (соответственно отрицательна, неотрицательна, неположительна).

Пример: 

Доказать, что еслиУчебник математики то

Учебник математики

(среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического; это неравенство называют неравенством Коши).

Решение: 

Составим разность   Учебник математики

Имеем:

Учебник математики

Неравенство Учебник математики верно при любых неотрицательных значениях х и у. Значит, Учебник математики,причем равенство имеет место лишь в случае х = у.

Из неравенства Коши, в частности, следует неравенство Учебник математики, справедливое для всех х > 0.

190. Синтетический метод доказательства неравенств.

Суть этого метода заключается в следующем: с помощью ряда преобразований выводят требуемое неравенство из некоторых известных (опорных) неравенств. Опорными неравенствами являются, например, такие:

Учебник математики(неравенство Коши);

Учебник математики

Пример: 

Доказать, что Учебник математики, где Учебник математики — неотрицательные числа.

Решение: 

Используем здесь в качестве опорного неравенство Коши, составленное для неотрицательных чисел Учебник математики Имеем Учебник математики

Применив теперь неравенство Коши к числам Учебник математики, а также к числам с и d, получим

Учебник математики

Таким образом, Учебник математики

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда Учебник математики

191. Доказательство неравенств методом от противного.

Суть этого метода заключается в следующем. Пусть нужно доказать истинность неравенства

f(x; y;z)>g(x;y;z)    (1)

для любых х, у, z.

Предполагают противное, т. е. что хотя бы для одного набора переменных справедливо неравенство

Учебник математики    (2)

Используя свойства неравенств, выполняют преобразования неравенства (2). Если в результате этих преобразований получается неверное неравенство, то это означает, что предположение о справедливости неравенства (2) неверно, а потому верно неравенство (1).

Пример 1.

Доказать, что если Учебник математикиУчебник математики то

Учебник математики

Решение: 

Предположим противное, т. е. что для некоторого набора неотрицательных значений а, Ъ, с, d справедливо неравенство

Учебник математики

Возведем обе его части в квадрат. Получим

Учебник математики

Но это противоречит неравенству Коши, составленному для неотрицательных чисел Учебник математики

Значит, наше предположение неверно, т. е. для любых неотрицательных значений Учебник математики справедливо неравенство

Учебник математики

Пример 2.

Доказать неравенство

Учебник математики

Решение: 

Предположим противное, т. е. предположим, что существуют такие Учебник математики, для которых выполняется неравенство

Учебник математики

Воспользовавшись формулами

Учебник математики

(см. п. 131) и

Учебник математики

(см. п. 129), получим Учебник математики откуда Учебник математики. Так как на самом деле Учебник математики при любых значениях Учебник математики, то мы получили противоречие. Значит, наше предположение неверно, а потому справедливо неравенство Учебник математики

192*. Использование неравенств при решении уравнений.

Пусть нужно решить уравнение f(x) = g(x), и пусть существует такое число А, которое является одновременно наибольшим значением функции у = f(x) и наименьшим значением функции у = g(x). Тогда корнями уравнения f(x) = g(x) являются общие корни уравнений f(x) = A, g(x) = А, и только они. Этот метод является частным случаем функционального метода решения уравнений (см. п. 159).

Пример: 

Решить уравнение Учебник математики

Решение: 

С одной стороны, Учебник математики при всех Учебник математики (см. п. 189). С другой стороны, при всех х выполняется неравенство Учебник математики. Значит, корнями данного уравнения будут общие корни уравнений Учебник математики (если, конечно, такие общие корни есть; если их нет, то уравнение не имеет корней).

Из уравнения Учебник математики находим Учебник математики

Из уравнения Учебник математики находим х = 1.

Общим корнем этих уравнений является значение х = 1, оно и является единственным корнем заданного уравнения.

 

 

 

 

ГЛАВА VII

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

 

 

§ 19. Числовые последовательности

 

193.    Определение последовательности.

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие определенное действительное число (числу 1 соответствует число Учебник математики, числу 2 — число Учебник математики, числу 3 — число Учебник математики,..., числу Учебник математики — число Учебник математики и т. д.), то говорят, что задана числовая последовательность, и пишут Учебник математики или Учебник математики. Числа Учебник математики называют членами числовой последовательности: Учебник математики — первый член, Учебник математики — второй член, ..., Учебник математикиУчебник математики-й член последовательности.

Пример 1.

Учебник математики . Эта последовательность построена таким образом: каждому натуральному числу соответствует его квадрат. Здесь Учебник математики = Учебник математики.

Пример 2.

Для любой бесконечной десятичной дроби можно построить последовательность ее десятичных приближений по недостатку или по избытку. Например, для числа е = 2,71828... последовательность десятичных приближений по недостатку имеет вид

2; 2,7; 2,71; 2,718; 2,7182; 2,71828; ... .

194.    Способы задания последовательности.

Имеется три основных способа задания последовательности.

1. Аналитический способ. Последовательность задается формулой Учебник математики-го члена. Например, формулой Учебник математики задается последовательность Учебник математики, у которой 

Учебник математики

т. е. последовательность Учебник математики
2. Рекуррентный способ. Любой член последовательности начиная с некоторого выражается через предшествующие члены. При этом способе задания последовательности указывают ее первый член (или несколько начальных членов) и формулу, позволяющую определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.

Пример:

Учебник математики

Имеем

Учебник математики

В итоге получаем последовательность

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... .

Каждый ее член, кроме первых двух, равен сумме двух предшествующих ему членов.

3. Словесный способ. Задание последовательности словесным описанием. Такова, например, последовательность десятичных приближений числа е по недостатку (см. п. 193).

195. Возрастание и убывание последовательности.

Последовательность (Учебник математики) называют возрастающей, если каждый ее член меньше следующего за ним, т. е. если Учебник математики для любого Учебник математики. Последовательность (Учебник математики) называют убывающей, если каждый ее член больше следующего за ним, т. е. если Учебник математикиУчебник математики для любого Учебник математики.

Рассмотрим примеры.

1)    1, 4, 9, 16, 25, ..., Учебник математики, ... — возрастающая последовательность.

2)    2, 5, 8, 11, 14, ..., 3Учебник математики - 1, ... — возрастающая последовательность.

3) Учебник математики — возрастающая последовательность.

4)    -1, -2, -3, -4, ..., -Учебник математики, ... — убывающая последовательность.

5)   Учебник математики — убывающая последовательность.

6)    -1, 2, -3, 4, -5, 6, ..., Учебник математики, ...— эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

7)    3, 3, 3, 3, ..., 3,...— это постоянная, или стационарная, последовательность.

196. Определение арифметической прогрессии.

Последовательность (Учебник математики), каждый член которой начиная со второго равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d, называют арифметической прогрессией. Число d — разность прогрессии. Таким образом, арифметическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно (см. п. 194) равенством

Учебник математики

Например, Учебник математики

При d > 0 арифметическая прогрессия возрастает, при d < 0 убывает.

Пример 1.

Последовательность 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... — арифметическая прогрессия, у которой Учебник математики, d = 2.

Пример 2.

Дано: Учебник математики, d = 0,5. Этими условиями задается арифметическая прогрессия, у которой Учебник математики;

Учебник математики

Получаем арифметическую прогрессию

-2; -1,5; -1; -0,5; 0; 0,5; ... .

Пример 3.

Постоянная последовательность 2, 2, 2, 2, ..., 2, ... является арифметической прогрессией, у которой Учебник математики, d = 0.

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся арифметической прогрессией, а лишь ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной арифметической прогрессии.

Для указания того, что последовательность (Учебник математики) является арифметической прогрессией, иногда используется обозначение

Учебник математики

197. Свойства арифметической прогрессии.

1°. Формула Учебник математики-го члена арифметической прогрессии:

Учебник математики

2°. Формулы суммы первыхУчебник математикип членов арифметической прогрессии:

Учебник математики

Здесь Учебник математики

3°. Характеристическое свойство арифметической прогрессии. Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной арифметической прогрессии), равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Учебник математики

Пример 1.

Спортсмен за первую минуту бега пробежал 400 м, а в каждую следующую минуту пробегал на 5 м меньше, чем в предыдущую. Какой путь пробежал он за 1 ч?

Решение: 

За первую минуту бегун пробежал 400 м, за вторую — 395 м, за третью — 390 м и т. д. Числа 400, 395, 390, ... образуют арифметическую прогрессию, у которой Учебник математики = 400, d = -5. Путь за 1 ч, т. е. за 60 мин, равен сумме первых 60 членов прогрессии. Применив формулу (2), получим

Учебник математики

Итак, за 1 ч бегун пробежит 15 км 150 м.

Пример 2.

При делении 13-го члена арифметической прогрессии на ее 3-й член в частном получается 3, а при делении 18-го члена на 7-й член в частном получается 2 и в остатке 8. Найти 20-й член прогрессии.

