Теормех примеры решения задач

Содержание:

  1. Задача с примером решения 1.6.
  2. Задача с примером решения 1.7.
  3. Задача с примером решения 1.8.
  4. Задача с примером решения 1.9.

Задача с примером решения 1.6.

рис. а изображена схема суппорта универсального металлорежущего станка с закрепленным в нем резцом. К резцу в точке Теормех примеры решения задач со стороны обтачиваемого изделия (на рисунке изделие не показано) приложено давление Теормех примеры решения задач образующее угол Теормех примеры решения задач с вертикалью и равное по модулю Теормех примеры решения задач Схематизируя опоры суппорта, считаем, что опорой Теормех примеры решения задач является цилиндрический шарнир, а в точке Теормех примеры решения задач суппорт поддерживается пружиной.

Теормех примеры решения задач

Пренебрегая весом суппорта, определить реакцию опоры и силу упругости пружины. Размеры указаны па рисунке.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Решение. Рассмотрим равновесие суппорта, к которому приложены силы: Теормех примеры решения задач — давление обтачиваемого изделия на резец, Теормех примеры решения задач — сила упругости пружины, направленная по вертикали вверх. Применив закон освобождаемости or связей, мысленно отбросим цилиндрический шарнир Теормех примеры решения задач и компенсируем его действие на суппорт соответствующей реакцией Теормех примеры решения задач Обычно мы не можем заранее указать направление этой реакции (см. пример 4 направления реакций на стp. 13 и 14). Однако в данном случае суппорт находится в равновесии под действием трех непараллельных сил: Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач

Поэтому можно воспользоваться теоремой о трех непараллельных силах, согласно которой линии действия сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач должны пересекаться в одной точке. Так как линии действия сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач пересекаются в точке Теормех примеры решения задач то линия действия силы Теормех примеры решения задач также должна проходить через эту точку (см. рис. б).

Построение силового треугольника (см. рис. в) начнем с силы Теормех примеры решения задач приложив ее в произвольной точке Теормех примеры решения задач взятой вне основного рисунка. Через начало Теормех примеры решения задач и конец Теормех примеры решения задач вектора Теормех примеры решения задач проведем прямые, параллельные линиям действия сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач В точке пересечения этих прямых найдем третью вершину Теормех примеры решения задач силового треугольника Теормех примеры решения задач

Направим векторы Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач так, чтобы силовой треугольник оказался замкнутым, т. е. чтобы в каждой из его вершин был расположен конец только одной силы.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Опоры и реакции по теоретической механике

Теоретическая механика кратко и понятно

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех реакции опор связи

Для решения силового треугольника выполним па рис. б вспомогательное построение: проведем через точку Теормех примеры решения задач вертикаль до пересечения в точке Теормех примеры решения задач с прямой Теормех примеры решения задач Нетрудно видеть, что треугольники Теормех примеры решения задач (рис. в) и Теормех примеры решения задач (рис. б) подобны, ибо имеют соответственно параллельные стороны. Определим длины сторон треугольника Теормех примеры решения задач Из прямоугольного треугольника Теормех примеры решения задач в котором, по условию,

Теормех примеры решения задач имеем Теормех примеры решения задач Теормех примеры решения задач Теормех примеры решения задач

Поэтому Теормех примеры решения задач т. е.

Теормех примеры решения задач

Средняя линия Теормех примеры решения задач треугольника Теормех примеры решения задач равна Теормех примеры решения задач

Значит, Теормех примеры решения задач Для определения Теормех примеры решения задач предварительно вычислим Теормех примеры решения задач из прямоугольного треугольника Теормех примеры решения задач Имеем Теормех примеры решения задач Теормех примеры решения задач Так как Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач то Теормех примеры решения задач Итак, стороны треугольника Теормех примеры решения задач равны

Теормех примеры решения задач

Использовав подобие треугольников Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач запишем:

Теормех примеры решения задач

откуда

Теормех примеры решения задач

Подставив значения Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач из формул (2), а также значение Теормех примеры решения задач получим:

Теормех примеры решения задач

Задача с примером решения 1.7.

