Разделы теоретической механики

Содержание:

  1. Статика
  2. Плоская система сходящихся сил
  3. План решения
  4. Пример решения задачи №1.
  5. Произвольная плоская система сил
  6. План решения
  7. Пример решения задачи №2.
  8. Равновесие при наличии трения
  9. План решения
  10. Пример решения задачи №3.
  11. Пространственная система сил
  12. План решения
  13. Пример решения задачи №4.
  14. Центр тяжести
  15. План решения
  16. Пример решения задачи №4.
  17. Кинематика
  18. Кинематика точки
  19. План решения
  20. Пример решения задачи №6.
  21. Вращательное движение тела
  22. План решения
  23. Пример решения задачи №7.
  24. Плоское движение тела
  25. План решения
  26. Пример решения задачи №8.
  27. Сложное движение точки
  28. План решения
  29. Пример решения задачи №9.
  30. Сферическое движение тела
  31. План решения
  32. Пример решения задачи №10.
  33. Динамика
  34. Динамика точки
  35. Пример решения задачи №11.
  36. Динамика системы
  37. План решения
  38. Пример решения задачи №12.
  39. Аналитическая механика
  40. План решения
  41. Пример решения задачи №13.
  42. Малые колебания системы
  43. План решения
  44. Пример решения задачи №14.

Статика

В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства систем сил, необязательно находящихся в равновесии.

Задачи статики можно условно разделить на три типа: задачи на равновесие системы сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (глава 1), задачи произвольной плоской системы сил (главы 2,3) и задачи пространственной системы сил (глава 4).

  • Нахождение координат центра тяжести (глава 5) тоже считается задачей статики. Хотя силы в этой задаче явно не присутствуют, основные формулы задачи следуют из уравнений равновесия системы параллельных сил.

Искомыми величинами в задачах статики могут быть реакции опор, усилия в элементах конструкций, геометрические (размеры, углы) и материальные (вес, коэффициент трения) характеристики систем. В статически определимых задачах число уравнений равновесия совпадает с числом неизвестных. Именно такие задачи и будут рассмотрены в этой части.

Для решения задач статики потребуются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси. Напомним, что проекция вектора силы Разделы теоретической механики на ось Разделы теоретической механики определяется по формуле Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Общее определение момента Разделы теоретической механики силы Разделы теоретической механики относительно точки Разделы теоретической механики дается векторным произведением

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки Разделы теоретической механики Модуль момента вычисляем по формуле Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики —угол между векторами Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Направление вектора момента вычисляется по правилу векторного произведения. Плечо Разделы теоретической механики силы относительно точки Разделы теоретической механики — это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы: Разделы теоретической механики

Вектор момента перпендикулярен плоскости, в которой располагаются силы. Поэтому в задачах статики плоской системы сил момент можно рассматривать как скалярную величину — величину проекции вектора момента на нормаль к плоскости (ось Разделы теоретической механики). Индекс Разделы теоретической механики для сокращения записи часто опускают и отождествляют момент силы Разделы теоретической механики относительно точки на плоскости со скалярной величиной — Разделы теоретической механики Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы относительно точки в плоских задачах статики. Для вычисления момента силы относительно точки Разделы теоретической механики (рис. 1) сначала находим проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле Разделы теоретической механики Другой способ вычисления момента: Разделы теоретической механики — плечо силы относительно точки Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный. На рис. 2 момент силы Разделы теоретической механики относительно точки Разделы теоретической механики отрицательный. Если сила или линия ее действия пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

При решении задач пространственной статики (§ 4.3 - § 4.6) требуется вычислять момент силы относительно оси, или, что то же, проекцию момента силы относительно точки (1) на ось, проходящую через нее. Иногда эту величину удобнее искать как момент проекции Разделы теоретической механики силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 3). Знак определяем по направлению вращения вокруг оси с точки зрения наблюдателя, находящегося на конце оси. Если вращение происходит по часовой стрелке, то момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика решебник

Репетитор теоретическая механика

Теоретическая механика работа силы, тяжести, трения, мощности

Курс теоретической механики

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее, т.е., если сила и ось лежат в одной плоскости.

Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — это совокупность двух равных параллельных противоположно направленных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил относительно некоторой точки. Легко показать, что положение точки не существенно и на момент не влияет, поэтому момент пары является свободным вектором. Напомним, что вектор силы является вектором скользящим. В зависимости от знака момента пары на плоскости изображать пару будем изогнутой стрелкой Разделы теоретической механики или Разделы теоретической механики Не путать эту стрелку с вектором пары! Вектор пары перпендикулярен ее плоскости.

Плоская система сходящихся сил

Постановка задачи. Плоская шарнирно-стержне вая конструкция закреплена на неподвижном основании и нагружена в шарнирах силами. Найти усилия в стержнях.

План решения

Рассматриваем равновесие внутренних шарниров системы, не соединенных с неподвижным основанием. Такие шарниры будем называть узлами. Действие каждого стержня заменяем его реакцией — силой, направленной из узла к стержню. Усилие — это проекция реакции стержня на внешнюю нормаль к сечению. Если в результате решения задачи реакция стержня, приложенная таким образом к узлу, оказывается отрицательной, то стержень сжат, в противном случае стержень растянут.

1. Вырезаем узел, соединенный только с двумя стержнями. Действие стержней заменяем их реакциями.

2. Для полученной системы сходящихся сил составляем уравнения равновесия в проекциях на выбранные для этого узла оси.

3. Решаем систему двух линейных уравнений и находим искомые усилия.

4. Вырезаем очередной узел системы, тот, к которому подходят не более двух стержней с неизвестными усилиями. Составляем и решаем уравнения равновесия в проекциях на оси, выбранные для этого узла. Этот пункт плана выполняем несколько раз для всех узлов до нахождения всех усилий.

5. Для проверки решения мысленно отделяем конструкцию от основания, заменяя действие рассеченных стержней найденными реакциями. Проверяем выполнение условий равновесия полученной системы сил.

Замечание 1. Существуют фермы *) , у которых к каждому узлу присоединены более двух стержней. Например, на рис. 4 изображена конструкция (сетчатая ферма В.Г.Шухова), к каждому узлу которой подходит по три стержня. Диагональные стержни расположены в разных плоскостях и не пересекаются.

Здесь нельзя определять усилия по предложенной схеме, переходя от одного узла к другому, так как нет узла, с которого можно начать расчет. В этом случае сначала составляются уравнения равновесия отдельных узлов, а потом совместно решается система полученных уравнений. Систему можно решать любым известным способом (Ре-шебник ВМ, §2.1).

Разделы теоретической механики

Замечание 2. Для упрощения уравнений равновесия одну из осей координат можно направить вдоль стержня с неизвестным усилием. Для каждого узла можно выбрать свою систему координат.

Замечание 3. Углы между осями и векторами усилий легче определять, если проводить через узлы вспомогательные вертикальные или горизонтальные прямые.

Пример решения задачи №1.

Плоская шарнирно-стержневая конструкция закреплена на неподвижном основании шарнирами Разделы теоретической механики и нагружена в шарнире Разделы теоретической механики горизонтальной силой Разделы теоретической механики (рис. 5). Даны углы: Разделы теоретической механики Найти усилия в стержнях.

Решение

Конструкция состоит из шести стержней, соединенных тремя шарнирами (узлами). Узлы фермы находятся в равновесии. Для каждого узла Разделы теоретической механики составляем по два уравнения равновесия в проекциях на выбранные оси. Из шести уравнений находим шесть искомых усилий.

1. Решение задачи начинаем с рассмотрения узла Разделы теоретической механики так как этот узел соединен только с двумя стержнями Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики При вырезании узла действие каждого стержня заменяем силой, направленной из шарнира к стержню (рис. б).

2. Составляем уравнения равновесия. Для упрощения уравнений ось Разделы теоретической механики направляем по стержню Разделы теоретической механики Получаем

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — проекции силы Разделы теоретической механики на ось Разделы теоретической механики а Разделы теоретической механики — проекции силы Разделы теоретической механики на ось Разделы теоретической механики

3. Решаем уравнения. Из первого уравнения системы находим усилие Разделы теоретической механики из второго — усилие Разделы теоретической механики

4. Рассматриваем узел Разделы теоретической механики К нему подходят три стержня (рис. 7).

Разделы теоретической механики

Усилие в одном из них уже известно Разделы теоретической механики Усилия в двух других находим из уравнений для проекций:

Разделы теоретической механики

Находим Разделы теоретической механики

Составляем уравнения равновесия узла Разделы теоретической механики в проекциях на оси, направленные по стержням Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики (рис. 8):

Разделы теоретической механики

Решая уравнения, получаем: Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

5. Проверка. Рассматриваем равновесие конструкции в целом.