Решение: 

Из условия следует, что Учебник математики, а Учебник математики (см. п. 3). По формуле Учебник математики-го члена имеем Учебник математикиУчебник математики В итоге приходим к системе двух уравнений с двумя переменными Учебник математики:

Учебник математики

Решая эту систему, получаем

Учебник математики

откуда d = 4, Учебник математики. Зная Учебник математики и d, нетрудно найти Учебник математики:

Учебник математики

198. Определение геометрической прогрессии.

Последовательность (Учебник математики), первый член которой отличен от нуля и каждый член начиная со второго равен предыдущему, умноженному на одно и то же отличное от нуля число q, называют геометрической прогрессией. Число q — знаменатель прогрессии. Таким образом, геометрическая прогрессия есть последовательность, заданная рекуррентно (см. п. 193) равенством

Учебник математики

где Учебник математики. Например, Учебник математики

Пример 1.

Последовательность 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... — это геометрическая прогрессия, у которой Учебник математики, q = 2.

Пример 2.

Последовательность 100, 30, 9, Учебник математикиУчебник математики — это геометрическая прогрессия, у которой Учебник математики

Пример 3.

Дано: Учебник математики, q = -3. Этими условиями задается геометрическая прогрессия, у которой Учебник математикиУчебник математикиУчебник математики

Получаем геометрическую прогрессию

2, -6, 18, -54, 162, ... .

Пример 4.

Постоянная последовательность 2, 2, 2, 2,..., 2,... является геометрической прогрессией, у которой Учебник математики q = 1.

Иногда рассматривают не всю последовательность, являющуюся геометрической прогрессией, а лишь ее первые несколько членов. В этом случае говорят о конечной геометрической прогрессии.

Для указания того, что последовательность (Учебник математики) является геометрической прогрессией, иногда используется обозначение

Учебник математики

199. Свойства геометрической прогрессии.

1°. Формула Учебник математики-го члена геометрической прогрессии:

Учебник математики

2°. Формулы суммы первых Учебник математики членов геометрической прогрессии:

Учебник математики

Здесь Учебник математики если q = 1, то Учебник математики

3°. Характеристическое свойство геометрической прогрессии. Последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого (и последнего в случае конечной геометрической прогрессии), связан с предыдущим и последующим членами формулой

Учебник математики

Пример 1.

Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математики (свойство 1°), то получаем Учебник математики

С другой стороны, по свойству 2°, Учебник математики ,

откуда находим

Учебник математики    (1)

Но Учебник математики (см. выше). Подставив это выражение в равенство (1), получим

Учебник математики

Зная Учебник математики и q, найдем Учебник математики:

Учебник математики

Пример 2.

Три числа образуют конечную геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 2, то новая тройка чисел будет представлять собой конечную арифметическую прогрессию. Если третье число этой новой тройки увеличить на 9, то снова получится геометрическая прогрессия. Найти первую тройку чисел.

Решение: 

Обозначим искомые три числа Учебник математикиУчебник математики

Используя обозначения Учебник математики для арифметической прогрессии и Учебник математики для геометрической прогрессии, запишем условие следующим образом:

Учебник математики

Воспользовавшись характеристическими свойствами арифметической (свойство 3°, п. 197) и геометрической (свойство 3°, п. 199) прогрессий, получим соответственно:

Учебник математики

Так как Учебник математики то:

Учебник математикиУчебник математики Первое условие как тождественное равенство можно опустить. Мы приходим к системе двух уравнений с двумя переменными Учебник математики

Учебник математики

Имеем далее

Учебник математики

Выразим Учебник математики через q из второго уравнения системы Учебник математики . Подставим это выражение вместо Учебник математики в первое уравнение системы, получим Учебник математики

откуда находим Учебник математики

Следовательно, Учебник математики при q = 2 и Учебник математики при q = -4.

Значит, условию задачи удовлетворяют две тройки чисел:

1) 4, 8, 16 (при Учебник математики, q = 2);

Учебник математики

200. Понятие о пределе последовательности.

Число Учебник математики называют пределом последовательности (Учебник математики), если, какое бы положительное число ни взять (это число обычно обозначают Учебник математики — греческая буква «эпсилон»), найдется номер N, начиная с которого (т. е. при Учебник математики) выполняется неравенство

Учебник математики

Пишут Учебник математики, или Учебник математики Говорят, что последовательность (Учебник математики) сходится к Учебник математики.

Геометрический смысл предела последовательности заключается в следующем. Если Учебник математики — предел последовательности (Учебник математики), то, какую бы окрестность точки Учебник математики ни выбрать, вся последовательность начиная с некоторого номера N будет изображаться точками, принадлежащими этой окрестности; окрестность точки Учебник математики — это интервал с центром в точке Учебник математики (рис. 1.138).

Учебник математики

Примеры:

1)    1, Учебник математики Чем больше номер члена последовательности, тем меньше этот член отличается от числа 0. Эта последовательность сходится, предел ее равен 0, т. е. Учебник математики

2)   Учебник математики Члены этой последовательности по мере увеличения номера все меньше и меньше отличаются от числа 1. Эта последовательность сходится, причем Учебник математики

В самом деле, Учебник математики Какое бы Учебник математики ни взять, найдется номер N такой, что для всех Учебник математики выполняется неравенство Учебник математики Чтобы найти такое N, достаточно решить неравенство Учебник математики и взять в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее этому неравенству.

3) Учебник математики Эта последовательность сходится, ее предел равен 0, т. е. Учебник математики

4)    2, 0, 3, 2, 0, 3, 2, 0, 3.....Эта последовательность не сходится, не имеет предела.

5)    Постоянная последовательность Учебник математикиУчебник математики сходится к пределу Учебник математики, т. е. Учебник математики

201. Вычисление пределов последовательностей.

Для вычисления пределов последовательностей используются такие утверждения.

1)    Последовательность Учебник математики сходится к числу 0 (см. пример 1) из п. 200):

Учебник математики

2)    Последовательность Учебник математики сходится к числу 0 (см. пример 3) из п. 200, где Учебник математики:

Учебник математики

3)   Учебник математики (см. пример 5) из п. 200.

Теорема 1.

Если Учебник математики то:

Учебник математики

Пример 1.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математикиУчебник математики, то Учебник математики

Аналогично устанавливается, что Учебник математики для любого натурального k.

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Разделим почленно числитель и знаменатель данной дроби на наивысшую (из имеющихся) степень переменной Учебник математики, т. е. на Учебник математики. Получим

Учебник математики

Воспользовавшись тем, что Учебник математикиУчебник математики и теоремой об арифметических операциях над пределами, получим

Учебник математики

202. Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q|< 1.

Пусть Учебник математики — бесконечная геометрическая прогрессия, у которой |q| < 1. Рассмотрим сумму первых ее Учебник математики членов: Учебник математикиУчебник математики Имеем (см. п. 199):

Учебник математики

Вычислим Учебник математики

Учебник математики

Итак, для бесконечной геометрической прогрессии, у которой |q| < 1, существует Учебник математики. Этот предел называют суммой бесконечной геометрической прогрессии и обозначают S:

Учебник математики

Пример: 

Сумма бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1 равна 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найти сумму первых шести членов прогрессии.

Решение: 

Обозначим заданную прогрессию так:

Учебник математики

По условию, ее сумма равна 9, т. е. Учебник математики

Рассмотрим последовательность Учебник математикиУчебник математики Каждый ее член получается из предыдущего умножением на Учебник математики, т. е. это геометрическая прогрессия Учебник математики у которой первый член равен Учебник математики, т. е. Учебник математики, а знаменатель Q равен Учебник математики, т. е. Учебник математики. Так как Учебник математики сумма новой прогрессии равна Учебник математики . По условию, эта сумма равна 40,5.

Значит, в итоге приходим к системе двух уравнений с двумя переменными

Учебник математики

Выразим Учебник математики из первого уравнения: Учебник математики Подставив результат во второе уравнение, получим Учебник математики откуда

Учебник математики

Тогда Учебник математики. Теперь можно найти сумму первых шести членов прогрессии:

Учебник математики

 

 

§ 20. Предел функции

 

203. Предел функции Учебник математики Горизонтальная асимптота.

Число Учебник математики называют пределом функции у = f(x) при стремлении х к Учебник математики, если, какое бы число Учебник математики ни взять, найдется число М > 0 такое, что для всех х > М выполняется неравенствоУчебник математики Пишут Учебник математики

Геометрически это означает, что график функции у = f(x) при выборе достаточно больших значений х безгранично приближается к прямой Учебник математики (рис. 1.139), т. е. расстояние от точки графика до прямой Учебник математики по мере удаления абсциссы х от начала координат может быть сделано меньше любого числа Учебник математики. Прямую Учебник математики называют в этом случае горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) (при Учебник математики).

