Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Основные понятия и аксиомы статики

Теоретическая механика — это наука, которая изучает механическое движение тел и устанавливает общие законы этого движения. Теоретическая механика подразделяется на статику, кинематику и динамику.

Статика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются законы приведения и условия равновесия сил, действующих на материальные точки. Встречающиеся в природе материальные тела обладают способностью под действием приложенных сил в той или иной мере деформироваться, т. е. менять форму вследствие изменения взаимного расположения образующих их частиц. Однако у большинства твердых тел (изготовленных из металлов, дерева) в нормальных условиях эти деформации пренебрежимо малы. Учет их приобретает практическое значение только при рас-смотрении вопроса прочности соответствующих конструкций, что является предметом изучения дисциплины «Сопротивление материалов». При рассмотрении же общих условий равновесия деформациями большинства твердых тел в первом приближении можно пренебречь, В связи с этим в механике вводится понятие «абсолютно твердое тело».

Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого всегда остается неизменным. На рис. 1.1 показано тело, у которого расстояние АВ = const.

В статике мы будем рассматривать все тела как абсолютно твердые, в дальнейшем для краткости называя их твердыми телами или просто телами.

  • Другим основным понятием в статике является понятие силы. Силой называется векторная величина, представляющая собой меру механического воздействия одних тел на другие. Что же такое механическое воздействие?

Механическим воздействием называется такое взаимодействие материальных тел, в результате которого с течением времени происходит изменение взаимного положения этих тел в пространстве (механическое движение) или изменение взаимного положения частиц этих тел (деформация). Например, при штамповке деталей верхний штамп, падая, останавливается в результате взаимодействия с нижним штампом. Если же между ними положить заготовку, то в результате такого взаимодействия происходит деформация заготовки.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Итак, сила Теоретическая механика статика как векторная величина имеет модуль Теоретическая механика статика точку приложения Теоретическая механика статика и направление (линию действия силы) (рис. 1.2). Проекции вектора силы Теоретическая механика статика на оси координат определяются следующим образом:

на ось Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

на ось Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Модуль вектора Теоретическая механика статика т.е. значение силы, определяется по теореме Пифагора;

Теоретическая механика статика

Введем следующие определения.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика работа силы, тяжести, трения, мощности

Курс теоретической механики

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика кинематика точки

Материальной точкой называется абсолютно твердое тело, размерами которого можно пренебречь, мысленно сосредоточив всю массу этого тела в точке. Например, движение спутника вокруг планеты можно рассматривать как движение материальной точки, так как размеры спутника ничтожно малы по сравнению с размерами планеты.

Теоретическая механика статика

Системой сил называется совокупность нескольких сил, действующих на данное тело.

Две системы называются эквивалентными, если, действуя на одно и то же твердое тело, они производят одинаковое механическое воздействие.

Силы, действующие на тело со стороны других материальных тел, называются внешними силами. Силы, действующие на части данного тела со стороны других частей этого же тела, называются внутренними силами.

Если под действием данной системы сил свободное тело находится в покое, то такая система сил называется уравновешенной, или системой, эквивалентной нулю.

Если система сил эквивалентна одной силе, го эта сила называется равнодействующей данной системы сил.

Сила, приложенная к телу в какой-нибудь одной точке, называется сосредоточенной силой. Силу, действующую на определенную часть поверхности тела, называют распределенной.

Все теоремы и уравнения статики базируются на нескольких исходных положениях, принимаемых без математических доказательств и называемых аксиомами. Аксиомы статики представляют собой результат знаний, накопленных человечеством, и отражают объективные процессы. Справедливость этих аксиом подтверждается многочисленными опытами и наблюдениями.

  • Аксиома 1. Две силы Теоретическая механика статика действующие на свободное абсолютно твердое тело, находятся в равновесии тогда и только тогда, когда они равны но модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.3).
  • Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Теоретическая механика статика

Следствие из аксиом 1 и 2: точку приложения силы, действующей на абсолютно твердое тело, можно переносить вдоль ее линии действия в любую другую точку тела. Предположим, что в точке Теоретическая механика статика к твердому телу приложена сила Теоретическая механика статика (рис. 1.4). Приложим в точке Теоретическая механика статика две силы Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика равные по модулю силе Теоретическая механика статика и направленные по ее линии действия в противоположные стороны. По аксиоме 2 можно отбросить уравновешенную систему сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика В результате на тело теперь действует сила Теоретическая механика статика равная силе Теоретическая механика статика но приложенная в точке Теоретическая механика статика.

Аксиома 3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, являющуюся диагональю параллелограмма построенного на этих силах как на сторонах. Вектор Теоретическая механика статика (рис. 1.5) представляет собой геометрическую сумму векторов Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Из аксиомы 3 следует, что равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, равна их геометрической сумме и приложена в той же точке.

