Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Плоская система сил

Система сходящихся сил

1°. Равновесие твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил. Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке. После переноса всех сил по их линиям действия в эту точку получается эквивалентная система сил, приложенных в одной точке. Равнодействующая Теоретическая механика примеры решения задач системы сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке и изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного на слагаемых силах, т. е. равнодействующая Теоретическая механика примеры решения задач равна векторной сумме слагаемых сил:

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

При построении суммы векторов (рис. 1.14) надо к концу первого слагаемого вектора Теоретическая механика примеры решения задач приложить вектор Теоретическая механика примеры решения задач равный второму слагаемому вектору Теоретическая механика примеры решения задач к концу второго слагаемого вектора Теоретическая механика примеры решения задач присоединить вектор Теоретическая механика примеры решения задач равный третьему слагаемому вектору Теоретическая механика примеры решения задач и т. д. Суммой векторов Теоретическая механика примеры решения задач является замыкающий вектор, начало которого совмещено с началом первого слагаемого вектора, а конец — с конном последнего слагаемого вектора. Если векторы изображают силы, то многоугольник Теоретическая механика примеры решения задач построенный па рисунке для четырех слагаемых сил, называется силовым, а его замыкающая сторона Теоретическая механика примеры решения задач является равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника оказываются лежащими на одной прямой. Равнодействующая Теоретическая механика примеры решения задач этой системы сил лежит на той же прямой. На рис. 1.15 изображена равнодействующая четырех сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач лежащих на одной прямой.

Для ясности изображения линии действия сил несколько смещены друг относительно друга.

Для равновесия твердого тела, к которому приложена система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма этих сил равнялась пулю: Теоретическая механика примеры решения задач т.е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. Это значит, что конец вектора последней слагаемой силы должен совместиться с началом вектора первой слагаемой силы. На рис. 1.16 изображен замкнутый силовой многоугольник, построенный на пяти слагаемых силах.

Теоретическая механика примеры решения задач

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика курсовая работа

Принципы теоретической механики

Теоретическая механика вариант

В случае равновесия твердого тела, к которому приложены силы, лежащие на одной прямой, вершины замкнутого силового многоугольника оказываются лежащими на прямой, вдоль которой в обоих направлениях отложены слагаемые силы, векторная сумма которых равна пулю (рис. 1.17)

Теоретическая механика примеры решения задач

При решении задач на равновесие твердого тела, к которому приложена плоская система сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных к начале книги, на стр. 15. Затем:

  • 5) построить замкнутый силовой многоугольник (построение надо начинать с силы, известной как по модулю, так и но направлению);
  • 6) решив силовой многоугольник, определить искомые величины.

Если число активных сил и реакций связей, приложенных к твердому телу, находящемуся в равновесии, равно трем, то задача сводится к построению и решению силового треугольника.

Задача с решением 1.1.

Однородный цилиндр Теоретическая механика примеры решения задач вес которого Теоретическая механика примеры решения задач лежит на гладкой горизонтальной плоскости. Сверху на цилиндр давит вертикальная сила Теоретическая механика примеры решения задач линия действия которой проходит через центр тяжести цилиндра.

Определить давление цилиндра на горизонтальную плоскость.

Решение. Рассмотрим равновесие несвободного цилиндра Теоретическая механика примеры решения задач (рис. а). К цилиндру приложены две активные силы: Теоретическая механика примеры решения задач — вес, Теоретическая механика примеры решения задач— вертикальная сила давления. Вес цилиндра приложен в его центре тяжести Теоретическая механика примеры решения задач и направлен по вертикали вниз. Сила давления совпадает по направлению с весом цилиндра.

На цилиндр наложена одна связь — гладкая горизонтальная плоскость, препятствующая перемещению цилиндра по вертикали вниз. Применив закон освобождаемости от связей, заменим действие горизонтальной плоскости па цилиндр соответствующей реакцией Теоретическая механика примеры решения задач (рис. б).

Теоретическая механика примеры решения задач

Направим реакцию Теоретическая механика примеры решения задач в сторону, противоположную тому перемещению, которое- ограничено горизонтальной плоскс-стыо, т. е. но вертикали вверх. Теперь данное несвободное твердое тело можно рассматривать как тело свободное, к которому приложены активные силы Теоретическая механика примеры решения задач и F и реакция горизонтальной плоскости Теоретическая механика примеры решения задач. Эти три силы лежат на одной прямой.

Если все слагаемые силы лежат на одной прямой, то вершины силового многоугольника оказываются расположенными на той же прямой.

Изобразим вектор, равный силе Теоретическая механика примеры решения задач, поместив его начало в произвольной точке. Из конца его, т. е. из точки Теоретическая механика примеры решения задач проведем вектор, равный силе Теоретическая механика примеры решения задач В конце его, т. е. в точке В, находится начало вектора Теоретическая механика примеры решения задач (рис. в).

Так как при равновесии твердого тела сумма сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач должна быть равна нулю, то конец вектора Теоретическая механика примеры решения задач должен совпасть в точке Теоретическая механика примеры решения задач с началом первой слагаемой силы Теоретическая механика примеры решения задач (на рис. в для ясности изображения линии действия сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач и силы Теоретическая механика примеры решения задач несколько смещены друг относительно друга). Как следует из рис. в, Теоретическая механика примеры решения задач Подставив численные значения, получим Теоретическая механика примеры решения задач

Давление твердого тела на горизонтальную плоскость равно по модулю реакции R этой плоскости и направлено ей противоположно, т. е. но вертикали вниз.

Произвольная плоская система сил.

Случай параллельных сил

1°. Равновесие твердого тела при наличии плоской системы сил. Напомним сначала, что равнодействующая двух параллельных сил, направленных в одну сторону, равна по модулю сумме модулей данных сил и направлена в ту же сторону. Линия

действия равнодействующей делит внутренним образом расстояние между линиями действия данных сил па части, обратно пропорциональные этим силам. Таким образом (рис. 1.25),

Теоретическая механика примеры решения задач

Равнодействующая двух параллельных сил, не равных по модулю (пусть Теоретическая механика примеры решения задач) и направленных в разные стороны, равна по модулю разности модулей этих сил и направлена в сторону большей

Теоретическая механика примеры решения задач

силы. Линия действия равнодействующей делит внешним образом расстояние между линиями действия дурных сил на части, обратно пропорциональные этим силам. Таким образом (рис. 1.26),

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Система двух параллельных сил, равных по модулю и направленных в разные стороны, называется парой сил (рис. 1.27). Расстояние между линиями действия этих сил называется плечом пары. Так как две силы, равные по модулю и направленные в разные стороны, не лежат на одной линии действия, то твердое тело, к которому приложена пара сил, не находится в равновесии. Пара сил стремится повернуть твердое тело, к которому она приложена.

Мерой действия пары сил является алгебраическая величина, называемая ее моментом. Момент пары сил равен по абсолютной величине произведению модуля одной из сил пары на плечо. Если пара сил видна направленной против часовой стрелки, то момент пары положителен, если по часовой стрелке, то отрицателен. Примеры даны на рис. 1.28.

Теория пар сил на плоскости сводится к четырем теоремам.

Теорема 1. Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно произвольной точки плоскости не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

Теорема 2. Не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскости ее действия.

Теорема 3. Пары сил, моменты которых равны, эквивалентны. (Пары сил называются эквивалентными, если одну из пар можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.)

Теоретическая механика примеры решения задач

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно изменять величину плеча либо величину силы, сохраняя при этом неизменным момент пары сил (рис. 1.29).

Теоретическая механика примеры решения задач

Теорема 4 (сложение пар сил на плоскости). При сложении нескольких пар сил на плоскости получается равнодействующая пара, момент которой т равен сумме моментов слагаемых пар:

Теоретическая механика примеры решения задач

На рис. 1.30, л показаны три пары сил с моментами Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач а на рис. 1.30,6 представлена их равнодействующая пара с моментом Теоретическая механика примеры решения задач

Для равновесия твердого тела под действием пар сил, лежащих в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов данных пар равнялась нулю:

Теоретическая механика примеры решения задач т. е.Теоретическая механика примеры решения задач

Приведение силы к данной точке. При приведении силы к данной точке добавляется присоединенная пара сил, момент которой равен моменту данной силы относительно центра приведения.

Теоретическая механика примеры решения задач

Это значит, что, не нарушая состояния твердого тела, можно силу Теоретическая механика примеры решения задач приложить в точке Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 1.31), добавив присоединенную пару сил, момент которой равен моменту заданной силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно центра приведения Теоретическая механика примеры решения задач.

Приведением силы к данной точке широко пользуются при преобразовании произвольной плоской системы сил к простейшему виду.

Главным вектором Теоретическая механика примеры решения задач называется векторная сумма сил, приложенных к твердому телу, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Проекции главного вектора Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач па оси декартовых координат равны суммам проекций данных сил на соответствующие оси:

Теоретическая механика примеры решения задач

Модуль главного вектора

Теоретическая механика примеры решения задач

Направляющие косинусы главного вектора определяются по формулам:

Теоретическая механика примеры решения задач

Главным моментом Теоретическая механика примеры решения задач относительно центра Теоретическая механика примеры решения задач называется сумма моментов сил, приложенных к твердому телу, относительно этого центра, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

В соответствии с определением главный вектор Теоретическая механика примеры решения задач является статическим инвариантом, т. е. величина и направление главного вектора не зависят от выбора центра приведения системы. Главный момент системы при перемене центра, вообще говоря, меняется. Главный момент Теоретическая механика примеры решения задач плоской системы сил относительно нового центра приведения Теоретическая механика примеры решения задач равен сумме главного момента этой системы сил относительно старого центра Теоретическая механика примеры решения задач и момента относительно нового центра Теоретическая механика примеры решения задач главного вектора Теоретическая механика примеры решения задач, приложенного в старом центре Теоретическая механика примеры решения задач:

Теоретическая механика примеры решения задач

Задача с решением 1.12.

В кузове грузовой автомашины весом Теоретическая механика примеры решения задач лежит груз Теоретическая механика примеры решения задач весом Теоретическая механика примеры решения задач

Пренебрегая силами трения, определить давления передних и задних колес автомашины на шоссе. Размеры указаны на рис. а, Теоретическая механика примеры решения задач — центр тяжести автомашины.

Решение. Рассмотрим равновесие автомашины. К ней приложены активные силы: Теоретическая механика примеры решения задач—вес автомашины, Теоретическая механика примеры решения задач — вес груза. Применив закон освобождаемости от связей, мысленно отбросим связь — шоссе. Реакции шоссе Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач, приложенные к колесам, при отсутствии трения направлены перпендикулярно к шоссе, т. е. вертикально вверх (рис. б). Конечно, Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач являются суммарными реакциями соответственно двух задних и двух передних колес.

Теоретическая механика примеры решения задач

Итак, автомашина находится в равновесии под действием плоской системы параллельных сил: Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Задача является статически определенной, ибо число алгебраических неизвестных равно двум.

Направим ось Теоретическая механика примеры решения задач параллельно силам вертикально вверх, а уравнение моментов составим относительно точки Теоретическая механика примеры решения задач Тогда, применив уравнения (4*), запишем

Теоретическая механика примеры решения задач

Из уравнения (2), приняв во внимание, что Теоретическая механика примеры решения задач найдем Теоретическая механика примеры решения задач Подставив это значение Теоретическая механика примеры решения задач в уравпение (I), получим Теоретическая механика примеры решения задач

Итак,

Теоретическая механика примеры решения задач

Искомые давления колес автомашины на шоссе равны по модулю соответствующим реакциям и направлены противоположно, т. е. вертикально вниз.

Эту задачу можно было решить с помощью уравнений равновесия, в каждое из которых входит лишь одна неизвестная величина. Для этого вместо уравнения (1), содержащего две неизвестные величины Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач, следует составить уравнение моментов относительно точки Теоретическая механика примеры решения задач Это уравнение удобно тем, что в него не входит Теоретическая механика примеры решения задач (момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно точки Теоретическая механика примеры решения задач равен нулю):

Теоретическая механика примеры решения задач

Из уравнения (4) при Теоретическая механика примеры решения задач непосредственно получим Теоретическая механика примеры решения задач (ср. формулу (3)).

Равновесие системы твердых тел

В статике твердого тела наряду с равновесием одного тела рассматриваются сочлененные системы материальных тел, т. е. совокупности твердых тел, касающихся друг друга своими поверхностями или соединенных друг с другом шарнирами, гибкими нитями или стержнями.

Важной задачей статики системы твердых тел является определение реакций связей. Для этого основным является способ расчленения, при котором наряду с равновесием .всей системы тел рассматривается равновесие отдельных тел (или групп тел системы). При этом все остальные тела системы и соответствующие связи мысленно отбрасываются, а их действие на тело, равновесие которого рассматривается, заменяется реакциями.

  • Следует заметить, что при рассмотрении равновесия всей системы твердых тел реакции связей между телами, входящими в систему, не должны учитываться; они не входят в уравнения равновесия, как внутренние, взаимно уравновешенные силы. А при рассмотрении равновесия каждого тела в отдельности или какой-либо группы тел, входящих в систему, соответствующие реакции связей, которые были мысленно расчленены, становятся внешними силами и входят в уравнения равновесия.

Задачи на равновесие системы твердых тел, находящихся под действием произвольной плоской системы сил, решаются путем применения уравнений равновесия твердого тела, разобранных в § 2 (уравнения (1*) или (2*), или (3*)).

Теоретическая механика примеры решения задач

Рассмотрим в качестве примера системы твердых тел, изображенные па рис. 1.33, 1.34.

Шатунно-кривошипный механизм Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 1.33) состоит из трех твердых тел: кривошипа Теоретическая механика примеры решения задач шатуна Теоретическая механика примеры решения задач и ползуна Теоретическая механика примеры решения задач Эти тела соединены друг с другом шарнирами Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Кроме того, на них наложены еще две связи: шарнирное закрепление в точке Теоретическая механика примеры решения задач и горизонтальные направляющие, препятствующие вертикальному перемещению ползуна Теоретическая механика примеры решения задач

Цилиндрический стакан (рис. 1.34) поставлен вверх дном па горизонтальный пол, внутри стакана покоятся два шара. Эта система состоит из трех твердых тел: шара Теоретическая механика примеры решения задач шара Теоретическая механика примеры решения задач и стакана, находящихся друг с другом в контакте. На эту систему тел наложена одна внешняя связь: гладкий горизонтальный пол.

Теоретическая механика примеры решения задач

При решении задач на равновесие системы тел недостаточно, как правило, рассмотреть равновесие этой системы в целом. Для всей системы условия равновесия сводятся или к трем уравнениям равновесия для плоской системы сил, или к двум уравнениям для плоской системы параллельных сил. В этом случае число неизвестных может быть больше числа перечисленных уравнений.

Задача с решением 1.24.

Два гладких цилиндра Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач помещены в яшик (рис. а). Цилиндр Теоретическая механика примеры решения задач весит Теоретическая механика примеры решения задач и его радиус Теоретическая механика примеры решения задач цилиндр Теоретическая механика примеры решения задач весит Теоретическая механика примеры решения задач и его радиус Теоретическая механика примеры решения задач

Определить реакции вертикальных стен в точках Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач горизонтального пола в точке Теоретическая механика примеры решения задач и давление между цилиндрами, если ширина ящика Теоретическая механика примеры решения задач

Решение. Отбросим мысленно стены и пол ящика и рассмотрим равновесие каждого цилиндра в отдельности. Цилиндр Теоретическая механика примеры решения задач находится в равновесии под действием трех сил: веса Теоретическая механика примеры решения задач горизонтальной реакции стены Теоретическая механика примеры решения задач и реакции Теоретическая механика примеры решения задач цилиндра Теоретическая механика примеры решения задач направленной по прямой, соединяющей центры Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач обоих цилиндров (рис. б).

Чтобы найти угол Теоретическая механика примеры решения задач образованный реакцией Теоретическая механика примеры решения задач с горизонтом, рассмотрим треугольник Теоретическая механика примеры решения задач (рис. в). В этом треугольнике сторона

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач катет Теоретическая механика примеры решения задач Пользуясь теоремой Пифагора, находим длину второго катета Теоретическая механика примеры решения задач Таким образом,

Теоретическая механика примеры решения задач

Составим уравнения равновесия для цилиндра Теоретическая механика примеры решения задач Так как линии действия сил, приложенных к цилиндру, пересекаются в центре цилиндра, то достаточно составить два уравнения, приравняв нулю сумму проекций всех сил на оси Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач (рис. а):

Теоретическая механика примеры решения задач

Подставляя значение Теоретическая механика примеры решения задач находим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Цилиндр Теоретическая механика примеры решения задач находится в равновесии под действием четырех сил: веса Теоретическая механика примеры решения задач горизонтальной реакции стены Теоретическая механика примеры решения задач вертикальной реакции пола Теоретическая механика примеры решения задач и реакции Теоретическая механика примеры решения задач цилиндра Теоретическая механика примеры решения задач равной по величине и направленной противоположно силе Теоретическая механика примеры решения задач Все четыре силы (рис. г) пересекаются в точке Теоретическая механика примеры решения задач центре цилиндра Теоретическая механика примеры решения задач Составим два уравнения равновесия этих сил. Суммы проекций сил па ось Теоретическая механика примеры решения задач и ось Теоретическая механика примеры решения задач равны нулю:

Теоретическая механика примеры решения задач

Отсюда находим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Следует заметить, что эта задача может быть решена и другим, графическим способом. Действительно, зная величину и направление силы Теоретическая механика примеры решения задач а также направления сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач строим силовой замкнутый треугольник. Этот треугольник совпадает с треугольником Теоретическая механика примеры решения задач (рис. в), если сторону Теоретическая механика примеры решения задач положить равной силе Теоретическая механика примеры решения задач Тогда сторона Теоретическая механика примеры решения задач даст в этом же масштабе силу Теоретическая механика примеры решения задач а сторона Теоретическая механика примеры решения задач силу Теоретическая механика примеры решения задач

Далее строим замкнутый силовой многоугольник для сил, приложенных цилиндру Теоретическая механика примеры решения задач Построение начинаем с известных по величине и направлению сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Проводя из конца силы Теоретическая механика примеры решения задач прямую, параллельную Теоретическая механика примеры решения задач а из начала силы Теоретическая механика примеры решения задач прямую, параллельную Теоретическая механика примеры решения задач получаем замкнутый силовой многоугольник (рис. д), стороны которого в избранном масштабе и определяют неизвестные силы.

Равновесие тел при наличии трения

1°. Равновесие твердого тела при наличии трения скольжения. Силы трения скольжения возникают между шероховатым телом и шероховатой поверхностью, если равнодействующая активных сил Теоретическая механика примеры решения задач не направлена по нормали к поверхности, на которой покоится тело (рис. 1.36). При равновесии тела необходимо, чтобы реакция шероховатой поверхности Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 1.37) равнялась но величине Теоретическая механика примеры решения задач и была направлена в прямо противоположную сторону. Разложим активную силу Теоретическая механика примеры решения задач на нормальную составляющую Теоретическая механика примеры решения задач и касательную составляющую Теоретическая механика примеры решения задач реакцию шероховатой поверхности на нормальную составляющую Теоретическая механика примеры решения задач и касательную составляющую Теоретическая механика примеры решения задач называемую силой трения скольжения или силой трения первого рода. При равновесии должны соблюдаться равенства

Теоретическая механика примеры решения задач

Из опыта известно, что при изменении величины составляющей Теоретическая механика примеры решения задач в определенных пределах равновесие тела не нарушается. Следовательно, и сила трения скольжения согласно уравнению (2*) будет меняться в этих пределах.

Таким образом, сила трения скольжения при покое есть составляющая реакции связи, возникающая при действии активных сил, стремящихся сдвинуть тело. Эта составляющая реакции направлена в сторону, противоположную возможному движению тела. Величина силы трения может меняться от нуля до некоторого предела, в зависимости от величины и направления активных сил, с тем чтобы

Теоретическая механика примеры решения задач

воспрепятствовать перемещению тела. Отличие силы трения от других реакций связей заключается в том, что ее модуль не может превысить определенного предела.

Зависимость между силой трения и нормальным давлением определяется законом Кулона: наибольшая величина силы трения скольжения пропорциональна нормальному давлению тела па поверхность

Теоретическая механика примеры решения задач

Сила трения всегда направлена в сторону, противоположную возможному относительному движению.

Постоянная Теоретическая механика примеры решения задач называется коэффициентом трения скольжения. Экспериментально установлено, что этот коэффициент зависит от материала соприкасающихся тел и их шероховатости (чистоты обработки). Для абсолютно гладких тел коэффициент Теоретическая механика примеры решения задач равен нулю. Для реальных тел

Теоретическая механика примеры решения задач

Коэффициент трения не зависит от силы нормального давления и площади соприкосновения *).

Угол Теоретическая механика примеры решения задач между нормалью к поверхности и полной ее реакцией в положении предельного равновесия, когда Теоретическая механика примеры решения задач называется углом трения (рис. 1.38). Этот угол определяется равенством

Теоретическая механика примеры решения задач т. е. Теоретическая механика примеры решения задач

Построим в точке соприкосновения нормаль к поверхности и прямую Теоретическая механика примеры решения задач составляющую с ней угол Теоретическая механика примеры решения задач Конус, описанный этой прямой как образующей, называется конусом трения.

Если линия действия равнодействующей активных сил, приложенных к твердому телу, лежит внутри конуса трения, то внезависимости от ее модуля тело останется в покое. Это объясняется тем, что в этом случае движущая сила будет меньше предельной силы трения.

Теоретическая механика примеры решения задач

Действительно, рассмотрим равновесие тела, находящегося на горизонтальной плоскости Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 1.39). К телу приложена равнодействующая активных сил Теоретическая механика примеры решения задач пол углом Теоретическая механика примеры решения задач к нормали (вес тела входит в Теоретическая механика примеры решения задач). Коэффициент трения скольженияТеоретическая механика примеры решения задач известен. Полагая Теоретическая механика примеры решения задач составим уравнение равновесия, приравняв нулю сумму проекций всех сил на направление нормали (рис. 1.40):

Теоретическая механика примеры решения задач или Теоретическая механика примеры решения задач

Проектируя все силы на горизонтальное направление, находим:

Теоретическая механика примеры решения задач или Теоретическая механика примеры решения задач

Замечая, что наибольшее значение силы трения равно

Теоретическая механика примеры решения задач

и учитывая, что Теоретическая механика примеры решения задач заключаем:

Теоретическая механика примеры решения задач

Следовательно, сила Теоретическая механика примеры решения задач линия действия которой находится внутри конуса трения, не может сдвинуть тело с места, как бы велика она ни была. На этом свойстве основаны некоторые самотормозящиеся устройства.

Если из Теоретическая механика примеры решения задач выделить вес тела Теоретическая механика примеры решения задач то неравенство (9*) примет вгд

Теоретическая механика примеры решения задач

Следовательно, сила Теоретическая механика примеры решения задач не может нарушить равновесие тела при

Теоретическая механика примеры решения задач

Сила трения может принимать различные значения от нуля до наибольшей величины. Поэтому уравнения равновесия твердого тела, которые выражались равенствами (§ 2, уравнения (I-), (2*), (3*)|, при наличии сил трения превращаются в неравенства. В связи с этим при решении задач, как правило, рассматривают наибольшее значение силы трения и находят при этом из уравнений равновесия предельные (наибольшие и наименьшие) значения искомых величии.