Возьмем для примера функцию Учебник математики . Для этой функции имеем Учебник математикиУчебник математики Замечаем, что чем больше 2 юо ' 'v ' 21000

выбирается значение аргумента, тем меньше отличается от нуля значение функции, причем это отличие можно сделать меньше любого наперед заданного положительного числа Учебник математики. Значит, Учебник математики.

Это подтверждается и геометрически: прямая у = 0 является горизонтальной асимптотой графика функции Учебник математики (рис. 1.140).

Учебник математики

Прямая Учебник математики может быть горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) и при выборе достаточно больших по модулю, но отрицательных значений аргумента (рис. 1.141). Тогда говорят, что число Учебник математики является пределом функции у = f(х) при стремлении х к Учебник математики, и пишут Учебник математики Например, Учебник математики (рис. 1.142).

Учебник математики

Наконец, прямая Учебник математики может быть горизонтальной асимптотой графика функции у = f(x) и Учебник математики Так, прямая у = 1 — горизонтальная асимптота графика функции Учебник математики (рис. 1.143). В этом случае говорят, что число Учебник математики является пределом функции у = f(x) при стремлении х к Учебник математики, и пишут Учебник математики. Так, верны равенства Учебник математики

Учебник математики

Число Учебник математики называют пределом функции у = f(x) при стремлении х к Учебник математики, если, какое бы число Учебник математики ни взять, найдется число М > 0 такое, что для всех х < -М выполняется неравенство Учебник математики.

Число Учебник математики называют пределом функции у = f(x) при стремлении х к Учебник математики, если, какое бы число Учебник математики ни взять, найдется число М > 0 такое, что для всех х таких, что |x| > М, выполняется неравенство Учебник математики.

Зная предел функции при Учебник математики, можно построить горизонтальную асимптоту графика (если предел равен Учебник математики, то у = Учебник математики — горизонтальная асимптота); обратно: если известна горизонтальная асимптота графика функции, можно сделать вывод о ее пределе при Учебник математики (если у = Учебник математики — горизонтальная асимптота, то Учебник математики).

204. Вычисление пределов функций при Учебник математики.

Для вычисления пределов функций при Учебник математики используют теоремы об арифметических операциях над пределами.

Теорема 2.

Если Учебник математики то Учебник математики (теорема о пределе суммы).

Теорема 3.

Если Учебник математики, то Учебник математики (теорема о пределе произведения).

Теорема 4.

Если Учебник математики Учебник математики (теорема о вынесении постоянного множителя за знак предела).

Теорема 5.

Если Учебник математики и Учебник математики (теорема о пределе частного).

Пример 1.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Разделив числитель и знаменатель почленно на Учебник математики , получим Учебник математики и далее 

Учебник математики

Так как Учебник математики (см. п. 203), то, воспользовавшись теоремами 2-5, получим Учебник математикиУчебник математики  Итак,

Учебник математики

Пример 2.

Найти горизонтальную асимптоту графика функции Учебник математики при Учебник математики

Решение: 

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, надо вычислить предел функции при Учебник математики Имеем

Учебник математики

Значит, у = 0 — горизонтальная асимптота графика функции Учебник математики

205. Предел функции при Учебник математики. Непрерывные функции.

Рассмотрим функции у = f(x), у = g(x) и у = h(x), графики которых изображены на рисунках 1.144-1.146. Это разные функции, они отличаются своим поведением в точке Учебник математики. Если же Учебник математики, то f(x) = g(x) = h(x). Во всех трех случаях замечаем, что чем ближе х к Учебник математики, тем меньше отличается значение функции f(x), или g(x), или h(x) от числа Учебник математики — это отличие характеризуется выражением соответственно Учебник математики Для любой из рассматриваемых функций говорят, что предел функции при стремлении х к Учебник математики равен Учебник математики; пишут соответственно: Учебник математикиУчебник математики

Подчеркнем еще раз, что значение функции в самой точке Учебник математики (и даже сам факт существования или несуществования этого значения) не принимается во внимание.

Определение формулируется так: число Учебник математики называют пределом функции у = f(x) при стремлении х к Учебник математики, если, какое бы число Учебник математики ни взять, для всех достаточно близких к Учебник математики значений х, т. е. для всех х из некоторой окрестности точки Учебник математики, исключая, быть может, саму эту точку, будет выполняться неравенство Учебник математики

Учебник математики

Вернемся еще раз к рисунку 1.144. Замечаем, что для функции у = f(x), график которой изображен на рисунке 1.144, выполняется равенство Учебник математикиУчебник математики, т. е. Учебник математики. Если Учебник математики, то функцию у = f(x) называют непрерывной в точке Учебник математики. Если функция непрерывна в каждой точке интервала Учебник математики, то ее называют непрерывной на этом интервале. Если функция непрерывна на интервале Учебник математики, определена в точках Учебник математики и при стремлении точки х интервала Учебник математики к точкам Учебник математики значения функции у = f(х) стремятся соответственно к значениям Учебник математики то функцию у = f(х) называют непрерывной на отрезке Учебник математики.

Учебник математики

206. Вертикальная асимптота.

График функции у = f(х), изображенный на рисунке 1.147, обладает следующей особенностью: какое бы число р > 0 ни взять, можно указать такую окрестность точки Учебник математики, что для любого х из этой окрестности Учебник математики соответствующая ордината графика по модулю будет больше р, т. е. |f(х)| > р. Говорят, что прямая х = Учебник математики является вертикальной асимптотой графика функции у = f(x), и пишут Учебник математики.

Например, график функции Учебник математики имеет вертикальную асимптоту х = 0 и горизонтальную асимптоту у = 0 (рис. 1.148); график функции Учебник математики имеет вертикальную асимптоту х = 0 (рис. 1.149); график функции у = tg х имеет вертикальные асимптоты Учебник математики и т. д. 

Учебник математики

Если Учебник математики и в точке Учебник математики функции у = р(х), у = q(x) непрерывны, причем Учебник математики то х = Учебник математики — вертикальная асимптота графика функции у = f(x).

Например, график функции Учебник математики имеет две вертикальные асимптоты: х = 3 и х = -3 (рис. 1.150) — при указанных значениях х знаменатель Учебник математики обращается в нуль.

Учебник математики

207. Вычисление пределов функций при Учебник математики

Для вычисления пределов функций в точке основными являются следующие факты.

1)    Любая элементарная функция, т. е. функция, заданная аналитически рациональным (см. п. 48), иррациональным (см. п. 48), трансцендентным (см. п. 118) выражением или выражением, составленным из перечисленных с помощью конечного числа арифметических операций, непрерывна в любой внутренней точке области определения функции (т. е. в любой точке, принадлежащей области определения функции вместе с некоторой своей окрестностью); если х = Учебник математики — внутренняя точка области определения сложной функции у = f(g(x)), то и сложная функция у = f(g(x)) непрерывна в точке Учебник математики.

2)    Если функция у = f(x) непрерывна в точке х = Учебник математики,

Учебник математики

Пример 1.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Точка х = 4 — внутренняя точка области определения функции у = f(x), где Учебник математикиУчебник математики; значит, функция непрерывна в этой точке. Имеем Учебник математики Значит,

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Функция у = f(x), где Учебник математикиУчебник математики определена, а значит, непрерывна в точке Учебник математики, поэтому 

Учебник математики

Пример 3.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Функция у = f(x), гдеУчебник математикиУчебник математики не определена в точке х = 3, так как в этой точке знаменатель дроби обращается в нуль. Но числитель Учебник математики отличен от нуля в точке х = 3,  поэтому Учебник математики (см. п. 206); прямая х = 3 является вертикальной асимптотой графика функции Учебник математики

Пример 4.

Вычислить Учебник математики
Решение: 

Здесь в отличие от предыдущего примера и числитель, и знаменатель обращаются в 0 при х = 3. В подобных случаях для вычисления предела необходимы тождественные преобразования выражения, задающего функцию.
Имеем Учебник математики Поскольку при Учебник математики значение функции в самой точке х = 3 не принимается во внимание (см. п. 205), дробь можно сократить на х - 3, получим Учебник математики Итак,

Учебник математики

Пример 5.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

При х = —2 и числитель, и знаменатель обращаются в нуль. Выполним следующие преобразования заданного выражения:

Учебник математики

 

 

§ 21. Производная и ее применения

 

208. Приращение аргумента. Приращение функции.

Пусть функция у = f(x) определена в точках х и Учебник математики. Разность Учебник математики - х называют приращением аргумента, а разность Учебник математикиприращением функции при переходе от значения аргумента х к значению аргумента Учебник математики. Приращение аргумента обозначают Учебник математики; значит, Учебник математики, т. е. Учебник математики. Приращение функции обозначают Учебник математики:

Учебник математики

Пример 1.

Найти приращение функции Учебник математики при переходе от значения аргумента х к значению Учебник математики.

Решение: 

Имеем Учебник математики Значит,

Учебник математики

Итак, Учебник математики По этой формуле можно вычислять значение Учебник математики для любых заданных х и Учебник математики. Например, при х = 2, Учебник математики = 0,1 имеем

Учебник математики

при х = 1, Учебник математики = -0,2 получаем

Учебник математики

Пример 2.

Доказать, что для линейной функции Учебник математики справедливо равенство Учебник математики .

Решение: 

Имеем f(x) = kx + b, Учебник математикиУчебник математики

Значит, Учебник математикиУчебник математики откуда получаем Учебник математики, что и требовалось доказать.

Геометрический смысл доказанного равенства проиллюстрирован на рисунке 1.151: из треугольника АМВ получаем Учебник математики

Учебник математики

209. Определение производной.

Пусть функция у = f(х) определена в точке х и в некоторой окрестности этой точки. Пусть Учебник математики — приращение аргумента, причем такое, что точка х + Учебник математики принадлежит указанной окрестности точки х, а Учебник математики — соответствующее приращение функции, т. е.

Учебник математики

Если существует предел отношения приращения функции Учебник математики к приращению аргумента Учебник математики при условии, что Учебник математики, то этот предел называют значением производной функции у = f(х) в точке х и обозначают f'(x) или у', а функцию у = f(х) называют дифференцируемой в точке х.

Итак,

Учебник математики

f'(x) — это новая функция, определенная во всех таких точках х, в которых существует указанный выше предел; эту функцию называют производной функции у = f(x).

Пример 1.

Найти f'(2), если Учебник математики.

Решение:

Учебник математики

Тогда Учебник математикиУчебник математики

Значит, f'(2) = 4.

Опираясь на определение, можно рекомендовать следующий план отыскания производной функции у = f(x):

1)    фиксируем значение х, находим Дх);

2)    даем аргументу х приращение Учебник математики, находим f(x + Учебник математики);

3)    вычисляем приращение функции Учебник математикиУчебник математики

4)    составляем отношение Учебник математики;

5)    находим предел отношения Учебник математики при Учебник математики

Пример 2.

Найти производную функции Учебник математики.

Решение:

Учебник математики

210. Формулы дифференцирования. Таблица производных.

Операцию отыскания производной называют дифференцированием. В п. 209 получена одна из формул дифференцирования: Учебник математики По такому же плану можно вывести остальные формулы, которые приведены ниже.

Учебник математики

Например, (2х - 3)' = 2 (формула 2); Учебник математикиУчебник математики (формула 3);

Учебник математики (формула 4); Учебник математики (формула 7).

211. Дифференцирование суммы, произведения, частного.

Если функции Учебник математики дифференцируемы в точке х, то:

1°. Их сумма дифференцируема в точке х и

Учебник математики

(теорема о дифференцировании суммы).

2°. Функция Учебник математики, где С — постоянная, дифференцируема в точке х и

Учебник математики

(теорема о вынесении постоянного множителя за знак производной).

3°. Произведение функций Учебник математики дифференцируемо в точке х и

Учебник математики

(теорема о дифференцировании произведения).

4°. Частное функций Учебник математики дифференцируемо в точке х и

Учебник математики

(теорема о дифференцировании частного; здесь Учебник математики).

Пример 1.

Найти производную функции

Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись теоремами 1° и 2°, получим

Учебник математики

Осталось применить соответствующие формулы дифференцирования (см. п. 210). Получим

Учебник математики

Пример 2.

Найти Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись теоремой о дифференцировании произведения, получим

Учебник математики

Осталось применить соответствующие формулы дифференцирования (см. п. 210). Получим Учебник математикиУчебник математики

Итак, Учебник математики

Пример 3.

Вычислить f'(0), если Учебник математики

Решение: 

Сначала найдем f'(x). Воспользовавшись теоремой о дифференцировании частного, получим

Учебник математики

Теперь вычислим f'(0):

Учебник математики

212*. Сложная функция и ее дифференцирование.

Рассмотрим функцию  Учебник математики. Чтобы найти значение этой функции в фиксированной точке х, нужно:

1)    вычислить Учебник математики;

2)    найти значение синуса от полученного значения Учебник математики. Иными словами, сначала надо найти значение g(x) = Учебник математики, а потом найти sin g(x). В подобных случаях говорят, что задана сложная функция у =— f(g(x)). В нашем примере Учебник математикиУчебник математики Рассмотрим еще два примера.

Пример 1.

Составить сложную функцию у = = f(g(x)), если g(x) = In х, Учебник математики

Решение: 

Учебник математики

Пример 2.

Из каких функций составлена сложная функция Учебник математики

Решение: 

Эта функция — композиция составляющих: Учебник математики В самом деле, Учебник математикиУчебник математики

Пусть у = f(g(x)) — сложная функция, причем функция Учебник математики дифференцируема в точке х, а функция у = f(u) дифференцируема в соответствующей точке u. Тогда функция у = f(g(x)) дифференцируема в точке х, причем

Учебник математики

Запись f'(g(x)) означает, что производная вычисляется по формуле для f'(x), но вместо х подставляется g(x).

Пример 3.

Найти Учебник математики

Решение: 

Здесь Учебник математикиУчебник математики Значит, Учебник математикиУчебник математики

Пример 4.

Найти Учебник математики

Решение: 

Так как Учебник математики Учебник математики

213. Физический смысл производной.

Если s = s(t) — закон прямолинейного движения, то s'(t) выражает скорость движения в момент времени t, т. е. Учебник математики(мгновенная скорость).

Например, закон свободного падения тела выражается зависимостью Учебник математики . Тогда скорость падения в момент t такова:

Учебник математики

Вообще производная функции у = f(х) в точке х выражает скорость изменения функции в точке х, т. е. скорость протекания процесса, описываемого зависимостью у = f(х). В этом состоит физический смысл производной. Например, для функции Учебник математики имеем f'(x) = 2х, при х = 2 имеем f'(2) = 4, а при х = 3 имеем f'(3) = 6. Это значит, что в точке х = 2 функция изменяется в 4 раза быстрее аргумента, а в точке х = 3 — в 6 раз быстрее.

214*. Вторая производная и ее физический смысл.

Пусть функция у = f(х) имеет производную. Производная — это новая функция, которая, в свою очередь, может иметь производную. Производную f'(х) называют второй производной функции у = f(х) и обозначают f"(х) или у".

Пример 1.

Найти у", если Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математикиУчебник математикиИтак, Учебник математики

Если s = s(t) — закон прямолинейного движения, то вторая производная выражает скорость изменения скорости этого движения, т. е. ускорение Учебник математики = s"(t). В этом состоит физический смысл второй производной.

Пример 2.

Материальная точка движется прямолинейно по закону Учебник математики . Доказать, что сила,

действующая на тело, пропорциональна кубу пройденного пути.

Решение: 

По второму закону Ньютона, Учебник математикиУчебник математики, где F — сила, действующая на тело, Учебник математики — ускорение, Учебник математики — масса;Учебник математики Имеем:

Учебник математики

Значит, Учебник математики, т. е. сила F пропорциональна Учебник математики (8m — коэффициент пропорциональности).

215. Касательная к графику функции.

Касательной к графику функция у = f(x), дифференцируемой в точке х = Учебник математики, называют прямую, проходящую через точку Учебник математики и имеющую угловой коэффициент Учебник математики.

Учебник математики

Геометрический смысл этого определения состоит в следующем. Рассмотрим график функции у = f(x), дифференцируемой в точке Учебник математики, выделим на нем точку Учебник математики и проведем секущую Учебник математики где Учебник математики — точка графика, соответствующая значению аргумента Учебник математики (рис. 1.152). Угловой коэффициент прямой Учебник математики вычисляется по формуле Учебник математики (см. п. 208).

Если точку Р двигать по графику, приближая ее к точке М, то прямая MP начнет поворачиваться вокруг точки М (на рис. 1.152 указаны два положения точки Р — Учебник математики). Чаще всего в этом процессе секущая MP стремится занять некоторое предельное положение. Это предельное положение представляет собой прямую, с которой практически сливается график функции у = f(x) в некоторой окрестности точки а; эта прямая и есть касательная к графику функции у = f(x) в точке Учебник математики. В самом деле, угловой коэффициент такой предельной прямой (обозначим его k) получается из углового коэффициента секущей в процессе предельного перехода от Р к М:

Учебник математики

Но условие Учебник математики можно заменить условием Учебник математики, а вместо Учебник математики написать Учебник математики . В итоге получаем

Учебник математики

Но Учебник математики — это значение производной функции у = f(x) в фиксированной точке Учебник математики, т. е. Учебник математики (см. п. 209).

Итак, k = Учебник математики, т. е. значение производной функции у = f(x) в точке Учебник математики равно угловому коэффициенту касательной к графику функции у = f(x) в точке Учебник математики (рис. 1.153). В этом состоит геометрический смысл производной.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке Учебник математики, то в этой точке к графику можно провести касательную; верно и обратное: если в точке Учебник математики к графику функции у = f(x) можно провести невертикальную касательную, то функция дифференцируема в точке х.

Учебник математики                Учебник математики

Это позволяет по графику функции находить точки, в которых функция имеет или не имеет производную. Так, функция, график которой изображен на рисунке 1.154, дифференцируема во всех точках, кроме точки х = 1; в этой точке график имеет заострение и касательную провести нельзя.

Уравнение касательной к графику функции у = f(x) в точке Учебник математики имеет вид

Учебник математики

Пример 1.

Составить уравнение касательной к графику функции Учебник математики в точке х = 4.

Решение: 

Имеем: Учебник математики

Учебник математики

Подставив найденные значения Учебник математики в уравнение (1), получим

Учебник математики

Пример 2.

Найти угол, который образует с осью х касательная к графику функции Учебник математикипроведенная в точке х = 0.

Решение: 

Имеем: Учебник математикиУчебник математики

Учебник математики

Значит, Учебник математики, откуда заключаем, что искомый угол а равен 60°.

Пример З.

К графику функции Учебник математики провести касательную так, чтобы она была параллельна прямой у = —х + 2.

Решение: 

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны (см. п. 81). Угловой коэффициент прямой у = -х + 2 равен -1, а угловой коэффициент касательной равен Учебник математики Значит, точку касания мы можем найти из уравнения Учебник математики = -1.

Имеем Учебник математикиУчебник математикизначит, Учебник математики

Решим уравнение Учебник математики Имеем Учебник математикиУчебник математики значит, либо Учебник математики откуда Учебник математикиУчебник математики

Если Учебник математики, то Учебник математики и уравнение касательной имеет вид у = 3 - (х - 4), т. е. у = 7 - х.

Если Учебник математики, то Учебник математики и уравнение касательной имеет вид у = -1 - (х - 0), т. е. у = -х -1.

Пример 4.

Через точку О (0; 0) провести касательную к графику функции у = In х.

Решение: 

Здесь, как и в предыдущем примере, неизвестна точка касания Учебник математики. Чтобы ее найти, составим уравнение касательной в общем виде. Имеем f(x) = In х, Учебник математики значит, Учебник математикиУчебник математики и уравнение касательной имеет вид

Учебник математики                   (2)

По условию касательная должна проходить через точку О (0; 0), т. е. координаты точки О (0; 0) должны удовлетворять уравнению (2). Подставив х = 0, у = 0 в уравнение (2), получим Учебник математики откуда Учебник математики Если теперь в уравнение (2) подставить найденное значение точки касания Учебник математики получим Учебник математики т. е.

Учебник математики

Это - уравнение искомой касательной (рис. 1.155).

Учебник математики

216. Применение производной к исследованию функций на монотонность.

Производная позволяет во многих случаях сравнительно просто исследовать функцию на монотонность. Достигается это с помощью следующих двух теорем:

Теорема 6.

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна в промежутке X и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неотрицательную производную (f'(x) > 0), причем равенство f'(x) = 0 выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция у = f(x) возрастает на промежутке X.

Теорема 7.

Пусть функция у = f(x) определена и непрерывна в промежутке ж и во всех внутренних точках этого промежутка имеет неположительную производную (f'(x) < 0), причем равенство f'(x) = 0 выполняется не более чем в конечном числе точек этого промежутка. Тогда функция у = f(x) убывает на промежутке X.

Пример 1.

Исследовать на монотонность функцию

Учебник математики.

Решение: 

Имеем Учебник математики Справедливо неравенство Учебник математики причем знак равенства имеет место лишь в одной точке х = 0. Значит, по теореме 6 функция Учебник математики возрастает на всей числовой прямой.

Пример 2.

Исследовать на монотонность функцию

у = 2 sin х - Зх.

Решение: 

Имеем у' = 2 cos х - 3. Так как Учебник математики, то 2 cos х - 3 < 0 при всех х. Значит, по теореме 7 функция у = 2 sin х - Зх убывает на всей числовой прямой.

Пример 3.

Исследовать на монотонность функцию

Учебник математики

Решение: 

Имеем Учебник математикиУчебник математики

Знаки выражения Учебник математики меняются так, как показано на рисунке 1.156 (см. п. 183).

Учебник математики

Но область определения исследуемой функции задается неравенством х > 2. Значит, из показанных на рисунке четырех промежутков нас интересуют только два: промежуток (2; 3) — на нем у' < 0 и, следовательно, функция на этом интервале убывает, — и промежуток Учебник математики на нем у' > 0 и, следовательно, функция на этом промежутке возрастает.

Указанные два промежутка имеют общую концевую точку х = 3. В точке х = 3 заданная функция определена и непрерывна. В таких случаях при исследовании функции на монотонность концевую точку включают в промежуток монотонности.

Ответ: Функция убывает на полуинтервале (2; 3] и возрастает на луче Учебник математики

217. Применение производной к исследованию функций на экстремум.

Говорят, что функция у = f(x) имеет максимум (минимум) в точке Учебник математики, если у этой точки существует окрестность, в которой Учебник математики

Учебник математики

Так, функция, график которой изображен на у-рисунке 1.157, имеет максимум в точках Учебник математики и Учебник математики и минимум в точках Учебник математики

Точки максимума и минимума объединяют общим термином — точки экстремума.

Обратимся еще раз к рисунку 1.157. Замечаем, что в точках Учебник математики к графику функции можно провести касательные, причем эти касательные будут параллельны оси х, а значит, угловой коэффициент каждой из касательных равен нулю; итак,Учебник математики В точках же Учебник математики касательную к графику провести нельзя; значит, в этих точках производная функции у = f(x) не существует (см. п. 215). Таким образом, в точках экстремума на рисунке 1.157 производная либо равна нулю, либо не существует. Это — общее положение, подтверждаемое следующей теоремой.

Теорема 8.

Если функция у = f(x) имеет экстремум в точке Учебник математики, то либо Учебник математики не существует (необходимое условие экстремума).

Точки, в которых Учебник математики, называют стационарными, а точки, в которых Учебник математики не существует и которые принадлежат области определения функции, называют критическими. Теорема 8 означает, что экстремумы функций могут достигаться только в стационарных или критических точках. Обратная теорема, однако, неверна: не во всякой стационарной или критической точке функция имеет экстремум. Так, функция Учебник математики имеет одну стационарную точку х = 0 (в ней Учебник математики), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Функция, график которой изображен на рисунке 1.158, имеет критическую точку Учебник математики — это точка излома, в ней у' не существует, но в этой точке нет ни максимума, ни минимума.

Учебник математики

Как узнать, когда стационарная или критическая точка функции является точкой экстремума? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема 9.

Пусть Учебник математики — стационарная или критическая точка функции у = f(x) и пусть существует интервал Учебник математики, содержащий точку Учебник математики внутри себя и такой, что на каждом из интервалов Учебник математики производная f'(x) существует и сохраняет постоянный знак. Тогда:

1)    если на Учебник математики производная у' > 0, а на Учебник математики производная у' < 0, то Учебник математики — точка максимума функции у = f(x);

2)    если на Учебник математики производная у' < 0, а на Учебник математики производная у' > 0, то Учебник математики — точка минимума функции у = f(x);

3)    если и на Учебник математики, и на Учебник математики производная у' < О или у' > 0, то Учебник математики не является точкой экстремума функции у = f(x) (достаточное условие экстремума).

Из теорем 8 и 9 вытекает следующее правило исследования функции у = f(x) на экстремум:

1)    найти область определения функции;

2)    найти f'(x);

3)    найти точки, в которых выполняется равенство f'(x) = 0;

4)    найти точки, в которых f'(x) не существует;

5)    отметить на координатной прямой все стационарные и критические точки и область определения функции у = f(x); получатся промежутки области определения функции, на каждом из которых производная функции у = f(x) сохраняет постоянный знак;

6)    определить знак у' на каждом из промежутков, полученных в п. 5;

7)    сделать выводы о наличии или отсутствии экстремума в каждой из выделенных точек в соответствии с теоремой 9.

Пример 1.

Исследовать на экстремум функцию

Учебник математики

Решение:

1)    Функция определена при всех х.

2)    Учебник математики

3)    Из уравнения Учебник математики находим Учебник математикиУчебник математики (стационарные точки).

4)    у' существует при всех х (критических точек нет).

5)    Отметим точки Учебник математикиУчебник математики на координатной прямой (рис. 1.159).

Учебник математики

6) у' = 6(х - 2)(х - 3). Знаки ■ -х производной на полученных промежутках отмечены на рисунке 1.159.

7) При переходе через точку х = 2 слева направо производная у' меняет знак с «+» на « — », значит, х = 2 — точка максимума; при переходе через точку х = 3 производная меняет знак с «—» на «+», значит, х = 3 — точка минимума. В точке х = 2 имеем Учебник математикиУчебник математики, в точке х = 3 имеем Учебник математики

Пример 2.

