Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

Скорость и ускорение точек твердого тела в общем случае его движения

Абсолютно твердым телом называется множество точек, расстояния между которыми не меняются. Очевидно, что если с твердым телом связать оси координат Твердое тело теоретическая механика то относительно этих осей точки твердого тела будут неподвижны, т. е. относительная скорость Твердое тело теоретическая механика и относительное ускорение Твердое тело теоретическая механика точек тела равны нулю.

Скорость и ускорение какой-либо точки Твердое тело теоретическая механика твердого тела (см. рис. 7) относительно некоторой неподвижной системы отсчета Твердое тело теоретическая механика на основании формул (15.7) и (17.3) главы I таковы:

Твердое тело теоретическая механика

Координаты точек твердого тела относительно системы Твердое тело теоретическая механика выражаются через координаты относительно системы Твердое тело теоретическая механика неизменно связанной с телом, по формуле (14.12) главы I.

Множество матриц-столбцов Твердое тело теоретическая механика определяется геометрией тела, которую следует считать известной. По заданной матрице Твердое тело теоретическая механика искомую матрицу Твердое тело теоретическая механика находят путем задания шести параметров: Твердое тело теоретическая механика Поэтому говорят, что свободное абсолютно твердое тело имеет шесть степеней свободы.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Простейшие виды движения твердого тела

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Предположим, что оси Твердое тело теоретическая механика не изменяют направления относительно осей Твердое тело теоретическая механика и перемещаются параллельно самим себе: Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика Тогда скорости и ускорения всех точек тела, как следует из общей формулы (1.1), одинаковы;

Твердое тело теоретическая механика

Такое движение называется поступательным. В рассматриваемом случае любая прямая, проведенная в теле, перемещается параллельно самой себе.

2. Начало системы Твердое тело теоретическая механика неподвижно относительно системы Твердое тело теоретическая механика но первая система поворачивается относительно осей Твердое тело теоретическая механика параллельных осям Твердое тело теоретическая механика (см. рис. 7). Здесь возможны два варианта:

а) Направление вектора Твердое тело теоретическая механика неизменно и совпадает с направлением оси Твердое тело теоретическая механика Тогда

Твердое тело теоретическая механика

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика движение точки

Формулы теоретической механики

Силы в теоретической механике

Система сил теоретическая механика

Этот случай называется вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 12). Для него характерно, что Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механикаТвердое тело теоретическая механика лежат на оси вращения. Траекториями точек являются окружности, центры которых лежат на одной оси. Радиус-вектор г точки в данном случае удобно представить в виде

Твердое тело теоретическая механика Твердое тело теоретическая механика

где Твердое тело теоретическая механика — радиус окружности, по которой движется точка Твердое тело теоретическая механика Единичный вектор

Твердое тело теоретическая механика

направлен по касательной к окружности.

Твердое тело теоретическая механика

Учитывая соотношения (2.2) — (2.4), а также то, что Твердое тело теоретическая механикаТвердое тело теоретическая механика общие формулы (1.1) представляем в виде

Твердое тело теоретическая механика

Скорость направлена по касательной к окружности и равна Твердое тело теоретическая механика

Вектор ускорения состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое Твердое тело теоретическая механика называется касательным ускорением, а величина Твердое тело теоретическая механика — угловым. Второе слагаемое Твердое тело теоретическая механикаТвердое тело теоретическая механика направлено к центру окружности и называется центростремительным ускорением.

б) Направление Твердое тело теоретическая механика непостоянно. В этом случае направление вектора Твердое тело теоретическая механика не совпадает с направлением вектора Твердое тело теоретическая механика. Такое движение называется вращением твердого тела вокруг неподвижной тонки. При этом согласно (1.1)

Твердое тело теоретическая механика

Проекции вектора Твердое тело теоретическая механика на оси Твердое тело теоретическая механика находим, используя представление векторного произведения через определитель:

Твердое тело теоретическая механика

т.е. Твердое тело теоретическая механика

Распределение скоростей, как видно из формулы (2.7), в каждый данный момент таково, как если бы тело поворачивалось вокруг мгновенной оси с угловой скоростью Твердое тело теоретическая механика. Так как для точек, лежащих на мгновенной оси, векторы Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика коллинеарны, то Твердое тело теоретическая механика что дает уравнение мгновенной оси относительно системы Твердое тело теоретическая механика в виде

Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

Угловые скорости Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика выражаем через углы Эйлера и их производные по формуле (16.6) главы I (см. также рис. 8):

Твердое тело теоретическая механика

Разложение вектора Твердое тело теоретическая механика по базису Твердое тело теоретическая механика как следует из формул (44.1), (14.10) главы I, таково:

Твердое тело теоретическая механика

Вектор Твердое тело теоретическая механика как видно из рис. 13, можно представить в виде

Твердое тело теоретическая механика

Подставляя выражения (2.9), (2.10) в соотношение (2.8), получаем

Твердое тело теоретическая механика

Обращаясь снова к общему случаю движения и сравнивая формулы (1.1) для скоростей и ускорений с формулами (2.1), (2.6) для основных частных случаев, можно сформулировать следующее утверждение: движение свободного твердого тела происходит так, как если бы оно двигалось поступательно со скоростью Твердое тело теоретическая механика равной скорости точки Твердое тело теоретическая механика называемой полюсом, и вращалось с мгновенной угловой скоростью Твердое тело теоретическая механика вокруг этого полюса как вокруг неподвижной точки.

Сложение движений твердого тела

Пусть дано Твердое тело теоретическая механика подвижных систем координат Твердое тело теоретическая механика (см. рис. 11). Можно считать, что с каждой из них связано абсолютно твердое тело. Движение Твердое тело теоретическая механика тела относительно Твердое тело теоретическая механика предполагаем известным. Оно задается скоростью поступательного движения этого тела Твердое тело теоретическая механика вместе с полюсом Твердое тело теоретическая механика и угловой скоростью Твердое тело теоретическая механика вращения вокруг того же полюса. Требуется определить, каким будет движение первого тела относительно Твердое тело теоретическая механика т. е. относительно системы координат Твердое тело теоретическая механика

Воспользуемся результатами, полученными в § 16 главы I. Скорость v произвольной точки Твердое тело теоретическая механика первого тела относительно Твердое тело теоретическая механика находим по формуле (1.16.2), в которой скорость Твердое тело теоретическая механика той же точки относительно системы Твердое тело теоретическая механика равна нулю. В результате имеем

Твердое тело теоретическая механика

где Твердое тело теоретическая механика

Таким образом, скорость точки Твердое тело теоретическая механика такова, как если бы первое тело двигалось поступательно со скоростью Твердое тело теоретическая механика вращаясь вокруг полюса Твердое тело теоретическая механика с угловой скоростьюТвердое тело теоретическая механика

Система координат Твердое тело теоретическая механика связанная с Твердое тело теоретическая механика телом, выбирается произвольно. Свяжем с каждым телом новую систему координат Твердое тело теоретическая механика Скорость Твердое тело теоретическая механика точки Твердое тело теоретическая механика относительно Твердое тело теоретическая механика тела инвариантна относительно выбора систем координат, т. е. при переходе к новым осям получаем ту же скорость

Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

Скорость нового полюса Твердое тело теоретическая механика относительно Твердое тело теоретическая механика тела обозначена через Твердое тело теоретическая механика а угловая скорость вращения вокруг этого полюса — через Твердое тело теоретическая механика При этом скорость произвольной точки Твердое тело теоретическая механика Твердое тело теоретическая механика тела относительно Твердое тело теоретическая механика вычисляем по формуле

Твердое тело теоретическая механика

Чтобы установить, как связаны векторы Твердое тело теоретическая механика с векторами Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика рассмотрим одновременно три системы координат — Твердое тело теоретическая механикаТвердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика ("рис. 14), применив к ним общие формулы (3.1), (3.2).

Учитывая, что система Твердое тело теоретическая механика неподвижна относительно системыТвердое тело теоретическая механиканаходим

Твердое тело теоретическая механика

Сравнивая выражения (3.5), (3.6), имеем

Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

Отсюда следует, что в формулах (3.1) и (3.3) угловые скорости совпадают, т. е. Твердое тело теоретическая механика

Подставляя в выражение (3.4) соотношения (3.7), (3.8), с учетом

Твердое тело теоретическая механикаТвердое тело теоретическая механика

получаем

Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

причем Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика как следует из формул (S.1) и (3.9), связаны соотношением

Твердое тело теоретическая механика

полностью соответствующим соотношению (3.7).

Следовательно, угловая скорость Твердое тело теоретическая механика инвариантна относительно выбора системы координат, а скорость поступательного движения при переходе к новому полюсу Твердое тело теоретическая механика вычисляем по формуле (3.11).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

Сложение поступательных движений. Пусть все тела движутся поступательно относительно друг друга, т. е. все Твердое тело теоретическая механика Тогда и суммарное движение является поступательным, причем его скорость, как следует из формул (3.1), (3.2), такова:

Твердое тело теоретическая механика

Сложение вращений вокруг пересекающихся осей. Пусть все Твердое тело теоретическая механика и пусть все Твердое тело теоретическая механика проходящие через точки Твердое тело теоретическая механика пересекаются в одной точке Твердое тело теоретическая механика Начала всех подвижных систем координат

Твердое тело теоретическая механика

удобно переместить в эту точку, положив Твердое тело теоретическая механикаТвердое тело теоретическая механика Тогда (рис. 15)

Твердое тело теоретическая механика

и поэтому в соответствии с формулами (3.7), (3.10)

Твердое тело теоретическая механика

При этом согласно формуле (3.9) скорость произвольной точки можно представить в виде

Твердое тело теоретическая механика

Таким образом, при одновременном вращении твердого тела вокруг мгновенных осей, пересекающихся в одной точке, получаем результирующее вращение с мгновенной угловой скоростью Твердое тело теоретическая механика равной геометрической сумме мгновенных угловых скоростей Твердое тело теоретическая механика

Направление результирующей мгновенной оси есть направление вектора Твердое тело теоретическая механика а точка пересечения Твердое тело теоретическая механика является неподвижной точкой. Наиболее простым примером такого сложения вращений является случай двух вращений вокруг осей, пересекающихся в одной точке (рис. 16).

Случай пары вращений. Пусть Твердое тело теоретическая механика Тогда

Твердое тело теоретическая механика

т. е. скорости всех точек тела между собой равны, и, следовательно, тело совершает поступательное движение.

Особенно интересен случай пары вращений, под которой подразумевается совокупность двух векторов Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика имеющих параллельные линии действия и таких, что Твердое тело теоретическая механика (рис. 17).

Считая для простоты Твердое тело теоретическая механика получаем

Твердое тело теоретическая механика

Твердое тело теоретическая механика

Векторное произведение Твердое тело теоретическая механика называется моментом пары вращений.

Твердое тело теоретическая механика

Таким образом, пара вращений создает поступательное движение со скоростью, равной моменту пары. Скорость эта равна Твердое тело теоретическая механика где Твердое тело теоретическая механика —кратчайшее расстояние между линиями действия векторов Твердое тело теоретическая механика и Твердое тело теоретическая механика (плечо пары), и направлена перпендикулярно плоскости пары по правилу правого винта.

Эквивалентность пары вращений поступательному движению позволяет утверждать, что вращение тела с угловой скоростью Твердое тело теоретическая механика вокруг мгновенной оси, проходящей через точку Твердое тело теоретическая механика, эквивалентно вращению с той же угловой скоростью вокруг оси, проводящей через точку Твердое тело теоретическая механика параллельно первой, и поступательному движению со скоростью Твердое тело теоретическая механика

Справедливость данного утверждения следует непосредственно из рис. 18. Действительно, если в точке Твердое тело теоретическая механика поместить эквивалентную нулю систему векторов Твердое тело теоретическая механика то вектор Твердое тело теоретическая механика будет эквивалентен Твердое тело теоретическая механика и паре Твердое тело теоретическая механика с моментом Твердое тело теоретическая механика

В этом можно убедиться также, рассмотрев скорость произвольной точки Твердое тело теоретическая механика При вращении тела вокруг оси, проходящей через точку Твердое тело теоретическая механика скорость точки Твердое тело теоретическая механика такова:

Твердое тело теоретическая механика

Представив Твердое тело теоретическая механика в виде Твердое тело теоретическая механика получим

Твердое тело теоретическая механика

что соответствует переходу к вращению вокруг параллельной оси благодаря введеиню пары вращений.