  • Аксиома 4. Два материальных тела действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположно направленными. Такая система сил не является уравновешенной, так как силы приложены к разным телам.
  • Аксиома 5. Если деформируемое тело находится в равновесии под действием данной системы сил, то равновесие не нарушится, если тело станет абсолютно твердым.

Эта аксиома называется аксиомой затвердевания. Из аксиомы 5 следует, что это условие, являясь необходимым и для абсолютно твердого тела, и для деформируемого, не является для последнего достаточным. В главе 2 данного учебника будет рассматриваться достаточность равновесия деформируемых тел.

Связи и их реакции

Тело, которое может совершать любые перемещения в пространстве, называется свободным. Примерами свободного тела могут служить самолет или снаряд, летящие в воздухе. В различного рода сооружениях и конструкциях мы обычно встречаемся с телами, на перемещения которых наложены ограничения. Такие тела называются несвободными. Тело, ограничивающее свободу движения твердого тела, является по отношению к нему связью. Если приложенные к телу силы будут стремиться сдвинуть его в том или ином направлении, а связь препятствует такому перемещению, то тело будет воздействовать на связь с силой давления на связь. По аксиоме 4 связь будет действовать на тело с такой же силой, но противоположно направленной. Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тому или иному перемещению, называется силой реакции связи.

Из изложенного следует принцип освобождаемости твердого тела от связи, или аксиома связи: всякое несвободное тело (рис. 1.6, о) можно рассматривать как свободное, если мысленно отбросить наложенные на тело связи и приложить вместо них силы реакции этих связей (рис. 1.6, б).

Силы, действующие на тела, будем разделять на заданные, или активные силы, и реакции связей, или пассивные силы.

Активные силы характеризуются тем, что модуль и направление каждой силы наперед известны и не зависят от действия других приложенных к данному телу сил. Примерами активных сил могут служить мускульная сила человека, сила тяжести, сила сжатой пружины.

Реакции связи на покоящееся тело возникают лишь в тех случаях, когда это тело под действием активных сил оказывает давление на связь, поэтому они и называются пассивными силами. По аксиоме связи реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Следовательно, если известно, в каком направлении связь препятствует перемещению твердого тела, то известно и направление реакции связи.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся типы связей.

1. Гладкая поверхность или плоскость. Гладкой будем называть такую поверхность, на которой в первом приближении можно пренебречь трением. Связь в виде гладкой поверхности не дает телу перемещаться только в одном направлении — перпендикулярном к этой поверхности.

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Поэтому реакция гладкой поверхности Теоретическая механика статика направлена по нормали к этой поверхности и приложена к телу в точке касания (см. рис. 1.6, б). На рис. 1.6, б тело изображено освобожденным от связи. В дальнейшем при рассмотрении равновесия несвободного тела реакцию связи будем изображать так, как показано на рис. 1.7, не перерисовывая его. На этом рисунке показаны связи в виде гладких выпуклой (рис. 1.7. а) и вогнутой (рис. 1.7, в) поверхностей, а на рис. 1.7, б и 1.8, б, в — в виде плоской гладкой поверхности.

2. Гладкая опора. Связь, осуществленная в виде гладкой опоры, не дает телу перемещаться в направлении, перпендикулярном к поверхности тела в точке опоры (рис, 1.8). Видно, что реакция гладкой опоры направлена по нормали к опирающейся поверхности и приложена к телу в точках касания Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

3. Нить. Связь, осуществляемая в виде гибкой нити (рис, 1.9), не позволяет телу удаляться от точки привеса Теоретическая механика статика поэтому реакция связи Теоретическая механика статика всегда направлена вдоль нити к точке ее закрепления.

4. Цилиндрический шарнир. На рис. 1.10 изображена шарнир-но неподвижная опора вала, ось которого проходит через шарнир А перпендикулярно к плоскости чертежа.

Теоретическая механика статика

Цилиндрический шарнир А допускает вращение вала, но препятствует его перемещению в плоскости Теоретическая механика статика поэтому реакция цилиндрического шарнира Теоретическая механика статика расположена в плоскости, перпендикулярной оси возможного вращения, и ее направление определяют две взаимно-перпендикулярные проекции на оси Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

5. Невесомый стержень. Жесткий невесомый (массой его пренебрегают) стержень, шарнирно прикрепленный к телу (рис. 1.11, о), испытывает действие только двух сил, приложенных в шарнирах Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика (рис. 1.11, б). Как и вся конструкция, стержень Теоретическая механика статика находится в равновесии. Если стержень находится в равновесии под действием двух сил, то в соответствии с аксиомой 1 статики эти силы должны быть равны по модулю, но противоположно направлены по одной линии действия, т. е. Теоретическая механика статика а их модули Теоретическая механика статика В отличие от нити стержень может действовать на тело в двух направлениях, испытывая либо сжатие (см. рис. 1.11,6), либо растяжение.

6. Жесткая заделка. Заделка (рис. 1.12) исключает возможность любых перемещений вдоль осей Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика а также поворот в плоскости Теоретическая механика статика поэтому такую связь заменяют реакцией Теоретическая механика статика (или ее проекциями Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика) и моментом в заделке Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Плоская система сил

Система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости, называется плоской.

Плоскую систему могут образовывать произвольно расположенные силы, пары сил и силы, сходящиеся в одной точке. Рассмотрим равновесие системы сходящихся сил.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 1.13, а). Существуют два способа сложения сходящихся сил: геометрический (рис. 1.13, б) и аналитический (рис. 1.13, д).

Геометрический способ сложения сходящихся сил. От произвольной точки Теоретическая механика статика откладываем вектор, равный силе Теоретическая механика статика от конца Теоретическая механика статика откладываем вектор, равный силе Теоретическая механика статика и т.д. (см. рис. 1.1З, а, б). Затем, соединяя начало вектора Теоретическая механика статика с концом последнего Теоретическая механика статика получаем равнодействующую всех сил. Построенная фигура называется силовым многоугольником.

Аналитический способ сложения сходящихся сил. Проецируя векторное равенство Теоретическая механика статика на оси координат (см. рис. 1.13, я), получим два алгебраических равенства:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

или

Теоретическая механика статика

Отсюда определим значение равнодействующей всех сходящихся сил

Теоретическая механика статика

и направление вектора Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Условием равновесия системы сходящихся сил является равенство нулю модуля равнодействующей Теоретическая механика статика т.е. силовой многоугольник должен быть замкнут (при геометрическом способе сложения) или проекции равнодействующей силы на оси координат должны быть равны нулю Теоретическая механика статика (при аналитическом способе). Отсюда для плоской системы сходящихся сил получим два уравнения равновесия

Теоретическая механика статика

Следовательно, для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из осей координат была равна нулю.

Пример решения задачи 1.1

Определить натяжение нитей, удерживающих тело весом Теоретическая механика статика в равновесии (рис. 1.14, а).

Решение.

При решении задач статики следует придерживаться определенной последовательности. В данном примере подробно изложен порядок решения задач такого типа.

1. Сделать схематический чертеж конструкции. Выбрать объект (узел, стержень или твердое тело), равновесие которого следует рассмотреть, причем искомые и заданные величины должны быть с ним связаны. В данной задаче исходные данные {вес, углы Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика) и искомые величины (натяжение нитей) связаны с телом весом Теоретическая механика статика т.е. оно является объектом равновесия.

Теоретическая механика статика

2. Освободиться от связей и приложить к рассматриваемому объекту равновесия все активные и пассивные силы. К этому этапу решения задачи следует отнестись особенно внимательно. Уравнения равновесия, изучаемые в статике, приводятся только для свободных тел, поэтому следует хорошо обдумать, какие реакции связей при освобождении от последних нужно проставить на чертеже.

В данном случае связями являются нити Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика При освобождении от связей заменяем их соответственно натяжениями нитей Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика (рис. 1.14, б).

3. Проанализировать полученную систему сил. Тело находится в равновесии под действием плоской системы сходящихся сил (линии их действия пересекаются в центре шара). Для такой системы сил можно записать два уравнения равновесия. Число неизвестных в этих уравнениях также равно двум, следовательно, задача статически определима.

4. Записать условия равновесия в векторной (графической) или аналитической форме. Найти неизвестные величины.

В данной задаче используем аналитический метод решения. Записываем уравнения равновесия плоской системы сходящихся сил:

Теоретическая механика статика

Решив полученную систему уравнений, вычислим натяжение нитей.

Момент силы относительно точки

Сила, действующая на тело, может не только поступательно смещать его, но и поворачивать вокруг какой-нибудь точки. Пусть сила Теоретическая механика статика приложенная в точке Теоретическая механика статика стремится повернуть тело вокруг точки Теоретическая механика статика (рис, 1.15). Поскольку силу можно переносить по линии ее действия, то вращательный эффект этой силы не зависит от того, в какой точке эта сила приложена, а определяется расстоянием Теоретическая механика статика от точки Теоретическая механика статика до линии действия силы.

Моментом силы Теоретическая механика статика относительно некоторого центра Теоретическая механика статика называется величина, равная произведению силы на кратчайшее расстояние от точки Теоретическая механика статика до линии действия силы и взятая с соответствующим знаком. Знак «Теоретическая механика статика» соответствует моменту силы, которая стремится повернуть тело вокруг точки Теоретическая механика статика против хода часовой стрелки. а знак «Теоретическая механика статика» — если сила стремится повернуть тело по направлению движения часовой стрелки. Если линия действия силы проходит через точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

Перпендикуляр, опущенный из точки Теоретическая механика статика на линию действия силы Теоретическая механика статика называется ее плечом относительно центра Теоретическая механика статика.

Система двух равных по модулю, параллельных и противоположно направленных сил, приложенных к телу (рис. 1.16, а), называется парой сил.

Плечом пары Теоретическая механика статика (см. рис. 1.16, а) называется кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару. Моментом пары сил называется взятое со знаком «Теоретическая механика статика» или «Теоретическая механика статика» произведение модуля одной из сил на плечо пары.

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Свойства пары сил. 1. Сумма проекций на любую ось сил, образующих пару, равняется нулю (рис. 1.16, б):

Теоретическая механика статика

Следовательно, пару сил нельзя заменить равнодействующей.

Пример решения задачи 1.2

Вычислить моменты пар сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика (см. рис. 1.16, а и в), учитывая, что Теоретическая механика статика

Решение.

Момент пары сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика представленных на рис. 1.16, а:

Теоретическая механика статика

2. Сумма моментов сил, образующих пару, относительно любой точки плоскости, в которой расположена пара, равняется моменту пары (см. рис. 1.16, в):

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Приведение плоской системы сил к заданному центру

Пусть на твердое тело действует система сил Теоретическая механика статика (рис. 1.17, a).

Теоретическая механика статика

Приложим в точке Теоретическая механика статика по две уравновешенные силы, одна из которых будет равна и параллельна заданной: Теоретическая механика статика а другая — равна, но направлена в противоположную сторону: Теоретическая механика статика

Теперь на тело действуют система сходящихся сил Теоретическая механика статика и система пар сил с моментами Теоретическая механика статикаТеоретическая механика статикаТеоретическая механика статика Систему сходящихся сил заменяем равнодействующей (рис. 1.37, б):Теоретическая механика статика или (что вытекает из равенства Теоретическая механика статика и т.д.) Теоретическая механика статика В соответствии со вторым свойством пары сил найдем алгебраическую сумму моментов всех пар:

Теоретическая механика статика

Результат этих преобразований сформулирован в лемме Пуансо:

Произвольную плоскую систему сил можно заменить одной силой, равной геометрической сумме всех сил, приложенных в произвольно выбранном центре, и моментом, равным алгебраической сумме моментов присоединенных пар.

Полученная в результате приведения сила Теоретическая механика статика называется результирующей силой (она не является равнодействующей для заданной системы сил, так как не заменяет их действия), а Теоретическая механика статика — результирующим моментом.

Приняты следующие определения.

1, Точка Теоретическая механика статика называется центром приведения,

2. Вектор Теоретическая механика статика равный геометрической сумме всех сил, является главным вектором. Его значение не зависит от выбора центра приведения, т.е. Теоретическая механика статика — инвариантная величина.

3. Момент Теоретическая механика статика равный алгебраической сумме моментов присоединенных пар, называется главным моментом] его значение зависит от выбора центра приведения.

Частные случаи приведения

1. Теоретическая механика статика — система сил приводится к паре с моментом, равным алгебраической сумме моментов всех сил относительно центра приведения. В этом случае главный момент не зависит от центра приведения.

2. Теоретическая механика статика — система приводится к одной равнодействующей силе, приложенной в точке Теоретическая механика статика главный вектор в этом случае является равнодействующей, так как он один заменяет совокупность действующих сил.

3. Теоретическая механика статика — такая система сил может быть заменена одной равнодействующей силой, приложенной в новом центре приведения, расположенном от прежнего на расстоянии Теоретическая механика статика

4. Теоретическая механика статика — плоская система сил находится в равновесии.

Аналитические условия равновесия плоской системы сил.

Необходимыми и достаточными условиями равновесия являются Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика Спроецировав вектор Теоретическая механика статика на оси координат, получим

Теоретическая механика статика

Зная, что Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

получим аналитические условия равновесия произвольной плоской системы сил:

Теоретическая механика статика

Часто эти уравнения называют основными уравнениями равновесия. В зависимости от расположения сил иногда целесообразно составлять условия равновесия в виде двух уравнений моментов и одного уравнения проекций:

Теоретическая механика статика

В этом случае ось Теоретическая механика статика не должна быть перпендикулярна Теоретическая механика статика

Можно записать уравнения равновесия в виде трех уравнений моментов относительно трех точек Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика не лежащих на одной прямой:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Пример решения задачи 1.3

На ферму весом Теоретическая механика статика действует ветер с силой Теоретическая механика статика Определить реакции опор.

Решение.

1. За объект равновесия выбираем ферму.

2. Освобождаемся от связей и заменяем их действие реакциями (рис. 1.18).

3. В результате анализа полученной системы сил устанавливаем, что ферма находится в равновесии под действием произвольной плоской системы сил. Следовательно, существуют три уравнения равновесия. Сопоставив число неизвестных искомых величин Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика с числом уравнений, делаем заключение, что система статически определимая.

4. Записываем уравнения равновесия для конкретной задачи:

Теоретическая механика статика

5. Решая полученную систему уравнений, определяем:

Теоретическая механика статика

Отрицательное значение реакции Теоретическая механика статика означает, что ее направление противоположно принятому на рисунке.

Элементы теории трения

Давно известно, что при движении одного тела по поверхности другого в плоскости соприкосновения возникает сила сопротивления относительному скольжению этих тел. Первым явления трения исследовал Леонардо да Винчи. Точное определение силы трения с учетом всех факторов, от которых она зависит, представляет столь сложную задачу, что до сих пор не удается найти ее полного теоретического решения. Поэтому при изучении законов трения приходится основываться на результатах экспериментов.

Итак, законы трения были найдены опытным путем ив 1771 г, сформулированы французским ученым Кулоном.

Законы трения

1. Сила трения Теоретическая механика статика направлена в сторону, противоположную относительной скорости скольжения (рис. 1.19).

2. Сила трения не зависит от площади трущихся поверхностей.

3. Модуль силы трения пропорционален нормальному давлению.

Различают силу трения при покое и при движении:

Теоретическая механика статика - сила трения покоя;

Теоретическая механика статика - сила трения при движении,

где Теоретическая механика статика — сила нормального давления; Теоретическая механика статика — коэффициент трения покоя; Теоретическая механика статика — коэффициент трения скольжения. Максимальное значение силы трения Теоретическая механика статика

Из экспериментов известно, что коэффициент трения скольжения зависит от скорости движения тел. Коэффициенты Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика зависят от материала и физического состояния трущихся поверхностей (табл. 1.1).

Пример решения задачи 1.4

На стальной вал диаметром Теоретическая механика статика (рис. 1.20, а) действует крутящий момент Теоретическая механика статика Теоретическая механика статика Определить, с какой силой нужно сжать тормозные колодки, обтянутые кожей, чтобы остановить вал.

Теоретическая механика статика

Решение.

1. За объект равновесия выбираем вал.

2. Освобождаемся от связей и заменяем их реакциями: нормальной силой Теоретическая механика статика и силой трения

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика которые будут действовать на вал со стороны каждой колодки (рис. 1.20,6).

3. Поскольку число неизвестных не превышает числа уравнений равновесия плоской системы сил, то считаем, что задача статически определима.

4, Запишем одно из уравнений равновесия, а именно:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Отсюда Теоретическая механика статика

5. Искомую силу Теоретическая механика статика определяем из зависимости Теоретическая механика статика

В табл. 1.1 для пары кожа—металл коэффициент трения покоя рекомендуется принимать Теоретическая механика статика Таким образом,

Теоретическая механика статика

В зависимости от шероховатости поверхности значение силы трения может колебаться от нуля до максимального значения, т. е. Теоретическая механика статика В этом случае реакция связи Теоретическая механика статика будет изменяться в интервале Теоретическая механика статика

Наибольший угол Теоретическая механика статика, на который полная реакция Теоретическая механика статика может отклоняться от нормали, называется углом трения:

Теоретическая механика статика

В зависимости от направления приложенной к телу силы максимальная реакция связи Теоретическая механика статика может иметь различные направления, образуя при этом геометрическое место в пространстве в виде конической поверхности с вершиной в точке касания тела, называемой конусом трения. Если приложенная к телу сила проходит внутри конуса трения, то тело находится в равновесии.

Трением качения, или трением второго рода, называют сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому. Рассмотрим цилиндрический каток радиусом Теоретическая механика статика и весом Теоретическая механика статика лежащий на шероховатой поверхности. Приложим в центре катка силу Теоретическая механика статика (рис. 1.21, а), которая будет меньше, чем Теоретическая механика статика Возникающая при этом сила трения Теоретическая механика статика препятствует скольжению точки Теоретическая механика статика по плоскости. В этом случае силы Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика уравновешиваются, а Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика образуют пару сил, под действием которой каток должен катиться по плоскости.

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

В действительности, если Теоретическая механика статика каток остается в состоянии покоя. Для объяснения этого явления в рассуждения необходимо внести следующие коррективы (рис. 1.21, б):

Теоретическая механика статика

Входящий в это выражение коэффициент к называется коэффициентом трения качения, он измеряется в сантиметрах (см). Следовательно, возникает момент силы трения качения

Теоретическая механика статика

Пространственная система сил

Пространственной будем называть систему сил, линии действия которых имеют любые направления в пространстве.

Вектором момента силы относительно некоторого центра называется векторное произведение радиуса-вектора точки приложения силы, проведенного из этого центра, на вектор силы (рис. 1.22). В соответствии с определением

Теоретическая механика статика

Из рис. 1.22 видно, что модуль вектора момента силы относительно центра Теоретическая механика статика будет равен моменту силы относительно точки Теоретическая механика статика, находящейся с этой силой в одной плоскости:

Теоретическая механика статика

Известно, что всякий вектор можно разложить по осям координат:

Теоретическая механика статика

так же можно разложить по осям координат радиус-вектор Теоретическая механика статика точки приложения силы и силу Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Выполнив действие Теоретическая механика статика получим

Теоретическая механика статика

Таким образом, проекции вектора момента силы на оси координат будут следующие:

Теоретическая механика статика

Направляющие косинусы вектора момента силы определяют его направление в пространстве:

Теоретическая механика статика

Проекции вектора момента силы на ось численно равны моменту силы относительно оси:

Теоретическая механика статика

Первые три уравнения являются аналитическим выражением для определения моментов силы относительно осей координат.

Пример решения задачи 1.5

Определить моменты сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика относительно осей координат, если известны точки приложения этих сил (рис. 1.23).

Решение.

1. Определяем моменты силы Теоретическая механика статика относительно осей координат: Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика (так как сила Теоретическая механика статика пересекает ось Оу);

Теоретическая механика статика (так как сила Теоретическая механика статика параллельна оси Теоретическая механика статика).

Теоретическая механика статика

2. Определяем моменты силы Теоретическая механика статика относительно осей координат:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика (так как сила Теоретическая механика статика параллельна оси Теоретическая механика статика);

Теоретическая механика статика

3. Вычисляем моменты силы Теоретическая механика статика относительно осей координат: Теоретическая механика статика (так как сила пересекает ось Теоретическая механика статика); Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Теорема о приведении пространственной системы сил к заданному центру. Всякая пространственная система сил, действующих на абсолютно твердое тело, может быть заменена одной силой, геометрически равной сумме всех действующих сил, приложенных в произвольно выбранном центре, и вектором-моментом, равным геометрической сумме моментов всех сил относительно центра приведения (рис. 1.24).

Доказательство, Пусть на твердое тело действует система сил, произвольно расположенных в пространстве. За центр приведения выбираем произвольную точку Теоретическая механика статика Приложим в этой точке уравновешенную систему сил Теоретическая механика статика и т. д, причем Теоретическая механика статика Заменим сходящуюся систему сил Теоретическая механика статика равнодействующей Теоретическая механика статика Затем вычислим моменты всех оставшихся сил относительно центра приведения Теоретическая механика статика Моменты сил Теоретическая механика статика относительно центра Теоретическая механика статика равны нулю, так как их плечо равно нулю. Векторы-моменты заданных сил относительно центра приведения будут равны:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Найдем геометрическую сумму этих векторов и получим главный вектор-момент:

Теоретическая механика статика

Таким образом, на твердое тело теперь действует одна сила Теоретическая механика статика и один момент Теоретическая механика статика т.е. система пространственных, произвольно расположенных сил сведена к одной результирующей силе Теоретическая механика статика и одному результирующему моменту Теоретическая механика статика Теорема доказана. Аналитическое выражение для определения главного вектора и главного момента. Главный вектор Теоретическая механика статика и главный момент Теоретическая механика статика были найдены геометрическим путем (построением векторных многоугольников). Для пространственной системы сил их проще определять аналитически. Принимаем центр приведения за начало координат. Тогда, проецируя на оси координат векторные равенства, получаем

Теоретическая механика статика

Частные случаи приведения

Любая произвольная пространственная система сил может быть заменена главным вектором и главным моментом. Рассмотрим возможные частные случаи.

1. Теоретическая механика статика — случай равновесия.

2. Теоретическая механика статика — система сил приводится к паре (твердое тело вращается).

3. Теоретическая механика статика — система сил приводится к равнодействующей, которая проходит через центр приведения (точку Теоретическая механика статика).

4 . Теоретическая механика статика — результирующая сила и результирующая пара сил лежат в одной плоскости, т.е. Теоретическая механика статика Это частный случай плоской системы сил. Ранее было показано, что такой случай может иметь равнодействующую, приложенную не в центре приведения, а в другой точке, отстоящей от него на расстоянии, равном Теоретическая механика статика Таким образом, пространственная система сил заменена одной равнодействующей, не проходящей через центр приведения.

5. Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика— система сводится к динамическому винту.

Аналитические условия равновесия пространственной системы сил. Необходимыми и достаточными условиями равновесия произвольной пространственной системы сил является равенство нулю главного вектора и главного момента:

Теоретическая механика статика

Поскольку Теоретическая механика статика то Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика должны быть равны нулю. Аналогичное рассуждение справедливо и для вектора главного момента. Следовательно, для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно:

Теоретическая механика статика

Пример решения задачи 1.6

Определить, какой груз сможет поднять человек, прикладывая усилие к веревке Теоретическая механика статика {рис. 1.25); определить также реакции опор.

Решение.

1. За объект равновесия выбираем вал Теоретическая механика статика

2. Освобождаем вал от связей и заменяем их действие реакциями. Опоры Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика представляют собой цилиндрические шарниры, которые препятствуют перемещению только в радиальном направлении, поэтому в точках Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика прикладываем в радиальных направлениях реакции Теоретическая механика статикаТеоретическая механика статика и Теоретическая механика статика Веревку «обрываем» чуть выше ролика Теоретическая механика статика и заменяем натяжением нити Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

3. Теперь можно рассматривать равновесие свободного тела под действием активных и пассивных сил. Из шести уравнений равновесия произвольной системы пространственных сил остается только пять, так как сумма проекций сил на ось Теоретическая механика статика тождественно равна нулю. Задача представляется статически определимой, так как неизвестных величин тоже пять: Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

4. Составляем уравнения равновесия пространственной системы сил:

Теоретическая механика статика

5. Подставив в предпоследнее уравнениеТеоретическая механика статика получим, что вес груза Теоретическая механика статика

Из последнего уравнения определим реакцию Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Подставляя полненные значения Теоретическая механика статика в оставшиеся уравнения, найдем Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Отрицательный знак реакции Теоретическая механика статика означает, что она направлена в противоположную указанной на рисунке сторону.

Определение центра тяжести

Центр тяжести твердого тела

Силы притяжения отдельных частиц тела направлены к центру Земли. Так как размеры рассматриваемых тел малы по сравнению с радиусом Земли, то эти силы можно считать параллельными. Равнодействующая этих параллельных сил, равная их сумме, есть вес; тела, а центр этой системы параллельных сил, в котором приложен вес тела, называется центром тяжести тела. Чтобы найти положение центра тяжести тела, необходимо изучить, как складываются параллельные силы и определяются координаты точки приложения их равнодействующей.

Сложение параллельных сил

Допустим, что на тело действует система параллельных сил Теоретическая механика статика Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика {рис. 1,26), причем Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика действуют в одну сторону, а Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика — в противоположную. Для сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика найдем такой центр приведения, относительно которого результирующий момент будет равен нулю:

Теоретическая механика статика

Отсюда Теоретическая механика статика Модуль результирующей силы, приложенной в точке Теоретическая механика статика будет равен Теоретическая механика статика

Аналогично найдем Теоретическая механика статика и ее точку приложения Теоретическая механика статика

Приведем силы Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика к центру приведения Теоретическая механика статика положение которого определится из соотношения Теоретическая механика статика

Результирующая сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика будет равна их геометрической сумме, т. е. Теоретическая механика статика

Поскольку векторы сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика параллельны и противоположно направлены, то модуль Теоретическая механика статика будет равен Теоретическая механика статика

Если Теоретическая механика статика то всегда можно найти такую точку, в которой будет приложена равнодействующая Теоретическая механика статика. всех параллельных сил. Эта точка называется центром параллельных сил.

Теоретическая механика статика

Координаты центра параллельных сил. Положение центра параллельных сил относительно начала координат определяется радиусом-вектором г или его проекциями на оси координат, что равнозначно координатам центра параллельных сил Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика

Теорема о моменте равнодействующей (теорема Варинъона). Приложим в точке Теоретическая механика статика силу Теоретическая механика статика (см. рис. 1.26). Тогда система будет находиться в равновесии. Теперь определим момент всех сил относительно точки Теоретическая механика статика Очевидно, он равен нулю, так как система сил находится в равновесии:

Теоретическая механика статика

Но так как Теоретическая механика статика то

Теоретическая механика статика

или

Теоретическая механика статика

Правая часть равенства представляет собой выражение для момента равнодействующей, а левая часть — это геометрическая сумма моментов всех сил относительно той же точки. Отсюда следует, что момент равнодействующей относительно любого центра равен геометрической сумме векторов-моментов слагаемых сил относительно того же центра.

Эта теорема о моменте равнодействующей называется теоремой Вариньона.

Спроецировав векторное равенство Теоретическая механика статика на оси координат, получим формулы для определения моментов равнодействующей относительно осей координат:

Теоретическая механика статика

Величина равнодействующей параллельных сил не изменится, если все силы повернуть параллельно оси Теоретическая механика статика В этом случае момент равнодействующей относительно оси Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Аналогичным образом вычислим и другие координаты центра параллельных сил:

Теоретическая механика статика

Координаты центра тяжести твердого тела. Если в формулах для определения координат центра параллельных сил вместо Теоретическая механика статика Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика подставитьТеоретическая механика статика и Теоретическая механика статика то получим зависимости для определения координат центра тяжести тела:

Теоретическая механика статика

где Теоретическая механика статика — соответственно масса и объем каждой частицы твердого тела; Теоретическая механика статика — соответственно полная масса и объем однородного тела.

Для плоской фигуры площадью Теоретическая механика статика имеющей постоянную толщину Теоретическая механика статика элементарные объемы Теоретическая механика статика можно выразить через элементарные площади Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Тогда координаты центра тяжести этой фигуры определятся следующим образом:

Теоретическая механика статика

Существует также понятие «центр масс», справедливое для любого силового поля; координаты центра масс вычисляют по формулам

Теоретическая механика статика

Таким образом, центр тяжести (или центр масс) — это геометрическая точка Теоретическая механика статика которая в частных случаях может лежать вне пределов самого тела; например, центр тяжести кольца лежит на пересечении его осей симметрии, т. е. вне тела.

Пример решения задачи 1.7

Найти координаты центра тяжести однородной пластины, изображенной на рис. 1.27, а. Толщина пластины постоянная.

Решение.

!. Поскольку однородная пластина имеет постоянную толщину, то можно воспользоваться формулами для определения положения центра тяжести плоской фигуры.

2. Разбиваем пластику на три простейшие геометрические фигуры (рис. 1.27, б), координаты центров тяжести которых известны.

3. Выбираем систему координат, как указано на чертеже.

4. Заносим в табл. 1.3 результаты вычислений; каждому прямоугольнику соответствует строка таблицы.


Теоретическая механика статика

5. Суммируем значения Теоретическая механика статика и записываем результаты в нижней строке.

6. Вычисляем координаты центра тяжести пластины:

Теоретическая механика статика

7. По вычисленным координатам строим центр тяжести Теоретическая механика статика пластины.

Теоретическая механика статика

Способы определения положения центров тяжести

Способ разбиения на фигуры, положение центров тяжести которых известно, применяется в случаях, когда тело можно разбить на конечное число простых элементов.

Способ дополнения является частным случаем способа разбиения. Применяется, когда тело можно разбить на простейшие фигуры, положения центров тяжести которых известны, но некоторые из геометрических фигур представляют собой пустоты.

Пример решения задачи 1.8

Найти положение центра тяжести поперечното сечения вала диаметром Теоретическая механика статика в котором высверлено отверстие диаметром Теоретическая механика статика (рис. 1.28].

Решение.

1. Поскольку нужно найти центр тяжести поперечного сечения, то воспользуемся формулами для определения центра тяжести плоской фигуры.

2. Дополняем площадь поперечного сечения площадью высверленного отверстия (так как в действительности этот элемент отсутствует, в формуле площадь отверстия берется с отрицательным знаком):

Теоретическая механика статика

3. Начало системы координат расположим в центре окружности радиуса Теоретическая механика статика т.е. в точке Теоретическая механика статика

4. Заполняем табл. 1.4.

5. Суммируем Теоретическая механика статика и Теоретическая механика статика после чего записываем результаты в нижней строке.

6. Вычисляем координаты центра тяжести поперечного сечения:

Теоретическая механика статика

а Теоретическая механика статика так как ось Теоретическая механика статика является осью симметрии этого сечения.

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

7. По вычисленным координатам поперечного сечения строим его центр тяжести Теоретическая механика статика

Способ интегрирования применяется в случаях, когда для определения положения центра тяжести не могут быть применены первые два способа.

Экспериментальный способ осуществляется двумя методами — подвешивания и взвешивания.

Метод подвешивания заключается в том, что плоское тело, которое нельзя разбить на простейшие фигуры с известным положением центров тяжести, подвешивают на нити. Вдоль этой нити на плоскости тела прочерчивают линию. Затем эту плоскую фигуру подвешивают за другую точку, после чего вновь проводят вертикальную линию (вдоль линии подвеса). В точке пересечения этих двух линий и находится центр тяжести.

Метод взвешивания обычно применяется для крупных изделий: самолетов, вертолетов и других машин. Если известна масса, например, самолета, то на весы ставят задние колеса (рис. 1.29) и по показанию весов определяют реакцию Теоретическая механика статика Затем записывают одно из уравнений равновесия; удобнее пользоваться уравнением суммы моментов относительно точки Теоретическая механика статика

Теоретическая механика статика

Отсюда находят искомую величину Теоретическая механика статика т. е. положение центра тяжести самолета: