Теоретическая механика

Теоретическая механика - это наука об общих законах механического движения и взаимодействия материальных тел. Являясь по существу одним из разделов физики, теоретическая механика, вобрав в себя фундаментальную основу в виде аксиоматики, выделилась как отдельная наука и получила широкое развитие благодаря своим обширным и важным приложениям в естественной науке и технике, одной из основ которой она является. Многие общие инженерные дисциплины основываются на основных законах и принципах теоретической механики, таких как сопротивление материалов, строительная механика, гидравлика, теория механизмов и машин, части машин и другие. Многие инженерные проблемы решаются на основе теорем и принципов теоретической механики, проектируются новые машины, конструкции и сооружения.

Содержание:

  1. Кинематика
  2. Кинематика точки
  3. Пример решения задачи №1.
  4. Кинематика твердого тела
  5. Плоскопараллельное движение твердого тела
  6. Пример решения задачи №2.
  7. Произвольное движение твердого тела
  8. Сложное движение точки
  9. Пример решения задачи №3.
  10. Основные понятия и аксиомы механики
  11. Аксиомы теоретической механики
  12. Основные законы и теоремы статики
  13. Основные теоремы статики
  14. Условия уравновешенности систем сип, приложенных к твердому телу
  15. Решение задач статики
  16. Пример решения задачи №4.
  17. Пример решения задачи №5.
  18. Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела
  19. Распределенные силы
  20. Законы трения (законы Кулона)
  21. Динамика материальной точки
  22. Первая и вторая задачи динамики
  23. Пример решения задачи №6.
  24. Пример решения задачи №7.
  25. Общие теоремы динамики механической системы
  26. Основные понятия и определения
  27. Теорема о движении центра масс
  28. Пример решения задачи №8.
  29. Теорема об изменении количества движения
  30. Пример решения задачи №9.
  31. Теорема об изменении кинетического момента
  32. Пример решения задачи №10.
  33. Теорема об изменении кинетической энергии
  34. Пример решения задачи №11.
  35. Пример решения задачи №12.
  36. Пример решения задачи №13.
  37. Принцип Даламбера. Элементы аналитической механики
  38. Пример решения задачи №14.
  39. Пример решения задачи №15.
  40. Классификация механических связей. Обобщенные координаты
  41. Рассмотрим конкретные примеры
  42. Принцип возможных перемещений
  43. Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)
  44. Пример решения задачи №17.
  45. Уравнения Лагранжа второго рода
  46. Пример решения задачи №18.

Кинематика

Кинематика — раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения точки или тела вне зависимости от их массы и причин, вызывающих это движение.

Кинематика точки

Задать движение точки — значит задать правило, в соответствии с которым можно указать положение точки в каждый момент времени. Наиболее распространенными и удобными способами задания движения точки являются: векторный, координатный и естественный.

Теоретическая механика Векторный способ задания движения точки. Положение точки Теоретическая механика задается радиусом-вектором Теоретическая механика проведенным в нее из неподвижного центра (полюса) Теоретическая механика (рис. 1). Радиус-вектор является векторной функцией скалярного аргумента — времени Теоретическая механика с течением времени конец вектора Теоретическая механика описывает в пространстве кривую, которая называется траекторией точки.

Теоретическая механикаэ

Наряду с радиусом-вектором кинематическое состояние точки Теоретическая механика характеризуют векторы скорости Теоретическая механика и ускорения Теоретическая механика

Скорость точки Теоретическая механика - вектор производной по времени от радиуса-вектора, характеризует быстроту и направление изменения положения точки в пространстве. Вектор скорости направлен по касательной к траектории в точке Теоретическая механика.

Ускорение точки Теоретическая механика — вектор первой производной по времени от вектора скорости, или второй производной от радиуса-вектора. Ускорение удобно представить в виде суммы двух векторов Теоретическая механика и Теоретическая механика расположенных в плоскости, образуемой векторами Теоретическая механика и Теоретическая механика

Теоретическая механика

Вектор Теоретическая механика направлен параллельно Теоретическая механика и называется касательным (тангенциальным) ускорением, а вектор Теоретическая механика направлен перпендикулярно Теоретическая механика в сторону вогнутости траектории и называется нормальным ускорением.

Величины Теоретическая механика и Теоретическая механика можно найти по формулам

Теоретическая механика

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - скалярное произведение векторов Теоретическая механика и Теоретическая механика

Теоретическая механикаКоординатный способ задания движения точки. Положение точки в пространстве задается тремя функциями времени

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — декартовы координаты точки Теоретическая механика Этот способ является другим представлением векторного, так как радиус-вектор Теоретическая механика выходящий из начала координат, можно представить в виде векторной суммы

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — единичные векторы (орты), направленные вдоль координатных осей Теоретическая механика (рис. 1).

Проекции скорости на оси координат Теоретическая механика определяются дифференцированием по времени соответствующих функций (1):

Теоретическая механика

Вектор скорости находится в виде геометрической суммы трех векторов:

Теоретическая механика

а модуль скорости — по формуле

Теоретическая механика

Проекции ускорения на оси координат Теоретическая механика ускорение Теоретическая механика a также его модуль Теоретическая механика находятся по формулам

Теоретическая механика

Значение касательного ускорения вычисляется при помощи выражения

Теоретическая механика

При Теоретическая механика движение точки называется ускоренным, так как модуль скорости Теоретическая механика является в данный момент времени возрастающей функцией. При Теоретическая механика движение называется замедленным.

Теоретическая механикаЕстественный способ задания движения точки. Положение точки в пространстве определяется заданием:

а) траектории точки;

б) начала отсчета на траектории (точки Теоретическая механика от которой будет отсчитываться дуговая координата Теоретическая механика);

в) положительного направления отсчета дуговой координаты;

г) закона движения точки Теоретическая механика — зависимости ее дуговой координаты от времени.

Дуговая координата Теоретическая механика — это длина дуги траектории, отсчитываемая от точки Теоретическая механика до точки Теоретическая механика Если отсчет длины ведется в положительном направлении, то значение дуговой координаты положительно, а в противоположном случае — отрицательно.

Естественные оси координат наиболее удобны для изучения движения точки, заданного естественным способом. Сначала в точке Теоретическая механика строится соприкасающаяся окружность, которая из всех мыслимых окружностей, проходящих через точку Теоретическая механика наиболее плотно смыкается с траекторией (рис. 2). Центр этой окружности называется центром кривизны траектории, а ее радиус Теоретическая механика — радиусом кривизны траектории в точке Теоретическая механика Величина Теоретическая механика называется кривизной траектории. На пологих участках траектории значения Теоретическая механика больше, чем в точках искривленных участков Теоретическая механика наоборот,—.меньше. Плоскость, в которой лежит соприкасающаяся окружность, называется соприкасающейся плоскостью, и часть траектории в окрестности точки Теоретическая механика «практически» лежит в этой плоскости.

Теоретическая механика

Естественными осями координат называются три взаимно перпендикулярные оси: касательная к траектории в точке Теоретическая механика направленная в сторону возрастания дуговой координаты Теоретическая механика главная нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости и направленная к центру кривизны; бинормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости и направленная так, что если посмотреть навстречу ее положительному направлению, ближайший поворот;от касательной оси к оси главной нормали кажется происходящим против хода часовой стрелки. Единичные векторы (орты) обозначаются соответственно Теоретическая механика (рис. 2), они образуют правую тройку. По построению Теоретическая механика

Используя естественные оси координат, векторы скорости и ускорения точки Теоретическая механика можно записать в виде

Теоретическая механика

Величина Теоретическая механика называется алгебраическим значением скорости и может быть как меньше, так и больше нуля. При положительном значении Теоретическая механика корость точки направлена в сторону положительног.о отсчета дуговой координаты. Абсолютное значение Теоретическая механика равно модулю скорости Теоретическая механика Аналогично Теоретическая механика называется алгебраическим значением касательного ускорения, и, например, при Теоретическая механика вектор Теоретическая механика направлен в сторону отрицательного отсчета дуговой координаты.

При одинаковых знаках Теоретическая механика и Теоретическая механика движение точки в рассматриваемый момент времени ускоренное, при разных — замедленное. Нормальное ускорение равно нулю при движении точки по прямолинейному участку траектории. Касательное ускорение точки равно нулю, когда при движении точки алгебраическое значение величины скорости остается постоянным.

Равнопеременным движением точки называется движение, при котором Теоретическая механика Теоретическая механика В этом случае алгебраическое значение скорости и дуговая координата могут быть найдены по формулам

Теоретическая механика

Здесь Теоретическая механика и Теоретическая механика — алгебраическое значение скорости и дуговая координата, соответствующие моменту времени Теоретическая механика

Теоретическая механика

Равномерным называется такое движение точки, при котором Теоретическая механика

В общем случае дуговая координата Теоретическая механика и пройденный точкой путь Теоретическая механика могут быть найдены по формулам: Теоретическая механика

Отсюда видна разница между дуговой координатой и путем, пройденным точкой.

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Основные законы механики
  2. Определение реакций опор балки
  3. Применение принципа Даламбера
  4. Равновесие плоской системы сил
  5. Принцип возможных перемещений

Пример решения задачи №1.

Линейка Теоретическая механика эллипсографа длиной Теоретическая механика (рис. 3) движется так, что угол Теоретическая механика (в радианах) изменяется по закону Теоретическая механика При этом точка Теоретическая механика линейки движется по горизонтальной прямой, а точка Теоретическая механика — по вертикальной. Найти траекторию точки Теоретическая механика лежащей на середине линейки, а также ее скорость, ускорение и радиус кривизны траектории при Теоретическая механика

Решение:

Перейдем сначала к ранее рассмотренному координатному способу задания движения. Введем оси координат, как указано на рисунке, после чего найдем Теоретическая механика Возводя в квадрат правые и левые части уравнений движения и складывая их почленно, получим уравнение траектории

Теоретическая механика

откуда следует, что точка Теоретическая механика движется по окружности радиуса Теоретическая механика

Воспользовавшись затем формулами (2) — (6) и учитывая, что моменту времени Теоретическая механика соответствуют Теоретическая механика Теоретическая механика Теоретическая механика найдем

Теоретическая механика

причем последний результат очевиден заранее, исходя из полученного уравнения траектории.

Кинематика твердого тела

Теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на прямую, их соединяющую, равны (рис. 4).

Эта теорема справедлива для произвольного движения тела и утверждает, что проекции должны быть равны и по величине, и по направлению.

Простейшие движения твердого тела: поступательное и вращение вокруг неподвижной оси.

Теоретическая механика

Теоретическая механикаПоступательное движение. Движение твердого тела называется поступательным, если любая прямая, проведенная в нем, при движении остается параллельной своему первоначальному направлению. Свойства поступательного движения: траектории всех точек твердого тела при наложении совпадают, скорости и ускорения всех точек тела одинаковы в каждый момент времени:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика и Теоретическая механика - любые точки.

Теоретическая механикаВращение вокруг неподвижной оси. При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, называемой осью вращения, его точки, лежащие на оси, остаются неподвижными. Через ось проведем две плоскости — неподвижную и подвижную, в которой находится точка тела, скорость и ускорение которой необходимо найти. Двугранный угол Теоретическая механика между подвижной и неподвижной плоскостями называется углом поворота тела, он измеряется в радианах. Угол поворота считают положительным, когда он отсчитывается от неподвижной плоскости к подвижной против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу положительному направлению оси вращения. Чтобы было известно положение тела (и каждой его точки) в любой момент времени, необходимо знать зависимость угла Теоретическая механика от времени Теоретическая механика

Теоретическая механика

Это уравнение выражает закон вращения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Вместе с функцией Теоретическая механика ее первая и вторая производные по времени характеризуют кинематическое состояние твердого тела в рассматриваемый момент времени

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - угловая скорость тела, Теоретическая механика - его угловое ускорение.

Траекторией произвольной точки Теоретическая механика твердого тела является окружность, радиус которой Теоретическая механиканазывается радиусом вращения точки. На рис. 5 эта окружность изображена со стороны положительного направления оси вращения. Знак Теоретическая механика указывает направление вращения: если он положителен, то вращение происходит против хода часовой стрелки. Угловую скорость и угловое ускорение удобно изображать при помощи дуговых стрелок с учетом их знаков. Если знаки Теоретическая механика и Теоретическая механика одинаковы, то говорят, что вращение ускоренное, если знаки разные — замедленное.

Теоретическая механика

Вращение твердого тела называется равнопеременным, когда Теоретическая механика

В этом случае зависимости угла поворота и угловой скорости от времени даются формулами

Теоретическая механика

аналогичными формулам для равнопеременного движения точки (7).

Равномерное вращение твердого тела является частным случаем равнопеременного, когда

Теоретическая механика

В общем случае при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси модуль скорости точки Теоретическая механика находится по формуле

Теоретическая механика

при этом скорость направлена по касательной к окружности, т.е. перпендикулярно к радиусу, и ее направление согласовано с направлением дуговой стрелки Теоретическая механика Величины касательного, нормального и полного ускорения можно найти по формулам, являющимся частными случаями формул (6):

Теоретическая механика

Вектор касательного ускорения Теоретическая механика направлен по касательной к окружности, и его направление согласовано с направлением дуговой стрелки Теоретическая механика вектор Теоретическая механика напралвлен по радиусу Теоретическая механика к центру окружности.

Острый угол Теоретическая механика между Теоретическая механика и Теоретическая механика можно найти по формуле

Теоретическая механика

при этом направление ближайшего поворота от Теоретическая механика к Теоретическая механика удет согласовано с направлением дуговой стрелки Теоретическая механика

Величины Теоретическая механика входящие в последние формулы, одинаковы для всех точек тела и характеризуют кинематическое состояние тела в целом.

Из формул следует, что векторы Теоретическая механика и Теоретическая механика разных точек тела, лежащих на одном радиусе, параллельны между собой и линейно зависят от расстояния до оси вращения (рис. 5).

Плоскопараллельное движение твердого тела

Теоретическая механикаПлоскопараллельным называется такое движение твердого тела, при котором остается постоянным расстояние от любой его точки до некоторой неподвижной плоскости, которая называется основной.

Изучение плоскопараллельного движения сводится к исследованию движения плоской фигуры в ее плоскости. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси является частным случаем плоскопараллельного движения. Угол поворота плоской фигуры Теоретическая механика отсчитывается от некоторой неподвижной прямой до прямой, неизменно связанной с фигурой. Правило знаков для Теоретическая механика принимается такое же, как в случае вращения тела вокруг неподвижной оси.

Положение плоской фигуры полностью определено, если известны координаты некоторой ее точки (полюса, центра) Теоретическая механика и угол поворота. Соотношения

Теоретическая механика

задающие три функциональные зависимости от времени, называются уравнениями движения плоской фигуры. Угловая скорость Теоретическая механика и угловое ускорение Теоретическая механика вводятся аналогично случаю вращения тела вокруг неподвижной оси: Теоретическая механика

Теоретическая механикаТеорема о скоростях точек плоской фигуры: скорость любой точки Теоретическая механика плоской фигуры равна геометрической сумме векторов скорости полюса Теоретическая механика и скорости Теоретическая механика которую имела бы точка Теоретическая механика при вращении фигуры вокруг неподвижного полюса Теоретическая механика (рис. 6):

Теоретическая механика

Теоретическая механика

Скорость Теоретическая механика перпендикулярна отрезку Теоретическая механика ее величина подсчитывается по формуле Теоретическая механика а направление согласовано с направлением дуговой стрелки Теоретическая механика

Точка Теоретическая механика плоской фигуры, скорость которой в рассматриваемый момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Если эту точку принять в качестве полюса, скорость произвольной точки Теоретическая механика плоской фигуры определится по формуле Теоретическая механика Направление Теоретическая механика будет согласовано с направлением дуговой стрелки угловой скорости, а ее модуль найдется из формулы Теоретическая механика Скорости точек плоской фигуры в рассматриваемый момент времени будут распределены так же, как в случае вращения фигуры вокруг неподвижной оси, проходящей через мгновенный центр скоростей. Поэтому можно воспользоваться формулой (9) вращательного движения

Теоретическая механика

На рис. 7 показаны варианты расположения мгновенного центра скоростей:

а) при качении без проскальзывания по неподвижной поверхности мгновенный центр скоростей находится в точке касания (рис. 7, а);

б) если Теоретическая механика то положение Теоретическая механика определяется построением, показанным на рис. 7, 5;

в) если Теоретическая механика и отрезок Теоретическая механика не перпендикулярен Теоретическая механика то мгновенного центра скоростей нет, Теоретическая механика а скорости всех точек тела одинаковы в данный момент времени (рис. 7, в).

Теоретическая механика

Пример решения задачи №2.

Найти в момент времени Теоретическая механика скорости точек Теоретическая механика и Теоретическая механика линейки эллипсографа, движение которого описано в примере из разд. 1.1.

Решение:

Стержень Теоретическая механика совершает плоскопараллельное движение. Проводя перпендикуляры к направлениям скоростей точек Теоретическая механика и Теоретическая механика найдем положение мгновенного центра скоростей Теоретическая механика (рис. 8).

Теоретическая механика

Угловую скорость Теоретическая механика изобразим дуговой стрелкой с учетом знака. Направим скорости точек Теоретическая механика и Теоретическая механика перпендикулярно прямым, соединяющим их с Теоретическая механика согласовав их направления с дуговой стрелкой угловой скорости. Величины скоростей найдем из соотношения

Теоретическая механика

откуда Теоретическая механика

Теоретическая механикаТеорема об ускорениях точек плоской фигуры: ускорение любой точки Теоретическая механика плоской фигуры равно геометрической сумме векторов ускорения полюса Теоретическая механика и ускорения Теоретическая механика которое имела бы точка Теоретическая механика при вращении фигуры вокруг неподвижного полюса Теоретическая механика

Теоретическая механика

Модули векторов Теоретическая механика и Теоретическая механика и их ориентация на плоскости следующие: Теоретическая механика и направлен к полюсу Теоретическая механика Теоретическая механика и согласован с направлением дуговой стрелки Теоретическая механика Теоретическая механика (рис. 9).

Теоретическая механика

Если спроектировать векторное равенство (10) на два направления — параллельное Теоретическая механика и перпендикулярное Теоретическая механика получится система двух скалярных уравнений

Теоретическая механика

в которых фигурируют семь величин — Теоретическая механика Если пять из них известны, то оставшиеся две могут быть найдены путем решения системы.

Мгновенным центром ускорений плоской фигуры называется неизменно связанная с ней точка Теоретическая механика ускорение которой в рассматриваемый момент времени равно нулю. Картина распределения ускорений точек плоской фигуры такая же, как при ее вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через точку Теоретическая механика

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Теормех динамика ускорение статика кинематика
  2. Теормех реакции опор связи
  3. Теормех кинематика формулы задачи примеры решения
  4. Теормех мгту мфти лэти политех
  5. Теоретическая механика контрольные работы с решением

Произвольное движение твердого тела

Скорость Теоретическая механика и ускорение Теоретическая механика любой точки твердого тела, совершающего произвольное движение, могут быть найдены, если в рассматриваемый момент времени известны: скорость Теоретическая механика и ускорение Теоретическая механика некоторой точки Теоретическая механика тела, а также векторы угловой скорости Теоретическая механика и углового ускорения Теоретическая механика тела. Соответствующие формулы имеют вид

Теоретическая механика

Векторы Теоретическая механика и Теоретическая механика характеризуют кинематическое состояние тела в рассматриваемый момент времени. Можно показать, что они не зависят от выбора полюса Теоретическая механика

В случаях вращения тела вокруг неподвижной оси и при плоско-параллельном движении вектор Теоретическая механика равен первой производной от угла поворота по времени и направлен перпендикулярно основной плоскости. При этом, если посмотреть навстречу вектору Теоретическая механика вращение будет казаться происходящим против хода часовой стрелки. Вектор Теоретическая механика в этих случаях направлен параллельно вектору Теоретическая механика если знаки Теоретическая механика и Теоретическая механика одинаков. В противном случае Теоретическая механика и Теоретическая механика атипараллельны.

При произвольном движении малое перемещение тела удобно представить как совокупность его простейших движений, совершаемых одновременно, — малого поступательного перемещения вместе с полюсом Теоретическая механика и малого поворота вокруг оси, проходящей через полюс.

Если Теоретическая механика что имеет место, например, при сферическом движении, формула для скорости (11) принимает вид формулы Эйлера Теоретическая механика

В этом случае распределение скоростей точек тела такое же, как при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через Теоретическая механика параллельно вектору Теоретическая механика поэтому она называется мгновенной осью вращения. Скорости всех точек тела, оказавшихся на этой оси в рассматриваемый момент времени, будут равны нулю, и малое перемещение тела можно рассматривать как поворот на малый угол вокруг мгновенной оси вращения.

Сложное движение точки

Теоретическая механикаОсновные понятия. Часто за одной и той же точкой Теоретическая механика следят два наблюдателя, один из них находится в основной системе координат Теоретическая механика которая считается неподвижной, другой — в подвижной системе координат Теоретическая механика которая известным образом движется относительно неподвижной (рис. 10). В этом случае, если будет задан закон движения точки в подвижной системе координат, то тем самым в любой момент времени будет задано положение точки и в неподвижной системе координат. Движение точки, заданное таким образом, называется сложным (составным) движением точки.

Теоретическая механика

Описанный способ задания движения точки отличен от изученных ранее. Скорость точки и ее ускорение можно определить так: надлежащими преобразованиями перейти к одному из изученных способов задания движения точки и затем действовать соответствующим образом. Однако эту же задачу можно решить по-другому, опираясь на рассматриваемые ниже теоремы о скоростях и ускорениях при сложном движении точки.

Абсолютным движением точки Теоретическая механика называется ее движение по отношению к неподвижной (абсолютной) системе координат. Траектория точки, ее скорость и ускорение называются соответственно абсолютной траекторией, абсолютной скоростью Теоретическая механика и абсолютным ускорением Теоретическая механика

Относительным движением точки Теоретическая механика называется ее движение по отношению к подвижной системе координат. Траектория точки, ее скорость и ускорение по отношению к подвижной системе координат называются соответственно относительной траекторией, относительной скоростью Теоретическая механика и относительным ускорением Теоретическая механика

Переносным движением называется движение подвижной системы координат по отношению к неподвижной. При этом движении подвижная система «переносит» вместе с собой множество неизменно связанных с ней точек.

Переносной скоростью Теоретическая механика и переносным ускорением Теоретическая механика называются скорость и ускорение той неизменно связанной с подвижной системой точки Теоретическая механика с которой в данный момент времени совпадает движущаяся точка Теоретическая механика

Если известны скорость Теоретическая механика и ускорение Теоретическая механика некоторой точки, принадлежащей подвижной системе, а также угловая скорость Теоретическая механика и угловое ускорение Теоретическая механика подвижной системы, то Теоретическая механика и Теоретическая механика можно найти, пользуясь формулами (11):

Теоретическая механика

Теоретическая механикаОсновные теоремы. Теорема о скоростях при сложном движении точки: вектор абсолютной скорости равен геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей

Теоретическая механика

еорема об ускорениях при сложном движении точки: вектор абсолютного ускорения равен геометрической сумме векторов относительного, переносного и кориолисова ускорений Теоретическая механика

Вектор ускорения Кориолиса определяется формулой

Теоретическая механика

и находится в соответствии с правилами вычисления векторного произведения.

При нахождении векторов Теоретическая механика и Теоретическая механика необходимо иметь в виду, что каждый из них может являться геометрической суммой нескольких составляющих, например касательного и нормального ускорений.

Пример решения задачи №3.

По линейке эллипсографа, движение которого описано в примере из разд. 1.1, движется точка Теоретическая механика по закону Теоретическая механика Определить ее скорость и ускорение в момент времени Теоретическая механика

Решение:

Найдем скорость и ускорение, пользуясь теоремами сложного движения точки. Введем подвижную систему координат, связав ее со стержнем Теоретическая механика При таком выборе относительное движение точки Теоретическая механика будет задано естественным способом. При Теоретическая механика она окажется в середине отрезка.

Относительные скорость и ускорение найдем, пользуясь формулами (6)

Теоретическая механика

где использовано обозначение Теоретическая механика

Изобразим на рис. 11 относительные скорость и ускорение с учетом знаков. Переносными скоростью и ускорением точки Теоретическая механика будут являться скорость и ускорение того пункта линейки эллипсографа, в котором точка окажется в момент Теоретическая механика Этим пунктом будет являться точка Теоретическая механика линейки, скорость и ускорение которой были найдены при решении примера, разобранного в разд. 1.1 (см. формулы (8)):

Теоретическая механика

Найдем ускорение Кориолиса (12). Вектор угловой скорости подвижной системы координат направлен к наблюдателю перпендикулярно плоскости рисунка. Вектор Теоретическая механика располагается в плоскости рисунка перпендикулярно Теоретическая механика так, что если посмотреть навстречу Теоретическая механика поворот от Теоретическая механика в ближайшую сторону к Теоретическая механика кажется происходящим против хода часовой стрелки (рис. 11).

Теоретическая механика

Модуль Теоретическая механика равен

Теоретическая механика

Находим абсолютную скорость точки Теоретическая механика

Теоретическая механика

Спроектируем обе части векторного равенства на оси Теоретическая механика и Теоретическая механика

Теоретическая механика

откуда Теоретическая механика

Находим абсолютное ускорение точки Теоретическая механика

Теоретическая механика

проектируем обе части последнего векторного соотношения на оси Теоретическая механика и Теоретическая механика с учетом формул (8)

Теоретическая механика

Поэтому Теоретическая механика

При решении задач кинематики с помощью теорем сложного движения точки нахождение кинематических характеристик относительного и переносного движений можно начинать только после выбора подвижной системы координат. Поэтому вопрос о направлении ускорения Кориолиса лишен всякого смысла, пока не указаны неподвижная система, а также подвижная система и закон ее движения.

Основные понятия и аксиомы механики

Теоретическая механикаМеханические системы. Силы. Механической системой называется совокупность материальных точек, выделенных по некоторому признаку. Как правило, положение какой-либо точки, ее скорость и ускорение зависят от положений и скоростей остальных точек.

Несвободной механической системой называется такая система точек, на положения и скорости которых наложены ограничения. Материальные тела, которые осуществляют эти ограничения, называются механическими связями, наложенными на механическую систему. Соотношения, связывающие координаты, скорости точек системы и время, называются уравнениями связей. Материальная система называется свободной в случае отсутствия механических связей.

Абсолютно твердым телом (твердым телом, телом) называется совокупность материальных точек, взаимное положение которых не меняется.

При взаимодействии точек (тел) механической системы происходит изменение их кинематического состояния. Мерой такого взаимодействия является сила, изображаемая на рисунках в виде направленного прямолинейного отрезка. Линией действия силы называется прямая, вдоль которой направлен этот отрезок.

  • Совокупность сил, выделенных по какому-либо признаку, называется системой сил и обозначается Теоретическая механика
  • Система сил называется уравновешенной, если, приложенная к свободному твердому телу, находящемуся в покое, она не выводит его из этого состояния.
  • Системы сил Теоретическая механика и Теоретическая механика называются эквивалентными, если, порознь приложенные к свободному твердому телу, они вызывают одинаковое изменение его кинематического состояния.
  • Равнодействующей системы сил, приложенных к твердому телу, называется сила, эквивалентная исходной системе сил.
  • Силы, с которыми механические связи действуют на точки системы, называются силами реакций связей. Силы, действующие наточки системы и не являющиеся силами реакций, называются активными силами.

Теоретическая механикаМоменты сил. Моментом силы Теоретическая механика относительно центра (точки) Теоретическая механика называется вектор Теоретическая механика равный векторному произведению радиуса-вектора Теоретическая механика проведенного из центра в точку приложения силы, на вектор силы: Теоретическая механика (рис. 12).

Теоретическая механика

Модуль момента силы равен произведению модуля силы на величину ее плеча относительно центра. Плечом силы Теоретическая механика относительно центра называется отрезок периендикуляра Теоретическая механика опущенного из центра на линию действия. Вектор Теоретическая механика перпендикулярен плоскости, в которой располагаются сила и центр, и направлен так, что если посмотреть ему навстречу, поворот силы вокруг центра кажется происходящим против хода часовой стрелки. Если силу перенести по линии действия, ее момент относительно того же центра не изменится.

Моментом силы Теоретическая механика относительно оси Теоретическая механика называется скалярная величина Теоретическая механика равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно любого центра, лежащего на этой оси. Для вычисления момента силы относительно оси необходимо:

1) провести любую плоскость Теоретическая механика перпендикулярную оси, и отметить точку Теоретическая механика их пересечения (рис. 12);

2) найти Теоретическая механика — проекцию силы на плоскость;

3) найти абсолютное значение момента вектора Теоретическая механика относительно центра Теоретическая механика

4) полученной величине присвоить знак, наблюдая за вращением Теоретическая механика вокруг Теоретическая механика со стороны положительного направления оси, при этом вращению против хода часовой стрелки будет соответствовать положительный знак.

Момент силы относительно оси не изменится, если силу перенести вдоль линии действия. Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось находятся в одной плоскости; в этом случае линия действия силы либо параллельна оси, либо ее пересекает.

Момент силы Теоретическая механика относительно начала системы координат Теоретическая механика и моменты силы относительно координатных осей вычисляются по формулам

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — проекции силы на координатные оси, а Теоретическая механика — координаты точки ее приложения.

Главным вектором системы сил Теоретическая механика называется вектор Теоретическая механика равный геометрической сумме всех сил системы:

Теоретическая механика

Главным моментом системы сил относительно центра Теоретическая механика называется вектор Теоретическая механика равный геометрической сумме векторов моментов всех сил системы относительно центра Теоретическая механика

Теоретическая механика

Теоретическая механикаПарой сил называется система двух сил Теоретическая механика и Теоретическая механика приложенных к одному твердому телу, которые равны по модулю, параллельны и направлены в противоположные стороны (рис. 13).

Теоретическая механика

Кратчайшее расстояние Теоретическая механика между линиями действия сил пары называется плечом пары, а плоскость, в котоой лежат силы, — поюскостью действия пары.

Свойства пары сил:

Главный вектор пары сил равен нулю.

2. Главный момент пары сил Теоретическая механика не зависит от выбора центра и называется моментом пары сил. Он равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы. Момент пары сил является мерой ее механического действия на твердое тело. Под действием пары сил свободное твердое тело, находившееся до того в покое, начинает вращаться вокруг оси, параллельной вектору момента пары сил.

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Силы в теоретической механике
  2. Система сил теоретическая механика
  3. Опоры и реакции по теоретической механике
  4. Теоретическая механика кратко и понятно
  5. Теормех примеры решения задач

Аксиомы теоретической механики

Основные аксиомы механики (законы Галилея — Ньютона) перечислены ниже.

Теоретическая механика1. Закон инерции (первый закон Ньютона): если на свободную материальную точку не действуют силы, то она сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения.

Теоретическая механика2. Закон пропорциональности силы и ускорения (второй закон Ньютона) записывается в виде векторного равенства

Теоретическая механика

согласно которому сила, действующая на свободную точку, сообщает ей ускорение, вектор которого параллелен силе и пропорционален ее величине.

Масса точки Теоретическая механика входит во второй закон скалярным коэффициентом пропорциональности. В механике масса полагается постоянной величиной, она является мерой инертности и гравитационных свойств материальной толчки.

Системы отсчета, в которых выполняются первый и второй законы Ньютона, называются инерциальными системами отсчета. Если в некоторой системе отсчета эти законы не выполняются, то она называется неинерциальной.

Теоретическая механика3. Закон равенства действия и противодействия (третий закон Ньютона): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие.

Силовые воздействия одних материальных тел на другие не бывают односторонними, они всегда взаимны. Силы не возникают сами по себе, а являются результатом контактного или пространственного взаимодействия тел. Появление силы, действующей на тело, предполагает наличие другого тела, на которое, в свою очередь, будет действовать сила со стороны первого тела. Закон утверждает, что эти силы равны по величине, противоположны по направлению и их линии действия совпадают.

Теоретическая механика4. Система сил, приложенных к одной точке, имеет равнодействующую Теоретическая механика которая равна их геометрической сумме.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей системы сходящихся сил (является следствием четвертой аксиомы): момент равнодействующей системы сходящихся сил относительно произвольного центра равен геометрической сумме моментов сил системы относительно того же центра.

Теоретическая механика5. Кинематическое состояние несвободной механической системы не изменяется, если отбросить механические связи, наложенные на систему, заменив их действие силами реакций связей.

Основные законы и теоремы статики

Теоретическая механикаЗадачами статики являются:

  1. преобразования систем сил в эквивалентные системы сил;
  2. определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

Теоретическая механикаАксиомы статики. Дополнительно к общим законам механики в статике присоединяют следующие аксиомы.

  1. Аксиома об равновешенности двух сил, приложенных к твердому телу: две силы, приложенные к твердому телу, взаимно уравновешиваются только в том случае, если силы направлены в разные стороны вдоль общей линии действия и модули их равны.
  2. Аксиома присоединения и исключения уравновешенных систем сил: действие системы сил на твердое тело не изменится, если к ней добавить или из нее исключить уравновешенную систему сил.
  3. Из последних двух аксиом следует, что силу, приложенную к твердому телу, можно переносить вдоль линии действия, при этом действие силы на тело не будет меняться.

  4. Аксиома о сохранении равновесия механической системы при наложении дополнительных механических связей: если механическая система находится в состоянии равновесия, то оно сохранится, если на систему наложить дополнительную механическую связь. Отсюда, в частности, следует, что равновесие деформируемого тела, находящегося под действием некоторой системы сил, сохранится при его затвердевании, так как затвердевание тела эквивалентно наложению дополнительных механических связей на систему материальных точек, образующих деформируемое тело.

Основные теоремы статики

Теоретическая механикаОсновные теоремы статики.

Можно доказать, что две пары сил эквивалентны в том случае, если их моменты равны. Это означает, что, не изменяя действия пары на твердое тело, ее можно переносить в любое место в плоскости ее действия, при этом пару можно поворачивать, менять величины сил и плеча, оставляя постоянным направление вращения и величину момента пары. Пару можно также переносить в другую плоскость, параллельную исходной плоскости действия пары. Таким образом, основной характеристикой пары является вектор ее момента, поэтому пару удобнее представлять этим вектором, а не двумя антипараллельными силами.

Теорема о результирующей паре сил: система пар, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной паре сил, момент которой равен геометрической сумме моментов исходных пар.

Теорема о параллельном переносе силы: силу, не меняя ее действия на твердое тело, можно параллельно перенести в любую точку тела, добавив к нему при этом пару сил (эта пара называется присоединенной), момент которой равен моменту переносимой силы относительно той точки, куда сила переносится.

Теорема о приведении системы сил к центру: произвольная система сил, приложенных к твердому телу, эквивалентна одной силе, приложенной в наперед выбранном центре Теоретическая механика и одной паре сил. При этом сила равна главному вектору системы сил Теоретическая механика а момент пары сил — главному моменту системы сил Теоретическая механика относительно выбранного центра.

Теорема об эквивалентности систем сил, приложенных к твердому телу: для того чтобы системы сил были эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы у них были одинаковые главные векторы и главные моменты относительно одного и того же центра.

Теорема Вариньона о моменте равнодействующей: если система сил имеет равнодействующую Теоретическая механика то ее момент относительно любого центра Теоретическая механика равен геометрической сумме векторов моментов всех сил системы относительно того же центра:

Теоретическая механика

Следствие: момент равнодействующей относительно произвольной оси равен алгебраической сумме моментов всех сил системы относительно той же оси.

Условия уравновешенности систем сип, приложенных к твердому телу

Теоретическая механикаУравнения равновесия твердого тела. Для того чтобы система сил, приложенных к твердому телу, была уравновешенной, необходимо и достаточно, чтобы были равны нулю ее главный вектор и главный момент относительно какого-либо центра

Теоретическая механика

Условия уравновешенности системы сил, приложенных к твердому телу, в координатной форме получаются из векторных уравнений (1) и имеют вид системы шести уравнений

Теоретическая механика

Верхние три уравнения называются уравнениями проекций сил на координатные оси; они отражают тот факт, что при равновесии твердого тела алгебраическая сумма проекций всех сил, приложенных к телу, на каждую координатную ось должна быть равна нулю. Нижние три уравнения называются уравнениями моментов сил относительно координатных осей. Эти уравнения указывают на то, что при равновесии тела алгебраическая сумма моментов всех сил, действующих на тело, относительно каждой координатной оси должна быть равна нулю.

Система уравнений (2) называется основной системой уравнений равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной системы сил. Существуют другие формы системы уравнений равновесия, каждая из которых состоит из шести уравнений. При использовании таких систем приходится следить за выполнением условий, накладывающих ограничения на выбор осей, относительно которых вычисляются суммы моментов сил.

В каждой задаче о равновесии твердого тела или конструкции, состоящей из нескольких тел, кроме заданных величин, имеются величины, которые необходимо найти в процессе решения. Задача о равновесии называется статически определимой, если она решается до конца методами статики. В этом случае необходимо, чтобы число неизвестных не превышало числа уравнений равновесия. Задача называется статически неопределимой, если ее нельзя решить, пользуясь только уравнениями статики. Поэтому задача о равновесии одного тела, содержащая семь и более неизвестных, заведомо является статически неопределимой.

Теоретическая механикаЧастные случаи уравнений равновесия твердого тела. В частных случаях расположения сил одно или несколько уравнений системы (2) могут обращаться в тождества. Например, если все силы перпендикулярны координатной оси Теоретическая механика в тождество обращается уравнение проекций на ось Теоретическая механика и число уравнений равновесия уменьшается в этом случае до пяти; если линии действия всех сил пересекают ось Теоретическая механика в тождество обращается уравнение моментов относительно оси Теоретическая механика

Ниже рассмотрены системы сил, равновесие которых описывается тремя уравнениями равновесия.

Система сил называется сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке. Выберем начало координат в этой точке. Уравнения моментов основной системы (2) обращаются в тождества, а оставшиеся три

Теоретическая механика

образуют систему уравнений равновесия.

Система сил называется плоской, если силы располагаются в одной плоскости. Направим координатные оси так, чтобы все силы оказались в плоскости Теоретическая механика в этом случае третье, четвертое и пятое уравнения основной системы (2) обращаются в тождества, оставшиеся три

Теоретическая механика

образуют систему уравнений равновесия плоской системы сил. Здесь уравнение моментов относительно оси Теоретическая механика записано в иной, эквивалентной форме: в данном случае векторы моментов перпендикулярны плоскости действия сил, если центр расположен в той же плоскости. Поэтому можно рассматривать момент силы относительно центра как скалярную величину. В правой системе координат момент считается положительным, если сила стремится повернуться вокруг центра против хода часовой стрелки.

В случае плоской системы сил можно пользоваться другими формами уравнений равновесия. Одна из них:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика и Теоретическая механика — любые точки плоскости, для которых отрезок Теоретическая механика неперпендикулярен оси Теоретическая механика

Еще одна форма уравнений равновесия:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — любые точки плоскости, не лежащие на одной прямой.

Совокупность сил называется системой параллельных сил, если линии действия сил параллельны. Ось Теоретическая механика направим параллельно линиям действия. Первое, второе и шестое уравнения системы (2) обращаются в тождества, оставшиеся

Теоретическая механика

образуют систему уравнений равновесия тела, находящегося под действием параллельных сил.

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Теоретическая механика ответы на тесты
  2. Скорость точки по теоретической механике
  3. Теоретическая механика движение точки
  4. Формулы теоретической механики
  5. Твердое тело теоретическая механика

Решение задач статики

Теоретическая механикаОбщая схема решения задач о равновесии тела (или конструкции, состоящей из нескольких тел) содержит несколько этапов. Необходимо:

  1. Выбрать тело (или конструкцию), исследование равновесия которого позволит определить требуемые величины. Нарисовать расчетную схему — упрощенный рисунок, на который вынесены лишь необходимые для решения линейные размеры и углы, а несущественные детали опущены.
  2. Изобразить на схеме активные силы, заданные в условии задачи.
  3. Если тело несвободно, отбросить наложенные на него механические связи, заменив их действие реакциями связей. После такой замены тело становится свободным.
  4. Проверить выполнение необходимого условия статической определимости задачи: число неизвестных, появившихся на расчетной схеме, не должно превышать числа уравнений равновесия для рассматриваемой системы сил.
  5. В случае выполнения этого условия составить систему уравнений равновесия, решить ее и исследовать полученные результаты.

При решении задачи желательно действовать строго по описанной схеме.

Опыт показывает, что наиболее часто ошибки допускаются при замене связей их реакциями. Остановимся подробнее на этом вопросе.

Теоретическая механикаПравила расстановки сил реакций механических связей. Каждая механическая связь представляет либо тело, либо механическое устройство, которое накладывает какие-либо ограничения на перемещение тела в пространстве. При этом, в зависимости от вида связи, некоторые перемещения запрещены, а некоторые — разрешены. Это обстоятельство позволяет заранее, не находя численных значений силовых факторов действия связи, указать на некоторые качественные особенности. Правило, которому необходимо следовать при замене связей силами реакций, заключается в следующем: реакция связи в общем случае может состоять из двух силовых факторов — силы, приложенной в точке наложения связи, и пары сил.

Если связь запрещает поступательное перемещение тела, появляется сила реакции, направление которой противоположно запрещенному перемещению. Если связь запрещает поворот тела, то возникает пара сил реакции связи, которая обеспечивает это запрещение, при этом вектор момента пары будет направлен вдоль оси запрещенного поворота.

Теоретическая механикаНекоторые типы механических связей.

1. Идеально гибкая нерастяжимая невесомая нить. На рис. 14 изображена нить, прикрепленная к твердому телу в точке Теоретическая механика Рассматриваемая связь наложена в точке Теоретическая механика в силу идеальной гибкости нити разрешен поворот тела вокруг любой оси, проходящей через эту точку. Это означает, что пары сил реакции не возникает.

Для этого типа связи разрешены малые поступательные перемещения тела, при которых точка Теоретическая механика движется по поверхности сферы

Теоретическая механика

радиуса Теоретическая механика с центром в точке Теоретическая механика поэтому в направлении разрешенных перемещений сила реакции возникнуть не может. Запрещено поступательное перемещение тела в направлении Теоретическая механика так как нить нерастяжима. Это означает, что появляется сила реакции Теоретическая механика приложенная к телу в точке Теоретическая механика направленная по прямой Теоретическая механика

2. Аналогично направляются силы реакции, когда связь осуществляется посредством либо свободного опирания двух тел, поверхность одного из которых является абсолютно гладкой (рис. 15), либо подвижного шарнира (рис. 16).

Теоретическая механика

3. Жесткая заделка. Связь запрещает любое поступательное перемещение тела, поэтому возникает сила реакции связи Теоретическая механика направление которой неизвестно. Ее обычно представляют тремя составляющими, параллельными координатным осям. Жесткая заделка запрещает поворот вокруг любой оси, проходящей через точку Теоретическая механика поэтому возникает пара сил реакции, момент которой Теоретическая механика неизвестен ни по величине, ни по направлению. Обычно неизвестную пару заменяют эквивалентной системой трех пар, моменты которых направлены вдоль осей координат (рис. 17).

Теоретическая механика

Если на тело наложено несколько связей, то каждая из них исследуется независимо от остальных связей и приложенных к телу сил.

Неизвестными в задачах статики могут быть не только реакции связей, но и углы, линейные размеры конструкций и др. параметры.

Теоретическая механика

Пример решения задачи №4.

Найти реакцию жесткой заделки Теоретическая механика изогнутой невесомой балки Теоретическая механика (рис. 18), находящейся под действием силы Теоретическая механика и пары сил с моментом Теоретическая механика при следующих данных: Теоретическая механика

Решение:

Будем следовать общей схеме решения задач о равновесии тела.

1. Реакция жесткой заделки Теоретическая механика может быть найдена из исследования равновесия балки, поэтому в качестве твердого тела выбираем балку Теоретическая механика Отдельно рисуем расчетную схему (рис. 19).

2. Расставляем на схеме активные силовые факторы, действующие на балку, — силу Теоретическая механика и пару сил Теоретическая механика которую изображаем при помощи дуговой стрелки в направлении вращения пары (в рассматриваемом случае по ходу часовой стрелки).

3. Балка несвободна, так как на нее наложена связь — жесткая заделка в точке Теоретическая механика Делаем балку свободной: отбрасываем связь, заменяя ее реакцией связи. Реакция заделки состоит из силы Теоретическая механика неизвестной ни по величине, ни по направлению, и пары сил с моментом Теоретическая механика неизвестным ни по величине, ни по направлению вращения.

Вводим систему координат Теоретическая механика как показано на рисунке. Поскольку направление силы itв неизвестно, представим ее двумя составляющими:иТеоретическая механика и Теоретическая механика Неизвестную пару сил реакции Теоретическая механика изобразим дуговой стрелкой. Отметим, что не нужно гадать, куда на самом деле направлены составляющие и дуговая стрелка момента пары— все это выяснится после решения задачи. Например, на расчетной схеме Теоретическая механика была нами направлена влево лишь потому, что при этом она оказалась заметнее на рисунке.

Заменим Теоретическая механика эквивалентной системой сил, состоящей из двух составляющих Теоретическая механика и Теоретическая механика направленных параллельно координатным осям

Теоретическая механика

4. Теперь на расчетной схеме оказалась свободная балка, находящаяся под действием сил, расположенных в одной плоскости. В этом случае система уравнений равновесия состоит из трех уравнений. Количество неизвестных — Теоретическая механика равно трем. Это означает, что количество неизвестных и количество уравнений совпадают и необходимые условия статической определимости задачи выполнены.

5. Воспользуемся основной формой уравнений равновесия для плоской системы сил (3), выбрав в качестве моментной точки центр Теоретическая механика

Основная опасность при составлении уравнений равновесия — возможность потери какой-либо силы, либо пары сил, поэтому рекомендуется выписать в строке все силы и все пары сил, приложенные к телу, а уравнения равновесия составлять под этой строкой.

Теоретическая механика

Подставив исходные данные, найдем решение задачи

Теоретическая механика

Знаки ответов говорят о том, что направление составляющей Теоретическая механика противоположно указанному на расчетной схеме, а направления составляющей Теоретическая механика и дуговой стрелки Теоретическая механика соответствуют изображенным.

На схеме (рис. 19) не рекомендуется зачеркивать и рисовать заново Теоретическая механика с учетом знака ответа, так как при этом становятся' невозможными проверка правильности составления уравнений равновесия и интерпретация результатов.

Сила реакции заделки Теоретическая механика является геометрической суммой ортогональных составляющих Теоретическая механика и Теоретическая механика поэтому ее величина может быть найдена по формуле Теоретическая механика

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Принципы теоретической механики
  2. Теоретическая механика вариант
  3. Скачать теоретическую механику
  4. Задания по теоретической механике
  5. Связи и их реакции теоретическая механика

Пример решения задачи №5.

Конструкция, состоящая из двухневесомых стержней Теоретическая механика и Теоретическая механика изображена на рис. 20. Стержни имеют одинаковую длину 4 м и соединены между собой и с основанием при помощи шарниров, причем Теоретическая механика Левый стержень Теоретическая механика в средней точке нагружен горизонтальной силой Теоретическая механика правый стержень Теоретическая механика нагружен парой сил Теоретическая механика

Теоретическая механика

Решение:

Рассмотрим равновесие каждого стержня в отдельности, для чего расчленим конструкцию на две части — стержни Теоретическая механика и Теоретическая механика расставим активные силы и реакции связей.

Расчетная схема задачи после описанных действий представлена на рис. 21, система координат — общая для обоих стержней. Сила действующая на стержень Теоретическая механика действующая на стержень Теоретическая механика со стороны стержня Теоретическая механика представлена двумя состовляющими Теоретическая механика и Теоретическая механика сила Теоретическая механика действия стержня Теоретическая механика на стержень Теоретическая механика - состовляющими Теоретическая механика и Теоретическая механика

Теоретическая механика

Поскольку сила действия Теоретическая механика и сила противодействия Теоретическая механика должны удовлетворять аксиоме действия-противодействия, то и их составляющие будут связаны соотношениями: Теоретическая механика т.е. составляющие равны и противоположно направлены, и это уже учтено на схеме. При этом алгебраические значения составляющих будут связаны соотношениями

Теоретическая механика

Количество неизвестных - Теоретическая механика - равно восьми. Равновесие каждого стержня будет описываться тремя уравнениями равновесия; вместе с двумя уравнениями (4) они образуют систему 8 уравнений с 8 неизвестными (необходимые условия статической определимости задачи выполняются).

Ниже выписаны уравнения равновесия:

для стержня Теоретическая механика:

Теоретическая механика

для стержня Теоретическая механика:

Теоретическая механика

Решив эту систему уравнений с учетом равенств (4), в итоге получим: Теоретическая механика Теоретическая механика Теоретическая механика Теоретическая механика Теоретическая механика

Центр параллельных сил. Центр тяжести твердого тела

Теоретическая механикаЦентр параллельных сил. Пусть на точки твердого тела действует система параллельных сил Теоретическая механика Силы могут поворачиваться вокруг точек их приложения, оставаясь параллельными. Можно доказать, что система имеет равнодействующую Теоретическая механика если главный вектор отличен от нуля. При этом линия действия Теоретическая механика проходит всегда через одну и ту же неизменно связанную с телом точку Теоретическая механика независимо от ориентации сил. Эта точка называется центром параллельных сил, и ее положение в пространстве определяется радиусом-вектором Теоретическая механика

Теоретическая механика

здесь Теоретическая механика - радиус-вектор точки приложения силы Теоретическая механика а Теоретическая механика — алгебраическое значение силы.

Координаты Теоретическая механика центра параллельных сил можно определить по формулам

Теоретическая механика

Теоретическая механикаЦентром тяжести твердого тела называют центр параллельных сил, представляющих силы тяжести материальных частиц, из которых состоит тело. Если тело находится на поверхности Земли и его размеры малы по сравнению с радиусом Земли, то можно считать, что линии действия сил тяжести параллельны, а их величины зависят лишь от объема материальных частиц, плотности материала и ускорения свободного падения Теоретическая механика одинакового для всех частиц.

Формулы для нахождения центра тяжести следуют из формул для нахождения центра параллельных сил

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — объем тела, Теоретическая механика — удельный вес; Теоретическая механика — вес тела.

Аналогичные формулы имеют место для нахождения центра тяжести тела, имеющего форму поверхности или линии.

Теоретическая механикаСпособы нахождения центра тяжести.

Симметричные тела. Если тело имеет плоскость (ось, центр) материальной симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости (на оси, в центре).

Метод разбиения. Пусть тело составлено, например, из трех частей (рис. 22), для каждой из которых известен вес Теоретическая механика и положение тяжести Теоретическая механика

Теоретическая механика

Радиус-вектор центра тяжести тела Теоретическая механика и его координаты находятся по формулам

Теоретическая механика

Метод отрицательных масс. Пусть теперь необходимо найти центр тяжести нового тела, составленного из частей Теоретическая механика и Теоретическая механика (его можно получить, вырезав из основного тела часть Теоретическая механика). Решение можно получить либо по формулам (5), либо по формулам

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - вес тела, составленного из трех частей, а Теоретическая механика - вес вырезанной части, который в формулы входит с отрицательным знаком, что и послужило основанием для названия метода.

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Теоретическая механика статика
  2. Теоретическая механика динамика
  3. Теоретическая механика кинематика точки
  4. Теоретическая механика курсовая работа
  5. Теоретическая механика примеры решения задач

Распределенные силы

В практике часто встречаются случаи, когда к телу приложены не сосредоточенные силы, а нагрузки, распределенные по некоторому объему, поверхности или линии. Частный случай объемного распределения силы веса был рассмотрен в разд. 3.4. Векторная величина Теоретическая механика характеризующая нагрузку, называется интенсивностью нагрузки и измеряется в Теоретическая механика Теоретическая механика или Теоретическая механика

При решении задач статики распределенную нагрузку обычно заменяют более простой статически эквивалентной силой (системой сил).

1. Равномерно распределенная нагрузка интенсивности Теоретическая механика (рис. 23) В плоской задаче статики имеет равнодействующую Теоретическая механика линия действия которой проходит через середину отрезка приложения нагрузки Теоретическая механика

Теоретическая механика

2. Линейно распределенная нагрузка в плоских задачах статики (рис. 24) имеет равнодействующую Теоретическая механика проходящую через точку Теоретическая механика причем Теоретическая механика

Законы трения (законы Кулона)

Теоретическая механикаЗаконы трения скольжения. Рассмотрим тело веса Теоретическая механика находящееся в покое на негладкой горизонтальной плоскости (рис. 25). Попытка передвинуть тело, приложив к нему горизонтальную силу Теоретическая механика не приводит к успеху до тех пор, пока величина силы не достигнет некоторого значения Теоретическая механика Равнодействующая сил реакций опоры может быть представлена в виде двух составляющих - силы нормального давления Теоретическая механика и силы трения покоя Теоретическая механика Уравнение проекций сил на горизонтальную ось дает Теоретическая механика

Теоретическая механика

Опыт показывает, что Теоретическая механика и Теоретическая механика связаны соотношением (закон Кулона)

Теоретическая механика

где Теоретическая механика называется статическим коэффициентом трения; он зависит от материалов соприкасающихся тел и состояния их поверхностей.

Пока Теоретическая механика тело будет оставаться в покое. Если же к нему приложить силу, большую чем Теоретическая механика то оно станет двигаться. При движении силу сопротивления можно найти, пользуясь формулой

Теоретическая механика

где Теоретическая механика называется динамическим коэффициентом трения, a Теоретическая механика — силой трения скольжения.

Отметим, что динамический коэффициент трения всегда меньше статического коэффициента трения: Теоретическая механика

Теоретическая механикаЗаконы трения качения. Рассмотрим диск радиуса Теоретическая механика покоящийся на негладкой горизонтальной плоскости (рис. 26). Попытка перекатить диск, приложив к его центру горизонтальную силу Теоретическая механика не приведет к успеху, пока величина силы остается меньше предельного значения Теоретическая механика

Теоретическая механика

Силы реакции опоры, распределенные по малой поверхности вблизи точки контакта Теоретическая механика в соответствии с теоремой о приведении системы сил к центру могут быть заменены эквивалентной системой - силой нормального давления Теоретическая механика силой трения покоя Теоретическая механика приложенными в точке контакта Теоретическая механика а также парой сил трения качения с моментом Теоретическая механика

При равновесии диска из уравнения моментов относительно центра Теоретическая механика следует Теоретическая механика Опыт показывает, что Теоретическая механика и Теоретическая механика связаны соотношением Теоретическая механика при этом

Теоретическая механика

Поверхность качения называют абсолютно шероховатой, когда Теоретическая механика и Теоретическая механика

Опыт показывает, что при прочих равных условиях Теоретическая механика много больше Теоретическая механика поэтому в технике при необходимости уменьшить потери на трение стремятся заменить скольжение качением.

Динамика материальной точки

Дифференциальные уравнения движения материальной точки

Движение материальной точки по отношению к инерциальной системе отсчета описывается вторым законом Ньютона:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - масса точки, Теоретическая механика —ее ускорение, в правой части равенства — геометрическая сумма всех сил, приложенных к точке. Причины возникновения каждой из сил могут быть различными. Здесь мы будем Различать силы активные Теоретическая механика и силы реакций связей Теоретическая механика Активные силы зависят от времени Теоретическая механика а также от положений и скоростей точек механической системы. К активным силам относятся, например, силы тяжести, упругости, вязкого трения, аэрогидродинамического сопротивления и т.п.

Силы реакций связей действуют на несвободную материальную точку, когда ее движение стеснено механическими связями. Эти силы можно определить лишь в процессе решения задачи динамики.

Выберем декартовы оси инерциальной системы отсчета Теоретическая механика и, проектируя на них обе части векторного равенства (1), получим

Теоретическая механика

Эти три уравнения называются дифференциальными уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на естественные оси координат имеют вид

Теоретическая механика

Здесь учтено, что Теоретическая механика

Первая и вторая задачи динамики

В уравнения движения (см. разд. 4.1) неизвестные могут входить как в левые, так и в правые части. В зависимости от этого задачи динамики делятся на два типа, которые рассмотрены ниже.

Теоретическая механикаПервая задача динамики. Задан закон движения и активные силы, необходимо найти силы реакций связей.

Пример решения задачи №6.

Груз веса Теоретическая механика которому в момент времени Теоретическая механика была сообщена некоторая начальная скорость, поднимается по наклонной шероховатой плоскости (рис. 27). Определить величины сил трения Теоретическая механика и нормального давления Теоретическая механика действующих на тело, если известны коэффициент трения о плоскость Теоретическая механика и угол наклона Теоретическая механика

Теоретическая механика

Решение:

Введем декартовы оси координат, совместив начало отсчета Теоретическая механика с положением груза при Теоретическая механика Изобразим груз в произвольном положении и действующие на него силы. Принимая груз за материальную точку, запишем для него второй закон Ньютона

Теоретическая механика

Проектируя обе части векторного равенства (2) на ось Теоретическая механика имеем Теоретическая механика (учтено, что ускорение груза параллельно оси Теоретическая механика ). Отсюда находим Теоретическая механика Используя далее закон Кулона (уравнение (3) в гл. 3), получим силу трения Теоретическая механика

Теоретическая механикаВторая задача динамики. Заданы активные силы, уравнения механических связей, начальное положение точки и ее начальная скорость, необходимо найти закон движения точки и реакции связей.

Вторую задачу динамики рекомендуется решать последовательно в несколько этапов, перечисленных ниже.

1. Рисуют предполагаемую траекторию движения, на которой изображают материальную точку.

2. Рисуют силы, приложенные к точке.

3. Записывают второй закон Ньютона в векторной форме.

4. Выбирают удобную систему координат.

5. Записывают уравнения движения точки в проекциях либо на оси декартовой системы координат, либо на оси естественного трехгранника. В первом случае все активные силы необходимо выразить через Теоретическая механика а во втором - через Теоретическая механика

6. К полученным дифференциальным уравнениям добавляют начальные условия: значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени (они берутся из условия задачи с учетом введенной системы координат).

7. Поставленную задачу решают численно или аналитически методами, известными из курса высшей математики.

Указанные этапы решения рекомендуется выполнять, не меняя порядка их следования.

Пример решения задачи №7.

Дополнительно к условиям задачи примера 1 дано, что в момент времени Теоретическая механика скорость груза стала равна половине начальной. Найти начальную скорость груза Теоретическая механика и путь Теоретическая механика пройденный им за время Теоретическая механика

Решение:

Проектируем обе части векторного равенства (2) на ось Теоретическая механика Используя формулы Теоретическая механика и Теоретическая механика получим

Теоретическая механика

Общее решение полученного дифференциального уравнения и выражение для скорости груза даются формулами (подробности их. получения опущены, а их правильность можно проверить путем дифференцирования)

Теоретическая механика

Последние два соотношения должны быть справедливы в любой момент времени Теоретическая механика стало быть, и в начальный момент времени Теоретическая механика и в момент времени Теоретическая механика т.е. соотношения будут удовлетворяться, если в них вместо Теоретическая механика будут подставлены сначала значения Теоретическая механика а затем Теоретическая механика После подстановок получим систему четырех уравнений

Теоретическая механика

с четырьмя неизвестными Теоретическая механика решая которую, найдем искомые величины

Теоретическая механика

Общие теоремы динамики механической системы

Довольно часто удается выделить важные особенности движения механической системы, не прибегая к интегрированию системы дифференциальных уравнений движения. Это достигается применением общих теорем динамики.

Основные понятия и определения

Теоретическая механикаВнешние и внутренние силы. Любая сила, действующая на точку механической системы, обязательно является либо активной силой, либо реакцией связи. Всю совокупность сил, действующих на точки системы, можно разделить на два класса иначе: на внешние силы Теоретическая механика и внутренние силы Теоретическая механика (индексы Теоретическая механика и Теоретическая механика - от латинских слов externus - внешний и internus - внутренний). Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек и тел, не входящих в состав рассматриваемой системы. Внутренними называются силы взаимодействия между точками и телами рассматриваемой системы.

Это разделение зависит от того, какие материальные точки и тела включены исследователем в рассматриваемую механическую систему. Если расширить состав системы, включив в нее дополнительно точки и тела, то некоторые силы, которые для прежней системы были внешними, для расширенной системы могут стать внутренними.

Теоретическая механикаСвойства внутренних сил. Поскольку эти силы являются силами взаимодействия между частями системы, они входят в полную систему внутренних сил «двойками», организованными в соответствии с аксиомой действия-противодействия. У каждой такой «двойки» сил главный вектор и главный момент относительно произвольного центра равны нулю. Так как полная система внутренних сил состоит только из «двоеко», то

1) главный вектор системы внутренних сил равен нулю,

2) главный момент системы внутренних сил относительно произвольной точки равен нулю.

Массой системы Теоретическая механика называется арифметическая сумма масс Теоретическая механика всех точек и тел, образующих систему:

Теоретическая механика

Теоретическая механикаЦентром масс (центром инерции) механической системы называется геометрическая точка Теоретическая механика радиус-вектор и координаты которой Теоретическая механика определяется формулами

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — радиусы-векторы и координаты точек, образующих систему.

Для твердого тела, находящегося в однородном поле тяжести, положения центра масс и центра тяжести совпадают, в других случаях это разные геометрические точки.

Вместе с инерциальной системой отсчета часто рассматривают одновременно неинерциальную систему отсчета, движущуюся поступательно. Ее оси координат Теоретическая механика (оси Кёнига) выбирают так, чтобы начало отсчета Теоретическая механика постоянно совпадало с центром масс механической системы. В соответствии с определением центр масс неподвижен в осях Кёнига и находится в начале координат.

Теоретическая механикаМоментом инерции системы относительно оси Теоретическая механика называется скалярная величина Теоретическая механика равная сумме произведений масс Теоретическая механика всех точек системы на квадраты их расстояний Теоретическая механика до оси:

Теоретическая механика

Если механической системой является твердое тело, для нахождения Теоретическая механика можно воспользоваться формулой

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - плотность, а Теоретическая механика — объем, занимаемый телом.

Момент инерции однородного диска массы Теоретическая механика радиуса Теоретическая механика относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр, подсчитывается по формуле

Теоретическая механика

Теорема Гюйгенса о моментах инерции относительно параллельных осей, одна из которых проходит через центр масс:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика и Теоретическая механика - моменты инерции относительно параллельных осей Теоретическая механика и Теоретическая механика причем ось Теоретическая механика проходит через центр масс, Теоретическая механика — расстояние между осями, Теоретическая механика - масса системы. Из теоремы следует, что Теоретическая механика

Теорема о движении центра масс

Теоретическая механикаФормулировка теоремы: центр масс механической системы движется так же, как двигалась бы материальная точка с массой га, равной массе системы под действием внешних сил, приложенных к системе:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - масса системы, а Теоретическая механика - ускорение центра масс.

Математическая запись теоремы (2) похожа на второй закон Ньютона. Дадим более подробное изложение теоремы. При движении системы ее центр масс Теоретическая механика движется по некоторой траектории. Пусть, например, в момент времени Теоретическая механика он находится в положении Теоретическая механика и имеет скорость Теоретическая механика Если теперь в момент времени Теоретическая механика в положение Теоретическая механика поместить точку массы Теоретическая механика сообщить ей скорость Теоретическая механика и приложить к ней силы, равные внешним силам, действующим на систему, то, начиная с этого момента, точка будет двигаться вместе с центром масс системы, по одной и той же траектории, с одинаковой скоростью и одинаковым ускорением.

Из уравнения (2) можно получить дифференциальные уравнения движения центра масс в проекциях на оси декартовой системы координат:

Теоретическая механика

Теоретическая механикаЗакон сохранения скорости центра масс механической системы: если главный вектор внешних сил системы равен нулю, центр масс системы движется с постоянной скоростью, т.е. еслиТеоретическая механика

Отметим, что в этом случае постоянным является вектор скорости, а не только его модуль, поэтому центр масс будет двигаться равномерно и прямолинейно.

Если проекция главного вектора внешних сил. системы на какую-либо ось равна нулю, то проекция скорости центра масс системы на эту ось остается постоянной. Например, если Теоретическая механика то Теоретическая механика

Обратите внимание на другие лекции по теоретической механике они вам помогут:

  1. Яблонский теоретическая механика
  2. Теоретическая механика решебник
  3. Репетитор теоретическая механика
  4. Теоретическая механика разделы
  5. Теоретическая механика работа силы, тяжести, трения, мощности
  6. Курс теоретической механики

Пример решения задачи №8.

По боковой грани призмы массы Теоретическая механика находящейся на гладкой горизонтальной плоскости, под действием силы веса скатывается однородный диск массы Теоретическая механика (рис. 28). Угол наклона боковой грани к основанию равен Теоретическая механика В начальный момент скорости призмы и диска равны нулю. Определить расстояние Теоретическая механика на которое сдвинется призма, когда центр диска переместится вдоль грани на расстояние Теоретическая механика

Теоретическая механика

Решение:

Включим в механическую систему два тела — призму и диск и расставим внешние силы — активные силы веса Теоретическая механика и Теоретическая механика и силу реакции Теоретическая механика гладкой плоскости. Характерная особенность системы внешних сил заключается в том, что все они перпендикулярны горизонтальной оси, и поэтому сумма их проекций на эту ось равна нулю.

Направим ось Теоретическая механика горизонтально слева направо с началом в точке Теоретическая механика На рис. 28 изобразим систему в двух положениях: начальном Теоретическая механика и в тот момент времени, когда диск переместился по грани призмы на расстояние Теоретическая механика Поскольку направление и величина перемещения призмы заранее неизвестны, то, особенно не гадая, изобразим положение Теоретическая механика правее начального положения Теоретическая механика

Так как Теоретическая механика из закона сохранения проекции скорости центра масс системы на ось Теоретическая механика следует Теоретическая механика Так как в положении Теоретическая механика все скорости были равны нулю, то Теоретическая механика Отсюда следует, что Теоретическая механика или Теоретическая механика Пользуясь формулами для координат центра масс, перепишем последнее равенство так:

Теоретическая механика

Здесь Теоретическая механика и Теоретическая механика - координаты центров масс призмы и диска в положении Теоретическая механика а Теоретическая механика и Теоретическая механика - аналогичные величины в положении Теоретическая механика

Из рис. 28 видно, что Теоретическая механика Теоретическая механика Подставляя эти соотношения в формулу (3), после алгебраических преобразований, найдем Теоретическая механика

Знак полученного ответа говорит о том, что перемещение призмы направленно противоположно изображенному на рисунке.

Теорема об изменении количества движения

Теоретическая механикаКоличеством движения точки массы Теоретическая механика движущейся со скоростью Теоретическая механика называется вектор

Теоретическая механика

Количеством движения механической системы называется главный вектор количеств движения всех точек системы:

Теоретическая механика

Можно доказать, что количество движения системы равно количеству движения воображаемой материальной точки, имеющей массу системы и движущейся со скоростью центра масс: Теоретическая механика

Теоретическая механикаИмпульс силы. Пусть к движущейся материальной точке приложена сила Теоретическая механика (кроме нее к точке могут быть приложены и другие силы, но сейчас мы выделили только одну из них).

Элементарным импульсом силы Теоретическая механика за элементарный промежуток времени Теоретическая механика называется вектор Теоретическая механика

Теоретическая механика

Импульсом силы Теоретическая механика за конечный промежуток времени от Теоретическая механика до Теоретическая механика называется вектор Теоретическая механика

Теоретическая механика

Проекции импульса силы на координатные оси могут быть вычислены по формулам

Теоретическая механика

Теоретическая механикаРазные формулировки теоремы о количестве движения.

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил системы:

Теоретическая механика

или, по-другому: дифференциал количества движения системы равен геометрической сумме элементарных импульсов всех внешних сил, действующих на точки системы:

Теоретическая механика

Проектируя на оси координат (например, на ось Теоретическая механика ), получим

Теоретическая механика или Теоретическая механика

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме: изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил системы за тот же промежуток времени:

Теоретическая механика

где векторы Теоретическая механика и Теоретическая механика соответствуют моментам времени Теоретическая механика и Теоретическая механика а Теоретическая механика — импульсы внешних сил системы за промежуток времени от Теоретическая механика до Теоретическая механика В проекциях на координатные оси (например, на ось Теоретическая механика)

Теоретическая механика

При использовании теоремы применительно к одной материальной точке следует иметь в виду, что любая сила, приложенная к точке, является внешней.

Теоретическая механикаЗакон сохранения количества движения.

Закон сохранения количества движения механической системы:

если Теоретическая механика то Теоретическая механика

Закон сохранения проекции количества движения на какую-либо ось (например, на ось Теоретическая механика):

если Теоретическая механика то Теоретическая механика

Пример решения задачи №9.

По гладкой горизонтальной плоскости со скоростью Теоретическая механика движется прямоугольный параллелепипед массы Теоретическая механика на верхней грани которого покоятся две самоходные тележки с массами Теоретическая механика и Теоретическая механика (рис. 29). В некоторый момент времени тележки начинают двигаться навстречу друг другу, при этом законы их движения по отношению к параллелепипеду задаются функциями Теоретическая механика Теоретическая механика Найти зависимость скорости параллелепипеда от времени.

Теоретическая механика

Решение:

В систему включим три тела - параллелепипед и обе тележки. Изобразим внешние силы - активные силы веса Теоретическая механика а также реакцию плоскости Теоретическая механика Все они вертикальны, и сумма их проекций на горизонталь равна нулю. Поэтому применим закон (4) о сохранении проекции количества движения системы на ось Теоретическая механика - запишем Теоретическая механика в момент времени Теоретическая механика затем Теоретическая механика в произвольный момент времени Теоретическая механика и приравняем полученнные величины:

Теоретическая механика

Теоретическая механика

В последнем выражении скорости тележек подсчитывались в соответствии с т«оремой о скоростях при сложном движении точки. После приравнивания правых частей равенств и проведения алгебраических выкладок получим

Теоретическая механика

Теорема об изменении кинетического момента

Теоретическая механикаМомент количества движения и кинетический момент.

Моментом количества движения материальной точки относительно неподвижного центра Теоретическая механика называется вектор Теоретическая механика равный векторному произведению радиуса-вектора, соединяющего центр с точкой, на количество движения точки:

Теоретическая механика

Кинетическим моментом (главным моментом количества движения) механической системы относительно центра Теоретическая механика называется геометрическая сумма моментов количеств движения всех точек системы относительно центра

Теоретическая механика

Моментом количества движения точки относительно оси Теоретическая механика называется величина Теоретическая механика равная проекции на эту ось момента количества движения точки относительно любого центра Теоретическая механика принадлежащего оси:

Теоретическая механика

Вычисляется Теоретическая механика так же, как момент силы относительно оси.

Кинетическим моментом системы относительно оси Теоретическая механика называется проекция на нее момента системы относительно любого центра Теоретическая механика принадлежащего оси:

Теоретическая механика

Аналитическое выражение для кинетического момента системы относительно оси Теоретическая механика имеет вид

Теоретическая механика

Формулы для Теоретическая механика и Теоретическая механика аналогичны приведенной.

Можно показать, что кинетический момент системы относительно центра Теоретическая механика равен сумме момента количества движения центра масс относительно центра Теоретическая механика и кинетического момента системы относительно центра масс Теоретическая механика в ее относительном движении в системе Кёнига

Теоретическая механика

Здесь Теоретическая механика Теоретическая механика — кинетический момент системы в ее движении по отношению к системе отсчета Кёнига.

Кинетический момент Теоретическая механика вердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси Теоретическая механика с угловой скоростью Теоретическая механика вычисляется по формуле

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — момент инерции твердого тела относительно оси Теоретическая механика

Теоретическая механикаТеорема об изменении кинетического момента механической системы: производная по времени от кинетического момента относительно любого неподвижного центра Теоретическая механика равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра:

Теоретическая механика

Проектируя (6) на оси координат (например, на ось Теоретическая механика),получим теорему об изменении кинетического момента системы относительно неподвижной оси:

Теоретическая механика

Если эту теорему применить к изучению движения твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Теоретическая механика получим дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - угол поворота.

Теоретическая механикаЗакон сохранения кинетического момента: если главный момент внешних сил системы относительно центра Теоретическая механика равен нулю, то главный момент количеств движения относительно этого центра будет постоянным. Например,

если Теоретическая механика то Теоретическая механика

В правой части равенства располагается вектор-константа, т.е. и величина вектора, и его направление не зависят от времени.

Если сумма моментов внешних сил системы относительно какой-либо неподвижной оси равна нулю, то кинетический момент системы относительно этой оси остается постоянным. Например,

если Теоретическая механика то Теоретическая механика

Теоретическая механика

Пример решения задачи №10.

На однородный барабан веса Теоретическая механика и радиуса Теоретическая механика намотана невесомая нить с грузом веса Теоретическая механика на конце (рис. 30). Определить ускорение груза, пренебрегая силами трения при вращении барабана.

Решение:

Включим в систему барабан, груз и нить. Расставим внешние силы - активные силы веса Теоретическая механика и силу реакции Теоретическая механика проходящую через ось вращения Теоретическая механика Направление силы Теоретическая механика заранее неизвестно, поэтому рисуем ее произвольно. Пары сил трения в оси не возникает, что следует из условия задачи.

Воспользуемся теоремой об изменении кинетического момента системы относительно оси вращения барабана (7):

Теоретическая механика

Подсчитывая Теоретическая механика как сумму кинетических моментов барабана и груза, с учетом (1), (5) и равенства Теоретическая механика получим

Теоретическая механика

Вычислим сумму моментов внешних сил относительно оси

Теоретическая механика

Подставив правые части формул (9), (10) в выражение (8) и проведя дифференцирование, найдем

Теоретическая механика

Теорема об изменении кинетической энергии

Теоретическая механикаЭлементарная работа. Рассмотрим точку Теоретическая механика перемещающуюся под действием системы сил. Малое перемещение точки вдоль траектории характеризуется вектором Теоретическая механика (рис. 31). Из системы выделим одну силу Теоретическая механика

Теоретическая механика

Элементарной работой силы Теоретическая механика на перемещении Теоретическая механика называется скалярная величина Теоретическая механика равная скалярному произведению векторов Теоретическая механика и Теоретическая механика

Теоретическая механика

В координатной форме элементарная работа подсчитывается по формуле

Теоретическая механика

где Теоретическая механика — координаты векторов Теоретическая механика и Теоретическая механика соответственно.

Следует подчеркнуть, что, несмотря на принятую форму записи, элементарная работа Теоретическая механика не обязательно является полным дифференциалом некоторой функции, зависящей от координат.

Знак элементарной работы определяется косинусом угла Теоретическая механика она положительна для Теоретическая механика отрицательна для Теоретическая механика и равна нулю при Теоретическая механика

Теоретическая механикаВычисление элементарной работы в частных случаях.

1. Элементарная работа силы, приложенной к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси Теоретическая механика находится по формуле

Теоретическая механика

2. Сумма элементарных работ сил пары, приложенной к телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси и при плоскопараллельном движении, может быть подсчитана так:

Теоретическая механика

Здесь Теоретическая механика — момент пары сил, Теоретическая механика — элементарный угол поворота тела. Знак «плюс» берется при одинаковых направлениях дуговых стрелок момента пары и направления вращения, «минус» — при различных направлениях (плоскость действия пары предполагается параллельной основной плоскости).

3. При вычислении элементарных работ сил трения, приложенных к телу, катящемуся без проскальзывания, необходимо учесть, что в точке касания Теоретическая механика (рис. 32) действуют: сила нормального давления сила трения Теоретическая механика сила трения Теоретическая механика и пара сил трения качения с моментом Теоретическая механика

Теоретическая механика

Поскольку, в силу отсутствия проскальзывания, точка касания является мгновенным центром скоростей и ее скорость Теоретическая механика равна нулю, то и Теоретическая механика откуда

Теоретическая механика

4. Можно доказать, что сумма элементарных работ сил, приложенных к твердому телу, равна сумме элементарных работ статически эквивалентной системы сил. По теореме о приведении системы сил к заданному центру произвольную систему сил можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы Теоретическая механика приложенной в наперед заданной точке Теоретическая механика и пары сил с моментом Теоретическая механика Поэтому довольно часто вместо громоздкого подсчета суммы элементарных работ большого числа сил, приложенных к телу, подсчитывают сумму элементарных работ одной силы и одной пары.

Пример решения задачи №11.

Система элементарных сил тяжести твердого тела всегда имеет равнодействующую, равную весу тела Теоретическая механика приложенную в центре тяжести Теоретическая механика Поэтому сумма элементарных работ сил тяжести равна работе силы веса на перемещении центра тяжести тела.

Пример решения задачи №12.

Сумма элементарных работ внутренних сил, приложенных к точкам твердого тела, равна нулю, так как главный вектор и главный момент системы внутренних сил равны нулю.

Теоретическая механикаРабота силы. Потенциальная сила. Работа силы Теоретическая механика на конечном перемещении точки по траектории Теоретическая механика (см. рис. 31) равна криволинейному интегралу

Теоретическая механика

Сила называется потенциальной, если ее работа не зависит от формы траектории, а зависит лишь от ее начальной и конечной точек.

Примером потенциальной силы является сила тяжести Теоретическая механика ее работа может быть подсчитана по формуле

Теоретическая механика

Здесь ось Теоретическая механика выбрана параллельно линии действия силы веса и направлена ей навстречу, Теоретическая механика - сила веса, Теоретическая механика — координаты начальной и конечной точек траектории.

Теоретическая механикаКинетическая энергия. Кинетической энергией точки массы Теоретическая механика движущейся со скоростью Теоретическая механика называется скалярная величина Теоретическая механика определяемая формулой Теоретическая механика

Кинетической энергией механической системы называется сумма кинетических энергий всех ее точек:

Теоретическая механика

Можно доказать, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетической энергии центра масс и кинетической энергии системы при ее относительном движении в системе отсчета Кёнига:

Теоретическая механика

где Теоретическая механика —относительные скорости точек.

Теоретическая механикаФормулы для кинетической энергии твердого тела:

а) при его поступательном движении: Теоретическая механика

б) при вращении вокруг неподвижной оси Теоретическая механика Теоретическая механика

в) при плоскопараллельном движении: Теоретическая механика где Теоретическая механика — момент инерции тела относительно оси, перпендикулярной основной плоскости и проходящей через центр масс Теоретическая механика

Теоретическая механикаРазные формулировки теоремы о кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии механической системы равен сумме элементарных работ сил, приложенных к точкам системы, на их элементарных перемещениях

Теоретическая механика

Теорема об изменении кинетической энергии в интегральной форме: изменение кинетической энергии механической системы при некотором ее перемещении равно сумме работ всех сил, приложенных к точкам системы, на перемещениях этих точек

Теоретическая механика

Замечание. В отличие от трех ранее рассмотренных теорем динамики системы последняя теорема характеризуется следующими особенностями:

1) теорема об изменении кинетической энергии связывает не векторные величины, а скалярные;

2) в правую часть равенства входят работы всех сил, не только внешних, но и внутренних (возможно также разбиение суммы работ на сумму работ активных сил и сил реакций связей);

3) сумма работ внутренних сил, приложенных к точкам твердого тела, равна нулю.

Пример решения задачи №13.

Однородный диск под действием силы веса Теоретическая механика скатывается без проскальзывания по идеально шероховатой плоскости, наклоненной под углом Теоретическая механика к горизонту (рис. 33). Определить ускорение центра диска, величину силы трения и минимальное значение коэффициента трения Теоретическая механика при котором возможно качение без проскальзывания.

Теоретическая механика

Решение:

В качестве механической системы выберем диск и применим для исследования Движения теорему об изменении кинетической энергии в дифференциальной форме (11). Подсчитывая кинетическую энергию диска, найдем

Теоретическая механика

Здесь учтено, что Теоретическая механика и Теоретическая механика Так как исследуемая система является твердым телом, то Теоретическая механика Подсчитаем сумму элементарных работ внешних сил и, подставив наиденные выражения для Теоретическая механика и Теоретическая механика в равенство (11), получим

Теоретическая механика

Поделив обе части равенства на Теоретическая механика с учетом кинематических соотношений Теоретическая механика и Теоретическая механика найдем

Теоретическая механика

Запишем формулировку теоремы о движении центра масс системы (2) применительно к рассматриваемой задаче

Теоретическая механика

Спроектируем полученное векторное равенство на две перпендикулярные оси, первая из которых параллельна нормальной силе реакции Теоретическая механика

Теоретическая механика

С учетом (12) находим решение этой системы: Теоретическая механика Подставляя полученные величины в формулировку закона трения Кулона, определим минимальное значение коэффициента трения Теоретическая механика при котором возможно качение без проскальзывания Теоретическая механика

Принцип Даламбера. Элементы аналитической механики

Теоретическая механикаСилы инерции. Принцип Даламбера. Пусть точка материальной системы движется под действием некоторой системы сил (эти силы могут быть разбиты либо на внешние и внутренние, либо на активные и силы реакций связей). Равнодействующую этой системы сходящихся сил обозначим Теоретическая механика

Силой инерции точки называется векторная величина Теоретическая механика равная произведению массы точки на ее ускорение и направленная противоположно ускорению:

Теоретическая механика

Сила Теоретическая механика фиктивна, она не входит в число реальных сил, действующих на точку.

Принцип Даламбера: при движении механической системы (точки) любое ее состояние можно рассматривать как положение равновесия, если к реальным силам, действующим на каждую точку системы, добавить фиктивные силы инерции.

В соответствии с этим принципом, если к каждой точке системы добавить силу Теоретическая механика то система сил, состоящая из реальных Теоретическая механика и фиктивных Теоретическая механика сил, будет удовлетворять всем уравнением статики, т.е. главный вектор системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра Теоретическая механика будут равны нулю:

Теоретическая механика

В координатной форме эти уравнения записываются так:

Теоретическая механика

Принцип Даламбера позволяет перенести методы решения задач статики на задачи динамики.

Пример решения задачи №14.

В кабине лифта, поднимающегося замедленно с ускорением Теоретическая механика находится груз веса Теоретическая механика (рис. 34). Определить давление пола лифта на груз.

Теоретическая механика

Решение:

Примем груз за материальную точку и расставим реальные силы, действующие на него, — активную силу веса Теоретическая механика и силу давления пола на груз Теоретическая механика Добавим к этим силам фиктивную силу инерции Теоретическая механика (обратите внимание: сила Теоретическая механика на рисунке направлена не против перемещения лифта, а противоположно вектору ускорения).

Полученная система трех сил Теоретическая механика уравновешена в соответствии с принципом Даламбера. Линии действия всех сил направлены вдоль одной прямой, поэтому равновесие системы описывается одним уравнением Теоретическая механика остальные пять уравнений обращаются в тождества. Уравнение равновесия имеет вид

Теоретическая механика

Подставляя вместо Теоретическая механика модуль инерции Теоретическая механика (знак минус был учтен на рисунке), имеем Теоретическая механика Видно, что сила давления пола меньше веса груза.

Система сил инерции может оказаться громоздкой в случаях большого количества материальных точек или распределенных масс. Пользуясь теоремой статики о приведении системы сил к центру, систему сил инерции Теоретическая механика можно заменить эквивалентной системой, состоящей из одной силы Теоретическая механика приложенной в наперед заданном центре Теоретическая механика (она равна главному вектору сил инерции Теоретическая механика и не зависит от выбора центра), и одной пары сил, момент которой равен главному моменту сил инерции относительно центра: Теоретическая механика

Можно показать, что Теоретическая механика подсчитывается по формуле

Теоретическая механика

где Теоретическая механика - масса системы, Теоретическая механика - ускорение центра масс.

Теоретическая механикаВыражения для главного момента сил инерции твердого тела и его проекций на координатные оси:

1. При поступательном движении: Теоретическая механика

2. При вращении вокруг неподвижной оси Теоретическая механика Теоретическая механика

3. При плоскопараллельном движении: Теоретическая механика

Здесь Теоретическая механика - угловое ускорение тела, Теоретическая механика и Теоретическая механика — моменты инерции тела относительно оси z и оси, проходящей через центр масс перпендикулярно основной плоскости (знаки «минус» в формулах означают, что направления углового ускорения и момента пары сил инерции противоположны).

Пример решения задачи №15.

Однородный диск радиуса г катится вверх без проскальзывания по дуге окружности радиуса Теоретическая механика (рис. 35). Коэффициент трения качения равен Теоретическая механика Определить ускорение центра диска и силу давления диска на опору в тот момент, когда скорость центра диска равна Теоретическая механика а угол между вертикалью и прямой, соединяющей центры диска и дуги, равен Теоретическая механика

Решение:

Ускорение центра диска состоит из двух составляющих Теоретическая механика и Теоретическая механика причем направление Теоретическая механика заранее неизвестно, Теоретическая механика При отсутствии проскальзывания Теоретическая механика где Теоретическая механика - угловое ускорение диска.

Силы инерции диска приведем j< центру масс,_при этом силу днерции разложим на две составляющие Теоретическая механика где Теоретическая механика и Теоретическая механика Величина момента пары сил инерции будет равна Теоретическая механика соответствующую ему дуговую стрелку направим противоположно дуговой стрелке предпалагаемого углового ускорения.

Изображенная на рис. 35 система сил уравновешена в силу принципа Даламбера.

Теоретическая механика

Выпишем уравнения равновесия для плоской системы сил:

Теоретическая механика

Теоретическая механика

Теоретическая механика

Здесь (1) — уравнение проекций на направление Теоретическая механика (2) — уравнение проекций на направление Теоретическая механика (3)—у равнение моментов относительно центра Теоретическая механика Присоединив к этим уравнениям закон Кулона (см. гл. 3):

Теоретическая механика

получим окончательно систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными Теоретическая механика решив которую, найдем:

Теоретическая механика

Классификация механических связей. Обобщенные координаты

Теоретическая механикаКлассификация механических связей. Механическими связями называются некоторые устройства (тела), накладывающие ограничения на положения и скорости точек механической системы. Эти ограничения выполняются всегда независимо от заданных сил и записываются в виде соотношений, называемых уравнениями связей.

Стационарными связями называются связи, не зависящие от времени; связи, зависящие от времени, называются нестационарными.

Связи, в уравнения которых входят координаты точек и время, называются геометрическими; связи называются кинематическими (дифференциальными), если в уравнения связей входят скорости, координаты точек и время.

Если кинематическую связь можно озаменить» эквивалентной геометрической, то она называется кинематической интегрируемой, в противном случае — неинтегрируемой.

Геометрические и кинематические интегрируемые связи называются голономными, а кинематические неинтегрируемые — неголо-номными. Механическая система называется голономной, если на нее наложены только голономные связи, и неголономной, если имеется хотя бы одна неголономная связь.

Связи называются неосвобождающими, если ограничения, накладываемые ими на положения точек, их скорости и время, могут быть записаны в форме, равенств. Освобождающие связи записываются в форме неравенств.

Теоретическая механикаВозможным (виртуальным) перемещением точки механической системы называется любое допускаемое наложенными связями перемещение Теоретическая механика из положения, занимаемого точкой в данный момент времени (при построении таких перемещений надо мысленно остановить время, при этом нестационарные связи станут неподвижными, т.е. — стационарными). Возможные перемещения точка не совершает, но могла бы совершить, не нарушая связей в данный момент времени.

Возможным перемещением системы называется любая совокупность возможных перемещений точек системы Теоретическая механика допускаемых всеми наложенными на нее связями.

В качестве примера рассмотрим точку, на которую наложена нестационарная связь — плоскость, движущаяся поступательно со скоростью Теоретическая механика (рис. 36). В соответствии с теоремой о сложном движении точки ее действительное перемещение Теоретическая механика равно геометрической сумме относительного Теоретическая механика и переносного, равного Теоретическая механика На рисунке видна разница между действительным и возможным перемещениями точки.

Теоретическая механика

Для стационарных связей действительные перемещения точек находятся среди возможных.

Механическая система может иметь множество различных возможных перемещений. Однако для систем, состоящих из материальных твердых тел и конечного количества материальных точек, существует некоторое число независимых между собой возможных перемещений, через которые можно выразить любое другое возможное перемещение. Число независимых перемещений называется числом степеней свободы механической системы.

Теоретическая механикаОбобщенными координатами называются независимые между собой параметры, которые однозначно определяют положение ка^ ждой точки механической системы. В случае голономной системы число степеней свободы равно числу обобщенных координат, в случае неголономной системы число степеней свободы меньше числа обобщенных координат.

Рассмотрим конкретные примеры

  1. Свободная материальная точка в пространстве является системой с тремя степенями свободы.
  2. Свободное твердое тело имеет шесть степеней свободы. Действительно, положение любой точки тела в пространстве можно определить, зная положение трех его точек Теоретическая механика не лежащих на одной прямой. Положение каждой из точек можно задать тремя параметрами, например, координатами Теоретическая механика Теоретическая механика Общее число координат равно девяти, но эти 9 чисел не могут задаваться произвольно, так как они связаны тремя уравнениями, согласно которым расстояния Теоретическая механика между точками должны оставаться постоянными, поскольку они принадлежат твердому телу. Если, например, известны шесть координат Теоретическая механика то оставшиеся три Теоретическая механика могут быть найдены из уравнений связей.
  3. Тело, вращающееся вокруг неподвижной оси, имеет одну степень свободы, и в качестве обобщенной координаты можно выбрать угол поворота Теоретическая механика
  4. Твердое тело при плоскопараллельном движении имеет три степени свободы, в качестве обобщенных координат можно, например, выбрать угол поворота и две декартовы координаты какой-либо точки тела.
  5. Твердое тело при поступательном движении имеет три степени свободы, в качестве обобщенных координат можно выбрать три декартовы координаты какой-либо точки тела.
  6. Система, состоящая из призмы, положенной на плоскость, и диска, катящегося без проскальзывания по боковой грани призмы, имеет две степени свободы (рис. 37).Теоретическая механика
  7. Система, состоящая из двух свободных точек, имеет шесть степеней свободы.
  8. Механизм швейной машины, состоящий из большого числа твердых тел, имеет одну степень свободы.
  9. Тонкий прямолинейный стержень на плоскости, который должен двигаться так, чтобы скорость его центра была параллельна оси стержня, имеет две степени свободы.

Из приведенных примеров механических систем лишь одна — последняя —была неголономной, остальные были голономными.

Вернемся снова к понятию обобщенных координат, взяв для иллюстрации систему из примера 6. Положение каждой точки диска и призмы будет известно, как только будут заданы значения величин, входящих в один из наборов, состоящих из двух параметров: Теоретическая механика или Теоретическая механика или Теоретическая механика или Теоретическая механика или Теоретическая механика и т. д.

Подведем итоги: для рассматриваемой системы вариантов выбора обобщенных координат существует бесконечно много, но каждый фиксированный набор всегда содержит две независимые величины. Так как данная система голономна, число обобщенных координат равно двум, т.е. числу степеней свободы. Координаты называются обобщенными, поскольку они могут не иметь явно выраженного геометрического смысла, как, например, в случае координат Теоретическая механика

Теоретическая механикаИдеальные связи. Связи называются идеальными, если сумма работ их реакций Теоретическая механика равна нулю на любом возможном перемещении системы:

Теоретическая механика

Примером системы с идеальными связями служит свободное твердое тело. Любой сложный механизм, состоящий из нескольких твердых тел, можно трактовать как механическую систему с идеальными связями, если тела соединены абсолютно жестко, при помощи идеальных шарниров (без трения), невесомыми нерастяжимыми идеально гибкими нитями. Кроме того, поверхности соприкосновения должны быть либо абсолютно гладкими, либо идеально шероховатыми, когда одно из тел катится по другому без проскальзывания.

Принцип возможных перемещений

Принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ активных сил Теоретическая механика на любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Математическая запись принципа возможных перемещений:

Теоретическая механика

Пример решения задачи №16.

Найти угол Теоретическая механика отклонения от вертикали оси тяжелого однородного стержня веса Теоретическая механика к нижнему концу которого Теоретическая механика приложена горизонтальная сила Теоретическая механика (рис. 38).

Теоретическая механика

Решение. В механическую систему включим стержень, являющийся твердым телом. Пренебрегая трением в шарнире, заключаем, что связи, наложенные на систему, идеальные и к исследованию ее равновесия можно применить принцип возможных перемещений.

Из состояния равновесия, характеризуемого углом Теоретическая механика сообщаем системе возможное перемещение — поворачиваем стержень на малый угол Теоретическая механика вокруг шарнира Теоретическая механика в сторону увеличения угла Теоретическая механика подсчитываем сумму элементарных работ активных сил Теоретическая механика и Теоретическая механика и приравниваем ее нулю:

Теоретическая механика

Поскольку возможное перемещение Теоретическая механика произвольно, то для того, чтобы произведение было равно нулю, необходимо приравнять нулю выражение, заключенное в круглые скобки:

Теоретическая механика

Отсюда находим искомый угол Теоретическая механика

Общее уравнение динамики (принцип Даламбера — Лагранжа)

Формулировка общего уравнения динамики: механическая система, на которую наложены идеальные связи, движется так, что в каждый момент времени сумма элементарных работ всех активных сил Теоретическая механика и сил инерции Теоретическая механика на любом возможном перемещении системы равна нулю. Математическая формулировка принципа Даламбера — Лагранжа:

Теоретическая механика

Пример решения задачи №17.

По гладкой горизонтальной поверхности движется прямоугольный параллелепипед массы Теоретическая механика по его верхней идеально шероховатой поверхности катится однородный диск массы Теоретическая механика и радиуса Теоретическая механика к центру которого приложена постоянная горизонтальная сила Теоретическая механика (рис. 39, а). Найти ускорения параллелепипеда Теоретическая механика и центра диска Теоретическая механика

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из параллелепипеда и диска. Наложенные связи являются идеальными, и для изучения движения системы можно применить общее уравнение динамики. В качестве координат, определяющих положение системы, выберем абсолютную координату параллелепипеда Теоретическая механика и координату Теоретическая механика характеризующую положение диска по отношению к параллелепипеду.

Векторы ускорений параллелепипеда Теоретическая механика и центра диска Теоретическая механика горизонтальны, их величины Теоретическая механика угловое ускорение диска Теоретическая механика Предполагаемые направления векторов Теоретическая механика и соответствующее им направление дуговой стрелки Теоретическая механика изображены на рис. 39, б. К активным силам Теоретическая механика ( Теоретическая механика - силы веса параллелепипеда и диска) добавим силы инерции Теоретическая механика и пару сил инерции с моментом Теоретическая механика (см. рис. 39, б).

Теоретическая механика

Сообщим системе возможное перемещение, увеличив координаты Теоретическая механика на величины Теоретическая механика При этом диск повернется на угол Теоретическая механика

Подсчитаем сумму элементарных работ активных сил и сил инерции на возможном перемещении и приравняем ее нулю:

Теоретическая механика

После преобразований получим

Теоретическая механика

Здесь возможные перемещения Теоретическая механика и Теоретическая механика могут принимать произвольные независимые между собой значения. Чтобы равенство нулю выполнялось всегда, необходимо, чтобы оба выражения, стоящие множителями при Теоретическая механика и Теоретическая механика и заключенные в квадратные скобки, были равны нулю. Таким образом, равенство (4) распадается на систему двух уравнений с двумя неизвестными

Теоретическая механика

Решая систему, найдем

Теоретическая механика

Уравнения Лагранжа второго рода

Для описания движения голономной механической системы с Теоретическая механика степенями свободы, на которую наложены идеальные связи, используют уравнения Лагранжа второго рода

Теоретическая механика

Здесь Теоретическая механика — обобщенные координаты, количество которых равно числу степеней свободы Теоретическая механика — обобщенные скорости, равные про-изводным по времени от обобщенных координат, Теоретическая механика — кинетическая энергия системы, Теоретическая механика —обобщенные силы.

Величины Теоретическая механика и Теоретическая механика должны быть представлены в виде функций обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени:

Теоретическая механика

Обобщенные силы находятся из выражения для суммы элементарных работ активных сил Теоретическая механика на возможном перемещении системы, преобразованного к виду

Теоретическая механика

Количество обобщенных сил равно числу степеней свободы.

Физическая размерность обобщенной силы Теоретическая механика зависит от размерности соответствующей обобщенной координаты Теоретическая механика так как размерность их произведения Теоретическая механика должна совпадать с размерностью работы силы. По этой причине Теоретическая механика может не иметь явного физического смысла, отсюда и ее название — обобщенная сила.

После подстановки в (6) функций Теоретическая механика и Теоретическая механика получается система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которую необходимо интегрировать с учетом начальных условий.

Пример решения задачи №18.

Чтобы наглядно проявились достоинства изложенной методики, составим в форме уравнений Лагранжа второго рода дифференциальные уравнения движения механической системы, рассмотренной в примере из разд. 6.4.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из параллелепипеда и диска. Наложенные связи являются голономными и идеальными, поэтому можно применять уравнения Лагранжа второго рода. Система имеет две степени свободы; в качестве обобщенных координат, определяющих ее положение, выберем абсолютные координаты параллелепипеда Теоретическая механика и центра диска Теоретическая механика (см. рис. 39, а).

Запишем выражение кинетической энергии системы и приведем его к виду функции, зависящей от Теоретическая механика

Теоретическая механика

При проведении выкладок использована формула (1) из гл. 5 и кинематическое соотношение Теоретическая механика

Из-за простой кинематики и удачного выбора обобщенных координат оказалось, что в выражение кинетической энергии не входят ни обобщенные координаты, ни время.

Вычислим обобщенные силы. Для этого подсчитаем сумму элементарных работ активных сил Теоретическая механика на возможном перемещении системы, задаваемом вариациями Теоретическая механика направленными в сторону увеличения координат Теоретическая механика и Теоретическая механика

Теоретическая механика

Коэффициенты, стоящие при вариациях обобщенных координат, являются искомыми выражениями обобщенных сил, откуда

Теоретическая механика

Осталось записать систему уравнений движения (6):

Теоретическая механика

С учетом найденных выражений Теоретическая механика и Теоретическая механика после соответствующих преобразований уравнения движения принимают следующий вид:

Теоретическая механика

Решение системы (7) совпадает с решением (5) этой же задачи, полученным ранее иным способом.

В отличие от уравнений Лагранжа второго рода, общее уравнение динамики пригодно также для изучения неголономных систем, поэтому оно имеет более широкие возможности применения. В то же время применение уравнений (6) для исследования голономных систем более предпочтительно, так как оно требует меньшего количества простых действий.