Теория вероятностей

На этой странице размещён полный курс лекций с формулами, законами, теоремами и примерами решений по предмету "Теория вероятностей". Если у вас нет времени на решение заданий по теории вероятностей  - вы всегда можете попросить меня. Напишите мне в воцап, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня.

Введение в предмет теории вероятности

Теория вероятностей изучает закономерности в массовых случайных явлениях. Поясним это на двух простых примерах:

  1. Проводится испытание - бросается монета. Если испытание проводится один раз, то предсказать его исход выпадение герба или цифры - невозможно, здесь царит случай. Пусть теперь испытание проводится много раз, причем так, что при каждом следующем испытании воспроизводится комплекс условий, при которых проводилось предыдущее; в этом случае говорят, что проводится серия независимых испытаний. Замечательным является то, что в этой ситуации случай исчезает: можно предсказать, что герб выпадет примерно в 50% случаев, причём этот прогноз тем точнее, чем больше проводится испытаний. Этот прогноз подтверждается многократными проверками, проводившимися в разное время учёными. Так, французский учёный Ж.Л.Л.Бюффон бросал монету 4040 раз, герб выпадал в 2048 случаях; шведский учёный К.Пирсон бросал монету 24000 раз, герб выпадал в 12012 случаях; и так далее.
  2. Пусть испытание состоит в бросании тральной кости, представляющей собой куб, грани которого занумерованы цифрами 1-6. При однократном бросании предсказать исход невозможно, однако можно предсказать, что в длинной серии независимых бросаний каждая из цифр выпадает примерно в 1/6 части случаев, этот прогноз тем точнее, чем больше бросаний.

Проиллюстрированное на двух примерах явление, состоящее в том, что процент наступления случайного события в длинной серии независимых испытаний не случаен, представляет собой один из универсальных законов природы, получивший название закона больших чисел. Теория вероятностей представляет собой математическую модель этого закона. Вводимое в самом начале этой теории понятие "вероятность случайного события" и связанные с ним правила позволяют дать строгую математическую формулировку закона больших чисел, дают подходы к вычислению в ряде важных для практики случаев процента наступления случайного события в длинной серии испытаний до того, как эти испытания проводятся, и тем самым - подходы к прогнозированию результата этих испытаний. Методы прогнозирования по массовым случайным явлениям, развиваемые в теории вероятностей, широко применяются в настоящее время в различных областях науки и практической деятельности человека.

 

Краткий исторический очерк о теории вероятности

Истоки теории вероятностей теряются в глубине веков. Еще в древнем Египте собирались статические данные о народонаселении. Этот факт говорит о том, что уже тогда была замечена возможность практических выводов по результатам массовых случайных явлений. Однако многие столетия дальше сбора статистических данных дело не шло. В этот период никаких специальных методов не возникает, идет накопление материала.

В XVI веке появление работ Д. Кардано и Н. Тарталья знаменует собой первый шаг в развитии вероятностных представлений. В работах этих ученых впервые формулируются простейшие задачи из области азартных игр.

На роль случайностей в измерениях впервые обратил внимание великий Галилей. И хотя он не дал аналитического анализа оценки ошибок наблюдений, многие высказанные им положения оказали большое влияние на выработку основных понятий теории ошибок и теории вероятностей.

Дальнейшее развитие теории вероятностей можно условно разбить на 4 периода.

Первый период начинается с середины XVII века и продолжается до начала XVIII в. Он характеризуется возникновением теории вероятностей как науки.

До середины XVII в. не было никакого общего метода решения вероятностных задач. Однако следующие 50 лет ознаменовались выдающимися достижениями в этой области. В разработку вопросов теории вероятностей были вовлечены крупнейшие ученые того времени. В первую очередь здесь следует назвать Паскаля, Ферма и Гюйгенса. В своих трудах они уже широко использовали теоремы сложения и умножения, ввели понятие математического ожидания, а также выяснили фундаментальное значение для теории вероятностей понятий зависимости и независимости случайных событий.

В 1657г. Гюйгенс пишет первую книгу по теории вероятностей "О расчете в азартных играх". Примечательно его высказывание: "... при внимательном изучении предмета читатель заметит, что имеет дело не только с игрой, но что здесь закладываются основы очень интересной и глубокой теории".

Итак, в рассматриваемый период теория вероятностей превращается в науку. Она начинает использоваться для решения важных практических задач, находит свои первые применения в демографии (наука о народонаселении), страховом деле и теории ошибок.

Начало второю периода связано с появлением в 1713г. книги Я.Бернулли "Искусство предположений". В этой работе была строго доказана одна из важнейших теорем теории вероятностей, которая является простейшей формой закона больших чисел. Эта теорема утверждает, что относительная частота события при достаточно большом числе испытаний сходится в определенном смысле к вероятности этого события. Теорема Бернулли позволила придать определенный смысл понятию вероятности и применить теорию вероятностей к самым разнообразным задачам статистики.

Выдающимся ученым Муавру и Лапласу принадлежит заслуга доказательства одной из простейших форм центральной предельной теоремы. Они впервые ввели в рассмотрение нормальный закон, который играет исключительную роль в самых разнообразных задачах теории вероятностей.

Великий немецкий математик К.Ф. Гаусс доказал, что ошибки измерений подчиняются нормальному закону, и тем самым внес неоценимый вклад в теорию ошибок. Он также разработал метод обработки экспериментальных данных, который носит название "Метода наименьших квадратов". Здесь следует также отметить, что вывод нормального закона для случайных ошибок независимо от Гаусса и практически одновременно с ним получил малоизвестный американский математик Р. Эдрейн (1775-1843).

Второй период в развитии теории вероятностей завершается работами Пуассона, который доказал более общую, чем у Я. Бернулли, форму закона больших чисел. Ему также принадлежит заслуга применения методов теории вероятностей к задачам стрельбы. Имя Пуассона носит название один из важнейших законов распределения, который играет большую роль во многих задачах практики.

Следует отметить, что попытка Пуассона и некоторых других ученых применять теорию вероятностей к социальным явлениям вызвала оживленные споры и серьезные возражения в среде математиков и социологов. Появилось большое количество работ, посвященных неоправданным применениям теории вероятностей к жизни общества. Это привело к тому, что к теории вероятностей стали относиться скептически. А если еще учесть, что в это время недостаточно ясны были области приложения теории вероятностей в естественных науках, то становится понятным, почему интерес к ней на Западе резко упал.

Третий период в развитии теории вероятностей тесно связан с работами Петербургской математической школы. Следует отдать должное выдающемуся математику В.Я.Буняковскому (1804-1889), роль которого в распространении вероятностных идей в России переоценить нельзя. Он является автором первого курса теории вероятностей на русском языке и учителем великого русского математика П. Л. Чебышева, которого по праву можно назвать руководителем дореволюционной математической школы в России. Работы Чебышева в области теории вероятностей явились крупнейшим событием в математике. Они положили начало целому циклу глубоких исследований в области закона больших чисел. Его идеи оставили яркий след в развитии математики и предопределили надолго наперед направление и методы исследований массовых случайных явлений. "Вывел русскую теорию вероятностей на первое место в мире Пафнутий Львович Чебышев", - так оценил роль этого замечательного ученого академик А.Н. Колмогоров.

Наиболее выдающимися учениками Чебышева, оставившими неизгладимый след в развитии теории вероятностей, являются А.А. Марков и A.M. Ляпунов. Маркову принадлежит обобщение закона больших чисел на случай зависимых случайных величин. Его работы положили начало бурно развивающейся в настоящее время теории случайных функций. Ляпунову мы обязаны первым доказательством центральной предельной теоремы при весьма общих условиях.

Современный, четвертый период характеризуется исключительным подъемом интереса к теории вероятностей в самых различных областях человеческой деятельности. Этот интерес стимулировал бурное развитие многих направлений теории вероятностей.

Российская школа теории вероятностей, которая в настоящее время по праву занимает в мировой науке ведущее место, решила ряд принципиальных вопросов. В частности, академикам С. Н. Бернштейну и А. Н. Колмогорову принадлежат основополагающие работы в аксиоматическом построении теории вероятностей.

Большой вклад в развитие теории вероятностей внесли российские ученые А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Е. Б. Дынкин, B.C. Пугачев, А.Н. Ширяев, А.А. Боровков, Ю.А. Розанов, Ю.В. Прохоров, И.И.Гихман, А.В. Скороход и другие. Теория вероятностей продолжает интенсивно развиваться в настоящее время.

 

Выберите интересующую вас тему:

 Теория вероятностей

 

Основные понятия и правила теории вероятностей

  1. Классическое определение вероятности
  2. Геометрическое определение вероятности
  3. Элементы комбинаторики
  4. Действии над событиями
  5. Теоремы сложения и умножения вероятностей
  6. Формула полной вероятности. Формула Байеса
  7. Схема с повторением испытаний (схема Бернулли)

Случайные величины

  1. Вероятность случайного события
  2. Операции над вероятностями с примерами решения
  3. Независимые повторные испытания
  4. Дискретные случайные величины и их характеристики
  5. Непрерывные случайные величины и их характеристики
  6. Дискретные и непрерывные случайные величины
  7. Закон распределении дискретной случайной величины
  8. Математическое ожидание дискретной случайной величины
  9. Дисперсия дискретной случайной величины
  10. Закон распределении и числовые характеристики непрерывной случайной величины
  11. Плотность вероятности
  12. Случайные величины
  13. Независимые дискретные случайные величины
  14. Числовые характеристики дискретной случайной величины
  15. Математическое ожидание формула
  16. Мат ожидание: примеры с решением
  17. Непрерывные случайные величины примеры с решением
  18. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
  19. Функция случайной величины
  20. Математическая дисперсия случайной величины
  21. Дисперсия суммы случайных величин
  22. Дисперсия формула
  23. Математическое ожидание: пример решения
  24. Законы распределения случайных величин
  25. Моменты случайной величины
  26. Моменты высших порядков
  27. Метод моментов
  28. Функции случайных величин
  29. Случайный вектор распределения
  30. Системы случайных величин
  31. Условное нормальное распределение
  32. Нормальное распределение на плоскости
  33. Многомерный нормальный закон
  34. Условное распределение
  35. Неравенство Чебышева
  36. Неравенство Маркова
  37. Закон больших чисел
  38. Центральная предельная теорема
  39. Полином Жегалкина
  40. Коэффициент Пуассона

Случайные события и действия с ними

  1. Случайные события и операции над ними
  2. Классическое определение вероятности
  3. Независимые события в теории вероятности
  4. Вероятность события
  5. Как решать задачи на вероятность
  6. Теорема сложения вероятностей
  7. Теорема умножения вероятностей
  8. Формула полной вероятности
  9. Найти вероятность: пример решения
  10. Условная вероятность: формула, события, примеры
  11. Задачи на вероятность: примеры решения
  12. Формула вероятности: теория и примеры
  13. Элементы теории вероятности
  14. Найдите вероятность что случайно
  15. Бросили кость найти вероятность: пример решения
  16. Игральную кость бросают дважды найдите вероятность
  17. Найти вероятность что среди: пример решения
  18. Теория вероятности: формулы, примеры
  19. Схема Бернулли теория вероятности
  20. Формула Пуассона теория вероятности
  21. Формула лапласа
  22. Статистическая вероятность

 

Основные законы распределения

  1. Биномиальный закон
  2. Равномерный закон
  3. Закон Пуассона
  4. Показательный закон
  5. Нормальный закон

Совместные распределения случайных величин

  1. Закон распределения случайной точки дискретного типа на плоскости
  2. Закон распределения случайной точки непрерывною типа на плоскости
  3. Ковариации двух случайных величин
  4. Совместное распределение нескольких случайных величин. Многомерный нормальный закон
  5. Закон больших чисел в форме Чебышева
  6. Теорема Бернулли
  7. Центральная предельная теорема

 

Предмет математической статистики

  1. Выборка из генеральной совокупности. Вариационный ряд. Гистограмма относительных частот
  2. Выборочная функция распределения
  3. Выборочные оценки параметров случайной величины. Основные требовании к оценкам
  4. Два распределения связанные с нормальным законом
  5. Квантиль распределения
  6. Доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии
  7. Общая схема проверки гипотез но данным опыта
  8. Проверка гипотезы о законе распределении случайной величины по данным опыта
  9. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия
  10. Метод наименьших квадратов (МНК)
  11. Непосредственное вычисление вероятностей примеры с решением
  12. Действия над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей примеры с решением
  13. Примеры решения задач на тему: Случайные величины
  14. Примеры решения задач на тему: основные законы распределения
  15. Примеры решения задач на тему: совместный закон распределения двух случайных величин

 

Элементы комбинаторики

  1. Комбинаторика основные понятия и формулы с примерами
  2. Число перестановок
  3. Количество сочетаний
  4. Число сочетаний: формула, расчет
  5. Сочетания с повторениями
  6. Комбинаторика формулы: основные элементы
  7. Элементы комбинаторики: примеры решения
  8. Производящая функция виды и как найти
  9. Комбинаторные задачи: пример решения