Топология электрических цепей

Топология электрических цепей

Электрическая цепь характеризуется совокупностью элементов, из которых она состоит, и способом их соединения. Соединение элементов электрической цепи наглядно отображается ее схемой. Рассмотрим для примера две электрические схемы (рис. 1,2), введя понятие ветви и узла.

Топология электрических цепей
Ветвью называется участок цепи, обтекаемый одним и тем же током.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Узел - место соединения трех и более ветвей.
Представленные схемы различны и по форме, и по назначению, но каждая из указанных цепей содержит по 6 ветвей и 4 узла, одинаково соединенных. Таким образом, в смысле геометрии (топологии) соединений ветвей данные схемы идентичны.

Топология электрических цепей
Топологические (геометрические) свойства электрической цепи не зависят от типа и свойств элементов, из которых состоит ветвь. Поэтому целесообразно каждую ветвь схемы электрической цепи изобразить отрезком линии. Если каждую ветвь схем на рис. 1 и 2 заменить отрезком линии, получается геометрическая фигура, показанная на рис. 3.

Условное изображение схемы, в котором каждая ветвь заменяется отрезком линии, называется графом электрической цепи. При этом следует помнить, что ветви могут состоять из каких-либо элементов, в свою очередь соединенных различным образом.

Отрезок линии, соответствующий ветви схемы, называется ветвью графа. Граничные точки ветви графа называют узлами графа. Ветвям графа может быть дана определенная ориентация, указанная стрелкой. Граф, у которого все ветви ориентированы, называется ориентированным.

Подграфом графа называется часть графа, т.е. это может быть одна ветвь или один изолированный узел графа, а также любое множество ветвей и узлов, содержащихся в графе.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Темы по электротехнике

Элементы электрических цепей

Переменный ток. Изображение синусоидальных переменных

Элементы цепи синусоидального тока, векторные диаграммы и комплексные соотношения для них

В теории электрических цепей важное значение имеют следующие подграфы:

1. Путь - это упорядоченная последовательность ветвей, в которой каждые две соседние ветви имеют общий узел, причем любая ветвь и любой узел встречаются на этом пути только один раз. Например, в схеме на рис. 3 ветви 2-6-5; 4-5; 3-6-4; 1 образуют пути между одной и той же парой узлов 1 и 3. Таким образом, путь - это совокупность ветвей, проходимых непрерывно.

2. Контур - замкнутый путь, в котором один из узлов является начальным и конечным узлом пути. Например, для rnarha по рис. 3 можно определить контуры. образованные ветвями 2-4-6:3-5-6:2-3-5-4. Если между любой парой узлов графа существует связь, то граф называют связным.

3. Дерево - это связный подграф, содержащий все узлы графа, но ни одного контура. Примерами деревьев для графа на рис. 3 могут служить фигуры на рис. 4.

Топология электрических цепей
4. Ветви связи (дополнения дерева) - это ветви графа, дополняющие дерево до исходного графа.

Если граф содержит т узлов и п ветвей, то число ветвей любого дерева Топология электрических цепей, а числа ветвей связи графа Топология электрических цепей
5. Сечение графа - множество ветвей, удаление которых делит граф на два изолированных подграфа, один из которых, в частности, может быть отдельным узлом.

Сечение можно наглядно изобразить в виде следа некоторой замкнутой поверхности, рассекающей соответствующие ветви. Примерами таких поверхностей являются для нашего графа на рис. 3 Топология электрических цепей и Топология электрических цепей. При этом получаем соответственно сечения, образованные ветвями 6-4-5 и 6-2-1-5.

С понятием дерева связаны понятия главных контуров и сечений:

  • главный контур - контур, состоящий из ветвей дерева и только одной ветви связи;
  • главное сечение - сечение, состоящее из ветвей связи и только одной ветви дерева.

Топологические матрицы

Задать вычислительной машине топологию цепи рисунком затруднительно, так как не существует эффективных программ распознавания образа. Поэтому топологию цепи вводят в ЭВМ в виде матриц, которые называют топологическими матрицами. Выделяют три таких матрицы: узловую матрицу, контурную матрицу и матрицу сечений.

1. Узловая матрица (матрица соединений) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Строки этой матрицы соответствуют узлам, а столбцы - ветвям схемы.

Для графа на рис. 3 имеем число узлов Топология электрических цепей и число ветвей Топология электрических цепей. Тогда запишем матрицу Топология электрических цепей, принимая, что элемент матрицы Топология электрических цепей (i -номер строки; j -номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узлом i. Сориентировав ветви графа на рис. 3, получим

Топология электрических цепей
Данная матрица Топология электрических цепей записана для всех четырех узлов и называется неопределенной. Следует указать, что сумма элементов столбцов матрицы Топология электрических цепей всегда равна нулю, так как каждый столбец содержит один элемент +1 и один элемент -1, остальные нули.

