Теоретическая механика разделы

Разделы теоретической механики

Статика

В статике изучается равновесие тел под действием сил и свойства систем сил, необязательно находящихся в равновесии.

Задачи статики можно условно разделить на три типа: задачи на равновесие системы сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке (глава 1), задачи произвольной плоской системы сил (главы 2,3) и задачи пространственной системы сил (глава 4).

  • Нахождение координат центра тяжести (глава 5) тоже считается задачей статики. Хотя силы в этой задаче явно не присутствуют, основные формулы задачи следуют из уравнений равновесия системы параллельных сил.

Искомыми величинами в задачах статики могут быть реакции опор, усилия в элементах конструкций, геометрические (размеры, углы) и материальные (вес, коэффициент трения) характеристики систем. В статически определимых задачах число уравнений равновесия совпадает с числом неизвестных. Именно такие задачи и будут рассмотрены в этой части.

Для решения задач статики потребуются понятия проекции силы на ось и момента силы относительно точки и оси. Напомним, что проекция вектора силы Теоретическая механика разделы на ось Теоретическая механика разделы определяется по формуле Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — угол между положительным направлением оси и вектором силы, отсчитываемый против часовой стрелки. Если угол острый, то проекция положительная, если тупой — отрицательная.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Общее определение момента Теоретическая механика разделы силы Теоретическая механика разделы относительно точки Теоретическая механика разделы дается векторным произведением

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — радиус-вектор точки приложения вектора силы относительно точки Теоретическая механика разделы Модуль момента вычисляем по формуле Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы —угол между векторами Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Направление вектора момента вычисляется по правилу векторного произведения. Плечо Теоретическая механика разделы силы относительно точки Теоретическая механика разделы — это кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы: Теоретическая механика разделы

Вектор момента перпендикулярен плоскости, в которой располагаются силы. Поэтому в задачах статики плоской системы сил момент можно рассматривать как скалярную величину — величину проекции вектора момента на нормаль к плоскости (ось Теоретическая механика разделы). Индекс Теоретическая механика разделы для сокращения записи часто опускают и отождествляют момент силы Теоретическая механика разделы относительно точки на плоскости со скалярной величиной — Теоретическая механика разделы Отсюда вытекает практическое правило определения момента силы относительно точки в плоских задачах статики. Для вычисления момента силы относительно точки Теоретическая механика разделы (рис. 1) сначала находим проекции силы на оси, а затем момент вычисляем по формуле Теоретическая механика разделы Другой способ вычисления момента: Теоретическая механика разделы — плечо силы относительно точки Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Знак определяется по правилу векторного произведения. Если сила поворачивает тело относительно центра по часовой стрелке — момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный. На рис. 2 момент силы Теоретическая механика разделы относительно точки Теоретическая механика разделы отрицательный. Если сила или линия ее действия пересекает точку, то момент силы относительно этой точки равен нулю.

При решении задач пространственной статики (§ 4.3 - § 4.6) требуется вычислять момент силы относительно оси, или, что то же, проекцию момента силы относительно точки (1) на ось, проходящую через нее. Иногда эту величину удобнее искать как момент проекции Теоретическая механика разделы силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с плоскостью (рис. 3). Знак определяем по направлению вращения вокруг оси с точки зрения наблюдателя, находящегося на конце оси. Если вращение происходит по часовой стрелке, то момент отрицательный, против часовой стрелки — положительный.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика решебник

Репетитор теоретическая механика

Теоретическая механика работа силы, тяжести, трения, мощности

Курс теоретической механики

Момент силы относительно оси равен нулю, если сила параллельна оси или пересекает ее, т.е., если сила и ось лежат в одной плоскости.

Кроме сил в статике рассматриваются и пары сил. Пара — это совокупность двух равных параллельных противоположно направленных сил. Пара характеризуется моментом — суммой моментов ее сил относительно некоторой точки. Легко показать, что положение точки не существенно и на момент не влияет, поэтому момент пары является свободным вектором. Напомним, что вектор силы является вектором скользящим. В зависимости от знака момента пары на плоскости изображать пару будем изогнутой стрелкой Теоретическая механика разделы или Теоретическая механика разделы Не путать эту стрелку с вектором пары! Вектор пары перпендикулярен ее плоскости.

Плоская система сходящихся сил

Постановка задачи. Плоская шарнирно-стержне вая конструкция закреплена на неподвижном основании и нагружена в шарнирах силами. Найти усилия в стержнях.

План решения

Рассматриваем равновесие внутренних шарниров системы, не соединенных с неподвижным основанием. Такие шарниры будем называть узлами. Действие каждого стержня заменяем его реакцией — силой, направленной из узла к стержню. Усилие — это проекция реакции стержня на внешнюю нормаль к сечению. Если в результате решения задачи реакция стержня, приложенная таким образом к узлу, оказывается отрицательной, то стержень сжат, в противном случае стержень растянут.

1. Вырезаем узел, соединенный только с двумя стержнями. Действие стержней заменяем их реакциями.

2. Для полученной системы сходящихся сил составляем уравнения равновесия в проекциях на выбранные для этого узла оси.

3. Решаем систему двух линейных уравнений и находим искомые усилия.

4. Вырезаем очередной узел системы, тот, к которому подходят не более двух стержней с неизвестными усилиями. Составляем и решаем уравнения равновесия в проекциях на оси, выбранные для этого узла. Этот пункт плана выполняем несколько раз для всех узлов до нахождения всех усилий.

5. Для проверки решения мысленно отделяем конструкцию от основания, заменяя действие рассеченных стержней найденными реакциями. Проверяем выполнение условий равновесия полученной системы сил.

Замечание 1. Существуют фермы *) , у которых к каждому узлу присоединены более двух стержней. Например, на рис. 4 изображена конструкция (сетчатая ферма В.Г.Шухова), к каждому узлу которой подходит по три стержня. Диагональные стержни расположены в разных плоскостях и не пересекаются.

Здесь нельзя определять усилия по предложенной схеме, переходя от одного узла к другому, так как нет узла, с которого можно начать расчет. В этом случае сначала составляются уравнения равновесия отдельных узлов, а потом совместно решается система полученных уравнений. Систему можно решать любым известным способом (Ре-шебник ВМ, §2.1).

Теоретическая механика разделы

Замечание 2. Для упрощения уравнений равновесия одну из осей координат можно направить вдоль стержня с неизвестным усилием. Для каждого узла можно выбрать свою систему координат.

Замечание 3. Углы между осями и векторами усилий легче определять, если проводить через узлы вспомогательные вертикальные или горизонтальные прямые.

Пример решения задачи №1.

Плоская шарнирно-стержневая конструкция закреплена на неподвижном основании шарнирами Теоретическая механика разделы и нагружена в шарнире Теоретическая механика разделы горизонтальной силой Теоретическая механика разделы (рис. 5). Даны углы: Теоретическая механика разделы Найти усилия в стержнях.

Решение

Конструкция состоит из шести стержней, соединенных тремя шарнирами (узлами). Узлы фермы находятся в равновесии. Для каждого узла Теоретическая механика разделы составляем по два уравнения равновесия в проекциях на выбранные оси. Из шести уравнений находим шесть искомых усилий.

1. Решение задачи начинаем с рассмотрения узла Теоретическая механика разделы так как этот узел соединен только с двумя стержнями Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы При вырезании узла действие каждого стержня заменяем силой, направленной из шарнира к стержню (рис. б).

2. Составляем уравнения равновесия. Для упрощения уравнений ось Теоретическая механика разделы направляем по стержню Теоретическая механика разделы Получаем

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — проекции силы Теоретическая механика разделы на ось Теоретическая механика разделы а Теоретическая механика разделы — проекции силы Теоретическая механика разделы на ось Теоретическая механика разделы

3. Решаем уравнения. Из первого уравнения системы находим усилие Теоретическая механика разделы из второго — усилие Теоретическая механика разделы

4. Рассматриваем узел Теоретическая механика разделы К нему подходят три стержня (рис. 7).

Теоретическая механика разделы

Усилие в одном из них уже известно Теоретическая механика разделы Усилия в двух других находим из уравнений для проекций:

Теоретическая механика разделы

Находим Теоретическая механика разделы

Составляем уравнения равновесия узла Теоретическая механика разделы в проекциях на оси, направленные по стержням Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы (рис. 8):

Теоретическая механика разделы

Решая уравнения, получаем: Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

5. Проверка. Рассматриваем равновесие конструкции в целом.

Теоретическая механика разделы

Горизонтальным сечением отсекаем ферму от основания. Действия стержней заменяем силами, которые направляем, как и раньше, по внешним нормалям к сечениям стержней, т.е. вниз (рис. 9).

Система сил, действующих на ферму, не является сходящейся. Для такой системы справедливы три уравнения равновесия, одно из которых — уравнение моментов. Составление уравнения моментов — тема задач статики произвольной плоской или пространственной системы сил (§2.1 - 3.2). Для того, чтобы не выходить за пределы темы поставленной задачи, в решении которой используются только уравнения проекций, составим два уравнения проекций на оси Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы всех сил, действующих на ферму целиком:

Теоретическая механика разделы

Суммы равны нулю. Это подтверждает правильность решения. Результаты расчетов заносим в таблицу:

Теоретическая механика разделы

Произвольная плоская система сил

Постановка задачи. Тяжелая однородная рама расположена в вертикальной плоскости и опирается на неподвижный шарнир и наклонный невесомый стержень. К раме приложены внешние сосредоточенные силы и моменты. Учитывая погонный вес рамы, найти реакции опор.