Разделы теоретической механики

Горизонтальным сечением отсекаем ферму от основания. Действия стержней заменяем силами, которые направляем, как и раньше, по внешним нормалям к сечениям стержней, т.е. вниз (рис. 9).

Система сил, действующих на ферму, не является сходящейся. Для такой системы справедливы три уравнения равновесия, одно из которых — уравнение моментов. Составление уравнения моментов — тема задач статики произвольной плоской или пространственной системы сил (§2.1 - 3.2). Для того, чтобы не выходить за пределы темы поставленной задачи, в решении которой используются только уравнения проекций, составим два уравнения проекций на оси Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики всех сил, действующих на ферму целиком:

Разделы теоретической механики

Суммы равны нулю. Это подтверждает правильность решения. Результаты расчетов заносим в таблицу:

Разделы теоретической механики

Произвольная плоская система сил

Постановка задачи. Тяжелая однородная рама расположена в вертикальной плоскости и опирается на неподвижный шарнир и наклонный невесомый стержень. К раме приложены внешние сосредоточенные силы и моменты. Учитывая погонный вес рамы, найти реакции опор.

План решения

1. Согласно аксиоме о связях, освобождаем раму от связей. Действие опор заменяем их реакциями. Выбираем систему координат. В неподвижном шарнире имеются две неизвестные составляющие реакции (горизонтальная и вертикальная), а в невесомом опорном стержне — одна неизвестная реакция, направленная вдоль стержня. Все наклонные силы раскладываем на составляющие вдоль осей координат.

2. К центру каждого участка рамы прикладываем его силу тяжести, вьчисленную по формуле Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — длина участка, Разделы теоретической механики — погонный вес рамы (вес единицы длины стержня, из которого составлена рама).

3. Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на раму, относительно неподвижного шарнира. Определяем из этого уравнения реакцию опорного стержня.

4. Составляем уравнения проекций всех сил на оси Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Из этих уравнений определяем составляющие реакции неподвижного шарнира (горизонтальную и вертикальную).

5. Выполняем проверку решения, составляя уравнение моментов относительно какой-либо точки, не лежащей на линиях действия искомых реакций.

Пример решения задачи №2.

Тяжелая однородная рама расположена в вертикальной плоскости и опирается на неподвижный шарнир Разделы теоретической механики и наклонный невесомый стержень Разделы теоретической механики К раме приложены внешние сосредоточенные силы Разделы теоретической механики и момент Разделы теоретической механики Дано: Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики (рис. 20). Учитывая погонный вес рамы Разделы теоретической механики найти реакции опор.

Разделы теоретической механики

Решение

1. Освобождаем раму от связей. Действие опор заменяем их реакциями (рис. 21). Выбираем систему координат с началом в точке Разделы теоретической механики В неподвижном шарнире Разделы теоретической механики реакция Разделы теоретической механики имеет две неизвестные компоненты Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Невесомый опорный стержень в шарнире Разделы теоретической механики заменяем на его реакцию, направленную по стержню (т.е. под углом Разделы теоретической механики к горизонту).

2. К центру каждого участка рамы (всего четыре прямолинейных участка) прикладываем его силу тяжести, вычисленную по формуле Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — длины отрезков рамы Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики — погонный вес рамы.

Разделы теоретической механики

3. Составляем уравнение моментов относительно шарнира Разделы теоретической механики выделяя в нем для удобства счета отдельные слагаемые:

Разделы теоретической механики

Момент Разделы теоретической механики реакции опоры

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — плечо реакции Разделы теоретической механики взятое со знаком момента.

Моменты сил Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики и момент тяжести Разделы теоретической механики сил тяжести участков:

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Вычисляя величины сил тяжести участков

Разделы теоретической механики

получаем Разделы теоретической механики

В итоге уравнение моментов (1) принимает вид

Разделы теоретической механики

Отсюда находим реакцию стержня

Разделы теоретической механики

4. Реакции Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики определяем из уравнений проекций:

Разделы теоретической механики

Ответы заносим в таблицу.

Разделы теоретической механики

5. Проверка. Составляем сумму моментов всех сил, действующих на раму, включая найденные реакции опор, относительно произвольной точки, например, Разделы теоретической механики Этот выбор оправдывается тем, что в уравнение моментов войдут все найденные реакции, а известная сила Разделы теоретической механики не войдет (ее проверять не требуется), и уравнение будет на два слагаемых короче

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Равновесие при наличии трения

Постановка задачи. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Одна из опор конструкции представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с трением. Коэффициент трения, размеры конструкции и часть внешних нагрузок заданы. Найти пределы изменения одной из внешних нагрузок, действующей на конструкцию в условии равновесия.

План решения

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Прикчадываем к этой опоре силу трения, направляя ее в сторону противоположную возможному движению. Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры Разделы теоретической механики по формуле Кулона Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условии задачи.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на две отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия (§ 2.4, § 2.5). Из решения определяем предельное значение нагрузки для заданного направления скольжения опоры.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Предыдущий пункт плана выполняем заново и определяем другое предельное значение нагрузки. Два найденных значения нагрузки определяют ту область ее изменения, при которой конструкция находится в равновесии.

Пример решения задачи №3.

Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в точке Разделы теоретической механики (рис. 52). Опора Разделы теоретической механики представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения Разделы теоретической механики опора Разделы теоретической механики — неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом Разделы теоретической механики сила Разделы теоретической механики под углом Разделы теоретической механики Размеры даны в метрах. Найти пределы изменения нагрузки Разделы теоретической механики действующей под углом Разделы теоретической механики на конструкцию, в условии равновесия.

Разделы теоретической механики

Решение.

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Предполагая возможное движение ползуна Разделы теоретической механики влево, силу трения Разделы теоретической механики направим направо (рис. 53). Предельное значение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры Разделы теоретической механики по формуле Кулона: Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — коэффициент трения.

Разделы теоретической механики

2. Рашаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру Разделы теоретической механики на две отдельные части — Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Реакции шарнира Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке Разделы теоретической механики прикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Действие ползуна заменяем нормальной реакцией Разделы теоретической механики направленной вниз, так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Разделы теоретической механики Из множества комбинаций уравнений равновесия (§ 2.4, с. 60) выберем уравнение моментов относительно точки Разделы теоретической механики для всей системы в целом (рис. 53) и сумму моментов относительно Разделы теоретической механики для правой части:

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Разделы теоретической механики Решение системы имеет вид

Разделы теоретической механики

При Разделы теоретической механики получаем Разделы теоретической механики Эта нагрузка для движения влево является предельной.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун Разделы теоретической механики движется вправо. Силу Разделы теоретической механики направим в противоположную сторону. Очевидно, знак момента силы Разделы теоретической механики в уравнениях (2) изменится на противоположный, следовательно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при Разделы теоретической механики Формально подставляя в (3) Разделы теоретической механики получим Разделы теоретической механики Значения Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики являются границами области равновесия.

Чтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим Разделы теоретической механики при Разделы теоретической механики Действительно, из (3) имеем Разделы теоретической механики

Из выражения (3) для Разделы теоретической механики также следует, что при Разделы теоретической механики нормальная реакция Разделы теоретической механики поэтому отрыв ползуна Разделы теоретической механики от поверхности невозможен. Таким образом, рама находится в равновесии при Разделы теоретической механики

где

Разделы теоретической механики

Этим нагрузкам соответствуют следующие значения нормальной реакции: Разделы теоретической механики

Замечание. Неравенство Разделы теоретической механики не является обязательным.

Пространственная система сил

Постановка задачи. Определить усилия в стержнях пространственной фермы, нагруженной в одном узле силами.

План решения

Задача является естественным обобщением задачи § 1.1, с. 14, в которой методом вырезания узлов определялись усилия в простейшей плоской ферме. Этот же метод применим и здесь, единственное отличие — вместо двух уравнений равновесия узла в проекциях на оси в пространственной задаче будет три уравнения.

Разделы теоретической механики

1. Узлы фермы находятся в равновесии. Вырезаем узлы, заменяя действие стержней их реакциями. Реакцию незагруженного стержня направляем вдоль его оси. Используя правило знаков, согласно которому усилие растянутого стержня считается положительным, реакцию каждого стержня направляем из шарнира по направлению внешней нормали сечения стержня. Расчет начинаем с узла, к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями.

2. Для каждого из шарниров составляем по три уравнения равновесия в проекциях. Решаем полученную систему.

Пример решения задачи №4.

