Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи с решением

 

Если у вас нету времени на задачи по теоретической механике вы всегда можете попросить меня, вам нужно написать мне, и я вам помогу онлайн или в срок 1-3 дня всё зависит что там у вас за работа, вдруг она огромная! Чуть ниже размещён теоретический и практический материал, который вам поможет сделать работу если у вас много свободного времени и желания!

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Заказать работу по теоретической механике теормеху помощь в учёбе

 

 

Статика

 

Равновесие системы сходящихся сил

Рекомендации к решению задач

Задачи на равновесие плоской и пространственной систем сходящихся сил рекомендуется решать в приводимом ниже порядке.

1. Выделить объект, равновесие которого необходимо рассмотреть для отыскания неизвестных величин. Объектом равновесия может быть материальная точка (рис. 1.1, точка Теоретическая механика задачи),

Теоретическая механика задачи

твердое тело (рис. 1.2, тело Теоретическая механика задачи) или система твердых тел (рис. 1.3, тела Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи).

Теоретическая механика задачи

2. Изобразить на рисунке активные силы — как заданные, так и те, которые требуется определить. Например, на все три объекта, изображенных на рис. 1.1-1.3, действует одна сосредоточенная активная сила Теоретическая механика задачи

3. Выявить наложенные на объект связи.

4. В соответствии с принципом освобождаемости отбросить связи и заменить их действие на тело соответствующими реакциями, приложенными к объекту равновесия. При такой замене руководствоваться принципом, согласно которому линия действия реакции связи совпадает с тем направлением, в котором данная связь не допускает перемещения тела.

Связь, осуществленная в виде нити, троса (Теоретическая механика задачи на рис. 1.4) и невесомого стержня с шарнирами на концах (Теоретическая механика задачи на рис. 1.5), заменяется силой, направленной вдоль нити, троса, стержня.

Реакцию нити и троса следует направлять так, чтобы они работали на растяжение. Реакцию стержня можно направлять произвольно.

Если связь ограничивает перемещение тела не в одном, а в нескольких направлениях и, следовательно, линия действия ее реакции заранее неизвестна (реакция Теоретическая механика задачи шарнира Теоретическая механика задачи на рис. 1.4), то последнюю следует разложить на две или три взаимно перпендикулярные составляющие. Стороны, в которые направлены реакция или ее составляющие, как правило, заранее не известны, поэтому на данном этапе решения их выбирают совершенно произвольно, а вывод об истинном направлении реакций делают в конце решения задачи по полученному знаку перед их модулями.

Теоретическая механика задачи

Иногда для определения линии действия реакции можно воспользоваться теоремой о трех непараллельных силах (рис. 1.4).

Рекомендуем для приобретения навыков решения задач выделить на рис. 1.6 объект равновесия и приложить к нему реакции в соответствии с характером наложенных связей (см. ответы к главе 1, п. 1).

Теоретическая механика задачи

5. Установить, какая система сил действует на выбранный объект. При анализе системы сил, действующих на объект равновесия, необходимо определить ее характер (плоская или пространственная система сходящихся сил), установить число располагаемых уравнений равновесия и сделать выводы, является ли задача статически определимой.

6. Выбрать систему координат (если она необходима и не задана). Располагать ее можно произвольно. Однако для упрощения решения задачи целесообразно так выбирать начало координат и направлять оси, чтобы при написании уравнений равновесия в каждое из них входило по возможности меньше неизвестных величин. Для этого необходимо, чтобы оси были перпендикулярными к возможно большему числу неизвестных величин.

7. Составить систему уравнений равновесия сил, приложенных к объекту. Решить ее и определить неизвестные величины. Уравнения равновесия сил, действующих на объект, первоначально составляют в общем виде с использованием только буквенных символов, но не численных значений величин, приведенных в условии задачи.

Теоретическая механика задачи

В дальнейшем, в зависимости от сложности системы уравнений, можно поступить двояко. Если система окажется простой и решение в явном виде относительно искомых величин не представляет труда, то подстановку численных значений величин рекомендуется производить только после получения указанных решений. В случае же громоздкой системы уравнений целесообразно вначале подставить во все уравнения известные численные значения величин, а затем уже решать их относительно искомых величин.

Теоретическая механика задачи

Составление уравнений равновесия

Теоретическая механика задачи

требует элементарных навыков проектирования вектора на координатные оси. В порядке тренировки определите проекции силы Теоретическая механика задачи (рис. 1.7) на координатные оси (см. ответы к главе 1, п. 2).

8. Провести анализ полученных результатов. Этот анализ имеет целью установить, правильно ли в начале решения задачи были выбраны направления неизвестных сил или их составляющих. Получение модулей неизвестных величин с отрицательными знаками свидетельствует о несовпадении их истинного направления с первоначально выбранным. В этом случае делают соответствующий вывод (общий по всем отрицательным результатам сразу, а не по каждому в отдельности) без внесения каких-либо изменений в рисунки и уравнения. Задачи на равновесие системы сходящихся сил могут содержать три силы, лежащие в одной плоскости (или приводиться к трем силам). В этом случае задачу проще решать путем построения замкнутого треугольника сил (т. е. по теореме о равновесии трех непараллельных сил).

Во всех остальных случаях задачи решаются методом проекций, заключающимся в составлении приведенных выше уравнений равновесия в проекциях на оси декартовой системы координат.

 

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Решение задач по теоретической механике теормеху с примерами онлайн

 


Задача 1

Шарик массой Теоретическая механика задачи (рис. 1.8, а) подвешен к неподвижной точке Теоретическая механика задачи посредством нерастяжимой нити Теоретическая механика задачи и лежит на поверхности гладкой сферы радиусом Теоретическая механика задачи расстояние точки Теоретическая механика задачи от поверхности сферы Теоретическая механика задачи длина нити Теоретическая механика задачи прямая Теоретическая механика задачи вертикальна. Определить натяжение Теоретическая механика задачи нити и реакцию Теоретическая механика задачи сферы. Радиусом шарика пренебречь.

  • Решение:

Рассмотрим равновесие шарика Теоретическая механика задачи На него действует активная заданная сила Теоретическая механика задачи На шарик наложены две связи — нить Теоретическая механика задачи и поверхность гладкой сферы радиусом Теоретическая механика задачи Отбросив связи, заменяем их действие реакциями. Нить заменяем силой Теоретическая механика задачи направленной вдоль нити. Гладкую сферу заменяем силой Теоретическая механика задачи перпендикулярной к ее поверхности.

На шарик действует находящаяся в равновесии плоская система сходящихся сил. Применив геометрическое условие равновесия системы сходящихся сил, строим замкнутый силовой треугольник (рис. 1.8, б). Откладываем известную силу Теоретическая механика задачи Через ее конец проводим линию, параллельную линии действия силы Теоретическая механика задачи а через начало — линию, параллельную линии действия силы Теоретическая механика задачи

Полученный силовой треугольник подобен треугольнику Теоретическая механика задачи на рис. 1.8, а. Поэтому Теоретическая механика задачи

откуда

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Контрольная работа по теоретической механике заказать

 

 

Задача 2

Балка Теоретическая механика задачи (рис. 1.9) поддерживается в горизонтальном положении стержнем Теоретическая механика задачи В точке Теоретическая механика задачи к балке приложена сила Теоретическая механика задачи направленная вертикально вниз. Крепления в точках Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи шарнирные. Определить реакции опор Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи если Теоретическая механика задачи Силами тяжестя балки и стержня пренебречь.

  • Решение:

Рассмотрим равновесие балки Теоретическая механика задачи На нее действует активная сила Теоретическая механика задачи На балку наложены две связи — цилиндрический шарнир в точке Теоретическая механика задачи и невесомый стержень Теоретическая механика задачи с шарнирами на концах. Мысленно отбрасываем стержень Теоретическая механика задачи заменяем его действие на балку реакцией Теоретическая механика задачи направленной вдоль стержня от точки Теоретическая механика задачи к точке Теоретическая механика задачи (тем самым предполагая, что стержень работает на растяжение). Линию действия реакции Теоретическая механика задачи шарнира Теоретическая механика задачи находим, используя теорему о трех непараллельных силах. Она проходит через точку Теоретическая механика задачи пересечения сил Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи

Теперь балку Теоретическая механика задачи можно рассматривать как свободное твердое тело, которое находится в равновесии под действием трех сил, составляющих плоскую систему сходящихся сил, причем лишь величины двух сил Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи неизвестны. Следовательно, задача статически определимая, так как для плоской системы сходящихся сил можно составить два уравнения равновесия.

Систему координат с началом в точке Теоретическая механика задачи выбираем так, как показано на рис. 1.9. Составляем уравнения равновесия:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Из уравнения (1.1) находим

Теоретическая механика задачи

Подставляя найденное Теоретическая механика задачи в уравнение (1.2), получаем

Теоретическая механика задачи

Отсюда, учитыва, что Теоретическая механика задачи определяем

Теоретическая механика задачи

Зная Теоретическая механика задачи их уравнения (1.3) находим

Теоретическая механика задачи

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Помощь по теоретической механике теормеху онлайн

 

Равновесие плоской системы сил

Рекомендации к решению задач

Задачи на равновесие плоской системы сил можно условно разбить на три основных типа:

1) задачи на равновесие плоской системы параллельных сил;

2) задачи на равновесие плоской системы сил, расположенных произвольно;

3) задачи на равновесие тела, которое может опрокидываться.

Теоретическая механика задачи

Задачи первого и второго типа рекомендуется решать в следующем порядке:

  • 1) выбрать объект равновесия;
  • 2) изобразить на рисунке все заданные (активные) силы, действующие на объект равновесия;
  • 3) выбрать декартову систему координат;
  • 4) выявить наложенные на объект равновесия связи и, применив принцип освобождаемости от связей, приложить к нему реакции связей;
  • 5) установить, какая система сил действует на объект равновесия, выяснить число неизвестных величин и убедиться в том, что задача статически определимая;
  • 6) составить уравнения равновесия для полученной системы сил;
  • 7) решить систему полученных уравнений, определить неизвестные величины и провести анализ полученных результатов.

В самом начале решения задачи необходимо четко выделить объект равновесия, т. е. тело, к которому приложены как заданные силы, так и те силы, которые требуется определить в данной задаче.

 

Далее следует начертить выделенное тело, показать на рисунке в виде векторов заданные силы. Если в число активных сил входят распределенные по тому или иному закону нагрузки, то на рисунке нужно заменить их предварительно найденными равнодействующими. Значения и точки приложения равнодействующих распределенных нагрузок необходимо определять отдельно для каждого участка с указанным для него характером изменения интенсивности нагрузки.

 

Если линия, по которой распределены силы, является отрезком прямой длины Теоретическая механика задачи (рис. 2.2) и интенсивность сил Теоретическая механика задачи постоянна (силы распределены по прямоугольнику), то заменяющая их сосредоточенная сила Теоретическая механика задачи по величине равна площади прямоугольника Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Линия действия этой равнодействующей проходит через середину длины отрезка Теоретическая механика задачи

Если у распределенных вдоль прямой линии сил (рис. 2.3) интенсивность изменяется от Теоретическая механика задачи до Теоретическая механика задачи по линейному закону (по треугольнику), то равнодействующая находится как площадь треугольника Теоретическая механика задачи Линия действия равнодействующей смещается в сторону больших значений интенсивности и проходит через центр тяжести Теоретическая механика задачи площади треугольника, который находится от его сторон на расстояниях, равных Теоретическая механика задачи соответствующих высот. Поэтому линия действия силы делит сторону Теоретическая механика задачи треугольника на части Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи

В задачах, где распределенная нагрузка изменяется по трапециевидному закону, ее можно заменить одной сосредоточенной силой, проходящей через центр тяжести трапеции и равной по модулю площади трапеции, или разбить трапецию на треугольник и прямоугольник, после чего для каждой из частей найти равнодействующую, т. е. заменить трапецию двумя сосредоточенными силами.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Курсовая работа по теоретической механике теормеху заказать готовую онлайн

 

Оси декартовых координат следует располагать в соответствии с рекомендациями, приведенными в главе 1.

Теоретическая механика задачи

До применения принципа освобождаемости должны быть выявлены и четко классифицированы наложенные на объект равновесия связи. Далее необходимо воспользоваться принципом освобождаемости от связей и заменить их соответствующими реакциями согласно рекомендациям, приведенным в главе 1. Затем следует рассмотреть равновесие несвободного тела как свободного, находящегося под действием активных сил и реакций связей.

При анализе системы сил, действующих на объект равновесия, необходимо определить ее характер (плоская система параллельных сил, произвольная плоская система сил) и число неизвестных величин, указать число располагаемых уравнений равновесия и сделать вывод, является ли задача статически определимой.

Составляя уравнения равновесия, центр моментов, то есть точку, относительно которой находятся моменты сил, следует выбирать в точке пересечения линий действия двух неизвестных сил. Это даст возможность определить третью неизвестную силу непосредственно из этого уравнения. Если, однако, этот центр моментов расположен так, что вычисление плеч при определении моментов сил затруднительно, то лучше составить уравнение моментов относительно другого центра, несмотря на то что в него войдут значения двух неизвестных сил, в связи с чем потребуется совместное решение системы уравнений равновесия.

При решении системы уравнений и анализе полученных результатов следует руководствоваться рекомендациями, изложенными в предыдущей главе. В тех случаях, когда по условию задачи требуется определить давления тела на опоры, нужно найти равные по модулю этим давлениям соответствующие реакции связей, а затем направить искомые давления противоположно реакциям.

 

Задачи третьего типа рекомендуется решать в следующем порядке:

1) выделить твердое тело (конструкцию), возможность опрокидывания которого проверяется;

2) изобразить на рисунке все заданные силы, действующие на тело;

3) определить опору, относительно которой может произойти опрокидывание тела;

4) составить уравнение моментов заданных сил относительно этой опоры;

5) решив уравнение, определить искомую величину (предельную силу или предельный размер).

Задачи этого типа решаются в предположении, что твердое тело начинает отрываться от одной из опор. Поэтому реакцию этой опоры учитывать не следует. Тогда при равновесии тела реакция оставшейся опоры должна уравновешиваться равнодействующей заданных сил. Это означает, что линия действия равнодействующей заданных сил проходит через оставшуюся опору и, следовательно, момент равнодействующей относительно точки опоры равен нулю. Таким образом, сумма моментов всех заданных сил относительно точки опоры (например, Теоретическая механика задачи) должна равнятся нулю:

Теоретическая механика задачи

Из этого уравнения определяются предельные значения сил или размеров твердого тела, при которых отсутствует опрокидывание.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

РГР по теоретической механике теормеху расчетно графическая работа

 

 

Задача 3

На невесомую балку Теоретическая механика задачи (рис. 2.4), опирающуюся на цилиндрический шарнир Теоретическая механика задачи и острие Теоретическая механика задачи действуют вертикальные силы Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи и две пары с моментами Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи так, как показано на рисунке. Дано: Теоретическая механика задачи Определить реакции опор.

  • Решение:

1. Рассмотрим равновесие балки Теоретическая механика задачи. К ней приложены заданные силы и реакции опор, которые необходимо определить.

2. Направим ось Теоретическая механика задачи вдоль балки направо, ось Теоретическая механика задачи — параллельно силам, по вертикали вверх.

3. На балку Теоретическая механика задачи наложены две связи — цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора Теоретическая механика задачи (цилиндрический шарнир) и опора Теоретическая механика задачи в виде острия. Применив принцип освобождаемости, заменим действие опоры Теоретическая механика задачи на балку Теоретическая механика задачи соответствующей реакцией Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Цилиндрический шарнир ограничивает свободу движения балки только в плоскости Теоретическая механика задачи причем направление реакции в этой плоскости может быть любым. Однако в данном случае реакция Теоретическая механика задачи должна быть направлена вертикально, так как приложенные к балке заданные силы Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи не имеют горизонтальных составляющих. Реакция Теоретическая механика задачи будет перпендикулярна к балке, так как последняя опирается на острие. Направим Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи в сторону положительного направления оси Теоретическая механика задачи

4. На балку действует система параллельных сил, в число которых входят две неизвестные силы Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи. Так как для такой системы можно составить два уравнения равновесия, то задача является статически определимой.

5. Составим уравнения равновесия для полученной системы сил. За центры моментов возьмем точки Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи Это даст возможность получить уравнения, в каждое из которых войдет только одна неизвестная величина. Уравнения равновесия имеют вид:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Из уравнения (2.1), учитывая, что Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи найдем Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Из уравнения (2.2)

Теоретическая механика задачи

Полученные результаты свидетельствуют о совпадении истинного направления Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи с первоначально выбранным.

 

Возможно, вас также заинтересует эта ссылка:

Задачи по теоретической механике теормеху с решением

 

 

Задача 4

На горизонтальную невесомую балку Теоретическая механика задачи (рис. 2.5) длиной Теоретическая механика задачи заделанную концом Теоретическая механика задачи в стену, действуют: пара сил с моментом Теоретическая механика задачи сосредоточенная сила Теоретическая механика задачи приложенная в точке Теоретическая механика задачи на расстоянии Теоретическая механика задачи под углом Теоретическая механика задачи к горизонту; равномерно распределенная нагрузка интенсивности Теоретическая механика задачи на участке Теоретическая механика задачи и треугольная нагрузка максимальной интенсивности Теоретическая механика задачи на участке Теоретическая механика задачи Определить реакцию заделки.

  • Решение:

1. Рассмотрим равновесие балки.

2. Распределенные нагрузки заменим их равнодействующими Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи с модулями

Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

Сила Теоретическая механика задачи приложена посередине участка Теоретическая механика задачи а сила Теоретическая механика задачи — на расстоянии, равном Теоретическая механика задачи от точки Теоретическая механика задачи (рис. 2.6).

3. Направим ось Теоретическая механика задачи вдоль балки направо, ось Теоретическая механика задачи — по вертикали вверх.

4. На балку Теоретическая механика задачи наложена одна связь в виде заделки, которая не допускает перемещений балки по горизонтали и по вертикали, а также ее поворотов вокруг точки Теоретическая механика задачи Поэтому, отбрасывая связь, заменяем ее силами Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи и парой сил с моментом Теоретическая механика задачи (реактивным моментом).

5. Вопросы:

какая система сил приложена к балке;

вляется ли задача статически определимой (см. ответы в конце главы 2, п. 2 и 3)?

6. Составим уравнения равновесия для полученной системы сил — два уравнения проекций и одно уравнение моментов.

Вопрос: какую точку взять за центр моментов (см. ответы в конце главы 2, п. 4)?

Уравнения равновесия имеют вид:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Из уравнения (2.5), учитывая, что Теоретическая механика задачи найдем Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Согласно уравнению (2.3)

Теоретическая механика задачи

Как следует из уравнения (2.4),

Теоретическая механика задачи

Получение Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи с отрицательными знаками свидетельствует о несовпадении их истинного направления с первоначально выбранным.

 

 

Равновесие системы тел

 

Рекомендации к решению задач

Мы будем рассматривать такие задачи, в которых система тел благодаря наложенным связям находится в состоянии равновесия, и для нее требуется определить неизвестные реакции связей, а иногда и некоторые внутренние силы взаимодействия между телами.

На рис. 3.1 показаны примеры подобных систем тел: трехшарнирная арка, которая состоит из двух полуарок, соединенных в точке Теоретическая механика задачи цилиндрическим шарниром (рис. 3.1, а); система тел, которая состоит из цилиндрических тел, контактирующих между собой и неподвижными ограничивающими плоскостями (рис. 3.1, б); система тел, состоящая из трех тел — двух стропил и одной растяжки (рис. 3.1, в). Как это очевидно, все три системы тел безусловно находятся в состоянии равновесия.

На всех рисунках изображены активные силы, реакции связей и внутренние силы. Последние следует прикладывать в точках соединения или контактирования тел друг с другом. Так как эти силы попарно равны и противоположно направлены, то рекомендуется вектор силы, действующей на одну часть, изображать сплошной стрелкой, а на другую — штриховой.

Задачи на равновесие системы тел решаются путем расчленения системы на отдельные тела и составления их уравнений равновесия. Действие отброшенных частей заменяется внутренними силами, которые по отношению к рассматриваемому телу играют роль внешних сил, а действие связей заменяется соответствующими реакциями связей.

Согласно аксиоме отвердевания, если система тел находится в равновесии, то это равновесие не нарушится, если все тела системы жестко связать друг с другом, превратив

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

систему тел, в сущности, в одно единое тело. На этом основании имеется возможность составлять уравнения равновесия не только для отдельных тел, но и для группы тел или даже для всей системы, игнорируя то, что силы приложены к различным телам. При этом, естественно, внутренние силы во внимание не принимаются, так как их главный вектор и главный момент равны нулю.

Для усвоения изложенных положений попробуйте ответить на вопросы о том, какие силы следует учитывать при составлении уравнений равновесия:

а) системы тел в целом (рис. 3.1, а);

б) левой полуарки (рис. 3.1, а);

в) системы тел в целом (рис. 3.1, б);

г) части системы тел, состоящей из верхнего и левого цилиндров (рис. 3.1, б);

д) системы тел в целом (рис. 3.1, в);

е) правой балки Теоретическая механика задачи (рис. 3.1, в) (см. ответы в конце главы, п. 1)?

Порядок решения задач на систему тел следующий.

1. Изображаем схематически систему тел и наносим на рисунок векторы всех активных сил, реакций связей, а также внутренних сил взаимодействия тел, входящих в систему, если их требуется определить.

2. Составляем уравнения равновесия системы в целом под действием активных сил и реакций связей (без учета внутренних сил). Если число неизвестных реакций равно числу уравнений равновесия для данной системы сил, то из уравнений равновесия определяем неизвестные реакции связей.

3. Для нахождения внутренних сил составляем уравнения равновесия для одного или нескольких тел, приложив к ним внутренние силы со стороны отброшенных частей (эти силы по отношению к рассматриваемой части являются внешними). Из полученных уравнений равновесия определяем неизвестные внутренние силы.

4. Если число неизвестных реакций превышает число уравнений равновесия, то надо проверить, является ли задача статически определимой, для чего необходимо, чтобы выполнялось условие:

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — число неизвестных, включая внутренние силы; Теоретическая механика задачи — число уравнений равновесия для одного тела; Теоретическая механика задачи — число тел, образующих систему.

Если это условие выполнено, то задача статически определимая. Для ее решения надо привлечь дополнительно уравнения равновесия еще для одного или нескольких тел системы. Решая совместно полученные уравнения равновесия, находим неизвестные внешние и внутренние силы.

Отметим, что кроме варианта, в котором уравнения равновесия составляются для системы уравнений в целом и для одной (или нескольких) из ее частей, задачу можно решать также путем выделения в качестве объектов равновесия только отдельных тел системы, не рассматривая их в совокупности.

 

 

 

Задача 5

Два стержня одинаковым весом Теоретическая механика задачи (рис. 3.2) и одинаковой длиной Теоретическая механика задачи соединены между собой и с неподвижным основанием цилиндрическими шарнирами. Стержни образуют с горизонталью углы Теоретическая механика задачи Определить реакции опор.

  • Решение:

1. Система состоит из двух тел, к которым приложены активные силы Теоретическая механика задачи и реакции связей Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

2. Для определения четырех неизвестных реакции связей располагаемых трех уравнений равновесия системы в целом недостаточно.

3. Проверяем, является ли задача статически определимой. Для двух тел могут быть составлены шесть уравнений равновесия, а число неизвестных с учетом двух сил в шарнире тоже равно шести. Следовательно, задача статически определимая; в соответствии с формулой (3.1) имеем Теоретическая механика задачи

4. Выделяем в качестве объекта равновесия систему в целом и составляем для нее уравнения равновесия:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Из уравнение (3.3) и (3.4) находим Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

Для определения сил Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи выделяем из системы левый стержень. Наложенными на него связями являются цилиндрические шарниры Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи Поэтому кроме активной силы Теоретическая механика задачи и составляющих реакции Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи прикладываем к стержню неизвестные силы Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи действующие на него со стороны отброшенной правой части.

Теоретическая механика задачи

Составляем для стержня уравнение равновесия:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Поскольку Теоретическая механика задачи из уравнения (3.6) следует Теоретическая механика задачи Тогда согласно равенству (3.7) Теоретическая механика задачи Из соотношений (3.2) и (3.5) получаем

Теоретическая механика задачи

 

 

Задача 6

Система тел (рис. 3.3), которая состоит из двух стропил Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи и растяжки Теоретическая механика задачи оединенных друг с другом цилиндрическими шарнирами, опирается в точке Теоретическая механика задачи на цилиндрический шарнир и в точке Теоретическая механика задачи катковую опору. На нее действуют две вертикальные силы Теоретическая механика задачи и горизонтальная сила Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Размеры тел показаны на рисунке. Определить реакции опор Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи усилие в растяжке и силы, действующие на шарнир Теоретическая механика задачи

  • Решение:

1. Рассматривая систему в целом, заменяем цилиндрический шарнир Теоретическая механика задачи составляющими реакции Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи а катковую опору Теоретическая механика задачи - вертикальной реакцией Теоретическая механика задачи Составляем для нее уравнения равновесия:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Из этих уравнений, учитывая, что в данном случае Теоретическая механика задачи находим

Теоретическая механика задачи

2. Для нахождения усилия Теоретическая механика задачи в растяжке и составляющих Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи реакции шарнира Теоретическая механика задачи выделяем дополнительно в качестве объекта равновесия стропило Теоретическая механика задачи На него действуют силы Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Согласно уравнениям равновесия:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

Из этих уравнений с учетом равенства Теоретическая механика задачи определяем:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

 

 

 

Кинематика

 

Кинематика точки

 

Рекомендации к решению задач

Задачи по кинематике точки отличаются большим разнообразием. Они могут включать в себя в комплексе или в виде отдельных вопросов следующие элементы:

1) составление уравнений движения точки;

2) определение по заданным уравнениям движения точки ее траектории, положения точки, скорости, ускорения и радиуса кривизны траектории;

3) переход от уравнений движения точки в декартовых координатах к полярным или к естественному способу задания движения;

4) определение по некоторым заданным кинематическим параметрам движения точки других его параметров (например, пройденного пути по заданному времени или, наоборот, времени движения по известному положению точки, уравнений движения по заданному ускорению и т. п.).

В задачах первого типа обычно в качестве исходных данных приводятся размеры и законы движения каких-либо тел, по которым требуется составить уравнения движения точек, принадлежащих этим телам или кинематически связанных с ними. Для решения таких задач необходимо выбрать систему координат, обычно декартову или полярную, и выразить координаты заданной точки через величины, входящие как функции времени в уравнения движения тел.

 

 

Задача 7

В эллипсографе (рис. 7.6), состоящем из двух ползунов Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи линейки Теоретическая механика задачи и кривошипа Теоретическая механика задачи последний вращается вокруг точки Теоретическая механика задачи так, что определяющий его положение угол Теоретическая механика задачи изменяется по закону Теоретическая механика задачи где Теоретическая механика задачи — постоянный коэффициент. Точка Теоретическая механика задачи находится посередине длины линейки.

Теоретическая механика задачи

Составить уравнения движения точки Теоретическая механика задачи линейки, если Теоретическая механика задачи

  • Решение:

Вводим систему координат Теоретическая механика задачи показанную на рисунке, и находим абсциссу и ординату точки Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Выражелия (7.1) и (7.2) и являются уравнениями движения точки Теоретическая механика задачи

Уравнения движения точки, если они получены или даны в условии задачи, одновременно являются и уравнениями ее траектории в параметрической форме (параметром является время Теоретическая механика задачи). Для получения уравнения траектории в явном виде необходимо, прежде всего, решая совместно уравнения движения, исключить из них время. В результате такой операции при движении точки в пространстве будут получены два уравнения поверхностей — в декартовой системе координат Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи а при движении в одной плоскости — одно уравнение кривой Теоретическая механика задачи [в полярной системе координат Теоретическая механика задачи]. Найденные таким образом уравнения определяют вид кривой, которую описывает точка, но еще не ее траекторию, потому что в общем случае точка движется не по всему протяжению кривой, а только по ограниченному ее участку. Этот участок и является истинной траекторией точки.

Для его установления дополнительно нужно определить из уравнений движения начальное положение точки (при Теоретическая механика задачи), направление ее движе-ния и ограничивающие траекторию точки, если они имеются. Направление движения точки следует находить по характеру изменения ее координат с течением времени, усматриваемому из уравнений движения, но не задаваясь различными значениями времени, начиная от Теоретическая механика задачи потому что полученный таким путем вывод может в некоторых условиях оказаться ошибочным (из-за быстрого изменения направления движения точки с течением времени).

Если движение точки носит периодический характер, то полезно найти наименьший промежуток времени, по истечении которого точка возвращается в исходное положение, т. е. период.

Заметим, что в отдельных случаях установление прямой связи между координатами точки путем исключения времени может оказаться затруднительным. В таких условиях траекторию можно построить, задаваясь различными значениями времени и определяя по уравнениям движения соответствующие координаты точки.

 

Задача 8

Движение точки в плоскости Теоретическая механика задачи задано уравнениями движения Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Определить траекторию точки.

  • Решение:

Представим ординату точки в виде

Теоретическая механика задачи

и, учитывая, что

Теоретическая механика задачи

получаем уравнение траектории

Теоретическая механика задачи

Найденная кривая представляет собой параболу, изображенную на рис. 7.7. Движение начинается из точки Теоретическая механика задачи с координатами Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи и согласно уравнению Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи вначале происходит в направлении возрастания Теоретическая механика задачи По достижении положения Теоретическая механика задачи в котором Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи точка начинает двигаться в обратном направлении и, пройдя Теоретическая механика задачи доходит до второй ограничивающей точки Теоретическая механика задачи с координатами Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Таким образом, истинной траекторией является участок параболы, заключенный между двумя ограничивающими точками Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи Движение полностью повторяется по истечении промежутка времени Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Если даны уравнения движения точки в декартовой системе координат и необходимо совершить переход к естественному способу задания движения, то у для этого следует:

1) найти описанными выше приемами траекторию точки;

2) выбрать на траектории направление положительного отсчета дуговой координаты (направление возрастания дуги);

3) определить закон движения точки по траектории, для чего использовать формулу

Теоретическая механика задачи

В этой формуле знак плюс перед интегралом ставится в случае, если в начальный момент времени Теоретическая механика задачи тся в случае, если в начальный момент времени t0 = 0 направление движения точки совпадает с выбранньш направлением возрастания дуги, а знак минус — при движении точки в начальный момент в сторону убывания дуги, начальное значение дуговой координаты Теоретическая механика задачи выбирают произвольно;

4) по выбранному значению Теоретическая механика задачи определить на траектории точку Теоретическая механика задачи начала отсчета дуг.

Следует отметить ошибочность часто встречающегося представления о том, что движение точки всегда начинается из точки Теоретическая механика задачи Точка Теоретическая механика задачи соответствующая началу движения точки, совпадает с началом отсчета дуг Теоретическая механика задачи только в том частном случае, когда принято Теоретическая механика задачи В противном случае точки Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи не совпадают.

 

 

Задача 9

Движение точки задано уравнениями Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи где Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи — в сантиметрах. Осуществить переход к естественному способу задания движения.

  • Решение:

Находим уравнение кривой, по которой движется точка:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Соотношение (7.4) является уравнением логарифмической спирали (рис. 7.8). В начальный момент времени точка имеет координаты Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи (движение начинается из точки Теоретическая механика задачи).

Теоретическая механика задачи

С течением времени, начиная с Теоретическая механика задачи ордината точки вначале возрастает. Следовательно, точка движется ио спирали против часовой стрелки. Таким образом, траектория точки представляет собой участок логарифмической спирали с ограничивающей точкой Теоретическая механика задачи

Направление возрастания дуги выбираем совпадающим с направлением движения точки и принимаем Теоретическая механика задачи

Тогда формула (7.3) в данном случае примет вид:

Теоретическая механика задачи

По уравнениям движения находим Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

При подстановке в (7.5) получаем

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

 

 

Задача 10

По условиям, приведенным в примере 3, найти уравнения движения и уравнение траектории в полярной системе координат.

  • Решение:

Полярный радиус

Теоретическая механика задачи

Полярный угол определяем по формуле

Теоретическая механика задачи

Исключая из выражений для Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи время Теоретическая механика задачи находим уравнение траектории Теоретическая механика задачи

В задачах на нахождение скорости точки она определяется по известным из теории формулам. В случае декартовой системы координат имеем:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Если движение задано в полярной системе координат, то

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Аналогично с использованием производных по времени от координат точки находится ее ускорение. Для декартовой системы координат

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Для полярной системы координат

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

В полученных таким образом выражениях скорость, ускорение точки и их проекции будут, естественно, фигурировать в функции времени, т. е. как текущие их значения. Если требуется вычислить скорость или ускорение точки в некоторый момент времени, то в указанные выражения подставляется соответствующее значение времени.

Касательное ускорение точки можно находить по формуле

Теоретическая механика задачи

в которой проекция скорости Теоретическая механика задачи на касательную к траектории (на ось Теоретическая механика задачи) Теоретическая механика задачи Знак плюс соответствует движению точки в сторону возрастания дуги, а знак минус — в сторону убывания дуги.

Во многих случаях, особенно тогда, когда требуется определить касательное ускорение только в фиксированный момент времени и проекции скорости и ускорения точки уже найдены, более удобной оказывается другая формула:

Теоретическая механика задачи

В случае декартовой системы координат она приобретает вид

Теоретическая механика задачи

Для полярной системы координат из выражения (7.6) получаем

Теоретическая механика задачи

Нормальное ускорение Теоретическая механика задачи точки при известном радиусе кривизны Теоретическая механика задачи траектории определяется по формуле

Теоретическая механика задачи

Если радиус кривизны не задан и его требуется найти по кинематическим характеристикам движения точки, то в начале по формуле

Теоретическая механика задачи

определяют нормальное ускорение точки, а затем по соотношению (7.7) вычисляют радиус кривизны.

 

 

 

Плоское движение твердого тела

 

Рекомендации к решению задач

Задачи, относящиеся к плоскому движению твердого тела, можно разбить на два типа:

1) составление уравнений плоского движения и с их помощью определение скорости и ускорения точек плоской фигуры для произвольного момента времени, т. е. как функции времени;

2) определение различных кинематических параметров при плоском движении тела для фиксированного момента времени.

В задачах первого типа определяются координаты интересующей нас точки тела в неподвижной системе координат Теоретическая механика задачи закон движения точки). Затем по формулам кинематики точки определяются скорость и ускорение точки.

Последовательность действий при решении задач такого типа проиллюстрируем на примере.

Пусть требуется определить скорость и ускорение средней точки Теоретическая механика задачи шатуна Теоретическая механика задачи кривошипно-ползунного механизма (рис. 8.1). Для упрощения задачи примем, что длина шатуна Теоретическая механика задачи равна длине кривошипа Теоретическая механика задачи Угол Теоретическая механика задачи определяющий положение кривошипа, изменяется по закону Теоретическая механика задачи где Теоретическая механика задачи - постоянная величина.

1. Шатун Теоретическая механика задачи совершает плоское движение. Выбираем неподвижную систему координат Теоретическая механика задачи расположенную в плоскости движения шатуна. Начало поступательно движущейся системы Теоретическая механика задачи совместим с точкой Теоретическая механика задачи принятой за полюсь, а с самим шатуном жестко свяжем систему Теоретическая механика задачи За полюс целесообразно принимать точку, уравнения движения которой известны или легко могут быть составлены (как в данной задаче).

2. Составляем уравнения движения шатуна: два уравнения движения полюса (точка Теоретическая механика задачи) и уравнение вращения шатуна вокруг полюса:

Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

3. Пользуясь уравнениями движения шатуна Теоретическая механика задачи составляем уравнения движения точки Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Учитывая, что в данной задаче

Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

получаем

Теоретическая механика задачи

4. По найденному закону движения точки, используя формулы кинематики, определяем скорость и ускорение точки:

Теоретическая механика задачи

Этот способ позволяет найти скорость и ускорение точки плоской фигуры как функции времени, т. е. любого наперед заданного момента времени.

Задачи второго типа имеют большее разнообразие. В них требуется на основании исходных данных задачи, относящихся к фиксированному моменту времени, определить скорость точки, ее ускорение, угловую скорость или угловое ускорение тела для того же момента времени. При решении задач для нахождения интересующих нас величин используются следующие приемы:

1) представление плоского движения как вращения вокруг мгновенного центра скоростей;

2) применение формулы распределения скоростей Теоретическая механика задачи

или распределения ускорений Теоретическая механика задачи

3) применение теоремы о равенстве проекций скоростей двух точек плоской фигуры на линию, соединяющую эти точки,

Теоретическая механика задачи

4) проецирование формулы распределения ускорений для двух точек на линию, соединяющую эти точки.

Теперь рассмотрим, как эти четыре пункта реализуются при решении задач.

 

 

Определение угловой скорости плоской фигуры

 

Для нахождения угловой скорости плоской фигуры рекомендуется, как правило, метод мгновенных центров скоростей. Согласно этому методу необходимо сначала найти и указать на рисунке положение мгновенного центра скоростей плоской фигуры для заданного ее положения.

Теоретическая механика задачи

В большинстве случаев это делается по известным направлениям скоростей двух точек плоской фигуры. В некоторых задачах мгновенный центр скоростей определяется как точка контакта плоской фигуры с неподвижным звеном, по которому оно катится без скольжения. В качестве упражнения найдите положение мгновенного центра скоростей для диска (рис. 8.2, а); линейки эллипсографа Теоретическая механика задачи (рис. 8.2, б); стержня Теоретическая механика задачи антипараллелограмма (рис. 8.2, в) (см. ответы в конце главы 8, п. 1).

По найденному положению мгновенного центра скоростей, известной (или легко определимой) скорости одной из точек плоской фигуры определяются значение и направление ее угловой скорости. Последнюю указывают на рисунке дуговой стрелкой.

В порядке упражнения определите угловые скорости тел, изображенных на рис. 8.2, используя данные, приведенные непосредственно на рисунке (см. ответы в конце главы 8, п. 2).

Отметим, что не исключаются и другие способы нахождения угловой скорости тела, в частности путем дифференцирования угла поворота, если последний задан как функция времени (см. примеры решения задач на плоское движение).

Теоретическая механика задачи

 

 

Определение скоростей точек плоской фигуры

 

Скорости точек плоской фигуры определяются одним из выше перечисленных приемов (см. пп. 1-3 на стр. 90). Для их освоения рассмотрите три примера (рис. 8.3), считая заданными Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи на рис. 8.3 а; Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи — на рис. 8.3, б и Теоретическая механика задачи — на рис. 8.3, в: Определите скорости точек Теоретическая механика задачи по значению и направлению. В соответствии с пунктами 1-3 используйте:

а) метод мгновенного центра скоростей;

б) формулу распределения скоростей;

в) теорему о равенстве проекций скоростей (см. ответы в конце главы 8, п. 3).

 

Определение углового ускорения

 

В основном угловое ускорение определяется по формуле

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи или Теоретическая механика задачи либо заданы непосредственно, либо определяются косвенно из условий задачи. Для последнего случая примером может служить эпициклический механизм с внешним зацеплением (рис. 8.4) с известными размерами шестерен Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи и заданным законом изменения по времени угла поворота кривошипа Теоретическая механика задачи

В этом случае угловая скорость Теоретическая механика задачи подвижной шестерни Теоретическая механика задачи

а угловое ускорение

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — угловая скорость кривошипа.

Теоретическая механика задачи

Угловое ускорение и угловую скорость можно также определить, если по условию задачи известны ускорения двух точек плоской фигуры. В этом случае необходимо:

взять одну из точек, например Теоретическая механика задачи за полюс;

записать формулу распределения ускорений для другой точки — Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

записать это векторное равенство в проекциях на прямую Теоретическая механика задачи соединяющую точки Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи

найти из полученного равенства величину Теоретическая механика задачи и угловую скорость плоской фигуры;

аписать то же векторное равенство в проекциях на направление, перпендикулярное к Теоретическая механика задачи найти значение вращательного ускорения Теоретическая механика задачи точки Теоретическая механика задачи и затем угловое ускорение плоской фигуры.

 

 

Определение ускорений точек плоской фигуры

 

Задачи на определение линейного ускорения точек плоской фигуры, как правило, решаются на основании формулы распределения ускорений:

Теоретическая механика задачи

За полюс выбирают ту ее точку, для которой ускорение известно или легко находится из условий задачи, и затем определяют вращательное и осестремительное ускорения заданной точки в относительном движении плоской фигуры относительно полюса. Далее по уравнению распределения ускорений, записанному в проекциях на выбранные оси координат, находят проекции искомого линейного ускорения и вычисляют его модуль и направляющие косинусы (см. задачу 8.3).

Кроме того, модуль ускорения заданной точки Теоретическая механика задачи плоской фигуры можно определить с помощью мгновенного центра ускорений по формуле

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — расстояние от точки Теоретическая механика задачи до мгновенного центра ускорений Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи — угловые ускорение и скорость соответственно.

Направление ускорения Теоретическая механика задачи точки Теоретическая механика задачи находится с помощью угла

Теоретическая механика задачи

который откладывается от отрезка Теоретическая механика задачи по ходу часовой стрелки при Теоретическая механика задачи и, наоборот, против хода часовой стрелки при Теоретическая механика задачи

При нахождении положения мгновенного центра ускорений вышеприведенные операции выполняют в обратном порядке.

 

 

 

Задача 11

Шестерня радиусом г (рис. 8.5), катящаяся по шестерне радиусом Теоретическая механика задачи приводится в движение кривошипом Теоретическая механика задачи вращающимся равноускоренно с угловым ускорением Теоретическая механика задачи вокруг оси Теоретическая механика задачи неподвижной шестерни.

Составить уравнения движения подвижной шестерни, приняв за полюс ее центр Теоретическая механика задачи если при Теоретическая механика задачи угловая скорость кривошипа Теоретическая механика задачи и начальный угол поворота Теоретическая механика задачи

  • Решение:

Подвижная шестерня совершает плоское движение. Для составления ее уравнений движения неподвижную систему координат Теоретическая механика задачи с началом в точке Теоретическая механика задачи жестко связываем с шестерней радиусом Теоретическая механика задачи а подвижную систему координат Теоретическая механика задачи с началом в точке Теоретическая механика задачи — с шестерней радиусом Теоретическая механика задачи Ось Теоретическая механика задачи в начальном положении механизма (при Теоретическая механика задачи) совпадает с осью Теоретическая механика задачи а ось Теоретическая механика задачи параллельна оси Теоретическая механика задачи Таким образом, точка Теоретическая механика задачи бегающей шестерни (начало подвижной системы координат) является полюсом. Координаты полюса:

Теоретическая механика задачи

Для нахождения угла ф используем соотношение

Теоретическая механика задачи

Интегрируя, получаем

Теоретическая механика задачи

Так как при Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи то Теоретическая механика задачи и,следовательно,

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Интегрируя еще раз, находим

Теоретическая механика задачи

Согласно условиям задачи, при Теоретическая механика задачи Поэтому Теоретическая механика задачи и окончательно

Теоретическая механика задачи

Следовательно, уравнения движения полюса имеют вид:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

ля нахождения третьего уравнения движения — зависимости угла поворота бегающей шестерни Теоретическая механика задачи от времени — воспользуемся тем обстоятельством, что скорость точки Теоретическая механика задачи с одной стороны,

Теоретическая механика задачи

а с другой —

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — абсолютная угловая скорость бегающей шестерни. Следовательно,

Теоретическая механика задачи

откуда

Теоретическая механика задачи

В данном случае

Теоретическая механика задачи

Следовательно,

Теоретическая механика задачи

Интегрируя уравнение (8.6) в пределах от Теоретическая механика задачи до Теоретическая механика задачи получаем

Теоретическая механика задачи

 

 

Задача 12

Кривошип Теоретическая механика задачи делает Теоретическая механика задачи боротов в минуту (рис. 8.6) и при помощи звена Теоретическая механика задачи приводит в движение стержень Теоретическая механика задачи закрепленный шарнир в точке Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Определить угловые скорости стержней Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи а также скорость Теоретическая механика задачи точки Теоретическая механика задачи в момент, когда кривошип Теоретическая механика задачи занимает вертикальное положение, если известно, что в этот момент стержень Теоретическая механика задачи образует с вертикалью Теоретическая механика задачи а со стержнем Теоретическая механика задачи

  • Решение:

Данный механизм состоит из трех звеньев:

1) кривошипа Теоретическая механика задачи вращающегося вокруг оси, проходящей через точку Теоретическая механика задачи с угловой скоростью

Теоретическая механика задачи

2) стержня Теоретическая механика задачи вращающегося вокруг оси, проходящей через точку Теоретическая механика задачи

3) стержня Теоретическая механика задачи совершающего плоское движение.

Задачу можно решить двумя способами.

1-й способ — с помощью формулы распределения скоростей. Для этого вначале найдем скорость точки Теоретическая механика задачи Вектор Теоретическая механика задачи перпендикулярен к кривошипу Теоретическая механика задачи и по модулю равен Теоретическая механика задачи

Так как точка Теоретическая механика задачи принадлежит звену, вращающемуся вокруг неподвижной точки Теоретическая механика задачи то ее скорость перпендикулярна к Теоретическая механика задачи Одновременно точка Теоретическая механика задачи принадлежит и звену Теоретическая механика задачи совершающему плоское движение. Поэтому, принимая точку Теоретическая механика задачи за полюс, по формуле распределения скоростей имеем:

Теоретическая механика задачи

причем

Теоретическая механика задачи

Построив векторы в точке Теоретическая механика задачи заключаем, что:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теперь, зная скорости Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи находим искомые угловые скорости Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи стержней Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Если бы в данной задаче не требовалось находить угловую скорость звена Теоретическая механика задачи то скорость точки Теоретическая механика задачи проще было бы найти по теореме о проекциях скоростей точек Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи на прямую Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Этой теоремой удобно пользоваться в тех случаях, когда заданы направления скоростей двух точек плоской фигуры и модуль одной из скоростей.

2-й способ — с помощью мгновенного центра скоростей. Мгновенный центр скоростей Теоретическая механика задачи звена Теоретическая механика задачи находим как точку пересечения прямых Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи перпендикулярных к скоростям Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи Так как скорости точек звена пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей, то

Теоретическая механика задачи

откуда

Теоретическая механика задачи

Из треугольника Теоретическая механика задачи имеем

Теоретическая механика задачи

Следовательно:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Угловую скорость звена Теоретическая механика задачи найдем по формуле

Теоретическая механика задачи

 

 

Динамика механической системы и твердого тела, геометрия масс

 

Рекомендации к решению задач

При решении задач, связанных с определением моментов инерции конкретного тела (системы), возникает необходимость определения:

положения центра масс тела или системы;

закона движения или траектории движения центра масс тела или системы;

радиуса инерции тела.

Теоретическая механика задачи

При решении задач определения положения центра масс материальной системы следует пользоваться известными из статики методами нахождения центра тяжести.

В целях тренировки определения у тел, осей или плоскостей симметрии необходимо решить следующие вопросы:

1) определить все плоскости материальной симметрии у однородного параллелепипеда, имеющего ребра Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи (рис. 20.1) в случаях, когда Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи (см. ответы в конце главы 20, п. 1);

2) найти оси и плоскости материальной симметрии однородного трехосного и двухосного (вращения) эллипсоидов (см. ответы в конце главы 20, п. 2);

3) найти оси и плоскости материальной симметрии однородного цилиндра (рис. 20.2) (см. ответы в конце главы 20, п. 3);

4) найти плоскость материальной симметрии плоской фигуры произвольной формы пренебрежимо малой толщины (см. ответы в конце главы 20, п. 4).

Рекомендуется следующий общий порядок решения задач определения положения центра масс механических систем или тел сложной формы:

1 разбить механическую систему или тело сложной формы на более простые тела, положение центра масс которых известно или легко может быть определено с использованием метода симметрии или по справочнику;

2) ввести наиболее удобную систему координат для определения положения центра масс;

3) определить координаты центров масс Теоретическая механика задачи элементов системы или тела, на которые они были разбиты;

4) найти координаты центра масс всей системы, используя соответствующие формулы:

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — масса всей системы (тела).

Если потребуется определить закон движения центра масс системы (тела), то координаты Теоретическая механика задачи входящие в правую часть (20.1), должны быть определены как функции времени.

Для определения траектории движения центра масс системы необходимо из уравнений движения центра масс:

Теоретическая механика задачи

исключить время.

Для рационального выбора системы координат целесообразно размещать начало в центре масс системы (тела), а координатные оси совмещать с главными осями инерции.

При решении многих практических задач желательно помнить формулы вычисления моментов инерции простейших тел или их сечений, которые приводятся в теоретическом курсе, либо находить их из справочных таблиц. Такими простейшими телами, моменты инерции которых обычно используются, являются следующие:

тонкий однородный стержень с моментами инерции относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через середину и конец его;

тонкий однородный диск с моментами инерции относительно осей, проходящих через его центр, лежащих в его плоскости и перпендикулярно к ней;

круглый однородный цилиндр с моментом инерции относительно его оси симметрии.

При необходимости определить момент инерции тела относительно оси, смещенной параллельно главной центральной оси инерции, используется теорема Гюйгенса-Штейнера

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — момент инерции тела относительно оси 2, проходящей через центр масс; Теоретическая механика задачи — масса тела; Теоретическая механика задачи — расстояние между параллельными осями Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи

В качестве тренировки использования теоремы Гюйгенса—Штейнера предлагается самостоятельно вычислить осевые моменты инерции в следующих заданиях.

1. Определить осевой момент инерции относительно оси Теоретическая механика задачи отстоящей от главной центральной оси Теоретическая механика задачи на расстоянии Теоретическая механика задачи однородной прямоугольной пластинки (рис. 20.3) массой Теоретическая механика задачи со сторонами Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи Оси Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи параллельны малой стороне пластинки (см. ответы в конце главы 20, п. 5).

Теоретическая механика задачи

2. Найти осевой момент инерции относительно оси параллельной главной центральной оси Теоретическая механика задачи находящейся от нее на расстоянии Теоретическая механика задачи тонкого однородного диска (рис. 20.4) массой Теоретическая механика задачи и радиусом Теоретическая механика задачи (см. ответы в конце главы 20, п. 6).

При непосредственном вычислении моментов инерции тел целесообразно элементарную массу Теоретическая механика задачи входящую под знак интеграла, представлять в качестве функции только одной переменной в целях упрощения вычислений, т. е. устранения необходимости тройного или двойного интегрирования.

Для иллюстрации этого рассмотрим пример вычисления осевого момента инерции относительно оси симметрии Теоретическая механика задачи однородного цилиндра массой Теоретическая механика задачи радиусом Теоретическая механика задачи и высотой Теоретическая механика задачи (рис. 20.5).

Для вычисления искомого момента инерции используем формулу

Теоретическая механика задачи

Если в качестве элементарной массы Теоретическая механика задачи рассмотреть цилиндрический слой радиусом Теоретическая механика задачи толщиной Теоретическая механика задачи и однородной плотностью материала Теоретическая механика задачи то

Теоретическая механика задачи

или с учетом (20.3) получим

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

В задачах, где требуется определить осевой момент инерции Теоретическая механика задачи тела относительно произвольным образом ориентированной в пространстве с помощью углов Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи оси Теоретическая механика задачи проходящей через начало системы координат, используется известная в теории формула

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — осевые и центробежные моменты инерции тела относительно заданной системы координат.

Если ось Теоретическая механика задачи не проходит через начало системы координат, т. е. смещена (рис. 20.6), и при этом известны осевые и центробежные моменты инерции тела относительно системы координат с началом в центре масс Теоретическая механика задачи то момент инерции Теоретическая механика задачи находится путем последовательного применения формул (20.5) и (20.2). При этом вводится вспомогательная ось Теоретическая механика задачи проходящая через точку Теоретическая механика задачи параллельно оси Теоретическая механика задачи После этого по переходным данным в соответствии с формулой (20.5) определяется момент инерции Теоретическая механика задачи относительно оси Теоретическая механика задачи а затем по формуле (20.2) вычисляется искомый осевой момент инерции

Теоретическая механика задачи

В частном случае, если оси системы координат являются не только центральными, но и главными, то искомый момент инерции Теоретическая механика задачи находится по формуле

Теоретическая механика задачи

так как центробежные моменты инерции Теоретическая механика задачи

В задачах, связанных с вычислением центробежных моментов инерции, предварительно необходимо проверить, не являются ли вводимые оси системы координат главными осями инерции и, как следствие, не равны ли искомые центробежные моменты инерции нулю. Известно, например, что для тела в виде любой плоской фигуры (пластинки) всякая ось, перпендикулярная к ней, будет главной осью инерции в точке пересечения оси с плоскостью.

Теоретическая механика задачи

Если выбранные оси Теоретическая механика задачи (рис. 20.7) не являются главными осями инерции и при этом известны центробежные моменты инерции Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи тела относительно параллельных осей Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи с началом в центре масс Теоретическая механика задачи то искомые центробежные моменты инерции Теоретическая механика задачи определяются по формулам

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — координаты центра масс в системе Теоретическая механика задачи

Во многих задачах при вычислении осевых и центробежных моментов инерции в исходных данных указываются только те оси координат, для которых необходимо найти эти моменты, а главные или главные центральные оси инерции не приводятся. Однако введение главных осей инерции позволяет существенно упростить решение задачи, учитывая тот факт, что главные оси могут быть получены путем поворота неглавных осей на некоторый угол, что должны сделать решающие самостоятельно. После введения таковых искомые моменты инерции определяются по известным «формулам пересчета», базирующимся на преобразовании координат.

Например, если оси Теоретическая механика задачи заданы, а повернутые оси Теоретическая механика задачи введены в качестве главных осей инерции (рис. 20.8), то первую систему координат можно получить из второй, повернув ее вокруг оси Теоретическая механика задачи на угол Теоретическая механика задачи Тогда при известных для системы Теоретическая механика задачи осевых моментах инерции Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи искомые осевые и центробежные моменты инерции определяются из соотношений:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

При этом Теоретическая механика задачи так как при любом повороте системы координат вокруг оси Теоретическая механика задачи последняя остается главной осью инерции.

 

 

 

Задача 13

К вертикальному валу Теоретическая механика задачи рис. 20.9) прикреплены два одинаковых точечных груза Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи массой Теоретическая механика задачи каждый. Стержни Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи имеют одинаковую длину Теоретическая механика задачи и взаимно перпендикулярны. Массами вала и стержней пренебречь. Определить положение центра масс системы и осевые и центробежные моменты инерции относительно системы координат Теоретическая механика задачи показанной на рисунке.

  • Решение:

Положение центра масс определяем из условия симметрии. Поскольку точечные грузы имеют одинаковые массы, их центр симметрии находится посередине отрезка Теоретическая механика задачи с ним и совпадает центр масс Теоретическая механика задачи Следовательно,

Теоретическая механика задачи

Положение центра масс можно найти и другим способом, применив формулы (20.1), согласно которым в данном случае

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

так как Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Определяем осевые моменты инерции системы. Груз Теоретическая механика задачи находится на оси Теоретическая механика задачи а груз Теоретическая механика задачи — на оси Теоретическая механика задачи Поэтому

Теоретическая механика задачи

Расстояние каждого груза до оси Теоретическая механика задачи равно Теоретическая механика задачи Следовательно,

Теоретическая механика задачи

В формулах для нахождения центробежных моментов инерции, содержащих в индексе обозначение оси Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

аппликаты обоих грузов Теоретическая механика задачи В связи с этим Теоретическая механика задачи

Центробежный момент инерции

Теоретическая механика задачи

потому что Теоретическая механика задачи

Таким образом, все три координаты являются главными осями инерции.

Задача 20.2. Маятник состоит из однородного тонкого стержня Теоретическая механика задачи (рис. 20.10) массой Теоретическая механика задачи и круглого однородного диска Теоретическая механика задачи массой Теоретическая механика задачи и радиусом Теоретическая механика задачи Дано: Теоретическая механика задачи

Определить момент инерции маятника относительно оси его подвеса Теоретическая механика задачи перпендикулярной к плоскости маятника.

Решение. Момент инерции Теоретическая механика задачи относительно оси Теоретическая механика задачи проходящий через точку Теоретическая механика задачи вычисляем как сумму моментов инерции стержня Теоретическая механика задачи и диска Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Момент инерции Теоретическая механика задачи стержня Теоретическая механика задачи относительно оси Теоретическая механика задачи проходящей через его середину Теоретическая механика задачи находим по справочнику:

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

По теореме Гюйгенса—Штейнера момент инерции стержня Теоретическая механика задачи относительно оси Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Момент инерции Теоретическая механика задачи диска относительно оси Теоретическая механика задачи определяем по теореме Гюйгенса—Штейнера:

Теоретическая механика задачи

Суммируя найденные моменты инерции стержня и диска, получаем

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

 

 

Теорема об изменении количества движения механической системы

 

Рекомендации к решению задач

Задачи, решаемые на основании теоремы об изменении количества движения системы, можно разделить на следующие типы:

а) задачи на определение количества движения системы;

б) задачи на определение различных кинематических или динамических характеристик системы с помощью теоремы об изменении ее количества движения;

в) задачи, в которых также требуется определить различные кинематические или динамические характеристики системы, но на основании законов сохранения ее количества движения.

При решении задачи любого типа вначале необходимо:

  • 1) выявить совокупность тел, входящих в систему;
  • 2) выбрать систему координат.

Для задач первого типа рекомендуется далее, как правило, следующий порядок действий:

  • 3) определить координаты центров масс тел системы как функции времени;
  • 4) найти координаты центра масс системы Теоретическая механика задачи для чего использовать формулыТеоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи — масса всей системы; Теоретическая механика задачи — масса Теоретическая механика задачи тела; Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи— координаты центра масс этого тела [в отдельных случаях (например, при движении центра масс системы по окружности) может оказаться целесообразным определение по координатам модуля радиус-вектора центра масс или его расстояния до оси вращения];

5) определить проекции на координатные оси и, если требуется по условиям задачи, модуль скорости центра масс (иногда прямо без проекций модуль скорости);

6) вычислить проекции на координатные оси, а также (в зависимости от условий задачи) модуль и направляющие косинусы вектора количества движения системы; для вычисления проекций использовать известные из теории формулы:

Теоретическая механика задачи

а для определения модуля

Теоретическая механика задачи

или

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи - модуль скорости центра масс.

Нахождение координат центров масс отдельных тел системы и затем по ним положения центра масс всей системы не во всех случаях является обязательным. Если в задаче заданы или легко определяются скорости центров масс системы, то необходимо по формулам

Теоретическая механика задачи

найти проекции Теоретическая механика задачи скорости центра масс системы и затем воспользоваться формулами (21.1).

При решении задач второго типа необходимо после пп. 1 и 2 произвести следующие операции:

3) установить и изобразить на рисунке действующие на систему внешние силы;

4) найти проекции сил на оси выбранной системы координат;

5) составить выражения для проекций количества движения системы на оси координат (как это изложено применительно к задачам первого типа);

6) написать теорему об изменении количества движения системы в дифференциальной или интегральной форме в проекциях на координатные оси; если используется теорема в дифференциальной форме, то проинтегрировать составленное дифференциальное уравнение, определив постоянные интегрирования по начальным условиям или найдя определенный интеграл;

7) решить полученное уравнение относительно искомой величины.

Если решается задача третьего типа, то в начале надо выполнить те же первые четыре пункта, что и в задачах второго типа. Далее необходимо:

5) установить, на какую из трех координатных осей проекция главного вектора внешних сил системы равна нулю и, следовательно, остается неизменной соответствующая проекция количества движения;

6) определить проекции количества движения системы в начальный и конечный (или текущий) моменты времени на оси координат, для которых они неизменны, приравнять их и из полученных уравнений определить искомые величины.

 

 

 

Задача 14

В планетарной передаче (рис. 21.6) сателлит Теоретическая механика задачи массой Теоретическая механика задачи и радиусом Теоретическая механика задачи катится по неподвижной шестерне Теоретическая механика задачи такого же радиуса при помощи водила массой Теоретическая механика задачи вращающегося с постоянной угловой скоростью со. Водило представляет собой однородный стержень. Определить количество движения механизма.

  • Решение:

В механическую систему включаем водило и сателлит. Центр тяжести сателлита находится в точке Теоретическая механика задачи а водила — посередине его длины.

Теоретическая механика задачи

Вводим систему координат, указанную на рисунке, и определяем координаты центра масс системы:

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Находим проекции скорости центра масс

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

и затем — проекции количества движения системы

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Модуль количества движения

Теоретическая механика задачи

Для определения направления вектора Теоретическая механика задачи находим угол, образованный им с осью Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Отсюда следует, что вектор Теоретическая механика задачи перпендикулярен к водилу. Заметим, что данную задачу можно также решать путем раздельного нахождения количества движения сателлита и водила и последующего их суммирования. В этом варианте

Теоретическая механика задачи

Векторы Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи перпендикулярны к сателлиту и складываются как два параллельных вектора:

Теоретическая механика задачи

 

 

Задача 15

Кулисный механизм (рис. 21.7) приводится в движение кривошипом Теоретическая механика задачи вращающимся с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика задачи вокруг оси, проходящей через точку Теоретическая механика задачи В начальный момент кривошип занимал крайнее правое положение. Массы кривошипа, ползуна и кулисы соответственно равны Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи Даны расстояния: Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Теоретическая механика задачи Кривошип и кулису считать однородными стержнями. Определить количество движения механизма в момент времени Теоретическая механика задачи

  • Решение:

В материальную систему включаем все звенья механизма. Вводим систему координат Теоретическая механика задачи изображенную на рисунке. Определяем угол Теоретическая механика задачи характеризующий положение кривошипа:

Теоретическая механика задачи

Находим расстояние Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Следовательно, треугольник Теоретическая механика задачи прямоугольный и угол Теоретическая механика задачи (рис. 21.8). Определяем скорости центров масс отдельных звеньев механизма и их проекции на оси Теоретическая механика задачи и Теоретическая механика задачи

Для кривошипа имеем:

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

Ползун движется с абсолютной скоростью Теоретическая механика задачи Ее проекции на оси:

Теоретическая механика задачи

Для кулисы имеем:

Теоретическая механика задачи

Находим проекции скорости центра масс:

Теоретическая механика задачиТеоретическая механика задачи

Теоретическая механика задачи

где Теоретическая механика задачи - масса всей системы.

Тогда модуль скорости центра масс

Теоретическая механика задачи

Зная Теоретическая механика задачи определяем модуль количества движения механизма

Теоретическая механика задачи