Исследовать на экстремум функцию

Учебник математики

Решение:

1) Область определения функции задается неравенством х > 2. 

2) Учебник математики

3) в области определения функции, т. е. при х > 2, нет ни стационарных, ни критических точек; значит точек экстремума у функции нет.

Пример 3.

Исследовать на экстремум функцию Учебник математики

Решение:

1) Область определения Учебник математики

2)    Учебник математики

3)    у' = 0 при х = 3 или при х = -1.

4)    у' не существует при х = 1, но эта точка не принадлежит области определения функции.

5)    Отметим на координатной прямой точки х = -1, х = 3 и точку х = 1 (рис. 1.160).

Учебник математики

6)    Знаки производной на полученных промежутках отмечены на рисунке 1.160.

7)    х = -1 — точка максимума, Учебник математики

х = 3 — точка минимума, Учебник математики

218. Отыскание наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции на отрезке.

Говорят, что функция у = f(x), определенная на промежутке X, достигает на нем своего наибольшего (наименыиего) значения, если существует точка а, принадлежащая этому промежутку, такая, что для всех х из X выполняется неравенство Учебник математикиУчебник математики

Обозначения соответственно: Учебник математики

Теорема 10.

Функция, непрерывная на отрезке, достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значений.

Наибольшее значение М и наименьшее значение Учебник математики непрерывной функции могут достигаться как внутри отрезка, так и на его концах (рис. 1.161). Если наибольшего (наименьшего) значения функция достигает во внутренней точке отрезка, то эта точка является точкой экстремума; впрочем, для практики достаточно того, что эта точка стационарная или критическая.

Учебник математики

Алгоритм отыскания наибольшего и наименьшего значений непрерывной функции у = f(х) на отрезке Учебник математики:

1)    найти f'(x);

2)    найти точки, в которых f'(x) = 0 или f'(x) не существует, и отобрать из них те, что лежат внутри отрезка Учебник математики;

3) вычислить значения функции у = f(x) в точках, полученных в п. 2, и на концах отрезка и выбрать из них наибольшее и наименьшее; они и будут соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции у = f(x) на отрезке Учебник математики.

Пример: 

Найти наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции Учебник математики на отрезке [0; 6].

Решение:

1)    Учебник математики

2)    у' существует при всех х. Найдем точки, в которых у' = 0. Имеем:

Учебник математики

Отрезку [0; 6] принадлежит лишь точка х = 5.

3)    вычислим значения функции в точках 0, 5, 6:

Учебник математики

Наибольшим из найденных значений функции является число 225, наименьшим — число 50. Итак, Учебник математики

219*. Отыскание наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке.

Задача отыскания наибольшего (наименьшего) значения непрерывной функции на незамкнутом промежутке, например на интервале Учебник математики, не всегда имеет решение. Так, на рисунках 1.162—1.164 изображены графики непрерывных на Учебник математики функций. Функция Учебник математики достигает и наибольшего, и наименьшего значений, функция Учебник математики достигает наибольшего значения, а наименьшего значения на Учебник математики у нее нет, у функции Учебник математики на Учебник математики нет ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Учебник математики

Если поставлена задача найти Учебник математики для непрерывной на Учебник математики функции у = f(x), то она решается по тому же правилу, что соответствующая задача для отрезка Учебник математики (см. п. 218). Отличие: на третьем этапе вместо вычисления значений функции на концах отрезка находят пределы функции при приближении к концам интервала.

Пример:

Найти наименьшее значение функции Учебник математики на интервале Учебник математики.

Решение: 

1) Найдем производную данной функции:

 

Учебник математики

2) у' = 0, если 1 + 2 cos x = 0 или 2 + cos x = 0. Но второе уравнение не имеет решений, так как Учебник математики, а из первого находим Учебник математикиУчебник математики (см. п. 154). Из этих значений интервалу Учебник математики принадлежит лишь значение Учебник математики

Производная у' не существует, если Учебник математики Но на Учебник математики это уравнение не имеет решений.
Итак, внутри интервала Учебник математики функция имеет лишь одну стационарную точку Учебник математики

3) Если Учебник математики

При приближении к концам интервала, т. е. при Учебник математики или при Учебник математики, знаменатель дроби Учебник математики стремится к 0, а числитель соответственно к 9 или к 1. Значит, и в том и в другом случае Учебник математики (см. п. 206).

Поскольку при приближении к концам интервала Учебник математики значения функции неограниченно увеличиваются, наименьшего значения функция достигает в единственной стационарной точке, т. е. в точке Учебник математики Итак Учебник математики

Иногда для отыскания наибольшего или наименьшего значения непрерывной функции у = f(x) на промежутке Учебник математики полезны два утверждения:

Теорема 11.

Если функция у = f(x) имеет в промежутке X только одну стационарную или критическую точку Учебник математики, причем это точка максимума, то Учебник математики — наибольшее значение функции на промежутке X.

Теорема 12.

Если функция у = f(x) имеет в промежутке X только одну стационарную или критическую точку Учебник математики, причем это точка минимума, то Учебник математики — наименьшее значение функции на промежутке X.

Так, в рассмотренном выше примере функция имела в интервале Учебник математики лишь одну стационарную точку Учебник математики При переходе через эту точку знакипроизводной меняются с «—» на «+». Значит, Учебник математики— точка минимума, а потому Учебник математики — наименьшее значение функции на интервале Учебник математики.

220. Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин.

Задачи на отыскание наибольших или наименьших значений величин удобно решать по следующему плану.

1)    Выявляют оптимизируемую величину (т. е. величину, наибольшее или наименьшее значение которой требуется найти) и обозначают ее буквой у (или S, р, г, R и т. д. в зависимости от сюжета задачи).

2)    Одну из неизвестных величин (сторону, угол и т. д.) объявляют независимой переменной и обозначают буквой х; устанавливают реальные границы изменения х в соответствии с условиями задачи.

3)    Исходя из конкретных условий данной задачи, выражают у через х и известные величины.

4)    Для полученной на третьем шаге функции у = f(x) находят наибольшее или наименьшее значение (в зависимости от требований задачи) по промежутку реального изменения х, найденному на втором шаге.

5)    Интерпретируют результат, полученный на четвертом шаге, для данной конкретной задачи.

На первых трех этапах составляется, как принято говорить, математическая модель задачи. Здесь часто успех решения зависит от разумного выбора независимой переменной. Важно, чтобы было сравнительно нетрудно выразить у через х. На четвертом этапе составленная математическая модель исследуется чаще всего с помощью производной, реже элементарными способами. В момент такого исследования сюжет самой задачи, послужившей отправной точкой для математической модели, исследователя не интересует. И лишь когда закончится решение задачи в рамках составленной математической модели, полученный результат интерпретируется для исходной задачи (пятый этап).

Пример 1.

В степи, в 9 км к северу от шоссе, идущего с запада на восток, находится поисковая партия. В 15 км к востоку от ближайшей к поисковой партии точки шоссе, находится райцентр. Поисковая партия отправляет курьера-велосипедиста в райцентр. Каков должен быть маршрут следования курьера, чтобы он прибыл в райцентр в кратчайший срок, если известно, что по степи он едет со скоростью 8 км/ч, а по шоссе — 10 км/ч?

Учебник математики

Решение: 

Сделаем чертеж. На рисунке 1.165 точка Р означает местонахождение поисковой партии, прямая Учебник математики — шоссе, В — райцентр, РА = 9 км, АВ = 15 км, РМВ — маршрут следования курьера, причем положение точки М между A и В. В пока неизвестно.

Будем решать задачу поэтапно.

1.    Оптимизируемая величина — время t движения курьера из Р в В; надо найти Учебник математики

2.    Положим AM = х. По смыслу задачи точка М может занять любое положение между A и В, не исключая самих точек А и В. Значит, реальные границы изменения х таковы: Учебник математики.

3.    Выразим t через х. Имеем Учебник математикиУчебник математики Этот путь велосипедист едет со скоростью 8 км/ч, т. е. время Учебник математики за которое велосипедистпроходит путь, выражается формулой Учебник математики Далее, MB = 15 - х. Этот путь велосипедист едет со скоростью 10 км/ч, т. е. время Учебник математики за которое он проезжает этот путь, выражается формулой Учебник математики Суммарное время t, за которое он проезжает весь путь, равно Учебник математики т. е. Учебник математикиУчебник математики

4. Нужно найти наименьшее значение функции

Учебник математикиУчебник математики

на отрезке [0; 15]. Используем для этого план из п. 218:

1) Учебник математики

2) t' существует при всех х. Найдем точки, в которых t' = 0. Имеем:

Учебник математики

Значение х = 12 принадлежит отрезку [0; 15].