Найти усилия в стержнях 1-6 пространственной фермы, нагруженной в одном узле вертикальной силой Разделы теоретической механики и горизонтальной Разделы теоретической механики Даны размеры Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики (рис. 60).

Решение

1. Узлы Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики находятся в равновесии. Вырезаем эти узлы, заменяя действие стержней их реакциями, направленными из узла к стержню (рис. 61).

Разделы теоретической механики

Стержень 1 является общим для обоих узлов, поэтому на рисунке есть два противоположно направленных вектора с усилием Разделы теоретической механики Один вектор приложен к узлу Разделы теоретической механики другой - к узлу Разделы теоретической механики

2. Расчет начинаем с узла Разделы теоретической механики к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями. Составляем уравнения равновесия узла в проекциях на три оси координат:

Разделы теоретической механики

Система уравнений (1) содержит три неизвестных усилия: Разделы теоретической механики

Вычисляем тригонометрические функции, входящие в уравнения,

Разделы теоретической механики

Решение системы (1):

Разделы теоретической механики

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 1 и 2 растянуты, а стержень 3 сжат. Составляем уравнения равновесия узла Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Уравнения (2) содержат три неизвестных усилия Разделы теоретической механики Усилие Разделы теоретической механики найдено ранее из условия равновесия узла Разделы теоретической механики Вычисляем необходимые тригонометрические функции:

Разделы теоретической механики

Решение системы (2):

Разделы теоретической механики

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 5 и 6 сжаты, а стержень 4 растянут.

Результаты расчета (в Разделы теоретической механики) заносим в таблицу:

Разделы теоретической механики

Центр тяжести

Постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.

План решения

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты Разделы теоретической механики центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.

3. Находим общую площадь фигуры по формуле Разделы теоретической механики

4. Определяем координаты центра тяжести фигуры:

Разделы теоретической механики

Пример решения задачи №4.

Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Разделы теоретической механики (рис. 74). Размеры на рисунке даны в метрах.

Разделы теоретической механики

Решение

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75.

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Представляем фигуру в виде двух треугольников Разделы теоретической механики прямоугольника Разделы теоретической механики и выреза Разделы теоретической механики в виде полукруга (рис. 76).

2. Вычисляем площадь (в Разделы теоретической механики) и координаты центра тяжести (в Разделы теоретической механики) каждого элемента:

Разделы теоретической механики

3. Площадь фигуры Разделы теоретической механики

4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

Разделы теоретической механики

Вычисления удобно свести в таблицу:

Разделы теоретической механики

Сначала заполняем столбцы Разделы теоретической механики затем вычисляем статические моменты Разделы теоретической механики Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом,

Разделы теоретической механики

Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника Разделы теоретической механики с размерами Разделы теоретической механики и вырезанных из него полукруга Разделы теоретической механики и двух треугольников Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики (рис. 77).

Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования приведено в § 15.2, с. 355.

Кинематика

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин "кинематика" ввел А.Ампер (1775-1836), взяв за основу греческое слово Разделы теоретической механики означающее движение.

  • Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени Разделы теоретической механики радиус-вектор Разделы теоретической механики скорость Разделы теоретической механики и ускорение Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела Разделы теоретической механики угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины Разделы теоретической механики имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения Разделы теоретической механики Точкой будем обозначать производную по времени .

В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля, принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость Разделы теоретической механики совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость Разделы теоретической механики и ускорение Разделы теоретической механики направлены вдоль оси Разделы теоретической механики В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на ось Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики

Скорость точки Разделы теоретической механики тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки Разделы теоретической механики того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81):

Разделы теоретической механики

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой. Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [21])

Разделы теоретической механики

где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол Разделы теоретической механики между осью Разделы теоретической механики и вектором Разделы теоретической механики В проекциях на оси Разделы теоретической механики граф (2) дает уравнения

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — проекция угловой скорости тела Разделы теоретической механики на ось Разделы теоретической механики перпендикулярную плоскости движения. Если вращение происходит против часовой стрелки, то Разделы теоретической механики а если — по часовой стрелке, то Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой

Разделы теоретической механики

Кинематика точки

Постановка задачи. Точка движется по закону

Разделы теоретической механики

Для заданного момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.

План решения

1. Определяем траекторию движения точки, исключая Разделы теоретической механики из закона движения (1).

2. Дифференцируя (1) по времени Разделы теоретической механики находим проекции скорости точки на оси Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

3. Модуль скорости вычисляем по формуле Разделы теоретической механики

4. Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения Разделы теоретической механики

5. Определяем модуль ускорения Разделы теоретической механики

6. Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость Разделы теоретической механики как сложную функцию времени, получаем:

Разделы теоретической механики

7. Вычисляем нормальное ускорение Разделы теоретической механики

8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории: Разделы теоретической механики Отсюда находим радиус кривизны Разделы теоретической механики

Пример решения задачи №6.

Точка движется по закону

Разделы теоретической механики

Для момента времени Разделы теоретической механики найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты Разделы теоретической механики даны в сантиметрах, время — в секундах.

Решение

1. Определяем траекторию движения точки, исключая Разделы теоретической механики из закона движения (3). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время:

Разделы теоретической механики

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. При Разделы теоретической механики имеем

Разделы теоретической механики

т.е. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с.

2. Дифференцируя (3) по времени Разделы теоретической механики находим проекции скорости точки на оси Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

При Разделы теоретической механики имеем следующие численные значения компонентов скорости:

Разделы теоретической механики

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

Разделы теоретической механики

Вектор скорости Разделы теоретической механики строим на рисунке в масштабе по известным компонентам Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82).

4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения:

Разделы теоретической механики

При Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

5. Определяем модуль ускорения

Разделы теоретической механики

Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости кривой.

6. Вычисляем тангенциальное ускорение:

Разделы теоретической механики

7. Вычисляем нормальное ускорение:

Разделы теоретической механики

8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии Разделы теоретической механики внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом Разделы теоретической механики с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

Вращательное движение тела

Постановка задачи. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Заданы некоторые кинематические характеристики движения тела и (или) кинематические характеристики движения точки этого тела. Найти остальные кинематические характеристики движения тела или точки.

План решения

Пусть тело вращается вокруг оси Разделы теоретической механики

Кинематические характеристики движения тела:

— угол поворота Разделы теоретической механики

— угловая скорость Разделы теоретической механики

— угловое ускорение Разделы теоретической механики

Кинематические характеристики точки на теле:

— радиус траектории (расстояние до оси вращения) Разделы теоретической механики

— скорость Разделы теоретической механики

— ускорение Разделы теоретической механики

1. Записываем систему уравнений для всех величин, входящих в условие задачи. В зависимости от условия возможны три основных варианта решения: - Неизвестный закон вращения. Записываем систему двух уравнений для скоростиРазделы теоретической механики точки, лежащей на расстоянии Разделы теоретической механики от оси вращения, и ее ускорения Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Для решения задачи необходимо, чтобы три из пяти величин Разделы теоретической механики входящих в (1), были заданы в условии.

- Вращение с постоянной угловой скоростью. Интегрируя уравнение Разделы теоретической механики при Разделы теоретической механики получаем

Разделы теоретической механики

Как правило, отсчет ведется от Разделы теоретической механики поэтому в системе трех уравнений (1-2) содержатся семь величин Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

- Вращение с постоянным угловым ускорением. Дважды интегрируя уравнение

Разделы теоретической механики

получаем при Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — начальная угловая скорость. Совместно с (1) получаем систему четырех уравнений для восьми величин Разделы теоретической механики четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

2. Решаем систему. Находим искомые величины.

Замечание. Ряд величин задан в тексте задач неявно. Например, угол поворота Разделы теоретической механики может быть задан числом оборотов Разделы теоретической механикиСлова "покой" и "остановка" соответствуют математической записи Разделы теоретической механики

Пример решения задачи №7.

Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением Разделы теоретической механики Найти ускорение точки, лежащей на расстоянии Разделы теоретической механики от оси вращения, через Разделы теоретической механики после начала движения из состояния покоя.

Решение

1. В задаче задано постоянное угловое ускорение. Записываем систему уравнений для величин, входящих в условие задачи:

Разделы теоретической механики

По условию задачи диск в начальный момент находился в покое, следовательно, Разделы теоретической механики Кроме того, при Разделы теоретической механики даны значения Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики Решая систему двух уравнений (4) с двумя неизвестными Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики находим

Разделы теоретической механики

Ответ. Разделы теоретической механики

Плоское движение тела

Постановка задачи. Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы находится в движении. Известна угловая скорость какого-либо его звена или скорость одной из точек механизма. Найти скорости точек механизма и угловые скорости его звеньев.

План решения

Рассмотрим два простых геометрических способа решения задачи, в которых, в отличие от аналитических методов (§ 8.3, 8.5), определяются модули скоростей и угловых скоростей. Не оговаривая отдельно, всякий раз под угловой скоростью Разделы теоретической механики будем подразумевать ее модуль Разделы теоретической механики

1-й способ. Мгновенные центры скоростей

1. Определяем положение мгновенного центра скоростей (МЦС) каждого звена. МЦС лежит на пересечении перпендикуляров, про-

веденных к скоростям точек, принадлежащих звену (рис. 85). У тех звеньев, у которых МЦС не существует (скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку, их соединяющему), угловая скорость равна нулю, а скорости всех точек равны. Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющему, то имеют место два частных случая положения МЦС (рис. 86, 87).

Если тело (колесо, диск, цилиндр) кати тел по поверхности без проскальзывания, то МЦС этого тела находится в точке касания.

2. Для каждого звена определяем расстояния от его точек до МЦС этого звена.

Разделы теоретической механики

3. Записываем систему уравнений для скоростей Разделы теоретической механики точек звена Разделы теоретической механики включая точку с известной скоростью:

Разделы теоретической механики

Здесь Разделы теоретической механики — угловая скорость звена Разделы теоретической механики — расстояние от МЦС звена Разделы теоретической механики до точки Разделы теоретической механикиРешаем систему, определяем угловую скорость звена, а затем скорости всех его точек.

Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звено должно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которого угловая скорость найдена или известна.

2-й способ. План скоростей

1. Как ив методе МЦС ведем расчет, переходя от одного звена к другому, шарнирно с ним соединенному.

Построение начинаем с вектора, модуль и направление которого известны или легко вычисляются. Этот вектор в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки Разделы теоретической механики (рис. 91). Его конец определяет первую точку плана скоростей. Точку плана скоростей (конец вектора) отмечаем строчной буквой, соответствующей точке вектора скорости. Пусть первая точка плана скоростей обозначена Разделы теоретической механики

2. Рассматриваем очередное звено, на котором имеется точка с уже известной скоростью. Необходимо, чтобы на этом звене была еще одна точка с известным направлением вектора скорости (например, ползун или точка звена, совершающего вращательное движение). Пусть эта точка обозначена Разделы теоретической механики (рис. 88).

Справедливо правило, согласно которому неизменяемые отрезки механизма, обозначенные прописными буквами, перпендикулярны отрезкам плана скоростей, обозначенными теми же строчными буквами.

Следующая точка плана скоростей лежит на пересечении двух прямых. Одна прямая определяется направлением скорости точки Разделы теоретической механики вторая перпендикулярна Разделы теоретической механики Длина полученного отрезка Разделы теоретической механики является модулем скорости Разделы теоретической механики (рис. 91).

Скорости остальных точек этого звена (если таковые имеются) найдем по правилу подобия неизменяемых фигур механизма и фигур, обозначенных теми же строчными буквами плана скоростей.

Пункт 2 плана выполняем для всех звеньев механизма (рис. 91-95).

3. После построения плана скоростей определяем угловую скорость каждого звена по простой формуле Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики расстояние между точками Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики звена, Разделы теоретической механики — длина отрезка на плане скоростей.

Пример решения задачи №8.

Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы приводится в движение кривошипом Разделы теоретической механики который вращается против часовой стрелки с угловой скоростью Разделы теоретической механики (рис. 88).

Разделы теоретической механики

Ползуны Разделы теоретической механики движутся горизонтально, Разделы теоретической механики Найти скорости точек Разделы теоретической механики механизма и угловые скорости его звеньев Разделы теоретической механики

Решение

1-й способ. Мгновенные центры скоростей

1. Определяем положение мгновенного центра скоростей каждого звена Разделы теоретической механики

МЦС звеньев Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики искать не требуется. Они совершают вращательное движение вокруг шарниров Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики соответственно. Можно условно считать, что там находятся их МЦС.

Ветор Разделы теоретической механики скорости точки Разделы теоретической механики направим перпендикулярно радиусу Разделы теоретической механики против часовой стрелки (рис. 89). Далее, чтобы узнать положение МЦС следующего звена надо знать направления векторов скоростей двух его точек. Следующим звеном будет стержень Разделы теоретической механики имеющий со звеном Разделы теоретической механики общую точку Разделы теоретической механики У него есть три характерные точки Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Направление вектора скорости точки Разделы теоретической механики пока неизвестно.

Разделы теоретической механики

Остается точка Разделы теоретической механики Ползун Разделы теоретической механики движется строго горизонтально. Вектор скорости Разделы теоретической механики направляем по горизонтали налево. Из двух возможных горизонтальных направлений мы выбрали этот вариант, исходя из теоремы о проекции векторов скоростей точек неизменяемого отрезка. Проекции должны быть равны и направлены в одну сторону. Таким образом, известны направления скоростей двух точек тела. Это позволяет определить МЦС звена Разделы теоретической механики Находим точку Разделы теоретической механики пересечения перпендикуляров, проведенных из точек Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики к векторам Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики (рис. 89). Теперь определяем направление вектора Разделы теоретической механики Он будет перпендикулярен радиусу Разделы теоретической механики и направлен налево, исходя из той же теоремы о проекциях скоростей точек отрезка Разделы теоретической механики

Со стержнем Разделы теоретической механики имеют общие точки два стержня: Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Рассмотрим сначала стержень Разделы теоретической механики Направление вектора скорости точки Разделы теоретической механики уже известно. Чтобы определить положение МЦС, надо знать направление вектора еще одной точки на этом звене. Такой точкой является Разделы теоретической механики Вектор ее скорости перпендикулярен радиусу вращения Разделы теоретической механики и направлен вертикально. Перпендикуляры к векторам Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики задают положение точки Разделы теоретической механики вокруг которой звено Разделы теоретической механики овершает мгновенное вращательное движение.

Перпендикулярно радиусам Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики проводим вектора Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики

Переходим к звену Разделы теоретической механики МЦС которого находим на пересечении перпендикуляров к Разделы теоретической механики (продолжение радиуса Разделы теоретической механики) и к ветору скорости Разделы теоретической механики ползуна Разделы теоретической механики движущегося горизонтально. Получаем точку Разделы теоретической механики — МЦС звена Разделы теоретической механики

И, наконец, рассматриваем звено Разделы теоретической механики Скорости Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики параллельны и не перпендикулярны Разделы теоретической механики Звено Разделы теоретической механики совершает мгновенно-поступательное движение. Условно можно сказать, что МЦС звена Разделы теоретической механики находится в бесконечности.

2. Определяем расстояния от МЦС звеньев до тех точек этих звеньев, скорости которых надо найти.

Звено Разделы теоретической механики Находим расстояния:

Разделы теоретической механики

Здесь Разделы теоретической механики Польлзуясь подобием Разделы теоретической механики находим

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Звено Разделы теоретической механики (рис. 90). Находим расстояния до МЦС

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

3. Записываем систему уравнений для скоростей трех точек звена Разделы теоретической механики включая точку Разделы теоретической механики с известной скоростью:

Разделы теоретической механики

Решаем эту систему. Находим Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики

Система уравнений для скоростей точек звена Разделы теоретической механики имеет вид

Разделы теоретической механики

Из первого уравнения вычисляем угловую скорость:

Разделы теоретической механики

Получаем скорости точек:

Разделы теоретической механики

Система уравнений для скоростей точек звена Разделы теоретической механики имеет вид

Разделы теоретической механики

Отсюда

Разделы теоретической механики

Звено Разделы теоретической механики совершает мгновенно-поступательное движение. Следовательно, скорости точек Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики равны: Разделы теоретической механики

Угловая скорость этого звена равна нулю.

Частично проверить решение можно графически. Известно, что концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой. Убеждаемся в этом, проводя прямую через концы векторов Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики отложенных на чертеже в масштабе (рис. 90).

Разделы теоретической механики

Аналогично проверяем скорости Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Через их концы также можно провести прямую. Остались непроверенными скорости точек Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Для этого можно воспользоваться методом построения плана скоростей, см. ниже 2-й способ.

Результаты расчетов помещаем в таблицы.

Разделы теоретической механики

2-й способ. План скоростей

1. Построение начинаем с вектора, величина и направление которого известны или легко вычисляются. В нашем случае это Разделы теоретической механики Вектор Разделы теоретической механики в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки Разделы теоретической механики (рис. 91). Все остальные вектора также будем откладывать от этой точки.