План решения

1. Согласно аксиоме о связях, освобождаем раму от связей. Действие опор заменяем их реакциями. Выбираем систему координат. В неподвижном шарнире имеются две неизвестные составляющие реакции (горизонтальная и вертикальная), а в невесомом опорном стержне — одна неизвестная реакция, направленная вдоль стержня. Все наклонные силы раскладываем на составляющие вдоль осей координат.

2. К центру каждого участка рамы прикладываем его силу тяжести, вьчисленную по формуле Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — длина участка, Теоретическая механика разделы — погонный вес рамы (вес единицы длины стержня, из которого составлена рама).

3. Составляем уравнение моментов всех сил, действующих на раму, относительно неподвижного шарнира. Определяем из этого уравнения реакцию опорного стержня.

4. Составляем уравнения проекций всех сил на оси Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Из этих уравнений определяем составляющие реакции неподвижного шарнира (горизонтальную и вертикальную).

5. Выполняем проверку решения, составляя уравнение моментов относительно какой-либо точки, не лежащей на линиях действия искомых реакций.

Пример решения задачи №2.

Тяжелая однородная рама расположена в вертикальной плоскости и опирается на неподвижный шарнир Теоретическая механика разделы и наклонный невесомый стержень Теоретическая механика разделы К раме приложены внешние сосредоточенные силы Теоретическая механика разделы и момент Теоретическая механика разделы Дано: Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы (рис. 20). Учитывая погонный вес рамы Теоретическая механика разделы найти реакции опор.

Теоретическая механика разделы

Решение

1. Освобождаем раму от связей. Действие опор заменяем их реакциями (рис. 21). Выбираем систему координат с началом в точке Теоретическая механика разделы В неподвижном шарнире Теоретическая механика разделы реакция Теоретическая механика разделы имеет две неизвестные компоненты Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Невесомый опорный стержень в шарнире Теоретическая механика разделы заменяем на его реакцию, направленную по стержню (т.е. под углом Теоретическая механика разделы к горизонту).

2. К центру каждого участка рамы (всего четыре прямолинейных участка) прикладываем его силу тяжести, вычисленную по формуле Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — длины отрезков рамы Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы — погонный вес рамы.

Теоретическая механика разделы

3. Составляем уравнение моментов относительно шарнира Теоретическая механика разделы выделяя в нем для удобства счета отдельные слагаемые:

Теоретическая механика разделы

Момент Теоретическая механика разделы реакции опоры

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — плечо реакции Теоретическая механика разделы взятое со знаком момента.

Моменты сил Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы и момент тяжести Теоретическая механика разделы сил тяжести участков:

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Вычисляя величины сил тяжести участков

Теоретическая механика разделы

получаем Теоретическая механика разделы

В итоге уравнение моментов (1) принимает вид

Теоретическая механика разделы

Отсюда находим реакцию стержня

Теоретическая механика разделы

4. Реакции Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы определяем из уравнений проекций:

Теоретическая механика разделы

Ответы заносим в таблицу.

Теоретическая механика разделы

5. Проверка. Составляем сумму моментов всех сил, действующих на раму, включая найденные реакции опор, относительно произвольной точки, например, Теоретическая механика разделы Этот выбор оправдывается тем, что в уравнение моментов войдут все найденные реакции, а известная сила Теоретическая механика разделы не войдет (ее проверять не требуется), и уравнение будет на два слагаемых короче

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Равновесие при наличии трения

Постановка задачи. Конструкция состоит из двух шарнирно соединенных между собой тел. Одна из опор конструкции представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с трением. Коэффициент трения, размеры конструкции и часть внешних нагрузок заданы. Найти пределы изменения одной из внешних нагрузок, действующей на конструкцию в условии равновесия.

План решения

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Прикчадываем к этой опоре силу трения, направляя ее в сторону противоположную возможному движению. Предельное значение силы трения связываем с величиной нормальной реакции опоры Теоретическая механика разделы по формуле Кулона Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — коэффициент трения, зависящий от свойств контактирующих материалов и заданный в условии задачи.

2. Решаем задачу о равновесии системы тел. Для этого разбиваем систему на две отдельные части, для которых составляем и решаем уравнения равновесия (§ 2.4, § 2.5). Из решения определяем предельное значение нагрузки для заданного направления скольжения опоры.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Предыдущий пункт плана выполняем заново и определяем другое предельное значение нагрузки. Два найденных значения нагрузки определяют ту область ее изменения, при которой конструкция находится в равновесии.

Пример решения задачи №3.

Конструкция состоит из двух частей, шарнирно соединенных в точке Теоретическая механика разделы (рис. 52). Опора Теоретическая механика разделы представляет собой одностороннюю связь и допускает проскальзывание с коэффициентом трения Теоретическая механика разделы опора Теоретическая механика разделы — неподвижный шарнир. К конструкции приложена пара сил с моментом Теоретическая механика разделы сила Теоретическая механика разделы под углом Теоретическая механика разделы Размеры даны в метрах. Найти пределы изменения нагрузки Теоретическая механика разделы действующей под углом Теоретическая механика разделы на конструкцию, в условии равновесия.

Теоретическая механика разделы

Решение.

1. Задаем направление возможного движения подвижной опоры, скользящей с трением. Предполагая возможное движение ползуна Теоретическая механика разделы влево, силу трения Теоретическая механика разделы направим направо (рис. 53). Предельное значение силы трения связываем с нормальной реакцией опоры Теоретическая механика разделы по формуле Кулона: Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — коэффициент трения.

Теоретическая механика разделы

2. Рашаем задачу о равновесии системы тел. Для этого систему разбиваем по шарниру Теоретическая механика разделы на две отдельные части — Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Реакции шарнира Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы для левой и правой части направлены в противоположные стороны (рис. 54). К точке Теоретическая механика разделы прикладываем две составляющие реакции неподвижного шарнира Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Действие ползуна заменяем нормальной реакцией Теоретическая механика разделы направленной вниз, так как ползун по условию задачи является односторонней связью, и силой трения Теоретическая механика разделы Из множества комбинаций уравнений равновесия (§ 2.4, с. 60) выберем уравнение моментов относительно точки Теоретическая механика разделы для всей системы в целом (рис. 53) и сумму моментов относительно Теоретическая механика разделы для правой части:

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Уравнения (2) вместе с законом Кулона (1) образуют замкнутую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными Теоретическая механика разделы Решение системы имеет вид

Теоретическая механика разделы

При Теоретическая механика разделы получаем Теоретическая механика разделы Эта нагрузка для движения влево является предельной.

3. Меняем направление возможного движения системы и направление предельной силы трения. Пусть ползун Теоретическая механика разделы движется вправо. Силу Теоретическая механика разделы направим в противоположную сторону. Очевидно, знак момента силы Теоретическая механика разделы в уравнениях (2) изменится на противоположный, следовательно, решение для нового направления движения будет отличаться от (3) только знаком при Теоретическая механика разделы Формально подставляя в (3) Теоретическая механика разделы получим Теоретическая механика разделы Значения Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы являются границами области равновесия.

Чтобы убедиться, что равновесие соответствует значениям нагрузки между этими числами, определим Теоретическая механика разделы при Теоретическая механика разделы Действительно, из (3) имеем Теоретическая механика разделы

Из выражения (3) для Теоретическая механика разделы также следует, что при Теоретическая механика разделы нормальная реакция Теоретическая механика разделы поэтому отрыв ползуна Теоретическая механика разделы от поверхности невозможен. Таким образом, рама находится в равновесии при Теоретическая механика разделы

где

Теоретическая механика разделы

Этим нагрузкам соответствуют следующие значения нормальной реакции: Теоретическая механика разделы

Замечание. Неравенство Теоретическая механика разделы не является обязательным.

Пространственная система сил

Постановка задачи. Определить усилия в стержнях пространственной фермы, нагруженной в одном узле силами.

План решения

Задача является естественным обобщением задачи § 1.1, с. 14, в которой методом вырезания узлов определялись усилия в простейшей плоской ферме. Этот же метод применим и здесь, единственное отличие — вместо двух уравнений равновесия узла в проекциях на оси в пространственной задаче будет три уравнения.

Теоретическая механика разделы

1. Узлы фермы находятся в равновесии. Вырезаем узлы, заменяя действие стержней их реакциями. Реакцию незагруженного стержня направляем вдоль его оси. Используя правило знаков, согласно которому усилие растянутого стержня считается положительным, реакцию каждого стержня направляем из шарнира по направлению внешней нормали сечения стержня. Расчет начинаем с узла, к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями.

2. Для каждого из шарниров составляем по три уравнения равновесия в проекциях. Решаем полученную систему.

Пример решения задачи №4.

Найти усилия в стержнях 1-6 пространственной фермы, нагруженной в одном узле вертикальной силой Теоретическая механика разделы и горизонтальной Теоретическая механика разделы Даны размеры Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы (рис. 60).

Решение

1. Узлы Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы находятся в равновесии. Вырезаем эти узлы, заменяя действие стержней их реакциями, направленными из узла к стержню (рис. 61).

Теоретическая механика разделы

Стержень 1 является общим для обоих узлов, поэтому на рисунке есть два противоположно направленных вектора с усилием Теоретическая механика разделы Один вектор приложен к узлу Теоретическая механика разделы другой - к узлу Теоретическая механика разделы

2. Расчет начинаем с узла Теоретическая механика разделы к которому подходят три стержня с неизвестными усилиями. Составляем уравнения равновесия узла в проекциях на три оси координат:

Теоретическая механика разделы

Система уравнений (1) содержит три неизвестных усилия: Теоретическая механика разделы

Вычисляем тригонометрические функции, входящие в уравнения,

Теоретическая механика разделы

Решение системы (1):

Теоретическая механика разделы

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 1 и 2 растянуты, а стержень 3 сжат. Составляем уравнения равновесия узла Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Уравнения (2) содержат три неизвестных усилия Теоретическая механика разделы Усилие Теоретическая механика разделы найдено ранее из условия равновесия узла Теоретическая механика разделы Вычисляем необходимые тригонометрические функции:

Теоретическая механика разделы

Решение системы (2):

Теоретическая механика разделы

Знаки найденных усилий показывают, что стержни 5 и 6 сжаты, а стержень 4 растянут.