Однородная палочка весом Теормех примеры решения задач и длиной Теормех примеры решения задач опирается концом Теормех примеры решения задач о гладкую внутреннюю поверхность полусферической чаши радиуса Теормех примеры решения задач Промежуточной точкой Теормех примеры решения задач палочка опирается о ребро чаши.

Определить величину угла Теормех примеры решения задач образуемого палочкой с горизонтом в положении равновесия, и опорные реакции в точках Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач Теормех примеры решения задач —центр тяжести палочки, Теормех примеры решения задач — центр сферы, половина которой образует чашу (рис. а).

Теормех примеры решения задач

Решение. Если опустить палочку концом Теормех примеры решения задач в полусферическую чашу, то она займет в ней положение равновесия при некотором фиксированном значении угла Теормех примеры решения задач образуемого палочкой с горизонтом. При этом угол Теормех примеры решения задач зависит от длины палочки Теормех примеры решения задач и радиуса чаши Теормех примеры решения задач

В случае равновесия угол Теормех примеры решения задач должен быть таким, чтобы линии действия трех сил, приложенных к палочке, — веса Теормех примеры решения задач и реакций Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач — пересекались в одной точке. Реакцию Теормех примеры решения задач направим по нормали к поверхности в данной точке, т. е. по радиусу Теормех примеры решения задач а реакцию Теормех примеры решения задач — перпендикулярно к палочке (рис. 6). Пусть Теормех примеры решения задач — точка пересечения линий действия этих трех сил.

Такого построении оказывается достаточно для определения значения угла Теормех примеры решения задач Рассматривая равнобедренный треугольник Теормех примеры решения задач имеем Теормех примеры решения задач Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач Так как Теормех примеры решения задач то Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач Угол Теормех примеры решения задач вписанный в окружность радиуса Теормех примеры решения задач является по построению прямым. Он должен опираться на диаметр окружности; поэтому Теормех примеры решения задач Из треугольника Теормех примеры решения задач находим Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач Из треугольника Теормех примеры решения задач имеем Теормех примеры решения задач (Так как центр тяжести однородной палочки расположен в ее середине, то Теормех примеры решения задач) Следовательно,

Теормех примеры решения задач

Заменив Теормех примеры решения задач через Теормех примеры решения задач получим:

Теормех примеры решения задач

или

Теормех примеры решения задач

Решив это квадратное уравнение, найдем:

Теормех примеры решения задач

Так как Теормех примеры решения задач то Теормех примеры решения задач Поэтому, отбросив отрицательное значение Теормех примеры решения задач окончательно получим:

Теормех примеры решения задач

Для определения опорных реакций Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач построим замкнутый силовой треугольник (рис. в). Из произвольной точки К проводим вектор, равный силе Теормех примеры решения задач Проведя через начало вектора Теормех примеры решения задач прямую Теормех примеры решения задач параллельную реакции Теормех примеры решения задач а через конец вектора Теормех примеры решения задач — прямую Теормех примеры решения задач параллельную реакции Теормех примеры решения задач получим в точке пересечения этих прямых третью вершину Теормех примеры решения задач силового треугольника Теормех примеры решения задач Из сравнения рис. б и в нетрудно видеть, что Теормех примеры решения задач Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач и, следовательно, Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач

  • Применив к силовому треугольнику Теормех примеры решения задач теорему синусов, запишем:

Теормех примеры решения задач

откуда

Теормех примеры решения задач

где Теормех примеры решения задач определяется по формуле (2).

Рекомендуем решить следующие задачи из «Сборника задач но теоретической механике» И. В. Мещерского, издания i950 г. и последующих лет: 37, 38, 40, 41.

3°. Me год проекций. Ортогональная проекция силы на ось, подобно проекции любого вектора на ось, равна произведению модуля силы на косинус угла, образованного положительным направлением оси проекций и направлением проектируемой силы (рис. 1.19):

Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач

Проекция силы на ось является алгебраической величиной. Если угол между положительным направлением оси проекций и вектором заключен в пределах от Теормех примеры решения задач до Теормех примеры решения задач либо от Теормех примеры решения задач до Теормех примеры решения задач, то проекция силы па ось положительна. Если же он лежит в пределах от Теормех примеры решения задач до Теормех примеры решения задач то проекция силы на ось отрицательна. Если сила перпендикулярна к оси, то проекция силы на ось равна нулю. По этому способу определяются ортогональные проекции силы на координатные оси Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач (рис. 1.20)

Теормех примеры решения задач

Впредь для краткости будем обозначать:

Теормех примеры решения задач либо

Теормех примеры решения задач

Следовательно,

Теормех примеры решения задач

С помощью этих формул, зная модуль и направление силы, можно определить ее проекции па оси ортогональных декартовых координат.

Теормех примеры решения задач

В случае решения обратной задачи, т. е. при определении модуля и направления силы по заданным проекциям на оси декартовых координат, вычисление ведется по формулам:

Теормех примеры решения задач (модуль силы), Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач (направляющие конусы). Теормех примеры решения задач

Нельзя отождествлять понятия проекции силы и ее составляющей. На рис. 1.21 изображена сила Теормех примеры решения задач разложенная на две составляющие силы Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач направленные параллельно соответствующим осям координат, т. е. Теормех примеры решения задач Составляющая силы является вектором, который можно представить в виде произведения проекции силы на орт (единичный вектор) соответствующей оси, т. е.

Теормех примеры решения задач

Следовательно, разложение силы на составляющие можно записать в виде

Теормех примеры решения задач

Орты осей координат всегда направлены в положительных направлениях соответствующих осей. Знак проекции силы определяет направление ее составляющей, т. е. если проекция силы положительна, то направление составляющей силы совпадает с положительным направлением соответствующей оси, если же проекция силы отрицательна, то направление составляющей силы противоположно положительному направлению соответствующей оси.

Переходим к определению равнодействующей плоской системы сходящихся сил методом проекций. Пусть даны силы Теормех примеры решения задач В плоскости действия сил построена система осей декартовых координат Теормех примеры решения задач Разложения данных сил по ортам этих осей координат имеют вид

Теормех примеры решения задач

Разложение равнодействующей плоской системы сходящихся сил но ор гам этих осей координат дается формулой: Теормех примеры решения задач где Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач — проекции равнодействующей на соответствующие оси.

Проекции равнодействующей на оси декартовых координат равны алгебраическим суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси

Теормех примеры решения задач

Определив no этим формулам проекции равнодействующей, можно вычислить ее модуль

Теормех примеры решения задач

и направляющие косинусы

Теормех примеры решения задач

Уравнения равновесия твердого тела при наличии плоской системы сходящихся сил. Для равновесия твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и дос!аiочно, чтобы суммы проекций всех сил системы на оси декартовых координат равиялисо нулю:

Теормех примеры решения задач

или, в более краткой записи,

Теормех примеры решения задач

Задача называется статически определенной, если число неизвестных равно числу независимых уравнений равновесия. Если же число неизвестных больше числа независимых уравнений равновесия, то задача называется статически неопределенной. В последнем случае одними уравнениями статики задача не может быть решена. Для ее решения следует привлечь уравнения, даваемые другими дисциплинами, например сопротивлением материалов.

Задача на равновесие твердого тела под действием плоской системы сходящихся сил является статически определенной, если число ал1ебраических неизвестных не более двух. Так, если известны направления всех слагаемых сил и модули всех сил, кроме двух, то можно определить неизвестные модули двух сил. Если одна из сил не известна ни по величине, ни по направлению, то все остальные слагаемые силы должны быть заданы.

Преимущества аналитического метода проекций по сравнению с геометрическим методом силового многоугольника особенно заметны в задачах на равновесие твердого тела при наличии более трех сходящихся сил. Действительно, решение силового четырех-, пятиугольника представляет известные трудности, в то время как решение задачи методом проекций лишь незначительно усложняется при увеличении числа проектируемых сил.

При решении методом проекций задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием плоской системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15.

Затем:

  • 5) убедиться в том, что данная задача является статически определенной, т. е. что число алгебраических неизвестных не более двух;
  • 6) выбрать в плоскости действия сил систему осей декартовых координат ху;
  • 7) составить уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси декартовых координат (7*);
  • 8) решить систему составленных уравнений равновесия и определить искомые величины; если величина какой-либо из неизвестных

сил окажется отрицательной, то это означает, что направление силы противоположно тому, которое было указано на рисунке.

Если по условию задачи требуется определить равнодействующую, то после выполнения первых четырех пунктов решения задачи надо вычислить проекции равнодействующей Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач но формулам (4*), затем определить модуль равнодействующей и ее направляющие косинусы по формулам (5*) п (6*).

При выборе осей декартовых координат целесообразно их направить так, чтобы они были параллельны либо перпендикулярны большинству слагаемых сил.

При определении проекции силы на ось можно пользоваться следующим приемом: вычислить модуль проекции силы как произведение модуля силы на косинус острого угла между линией действия силы

Теормех примеры решения задач

и прямой, лежащей на оси проекций. Для определения знака проекции силы надо смотреть на проектируемую силу и ось проекции так, чтобы плоскость, проходящая через них, была видна в виде прямой. Если при этом направления силы и оси совпадают, то проекция силы положительна, если же направления силы и оси противоположны, то проекция силы отрицательна.

Например, проекции на ось Теормех примеры решения задач сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач изображенных на рис. 1.22, а, положительны, и можно сразу записать:

Теормех примеры решения задач

вместо того чтобы производить вычисления

Теормех примеры решения задач

Проекции же сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач показанных на рис. 1.22,6, отрицательны, так как непосредственно ясно, что

Теормех примеры решения задач

Сложнее было бы вычислить проекции формально:

Теормех примеры решения задач

Задача с примером решения 1.8.

Решить задачу L4 методом проекций.

Решен и е. Воспользуемся изображением сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач данным па рис. в к задаче 1.4. Направим осьТеормех примеры решения задач по горизонтали па-право и ось Теормех примеры решения задач по вертикали вверх. Составим уравнения равновесия шарнира А в проекциях на оси Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач

Решив эту систему уравнений, найдем

Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач

Решение этой задачи аналитическим методом проще геометрического метода (см. решение задачи 1.4).

Задача с примером решения 1.9.

На рисунке изображены четыре силы Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач приложенные к твердому телу в точке Теормех примеры решения задач и лежащие в одной плоскости.

Определить модуль и направление силы Теормех примеры решения задач которую следует приложить в точке Теормех примеры решения задач для того, чтобы твердое тело находилось в равновесии. Дано: Теормех примеры решения задачТеормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач

Решение. Для решения задачи методом проекций направим оси декартовых координат: ось Теормех примеры решения задач — по горизонтали направо, ось Теормех примеры решения задач — по вертикали вверх.

Уравнения равновесия твердого тела в проекциях на оси Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач имеют вид

Теормех примеры решения задач

или

Теормех примеры решения задач

где Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач — проекции неизвестной силы Теормех примеры решения задач на оси Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач

Так как число неизвестных равно числу уравнений, то задача является статически определенной.

Вычислим проекции четырех заданных сил Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач на оси Теормех примеры решения задач и Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач

Подставляя эти значения в уравнения (I) и (2), получим:

Теормех примеры решения задач

Теормех примеры решения задач

Из уравнений (3) и (4) найдем Теормех примеры решения задач Модуль искомой силы Теормех примеры решения задач равен

Теормех примеры решения задач

Вычислим направляющие косинусы:

Теормех примеры решения задач

откуда

Теормех примеры решения задач

Определение искомой силы Теормех примеры решения задач методом проекций не составило особого труда. При геометрическом методе решения этой задачи пришлось бы построить силовой пятиугольник и затем определить модуль и направление силы Теормех примеры решения задач. Преимущества метода проекций бесспорны.