Обычно при расчетах один (любой) заземляют. Тогда приходим к узловой матрице Топология электрических цепей (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы Топология электрических цепей путем вычеркивания любой ее строки. Например, при вычеркивании строки“4”получим

Топология электрических цепей
Число строк матрицы Топология электрических цепей равно числу независимых уравнений для узлов Топология электрических цепей, т.е. числу уравнений, записываемых для электрической схемы по первому закону Кирхгофа. Итак, введя понятие узловой матрицы Топология электрических цепей, перейдем к первому закону Кирхгофа.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Первый закон Кирхгофа

Обычно первый закон Кирхгофа записывается для узлов схемы, но, строго говоря, он справедлив не только для узлов, но и для любой замкнутой поверхности, т.е. справедливо соотношение

Топология электрических цепей

где Топология электрических цепей - вектор плотности тока; Топология электрических цепей - нормаль к участку Топология электрических цепей замкнутой поверхности S.

Первый закон Кирхгофа справедлив и для любого сечения. В частности, для сечения Топология электрических цепей графа на рис. 3, считая, что нумерация и направления токов в ветвях соответствуют нумерации и выбранной ориентации ветвей графа, можно записать

Топология электрических цепей
Поскольку в частном случае ветви сечения сходятся в узле, то первый закон Кирхгофа справедлив и для него. Пока будем применять первый закон Кирхгофа для узлов, что математически можно записать, как:

Топология электрических цепей

т.е. алгебраическая сумма токов ветвей, соединенных в узел, равна нулю.

При этом при расчетах уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для Топология электрических цепей узлов, так как при записи уравнений для всех т узлов одно (любое) из них будет линейно зависимым от других, т.е. не дает дополнительной информации.

Введем столбцовую матрицу токов ветвей

Топология электрических цепей
Тогда первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид:

Топология электрических цепей
- где О - нулевая матрица-столбец. Как видим, в качестве узловой взята матрица A а не Топология электрических цепей, т.к. с учетом вышесказанного уравнения по первому закону Кирхгофа записываются для (m-1) узлов.

В качестве примера запишем для схемы на рис. 3

Топология электрических цепей
Отсюда для первого узла получаем

Топология электрических цепей

что и должно иметь место.


2. Контурная матрица (матрица контуров) - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Строки контурной матрицы ^соответствуют контурам, а столбцы - ветвям схемы.

Элемент Топология электрических цепей матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур I и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь j не входит в контур i.

Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. При этом за направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Выделив в нашем примере (см. рис. 5) дерево, образуемое ветвями 2-1-4, запишем коэффициенты для матрицы В.

Топология электрических цепей

Топология электрических цепей


Перейдем теперь ко второму закону Кирхгофа.

Под напряжением на некотором участке электрической цепи понимается разность потенциалов между крайними точками этого участка, т.е.

Топология электрических цепей
Просуммируем напряжения на ветвях некоторого контура:

Топология электрических цепей
Поскольку при обходе контура потенциал каждой i-ой точки встречается два раза, причем один раз с “+” а второй - с то в целом сумма равна нулю.

Таким образом, второй закон Кирхгофа математически записывается, как:

Топология электрических цепей
- и имеет место следующую формулировку: алгебраическая сумма напряжений на зажимах ветвей (элементов) контура равна нулю. При этом при расчете цепей с использованием законов Кирхгофа записывается Топология электрических цепей независимых уравнений по второму закону Кирхгофа, т.е. уравнений, записываемых для контуров, каждый из которых отличается от других хотя бы одной ветвью. Значение топологического понятия «дерево»: деревья могут использоваться для формирования независимых контуров и сечений, таким образом формируя независимые уравнения в соответствии с законом Кирхгофа. Таким образом, с учетом Топология электрических цепей уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, получаем систему из Топология электрических цепей уравнений, что равно числу ветвей схемы и, следовательно, токи в них находятся однозначно.

Введем столбцовую матрицу напряжений ветвей

Топология электрических цепей
Тогда второй закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид

Топология электрических цепей
В качестве примера для схемы рис. 5 имеем

Топология электрических цепей

откуда, например, для первого контура получаем

Топология электрических цепей

что и должно иметь место.

Если ввести столбцовую матрицу узловых потенциалов

Топология электрических цепей
причем потенциал последнего узла Топология электрических цепей = 0, то матрица напряжений ветвей и узловых потенциалов связаны соотношением

Топология электрических цепей

где Топология электрических цепей - транспонированная узловая матрица.

Для определения матрицы В по известной матрице Топология электрических цепей где Ад - подматрица, соответствующая ветвям некоторого дерева, Ас- подматрица, соответствующая ветвям связи, может быть использовано соотношение Топология электрических цепей Топология электрических цепей

3. Матрица сечений - это таблица коэффициентов уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа для сечений. Ее строки соответствуют сечениям, а столбцы - ветвям графа.

Матрица Q, составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Число строк матрицы Q равно числу независимых сечений.

Элемент Топология электрических цепей матрицы Q равен 1, если ветвь входит в Топология электрических цепей сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь j не входит в Топология электрических цепей сечение.

В качестве примера составим матрицу Q главных сечений для графа на рис. 5. При указанной на рис. 5 ориентации ветвей имеем

Топология электрических цепей
В заключение отметим, что для топологических матриц Топология электрических цепей, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения

Топология электрических цепей

Топология электрических цепей

которые, в частности, можно использовать для проверки правильности составления этих матриц. Здесь 0 - нулевая матрица порядка Топология электрических цепей

Приведенные уравнения позволяют сделать важное заключение: зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные.