Теормех динамика ускорение статика кинематика

Содержание:

  1. Кинематика точки
  2. Пример с решением задачи 6.
  3. Пример с решением задачи 7.
  4. Статика
  5. Аксиомы статики
  6. Пример с решением задачи 29.
  7. Пример с решением задачи 30.
  8. Динамика материальной точки
  9. Основные законы динамики
  10. Две основные задачи динамики. Уравнения движения точки в декартовых осях

Кинематика точки

Скорость точки. Рассмотрим движение материальной точки Теормех динамика ускорение статика кинематика по отношению к системе ортогональных осей Теормех динамика ускорение статика кинематика Геометрическое место последовательных положений точки в этой системе назовем траекторией точки. Положение точки в пространстве можно задать ее координатами Теормех динамика ускорение статика кинематика которые при движении материальной точки будут меняться в зависимости от времени, так что

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Выписанные уравнения определяют закон движения материальной точки и представляют собой параметрические уравнения траектории точки. В непрерывном движении материальной точки будем рассматривать функции Теормех динамика ускорение статика кинематика непрерывные вместе со своими производными первого и второго порядков. Рассматривая два близких положения материальной точки Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика соответствующие моментам времени Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика вектор Теормех динамика ускорение статика кинематика соединяющий эти точки, будем называть вектором перемещения точки за промежуток времени Теормех динамика ускорение статика кинематика (рис. 26). Обозначая через Теормех динамика ускорение статика кинематика координаты точки Теормех динамика ускорение статика кинематика в момент Теормех динамика ускорение статика кинематика а через Теормех динамика ускорение статика кинематика в момент Теормех динамика ускорение статика кинематика для координат вектора перемещения получим значения Теормех динамика ускорение статика кинематикаТеормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Отношение вектора перемещения ко времени перемещения назовем средней скоростью точки за времяТеормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех динамика ускорение статика кинематика

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Направление вектора средней скорости точки совпадает с направлением вектора перемещения точки. Предел этого отношения при Теормех динамика ускорение статика кинематиканазовем истинной скоростью точки

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Секущая Теормех динамика ускорение статика кинематика при Теормех динамика ускорение статика кинематика займет предельное положение, совпадающее с положением касательной к кривой в точке Теормех динамика ускорение статика кинематика Вектор средней скорости точки имеет проекции на оси координат Теормех динамика ускорение статика кинематикаТеормех динамика ускорение статика кинематика Проекции истинной скорости определяются соотношениями

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Отсюда следует, что проекции вектора скорости являются первыми производными от координат точки по времени.

Производная от радиус-вектора точки. Положение движущейся материальной точки можно определить вектором Теормех динамика ускорение статика кинематика изменяющимся с течением времени по величине и по направлению относительно некоторой системы осей Теормех динамика ускорение статика кинематика который будем называть радиус-вектором точки (рис. 26). Вектор перемещения точки можно представить через значение радиус-вектора точки в моменты Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Для средней скорости точки получим теперь выражение

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Для истинной же скорости — предел этого отношения

Теормех динамика ускорение статика кинематика

таким образом, скорость точки может быть определена как производная от радиус-вектора точки по времени.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика кратко и понятно

Теормех примеры решения задач

Теормех реакции опор связи

Теормех кинематика формулы задачи примеры решения

Величину скорости точки можно выразить через ее проекции на ортогональные оси координат.

Теормех динамика ускорение статика кинематика

или

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика — дифференциал дуги траектории точки. Выбрав определенным образом положительное направление отсчета дуги, можно определить, что при возрастании Теормех динамика ускорение статика кинематика производная Теормех динамика ускорение статика кинематика будет положительной. Если условиться, что скорость Теормех динамика ускорение статика кинематика положительна в направлении возрастания дуги Теормех динамика ускорение статика кинематика, то

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Наиболее простым среди всех возможных движений точки является такое движение, при котором в любой момент времени выполняется условие

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Такое движение будем называть равномерны м. Перепишем последнее уравнение в виде

Теормех динамика ускорение статика кинематика

после интегрирования отсюда получим

Теормех динамика ускорение статика кинематика

последнее равенство представляет собой закон изменения пути со временем.

Пример с решением задачи 6.

Точка Теормех динамика ускорение статика кинематика совершает движение в плоскости Теормех динамика ускорение статика кинематика по закону

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика — постоянные величины. Определить траекторию и скорость точки.

Уравнение траектории задаио в параметрическом виде. Исключив отсюда время Теормех динамика ускорение статика кинематика получим

Теормех динамика ускорение статика кинематика

т. е. траекторией точки является окружность радиуса Теормех динамика ускорение статика кинематика. Проекции скорости получим, дифференцируя уравнения, определяющие координаты точки как функции времени

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Отсюда величина скорости

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Пример с решением задачи 7.

Ползун Теормех динамика ускорение статика кинематика приводится в движение нитью, наматывающейся на шкив радиуса Теормех динамика ускорение статика кинематика вращающийся с угловой скоростью Теормех динамика ускорение статика кинематика Найти скорость ползуна как функцию расстояния Теормех динамика ускорение статика кинематика (рис. 27).

Через неподвижную точку Теормех динамика ускорение статика кинематика нить проходит со скоростью Теормех динамика ускорение статика кинематика С такой же скоростью изменяется длина отрезка нити Теормех динамика ускорение статика кинематика Обозначив длину этого отрезка через Теормех динамика ускорение статика кинематика получим

Теормех динамика ускорение статика кинематика

С другой стороны,

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика определяется из соотношения

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Дифференцируя тождество (а), получим

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика определяется из условия

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Подставляя Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика будем иметь

Теормех динамика ускорение статика кинематика

откуда следует Теормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Статика

Статикой называется часть механики, изучающая условия, которым должны удовлетворять силы, действующие на систему материальных точек, при которых система находится в равновесии, а также условия эквивалентности системы сил.

Равновесие, как и движение, можно изучать только по отношению к некоторой определенной системе координат, принимаемой за неподвижную, или за абсолютную. В дальнейшем будем вводить некоторые идеальные модели материальных тел, упрощающие изучение последних.

В наиболее простых задачах будем рассматривать равновесия и движения таких материальных тел, положения которых с достаточной точностью могут быть определены как положения материальных точек, размерами которых можно пренебрегать при изучении движения или равновесия этих тел.

Такие материальные тела будем называть материальными точками. Материальные точки могут быть представлены как результат деления физического тела на бесконечно большое число частей. Но они могут представлять и конечные тела, обладающие определенным количеством вещества, когда размеры этих тел становятся несущественными. Второй из наиболее важных моделей является модель абсолютно твердоготела. Абсолютно твердым телом называют такую совокупность материальных точек, расстояния между которыми не могут быть изменены никакими действиями.

Реальные тела обычно могут изменять свою форму, при этом изменяются и расстояния между отдельными точками тел. Однако в ряде случаев эти изменения (деформации) настолько малы, что ими можно пренебрегать.

Одним из основных понятий механики является понятие силы. Силами в механике называют объективные причины, являющиеся результатом взаимодействия материальных объектов, способные вызвать движение материальных тел из состояния покоя или изменить существующее движение последних. Равными силами называются такие, которые вызывают одинаковые движения одного и того же объекта. Так как всякое движение материальных тел имеет относительный характер, а сила определяется вызываемым ею движением, то и понятие силы должно иметь относительный характер.

Одно и то же тело в различных системах отсчета в одно и то же время оказывается подверженным действию различных сил, зависящих от относительного движения систем отсчета. Мы не будем здесь заниматься вопросами происхождения сил, относя эти вопросы к курсам физики К

Мы будем говорить, что несколько сил, действующих на материальную точку, находятся в равновесии, если, будучи приложенными к этой точке, они не сообщают ей никакого движения относительно данной системы координат, и ускорение точки в этой системе остается равным нулю. Система материальных точек находится в равновесии, если она не получает никакого движения из состояния покоя от сил, действующих на эту систему.

Из повседневного опыта известно, что силы, действующие на твердое тело, имеют векторный характер. Они имеют определенную величину, направление и линию действия, а также точку приложения.

Если точка приложения силы совпадает с центром тяжести тела, то последнее под действием силы начинает двигаться из состояния покоя поступательно и при изучении такого движения тела можно отвлечься от его размеров, рассматривая движение лишь одной точки — центра тяжести. Понятие материальной точки в этом случае принимает вполне реальный смысл.

Современное понятие силы, действующей на материальную точку, было дано еще Галилеем, сформулировавшим свой знаменитый закон инерции, из которого следует, что действующая на материальную точку сила изменяет ее состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, т. е. сообщает точке ускорение. Определенные так силы Ньютон назвал ускоряющими. Направление силы, действующей на точку, определяется направлением вектора ускорения точки, которое последняя приобретает под действием силы.

Ньютон предложил измерять силу, действующую на материальную точку, тем ускорением, которое она сообщает материальной точке, считая величину силы пропорциональной величине ускорения. Такую силу можно представить вектором Теормех динамика ускорение статика кинематика определяемым равенством

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика — ускорение точки; Теормех динамика ускорение статика кинематика — коэффициент пропорциональности, называемый массой материальной точки.

Первой системой мер, принятой для измерения силы, были меры веса. Это было вызвано тем, что первое представление о силе у человека возникло в связи с тем усилием, которое он должен был приложить, чтобы удержать груз рукой. Сравнение сил с весом может быть осуществлено при помощи динамометра, сравнивающего растяжение пружины силой с растяжением той же пружины подвешенным грузом. При таком измерении при помощи упругих деформаций две силы оказываются равными, если они производят одинаковые деформации или если их действия взаимно уничтожаются, когда эти силы заставляют действовать на одну и ту же точку по одной прямой, но в противоположные стороны.

Иногда в физике рассматривают силу как истинную реальность, существующую независимо от материальных объектов, которые являются ее источником или испытывают эффект ее действия, определяя силу независимо от движения, которое она способна произвести. Такая концепция противоречит определению силы, принятому в классической механике, и нами рассматриваться не будет.

  • Мы будем каждый раз понимать силу как результат взаимодействия различных материальных объектов, не останавливаясь на выяснении физической природы взаимодействия, и будем измерять силу тем ускорением, которое она сообщает материальной точке.

Механика изучает физические законы природы. Законы эти устанавливаются в результате наблюдений, изучения природы. Обобщая многовековой опыт человечества, Галилей и Ньютон сформулировали основные законы механики, которые должны рассматриваться как аксиомы механики. Вся классическая механика строится на этих аксиомах, имеющих в основе экспериментальные факты. Для обоснования статики будем использовать следствия из основных законов Галилея—Ньютона, рассматривая эти следствия как самостоятельные аксиомы.

Аксиомы статики

Из повседневного опыта известно, что если на материальную точку действует несколько сил, то действие этой системы сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу многоугольника. Вектор, замыкающий силовой многоугольник, т. е. многоугольник, составленный из векторов сил, носит название равнодействующей силы. Этот опытный факт порождает первую аксиому статики.

  • Аксиома I. Действие на точку твердого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов.

Следствие. Силы, приложенные к точке твердого тела, складываются по правилу параллелограмма.

  • Аксиома II. Две силы, приложенные к точке твердого тела, взаимно уравновешиваются тогда и только тогда, когда они равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой.
  • Аксиома III. Действие на твердое тело системы сил не изменится, если добавить к этой системе или отбросить от нее две силы, равные по величине, направленные в противоположные стороны и лежащие на одной прямой.

Две последние аксиомы позволяют установить следующее следствие.

Следствие. Силу, действующую на твердое тело, можно переносить вдоль линии действия этой силы. При этом действие силы на твердое тело не изменяется.

Иначе говоря, действие силы на твердое тело не изменится, если последнюю приложить к твердому телу в любой точке се линии действия. В самом деле, пусть сила Теормех динамика ускорение статика кинематика действует на точку Теормех динамика ускорение статика кинематика твердого тела. На линии действия силы Теормех динамика ускорение статика кинематика добавим две направленные в противоположные стороны силы, равные по величине силе Теормех динамика ускорение статика кинематика и имеющие ту же линию действия, одна из которых, направленная в сторону, противоположную силе Теормех динамика ускорение статика кинематика, приложена к точке Теормех динамика ускорение статика кинематика, а другая— к точке Теормех динамика ускорение статика кинематика. В соответствии с аксиомой III действие новой системы сил равносильно действию одной силы Теормех динамика ускорение статика кинематика. Отбрасывая теперь приложенные к точке Теормех динамика ускорение статика кинематика силу Теормех динамика ускорение статика кинематика и силу —Теормех динамика ускорение статика кинематика, в результате получим всего одну силу Теормех динамика ускорение статика кинематика, приложенную к точке Теормех динамика ускорение статика кинематика, действие которой на твердое тело равносильно действию одной силы Теормех динамика ускорение статика кинематика, приложенной в точке Теормех динамика ускорение статика кинематика.

Две категории сил. Силы, действующие на твердое тело, можно разделить на две категории. К первой категории отнесем силы, которые создают или способны создать движение твердого тела.

  • Силы этой категории называются активными силами. Активной силой является, например, сила веса, которая всегда создает движение твердого тела, если только этому движению не препятствуют другие причины. Силы, не создающие движения, но ограничивающие перемещения твердого тела, препятствующие его перемещениям, относятся ко второй категории сил и называются пассивными силами.

В качестве примера рассмотрим одну материальную точку Теормех динамика ускорение статика кинематика подвешенную на нерастяжимой нити к неподвижной точке Теормех динамика ускорение статика кинематика (рис. 83) и находящуюся под действием силы тяжести. Сила тяжести — активная сила, способная вызвать падение материальной точки вниз. Этому движению препятствует пассивная сила — сила натяжения нити. Последняя не в состоянии заставить точку двигаться вверх, но препятствует ее движению вниз. Если точку отклонить от вертикали, сохраняя нить в натянутом состоянии, то под действием силы тяжести точка будет стремиться двигаться по вертикали вниз. Этому движению будет препятствовать пассивная сила натяжения нити, заставляя точку двигаться по окружности.

Рассматривая движение точки по гладкой горизонтальной плоскости, можно пренебречь действием силы тяжести, если только нас не интересует давление, оказываемое точкой на плоскость. Предположим, что на точку в горизонтальной плоскости действует нерастяжимая нить. Если точке сообщить скорость Теормех динамика ускорение статика кинематика ортогональную к нити, то она начнет двигаться по окружности. Изменение направления прямолинейного движения здесь происходит под действием пассивной силы натяжения нити, которая не создает, а только изменяет движение (препятствует движению). Как активные, так и пассивные силы удовлетворяют аксиоме Ньютона (третий закон Ныотона).

Теормех динамика ускорение статика кинематика

  • Аксиома IV. Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое (действие равно противодействию).

Геометрические условия, ограничивающие перемещения точек, называют связями. Связи могут быть заданы аналитически в виде равенств или неравенств. Так, например, материальная точка Теормех динамика ускорение статика кинематика соединенная стержнем неизменной длины Теормех динамика ускорение статика кинематика с неподвижным центром Теормех динамика ускорение статика кинематика удовлетворяет условию связи

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика — координаты точки в системе отсчета с началом в центре Теормех динамика ускорение статика кинематика Материальная точка, соединенная с центром Теормех динамика ускорение статика кинематика гибкой нерастяжимой нитью длины Теормех динамика ускорение статика кинематика удовлетворяет следующему условию связи:

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Рассмотренные связи препятствуют перемещениям материальных точек и обусловливают силы, препятствующие этим перемещениям. Последние будем называть силами реакции. Действие связей эквивалентно действию сил реакции, и можно ввести следующую аксиому связей.

  • Аксиома V. Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей.

Замечание. В статике будем рассматривать только неизменные во времени связи, которые не создают движения, а лишь препятствуют перемещениям в тех или иных направлениях (пассивные связи). Связи, меняющиеся со временем, будут рассматриваться в динамике.

Материальная точка, на которую действует активная сила Теормех динамика ускорение статика кинематика и наложены связи, испытывает со стороны связей действие силы реакции Теормех динамика ускорение статика кинематика Находясь в состоянии покоя, точка может начать движение (получить ускорение) лишь в том случае, когда активная сила не уравновешивается силами реакции. Последние, не являясь силами, создающими движение, представляют собой силы, противодействующие активным или уравновешивающие их. В тех случаях, когда пассивные силы не в состоянии уравновесить действие активных сил, начинается движение.

Пример с решением задачи 29.

Материальная точка, подвешенная при помощи нерастяжимой нити, находится под действием силы тяжести. Исследовать равновесие точки и найти натяжение нити.

Решение. Сила реакции будет уравновешивать действие силы тяжести в том случае, когда точка находится в наинизшем положении и нить направлена по вертикали, при этом величина силы реакции (натяжение нити) равна величине силы тяжести. Если же точка находится в состоянии покоя в отклоненном от вертикали положении, то сила реакции уже не сможет уравновесить силу тяжести, и точка под действием силы тяжести начнет движение по окружности (получит ускорение по касательной к окружности). Для равновесия этой точки необходимо приложить к ней силу Теормех динамика ускорение статика кинематика уравновешивающую действие составляющей Теормех динамика ускорение статика кинематика тогда составляющая силы тяжести, направленная вдоль нити, будет уравновешиваться действием силы реакции нити, т. е. будет равна по величине этой составляющей силы тяжести (рис. 84).

Пример с решением задачи 30.

Тяжелый цилиндр лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Исследовать равновесие цилиндра.

Решение. На цилиндр действует активная сила — сила веса, способная вызвать движение цилиндра по вертикали вниз. Этому движению препятствует горизонтальная плоскость, создающая силу реакции, уравновешивающую действие силы веса (рис. 85).

К пассивным силам следует отнести и силу трения, о которой сделаем несколько дополнительных замечаний, поскольку она обладает некоторыми специфическими особенностями.

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Динамика материальной точки

Динамика является главной частью механики. Она изучает движение различных механических систем в зависимости от причин, вызывающих это движение и влияющих на него. Причины эти в механике называются силами. Этим она и отличается от кинематики, которая при изучении движения материальных объектов не принимает во внимание причины, вызывающие это движение. В механике обычно не рассматривается происхождение сил, а изучается только их действие на движущиеся объекты. Изучение динамики начнем с задач о движении таких тел, размерами которых можно пренебрегать, а положение которых может быть определено как положение геометрической точки. Такие тела, или частицы материи, называют материальными точками. В теоретической механике все тела рассматриваются как совокупности взаимодействующих материальных точек. Одновременно с изменением положения каждое материальное тело, как бы мало оно ни было, может вращаться и деформироваться. Рассматривая движение материальной точки, будем изучать только изменение ее положения в пространстве, не интересуясь вращением и деформацией. Такое представление о материальной точке не лишено и реального смысла: подобной материальной точкой, с точки зрения механики, является центр тяжести твердого тела. В дальнейшем будет показано, что центр тяжести твердого тела движется как материальная точка, на которую действуют все силы, приложенные к этому телу.

Всякое движение материальной точки можно определить лишь по отношению к другим телам, а ее положение относительно других тел может быть задано тремя координатами, относящимися к определенному моменту времени.

Обычно выбирают прямоугольные декартовы координаты, так как они проще связаны с длинами и расстояниями.

Всякое движение происходит во времени. Моменты времени, к которым относятся координаты и расстояния, а также промежутки времени, становятся определенными, когда выбрана определенная система отсчета. Измерение времени может быть в принципе произведено при помощи любого периодического процесса. В практике же принято астрономическое измерение времени, основанное на изучении законов движения планет и вращения земного шара.

Фундаментальной единицей измерения времени являются звездные сутки — промежуток времени между двумя последовательными верхними кульминациями точки весеннего равноденствия. Время, протекшее от момента верхней кульминации точки весеннего равноденствия до любого другого момента, характеризуемого другим ее положением, выраженное в долях звездных суток (звездных часах, минутах и секундах), называется звездным временем. Звездные сутки в качестве основной единицы времени неудобны, потому что начало суток при этой единице может приходиться последовательно на любое время дня и ночи.

По этой причине основной единицей времени выбрано среднегодовое значение солнечных суток — промежутка времени между двумя последовательными прохождениями Солнца через меридиан данного места на земной поверхности. Продолжительность солнечных с\ток зависит от годового движения Земли относительно Солнца, поэтому приходится брать среднегодовое значение солнечных суток. Практической единицей времени считается секунда среднего солнечного времени, равная 1/86400 средних солнечных суток, что составляет около 1/86164,09 звездных суток.

С 1 января 1963 г. в Советском Союзе введена международная система единиц СИ, в которой за единицу времени принята 1 секунда, равная 1/31 556 925,9747 тропического года для 1900 г. января 0 в 12 часов эфемеридного времени, не зависящая от неравномерности вращения Земли.

Такой сопособ определения времени не является очень точным, поэтому в настоящее время для определения промежутков времени пользуются некоторыми естественными процессами, связанными с колебаниями атомов, период которых нечувствителен к внешним воздействиям. Но эти вопросы относятся уже к технике измерения времени и в курсе теоретической механики не изучаются.

Время, прошедшее между двумя событиями, называют промежутком времени, а границу между двумя промежутками называют моментом времени. В теоретической механике устанавливается независимо от событий или от системы, в которой наблюдаются события, соответствие между моментами времени и действительными числами. Определенное так время называют абсолютным идеальным временем.

Основные законы динамики

Свои основные положения динамика берет из опыта и наблюдений и с их помощью, а также с помощью кинематики и геометрии выводит законы движения.

Древние ученые имели смутное представление о законах движения. Аристотель (384—322 гг. до н. э.) не знал еще закона инерции, считая, что с прекращением действия силы тела прекращают двигаться. Только после долгих наблюдений над происходящими в природе движениями Галилеем был раскрыт один из основных законов движения, устанавливающий, что всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока внешние силы не выведут его из этого состояния. Этот закон не был сформулирован Галилеем в его универсальной форме, хотя Галилей и пользовался им в явном виде для объяснения различных явлений.

Закон инерции Галилея является обобщением опытных фактов, накопленных человечеством. Опираясь на него, Ньютон сформулировал свои основные законы движения.

Первый закон Ньютона. Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не принуждается приложенными силами изменить это состояние.

Под телом здесь подразумевается материальная точка, а сила определяется как причина, изменяющая равномерное и прямолинейное движение материальной точки. За меру силы Ньютон принял то ускорение, которое эта сила вызывает, в связи с чем сила в механике Ньютона называется ускоряющей.

Первый Закон Ньютона называют еще законом инерции. Под инерцией понимают способность тела сохранять свое движение или состояние покоя при отсутствии сил или изменять это состояние под действием сил.

Связь между силой и ускорением устанавливает второй закон Ныотона.

Второй закон Ныотона. Изменение количества движения пропорционально приложенной силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

Математически этот закон можно представить в виде уравнения

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика — скорость движущейся точки; Теормех динамика ускорение статика кинематика — ее масса; Теормех динамика ускорение статика кинематика — количество движения. Считая массу материальной точки величиной постоянной, второму закону Ньютона можно придать и другую математическую формулировку:

Теормех динамика ускорение статика кинематика

т. е. ускорение, которое получает материальная точка, пропорционально действующей на точку силе. Это уравнение является основным законом движения материальной точки. Масса Теормех динамика ускорение статика кинематика входит в него как коэффициент пропорциональности между силой и ускорением. Из этого определения видно, что масса является характеристикой инертного свойства материальной точки, т. е. способности ее под действием заданной силы получать определенное ускорение. Так же, как и первый закон Ньютона, второй закон является результатом обобщения многовекового опыта всего человечества и принимается как одна из основных аксиом механики.

Третий закон Ньютона. Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, другими словами — действия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны.

Этот закон рассматривался нами при изучении аксиом статики.

Можно заметить, что второй закон Ньютона содержит в себе и закон инерции Галилея. В самом деле, если положить Теормех динамика ускорение статика кинематика то из второго закона следует Теормех динамика ускорение статика кинематика или Теормех динамика ускорение статика кинематикат. е. если сила не действует на материальную точку, то последняя движется равномерно и прямолинейно. Тем не менее закон инерции Галилея устанавливает само понятие ускоряющих сил в механике.

Из второго закона Ньютона следует, что так же, как и ускорение, понятие силы в механике связано с определенной системой отсчета. Поскольку сила измеряется ускорением, которое она сообщает материальной точке, а ускорение имеет смысл только по отношению к той или иной системе отсчета, то и понятие силы должно быть относительным понятием и связано с выбором системы отсчета.

В различных системах отсчета математическая форма законов природы различна, однако существуют такие, так называемые инерциальные системы отсчета, в которых эти законы имеют наиболее простой вид. Такими инерциальными системами называются системы отсчета, в которых материальная точка при отсутствии действующих на нее сил взаимодействия (по третьему закону Ньютона) движется равномерно и прямолинейно, т. е. системы, для которых справедлив закон инерции Галилея (силы можно считать отсутствующими в том случае, когда все тела, от которых эти силы могут исходить, достаточно удалены, так что можно пренебрегать их влиянием).

С достаточной точностью такой инерциальной системой можно считать гелиоцентрическую систему координат. В первом приближении (для малых движений) система отсчета, связанная с Землей, так же может рассматриваться как инерциальная система координат.

Уравнение Теормех динамика ускорение статика кинематика справедливо только по отношению к инерциальной системе координат, в которой определена сила, действующая на материальную точку. Для всякой другой системы отсчета, движущейся относительно данной инерциальной системы поступательно и с постоянной скоростью, законы Ньютона остаются справедливыми, так как основной характеристикой в этих законах является ускорение, а не скорость.

В большинстве технических задач, в которых движения точек ограничены, основная система отсчета может быть связана с Землей. Для астрономических задач принятие такой системы невозможно, и приходится учитывать вращение Земли, а за основную систему отсчета выбирать систему, связанную со звездами. Подробнее эти вопросы будут рассмотрены в разделе, посвященном относительному движению материальной точки.

Две основные задачи динамики. Уравнения движения точки в декартовых осях

В динамике точки рассматриваются две основные задачи:

  • 1. На материальную точку действует сила, определенная в каждой точке пространства. Требуется определить движение материальной точки, происходящее под действием этой силы.
  • 2. В некоторой системе отсчета задано движение материальной точки. Требуется определить силу или силы, под действием которых происходит это движение.

Чтобы пояснить сущность первой из этих задач, рассмотрим уравнение Ньютона

Теормех динамика ускорение статика кинематика

где Теормех динамика ускорение статика кинематика — ускорение точки в некоторой неподвижной системе координат. Будем предполагать, что сила Теормех динамика ускорение статика кинематика действующая на материальную точку, определена в этой системе отсчета. За неподвижную систему отсчета выберем систему прямоугольных осей Теормех динамика ускорение статика кинематика (все дальнейшие рассуждения остаются справедливыми и по отношению к любой инерциальной системе). Вектор ускорения Теормех динамика ускорение статика кинематика будет иметь проекции Теормех динамика ускорение статика кинематика на указанные оси координат. Обозначим проекции силы на эти же оси координат через Теормех динамика ускорение статика кинематика Из равенства векторов Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика непосредственно следует равенство их проекций, откуда получаем три скалярных уравнения движения

Теормех динамика ускорение статика кинематика

которые назовем уравнениями движения в проекциях на декартовы оси координат. Впервые эти уравнения были получены Маклореном (1698—1746).

В общем случае силу, действующую на материальную точку, всегда можно представить как функцию времени, координат точки и ее скорости, т. е.

Теормех динамика ускорение статика кинематика

В каждом конкретном движении сила может рассматриваться как функция времени. В самом деле, если известен закон движения, т.е. известны координаты точки как функции времени

Теормех динамика ускорение статика кинематика

то, определяя из уравнений движения проекции силы на декартовы оси координат и подставляя значения Теормех динамика ускорение статика кинематика взятые из закона движения, будем иметь

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Иногда удобнее выразить правые части уравнений движения как функции только координат точки. Пусть, например, уравнение

Теормех динамика ускорение статика кинематика

может быть разрешено относительно Теормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Тогда вторая производная от Теормех динамика ускорение статика кинематика представится в виде

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Например, если Теормех динамика ускорение статика кинематика то Теормех динамика ускорение статика кинематика откуда

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Определять силу в функции только времени не всегда удобно при решении задач о движении, поэтому в общем случае силы представляют как функции времени, координат и скорости.

Можно представлять силы и как функции ускорения точки. Но тогда эти силы уже не будут определять ускорение, т. е. не будут ускоряющими в смысле Ныотона. Для такого класса сил может 'быть построена механика, отличная от механики Ньютона.

Если действующие на точку силы заданы, то уравнения движения

Теормех динамика ускорение статика кинематика

представляют собой систему трех дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций Теормех динамика ускорение статика кинематика и общий интеграл этих уравнений содержит шесть произвольных постоянных

Теормех динамика ускорение статика кинематика

В каждой конкретной задаче эти постоянные определяются из начальных условий, для чего должны быть заданы в начальный момент Теормех динамика ускорение статика кинематика начальное положение и начальная скорость точки. Задача определения констант Теормех динамика ускорение статика кинематика по заданным величинам Теормех динамика ускорение статика кинематикасводится к разрешению системы уравнений

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Теормех динамика ускорение статика кинематика

относительно Теормех динамика ускорение статика кинематика Для шести произвольных постоянных получим

Теормех динамика ускорение статика кинематика

и если выполнены условия существования и единственности, то каждой системе начальных значений координат и скоростей будет отвечать одно движение.

Для определения констант Теормех динамика ускорение статика кинематика могут быть приняты и другие, так называемые граничные условия (предложенные Гамильтоном). Они сводятся к тому, что рассматривается положение материальной точки в два различных момента времени Теормех динамика ускорение статика кинематика и Теормех динамика ускорение статика кинематика

При Теормех динамика ускорение статика кинематика

При Теормех динамика ускорение статика кинематика

и из этих условий определяются значения произвольных постоянных интегралов.

Вторая задача, задача определения силы по данному движению материальной точки, требует задания структуры силы, так как ускорение точки представляется и как функция времени, и как функция координат и скорости точки.

Пример с решением задачи 65.

На материальную точку действует сила, обладающая силовой функцией Теормех динамика ускорение статика кинематика Исследовать область возможного движения точки.

Решение. Положение равновесия точки определяется условием, что проекции силы на оси координат равны нулю, т. е.

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Таким положением в рассматриваемом случае является только начало координат. Область возможных движений точки около положения равновесия определяется неравенством

Теормех динамика ускорение статика кинематика

и представляет шар радиуса

Теормех динамика ускорение статика кинематика

чем меньше величина Теормех динамика ускорение статика кинематика тем больше радиус шара.