Результаты расчета (в Теоретическая механика разделы) заносим в таблицу:

Теоретическая механика разделы

Центр тяжести

Постановка задачи. Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры.

План решения

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

2. Выбираем систему координат. Вычисляем площади и координаты Теоретическая механика разделы центров тяжести отдельных частей. Площади вырезанных частей берем со знаком минус.

3. Находим общую площадь фигуры по формуле Теоретическая механика разделы

4. Определяем координаты центра тяжести фигуры:

Теоретическая механика разделы

Пример решения задачи №4.

Найти площадь и координаты центра тяжести плоской фигуры. Криволинейный участок контура является половиной окружности с центром на оси Теоретическая механика разделы (рис. 74). Размеры на рисунке даны в метрах.

Теоретическая механика разделы

Решение

1. Разбиваем фигуру на простые отдельные части, положение центров тяжести которых известны.

Центр тяжести прямоугольника находится в его геометрическом центре, положение центра тяжести других фигур, встречающихся в задачах, изображено на рис. 75.

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Представляем фигуру в виде двух треугольников Теоретическая механика разделы прямоугольника Теоретическая механика разделы и выреза Теоретическая механика разделы в виде полукруга (рис. 76).

2. Вычисляем площадь (в Теоретическая механика разделы) и координаты центра тяжести (в Теоретическая механика разделы) каждого элемента:

Теоретическая механика разделы

3. Площадь фигуры Теоретическая механика разделы

4. Находим координаты центра тяжести всей фигуры:

Теоретическая механика разделы

Вычисления удобно свести в таблицу:

Теоретическая механика разделы

Сначала заполняем столбцы Теоретическая механика разделы затем вычисляем статические моменты Теоретическая механика разделы Внизу записываем суммы столбцов, необходимые для вычисления координат центра тяжести. Таким образом,

Теоретическая механика разделы

Замечание 1. Большинство задач на определение центра тяжести допускает несколько способов разбиения фигуры. Это можно использовать для проверки решения. Второй вариант разбиения фигуры в данном примере состоит из прямоугольника Теоретическая механика разделы с размерами Теоретическая механика разделы и вырезанных из него полукруга Теоретическая механика разделы и двух треугольников Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы (рис. 77).

Замечание 2. Решение задачи в системе Maple V методом контурного интегрирования приведено в § 15.2, с. 355.

Кинематика

Кинематика — наука о движении геометрических тел. В ней рассматривается само движение без изучения причин, вызывающих это движение. Впервые термин "кинематика" ввел А.Ампер (1775-1836), взяв за основу греческое слово Теоретическая механика разделы означающее движение.

  • Простейшим объектом в кинематике является точка. В кинематике точки рассматриваются следующие функции времени Теоретическая механика разделы радиус-вектор Теоретическая механика разделы скорость Теоретическая механика разделы и ускорение Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Движение тела в кинематике начинают изучать с поступательного и вращательного движения. Во вращательном движении вводятся понятия угла поворота тела Теоретическая механика разделы угловой скорости и углового ускорения. Последние две величины векторные, но для вращательного движения их направление всегда постоянно — по оси вращения. Поэтому в решении часто используются скалярные величины Теоретическая механика разделы имеющие смысл проекций этих векторов на ось вращения Теоретическая механика разделы Точкой будем обозначать производную по времени .

В плоском движении тела каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой фиксированной плоскости. Само тело вовсе не обязательно должно быть плоским. Говорить о скорости тела или его ускорении в общем случае не имеет смысла: тело состоит из множества точек, каждая из которых может иметь свою скорость и ускорение. Исключение составляет поступательное движение тела, при котором равны скорости и ускорения всех точек. Кроме того, в некоторых задачах иногда говорят, например, о скорости катящегося цилиндра или о скорости автомобиля, подразумевая при этом скорость точек центральной оси цилиндра или скорость кузова автомобиля, принимая его за точку.

Угловая скорость и ускорение для плоского движения — векторные величины, но их направления всегда перпендикулярны плоскости движения. Введем декартову систему координат, в которой плоскость Теоретическая механика разделы совпадает с плоскостью движения. Тогда угловая скорость Теоретическая механика разделы и ускорение Теоретическая механика разделы направлены вдоль оси Теоретическая механика разделы В решении задач удобно использовать скалярные величины — проекции этих векторов на ось Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы

Скорость точки Теоретическая механика разделы тела при плоском движении вычисляют через известную скорость какой-либо точки Теоретическая механика разделы того же тела, принимаемой за полюс (рис. 81):

Теоретическая механика разделы

Для расчета скоростей точек многозвенного механизма, каждое звено которого совершает плоское движение, формулу (1) применяют последовательно для всех точек, переходя от одной точки, принимаемой за полюс, к другой. Схему вычислений в этом случае удобно записывать в виде структурных формул (графов [21])

Теоретическая механика разделы

где над стрелкой указан номер тела или наименование стержня, которому принадлежат точки, а снизу — угол Теоретическая механика разделы между осью Теоретическая механика разделы и вектором Теоретическая механика разделы В проекциях на оси Теоретическая механика разделы граф (2) дает уравнения

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — проекция угловой скорости тела Теоретическая механика разделы на ось Теоретическая механика разделы перпендикулярную плоскости движения. Если вращение происходит против часовой стрелки, то Теоретическая механика разделы а если — по часовой стрелке, то Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Ускорения точек тела при плоском движении связаны формулой

Теоретическая механика разделы

Кинематика точки

Постановка задачи. Точка движется по закону

Теоретическая механика разделы

Для заданного момента времени найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории.

План решения

1. Определяем траекторию движения точки, исключая Теоретическая механика разделы из закона движения (1).

2. Дифференцируя (1) по времени Теоретическая механика разделы находим проекции скорости точки на оси Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

3. Модуль скорости вычисляем по формуле Теоретическая механика разделы

4. Дифференцируя (2), находим компоненты вектора ускорения Теоретическая механика разделы

5. Определяем модуль ускорения Теоретическая механика разделы

6. Вычисляем тангенциальное (касательное) ускорение. Дифференцируя скорость Теоретическая механика разделы как сложную функцию времени, получаем:

Теоретическая механика разделы

7. Вычисляем нормальное ускорение Теоретическая механика разделы

8. Нормальное ускорение зависит от скорости точки и радиуса кривизны траектории: Теоретическая механика разделы Отсюда находим радиус кривизны Теоретическая механика разделы

Пример решения задачи №6.

Точка движется по закону

Теоретическая механика разделы

Для момента времени Теоретическая механика разделы найти скорость, ускорение точки и радиус кривизны траектории. Координаты Теоретическая механика разделы даны в сантиметрах, время — в секундах.

Решение

1. Определяем траекторию движения точки, исключая Теоретическая механика разделы из закона движения (3). Параметрическим представлением траектории является сам закон движения (3). Координатную форму уравнения движения точки получаем, исключая из закона движения (3) время:

Теоретическая механика разделы

Для того, чтобы окончательно получить ответ на вопрос о траектории, необходимо еще выделить область определения функции (4). Не все точки кривой, определяемой этой функцией, являются точками траектории. При Теоретическая механика разделы имеем

Теоретическая механика разделы

т.е. траекторией является правая ветвь параболы (4) (рис. 82). График строим по точкам (отмечены звездочками), через равные промежутки времени 0.1 с.

2. Дифференцируя (3) по времени Теоретическая механика разделы находим проекции скорости точки на оси Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

При Теоретическая механика разделы имеем следующие численные значения компонентов скорости:

Теоретическая механика разделы

3. Модуль скорости вычисляем по формуле

Теоретическая механика разделы

Вектор скорости Теоретическая механика разделы строим на рисунке в масштабе по известным компонентам Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Если в вычислениях нет ошибок, то вектор скорости будет направлен по касательной к траектории (рис. 82).

4. Дифференцируя (6), находим компоненты вектора ускорения:

Теоретическая механика разделы

При Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

5. Определяем модуль ускорения

Теоретическая механика разделы

Вектор ускорения строим на чертеже в масштабе ускорений (не обязательно совпадающем с масштабом скоростей). Вектор ускорения направлен внутрь вогнутости кривой.

6. Вычисляем тангенциальное ускорение:

Теоретическая механика разделы

7. Вычисляем нормальное ускорение:

Теоретическая механика разделы

8. Находим радиус кривизны траектории в указанном положении точки:

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Центр кривизны траектории лежит на нормали к кривой на расстоянии Теоретическая механика разделы внутри вогнутости кривой. Окружность радиусом Теоретическая механика разделы с центром в этой точке максимально близко совпадет с кривой в малой окрестности от нее.

Вращательное движение тела

Постановка задачи. Твердое тело вращается вокруг неподвижной оси. Заданы некоторые кинематические характеристики движения тела и (или) кинематические характеристики движения точки этого тела. Найти остальные кинематические характеристики движения тела или точки.

План решения

Пусть тело вращается вокруг оси Теоретическая механика разделы

Кинематические характеристики движения тела:

— угол поворота Теоретическая механика разделы

— угловая скорость Теоретическая механика разделы

— угловое ускорение Теоретическая механика разделы

Кинематические характеристики точки на теле:

— радиус траектории (расстояние до оси вращения) Теоретическая механика разделы

— скорость Теоретическая механика разделы

— ускорение Теоретическая механика разделы

1. Записываем систему уравнений для всех величин, входящих в условие задачи. В зависимости от условия возможны три основных варианта решения:
- Неизвестный закон вращения. Записываем систему двух уравнений для скоростиТеоретическая механика разделы точки, лежащей на расстоянии Теоретическая механика разделы от оси вращения, и ее ускорения Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Для решения задачи необходимо, чтобы три из пяти величин Теоретическая механика разделы входящих в (1), были заданы в условии.

- Вращение с постоянной угловой скоростью. Интегрируя уравнение Теоретическая механика разделы при Теоретическая механика разделы получаем

Теоретическая механика разделы

Как правило, отсчет ведется от Теоретическая механика разделы поэтому в системе трех уравнений (1-2) содержатся семь величин Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

- Вращение с постоянным угловым ускорением. Дважды интегрируя уравнение

Теоретическая механика разделы

получаем при Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — начальная угловая скорость. Совместно с (1) получаем систему четырех уравнений для восьми величин Теоретическая механика разделы четыре из которых должны быть заданы в условии задачи.

2. Решаем систему. Находим искомые величины.

Замечание. Ряд величин задан в тексте задач неявно. Например, угол поворота Теоретическая механика разделы может быть задан числом оборотов Теоретическая механика разделыСлова "покой" и "остановка" соответствуют математической записи Теоретическая механика разделы

Пример решения задачи №7.

Диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянным угловым ускорением Теоретическая механика разделы Найти ускорение точки, лежащей на расстоянии Теоретическая механика разделы от оси вращения, через Теоретическая механика разделы после начала движения из состояния покоя.

Решение

1. В задаче задано постоянное угловое ускорение. Записываем систему уравнений для величин, входящих в условие задачи:

Теоретическая механика разделы

По условию задачи диск в начальный момент находился в покое, следовательно, Теоретическая механика разделы Кроме того, при Теоретическая механика разделы даны значения Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы Решая систему двух уравнений (4) с двумя неизвестными Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы находим

Теоретическая механика разделы

Ответ. Теоретическая механика разделы

Плоское движение тела

Постановка задачи. Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы находится в движении. Известна угловая скорость какого-либо его звена или скорость одной из точек механизма. Найти скорости точек механизма и угловые скорости его звеньев.

План решения

Рассмотрим два простых геометрических способа решения задачи, в которых, в отличие от аналитических методов (§ 8.3, 8.5), определяются модули скоростей и угловых скоростей. Не оговаривая отдельно, всякий раз под угловой скоростью Теоретическая механика разделы будем подразумевать ее модуль Теоретическая механика разделы

1-й способ. Мгновенные центры скоростей

1. Определяем положение мгновенного центра скоростей (МЦС) каждого звена. МЦС лежит на пересечении перпендикуляров, про-

веденных к скоростям точек, принадлежащих звену (рис. 85). У тех звеньев, у которых МЦС не существует (скорости двух точек параллельны и не перпендикулярны отрезку, их соединяющему), угловая скорость равна нулю, а скорости всех точек равны. Если векторы скоростей перпендикулярны отрезку их соединяющему, то имеют место два частных случая положения МЦС (рис. 86, 87).

Если тело (колесо, диск, цилиндр) кати тел по поверхности без проскальзывания, то МЦС этого тела находится в точке касания.

2. Для каждого звена определяем расстояния от его точек до МЦС этого звена.

Теоретическая механика разделы

3. Записываем систему уравнений для скоростей Теоретическая механика разделы точек звена Теоретическая механика разделы включая точку с известной скоростью:

Теоретическая механика разделы

Здесь Теоретическая механика разделы — угловая скорость звена Теоретическая механика разделы — расстояние от МЦС звена Теоретическая механика разделы до точки Теоретическая механика разделыРешаем систему, определяем угловую скорость звена, а затем скорости всех его точек.

Этот пункт плана выполняем последовательно для всех звеньев механизма. Очередное звено должно иметь общую точку (шарнир) с предыдущим, для которого угловая скорость найдена или известна.

2-й способ. План скоростей

1. Как ив методе МЦС ведем расчет, переходя от одного звена к другому, шарнирно с ним соединенному.

Построение начинаем с вектора, модуль и направление которого известны или легко вычисляются. Этот вектор в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки Теоретическая механика разделы (рис. 91). Его конец определяет первую точку плана скоростей. Точку плана скоростей (конец вектора) отмечаем строчной буквой, соответствующей точке вектора скорости. Пусть первая точка плана скоростей обозначена Теоретическая механика разделы

2. Рассматриваем очередное звено, на котором имеется точка с уже известной скоростью. Необходимо, чтобы на этом звене была еще одна точка с известным направлением вектора скорости (например, ползун или точка звена, совершающего вращательное движение). Пусть эта точка обозначена Теоретическая механика разделы (рис. 88).

Справедливо правило, согласно которому неизменяемые отрезки механизма, обозначенные прописными буквами, перпендикулярны отрезкам плана скоростей, обозначенными теми же строчными буквами.

Следующая точка плана скоростей лежит на пересечении двух прямых. Одна прямая определяется направлением скорости точки Теоретическая механика разделы вторая перпендикулярна Теоретическая механика разделы Длина полученного отрезка Теоретическая механика разделы является модулем скорости Теоретическая механика разделы (рис. 91).

Скорости остальных точек этого звена (если таковые имеются) найдем по правилу подобия неизменяемых фигур механизма и фигур, обозначенных теми же строчными буквами плана скоростей.

Пункт 2 плана выполняем для всех звеньев механизма (рис. 91-95).

3. После построения плана скоростей определяем угловую скорость каждого звена по простой формуле Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы расстояние между точками Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы звена, Теоретическая механика разделы — длина отрезка на плане скоростей.

Пример решения задачи №8.

Плоский многозвенный механизм с одной степенью свободы приводится в движение кривошипом Теоретическая механика разделы который вращается против часовой стрелки с угловой скоростью Теоретическая механика разделы (рис. 88).

Теоретическая механика разделы

Ползуны Теоретическая механика разделы движутся горизонтально, Теоретическая механика разделы Найти скорости точек Теоретическая механика разделы механизма и угловые скорости его звеньев Теоретическая механика разделы

Решение

1-й способ. Мгновенные центры скоростей

1. Определяем положение мгновенного центра скоростей каждого звена Теоретическая механика разделы

МЦС звеньев Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы искать не требуется. Они совершают вращательное движение вокруг шарниров Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы соответственно. Можно условно считать, что там находятся их МЦС.

Ветор Теоретическая механика разделы скорости точки Теоретическая механика разделы направим перпендикулярно радиусу Теоретическая механика разделы против часовой стрелки (рис. 89). Далее, чтобы узнать положение МЦС следующего звена надо знать направления векторов скоростей двух его точек. Следующим звеном будет стержень Теоретическая механика разделы имеющий со звеном Теоретическая механика разделы общую точку Теоретическая механика разделы У него есть три характерные точки Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Направление вектора скорости точки Теоретическая механика разделы пока неизвестно.

Теоретическая механика разделы

Остается точка Теоретическая механика разделы Ползун Теоретическая механика разделы движется строго горизонтально. Вектор скорости Теоретическая механика разделы направляем по горизонтали налево. Из двух возможных горизонтальных направлений мы выбрали этот вариант, исходя из теоремы о проекции векторов скоростей точек неизменяемого отрезка. Проекции должны быть равны и направлены в одну сторону. Таким образом, известны направления скоростей двух точек тела. Это позволяет определить МЦС звена Теоретическая механика разделы Находим точку Теоретическая механика разделы пересечения перпендикуляров, проведенных из точек Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы к векторам Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы (рис. 89). Теперь определяем направление вектора Теоретическая механика разделы Он будет перпендикулярен радиусу Теоретическая механика разделы и направлен налево, исходя из той же теоремы о проекциях скоростей точек отрезка Теоретическая механика разделы

Со стержнем Теоретическая механика разделы имеют общие точки два стержня: Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Рассмотрим сначала стержень Теоретическая механика разделы Направление вектора скорости точки Теоретическая механика разделы уже известно. Чтобы определить положение МЦС, надо знать направление вектора еще одной точки на этом звене. Такой точкой является Теоретическая механика разделы Вектор ее скорости перпендикулярен радиусу вращения Теоретическая механика разделы и направлен вертикально. Перпендикуляры к векторам Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы задают положение точки Теоретическая механика разделы вокруг которой звено Теоретическая механика разделы овершает мгновенное вращательное движение.

Перпендикулярно радиусам Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы проводим вектора Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы

Переходим к звену Теоретическая механика разделы МЦС которого находим на пересечении перпендикуляров к Теоретическая механика разделы (продолжение радиуса Теоретическая механика разделы) и к ветору скорости Теоретическая механика разделы ползуна Теоретическая механика разделы движущегося горизонтально. Получаем точку Теоретическая механика разделы — МЦС звена Теоретическая механика разделы

И, наконец, рассматриваем звено Теоретическая механика разделы Скорости Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы параллельны и не перпендикулярны Теоретическая механика разделы Звено Теоретическая механика разделы совершает мгновенно-поступательное движение. Условно можно сказать, что МЦС звена Теоретическая механика разделы находится в бесконечности.

2. Определяем расстояния от МЦС звеньев до тех точек этих звеньев, скорости которых надо найти.

Звено Теоретическая механика разделы Находим расстояния:

Теоретическая механика разделы

Здесь Теоретическая механика разделы Польлзуясь подобием Теоретическая механика разделы находим

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Звено Теоретическая механика разделы (рис. 90). Находим расстояния до МЦС

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

3. Записываем систему уравнений для скоростей трех точек звена Теоретическая механика разделы включая точку Теоретическая механика разделы с известной скоростью:

Теоретическая механика разделы

Решаем эту систему. Находим Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы

Система уравнений для скоростей точек звена Теоретическая механика разделы имеет вид

Теоретическая механика разделы

Из первого уравнения вычисляем угловую скорость:

Теоретическая механика разделы

Получаем скорости точек:

Теоретическая механика разделы

Система уравнений для скоростей точек звена Теоретическая механика разделы имеет вид

Теоретическая механика разделы

Отсюда

Теоретическая механика разделы

Звено Теоретическая механика разделы совершает мгновенно-поступательное движение. Следовательно, скорости точек Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы равны: Теоретическая механика разделы

Угловая скорость этого звена равна нулю.

Частично проверить решение можно графически. Известно, что концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой. Убеждаемся в этом, проводя прямую через концы векторов Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы отложенных на чертеже в масштабе (рис. 90).

Теоретическая механика разделы

Аналогично проверяем скорости Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Через их концы также можно провести прямую. Остались непроверенными скорости точек Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Для этого можно воспользоваться методом построения плана скоростей, см. ниже 2-й способ.

Результаты расчетов помещаем в таблицы.

Теоретическая механика разделы

2-й способ. План скоростей

1. Построение начинаем с вектора, величина и направление которого известны или легко вычисляются. В нашем случае это Теоретическая механика разделы Вектор Теоретическая механика разделы в заданном масштабе откладываем от некоторой произвольной точки Теоретическая механика разделы (рис. 91). Все остальные вектора также будем откладывать от этой точки.

Точки плана скоростей (концы векторов) отмечаем соответствующими строчными буквами. Таким образом, положение точки Теоретическая механика разделы на плане скоростей известно.

2. Рассматриваем звено Теоретическая механика разделы (рис. 90), на котором имеется точка Теоретическая механика разделы с известной скоростью. Неизменяемые отрезки механизма, обозначенные прописными буквами, перпендикулярны отрезкам плана скоростей, обозначенными теми же строчными буквами, Теоретическая механика разделы Звено механизма Теоретическая механика разделы горизонтально.

Теоретическая механика разделы

Следовательно, точка Теоретическая механика разделы плана скоростей лежит на одной вертикали с точкой Теоретическая механика разделы Известно направление скорости ползуна Теоретическая механика разделы Точку Теоретическая механика разделы находим на пересечении двух прямых. Вектор Теоретическая механика разделы изображен отрезком Теоретическая механика разделы плана скоростей (рис. 91). Из правила подобия фигур механизма и фигур, обозначенных теми же строчными буквами плана скоростей (в данном случае это отрезки Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы ), имеем Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Так получаем точку Теоретическая механика разделы плана скоростей и, следовательно, модуль и направление вектора Теоретическая механика разделы (рис. 92).

Определяем скорость Теоретическая механика разделы Направление этого вектора известно — он перпендикулярен радиусу вращения Теоретическая механика разделы По свойству плана скоростей Теоретическая механика разделы Точка Теоретическая механика разделы на плане уже есть. Проводим через нее горизонтальную прямую (перпендикулярную Теоретическая механика разделы) до пересечения с вертикальным направлением вектора скорости Теоретическая механика разделы Получаем точку Теоретическая механика разделы (рис. 93). Соединяя ее с центром Теоретическая механика разделы определяем модуль искомой скорости Теоретическая механика разделы

Из соотношения подобия Теоретическая механика разделы на отрезке Теоретическая механика разделы находим внутри него конец вектора скорости Теоретическая механика разделы и вне отрезка, пользуясь пропорцией Теоретическая механика разделы точку Теоретическая механика разделы определяющую вектор скорости Теоретическая механика разделы (рис. 94).

Аналогично определяем скорость Теоретическая механика разделы (рис. 95). Здесь Теоретическая механика разделы Точки Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы на плане скоростей совпадают.

3. Угловые скорости звеньев определяем по простым формулам:

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Сложное движение точки

  • Постановка задачи. Геометрическая фигура вращается вокруг оси, перпендикулярной ее плоскости по известному закону Теоретическая механика разделы В канале, расположенном на фигуре, движется точка Теоретическая механика разделы по закону Теоретическая механика разделы Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки в заданный момент времени Теоретическая механика разделы

План решения

Сложное движение точки Теоретическая механика разделы представляется в виде суммы относительного и переносного. Характерной особенностью этой задачи является то, что траектории относительного, переносного и абсолютного движения лежат в одной плоскости. Ось Теоретическая механика разделы на которую проектируются векторы переносной угловой скорости и переносного углового ускорения, перпендикулярна этой плоскости и направлена на наблюдателя. Угол поворота считается положительным, если со стороны оси Теоретическая механика разделы он виден против часовой стрелки.

Искомые величины получаем из векторных равенств:

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы — соответственно относительные и переносные скорости и ускорения; Теоретическая механика разделы - ускорение Кориолиса.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Теоретическая механика разделы при Теоретическая механика разделы и определяем положение точки в подвижной системе координат.

2. Дифференцируя Теоретическая механика разделы по времени, находим относительную скорость (скорость точки относительно фигуры):

Теоретическая механика разделы

Вектор Теоретическая механика разделы направляем по касательной к относительной траектории в сторону увеличения Теоретическая механика разделы если Теоретическая механика разделы и в обратную сторону в противном случае; Теоретическая механика разделы

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Теоретическая механика разделы — расстояние от точки Теоретическая механика разделы в положении Теоретическая механика разделы до оси переносного вращения.

4. Находим переносную скорость Теоретическая механика разделы где переносная угловая скорость

Теоретическая механика разделы

Вектор Теоретическая механика разделы направляем перпендикулярно Теоретическая механика разделы в сторону переносного вращения.

5. Определяем вектор абсолютной скорости, вычисляя компоненты Теоретическая механика разделы векторной суммы (1) на произвольно выбранные оси, и модуль Теоретическая механика разделы

6. Вычисляем относительное ускорение. В случае криволинейной относительной траектории

Теоретическая механика разделы

где

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы — радиус кривизны относительной траектории в точке Теоретическая механика разделы Для прямолинейной траектории относительного движения Теоретическая механика разделы Вектор Теоретическая механика разделы направляем по касательной к относительной траектории, вектор Теоретическая механика разделы — к центру кривизны этой же кривой.

7. Вычисляем переносное ускорение: Теоретическая механика разделы

Вектор Теоретическая механика разделы направляем перпендикулярно Теоретическая механика разделы вектор Теоретическая механика разделы — к оси переносного вращения (вдоль Теоретическая механика разделы).

8. Находим ускорение Кориолиса Теоретическая механика разделы Так как в задачах этого типа вектор переносной угловой скорости перпендикулярен вектору относительной скорости, то

Теоретическая механика разделы

Направление вектора ускорения Кориолиса можно определить по правилу Жуковского поворотом на Теоретическая механика разделы вектора относительной скорости по направлению переносного вращения. В результате вектор ускорения Кориолиса в таких задачах будет лежать на одной прямой с Теоретическая механика разделы при криволинейном относительном движении, а в случае прямолинейного относительного движения Теоретическая механика разделы перпендикулярен относительной траектории.

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат. Модуль абсолютного ускорения Теоретическая механика разделы

Пример решения задачи №9.

Прямоугольник Теоретическая механика разделы вращается вокруг оси, проходящей через вершину Теоретическая механика разделы по закону Теоретическая механика разделы Ось вращения перпендикулярна плоскости прямоугольника (рис. 109). По круговому каналу радиуса Теоретическая механика разделы с центром в точке Теоретическая механика разделы расположенному на прямоугольнике, движется точка Теоретическая механика разделы Дуговая координата точки меняется по закону Теоретическая механика разделы Дано: Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки Теоретическая механика разделы при Теоретическая механика разделы

Решение

Движение точки Теоретическая механика разделы представим в виде относительного движения по круговому каналу и переносного движения вместе с вращающимся прямоугольником.

1. Вычисляем значение дуговой координаты Теоретическая механика разделы при Теоретическая механика разделы и определяем положение точки в подвижной системе координат. За время Теоретическая механика разделы точка проходит по дуге окружности путь Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы Центральный угол, соответствующий этой дуге, Теоретическая механика разделы Изображаем точку в этом положении (рис.110).

2. Дифференцируя Теоретическая механика разделы по времени, находим относительную скорость. Находим ее значение при Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Вектор Теоретическая механика разделы направлен по касательной к окружности.

3. Вычисляем радиус траектории переносного движения Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

4. Находим переносную скорость Теоретическая механика разделы Переносной скоростью точки является скорость точки прямоугольника, совпадающей в данный момент Теоретическая механика разделы. Угловая скорость фигуры, при Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Отсюда Теоретическая механика разделы

5. Определяем вектор абсолютной скорости по формуле (1).

Модуль абсолютной скорости, Теоретическая механика разделы находим, проецируя это равенство на неподвижные оси координат Теоретическая механика разделы (можно воспользоваться также теоремой косинусов):

Теоретическая механика разделы

Тригонометрические функции угла Теоретическая механика разделы вычисляем по формулам

Теоретическая механика разделы

Модуль абсолютной скорости Теоретическая механика разделы

6. Вычисляем относительное ускорение. Ускорение точки, движущейся относительно прямоугольника по окружности, имеет нормальную и тангенциальную составляющую:

Теоретическая механика разделы

Модуль относительного ускорения

Теоретическая механика разделы

Вектор ускорения Теоретическая механика разделы направляем по радиусу окружности к точке Теоретическая механика разделы — по касательной, в сторону увеличения дуги Теоретическая механика разделы так как Теоретическая механика разделы (рис. 111).

7. Вычисляем переносное ускорение Теоретическая механика разделы Траектория переносного движения точки — окружность радиуса Теоретическая механика разделы с центром Теоретическая механика разделы

Прямоугольник вращается с угловой скоростью Теоретическая механика разделы и угловым ускорением

Теоретическая механика разделы

Отсюда получаем

Теоретическая механика разделы

Вектор Теоретическая механика разделы направлен против часовой стрелки перпендикулярно радиусу Теоретическая механика разделы Вектор Теоретическая механика разделы - к центру Теоретическая механика разделы Модуль переносного ускорения Теоретическая механика разделы

8. Находим ускорение Кориолиса. Модуль вектора ускорения, Теоретическая механика разделы определяем по формуле Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы - угол между Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Вектор Теоретическая механика разделы перпендикулярен плоскости чертежа, следовательно, угол Теоретическая механика разделы равен Теоретическая механика разделы Имеем

Теоретическая механика разделы

Направление вектора ускорения Кориолиса получаем по правилу Жуковского — поворотом на Теоретическая механика разделы вектора относительной скорости по направлению переносного вращения, т.е. против часовой стрелки (рис. 112).

Теоретическая механика разделы

9. Вычисляем абсолютное ускорение по формуле (2) в проекциях на оси координат (рис. 111):

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Находим модуль ускорения: Теоретическая механика разделы

Ответы (радиус траектории переносного движения, скорости, ускорения) заносим в таблицу.

Теоретическая механика разделы

Сферическое движение тела

Постановка задачи. Твердое тело совершает сферическое движение по закону, заданному в углах Эйлера Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Найти скорость и ускорение точки, положение которой дано относительно подвижных осей координат.

План решения

1. Воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера для определения проекций угловой скорости на подвижные оси координат

Теоретическая механика разделы

2. Находим проекции скорости Теоретическая механика разделы на подвижные оси, относительно которых задан радиус-вектор точки Теоретическая механика разделы

3. Вычисляем модуль скорости Теоретическая механика разделы

4. Дифференцируя по времени Теоретическая механика разделы проекции угловой скорости, получаем компоненты углового ускорения Теоретическая механика разделы в подвижных осях.

5. Ускорение точки представляем в виде векторной суммы

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы - вращательное, а Теоретическая механика разделы - осестремительное ускорение.

6. Находим модуль ускорения Теоретическая механика разделы

Пример решения задачи №10.

Твердое тело совершает сферическое движение по закону, заданному в углах Эйлера Теоретическая механика разделы При Теоретическая механика разделы найти скорость и ускорение точки, положение которой относительно подвижных координат задано координатами

Теоретическая механика разделы

Углы Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы даны в радианах.

Решение

1. Зная зависимости угла прецессии Теоретическая механика разделы угла нутации Теоретическая механика разделы и собственного вращения Теоретическая механика разделы от времени, воспользуемся кинематическими уравнениями Эйлера (1) для определения проекций угловой скорости на подвижные оси координат. Подставляя в (1) заданные функции, получаем

Теоретическая механика разделы

При Теоретическая механика разделы вычисляем

Теоретическая механика разделы

Модуль угловой скорости тела

Теоретическая механика разделы

2. Вычисляем проекции скорости точки на подвижные оси:

Теоретическая механика разделы

3. Модуль скорости точки Теоретическая механика разделы

4. Дифференцируя по Теоретическая механика разделы проекции угловой скорости, получаем компоненты углового ускорения тела в подвижных осях:

Теоретическая механика разделы

При Теоретическая механика разделы получаем

Теоретическая механика разделы

Модуль углового ускорения Теоретическая механика разделы

5. Ускорение точки представляем в виде векторной суммы:

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы - вращательное, а Теоретическая механика разделы - осестремительное ускорени. Вычисляем отдельно их проекции на оси Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Компоненты ускорения получаем, суммируя Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

6. Модуль ускорения Теоретическая механика разделы Ответы занесем в таблицу.

Теоретическая механика разделы

Замечание 1. При сферическом движении тела векторы угловой скорости и углового ускорения не лежат на одной прямой Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы а вектор осе стремительного ускорения в общем случае не перпендикулярен вектору вращательного ускорения. В этом можно убедиться, вычислив скалярное произведение Теоретическая механика разделы

Замечание 2. Кинематические уравнения Эйлера для определения проекций угловой скорости на неподвижные оси координат имеют вид

Теоретическая механика разделы

Динамика

Динамика — основной раздел теоретической механики. В динамике изучают механическое движение материальных объектов в связи с силами, приложенными к ним. Простейшим объектом является материальная тотжа — геометрическая точка, наделенная массой. В главе 11 решаются задачи о движении точки под действием постоянных и переменных сил. Все объекты, о которых там идет речь, принимаются за материальную точку. Для решения текстовых задач, приведенных в § 11.1, 11.2, требуется определенный навык прочтения условия, умение выделить суще с твенное, заметить недосказанное и, главное, не приписать к условию того, чего там нет. Например, если в задаче речь идет об автомобиле, который при некоторых условиях разгоняется за одно время, а при других условиях — за другое, то естественно предположить, что двигатель в обоих случаях один и тот же, и все параметры движения, кроме тех о которых явно сказано, одинаковые. Общий принцип здесь — не вносить в условие дополнительных сложностей и использовать все имеющиеся в тексте данные. Кроме того, для успешного решения этих задач рекомендуем повторить методы интегрирования.

Рассматриваются задачи динамики плоского движения тела и системы тел. В зависимости от постановки задатш применяются различные методы. В некоторых случаях одну и ту же задачу можно решить несколькими способами. Так, задачи § 12.3, § 12.5, § 12.6 можно решить с помощью теоремы об изменении кинетической энергии системы, с помощью общего уравнения динамики или уравнения Лагранжа 2-го рода. Заметим, что большинство трудностей при решении этих задач связаны с кинематикой. Рекомендуем повторить методы вычисления скоростей (§ 8.1, 8.5) и ускорений (§ 8.2) точек тела при плоском движении.

Задача о динамических реакциях подшипников ротора § 12.7 соответствует задаче Д-6 из сборника И.В. Новожилова, М.Ф. Зацепина [21].

В § 13.1 методами аналитической механики решается задача определения реакций опор составной конструкции. Здесь в одной задаче собраны все три раздела механики: методами кинематики находят возможные скорости, искомая реакция определяется из уравнения принципа возможных скоростей, а уравнения статики используются при проверке решения.

Для решения задач динамики системы тел с двумя степенями свободы применяется общее уравнение динамики (§ 13.3) или уравнение Лагранжа 2-го рода (§ 13.4).

Особое внимание уделяется задачам, в которых кинетическая энергия системы зависит от обобщенной координаты. В этом случае решение ограничивается составлением уравнения движения в форме Лагранжа 2-го рода (§ 13.5) или Гамильтона (§ 13.8). При вычислении обобщенных сил в таких задачах важно знать не только модули скорости характерных точек (центров масс, точек приложения сил), но и знаки их проекций. Наибольшие трудности при решении возникают именно здесь. Именно поэтому в этих задачах реко мен дуется использовать метод кинематических графов. Для численного решения полученного дифференциального уравнения движения в § 17.2 дана программа для Maple V. С помощью этой программы можно выполнять задание Д-5 из сборника [21].

В § 14.1 с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода решена задача о собственных колебаниях системы двух тел, совершающих плоское движение.

Динамика точки

Постановка задачи. Материальная точка движется по прямой или по окружности под действием постоянных по величине сил. Определить закон движения точки или отдельные параметры движения.

План решения

1. Выбираем систему координат. Для прямолинейного движения ось Теоретическая механика разделы направляем вдоль линии движения точки. Уравнения движения под действием сил, главный вектор которых обозначим как Теоретическая механика разделы имеют вид

Теоретическая механика разделы

При движении по окружности используем уравнения движения в естественных осях:

Теоретическая механика разделы

Нормаль Теоретическая механика разделы направлена к центру окружности, Теоретическая механика разделы — орт касательной, направленный в сторону увеличения дуговой координаты Теоретическая механика разделы Ось Теоретическая механика разделы —перпендикулярна плоскости окружности.

Прикладываем к точке все действующие на нее силы.

2. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси. В проекции на одну из осей уравнение движения вырождается в уравнение равновесия. Если в условии задачи есть трение, то из этого уравнения можно найти силу трения или выразить ее через другие силы.

3. Интегрируем дифференциальное уравнение. Константы интегрирования определяем из начальных условий.

4. Из полученного закона движения определяем необходимые величины.

Пример решения задачи №11.

С аэростата сбросили балласт, падение аэростата замедлилось, и через время Теоретическая механика разделы он поднялся на ту высоту, с которой сбросили балласт. Сила сопротивления воздуха Теоретическая механика разделы подъемная сила аэростата — Теоретическая механика разделы масса аэростата без балласта — Теоретическая механика разделы Сколько времени после сброса балласта аэростат опускался?

Решение

1. Ось Теоретическая механика разделы направим вверх, поместив ее начало в нижней точке траектории аэростата. При падении на аэростат действуют силы тяжести Теоретическая механика разделы сила сопротивления воздуха Теоретическая механика разделы и подъемная сила Теоретическая механика разделы (рис. 121). Аэростат принимаем за материальную точку.

2. Дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Теоретическая механика разделы имеет вид:

Теоретическая механика разделы

3. Дважды интегрируем уравнение движения. Для постоянных сил интеграл берется просто:

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Начальные условия: Теоретическая механика разделы Отсюда находим константы интегрирования Теоретическая механика разделы Получаем уравнения Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Аналогично составляем уравнение при подъеме аэростата.

Теоретическая механика разделы

Сила сопротивления при этом меняет свое направление (рис. 122) Оставляя ось Теоретическая механика разделы прежней, время отсчитываем от нуля с момента подъема:

Теоретическая механика разделы

Интегрируя уравнение

Теоретическая механика разделы

получаем

Теоретическая механика разделы

Начальные условия: Теоретическая механика разделы Находим константы интегрирования: Теоретическая механика разделы Из (4) следует Теоретическая механика разделы

4. Находим искомое время падения. Обозначаем его Теоретическая механика разделы а время подъема — Теоретическая механика разделы По условию Теоретическая механика разделы Подставляем в (1), (2) условия: Теоретическая механика разделы а в (5) Теоретическая механика разделы Получаем систему трех уравнений с неизвестными Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Исключая известную высоту Теоретическая механика разделы и неизвестную начальную скорость Теоретическая механика разделы получаем

Теоретическая механика разделы

Динамика системы

Постановка задачи. Механизм, состоящий из Теоретическая механика разделы связанных между собой тел, установлен на призме, находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Одно из тел получает перемещение относительно призмы. Куда и на какое расстояние переместится призма?

План решения

Для решения задачи используем теорему о движении центра масс. Выбираем систему координат. Одну из осей, например, ось Теоретическая механика разделы направляем перпендикулярно линии действия внешних сил. В проекции на ось Теоретическая механика разделы уравнение движения центра масс принимает вид Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — координата центра масс системы, Теоретическая механика разделы - масса всей системы. Дважды интегрируя (1) при условии, что в начальный момент скорость центра масс была равна нулю, получаем

Теоретическая механика разделы

Координата центра масс системы вычисляется по формуле

Теоретическая механика разделы

Записывая (2) с учетом (3), один раз для начального положения системы (в покое), а другой раз после смещения одного из тел, получаем формулу, связывающую абсолютные смещения тел системы:

Теоретическая механика разделы

1. Абсолютное смещение каждого тела представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины заданного относительного смещения одного из тел, и неизвестного переносного смещения Теоретическая механика разделы равного абсолютному смещению того тела, относительно которого задавалось смещение.

2. Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение для смещения Теоретическая механика разделы Решение уравнения дает ответ.

Пример решения задачи №12.

Механизм, состоящий из груза Теоретическая механика разделы массой Теоретическая механика разделы блока Теоретическая механика разделы массой Теоретическая механика разделы (больший радиус Теоретическая механика разделы меньший - Теоретическая механика разделы ) и цилиндра Теоретическая механика разделы массой Теоретическая механика разделы радиусом Теоретическая механика разделы установлен на призме Теоретическая механика разделы массой Теоретическая механика разделы находящейся на горизонтальной плоскости. Трение между призмой и плоскостью отсутствует. Груз Теоретическая механика разделы получает перемещение Теоретическая механика разделы относительно призмы вдоль ее поверхности влево; Теоретическая механика разделы (рис. 124). Куда и на какое расстояние переместится призма?

Решение

Задаем систему координат. Проекции на горизонтальную ось всех внешних сил (сил тяжести Теоретическая механика разделы реакции опоры

Теоретическая механика разделы), действующих на систему, равны нулю (рис. 125), а трения между призмой Теоретическая механика разделы и опорой по условию нет. Применим к системе следствие из теоремы о движении центра масс в форме (4).

1. Абсолютное смещение тел Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы представляем как сумму относительного смещения, зависящего от величины Теоретическая механика разделы относительного смещения груза Теоретическая механика разделы и неизвестного переносного смещения Теоретическая механика разделы равного абсолютному смещению призмы, относительно которой задавалось смещение Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Обозначаем абсолютные смещения координат центров масс тел системы Теоретическая механика разделы Направление оси Теоретическая механика разделы определяет знаки смещений: налево с минусом, направо с плюсом. Предполагаем, что призма сместится направо. Перемещение центра цилиндра Теоретическая механика разделы относительно призмы и перемещение груза Теоретическая механика разделы связаны так же, как связаны их скорости.

Цилиндр Теоретическая механика разделы совершает плоское движение. Абсолютное смещение его центра в проекции на ось Теоретическая механика разделы равно Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — смещение центра цилиндра вдоль наклонной поверхности призмы. Выразим Теоретическая механика разделы через Теоретическая механика разделы Для этого свяжем скорости груза Теоретическая механика разделы и центра масс цилиндра Теоретическая механика разделы Мгновенный центр скоростей цилиндра находится в точке касания призмы, поэтому скорость его центра масс относительно призмы вдвое меньше скорости нити, накручиваемой на обод. Скорость груза Теоретическая механика разделы выражаем через угловую скорость блока (рис. 132, с. 249):

Теоретическая механика разделы

Исключая отсюда Теоретическая механика разделы имеем связь скоростей Теоретическая механика разделы Интегрируя это соотношение при нулевых начальных значениях, получаем искомую зависимость: Теоретическая механика разделы Находим выражение абсолютных смещений всех тел через Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

2. Подставляя абсолютные смещения в (4), получаем уравнение

Теоретическая механика разделы

или

Теоретическая механика разделы

Решаем это уравнение относительно Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Призма Теоретическая механика разделы переместится вправо на Теоретическая механика разделы

Аналитическая механика

В главе АНАЛИТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА вы научитесь решению задач статики с помощью принципа возможных скоростей. Вы научитесь также составлять наиболее универсальные уравнения движения динамических систем. К ним относятся общее уравнение динамики, уравнение Лагранжа 2-го рода и уравнения Гамильтона. Первое знакомство с этой темой немного пугает сложностью: вводятся новые термины типа "обобщенные координаты'1 или "виртуальные перемещения". На самом деле все просто. Обобщенные координаты — это параметры, однозначно описывающие положение системы, например, углы поворота или обычные декартовы координаты. Виртуальные (или возможные) перемещения — это бесконечно малые воображаемые перемещения, допускаемые связями. Силы, действующие на систему, будем делить на активные и реакции связей.

Для успешного составления уравнений движения системы следует повторить метод кинематических графов вычисления скоростей точек тела при плоском движении (§ 8.5, с. 188).

остановка задачи. Плоская система многих тел с идеальными стационарными связями находится в равновесии под действием активных нагрузок. Определить реакции опор системы.

План решения

Поставленная задача относится к задачам статики, однако решать ее методами статики, записывая по три уравнения равновесия для каждого из тел системы, неудобно и долго, особенно, если по условию требуется найти только одну реакцию. Используя принцип возможных скоростей, эту задачу (независимо от количества тел механической системы) можно легко решить, составив одно уравнение.

Связь называют идеальной, если работа ее реакции на любом возможном перемещении системы равна нулю. Стационарные (или склерономные) связи не зависят от времени. Будем рассматривать удерживающие (двусторонние) связи (см. с. 51).

1. Освобождаем систему от той связи, реакцию которой надо определить. Действие связи заменяем ее реакцией. Реакция становится активной силой. Система приобретает одну степень свободы. Прикладываем к системе все активные силы. Реакции идеальных связей не указываем. Вводим систему координат.

2. Сообщаем угловую скорость (виртуальную скорость) одному из тел системы, например, Теоретическая механика разделы Для плоского движения достаточно задания одной составляющей Теоретическая механика разделы Выражаем скорости точек приложения сил и угловые скорости тел, к которым приложены моменты, через Теоретическая механика разделы В некоторых случаях удобнее задавать линейную скорость какого-либо шарнира механизма.

3. Неизвестную реакцию определяем из принципа возможных скоростей. Для системы с Теоретическая механика разделы силами (в это число входит и неизвестная реакция) получаем

Теоретическая механика разделы

Каждое слагаемое представляет собой мощность силы. Мощность момента Теоретическая механика разделы (пары сил) вычисляем как скалярное произведение Теоретическая механика разделы После подстановки в (1) кинематических соотношений, заданная величина Теоретическая механика разделы становится общим сомножителем. Сокращая на Теоретическая механика разделы заданная величина становится общим сомножителем.

Сокращая на ф О, получаем уравнение для искомой реакции. Решаем линейное уравнение с одной неизвестной, находим реакцию.

Пример решения задачи №13.

Система с идеальными стационарными связями, состоящая из четырех шарнирно соединенных однородных стержней, расположена в вертикальной плоскости и находится в равновесии под действием силы Теоретическая механика разделы и момента Теоретическая механика разделы (рис. 145). Известны длины стержней Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы и углы Теоретическая механика разделы Учитывая погонный вес стержней, Теоретическая механика разделы определить горизонт ал ьную реакцию опоры Теоретическая механика разделы

Решение

1. Освобождаем систему от горизонтальной связи шарнира Теоретическая механика разделы Неподвижный шарнир заменяем на подвижный (или ползун) с горизонтальной подвижностью. Действие горизонтальной связи заменяем ее реакцией Теоретическая механика разделы (рис. 146). Реакция Теоретическая механика разделы становится активной силой. Система приобретает одну степень свободы. Прикладываем к центру каждого стержня его силу тяжести Теоретическая механика разделы вычисленную через его длину Теоретическая механика разделы и погонный вес Теоретическая механика разделы Вводим прямоугольную систему координат с центром в шарнире Теоретическая механика разделы Записываем проекции сил тяжести на ось Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

2. Сообщаем стержню Теоретическая механика разделы возможную угловую скорость Теоретическая механика разделы Выражаем скорости точек Теоретическая механика разделы приложения активных сил и реакции Теоретическая механика разделы через Теоретическая механика разделы Решаем задачу кинематики многозвенного механизма (§ 8.3, с. 179), используя уравнение трех угловых скоростей для четырехзвенника Теоретическая механика разделы в векторной форме и выражая скорости одних точек через скорости других. Составляем систему уравнений:

Теоретическая механика разделы

Так как шарнир Теоретическая механика разделы заменен на горизонтальный ползун (шарнир с горизонтальной подвижностью), то

Теоретическая механика разделы

Векторы угловых скоростей при плоском движении имеют только одну составляющую: Теоретическая механика разделы Система (3), записанная в проекциях на оси Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы и уравнение (4) содержат пятнадцать уравнений и пятнадцать неизвестных: двенадцать компонентов скоростей точек Теоретическая механика разделы и три проекции угловых скоростей на ось Теоретическая механика разделы перпендикулярную плоскости механизма. Решаем систему (3)-(4):

Теоретическая механика разделы

3. Неизвестную реакцию Теоретическая механика разделы определяем из принципа возможных скоростей:

Теоретическая механика разделы

С учетом (5) получаем

Теоретическая механика разделыТеоретическая механика разделы

Сокращаем на Теоретическая механика разделы получим, что Теоретическая механика разделы

Малые колебания системы

В разделе МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ вы научитесь определять частоты малых собственных колебаний механической системы с двумя степенями свободы. Другие темы этого раздела, количество которых так велико, что они могут составить содержание отдельной книги, остались за пределами РЕШЕБНИКА. Задачи о вынужденных колебаниях, колебаниях при наличии сопротивления и многие другие содержатся, например, в книгах [25], [27].

Постановка задачи. Механическая система с двумя степенями свободы состоит из твердых тел, соединенных линейно упругими пружинами. Определить частоты собственных колебаний системы.

План решения

Задачу решаем с помощью уравнения Лагранжа 2-го рода.

1. Выбираем две обобщенные координаты Теоретическая механика разделы

2. Вычисляем кинетическую энергию и обобщенные силы. Составляем два уравнения Лагранжа 2-го рода.

3. Записываем полученную систему в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы:

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы - инерционные коэффициенты, Теоретическая механика разделы — обобщенные коэффициенты жесткости или квазиупругие коэффициенты. Решение системы (1) будем искать в форме Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — неизвестные постоянные; Теоретическая механика разделы — круговая частота колебаний. Система (1) после сокращения на Теоретическая механика разделы примет вид

Теоретическая механика разделы

4. Условием существования нетривиального решения системы (2) для Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы является равенство определителя системы нулю. Отсюда получаем уравнение частот:

Теоретическая механика разделы

5. Решая (3), находим частоты колебаний системы.

Пример решения задачи №14.

Механическая система с двумя степенями свободы состоит из двух однородных цилиндров и двух линейно упругих пружин. Цилиндр А массой Теоретическая механика разделы массой Теоретическая механика разделы может кататься без проскальзывания и трения качения по горизонтальной поверхности. Его ось соединена с неподвижной стенкой горизонтальной пружиной Теоретическая механика разделы Ободы цилиндров связаны нитью и пружиной Теоретическая механика разделы Цилиндр Теоретическая механика разделы массой Теоретическая механика разделы вращается вокруг неподвижной оси. Жесткость пружин, работающих и на сжатие и на растяжение, одинакова: Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Массой пружин пренебречь. Найти частоты собственных колебаний системы.

Решение

Задачу решим двумя способами. Различие между ними — в выборе обобщенных координат и форме вьншсления обобщенных сил в уравнении Лагранжа.

1-й способ

1. В качестве обобщенных координат выбираем удлинения пружин (рис. 174). Связи предполагаем идеальными и их реакции на рисунке не показываем.

2. Кинетическую энергию системы, состоящую из суммы кинетических энергий двух тел: Теоретическая механика разделы выражаем через обобщенные скорости Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Кинетическая энергия однородного цилиндра Теоретическая механика разделы катящегося без проскальзывания по неподвижной плоскости, вычисляется по формуле (4) на с. 242:

Теоретическая механика разделы

Кинетическая энергия вращения цилиндра Теоретическая механика разделы вокруг неподвижной оси имеет вид Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы

Теоретическая механика разделы

Левый конец пружины Теоретическая механика разделы движется со скоростью Теоретическая механика разделы (рис. 175), скорость удлинения пружины Теоретическая механика разделы Скорость правого конца пружины равна скорости точки обода цилиндра Теоретическая механика разделы и равна сумме Теоретическая механика разделы отсюда Теоретическая механика разделы — угловая скорость вращения цилиндра Теоретическая механика разделы Таким образом, получаем: Теоретическая механика разделы Кинетическая энергия всей системы

Теоретическая механика разделы

Для того, чтобы вычислить обобщенную силу Теоретическая механика разделы даем возможное перемещение (удлинение) Теоретическая механика разделы пружине Теоретическая механика разделы фиксируя удлинение пружины Теоретическая механика разделы или заменяя пружину Теоретическая механика разделы нерастяжимой нитью (рис. 176).

Теоретическая механика разделы

Воспользуемся формулой Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы Так как Теоретическая механика разделы то Теоретическая механика разделы Аналогично, фиксируя удлинение пружины Теоретическая механика разделы растягиваем пружину Теоретическая механика разделы на Теоретическая механика разделы (рис. 177) и вычисляем Теоретическая механика разделы Отсюда Теоретическая механика разделы

Записываем систему уравнений Лагранжа 2-го рода:

Теоретическая механика разделы

Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа:

Теоретическая механика разделы

Уравнения Лагранжа принимают вид

Теоретическая механика разделы

3. Записываем (5) в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы (1). Инерционные коэффициенты для данного примера имеют вид

Теоретическая механика разделы

Коэффициенты жесткости системы Теоретическая механика разделы оэффициенты жесткости и инерционные коэффициенты образуют симметричные матрицы. Предполагая, что каждая обобщенная координата меняется по закону гармонических колебаний, решение системы (1) ищем в форме

Теоретическая механика разделы

где Теоретическая механика разделы — неизвестные постоянные. Система (5) после сокращения на Теоретическая механика разделы принимает вид

Теоретическая механика разделы

Из условия существования нетривиального решения этой системы для Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы получаем уравнение частот:

Теоретическая механика разделы

Подставляем числовые данные задачи, решаем биквадратное уравнение (7) и находим две частоты собственных колебаний системы:

Теоретическая механика разделы

2-й способ

1. В качестве первой обобщенной координаты выбираем смещение Теоретическая механика разделы цилиндра Теоретическая механика разделы а в качестве другой — угол поворота Теоретическая механика разделы цилиндра Теоретическая механика разделы (рис. 178). Таким образом, Теоретическая механика разделы

2. Кинетическую энергию системы, состоящую из суммы кинетических энергий двух тел, Теоретическая механика разделы выражаем через обобщенные скорости Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы Кинетическая энергия цилиндра Теоретическая механика разделы вычисляется так же, как и в 1-м способе по формуле (4): Теоретическая механика разделы Кинетическая энергия вращения цилиндра Теоретическая механика разделы равна

Теоретическая механика разделы

Кинетическая энергия всей системы Теоретическая механика разделы Для того, чтобы вычислить обобщенные силы находим потенциальную энергию системы. Силы тяжести работу не совершают, поэтому вся потенциальная энергия содержится в пружинах. Удлинение первой пружины равно Теоретическая механика разделы Левый конец пружины Теоретическая механика разделы смещается на Теоретическая механика разделы правый - на Теоретическая механика разделы в ту же сторону (рис. 179).

Теоретическая механика разделы

Удлинение второй пружины равно по модулю Теоретическая механика разделы Потенциальная энергия пружин, не имеющих предварительного напряжения, имеет вид

Теоретическая механика разделы

Обобщенные силы вычисляем по формулам

Теоретическая механика разделы

Вычисляем производные, входящие в уравнения Лагранжа:

Теоретическая механика разделы

Уравнения Лагранжа принимают вид

Теоретическая механика разделы

3. Записываем (8) в стандартной форме уравнений колебаний системы с двумя степенями свободы (1). Инерционные коэффициенты для данного примера имеют вид

Теоретическая механика разделы

Коэффициенты жесткости имеют вид Теоретическая механика разделы Теоретическая механика разделы Решение системы (1) ищем в форме гармонических колебаний: Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — неизвестные постоянные. Система (8) после сокращения на общий множитель Теоретическая механика разделы принимает вид

Теоретическая механика разделы

Для неизвестных амплитуд колебаний Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы система (9) является однородной. Из условия существования нетривиального решения приравниваем нулю определитель системы и получаем уравнение частот, в точности совпадающее с (7). Таким образом, с другим набором обобщенных координат мы находим те же частоты: Теоретическая механика разделы или Теоретическая механика разделы

Замечание. Решение задачи равносильно отысканию собственных значений матрицы Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы и Теоретическая механика разделы — матрицы инерционных и квазиупругих коэффициентов. Действительно, представим (1) в виде Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы Умножим это уравнение на обратную матрицу Теоретическая механика разделы Получаем, что Теоретическая механика разделы Решение ищем в форме гармонических колебаний: записываем систему однородных линейных уравнений для амплитуд колебаний, определитель которой имеет вид Теоретическая механика разделы где Теоретическая механика разделы — единичная матрица. Таким образом, квадраты частот равны собственным значениям матрицы Теоретическая механика разделы (Решебник ВМ, §2.10.).