Теоретическая механика вариант

Вариант по теоретической механике

Вариант задачи с решением 2-1.

Сложить два вектора Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант если первый из них направлен по горизонтали вправо, а второй образует с первым угол Теоретическая механика вариант модули векторов Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант (рис. 7).

Теоретическая механика вариант

Решение — по правилу параллелограмма.

1. Выберем масштаб построения. Вектор Теоретическая механика вариант изобразим отрезком длиной Теоретическая механика вариант Тогда для масштаба построения получим значение

Теоретическая механика вариант

2. Найдем длину отрезка Теоретическая механика вариант для изображения в принятом масштабе вектора Теоретическая механика вариант

Теоретическая механика вариант

3. Из точки Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант к направлению вектора Теоретическая механика вариант проведем линию Теоретическая механика вариант и отложим на ней отрезок Теоретическая механика вариант который изобразит вектор Теоретическая механика вариант

4. Построим прямые Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант Обозначив точку их пересечения, получим параллелограмм Теоретическая механика вариант

5. Проведем диагональ Теоретическая механика вариант которая изобразит искомую сумму Теоретическая механика вариант построенных векторов.

6. Измерим длину отрезка Теоретическая механика вариант и найдем, что Теоретическая механика вариант а модуль вектора Теоретическая механика вариант

Теоретическая механика вариант

7. Угол Теоретическая механика вариант найдем непосредственным измерением (по транспортиру):

Теоретическая механика вариант

Ответ. Два вектора Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант можно заменить вектором Теоретическая механика вариант Модуль этого вектора Теоретическая механика вариант единицы и направлен он под углом Теоретическая механика вариант к первому из них.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Решение задачи вторым способом — по правилу треугольника — рекомендуется произвести самостоятельно.

Сравнив решение задач 1-1 и 2-1, следует обратить внимание на важную особенность геометрического сложения: при сложении двух векторов с неизменяющимися модулями в зависимости от их направления можно получить сколько угодно отличающихся друг от друга суммарных векторов (рис. 8, а).

Теоретическая механика вариант

Легко заметить, что геометрическая сумма с наибольшим моду view, равным сумме модулей данных векторов, получается при Теоретическая механика вариант (рис. 8, б) и геометрическая сумма с наименьшим модулем, равным разности модулей тех же векторов, получается при Теоретическая механика вариант (рис. 8, в).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика примеры решения задач

Принципы теоретической механики

Скачать теоретическую механику

Задания по теоретической механике

Вариант задачи с решением 3-1.

Найти сумму пяти векторов, если их модули Теоретическая механика вариант Теоретическая механика вариант Теоретическая механика вариант Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант (рис. 9, а). Первый вектор направлен по горизонтали вправо, а остальные с этим направлением образуют соответственно углы Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант в сторону против хода часовой стрелки.

Решение — по правилу многоугольника.

Теоретическая механика вариант

1. Выберем масштаб построения. Для изображения вектора примем длину Теоретическая механика вариант Тогда масштаб построения получит значение

Теоретическая механика вариант

2. Определим длины отрезков для изображения остальных векторов:

Теоретическая механика вариант

3. Построим секторный многоугольник. Из произвольно выбранной точки Теоретическая механика вариант отложим отрезок Теоретическая механика вариант изображающий вектор Теоретическая механика вариант из точки Теоретическая механика вариант—конца вектора Теоретическая механика вариант — проводим прямую под данным углом Теоретическая механика вариант к горизонтали и отложим на ней отрезок Теоретическая механика вариант Затем из точки Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант к горизонтали отложим отрезок Теоретическая механика вариант а из точки Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант — отрезок Теоретическая механика вариантТеоретическая механика вариант и, наконец, из точки Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант — отрезок Теоретическая механика вариантПолученную ломаную линию Теоретическая механика вариант замыкаем отрезком Теоретическая механика вариант направив его от Теоретическая механика вариант — начала построения многоугольника к Теоретическая механика вариант — последней точке построения. Этот замыкающий вектор изображает искомую сумму всех векторов, равную Теоретическая механика вариант

4. Определим модуль Теоретическая механика вариант Измерив Теоретическая механика вариант найдем Теоретическая механика вариант следовательно,

Теоретическая механика вариант единиц.

5. Направление вектора Теоретическая механика вариант определяется углом Теоретическая механика вариант, значение которого находим путем непосредственного измерения:

Теоретическая механика вариант

Ответ. Сумма построенных векторов равна вектору Теоретическая механика вариант модуль которого содержит Теоретическая механика вариант единиц, а направление суммарного вектора составляет с вектором Теоретическая механика вариант угол Теоретическая механика вариант

Вариант задачи с решением 20-5.

Определить равнодействующую Теоретическая механика вариант двух сил Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант модули которых соответственно равны Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант сила Теоретическая механика вариант направлена горизонтально вправо, а Теоретическая механика вариант образует с Теоретическая механика вариант угол Теоретическая механика вариант (рис. 26, а).

Задачу можно решить графическим или графоаналитическим методом, используя в обоях случаях либо правило параллелограмма, либо правило треугольника (см. задачи 1-1 и 11-3).

Графическим методом рекомендуем решить задачу самостоятельно, а здесь приведем графоаналитические решения по обоим правилам.

Решение 1 - по правилу параллелограмма:

1. Используя условие задачи и приблизительно соблюдая масштаб, изображаем параллелограмм Теоретическая механика вариант (рис. 26,6). Порядок построения такой: из точки Теоретическая механика вариант проводим отрезок Теоретическая механика вариант затем из той же точки Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант к отрезку Теоретическая механика вариант проводим отрезок Теоретическая механика вариант из точек Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант проводим прямые Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант и, наконец, проводим диагональ Теоретическая механика вариант

2. Используя формулу (1), можем найти модуль равнодействующей:

Теоретическая механика вариант
Имея в виду, что Теоретическая механика вариант получаем Теоретическая механика вариант

3. Применяя к Теоретическая механика вариант (или к Теоретическая механика вариант) (см. рис. 26,6) теорему синусов, получаем

Теоретическая механика вариант

откуда

Теоретическая механика вариант

и

Теоретическая механика вариант

Таким образом, вектор равнодействующей Теоретическая механика вариант перпендикулярен к силе Теоретическая механика вариант

Угол Теоретическая механика вариант можно найти либо как разность

Теоретическая механика вариант

либо из теоремы синусов:

Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант

Один и тот же результат, полученный различными путями, подтверждает правильность решения задачи.

Ответ. Равнодействующая данных сил равна Теоретическая механика вариант и линия ее действия образует с направлением силы Теоретическая механика вариант прямой угол.

Решение 2-по правилу треугольника.

1. Используя условие задачи, строим треугольник сил Теоретическая механика вариант (рис. 26,в). Порядок построения такой: из точки Теоретическая механика вариант проведем отрезок Теоретическая механика вариант Затем из точки Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант к направлению Теоретическая механика вариант проводим отрезок Теоретическая механика вариант и, наконец, «замкнем» треугольник отрезком Теоретическая механика вариант который изобразит искомую равнодействующую Теоретическая механика вариант

В получившемся треугольнике Теоретическая механика вариант

2. Применяем к треугольнику Теоретическая механика вариант известную из тригонометрии теорему косинусов:

Теоретическая механика вариант

откуда модуль равнодействующей

Теоретическая механика вариант

3. Углы Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант определяющие направление равнодействующей относительно заданных сил, находим, как и в первом решении, по теореме синусов.

Вариант задачи с решением 21-5.

Определить равнодействующую Теоретическая механика вариант двух сил, модули которых соответственно равны Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант причем сила Теоретическая механика вариант направлена горизонтально вправо, а сила Теоретическая механика вариант образует с Теоретическая механика варианта) угол Теоретическая механика вариант и 6) угол Теоретическая механика вариант

Ответ: Теоретическая механика вариант

Эту задачу рекомендуется решить самостоятельно. Необходимо заметить, что в задаче 20-5 и в обоих вариантах задачи 21-5 складываются одинаковые по модулю силы, но угол, образуемый их направлениями, уменьшается, и это приводит к увеличению модуля равнодействующей и к уменьшению угла Теоретическая механика вариант

Задача 24-6. Груз весом Теоретическая механика вариант удерживается при помощи двух нитей, которые образуют с вертикалью (линией действия (в) веса Теоретическая механика вариант) углы Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант Определить усилия, растягивающие нити.

Теоретическая механика вариант

Теоретическая механика вариант

Решение — графоаналитическим методом по правилу параллелограмма.

1. Исходя из условия задачи, построим чертеж (рис. 33). Из точки Теоретическая механика вариант проводим вертикальный отрезок Теоретическая механика вариант изображающий вектор Теоретическая механика вариант Отложив (приблизительно) от вертикали Теоретическая механика вариант влево угол Теоретическая механика вариант а вправо - угол Теоретическая механика вариант проведем нити Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант (длины нитей не влияют на величину усилий, поэтому точки Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант выбираем произвольно).

2. Вектор Теоретическая механика вариант по правилу параллелограмма разложим на две составляющие Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант, направленные вдоль нитей, т. е. построим параллелограмм Теоретическая механика вариант.

3. На основе построения параллелограмма Теоретическая механика вариант очень просто определяются его углы:

Теоретическая механика вариант

и, следовательно,

Теоретическая механика вариант

4. Так как силовой параллелограмм делится на два прямоугольных треугольника, то легко найти оба усилия:

Теоретическая механика вариант

Теоретическая механика вариант

В единицах СИ усилия равны:

Теоретическая механика вариант

Задачи 22-6, 23-6 и 24-6 относятся к первому типу задач на разложение силы по правилу параллелограмма или треугольника (см. §2-1).

Рассмотрим теперь по одной задаче второго (задача 25-6), третьего (задача 26-6) и четвертого (задача 27-6) типов.

Вариант задачи с решением 25-6.

Груз массой Теоретическая механика вариант необходимо подвесить на кронштейне, у которого один из стержней горизонтальный и в нем должно возникнуть сжимающее усилие не более Теоретическая механика вариант Как нужно расположить второй стержень, чтобы в нем возникло растягивающее усилие? Определить величину этого усилия.

Эта задача аналогична задаче 8-2, которая решена графическим методом, поэтому графическое решение здесь не приводим.

Решение — графо-аналитическим методом по правилу треугольника.

1. Изобразим (рис. 34, а) стержень Теоретическая механика вариант в горизонтальном положении, т. е. в том, какое он должен занимать по условию, и допустим, что к концу Теоретическая механика вариант стержня приложена нагрузка Теоретическая механика вариант равная весу груза, т. е.

Теоретическая механика вариант

Известно, что этот стержень должен испытывать сжимающее усилие Теоретическая механика вариант Поэтому сила, приложенная к стержню в точке Теоретическая механика вариант будет направлена от Теоретическая механика вариант к Теоретическая механика вариант Обозначим эту силу Теоретическая механика вариант

Расположение стержня Теоретическая механика вариант кронштейна неизвестно и поэтому он условно показан штриховой линией.

2. Строим силовой треугольник (рис. 34, б). Из произвольной точки Теоретическая механика вариант отложим вертикальный отрезок Теоретическая механика вариант изображающий вес груза Теоретическая механика вариант и горизонтальный отрезок Теоретическая механика вариант изображающий силу Теоретическая механика вариант сжимающую стержень Теоретическая механика вариант т. е. известное слагаемое вектора Теоретическая механика вариант

Для того чтобы найти второе слагаемое вектора Теоретическая механика вариант — вектор Теоретическая механика вариант (усилие в стержне Теоретическая механика вариант), необходимо из вектора Теоретическая механика вариант вычесть вектор Теоретическая механика вариант

Чтобы выполнить это действие по правилу треугольника, соединим точки Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант Сторона Теоретическая механика вариант получившегося треугольника изображает искомое усилие Теоретическая механика вариант (правило вычитания векторов показано на рис. 3).

3. Треугольник Теоретическая механика вариант прямоугольный, поэтому

Теоретическая механика вариант

Если мысленно в точку Теоретическая механика вариант кронштейна перенести силу Теоретическая механика вариант то ее направление определит положение стержня Теоретическая механика вариант относительно Теоретическая механика вариант

Угол Теоретическая механика вариант (рис. 34, в) между стержнями должен быть равен углу между линиями действия сил Теоретическая механика вариант и Теоретическая механика вариант т. е. углу Теоретическая механика вариант

Теоретическая механика вариант

и

Теоретическая механика вариант

Таким образом, если в кронштейне стержень Теоретическая механика вариант расположить к горизонтальному сгержню Теоретическая механика вариант под углом Теоретическая механика вариант, то груз весом Теоретическая механика вариант действующий на точку Теоретическая механика вариант кронштейна, вызовет в стержне Теоретическая механика вариант сжимающее усилие Теоретическая механика вариант а в стержне Теоретическая механика вариант —растягивающее усилие Теоретическая механика вариант

Если при изготовлении кронштейна увеличить угол Теоретическая механика вариант то уменьшится нагрузка на оба стержня, причем при вертикальном положении стержня Теоретическая механика вариант усилие Теоретическая механика вариант в горизонтальном стержне станет равным нулю, а Теоретическая механика вариант

Если же при изготовлении кронштейна угол Теоретическая механика вариант уменьшить Теоретическая механика вариант то усилия в обоих стержнях увеличатся.

В этом легко можно убедиться, построив на заданном векторе Теоретическая механика вариант силовые треугольники, углы которых Теоретическая механика вариант или Теоретическая механика вариант