Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа силы, тяжести, трения, мощности

Работа силы. мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широко используемое не только в механике. Сначала введем понятие об элементарной работе.

Элементарной работой силы приложенной в точке (рис. 228), называется скалярная величина

где - проекция силы на касательную к траектории точки направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция на направление скорости точки ); — модуль элементарного перемещения точки Такое определение соответствует представлению о работе как о мере того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. Если разложить силу на составляющие и то изменять модуль скорости будет так как (составляющая изменяет или направление вектора или при несвободном движении — силу давления на связь).

Замечая, что где - угол между и получим из (40) другое выражение для

Если угол острый, то работа положительна. В частности, при элементарная работа

Если угол тупой, то работа отрицательна. В частности, при элементарная работа

Если угол т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Если учесть, что где — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (41) можно представить в виде:

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Если в формуле_(42)_ выразить скалярное произведение через проекции векторов и на координатные оси и учесть, что то получим аналитическое выражение элементарной работы

в котором — координаты точки приложения силы

Работа силы на любом конечном перемещении (рис. 228) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ

или

Следовательно, работа силы на любом перемещении равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках и (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой т. е. является криволинейным).

Если величина постоянна то из (44), обозначая перемещение через получим

Единицей измерения работы является в а в системе

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Репетитор теоретическая механика

Теоретическая механика разделы

Курс теоретической механики

Теоретическая механика статика

Графический способ вычисления работы. Если сила зависит от расстояния и известен график зависимости от (рис. 230), то работу силы можно вычислить графически. Пусть в положении точка находится от начала отсчета на расстоянии а в положении — на расстоянии Тогда по формуле (44), учитывая геометрический смысл интеграла, получим

где — величина заштрихованной на рис. 230 площади, умноженной на масштабный коэффициент.

Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность где — время, в течение которого произведена работа В общем случае

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Единицей измерения мощности в является а в системе В технике за единицу мощности часто принимается равная (или ).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы

Из равенства видно, что у двигателя, имеющего данную мощность сила тяги будет тем больше, чем меньше скорость Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.

Примеры вычисления работы

Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.

1. Работа силы тяжести. Пусть точка на которую действует сила тяжести перемещается из положения в положение Выберем координатные оси так, чтобы ось была направлена вертикально вверх (рис. 231). Тогда Подставляя эти значения в формулу (44'), получим, учитывая, что переменным интегрирования является

Если точка выше то где — вертикальное перемещение точки; если же точка ниже точки то

Окончательно получаем

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

2. Работа силы упругости. Рассмотрим груз лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис. 232, а). На плоскости отметим точкой положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена ( — длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения растянув пружину до величины то пружина получит удлинение и на груз будет действовать сила упругости направленная к точке Так как в нашем случае то по формуле (6) из §76

и

Последнее равенство справедливо и при (груз левее точки ); тогда сила направлена вправо и получится, как и должно быть,

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения в положение Так как в данном случае то, подставляя эти значения в формулу (44'), найдем

(Этот же результат можно получить по графику зависимости от (рис. 232, б), вычисляя площадь а заштрихованной па чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле представляет собой начальное удлинение пружины а — конечное удлинение пружины Следовательно,

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда т. е. когда конец пружины удаляется от равновесного положения.

Можно доказать, что формула (48) остается справедливой и в случае, когда перемещение точки не является_прямолинейным. Таким образом, оказывается, что работа силы зависит только от значений и и не зависит от вида траектории точки Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

3. Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 233) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю где — коэффициент трения, а ку сила трения равна по модулю fN, где / — коэффициент трения, а \г — нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, и по формуле (44)

Если численно сила трения постоянна, то где — длина дуги кривой по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Так как эта работа зависит от длины дуги то, следовательно, сила трения является силой непотенциальной.

4. Работа силы тяготения. Если Землю (планету) рассматривать как однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических слоев), то на точку с массой находящуюся вне шара на расстоянии от его центра (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготения направленная к центру (рис. 234), значение которой определяется формулой (5) из § 76. Представим эту формулу в виде

и определим коэффициент из того условия, что, когда точка находится на поверхности Земли ( где — радиус Земли), сила притяжения равна где — ускорение силы тяжести (точнее силы тяютения) на земной поверхности. Тогда должно быть

Подсчитаем сначала элементарную работу силы Как видно из рисунка, элементарное перемещение точки можно разложить на перемещение численно равное приращению расстояния и направленное вдоль и на перемещение перпендикулярное а следовательно, и силе Поскольку на этом втором перемещении работа силы равна нулю, а перемещение направлено противоположно силе, то

Допустим теперь, что точка перемещается из положения где в положение где Тогда

или окончательно

Работа будет положительной, если т. е когда конечное положение точки ближе к земной поверхности, чем начальное, и отрицательной, если От вида траектории точки работа силы тяготения, как видно из формулы (50), не зависит. Следовательно, сила тяготения является потенциальной.

Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек

1. Работа силы. Работой постоянной силы на прямолинейном перемещении называется скалярное произведение векторов силы и перемещения, т. е. работа равна произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними:

( и - соответственно начальное и конечное положения точки - вектор перемещения точки (рис. 134, 135) при переходе в ).

Элементарная работа переменной силы равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения

• Элементарное перемещение направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 136). Элементарная работа обозначается а не так как только в частных случаях элементарная работа силы является полным дифференциалом некоторой функции координат (см. ниже случай потенциального поля). Выражение элементарной работы переменной силы через проекции силы на оси декартовых координат имеет вид

где

Работа переменной силы на конечном перемещении по криволинейной траектории равна криволинейному интегралу, взятому вдоль кривой до от скалярного произведения векторов силы и элементарного перемещения:

(Интеграл называется криволинейным, так как осуществляется суммирование вдоль криволинейной траектории, в разных точках которой касательные элементарные перемещения различны по направлению).

Выражение работы переменной силы на конечном перемещении по криволинейной траектории через проекции силы на оси декартовых координат имеет вид:

При положении системы сил к точкам материальной системы работы равна сумме работ всех сил, т. е.

и

где - проекции главного вектора сил, действующих на точку системы.

Теорема о работе равнодействующей силы: работа равнодействующей сил, приложенных к точке, на некотором перемещении равна сумме работ состовляющих сил на том же перемещении

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, находится по следующим формулам:

а) при поступательном движении: где - главный вектор системы сил, - элементарное перемещение любой из точек твердого тела;

б) при вращении вокруг неподвижной оси: где - главный момент сил: относительно оси вращения - элементарное угловое перемещение твердого тела;

в) при плоском движении: где - главный вектор системы сил, - элементарное перемещение полюса - главный момент системы сил относительно оси проходящей через полюс перпендикулярно к неподвижной плоскости, - элементарное угловое перемещение вокруг этой оси. (Полюс выбирается произвольно).

Элементарная работа внешних сил, приложенных к неизменяемой системе, вычисляется по приведенным выше формулам.

Элементарная работа внутренних сил неизменяемой системы материальных точек (например, абсолютно твердого тела) равна нулю Подчеркнем, что работа внутренних сил в упругом теле (изменяемой системе) не равна нулю.

В ряде случаев для вычисления работы сил удобнее использовать готовые формулы, некоторые из которых приводятся нижу.

Работа силы тяжести материальной точки равна произведению силы тяжести на разность высот конечного и начального положений точки т. е. Если материальная точка приближается к земной поверхности, то Если материальная точка отдаляется от земной поверхности, то Если высоты начального и конечного положений материальной точки равны (в частности, при движении точки по замкнутому контуру), то

• Следовательно, работа силы тяжести материальной точки зависит от высот ее начального и конечного положений и не зависит от формы кривой, по которой перемещается материальная точка (см. ниже 5е).

В случае системы материальных точек работа сил тяжести равна произведению силы тяжести всей системы на разность высот конечного и начального положений центра инерции системы:

где а ось направлена вертикально.

Работа упругой силы на прямолинейном перемещении по линии действия силы из точек с абсциссой в точку с абсциссо (рис. 138) определяется формулой

(при упругая сила равна нулю, т. е. пружина не напряжена).

Работа упругой силы отрицательна, если точка движется в сторону возрастания модуля упругой силы; работа упругой силы положительна, если точка движется в сторону убывания модуля упругой силы. Работа упругой силы на конечном перемещении по криволинейной траектории пропорциональна разности квадратов конечного и начального радиусов-векторов точки: т. е., подобно работе силы тяжести, работа упругой силы зависит от начального и конечного положений точки и не зависит от формы кривой, по которой перемещается материальная точка.

Работа момента упругих сил равна

В случае силы приложенной к некоторой точке, мощность равна где - скорость точки. В случае момента приложенного к твердому телу, вращающемуся с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси, мощность будет Единицами измерения мощности являются и

Вычисление суммы работ сил, приложенных к материальной точке либо к системе материальных точек, является одним из этапов решения задач, в которых применяется теорема об изменении кинетической энергии, либо составляются уравнения Лагранжа второго рода (см. ниже, главу X, § б). Вычисление суммы работ сил надо выполнять в следующей последовательности:

• 1) изобразить на рисунке силы, приложенные к материальной точке либо к системе материальных точек;
• 2) изобразить элементарные перемещения точек системы;
• 3) вычислить элементарную работу сил, т. е. сумму работ всех сил на элементарных перемещениях точек системы;
• 4) вычислить искомую сумму работ сил на конечных перемещениях как сумму определенных интегралов, взятых в соответствующих пределах от элементарных работ, вычисленных в предыдущем пункте.

При наличии сил тяжести и упругих сил можно, минуя три последних пункта, выбрав систему координат, вычислить работу этих сил на конечных перемещениях по вышеприведенным формулам.