Точки плана скоростей (концы векторов) отмечаем соответствующими строчными буквами. Таким образом, положение точки Разделы теоретической механики на плане скоростей известно.

2. Рассматриваем звено Разделы теоретической механики (рис. 90), на котором имеется точка Разделы теоретической механики с известной скоростью. Неизменяемые отрезки механизма, обозначенные прописными буквами, перпендикулярны отрезкам плана скоростей, обозначенными теми же строчными буквами, Разделы теоретической механики Звено механизма Разделы теоретической механики горизонтально.

Разделы теоретической механики

Следовательно, точка Разделы теоретической механики плана скоростей лежит на одной вертикали с точкой Разделы теоретической механики Известно направление скорости ползуна Разделы теоретической механики Точку Разделы теоретической механики находим на пересечении двух прямых. Вектор Разделы теоретической механики изображен отрезком Разделы теоретической механики плана скоростей (рис. 91). Из правила подобия фигур механизма и фигур, обозначенных теми же строчными буквами плана скоростей (в данном случае это отрезки Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики ), имеем Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Так получаем точку Разделы теоретической механики плана скоростей и, следовательно, модуль и направление вектора Разделы теоретической механики (рис. 92).

Определяем скорость Разделы теоретической механики Направление этого вектора известно — он перпендикулярен радиусу вращения Разделы теоретической механики По свойству плана скоростей Разделы теоретической механики Точка Разделы теоретической механики на плане уже есть. Проводим через нее горизонтальную прямую (перпендикулярную Разделы теоретической механики) до пересечения с вертикальным направлением вектора скорости Разделы теоретической механики Получаем точку Разделы теоретической механики (рис. 93). Соединяя ее с центром Разделы теоретической механики определяем модуль искомой скорости Разделы теоретической механики

Из соотношения подобия Разделы теоретической механики на отрезке Разделы теоретической механики находим внутри него конец вектора скорости Разделы теоретической механики и вне отрезка, пользуясь пропорцией Разделы теоретической механики точку Разделы теоретической механики определяющую вектор скорости Разделы теоретической механики (рис. 94).

Аналогично определяем скорость Разделы теоретической механики (рис. 95). Здесь Разделы теоретической механики Точки Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики на плане скоростей совпадают.

3. Угловые скорости звеньев определяем по простым формулам:

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Сложное движение точки

  • Постановка задачи. Геометрическая фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости по известному закону Разделы теоретической механики В канале, расположенном на фигуре, движется точка Разделы теоретической механики по закону Разделы теоретической механики Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени Разделы теоретической механики

План решения

Сложное движение точки Разделы теоретической механики представляется в виде суммы относительного и переносного. Характерной особенностью этой задачи является то, что траектории относительного, переносного и абсолютного движения лежат в одной плоскости. Ось Разделы теоретической механики на которую проектируются векторы переносной угловой скорости и переносного углового ускорения, перпендикулярна этой плоскости и направлена на наблюдателя. Угол поворота считается положительным, если со стороны оси Разделы теоретической механики он виден против часовой стрелки.

Искомые величины получаем из векторных равенств:

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики — соответственно относительные и переносные скорости и ускорения; Разделы теоретической механики - ускорение Кориолиса.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Разделы теоретической механики при Разделы теоретической механики и определяем положение точки в подвижной системе координат.

2. Дифференцируя Разделы теоретической механики по времени, находим относительную скорость (скорость точки относительно фигуры):

Разделы теоретической механики

Вектор Разделы теоретической механики направляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличения Разделы теоретической механики если Разделы теоретической механики и в обратную сторону в противном случае; Разделы теоретической механики

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Разделы теоретической механики — расстояние от точки Разделы теоретической механики в положении Разделы теоретической механики до оси переносного вращения.

4. Находим переносную скорость Разделы теоретической механики где переносная угловая скорость

Разделы теоретической механики

Вектор Разделы теоретической механики направляем перпендикулярно Разделы теоретической механики в сторону переносного вращения.

5. Определяем вектор абсолютной скорости, вычисляя компоненты Разделы теоретической механики векторной суммы (1) на произвольно выбранные оси, и модуль Разделы теоретической механики

6. Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

Разделы теоретической механики

где

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики — радиус кривизны относительной траектории в точке Разделы теоретической механики Для прямолинейной траектории относительного движения Разделы теоретической механики Вектор Разделы теоретической механики направляем по касательной к относительной траектории, вектор Разделы теоретической механики — к центру кривизны этой же кривой.

7. Вычисляем переносное ускорение: Разделы теоретической механики

Вектор Разделы теоретической механики направляем перпендикулярно Разделы теоретической механики вектор Разделы теоретической механики — к оси переносного вращения (вдоль Разделы теоретической механики).

8. Находим ускорение Кориолиса Разделы теоретической механики Так как в задачах этого типа вектор переносной угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости, то

Разделы теоретической механики

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского поворотом на Разделы теоретической механики вектора относительной скорости по направлению переносного вращения. В результате вектор ускорения Кориолиса в таких задачах будет лежать на одной прямой с Разделы теоретической механики при криволинейном относительном движении, а в случае прямолинейного относительного движения Разделы теоретической механики перпендикулярен относительной траектории.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Модуль абсолютного ускорения Разделы теоретической механики

Пример решения задачи №9.

Прямоугольник Разделы теоретической механики вращается вокруг оси, проходящей через вершину Разделы теоретической механики по закону Разделы теоретической механики Ось вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 109). По круговому каналу радиуса Разделы теоретической механики с центром в точке Разделы теоретической механики расположенному на прямоугольнике, движется точка Разделы теоретической механики Дуговая координата точки меняется по закону Разделы теоретической механики Дано: Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки Разделы теоретической механики при Разделы теоретической механики

Решение

Движение точки Разделы теоретической механики представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Разделы теоретической механики при Разделы теоретической механики и определяем положение точки в подвижной системе координат. За время Разделы теоретической механики точка проходит по дуге окружности путь Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики Центральный угол, соответствующий этой дуге, Разделы теоретической механики Изображаем точку в этом положении (рис.110).

2. Дифференцируя Разделы теоретической механики по времени, находим относительную скорость. Находим ее значение при Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Вектор Разделы теоретической механики направлен по касательной к окружности.

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

4. Находим переносную скорость Разделы теоретической механики Переносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент Разделы теоретической механики. Угловая скорость фигуры, при Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Отсюда Разделы теоретической механики

5. Определяем вектор абсолютной скорости по формуле (1).

Модуль абсолютной скорости, Разделы теоретической механики находим, проецируя это равенство на неподвижные оси координат Разделы теоретической механики (можно воспользоваться также теоремой косинусов):

Разделы теоретической механики

Тригонометрические функции угла Разделы теоретической механики вычисляем по формулам

Разделы теоретической механики

Модуль абсолютной скорости Разделы теоретической механики

6. Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно прямоугольника по окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющую:

Разделы теоретической механики

Модуль относительного ускорения

Разделы теоретической механики

Вектор ускорения Разделы теоретической механики направляем по радиусу окружности к точке Разделы теоретической механики — по касательной, в сторону увеличения дуги Разделы теоретической механики так как Разделы теоретической механики (рис. 111).

7. Вычисляем переносное ускорение Разделы теоретической механики Траектория переносного движения точки — окружность радиуса Разделы теоретической механики с центром Разделы теоретической механики

Прямоугольник вращается с угловой скоростью Разделы теоретической механики и угловым ускорением

Разделы теоретической механики

Отсюда получаем

Разделы теоретической механики

Вектор Разделы теоретической механики направлен против часовой стрелки перпендикулярно радиусу Разделы теоретической механики Вектор Разделы теоретической механики - к центру Разделы теоретической механики Модуль переносного ускорения Разделы теоретической механики

8. Находим ускорение Кориолиса. Модуль вектора ускорения, Разделы теоретической механики определяем по формуле Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики - угол между Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Вектор Разделы теоретической механики перпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол Разделы теоретической механики равен Разделы теоретической механики Имеем

Разделы теоретической механики

Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского — поворотом на Разделы теоретической механики вектора относительной скорости по направлению переносного вращения, т.е. против часовой стрелки (рис. 112).

Разделы теоретической механики

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат (рис. 111):

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Находим модуль ускорения: Разделы теоретической механики

Ответы (радиус траектории переносного движения, скорости, ускорения) заносим в таблицу.

Разделы теоретической механики

Сферическое движение тела

Постановка задачи. Твердое тело совершает сферическое движение по закону, заданному в углах Эйлера Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Найти скорость и ускорение точки, положение которой дано относительно подвижных осей координат.

План решения

1. Воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера для определения проекций угловой скорости на подвижные оси координат

Разделы теоретической механики

2. Находим проекции скорости Разделы теоретической механики на подвижные оси, относительно которых задан радиус-вектор точки Разделы теоретической механики

3. Вычисляем модуль скорости Разделы теоретической механики

4. Дифференцируя по времени Разделы теоретической механики проекции угловой скорости, получаем компоненты углового ускорения Разделы теоретической механики в подвижных осях.

5. Ускорение точки представляем в виде векторной суммы

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики - вращательное, а Разделы теоретической механики - осестремительное ускорение.

6. Находим модуль ускорения Разделы теоретической механики

Пример решения задачи №10.

Твердое тело совершает сферическое движение по закону, заданному в углах Эйлера Разделы теоретической механики При Разделы теоретической механики найти скорость и ускорение точки, положение которой относительно подвижных координат задано координатами

Разделы теоретической механики

Углы Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики даны в радианах.

Решение

1. Зная зависимости угла прецессии Разделы теоретической механики угла нутации Разделы теоретической механики и собственного вращения Разделы теоретической механики от времени, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (1) для определения проекций угловой скорости на подвижные оси координат. Подставляя в (1) заданные функции, получаем

Разделы теоретической механики

При Разделы теоретической механики вычисляем

Разделы теоретической механики

Модуль угловой скорости тела

Разделы теоретической механики

2. Вычисляем проекции скорости точки на подвижные оси:

Разделы теоретической механики

3. Модуль скорости точки Разделы теоретической механики

4. Дифференцируя по Разделы теоретической механики проекции угловой скорости, получаем компоненты углового ускорения тела в подвижных осях:

Разделы теоретической механики

При Разделы теоретической механики получаем

Разделы теоретической механики

Модуль углового ускорения Разделы теоретической механики

5. Ускорение точки представляем в виде векторной суммы:

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики - вращательное, а Разделы теоретической механики - осестремительное ускорени. Вычисляем отдельно их проекции на оси Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Компоненты ускорения получаем, суммируя Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

6. Модуль ускорения Разделы теоретической механики Ответы занесем в таблицу.

Разделы теоретической механики

Замечание 1. При сферическом движении тела векторы угловой скорости и углового ускорения не лежат на одной прямой Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики а вектор осе стремительного ускорения в общем случае не перпендикулярен вектору вращательного ускорения. В этом можно убедиться, вычислив скалярное произведение Разделы теоретической механики

Замечание 2. Кинематические уравнения Эйлера для определения проекций угловой скорости на неподвижные оси координат имеют вид

Разделы теоретической механики

Динамика

Динамика — основной раздел теоретической механики. В динамике изучают механическое движение материальных объектов в связи с силами, приложенными к ним. Простейшим объектом является материальная тотжа — геометрическая точка, наделенная массой. В главе 11 решаются задачи о движении точки под действием постоянных и переменных сил. Все объекты, о которых там идет речь, принимаются за материальную точку. Для решения текстовых задач, приведенных в § 11.1, 11.2, требуется определенный навык прочтения условия, умение выделить суще с твенное, заметить недосказанное и, главное, не приписать к условию того, чего там нет. Например, если в задаче речь идет об автомобиле, который при некоторых условиях разгоняется за одно время, а при других условиях — за другое, то естественно предположить, что двигатель в обоих случаях один и тот же, и все параметры движения, кроме тех о которых явно сказано, одинаковые. Общий принцип здесь — не вносить в условие дополнительных сложностей и использовать все имеющиеся в тексте данные. Кроме того, для успешного решения этих задач рекомендуем повторить методы интегрирования.

Рассматриваются задачи динамики плоского движения тела и системы тел. В зависимости от постановки задатш применяются различные методы. В некоторых случаях одну и ту же задачу можно решить несколькими способами. Так, задачи § 12.3, § 12.5, § 12.6 можно решить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы, с помощью общего уравнения динамики или уравнения Лагранжа 2-го рода. Заметим, что большинство трудностей при решении этих задач связаны с кинематикой. Рекомендуем повторить методы вычисления скоростей (§ 8.1, 8.5) и ускорений (§ 8.2) точек тела при плоском движении.

Задача о динамических реакциях подшипников ротора § 12.7 соответствует задаче Д-6 из сборника И.В. Новожилова, М.Ф. Зацепина [21].

В § 13.1 методами аналитической механики решается задача определения реакций опор составной конструкции. Здесь в одной задаче собраны все три раздела механики: методами кинематики находят возможные скорости, искомая реакция определяется из уравнения принципа возможных скоростей, а уравнения статики используются при проверке решения.

Для решения задач динамики системы тел с двумя степенями свободы применяется общее уравнение динамики (§ 13.3) или уравнение Лагранжа 2-го рода (§ 13.4).

Особое внимание уделяется задачам, в которых кинетическая энергия системы зависит от обобщенной координаты. В этом случае решение ограничивается составлением уравнения движения в форме Лагранжа 2-го рода (§ 13.5) или Гамильтона (§ 13.8). При вычислении обобщенных сил в таких задачах важно знать не только модули скорости характерных точек (центров масс, точек приложения сил), но и знаки их проекций. Наибольшие трудности при решении возникают именно здесь. Именно поэтому в этих задачах реко мен дуется использовать метод кинематических графов. Для численного решения полученного дифференциального уравнения движения в § 17.2 дана программа для Maple V. С помощью этой программы можно выполнять задание Д-5 из сборника [21].

В § 14.1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода решена задача о собственных колебаниях системы двух тел, совершающих плоское движение.

Динамика точки

Постановка задачи. Материальная точка движется по прямой или по окружности под действием постоянных по величине сил. Определить закон движения точки или отдельные параметры движения.

План решения

1. Выбираем систему координат. Для прямолинейного движения ось Разделы теоретической механики направляем вдоль линии движения точки. Уравнения движения под действием сил, главный вектор которых обозначим как Разделы теоретической механики имеют вид

Разделы теоретической механики

При движении по окружности используем уравнения движения в естественных осях:

Разделы теоретической механики

Нормаль Разделы теоретической механики направлена к центру окружности, Разделы теоретической механики — орт касательной, направленный в сторону увеличения дуговой координаты Разделы теоретической механики Ось Разделы теоретической механики —перпендикулярна плоскости окружности.

Прикладываем к точке все действующие на нее силы.

2. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси. В проекции на одну из осей уравнение движения вырождается в уравнение равновесия. Если в условии задачи есть трение, то из этого уравнения можно найти силу трения или выразить ее через другие силы.

3. Интегрируем дифференциальное уравнение. Константы интегрирования определяем из начальных условий.

4. Из полученного закона движения определяем необходимые величины.

Пример решения задачи №11.

С аэростата сбросили балласт, падение аэростата замедлилось, и через время Разделы теоретической механики он поднялся на ту высоту, с которой сбросили балласт. Сила сопротивления воздуха Разделы теоретической механики подъемная сила аэростата — Разделы теоретической механики масса аэростата без балласта — Разделы теоретической механики Сколько времени после сброса балласта аэростат опускался?

Решение

1. Ось Разделы теоретической механики направим вверх, поместив ее начало в нижней точке траектории аэростата. При падении на аэростат действуют силы тяжести Разделы теоретической механики сила сопротивления воздуха Разделы теоретической механики и подъемная сила Разделы теоретической механики (рис. 121). Аэростат принимаем за материальную точку.

2. Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Разделы теоретической механики имеет вид:

Разделы теоретической механики

3. Дважды интегрируем уравнение движения. Для постоянных сил интеграл берется просто:

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Начальные условия: Разделы теоретической механики Отсюда находим константы интегрирования Разделы теоретической механики Получаем уравнения Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Аналогично составляем уравнение при подъеме аэростата.

Разделы теоретической механики

Сила сопротивления при этом меняет свое направление (рис. 122) Оставляя ось Разделы теоретической механики прежней, время отсчитываем от нуля с момента подъема:

Разделы теоретической механики

Интегрируя уравнение

Разделы теоретической механики

получаем

Разделы теоретической механики

Начальные условия: Разделы теоретической механики Находим константы интегрирования: Разделы теоретической механики Из (4) следует Разделы теоретической механики

4. Находим искомое время падения. Обозначаем его Разделы теоретической механики а время подъема — Разделы теоретической механики По условию Разделы теоретической механики Подставляем в (1), (2) условия: Разделы теоретической механики а в (5) Разделы теоретической механики Получаем систему трех уравнений с неизвестными Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Исключая известную высоту Разделы теоретической механики и неизвестную начальную скорость Разделы теоретической механики получаем

Разделы теоретической механики

Динамика системы

Постановка задачи. Механизм, состоящий из Разделы теоретической механики связанных между собой тел, установлен на призме, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Одно из тел получает перемещение относительно призмы. Куда и на какое расстояние переместится призма?

План решения

Для решения задачи используем теорему о движении центра масс. Выбираем систему координат. Одну из осей, например, ось Разделы теоретической механики направляем перпендикулярно линии действия внешних сил. В проекции на ось Разделы теоретической механики уравнение движения центра масс принимает вид Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — координата центра масс системы, Разделы теоретической механики - масса всей системы. Дважды интегрируя (1) при условии, что в начальный момент скорость центра масс была равна нулю, получаем

Разделы теоретической механики

Координата центра масс системы вычисляется по формуле

Разделы теоретической механики

Записывая (2) с учетом (3), один раз для начального положения системы (в покое), а другой раз после смещения одного из тел, получаем формулу, связывающую абсолютные смещения тел системы:

Разделы теоретической механики

1. Абсолютное смещение каждого тела представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины заданного относительного смещения одного из тел, и неизвестного переносного смещения Разделы теоретической механики равного абсолютному смещению того тела, относительно которого задавалось смещение.

2. Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение для смещения Разделы теоретической механики Решение уравнения дает ответ.

Пример решения задачи №12.

Механизм, состоящий из груза Разделы теоретической механики массой Разделы теоретической механики блока Разделы теоретической механики массой Разделы теоретической механики (больший радиус Разделы теоретической механики меньший - Разделы теоретической механики ) и цилиндра Разделы теоретической механики массой Разделы теоретической механики радиусом Разделы теоретической механики установлен на призме Разделы теоретической механики массой Разделы теоретической механики находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз Разделы теоретической механики получает перемещение Разделы теоретической механики относительно призмы вдоль ее поверхности влево; Разделы теоретической механики (рис. 124). Куда и на какое расстояние переместится призма?

Решение

Задаем систему координат. Проекции на горизонтальную ось всех внешних сил (сил тяжести Разделы теоретической механики реакции опоры

Разделы теоретической механики), действующих на систему, равны нулю (рис. 125), а трения между призмой Разделы теоретической механики и опорой по условию нет. Применим к системе следствие из теоремы о движении центра масс в форме (4).

1. Абсолютное смещение тел Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины Разделы теоретической механики относительного смещения груза Разделы теоретической механики и неизвестного переносного смещения Разделы теоретической механики равного абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Обозначаем абсолютные смещения координат центров масс тел системы Разделы теоретической механики Направление оси Разделы теоретической механики определяет знаки смещений: налево с минусом, направо с плюсом. Предполагаем, что призма сместится направо. Перемещение центра цилиндра Разделы теоретической механики относительно призмы и перемещение груза Разделы теоретической механики связаны так же, как связаны их скорости.

Цилиндр Разделы теоретической механики совершает плоское движение. Абсолютное смещение его центра в проекции на ось Разделы теоретической механики равно Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — смещение центра цилиндра вдоль наклонной поверхности призмы. Выразим Разделы теоретической механики через Разделы теоретической механики Для этого свяжем скорости груза Разделы теоретической механики и центра масс цилиндра Разделы теоретической механики Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке касания призмы, поэтому скорость его центра масс относительно призмы вдвое меньше скорости нити, накручиваемой на обод. Скорость груза Разделы теоретической механики выражаем через угловую скорость блока (рис. 132, с. 249):

Разделы теоретической механики

Исключая отсюда Разделы теоретической механики имеем связь скоростей Разделы теоретической механики Интегрируя это соотношение при нулевых начальных значениях, получаем искомую зависимость: Разделы теоретической механики Находим выражение абсолютных смещений всех тел через Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

2. Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение

Разделы теоретической механики

или

Разделы теоретической механики

Решаем это уравнение относительно Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Призма Разделы теоретической механики переместится вправо на Разделы теоретической механики

Аналитическая механика

В главе АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА вы научитесь решению задач статики с помощью принципа возможных скоростей. Вы научитесь также составлять наиболее универсальные уравнения движения динамических систем. К ним относятся общее уравнение динамики, уравнение Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона. Первое знакомство с этой темой немного пугает сложностью: вводятся новые термины типа "обобщенные координаты'1 или "виртуальные перемещения". На самом деле все просто. Обобщенные координаты — это параметры, однозначно описывающие положение системы, например, углы поворота или обычные декартовы координаты. Виртуальные (или возможные) перемещения — это бесконечно малые воображаемые перемещения, допускаемые связями. Силы, действующие на систему, будем делить на активные и реакции связей.

Для успешного составления уравнений движения системы следует повторить метод кинематических графов вычисления скоростей точек тела при плоском движении (§ 8.5, с. 188).

остановка задачи. Плоская система многих тел с идеальными стационарными связями находится в равновесии под действием активных нагрузок. Определить реакции опор системы.

План решения

Поставленная задача относится к задачам статики, однако решать ее методами статики, записывая по три уравнения равновесия для каждого из тел системы, неудобно и долго, особенно, если по условию требуется найти только одну реакцию. Используя принцип возможных скоростей, эту задачу (независимо от количества тел механической системы) можно легко решить, составив одно уравнение.

Связь называют идеальной, если работа ее реакции на любом возможном перемещении системы равна нулю. Стационарные (или склерономные) связи не зависят от времени. Будем рассматривать удерживающие (двусторонние) связи (см. с. 51).

1. Освобождаем систему от той связи, реакцию которой надо определить. Действие связи заменяем ее реакцией. Реакция становится активной силой. Система приобретает одну степень свободы. Прикладываем к системе все активные силы. Реакции идеальных связей не указываем. Вводим систему координат.

2. Сообщаем угловую скорость (виртуальную скорость) одному из тел системы, например, Разделы теоретической механики Для плоского движения достаточно задания одной составляющей Разделы теоретической механики Выражаем скорости точек приложения сил и угловые скорости тел, к которым приложены моменты, через Разделы теоретической механики В некоторых случаях удобнее задавать линейную скорость какого-либо шарнира механизма.

3. Неизвестную реакцию определяем из принципа возможных скоростей. Для системы с Разделы теоретической механики силами (в это число входит и неизвестная реакция) получаем

Разделы теоретической механики

Каждое слагаемое представляет собой мощность силы. Мощность момента Разделы теоретической механики (пары сил) вычисляем как скалярное произведение Разделы теоретической механики После подстановки в (1) кинематических соотношений, заданная величина Разделы теоретической механики становится общим сомножителем. Сокращая на Разделы теоретической механики заданная величина становится общим сомножителем.

Сокращая на ф О, получаем уравнение для искомой реакции. Решаем линейное уравнение с одной неизвестной, находим реакцию.

Пример решения задачи №13.

Система с идеальными стационарными связями, состоящая из четырех шарнирно соединенных однородных стержней, расположена в вертикальной плоскости и находится в равновесии под действием силы Разделы теоретической механики и момента Разделы теоретической механики (рис. 145). Известны длины стержней Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики и углы Разделы теоретической механики Учитывая погонный вес стержней, Разделы теоретической механики определить горизонт ал ьную реакцию опоры Разделы теоретической механики

Решение

1. Освобождаем систему от горизонтальной связи шарнира Разделы теоретической механики Неподвижный шарнир заменяем на подвижный (или ползун) с горизонтальной подвижностью. Действие горизонтальной связи заменяем ее реакцией Разделы теоретической механики (рис. 146). Реакция Разделы теоретической механики становится активной силой. Система приобретает одну степень свободы. Прикладываем к центру каждого стержня его силу тяжести Разделы теоретической механики вычисленную через его длину Разделы теоретической механики и погонный вес Разделы теоретической механики Вводим прямоугольную систему координат с центром в шарнире Разделы теоретической механики Записываем проекции сил тяжести на ось Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

2. Сообщаем стержню Разделы теоретической механики возможную угловую скорость Разделы теоретической механики Выражаем скорости точек Разделы теоретической механики приложения активных сил и реакции Разделы теоретической механики через Разделы теоретической механики Решаем задачу кинематики многозвенного механизма (§ 8.3, с. 179), используя уравнение трех угловых скоростей для четырехзвенника Разделы теоретической механики в векторной форме и выражая скорости одних точек через скорости других. Составляем систему уравнений:

Разделы теоретической механики

Так как шарнир Разделы теоретической механики заменен на горизонтальный ползун (шарнир с горизонтальной подвижностью), то

Разделы теоретической механики

Векторы угловых скоростей при плоском движении имеют только одну составляющую: Разделы теоретической механики Система (3), записанная в проекциях на оси Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики и уравнение (4) содержат пятнадцать уравнений и пятнадцать неизвестных: двенадцать компонентов скоростей точек Разделы теоретической механики и три проекции угловых скоростей на ось Разделы теоретической механики перпендикулярную плоскости механизма. Решаем систему (3)-(4):

Разделы теоретической механики

3. Неизвестную реакцию Разделы теоретической механики определяем из принципа возможных скоростей:

Разделы теоретической механики

С учетом (5) получаем

Разделы теоретической механикиРазделы теоретической механики

Сокращаем на Разделы теоретической механики получим, что Разделы теоретической механики

Малые колебания системы

В разделе МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ вы научитесь определять частоты малых собственных колебаний механической системы с двумя степенями свободы. Другие темы этого раздела, количество которых так велико, что они могут составить содержание отдельной книги, остались за пределами РЕШЕБНИКА. Задачи о вынужденных колебаниях, колебаниях при наличии сопротивления и многие другие содержатся, например, в книгах [25], [27].

Постановка задачи. Механическая система с двумя степенями свободы состоит из твердых тел, соединенных линейно упругими пружинами. Определить частоты собственных колебаний системы.

План решения

Задачу решаем с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.

1. Выбираем две обобщенные координаты Разделы теоретической механики

2. Вычисляем кинетическую энергию и обобщенные силы. Составляем два уравнения Лагранжа 2-го рода.

3. Записываем полученную систему в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы:

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики - инерционные коэффициенты, Разделы теоретической механики — обобщенные коэффициенты жесткости или квазиупругие коэффициенты. Решение системы (1) будем искать в форме Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — неизвестные постоянные; Разделы теоретической механики — круговая частота колебаний. Система (1) после сокращения на Разделы теоретической механики примет вид

Разделы теоретической механики

4. Условием существования нетривиального решения системы (2) для Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики является равенство определителя системы нулю. Отсюда получаем уравнение частот:

Разделы теоретической механики

5. Решая (3), находим частоты колебаний системы.

Пример решения задачи №14.

Механическая система с двумя степенями свободы состоит из двух однородных цилиндров и двух линейно упругих пружин. Цилиндр А массой Разделы теоретической механики массой Разделы теоретической механики может кататься без проскальзывания и трения качения по горизонтальной поверхности. Его ось соединена с неподвижной стенкой горизонтальной пружиной Разделы теоретической механики Ободы цилиндров связаны нитью и пружиной Разделы теоретической механики Цилиндр Разделы теоретической механики массой Разделы теоретической механики вращается вокруг неподвижной оси. Жесткость пружин, работающих и на сжатие и на растяжение, одинакова: Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Массой пружин пренебречь. Найти частоты собственных колебаний системы.

Решение

Задачу решим двумя способами. Различие между ними — в выборе обобщенных координат и форме вьншсления обобщенных сил в уравнении Лагранжа.

1-й способ

1. В качестве обобщенных координат выбираем удлинения пружин (рис. 174). Связи предполагаем идеальными и их реакции на рисунке не показываем.

2. Кинетическую энергию системы, состоящую из суммы кинетических энергий двух тел: Разделы теоретической механики выражаем через обобщенные скорости Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Кинетическая энергия однородного цилиндра Разделы теоретической механики катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, вычисляется по формуле (4) на с. 242:

Разделы теоретической механики

Кинетическая энергия вращения цилиндра Разделы теоретической механики вокруг неподвижной оси имеет вид Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики

Разделы теоретической механики

Левый конец пружины Разделы теоретической механики движется со скоростью Разделы теоретической механики (рис. 175), скорость удлинения пружины Разделы теоретической механики Скорость правого конца пружины равна скорости точки обода цилиндра Разделы теоретической механики и равна сумме Разделы теоретической механики отсюда Разделы теоретической механики — угловая скорость вращения цилиндра Разделы теоретической механики Таким образом, получаем: Разделы теоретической механики Кинетическая энергия всей системы

Разделы теоретической механики

Для того, чтобы вычислить обобщенную силу Разделы теоретической механики даем возможное перемещение (удлинение) Разделы теоретической механики пружине Разделы теоретической механики фиксируя удлинение пружины Разделы теоретической механики или заменяя пружину Разделы теоретической механики нерастяжимой нитью (рис. 176).

Разделы теоретической механики

Воспользуемся формулой Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики Так как Разделы теоретической механики то Разделы теоретической механики Аналогично, фиксируя удлинение пружины Разделы теоретической механики растягиваем пружину Разделы теоретической механики на Разделы теоретической механики (рис. 177) и вычисляем Разделы теоретической механики Отсюда Разделы теоретической механики

Записываем систему уравнений Лагранжа 2-го рода:

Разделы теоретической механики

Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа:

Разделы теоретической механики

Уравнения Лагранжа принимают вид

Разделы теоретической механики

3. Записываем (5) в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы (1). Инерционные коэффициенты для данного примера имеют вид

Разделы теоретической механики

Коэффициенты жесткости системы Разделы теоретической механики оэффициенты жесткости и инерционные коэффициенты образуют симметричные матрицы. Предполагая, что каждая обобщенная координата меняется по закону гармонических колебаний, решение системы (1) ищем в форме

Разделы теоретической механики

где Разделы теоретической механики — неизвестные постоянные. Система (5) после сокращения на Разделы теоретической механики принимает вид

Разделы теоретической механики

Из условия существования нетривиального решения этой системы для Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики получаем уравнение частот:

Разделы теоретической механики

Подставляем числовые данные задачи, решаем биквадратное уравнение (7) и находим две частоты собственных колебаний системы:

Разделы теоретической механики

2-й способ

1. В качестве первой обобщенной координаты выбираем смещение Разделы теоретической механики цилиндра Разделы теоретической механики а в качестве другой — угол поворота Разделы теоретической механики цилиндра Разделы теоретической механики (рис. 178). Таким образом, Разделы теоретической механики

2. Кинетическую энергию системы, состоящую из суммы кинетических энергий двух тел, Разделы теоретической механики выражаем через обобщенные скорости Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики Кинетическая энергия цилиндра Разделы теоретической механики вычисляется так же, как и в 1-м способе по формуле (4): Разделы теоретической механики Кинетическая энергия вращения цилиндра Разделы теоретической механики равна

Разделы теоретической механики

Кинетическая энергия всей системы Разделы теоретической механики Для того, чтобы вычислить обобщенные силы находим потенциальную энергию системы. Силы тяжести работу не совершают, поэтому вся потенциальная энергия содержится в пружинах. Удлинение первой пружины равно Разделы теоретической механики Левый конец пружины Разделы теоретической механики смещается на Разделы теоретической механики правый - на Разделы теоретической механики в ту же сторону (рис. 179).

Разделы теоретической механики

Удлинение второй пружины равно по модулю Разделы теоретической механики Потенциальная энергия пружин, не имеющих предварительного напряжения, имеет вид

Разделы теоретической механики

Обобщенные силы вычисляем по формулам

Разделы теоретической механики

Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа:

Разделы теоретической механики

Уравнения Лагранжа принимают вид

Разделы теоретической механики

3. Записываем (8) в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы (1). Инерционные коэффициенты для данного примера имеют вид

Разделы теоретической механики

Коэффициенты жесткости имеют вид Разделы теоретической механики Разделы теоретической механики Решение системы (1) ищем в форме гармонических колебаний: Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — неизвестные постоянные. Система (8) после сокращения на общий множитель Разделы теоретической механики принимает вид

Разделы теоретической механики

Для неизвестных амплитуд колебаний Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики система (9) является однородной. Из условия существования нетривиального решения приравниваем нулю определитель системы и получаем уравнение частот, в точности совпадающее с (7). Таким образом, с другим набором обобщенных координат мы находим те же частоты: Разделы теоретической механики или Разделы теоретической механики

Замечание. Решение задачи равносильно отысканию собственных значений матрицы Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики и Разделы теоретической механики — матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Действительно, представим (1) в виде Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики Умножим это уравнение на обратную матрицу Разделы теоретической механики Получаем, что Разделы теоретической механики Решение ищем в форме гармонических колебаний: записываем систему однородных линейных уравнений для амплитуд колебаний, определитель которой имеет вид Разделы теоретической механики где Разделы теоретической механики — единичная матрица. Таким образом, квадраты частот равны собственным значениям матрицы Разделы теоретической механики (Решебник ВМ, §2.10.).