Теория вероятностей

На этой странице размещён полный курс лекций с формулами, законами, теоремами и примерами решений по предмету "Теория вероятностей". Если у вас нет времени на решение заданий по теории вероятностей  - вы всегда можете попросить меня. Напишите мне в воцап, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня.

Содержание:

  1. Введение в предмет теории вероятности
  2. Краткий исторический очерк о теории вероятности
  1. Основные понятия теории вероятностей. Непосредственный подсчет вероятностей 
  2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 
  3. Формула полной вероятности и формула Бейеса 
  4. Повторение опытов 
  5. Случайные величины. Законы распределения.  Числовые характеристики случайных величин 
  6. Системы случайных величин (Случайные векторы) 
  7. Числовые характеристики функций случайных величин 
  8. Законы распределения функций случайных величин. Предельные теоремы теории  вероятностей 
  9. Случайные функции 
  10. Марковские процессы. Потоки событий. Теория массового обслуживания 
  1. Случайные события
  2. Классификация событий
  3. Простые и составные случайные события
  4. Операции над событиями
  5. Классическое определение вероятности
  6. Элементы комбинаторики в теории вероятностей: перестановки, размещения и комбинации
  7. Перестановки
  8. Комбинации
  9. Аксиомы теории вероятностей и их следствия
  10. Следствия аксиом
  11. Геометрическая вероятность
  12. Статистическая вероятность
  13. Зависимые и независимые случайные события
  14. Условная вероятность и ее свойство
  15. Формулы умножения вероятностей для зависимых случайных событий
  16. Формулы умножение вероятностей для независимых случайных событий
  17. Вероятность появления случайного события по крайней мере один раз при n независимых попытках
  18. Использование формул теории вероятностей для оценивания надежности работы простых систем
  19. Формула полной вероятности
  20. Формула Байеса
  21. Повторяющиеся независимые эксперименты по схеме Бернулли
  22. Формула Бернулли
  23. Наиболее вероятное значение появления случайного события (мода)
  24. Локальная теорема
  25. Интегральная теорема
  26. Свойства функции Лапласа
  27. Использование интегральной теоремы
  28. Формула Пуассона для маловероятных случайных событий
  29. Простейший поток событий
  30. Случайные величины
  31. Одномерные случайные величины
  32. Дискретные и непрерывные случайные величины. Законы распределения их вероятностей
  33. Функция распределения вероятностей (интегральная функция) и ее свойства
  34. Плотность вероятностей (дифференциальная функция) f(x) и ее свойства
  35. Числовые характеристики случайных величин и их свойства
  36. Математическое ожидание
  37. Свойства математического ожидания
  38. Мода и медиана случайной величины
  39. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение
  40. Свойства дисперсии
  41. Начальные и центральные моменты
  42. Асимметрия и эксцесс
  43. Многомерные случайные величины. Система двух случайных величин
  44. Система двух дискретных случайных величин (X, Y) и их числовые характеристики
  45. Основные числовые характеристики для случайных величин Х, Y, которые образуют систему (Х, Y)
  46. Корреляционный момент. Коэффициент корреляции и его свойства
  47. Условные законы распределения системы двух дискретных случайных величин и их числовые характеристики
  48. Функция распределения вероятностей системы двух случайных величин и ее свойства
  49. Плотность вероятностей системы двух непрерывных случайных величин (Х, Y), f(x,y) и ее свойства
  50. Основные числовые характеристики для системы двух непрерывных случайных величин (Х, Y)
  51. Условные законы распределения для непрерывных случайных величин Х и Y, которые образуют систему (Х, Y)
  52. Стохaстическая зависимость
  53. Система произвольного числа случайных величин
  54. Плотность вероятностей системы n случайных величин
  55. Числовые характеристики системы n случайных величин
  56. Функции случайных аргументов
  57. Функции двух случайных аргументов и их числовые характеристики
  58. Числовые характеристики функции n случайных аргументов
  59. Основные законы распределения
  60. Основные законы целочисленных случайных величин
  61. Вероятностные образующие функции и их свойства
  62. Биномиальный закон распределения вероятностей
  63. Пуассоновский закон распределения вероятностей
  64. Геометрический закон распределения вероятностей
  65. Равномерный закон распределения вероятностей
  66. Гипергеометрический закон распределения вероятностей
  67. Основные законы непрерывных случайных величин
  68. Нормальный закон распределения
  69. Правило трех сигм для нормального закона
  70. Линейное преобразование для нормального закона
  71. Двумерный нормальный закон (нормальный закон на плоскости)
  72. Логарифмический нормальный закон распределения
  73. Законы распределения случайных величин, связанных с нормальным законом распределения
  74. Закон больших чисел. Граничные теоремы теории вероятностей
  75. Неравенство Чебышева
  76. Теорема Чебышева
  77. Теорема Бернулли
  78. Центральная граничная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова)
  79. Центральная граничная теорема
  80. Теорема Муавра—Лапласа
  81. Приложения к лекции по теории вероятностей
  82. Основные понятия и правила теории вероятностей
  83. Случайные величины
  84. Случайные события и действия с ними
  85. Основные законы распределения
  86. Совместные распределения случайных величин
  87. Предмет математической статистики
  88. Элементы комбинаторики

Введение в предмет теории вероятности

Теория вероятностей изучает закономерности в массовых случайных явлениях. Поясним это на двух простых примерах:

  1. Проводится испытание - бросается монета. Если испытание проводится один раз, то предсказать его исход выпадение герба или цифры - невозможно, здесь царит случай. Пусть теперь испытание проводится много раз, причем так, что при каждом следующем испытании воспроизводится комплекс условий, при которых проводилось предыдущее; в этом случае говорят, что проводится серия независимых испытаний. Замечательным является то, что в этой ситуации случай исчезает: можно предсказать, что герб выпадет примерно в 50% случаев, причём этот прогноз тем точнее, чем больше проводится испытаний. Этот прогноз подтверждается многократными проверками, проводившимися в разное время учёными. Так, французский учёный Ж.Л.Л.Бюффон бросал монету 4040 раз, герб выпадал в 2048 случаях; шведский учёный К.Пирсон бросал монету 24000 раз, герб выпадал в 12012 случаях; и так далее.
  2. Пусть испытание состоит в бросании тральной кости, представляющей собой куб, грани которого занумерованы цифрами 1-6. При однократном бросании предсказать исход невозможно, однако можно предсказать, что в длинной серии независимых бросаний каждая из цифр выпадает примерно в 1/6 части случаев, этот прогноз тем точнее, чем больше бросаний.

Проиллюстрированное на двух примерах явление, состоящее в том, что процент наступления случайного события в длинной серии независимых испытаний не случаен, представляет собой один из универсальных законов природы, получивший название закона больших чисел. Теория вероятностей представляет собой математическую модель этого закона. Вводимое в самом начале этой теории понятие "вероятность случайного события" и связанные с ним правила позволяют дать строгую математическую формулировку закона больших чисел, дают подходы к вычислению в ряде важных для практики случаев процента наступления случайного события в длинной серии испытаний до того, как эти испытания проводятся, и тем самым - подходы к прогнозированию результата этих испытаний. Методы прогнозирования по массовым случайным явлениям, развиваемые в теории вероятностей, широко применяются в настоящее время в различных областях науки и практической деятельности человека.

Краткий исторический очерк о теории вероятности

Истоки теории вероятностей теряются в глубине веков. Еще в древнем Египте собирались статические данные о народонаселении. Этот факт говорит о том, что уже тогда была замечена возможность практических выводов по результатам массовых случайных явлений. Однако многие столетия дальше сбора статистических данных дело не шло. В этот период никаких специальных методов не возникает, идет накопление материала.

В XVI веке появление работ Д. Кардано и Н. Тарталья знаменует собой первый шаг в развитии вероятностных представлений. В работах этих ученых впервые формулируются простейшие задачи из области азартных игр.

На роль случайностей в измерениях впервые обратил внимание великий Галилей. И хотя он не дал аналитического анализа оценки ошибок наблюдений, многие высказанные им положения оказали большое влияние на выработку основных понятий теории ошибок и теории вероятностей.

Дальнейшее развитие теории вероятностей можно условно разбить на 4 периода.

Первый период начинается с середины XVII века и продолжается до начала XVIII в. Он характеризуется возникновением теории вероятностей как науки.

До середины XVII в. не было никакого общего метода решения вероятностных задач. Однако следующие 50 лет ознаменовались выдающимися достижениями в этой области. В разработку вопросов теории вероятностей были вовлечены крупнейшие ученые того времени. В первую очередь здесь следует назвать Паскаля, Ферма и Гюйгенса. В своих трудах они уже широко использовали теоремы сложения и умножения, ввели понятие математического ожидания, а также выяснили фундаментальное значение для теории вероятностей понятий зависимости и независимости случайных событий.

В 1657г. Гюйгенс пишет первую книгу по теории вероятностей "О расчете в азартных играх". Примечательно его высказывание: "... при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Итак, в рассматриваемый период теория вероятностей превращается в науку. Она начинает использоваться для решения важных практических задач, находит свои первые применения в демографии (наука о народонаселении), страховом деле и теории ошибок.

Начало второю периода связано с появлением в 1713г. книги Я.Бернулли "Искусство предположений". В этой работе была строго доказана одна из важнейших теорем теории вероятностей, которая является простейшей формой закона больших чисел. Эта теорема утверждает, что относительная частота события при достаточно большом числе испытаний сходится в определенном смысле к вероятности этого события. Теорема Бернулли позволила придать определенный смысл понятию вероятности и применить теорию вероятностей к самым разнообразным задачам статистики.

Выдающимся ученым Муавру и Лапласу принадлежит заслуга доказательства одной из простейших форм центральной предельной теоремы. Они впервые ввели в рассмотрение нормальный закон, который играет исключительную роль в самых разнообразных задачах теории вероятностей.

Великий немецкий математик К.Ф. Гаусс доказал, что ошибки измерений подчиняются нормальному закону, и тем самым внес неоценимый вклад в теорию ошибок. Он также разработал метод обработки экспериментальных данных, который носит название "Метода наименьших квадратов". Здесь следует также отметить, что вывод нормального закона для случайных ошибок независимо от Гаусса и практически одновременно с ним получил малоизвестный американский математик Р. Эдрейн (1775-1843).

Второй период в развитии теории вероятностей завершается работами Пуассона, который доказал более общую, чем у Я. Бернулли, форму закона больших чисел. Ему также принадлежит заслуга применения методов теории вероятностей к задачам стрельбы. Имя Пуассона носит название один из важнейших законов распределения, который играет большую роль во многих задачах практики.

Следует отметить, что попытка Пуассона и некоторых других ученых применять теорию вероятностей к социальным явлениям вызвала оживленные споры и серьезные возражения в среде математиков и социологов. Появилось большое количество работ, посвященных неоправданным применениям теории вероятностей к жизни общества. Это привело к тому, что к теории вероятностей стали относиться скептически. А если еще учесть, что в это время недостаточно ясны были области приложения теории вероятностей в естественных науках, то становится понятным, почему интерес к ней на Западе резко упал.

Третий период в развитии теории вероятностей тесно связан с работами Петербургской математической школы. Следует отдать должное выдающемуся математику В.Я.Буняковскому (1804-1889), роль которого в распространении вероятностных идей в России переоценить нельзя. Он является автором первого курса теории вероятностей на русском языке и учителем великого русского математика П. Л. Чебышева, которого по праву можно назвать руководителем дореволюционной математической школы в России. Работы Чебышева в области теории вероятностей явились крупнейшим событием в математике. Они положили начало целому циклу глубоких исследований в области закона больших чисел. Его идеи оставили яркий след в развитии математики и предопределили надолго наперед направление и методы исследований массовых случайных явлений. "Вывел русскую теорию вероятностей на первое место в мире Пафнутий Львович Чебышев", - так оценил роль этого замечательного ученого академик А.Н. Колмогоров.

Наиболее выдающимися учениками Чебышева, оставившими неизгладимый след в развитии теории вероятностей, являются А.А. Марков и A.M. Ляпунов. Маркову принадлежит обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин. Его работы положили начало бурно развивающейся в настоящее время теории случайных функций. Ляпунову мы обязаны первым доказательством центральной предельной теоремы при весьма общих условиях.

Современный, четвертый период характеризуется исключительным подъемом интереса к теории вероятностей в самых различных областях человеческой деятельности. Этот интерес стимулировал бурное развитие многих направлений теории вероятностей.

Российская школа теории вероятностей, которая в настоящее время по праву занимает в мировой науке ведущее место, решила ряд принципиальных вопросов. В частности, академикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежат основополагающие работы в аксиоматическом построении теории вероятностей.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли российские ученые А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Е. Б. Дынкин, B.C. Пугачев, А.Н. Ширяев, А.А. Боровков, Ю.А. Розанов, Ю.В. Прохоров, И.И.Гихман, А.В. Скороход и другие. Теория вероятностей продолжает интенсивно развиваться в настоящее время.

Готовые решения задач по теории вероятности по всем темам

Приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения задач, приведены задачи из общего курса по "теории вероятностей" сопровождающиеся ответами и подробными объяснениями.

Основные понятия теории вероятностей. Непосредственный подсчет вероятностей 

Событием (или «случайным событием») называется всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. 

Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности этого события. Вероятность события А обозначается Р (А). 

Достоверным называется событие U, которое в результате опыта 
непременно должно произойти. 

Теория вероятностей

Невозможным называется событие V, которое в результате опыта не может произойти. 

Теория вероятностей

Вероятность любого события А заключена между нулем и единицей: 

Теория вероятностей

Полной группой событий называется несколько событий таких, что в результате опыта непременно должно произойти хотя бы одно из них. 

Несколько событий в данном опыте называются несовместными, если никакие два из них не могут появиться вместе. 

Несколько событий в данном опыте называются равновозможными, если по условиям симметрии опыта нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое. 

Если несколько событий: 1) образуют полную группу; 2) несовместны; 3) равновозможны, то они называются случаями («шансами»). 

Случай называется благоприятным событию, если появление этого случая влечет за собой появление события. 

Если результаты опыта сводятся к схеме случаев, то вероятность события А вычисляется по формуле 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей- общее число случаев

Теория вероятностей - число случаев, благоприятных событию А.

Пример 1.1. Образуют ли полную группу следующие группы ¦событий: 

Решение:

а) Опыт — бросание монеты; события: 
Теория вероятностей—появление герба; 
Теория вероятностей — появление цифры. 

б) Опыт — бросание двух монет; события: 
Теория вероятностей — появление двух гербов; 
Теория вероятностей— появление двух цифр. 

в) Опыт — два выстрела по мишени; события: 
Теория вероятностей—ни одного попадания; 
Теория вероятностей — одно попадание; 
Теория вероятностей — два попадания. 

г) Опыт—два выстрела по мишени; события: 
Теория вероятностей — хотя бы одно попадание; 
Теория вероятностей — хотя бы один промах. 

д) Опыт — вынимание карты из колоды; события: 
Теория вероятностей — появление карты червонной масти; 
Теория вероятностей — появление карты бубновой масти; 
Теория вероятностей—появление карты трефовой масти? 

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) да; д) нет. 

Пример 1.2. Являются ли несовместными следующие события: 

Решение:

а) Опыт — бросание монеты; события: 
Теория вероятностей— появление герба; 
Теория вероятностей—-появление цифры. 

б) Опыт — бросание двух монет; события: 
Теория вероятностей—появление герба на первой монете; 
Теория вероятностей—появление цифры на второй монете. 

в) Опыт — два выстрела по мишени; события: 
Теория вероятностей—ни одного попадания; 
Теория вероятностей—одно попадание; 
Теория вероятностей—два попадания. 

г) Опыт — два выстрела по мишени; события: 
Теория вероятностей—хотя бы одно попадание; 
Теория вероятностей —хотя бы один промах. 

д) Опыт—вынимание двух карт из колоды; события: 
Теория вероятностей — появление двух черных карт; 
Теория вероятностей — появление туза; 
Теория вероятностей — появление дамы? 

Ответ, а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет. 

Пример 1.3. Являются ли равновозможными следующие события: 

Решение:

а) Опыт — бросание симметричной монеты; события: 
Теория вероятностей — появление герба; 
Теория вероятностей — появление цифры. 

б) Опыт — бросание неправильной (погнутой) монеты; события: 
Теория вероятностей— появление герба; 
Теория вероятностей— появление цифры. 

в) Опыт — выстрел по мишени; события: 
Теория вероятностей — попадание; 
Теория вероятностей — промах. 

г) Опыт—бросание двух монет; события: 
Теория вероятностей — появление двух гербов; 
Теория вероятностей — появление двух цифр; 
Теория вероятностей — появление одного герба и одной цифры. 

д) Опыт — вынимание одной карты из колоды; события: 
Теория вероятностей— появление карты червонной масти; 
Теория вероятностей —появление карты бубновой масти; 
Теория вероятностей — появление карты трефовой масти. 

е) Опыт — бросание игральной кости; события: 
Теория вероятностей — появление не менее трех очков; 
Теория вероятностей— появление не более четырех очков? 

Ответ, а) да; б) нет; в) общем случае нет; г) нет; д) да; е) да. 

Пример 1.4. Являются ли случаями следующие группы событий: 

Решение:

а) Опыт — бросание монеты; события: 
Теория вероятностей— появление герба; 
Теория вероятностей— появление цифры. 

б) Опыт — бросание двух монет; события: 
Теория вероятностей— появление двух гербов; 
Теория вероятностей— появление двух цифр; 
Теория вероятностей — появление одного герба и одной цифры. 

в) Опыт — бросание игральной кости; события: 
Теория вероятностей —появление не более двух очков; 
Теория вероятностей— появление трех или четырех очков; 
Теория вероятностей — появление не менее пяти очков. 

г) Опыт — выстрел по мишени; события: 
Теория вероятностей — попадание; 
Теория вероятностей— промах. 

д) Опыт — два выстрела по мишени; события: 
Теория вероятностей — ни одного попадания; 
Теория вероятностей— одно попадание; 
Теория вероятностей —два попадания. 

е) Опыт — вынимание двух карт из колоды; события: 
Теория вероятностей—появление двух красных карт; 
Теория вероятностей— появление двух черных карт? 
Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет; д) нет; е) нет. 

Пример 1.11. В урне а белых и b черных шаров Теория вероятностей Из урны вынимают сразу два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. 

Решение:

Общее число случаев 

Теория вероятностей

Число благоприятных случаев 

Теория вероятностей

Вероятность события А — два белых шара — равна 

Теория вероятностей

Пример 1.12. В урне а белых и b черных шаров Теория вероятностей Из урны вынимают сразу пять шаров. Найти вероятность р того, что два из них будут белыми, а три черными. 

Решение:

Теория вероятностей

Пример 1.15. Игральная кость бросается два раза. Найти вероятность р того, что оба раза появится одинаковое число очков. 

Решение:

Теория вероятностей

(Другое Решение: Искомая вероятность есть вероятность того, что при втором бросании выпадет то же число очков, которое выпало при первом бросании: Теория вероятностейТеория вероятностей.)

Пример 1.18. В урне а белых и Ь черных шаров Теория вероятностей Из урны вынимают одновременно два шара. Какое событие более вероятно: 
А — шары одного цвета; 
В—шары разных цветов? 

Решение:

Теория вероятностей

Сравнивая числители этих дробей, находим 

Теория вероятностейпри Теория вероятностейт.е. Теория вероятностей

Теория вероятностейпри Теория вероятностей

Теория вероятностейпри Теория вероятностей

Пример 1.19. Трое игроков играют в карты. Каждому из них сдано по 10 карт и две карты оставлены в прикупе. Один из игроков видит, что у него на руках 6 карт бубновой масти и 4 — не бубновой. Он сбрасывает две карты из этих четырех и берет себе прикуп. Найти вероятность того, что 
он прикупит две бубновые карты. 

Решение:

Из 32 карт игроку известно 10, а остальные 22 — нет. Взять 2 карты из прикупа это все равно, что взять их из 22. В числе 22 карт две бубновых. Вероятность события равна 

Теория вероятностей

Пример 1.22. Полная колода карт 52 листа) делится наугад на две равные пачки по 26 листов. Найти вероятности следующих событий: 
А — в каждой из пачек окажется по два туза; 
В — в одной из пачек не будет ни одного туза, а в другой— все четыре; 
С —в одной из пачек будет один туз, а в другой — три. 

Решение:

Общее число случаев Теория вероятностейЧисло благоприятных событию А случаев Теория вероятностей

Теория вероятностей

Событие В может осуществиться двумя способами: либо в первой пачке будут все четыре туза, а во второй — ни одного, либо наоборот: 

Теория вероятностей

Аналогично 

Теория вероятностей

Интересно сравнить эти вероятности: 

Теория вероятностей

Пример 1.24. На девяти карточках написаны цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Две из них вынимаются наугад и укладываются на стол в порядке появления, затем читается полученное число, например 07 (семь), 14 (четырнадцать) и т. п. Найти вероятность того, что число будет четным. 

Решение:

Четность числа определяется его последней цифрой, которая должна быть четной (нуль — тоже четное число). Искомая вероятность есть вероятность того, 
что на втором месте появится одно из чисел 0 2, 4, 6, 8, 5 то есть Теория вероятностей

Пример 1.25. На пяти карточках написаны цифры: 1, 2, 3, 4, 5. Две из них, одна за другой, вынимаются. Найти вероятность того, что число на второй карточке будет больше, чем на первой. 

Решение:

Опыт имеет два возможных исхода: 
А — второе число больше первого, 
В — второе число меньше первого. 
Так как условия опыта симметричны относительно А и В, то 

Теория вероятностей

Пример 1.26. Тот же вопрос, что в задаче 1.25, но первая карточка после вынимания кладется обратно и смешивается с остальными, а стоящее на ней число записывается. 

Решение:

Возможны три исхода опыта: 
А — второе число больше первого; 
В —второе число меньше первого; 
С — второе число равно первому. 

Всего возможно Теория вероятностейслучаев; из них пять: 
1,1; 2,2; 3,3; 4,4; 5,5 

благоприятны событию С, а остальные 20 случаев поровну делятся на благоприятные событиям А и В. Следовательно, 

Теория вероятностей

Пример 1.27. В урне а белых, Ь черных и с красных шаров. Из урны вынимают один за другим все находящиеся в ней шары и записывают их цвета. Найти вероятность того, что в этом списке белый цвет появится раньше черного. 

Решение:

Так как в условиях задачи наличие или отсутствие красных шаров роли не играет, то искомая вероятность равна вероятности вынуть первым белый шар из урны, в которой имеется а белых и b черных шаров, т. е. равна Теория вероятностей

Пример 1.28. Имеется две урны: в первой а белых и b черных шаров; во второй с белых и d черных. Из каждой урны вынимается по шару. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. 

Решение:

Каждый шар из первой урны может комбинироваться с каждым шаром из второй; число случаев Теория вероятностей Число благоприятных случаев Теория вероятностей вероятность события Теория вероятностей

Пример 1.30. В барабане револьвера семь гнезд, из них в пяти заложены патроны, а два оставлены пустыми. Барабан приводится во вращение, в результате чего против ствола случайным образом оказывается одно из гнезд. После этого нажимается спусковой крючок; если ячейка была пустая, выстрела не происходит. Найти вероятность р того, что, повторив такой опыт два раза подряд, мы оба раза не выстрелим. 

Решение:

Так как любое гнездо при первом выстреле может сочетаться с любым при втором, число случаев Теория вероятностей Число благоприятных случаев равно числу  комбинаций пустых гнезд: Теория вероятностей

Пример 1.31. В тех же условиях найти вероятность того, что оба раза выстрел произойдет. 

Решение:

По-прежнему Теория вероятностей Число благоприятных случаев Теория вероятностей так как при первом выстреле гнездо с патроном можно выбрать пятью способами, а при втором выстреле — четырьмя; Теория вероятностей

Пример 1.32. В урне имеется k шаров, помеченных номерами 1, 2, ..., k . Из урны l раз вынимается по одному шару Теория вероятностей номер шара записывается и шар кладется обратно в урну. Найти вероятность р того, что все записанные номера будут различны. 

Решение:

Число случаев Теория вероятностей Число благоприятных случаев равно числу размещений из k элементов по l , т. е. Теория вероятностей Вероятность события 

Теория вероятностей

Пример 1.33. Из пяти букв разрезной азбуки составлено слово «книга». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы и затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность р того, что у него снова получилось слово «книга». 

Пример 1.34. Тот же вопрос, если было составлено слово «ананас». 

Решение:

Число случаев Теория вероятностей число благоприятных случаев уже не один, как в задаче Теория вероятностей Теория вероятностей так как повторяющиеся буквы «а» и «н» можно произвольным образом переставлять между собой; Теория вероятностей.

Пример 1.35. Из полной колоды карт (52 листа, 4 масти) вынимается сразу несколько карт. Сколько карт нужно вынуть для того, чтобы с вероятностью, большей чем 0,50, утверждать, что среди них будут карты одной и той же масти? 

Решение: Обозначим Теория вероятностей наличие среди k вынутых карт не менее двух одной масти. 

При Теория вероятностей

При Теория вероятностейТеория вероятностейТеория вероятностей

Итак, нужно вынуть Теория вероятностейкарт.

Пример 1.36. N человек случайным образом рассаживаются за круглым столом Теория вероятностей Найти вероятность р того, что два фиксированных лица А и В окажутся рядом. 

Решение:

Число случаев Теория вероятностей число благоприятных случаев m = 2N, так как всего пар соседних мест N, а на каждой паре соседних мест лиц А и В можно рассадить двумя способами: 

Теория вероятностей

Пример 1.38. На бочонках лото написаны числа от 1 до N. Из этих N бочонков случайно выбираются два. Найти вероятности следующих событий: 

А — на обоих бочонках написаны числа, меньшие чем Теория вероятностей
В—на одном из бочонков написано число, большее , а на другом — меньшее

Решение:

Число случаев Теория вероятностей

Для события А получим: Теория вероятностей

Теория вероятностей.

Имея в виду, что  k—1 бочонков имеют номера меньше чем k, Nk бочонков — номера больше чем k, и один бочонок— номер k, получим для события В

Теория вероятностей

Пример 1.39. Батарея из М орудий ведет огонь по группе, состоящей из N целей Теория вероятностей Орудия выбирают себе цели последовательно, случайным образом, при условии, что никакие два орудия стрелять по одной цели не могут. Найти вероятность р того, что будут обстреляны цели с номерами 1, 2, ..., М

Решение:

Число способов, которыми можно распределить М орудий по  N целям, равно Теория вероятностей (число размещений из N элементов по М). Число благоприятных случаев (при которых обстреливаются только первые М целей) Теория вероятностей

Теория вероятностей.

Пример 1.40. В урне имеется К шаров; из них: 

Теория вероятностей шаров 1 -го цвета;

Теория вероятностей

Теория вероятностейшаров Теория вероятностей цвета;

Теория вероятностей

Теория вероятностейшаров Теория вероятностей цвета Теория вероятностей

Из урны вынимают одновременно k шаров. Найти вероятность того, что среди них будет: 

Теория вероятностейшаров 1 -го цвета;

Теория вероятностей

Теория вероятностейшаров Теория вероятностей цвета;

Теория вероятностей

Теория вероятностейшаров Теория вероятностей цвета Теория вероятностей

Решение:

Общее число случаев п равно числу способов, какими можно вынуть k шаров из К

Теория вероятностейЧисло благоприятных случаев: 

Теория вероятностей

так как группу шаров первого цвета можно выбрать Теория вероятностей способами, группу шаров второго цвета—Теория вероятностей способами и т. д. Вероятность события 

Теория вероятностей

Пример 1.42. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что все орудия будут стрелять по разным целям. 

Решение:

Группу из k обстрелянных целей можно выбрать Теория вероятностей способами, а в пределах группы распределить орудия Теория вероятностей способами: Теория вероятностей общее число случаев Теория вероятностей 
искомая вероятность события Теория вероятностей

Пример 1.43. Четыре шарика случайным образом разбрасываются по четырем лункам; каждый шарик попадает в ту или другую лунку с одинаковой вероятностью и независимо от других 
(препятствий к попаданию в одну и ту же лунку нескольких шариков нет). Найти вероятность того, что в одной из лунок окажется три шарика, в другой — один, а в двух остальных лунках шариков не будет. 

Решение:

Общее число случаев Теория вероятностей Число способов, которыми можно выбрать одну лунку, где будут три шарика, Теория вероятностей Число способов, которыми можно выбрать лунку, где будет один шарик, Теория вероятностей Число способов, которыми можно выбрать из четырех шариков три, чтобы положить их в первую лунку, Теория вероятностей Общее число благоприятных случаев Теория вероятностей Вероятность события: Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 1.45. Имеется М шариков, которые случайным образом разбрасываются по N лункам. Найти вероятность того, что в первую лунку попадет ровно Теория вероятностей шариков, во вторую — Теория вероятностей шариков и т. д., в Теория вероятностейТеория вероятностей шариков,

 Теория вероятностей

Решение:

Число случаев Теория вероятностей Число благоприятных случаев подсчитывается следующим образом. Число способов, какими можно выбрать из М шариков Теория вероятностей равно Теория вероятностей число 
способов, какими можно из оставшихся Теория вероятностей шариков выбрать Теория вероятностей равно Теория вероятностей и т. д.; число способов, какими можно из Теория вероятностей выбрать Теория вероятностей равно 
Теория вероятностей Все эти числа нужно перемножить: 

Теория вероятностей

Вероятность события Теория вероятностей

Пример 1.46*. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что в одной из лунок (все равно, в какой) будет Теория вероятностей шариков, в другой — Теория вероятностей и т. д., в Теория вероятностей — Теория вероятностей шариков (числа Теория вероятностей ..., Теория вероятностей) предполагаются различными). 

Решение:

По сравнению с задачей 1.45 число благоприятных случаев увеличится в Теория вероятностей раз (это число способов, каким можно переставить между собой Теория вероятностей чисел: Теория вероятностей). 
Вероятность события Теория вероятностей

Пример 1.47*. В условиях задачи 1.45 найти вероятность того, что из N лунок будет Теория вероятностей таких, в которые не попадет ни одного шарика; Теория вероятностей таких, в которые попадет ровно один шарик, и т. д.; Теория вероятностей таких, в которые попадут все М шариков: Теория вероятностей

Решение:

Общее число случаев Теория вероятностей Чтобы найти число благоприятных случаев Теория вероятностей, нужно перемножить число способов, какими можно выбрать лунки, и число способов, 
какими можно выбрать шарики. Лунки можно выбрать Теория вероятностей~ способами. 

Найдем число способов, какими можно выбрать шарики. Шарики распадаются на группы: начальная группа (по 0 шариков) пустая; первая содержит Теория вероятностей шариков; вообще Теория вероятностей — 
Теория вероятностей шариков Теория вероятностей Группы шариков можно выбрать 

Теория вероятностей

способами. Теперь определим, сколькими способами можно выбрать шарики внутри k-й группы так, чтобы в каждой из Теория вероятностей лунок лежало по k шариков. Это число способов равно 

Теория вероятностей

а число способов, какими можно выбрать все шарики для всех групп, равно произведению таких чисел для разных k

Теория вероятностейПеремножая, получим число способов, какими можно выбрать шарики: 

Теория вероятностей

Умножая это на число способов, какими можно выбрать лунки, находим число благоприятных случаев: 

Теория вероятностей

откуда вероятность события 

Теория вероятностей

Пример 1.48. В лифт семиэтажного дома на первом этаже вошли три человека. Каждый из них с одинаковой вероятностью выходит на любом из этажей, начиная со второго. Найти 
вероятности следующих событий: 

А — все пассажиры выйдут на четвертом этаже; 
В—все пассажиры выйдут одновременно (на одном и том же этаже); 
С—все пассажиры выйдут на разных этажах. 

Решение:

Задача того же типа, что и задачи о разбрасывании шариков по лункам. Этажи играют роль «лунок» Теория вероятностей пассажиры—«шариков» Теория вероятностей Число случаев Теория вероятностей Теория вероятностей Вероятность события В вшестеро больше вероятности события А (так как этажей, на которых можно выйти, шесть); Теория вероятностей и Теория вероятностей  Для события С число способов, которыми можно распределить трех пассажиров по шести этажам: Теория вероятностейТеория вероятностей
Те же вероятности Р (В) и Р (С) можно найти и по общей формуле решения задачи 1.47, полагая 

Теория вероятностейдля события В

Теория вероятностейдля события С. 

Теоремы сложения и умножения вероятностей 

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. 
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. 

Теорема сложения вероятностей :

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 

Теория вероятностей

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой 

Теория вероятностей

где АВ — произведение событий А и В. 

Теорема сложения вероятностей для нескольких событий:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей: 

Теория вероятностей

В случае, когда события Теория вероятностей- совместны, вероятность их суммы выражается формулой

Теория вероятностей 

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов Теория вероятностейТеория вероятностей взятых по одному, по два, по три и т. д. 

Если события Теория вероятностей несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице: 

Теория вероятностей

Событие Теория вероятностей называется противоположным событию А, если оно состоит в непоявлении события А

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: 

Теория вероятностей

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Теория вероятностей 

События Л и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий 

Теория вероятностей

Теорема умножения вероятностей:

Вероятность произведения двух событий равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого при наличии первого: 

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

Для независимых событий А и В 

Теория вероятностей

Теорема умножения вероятностей для нескольких событий:

Теория вероятностей

В случае, когда события независимы, т. е. появление любого числа из них не меняет вероятностей появления остальных, 

Теория вероятностей

Пример 2.1. Может ли сумма двух событий А и В совпадать с их произведением? 

Решение:

Да, может, если события эквивалентны (равнозначны), т. е. если из события А вытекает В и, наоборот, из В вытекает А. Например, пусть производится один выстрел по мишени. Предположим, что попадание в мишень непременно приводит к ее разрушению и никаким другим способом мишень разрушена быть не может; тогда два события 

А — попадание в мишень, 
В—разрушение мишени 
эквивалентны (А = В), и для них 

Теория вероятностей

Пример 2.2. Доказать, что вероятность суммы двух событий не больше, чем сумма вероятностей этих событий: 

Теория вероятностей

Решение:

Это неравенство вытекает из формулы (*) стр. 20, так как Теория вероятностей 

Пример 2.4. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события Теория вероятностей — попадание при Теория вероятностей выстреле (Теория вероятностей =1,2, 3). 
Представить в виде сумм, произведений или сумм произведений событий Теория вероятностей и Теория вероятностей следующие события: 

А — все три попадания; 
В —все три промаха; 
С — хотя бы одно попадание; 
D — хотя бы один промах; 
Е — не меньше двух попаданий; 
F — не больше одного попадания; 
О —попадание в мишень не раньше, чем при третьем выстреле. 

Решение:

 Теория вероятностей 2)Теория вероятностей 3) Теория вероятностейТеория вероятностей или 

или Теория вероятностей Теория вероятностей

Теория вероятностейТеория вероятностей

Теория вероятностей Теория вероятностейТеория вероятностей 

Пример 2.7. Назвать противоположные для следующих событий: 
А—выпадение двух гербов при бросании двух монет; 
В — появление белого шара при вынимании одного шара из урны, в которой 2 белых, 3 черных и 4 красных шара; 
С —три попадания при трех выстрелах; 
D — хотя бы одно попадание при пяти выстрелах; 
Е — не более двух попаданий при пяти выстрелах; 
F — выигрыш первого игрока при игре в шахматы. 

Ответы. Теория вероятностей—выпадение хотя бы одной цифры; 
Теория вероятностей — появление черного или красного шара; 
Теория вероятностей—хотя бы один промах; 
Теория вероятностей — все пять промахов; 

Теория вероятностей — более двух попаданий; 
Теория вероятностей —выигрыш второго или ничья. 

Пример 2.8. Событие В есть частный случай события А, т. е. из появления события В следует, что событие А произошло. 
Следует ли из Теория вероятностей что Теория вероятностей произошло? 

Решение:

Нет, не следует! Например: опыт состоит из двух выстрелов; А — хотя бы одно попадание; В — два попадания. Если произошло В, из этого следует, что А произошло. Если же произошло Теория вероятностей (менее двух попаданий), из этого еще не следует, что произошло Теория вероятностей (ни одного 
попадания). Наоборот, из Теория вероятностей следует Теория вероятностей

Пример 2.9. Если событие В представляет собой частный случай события А, зависимы эти события или нет? 

Решение:

Зависимы, если Теория вероятностей так как Теория вероятностей

Пример 2.10. Зависимы или независимы: 
1) несовместные события; 
2) события, образующие полную группу; 
3) равновозможные события? 

Решение:

1) Зависимы, так как появление любого из них обращает в нуль вероятности всех остальных; 2) зависимы, так как непоявление всех, кроме одного, обращает в единицу 
вероятность последнего; 3) могут быть как зависимы, так и независимы. 

Пример 2.11. Опыт состоит в последовательном бросании двух монет. Рассматриваются события: 
А — выпадение герба на первой монете; 
—-выпадение хотя бы одного герба; 
Е —выпадение хотя бы одной цифры; 
F — выпадение герба на второй монете. 

Определить, зависимы или независимы пары событий: 
1) А и Е; 2) А и F; 3) D и Е; 4) D и F
Определить условные и безусловные вероятности событий в каждой паре. 

Решение:

Теория вероятностейсобытия зависимы. 

Теория вероятностейсобытия независимы. 

Теория вероятностейсобытия зависимы. 

Теория вероятностейсобытия зависимы. 

Пример 2.12. Из полной колоды карт  (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события: 
А — появление туза; 
В —появление карты красной масти; 
С —появление бубнового туза; 
D — появление десятки. 
Зависимы или независимы следующие пары событий: 
1) А и В; 2) А и С; 3) В и С; 4) В и D; 5) С и D

Решение:

1) независимы, так как Теория вероятностей
2) зависимы, так как Теория вероятностей
3) зависимы, так как Теория вероятностей
4) независимы, так как Теория вероятностей
5) зависимы, так как несовместны. 

Пример 2.15. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются сразу два шара. Найти вероятность того, что эти шары будут разных цветов. 

Решение:

Событие может появиться в двух несовместных вариантах: бч или чб; по теоремам сложения и умножения 

Теория вероятностей

*) Данная задача, как и ряд других в главе 2, может быть решена и с помощью непосредственного подсчета числа случаев; здесь требуется решить их с помощью теорем сложения или умножения. 

Пример 2.17. В урне а белых и b черных шаров. Из урны в случайном порядке, один за другим, вынимают все находящиеся в ней шары. Найти вероятность того, что вторым по порядку 
будет вынут белый шар. 

Решение:

Вероятность события может быть найдена непосредственно (см. задачу 1.10). Тот же результат может быть найден и по теоремам сложения и умножения: 

Теория вероятностей

Пример 2.18. В урне а белых, b черных и с красных шаров. Три из них вынимаются наугад. Найти вероятность того, что по крайней мере два из них будут одноцветными. 

Решение:

Чтобы найти вероятность события А —по крайней мере два шара будут одноцветными, — перейдем к противоположному Теория вероятностей — все шары разных цветов: 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

Пример 2.19. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут три мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность того, что после трех игр в коробке не останется неигранных мячей? 

Решение:

Событие А может произойти единственным способом: первый раз, второй и третий из коробки будут вынуты неигранные мячи. Первый раз это обеспечено; поэтому 

Теория вероятностей

Пример 2.22. Уходя из квартиры, N гостей, имеющих одинаковые номера обуви, надевают калоши в темноте. Каждый из них может отличить правую калошу от левой, но не может отличить свою от чужой. Найти вероятности следующих событий: 
А — каждый гость наденет свои калоши; 
В —каждый гость наденет калоши, относящиеся к одной паре (может быть и не свои). 

Решение:

Каждый гость выбирает одну правую калошу и одну левую; правых калош N и левых N. По теореме умножения 

Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 2.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятности событий А и В, если гости не могут отличить правой калоши от левой и просто берут первые попавшиеся две калоши. 

Решение:

По теореме умножения 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Пример 2.24. Бросаются две монеты. Рассматриваются события: 
А — выпадение герба на первой монете; 
В — выпадение герба на второй монете. 
Найти вероятность события С=А + В. 

Решение: 

Теория вероятностейТеория вероятностей или, через противоположное событие, Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 2.26. Ведется стрельба по самолету, уязвимыми агрегатами которого являются два двигателя и кабина пилота. Для того чтобы поразить (вывести из строя) самолет, достаточно поразить оба двигателя вместе или кабину пилота. При данных условиях стрельбы вероятность поражения первого двигателя равна Теория вероятностей второго двигателя Теория вероятностей, кабины пилота Теория вероятностей Агрегаты 
самолета поражаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что самолет будет поражен. 

Решение:

Событие А —поражение самолета есть сумма двух совместных событий: 
Д — поражение обоих двигателей; 
К — поражение кабины. 

Теория вероятностей

Пример 2.27. В урне а белых и b черных шаров. Из урны вынимаются Теория вероятностей шаров Теория вероятностей Найти вероятность того, что среди них будет больше белых, чем черных. 

Решение:

Данную задачу проще решить, комбинируя методы непосредственного подсчета вероятностей с теоремой сложения. Событие А — больше белых шаров, чем черных — 
можно представить в виде суммы 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей - появление Теория вероятностей белых шаров Теория вероятностей

Теория вероятностейоткуда Теория вероятностей

 

Пример 2.28. В партии, состоящей из N изделий, имеется М дефектных. Из партии выбирается для контроля m изделий. Если среди контрольных окажется более m дефектных, бракуется 
вся партия. Найти вероятность того, что партия будет забракована. 

Решение:

Событие А — партия забракована—можно представить в виде суммы 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— событие, состоящее в том, что среди контрольных изделий Теория вероятностей дефектных. 

Теория вероятностей

Пример 2.29. Из полной колоды карт (52 карты) вынимают  одновременно четыре карты. Рассматриваются события: 
А — среди вынутых карт будет хотя бы одна бубновая; 
В—среди вынутых карт будет хотя бы одна червонная. 
Найти вероятность события С = А + В

Решение:

Переходя к противоположному событию С — нет ни бубновой, ни червонной карты, имеем 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 2.32. Имеется группа из Теория вероятностей космических объектов, каждый из которых независимо от других обнаруживается радиолокационной станцией с вероятностью р. За группой объектов ведут наблюдение независимо друг от друга радиолокационных станций. Найти вероятность того, что не все объекты, входящие в группу, будут обнаружены. 

Решение:

Переходим к противоположному событию Теория вероятностей — все объекты будут обнаружены: 

Теория вероятностей

Пример 2.35.  32 буквы русского алфавита написаны на карточках разрезной азбуки. Пять карточек вынимаются наугад одна за другой и укладываются на стол в порядке появления. Найти 
вероятность того, что получится слово «конец». 

Решение:

Теория вероятностей

Те же условия, но вынутые пять карточек можно менять местами произвольным образом. Какова вероятность того, что из вынутых пяти карточек можно сложить слово 
«конец». 

Решение:

Существует 5! перестановок из 5 букв; вероятность каждой из них вычисляется, как в предыдущей задаче;  искомая вероятность равна Теория вероятностей

Пример 2.37. Два шарика разбрасываются случайно и независимо друг от друга по четырем ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линии. Каждый шарик с одинаковой вероятностью 1/4 попадает в каждую ячейку. Найти вероятность того, что шарики попадут в соседние ячейки. 

Решение:

Событие А —шарики попали в соседние ячейки — разобьем на столько вариантов, сколько можно образовать пар соседних ячеек; получим 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—шарики попали в первую и вторую ячейки; 
Теория вероятностей— шарики попали во вторую и третью ячейки; 
Теория вероятностей — шарики попали в третью и четвертую ячейки. 
Вероятность каждого из вариантов одна и та же и равна 

Теория вероятностей

Пример 2.38. k шариков разбрасываются случайным образом и независимо друг от друга по п ячейкам, расположенным одна за другой по прямой линииТеория вероятностей Найти вероятность того, 
что они займут k соседних ячеек. 

Решение:

k соседних ячеек из п можно выбрать Теория вероятностей способами. Вероятность попадания k шариков в каждую их групп соседних ячеек равна Теория вероятностей  (так как их 
можно разбросать по этим ячейкам Теория вероятностей способами). Вероятность события А — шарики попали в k соседних ячеек—равна Теория вероятностей

Пример 2.39. Производится стрельба по самолету зажигательными снарядами. Горючее на самолете сосредоточено в четырех баках, расположенных в фюзеляже один за другим. Площади 
баков одинаковы. Для того чтобы зажечь самолет, достаточно попасть двумя снарядами либо в один и тот же бак, либо в соседние баки. Известно, что в область баков попало два 
снаряда. Найти вероятность того, что самолет загорится. 

Решение:

Событие А — воспламенение самолета — есть сумма двух несовместных вариантов: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— оба снаряда попали в один и тот же бак; 
Теория вероятностей—снаряды попали в соседние баки.

Теория вероятностей 

Вероятность события Теория вероятностей находим согласно задаче 2.37: 

Теория вероятностейотсюда Теория вероятностей

Пример 2.40. Из полной колоды карт (52 листа) вынимаются сразу четыре карты. Найти вероятность того, что все эти четыре карты будут разных мастей. 

Решение:

Первая карта может быть какой угодно масти; вторая должна быть не такой, как первая; третья не такой, как первая и вторая; четвертая — не такой, как три первые. Искомая вероятность равна Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 2.45. По некоторой цели одновременно производится п выстрелов. Каждый выстрел независимо от других поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью р. Найти вероятность того, что после л выстрелов цель будет поражена. Изменится ли эта вероятность, если выстрелы производятся последовательно, результат каждого выстрела наблюдается и после поражения цели стрельба немедленно прекращается? 
Сколько надо произвести выстрелов, чтобы поразить цель с вероятностью не менее Теория вероятностей

Решение:

Обозначим А поражение цели; переходя к событию Теория вероятностей получим Теория вероятностей при наблюдении вероятность не изменится. 

Полагая Теория вероятностей и решая это неравенство относительно Теория вероятностей получим Теория вероятностей В качестве решения задачи берется наименьшее целое число Теория вероятностейудовлетворяющее этому условию. 

Пример 2.48. Производится стрельба двумя снарядами по k бакам с горючим (k > 2), расположенным рядом друг с другом в одну линию (рис. 2.48). 

Теория вероятностей

Каждый снаряд независимо от других попадает в первый бак с вероятностью Теория вероятностей, во второй — с вероятностью Теория вероятностей и т. д. Для воспламенения баков требуется два попадания в один и тот же бак или два попадания в соседние баки. 
Найти вероятность воспламенения баков. 

Решение:

Событие А — воспламенение баков — распадается на сумму двух вариантов: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— оба снаряда попали в один бак; 
Теория вероятностей — снаряды попали в соседние баки. 

Теория вероятностей

Пример 2.53. Для повышения надежности прибора он дублируется другим- точно таким 
же прибором (рис. 2.53); надежность (вероятность безотказной работы) каждого 
прибора равна р. При выходе из строя первого прибора происходит мгновенное 
переключение на второй (надежность переключающего устройства равна единице). Определить надежность системы двух дублирующих друг друга приборов. 

Теория вероятностей

Решение:

Отказ системы требует совместного отказа обоих приборов; надежность системы равна Теория вероятностей

Пример 2.57*. Техническая система состоит из п блоков, надежность каждого из которых равна р. Выход из строя хотя бы одного блока влечет за собой выход из строя всей системы. 

С целью повышения надежности системы производится дублирование, для чего выделено еще п таких же блоков. Надежность переключающих устройств полная. Определить, какой способ дублирования дает большую надежность системы:  

а) дублирование каждого блока (рис. 2.57, а), 
б) дублирование всей системы (рис. 2.57, б). 

Решение:

Надежность системы, дублированной по способу а), будет Теория вероятностей

по способу б): Теория вероятностейТеория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Покажем, что Теория вероятностейпри любом Теория вероятностейи Теория вероятностей

Так как

Теория вероятностей

То достаточно доказать неравенство: Теория вероятностейПоложим Теория вероятностей

неравенство примет вид Теория вероятностей

или

 Теория вероятностей

Применяя формулу бинома, замечаем, что все отрицательные 
члены уничтожаются: 

Теория вероятностей

что и доказывает требуемое неравенство. 

Пример 2.59. Прибор состоит из трех узлов. В первом узле Теория вероятностейэлементов, во втором Теория вероятностей и в третьем Теория вероятностей Для работы прибора безусловно необходим узел /; два других узла // и /// дублируют 
друг друга (рис. 2.59).

Теория вероятностей

Надежность каждого элемента одна и та же и равна р. Выход из строя одного элемента означает выход из строя всего узла. Элементы выходят из строя независимо друг от друга.
Найти надежность прибора Р

Решение:

Надежность узла Теория вероятностей
Надежность узлаТеория вероятностей 
Надежность узла Теория вероятностей
Надежность дублированного узла Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Надежность прибора 

Теория вероятностей

Пример 2.60. Производится стрельба ракетами по некоторой наблюдаемой цели. Вероятность попадания каждой ракеты в цель равна р; попадания отдельных ракет независимы. Каждая попавшая ракета поражает цель с вероятностью Теория вероятностей Стрельба ведется до поражения цели или до израсходования всего боезапаса; на базе имеется боезапас п ракет (п > 2). 
Найти вероятность того, что не весь этот боезапас будет израсходован. 

Решение:

Переходим к противоположному событию Теория вероятностей — весь боезапас израсходован. Чтобы произошло событие Теория вероятностей, первые п—1 ракет не должны поразить цель: 

Теория вероятностей

Пример 2.61. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что после поражения цели в запасе останутся неизрасходованными не менее двух ракет. 

Решение:

Противоположное событие Теория вероятностей — останется менее двух ракет —равносильно тому, что первые п — 2 ракет не поразили цели: 

Теория вероятностей

Пример 2.62. В условиях задачи 2.60 найти вероятность того, что будет израсходовано не более двух ракет. 

Решение:

Чтобы было израсходовано не более двух ракет, достаточно, чтобы при первых двух выстрелах цель была поражена; вероятность этого 

Теория вероятностей

Пример 2.63. Производится стрельба двумя ракетами по самолету. Самолет имеет оборонительное вооружение, позволяющее ему произвести по каждой ракете два независимых выстрела. 
Каждым из этих выстрелов ракета поражается с вероятностью р. Если ракета не поражена, то она независимо от другой поражает самолет с вероятностью Р. Найти вероятность того, что самолет будет поражен. 

Решение:

Чтобы поразить самолет, ракета должна быть не поражена. Вероятность поражения самолета одной ракетой с учетом противодействия будет Теория вероятностейа двумя ракетами Теория вероятностей

Пример 2.65. Техническое устройство, состоящее из k узлов, работало в течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью Теория вероятностей второй — с вероятностью Теория вероятностей и т. д. Наладчик, вызванный для осмотра устройства, обнаруживает и устраняет неисправность каждого узла, если она имеется, с вероятностью р
а с вероятностью Теория вероятностей объявляет узел исправным. Найти вероятность того, что после осмотра наладчиком хотя бы один узел устройства будет неисправным.

Решение:

Вероятность i-му узлу быть неисправным после осмотра равна вероятности того, что он стал неисправным за время t, умноженной на вероятность того, что наладчик не обнаружит этой неисправности: Теория вероятностей. Вероятность того, что это событие случится хотя бы с одним из узлов, равна Теория вероятностей

Пример 2.67. N стрелков независимо один от другого ведут стрельбу каждый по своей мишени. Каждый из них имеет боезапас k патронов. Вероятность попадания в мишень при 
одном выстреле для i-го стрелка равна Теория вероятностейПри первом же попадании в свою мишень стрелок прекращает стрельбу. Найти вероятности следующих событий: 
А — у всех стрелков вместе останется неизрасходованным хотя бы один патрон; 
В—ни у кого из стрелков не будет израсходован весь боезапас; 
С—какой-либо один из стрелков израсходует весь боезапас, а все остальные — не весь. 

Решение:

Событие Теория вероятностей— весь боезапас израсходован — требует, чтобы у всех N стрелков первые k—1 выстрелов дали промах: 

Теория вероятностей

Событие В требует, чтобы у каждого стрелка хотя бы один из первых k—1 выстрелов дал попадание: 

Теория вероятностей

Событие С может осуществиться в N вариантах: Теория вероятностейТеория вероятностей где Теория вероятностей стрелок израсходовал весь боезапас, а остальные—не весь Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 2.68. Для стрельбы по некоторой цели выделено п снарядов. Каждый снаряд попадает в цель независимо от других с вероятностью р. Сразу же после попадания дается команда о прекращении стрельбы, но за время передачи команды установка успевает произвести еще s выстрелов (s < п—1). Найти вероятности следующих событий: 

А — в запасе останется не менее m неизрасходованных снарядов Теория вероятностей
Вk-й по порядку выстрел не будет осуществлен Теория вероятностей

Решение:

Событие Теория вероятностей означает, что при первых Теория вероятностей выстрелах попадание не произойдет; поэтому Теория вероятностей

Событие В означает, что не позже, чем за s выстрелов до (k — 1}-го, произошло попадание в цель; вероятность события В равна вероятности хотя бы одного попадания 
при первых Теория вероятностей выстрелах. Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 2.69*. N стрелков стреляют поочередно по одной мишени. Стрельба ведется до первого опадания. Вероятность попасть в мишень для каждого стрелка равна Теория вероятностейТеория вероятностей
Выигравшим считается тот стрелок, который первым попадет в мишень. У каждого стрелка в запасе имеется п патронов. Определить вероятность того, что выиграет Теория вероятностей стрелок. 

Решение:

Рассмотрим событие Теория вероятностей состоящее в том, что Теория вероятностей стрелок выиграет соревнование, израсходовав Теория вероятностей патронов. 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Вероятность выиграть Теория вероятностей стрелку равна 

Теория вероятностей

Пример 2.70*. По некоторому объекту ведется стрельба п независимыми выстрелами. Объект состоит из k частей (элементов). Вероятность попадания в Теория вероятностей элемент при одном выстреле равна Теория вероятностей Найти вероятность Теория вероятностей того, что в результате стрельбы будет Теория вероятностей промахов, Теория вероятностей попаданий в первый элемент, и т. д., вообще Теория вероятностей- попаданий в Теория вероятностей элемент 

Теория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

Число способов, какими можно из п  снарядов выбрать Теория вероятностей таких, которые дадут промахи, Теория вероятностей таких, которые попадут в 1-й элемент, и т. д., равно Теория вероятностей(см. задачу 1.45). 

Вероятность каждого конкретного варианта расположения попаданий равна Теория вероятностей где Теория вероятностей (вероятность промаха). Умножая эту вероятность на число вариантов, получим 

Теория вероятностей

Пример 2.71*. В условиях предыдущей задачи найти вероятность поражения (вывода из строя) объекта, если для его поражения требуется поразить не менее двух элементов, а для поражения элемента достаточно одного попадания. 

Решение:

Обозначим А — поражение объекта. Противоположное событие Теория вероятностей может осуществиться в Теория вероятностей вариантах: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — ни один элемент не поражен;' 
Теория вероятностей — поражен только Теория вероятностей элемент, остальные не поражены Теория вероятностей

Теория вероятностей (все выстрелы дали промах). 

Вероятность событияТеория вероятностей подсчитаем, разложив его на ряд слагаемых: Теория вероятностей где Теория вероятностей — элемент поражен ровно s снарядами Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 2.72. Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты. Одну из них смотрят — она оказалась дамой; после этого две вынутые карты перемешивают, и одну из них берут наугад. Найти вероятность того, что она окажется тузом. 

Решение:

Чтобы событие А — появление туза при втором вынимании — имело место, нужно прежде всего, чтобы мы вынули не ту карту, которую вынули первый раз (вероятность этого 1/2); затем, чтобы вторая карта была тузом. 

Теория вероятностей

Пример 2.73. Условия опыта те же, что в предыдущей задаче, но первая (посмотренная) карта оказалась тузом; найти вероятность того, что при втором вынимании мы получим 
тоже туз. 

Решение:

Событие А —туз при втором вынимании — может произойти в двух вариантах: 
Теория вероятностей— второй раз появился тот же туз, что первый раз; 
Теория вероятностей— второй раз появился не тот, а другой туз. 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 2.76. Происходит воздушный бой между бомбардировщиком и двумя атакующими его истребителями. Стрельбу начинает бомбардировщик; он дает по каждому истребителю 
один выстрел и сбивает его с вероятностью Теория вероятностей Если данный истребитель не сбит, то он независимо от судьбы другого стреляет по бомбардировщику и сбивает его с вероятностью Теория вероятностей 

Определить вероятности следующих исходов боя: 
А—сбит бомбардировщик; 
В—сбиты оба истребителя; 
С—сбит хотя бы один истребитель; 
D — сбит хотя бы один самолет; 
Е—сбит ровно один истребитель; 
F—сбит ровно один самолет. 

Решение:

Вероятность того, что один истребитель собьет бомбардировщик, равна Теория вероятностей вероятность того, что хоть один из них собьет бомбардировщика: 

Теория вероятностей

Событие F представляется в виде 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — сбит бомбардировщик, а оба истребителя целы; 
Теория вероятностей — первый истребитель сбит, а второй истребитель и бомбардировщик целы; 
Теория вероятностей — второй истребитель сбит, а первый истребитель и бомбардировщик целы. 

Теория вероятностей

Пример 2.78. Прибор состоит из трех узлов; один из них безусловно необходим для работы прибора; два других дублируют друг друга. В результате работы устройства в нем появляются неисправности; каждая неисправность с одной и той же вероятностью появляется в любом из элементов, составляющих узлы. Первый узел состоит из Теория вероятностей элементов; второй — из Теория вероятностей элементов, третий — из Теория вероятностей элементов Теория вероятностей При неисправности хотя бы одного элемента узел выходит из строя. 

Известно, что в приборе имеется четыре неисправности (в четырех разных элементах). Найти вероятность того, что наличие этих неисправностей делает невозможной работу 
прибора. 

Решение:

Событие А — невозможность работы прибора— распадается на два варианта: Теория вероятностей

где Теория вероятностей — вышел из строя первый узел; 
Теория вероятностей — первый узел не вышел из строя, но второй и третий— вышли. 

Чтобы произошло событие Теория вероятностей, нужно, чтобы хотя бы одна из четырех неисправностей пришлась на первый узел: 

Теория вероятностей

Для определения вероятности события Теория вероятностей мы должны вероятность события Теория вероятностей — первый узел не вышел из строя — умножить на вероятность того, что второй и третий узлы вышли из строя (с учетом того, что все четыре неисправности приходятся на второй и третий узлы). Последнее событие может осуществиться в трех вариантах: или одна неисправность будет во втором, а три других — в третьем узле, или наоборот: три во втором и одна в третьем; или 
же во втором и третьем узлах будет по две неисправности. Вероятность первого варианта: 

Теория вероятностей

Вероятность второго варианта: 

Теория вероятностей

Вероятность третьего варианта: 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

Пример 2.79. Имеется электроприбор, который может выходить из строя (перегорать) только в момент включения. Если прибор включался до сих пор k—1 раз и еще не перегорел, то условная вероятность ему перегореть при k-м включении равна Теория вероятностей Найти вероятности следующих событий: 

А — прибор выдержит не менее п включений; 
В—прибор выдержит не более п включений; 
С—прибор перегорит точно при п-м включении. 

Решение:

Вероятность события А равна вероятности того, что при первых п включениях он не перегорит: 

Теория вероятностей

Чтобы найти вероятность события В, переходим к противоположному: 

Теория вероятностей— прибор выдержит более п включений. Для этого достаточно, чтобы при первых Теория вероятностей
включениях прибор не перегорел: 

Теория вероятностей

Чтобы прибор перегорел точно при п-м включении, надо, чтобы он не перегорел при первых (п—1) включениях, а при п-м перегорел: 

Теория вероятностей

Пример 2.80. Прибор состоит из четырех узлов; два из них (/ и //) безусловно необходимы для исправной работы прибора, а два (/// и IV) дублируют друг друга (рис. 2.80).

Теория вероятностей

Узлы могут выходить из строя только при включении. При k-м включении исправный узел (независимо от других) выходит из строя с вероятностью Теория вероятностейузел // — с вероятностью Теория вероятностей узел /// и узел IV—с одинаковой вероятностью Теория вероятностейТеория вероятностей, Найти вероятности тех же событий А, В, С, что в задаче 2.79. 

Решение:

Задача сводится к предыдущей, если найти условную вероятность Теория вероятностей выйти из строя исправному прибору при k-м включении: 

Теория вероятностей

Пример 2.81. В урне а белых и b черных шаров. Два игрока поочередно вынимают из урны по одному шару, каждый раз вкладывая его обратно и перемешивая шары. Выигравшим 
считается тот, кто раньше вынет белый шар. Найти вероятность Теория вероятностей того, что выиграет первый игрок (тот, кто вынимал шар первым). 

Решение:

Выигрыш первого игрока может осуществиться или при первом же вынимании, или при третьем (для чего первые два вынимания должны дать черные шары, а третье—белый), и т. д. 

Теория вероятностей

(очевидно,  Теория вероятностей при любых а и Ь). 

Пример 2.82. В урне два белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не вкладывая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. 
Найти вероятность Р (/) того, что выиграет первый игрок. 

Решение:

Теория вероятностей

Пример 2.83. Производятся испытания прибора. При каждом испытании прибор выходит из строя с вероятностью р. После первого выхода из строя прибор ремонтируется; после второго—признается негодным. Найти вероятность того, что прибор окончательно выйдет из строя в точности при k-м испытании. 

Решение:

Для того чтобы произошло данное событие, нужно, во-первых, чтобы прибор вышел из строя при k-м испытании — вероятность этого р. Кроме того, нужно, чтобы за предыдущие k—1 испытаний прибор вышел из строя ровно один раз; вероятность этого равна Теория вероятностей Искомая вероятность равна Теория вероятностей

Пример 2.84. Самолет, по которому ведется стрельба, состоит из трех различных по уязвимости частей: 1) кабина летчика и двигатель, 2) топливные баки и 3) планер. Для поражения самолета достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую, или трех попаданий в третью. При попадании в самолет одного снаряда он с вероятностью 
Теория вероятностей попадает в первую часть, с вероятностью Теория вероятностей—во вторую и с вероятностью Теория вероятностей—в третью. Попавшие снаряды распределяются по частям независимо друг от друга. Известно, что 
в самолет попало m снарядов. Найти условную вероятность поражения самолета Теория вероятностей при этом условии для m = 1, 2, 3, 4. 

Решение:

Чтобы самолет оказался пораженным при одном попадании, нужно, чтобы снаряд попал в первую часть: Теория вероятностейДля того чтобы найти Теория вероятностей при m>1, перейдем к 
противоположному событию Теория вероятностей— непоражение самолета при m попаданиях. 

Чтобы самолет был не поражен при двух попаданиях, надо, чтобы оба снаряда попали в планер или один — в баки, а другой—в планер: 

Теория вероятностей

Аналогично получаем 

Теория вероятностей

Пример 2.86. Прибор состоит из трех узлов. При включении прибора с вероятностью Теория вероятностей появляется неисправность в первом узле, с вероятностью Теория вероятностей — во втором узле, с вероятностью 
Теория вероятностей — в третьем узле. Неисправности в узлах возникают независимо друг от друга. Каждый из трех узлов безусловно необходим для работы прибора. Для того чтобы узел отказал, необходимо, чтобы в нем было не менее двух неисправностей. Найти вероятность того, что прибор благополучно выдержит п включений. 

Решение:

Чтобы прибор работал (событие А), нужно, чтобы работали все три узла. Вероятность того, что первый узел выдержит п включений, равна вероятности того, что при п включениях в нем окажется не более одной неисправности (0 или 1): Теория вероятностей

Вероятность того, что все три узла выдержат п включений, равна 

Теория вероятностей

Пример 2.87. Авиабомба, предназначенная для бомбометания по наземной цели, снабжена радиовзрывателем, работающим по сигналу от поверхности земли. Взрыватель срабатывает на 
высоте h. Эффективное действие бомбы по наземной цели имеет место тогда, когда Теория вероятностей При Теория вероятностей наблюдается преждевременный разрыв; при Теория вероятностей — запоздалый разрыв; оба неэффективны. Вероятность нормального разрыва равна р, преждевременного— Теория вероятностей запоздалого—Теория вероятностейТеория вероятностей

С целью повысить вероятность нормального разрыва на бомбе устанавливается второй взрыватель, имеющий те же характеристики, что первый, и работающий независимо 
от него. 

При каком условии эта мера повысит вероятность нормального разрыва бомбы? 

Решение:

При одном взрывателе вероятность нормального разрыва Теория вероятностей При двух взрывателях вероятность нормального разрыва равна Теория вероятностей (либо оба 
взрывателя сработают нормально, либо один нормально, другой запоздает). Решая неравенство Теория вероятностей получаем требуемое условие для р' > р

Теория вероятностей

Формула полной вероятности и формула Бейеса 

Если об обстановке опыта можно сделать п исключающих друг друга предположений (гипотез) 

Теория вероятностей

и если событие А может появиться только при одной из этих гипотез, то вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности: 

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

где Теория вероятностей —вероятность гипотезы Теория вероятностей— условная вероятность события А при этой гипотезе. 
Если до опыта вероятности гипотез были Теория вероятностей ... ,Теория вероятностей а в результате опыта появилось событие А, то с учетом этого события «новые», т. е. условные, вероятности гипотез 
вычисляются по формуле Бейеса

Теория вероятностей

Формула Бейеса дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта. 

Если после опыта, закончившегося появлением события А, производится еще один опыт, в котором может появиться или не появиться событие В, то вероятность (условная) этого последнего события вычисляется по формуле полной вероятности, в которую 
подставлены не прежние вероятности гипотез Теория вероятностей а новые Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 3.1. Имеются три одинаковые с виду урны. В первой а белых шаров и Ъ черных; во второй с белых и d черных; в третьей только белые шары. Некто подходит наугад к одной из урн и вынимает из нее один шар. Найти вероятность того, что этот шар белый. 

Решение:

Пусть событие А—появление белого шара. 
Формулируем гипотезы: 
Теория вероятностей — выбор первой урны; 
Теория вероятностей — выбор второй урны: 
Теория вероятностей — выбор третьей урны. 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

По формуле полной вероятности 

Теория вероятностей

Пример 3.2. Прибор может работать в двух режимах: 1) нормальном и 2) ненормальном. Нормальный режим наблюдается в 80% всех случаев работы прибора; ненормальный — в 20%. 
Вероятность выхода прибора из строя за время t в нормальном режиме равна 0,1; в ненормальном — 0,7. Найти полную вероятность р выхода прибора из строя за время t. 

Решение:

Теория вероятностей

Пример 3.3. Группа самолетов в составе: один ведущий и два ведомых, направляется на бомбометание по объекту. Каждый из них несет по одной бомбе. Ведущий самолет имеет прицел, ведомые — не имеют и производят бомбометание по сигналу ведущего. По пути к объекту группа проходит зону противовоздушной обороны, в которой каждый из самолетов, 
независимо от других, сбивается с вероятностью р. Если к цели подойдет ведущий самолет с обоими ведомыми, они поразят объект с вероятностью Теория вероятностейВедущий самолет, 
сопровождаемый одним ведомым, поразит объект с вероятностью Теория вероятностей Один ведущий самолет, без ведомых, поразит объект с вероятностью Теория вероятностей Если ведущий самолет сбит, то каждый из ведомых, если он сохранился, выходит к объекту и поражает его с вероятностью Теория вероятностей

Найти полную вероятность поражения объекта с учетом противодействия. 

Решение:

Формулируем гипотезы: 
Теория вероятностей — к объекту вышли все три самолета; 
Теория вероятностей — к объекту вышел ведущий с одним ведомым; 
Теория вероятностей — к объекту вышел один ведущий; 
Теория вероятностей —к объекту вышли два ведомых (без ведущего); 
Теория вероятностей— к объекту вышел один ведомый. 
Вероятности этих гипотез: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Обозначим А —поражение объекта. 

Теория вероятностей

Пример 3.4. Радиолокационная станция ведет наблюдение за  объектом, который может применять или не применять помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора 
станция обнаруживает его с вероятностью Теория вероятностей если применяет— с вероятностью Теория вероятностей Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна р и не зависит 
от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за п циклов обзора. 

Решение:

Полная вероятность обнаружения за один цикл Теория вероятностей вероятность хотя бы одного обнаружения за п циклов равна Теория вероятностей

Пример 3.5. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе имеются три контролера; изделие осматривается только одним контролером, с 
одинаковой вероятностью первым, вторым или третьим. Вероятность обнаружения дефекта (если он имеется) для Теория вероятностей контролера равна Теория вероятностей Если изделие не было 
забраковано в цехе, то оно попадет в ОТК завода, где дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью Теория вероятностей 
Определить вероятности следующих событий: 
А — изделие будет забраковано; 
В—изделие будет забраковано в цехе; 
С—изделие будет забраковано в ОТК завода. 

Решение:

Так как события В и С несовместны и А = В+С, то Р(А) = Р( В) + Р(С). 
Находим Р (В). Для того чтобы изделие было забраковано в цехе, нужно, чтобы оно, во-первых, имело дефект, и, во-вторых; этот дефект был обнаружен. Вероятность обнаружения имеющегося дефекта по формуле полной вероятности равна Теория вероятностейотсюда 

Теория вероятностей

Аналогично 

Теория вероятностей

Пример 3.6. Группа, состоящая из трех самолетов-разведчиков, высылается в район противника с целью уточнить координаты объекта, который предполагается подвергнуть обстрелу 
ракетами. Для поражения объекта выделено п ракет. При уточненных координатах объекта вероятность его поражения одной ракетой равна Теория вероятностей при неуточненных—Теория вероятностей Каждый раз- 
разведчик перед выходом в район объекта может быть сбит противовоздушными средствами противника; вероятность этого Теория вероятностей Если разведчик не сбит, он сообщает координаты 
объекта по радио. Радиоаппаратура разведчика имеет надежность Теория вероятностей Для уточнения координат достаточно приема сообщения от одного разведчика. Найти вероятность поражения объекта с учетом деятельности разведки. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей—координаты объекта уточнены; 
Теория вероятностей—координаты не уточнены. 

Теория вероятностей

Полная вероятность события А — поражение объекта: 

Теория вероятностей

Пример 3.7. Имеются две урны: в первой а белых шаров и черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывают, не глядя, один шар. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым. 

Решение:

Событие А— появление белого шара; гипотезы: 
Теория вероятностей — переложен белый шар; 
Теория вероятностей — переложен черный шар. 

Теория вероятностей

Пример 3.8. В условиях предыдущей задачи из первой урны во вторую перекладывают не один, а три шара (предполагается, что  Теория вероятностейНайти вероятность того, что из второй 
урны появится белый шар. 

Решение:

Можно было бы выдвинуть четыре гипотезы: 
Теория вероятностей— переложены 3 белых шара; 
Теория вероятностей — переложены 2 белых шара и 1 черный; 
Теория вероятностей — переложены 1 белый шар и 2 черных; 
Теория вероятностей — переложены 3 черных шара, 
но проще решить задачу, имея всего две гипотезы: 

Теория вероятностей — вынутый из 2-й урны шар принадлежит 1-й урне; 
Теория вероятностей— вынутый из 2-й урны шар принадлежит 2-й урне. 
Так как во второй урне три шара принадлежат первой урне, а Теория вероятностей — второй, то 

Теория вероятностей

Вероятность появления белого шара из первой урны не зависит от того, вынимается ли этот шар непосредственно из первой урны или после перекладывания во вторую: 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Пример 3.9. Имеется п урн, в каждой из которых а белых шаров и Теория вероятностей черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; затем из второй в третью один шар и т. д. 
Затем из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того, что он белый. 

Решение:

Вероятность события Теория вероятностей — извлечения белого шара из второй урны после перекладывания — найдем так же, как в задаче 3.7 (при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Таким образом, вероятность извлечения белого шара из второй урны после перекладывания будет такова же, как и до перекладывания. Следовательно, такова же будет и вероятность вынуть белый шар из третьей, четвертой и т. д., n-й урны: 

Теория вероятностей

Пример 3.12. Имеется две партии однородных изделий; первая партия состоит из N изделий, среди которых п дефектных; вторая партия состоит из М изделий, среди которых т дефектных. Из первой партии берется случайным образом К изделий, а из второй L изделий (K<.N; L < М); эти 
К +  L изделий смешиваются и образуется новая партия. Из новой смешанной партии берется наугад одно изделие. Найти вероятность того, что изделие будет дефектным. 

Решение:

Событие А — изделие будет дефектным. 
Гипотезы: 
Теория вероятностей— изделие принадлежит первой партии; 
Теория вероятностей — изделие принадлежит второй партии. Теория вероятностей

Пример 3.13. В условиях предыдущей задачи из новой, смешанной, партии берется не одно изделие, а три. Найти вероятность того, что хотя бы одно изделие из трех окажется дефектным. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — все три изделия принадлежат первой партии; 
Теория вероятностей — два изделия принадлежат первой партии, а одно — второй; 
Теория вероятностей — одно изделие принадлежит первой партии, а два— второй; 
Теория вероятностей — все три изделия принадлежат второй партии. 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 3.14. Имеются две урны: в первой а белых шаров и Ь черных; во второй с белых и d черных. Из первой урны во вторую перекладывается один шар; шары перемешиваются и затем из второй урны в первую перекладывается один шар. После этого из первой урны берут наугад один шар. Найти вероятность того, что он будет белым. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — состав шаров в первой урне не изменился; 
Теория вероятностей— в первой урне один черный шар заменен белым; 
Теория вероятностей — в первой урне один белый шар заменен черным. 

Теория вероятностей

Полученное решение показывает, что вероятность вынуть белый шар не изменится, если доли белых и черных шаров в обеих урнах одинаковы: Теория вероятностей

Пример 3.15. Из чисел 1, 2, ... , одно за" другим выбирают наугад два числа. Какова вероятность того, что разность между первым выбранным числом и вторым будет не меньше m (m > 0). 

Решение:

Событие А состоит в том, что разность между первым вынутым числом k и вторым вынутым числом Теория вероятностей будет не меньше m (то есть Теория вероятностей). 

Гипотезы Теория вероятностей — первым вынуто число Теория вероятностей

 Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 3.16*. Из N стрелков можно выделить четыре группы: 
Теория вероятностей отличных стрелков, Теория вероятностей xopошиx, Теория вероятностей посредственных и Теория вероятностейплохих. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для стрелка Теория вероятностей группы равна Теория вероятностей Вызываются наугад два стрелка и стреляют по одной и той же мишени. Найти вероятность хотя бы одного попадания в мишень. 

Решение:

Событие А—хотя бы одно попадание в мишень. Гипотезы Теория вероятностей- — первым вызван стрелок Теория вероятностей группы Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей снова находим по формуле полной вероятности при четырех гипотезах о том, какой стрелок был вызван вторым: 

Теория вероятностей

Пример 3.17. Производится п независимых выстрелов зажигательными снарядами по резервуару с горючим. Каждый снаряд попадает в резервуар с вероятностью р. Если в резервуар 
попал один снаряд, горючее воспламеняется с вероятностью Теория вероятностей если два снаряда — с полной достоверностью. Найти вероятность того, что при п выстрелах горючее воспламенится. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей— в резервуар попал один снаряд; 
Теория вероятностей — в резервуар попало два или более снарядов. 

Теория вероятностей

Искомая вероятность равна 

Теория вероятностей

Пример 3.18. Группа студентов состоит из а отличников, хорошо успевающих и с занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только отличные оценки. Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью хорошие и отличные оценки. Слабо занимающиеся могут получить с равной вероятностью хорошие, 
удовлетворительные и неудовлетворительные оценки. Для сдачи экзамена вызывается наугад один студент. Найти вероятность того, что он получит хорошую или отличную оценку. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — вызван отличный студент; 
Теория вероятностей — вызван хороший студент; 
Теория вероятностей — вызван слабый студент. 

Теория вероятностей

Искомая вероятность равна 

Теория вероятностей

Пример 3.19. В условиях предыдущей задачи вызываются наугад три студента. Найти вероятность того, что они получат оценки: отлично, хорошо и удовлетворительно (в любом порядке). 

Решение:

Событие А— получение отличной, хорошей и удовлетворительной отметки — возможно только при одной из следующих гипотез:

Теория вероятностей— вызваны один слабый студент, один хороший и один отличник; 
Теория вероятностей — вызваны один слабый студент и два хороших; 
Теория вероятностей — вызваны два слабых студента и один хороший; 
Теория вероятностей — вызваны два слабых студента и один отличник. 

Теория вероятностей

Пример 3.20. В автобусе едут п пассажиров. На следующей остановке каждый из них выходит с вероятностью р; кроме того, в автобус с вероятностью Теория вероятностей не входит ни один новый пассажир; с вероятностью Теория вероятностей — один новый пассажир. Найти вероятность того, что когда автобус снова тронется в путь после следующей остановки, в нем будет  по-прежнему п пассажиров. 

Решение:

Событие А — после остановки снова п пассажиров. Гипотезы: 
Теория вероятностей — не вошел никто; 
Теория вероятностей — вошел один пассажир. 

Теория вероятностей

Пример 3.21*. Условия предыдущей задачи сохраняются, но надо найти вероятность того, что после двух остановок в автобусе будет по-прежнему п пассажиров (при расчете учесть, 
что новый пассажир также выходит с вероятностью р на последующей остановке). 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — за две остановки не вошел никто; 
Теория вероятностей—на первой остановке вошел один пассажир, а на второй — ни одного; 
Теория вероятностей — на первой остановке не вошел ни один пассажира на второй — один; 
Теория вероятностей—на каждой остановке вошло по пассажиру. 

Теория вероятностей

Чтобы при гипотезе Теория вероятностей число пассажиров осталось п, нужно, чтобы ни один из п пассажиров не вышел ни на первой, ни на второй остановках: 

Теория вероятностей

Чтобы при гипотезе Теория вероятностей число пассажиров осталось прежним, нужно, чтобы или на первой остановке вышел один пассажир, а на второй — никто, или на первой остановке не 
вышел никто, а на второй — один пассажир: 

Теория вероятностей

Аналогично, но учитывая, что вошедший на второй остановке пассажир не выходит: 

Теория вероятностей

Чтобы при двух вошедших пассажирах число их после двух остановок оставалось неизменным, нужно или чтобы на первой остановке вышли два пассажира, а на второй — никто; 
или на первой — никто, а на второй — два; или чтобы вышло по пассажиру на каждой остановке: 

Теория вероятностей

Пример 3.22. Три орудия производят стрельбу по трем целям. Каждое орудие выбирает себе цель случайным образом и независимо от других. Цель, обстрелянная одним орудием, 
поражается с вероятностью р. Найти вероятность того, что из трех целей две будут поражены, а третья нет. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — обстреляны все три цели; 
Теория вероятностей — все орудия стреляют по одной цели; 
Теория вероятностей — две цели из трех обстреляны, а третья нет. 

Теория вероятностей

Пример 3.24. На телефонную станцию поступает случайный поток вызовов; вероятность поступления k вызовов за время равна Теория вероятностей Число вызовов, поступивших за промежуток времени t, не зависит от того, сколько вызовов поступило до или после этого промежутка. Найти вероятность того, что за промежуток времени Теория вероятностей поступит 
Теория вероятностей вызовов. 

Решение:

Разделим промежуток 2t на две части: первую и вторую, каждая длительности t. Гипотезы Теория вероятностей — на первый участок попало Теория вероятностей вызовов Теория вероятностей

Теория вероятностей

Для того чтобы при гипотезе Теория вероятностей на промежуток 2t попало s вызовов, нужно, чтобы на второй участок попало Теория вероятностей — Теория вероятностей вызовов. Условная вероятность этого равна Теория вероятностей 
Полная вероятность события А — за время 2t поступит s вызовов —равна 

Теория вероятностей

Пример 3.25. В ящике находится а новых теннисных мячей и b игранных. Из ящика наугад вынимается два мяча, которыми играют. После этого мячи возвращают в ящик. Через некоторое время из ящика снова берут наугад два мяча. 
Найти вероятность того, что они будут новыми  Теория вероятностей

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей— оба вынутых первый раз мяча были новыми; 
Теория вероятностей — оба вынутых первый раз мяча были игранными; 
Теория вероятностей — один из мячей был новым, а другой —игранным. 

Теория вероятностей

Пример 3.26. Имеется п экзаменационных билетов, каждый из которых содержит два вопроса. Экзаменующийся знает ответ .не на все Теория вероятностей вопросов, а только на Теория вероятностей
Определить вероятность р того, что экзамен будет сдан, если для этого достаточно ответить на оба вопроса своего билета или на один вопрос из своего билета и на один (по выбору преподавателя) вопрос из дополнительного билета. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — экзаменующийся знает оба вопроса своего билета; 
Теория вероятностей — экзаменующийся из двух вопросов своего билета знает один. 

Теория вероятностей

Пример 3.27*. Цель, по которой ведется стрельба, с вероятностью Теория вероятностей находится в пункте I, а с вероятностью Теория вероятностей в пункте Теория вероятностей

В нашем распоряжении имеется Теория вероятностей снарядов, каждый из которых может быть направлен в пункт I или в пункт II. Каждый снаряд поражает цель независимо от других с вероятностью р. Какое число снарядов Теория вероятностей следует направить в пункт I для того, чтобы поразить цель с максимальной вероятностью? 

Решение:

Событие А — поражение цели при направлении Теория вероятностей снарядов в пункт I. Гипотезы: 
Теория вероятностей— цель в пункте I; 
Теория вероятностей—цель в пункте II. 

Теория вероятностей

Рассматривая Р (А) как функцию непрерывного аргумента Теория вероятностей находим 

Теория вероятностей

откуда видно, что эта функция имеет единственный максимум в точке 

Теория вероятностей

Заметим, что Теория вероятностей при Теория вероятностей 

Если полученное число Теория вероятностей целое и Теория вероятностей то это и есть искомое число; если оно не целое но Теория вероятностей то нужно вычислить Р (А) для двух ближайших целых значений и выбрать 
то из них, для которого Р (А) больше; если полученное число окажется больше л, то следует направить все п снарядов в пункт I (это случится при Теория вероятностей
т. е. при Теория вероятностей).

Пример 3.28. Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна Теория вероятностей. Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна Р. Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью Теория вероятностей, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с очень малой 
вероятностью Теория вероятностей

Найти полную вероятность благополучной посадки самолета, если известно, что в k% всех случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — низкой облачности нет; 
Теория вероятностей — низкая облачность есть. 

Теория вероятностей

   Теория вероятностейнаходим снова по формуле полной вероятности: 

Теория вероятностей

Пример 3.29. Цель, по которой ведется стрельба, состоит из двух различных по уязвимости частей. Для поражения цели достаточно одного попадания в первую часть или двух попаданий во вторую. Для каждого попавшего в цель снаряда вероятность попадания в первую часть равна Теория вероятностей во вторую Теория вероятностей По цели производится три выстрела; вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Найти вероятность того, что данными тремя выстрелами цель будет 
поражена. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — в цель попал один снаряд; 
Теория вероятностей—в цель попало два снаряда; 
Теория вероятностей — в цель попало три снаряда. 

Теория вероятностей

Пример 3.30. Группа из трех самолетов совершает налет на объект. Объект защищен четырьмя батареями зенитных ракет. Каждая батарея простреливает угловой сектор размерами 60°, 
так что из полного угла 360° вокруг объекта оказываются защищенными 240°. Если самолет пролетает через защищенный сектор, его обстреливают и поражают с вероятностью р; 
через незащищенный сектор самолет проходит беспрепятственно. Каждый самолет, прошедший к объекту, сбрасывает бомбу и поражает объект с вероятностью Р. Экипажи самолетов не знают, где расположены батареи. Найти вероятность поражения объекта для двух способов организации налета: 

1) все три самолета летят по одному и тому же направлению, выбираемому случайно; 
2) каждый из самолетов выбирает себе направление случайно независимо от других. 

Решение:

1) Гипотезы: 
Теория вероятностей — самолеты выбрали незащищенное направление; 
Теория вероятностей — самолеты выбрали защищенное направление. 

Теория вероятностей

2) Находим для каждого самолета полную вероятность Теория вероятностей поразить объект: Теория вероятностей

Для трех самолетов вероятность поражения объекта будет Теория вероятностей

Можно показать, что эта вероятность больше, чем для способа 1). 

Пример 3.31. Имеются три урны: в первой из них а белых шаров и b черных; во второй с белых шаров и d черных; в третьей — k белых шаров (черных нет). Некто выбирает наугад одну из урн и вынимает из нее шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что этот шар вынут 
из первой, второй или третьей урны. 

Решение:

Решаем задачу по формуле Бейеса. 
Гипотезы: 
Теория вероятностей — выбор первой урны; 
Теория вероятностей —выбор второй урны; 
Теория вероятностей — выбор третьей урны. 
Априори (до опыта) все гипотезы равновероятны! 

