Теоретическая механика работа

Содержание:

  1. Работа силы. Мощность
  2. Примеры вычисления работы
  3. Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек

Работа силы. Мощность

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы, широко используемое не только в механике. Сначала введем понятие об элементарной работе.

Элементарной работой силы Теоретическая механика работа приложенной в точке Теоретическая механика работа (рис. 228), называется скалярная величина

Теоретическая механика работа

где Теоретическая механика работа - проекция силы Теоретическая механика работа на касательную Теоретическая механика работа к траектории точки Теоретическая механика работа направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция Теоретическая механика работа на направление скорости Теоретическая механика работа точки Теоретическая механика работа); Теоретическая механика работа — модуль элементарного перемещения точки Теоретическая механика работа Такое определение соответствует представлению о работе как о мере того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. Если разложить силу Теоретическая механика работа на составляющие Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа то изменять модуль скорости будет Теоретическая механика работа так как Теоретическая механика работа (составляющая Теоретическая механика работа изменяет или направление вектора Теоретическая механика работа или при несвободном движении — силу давления на связь).

Замечая, что Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа - угол между Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа получим из (40) другое выражение для Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа

Если угол Теоретическая механика работа острый, то работа положительна. В частности, при Теоретическая механика работа элементарная работа Теоретическая механика работа

Если угол Теоретическая механика работа тупой, то работа отрицательна. В частности, при Теоретическая механика работа элементарная работа Теоретическая механика работа

Если угол Теоретическая механика работа т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Знак работы имеет следующий смысл: работа положительна, когда составляющая Теоретическая механика работа направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Если учесть, что Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство (41) можно представить в виде:

Теоретическая механика работа

Следовательно, элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Если в формуле_(42)_ выразить скалярное произведение через проекции векторов Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа на координатные оси и учесть, что Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа то получим аналитическое выражение элементарной работы

Теоретическая механика работа

в котором Теоретическая механика работа — координаты точки приложения силы Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа

Работа силы на любом конечном перемещении Теоретическая механика работа (рис. 228) вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ

Теоретическая механика работа

или

Теоретическая механика работа

Следовательно, работа силы на любом перемещении Теоретическая механика работа равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой Теоретическая механика работа т. е. является криволинейным).

Если величина Теоретическая механика работа постоянна Теоретическая механика работа то из (44), обозначая перемещение Теоретическая механика работа через Теоретическая механика работа получим Теоретическая механика работа

Единицей измерения работы является в Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа а в системе Теоретическая механика работа

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Репетитор теоретическая механика

Теоретическая механика разделы

Курс теоретической механики

Теоретическая механика статика

Графический способ вычисления работы. Если сила зависит от расстояния Теоретическая механика работа и известен график зависимости Теоретическая механика работа от Теоретическая механика работа (рис. 230), то работу силы можно вычислить графически. Пусть в положении Теоретическая механика работа точка находится от начала отсчета на расстоянии Теоретическая механика работа а в положении Теоретическая механика работа — на расстоянии Теоретическая механика работа Тогда по формуле (44), учитывая геометрический смысл интеграла, получим

Теоретическая механика работа

где Теоретическая механика работа — величина заштрихованной на рис. 230 площади, умноженной на масштабный коэффициент.

Мощность. Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — время, в течение которого произведена работа Теоретическая механика работа В общем случае Теоретическая механика работа

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость. Единицей измерения мощности в Теоретическая механика работа является Теоретическая механика работа Теоретическая механика работаТеоретическая механика работа а в системе Теоретическая механика работа В технике за единицу мощности часто принимается Теоретическая механика работа равная Теоретическая механика работа (или Теоретическая механика работа).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа

Из равенства Теоретическая механика работа видно, что у двигателя, имеющего данную мощность Теоретическая механика работа сила тяги Теоретическая механика работа будет тем больше, чем меньше скорость Теоретическая механика работа Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.

Примеры вычисления работы

Рассмотренные ниже примеры дают результаты, которыми можно непосредственно пользоваться при решении задач.

1. Работа силы тяжести. Пусть точка Теоретическая механика работа на которую действует сила тяжести Теоретическая механика работа перемещается из положения Теоретическая механика работаТеоретическая механика работа в положение Теоретическая механика работа Выберем координатные оси так, чтобы ось Теоретическая механика работа была направлена вертикально вверх (рис. 231). Тогда Теоретическая механика работа Подставляя эти значения в формулу (44'), получим, учитывая, что переменным интегрирования является Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа

Если точка Теоретическая механика работа выше Теоретическая механика работа то Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — вертикальное перемещение точки; если же точка Теоретическая механика работа ниже точки Теоретическая механика работа то Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа

Окончательно получаем

Теоретическая механика работа

Следовательно, работа силы тяжести равна взятому со знаком плюс или минус произведению модуля силы на вертикальное перемещение точки ее приложения. Работа положительна, если начальная точка выше конечной, и отрицательна, если начальная точка ниже конечной.

Из полученного результата следует, что работа силы тяжести не зависит от вида той траектории, по которой перемещается точка ее приложения. Силы, обладающие таким свойством, называются потенциальными.

Теоретическая механика работа

2. Работа силы упругости. Рассмотрим груз Теоретическая механика работа лежащий на горизонтальной плоскости и прикрепленный к свободному концу некоторой пружины (рис. 232, а). На плоскости отметим точкой Теоретическая механика работа положение, занимаемое концом пружины, когда она не напряжена (Теоретическая механика работа — длина ненапряженной пружины), и примем эту точку за начало координат. Если теперь оттянуть груз от равновесного положения Теоретическая механика работа растянув пружину до величины Теоретическая механика работа то пружина получит удлинение Теоретическая механика работа и на груз будет действовать сила упругости Теоретическая механика работа направленная к точке Теоретическая механика работа Так как в нашем случае то по формуле (6) из §76

Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа

Последнее равенство справедливо и при Теоретическая механика работа (груз левее точки Теоретическая механика работа); тогда сила Теоретическая механика работа направлена вправо и получится, как и должно быть, Теоретическая механика работа

Найдем работу, совершаемую силой упругости при перемещении груза из положения Теоретическая механика работа в положение Теоретическая механика работа Так как в данном случае Теоретическая механика работа то, подставляя эти значения в формулу (44'), найдем

Теоретическая механика работа

(Этот же результат можно получить по графику зависимости Теоретическая механика работа от Теоретическая механика работа (рис. 232, б), вычисляя площадь а заштрихованной па чертеже трапеции и учитывая знак работы.) В полученной формуле Теоретическая механика работа представляет собой начальное удлинение пружины Теоретическая механика работа а Теоретическая механика работа — конечное удлинение пружины Следовательно,

Теоретическая механика работа

т. е. работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа будет положительной, когда Теоретическая механика работа т. е. когда конец пружины перемещается к равновесному положению, и отрицательной, когда Теоретическая механика работа т. е. когда конец пружины удаляется от равновесного положения.

Можно доказать, что формула (48) остается справедливой и в случае, когда перемещение точки Теоретическая механика работа не является_прямолинейным. Таким образом, оказывается, что работа силы Теоретическая механика работа зависит только от значений Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа и не зависит от вида траектории точки Теоретическая механика работа Следовательно, сила упругости также является потенциальной.

Теоретическая механика работа

3. Работа силы трения. Рассмотрим точку, движущуюся по какой-нибудь шероховатой поверхности (рис. 233) или кривой. Действующая на точку сила трения равна по модулю Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — коэффициент трения, а Теоретическая механика работа ку сила трения равна по модулю fN, где / — коэффициент трения, а \г — нормальная реакция поверхности. Направлена сила трения противоположно перемещению точки. Следовательно, Теоретическая механика работа и по формуле (44)

Теоретическая механика работа

Если численно сила трения постоянна, то Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — длина дуги кривой Теоретическая механика работа по которой перемещается точка.

Таким образом, работа силы трения при скольжении всегда отрицательна. Так как эта работа зависит от длины дуги Теоретическая механика работа то, следовательно, сила трения является силой непотенциальной.

4. Работа силы тяготения. Если Землю (планету) рассматривать как однородный шар (или шар, состоящий из однородных концентрических слоев), то на точку Теоретическая механика работа с массой Теоретическая механика работа находящуюся вне шара на расстоянии Теоретическая механика работа от его центра Теоретическая механика работа (или находящуюся на поверхности шара), будет действовать сила тяготения Теоретическая механика работа направленная к центру Теоретическая механика работа (рис. 234), значение которой определяется формулой (5) из § 76. Представим эту формулу в виде

Теоретическая механика работа

и определим коэффициент Теоретическая механика работа из того условия, что, когда точка находится на поверхности Земли (Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — радиус Земли), сила притяжения равна Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа — ускорение силы тяжести (точнее силы тяютения) на земной поверхности. Тогда должно быть

Теоретическая механика работа

Подсчитаем сначала элементарную работу силы Теоретическая механика работа Как видно из рисунка, элементарное перемещение Теоретическая механика работа точки Теоретическая механика работа можно разложить на перемещение Теоретическая механика работа численно равное приращению Теоретическая механика работа расстояния Теоретическая механика работа и направленное вдоль Теоретическая механика работа и на перемещение Теоретическая механика работа перпендикулярное Теоретическая механика работа а следовательно, и силе Теоретическая механика работа Поскольку на этом втором перемещении работа силы Теоретическая механика работа равна нулю, а перемещение Теоретическая механика работа направлено противоположно силе, то

Теоретическая механика работа

Допустим теперь, что точка перемещается из положения Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа в положение Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа Тогда

Теоретическая механика работа

или окончательно

Теоретическая механика работа

Работа будет положительной, если Теоретическая механика работа т. е когда конечное положение точки ближе к земной поверхности, чем начальное, и отрицательной, если Теоретическая механика работа От вида траектории точки Теоретическая механика работа работа силы тяготения, как видно из формулы (50), не зависит. Следовательно, сила тяготения является потенциальной.

Теорема об изменении кинетической энергии системы материальных точек

1. Работа силы. Работой постоянной силы на прямолинейном перемещении называется скалярное произведение векторов силы и перемещения, т. е. работа равна произведению модуля силы на модуль перемещения и на косинус угла между ними:

Теоретическая механика работа

(Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа - соответственно начальное и конечное положения точки Теоретическая механика работа - вектор перемещения точки (рис. 134, 135) при переходе Теоретическая механика работа в Теоретическая механика работа).

Теоретическая механика работа

Элементарная работа переменной силы равна скалярному произведению векторов силы и элементарного перемещения Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа

  • Элементарное перемещение Теоретическая механика работа направляется по касательной к траектории в данной точке (рис. 136). Элементарная работа обозначается Теоретическая механика работа а не Теоретическая механика работа так как только в частных случаях элементарная работа силы является полным дифференциалом некоторой функции координат (см. ниже случай потенциального поля). Выражение элементарной работы переменной силы через проекции силы на оси декартовых координат имеет вид

Теоретическая механика работа

где

Теоретическая механика работа

Работа переменной силы на конечном перемещении по криволинейной траектории равна криволинейному интегралу, взятому вдоль кривой Теоретическая механика работа до Теоретическая механика работа от скалярного произведения векторов силы и элементарного перемещения:

Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа

(Интеграл называется криволинейным, так как осуществляется суммирование вдоль криволинейной траектории, в разных точках которой касательные элементарные перемещения Теоретическая механика работа различны по направлению).

Выражение работы переменной силы на конечном перемещении по криволинейной траектории через проекции силы на оси декартовых координат имеет вид:

Теоретическая механика работа

При положении системы сил к точкам материальной системы работы равна сумме работ всех сил, т. е.

Теоретическая механика работа

и

Теоретическая механика работа

где Теоретическая механика работа - проекции главного вектора сил, действующих на Теоретическая механика работа точку системы.

Теорема о работе равнодействующей силы: работа равнодействующей сил, приложенных к точке, на некотором перемещении равна сумме работ состовляющих сил на том же перемещении

Теоретическая механика работа

Элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, находится по следующим формулам:

а) при поступательном движении: Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа - главный вектор системы сил, Теоретическая механика работа - элементарное перемещение любой из точек твердого тела;

б) при вращении вокруг неподвижной оси: Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа - главный момент сил: относительно оси вращения Теоретическая механика работа - элементарное угловое перемещение твердого тела;

в) при плоском движении: Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа - главный вектор системы сил, Теоретическая механика работа - элементарное перемещение полюса Теоретическая механика работа - главный момент системы сил относительно оси Теоретическая механика работа проходящей через полюс Теоретическая механика работа перпендикулярно к неподвижной плоскости, Теоретическая механика работа - элементарное угловое перемещение вокруг этой оси. (Полюс Теоретическая механика работа выбирается произвольно).

Элементарная работа внешних сил, приложенных к неизменяемой системе, вычисляется по приведенным выше формулам.

Элементарная работа внутренних сил неизменяемой системы материальных точек (например, абсолютно твердого тела) равна нулю Теоретическая механика работа Подчеркнем, что работа внутренних сил в упругом теле (изменяемой системе) не равна нулю.

В ряде случаев для вычисления работы сил удобнее использовать готовые формулы, некоторые из которых приводятся нижу.

Теоретическая механика работа

Работа силы тяжести материальной точки равна произведению силы тяжести на разность высот конечного и начального положений точкиТеоретическая механика работа т. е. Теоретическая механика работа Теоретическая механика работа Если материальная точка приближается к земной поверхности, то Теоретическая механика работа Если материальная точка отдаляется от земной поверхности, то Теоретическая механика работа Если высоты начального и конечного положений материальной точки равны (в частности, при движении точки по замкнутому контуру), то Теоретическая механика работа

  • Следовательно, работа силы тяжести материальной точки зависит от высот ее начального и конечного положений и не зависит от формы кривой, по которой перемещается материальная точка (см. ниже 5е).

В случае системы материальных точек работа сил тяжести равна произведению силы тяжести всей системы на разность высот конечного и начального положений центра инерции системы:

Теоретическая механика работа

где Теоретическая механика работа а ось Теоретическая механика работа направлена вертикально.

Работа упругой силы Теоретическая механика работа на прямолинейном перемещении по линии действия силы из точек с абсциссой Теоретическая механика работа в точку с абсциссо Теоретическая механика работа (рис. 138) определяется формулой

Теоретическая механика работа

(при Теоретическая механика работа упругая сила равна нулю, т. е. пружина не напряжена).

Теоретическая механика работа

Работа упругой силы отрицательна, если точка движется в сторону возрастания модуля упругой силы; работа упругой силы положительна, если точка движется в сторону убывания модуля упругой силы. Работа упругой силы Теоретическая механика работа на конечном перемещении по криволинейной траектории пропорциональна разности квадратов конечного и начального радиусов-векторов точки: Теоретическая механика работа т. е., подобно работе силы тяжести, работа упругой силы зависит от начального и конечного положений точки и не зависит от формы кривой, по которой перемещается материальная точка.

Работа момента упругих сил Теоретическая механика работа равна Теоретическая механика работа

Теоретическая механика работа

В случае силы Теоретическая механика работа приложенной к некоторой точке, мощность равна Теоретическая механика работа где Теоретическая механика работа - скорость точки. В случае момента Теоретическая механика работа приложенного к твердому телу, вращающемуся с угловой скоростью со вокруг неподвижной оси, мощность будет Теоретическая механика работа Единицами измерения мощности являются Теоретическая механика работа и Теоретическая механика работа

Вычисление суммы работ сил, приложенных к материальной точке либо к системе материальных точек, является одним из этапов решения задач, в которых применяется теорема об изменении кинетической энергии, либо составляются уравнения Лагранжа второго рода (см. ниже, главу X, § б). Вычисление суммы работ сил надо выполнять в следующей последовательности:

  • 1) изобразить на рисунке силы, приложенные к материальной точке либо к системе материальных точек;
  • 2) изобразить элементарные перемещения точек системы;
  • 3) вычислить элементарную работу сил, т. е. сумму работ всех сил на элементарных перемещениях точек системы;
  • 4) вычислить искомую сумму работ сил на конечных перемещениях как сумму определенных интегралов, взятых в соответствующих пределах от элементарных работ, вычисленных в предыдущем пункте.

При наличии сил тяжести и упругих сил можно, минуя три последних пункта, выбрав систему координат, вычислить работу этих сил на конечных перемещениях по вышеприведенным формулам.