3) Составим таблицу значений функции, куда включим значения функции на концах отрезка и в найденной стационарной точке:

Учебник математики

Четвертый этап решения задачи закончен, нам осталось интерпретировать полученный результат применительно к исходной задаче.

5. Время Учебник математики достигается при х = 12. Значит, велосипедисту надо ехать по такому маршруту РМВ, чтобы расстояние между точками А и М по шоссе было равно 12 км.

Пример 2.

Через фиксированную точку М внутри данного угла провести прямую, отсекающую от этого угла треугольник наименьшей площади (рис. 1.166).

Учебник математики

Решение (по этапам):

1.    Оптимизируемая величина — площадь S треугольника АОВ.

2.    Проведем DM || ОВ, МК || OA. Положим KB = х; реальные границы изменения х таковы: Учебник математики

3.    Поскольку М — фиксированная точка, отрезки DM и КМ тоже фиксированы; положим Учебник математикиУчебник математикии выразим S через х, Учебник математики

Рассмотрим треугольники МКВ и АОВ, они подобны; значит, Учебник математики , т. е. Учебник математики Отсюда находим Учебник математики

Далее имеем Учебник математики

Значит, Учебник математики (математическая модель задачи составлена).

4.    Рассмотрим функцию Учебник математикигде Учебник математики

Найдем ее наименьшее значение:

1)    Учебник математики

2)    производная не существует в точке х = 0, а обращается в нуль в точках Учебник математики Из этих трех точек промежутку Учебник математики принадлежит лишь точка Учебник математики;

3)    Учебник математики — единственная стационарная точка, принадлежащая промежутку Учебник математики  причем точка минимума. Значит, по теореме 11 (п. 219), наименьшее значение функции достигается именно в точке Учебник математики;

5.    Вернемся к исходной геометрической задаче. Если Учебник математики, то, поскольку Учебник математики, МК — средняя линия треугольника АО В; значит, М — середина АВ. Таким образом, чтобы от сторон угла отсечь треугольник наименьшей площади, надо провести через точку М прямую так, чтобы ее отрезок, заключенный между сторонами угла, делился в точке М пополам.

221. Применение производной для доказательства неравенств.

Пример 1.

Доказать, что при Учебник математики справедливо неравенство 

Учебник математики

Решение:

Рассмотрим функцию у = f(x), где Учебник математики , и найдем ее производную:Учебник математикиУчебник математики Замечаем, что на интервале (0; 1) производная f'(x) < 0; значит, функция у =f( х) убывает на этом интервале (см. п. 216). Поэтому, в частности, при Учебник математики справедливо неравенство Учебник математики .

Но Учебник математики

Итак, f(х) > 5, т. е. Учебник математики, что и требовалось доказать.

Пример 2.

Доказать, что если Учебник математики, то Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

Рассмотрим функцию у = f(х), где f(х) = х + cos х, и найдем ее производную: f'(x) = 1 - sin х. Замечаем, что Учебник математики при любых х, т. е. функция возрастает на всей числовой прямой. Значит, из Учебник математики вытекает Учебник математики, т. е. Учебник математикиУчебник математики

Пример 3.

Доказать, что при всех х справедливо неравенство

Учебник математики

Решение: 

Рассмотрим функцию у = f(x), где Учебник математики, и исследуем ее на экстремум. Имеем

Учебник математики

f'(х) = 0 при Учебник математики. Других стационарных или критических точек у функции нет (уравнение Учебник математикиУчебник математики не имеет корней). f'(x) < 0 при Учебник математики, a f'(x) > 0 при Учебник математики; значит, Учебник математики — точка минимума функции. Так как других точек экстремума у данной непрерывной функции нет, то Учебник математики — наименьшее значение функции (см. теорему 12 из п. 219). Но Учебник математики

Итак, Учебник математики

222. Общая схема построения графика функции.

Пусть нужно построить график функции у = f(x). Для этого нужно рассмотреть некоторые свойства функции, что обычно сопровождается соответствующей иллюстрацией на координатной плоскости. Это помогает создать графический образ функции. В то же время графические представления помогают лучше понять свойства функции, а иногда и предвидеть их. Полезно придерживаться следующего плана;

1)    найти область определения функции у = f(x);

2)    найти точки, в которых f(x) = 0 (точки пересечения графика с осью абсцисс);

3)    отметить на оси х точки, найденные в п. 2, и точки, в которых функция не определена, найденные в п. 1; эти точки разбивают ось абсцисс на несколько промежутков, на каждом из которых функция сохраняет постоянный знак, установить знак функции на каждом из промежутков;

4)    исследовать функцию на четность и нечетность (в случае четности или нечетности функции можно ограничиться исследованием и построением графика при Учебник математики, а затем воспользоваться симметрией графика — см. п. 74, 76);

5)    найти вертикальные и горизонтальные асимптоты (см. п. 203, 206);

6)    исследовать функцию на экстремум;

7)    найти несколько дополнительных контрольных точек и построить график.

Для периодических функций полезно с самого начала найти основной период Т (см. п. 76), с тем чтобы, исследовав функцию и построив ветвь графика на промежутке Учебник математикипостроить затем, воспользовавшись периодичностью, весь график.

Если выполнение каких-либо шагов предложенной схемы сопряжено с техническими трудностями, их иногда можно опустить.

Пример 1.

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики

Решение:

1)    Функция определена при всех х.

2)    Из уравнения Учебник математики находим Учебник математикиУчебник математики

3)    Точки -2; 0; 2 разбивают ось абсцисс на 4 промежутка. Изменение знаков функции Учебник математикиУчебник математики на промежутках отражено на рисунке 1.167. Соответствующая иллюстрация на координатной плоскости представлена на рисунке 1.168 (закрашены те полуполосы, где графика не будет).

Учебник математики

4) Учебник математикиУчебник математикиУчебник математики; значит, функция нечетна, ее график симметричен относительно начала координат.

5)    Асимптот у графика нет.
6) Учебник математикиУчебник математики

Учебник математикиУчебник математики

Учебник математики

Точка Учебник математики принадлежит отрезку [0; 2], из рисунка 1.168 ясно, что в этой точке функция будет иметь минимум (здесь мы как раз имеем тот случай, когда графические представления позволяют сделать вывод о свойствах функции)

Учебник математики

Аналогично, в точке Учебник математики функция имеет максимум: Учебник математики

7) В качестве дополнительных возьмем две точки х = 3, х = -3. Имеем f(3) = 15, f(-3) = -15.

Использовав найденные 7 точек, строим график функции (рис. 1.169).

Учебник математики

Пример 2.

Построить график функции Учебник математикиУчебник математики

Решение: 

1) Область определения: Учебник математики

2) Из уравнения Учебник математикиУчебник математики находим Учебник математики

3) Точки 2, -2, 3, -3 разбивают ось абсцисс на 5 промежутков. Изменение знаков функции Учебник математики по промежуткам представлено на рисунке 1.170, соответствующая иллюстрация на координатной плоскости дана на рисунке 1.171.

Учебник математики

Учебник математики

4)    Функция четна, так как f(-x) = f(x). Значит, график функции симметричен относительно оси ординат.
5)    х = 2, х = -2 — вертикальные асимптоты (см. п. 206).

Чтобы найти горизонтальную асимптоту, вычислим Учебник математики. Для этого числитель и знаменатель дроби разделим почленно на Учебник математики (см. п. 204):

Учебник математики

Итак, Учебник математики; значит, у = 1 — горизонтальная асимптота графика функции (см. п. 203).

6) Учебник математикиУчебник математики

Производная обращается в нуль в точке х = 0 и не существует в точках х = ±2. Но эти последние не принадлежат области определения функции; значит, функция имеет лишь одну стационарную точку х = 0. При переходе через эту точку производная меняет знак с «-» на «+»; значит, х = 0 — точка минимума;Учебник математики

7) В качестве дополнительных возьмем следующие точки: х = ±1, х = ±4. Имеем Учебник математикиУчебник математикиУчебник математики

Использовав найденные 7 точек, строим график функции (рис. 1.172).

 

 

§ 22. Первообразная и интеграл

 

223. Первообразная.

Функцию у = F(x) называют первообразной для функции у = f(x) на промежутке X, если для любого х из X выполняется равенство F'(x) = f(x).

Примеры:

1.    Пусть Учебник математики. Тогда первообразная F(x) имеет вид Учебник математики, так как Учебник математики

2.    Пусть f(x) = sin Зх. Тогда первообразная F(x) имеет вид Учебник математики так как F'(x) = Учебник математики

Для Учебник математики в примере 1 мы нашли первообразную Учебник математики. Это не единственное решение задачи. Так, в качестве первообразной можно было взять и Учебник математики (поскольку Учебник математики), и Учебник математикиУчебник математики (поскольку Учебник математики), и вообще любую функцию вида Учебник математики. Так же обстоит дело в примере 2, где в качестве первообразной можно было взять любую функцию вида Учебник математики

Справедлива следующая теорема.

