Теормех кинематика

Теормех кинематика

В кинематике изучаются законы движения материальных точек и твердых тел с чисто геометрической стороны. Законом движения точки или тела можно назвать такую совокупность математических образов и уравнений, которая в любой момент времени позволяет установить, где находится точка или тело, куда и как они движутся. При этом в кинематике не рассматриваются вопросы, почему точка или тело двигается именно так, а не иначе. Эти вопросы изучаются в разделе «Динамика».

Прежде чем решить задачи по кинематике, необходимо выяснить следующее:

  • а) можно ли данный в задаче движущийся предмет рассматривать как материальную точку или его нужно считать твердым телом;
  • б) в какой форме закон движения задан в задаче.

Необходимость выяснения первого положения вызывается тем, что законы движения материальных точек (предметов, формой и размерами которых можно пренебречь) и законы движения твердых тел (предметов, состоящих из множества материальных точек), как правило, отличаются друг от друга.

От способа задания закона движения зависит ход решения задачи.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Кинематина точки

В этой главе в основном рассмотрены методы решения задач, в которых закон движения точки выражен так называемым естественным способом: уравнением Теормех кинематика по заданной траектории *.

  • В этом случае главными параметрами, характеризующими движение точки но заданной траектории, являются: Теормех кинематика — расстояние от заданного начального положения и Теормех кинематика — время.

Величина, характеризующая в каждый данный момент времени направление и быстроту движения точки, называется скоростью (Теормех кинематика на рис. 192). Вектор скорости всегда направлен вдоль касательной в ту сторону, куда движется точка. Числовое значение скорости в любой момент времени выражается производной от расстояния по времени:

Теормех кинематика или Теормех кинематика

Ускорение Теормех кинематика точки в каждый данный момент времени характеризует быстроту изменения скорости. При этом нужно отчетливо понимать, что скорость — вектор, и, следовательно, изменение скорости может происходить по двум признакам: по числовой величине (по модулю) и по направлению.

Быстрота изменения модуля скорости характеризуется касательным ускорением Теормех кинематика — составляющей полного ускорения Теормех кинематика направленной по касательной к траектории (см. рис. 192).

Теормех кинематика

Числовое значение касательного ускорения в общем случае определяется по формуле

Теормех кинематика или Теормех кинематика

Быстрота изменения направления скорости характеризуется нормальным (центростремительным) ускорением Теормех кинематика - составляющей полного ускорения Теормех кинематика направленного по нормали к траектории в сторону центра кривизны (см. рис. 192).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех реакции опор связи

Теормех мгту мфти лэти политех

Теоретическая механика контрольные работы с решением

Числовое значение нормального ускорения определяется в общем случае по формуле

Теормех кинематика

где Теормех кинематика — модуль скорости точки в данный момент;

Теормех кинематика - радиус кривизны траектории в месте, где находится точка в данный момент.

После того как определены касательное и нормальное ускорения, легко определить и ускорение Теормех кинематика (полное ускорение точки).

Так как касательная и нормаль взаимно перпендикулярны, то числовое значение ускорения Теормех кинематика можно определить при помощи теоремы Пифагора:

Теормех кинематика

Направление Теормех кинематика можно определить, исходя из тригонометрических соотношений, по одной из следующих формул:

Теормех кинематика

Но можно сначала определить направление полного ускорения Теормех кинематика использовав формулу

Теормех кинематика

а затем найти числовое значение Теормех кинематика

Теормех кинематика или Теормех кинематика

Касательное и нормальное ускорения точки являются главными кинематическими величинами, определяющими вид и особенности движения точки.

Наличие касательного ускорения Теормех кинематика или его отсутствие Теормех кинематика определяют соответственно неравномерность или равномерность движения точки.

Наличие нормального ускорения Теормех кинематика или его отсутствие Теормех кинематика определяют криволинейность или прямолинейность движения точки.

Движение точки можно классифицировать так:

  • а) равномерное прямолинейное (Теормех кинематика и Теормех кинематика);
  • б) равномерное криволинейное (Теормех кинематика и Теормех кинематика);
  • в) неравномерное прямолинейное (Теормех кинематика и Теормех кинематика);
  • г) неравномерное криволинейное (Теормех кинематика и Теормех кинематика).

Таким образом, движение точки классифицируется по двум признакам: по степени неравномерности движения и по виду траектории.

Степень неравномерности движения точки задана уравнением Теормех кинематика а вид траектории задается непосредственно.

Равномерное прямолинейное движение точки

Если Теормех кинематика и Теормех кинематика то вектор скорости остается постоянным Теормех кинематика т. е. не изменяется ни по модулю, ни по направлению. Такое движение называется равномерным прямолинейным.

Уравнение равномерного движения имеет вид

Теормех кинематика

или в частном случае, когда начальное расстояние Теормех кинематика

Теормех кинематика

В уравнение (а) входит всего четыре величины, из них две переменные: Теормех кинематика и Теормех кинематика и две постоянные: Теормех кинематика и Теормех кинематика Поэтому в условии задачи на равномерное и прямолинейное движение точки должны быть заданы три любые величины.

При решении задач необходимо выяснить все заданные величины и привести их к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы:

расстояние Теормех кинематика измеряется в м, время Теормех кинематика — в сек, скорость Теормех кинематика — в м/сек. Задача 135-27. Точка, совершая равномерное и прямолинейное движение, проходит прямолинейный участок траектории Теормех кинематика равный Теормех кинематика (рис. 193, а) за Теормех кинематика Простояв затем Теормех кинематика на месте, точка возвращается в исходное положение со скоростью Теормех кинематика Сколько всего времени проходит от начала движения точки до ее возвращения в исходное положение? Какой путь проходит точка?

Теормех кинематика

Построить графики перемещения и скорости точки.

Решение. 1. Расстояние от Теормех кинематика до Теормех кинематика равное Теормех кинематика равномерно пройдено за Теормех кинематикаТеормех кинематика В данном случае начальное расстояние Теормех кинематикаТеормех кинематика поэтому из уравнения (б) находим скорость точки на участке Теормех кинематика

Теормех кинематика

2. Точка находится в покое в течение времени Теормех кинематика

3. Точка возвращается в исходное положение, пройдя расстояние от Теормех кинематика до Теормех кинематика со скоростью Теормех кинематика за время

Теормех кинематика

4. Время от начала движения до момента возвращения в исходное положение равно:

Теормех кинематика

5. Путь, пройденный точкой за это время,

Теормех кинематика

6. Построим теперь график перемещения (рис. 193,6) и скорости точки (рис. 193, а) с одинаковым масштабом по оси времени.

Задача с решением 136-27.

Из двух пунктов Теормех кинематика и Теормех кинематика прямолинейного шоссе, находящихся один от другого на расстоянии Теормех кинематика одновременно выезжают навстречу друг другу два велосипедиста и двигаются с постоянными скоростями. Велосипедист, выезжающий из Теормех кинематика, имеет скорость Теормех кинематика а велосипедист, выезжающий из Теормех кинематика,—

Теормех кинематика

скорость Теормех кинематика Определить, за какое время каждый из них проедет расстояние Теормех кинематика Через сколько часов и где они встретятся? Решение.

1. Находим время, затраченное первым велосипедистом на проезд от точки Теормех кинематика до Теормех кинематика:

Теормех кинематика

2. Находим время, затраченное вторым велосипедистом на проезд от точки Теормех кинематика до Теормех кинематика:

Теормех кинематика

3. Время и место встречи велосипедистов наиболее просто определить графически. Расстояние между пунктами Теормех кинематика и Теормех кинематика, равное Теормех кинематика изобразим на оси ординат отрезком в Теормех кинематика (рис. 194), т. е. в масштабе Теормех кинематика (Теормех кинематика и Теормех кинематикаТеормех кинематика).

По оси абсцисс отложим время в масштабе Теормех кинематика (Теормех кинематика изображены отрезком Теормех кинематика поэтому Теормех кинематика и Теормех кинематикаТеормех кинематика).

Первый велосипедист расстояние от Теормех кинематика до Теормех кинематика проезжает за Теормех кинематика Его перемещение изображается на графике прямой Теормех кинематика

Второй велосипедист расстояние от Теормех кинематика до Теормех кинематика проезжает за Теормех кинематика и его перемещение изображается на графике прямой Теормех кинематика

Точка Теормех кинематика пересечения обоих графиков указывает место и время встречи. Встреча происходит на расстоянии Теормех кинематика от пункта Теормех кинематика (или на расстоянии Теормех кинематика от пункта Теормех кинематика) через Теормех кинематика после начала движения велосипедистов.

Если вместо графического решения применить аналитическое, то нужно рассуждать таким образом.

Допустим, что место встречи происходит на расстоянии Теормех кинематика от пункта Теормех кинематика, а время встречи Теормех кинематика считая от начала движения. Тогда уравнение движения лервого велосипедиста примет вид

Теормех кинематика

и уравнение движения второго велосипедиста

Теормех кинематика

где Теормех кинематика - расстояние второго велосипедиста от пункта Теормех кинематика в момент начала отсчета (при Теормех кинематика).

Так как левые части уравнения (1) и (2) равны, то

Теормех кинематика

Отсюда

Теормех кинематика

Из уравнения (1) определяем Теормех кинематика

Теормех кинематика

Равномерное криволинейное движение точки

Если Теормех кинематика и Теормех кинематика то модуль скорости остается неизменным (точка движется равномерно), но ее направление изменяется и точка движется криволинейно. Иначе, при равномерном движении по криволинейной траектории точка имеет нормальное ускорение, направленное по нормали к траектории и численно равное

Теормех кинематика

где Теормех кинематика — радиус кривизны траектории.

В частном случае движения точки по окружности (или по дуге окружности) радиус кривизны траектории во всех ее точках постоянный:

Теормех кинематика

а так как и числовое значение скорости постоянно, то

Теормех кинематика

При равномерном движении числовое значение скорости определяется из формулы

Теормех кинематика или Теормех кинематика

Если точка совершит полный пробег по окружности, то путь Теормех кинематика равен длине окружности, т. е. Теормех кинематика (Теормех кинематика - диаметр), а время равно периоду, т. е. Теормех кинематика Выражение скорости примет вид

Теормех кинематика

Задача с решением 141-28.

Тепловоз проходит закругление длиной Теормех кинематика за Теормех кинематика Радиус закругления по всей его длине постоянный и равняется Теормех кинематика Определить скорость тепловоза и нормальное ускорение, считая движение равномерным.

Решение.

1. Принимая тепловоз за материальную точку, найдем его скорость:

Теормех кинематика

2. Находим нормальное ускорение:

Теормех кинематика

3. Таким образом, при равномерном движении тепловоза по закруглению со скоростью Теормех кинематика он имеет нормальное ускорение Теормех кинематика (рис. 195).

Теормех кинематика

Задача с решением 142-28.

Определить, с какими скоростями движутся точки Теормех кинематика и Теормех кинематика расположенные на концах секундной, минутной и часовой стрелок часов. Принять длину секундной и минутной стрелок равной Теормех кинематика и длину часовой стрелки — Теормех кинематика (рис. 196).

Теормех кинематика

Решение.

1. Скорости данных точек найдем из формулы

Теормех кинематика

2. Определим исходные данные.

Для точки Теормех кинематика (конец секундной стрелки)

Теормех кинематика

Для точки Теормех кинематика (конец минутной стрелки)

Теормех кинематика

Для точки Теормех кинематика (конец часовой стрелки)

Теормех кинематика

3. Находим искомые скорости:

Теормех кинематика

Равнопеременное движение точки

Если Теормех кинематика (касательное ускорение постоянно как по модулю, так и по направлению), то Теормех кинематика Такое движение называется равнопеременным и прямолинейным.

Если же постоянным остается только числовое значение касательного уравнения

Теормех кинематика

то Теормех кинематика и такое движение точки называется равнопеременным криволинейным.

При Теормех кинематика движение точки называется равноускоренным, а при Теормех кинематика — равнозамедленным.

Уравнение равнопеременного движения независимо от его траектории имеет вид (см. § 63 в учебнике Е. М. Никитина)

Теормех кинематика

Здесь Теормех кинематика — расстояние точки от исходного положения в момент начала отсчета; Теормех кинематика — начальная скорость и Теормех кинематика — касательное ускорение —величины численно постоянные, а Теормех кинематика и Теормех кинематика — переменные.

Числовое значение скорости точки в любой момент времени определяется из уравнения

Теормех кинематика

Уравнения (1) и (2) являются основными формулами равнопеременного движения и они содержат шесть различных величин: три постоянные: Теормех кинематика и три переменные: Теормех кинематика

Следовательно, для решения задачи на равнопеременное движение точки в ее условии должно быть дано не менее четырех величин (систему двух уравнений можно решить лишь в том случае, если они содержат два неизвестных).

Если неизвестные входят в оба основных уравнения, например, неизвестны Теормех кинематика и Теормех кинематика, для удобства решения таких задач выведены вспомогательные формулы:

после исключения Теормех кинематика из (1) и (2)

Теормех кинематика

после исключения Теормех кинематика из (1) и (2)

Теормех кинематика

В частном случае, когда начальные величины Теормех кинематика и Теормех кинематика (равноускоренное движение из состояния покоя), то получаем те же формулы в упрощенном виде:

Теормех кинематика

Уравнения (5) и (6) являются основными, а уравнения (7) и (8) — вспомогательными.

Равноускоренное движение из состояния покоя, происходящее под действием только силы тяжести, называется свободным падением. К этому движению применимы формулы (5) —(8), причем

Теормех кинематика

Задача с решением 146-29.

Шарик, размерами которого можно пренебречь, начинает скатываться по наклонной плоскости из состояния покоя. Через Теормех кинематика после начала движения шарик находится от исходного положения на расстоянии Теормех кинематика

Определить ускорение шарика и его скорость в конце Теормех кинематика и Теормех кинематика а также расстояние, пройденное шариком за первые Теормех кинематика

Решение.

1. Из условия задачи следует, что Теормех кинематика и Теормех кинематика Пройденное за Теормех кинематика расстояние Теормех кинематика Даны четыре величины. Требуется определить ускорение шарика (движение прямолинейное, значит определить нужно только Теормех кинематика), скорости Теормех кинематика и расстояние Теормех кинематика

2. Найдем из формулы (7) скорость шарика, которую он приобретает в конце Теормех кинематика

Теормех кинематика

3. Найдем из формулы (6) ускорение шарика, которое он имеет, двигаясь по наклонной плоскости:

Теормех кинематика

4. Теперь из этой же формулы (6) можно найти скорость в конце Теормех кинематика

Теормех кинематика

5. Из формулы (5) находим расстояние, пройденное точкой за первые Теормех кинематика

Теормех кинематика

Задачу можно решить в ином порядке. Сначала из формулы (5) определить ускорение

Теормех кинематика

Затем из формулы (6) определить Теормех кинематика и Теормех кинематика и, наконец, из формулы (5) найти Теормех кинематика

Задача с решением 147-29.

Автомобиль, движущийся равномерно и прямолинейно со скоростью Теормех кинематика увеличивает в течение Теормех кинематика скорость до Теормех кинематика Определить, какое ускорение получит автомобиль и какое расстояние он проедет за это время, считая движение равноускоренным. Решение.

1. Здесь также четыре данных величины:

Теормех кинематика

Теормех кинематика и Теормех кинематика

так как движение автомобиля рассматривается только на том участке траектории (дороги), где он движется с ускорением.

2. Из вспомогательной формулы (3), полагая в ней Теормех кинематика найдем Теормех кинематика

Теормех кинематика

3. Из формулы (2) найдем ускорение, полученное автомобилем:

Теормех кинематика

Задачу можно решить несколько иным путем. Сначала из формулы (2) найти ускорение автомобиля, а затем из формулы (I) найти пройденное расстояние.