Теория вероятностей

Наблюдалось событие А — появление белого шара. Находим условные вероятности: 

Теория вероятностей

По формуле Бейеса вероятность того, что шар был вынут из первой урны: 

Теория вероятностей

Аналогично 

Теория вероятностей

Пример 3.32. Прибор состоит из двух узлов: работа каждого узла безусловно необходима для работы прибора в целом. Надежность (вероятность безотказной работы в течение времени t) первого узла равна Теория вероятностей второго Теория вероятностей Прибор испытывался в течение времени t, в результате чего обнаружено, что он вышел из строя (отказал). Найти вероятность того, что отказал только первый узел, а второй исправен. 

Решение:

До опыта возможны четыре гипотезы: 
Теория вероятностей—оба узла исправны; 
Теория вероятностей — первый узел отказал, а второй исправен: 
Теория вероятностей—первый узел исправен, а второй отказал; 
Теория вероятностей — оба узла отказали. 

Вероятности гипотез: 

Теория вероятностей

Наблюдалось событие А—прибор отказал. 

Теория вероятностей

По формуле Бейеса 

Теория вероятностей

Пример 3.33. В условиях задачи 3.28 известно, что самолет приземлился благополучно. Найти вероятность того, что летчик пользовался приборами слепой посадки. 

Решение:

Если летчик пользовался приборами слепой посадки, то, значит, облачность была (гипотеза Теория вероятностей). По данным задачи 3.28 находим 

Теория вероятностей

Пример 3.35. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью р имеет дефект. В цехе изделие с равной вероятностью осматривается одним из двух контролеров. 
Первый контролер обнаруживает имеющийся дефект с вероятностью Теория вероятностей второй — с вероятностью Теория вероятностей Если в цехе изделие не забраковано, оно поступает на ОТК завода, где  
дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью Теория вероятностей Известно, что изделие забраковано. Найти вероятность того, что оно забраковано: 1) первым контролером; 2) вторым контролером; 3) ОТК завода. 

Решение:

До опыта возможны четыре гипотезы: 
Теория вероятностей — изделие не забраковано; 
Теория вероятностей — изделие забраковано 1-м контролером; 
Теория вероятностей—изделие забраковано 2-м контролером; 
Теория вероятностей — изделие забраковано ОТК завода. 
Событие А — изделие забраковано. Гипотеза Теория вероятностей нам не нужна, так как Теория вероятностей

Теория вероятностей

Вероятности гипотез после опыта: 

Теория вероятностей

Пример 3.36. В группе из 10 студентов, пришедших на экзамен, 3 подготовленных отлично, 4 —хорошо, 2 — посредственно и 1—плохо. В экзаменационных билетах имеется 20 вопросов. Отлично подготовленный студент может ответить на все 20 вопросов, хорошо подготовленный — на 16, 
посредственно— на 10, плохо — на 5. Вызванный наугад студент ответил на три произвольно заданных вопроса. Найти вероятность того, что этот студент подготовлен: а) отлично; б) плохо. 

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей — студент подготовлен отлично; 
Теория вероятностей — студент подготовлен хорошо; 
Теория вероятностей — студент подготовлен посредственно; 
Теория вероятностей — студент подготовлен плохо. 
До опыта: 

Теория вероятностей

После опыта 

Теория вероятностей

Пример 3.38. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно Теория вероятностей Вероятность того, что к моменту прихода пассажира имеющиеся в кассе билеты будут распроданы, равна для первой кассы Теория вероятностей для второй Теория вероятностей для третьей Теория вероятностей Пассажир направился за билетом в одну из касс и приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса. 

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 3.39. Производится один выстрел по плоскости, на которой расположены две цели: /и // (рис. 3.39).

Теория вероятностей

Вероятность попадания в цель / равна Теория вероятностей в цель // равна Теория вероятностей После выстрела получено известие, что попадания в цель / не произошло. Какова теперь вероятность того, что произошло попадание в цель //

Решение:

Гипотезы: 
Теория вероятностей—-попадание в цель /
Теория вероятностей — попадание в цель //
Теория вероятностей — непопадание ни в одну из целей. 
Событие А — непопадание в цель /

Теория вероятностей

Эту задачу можно решить и без формулы Бейеса: 

Теория вероятностей

Пример 3.40. Имеются две урны: в первой а белых шаров и b черных,, во второй—с белых и d черных. Выбирается наугад одна из урн и вынимается из нее один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что следующий шар, который мы вынем из той же урны, будет тоже 
белым. 

Решение:

Теория вероятностей — выбрана первая урна; 
Теория вероятностей — выбрана вторая урна. 
А— появление белого шара при первом вынимании. 

Теория вероятностей

В — появление второго белого шара. 

Теория вероятностей

Условная вероятность появления второго белого шара при условии, что была выбрана первая урна и из нее вынут белый шар: 

Теория вероятностей

аналогично 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 3.41. Имеется группа в составе N стрелков. При одном выстреле в мишень Теория вероятностей стрелок попадает в нее с вероятностью Теория вероятностей Вызывается наугад один из стрелков. Произведя один выстрел по мишени, он попал в нее. Найти вероятность того, что при следующих двух выстрелах того же самого стрелка будет одно попадание и 
один промах. 

Решение:

А — попадание при первом выстреле; 
В — одно попадание и один промах при двух последующих выстрелах. 
Гипотезы Теория вероятностей — вызван Теория вероятностей стрелок Теория вероятностей

Теория вероятностей

Повторение опытов 

Опыты называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого опыта не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. 

Независимые опыты могут производиться как в одинаковых условиях, так и в различных. В первом случае вероятность появления какого-то события А во всех опытах одна и та же, во втором случае она меняется от опыта к опыту. 

Частная теорема о повторении опытов:

Если производится п независимых опытов в одинаковых условиях, причем в каждом из них с вероятностью р появляется событие А, то вероятность Теория вероятностей того, что событие А произойдет в этих п опытах ровно Теория вероятностей раз, выражается формулой 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей
Формула (4.1) выражает так называемое биномиальное распределение вероятностей. 
Вероятность хотя бы одного появления события А при п независимых опытах в одинаковых условиях равна Теория вероятностей

Общая теорема о повторении опытов:

Если производится п независимых опытов в различных условиях, причем вероятность события А в Теория вероятностей опыте равна Теория вероятностейТеория вероятностей то вероятность Теория вероятностей того, что событие А появится в этих опытах ровно m раз, равна коэффициенту при Теория вероятностей в разложении по степеням z производящей функции: 

Теория вероятностей

Вероятность хотя бы одного появления события А при п независимых опытах в различных условиях равна 

Теория вероятностей

Для любых условий (как одинаковых, так и различных) 

Теория вероятностей

Вероятность Теория вероятностей того, что при п опытах событие А появится не менее k раз, выражается формулой 

Теория вероятностей

Теоремы о повторении опытов, как частная, так и общая, допускают обобщение на тот случай, когда в результате каждого опыта возможны не два исхода Теория вероятностей а несколько исходов. 

Если производится п независимых опытов в одинаковых условиях, причем каждый опыт может иметь k исключающих друг друга исходов Теория вероятностей с вероятностями Теория вероятностей

Теория вероятностейто вероятность того, что в Теория вероятностей опытах появится событие Теория вероятностей в Теория вероятностей опытах — событие Теория вероятностейи т. д., в Теория вероятностей опытах—событие Теория вероятностей Теория вероятностей выражается формулой 

Теория вероятностей

или 

Теория вероятностей

Если условия опытов различны, т. е. в Теория вероятностей опыте событие Теория вероятностей имеет вероятность Теория вероятностейТеория вероятностей то вероятность Теория вероятностей вычисляется как коэффициент при члене, содержащем Теория вероятностей в разложении по степеням Теория вероятностей производящей функции: 

Теория вероятностей

Пример 4.2. Производится четыре независимых выстрела по некоторой цели. Вероятности попадания при разных выстрелах различны и равны: Теория вероятностей
Найти вероятности Теория вероятностей ни одного, одного, двух, трех, четырех попаданий; вероятность Теория вероятностей хотя бы одного попадания; вероятность Теория вероятностей не менее двух попаданий. 

Решение:

Производящая функция 

Теория вероятностей

Раскрывая скобки и приводя подобные члены, имеем 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 4.4*. По некоторой цели производится п независимых выстрелов. Вероятность попадания при Теория вероятностей выстреле равна Теория вероятностей При вычислении вероятности хотя бы 
одного попадания различные вероятности Теория вероятностей осредняют и заменяют их средней арифметической: 

Теория вероятностей

Увеличится или уменьшится от такого осреднения вероятность хотя бы одного попадания? 

Решение:

Точное значение Теория вероятностей

Теория вероятностей

Приближенное (по осредненной вероятности): 

Теория вероятностей

Требуется сравнить величины 

Теория вероятностей

значит, Теория вероятностей от примененного осреднения вероятность хотя бы одного попадания уменьшится. 

Пример 4.5. Завод изготовляет изделия, каждое из которых должно подвергаться четырем видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9;  
второе— с вероятностью 0,95; третье — с вероятностью 0,8 и четвертое — с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдет благополучно: 
А — все четыре испытания; 
В—ровно два испытания (из четырех); 
С—не менее двух испытаний (из четырех). 

Решение:

Теория вероятностей

Пример 4.6. Завод изготовляет изделия, каждое из которых с вероятностью r(независимо от других) оказывается дефектным. При осмотре дефект, если он имеется, обнаруживается с вероятностью р. Для контроля из продукции завода выбирается п изделий. Найти вероятность следующих событий: 

А — ни в одном из изделий не будет обнаружено дефекта; 
В—среди п изделий ровно в двух будет обнаружен дефект; 
С—среди п изделий не менее чем в двух будет обнаружен дефект. 

Решение:

Вероятность того, что в одном наугад взятом изделии будет обнаружен дефект, равна рr

Теория вероятностей

Самолет обстреливается п независимыми выстрелами) каждый из выстрелов с вероятностью Теория вероятностей попадает в зону, где он поражает самолет немедленно; с вероятностью Теория вероятностей попадает в топливный бак и с вероятностью Теория вероятностей не попадает в самолет вообще. Снаряд, попавший в топливный бак, оставляет в нем пробоину, через которую вытекает k литров горючего в час. Потеряв М литров горючего, самолет становится небоеспособным. Найти вероятность того, что через час после обстрела самолет не будет боеспособен. 

Решение:

В результате каждого выстрела может произойти одно из трех событий: 
Теория вероятностей — самолет поражен; 
Теория вероятностей—пробоина в баке; 
Теория вероятностей — нет попадания. 
Вероятности этих событий Теория вероятностей Вероятность того, что в результате п опытов событие Теория вероятностей произойдет Теория вероятностей раз, Теория вероятностей раз и Теория вероятностей раз, равна 

Теория вероятностей

Самолет может быть поражен двумя способами: или произошло хотя бы одно попадание в зону безусловного поражения, или не произошло ни одного попадания в эту зону, 
но зато самолет выведен из строя за счет вытекания  горючего (для чего должно быть Теория вероятностей Обозначая — наибольшее целое число, содержащееся в Теория вероятностей («целая 
часть» от числа Теория вероятностей), находим вероятность поражения самолета: 

Теория вероятностей

Пример 4.12*. В условиях задачи 4.11 найти вероятность того, что в первом приборе выйдет из строя больше узлов, чем во втором. 

Решение:

Вероятность события В—в первом приборе вышло из строя больше узлов, чем во втором — находим по формуле полной вероятности с гипотезами Теория вероятностей — в первом 
приборе вышло из строя i узлов Теория вероятностей

Теория вероятностей

 Пример 4.13. Монета бросается от раз. Найти вероятность р того, что герб появится не менее k раз и не более l раз Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 4.14. Прибор, состоящий из k узлов, работал в течение времени t. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого узла за время t равна р. По истечении времениприбор останавливается, техник осматривает его и заменяет узлы, вышедшие из строя. На замену одного узла ему требуется время Теория вероятностей Найти вероятность Р того, что через время Теория вероятностей после остановки прибор будет готов для нормальной работы. 

Решение:

Для этого нужно, чтобы за время t вышло из строя не более двух узлов: 

Теория вероятностей

Пример 4.15. Что вероятнее, выиграть у равносильного противника: 1) три партии из четырех или пять из восьми? 2) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми? 

Решение:

Теория вероятностей

Три партии из четырех выиграть более вероятно. 

Теория вероятностей

Не менее пяти партий из восьми выиграть более вероятно. 

Пример 4.16. Человек, принадлежащий к определенной группе населения, с вероятностью 0,2 оказывается брюнетом, с вероятностью 0,3 — шатеном, с вероятностью 0,4 — блондином 
и с вероятностью 0,1—рыжим. Выбирается наугад группа из шести человек. Найти вероятности следующих событий: 

А—в составе группы не меньше четырех блондинов; 
В—в составе группы хотя бы один рыжий; 
С—в составе группы равное число блондинов и шатенов. 

Решение:

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— в группе нет ни блондинов, ни шатенов; 
Теория вероятностей — в группе по одному блондину и шатену, а остальные— ни то, ни другое; 
Теория вероятностей — в группе по два блондина и шатена, а остальные— ни то, ни другое; 
Теория вероятностей — в группе по три блондина и шатена. 

Теория вероятностей

Пример 4.18. Производится стрельба по цели тремя снарядами. Снаряды попадают в цель независимо друг от друга. Для каждого снаряда вероятность попадания в цель равна 0,4. Если в цель попал один снаряд, он поражает цель (выводит ее из строя) с вероятностью 0,3; если два снаряда — с вероятностью 0,7; если три снаряда — с вероятностью 0,9. 
Найти полную вероятность поражения цели. 

Решение:

Гипотезы Теория вероятностей — в цель попало i снарядов Теория вероятностей

Теория вероятностей

Событие А — поражение цели, 

Теория вероятностей

Пример 4.19. Производится стрельба по цели п независимыми выстрелами. При одном выстреле попадание в цель происходит с вероятностью р. Если в цель попало Теория вероятностей снарядов 
Теория вероятностей то условная вероятность поражения цели выражается формулой 

Теория вероятностей

Определить полную вероятность поражения цели. 

Решение:

Гипотезы Теория вероятностей — попало Теория вероятностей снарядов Теория вероятностейТеория вероятностей

Теория вероятностей

Упростим это выражение; так как Теория вероятностейто

Теория вероятностей

но

Теория вероятностей

далее, по формуле бинома 

Теория вероятностей

поэтому

Теория вероятностей

Этот же результат получается проще, если заметить, что Теория вероятностей есть вероятность поражения цели при одном выстреле и что из формулы Теория вероятностей следует независимость поражений цели при любом заданном числе попаданий. 

Пример 4.20. Подводная лодка атакует корабль, выпуская по нему последовательно и независимо одна от другой п торпед. Каждая торпеда попадает в корабль с вероятностью р. Каждая попавшая в корабль торпеда с одинаковой вероятностью попадает в любой из k отсеков, на которые  
разделена подводная часть корабля. Торпеда, попавшая в отсек, приводит к его заполнению водой. Корабль идет ко дну, если водой заполнено не менее двух отсеков. Найти вероятность того, что корабль будет пущен ко дну. 

Решение:

Эту задачу удобно решать по формуле полной вероятности с гипотезами Теория вероятностей — в корабль попало m торпед Теория вероятностей

Теория вероятностей

Найдем Теория вероятностей По условию Теория вероятностей При m >2 попавших торпедах корабль не затопляется, только если все торпеды попали в один отсек; следовательно, 

Теория вероятностей

Полная вероятность потопления корабля: 

Теория вероятностей

Пример 4.21. В течение времени t эксплуатируется N приборов. Каждый из приборов имеет надежность р и выходит из строя независимо от других. Найти вероятность Р (А) того, что 
мастер, вызванный по окончании времени t для ремонта неисправных приборов, не справится со своей задачей за время Теория вероятностей если на ремонт каждого из неисправных приборов ему 
требуется время Теория вероятностей 

Решение:

Событие А равносильно тому, что число вышедших из строя приборов больше чем Теория вероятностейгдеТеория вероятностей — обозначает наибольшее целое число, заключенное в Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 4.22. Имеетсянеисправных приборов, которые подвергаются испытаниям (тестам) с целью локализации неисправности. Каждый тест независимо от других с вероятностью р приводит к локализации неисправности. Если неисправность локализована, прибор передается на ремонтную станцию, а обследованию подвергаются другие приборы. Если во всех N приборах неисправность локализована, то тесты прекращаются. Всего имеется возможность произвести п тестов (п > N). Найти вероятность того, что неисправности во всех N приборах будут локализованы. 

Решение:

А—все неисправности локализованы. Противоположное событие А означает, что при п опытах (тестах) событие, состоящее в том, что неисправность локализована, появилось менее N раз. 

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

Пример 4.23. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что в результате п тестов среди TV неисправных приборов останется не менее k приборов с нелокализованными 
неисправностями (k < N). 

Решение:

Задача равносильна следующей: найти вероятность того, что при п тестах будут локализованы неисправности не больше чем в Nk приборах. 

Теория вероятностей

Пример 4.24*. Происходит соревнование между k стрелками; каждый из них делает п выстрелов по своей мишени.  Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для Теория вероятностей
стрелка равна Теория вероятностей Выигрывает соревнование тот из стрелков, который получит больше попаданий, чем каждый из остальных. Найти вероятность того, что среди 
соревнующихся стрелков будет один (только один), выигравший соревнование. 

Решение:

Таким одним может быть любой из стрелков. Найдем вероятность того, что Теория вероятностей стрелок выиграет соревнование (событие Теория вероятностей). Это событие может произойти 
следующими способами: 

Теория вероятностей — Теория вероятностей стрелок получил ровно Теория вероятностей попаданий, а каждый из остальных — не более чем по Теория вероятностей

Вероятность того, что Теория вероятностейстрелок получил Теория вероятностейпопаданий, равна Теория вероятностейгде Теория вероятностей Обозначим вероятность того, что Теория вероятностей стрелок получил не более Теория вероятностей — 1 попаданий через Теория вероятностей

Теория вероятностей

Тогда вероятность того, что все остальные стрелки, кроме Теория вероятностей получили не более Теория вероятностей—1 попаданий, равна 

Теория вероятностей

Суммируя полученные вероятности для всех значений Теория вероятностей, получим вероятность того, что Теория вероятностей стрелок в единственном числе выигрывает соревнование: 

Теория вероятностей

Суммируя эти вероятности для всех стрелков, получим 

Теория вероятностей

Пример 4.25. В урне имеется k шаров; каждый из них с вероятностью 1/2 (независимо от других) может оказаться белым или черным. Из урны вынимается п раз по одному шару, причем вынутый шар каждый раз возвращается обратно, и шары перемешиваются. Среди вынутых п шаров 
оказались белыми Теория вероятностей Определить вероятность того, что среди k шаров урны ровно Теория вероятностей белых. 

Решение:

Решаем задачу по формуле Бейеса. Гипотезы: Теория вероятностей—в урне Теория вероятностей белых шаров и Теория вероятностей черных Теория вероятностей

До опыта Теория вероятностей

Событие А — среди п вынутых шаров оказалось ровно  белых. 

Теория вероятностей

После опыта вероятность гипотезы Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 4.26. Производится стрельба пятью снарядами по группе, состоящей из трех целей. Обстрел ведется в следующем порядке: сначала обстреливается первая цель и огонь по ней 
ведется до тех пор, пока она не будет поражена или не кончатся все пять снарядов. Если первая цель поражена, огонь переносится на вторую, и т. д. Вероятность поражения цели при стрельбе по ней одним выстрелом равна р. Найти вероятности: Теория вероятностей того, что будет 
поражено 0 целей, 1 цель, 2 цели, 3 цели в составе группы. 

Решение:

Для того чтобы не было поражено ни одной Цели, нужно, чтобы ни один снаряд не поразил цели, по которой он направлен: Теория вероятностей

Чтобы была поражена ровно одна цель, нужно, чтобы из пяти выстрелов только один поразил цель, по которой он направлен, а остальные — не поразили: Теория вероятностей           Теория вероятностей

Аналогично Теория вероятностей

Так как события, вероятности которых обозначены Теория вероятностей Теория вероятностей несовместны и образуют полную группу, то Теория вероятностей

Пример 4.29*. Производится стрельба п снарядами по группе из ./V целей Теория вероятностей Каждый выстрел с одинаковой вероятностью направляется на любую из N целей (безотносительно к тому, поражена она предыдущими выстрелами или не поражена). Каждый выстрел поражает непораженную цель, по которой он направлен, с вероятностью р. Выстрел, направленный по уже пораженной цели, не меняет ее состояния. Найти вероятность того, что в составе группы будет поражено k целей Теория вероятностей 

Решение:

Вероятность Теория вероятностей поражения k целей из найдем по формуле полной вероятности. Введем гипотезу Теория вероятностейпо первой цели пришлось Теория вероятностей выстрелов, по второй Теория вероятностей по Теория вероятностей, причем Теория вероятностей

При этой гипотезе условная вероятность Теория вероятностей поражения k целей из N равна коэффициенту при Теория вероятностей в разложении по степеням z производящей функции 

Теория вероятностей

где Теория вероятностейесть вероятность поражения Теория вероятностей цели за Теория вероятностей выстрелов, Теория вероятностей

 Вероятность гипотезы Теория вероятностейнаходим тем же способом, каким находили вероятность того, что п шариков распределяется определенным образом по ./V лункам (см. 
задачу 1,45): 

Теория вероятностей

Вероятность Теория вероятностей по формуле полной вероятности равна 

Теория вероятностей

где сумма распространяется на все возможные способы разбиения числа п на N слагаемых: Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 4.31. Имеется N лунок, по которым случайным образом разбрасываются М шариков. Найти вероятность р того, что в данную (вполне определенную, например, первую) лунку 
попадет ровно k шариков. 

Решение:

Рассмотрим М бросаний шариков как М независимых опытов, каждый из которых с вероятностью Теория вероятностей заканчивается попаданием в данную лунку; тогда 

Теория вероятностей

Случайные величины. Законы распределения.  Числовые характеристики случайных величин 

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, неизвестно заранее, какое именно. 

Дискретной (прерывной) случайной величиной называется случайная величина, принимающая отделенные друг от друга значения, которые можно перенумеровать. 

Непрерывной случайной величиной (в широком смысле слова) называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют какой-то промежуток. 

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Закон распределения может иметь разные формы. 

1. Ряд распределения:

Рядом распределения дискретной случайной величины X называется таблица, где перечислены возможные (различные) значения этой случайной величины Теория вероятностей 
с соответствующими им вероятностями Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Графическое изображение ряда распределения (см. рис. 5) называется многоугольником распределения. 

Теория вероятностей

2. Функция распределения:

Функцией распределения случайной величины X называется функция F (х), выражающая вероятность того, что X примет значение, меньшее чем Теория вероятностей 

Теория вероятностей

 Функция F (х) есть неубывающая функция;  Теория вероятностейТеория вероятностей

Для дискретных случайных величин функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева. 

Если функция распределения F (х) везде непрерывна и имеет производную, случайная величина называется непрерывной в узком смысле слова или просто непрерывной. 

Если функция распределения  F (х) на некоторых участках непрерывна, а в отдельных точках имеет разрывы, случайная величина называется смешанной. 

3. Плотность распределения:

Плотностью распределения непрерывной (в узком смысле слова) случайной величины называется функция(x) = F' (х). 
Плотность распределения любой случайной величины неотрицательна, Теория вероятностей и обладает свойством 

Теория вероятностей

График плотности (x) называется кривой распределения. 

Элементом вероятности для случайной величины называется величина Теория вероятностей приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки X в элементарный отрезок Теория вероятностей примыкающий к точке х

Функция распределения (х) выражается через плотность распределения формулой 

Теория вероятностей

Вероятность попадания случайной величины X на участок от Теория вероятностей до Теория вероятностей (включая Теория вероятностей) выражается формулой 

Теория вероятностей

Если случайная величина X непрерывна, то Теория вероятностейи 

Теория вероятностей

Вероятность попадания на участок от Теория вероятностей до Теория вероятностей для непрерывной случайной величины выражается формулой 

Теория вероятностей

Математическим ожиданием случайной величины X называется ее среднее значение, вычисляемое по формулам: 

Теория вероятностей—для дискретной случайной величины; 

Теория вероятностей—для непрерывной случайной величины. 

Для смешанной случайной величины математическое ожидание выражается суммой двух слагаемых: 

Теория вероятностей

где сумма распространяется на все точки разрыва функции распределения, а интеграл — на все участки ее непрерывности. 

В случае, когда М[X] надо обозначить одной буквой, будем писать 

 Теория вероятностей

Центрированной случайной величиной называется разность между случайной величиной X и ее математическим ожиданием: 

Теория вероятностей

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной  величины! 

Теория вероятностей

Дисперсия вычисляется по формулам: 

Теория вероятностей—для дискретной случайной величины; 

Теория вероятностей— для непрерывной случайной величины; 

Теория вероятностей—для смешанной случайной величины.

Дисперсия D [X] кратко обозначается Теория вероятностей

Средним квадратическим отклонением случайной величиныназывается корень квадратный из дисперсии  

Теория вероятностей

Начальным моментом Теория вероятностей порядка случайной величины называется математическое ожидание k-й степени этой случайной величины: 

Теория вероятностей
 Для дискретной, непрерывной и смешанной случайной величины Теория вероятностей вычисляется соответственно по формулам 

Теория вероятностей

Центральным моментом k-то порядка случайной величины называется математическое ожидание Теория вероятностей степени центрированной случайной величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

Вычислительные формулы для Теория вероятностей

Теория вероятностей

Математическое ожидание случайной величины X есть ее первый начальный момент, а дисперсия — второй центральный: 

Теория вероятностей

Второй и третий центральные моменты выражаются через начальные формулами 

Теория вероятностей

Дискретная случайная величина X называется распределенной по биномиальному закону, если ее возможные значения Теория вероятностей а вероятность того, что Теория вероятностей выражается формулой 

Теория вероятностей

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, равно Теория вероятностей а дисперсия Теория вероятностей

Дискретная случайная величина X называется распределенной по закону Пуассона, если ее возможные значения Теория вероятностей а вероятность того, что Теория вероятностей выражается формулой 

Теория вероятностей

где а > 0 — параметр закона Пуассона. 

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, равны параметру закона аТеория вероятностей Теория вероятностей

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих одно за другим в случайные моменты времени. 

Плотностью (интенсивностью) потока называется среднее число событий в единицу времени. 

Поток событий называется потоком без последействия, если вероятность появления на любом участке времени того или другого числа событий не зависит от того, какое число событий попало на другие, не пересекающиеся с данным участки. 

Поток событий называется ординарным, если вероятность появления на элементарном участке Теория вероятностей двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью появления одного события. 

Ординарный поток событий без последействия называется пуассоновским. 

Если события образуют пуассоновский поток, то число событий, попадающих на любой участок времени Теория вероятностей распределено по закону Пуассона: 

Теория вероятностей

где а —математическое ожидание числа точек, попадающих на участок; 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей пуассоновский поток называется «стационарным пуассоновским» или простейшим потоком

Для простейшего потока число событий, попадающих на любой участок длины Теория вероятностей распределено по закону Пуассона с параметром Теория вероятностей 

Расстояние Т между двумя соседними событиями в простейшем потоке есть непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону, с плотностью 

Теория вероятностей

Для случайной величины Т , распределенной по показательному закону, 

Теория вероятностей

Случайным полем точек называется совокупность точек, случайным образом распределенных на плоскости (в пространстве). 

Плотностью поля называется среднее число точек, попадающих на единицу площади (объема). 

Если плотность поля постоянна, оно называется равномерным. 

Поле точек называется пуассоновским, если оно обладает свойствами: 

1. Вероятность появления того или другого числа точек в любой области плоскости (пространства) не зависит от того, сколько точек попало в любые области, не пересекающиеся с данной; 
2. Вероятность попадания в элементарную область двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки. 

Число точек пуассоновского поля, попадающих в любую область S плоскости (пространства), распределено по закону Пуассона: 

Теория вероятностей

где а — математическое ожидание числа точек, попадающих в область S. 

Если поле равномерно и имеет плотность Теория вероятностей, то Теория вероятностей где s — площадь (объем) области S. 
Если поле неравномерно, то 

Теория вероятностей (для плоскости), 

Теория вероятностей(для пространства). 

Для вычислении, связанных с распределением Пуассона, применяются таблицы функций 

Теория вероятностей

Таблица функции Теория вероятностей дана в приложении (табл. 1). 

Непрерывная случайная величина X называется равномерно распределенной в интервале Теория вероятностей если ее плотность распределения в этом интервале постоянна: 

Теория вероятностей

где запись Теория вероятностей означает: «х лежит на участке от Теория вероятностей до Теория вероятностей , а Теория вероятностей означает: «х не лежит на участке от Теория вероятностей до Теория вероятностей». 

 Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной равномерно на участке Теория вероятностейравны Теория вероятностейТеория вероятностей

Непрерывная случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность распределения равна 

Теория вероятностей

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно Теория вероятностей а дисперсия Теория вероятностей 
Вероятность попадания случайной величины X, распределенной по нормальному закону, в интервал Теория вероятностей выражается формулой 

Теория вероятностей

где  Теория вероятностей—табулированная функция (см. приложение, табл. 2). 

Пример 5.13*. Производится п независимых выстрелов по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Определить наивероятнейшее число попаданий в мишень Теория вероятностей 

Решение:

Рассмотрим, при каком условии  Теория вероятностейЕсли Теория вероятностейили Теория вероятностейоткуда Теория вероятностей

Если Теория вероятностейто Теория вероятностейили Теория вероятностейоткуда Теория вероятностей

Рассмотрим случай, когда Теория вероятностей в этом случае должны выполняться совместно два неравенства 

Теория вероятностей

Эти два неравенства эквивалентны следующим: 

Теория вероятностей

откуда Теория вероятностей должно быть целым числом, удовлетворяющим неравенству 

Теория вероятностей

Можно убедиться в том, что это неравенство выполняется и в случае Теория вероятностей

и в другом крайнем случае: Теория вероятностей

Поскольку правая часть неравенства на единицу больше левой, то между ними лежит только одно целое число Теория вероятностей исключение составляет только случай, когда Теория вероятностей—целое. В этом случае имеется два наивероятнейших числа попаданий: Теория вероятностей и Теория вероятностей Если Теория вероятностей — целое число, то Теория вероятностей т. е. наивероятнейшее значение числа попаданий в мишень равно его математическому ожиданию. 

Пример 5.14. Два стрелка стреляют каждый по своей мишени, делая независимо друг от друга по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка Теория вероятностей для 
второго Теория вероятностей Рассматриваются две случайные величины: 

Теория вероятностей—число попаданий первого стрелка; 
Теория вероятностей — число попаданий второго стрелка 
и их разность 

Теория вероятностей

Построить ряд распределения случайной величины Z и найти ее характеристики Теория вероятностейи Теория вероятностей

Решение:

Случайная величина Z имеет три возможных значения: -1, 0 и +1. 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Ряд распределения величины Z имеет вид 

Теория вероятностей

Дисперсию находим через второй начальный момент: 

Теория вероятностей

Пример 5.15. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых может появиться некоторое событие А.  Вероятность события А в каждом опыте равна р. Опыты  производятся до первого появления события А, после чего они прекращаются. Случайная величина X — число произведенных опытов. Построить ряд распределения этой случайной  величины и найти ее характеристики — математическое ожидание и дисперсию. 

Решение:

Ряд распределения имеет вид 

Теория вероятностей

Замечаем, что ряд Теория вероятностейпредставляет собой результат дифференцирования геометрической прогрессии Теория вероятностей

Теория вероятностей

Дисперсию определяем через второй начальный момент: 

Теория вероятностей

Для вычисления суммы ряда Теория вероятностейумножим ряд ( 1) на и продифференцируем по q

Теория вероятностей

Умножая на р=1—q, получим 

Теория вероятностей

Полученное распределение можно связать с распределением Паскаля: 

Теория вероятностей

с характеристиками: Теория вероятностей Легко видеть, что наша случайная величина X выражается через Y следующим образом: Теория вероятностей Распределение случайной величины
можно назвать «сдвинутым на 1 распределением Паскаля». 

Пример 5.16. Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна р
Рассматриваются случайные величины: 
X—разность между числом попаданий и числом промахов; 
Y — сумма числа попаданий и числа промахов. 

Построить для каждой из случайных величин X, Y ряд распределения. Найти их характеристики: Теория вероятностей

Решение:

Ряд распределения величины X имеет вид 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Случайная величина Y фактически не случайна и имеет одно значение 2; ее ряд распределения: 

Теория вероятностей

Пример 5.17. В нашем распоряжении имеется п лампочек; каждая из них с вероятностью р имеет дефект. Лампочка ввинчивается в патрон и включается ток; при включении тока 
дефектная лампочка сразу же перегорает, после чего заменяется другой. 

Рассматривается случайная величина X—число лампочек, которое будет испробовано. Построить ее ряд распределения и найти математическое ожидание Теория вероятностей 

Решение:

Ряд распределения величины

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

 

Пример 5.22. При заданном положении точки разрыва снаряда цель оказывается накрыта пуассоновским полем осколков с плотностью Теория вероятностей Площадь проекции цели на 
плоскость, на которой наблюдается осколочное поле, равна Теория вероятностейКаждый осколок, попавший в цель, поражает ее не с полной достоверностью, а с вероятностью 0,6. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

Решение:

Рассмотрим вместо заданного поля осколков «поле поражающих осколков» с плотностью Теория вероятностейТеория вероятностей Математическое ожидание числа 
поражающих осколков, попавших в цель, будет Теория вероятностей отсюда вероятность поражения 

Теория вероятностей

Другое решение: по формуле полной вероятности с гипотезами Теория вероятностей в цель попало Теория вероятностей осколков Теория вероятностейТеория вероятностейТеория вероятностейА —поражение цели, Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 5.23. Электронная лампа работает исправно в течение случайного времени Т, распределенного по показательному закону:

Теория вероятностей

о истечении времени Т лампа выходит из строя, после чего ее немедленно заменяют новой. Найти вероятность того, что за время Теория вероятностей а) лампу не придется заменять; б) лампу придется заменять ровно три раза; в) лампу придется заменять не менее трех раз. 

Решение:

Отказы ламп образуют простейший поток с плотностью Теория вероятностей Математическое ожидание числа отказов X за время Теория вероятностей равно Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 5.24. Техническое устройство состоит из трех узлов; в первом узле Теория вероятностей элементов, во втором Теория вероятностей элементов, в третьем Теория вероятностей элементов. Первый узел безусловно необходим для работы устройства; второй и третий дублируют друг друга. Время исправной работы каждого элемента распределено по показательному закону; среднее время работы элемента, входящего в первый узел, равно Теория вероятностей, во второй или третий узлы —Теория вероятностей Первый узел выходит из строя, если в нем отказало не менее двух элементов; второй узел (так же, как и дублирующий его третий) выходит из строя при отказе хотя бы одного элемента. Для выхода из строя устройства в целом достаточно, чтобы отказал первый узел или второй и третий вместе. Найти вероятность того, что за время х устройство выйдет из строя. 

Решение:

Вероятность выхода из строя одного элемента первого, второго или третьего узлов за время Теория вероятностей равна соответственно 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Вероятность выхода из строя первого узла за время Теория вероятностей:

Теория вероятностей

Вероятности выхода из строя второго и третьего узлов: 

Теория вероятностей

Вероятность выхода из строя всего устройства; 

Теория вероятностей

Пример 5.25. Искусственный спутник земли, движущийся по своей орбите в течение п суток, может случайным образом сталкиваться с метеоритами. Метеориты, пересекающие орбиту 
и сталкивающиеся со спутником, образуют пуассоновский поток с плотностью Теория вероятностей (метеоритов в сутки). Метеорит, попавший в спутник, пробивает его оболочку с вероятностью 
Теория вероятностейМетеорит, пробивший оболочку, с вероятностью Теория вероятностей выводит из строя аппаратуру спутника. Найти вероятности следующих событий: 

А — за время полета спутника его оболочка будет пробита; 
В—за время полета спутника его аппаратура будет выведена из строя; 
С—за время полета спутника будет пробита только оболочка спутника, а аппаратура будет действовать. 

Решение:

Математическое ожидание числа метеоритов, пробивающих оболочку: Теория вероятностей Математическое ожидание числа метеоритов, пробивающих оболочку и поражающих 
аппаратуру: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 5.27. При работе некоторого прибора в случайные моменты времени возникают неисправности. Время Т работы прибора от его включения до возникновения неисправности 
распределено по показательному закону с параметром Теория вероятностей

Теория вероятностей

При возникновении неисправности она мгновенно обнаруживается, и прибор поступает в ремонт. Ремонт продолжается время Теория вероятностей после чего прибор снова включается в работу. 

Найти плотность распределения Теория вероятностей и функцию распределения Теория вероятностей промежутка времени Теория вероятностей между двумя соседними неисправностями. Найти его математическое ожидание и дисперсию. Найти вероятность того, что время Теория вероятностей будет больше Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 5.28. Время Т между двумя сбоями вычислительной машины распределено по показательному закону с параметром Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Решение:

Решение определенной задачи требует безотказной работы машины в течение времени Теория вероятностей. Если за время Теория вероятностей произошел сбой, то задачу приходится решать заново. Сбой обнаруживается только через время Теория вероятностей после начала решения задачи. Рассматривается случайная величина Теория вероятностей — время, за которое задача будет решена. 

Пример 5.29. В условиях предыдущей задачи найти вероятность того, что за данное время Теория вероятностей будет решено не менее Теория вероятностей задач Теория вероятностей

Решение:

Обозначим Теория вероятностей вероятность того, что за время Теория вероятностей будет решено ровно Теория вероятностей задач. Теория вероятностей есть вероятность того, что из k промежутков времени Теория вероятностей ровно Теория вероятностей будет таких, в которых не будет сбоев. Вероятность того, что за время Теория вероятностей не будет сбоя: Теория вероятностей По теореме о повторении опытов 

Теория вероятностей

Вероятность того, что будет решено не менее m задач : 

Теория вероятностей

или, если это удобнее, 

Теория вероятностей

Пример 5.30. Охотники, собравшиеся для охоты на волка, выстраиваются в цепь случайным образом так, что расстояние между двумя соседними охотниками D не зависит от других 
расстояний и распределено по показательному закону с параметром Теория вероятностей Волк бежит перпендикулярно цепи. Любой охотник стреляет по волку только в случае, если волк пробегает от него не дальше чем на расстоянии Теория вероятностей и, выстрелив, убивает его с вероятностью Теория вероятностей Определить вероятность того, что волк будет убит, если он не знает, где расположены 
охотники, и цепь достаточно длинна для того, чтобы волк с достоверностью не пробежал за пределами цепи. 

Решение:

Цепь охотников (рис. 5.30) может рассматриваться как пуассоновская последовательность точек на оси Теория вероятностей Волк, бегущий по направлению, указанному стрелкой, обстреливается в случае, если в полосу шириной Теория вероятностей связанную с его траекторией, попадает хотя бы один охотник. Каждый охотник, если ему придется стрелять по волку, с вероятностью р оказывается «удачливым», т. е. убивает волка. Перейдем от «цепочки охотников» на оси Ох к 
«цепочке удачливых охотников», имеющей плотность Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Волк будет убит в случае, если в отрезок длиной Теория вероятностей случайно брошенный на ось абсцисс, попадет хотя бы один «удачливый» охотник; вероятность этого: 

Теория вероятностей

Пример 5.31. Рассматривается равномерное пуассоновское поле точек на плоскости с плотностью Теория вероятностей Найти закон распределения и числовые характеристики Теория вероятностей расстояния R от любой точки поля до ближайшей к ней соседней точки. 

Решение:

Найдем функцию распределения Теория вероятностей величины R. Для этого проведем вокруг точки поля окружность радиуса Теория вероятностей (рис. 5.31). 

Теория вероятностей

 Для того чтобы расстояние R от этой точки до ближайшей к ней соседней было меньше Теория вероятностей, надо, чтобы в круг попала хотя бы одна точка (кроме данной). По свойствам пуассоновского поля вероятность этого события не зависит от того, есть ли уже в центре круга точка 
или ее нет. Поэтому 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Такой закон распределения называется законом Релея. 

Теория вероятностей

Пример 5.32. Деревья в лесу растут в случайных точках, которые образуют пуассоновское поле с плотностью Теория вероятностей (среднее число деревьев на единицу площади). Выбирается произвольная точка О в этом лесу, Рассматриваются случайные величины: 

Теория вероятностей — расстояние от точки О до ближайшего к ней дерева; 
Теория вероятностей — расстояние от точки О до следующего по порядку (второго по удаленности) дерева; 

Теория вероятностей
Теория вероятностей — расстояние от точки О до Теория вероятностей по удаленности дерева. 

Найти закон распределения каждой из этих случайных величин. 

Решение:

Функция распределения случайной величины Теория вероятностей найдена нами в предыдущей задаче: 

Теория вероятностей

Функция распределения Теория вероятностей равна вероятности того, что в круг радиуса Теория вероятностей попадет не менее двух деревьев: 

Теория вероятностей

Аналогичными рассуждениями получим 

Теория вероятностей

Плотность распределения получим дифференцированием Теория вероятностей по Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Пример 5.33. В пространстве трех измерений случайным образом расположены точки. Число точек в некотором объеме пространства Теория вероятностей есть случайная величина, подчиненная закону 
Пуассона с математическим ожиданием Теория вероятностей где Теория вероятностей — среднее число точек, находящихся в единичном объеме. Требуется найти закон распределения расстояния Теория вероятностей от любой точки 
пространства до ближайшей к ней случайной точки. 

Решение:

Функция распределения Теория вероятностей есть вероятность того, что в сферу радиуса Теория вероятностей попадет хотя бы одна точка:

 Теория вероятностей

где  Теория вероятностей объем сферы радиуса Теория вероятностей. Отсюда 

Теория вероятностей

Пример 5.35*. Предыдущие задачи можно обобщить на произвольное число измерений N: в Теория вероятностеймерном пространстве случайным образом расположены точки. Число точек, попадающих 
в некоторую замкнутую область V этого пространства, есть случайная величина X, подчиненная закону Пуассона. «Объем» Теория вероятностей этой области V определяется так: 

Теория вероятностей

Математическое ожидание случайной величины X будет равно Теория вероятностей где Теория вероятностей — среднее число точек, находящихся в единичном объеме. 

Требуется найти закон распределения «расстояния» от любой точки этого пространства до ближайшей случайной точки. Под «расстоянием» R между двумя точками Теория вероятностей
 и Теория вероятностей понимается величина 

Теория вероятностей

Решение:

Известно, что объем Теория вероятностей гиперсферы радиуса Теория вероятностей в N-мерном пространстве равен 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей (при нечетном N). Заметим, что «площадь» поверхности гиперсферы Теория вероятностей радиуса Теория вероятностей в N-мерном пространстве определяется так: 

Теория вероятностей

Функция распределения случайной величины R будет равна вероятности того, что в гиперсферу радиуса Теория вероятностей попадает хотя бы одна случайная точка: 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 5.37. Автомашина проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром а. 
Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание машины продолжается в среднем 2 часа. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой 
из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то машина ставится на профилактический ремонт, где она находится в среднем 4 часа. 

 Определить закон распределения среднего времени Т обслуживания и ремонта машины и его математическое ожидание  Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 5.39.* Обследуется группа животных; каждое из них с вероятностью Теория вероятностей является больным. Обследование производится путем анализа крови. Если смешать кровь п животных, то 
анализ этой смеси будет положительным, если среди Теория вероятностей животных будет хотя бы одно больное. Требуется обследовать большое число N животных. Предлагается два способа обследования: 

1) обследовать всех N животных; в этом случае нужно провести N анализов; 

 2) вести обследование по группам, смешав сначала кровь группы из п животных; если анализ отрицательный, считать, что все животные группы здоровы и переходить к следующей 
группе из п животных; если анализ положительный, обследовать каждое из п животных и после этого переходить к следующей группе Теория вероятностей

Определить, какой способ обследования выгоднее — первый или второй — в смысле минимального среднего числа анализов. Определить, при каком Теория вероятностей для обследования 
группы животных потребуется в среднем наименьшее число анализов. 

Решение:

Случайная величина  Теория вероятностей— число анализов на группу из п животных при втором способе — имеет ряд распределения

Теория вероятностей 

Среднее число анализов на группу из п животных при втором способе будет 

Теория вероятностей

При первом способе на группу из п животных приходится п анализов. Очевидно, при Теория вероятностей первый способ выгоднее второго, а при Теория вероятностей второй способ выгоднее первого. 

Установим, при каком Теория вероятностей второй способ становится выгоднее и каково при этом будет оптимальное значение Теория вероятностей Из неравенства Теория вероятностей вытекает Теория вероятностей а из последнего Теория вероятностей так как минимум —Теория вероятностей для целых п достигается при п  = 3. 

Предположим, что q > 0,694, и найдем то значение п = п*, которое обращает в минимум среднее количество анализов, приходящееся на одно животное: Теория вероятностей

Для этого надо найти наименьший положительный корень уравнения 

Теория вероятностей

взять ближайшие к нему два целых числа и прямой подстановкой их в Теория вероятностей выбрать из них оптимальное Теория вероятностей Уравнение Теория вероятностей подстановкойТеория вероятностей приводится к  Теория вероятностей. Последнее уравнение при малых а (и, значит, малых р = 1—q) имеет решение Теория вероятностейоткуда Теория вероятностей. При немалых а непосредственное сравнение величин Теория вероятностей позволяет сделать вывод, что всегда  Теория вероятностей и что Теория вероятностей при Теория вероятностей следовательно, при Теория вероятностей оптимальное Теория вероятностей Можно показать, что при Теория вероятностей хорошее приближение дает формула Теория вероятностей

Пример 5.47. Случайная величина X с вероятностью Теория вероятностей имеет плотность распределения Теория вероятностей, а с вероятностью Теория вероятностей — плотность распределения Теория вероятностей Написать выражение 
для плотности распределения и функции распределения величины X. Найти ее математическое ожидание и дисперсию. 

Решение:

По формуле полной вероятности (с гипотезами Теория вероятностей — величина X имеет плотность распределения Теория вероятностейТеория вероятностейполучаем 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— математические ожидания для распределений Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — вторые начальные моменты для распределений Теория вероятностей

Пример 5.48. Браковка шариков для подшипников производится следующим образом: если шарик не проходит через отверстие диаметром Теория вероятностей но проходит через отверстие диаметром 
Теория вероятностей то его размер считается приемлемым. Если какое-нибудь из этих условий не выполняется, то шарик бракуется. Известно, что диаметр шарика D есть нормально 
распределенная случайная величина с характеристиками Теория вероятностей и Теория вероятностей Определить вероятность р того, что шарик будет забракован. 

Решение:

Теория вероятностей

так как Теория вероятностейто

Теория вероятностей

и по таблицам функции Ф* (х) (см. приложение, табл. 2) находим 

Теория вероятностей

Пример 5.49. Известно, что размер D шарика для подшипников является случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Браковка шарика производится так же, как 
указано в задаче 5.48. При этом известно, что средний размер шарика равен Теория вероятностей, а брак составляет 10% всего выпуска. Определить среднее квадратическое отклонение 
диаметра шарика Теория вероятностей

Решение:

Вероятность брака 

Теория вероятностей

Откуда  Теория вероятностей По таблицам функции Ф* (х) (см. приложение, табл. 2) находим 

Теория вероятностей

Пример 5.50. На перекрестке стоит автоматический светофор, в котором 1 минуту горит зеленый свет и 0,5 минуты — красный, затем опять 1 минуту горит зеленый свет, 0,5 минуты— красный и т. д. Некто подъезжает к перекрестку на машине в случайный момент, не связанный с работой 
а) Найти вероятность того, что он проедет перекресток, не останавливаясь, 
б) Найти закон распределения и числовые характеристики времени ожидания у перекрестка. 

Решение:

Момент проезда автомашины через перекресток распределен равномерно в интервале, равном периоду смены цветов в светофоре. Этот период равен l + 5 = 
= 1,5 [мин] (рис. 5.50). 

Теория вероятностей

Для того чтобы машина проехала через перекресток, не останавливаясь, достаточно, чтобы момент проезда перекрестка пришелся на интервал времени Теория вероятностей. Для случайной величины, подчиненной закону постоянной плотности в интервале Теория вероятностей, вероятность того, что она попадет на интервал Теория вероятностей  равна Теория вероятностей Время ожидания Теория вероятностей есть смешанная случайная величина; с вероятностью Теория вероятностей она равна нулю, а с вероятностьюТеория вероятностей принимает с одинаковой плотностью вероятности любое значение между 0 и 0,5 мин. 

Среднее время ожидания у перекрестка 

Теория вероятностей

Дисперсия времени ожидания 

Теория вероятностей

Пример 5.51. Кривая распределения случайной величины X представляет собой полуэллипс с 
полуосями а и b (рис. 5.51а)

Теория вероятностейТеория вероятностей

Величина а известна. Требуется определить величину Ь, найти Теория вероятностей найти и построить функцию распределения F(x). 

Решение:

Величина b находится из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения; 

Теория вероятностей

Плотность распределения 

Теория вероятностей

Математическое ожидание Теория вероятностей Дисперсия 

Теория вероятностей

График функции  Теория вероятностей см. рис. 5.51б. 

Пример 5.52.* Показать, что функция вида 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей и а > 0 — некоторые постоянные и s — натуральное число Теория вероятностей обладает свойствами плотности распределения. Определить параметры а и Теория вероятностей исходя из заданного математического ожидания Теория вероятностей и найти Теория вероятностей

Решение:

Параметры а и Теория вероятностей находятся из условий 

Теория вероятностей
 
Написанные выше интегралы заменой Теория вероятностейприводятся к гамма-функции Эйлера: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностейпричем Теория вероятностейи для целых Теория вероятностейполучаем Теория вероятностей

Теория вероятностей

Из заданных условий находим 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Второй начальный момент 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Некоторые из законов вида Теория вероятностей имеют определенные названия: Теория вероятностей называется законом Релея, Теория вероятностейзаконом, Максвелла. 

Для закона Релея (s=l) 

Теория вероятностей

имеем соотношения 

Теория вероятностей

Для закона Максвелла Теория вероятностей

Теория вероятностей

имеем соотношения 

Теория вероятностей

Замечание. Все законы вида 

Теория вероятностей

при заданном s являются однопараметричными, т. е. зависят только от одного параметра, в качестве которого можно задать, например, математическое ожидание (или дисперсию). 

Пример 5.53*. Имеется случайная величина X, распределенная по нормальному закону с параметрами Теория вероятностей и Теория вероятностей Найти выражение для величины Теория вероятностей — начального момента s-ro порядка. 

Решение:

Выразим начальные моменты  Теория вероятностейчерез центральные моменты 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Для центральных моментов при нечетном s = 2n + 1

Теория вероятностей

а при четном  s = 2n — по формулам предыдущей задачи 

Теория вероятностей

Например, 

Теория вероятностей

Пример 5.54. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием Теория вероятностей. Вероятность попадания этой случайной величины на участок от — а до 
а равна 0,5. Найти Теория вероятностей и написать выражение нормального  закона. 

Решение:

Теория вероятностей

По таблицам функции Ф* (х) имеем Теория вероятностейоткуда Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 5.55*. Функция распределения F(x) неотрицательной случайной величины X задана графиком (рис. 5.55). Математическое ожидание случайной величины X равно Теория вероятностей. Показать, что Теория вероятностей геометрически может быть представлено площадью фигуры, заштрихованной на рис. 5.55 (ограниченной кривой y=F{x), прямой у= 1 и осью ординат). 

Теория вероятностей

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

Применяя интегрирование по частям, получим 

Теория вероятностей

Докажем, что первое слагаемое равно нулю: 

Теория вероятностей

Действительно, для случайной величины Теория вероятностей имеющей конечное математическое ожидание, из сходимости интеграла Теория вероятностей следует, что Теория вероятностей и так как Теория вероятностей

то отсюда получаем

 Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

а это есть площадь, заштрихованная на рис. 5.55. 

Пример 5.57. Случайная величина X подчинена нормальному закону с математическим ожиданием Теория вероятностей (рис. 5.57). 

Теория вероятностей

Задан интервал Теория вероятностей, не включающий начала координат. При каком значении среднего квадратического отклонения а вероятность попадания случайной величины X в интервал 
Теория вероятностей достигает максимума? 

Решение:

Значение а найдем, дифференцируя по Теория вероятностей вероятность попадания в интервал Теория вероятностей и приравнивая производную нулю. Имеем 

Теория вероятностей

отсюда 

Теория вероятностей

и следовательно, 

Теория вероятностей

Для малого интервала Теория вероятностей

Теория вероятностей

Например, при  Теория вероятностейформула Теория вероятностей имеет погрешность менее 1%. 

Пример 5.58. Имеется случайная величина X, подчиненная нормальному закону с математическим ожиданием Теория вероятностей и средним квадратичным отклонением Теория вероятностей Требуется приближенно заменить нормальный закон законом постоянной плотности в интервале (Теория вероятностей); границы Теория вероятностей подобрать так, чтобы сохранить неизмененными основные характеристики случайной величины X: математическое ожидание и дисперсию. 

Решение: Для закона постоянной плотности на участке (Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решая эти уравнения относительно Теория вероятностей и Теория вероятностей имеем 

Теория вероятностей

Пример 5.59. Производится стрельба по наземной цели снарядами, снабженными радиовзрывателями. Номинальная высота подрыва снаряда, на которую рассчитан взрыватель, равна а
но фактически имеют место ошибки в высоте, распределенные по нормальному закону со средним квадратическим отклонением Теория вероятностей (систематической ошибки нет). Если 
взрыватель не сработает над землей, взрыва снаряда вообще не происходит. Найти вероятности следующих событий: 
А — при стрельбе одним снарядом точка разрыва окажется на высоте, превышающей 1,2а; 
В — при стрельбе тремя снарядами ни один снаряд не разорвется на высоте более чем 1,2а; 
С — хотя бы один из трех снарядов не разорвется; 

D — один из трех снарядов не разорвется, а два другие разорвутся.

Решение:

Теория вероятностей

Вероятность того, что один отдельный снаряд не разорвется: 

Теория вероятностей

Пример 5.60. Производится стрельба тремя независимыми выстрелами по цели, имеющей вид полосы (мост, автострада, взлетно-посадочная полоса). Ширина полосы 20 м. Прицеливание производится по средней линии полосы; систематическая ошибка отсутствует; среднее квадратическое отклонение точки попадания в направлении, перпендикулярном полосе, 16 м. Найти вероятность р попадания в полосу  при одном выстреле, а также вероятности следующих событии при трех выстрелах: 

А — хотя бы одно попадание в полосу; 
В — не менее двух попаданий в полосу; 
С—один снаряд попадет в полосу, один ляжет с недолетом и один с перелетом. 

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 5.61. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков Теория вероятностей мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр — случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением Теория вероятностей и средним квадратическим отклонением Теория вероятностей мм. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков в среднем будет отбраковываться?  

Решение:

Вероятность того, что шарик не будет забракован: Теория вероятностей Вероятность того, что он будет забракован: Теория вероятностей Следовательно, около 4,6% шариков будет браковаться. 

Системы случайных величин (Случайные векторы) 

Совокупность двух случайных величин (X, У), рассматриваемых совместно, называется системой двух случайных величин. Система двух случайных величин (X, У) геометрически интерпретируется как случайная точка с координатами (X, Y) на плоскости хОу (рис. 6а) 
или как случайный вектор, направленный из начала координат в точку (X, Y), составляющие которого представляют собой случайные величины X и Y (рис. 66). 

Теория вероятностей

Система трех случайных величин (X, У, Z) изображается случайной точкой или случайным вектором в трехмерном пространстве; система п случайных величин Теория вероятностейслучайной точкой или случайным вектором в пространстве п измерений

Функцией распределения F (х, у) системы двух случайных величин (X, У) называется вероятность совместного выполнения двух неравенств: X < х и Y < у 

Теория вероятностей

Геометрически F (х, у) интерпретируется как вероятность попадания случайной точки (X, Y) в квадрант с вершиной (х, у),  заштрихованный на рис. 6в. Функция распределения F (х, у) обладает свойствами: 

Теория вероятностей

функции распределения случайных величин X и У
4) F (х, у)—неубывающая функция х и у

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R со сторонами, параллельными осям координат, включающий свою нижнюю и левую границы, но не включающий верхнюю и правую (рис. 6г), выражается через функцию распределения формулой 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Плотностью распределения f (x, у) системы двух случайных величин (X, Y) называется предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке (x, у), к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю. Плотность распределения выражается через функцию распределения формулой 

Теория вероятностей

Поверхность, изображающая функцию f (x, у), называется поверхностью распределения. 

Элементом вероятности для системы двух случайных величин называется величина Теория вероятностей  приближенно выражающая вероятность попадания случайной точки (X, Y) в элементарный прямоугольник со сторонами Теория вероятностей примыкающий к точке (х, у). 

Вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулой 

Теория вероятностей

Свойства плотности распределения:

Теория вероятностей

Функция распределения системы выражается через плотность распределения формулой 

Теория вероятностей

(интегрирование производится сначала по у, а потом по х). 

Плотности распределения отдельных величин, входящих в систему, выражаются через плотность распределения системы формулами 

Теория вероятностей

Условным законом распределения случайной величины, входящей в систему, называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. 

Условные функции распределения случайных величин X и У, входящих в систему, обозначаются Теория вероятностей и Теория вероятностей а условные плотности распределения— Теория вероятностей и Теория вероятностей

Теорема умножения плотностей распределения:

Теория вероятностей

Выражения для условных плотностей распределения через безусловные:

Теория вероятностей

Случайные величины (X, Y) называются независимыми, если условный закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение примет другая: 

Теория вероятностей

Начальным моментом порядка Теория вероятностей системы (X, Y) называется величина 

Теория вероятностей

Центральным моментом порядка Теория вероятностей системы (X, Y) называется величина 

Теория вероятностей

Расчетные формулы для определения моментов:

а) Для дискретных случайных величин 

Теория вероятностей

6) для непрерывных случайных величин 

Теория вероятностей

где f (x, у)—плотность распределения системы. 

Корреляционным моментом Теория вероятностей двух случайных величин (X, У) называется центральный момент порядка 1+1 т. е. Теория вероятностей (второй смешанный центральный момент): 

Теория вероятностей

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен нулю. 

Коэффициентом корреляции Теория вероятностей двух случайных величин (X, Y) называется безразмерная величина 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между случайными величинами. 

Случайные величины (X, Y) называются некоррелированными, если их корреляционный момент (или, что равносильно,  коэффициент корреляции) равен нулю. 

Из независимости случайных величин следует их некоррелированность; напротив, из некоррелированности случайных величин еще не следует их независимость. 

Если случайные величины (X, Y) связаны линейной функциональной зависимостью вида Теория вероятностей то их коэффициент корреляции Теория вероятностей где знак + или — берется в соответствии со знаком коэффициента а

Для любых двух случайных величин Теория вероятностей

Функцией распределения системы п случайных величин Теория вероятностей называется вероятность совместного выполнения п неравенств вида Теория вероятностей

Теория вероятностей

Плотностью распределения системы п случайных величин называется смешанная частная производная Теория вероятностей порядка функции распределения: 

Теория вероятностей

Функция распределения Теория вероятностей одной из величин Теория вероятностей входящих в систему, получается из Теория вероятностей если положить в ней все аргументы, кроме Теория вероятностей равными Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Плотность распределения отдельной величины Теория вероятностейв систему Теория вероятностей выражается формулой входящей 

Теория вероятностей

Плотность распределения отдельной подсистемы Теория вероятностей входящей в систему Теория вероятностей выражается формулой 

Теория вероятностей

Условная плотность распределения подсистемы Теория вероятностей при фиксированных значениях всех остальных случайных величин выражается формулой 

Теория вероятностей

Если случайные величины Теория вероятностей независимы, то 

Теория вероятностей

Вероятность попадания случайной точки Теория вероятностей в пределы п-мерной области D выражается п-кратным интегралом 

Теория вероятностей

Корреляционной матрицей системы п. случайных величин Теория вероятностей называется таблица, составленная из корреляционных моментов всех этих величин, взятых попарно 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей  корреляционный момент случайных величин Теория вероятностей Теория вероятностей

Корреляционная матрица симметрична: Теория вероятностейпоэтому обычно заполняется лишь половина таблицы, 

Теория вероятностей

По главной диагонали корреляционной матрицы стоят дисперсии случайных величин Теория вероятностей

Теория вероятностей

Нормированной корреляционной матрицей системы п случайных величин называется таблица, составленная из коэффициентов корреляции всех этих величин, взятых попарно, 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— коэффициент корреляции величин Теория вероятностей

Нормальный закон распределения для двух случайных величин (X, Y) (нормальный закон на плоскости) имеет плотность вида 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — математические ожидания случайных величин Теория вероятностей Теория вероятностей — их средние квадратические отклонения; Теория вероятностей — их коэффициент корреляции. 

Для случайных величин, распределенных по нормальному закону, некоррелированность равносильна независимости. Если случайные величины (X, Y) некоррелированы (независимы), то Теория вероятностей и 

Теория вероятностей

В этом случае оси Теория вероятностей называются главными осями рассеивания, а Теория вероятностейглавными средними квадратическими отклонениями. 

Если при этом Теория вероятностей то нормальный закон принимает канонический вид

Теория вероятностей

Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в прямоугольник R (рис. 6г) с осями, параллельными главным осям рассеивания, выражается формулой 

Теория вероятностей

Эллипсом равной плотности (эллипсом рассеивания) называется эллипс, во всех точках которого плотность распределения Теория вероятностей нормального закона постоянна: Теория вероятностей

Полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям: 

Теория вероятностей

Вероятность попадания случайной точки, распределенной по нормальному закону, в область Теория вероятностей ограниченную эллипсом рассеивания, равна 

Теория вероятностей

где k — размеры полуосей эллипса в средних квадратических отклонениях. 

Если Теория вероятностей рассеивание по нормальному закону называется круговым. 

При круговом нормальном рассеивании с Теория вероятностей расстояние R от точки (X, Y) до начала координат (центра рассеивания) распределяется по закону Релея: 

Теория вероятностей

Нормальный закон в пространстве трех измерений для независимых случайных величин (X, Y, Z) выражается формулой 

Теория вероятностей

Вероятность попадания случайной точки (X, Y, Z) в область Теория вероятностей ограниченную эллипсоидом равной плотности с полуосями 

Теория вероятностей

равна 

Теория вероятностей

Пример 6.1. Два стрелка независимо один от другого производят по одному выстрелу, каждый по своей мишени. Случайная величина X—число попаданий первого стрелка; Y—второго 
стрелка. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка Теория вероятностей для второго Теория вероятностей Построить функцию распределения F (x, у) системы случайных величин 

Решение:

Составим таблицу значений функции Теория вероятностей для различных значений аргументов. Так как случайные величины (X, Y) независимы, то 

Теория вероятностей

Построим функцию распределения Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей Аналогично Теория вероятностей

Значения функции F (х, у) даны в таблице 

Теория вероятностей

Пример 6.2. По мишени производится один выстрел. Вероятность попадания равна р. Рассматриваются две случайные величины: X — число попаданий; Y—число промахов. Построить функцию распределения F (х, у) системы (X, Y). 

Решение:

Случайные величины (X, Y) зависимы, причем жестко (функционально): 

Теория вероятностей

Таблица возможных значений X, Y с соответствующими вероятностями будет 

Теория вероятностей

Значения функции F (х, у) даны в таблице 

Теория вероятностей

Пример 6.4. Дана поверхность Теория вероятностей изображающая плотность распределения системы 
(X, Y) (рис. 6.4). Задано некоторое значение х. Дать геометрическую интерпретацию: 

а) значению Теория вероятностей в точке х; 
б) условной плотности распределения Теория вероятностей

Теория вероятностей Теория вероятностей

Решение:

Для данного х
а) Теория вероятностей изображается площадью сечения, заштрихованного на рис. 6.4. 
б) Условная плотность распределения изображается кривой, каждая ордината которой равна ординате сечения, деленной на Теория вероятностей 

Пример 6.7. Поверхность распределения системы случайных величин (X, Y) представляет собой прямой круговой конус (рис. 6.7а); основанием конуса служит круг К с центром в начале координат и с радиусом Теория вероятностей Вне этого круга плотность распределения равна нулю. 

а) Написать выражение Теория вероятностей б) Найти Теория вероятностейТеория вероятностейв) Определить, являются ли случайные величины X, Y зависимыми, г) Определить, являются ли 
случайные величины X, У коррелированными. 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

в) Так как Теория вероятностей то случайные величины X, Y зависимы. 

г) Находим корреляционный момент Теория вероятностей так как Теория вероятностейТеория вероятностей то 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—правая половина круга К; Теория вероятностей — левая половина (рис. 6.76). Функция Теория вероятностей нечетна относительно аргумента х, поэтому интегралы по Теория вероятностей и Теория вероятностей отличаются только знаком; в сумме интегралы взаимно уничтожаются, значит, Теория вероятностей и случайные величины X, Y не коррелированы. 

Пример 6.8. Система случайных величин (X, Y) распределена по закону: 

Теория вероятностей

а) Найти коэффициент а. б) Установить, являются ли величины X, Y зависимыми; найти Теория вероятностей Теория вероятностей в) Найти вероятность попадания случайной точки (X, Y) в пределы квадрата R, центр которого совпадает с началом координат, а стороны параллельны осям координат и имеют длину Теория вероятностей (рис. 6.8). 

Теория вероятностей

Решение:

а) Из условия 

Теория вероятностей

находим Теория вероятностей

б) Случайные величины X, Y независимы: 

Теория вероятностей

Пример 6.10. Поверхность распределения f (x, у) системы случайных величин (X, Y) представляет прямой круговой цилиндр, центр основания которого совпадает с началом координат (рис. 6.10а), а высота равна h. Определить радиус цилиндра Теория вероятностей найти Теория вероятностейТеория вероятностей Теория вероятностей Теория вероятностейТеория вероятностейТеория вероятностей

Теория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

Радиус цилиндра Теория вероятностей определяется из условия: объем цилиндра равен единице, откуда Теория вероятностей
Плотность распределения Теория вероятностей имеет вид 

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Аналогично 

Теория вероятностей

График функции Теория вероятностей показан на рис. 6.106. При Теория вероятностей

Теория вероятностей

Аналогично при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Математические ожидания равны нулю: 

Теория вероятностей

так как функция Теория вероятностей четна как по х, так и по у, 

Теория вероятностей

Пример 6.11. Система случайных величин Теория вероятностей распределена по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением Теория вероятностей 

Теория вероятностей

а) Заменить приближенно этот закон распределения законом постоянной плотности в круге; радиус круга Теория вероятностей подобрать так, чтобы сохранились неизменными дисперсии величин X и Y. 

б) Заменить приближенно этот закон распределения законом с поверхностью, изображаемой прямым круговым конусом с центром основания в начале координат; радиус Теория вероятностей основа- 
основания также подобрать из условия равенства дисперсий. 

Решение:

 а) Сравнивая с задачей 6.10, из соотношения  Теория вероятностейнаходим Теория вероятностей

б) Сравнивая с задачей 6.7, из соотношения Теория вероятностей

находим Теория вероятностей

Пример 6.12. Случайная точка (X, Y) распределена с постоянной плотностью внутри квадрата R, заштрихованного на рис. 6.12а. Написать выражение плотности распределения f (x, у). Найти выражения плотностей распределения Теория вероятностей отдельных величин X, Y, входящих 
в систему. Написать выражения условных плотностей Теория вероятностей и Теория вероятностей
Зависимы или независимы случайные величины X, У? Коррелированы они или нет? 

Теория вероятностей

Решение:

Площадь квадрата равна 2, поэтому 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

 

или, короче, 

Теория вероятностей

График закона Теория вероятностейпоказан на рис. 6.126 (закон Симпсона). 
Аналогично, 

Теория вероятностей

Далее, при Теория вероятностей

Теория вероятностей

График плотности Теория вероятностей показан на рис. 6.12в. Аналогично, при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Случайные величины X, Y зависимы, но не коррелированы. 

Теория вероятностей

 

Пример 6.14. Независимые случайные величины X, Y распределены по нормальным законам с параметрами 

Теория вероятностей

Вычислить вероятности следующих событий: 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

в) Искомая вероятность равна интегралу 

Теория вероятностей

взятому по области D, где у < х — 5. Область D заштрихована на рис. 6.14; она лежит правее и ниже прямой у = х— 5. Эта прямая проходит через точку с координатами 
Теория вероятностей (центр рассеивания). В силу симметричности нормального закона вероятность попадания случайной точки по одну сторону от прямой, проходящей через центр рассеивания,  равна вероятности попадания по другую сторону от этой прямой, 
поэтому Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 6.15. Система случайных величин (X, Y) имеет распределение с плотностью f (x, у). Выразить через плотность распределения вероятности событий: Теория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

На рис. 6.15, а, б, в, г заштрихованы области Теория вероятностей попадания в которые соответствуют событиям а), б), в), г). Вероятности попадания в них: 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 6.16. Система двух случайных величин X, У распределена по нормальному закону с параметрами Теория вероятностей Теория вероятностей Теория вероятностейОпределить вероятности следующих 
событий: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

На рис. 6.16, а, б, в показаны области, соответствующие событиям а), б) и в). При круговом рассеивании вероятности событий будут: а) 0,25; б) 0,5; в) 0,75. 

Пример 6.17. Случайная величина X имеет плотность распределения f (x); случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью 

Теория вероятностей

Найти функцию распределения F(x, у) системы (X, У). 

Теория вероятностей

Решение:

Исходим из того, что значение случайной величины Y полностью определяется значением случайной величины X. Случайная точка (X, Y) может находиться только на кривой Теория вероятностей. Вероятность попадания ее в квадрант с вершиной в точке (х,у) равна вероятности попадания случайной точки X на проекцию на ось Ох участка кривой Теория вероятностей, попадающей в квадрант (рис. 6.17). Пользуясь этой интерпретацией, имеем 

Теория вероятностей

Пример 6.18. Случайная точка (X, Y) распределена по нормальному закону на плоскости: 

Теория вероятностей

Найти вероятность р попадания точки (X, Y) в квадрат R (заштрихованный на рис. 6.18), сторона которого равна двум. 

Теория вероятностей

Решение:

Так как рассеивание круговое Теория вероятностей то координаты точки (X, Y) остаются независимыми при любом повороте координатных осей, и поэтому при повороте на 45° получаем 

Теория вероятностей 

Пример 6.19. Случайная точка (X, Y) распределена по нормальному закону на плоскости с параметрами

 Теория вероятностей

Найти вероятность того, что случайная точка попадет внутрь области D, ограниченной эллипсом 

Теория вероятностей

Решение:

Область D ограничена эллипсом Теория вероятностей с полуосями Теория вероятностей вероятность попадания в эту область Теория вероятностей

Пример 6.20. Производится стрельба по точечной (малоразмерной) цели снарядом, зона разрушительного действия которого представляет собой круг радиуса Теория вероятностей Рассеивание точки 
попадания снаряда круговое, с параметрами Теория вероятностей Теория вероятностей (центр рассеивания совпадает с целью). Сколько выстрелов нужно произвести для того, чтобы разрушить 
цель с вероятностью Р = 0,9? 

 Решение:

Вероятность разрушения цели при одном выстреле Теория вероятностей

Потребное число выстрелов Теория вероятностей

Пример 6.22. Производится стрельба одним снарядом по точечной (малоразмерной) воздушной цели. Рассеивание точки разрыва снаряда происходит по нормальному закону; центр рассеивания совпадает с целью; средние квадратические отклонения Теория вероятностей Цель поражается, если расстояние между нею и точкой разрыва снаряда не превышает Теория вероятностей Найти 
вероятность р того, что при одном выстреле цель будет поражена. 

Решение:

По формуле для вероятности попадания в эллипсоид равной плотности имеем 

Теория вероятностей

Пример 6.23. Система трех случайных величин (X, Y, Z) распределена равномерно внутри шара S радиуса Теория вероятностей Написать выражение плотности распределения системы f (x, у, z), 
плотностей распределения Теория вероятностей отдельных величин, входящих в систему, а также условной плотности распределения Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Постоянную с находим из условия, что объем шара S, умноженный на с, равен единице: 

Теория вероятностейоткуда Теория вероятностей

Теория вероятностей

Плотность Теория вероятностей определяется выражением 

Теория вероятностей

При Теория вероятностейочевидно, Теория вероятностей При Теория вероятностей имеем 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей есть круг радиуса Теория вероятностей (рис. 6.23, а и б). 
Следовательно, 

Теория вероятностей

Таким образом, 

Теория вероятностей

Кривая распределения представлена на рис. 6.23, е. Числовые характеристики этого закона следующие: Теория вероятностейТеория вероятностейПлотности распределения Теория вероятностейимеют вид 

Теория вероятностей

Плотность распределения подсистемы (Y, Z

Теория вероятностей

Отсюда при Теория вероятностей находим условную плотность распределения 

Теория вероятностей

Пример 6.25. Из урны, в которой а белых, b черных и с  красных шаров, вынимается один шар. Случайные величины X, Y, Z определяются следующими условиями: 

Теория вероятностей

Построить корреляционную матрицу и нормированную корреляционную матрицу системы случайных величин (X, Y, Z). 

Решение:

Корреляционные моменты определим из таблицы вероятностей отдельных значений X, У и Z. 
Обозначим 

Теория вероятностей

Имеем 

Теория вероятностей

Аналогично 

Теория вероятностей

Далее находим дисперсии 

Теория вероятностей

аналогично 

Теория вероятностей

Отсюда находим коэффициенты корреляции 

Теория вероятностей

Аналогично 

Теория вероятностей

Пример 6.26. Имеется система случайных величин X и Y. Случайная величина X распределена по показательному закону с параметром Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Случайная величина Y при заданном значении Теория вероятностей распределена также по показательному закону, но с параметром х

Теория вероятностей

 

Написать плотность распределения Теория вероятностейсистемы (X, Y) и найти плотность распределения Теория вероятностей случайной величины Y; найти условную плотность Теория вероятностей 

Решение:

Теория вероятностей

Далее, при у > О 

Теория вероятностей

Пример 6.28. Случайная величина Х—дискретная величина с двумя значениями Теория вероятностей и Теория вероятностей имеющими вероятности Теория вероятностей и Теория вероятностей 

Случайная величина У—непрерывная величина; ее условным распределением при Теория вероятностей служит нормальный закон с математическим ожиданием, равным Теория вероятностей и средним квадратическим отклонением, равным Теория вероятностей 

Найти функцию распределения F(x, у) системы случайных величин (X, Y). Найти плотность распределения Теория вероятностей случайной величины у

Решение:

Теория вероятностей 
Пусть Теория вероятностей тогда Теория вероятностей и Теория вероятностей пусть Теория вероятностей тогда Теория вероятностей и Теория вероятностей Теория вероятностей При Теория вероятностей по 
формуле полной вероятности имеем 

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Далее, полагая Теория вероятностей и дифференцируя по у, получаем 

Теория вероятностей

Пример 6.29*. Звезды на небесной сфере рассматриваются как пуассоновское поле точек. Число звезд, попадающее в объектив телескопа, является случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром Теория вероятностей где Теория вероятностей — площадь участка, вырезаемого на поверхности сферы полем зрения телескопа (в радианах) (рис. 6.29, а). Поле зрения телескопа имеет координатную сетку (рис. 6.29, б) (отсчет ведется в радианах). Показать, что при любом положении телескопа 
координаты {X, Y) ближайшей к перекрестию звезды распределены по нормальному закону с параметрами 

Теория вероятностей

Решение:

В задаче 5.31 было показано, что расстояние R от центра перекрестия до ближайшей к нему точки 

Теория вероятностей

пуассоновского поля подчиняется закону Релея. Но Теория вероятностей следовательно, вероятность попадания точки (X, Y) в круг Теория вероятностей может быть записана в двух формах: 

Теория вероятностей

где f (x,y) — плотность распределения системы (X, Y). В силу симметрии надо считать, что  f (x,y) зависит только от расстояния: Теория вероятностей где Теория вероятностей Переходя к полярным координатам Теория вероятностей получаем 

Теория вероятностей

Сравнивая выражения (1) и (2), находим: Теория вероятностей и значит, Теория вероятностей что и требовалось доказать. 

Числовые характеристики функций случайных величин 

Если X—дискретная случайная величина с рядом распределения 

Теория вероятностей

а величина Y связана с Х функциональной зависимостью Теория вероятностей то математическое ожидание величины Y равно 

Теория вероятностей

а дисперсия выражается любой из двух формул 

Теория вероятностей

Если (X, Y)—система дискретных случайных величин, распределение которой характеризуется вероятностями 

Теория вероятностей

Теория вероятностей то математическое ожидание величины Z равно 

Теория вероятностей

а дисперсия выражается любой из двух формул 

Теория вероятностей

Если X—непрерывная случайная величина с плотностью распределения Теория вероятностей а Теория вероятностей то математическое ожидание величины Y равно 

Теория вероятностей

а дисперсия выражается любой из двух формул 

Теория вероятностей

Если (X, К) — система непрерывных случайных величин с плотностью f (х, у), a Теория вероятностей то математическое ожидание величины Z равно 

Теория вероятностей

а дисперсия выражается любой из двух формул 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей—система п непрерывных случайных величин с плотностью Теория вероятностейТеория вероятностей то математическое ожидание величины У равно 

Теория вероятностей

а дисперсия выражается любой из двух формул 

Теория вероятностей

Если с—не случайная величина, то 

Теория вероятностей

Если с —не случайная величина, а X—случайная, то 

Теория вероятностей

Теорема сложения математических ожиданий:

Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: 

Теория вероятностей

и вообще 

Теория вероятностей

Математическое ожидание линейной функции нескольких случайных величин 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей и б — не случайные коэффициенты, равно той же линейной функции от их математических ожиданий: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Короче это правило можно записать так; 

Теория вероятностей

где L — линейная функция. 

Математическое ожидание произведения двух случайных величин X, Y выражается формулой 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—корреляционный момент величин X, Y. Эту формулу в другом виде можно записать так: 

Теория вероятностей

или, имея в виду, что Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теорема умножения математических ожиданий:

Математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин X, Y равно произведению их математических ожиданий 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей—независимые случайные величины, то математическое ожидание их произведения равно произведению математических ожиданий 

Теория вероятностей

Дисперсия суммы двух случайных величии выражается формулой 

Теория вероятностей

Дисперсия суммы нескольких случайных величин выражается формулой 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — корреляционный момент случайных величин Теория вероятностей

Теорема сложения дисперсий:
Дисперсия суммы двух некоррелированных случайных величин X, Y равна сумме их дисперсий 

Теория вероятностей

и вообще, для некоррелированных случайных величин Теория вероятностей

Теория вероятностей

Дисперсия линейной функции нескольких случайных величин

Теория вероятностей

где Теория вероятностей —не случайные величины, выражается формулой 

Теория вероятностей

В случае, когда величины Теория вероятностей не коррелированы, 

Теория вероятностей

то

Теория вероятностей

Функция Теория вероятностей нескольких случайных аргументов Теория вероятностей называется «почти линейной», если во всем диапазоне практически возможных значений аргументов она может быть с достаточной для практики точностью линеаризована (приближенно заменена линейной). Это означает, что 

Теория вероятностей

где  Теория вероятностей частная производная функции Теория вероятностей по аргументу Теория вероятностей в которую вместо каждого аргумента подставлено его математическое ожидание.  

Математическое ожидание почти линейной функции Теория вероятностей приближенно вычисляется по формуле 

Теория вероятностей

Дисперсия почти линейной функции приближенно вычисляется по формуле 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—дисперсия случайной величины Теория вероятностей 

Теория вероятностейТеория вероятностейкорреляционный момент величин Теория вероятностей 
В случае, когда случайные аргументы Теория вероятностей не коррелированы, 

Теория вероятностей

Пример 7.1. Дискретная случайная величина X имеет ряд распределения 

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

 Теория вероятностей

Пример 7.2. Непрерывная случайная величина X распределена в интервале (0, 1) по закону с плотностью 

Теория вероятностей

(рис. 7.2). Найти математическое ожидание и дисперсию квадрата случайной величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.3. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону: 

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.4. Непрерывная случайная величина X распределена по показательному закону: 

Теория вероятностей

Установить, при каких условиях существуют и чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины У=ех

Решение:

 Теория вероятностей

при Теория вероятностей т. е. при Теория вероятностей этот интеграл существует и равен Теория вероятностей при Теория вероятностей он расходится. 

Теория вероятностей

При Теория вероятностей этот интеграл существует и равен Теория вероятностейТеория вероятностей, а дисперсия равна Теория вероятностей при Теория вероятностей интеграл расходится, и дисперсии Теория вероятностей не существует. 

Пример 7.5. Непрерывная случайная величина X распределена по закону: 

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.6. Случайная величина X распределена по тому же закону, что и в предыдущей задаче. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.7. Случайная величина Х распределена с постоянной плотностью в интервале (1; 2): 

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение: 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.8. Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутри круга К радиуса Теория вероятностей (рис. 7.8). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 7.9. Случайная точка (X, Y) распределена равномерно внутри квадрата R (рис. 7.9). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z = XY

Теория вероятностей

Решение:

Так как случайные величины X, Y независимы, то Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.10. Имеются две случайные величины X и Y, связанные соотношением К=2—ЗХ. Числовые характеристики величины X заданы: Теория вероятностей

Определить: а) математическое ожидание и дисперсию величины Теория вероятностей б) корреляционный момент и коэффициент корреляции величин X, Y

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

но Теория вероятностейотсюда 

Теория вероятностей

что и естественно, так как X и Y связаны линейной функциональной зависимостью. 

Пример 7.14. Имеются две независимые случайные величины X и Y. Величина К распределена по нормальному закону:  Теория вероятностей

Величина Y распределена равномерно в интервале (0; 2). 
Определить: Теория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 7.15. Случайная величина X распределена равномерно 
в интервале (0, а). Определить: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

отсюда 

Теория вероятностей

Пример 7.16. Случайная величина X подчинена нормальному закону: 

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание случайной величины 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Так как Теория вероятностей

Пример 7.17. Независимые случайные величины X и К распределены по законам Теория вероятностей графики плотностей которых представлены на рис. 7.17, а, б. 

Теория вероятностей

Определить: Теория вероятностей

Теория вероятностей.

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.18. Ответить на вопросы а), б), в) предыдущей задачи, если величины X, Y зависимы и их коэффициент корреляции равен Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 7.19. По сторонам прямого угла хОу концами скользит линейка Ли длины Теория вероятностей, занимая случайное положение (рис. 7.19), причем все значения абсциссы X ее конца А на оси Ох в пределах от 0 до Теория вероятностей одинаково вероятны. 

Найти математическое ожидание расстояния R от начала координат до линейки. 

Решение:

Случайная величина X распределена равномерно в интервале Теория вероятностей

Теория вероятностей

Случайная величина R выражается через X формулой (см. рис. 7.19) 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Ее математическое ожидание равно 

Теория вероятностей

Пример 7.20. Случайные величины V, U связаны линейно со случайными величинами X, Y

Теория вероятностей

Известны числовые характеристики системы случайных величин (X, Y): Теория вероятностей Требуется найти числовые характеристики системы случайных величин (V, U): Теория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Далее 

Теория вероятностей

Пример 7.21. Производится стрельба независимыми выстрелами по некоторой цели; вероятность попадания в цель для каждого выстрела равна р. Запас снарядов неограничен; стрельба 
ведется до k-ro попадания, после чего прекращается. Найти математическое ожидание числа израсходованных снарядов. 

Решение:

Обозначим X—число израсходованных снарядов. Имеем Теория вероятностей

где Теория вероятностей — число выстрелов до первого попадания (включая первое); 
Теория вероятностей — число выстрелов от первого до второго попадания (включая второе); 

Теория вероятностей
Теория вероятностей — число выстрелов от Теория вероятностей до k-го попадания (включая k-e). 

По теореме сложения математических ожиданий 

Теория вероятностей

Так как выстрелы независимы и вероятность р одинакова для всех выстрелов, можно вычислять Теория вероятностей как математическое ожидание числа выстрелов до первого попадания 
(см. задачу 5.15): Теория вероятностейоткуда

Теория вероятностей

Пример 7.22. Тело взвешивается на аналитических весах. Истинное (неизвестное нам) значение веса тела равно а. Вследствие наличия ошибок результат каждого взвешивания случаен 
и распределяется по нормальному закону с параметрами Теория вероятностей 

Для уменьшения ошибок взвешивания пользуются следующим приемом: взвешивают тело п раз и в качестве приближенного значения веса берут среднее арифметическое 
результатов п взвешиваний 

Теория вероятностей

а) Найти характеристики случайной величины Теория вероятностей — математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. 
б) Сколько нужно сделать взвешиваний для того, чтобы уменьшить в десять раз среднюю квадратическую ошибку веса? 

Решение:

Теория вероятностей

Так как все взвешивания производятся в одинаковых условиях, то Теория вероятностей при любом Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Считая ошибки отдельных взвешиваний независимыми, находим дисперсию Теория вероятностей 

Теория вероятностей

б) Число взвешиваний п находим из условия 

Теория вероятностей

Пример 7.23.* По некоторой цели производится п независимых выстрелов; вероятности попадания в цель для этих выстрелов равны Теория вероятностей Для упрощения вычислений эти вероятности осредняют, заменяя одной постоянной 

Теория вероятностей

По этой средней вероятности приближенно определяются математическое ожидание Теория вероятностей и среднее квадратическое отклонение Теория вероятностей числа попаданий К. Будут ли эти характеристики 
вычислены верно? Если нет, то в какую сторону будет ошибка? 

Решение:

Математическое ожидание будет вычислено верно: 

Теория вероятностей

Что касается среднего квадратического отклонения Теория вероятностей то оно будет завышено: Теория вероятностей Для доказательства сравним приближенное выражение дисперсии 

Теория вероятностей

с ее точным значением 

Теория вероятностей

Преобразуем двумя способами сумму 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

что и требовалось доказать. Заметим, что знак равенства в Теория вероятностей достигается только при Теория вероятностей

Пример 7.24. Светящаяся точка, изображающая наблюдаемый объект на круглом экране радиолокатора, может случайным образом занимать любое положение на экране (плотность 
вероятности постоянна). Диаметр экрана равен Теория вероятностей Найти математическое ожидание расстояния R от светящейся точки до центра экрана. 

Решение:

Теория вероятностей где (X, Y) — система случайных величин, распределенная равномерно в круге Теория вероятностей диаметра D

Теория вероятностей

или, переходя к полярной системе координат Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.25. Две точки X и Y, независимо друг от друга, занимают случайное положение на отрезке (0; 1) оси абсцисс (рис. 7.25а), причем плотность вероятности на этом отрезке постоянна для 
обеих случайных величин. Найти математическое ожидание расстояния R между этими точками и квадрата расстояния между этими точками. 

Теория вероятностей Теория вероятностей

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

Изобразим систему (X, Y) как случайную точку на плоскости хОу (рис. 7.256), распределенную с постоянной плотностью f (x,y) = 1 в квадрате со стороной 1. В области Теория вероятностейВ области Теория вероятностейТеория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.26. На оси абсцисс имеются два соседних отрезка (рис. 7.26) длиной по единице; в пределы одного из них случайным образом попадает точка X; в пределы другого—- точка Y, причем координаты точек X и Y независимы. Плотность распределения каждой из случайных величин X, Y в пределах соответствующего отрезка постоянна. Найти математическое ожидание, дисперсию и второй начальный момент расстояния R между ними. 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 7.27. Имеется квадрат К со стороной, равной 1 (рис. 7.27). На смежные стороны квадрата случайным образом и независимо друг от друга падают точки X и Y; каждая из них 
имеет в пределах соответствующей стороны равномерное распределение. Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними. 

Решение:

Теория вероятностей

Пример 7.28. Условия предыдущей задачи изменены так, что точки X, Y падают не на смежные, а на противоположные стороны квадрата (рис. 7.28). Найти математическое ожидание квадрата расстояния между точками X и Y

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.29. Условия предыдущих задач (7.27 и 7.28) изменены так, что точки X и Y случайным образом и независимо друг от друга занимают с постоянной плотностью любое положение на периметре квадрата К. Найти математическое ожидание квадрата расстояния между ними. 

Решение:

Выберем три гипотезы: 
Теория вероятностей — точки X, Y легли на одну и ту же сторону квадрата; 
Теория вероятностей—точки X, Y легли на смежные стороны квадрата; 
Теория вероятностей— точки X, Y легли на противоположные стороны квадрата. 

Математическое ожидание величины Теория вероятностей найдем по формуле полной вероятности: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—условные математические ожидания величины Теория вероятностей при соответствующих гипотезах. 
Из ранее решенных задач 7.25, 7.27, 7.28 имеем 

Теория вероятностей

Находим вероятности гипотез: 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

Пример 7.30.* Задача Бюффона. Игла длины Теория вероятностей бросается на плоскость, разграфленную параллельными прямыми, разделенными расстояниями Теория вероятностей (рис. 7.30а). Все положения центра иглы и все ее направления одинаково вероятны. 

Теория вероятностей

Найти вероятность р того, что игла пересечет какую-нибудь из линий. 

Решение:

Положение и ориентация иглы определяются двумя случайными величинами: X и Теория вероятностей, где X—расстояние от центра иглы до ближайшей к нему линии и Теория вероятностей—угол, образованный иглой с направлением перпендикуляра к параллельным линиям (рис. 7.306). Эти случайные величины распределены равномерно: 

—на участке от 0 до  Теория вероятностей

Теория вероятностей- на участке от Теория вероятностей

Поэтому  Теория вероятностейпри Теория вероятностейи Теория вероятностей

Теория вероятностейпри Теория вероятностейили Теория вероятностей

Рассмотрим на плоскости хОу прямоугольник возможных значений величин X и в (рис. 7.30в). Пересечение иглы с линией происходит, если выполняется условие 

Теория вероятностей

т. е. если случайная точка X, Теория вероятностей попадает в область D, заштрихованную на рис. 7.30в; отсюда 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей —площадь области D

Теория вероятностей

откуда Теория вероятностей

Пример 7.31. В условия предыдущей задачи внесено изменение, состоящее в том, что ограничение Теория вероятностей снимается. Найти математическое ожидание числа пересечений иглы с параллельными линиями, которыми разграфлена плоскость. 

Решение:

Разделим иглу на п элементарных участков 

Теория вероятностей

Рассмотрим случайную величину Y—число пересечений иглы с линиями; она равна сумме п случайных величин: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—число пересечений с линиями для Теория вероятностей участка иглы. Так как Теория вероятностей то случайная величина Теория вероятностей- может иметь только два значения: 1 и 0 с вероятностями Теория вероятностей и Теория вероятностей 
Математическое ожидание этой величины равно 

Теория вероятностей

По теореме сложения математических ожиданий 

Теория вероятностей

Пример 7.32. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми, фигурирующую в предшествующих задачах, бросается случайным образом любой контур (выпуклый или невыпуклый, замкнутый или незамкнутый) длины Теория вероятностей Определить математическое ожидание числа пересечений этого контура с прямыми. 

Решение:

Как и в предыдущей задаче, 

Теория вероятностей

Чтобы доказать это, нужно разделить контур на п элементарных, практически прямолинейных участков длины Теория вероятностей для каждого из них математическое ожидание числа пересечений 
будет Теория вероятностейа для всего контура Теория вероятностей

Пример 7.33. На плоскость, разграфленную параллельными прямыми на расстоянии L, бросается случайным образом выпуклый замкнутый контур длины Теория вероятностей наибольший размер которого а не превосходит (рис. 7.33). 

Теория вероятностей

Найти вероятность того, что он пересечется с какой-либо из прямых. 

Решение:

Обозначим р — искомую вероятность, Y—число точек пересечения контура с прямыми. Так как контур выпуклый и замкнутый, а его наибольший размер меньше L, то контур может иметь либо две точки пересечения с прямыми, либо ни одной. Ряд распределения случайной величины имеет вид 

Теория вероятностей

На основании задачи 7.32 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Пример 7.34. Плоскость разграфлена на прямоугольники со сторонами L и М (рис. 7.34). На плоскость случайным образом бросается игла длины Теория вероятностей Найти вероятность того, что игла пересечется хотя бы с одной из линий. 

Решение:

Рассмотрим прямые, ограничивающие прямоугольники, как две системы линий — горизонтальных и вертикальных. 

Рассмотрим события: 
А — игла пересечется с одной из вертикальных прямых; 
В—игла пересечется с одной из горизонтальных прямых. 

Так как положение иглы относительно вертикальных прямых никак не влияет на ее положение относительно горизонтальных, события А и В независимы; поэтому искомая вероятность 

Теория вероятностей

На оснований задачи 7.30 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 7.35. Игла длины Теория вероятностей случайным образом бросается на плоскость, так что все значения угла в (рис. 7.35), составленного иглой с фиксированной осью /—/, одинаково вероятны. 

Теория вероятностей Теория вероятностей

Найти математическое ожидание длины X проекции иглы на ось /—/. 

Решение:

Имеем Теория вероятностей Угол Теория вероятностей распределен равномерно; поскольку речь идет о длине проекции, можно задать этот угол в интервале от 0 до Теория вероятностей:

Теория вероятностей

Пример 7.36. Прямоугольник с размерами Теория вероятностей случайным образом бросается на плоскость (рис. 7.36); все значения угла Теория вероятностей равновероятны. Найти математическое ожидание 
длины X его проекции на ось /—/. 

Решение:

Представим X как сумму 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— проекция отрезка Теория вероятностей
Теория вероятностей — проекция отрезка Теория вероятностей 
Искомое математическое ожидание равно 

Теория вероятностей

т. е. равно периметру прямоугольника, деленному на Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.37. Выпуклый замкнутый контур длины Теория вероятностей бросается случайным образом на плоскость, причем все его ориентации одинаково вероятны (рис. 7.37). Найти математическое 
ожидание длины X его проекции на ось. 

Решение:

Так как контур выпуклый, то каждый элемент проекции Теория вероятностей: получается проектированием двух и только двух противолежащих элементов контура: Теория вероятностей и Теория вероятностей 
(рис. 7.37); значит средняя длина проекции контура вдвое меньше, чем сумма средних длин проекций элементарных отрезков Теория вероятностей на которые можно разбить контур: 

Теория вероятностей

Пример 7.38. Имеется случайная величина X с плотностью распределения f{x). Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Запись Теория вероятностей означает, что 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.39. Найти математическое ожидание и дисперсию модуля случайной величины X, распределенной по нормальному закону с параметрами Теория вероятностей

Решение:

Из предыдущей задачи 

Теория вероятностей

Делая замену переменных Теория вероятностей получим 

Теория вероятностей

В частности, при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.40*. Независимые случайные величины X и Y имеют плотности распределения Теория вероятностей и 
Теория вероятностей Найти математическое ожидание и дисперсию модуля их разности Теория вероятностей

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

Прямая у = х делит плоскость хОу Рис. 7.40. на две области (/) и (//) (рис. 7.40). 

Теория вероятностей

В области Теория вероятностей В области (//) Теория вероятностей Отсюда 

Теория вероятностей

Введем в рассмотрение функции распределения 

Теория вероятностей

Тогда 

Теория вероятностей

Объединяя первый интеграл с четвертым, а второй с третьим, получим 

Теория вероятностей

Так как X, Y независимы, то 

Теория вероятностей

Отсюда находим 

Теория вероятностей

Пример 7.41. Независимые случайные величины X и Y имеют плотности распределения Теория вероятностей и Теория вероятностей Найти математическое ожидание и дисперсию минимальной из этих двух величин 

Теория вероятностей

т. е. случайной величины Z, определяемой следующим образом: 

Теория вероятностей

Решение:

Прямая Теория вероятностей делит плоскость хОу на две области (см. рис. 7.40): (I), где Теория вероятностей, и (II), где Теория вероятностей (случай Теория вероятностей не рассматриваем, как имеющий нулевую вероятность). 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — функции распределения случайных величин X и Y. 

Теория вероятностей

Пример 7.42. Случайное напряжение U распределено по нормальному закону с параметрами Теория вероятностей и Теория вероятностей. Напряжение U поступает на ограничитель, который оставляет его равным U
если Теория вероятностей делает равным Теория вероятностей если Теория вероятностей

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z. 

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Заметим, что при Теория вероятностей будет 

Теория вероятностей

Пример 7.43. Случайная величина X распределена по нормальному закону. 

Теория вероятностей

Независимая от нее случайная величина Y распределена равномерно в интервале (0,2). Найти: 

Теория вероятностейТеория вероятностей   Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.44. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами Теория вероятностейслучайная величина Теория вероятностей—равномерно в интервале (0, 3); случайная величина Z — равномерно в интервале ( — 3, 0). Нормированная корреляционная матрица случайных величин X, Y, Z имеет вид 

Теория вероятностей

Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.45. Система случайных величин (X, У) распределена равномерно в прямоугольнике R (рис. 7.45).

Теория вероятностей

Определить: 

Теория вероятностей

Решение: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

так как Теория вероятностей

Пример 7.46. При работе прибора возникают случайные неисправности; среднее число неисправностей, возникающих за единицу времени работы прибора, равно Теория вероятностей число  
неисправностей за время Теория вероятностей работы прибора — случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром Теория вероятностей Для ликвидации возникшей неисправности (ремонта) 
требуется случайное время Теория вероятностей это время распределено по показательному закону: 

Теория вероятностей

Времена ликвидации неисправностей независимы. 

Найти: а) среднюю долю времени, которую прибор будет исправно работать и среднюю долю времени, которую он будет находиться в ремонте; б) средний интервал времени 
между двумя последовательными неисправностями. 

Решение:

а) Среднее время исправной работы прибора (математическое ожидание времени, которое проработает прибор после пуска до остановки для ремонта) 

Теория вероятностей

Среднее время ремонта 

Теория вероятностей

Средняя доля времени Теория вероятностей которую прибор будет исправно работать: 

Теория вероятностей

Аналогично средняя доля времени Теория вероятностей которую прибор будет находиться в ремонте: 

Теория вероятностей

б) Средний интервал времени Теория вероятностей между двумя последовательными неисправностями 

Теория вероятностей

Пример 7.47. В пределы прямоугольника R со сторонами а и (рис 7.47) случайным образом бросается точка (X, Y), все положения которой в прямоугольнике R равновероятны. 
Строится прямоугольник Теория вероятностейc вершиной в точке (X, Y). Найти математическое ожидание и дисперсию площади Теория вероятностей этого прямоугольника. 

Теория вероятностей

Решение:

Выберем за начало координат левый нижний угол прямоугольника, а за оси координат — его нижнюю и левую стороны; тогда случайные величины X, Y независимы, 

и Теория вероятностей Поэтому 

Теория вероятностей

Пример 7.48. Случайная точка (X, Y) распределена на плоскости по нормальному закону с круговым рассеиванием: 

Теория вероятностей

Случайная величина R—расстояние от точки (X, Y) до центра рассеивания. Найти математическое ожидание и дисперсию величины R. 

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Переходим к полярной системе координат Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.49. Событие А состоит в выпадении ровно двух гербов при бросании трех монет. Опыт, состоящий в бросании трех монет, повторяется п раз. Найти математическое ожидание 
и дисперсию следующих случайных величин: 
X—число появлений события А при п опытах; 
Теория вероятностей—частота события А при п опытах. 

Решение:

Вероятность события А в одном опыте: 

Теория вероятностей

Пример 7.50. Из урны, в которой находятся два белых шара и три черных, вынимается сразу два шара. Найти м.о. и дисперсию числа появившихся при этом белых шаров а) непосредственно; б) пользуясь теоремами о математических ожиданиях и дисперсиях. 

Решение:

а) Обозначим X—число появившихся белых шаров. Ряд распределения величины X будет 

Теория вероятностей

Математическое ожидание величины X: 

Теория вероятностей

Дисперсия величины X

Теория вероятностей

б) Разделим мысленно опыт на два вынимания шара: первое и второе. Обозначим 
X —число белых шаров при двух выниманиях; 
Теория вероятностей — число белых шаров при первом вынимании; 
Теория вероятностей—число белых шаров при втором вынимании; 

Теория вероятностей

Находим Теория вероятностей через начальный момент Теория вероятностейТеория вероятностей

Построим таблицу распределения вероятностей для системы величин Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.51. В урне а белых и Теория вероятностей черных шаров. Из урны вынимают сразу k шаров Теория вероятностей Найти математическое ожидание и дисперсию числа вынутых белых шаров. 

Решение:

Обозначим X число вынутых белых шаров; 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — число белых шаров, появившихся при Теория вероятностей вынимании

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Для нахождения дисперсии Теория вероятностей подсчитаем Теория вероятностейи Теория вероятностей

Теория вероятностей

Находим Теория вероятностей Для этого, как и в предыдущей задаче, строим таблицу распределения вероятностей для пары случайных величин Теория вероятностей

Теория вероятностей

Имеем 

Теория вероятностей

и

Теория вероятностей

Далее находим дисперсию случайной величины

Теория вероятностей

Так как дисперсии Теория вероятностей и корреляционные моменты Теория вероятностей все одинаковы, то 

Теория вероятностей

В частном случае, когда вынимаются все шары Теория вероятностей мы получаем естественный результат: 

Теория вероятностей

Пример 7.52. Через произвольную точку А на окружности радиуса Теория вероятностей случайным образом проводится хорда АВ (рис. 7.52), так что все ее направления одинаково вероятны. Найти среднее значение длины хорды. 

Решение:

Выразим длину хорды У в зависимости от угла Ф, который составляет хорда с направлением радиуса в точке А. Из рис. 7.52 имеем 

Теория вероятностей

где Ф — случайная величина, которую мы будем считать распределенной равномерно в интервале Теория вероятностей
 Тогда 

Теория вероятностей

Пример 7.53.* Через произвольную точку А внутри круга радиуса Теория вероятностей проводится хорда ВС (рис. 7.53).

Теория вероятностей

Все положения точки А в пределах круга одинаково вероятны. Все направления хорды ВС, характеризуемые углом Ф между нею и радиусом, направленным в точку А, также одинаково 
вероятны. Найти среднюю длину хорды ВС

Решение:

Длину хорды D выразим через координаты точки А (X, Y) и угол Ф

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — перпендикуляр, опущенный из центра круга на хорду ВС. Так как точка (X, Y) равномерно распределена в круге К радиуса Теория вероятностей, а угол Ф можно считать 
равномерно распределенным в интервале Теория вероятностей причем точка (X, Y) и угол Ф независимы, то плотность распределения системы (X, Y, Ф) есть 

Теория вероятностей

Поэтому 

Теория вероятностей

Переходим к полярным координатам Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.54.* Найти среднее значение длины хорды ВС(рис. 7.54), проведенной через точку А внутри круга, находящуюся на расстоянии L от центра круга радиуса r, причем все направления этой хорды одинаково вероятны. 

Теория вероятностей

Решение:

Хорда ВС выражается следующим образом через величины L, Ф, 

Теория вероятностей

Если длину хорды ВС считать случайной величиной X, то 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Полученный интеграл представляет собой полный эллиптический интеграл Теория вероятностейс модулем k; его значения можно найти в справочниках. Например, при Теория вероятностейинтеграл 

Теория вероятностей

Так как полный эллиптический интеграл Теория вероятностей изменяется от Теория вероятностей (приТеория вероятностей) до 1 (при k=1), то средняя длина хорды Теория вероятностей будет принимать значения от Теория вероятностей (при Теория вероятностей, т. е. 
для точки А в центре круга) до Теория вероятностей (при Теория вероятностей т. е. для точек А на окружности). 

Пример 7.55.* Техническое устройство состоит из п узлов. Каждый узел может выходить из строя независимо от других. Время исправной работы Теория вероятностей узла распределено по показательному закону с параметром  Теория вероятностей

Теория вероятностей

Каждый узел, оказавшийся неисправным, немедленно заменяется новым и поступает в ремонт. Ремонт i-го узла продолжается случайное время, распределенное по показательному закону с параметром Теория вероятностей

Теория вероятностей

Устройство работает в течение времени Теория вероятностей Определить: а) математическое ожидание и дисперсию числа узлов, которые придется заменить; б) математическое ожидание суммарного времени Т, которое будет затрачено на ремонт вышедших из строя узлов. 

Решение:

а) Обозначим Теория вероятностей число узлов i-го типа, вышедших из строя за время Теория вероятностей Эта случайная величина распределена по закону Пуассона и имеет математическое ожидание Теория вероятностей и дисперсию Теория вероятностей

Обозначим X общее число узлов, вышедших из строя за время Теория вероятностей Имеем 

Теория вероятностей

Так как величины Теория вероятностей независимы, то 

Теория вероятностей

б) Обозначим Теория вероятностей общее время, затраченное на ремонт всех вышедших из строя за время т узлов  i-го типа. Оно представляет собой сумму времен, затраченных на ремонт 
каждого из узлов. Так как число этих узлов равно Теория вероятностей, то 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром Теория вероятностей величины Теория вероятностей независимы. 

Найдем математическое ожидание случайной величины Теория вероятностей
для этого сначала предположим, что случайная величина Теория вероятностей приняла определенное значение Теория вероятностей. При этом условии математическое ожидание величины Теория вероятностей будет 

Теория вероятностей

Умножив это условное математическое ожидание на вероятность Теория вероятностей того, что случайная величина Теория вероятностей приняла значение Теория вероятностей, и просуммировав все эти произведения, мы найдем 
полное (безусловное) математическое ожидание величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

Применяя далее теорему сложения математических ожиданий, получим 

Теория вероятностей

Заметим, что тот же результат можно получить путем следующих (не вполне строгих) рассуждений. Среднее число выходов из строя узла Теория вероятностей типа за время Теория вероятностей равно Теория вероятностей  
среднее время ремонта одного такого узла равно Теория вероятностей среднее время, которое будет затрачено на ремонт всех вышедших из строя за время Теория вероятностей узлов Теория вероятностей типа равно Теория вероятностей среднее время, которое будет затрачено на ремонт узлов всех типов, равно Теория вероятностей

Пример 7.56.* Условия задачи 7.55 изменены таким образом, что каждый вышедший из строя узел отправляется в ремонт, а техническое устройство на это время прекращает работу; 
при неработающем (выключенном) устройстве узлы выходить из строя не могут. Найти: а) математическое ожидание числа остановок устройства за время Теория вероятностей; б) математическое 
ожидание той части времени Теория вероятностей, в течение которой устройство будет простаивать (оно же среднее время, затраченное на ремонт). 

Решение:

а) Обозначим X—число остановок за время Теория вероятностейи найдем его математическое ожидание Теория вероятностей Задачу будем решать с помощью следующих не совсем строгих (но тем 
не менее верных) рассуждений. Рассмотрим неограниченный во времени процесс работы устройства в виде последовательности «циклов» (рис. 7.56), каждый из которых состоит из 
периода работы системы (отмечен жирно) и периода ремонта. 
Длительность каждого цикла представляет собой сумму двух случайных величин: Теория вероятностей (времени работы устройства) и Теория вероятностей (времени ремонта). Средняя длительность времени работы  

Теория вероятностей

устройства Теория вероятностей вычисляется как среднее время между двумя последовательными отказами в потоке отказов плотности Теория вероятностей эт0 среднее время равно Теория вероятностей

Находим среднее время ремонта Теория вероятностей Будем его искать по формуле полного математического ожидания при гипотезах Теория вероятностей — ремонтируется узел Теория вероятностей типа Теория вероятностей

Вероятность каждой гипотезы пропорциональна параметру Теория вероятностей

Теория вероятностей

Условное математическое ожидание времени ремонта при этой гипотезе равно Теория вероятностей отсюда 

Теория вероятностей

Среднее время цикла 

Теория вероятностей

 

Теперь представим себе последовательность остановок устройства как последовательность случайных точек на оси Ot, разделенных интервалами, в среднем равными Теория вероятностей  Сред- 
Среднее число остановок за время Теория вероятностей будет равно среднему числу таких точек на отрезке длиной Теория вероятностей

Теория вероятностей

б) За каждый цикл устройство будет простаивать (ремонтироваться) в среднем время Теория вероятностей  за Теория вероятностей циклов среднее время простоя будет равно 

Теория вероятностей

Пример 7.57. Случайная величина X распределена по нормальному закону с характеристиками Теория вероятностейи Теория вероятностей Случайные величины У и Z связаны с X зависимостями Теория вероятностей Найти 
корреляционные моменты Теория вероятностей и Теория вероятностей 

Решение:

Для упрощения вычислений перейдем к центрированным величинам и воспользуемся тем, что для центрированной нормальной величины Теория вероятностей все моменты нечетных порядков равны нулю, а Теория вероятностей
(см. задачу 5.53). Так как 

Теория вероятностей

то

Теория вероятностей

Далее 

Теория вероятностей

и поэтому 

Теория вероятностей

Наконец, 

Теория вероятностей

Пример 7.58. Воздушная цель перемещается над обороняемой территорией со скоростью v. В течение времени Теория вероятностей цель находится в зоне действия средств противовоздушной обороны. 
Число обстрелов, которому может подвергнуться цель, находясь над территорией, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с параметром Теория вероятностей В результате 
каждого обстрела цель поражается с вероятностью р. Пораженная цель немедленно прекращает полет, а) Найти вероятность Теория вероятностей того, что к моменту Теория вероятностей цель будет поражена, б) Найти среднюю глубину проникания цели на обороняемую территорию. 

Решение:

а) Выделим из пуассоновского «потока обстрелов» цели с плотностью Теория вероятностей поток «поражающих обстрелов» с плотностью Теория вероятностей Вероятность того, что за время Теория вероятностей 
цель будет поражена, равна вероятности того, что за время Теория вероятностей произойдет хотя бы один поражающий обстрел: Теория вероятностей

б) Введем гипотезу: цель поражена в интервале времени Теория вероятностей Вероятность этой гипотезы будет Теория вероятностей В предположении, что указанная гипотеза имела место, дальность D, на которой самолет будет поражен, равна Теория вероятностей Следовательно, средняя глубина проникания цели на обороняемую территорию будет: 

Теория вероятностей

Заметим, что Теория вероятностей при Теория вероятностей

Пример 7.59. Тело, вес которого равен Теория вероятностей взвешивается на аналитических весах четыре раза; получаются результаты Теория вероятностей Теория вероятностей В качестве измеренного значения веса принимается 
их среднее арифметическое: Теория вероятностей Результаты взвешиваний независимы. Весы дают систематическую ошибку Теория вероятностей Среднее квадратическое отклонение каждого взвешивания Теория вероятностей Найти параметры: 

математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины Y

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.60. Производятся четыре независимых измерения одной и той же величины X. Каждое измерение характеризуется одним и тем же математическим ожиданием Теория вероятностей и средним квадратическим отклонением Теория вероятностей Результаты измерений: Теория вероятностей Теория вероятностей
 Рассматриваются разности между соседними измерениями: 

Теория вероятностей

Найти характеристики системы этих случайных величин: математические ожидания Теория вероятностей средние квадратические отклонения Теория вероятностей нормированную корреляционную матрицу Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

В силу независимости величин Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.61. Стрельба по некоторой цели Ц начинается в момент ее обнаружения и продолжается вплоть до некоторого момента Теория вероятностей, в который цель покидает зону обстрела и становится уже недоступной. Момент Т, в который обнаруживается цель, представляет собой случайную величину, распределенную с постоянной плотностью в промежутке от 0 до Теория вероятностей. Число 
выстрелов, которое может быть осуществлено по цели за время ее обстрела Теория вероятностей - Т, есть случайная величина, распределенная по закону Пуассона с математическим ожиданием 
Теория вероятностей При каждом выстреле цель поражается с вероятностью р. Найти полную вероятность поражения цели с учетом случайности момента обнаружения. 

Решение:

Вероятность поражения цели есть функция момента обнаружения Теория вероятностей Рассматривая пуассоновский поток «поражающих» выстрелов с плотностью Теория вероятностей, имеем 
Теория вероятностей Полная вероятность поражения 

Теория вероятностей

Отметим, что при малых  Теория вероятностейбудет Теория вероятностей

Пример 7.62. Имеется кубический бак с горючим, на одной из шести стенок которого случайным образом появляется пробоина от осколка; пробоина оказывается с равной вероятностью на любой из шести стенок бака и в любой точке каждой из шести стенок. Вследствие наличия пробоины из бака вытекает все горючее, находящееся выше пробоины. 
В неповрежденном состоянии бак заполнен на 3/4 своего объема. Определить среднее количество горючего, которое сохранится в баке после пробития его осколком. 

Решение:

Для простоты будем считать ребро бака равным единице. Высоту пробоины обозначим через X, количество оставшегося горючего через Y. Так как площадь 
основания равна единице, то 

Теория вероятностей

Если пробоина окажется выше чем на 0,75 от дна бака (Х>0,75), то горючее вытекать не будет, и в баке останется, как и было, количество горючего У=0,75; вероятность этого равна доле площади поверхности бака, находящейся выше уровня 0,75: 

Теория вероятностей

Если пробоина окажется в дне бака (Х=0), то вытечет все горючее; вероятность этого равна доле площади, приходящейся на дно бака: 

Теория вероятностей

Если пробоина окажется в одной из боковых стенок бака на расстоянии А"<0,75 от дна, то в баке останется количество горючего Теория вероятностейПлотность вероятности в интервале Теория вероятностей постоянна и равна Теория вероятностей Среднее количество оставшегося в баке горючего будет равно 

Теория вероятностей

Пример 7.63. В интервале (0, 1) зафиксирована точка а (рис. 7.63). Случайная точка X распределена равномерно в том же интервале. Найти коэффициент корреляции между случайной 

Теория вероятностей

величиной X и расстоянием R от точки а до (расстояние R всегда считается положительным). Определить, при каком значении а величины X и R будут не коррелированы. 

Решение:

Определим Теория вероятностей по формуле 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Отсюда

Теория вероятностей

Находим 

Теория вероятностей

Отсюда

Теория вероятностей

Уравнение Теория вероятностей имеет только один корень в интервале Теория вероятностей Поэтому случайные величины X, R становятся некоррелированными только при Теория вероятностей

Пример 7.64. Автомобиль может двигаться по шоссе с произвольной скоростью Теория вероятностей Чем быстрее движется автомобиль, тем больше вероятность того, что он будет 
задержан инспектором милиции. Каждая задержка длится в среднем время Теория вероятностей Инспекторы на пути следования расставлены случайным образом; при этом на единицу длины пути 
приходится случайное число инспекторов, распределенное по закону Пуассона с параметром Теория вероятностей. Зависимость вероятности задержки от скорости машины линейная: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Определить рациональную скорость движения Теория вероятностей автомобиля, при которой он пройдет путь Теория вероятностей в среднем за минимальное время. 

Решение:

Среднее время прохождения пути Теория вероятностей будет 

Теория вероятностей

Если минимум этой функции лежит внутри интервала Теория вероятностей то его можно найти из уравнения 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Эта формула справедлива при Теория вероятностейт. е. при Теория вероятностей

Так, например, при Теория вероятностейи Теория вероятностей20 минут имеем 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей то минимум функции Теория вероятностейлежит вне интервала Теория вероятностей, и наивыгоднейшей является скорость Теория вероятностей Например, если при указанных выше 
данных время задержки уменьшить до 10 минут, то Теория вероятностей 100 [км/час]. 

Пример 7.65. Описывается окружность с помощью циркуля, расстояние между ножками которого номинально равно 5 см, но фактически устанавливается с ошибкой, математическое 
ожидание которой равно нулю, а среднее квадратическое отклонение 0,1 см. Ошибка распределена по нормальному закону. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение площади описанной окружности S двумя способами: а) точным и б) приближенным, пользуясь методом линеаризации. 

Решение:

Теория вероятностей

где X—ошибка в установке радиуса, Теория вероятностей

Теория вероятностей

так как при Теория вероятностей начальные моменты совпадают с центральными (см. задачу 5.53); 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Таким образом, разница при вычислении точным и приближенным методами мала 0,04% по Теория вероятностей и 0,01% по Теория вероятностей). 

Пример 7.66. Для построения равностороннего треугольника со стороной а = 3 см пользуются следующим способом: из произвольной точки О откладывают отрезок длиной а; при нем 
строят угол а равный 60°; затем на стороне этого угла снова откладывают отрезок длиной а и 
полученную точку соединяют с точкой О (рис. 7.66). Отрезки длиной а откладываются с помощью линейки с делениями по 1 мм; максимально возможная при этом ошибка 
равна 0,5 мм. Угол откладывается с помощью транспортира с максимально возможной ошибкой 1°. Пользуясь методом линеаризации, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение третьей стороны X

Теория вероятностей

Решение:

Обозначим фактическую длину первой стороны Хх, второй Х2, фактическое значение угла 9. Эти случайные величины можно считать независимыми. Имеем 

Теория вероятностей

Пользуясь методом линеаризации, найдем 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Далее 

Теория вероятностей

Вычисляем 

Теория вероятностей

Дисперсии аргументов нам не заданы, заданы лишь максимальные практически возможные отклонения их от математических ожиданий: 

Теория вероятностей

Полагая приближенно 

Теория вероятностей

получим 

Теория вероятностей

Пример 7.67. Расстояние Теория вероятностей от некоторой точки О до объекта К определяется следующим образом: измеряется угол Теория вероятностей под которым виден объект из точки О (рис. 7.67);

Теория вероятностей

далее, зная линейный размер объекта X, определяют расстояние по приближенной формуле: 

Теория вероятностей

Линейный размер объекта Х в зависимости от случайного положения объекта может изменяться в пределах от 8 до 12 м; угол Теория вероятностей определяется с точностью до 0,1 тысячной 
радиана. Расстояние D велико по сравнению с размером объекта X. Найти приближенно среднее квадратическое отклонение Теория вероятностей ошибки в определении расстояния D, если 
измеренное значение угла Теория вероятностей равно одной тысячной радиана. 

Решение:

Применяя метод линеаризации, имеем 

Теория вероятностей

Линейный размер X считаем равномерно распределенным в интервале (8; 12): 

Теория вероятностей

Далее 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 7.68. Имеются две почти линейные функции п случайных аргументов: 

Теория вероятностей

Даны характеристики системы Теория вероятностей и корреляционная матрица Теория вероятностей

Найти приближенно корреляционный момент  Теория вероятностей

Решение:

Линеаризуя функции Теория вероятностей и Теория вероятностей получим 

Теория вероятностей

отсюда 

Теория вероятностей

(Последняя сумма содержит п (п—1) членов; каждому Теория вероятностейсоответствуют два члена суммы: 

Теория вероятностей

Пример 7.69.* Летательный аппарат, находящийся над плоскостью хОу в точке А (рис. 7.69), определяет свои координаты (X, Y) с помощью двух наземных радиолокационных станций О и О'
измеряя углы Теория вероятностей и Теория вероятностей составленные направлениями на эти станции с фиксированным направлением Теория вероятностей Размеры базы (расстояние между станциями), известны со средней квадратической ошибкой Теория вероятностей  углы Теория вероятностей и Теория вероятностей определяются с одной и той же средней квадратической ошибкой Теория вероятностей Известны: номинальное значение базы Теория вероятностей и измеренные значения углов Теория вероятностейи Теория вероятностей равные Теория вероятностей и  Ошибки в определении всех параметров независимы. Пользуясь методом линеаризации, определить приближенно математические ожидания случайных величин и Y, их средние квадратические отклонения и коэффициент корреляции. 

Теория вероятностей

Решение:

В соответствии с рис. 7.69 находим

Теория вероятностей

Корреляционный момент Теория вероятностей подсчитаем по формуле, полученной в предыдущей задаче. В силу независимости величин Теория вероятностей эта формула принимает вид 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

При Теория вероятностей это выражение можно упростить: 

Теория вероятностей

Пример 7.70. Для определения расстояния R от точки Теория вероятностей до начала координат можно применить два способа: 

 1) определить расстояния X и Y до осей координат и затем найти R по формуле Теория вероятностей

2) измерить только расстояние К до оси абсцисс и угол ее (рис. 7.70), затем найти R по формуле 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Какой способ приведет к меньшей погрешности, если расстояния X и Y и угол а определяются с независимыми друг от друга ошибками, причем средние квадратические отклонения ошибок X, Y равны Теория вероятностей а ошибки в угле—Теория вероятностей

Привести численный расчет для значений средних квадратических ошибок 
Теория вероятностей при средних значениях параметров равныхТеория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Первый способ дает большую точность. 
Для числовых данных задачи: 

Теория вероятностей

Пример 7.71. Система трех случайных величин X, Y, Z имеет математические ожидания Теория вероятностей  средние квадратические отклонения 

Теория вероятностей

и нормированную корреляционную матрицу 

Теория вероятностей

Пользуясь методом линеаризации, найти математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 7.72. Производится параллельное соединение двух выбранных наугад сопротивлений Теория вероятностей и Теория вероятностей Номинальное значение каждого сопротивления одинаково и равно Теория вероятностей = 900 [ом]. Максимальная ошибка в R при изготовлении сопротивлений равна Теория вероятностей номинального значения. Определить методом линеаризации номинальное значение 
сопротивления такого соединения и его среднее квадратическое отклонение. 

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

При этом максимальная ошибка будет 3,2 ом, что составляет 0,7% (а не 1%, как было первоначально) от номинала. 

Пример 7.73. Резонансная частота колебательного контура Теория вероятностей определяется из выражения 

Теория вероятностей

где L — индуктивность контура, 
С—емкость контура. 

Определить приближенно среднее значение резонансной частоты контура и ее среднее квадратическое отклонение, если Теория вероятностей и

 Теория вероятностейТеория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

что составляет 0,62% от номинальной частоты. 

Пример 7.74*. Доказать, что если  Теория вероятностейнезависимы, положительны и одинаково распределены, то 

Теория вероятностей

Решение:

Так как все величины Теория вероятностей положительны, то в знаменателе никогда не стоит нуль. По теореме сложения математических ожиданий имеем 

Теория вероятностей

Так как все величины Теория вероятностей распределены одинаково, то 

Теория вероятностей

при любых Теория вероятностей и Теория вероятностей Обозначим Теория вероятностей их общее значение: 

Теория вероятностей

Вместе с тем ясно, что сумма всех величин вида Теория вероятностей

равна единице, следовательно, и математическое ожидание ее тоже равно единице: 

Теория вероятностей

Заменяя выражение, стоящее под знаком математического ожидания, через Теория вероятностей, имеем 

Теория вероятностейоткуда Теория вероятностейСледовательно,

Теория вероятностей

что и требовалось доказать. 

Законы распределения функций случайных величин. Предельные теоремы теории  вероятностей 

Если X—непрерывная случайная величина с плотностью распределения f (x), а случайная величина Y связана с нею функциональной зависимостью 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента X, то плотность распределения случайной величины Y выражается формулой 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—функция, обратная по отношению к Теория вероятностей
Если Теория вероятностей—функция немонотонная, то обратная функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном у) имеет обратная функция: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — значения обратной функции для данного у. 
Для функции нескольких случайных величин удобнее искать не плотность распределения, а функцию распределения. В частности, для функции двух аргументов 

Теория вероятностей

функция распределения вычисляется по формуле 

Теория вероятностей

 где f (х, у)—плотность распределения системы (X, Y); 
Теория вероятностей—область на плоскости хОу, для которой  Теория вероятностей

Плотность распределения Теория вероятностей определяется дифференцированием Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Плотность распределения суммы двух случайных величин 

Теория вероятностей

выражается любой из формул 

Теория вероятностей

где f (x, у) — плотность распределения системы (X, Y). 
В частности, когда случайные величины X, Y независимы, Теория вероятностейто
Теория вероятностей

то

Теория вероятностей

В этом случае закон распределения суммы Теория вероятностей называется композицией законов распределения слагаемых Теория вероятностей

Если случайные величины, подчиненные нормальному закону, подвергать любому линейному преобразованию, то будут получаться снова случайные величины, распределенные нормально. 

В частности, если случайная величина X распределена нормально с параметрами Теория вероятностей то случайная величина 

Теория вероятностей

(где а, Ь не случайны) распределена нормально с параметрами Теория вероятностей

При композиции двух нормальных законов:Теория вероятностей с параметрами Теория вероятностей и Теория вероятностей с параметрами Теория вероятностей получается снова нормальный закон с параметрами 

Теория вероятностей

При сложении двух нормально распределенных случайных величин X, Y с параметрами Теория вероятностей  и коэффициентом корреляции Теория вероятностей получается случайная величина Z, также распределенная нормально, с параметрами 

Теория вероятностей

Линейная функция от нескольких независимых нормально распределенных случайных величин Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — неслучайные коэффициенты, также имеет нормальный закон распределения с параметрами 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— параметры случайной величины Теория вероятностей
В случае, когда аргументы Теория вероятностей коррелированы, закон распределения линейной функции остается нормальным, но с параметрами 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—коэффициент корреляции величин Теория вероятностей Теория вероятностей

Композицией двух нормальных законов на плоскости называют закон распределения случайного вектора с составляющими 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—случайные векторы, некоррелированные между собой Теория вероятностей

При композиции двух нормальных законов на плоскости получают снова нормальный закон с параметрами 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

При проектировании случайной точки (X, Y), распределенной на плоскости по нормальному закону, на ось Теория вероятностей, проходящую через центр рассеивания и составляющую угол Теория вероятностей с осью Ох, получается случайная точка Z, распределенная по нормальному закону с параметрами 

Теория вероятностей

Характеристической функцией случайной величины X называется функция 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—мнимая единица. 

Для дискретной случайной величины

Теория вероятностей

где Теория вероятностей
Для непрерывной случайной величины 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — плотность распределения случайной величины X
Отметим, что Теория вероятностей и Теория вероятностей для любого t
Плотность распределения f (х) выражается через g (t) формулой 

Теория вероятностей

Если случайные величины X и Y связаны соотношением Y = aX
где а—неслучайный множитель, то их характеристические функции связаны соотношением 

Теория вероятностей

Если случайная величина Y представляет собой сумму независимых случайных величин 

Теория вероятностей

то

Теория вероятностей

т. е. характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых. 

Пример 8.1. Случайная величина X распределена равномерно в интервале Теория вероятностей.Найти закон распределения случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Функция у = sinх в интервале Теория вероятностеймонотонна, поэтому плотность распределения величины может быть найдена по формуле 

Теория вероятностей

Решение задачи располагаем в виде двух столбцов; слева будем писать обозначения функций, принятые в общем случае; справа—конкретные функции, соответствующие данному примеру: 

Теория вероятностей

Интервал (—1, 1), в котором лежат значения случайной величины Y, определяется областью значений функции Теория вероятностей для Теория вероятностей

Пример 8.2. Случайная величина X распределена равномерно в интервале Теория вероятностей. Найти плотность распределения случайной величины F=cosX

Решение:

Функция у = cos x немонотонна в интервале Теория вероятностей. Решение будем составлять аналогично предыдущему с той разницей, что в данном случае для любого у 
обратная функция будет иметь два значения. Решение снова оформляем в виде двух столбцов 

Теория вероятностей

*) В дальнейшем при решении аналогичных задач мы для сокращения записи будем писать выражение плотности распределения только на участке, где она отлична от нуля, подразумевая при этом, что вне этого участка она равна нулю. 

Пример 8.4. Случайная величина X имеет плотность распределения f(x). Найти плотность распределения случайной величины Теория вероятностей 

Решение:

Функция Теория вероятностей немонотонна. Решение будем составлять так же, как в задаче 8.2 

Теория вероятностей

Пример 8.5. Круглое колесо, закрепленное в центре О (рис. 8.5), приводится во вращение, которое затухает вследствие трения. В результате фиксированная точка А на ободе колеса останавливается на некоторой высоте Н (положительной или отрицательной) относительно горизонтальной линии /—/, проходящей через центр колеса; высота Н зависит 
от случайного угла Теория вероятностей, при котором остановилось вращение. 

Теория вероятностей

Найти: а) закон распределения высоты Н; б) закон распределения расстояния D от точки А 
до прямой /—/ (считая это расстояние всегда положительным). 

Решение:

Теория вероятностей где угол Теория вероятностей — случайная величина, распределенная равномерно в интервале Теория вероятностей Очевидно, решение задачи не изменится, если считать случайную величину Теория вероятностей распределенной равномерно в интервале Теория вероятностей,тогда Н является монотонной функцией  Теория вероятностей.

Плотность распределения величины Н

Теория вероятностей

Плотность распределения величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 8.6. Случайная величина X распределена по закону Релея с плотностью 

Теория вероятностей

 Найти закон распределения величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

На участке  возможных значений аргумента X функция Теория вероятностей монотонна. Применяя общее правило, получим 

Теория вероятностей

Графики g(y) при разных Теория вероятностей см. рис. 8.6. 

Пример 8.7. Случайная величина X распределена по закону Коши с плотностью 

Теория вероятностей

Найти плотность распределения обратной величины Теория вероятностей

Решение:

Учитывая, что, несмотря на разрывный характер функции Теория вероятностей обратная функция Теория вероятностей однозначна, и решая задачу по правилам для монотонной функции, получим 

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

т. е. величина, обратная величине, распределенной по закону Коши, также имеет распределение Коши. 

Пример 8.8. Через точку А, лежащую на оси Оу на расстоянии 1 от начала координат, проводится прямая АВ под углом Теория вероятностей к оси Оу (рис 8.8). Все значения угла Теория вероятностей от Теория вероятностей до Теория вероятностей
равновероятны. Найти плотность распределения абсциссы X точки В пересечения 
прямой с осью абсцисс. 

Теория вероятностей

Решение:

Х= tga; функция монотонна на участке Теория вероятностей

Имеем

Теория вероятностей

т. е. случайная величина X распределена по закону Коши, 

Пример 8.9. Дискретная случайная величина X характеризуется рядом распределения 

Теория вероятностей

Найти законы распределения случайных величин 

Теория вероятностей

Решение:

Определяя для каждого xt соответствующие значения величин Y и Z и располагая их в возрастающем порядке, получим ряды распределения 

Теория вероятностей

Пример 8.10. Через точку А с координатами (0, 1) проводится прямая АВ под случайным углом Теория вероятностей к оси ординат (рис. 8.10). 

Теория вероятностей

Закон распределения угла Теория вероятностей имеет вид 

Теория вероятностей

при 

Теория вероятностей

Найти закон распределения расстояния L от прямой АВ до начала координат.

Решение:

Имеем Теория вероятностейФункция Теория вероятностейна интервалеТеория вероятностейне монотонна. Применяя обычную схему записи, имеем

Теория вероятностей

т. е. расстояние L распределено равномерно в интервале (О, 1), как это можно видеть и из геометрических соображений. 

Пример 8.11. Радиус круга R— случайная величина, распределенная по закону Релея: 

Теория вероятностей

Найти закон распределения площади круга S. 

Решение:

Функция Теория вероятностей на участке возможных значений Теория вероятностей монотонна, следовательно, 

Теория вероятностей

т. е. закон распределения площади круга есть показательный закон с параметром Теория вероятностей

Пример 8.12. Маятник совершает свободные незатухающие колебания, причем угол Теория вероятностей (рис. 8.12) изменяется в зависимости от времени Теория вероятностейпо гармоническому закону: 

Теория вероятностей

где а — амплитуда, со — частота, Теория вероятностей — фаза колебания. В некоторый момент t = 0, совершенно не связанный с положением маятника, производится его фотографирование. Так как положение маятника в момент фотографирования неопределенно, то фаза Теория вероятностей есть  
случайная величина, распределенная равномерно в интервале Теория вероятностейНайти закон распределения угла Ф, который будет составлять маятник с вертикалью в момент фотографирования, найти его математическое ожидание и дисперсию. 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей где фаза Теория вероятностей распределена равномерно в интервале Теория вероятностей на котором функция Теория вероятностейне монотонна. Очевидно, решение задачи не изменится, если 
считать фазу Теория вероятностей распределенной равномерно в интервале Теория вероятностей где функция Теория вероятностей монотонна. Плотность распределения величины Ф будет 

Теория вероятностей

Так как закон Теория вероятностей симметричен, то его математическое ожидание Теория вероятностей Дисперсия угла Ф равна 

Теория вероятностей

Пример 8.13. Завод изготовляет шарики, номинальный диаметр которых равен Теория вероятностей, а фактический диаметр L — случайная величина, распределенная по нормальному закону, с 
математическим ожиданием Теория вероятностей и средним квадратическим отклонением Теория вероятностей После изготовления каждый шарик проходит контроль, причем бракуются все шарики, проходящие сквозь отверстие диаметром Теория вероятностей и все шарики, не проходящие сквозь отверстие диаметром Теория вероятностей

Найти закон распределения диаметра шариков, прошедших контроль (не забракованных). 

Теория вероятностей

Решение:

В этой задаче нужно найти плотность распределения некоторой случайной величины L*, которая равна L только в случае, когда L приняло значение между Теория вероятностей 
и Теория вероятностей вне интервала Теория вероятностей плотность  распределения Теория вероятностей должна быть равна нулю (рис. 8.13), а внутри интервала — пропорциональна Теория вероятностей причем 

Теория вероятностей

Из этого соотношения можно найти коэффициент пропорциональности а

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Таким образом, 

Теория вероятностей

Пример 8.14. Имеется случайная величина X с плотностью распределения f (x). Случайная величина У определяется через X соотношением 

Теория вероятностей

т. е. У=Х при Теория вероятностей при Теория вероятностей

Найти закон распределения случайной величины У и определить ее математическое ожидание и дисперсию. 

Решение:

Случайная величина Теория вероятностей будет величиной смешанного типа. При у = 1 ее функция распределения имеет скачок Теория вероятностей равный вероятности того, что величина X примет 
значение, большее единицы: 

Теория вероятностей

При у < 1 функция распределения Теория вероятностей случайной величины У будет совпадать с 
функцией распределения Теория вероятностей случайной величины X при Теория вероятностей 

Теория вероятностей

При Теория вероятностей (рис. 8.14). 

Теория вероятностей

Математическое ожидание смешанной случайной величины Y равно 

Теория вероятностей

Дисперсия случайной величины У равна 

Теория вероятностей

Пример 8.15. Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f(x). Найти закон распределения случайной величины 

Теория вероятностей

и ее числовые характеристики. 

Решение:

Дискретная случайная величина У имеет всего два значения: минус единица и плюс единица (вероятность того, что Теория вероятностей равна нулю). 

Теория вероятностей

Пример 8.16. Имеется непрерывная случайная величина X с плотностью распределения f (x). Найти закон распределения случайной величины 

Теория вероятностей 
т. е. величины, которая равна X, если Теория вероятностей и Теория вероятностей если Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Решение:

Функция Теория вероятностей монотонна (рис. 8.16) 

Теория вероятностей

Так как интервал (0, 1) оси Ох отображается на интервал (0, 1) оси Оу, то по общему правилу 

Теория вероятностей

Пример 8.17. Случайная величина X имеет плотность распределения f(x), заданную графиком (рис. 8.17). Случайная величина Y связана с X зависимостью Теория вероятностей Найти плотность распределения случайной величины Y

Теория вероятностей

Решение:

Плотность f (x) дается функцией 

Теория вероятностей

при

Теория вероятностей

Функция Теория вероятностей на этом участке не монотонна; обратная функция имеет два значения: 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

или

Теория вероятностей

Пример 8.18. Случайная величина X распределена по закону с плотностью f (x). Найти плотность распределения обратной ей случайной величины Теория вероятностей

Решение:

Функция Теория вероятностей хотя и не монотонна в обычном смысле слова (при Теория вероятностей она скачком возрастает от Теория вероятностей до Теория вероятностей), но обратная функция однозначна, значит, задача 
может быть решена так, как она решается для монотонных функций: 

Теория вероятностей

при тех значениях у, которые могут быть обратными заданной совокупности возможных значений х

Пример 8.19. Натуральный логарифм некоторой случайной величины X распределен по нормальному закону с центром рассеивания m и средним квадратическим отклонением Теория вероятностей Найти плотность распределения величины X

Решение:

Обозначим нормально распределенную величину U. Имеем 

Теория вероятностей

Функция Теория вероятностей монотонна; 

Теория вероятностей

Такое распределение величины Х называется логнормальным

Пример 8.20. Пятно П, изображающее объект на круглом экране радиолокатора, может занимать на нем произвольное положение (рис. 8.20), причем плотность распределения координат (X, Y) пятна в пределах экрана постоянна. Радиус экрана равен Теория вероятностей Найти плотность распределения расстояния R от пятна до центра экрана. 

Решение:

Найдем функцию распределения 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — круг радиуса г с центром в точке О. Так как в пределах экрана плотность 
распределения постоянна, то вероятность попадания в круг равна его относительной площади 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 8.21. Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 1). Случайная величина Y связана с X монотонно возрастающей функциональной зависимостью Теория вероятностей

Найти функцию распределения Теория вероятностей и плотность распределения Теория вероятностей случайной величины Y

Решение:

Имеем (x) = 1 при Теория вероятностей Обозначим Теория вероятностей функцию, обратную по отношению к функции Теория вероятностей. Так как Теория вероятностей монотонно возрастает, то Теория вероятностей

откуда Теория вероятностей т. е. искомая функция распределения есть обратная по отношению к функции Теория вероятностей (в области возможных значений величины Y). 

Пример 8.22. Какому функциональному преобразованию надо подвергнуть случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (0, 1), чтобы получить случайную величину Y
распределенную по показательному закону 

Теория вероятностей

Решение:

На основании решения предыдущей задачи мы должны положить Теория вероятностей где Теория вероятностей — функция, обратная требуемой функции распределения Теория вероятностей случайной величины 
У. Имеем 

Теория вероятностей

Полагая Теория вероятностей и разрешая относительно у, получим 

Теория вероятностей

откуда искомая зависимость будет 

Теория вероятностей

Пример 8.23*. Имеются две случайные величины: X с плотностью Теория вероятностей и Y с плотностью Теория вероятностей Известно, что величина представляет собой монотонно возрастающую функцию 
величины XТеория вероятностей Найти вид функции Теория вероятностей

Решение:

Введем в рассмотрение, кроме плотностей Теория вероятностей еще и функции распределения 

Теория вероятностей

Представим случайную величину X как функцию от У
Теория вероятностей где Теория вероятностей —функция, обратная по отношению к искомой Теория вероятностей 

Применяя обычный способ нахождения функции распределения монотонной функции, находим 

Теория вероятностей

Разрешая это уравнение относительно Теория вероятностей и вводя функцию Теория вероятностей обратную функции Теория вероятностей получим 

Теория вероятностей

или, возвращаясь к случайным величинам, 

Теория вероятностей

Полученная формула определяет функцию Теория вероятностей только в  тех интервалах, где плотность Теория вероятностей отлична от нуля. 

Пример 8.24. Случайная величина X распределена по показательному закону: 

Теория вероятностей

Каким функциональным преобразованием можно превратить ее в случайную величину Y, распределенную по закону Коши: 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Полагая — Теория вероятностей и разрешая относительно у, найдем обратную функцию Теория вероятностей

Теория вероятностей

По решению предыдущей задачи получим 

Теория вероятностей

Пример 8.25*. Решить ту же задачу, что и 8.23, но при условии, что связывающая две случайные величины функция Теория вероятностей должна быть не монотонно возрастающей, а монотонно убывающей. 

Решение:

В тех же обозначениях, что в задаче 8.23, имеем 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 8.26. Двое условились встретиться в определенном месте в промежутке времени от 12.00 до 13.00. Каждый из них приходит на место встречи независимо от другого и с постоянной плотностью вероятности в любой момент назначенного промежутка. Пришедший раньше ожидает другого. Найти распределение вероятностей времени ожидания и вероятность того, что ожидание продлится не менее получаса. 

Решение:

Обозначим моменты прихода двух лиц Теория вероятностей и Теория вероятностей за начало отсчета времени выберем 12 час. Тогда каждая из независимых случайных величин Теория вероятностей распределена с постоянной плотностью в промежутке (0, 1). Случайная величина Т—время ожидания: Теория вероятностей

Найдем функцию распределения Теория вероятностей этой величины. Выделим на плоскости Теория вероятностей область D (t), в которой Теория вероятностей (заштрихованная область на рис. 8.26). 

Теория вероятностей

Функция распределения Теория вероятностей) в данном случае равна площади этой области: 

Теория вероятностей

откуда Теория вероятностейпри Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 8.27. Случайная точка Теория вероятностей распределена равномерно в квадрате К со стороной 1 (рис. 8.27а). Найти закон распределения площади Теория вероятностей прямоугольника R со сторонами X, Y

Теория вероятностей

Решение:

Выделим на плоскости хОу область D(s), в пределах которой ху < s (рис. 8.276). 

Функция распределения в данном случае равна площади области D (s): 

Теория вероятностей

Отсюда Теория вероятностей —-Ins при 0 < s < 1. 

Пример 8.28. Система случайных величин (X, Y) имеет плотность распределения f (x,y). Найти 
плотность распределения Теория вероятностей их отношения Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

Зададимся некоторым значением z и построим на плоскости хОу область Теория вероятностей (рис.8.28, заштрихованная область). Функция распределения Теория вероятностей имеет вид  

Теория вероятностей

Дифференцируя по z, имеем 

Теория вероятностей

Если случайные величины X, Y независимы, то 

Теория вероятностей

Пример 8.29. Найти закон распределения отношения Теория вероятностей двух независимых нормально распределенных случайных величин X, Y с характеристиками Теория вероятностей

Решение:

Рассмотрим сначала частный случай Теория вероятностей На основании предыдущей задачи 

Теория вероятностей

Теория вероятностей(закон Коши). 

В общем случае отношение Теория вероятностейможно представить в виде Теория вероятностейгде величины 

Теория вероятностейи Теория вероятностей—имеют уже нормальные распределения с дисперсией, равной 1; поэтому 

в общем случае 

Теория вероятностей

В частном случае, если Теория вероятностей получим

 Теория вероятностей

Пример 8.30. Случайная точка Теория вероятностей распределена равномерно в круге К радиуса 1. Найти закон распределения случайной величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

В данном случае Теория вероятностей есть относительная площадь области Теория вероятностей (рис. 8.30): 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей(закон Коши). 

Пример 8.31. Составить композицию двух показательных законов 

Теория вероятностей

Решение:

Обозначим Теория вероятностейгде Теория вероятностейраспределены по законам Теория вероятностей

Согласно общей формуле для композиции законов распределения 

Теория вероятностей

Но в нашем случае оба закона отличны от нуля только при положительном значении аргумента; значит, Теория вероятностей при Теория вероятностей и Теория вероятностей при Теория вероятностей
При х > 0 получим 

Теория вероятностей

(обобщенный закон Эрланга 1-го порядка). 

При Теория вероятностейраскрыв неопределенность, получим закон Эрланга 1-го порядка: 

Теория вероятностей

Примечание. Методом математической индукции можно доказать, что закон распределения суммы п независимых случайных величин Теория вероятностей подчиненных показательным законам распределения с различными параметрами Теория вероятностей т. е. обобщенный 
закон распределения Эрланга (п — 1)-го порядка, имеет плотность 

Теория вероятностей

( Запись Теория вероятностейозначает, что берется произведение всех биномов вида Теория вероятностейпри Теория вероятностейт. е. кроме Теория вероятностей)

В частном случае, когда Теория вероятностей

Теория вероятностей

Функция распределения обобщенного закона Эрланга (п—1)-го порядка имеет вид 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностейто

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей то получаем закон Эрланга Теория вероятностей-го порядка: 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Пример 8.32. Имеется система двух случайных величин (X, Y) с плотностью распределения f (x, у). Найти функцию распределения Теория вероятностей и плотность распределения Теория вероятностей максимальной 
из этих двух величин: Теория вероятностей 

Решение:

Будем искать функцию распределения случайной величины ZТеория вероятностей

Для того чтобы максимальная из величин X, Y была меньше z, нужно, чтобы каждая из этих величин была меньше z

Теория вероятностей

где 

Теория вероятностей

Таким образом, 

Теория вероятностей

Чтобы найти плотность распределения g(z), продифференцируем G (z) по величине z, входящей в пределы двойного интеграла. Дифференцировать будем как сложную функцию 
двух переменных Теория вероятностей и Теория вероятностей из которых каждая зависит от Теория вероятностей

Теория вероятностей

В частном случае, если величины X, Y независимы, f(x, y) Теория вероятностей то 

Теория вероятностей

или, более компактно, 

Теория вероятностей

Если случайные величины Х и У независимы и одинаково распределены Теория вероятностей то Теория вероятностей

Пример 8.33. Система двух случайных величин (X, У) имеет плотность распределения Теория вероятностей Найти функцию распределения G(u) и плотность распределения g(u) минимальной из этих двух величин: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

Будем искать дополнение до единицы функции распределения: 
Теория вероятностей

Это есть вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область Теория вероятностей заштрихованную на рис. 8.33. Очевидно, 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Дифференцируя по Теория вероятностей имеем (см. задачу 8.32) 

Теория вероятностей

В случае, когда величины X и У независимы, 

Теория вероятностей

Если случайные величины X и К независимы и одинаково распределены Теория вероятностейто

Теория вероятностей

Пример 8.34. Имеется п независимых случайных величин Теория вероятностей распределенных по законам с плотностями Теория вероятностей

Найти плотность распределения максимальной из них: 

Теория вероятностей

и минимальной: 

Теория вероятностей

т. е. той из случайных величин, которая в результате опыта примет максимальное (минимальное) значение. 

Решение:

Обозначим Теория вероятностей функцию распределения величины Z. Имеем 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Дифференцируя, получим сумму произведений производных отдельных функций распределения Теория вероятностей на произведения всех остальных функций, кроме той, которая продифференцирована. Результат можно записать в виде 

Теория вероятностей

Аналогично, обозначая Теория вероятностей функцию распределения величины U, получим 

Теория вероятностей

Дифференцируя, получим 

Теория вероятностей

Пример 8.35. Имеется п независимых случайных величин Теория вероятностей Теория вероятностей распределенных одинаково с плотностью Теория вероятностей Найти закон распределения максимальной из них: 

Теория вероятностей

и минимальной: 

Теория вероятностей

Решение:

На основании решения предыдущей задачи 

Теория вероятностей

Пример 8.36. Производится три независимых выстрела по плоскости хОу; центр рассеивания совпадает с началом координат, рассеивание нормальное, круговое, Теория вероятностей Из трех точек попадания выбирается та, которая оказалась ближе всех к центру рассеивания. Найти закон распределения расстояния R min от точки попадания до центра. 

Решение:

Имеем Теория вероятностей

Из решения предыдущей задачи имеем 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — функция распределения и плотность распределения расстояния R от точки попадания любого выстрела до центра рассеивания, 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

т. е. плотность распределения расстояния от ближайшей из трех точек до центра рассеивания имеет тот же вид, что и для каждой из них, но при условии, что параметр а уменьшен 
в Теория вероятностей раз, т. е. заменен значением Теория вероятностей

Пример 8.37. Найти закон распределения Теория вероятностей минимальной из двух независимых случайных величин Теория вероятностей распределенных по показательным законам: 

Теория вероятностей

Решение:

На основании решения задачи 8.33 

Теория вероятностей

т. е. закон распределения минимальной из двух независимых, случайных величин, распределенных по показательным законам, есть тоже показательный закон, параметр которого равен сумме параметров исходных законов. 
Вывод нетрудно обобщить на любое число показательных законов. 

Пример 8.38. В условиях предыдущей задачи найти закон распределения Теория вероятностей максимальной из величин Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Этот закон показательным не является. При Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 8.39*. Над случайной величиной Х, имеющей плотность распределения f (x), производится Теория вероятностей независимых опытов; наблюденные значения располагаются в порядке возрастания; 
получается ряд случайных величин Теория вероятностей

Рассматривается k-я из них Теория вероятностей Найти ее функцию распределения Теория вероятностей и плотность распределения Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностейДля того чтобы k-я (в порядке возрастания) из случайных величин Теория вероятностейТеория вероятностей была меньше z, нужно, чтобы не менее Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — вероятность того, что ровно Теория вероятностей из наблюденных в п опытах значений случайной величины X будут меньше z. По теореме о повторении опытов 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Плотность распределения Теория вероятностей можно найти, дифференцируя это выражение и учитывая, что 

Теория вероятностей

После простых преобразований получим 

Теория вероятностей

Однако гораздо проще получить Теория вероятностей непосредственно, с помощью следующего простого рассуждения. 
Элемент вероятности Теория вероятностей приближенно представляет собой вероятность попадания случайной величины Теория вероятностей (Теория вероятностей-ro в порядке возрастания значения случайной величины X) на 
участок Теория вероятностей Для того чтобы это произошло, нужно, чтобы совместились следующие события: 

1) какое-то из значений случайной величины X попало на интервал  Теория вероятностей

2) (Теория вероятностей) других каких-то значений оказались меньше z; 
3) (п — k) остальных значений оказались больше (вероятностью попадания более чем одного значения на элементарный участок Теория вероятностей пренебрегаем). 

Вероятность каждой такой комбинации событий равна Теория вероятностей Число комбинаций равно произведению числа п способов, какими можно выбрать одно 
значение из п, чтобы поместить его на интервал Теория вероятностейна число Теория вероятностей способов, какими из оставшихся п—1 значений можно выбрать k—1, чтобы поместить их левее z. 
Следовательно, 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Пример 8.40. В электропечи установлено четыре регулятора (термопары), каждый из которых показывает температуру с некоторой ошибкой, распределенной по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением Теория вероятностей Происходит нагревание печи. В момент, когда две из четырех термопар покажут температуру не ниже критической Теория вероятностей, печь автоматически отключается. Найти плотность распределения температуры Z, при которой будет происходить отключение печи. 

Решение:

Температура Z, при которой происходит отключение печи, представляет собой второе в порядке убывания (т. е. третье в порядке возрастания) из четырех значений случайной величины Т, распределенной по нормальному закону с центром рассеивания Теория вероятностей и средним квадратическим отклонением Теория вероятностей

Теория вероятностей

Соответствующая функция распределения 

Теория вероятностей

Пользуясь результатами предыдущей задачи при п = 4, k = 3, получим 

Теория вероятностей

Пример 8.41. Имеется п независимых случайных величин Теория вероятностейТеория вероятностей функции распределения которых имеют вид степенной зависимости

Теория вероятностей

Наблюдается значение каждой из случайных величин и из них выбирается максимальное Z. Найти функцию распределения G(z) этой случайной величины. 

Решение:

На основании решения задачи 8.34 

Теория вероятностей

или, если обозначить Теория вероятностей

Теория вероятностей

т. е. максимум нескольких случайных величин, распределенных по степенному закону в интервале (0, 1), также распределен по степенному закону с показателем степени, равным 
сумме показателей степеней отдельных законов. 

Пример 8.42. Дискретные случайные величины Теория вероятностейнезависимы и распределены по законам Пуассона с параметрами Теория вероятностей Показать, что их сумма Теория вероятностей
также подчинена закону Пуассона с параметром Теория вероятностей

Решение:

Докажем сначала, что сумма двух случайных величин Теория вероятностей и Теория вероятностей подчинена закону Пуассона, для чего найдем вероятность того, что Теория вероятностей

Теория вероятностей

учитывая что, Теория вероятностей представим это выражение в виде

Теория вероятностей

а это есть распределение Пуассона с параметром Теория вероятностейТаким образом доказано, что сумма двух независимых случайных величин, подчиненных законам Пуассона, тоже 
подчиняется закону Пуассона. Распространение этого результата на любое число слагаемых производится по индукции. 

Теория вероятностей

Пример 8.44. Самолет-бомбардировщик производит бомбометание по полосовой цели ширины b = 40 м, заходя на нее под углом 30° по отношению к направлению полосы (рис. 8.44). 
Координаты точки попадания распределены по нормальному закону; главные оси рассеивания — направление полета и перпендикулярное к нему; начало координат на средней линии 
полосы. В этой системе координат хОу параметры нормального закона 

Теория вероятностей

Найти вероятность р попадания в полосу при сбрасывании одной бомбы. 

Решение:

Проектируем рассеивание на ось Oz, перпендикулярную к полосе: 

Теория вероятностей

Пример 8.45. Цех завода производит шарики для подшипников. За смену производится п= 10 000 шариков. Вероятность того, что один шарик окажется дефектным, равна 0,05. Причины 
дефектов для отдельных шариков независимы. Продукт проходит контроль сразу после изготовления, причем дефектные шарики бракуются и ссыпаются в бункер, а небракованные 
отправляются в цех сборки. Определить, на какое количество шариков должен быть рассчитан бункер, чтобы с вероятностью 0,99 после смены он не оказался переполненным. 

Решение:

Число забракованных шариков X имеет биномиальное распределение; так как п велико, то на основании центральной предельной теоремы можно считать распределение приблизительно нормальным с характеристиками: 

Теория вероятностей

Находим такое значение Теория вероятностей для которого Теория вероятностей или 

Теория вероятностей

По таблицам функции Теория вероятностей находим 

Теория вероятностей

т. е. бункер, рассчитанный примерно на 550 шариков, с вероятностью 0,99 за смену переполняться не будет. 

Пример 8.46. Условия задачи 8.45 изменены в том отношении, что причины брака являются в значительной степени общими для различных шариков, так что вероятность одному шарику, 
изготовленному в течение данной смены, быть дефектным, при условии, что другой шарик (любой) уже был дефектным, равна 0,08. 

Примечание. Число опытов (Теория вероятностей = 10 000) считать достаточно большим для того, чтобы, несмотря на зависимость опытов, закон распределения суммарного числа дефектных шариков был приближенно нормальным. 

Решение:

Рассмотрим случайную величину X—общее число забракованных (дефектных) шариков — как сумму п = 10000 слагаемых: 

Теория вероятностей

где величина Теория вероятностей принимает значение 1, если шарик дефектный, и 0 — если не дефектный. Имеем 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — корреляционный момент случайных величин Теория вероятностей 
Найдем 

Теория вероятностей

Так как произведение Теория вероятностей принимает только два значения: 
1 (при Теория вероятностей) и 0 (в остальных случаях), то 

Теория вероятностей

и

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Далее находим Теория вероятностей из условия 

Теория вероятностей

т. е. бункера, рассчитанного примерно на 1400 шариков, будет достаточно (с вероятностью 0,99) для бракованной продукции за смену. 

Пример 8.47*. Лотерея организована следующим образом. Участникам продаются билеты, на каждом из которых имеется таблица с номерами: 1, 2, ..., 90. Участник должен выбрать произвольным образом пять различных номеров, отметить эти номера и послать билет организаторам лотереи, которые хранят все присланные билеты в запечатанном виде до 
дня розыгрыша. Розыгрыш лотереи состоит в том, что случайным образом выбираются (разыгрываются) пять различных номеров из девяноста; выпавшие номера сообщаются 
участникам. Если у игрока совпали с объявленными менее двух номеров (0 или 1), он никакого выигрыша не получает. Если совпали с объявленными два номера, он выигрывает 1 рубль; 
если три номера 100 руб.; если четыре—10 000 руб.; если все пять—1000 000 руб. 

Решение:

1) Обозначим Теория вероятностей вероятность того, что из пяти названных игроком номеров ровно Теория вероятностей совпадут с выпавшими. Находим 

Теория вероятностей

Минимальная цена билета должна быть равна математическому ожиданию выигрыша игрока, купившего этот билет: 

Теория вероятностей

т. е. минимальная цена билета — около 23 коп. 

2) Теория вероятностей (руб.). 
3) Общая сумма выигрышей X, которая подлежит выплате по лотерее, представляет собой сумму выигрышей отдельных игроков: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — выигрыш Теория вероятностей игрока. 

Считается, что игроки называют свои номера независимо друг от друга, так что величины Теория вероятностейнезависимы. Из центральной предельной теоремы известно, 
что сумма достаточно большого числа независимых одинаково распределенных случайных величин приближенно распределена по нормальному закону. Требуется выяснить, 
достаточно ли в данном случае числа слагаемых п = 1 000 000 для того, чтобы величину X можно было считать распределенной нормально? 

Находил» математическое ожидание Теория вероятностей и среднее квадратическое отклонение Теория вероятностей случайной величины X. Для любого Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Отсюда

Теория вероятностей

Мы знаем, что для случайной величины X, распределенной по нормальному закону, границы практически возможных значений заключены между Теория вероятностей («правило трех сигма»). 

В нашем случае нижняя граница возможных значений случайной величины X, если бы она была распределена по нормальному закону, была бы Теория вероятностей

Теория вероятностей

Отрицательное значение этой границы говорит о том, что случайная величина X не может считаться распределенной нормально. 

Пример 8.48*. Найти предел Теория вероятностей где а — Целое положительное число. 

Решение:

Выражение Теория вероятностей есть вероятность того, что случайная величина X, распределенная по закону Пуассона, не превзойдет своего математического ожидания а. 
Но при неограниченном увеличении параметра а закон Пуассона приближается к нормальному. Для нормального закона вероятность того, что случайная величина не превзойдет своего математического ожидания, равна 1/2, значит, 

Теория вероятностей

Пример 8.49. Доказать, что показательный закон распределения является устойчивым по отношению к операции нахождения минимума, т. е. если случайные величины Теория вероятностей
независимы и подчинены показательным законам распределения с параметрами Теория вероятностей соответственно, то случайная величина Теория вероятностей также подчинена показательному закону, причем параметр этого закона 

Теория вероятностей

Решение:

На основании решения задачи 8.34 функция распределения случайной величины Z: 

Теория вероятностей

а это есть функция распределения показательного закона с параметром Теория вероятностей

Пример 8.50. Независимые случайные величины Теория вероятностей распределены одинаково по показательному закону с параметром Теория вероятностей

Теория вероятностей

Рассматривается сумма случайного числа таких величин: 

Теория вероятностей

где случайная величина У распределена по сдвинутому на единицу закону Паскаля (см. задачу 5.15): 

Теория вероятностей

Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Z. 

Решение:

Сумма фиксированного числа п случайных величин  Теория вероятностейподчинена закону Эрланга (п—1)-го порядка (см. задачу 8.31) с плотностью 

Теория вероятностей

Плотность распределения случайной величины находим по формуле полной вероятности с гипотезами Теория вероятностей

Теория вероятностей

т. е. случайная величина Z будет также подчинена показательному закону, но с параметром Теория вероятностей Следовательно, 

Теория вероятностей

Пример 8.51*. Рассматривается сумма случайного числа случайных слагаемых

 Теория вероятностей

где Теория вероятностей—последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с плотностью Теория вероятностей Y-—'Положительная, не зависящая от них целочисленная  
случайная величина с законом распределения Теория вероятностейТеория вероятностей

Требуется найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины Z. 

Решение:

Допустим, что случайная величина приняла значение Теория вероятностей Вероятность этого равна Теория вероятностей При этой гипотезе 

Теория вероятностей

Обозначим плотность распределения суммы Теория вероятностей независимых одинаково распределенных величин Теория вероятностей через Теория вероятностей Эти плотности можно найти последовательно: 
сначала Теория вероятностей — композицию двух одинаковых "знаков Теория вероятностей и Теория вероятностей затем Теория вероятностей—композицию Теория вероятностей и Теория вероятностей и т. д. 

По формуле полной вероятности плотность распределения случайной величины Z будет 

Теория вероятностей

Для нахождения числовых характеристик- воспользуемся тем же приемом. Допустим, что Теория вероятностей В этом случае условное математическое ожидание будет 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Тогда полное математическое ожидание найдем из выражения 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Таким же образом найдем и условный второй начальный момент при условии, что Y=n

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Второй начальный момент случайной величины

Теория вероятностей

Дисперсия случайной величины

Теория вероятностей

Пример 8.52. Независимые случайные величины Теория вероятностейраспределены одинаково по показательному закону с параметром Теория вероятностей Случайная величина Теория вероятностей где случайная 
величина Теория вероятностей распределена по закону Пуассона с параметром а. Найти закон распределения и числовые характеристики случайной величины 

Теория вероятностей

Решение:

Закон распределения суммы Теория вероятностей: представляет собой закон Эрланга (п—1)-го порядка (см. задачу 8.31) с параметром Теория вероятностей

Теория вероятностей

По формуле полной вероятности плотность распределения случайной величины Z будет 

Теория вероятностей

Эту плотность можно выразить через модифицированную цилиндрическую функцию 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Далее на основании решения предыдущей задачи 

Теория вероятностей

Пример 8.53. Рассматривается система случайных величин Теория вероятностейТеория вероятностей которая связана с дискретной случайной величиной Y следующим образом: 
Теория вероятностей

Известна функция распределения F (у) случайной величины У. Требуется найти закон распределения каждой случайной величины Теория вероятностей и числовые характеристики системы  
случайных величин Теория вероятностей

Решение:

Ряд распределения случайной величины Теория вероятностейимеет вид 

Теория вероятностей

Так как Теория вероятностейто ряд распределения имеет вид 

Теория вероятностей

откуда Теория вероятностей

Найдем корреляционные моменты случайных величин Теория вероятностейи Теория вероятностей для чего найдем Теория вероятностей Произведение Теория вероятностей при Теория вероятностей может принимать только два значения: 1, если Теория вероятностей
и 0, если Теория вероятностей

Следовательно, Теория вероятностейоткуда

Теория вероятностей

а коэффициент корреляции 

Теория вероятностей

Пример 8.54. Найти характеристическую функцию случайной величины, равномерно распределенной в интервале (а, Ь). 

Решение:

Теория вероятностейЕсли Теория вероятностейто

Теория вероятностей

Пример 8.55. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по показательному закону; 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 8.56. Найти характеристическую функцию для случайной величины X, распределенной по закону Лапласа: 

Теория вероятностей

Решение:

Заменой Теория вероятностей получим 

Теория вероятностей

При m = 0 получим Теория вероятностей

Пример 8.57. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по биномиальному закону с параметрами p и n: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Решение:

Представим величину X как сумму п независимых случайных величин: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — случайная ^величина с рядом распределения 

Теория вероятностей

Характеристическая функция величины Теория вероятностей равна 

Теория вероятностей

Так как характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций, то 

Теория вероятностей

Пример 8.58. Найти характеристическую функцию случайной величины, распределенной по закону Пуассона с параметром а: 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 8.59. Характеристическая функция случайной величины равна Теория вероятностей Случайная величина Y получается из X прибавлением постоянной величины Теория вероятностей Найти характеристическую функцию Теория вероятностей случайной величины Y. 

Решение:

Рассматривая неслучайную величину а как частный случай случайной, находим ее характеристическую функцию Теория вероятностей Так как случайная величина X не может 
зависеть (в вероятностном смысле) от неслучайной а, получаем 

Теория вероятностей

Пример 8.60. Найти характеристическую функцию Теория вероятностейслучайной величины Y, распределенной по закону Паскаля: 

Теория вероятностей

а также характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по «сдвинутому на единицу» закону Паскаля: 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Применяя правило, выведенное в предыдущей задаче, получим 

Теория вероятностей

Пример 8.61. Производится ряд независимых опытов, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р. Опыты прекращаются, как только событие А появилось n раз (n > 1). 
Найти закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функцию числа X «неудачных» опытов, в которых событие А не произошло. 

Решение:

Найдем вероятность того, что случайная величина X примет значение k. Для этого нужно, чтобы общее число произведенных опытов было равно Теория вероятностей (опытов кончились «неудачно», а п—«удачно»). Последний опыт по условию должен быть «удачным», а в предыдущих Теория вероятностей опытах должны произвольным образом распределиться п—1 
«удачных» и k «неудачных» опытов. Вероятность этого равна 

Теория вероятностей

Полученный закон распределения является естественным обобщением закона Паскаля. Мы будем его называть «обобщенным законом Паскаля п-го порядка». Случайную величину X можно представить в виде суммы п независимых случайных величин: 

Теория вероятностей

где каждая случайная величина Теория вероятностей распределена по закону Паскаля: 

Теория вероятностей

Действительно, общее число «неудачных» опытов складывается из: 1) числа «неудачных» опытов до первого появления события А; 2) числа «неудачных» опытов от первого 
до второго появления события А и т. д. 

Отсюда получаем числовые характеристики величины

Теория вероятностей

и характеристическую функцию 

Теория вероятностей

Пример 8.62. Условия задачи те же, что и в задаче 8.61, но случайная величина У представляет собой общее число опытов, произведенных до л-кратного появления события А. Найти 
закон распределения, числовые характеристики и характеристическую функцию случайной величины Y. 

Решение:

Теория вероятностей где X — случайная величина, фигурирующая в предыдущей задаче. Отсюда 

Теория вероятностей

Числовые характеристики величины

Теория вероятностей

Характеристическая функция 

Теория вероятностей

Пример 8.63. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по обобщенному закону Эрланга (Теория вероятностей—1)-го порядка (см. задачу 8.31): 

Теория вероятностей

Решение:

Обобщенный закон Эрланга (п—1)-го порядка получается как результат сложения Теория вероятностейТеория вероятностей независимых случайных величин, распределенных по показательным законам с различными параметрами Теория вероятностей

Следовательно, характеристическая функция будет равна произведению Теория вероятностей характеристических функций показательных законов (см. задачу 8.55): 

Теория вероятностей

Если все Теория вероятностей случайных величин распределены одинаково, то получаем закон Эрланга (Теория вероятностей—1)-го порядка: 

Теория вероятностей

с характеристической функцией 

Теория вероятностей

Пример 8.64. Имеется случайная величина Y, распределенная по показательному закону с параметром Теория вероятностей

Теория вероятностей

Случайная величина X при заданном значении случайной величины Y=y распределена по закону Пуассона с параметром у

Теория вероятностей

Найти безусловный закон распределения случайной величины X. 

Решение:

Полная вероятность события X=k будет 

Теория вероятностей

Если ввести обозначения 

Теория вероятностей

получим

Теория вероятностей

т. е. случайная величина X подчинена закону Паскаля с параметром Теория вероятностей

Пример 8.65. На космическом корабле установлен счетчик Гейгера для определения числа космических частиц, попадающих в него за некоторый случайный интервал времени Т. 
Поток космических частиц—пуассоновский с плотностью Теория вероятностей каждая частица регистрируется счетчиком с вероятностью р. Счетчик включается на время Т, распределенное по показа- 
показательному закону с параметром Теория вероятностей Случайная величина X — число зарегистрированных частиц. Найти закон распределения и характеристики Теория вероятностей случайной величины X. 

Решение:

Предположим, что T—t, и найдем условную вероятность того, что X = m (m = 0, 1, 2, ...): 

Теория вероятностей

Тогда полная вероятность события  X = m будет 

Теория вероятностей

Это есть распределение Паскаля с параметром Теория вероятностей(см. предыдущую задачу), поэтому (см, задачу 5.15) 

Теория вероятностей

Пример 8.66. Решить задачу 8.65 при условии, что счетчик включается на случайное время Т с плотностью распределения 
f(t) (t>0). 

Решение:

Также, как и в предыдущей задаче, условный закон распределения величины X при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Безусловный закон распределения будет 

Теория вероятностей

Находим числовые характеристики случайной величины X. Условное математическое ожидание Теория вероятностей безусловное математическое ожидание 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей Аналогично находим второй начальный момент случайной величины X (заметим, что так можно находить только начальные безусловные моменты, а не центральные): 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — дисперсия случайной величины Т. Отсюда имеем 

Теория вероятностей

Пример 8.67. Решить предыдущую задачу для конкретного случая, когда f{t) есть закон Эрланга Теория вероятностей порядка с параметром Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Итак, величина Теория вероятностей распределена по «обобщенному закону Паскаля Теория вероятностей-го порядка» (см. задачу 8.61) с параметром Теория вероятностей

Математическое ожидание случайной величины Т, распределенной по закону Эрланга k-гo порядка, будет Теория вероятностейа дисперсия Теория вероятностей Следовательно, по формулам, 
полученным в предыдущей задаче, 

Теория вероятностей

что, как и в задаче 8.61, можно представить в виде 

Теория вероятностей

Пример 8.68. Найти характеристическую функцию гамма-распределения 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Примечание. При целом Теория вероятностей гамма-распределение превращается в распределение Эрланга (« —1)-го порядка, так как 

Теория вероятностей

и характеристическая функция распределения Эрланга имеет такой же вид, как и для гамма-распределения (см. задачу 8.63). 

Пример 8.69*. Случайная величина Z представляет собой сумму случайного числа случайных слагаемых 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— одинаково распределенные случайные величины с плотностью f {x) и характеристической функцией Теория вероятностей а случайная величина Y распределена по сдвинутому на 
единицу закону Паскаля: 

Теория вероятностей

Случайные величины Теория вероятностей и Y независимы между собой. Требуется найти характеристическую функцию случайной величины Z и ее числовые характеристики. 

Решение:

Допустим, что случайная величина Теория вероятностей приняла значение Теория вероятностей При этой гипотезе 

Теория вероятностей

Характеристическая функция случайной величины Теория вероятностей будет равна 

Теория вероятностей

следовательно, характеристическая функция случайной величины Z будет 

Теория вероятностей

Так как Теория вероятностейто

Теория вероятностей

Откуда

Теория вероятностей

так как  Теория вероятностей Далее имеем 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Мы получили тот же результат, что и в задаче 8.51, но другим методом. 

Теория вероятностей

Пример 8.70. Найти характеристическую функцию случайной величины X, подчиненной закону Симпсона (закону равнобедренного треугольника) в интервале (a, b) (рис. 8.70). 

Решение:

Теория вероятностей

Итак,

Теория вероятностей

При Теория вероятностейимеем

Теория вероятностей

Сравнивая полученные результаты с решением задачи 8.54, заключаем, что распределение Симпсона можно рассматривать как композицию двух равномерных распределений на 
интервале Теория вероятностей

Пример 8.71. При измерении физических величин результат измерения неизбежно округляется в соответствии с минимальной ценой деления прибора. При этом непрерывная случайная вели- 
величина превращается в дискретную, возможные значения которой отделены друг от друга интервалами, равными цене деления. 

В связи с этим возникает следующая задача. Непрерывная случайная величина X, распределенная по закону плотностью f(x), округляется до ближайшего целого числа; по- 
получается дискретная случайная величина Теория вероятностей где под Ц (X) подразумевается целое 
число, ближайшее к X. 
Найти ряд распределения случайной величины Y и ее числовые характеристики: 
Теория вероятностей

Теория вероятностей

Решение:

График функции Ц (X)представлен на рис. 8.71. Правило округления в случае, когда расстояния от значения х до двух соседних целых значений равны, несущественно, так как для непрерывной случайной величины вероятность попадания в любую точку равна нулю. Вероятность того, что случайная величина Y примет целое значение k, равна 

Теория вероятностей

откуда

Теория вероятностей

Пример 8.72. Случайные величины Х и Y независимы и распределены по законам Пуассона с параметрами а и Ь. Найти закон распределения их разности Z = X—У и модуля их 
разности Теория вероятностей

Решение:

Случайная величина Z может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Вероятность того, что Z примет значение Теория вероятностей равна сумме вероятностей того, что X и Y примут два значения, различающиеся на k (причем X—больше или равно Y): 

Теория вероятностей

*) Если единица измерения (цена деления прибора) мала по сравнению с диапазоном возможных значений случайной величины X, то Теория вероятностей

Вероятность того, что Z примет отрицательное значение Теория вероятностей будет 

Теория вероятностей

Для случайной величины U получим 

Теория вероятностей

Эти вероятности могут быть записаны с помощью модифицированных цилиндрических функций 1-го рода: 

Теория вероятностей

При этом

Теория вероятностей

Пример 8.73. Грибник вышел собирать грибы в лесу. Радиус обзора его равен R. Перемещаясь по лесу, он обнаруживает каждый гриб, находящийся в пределах круга обзора, с вероятностью р (v), которая зависит от скорости передвижения грибника по лесу. Считается, что грибы в лесу 
образуют пуассоновское поле точек с плотностью Теория вероятностей (Теория вероятностей— среднее число грибов на единицу площади). 

Определить оптимальную скорость движения грибника по лесу, при которой он за время t обнаружит в среднем наибольшее количество грибов, если вероятность  р (v) задана 
формулой 

Теория вероятностей

и грибник не возвращается на уже пройденные им места. 

Таблицы цилиндрических функций можно найти в справочниках. 

Решение:

За время t грибник просмотрит полосу, площадь которой Теория вероятностей и обнаружит в среднем количество грибов, равное Теория вероятностей

Для нахождения оптимальной скорости движения продифференцируем величину Теория вероятностей по v и приравняем производную нулю: 

Теория вероятностей

 откуда оптимальное значение скорости будет  Теория вероятностей

Пример 8.74. В условиях задачи 8.73 грибник идет со скоростью v и собирает все обнаруженные им грибы. Веса отдельных грибов представляют собой независимые случайные величины Теория вероятностей распределенные по одному и тому же закону с математическим ожиданием Теория вероятностей и дисперсией Теория вероятностей Найти математическое ожидание общего веса Z всех собранных грибов за время t и (приближенно, считая число грибов большим), вероятность того, что эта величина превзойдет 
заданную емкость корзинки Теория вероятностей

Решение:

Число собранных грибов X будет случайной величиной, распределенной по закону Пуассона с параметром Теория вероятностей Общий вес всех собранных грибов будет 

Теория вероятностей

В соответствии с решением, изложенным в задаче 8.51 или 8.69, имеем Теория вероятностей Далее 

Теория вероятностей

так как для распределения Пуассона Теория вероятностей Считая приближенно случайную величину Z распределенной нормально, получим 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Пример 8.75. Известна плотность распределения f(x, у) системы случайных величин (X, Y). Найти закон распределения их разности: Z = X—У. 

Решение:

Для системы (X, —Y) плотность распределения есть Теория вероятностей поэтому из Теория вероятностей находим 

Теория вероятностей

Если случайные величины (X, Y) независимы, то

Теория вероятностей

Пример 8.76. Найти плотность распределения разности двух независимых показательно распределенных случайных величин 

Теория вероятностей

с параметрами Теория вероятностейТеория вероятностейТеория вероятностей

Решение: 

Теория вероятностей отлично от нуля при Теория вероятностей отлично от нуля при х z > 0. 

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Параметры этого закона: 

Теория вероятностей

Кривая распределения будет иметь вид, изображенный на рис. 8.76, а. 
При Теория вероятностейполучаем Теория вероятностей (Рис- 8-76. б) Такой закон распределения называется законом Лапласа. 

Случайные функции 

Случайной функцией X (t) называется функция, которая в результате опыта может принять тот или иной конкретный вид, неизвестно заранее, какой именно. 

Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется реализацией случайной функции. 

При фиксированном t случайная функция X (t) обращается в случайную величину X (t), называемую сечением случайной функции. 

Одномерным законом распределения случайной функции X (t) называется закон распределения Теория вероятностей сечения X (t) случайной функции. 

Двумерным законом распределения случайной функции X (t) называется закон распределения системы двух ее сечений: Теория вероятностейпредставляющий собой функцию четырех аргументов: 

Теория вероятностей

Случайная функция X (t) называется нормальной, если закон распределения системы любого числа Теория вероятностей ее сечений представляет собой Теория вероятностей-мерный нормальный закон. 

Математическим ожиданием случайной функции  X (t) называется неслучайная функция Теория вероятностей которая при каждом t представляет собой математическое ожидание соответствующего сечения случайной функции: Теория вероятностей

Корреляционной функцией случайной функции X (t) называется неслучайная функция двух аргументов Теория вероятностей которая при каждой паре значений аргументов Теория вероятностей равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайной функции: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — центрированная случайная функция. 
При Теория вероятностей корреляционная функция превращается в дисперсию случайной функции: 

Теория вероятностей

Основные свойства корреляционной функции: 
1) Теория вероятностей т. е. функция Теория вероятностей не меняется при замене t на Теория вероятностей (симметричность). 
2)Теория вероятностей

3) Функция Теория вероятностей —положительно определенная, т. е. 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — любая функция, 
(В) —любая область интегрирования, одинаковая для обоих аргументов. 

Для нормальной случайной функции характеристики Теория вероятностейТеория вероятностей являются исчерпывающими и определяют собой закон распределения любого числа сечений. 

Нормированной корреляционной функцией случайной функции X (t) называется функция 

Теория вероятностей

т. е. коэффициент корреляции сечений X (t) и Теория вероятностей при Теория вероятностейфункция Теория вероятностей равна единице: Теория вероятностей

При прибавлении к случайной функции X (t) неслучайного слагаемого Теория вероятностей к ее математическому ожиданию прибавляется то же неслучайное слагаемое, а корреляционная функция не меняется. 

При умножении случайной функции X (t) на неслучайный множитель Теория вероятностей ее математическое ожидание умножается на тот же множитель Теория вероятностей а корреляционная функция—на Теория вероятностей и Теория вероятностей

Если случайную функцию X (t) подвергают некоторому преобразованию Теория вероятностей то получается другая случайная функция

 Теория вероятностей

Преобразование Теория вероятностей называется линейным однородным, если 

Теория вероятностей

(т. е. преобразование к сумме может применяться почленно); 

Теория вероятностей

(т. е. множитель с, не зависящий от аргумента t, по которому производится преобразование, можно выносить за знак преобразования). 

 Преобразование Теория вероятностей называется линейным неоднородным, если 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—любая функция, никак не связанная с X (t). 
Если случайная функция Y (t) связана со случайной функцией X (t) линейным преобразованием 

Теория вероятностей

то ее математическое ожидание Теория вероятностей получается из Теория вероятностей тем же линейным преобразованием 

Теория вероятностей

а для нахождения корреляционной функции Теория вероятностей нужно дважды подвергнуть функцию Теория вероятностей соответствующему линейному однородному преобразованию, один раз по t, другой раз по t'

Теория вероятностей

Взаимной корреляционной функцией Теория вероятностей двух случайных функций X (t) и Y (t) называется функция 

Теория вероятностей

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что

Теория вероятностей

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных функций X (t), Y (t) называется функция 

Теория вероятностей

Случайные функции X (t) и У (t) называются  некоррелированными, если Теория вероятностей

Если Теория вероятностейто

Теория вероятностей

В случае, если случайные функции X (t) и У (t) некоррелированы, 

Теория вероятностей

Если

Теория вероятностей

где Теория вероятностей некоррелированные случайные функции, то 

Теория вероятностей

При выполнении различных преобразований со случайными функциями часто бывает удобно записывать их в комплексном виде. 

Комплексной случайной функцией называется случайная функция вида

Теория вероятностей

где X (t), Y (t)—действительные случайные функции. 
Математическое ожидание, корреляционная функция и дисперсия комплексной случайной функции определяются следующим образом: 

Теория вероятностей

где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина; 

Теория вероятностей

При переходе к комплексным случайным величинам и функциям необходимо определять дисперсию как математическое ожидание квадрата модуля, а корреляционный момент—как математическое ожидание произведения центрированной одной случайной величины на 
комплексную сопряженную центрированной другой.
 

Каноническим разложением случайной функции X (t) называется ее представление в виде 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—центрированные, некоррелированные случайные величины с дисперсиями Теория вероятностей Теория вероятностей— неслучайные функции *). 

Случайные величины Теория вероятностей называются коэффициентами, а функции Теория вероятностей Теория вероятностейкоординатными функциями канонического разложения. 

Если случайная функция X (t) допускает каноническое разложение (1) в действительной форме, то корреляционная функция Теория вероятностей выражается суммой вида 

Теория вероятностей

которая называется каноническим разложением корреляционной функции. 

Если случайная функция X (t) допускает каноническое разложение A) в комплексной форме, то каноническое разложение корреляционной функции имеет вид 

Теория вероятностей

где чертой вверху обозначена комплексная сопряженная величина. Из возможности канонического разложения вида (2) или (3) корреляционной функции вытекает представимость случайной функции Теория вероятностей в виде канонического разложения (1), где случайные величины 
Теория вероятностей имеют дисперсии Теория вероятностей

При линейном преобразовании случайной функции X (t), заданной каноническим разложением A), получается случайная функция Теория вероятностей в виде канонического разложения 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

т. е. при линейном преобразовании случайной функции, заданной каноническим разложением, ее математическое ожидание подвергается тому же линейному преобразованию, а координатные функции — соответствующему линейному однородному преобразованию. 

*) В частности, может быть Теория вероятностей

Стационарной случайной функцией X (t) *) называется случайная функция, математическое ожидание которой постоянно, Теория вероятностей Теория вероятностей
 а корреляционная функция зависит только от разности между своими аргументами Теория вероятностейгде Теория вероятностей

Из симметричности корреляционной функции Теория вероятностей следует, что Теория вероятностей т. е. корреляционная функция стационарной случайной функции есть четная функция аргумента Теория вероятностей 

Дисперсия стационарной случайной функции постоянна: 

Теория вероятностей

Корреляционная функция стационарной случайной функции обладает свойством: 

Теория вероятностей

Нормированная корреляционная функция Теория вероятностей стационарной случайной функции X (t) равна

Теория вероятностей

Каноническое разложение стационарной случайной функции имеет вид 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—центрированные, некоррелированные случайные величины с попарно равными дисперсиями 

Теория вероятностей

Разложение (4) называется спектральным. Спектральному разложению стационарной случайной функции соответствует разложение в ряд ее корреляционной функции 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Спектральное разложение (4) стационарной случайной функции при Теория вероятностей можно переписать в комплексной форме: 

Теория вероятностей

*) Точнее, стационарной в широком смысле. 

где

Теория вероятностей

Спектральной плотностью стационарной случайной функции X (t) называется предел отношения дисперсии, приходящейся на данный интервал частот, к длине этого интервала, когда последняя стремится к нулю. Спектральная плотность Теория вероятностей и корреляционная 
функция Теория вероятностей связаны преобразованиями Фурье. В действительной форме они имеют вид 

Теория вероятностей

из последнего соотношения вытекает, что 

Теория вероятностей

В комплексной форме преобразования Фурье, связывающие спектральную плотность Теория вероятностей и корреляционную функцию, имеют вид 

Теория вероятностей

где  Теория вероятностей

Как Теория вероятностей так и Теория вероятностей —действительные, неотрицательные четные функции, но Теория вероятностей рассматривается только в интервале Теория вероятностей

Нормированной спектральной плотностью Теория вероятностей называется спектральная плотность, деленная на дисперсию случайной функции 

Теория вероятностей

Белым шумом называется случайная функция X (t), любые два различные (сколь угодно близкие) сечения которой не коррелированы и корреляционная функция которой пропорциональна дельта- функции: 

Теория вероятностей

Величина G (t) называется интенсивностью белого шума. 
Стационарным белым шумом называется белый шум с постоянной интенсивностью Теория вероятностей = G = const. 

Корреляционная функция стационарного белого шума имеет вид 

Теория вероятностей

откуда его спектральная плотность постоянна и равна 

Теория вероятностей

Дисперсия стационарного белого шума равна Теория вероятностей т. е. бесконечна. 

Если на вход стационарной линейной системы L поступает стационарная случайная функция X (t), то спустя некоторое время, достаточное для затухания переходного процесса, случайная функция Y (t) на выходе линейной системы также будет стационарной. 
Спектральные плотности входного и выходного сигналов связаны соотношением 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— амплитудно-частотная характеристика линейной системы. 

Говорят, что стационарная функция X (t) обладает эргодическим свойством, если ее характеристики Теория вероятностей могут быть определены как соответствующие средние по времени для одной реализации достаточно большой продолжительности. Достаточным условием 
эргодичности стационарной случайной функции (по математическому ожиданию) является стремление к нулю ее корреляционной функции при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Для того чтобы случайная функция X (t) была эргодична по дисперсии Теория вероятностей достаточно, чтобы случайная функция Теория вероятностейобладала аналогичным свойством, т. е. при Теория вероятностей

Теория вероятностей

При решении задач, связанных со случайными функциями, часто бывает удобно выполнять преобразования с помощью различных скачкообразных функций, а также обобщенных функций типа дельта-функции. 

Приводим определения и основные свойства таких функций от действительного аргумента Теория вероятностей 

1. Теория вероятностей- — модуль (абсолютная величина): 

Теория вероятностей

2. Теория вероятностей— единичная функция (единичный скачок): 

Теория вероятностей

*) Для того чтобы случайная функция была эргодична по корреляционной функции, нужно, чтобы аналогичным свойством обладала функция Теория вероятностей 

3. sign Теория вероятностей — знак величины Теория вероятностей (сигнум):

 Теория вероятностей

4. Теория вероятностей—дельта-функция: 

Теория вероятностей

Дельта-функция —четная функция Теория вероятностей Основные свойства дельта-функции: 

а)Теория вероятностей и вообще Теория вероятностей если Теория вероятностей—нечетная функция, непрерывная при Теория вероятностей = 0. 

Теория вероятностейесли функция Теория вероятностей непрерывна в точкеТеория вероятностей

если функция Теория вероятностей непрерывна в точке  Теория вероятностей

Из этих определений вытекают следующие свойства, имеющие место для любых действительных Теория вероятностей и нечетной функции Теория вероятностей

Теория вероятностей

12. Для нечетных положительных Теория вероятностей Для четных положительных

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 9.4. Показать, что любая функция двух аргументов вида 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — неотрицательные числа, 
Теория вероятностей— любые действительные функции Теория вероятностей обладает всеми свойствами корреляционной функции. 

Решение:

Достаточно показать, что существует случайная функция X (t), имеющая корреляционную функцию (9.4). 
Рассмотрим действительную случайную функцию X(t), заданную в виде канонического разложения 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Корреляционная функция этой случайной функции имеет вид

Теория вероятностей

что и требовалось доказать. 

Пример 9.5. Случайная функция X(t) имеет характеристики Теория вероятностей и Теория вероятностей Определить характеристики случайной функции Теория вероятностей Определить, являются 
ли стационарными случайные функции X (t) и Y (t). 

Решение:

В силу линейности преобразования Теория вероятностей

Теория вероятностей

Ни одна из случайных функций X{t) и Y(t) не является стационарной, так как их корреляционные функции зависят не только от Теория вероятностейно от каждого из аргументов Теория вероятностей

Пример 9.6. Случайная функция X(t) имеет характеристики: 

Теория вероятностей

Найти характеристики случайной функции 

Теория вероятностей

Определить, стационарны ли случайные функции X(t) и Y(t)

Решение:

В силу линейности преобразования Теория вероятностей

Теория вероятностей

Случайная функция X(t) стационарна Теория вероятностей Теория вероятностей случайная функция Теория вероятностей не стационарна. Действительно, дисперсия случайной функции 
Теория вероятностей равна

 Теория вероятностей

т. е. зависит от t. 

Пример 9.9. Траектория космического летательного аппарата в вертикальной плоскости изображается двумя уравнениями: 

Теория вероятностей

Коэффициенты А, В, С, E, F, H являются случайными, так как определяются из опыта с ошибками; номинальные значения величин А, В, ..., Н равны а, Ь, ..., h соответственно; ошибки Теория вероятностей представляют собой случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и дисперсиями Теория вероятностей Нормированная корреляционная матрица этих ошибок имеет вид 

Теория вероятностей

Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию случайных функций V (t) и U(t), представляющих собой горизонтальную и вертикальную составляющие 
скорости снаряда. 

Решение:

Из условий задачи следует, что 

Теория вероятностей

Таким образом, случайные функции V{t) и U(t) представлены в виде разложений (не канонических, так как их коэффициенты зависимы). Имеем 

Теория вероятностей

Пример 9.10. Случайная функция X(t) имеет характеристики 

Теория вероятностей

Определить характеристики случайных функций 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

При вычислении Теория вероятностеймы уже нашли Теория вероятностейследовательно , 

Теория вероятностей

Пример 9.11. Случайная функция X(t) задана выражением 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—случайная величина с характеристиками Теория вероятностейНайти характеристики случайной функции Теория вероятностейТеория вероятностейОпределить, является ли случайная функция X (t) стационарной. Найти характеристики случайной функции 

Теория вероятностей

где а-—не случайная величина. 
Является ли стационарной случайная функция Теория вероятностей?

Решение:

Теория вероятностей

Случайную функцию Y(t) можно представить в виде 

Теория вероятностей

отсюда 

Теория вероятностей

Случайные функции X{t) и Y(t) не стационарны.

Пример 9.12. Задана случайная функция 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей и Теория вероятностей — некоррелированные случайные величины с характеристиками Теория вероятностей  Найти характеристики случайной функции X(t). 

Решение:

Случайная функция X (t) представлена каноническим разложением, следовательно, 

Теория вероятностей

Пример 9.14. Случайная функция Теория вероятностей задана каноническим разложением 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей и Теория вероятностей — некоррелированные случайные величины с математическими ожиданиями, равными нулю, и с дисперсиями Теория вероятностей Определить, является ли стационарной 
случайная функция X(t). 

Решение:

Теория вероятностейТеория вероятностей

Корреляционная функция случайной функции X(t) удовлетворяет условию стационарности, однако математическое ожидание Теория вероятностей зависит от времени. Случайная функция 
X(t) не стационарна, но центрированная случайная функция X(t) стационарна. 

Пример 9.15. Заданы две случайные функции: 

Теория вероятностей

Математические ожидания всех случайных величин Теория вероятностейТеория вероятностей  равны нулю, дисперсии равны Теория вероятностейТеория вероятностей нормированная корреляционная матрица системы* Теория вероятностей имеет вид 

Теория вероятностей

 Определить взаимную корреляционную функцию  Теория вероятностейи найти значение этой функции при Теория вероятностей Определить Теория вероятностейи найти значение этой функции при Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Пример 9.16. Имеются две некоррелированные случайные функции X (t) и Y (t) с характеристиками 

Теория вероятностей

Найти характеристики случайной функции Теория вероятностей Теория вероятностей
 Решить ту же задачу, если случайные функции X(t), Y (t) коррелированы и их взаимная корреляционная функция равна Теория вероятностей

Решение:

В случае, если Теория вероятностей

Теория вероятностей

В случае, когда Теория вероятностей не меняется; 

Теория вероятностей

Пример 9.17. Случайная функция X(t) имеет характеристики Теория вероятностей Найти ее спектральную плотность Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

где Re — действительная часть. 

Пример 9.18. Найти спектральную плотность случайной функции X{t), если ее корреляционная функция 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

(Re — действительная часть). 

Пример 9.20. Рассматривается случайная функция X(t), представляющая собой число заявок, поступивших на телефонную станцию за время t. Одна из реализаций случайной функции X(t) показана на рис. 9.20а. Поток заявок простейший с плотностью Теория вероятностей 

Теория вероятностей
Найти закон распределения сечения случайной функции X(t) и ее характеристики 
Теория вероятностей

Решение:

Закон распределения сечения X (t) есть закон Пуассона с параметром 
Теория вероятностей значит, вероятность того, что случайная величина X (t) примет значение Теория вероятностей выражается формулой 
Теория вероятностей

Математическое ожидание и дисперсия случайной функции X{t) будут 

Теория вероятностей

Найдем корреляционную функцию Теория вероятностейПусть Теория вероятностей Рассмотрим интервал времени Теория вероятностей (рис. 9.206). Разобьем этот интервал на два участка: от 0 до t и от t до Теория вероятностей. Число вызовов на всем интервале Теория вероятностей равно сумме чисел вызовов на интервалах Теория вероятностейи Теория вероятностей

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — число вызовов, пришедших на интервале (t, t'); вследствие стационар- 
стационарности процесса случайная функция Y (t) имеет то же распределение, что и X (t); кроме того, согласно свойствам пуассоновского потока событий, случайные величины X (t) 
и Теория вероятностей не коррелированы. 

Теория вероятностей

Имеем 

Теория вероятностей

Аналогично при Теория вероятностей получаем 

Теория вероятностей

Таким образом, 

Теория вероятностей

где min {t, t'}—минимальная из величин Теория вероятностей (при t = t' в качестве минимальной можно взять любую из величин Теория вероятностей.

Пользуясь символом единичной функции 1 (Теория вероятностей), можно записать корреляционную функцию в виде 
 Теория вероятностей

*) Возможностью появления вызова в точности в моментпренебрегаем. 

На рис. 9.20в показана поверхность Теория вероятностей В квадранте t > 0 и f > О поверхность Теория вероятностей состоит из двух плоскостей, проходящих соответственно через оси Ot и Теория вероятностей

Теория вероятностей

и пересекающихся по линии Теория вероятностей аппликаты точек которой равны дисперсии Теория вероятностей

Нормированная корреляционная функция равна 

Теория вероятностей

Поверхность Теория вероятностей показана на рис. 9.20г. 

Пример 9.21. Случайный процесс Теория вероятностей возникает следующим образом. На оси времени Ot имеется стационарный пуассоновский (простейший) поток событий с плотностью Теория вероятностей Случайная функция X (t) попеременно принимает значения + 1 и —1; при наступлении каждого события она скачком меняет свое значение с +1 на -1 или наоборот (рис. 9.21а). 

Теория вероятностей

Найти характеристики Теория вероятностей случайной функции X{t). 

Решение:

Сечение случайной функции X(t) имеет закон распределения, представленный рядом 

Теория вероятностей

Действительно, так как моменты перемен знака никак не связаны со значением случайной функции, нет никаких оснований считать какое-либо из значений+1,—1 вероятнее 
другого. Отсюда 

Теория вероятностей

Чтобы найти корреляционную функцию Теория вероятностей рассмотрим какие-то два сечения случайной функции: X (t) и X(t') Теория вероятностей и найдем математическое ожидание их произведения: 

Теория вероятностей

Произведение X(t)X(t') равно—1, если между точками t и t' произошло нечетное число событий (перемен знака), и равно+1, если произошло четное число перемен знака (включая нуль). 

Вероятность того, что за время Теория вероятностей произойдет четное число перемен знака, равна 

Теория вероятностей

аналогично вероятность того, что за время Теория вероятностей произойдет нечетное число перемен знака, будет 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Аналогично при t'<.t найдем 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Объединяя эти две формулы, получим 

Теория вероятностей

График этой функции показан на рис. 9.216. Поверхность Теория вероятностей показана 
на рис. 9.21в. 

Теория вероятностей

Случайная функция  Теория вероятностей стационарна. Ее спектральная    плотность равна 

Теория вероятностей

Пример 9.22. Случайный процесс X(t) возникает следующим образом. На оси Ot имеется стационарный пуассоновский поток событий с плотностью Теория вероятностей (рис. 9.22).

Теория вероятностей

При наступлении каждого события случайная функция X(t) скачком меняет свое значение, принимая, независимо от  предыстории процесса, случайное значение V и сохраняя его до момента появления следующего события. Случайная величинанепрерывна и имеет плотность распределения Теория вероятностей Найти характеристики Теория вероятностей и Теория вероятностей случайной функции X(t). 

Решение:

Любое сечение случайной функции X (t) распределено по закону Теория вероятностей отсюда 

Теория вероятностей

Корреляционную функцию Теория вероятностейнаходим с помощью того же приема, что и в задаче 9.21. Рассмотрим два сечения X(t) и X(t') Теория вероятностей разделенные интервалом Теория вероятностей
Имеем 

Теория вероятностей

Если между точками t, t' не появилось ни одного события, то Теория вероятностей Если 
между точками t, t' появилось хотя бы одно событие, то Теория вероятностей 

Отсюда 

Теория вероятностей

Аналогично при Теория вероятностей откуда корреляционная функция стационарного случайного процесса X (t) равна 

Теория вероятностей

Эта корреляционная функция не зависит от вида закона распределения Теория вероятностей а зависит только от его дисперсии Теория вероятностей

Пример 9.23. Случайный входной сигнал X(t) преобразуется с помощью реле в случайный выходной сигнал Y(t), связанный с X(t) нелинейной зависимостью Теория вероятностей т.е.

Теория вероятностей

Входной сигнал представляет собой случайную функцию X(t), рассмотренную в предыдущей задаче 9.22. Найти закон распределения сечения случайной функции Y(t) и ее характеристики Теория вероятностей

Решение:

Случайная функция Y(t) может принимать только два значения: -j-1 и—1 (значением 0 можно пренебречь, т. к. Р (X (t) = О) = 0). Вероятность того, что X (t) > 0, равна Теория вероятностей Ряд распределения случайной величины Y(t) имеет вид Теория вероятностей

Отсюда Теория вероятностей Теория вероятностейПусть Теория вероятностей > t и Теория вероятностейt = x. Если за время Теория вероятностей в пуассоновском потоке не появилось ни одного события (а вероятность этого равна 
Теория вероятностей), то значения случайной функции Y(t) и Y(t') равны друг другу и условная корреляционная функция Теория вероятностейТеория вероятностей Если же за время т появилось хотя бы одно событие, то Теория вероятностей и Теория вероятностей между собой не коррелированы и условная корреляционная функция Теория вероятностейравна нулю. Отсюда при t' >

Теория вероятностей

а в общем случае (при любых t, t'

Теория вероятностей

Пример 9.24. Случайный входной сигнал X(t), рассмотренный в задаче 9.22, преобразуется в случайный выходной сигнал Y(t) с помощью реле с зоной нечувствительности: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — зона нечувствительности реле. 
Требуется найти закон распределения сечения случайной функции Y(t) и ее характеристики: математическое ожидание и корреляционную функцию. 

Решение:

Случайная величина Y(t) при любомможет принимать одно из трех значений: — 1, 0, 1 и имеет ряд распределения 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Отсюда

Теория вероятностей

Рассуждая аналогично тому, как мы это делали в предыдущей задаче, определяем корреляционную функцию 

Теория вероятностей

График зависимости у (х) показан на рис. 9.25а. 
На вход такого элемента поступает случайная функция X(t), рассмотренная в задаче 9.22. Найти одномерный закон распределения случайной функции Y(t) и ее характеристики: математическое ожидание и корреляционную функцию. 

Теория вероятностей

Решение:

Случайная величина Y (t) — сечение случайной функции Y(t)—имеет непрерывное распределение в открытом интервале Теория вероятностей и, кроме того, дискретные 
возможные значения Теория вероятностей с отличной от нуля вероятностью; таким образом, сечение Y(t) представляет собой смешанную случайную величину, функция распределения 
которой F(у) непрерывна на участке Теория вероятностей, а на концах участка — в. точках Теория вероятностей и Теория вероятностей — терпит разрыв. Скачки F(y) в точках разрыва равны 

Теория вероятностей

Найдем функцию распределения случайной величины Y(t) в промежутке Теория вероятностей

Теория вероятностей

График функции распределения F (у) показан на рис. 9.256. 

Теория вероятностей

Плотность распределения смешанной случайной величины Y(t) в  интервале Теория вероятностей равна производной от F(y) на этом интервале: 

Теория вероятностей

при Теория вероятностей

Характеристики случайной функции Y(t) равны 

Теория вероятностей

Аналогично предыдущим задачам находим корреляционную функцию 

Теория вероятностей

Пример 9.26*. Рассматривается случайная функция Теория вероятностей Теория вероятностейгде W—центрированная случайная величина с дисперсией Теория вероятностей Теория вероятностей— случайная величина, распределенная с постоянной плотностью в интервале Теория вероятностей а Теория вероятностей— неслучайный параметр Теория вероятностей Случайные величины W и независимы. Определить характеристики случайной функции 
Y(t): математическое ожидание, корреляционную функцию. Определить, является ли случайная функция Теория вероятностей стационарной и эргодической. Если она стационарна, найти ее 
спектральную плотность Теория вероятностей

Решение:

Представим случайную функцию Y(t) в виде 

Теория вероятностей

Обозначим

Теория вероятностей

Найдем сначала основные характеристики системы случайных величин U и V

Теория вероятностей

Так как величина Теория вероятностей распределена равномерно в интервале Теория вероятностей то 

Теория вероятностей

Итак, имеем 

Теория вероятностей

Следовательно, выражение 

Теория вероятностей

представляет собой спектральное разложение стационарной случайной функции, корреляционная функция которой имеет вид 

Теория вероятностей

График этой функции показан на рис. 9.26. 

Теория вероятностей

Эргодичной Y(t) не является, так как характеристики, найденные по одной реализации, не совпадают с  характеристиками, определенными по множеству реализаций. Действительно, каждая реализация случайной функции Y(t) есть гармоническое колебание, амплитуда которого представляет собой значение, случайно принятое величиной W. Среднее по времени для каждой такой реализации будет равно нулю и совпадает с математическим ожиданием случайной функции Y(t), но дисперсия и корреляционная функция, найденные 
как средние по времени для одной реализации, уже не будут совпадать с соответствующими характеристиками случайной функции Y(t). Например, 

Теория вероятностей

Найдем спектральную плотность случайной функции Y(t). Покажем, что она пропорциональна дельта-функции: 

Теория вероятностей

Действительно, при такой спектральной плотности корреляционная функция будет равна 

Теория вероятностей

что совпадает с корреляционной функцией для Y(t). А так как прямое и обратное преобразования Фурье определяют спектральную плотность и корреляционную функцию взаимно однозначно, то написанное выше выражение для Теория вероятностейдает спектральную плотность случайной функции Y(t)

Если воспользоваться не действительной, а комплексной формой преобразований Фурье, получим спектральную плотность Теория вероятностей в виде 

Теория вероятностей

Заметим, что в аналогичном виде можно было бы записать и 

Теория вероятностей

но для положительных Теория вероятностей (так как Теория вероятностейТеория вероятностей

Пример 9.27. Случайная функция X (t) представляет собой случайную величину U: X(t) = U с заданными числовыми характеристиками Теория вероятностей 

Найти характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию. Определить, является ли случайная функция X(t) а) стационарной, б) эргодичной. Если она стационарна, найти ее спектральную плотность. 

Решение:

Теория вероятностей

Так как Теория вероятностей и Теория вероятностей, то случайная функция X(t) стационарна. Так как среднее по времени для каждой реализации равно значению, принятому случайной величиной U в этой реализации, и различно для разных реализаций, то случайная функция X(t) не эргодична. 

Рассматривая случайную функцию X (t) как частный вид при Теория вероятностей случайной функции  Теория вероятностей рассмотренной в предыдущей задаче, получим для нее 
спектральную плотность вида 

Теория вероятностей

Пример 9.28. Случайная функция X(t) строится следующим образом. В точке t = 0 она случайным образом и с одинаковой вероятностью принимает одно из значений: + 1 или — 1 
и остается постоянной до Теория вероятностей.  В точке Теория вероятностей она снова, с одинаковой вероятностью 1/2 и независимо от того, какое значение она имела на предыдущем участке, принимает одно из значений + 1 или — 1 и сохраняет его до следующей целочисленной точки t = 2, и так далее. 
Вообще функция X (t) постоянна на любом участке , где п — натуральное число, а на грани- 
границе каждого нового участка независимо от предыдущих принимает одно из значений +1 или —1 с вероятностью 1/2. Одна из возможных реализаций случайной функции X(t)  
показана на рис. 9.28а. Требуется определить характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию. Определить, является ли 
случайная функция X(t) стационарной. 

Теория вероятностей
 

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

Найдем корреляционную функцию Теория вероятностей

Если точки t и Теория вероятностей относятся к одному и тому же интервалу Теория вероятностей где п — целое, то  Теория вероятностей в противном случае Теория вероятностей = 0. Этот результат можно записать в более компактной форме, если обозначить через b(t) целую часть числа t (см. рис. 9.28а). Тогда получаем 

Теория вероятностей

Эта функция зависит не только отТеория вероятностей но также и от того, где на оси Ot находится участок Теория вероятностей; следовательно, случайная функция X(t) стационарной не является. 

Поверхность Теория вероятностей выглядит как ряд кубов с ребром, равным 1, поставленных на плоскости Теория вероятностей вдоль биссектрисы первого координатного угла, на которой t — t', так что диагонали 
оснований совпадают с биссектрисой (рис. 9.286). 

Теория вероятностей

Пример 9.29. Случайная функция X(t) формируется так же, как и в предыдущей задаче, с той разницей, 
что точки, в которых происходит «розыгрыш» нового значения случайной функции, не закреплены на оси Ot, а занимают на ней случайное положение, сохраняя между собой постоянное расстояние, равное единице (рис. 9.29а). Все положения начала отсчета относительно последовательности моментов «розыгрыша» одинаково вероятны. 

Найти характеристики случайной функции X (t) — математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию; определить, является ли случайная функция X (t) стационарной. 

Теория вероятностей

Решение:

Как и в предыдущем случае, 

Теория вероятностей

Найдем корреляционную функцию. Зафиксируем момент(рис. 9.29а). Этот момент случаен относительно точек, в которых случайная функция X (t) принимает новые значения. 
Обозначим Т промежуток времени, отделяющий точку от ближайшей точки, в которой будет «разыгрываться» новое значение X(t). Случайная величина Т будет распределена 
равномерно на участке от 0 до 1. Пусть Теория вероятностейЕсли Теория вероятностей то Теория вероятностей если Теория вероятностей то Теория вероятностей
Поэтому 

Теория вероятностей

Аналогично при Теория вероятностей < 0 получим 

Теория вероятностей

отсюда 

Теория вероятностей

График этой функции представлен на рис. 9.296. Так как Теория вероятностей то случайная функция X(t) стационарна. 

Теория вероятностей

Корреляционную функцию (9.29)  можно записать в более компактном виде с помощью единичной функции 1 Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 9.30. Условия предыдущей задачи (9.29) изменены в том отношении, что в каждый из случайных моментов Теория вероятностей разделенных единичными интервалами, случайная функция X(t) 
принимает (независимо от других) значение Теория вероятностей являющееся случайной величиной с математическим ожиданием Теория вероятностей и дисперсией Теория вероятностей и сохраняет его до следующей точки. Одна 
из реализаций такой случайной функций показана на рис. 9.30. Найти характеристики этой  
случайной функции: математическое ожидание, дисперсию и корреляционную функцию и 
определить, является ли случайная функция стационарной, а если стационарна, то 
какова ее спектральная плотность. 

Теория вероятностей

Решение:

Рассуждая точно так же, как и в предыдущей задаче, найдем 

Теория вероятностей

или, в другой записи, 

Теория вероятностей

где 1 Теория вероятностей — единичная функция. 

Случайная функция X(t) стационарна. Ее спектральная плотность 

Теория вероятностей

Пример 9.31. Случайная функция X(t) представляет собой ступенчатую знакопеременную функцию (рис. 9.31а), которая через единичные интервалы принимает попеременно значения: 
+1 и — 1. Положение ступенчатой функции относительно начала отсчета случайно; случайная величина Т, характеризующая сдвиг первой точки перемены знака относительно начала координат, есть случайная величина, распределенная равномерно в интервале (0, 1). 

Теория вероятностей

Найти характеристики случайной функции X: математическое ожидание  Теория вероятностей дисперсию Теория вероятностей

и корреляционную функцию. 

Решение:

Рассмотрим сечение случайной функции Теория вероятностей; оно с равной вероятностью может попасть как на участок, где случайная функция равна единице, так и на участок, где она равна минус единице. 

Следовательно, ряд распределения любого сечения имеет вид 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Найдем корреляционную функцию 

Теория вероятностей

Так как произведение Теория вероятностей может принимать только два значения +1 или —1, то 

где Теория вероятностей — вероятность того, что точки t и Теория вероятностей попадут на участки, в которых X (t) и Теория вероятностей имеют один и тот же знак. В силу равномерности распределения сдвига Т на рис. 9.31а мы можем перенести начало отсчета в левый конец того участка, на котором находится точка t, и считать, что точка t равномерно распределена в интервале (0, 1) (рис. 9.316). При таком толковании Теория вероятностей есть вероятность того, что точка Теория вероятностей попадает в какой-либо из интервалов  вида Теория вероятностей Теория вероятностейТеория вероятностей (эти интервалы отмечены жирными линиями на рис. 9.316). 

Теория вероятностей

Подсчитаем эту вероятность для разных значений Теория вероятностей При 0 < Теория вероятностей< 1 точка Теория вероятностей может попасть либо в интервал (0, 1), либо в интервал (0,2), поэтому 

Теория вероятностей

При 1 <Теория вероятностей<2 точка t-\-i может попасть либо в интервал (1, 2), либо в интервал (2, 3), поэтому 

Теория вероятностей

Продолжая эти рассуждения, получим 

Теория вероятностей

Отсюда видно, что Теория вероятностей а значит и Теория вероятностей зависит только от Теория вероятностей и является четной функцией Теория вероятностей. Следовательно, 

Теория вероятностей

График корреляционной функции представлен на рис. 9.31в. 

Теория вероятностей

 

Пример 9.32. Случайная функция X(t) представляет собой последовательность равноотстоящих положительных импульсов, имеющих одинаковую ширину Теория вероятностейНачало каждого импульса отделено от начала каждого следующего единичным интервалом (рис. 9.32а). Последовательность импульсов занимает относительно оси Ot случайное положение (см. 
условия предыдущей задачи). Величина Теория вероятностей импульса Теория вероятностей случайна, распределена по одному и тому же закону с математическим ожиданием Теория вероятностей и дисперсией Теория вероятностей и не зависит 
от величин остальных импульсов. Найти характеристики случайной функции X(t): математическое ожидание Теория вероятностейдисперсию Теория вероятностей и корреляционную функцию. 

Решение:

Математическое ожидание случайной функции X (t) по формуле полного математического ожидания равно 

Теория вероятностей

Дисперсию найдем через второй начальный момент: 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

В данном случае случайная функция X(t) не центрирована. Ее корреляционную функцию будем искать через второй смешанный начальный момент: 

Теория вероятностей

Найдем Теория вероятностей Будем его вычислять по формуле полного математического ожидания. Как и в предыдущей задаче, представим ось Ot покрытой перемежающимися уча- 
участками: зачерненные соответствуют импульсам, а светлые— промежуткам между ними. Обозначим Т — случайное значение левой границы участка Теория вероятностей Возможны три 
гипотезы: 

Теория вероятностей — обе точки Т и Теория вероятностей попали на участок одного и того же импульса; 
Теория вероятностей — одна из точек Т, Теория вероятностей попала на участок одного из импульсов, а другая—другого; 
Теория вероятностей — хотя бы одна из точек Т, Теория вероятностей попала вне участков каких-либо импульсов. 

При первой гипотезе величины Х(Т) и ХТеория вероятностей  совпадают и 

Теория вероятностей 

При второй гипотезе величины Х(Т) и ХТеория вероятностей представляют собой независимые случайные величины с одинаковыми математическими ожиданиями Теория вероятностей по теореме умножения математических ожиданий Теория вероятностей

При третьей гипотезе 

Теория вероятностей

Полное математическое ожидание будет 

Теория вероятностей

Вероятности Теория вероятностей и Теория вероятностей а значит, и корреляционная функция зависят только от Теория вероятностей

1) при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Корреляционная функция на этом интервале 

Теория вероятностей

2) при Теория вероятностей

Теория вероятностей

3) при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Дальнейшие интервалы значений Теория вероятностей исследуются аналогичным образом. 

Теория вероятностей

График функции Теория вероятностей представлен на рис. 9.326. 
При Теория вероятностей кривая Теория вероятностей периодически повторяется, достигая в целых точках местных максимумов, равных Теория вероятностей

Пример 9.33*. Рассматривается стационарная случайная функция X(t), представляющая собой пилообразное напряжение (рис. 9.33а). Начало отсчета занимает по отношению к зубцам случайное положение, как в задаче 9.31. Найти математическое ожидание Теория вероятностей дисперсию Теория вероятностей и корреляционную функцию. 

Теория вероятностей

Решение:

Математическое ожидание Теория вероятностей легко найти, если учесть, что распределение X(t) при любом t—равномерное на интервале (0,1). Отсюда Теория вероятностей

Для отыскания корреляционной функции поступим следующим образом: свяжем последовательность зубцов жестко с осью Ot, но зато будем случайным образом бросать на 
эту ось начало t отрезка Теория вероятностей (рис. 9.336). Так как зубцы периодичны, достаточно случайным образом бросать точку t на первый интервал (0,1), распределяя ее с постоянной 
плотностью. 

При этом, как видно из рис. 9.33б, значение X (t) = t, а значение Теория вероятностей равно дробной части числа Теория вероятностейт.е.

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— целая часть числа Теория вероятностейЕсли целая часть числа Теория вероятностей равна Теория вероятностейто

Теория вероятностей

и, значит,

Теория вероятностей

По формуле для математического ожидания функции от случайной величины t имеем при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Отсюда следует, что корреляционная функция зависит только от Теория вероятностей и при Теория вероятностейимеет вид 

Теория вероятностей

Это периодическая функция с периодом 1, график которой состоит из периодически повторяющихся отрезков парабол, обращенных выпуклостью вниз. 

В интервале Теория вероятностейэто парабола 

Теория вероятностей

с вершиной в точке Теория вероятностейПолагая Теория вероятностей получим Теория вероятностей

Пример 9.34. Рассматриваются две некоррелированные центрированные случайные функции X(t), Y(t) и их произведение Теория вероятностей Доказать, что корреляционная функция произведения равна произведению корреляционных функций сомножителей: 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей
Так как случайные функции X (t) и Y (t) не коррелированы и центрированы, то 

Теория вероятностей

отсюда

Теория вероятностей

и

Теория вероятностей

Отсюда, в частности, при t = t' 

Теория вероятностей

Пример 9.35. Доказать, что корреляционная функция произведения п независимых центрированных случайных функций 

Теория вероятностей

равна произведению корреляционных функций сомножителей 

Теория вероятностей

Решение:

Доказательство аналогично предыдущему, с той разницей, что для применения теоремы умножения математических ожиданий в этом случае недостаточно 
некоррелированности сомножителей, а независимости — достаточно. 

Пример 9.36. Рассматривается произведение двух некоррелированных случайных функций 

Теория вероятностей

причем случайная функция X(t) такая, как в задаче 9.21 (случайное чередование значений +1 и —1 с простейшим потоком перемен знаков), а случайная функция Y(t) — такая, 
как в задаче 9.26. Найти характеристики случайной функции Z(t)

Решение:

Имеем: 

Теория вероятностей

На основании задачи 9.34 имеем 

Теория вероятностей

На рис. 9.36 показана одна из возможных реализаций случайной функции Z(t), полученная перемножением соответствующих ординат реализаций случайных функций X (t) и Y(t)

Теория вероятностей

Пример 9.37. На телефонную станцию поступает простейший поток заявок с плотностью Теория вероятностей Случайная функция Теория вероятностейчисло заявок, поступившее за время t (см. задачу 9.20). Найти характеристики ее производной Теория вероятностей

Решение:

В обычном смысле разрывная случайная функция X (t) не дифференцируема, однако, пользуясь обобщенной дельта-функцией, можно записать характеристики производной. Преобразование Теория вероятностей , связывающее случайную функцию Y(t) с Теория вероятностей, является линейным однородным. Поэтому на основе задачи 9.20 

Теория вероятностей

но

 Теория вероятностей

Таким образом, корреляционная функция случайной функции Y(t) пропорциональна дельта-функции, т. е. функция Y (t) представляет собой стационарный белый шум с интенсивностью Теория вероятностей и средним уровнем Теория вероятностей Спектральная плотность такого белого шума будет 

Теория вероятностей

Пример 9.38*. Имеется функция Теория вероятностей обладающая следующими свойствами: 

Теория вероятностей

Требуется выяснить, может ли функция Теория вероятностей быть корреляционной функцией стационарной случайной функции, т. е. обладает ли она свойством положительной определенности. 
Показать, что достаточным условием положительной определенности является условие, чтобы функция 

Теория вероятностей

была неотрицательна при любом значении Теория вероятностей

Теория вероятностей

т. е. чтобы, вычисляя спектральную плотность по формуле 9.38а, мы ни при каких Теория вероятностей не получали отрицательных значений этой плотности. 

Решение:

Предположим, что Теория вероятностей и докажем, что при этом функция Теория вероятностей будет положительно определенной. Имеем 

Теория вероятностей

Положительная определенность функции Теория вероятностей состоит в том, что для любой функции Теория вероятностей и любой области интегрирования В должно выполняться условие 

Теория вероятностей

Проверим это неравенство по отношению к функции (9.38в): 

Теория вероятностей

Обозначая 

Теория вероятностей

имеем 

Теория вероятностей

так как по условию Теория вероятностей

Можно доказать, что условие (9.386) является не только достаточным, но и необходимым для того, чтобы корреляционная функция была положительно определенной. 

Пример 9.39. Имеется стационарная случайная функция с характеристиками 

Теория вероятностей

Найти характеристики ее производной Теория вероятностей и показать, что она также стационарна. 

Решение:

Так как Y(t) связано с Теория вероятностей линейным однородным преобразованием, то 

Теория вероятностей

Но Теория вероятностейпоэтому

Теория вероятностей

Так как правая часть равенства зависит только от Теория вероятностей то 

Теория вероятностей

и случайная функция Теория вероятностей стационарна. 

Пример 9.40. Стационарная случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию Теория вероятностей Случайная функция Y(t) получается из нее дифференцированием: Теория вероятностей Найти 
корреляционную функцию Теория вероятностей если: 

Теория вероятностей

Решение:

При решении задачи мы будем пользоваться аппаратом обобщенных функций, правила пользования которыми приведены в начале данной главы. 

Теория вероятностей

Наличие слагаемого Теория вероятностей показывает, что в составе случайной функции Y(t) есть белый шум. 

Теория вероятностей

Пример 9.41. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции с корреляционной функцией: 

Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Так как

Теория вероятностей

и так как подынтегральная функция второго интеграла в точке Теория вероятностей не имеет особенностей, то во втором интеграле можно пренебречь точкой Теория вероятностей. Получим 

Теория вероятностей

График спектральной плотности Теория вероятностей представлен на рис. 9.41. 

Теория вероятностей

Спектральную плотность Теория вероятностей можно было получить проще следующими рассуждениями. 
Представим случайную функцию Y (t) как производную случайной функции X (t) 
из задачи 9.40 (пункт а). Имеем 

Теория вероятностей

амплитудно-частотная характеристика оператора дифференцирования равна Теория вероятностей следовательно, 

Теория вероятностей

Пример 9.42. Спектральная плотность стационарной случайной функции X (t) на участке от Теория вероятностей до Теория вероятностей постоянна, а вне 

Теория вероятностей

его равна нулю, т. е. имеет вид, показанный на рис. 9.42а: 

Теория вероятностей

или, в другой записи, 

Теория вероятностей

Найти корреляционную функцию Теория вероятностей случайной функции X(t)

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

График корреляционной функции показан на рис. 9.42б. 

Пример 9.43. Показать, что не существует никакой стационарной случайной функции X (t), корреляционная функция которой Теория вероятностей постоянна в каком-то интервале Теория вероятностей и равна нулю вне его. 

Решение:

Предположим противное, т. е. что существует случайная функция X(t), для которой корреляционная функция равна Теория вероятностей при Теория вероятностей и равна 0 при Теория вероятностей 
Попробуем найти спектральную плотность случайной  функции Теория вероятностей

Теория вероятностей

Из этого выражения видно, что функция Теория вероятностей для некоторых значений со отрицательна, что противоречит свойствам спектральной плотности, и следовательно, корреляционной 
функции указанного выше вида существовать не может. 

Пример 9.44. Найти спектральную плотность стационарной случайной функции, у которой корреляционная функция задана выражением 

Теория вероятностей

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

Пользуясь известной формулой 

Теория вероятностей

и имея в виду, что Теория вероятностей получим 

Теория вероятностей

График этой функции подобен кривой нормального закона. 

Пример 9.45. Показать, что взаимная корреляционная функция Теория вероятностей стационарной случайной функции X (t) и ее производной Теория вероятностей удовлетворяет условию 

Теория вероятностей

т. е. при перемене местами аргументов меняет знак. 

Решение:

Пусть Теория вероятностей

Теория вероятностей

Ho Теория вероятностей следовательно, 

Теория вероятностей

С другой стороны, 

Теория вероятностей

что и требовалось доказать. 

Пример 9.46*. Определить, обладает ли функция 

Теория вероятностей

свойствами корреляционной функции. 

Решение:

Нужно проверить выполнение следующих свойств: 

Теория вероятностей

Теория вероятностейпри любом Теория вероятностей

Свойства 1) и 2) очевидны. Проверим остальные. 
3) Так как функция Теория вероятностей четная, достаточно исследовать ее при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Так как Теория вероятностей нужно, чтобы это выражение по модулю не превосходило единицы. Можно доказать, что при Теория вероятностей это условие не выполняется, так как при Теория вероятностей 
выражение Теория вероятностейбудет неограниченно возрастать. В случае Теория вероятностейТеория вероятностей при Теория вероятностейТеория вероятностей Таким образом, свойство 3) выполняется только при Теория вероятностей 

Теория вероятностей

при Теория вероятностей (Re — действительная часть). 

При Теория вероятностей имеем Теория вероятностей

Таким образом, функция Теория вероятностейпри Теория вероятностейобладает всеми свойствами корреляционной функции. Графики Теория вероятностей и Теория вероятностей при Теория вероятностей показаны на 
рис. 9.46, а и б. 

Теория вероятностей

Пример 9.47. Случайная функция X (t) имеет корреляционную функцию Теория вероятностейСлучайная функция Теория вероятностей Найти ее корреляционную функцию Теория вероятностей и спектральную плотность Теория вероятностей

Решение:

При нахождении Теория вероятностей применяем свойства 3, 4 и 9 обобщенных функций (стр. 270): 

Теория вероятностей

Так как предел Теория вероятностей существует (он равен Теория вероятностейТеория вероятностей то случайная функция Теория вероятностей дифференцируема. 

Пример 9.48. Случайная функция X (t) с характеристиками Теория вероятностей и Теория вероятностей подвергается линейному преобразованию вида 

Теория вероятностей

Определить характеристики случайной функции Y(t)Теория вероятностейи Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Однородная часть рассматриваемого линейного преобразования будет Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Пример 9.49. Случайная функция Теория вероятностей с характеристиками 

Теория вероятностей

подвергается линейному неоднородному преобразованию' 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— неслучайная функция. Найти взаимную корреляционную функцию Теория вероятностей

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

так как при центрировании случайной функции Y(t) неслучайное слагаемое Теория вероятностей уничтожается. 
Отсюда 

Теория вероятностей

Пример 9.50. Случайная функция X(t), имеющая характеристики Теория вероятностей и Теория вероятностей, подвергается линейному преобразованию вида 

Теория вероятностей

Найти корреляционный момент случайных величин Х(0) и Y (1) (т. е. двух сечений случайных функций: X{t) при Теория вероятностейи Теория вероятностей при Теория вероятностей). 

Решение:

На основании решения предыдущей задачи 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей —однородная часть линейного преобразования, примененная по аргументу Теория вероятностей
В нашем случае 

Теория вероятностей

Полагая  Теория вероятностейполучаем 

Теория вероятностей

Пример 9.51. В различных технических задачах, относящихся к стационарным случайным процессам, часто пользуются в виде характеристики так называемым «временем корреляции» 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—нормированная корреляционная функция случайного процесса. 

На рис. 9.51а время корреляции геометрически интерпретируется заштрихованной площадью. 

Найти время корреляции Теория вероятностей для стационарного случайного процесса с нормированной корреляционной функцией вида 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Решение:

Изобразим на рис. 9.516 график зависимости Теория вероятностей Величина Теория вероятностей численно равна заштрихованной на рис. 9.516 площади: Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 9.52. Найти время корреляции Теория вероятностей для стационарной случайной функции X(t), нормированная корреляционная функция которой имеет вид 

Теория вероятностей

Как будет вести себя время корреляции при Теория вероятностей и Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

При Теория вероятностей случайная функция вырождается в случайную величину и ее время корреляции Теория вероятностей. При Теория вероятностей случайная функция превращается в стационарный белый шум, 
а Теория вероятностей

Пример 9.54. В радиотехнике в качестве характеристики случайного процесса иногда пользуются величиной Теория вероятностей—«энергетической шириной спектра» стационарной случайной 
функции: 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—максимальное значение спектральной плотности, достигаемое в точке Теория вероятностей Найти энергетическую ширину спектра стационарной случайной функции, нормированная корреляционная функция которой имеет вид 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

 Решение:

Нормированная спектральная плотность случайной функции X(t) имеет вид 

Теория вероятностей

Эта функция достигает своего максимума при Теория вероятностей

Теория вероятностей

Имеем 

Теория вероятностей

Пример 9.55. Показать, что для стационарной случайной функции с нормированной корреляционной функцией 

Теория вероятностей

независимо от значения Теория вероятностей произведение Теория вероятностей равно 1/4. 

Решение:

Из задачи 9.52 имеем; Теория вероятностей. Нормированная спектральная плотность равна 

Теория вероятностей

ее максимальное значение Теория вероятностей откуда 

Теория вероятностей

Пример 9.56*. Показать, что для любой стационарной случайной функции X(t), корреляционная функция которой неотрицательна Теория вероятностей произведение времени корреляции Теория вероятностей 
на энергетическую ширину спектра Теория вероятностей, равно 1/4. 

Решение:

В данном случае Теория вероятностейпоэтому

Теория вероятностей

Нормированная спектральная плотность выражается через Теория вероятностей интегралом 

Теория вероятностей

Полагая в этой формуле Теория вероятностей имеем 

Теория вероятностей

Покажем, что если Теория вероятностей то максимум спектральной плотности достигается в точке 

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Это непосредственно вытекает из оценки интеграла: 

Теория вероятностей

Таким образом, при Теория вероятностей

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 9.57. На вход колебательного звена системы автоматического регулирования, передаточная функция которой имеет вид 

Теория вероятностей

подается белый шум, спектральная плотность которого равна Теория вероятностей Определить дисперсию выходного сигнала*). 

*) Подразумевается, что речь идет о достаточно удаленных участках времени, после окончания переходных процессов. 

Решение:

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Заметим, что дисперсия выходного сигнала не зависит от постоянной времени колебательного звена Т, а зависит лишь от коэффициента усиления Теория вероятностей коэффициента демпфирования Теория вероятностей и мощности сигнала N. 

Пример 9.58. Передаточная функция системы, на которую подается сигнал X(t), имеет вид 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Спектральная плотность входного сигнала 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Требуется найти дисперсию выходного сигнала. 

Решение:

Теория вероятностей

в нашем случае Теория вероятностейТеория вероятностей

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 9.59. Случайная функция X(t) имеет математическое ожидание Теория вероятностей и спектральную плотность 

Теория вероятностей

Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)

Решение:

В задаче 9.17 было показано, что для корреляционной функции вида Теория вероятностей спектральная плотность имеет вид 

Теория вероятностей

Следовательно, в нашем случае Теория вероятностей

Пример 9.60. Случайная функция Теория вероятностей имеет математическое ожидание Теория вероятностей и спектральную плотность 

Теория вероятностей

Найти корреляционную функцию случайной функции X(t)

Решение:

В задаче 9.18 было показано, что для корреляционной функции вида 

Теория вероятностей

спектральная плотность имеет вид 

Теория вероятностей

Следовательно, Теория вероятностей откуда Теория вероятностейТеория вероятностей Нас удовлетворяет только положительное значение корня: Теория вероятностей тогда Теория вероятностей (оба корня отвечают условиям задачи), а Теория вероятностейТаким образом, Теория вероятностей

Марковские процессы. Потоки событий. Теория массового обслуживания 

Говорят, что в физической системе X происходит случайный процесс, если она с течением времени может под влиянием случайных факторов переходить из состояния в состояние. 

Система X называется системой с дискретными состояниями,, если она имеет счетное (в частном случае—конечное) множество возможных состояний Теория вероятностей и переход из одного состояния в другое осуществляется скачком. Ниже .будут рассматриваться только системы с дискретными состояниями. 

Возможные состояния системы X наглядно изображаются с помощью так называемого графа состояний (рис. 10а), на котором состояния системы изображены прямоугольниками, а возможные переходы системы из состояния в состояние — стрелками, соединяющими соответствующие прямоугольники. 

Теория вероятностей

На рис. 10а показан граф состояний системы, имеющей четыре возможных состояния: Теория вероятностей Из состояния Теория вероятностей возможны переходы в Теория вероятностей или Теория вероятностей из состояния Теория вероятностей—в Теория вероятностей или обратно в Теория вероятностей из состояния Теория вероятностей — в Теория вероятностей из состояния Теория вероятностей—обратно в Теория вероятностей

Состояние системы называется «состоянием без выхода», если из него невозможен переход ни в какое другое состояние (см. состояние Теория вероятностей на рис. 106). 

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями  Теория вероятностей часто пользуются вероятностями состояний 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—вероятность того, что в момент t система находится в состоянии Теория вероятностей Вероятности Теория вероятностей удовлетворяют условию 

Теория вероятностей

Случайный процесс, протекающий в системе X, называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в определенные моменты времени Теория вероятностей Если переходы возможны в любой момент времени, процесс называется процессом с непрерывным временем

Если в системе X с дискретными состояниями -происходит случайный процесс с непрерывным временем, то переходы системы из состояния в состояние можно рассматривать как происходящие под влиянием некоторых потоков событий (см. гл. 5 стр. 92). 
Случайный процесс с дискретными состояниями называется марковским, если все вероятностные характеристики процесса в будущем зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени, и не зависят от того, каким 
образом этот процесс протекал в прошлом («будущее зависит от прошлого только через настоящее»). Если процесс марковский, то все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, являются пуассоновскими. 

Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским, то для вероятностей состояний Теория вероятностей можно составить систему линейных дифференциальных уравнений. 

При составлении этих дифференциальных уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, 
проставлена плотность (интенсивность) потока событий, переводящего систему из состояния 
в состояние по данной стрелке. Образец такого графа (размеченного графа состояний) показан на рис.10в. Здесь Теория вероятностей обозначает плотность потока событий, переводящего систему из состояния Теория вероятностей в состояние Теория вероятностей

Теория вероятностей

Если имеется размеченный граф состояний системы X, то систему дифференциальных 
уравнений для вероятностей состояний Теория вероятностейТеория вероятностейможно сразу написать, пользуясь следующим простым правилом. В левой части каждого уравнения стоит производная Теория вероятностейа в правой части столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в данное состояние, член имеет знак плюс, если ведет из данного состояния, член имеет знак минус. Каждый член равен плотности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Например, для системы X
размеченный граф состояний которой показан на рис. 10в, система дифференциальных уравнений будет: 

Теория вероятностей

Число уравнений может быть уменьшено на единицу, если учесть условие: для любого

Теория вероятностей

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент. Если, например, система при Теория вероятностей = 0 была в состоянии Теория вероятностей то полагают 

Теория вероятностей

Предельным режимом для системы X называется случайный процесс, устанавливающийся в системе при Теория вероятностей 

Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, стационарны Теория вероятностей общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями состояний Теория вероятностей
Теория вероятностей Чтобы найти эти вероятности, приравнивают нулю  левые части уравнений для вероятностей состояний ( полагают все производные Теория вероятностей равными 0 ) и решают полученную систему линейных алгебраических уравнений. К ним добавляется 
нормировочное условие Теория вероятностей

Например, для системы X, размеченный граф состояний которой дан на рис. 10в, система алгебраических уравнений, определяющая предельный режим, будет: 

Теория вероятностей

Потоком Пальма (потоком с ограниченным последействием) называется поток событий, у которого промежутки между соседними событиями представляют собой независимые случайные величины. Если эти случайные величины распределены одинаково, то поток Пальма называется стационарным. 

Простейший (стационарный пуассоновский) поток является потоком Пальма. 

Нестационарный пуассоновский поток потоком Пальма не является. 

Потоком Эрланга k-гo порядка называется поток событий, получаемый из простейшего путем операции «разрежения», когда выбрасывают из потока k точек подряд, а сохраняют только 
Теория вероятностей (рис. 10г). Простейший поток есть поток Эрланга нулевого порядка. 

Теория вероятностей

Промежуток времени Т между двумя соседними событиями в потоке Эрланга k -ro порядка есть неотрицательная случайная величина с плотностью распределения 

Теория вероятностей

(закон Эрланга, см. стр. 231) и функцией распределения 

Теория вероятностей

При k = 0 (простейший поток) получаем 

Теория вероятностей

(показательный закон). 
Как плотность распределения Теория вероятностей так и функцию распределения Теория вероятностей для закона Эрланга любого порядка можно вычислять, пользуясь таблицами пуассоновского распределения; 

Теория вероятностей

В этих обозначениях 

Теория вероятностей

где 

Теория вероятностей

- табулированная функция [см. приложение, табл. 1, где приведены значения функции 

Теория вероятностей

Функцию Теория вероятностей можно вычислять по тем же таблицам R (k, a): 

Теория вероятностей

Между функциями Теория вероятностей и R (k, a) существует следующее соотношение: 

Теория вероятностей

Полезно знать предельные соотношения: 

Теория вероятностей

Регулярным потоком событий называется поток, в котором события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. 

При увеличении порядка k потока Эрланга (и одновременном уменьшении масштаба по оси Ot делением на k+1) поток Эрланга приближается к регулярному. 

Системой массового обслуживания (СМО) называется любая система, предназначенная для обслуживания какого-то потока заявок (например, ремонтная мастерская, телефонная станция, билетная касса и т. д.). 

Системы массового обслуживания делятся на системы с отказами и системы с ожиданием

В системе с отказами заявка, пришедшая в момент, когда все каналы обслуживания заняты, получает отказ и покидает систему. 

В системе с ожиданием такая заявка не покидает систему, а становится в очередь и ждет, пока не освободится какой-нибудь канал. Время ожидания и число мест в очереди могут быть как 
неограниченными, так и ограниченными. 

Система массового обслуживания называется пуассоновской, если все потоки событий, переводящие ее из состояния в состояние, являются пуассоновскими. 

Ниже мы будем рассматривать только пуассоновские СМО, причем с простейшими потоками переходов. 

Работа системы массового обслуживания с отказами определяется 
следующими параметрами: 
1) число каналов п; 
2) плотность потока заявок Теория вероятностей
3) плотность «потока обслуживании» одного канала Теория вероятностей (плотность потока заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом). 
Величина Теория вероятностей обратна среднему времени обслуживания одной заявки: 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Теория вероятностей— случайное время обслуживания. 
На рис. 10д показан размеченный граф состояний Теория вероятностейканальной СМО с отказами. Состояние Теория вероятностейсостоит в том, что занято 

Теория вероятностей

ровно k каналов из п *). Из этого графа следуют дифференциальные уравнения для вероятностей состояний (уравнения Эрланга

Теория вероятностей

*) Предполагается, что каждый канал может обслуживать 
только одну заявку, а каждая заявка обслуживается только одним 
каналом. 

Эту систему обычно интегрируют при начальных условиях 

Теория вероятностей

(в начальный момент все каналы свободны). При Теория вероятностей существует предельный (установившийся) режим работы СМО, при котором вероятности состояний определяются формулами Эрланга 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей

Вероятности Теория вероятностей могут быть вычислены с помощью таблиц пуассоновского распределения (см. приложение, табл. 1): 

Теория вероятностей

Вероятность того, что заявка будет обслужена (не получит отказа) выражается формулой 

Теория вероятностей

Система массового обслуживания называется чистой системой с ожиданием, если ни время пребывания заявки в очереди, ни число заявок в очереди ничем не ограничено. Если имеются ограничения по какому-нибудь из этих признаков, система называется системой 
смешанного типа. Для системы массового обслуживания смешанного типа с ограничениями по числу мест в очереди предельные вероятности состояний выражаются формулами 

Теория вероятностей

где п — число каналов обслуживания; 
Теория вероятностей — число мест в очереди; Теория вероятностей
Теория вероятностей — плотность потока заявок; 
Теория вероятностей— плотность «потока обслуживании» одного канала. 

Для чистой системы с ожиданием Теория вероятностей установившийся предельный режим существует только в случае —Теория вероятностей Предельные вероятности выражаются формулами. 

Теория вероятностей

Ограничения по времени пребывания заявки в очереди (или в системе) при составлении уравнений для вероятностей состояний учитываются тем, что на каждую заявку, находящуюся в очереди (системе), действует «поток уходов» с плотностью Теория вероятностей обратной среднему времени 
пребывания заявки в очереди (системе). 

Пример 10.1. Поток машин, следующих по шоссе в одном направлении, представляет собой простейший поток с плотностью Теория вероятностей Человек выходит на шоссе, чтобы остановить первую 
попавшуюся машину, идущую в данном направлении. Найти закон распределения времени Т, которое ему придется ждать; определить его математическое ожидание Теория вероятностей и среднее 
квадратическое отклонение Теория вероятностей

Решение:

Плотность распределения времени ожидания будет такая же, как плотность распределения промежутка между машинами, а именно 

Теория вероятностей

так как «будущее» в простейшем потоке никак не зависит от «прошлого», в частности от того, сколько времени тому назад прошла последняя машина. 

Для показательного закона 

Теория вероятностей

Пример 10.2. Тот же вопрос, что и в задаче 10.1, но поток машин — регулярный, с той же плотностью Теория вероятностей

Решение:

Закон распределения времени ожидания Т будет законом постоянной плотности в промежутке времени между двумя машинами, равном Теория вероятностей

Теория вероятностей

Для закона постоянной плотности 

Теория вероятностей

Пример 10.3.  Показать, что для пуассоновского потока событий 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—число событий, попадающих на участок длиной Теория вероятностей

Решение:

Имеем 

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Пример 10.4.* Пассажир выходит на автобусную остановку и ждет очередного автобуса. Автобусы подходят к остановке через случайные, взаимонезависимые и одинаково распределенные промежутки времени Теория вероятностей Каждый из этих промежутков времени имеет одну и ту же плотность распределения f(t). Требуется найти закон распределения времени ожидания очередного автобуса при условии, что выход пассажира на остановку некоррелирован с моментом прибытия автобуса (расписание движения автобусов пассажиру неизвестно). 

Решение:

Рассмотрим поток событий, состоящих в том, что на остановку прибывает автобус. Этот поток по условиям задачи будет стационарным потоком Пальма. Выход 
пассажира на автобусную остановку можно рассматривать как появление некоторой точки П на оси времени Ot. 

Случайность выхода пассажира на остановку следует понимать в том смысле, что в интервале времени Теория вероятностей между прибытием двух автобусов (рис. 10.4а) точка П распределена 
равномерно (подчеркнем, что речь идет об очередном автобусе и ему предшествующем). 

Закон распределения интервала времени Теория вероятностей между прибытием двух автобусов, на котором появился пассажир (на который упала точка П), в общем случае не совпадает с законом f(t)

Теория вероятностей

Этот (на первый взгляд парадоксальный) факт можно пояснить на следующем наглядном примере. Допустим, что интервал времени Т (в часах) между появлениями двух соседних по времени автобусов может принимать только два значения: Теория вероятностей с вероятностью 0,5 и Теория вероятностей с вероятностью 0,5. Тогда на оси Ot мы будем иметь поток Пальма, в котором с одинаковой частотой будут встречаться длинные (0,9) и короткие (0,1) участки (см. рис. 10.46). Пусть пассажир появился случайно в какой-нибудь момент на оси Ot. Спросим себя, что более вероятно: что он попадет на участок длины 0,9 или на участок длины 0,1? Очевидно, первое более вероятно: отрезков 0,9 и 0,1 на оси Ot в среднем одинаковое количество, но отрезки 0,9 длиннее в 9 раз; значит, они занимают в 9 раз большую протяженность оси Ot, чем малые отрезки, а следовательно, вероятность попадания точки П на отрезок 0,9 равна 
уже не 0,5, а 0,9, а вероятность попадания на отрезок 0,1 равна 0,1. 
Таким образом, на этом простом примере можно убедиться, что закон распределения того промежутка, на который попала точка П, не совпадает с его априорным законом распределения. 

Решим эту же задачу для непрерывного распределения. Пусть априорная плотность распределения промежутка Т между соседними событиями есть Теория вероятностей Найдем 
плотность распределения Теория вероятностей того промежутка Теория вероятностей, на который попала точка П. Для этого найдем Теория вероятностей— вероятность того, что точка П попадает на промежуток, длина которого 
заключена в интервале Теория вероятностей Эта вероятность приближенно равна отношению суммарной длины таких промежутков на очень большом интервале времени к полной длине 
такого интервала. Пусть на очень большом интервале уложилось большое число /V промежутков. Среднее число промежутков, длина которых лежит в пределах Теория вероятностей равна Теория вероятностей средняя суммарная длина всех таких промежутков будет Теория вероятностей Средняя общая продолжительность всех N промежутков равна Теория вероятностей где 

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

Это равенство выполняется тем точнее, чем более длительный промежуток времени будет рассматриваться (чем больше N). В пределе закон распределения случайной величины Т* будет

Теория вероятностей

Нетрудно убедиться, что функция f*(t) обладает всеми свойствами плотности распределения. 

Теория вероятностей

После того как мы нашли плотность распределения интервала времени Т* между прибытием двух автобусов, на котором появился пассажир П, можно найти и плотность распределения Теория вероятностей времени  Теория вероятностейожидания автобуса (рис. 10.4в). С этой целью воспользуемся формулой полной вероятности 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей—условная плотность распределения времени Теория вероятностей при условии, что случайная величина Т* попала в интервал времени Теория вероятностей

Так как точка П на интервале времени t* распределена равномерно, то 

Теория вероятностей

Отсюда получим 

Теория вероятностей

где F(t) — функция распределения случайной величины Т, 

Теория вероятностей

Искомая плотность распределения времени ожидания Теория вероятностей будет иметь вид 

Теория вероятностей

Пример 10.5. В условиях предыдущей задачи закон распределения промежутка между автобусами есть закон постоянной плотности в интервале от 5 до 10 минут. Найти f*(t) и Теория вероятностей

Решение:

Теория вероятностей

Средний промежуток времени между автобусами Теория вероятностей

Теория вероятностей

График плотности f*(t) показан на рис. 10.5, а. 

Теория вероятностей

Отсюда 

Теория вероятностей

График плотности распределения Теория вероятностей показан на рис. 10.5, б. 

Теория вероятностей

Пример 10.6. В условиях задачи 10.4 найти закон распределения времени ожидания очередного автобуса, если поток автобусов представляет собой поток Эрланга Теория вероятностей порядка. 
Найти плотность распределения длины интервала времени Т*, на который попал пассажир. 

Решение:

Теория вероятностей

Если исходный поток автобусов был простейшим (k = 0), то

Теория вероятностей

т. е. время ожидания будет показательным, о чем уже говорилось выше. 

Плотность распределения интервала времени Т*, на который попадает точка П, имеет вид 

Теория вероятностей

т. е. представляет собой закон Эрланга (k +1)-го порядка. 

Пример 10.7. Стационарный поток Пальма разрежается посредством р-преобразования: каждое событие с вероятностью р остается в потоке, а с вероятностью Теория вероятностей выбрасывается. Закон распределения промежутка между событиями в потоке Пальма имеет плотность f(t). Показать, что преобразованный поток будет также потоком Пальма, и найти закон распределения и числовые характеристики промежутка между событиями 
в преобразованном потоке. 

Решение:

На рис. 10.7 показана схема р-преобразования исходного потока Пальма. 

Теория вероятностей

Случайная величина Теория вероятностей — интервал между двумя событиями в преобразованном потоке — будет определяться как сумма случайного числа независимых случайных величин: 

Теория вероятностей

где Y—случайная величина, распределенная по сдвинутому на единицу закону Паскаля с параметром р

Теория вероятностей

Тогда соседние интервалы в преобразованном потоке будут: 

Теория вероятностей

где случайные величины Теория вероятностей ... независимы (каждое событие независимо от других остается в потоке или выбрасывается), а случайные величины Теория вероятностей ... независимы, 
так как исходный поток является потоком Пальма. Следовательно, случайные величины Теория вероятностей .. . независимы, и преобразованный поток является также потоком Пальма. 

Если характеристическая функция случайной величины Т есть Теория вероятностей то характеристическая функция случайной величины Теория вероятностей (в соответствии с решением задачи 8.69) будет 
равна 

Теория вероятностей

а плотность распределения случайной величины Теория вероятностей выражается формулой 

Теория вероятностей

В соответствии с задачей 8.69 находим числовые характеристики случайной величины Теория вероятностей

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Можно доказать, что при многократном р-преобразовании стационарного потока Пальма получается поток, близкий к простейшему. 

Пример 10.8. Простейший поток с параметром Теория вероятностей подвергается р-преобразованию (см. задачу 10.7). Доказать, что преобразованный поток также будет простейшим и найти его параметр. 

Решение:

Характеристическая функция расстояния Т в первоначальном потоке: Теория вероятностей (см. задачу 8.55); в преобразованном потоке, в соответствии с решением задачи 10.7, 

Теория вероятностей

Так как характеристическая функция однозначно определяет закон распределения, то в соответствии с той же задачей 8.55 

Теория вероятностей

т. е. преобразованный поток также будет простейшим с параметром Теория вероятностей

Пример 10.9. Поток Эрланга Теория вероятностей порядка с параметром Теория вероятностей подвергается р-преобразованию (см. задачу 10.7). Найти характеристическую функцию преобразованного потока и числовые 
характеристики случайной величины Теория вероятностей — интервала времени между двумя событиями в преобразованном потоке. 

Решение:

Теория вероятностей

Теория вероятностей

Пример 10.10. Для условий задачи 10.4 определить вероятность того, что пассажир сядет в автобус, если автобус на остановке ждет время Теория вероятностей, а пассажир, не застав автобуса на остановке, 
тоже ждет время Теория вероятностей, и если за это время не подойдет автобус, то идет пешком. Время Теория вероятностей мало по сравнению с возможными значениями промежутков, так что одновременно 
два автобуса на остановке практически быть не могут. 

Теория вероятностей

Решение:

Перейдем к противоположному событию Теория вероятностей —- пассажир не сядет в автобус. В данном случае каждое событие «подход автобуса к остановке» сопровождается 
«зоной захвата» пассажира (зоной Теория вероятностей) шириной Теория вероятностей (рис. 10.10, а). 

Рассмотрим интервал времени Т*, на котором появился пассажир П (рис. 10.10, б). 

Для того чтобы произошло событие Теория вероятностей нужно, чтобы точка П, распределенная равномерно на интервале времени Т*, не была накрыта «зоной захвата» соседних автобусов. Вероятность этого события будет 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

В этой формуле Теория вероятностей— плотность априорного закона распределения интервала времени Т между появлением на остановке двух автобусов (t > 0), Теория вероятностей — математическое ожидание времени Т". 

Пример 10.11. Рассматривается работа электронной цифровой вычислительной машины (ЭЦВМ). Среднее время безотказной работы ЭЦВМ равно Теория вероятностейпоток отказов (сбоев) ЭЦВМ — простейший с параметром X. Если в машине происходит сбой,  то она останавливается и неисправность устраняется. Среднее время устранения неисправности равноТеория вероятностей поток 
восстановлений ЭЦВМ — простейший с параметром Теория вероятностей

Определить вероятность того, что ЭЦВМ в момент времени t будет работать, если она в момент времени Теория вероятностей работала. 

Решение:

Рассмотрим два состояния ЭЦВМ: 
Теория вероятностей— ЭЦВМ исправна, 
Теория вероятностей— ЭЦВМ ремонтируется. 
Вероятности этих состояний в момент i обозначим Теория вероятностей и Теория вероятностей соответственно; составим размеченный граф состояний (рис. 10.11). 

Теория вероятностей

Система дифференциальных уравнений для вероятностей состояний имеет вид 

Теория вероятностей

Решение системы уравнений при начальных условиях Теория вероятностейбудет 

Теория вероятностей

При Теория вероятностей будет иметь место стационарный режим работы системы с вероятностями состояний 

Пример 10.12. Рассматривается предельный стационарный режим работы Теория вероятностейканальной системы массового обслуживания с отказами. Плотность потока заявок Теория вероятностей плотность «потока 
обслуживании» (потока освобождений одного занятого канала) Теория вероятностей
Требуется найти следующие характеристики СМО: 
1) среднее число занятых каналов Теория вероятностей
2) вероятность того, что произвольно взятый канал будет занят; 
3) среднее время занятости одного (произвольно взятого) канала Теория вероятностей
4) среднее время простоя канала Теория вероятностей

Решение:

1) Для любой СМО, в которой каждая заявка может обслуживаться только одним каналом, среднее число заявок Теория вероятностей обслуживаемых в единицу времени, определяется как произведение среднего числа занятых каналов на плотность потока обслуживании: 

Теория вероятностей

Вероятность обслуживания произвольно выбранной заявки равна отношению плотности потока обслуженных заявок к плотности потока поступающих заявок: 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

или, в соответствии с формулой (10.3) на стр. 325, 

Теория вероятностей

где 

Теория вероятностей

Выражение для среднего числа занятых каналов можно получить и из формулы Теория вероятностей где Теория вероятностей определяется по формуле (10.2) стр. 325. 

2) Обозначим вероятность того, что произвольно взятый канал занят обслуживанием какой-то заявки, через Теория вероятностейОчевидно, что эта вероятность одинакова для всех каналов, 
следовательно, 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

3) Среднее время занятости одного канала Теория вероятностейт. е. равно среднему времени обслуживания заявки. 
4) Среднее время простоя канала Теория вероятностей определим из условия 

Теория вероятностей

откуда 

Теория вероятностей

Пример 10.13. Рассматривается работа автоматической телефонной станции (АТС), рассчитанной на одновременное обслуживание 20 абонентов (двадцатиканальная СМО). Вызов на АТС 
поступает в среднем через 6 секунд. Каждый разговор длится в среднем 2 минуты. Если абонент застает АТС занятой, то он получает отказ. Если абонент застает свободным хотя бы один из 20 каналов, то он соединяется с нужным ему номером. 

Определить вероятность того, что абонент, вызывая АТС, не застанет ее занятой, а также другие характеристики работы СМО: среднее число занятых каналов, вероятность 
занятости канала, среднее время простоя канала. 

Решение:

АТС можно рассматривать как систему массового обслуживания с отказами и с параметрами: 

Теория вероятностей

Вероятность обслуживания 

Теория вероятностей

Среднее число занятых каналов 

Теория вероятностей

Вероятность того, что канал занят 

Теория вероятностей

Среднее время простоя канала 

Теория вероятностей

Из полученных данных видно, что АТС загружена достаточно сильно. 

Пример 10.14*. Рассматривается Теория вероятностейканальная система массового обслуживания смешанного типа, на вход которой поступает простейший поток заявок с плотностью Теория вероятностей Число мест в 
очереди Теория вероятностей Время ожидания заявки в очереди Теория вероятностей распределено по показательному закону со средним значением Теория вероятностей Время обслуживания показательное со средним 
значением Теория вероятностей Определить вероятности состояний системы. Найти вероятность Теория вероятностей того, что заявка будет обслужена. 

Решение:

Размеченный граф состояний системы изображен на рис. 10.14. На этом графе приняты следующие обозначения состояний: 

Теория вероятностей- в системе имеется ровно k заявок Теория вероятностей все они обслуживаются, очереди нет; 

Теория вероятностей— в системе все каналы заняты и s заявок находятся в очереди Теория вероятностей

Читателю предлагается на основе этого графа самостоятельно составить систему дифференциальных уравнений для 

Теория вероятностей

вероятностей состояний и из нее при Теория вероятностей получить систему алгебраических уравнений, решение которой имеет вид 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

Это выражение можно преобразовать к виду, более удобному для расчетов, заменяя 

Теория вероятностей

где 

Теория вероятностей

 Теория вероятностейгамма-функция, для которой, как известно, 

Теория вероятностей

Если величина Теория вероятностей — целое число, то 

Теория вероятностей

и формулы для вероятностей A) и B) примут следующий вид: 

Теория вероятностей

Вероятность обслуживания заявки можно определить как отношение среднего числа заявок Теория вероятностей обслуживаемых в единицу времени, к плотности потока заявок Теория вероятностей 

Теория вероятностей

Величина Теория вероятностей определяется из соотношения 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей— среднее число занятых каналов: 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей — целое число, то 

Теория вероятностей

Если Теория вероятностей не целое число, то вычисление можно провести для двух ближайших к величине Теория вероятностей целых чисел и произвести между ними линейную интерполяцию. Такой прием 
дает удовлетворительные по точности результаты. 

Если число мест в очереди не ограничено Теория вероятностейто формулы упрощаются с учетом того, что 

 Теория вероятностей

Если заявки, попавшие в очередь, не покидают ее, а «терпеливо» ожидают начала обслуживания (Теория вероятностей а значит, и Теория вероятностей), то формулы (1) и (2) принимают вид 

Теория вероятностей

а вероятность обслуживания 

Теория вероятностей

где

Теория вероятностей

При Теория вероятностей такая система превращается в чистую систему с ожиданием, для которой 

Теория вероятностей

В системе с неограниченным числом мест в очереди Теория вероятностей и Теория вероятностей стационарный режим существует только при Теория вероятностей

Пример 10.15*. Для СМО смешанного типа, рассмотренной в предыдущей задаче, требуется определить: 
1) среднее число заявок Теория вероятностей находящихся в очереди; 
2) среднее время пребывания в очереди Теория вероятностей
3) вероятность Теория вероятностей того, что произвольно взятый канал занят; 
4) среднее время занятости канала Теория вероятностей
5) среднее время простоя канала Теория вероятностей при условии, что величина Теория вероятностей целое число.

Решение:

1) Среднее число заявокТеория вероятностейнаходящихся 
в очереди, будет (см. формулу 4) задачи 10.14): 

Теория вероятностей

Преобразуем сумму 

Теория вероятностей

так как 

Теория вероятностей

и

Теория вероятностей

Следовательно, 

Теория вероятностей

2) Рассмотрим случайную величину Теория вероятностей — время фактического пребывания заявки в очереди. Величина Теория вероятностей является случайной величиной смешанного типа: с некоторой вероятностью она равна нулю, а при Теория вероятностей имеет плотность распределения Теория вероятностей Допустим, что для конкретной заявки это время приняло значение, лежащее в интервале Теория вероятностей Вероятность этого равна Теория вероятностейПредположим, что заявки обслуживаются в порядке поступления. Тогда к моменту ухода рассматриваемой заявки из очереди 
за ней будет находиться в среднем Теория вероятностей заявок, а следовательно, полное математическое ожидание числа заявок, находящихся в очереди будет: 

Теория вероятностей

3) Вероятность занятости канала 

Теория вероятностей

где Теория вероятностей — среднее число занятых каналов, определяемое по формуле (5) задачи 10.14. 

4) Среднее время занятости канала 

Теория вероятностей

5) Среднее время простоя канала