Теорема 13.

Если F(x) — первообразная для функции у = f(х) на промежутке X, то у функции у = f(х) бесконечно много первообразных и все эти первообразные имеют вид .F(x) + С, где С — любое действительное число.

Пример: 

Найти общий вид первообразных для функции у = f(x), где Учебник математики

Решение: 

Одной из первообразных будет Учебник математикиУчебник математики , так как Учебник математикиУчебник математики Значит, общий вид первообразных таков:

Учебник математики

224. Таблица первообразных.

Учитывая, что отыскание первообразной есть операция, обратная дифференцированию, и отталкиваясь от таблицы производных (см. п. 210), получаем следующую таблицу первообразных (для простоты в таблице приведена одна первообразная F(x), а не общий вид первообразной F(x) + С):

Учебник математики

225. Правила вычисления первообразных.

Пусть нужно найти первообразную функции у = f(x). Иногда это можно сделать с помощью таблицы первообразных из п. 224; например, для функции Учебник математики по второй строке указанной таблицы находим Учебник математики, т. е. Учебник математики, а общий вид первообразных Учебник математики

Но чаще, прежде чем воспользоваться таблицей, приходится применять правила вычисления первообразных.

1°. Если F(x) — первообразная для f(x), а Н(х) — первообразная для h(x), то F(x) + Н(х) — первообразная для f(x) + h(x).

Иными словами, первообразная суммы равна сумме первообразных.

2°. Если F(x) — первообразная для f(x), a k — постоянная, то kF(x) — первообразная для kf(x).

Иными словами, постоянный множитель можно вынести за знак первообразной.

3°. Если F(x) — первообразная для f(x), a k, b — постоянные, причем Учебник математики, то Учебник математики — первообразная для f(kx + b).

Пример 1.

Найти общий вид первообразных для функции у = f(x), где f(x) = Учебник математикиУчебник математики

Решение:

1) Воспользовавшись таблицей первообразных (см. п. 224), найдем первообразную для каждой из четырех функций, входящих в состав f(x):

Учебник математики

Учебник математики

2)    Воспользовавшись правилом 2°, получим, что для Учебник математики первообразной будет Учебник математики, т. е. Учебник математикиУчебник математики  для Учебник математики первообразной будет Учебник математики, т. е. -3 cos х; для Учебник математики первообразной будет Учебник математики, т. е.Учебник математики; для Учебник математики первообразной будет Учебник математики, т. е. Учебник математики

3)    Воспользовавшись правилом 1°, получим, что для f(x) первообразной будет

Учебник математики

4)    Общий вид первообразных для заданной функции

Учебник математики

Пример 2.

Найти общий вид первообразных для функции у = f(x), где Учебник математики

Решение: 

Для Учебник математики первообразной будет Учебник математикиТогда по правилу 3 для h(2x - 1) =

Учебник математики первообразной будет Учебник математикиУчебник математики

Итак, Учебник математики , а общий вид первообразных для заданной функции   Учебник математики

Пример 3.

Найти общий вид первообразных для функции Учебник математики

Решение: 

Воспользуемся тем, что Учебник математикиУчебник математики (см. п. 129). Тогда Учебник математики Для Учебник математики первообразной будет Учебник математики, а для Учебник математики в соответствии с правилом 3° первообразной будет Учебник математики Тогда для Учебник математики по правилам 1°

и 2° первообразной будет Учебник математики Общий вид первообразных Учебник математики

226. Интеграл.

Пусть функция у = f(х) непрерывна на отрезке Учебник математики. Разобьем отрезок Учебник математики на Учебник математики частей точками Учебник математики для однородности обозначений положим Учебник математики (рис. 1.173).

Учебник математики

Введем обозначения Учебник математики Учебник математики и рассмотрим сумму

Учебник математики                      (1)

Ее называют интегральной суммой для функции у = f(x) по отрезку Учебник математики.

Наряду с интегральной суммой (1) рассматривают и интегральную сумму вида

Учебник математики      (2)

Отличие суммы (1) от суммы (2) состоит в том, что в первом случае на каждом из отрезков Учебник математикиУчебник математики выбирается значение функции в левом конце отрезка, а во втором случае — в правом.

На практике удобнее делить отрезок Учебник математики на Учебник математики равных частей. Тогда Учебник математикиУчебник математики и сумма (1) принимает вид Учебник математикиУчебник математики Значение суммы зависит

только от числа Учебник математики; эту сумму можно обозначить Учебник математики (Учебник математики — греческая буква «сигма»).

Рассмотрим последовательность интегральных сумм

Учебник математики

В математике установлено, что для непрерывной на отрезке Учебник математики функции у = f(х) эта последовательность сходится (см. п. 200). Ее предел называют интегралом функции f(x) от Учебник математики до Учебник математики и обозначают Учебник математики (читается «интеграл от Учебник математики до Учебник математики эф отикс дэ икс»). 

Итак, Учебник математики Числа Учебник математики и Учебник математики называют соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, знак Учебник математикизнаком интеграла, функцию у = f(x) — подынтегральной функцией.

Пример: 

Найти Учебник математики

Решение: 

Составим интегральную сумму Учебник математики для функции у = f(x), где f(x) = х на отрезке [0; 1]. Для этого разобьем отрезок [0; 1] на Учебник математики равных частей точками Учебник математики (рис. 1.174).

Учебник математики

Имеем: Учебник математикиУчебник математики Интегральная сумма Учебник математики имеет вид

 

Учебник математики

 

В числителе содержится сумма первых (Учебник математики - 1) членов арифметической прогрессии, у которой первый член равен 1, а (Учебник математики - 1)-й равен Учебник математики - 1. Тогда сумма Учебник математики вычисляется по формуле (см. п. 197)

Учебник математики

В итоге получаем Учебник математики

Далее имеем Учебник математики Значит, Учебник математики

227. Связь между интегралом и первообразной (формула Ньютона—Лейбница).

Если F(x) — первообразная для f(x) на отрезке Учебник математики, то

Учебник математики         (1)

(формула Ньютона—Лейбница).

На практике в формуле (1) удобно вместо Учебник математикиУчебник математики писать Учебник математики

Пример 1.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Для Учебник математики первообразной является Учебник математики. Значит, Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Для Учебник математики первообразной является Учебник математики Значит,

Учебник математики

228. Правила вычисления интегралов.

1°. Интеграл суммы равен сумме интегралов:

Учебник математики

2°. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:

Учебник математики

Пример 1.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Воспользовавшись правилами 1° и 2°, получим

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить Учебник математики

Решение: 

Представим подынтегральную функцию в виде суммы функций, первообразные от которых можно найти по таблице (см. п. 224):

Учебник математики

Значит,

Учебник математики

 

229. Использование интеграла для вычисления площадей плоских фигур.

Рассмотрим плоскую фигуру Ф, представляющую собой множество точек координатной плоскости ху, лежащее в полосе между прямыми Учебник математики имеющее в своем составе точки с абсциссами Учебник математики и ограниченное сверху и снизу графиками непрерывных на Учебник математики функций Учебник математики таких, что для всех х из Учебник математики справедливо неравенство Учебник математики Примеры таких фигур представлены на рисунках 1.175—1.178. В частности, фигура, изображенная на рисунке 1.177 (1.178), ограничена сверху (снизу) графиком функции у = f(x), а снизу (сверху) — прямой у = 0. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Учебник математики

Площадь S фигуры Ф вычисляется по формуле ь

Учебник математики      (1)

В частности, для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 1.177 получаем

Учебник математики    (2)

а для криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 1.178 получаем

Учебник математики      (3)

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Учебник математики

Решение: 

Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 1.179. Воспользовавшись формулой (2), получим 

Учебник математики

Учебник математики

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х, у = 5 — х, х = 1, х = 2.

Решение: 

Фигура, площадь которой надо найти, изображена на рисунке 1.180. По формуле (1) получим

Учебник математики

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х - 2, Учебник математики

Решение: 

Построив прямую у = х - 2 и параболу Учебник математики (см. п. 114), получим фигуру, площадь которой требуется вычислить (рис. 1.181).

Учебник математики

Значит, Учебник математикиУчебник математики а пределы интегрирования Учебник математики суть абсциссы точек пересечения параболы и прямой. Для отыскания этих абсцисс решим уравнение Учебник математики т. е. Учебник математики откуда Учебник математики

Учебник математики

Пример 4.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Учебник математики

Решение: 

Фигура, площадь которой требуется найти, изображена на рисунке 1.182 (см. п. 159). Проведем прямую х = 2. Тогда площадь S интересующей нас фигуры равна сумме Учебник математики — площадь фигуры, закрашенной на рисунке 1.182 чуть темнее, a Учебник математики — площадь фигуры, закрашенной на рисунке 1.182 светлее.

Имеем Учебник математикиУчебник математики

Значит, Учебник математики