Так, например, рассматривая равновесие лестницы Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 1.41), опирающейся на гладкую стену и шероховатый пол, мы найдем наименьшее значение угла Теоретическая механика примеры решения задач при котором лестница будет в покое, если возьмем максимальное значение силы трения. Положений равновесия лестницы будет при этом бесчисленное множество, так как при любом значении угла Теоретическая механика примеры решения задач большем найденною, но меньшем Теоретическая механика примеры решения задач для равновесия необходима сила трения меньшая, чем ее максимальная величина.

Теоретическая механика примеры решения задач

При решении задач на равновесие твердого тела при наличии сил трения следует выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. При этом следует реакцию шероховатой поверхности представить двумя составляющими — нормальной реакцией и силой трения, или же, не раскладывая эту реакцию па составляющие, направить ее иод углом трения Теоретическая механика примеры решения задач к нормали к поверхности (при максимальной силе трения);

5) сопоставить число неизвестных величии и число независимых уравнений равновесия, которые должны быть равны для статически определенных задач; при этом к уравнениям равновесия твердого тела следует добавить зависимость силы трения ог нормального давления (3*);

6) выбрать систему координат;

7) составить систему уравнений равновесия для сил, приложенных к твердому телу или к системе твердых тел;

8) решив систему уравнений равновесия, определить искомые величины.

Задача с решением 1.33.

Определить модуль силы Теоретическая механика примеры решения задач при ко горой начнется движение блока (рис. а). Вес блока Теоретическая механика примеры решения задач высота Теоретическая механика примеры решения задач, ширина Теоретическая механика примеры решения задач (сила Теоретическая механика примеры решения задач приложенная в точке Теоретическая механика примеры решения задач образует угол Теоретическая механика примеры решения задач с горизонтом. Коэффициент трения между блоком и горизонтальным полом Теоретическая механика примеры решения задач

Решение. Движение блока может начаться в двух случаях: а) если начнется скольжение блока по плоскости вправо (рис. 6) н б) если блок начнет опрокидываться вокруг ребра (рис. в).

Рассмотрим первый случай. В этом случае точка приложения реакции пола Теоретическая механика примеры решения задач неизвестна. Составим уравнения равновесия — приравняем суммы проекций всех сил на оси координат (рис. б) нулю

Теоретическая механика примеры решения задач

Кроме того, учтем зависимость силы трения от нормального давления

Теоретическая механика примеры решения задач

Определим из данной системы уравнений силу Теоретическая механика примеры решения задач Исключая силы Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач находим:
Теоретическая механика примеры решения задач
Если величина силы Теоретическая механика примеры решения задач станет больше этого значения, то блок начнет скользить вправо.

Теоретическая механика примеры решения задач

Рассмотрим второй случай. В случае возможного опрокидывания блока вокруг ребра Теоретическая механика примеры решения задач нормальная реакция Теоретическая механика примеры решения задач и сила трения Теоретическая механика примеры решения задач будут приложены в точке Теоретическая механика примеры решения задач (рис. в).

Составим три уравнения равновесия и четвертое уравнение — зависимость силы трения от нормального давления

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Для нахождения величины силы Теоретическая механика примеры решения задач достаточно найти ее значение из (3):

Теоретическая механика примеры решения задач

Если модуль силы Теоретическая механика примеры решения задач станет больше этого значения, то блок начнет опрокидываться около ребра Теоретическая механика примеры решения задач

Уравнения (1), (2), (4) смогут быть использованы для определения нормальной реакции и силы трения.

Сопоставляя значения модуля силы Теоретическая механика примеры решения задач в первом и во втором случаях, заключаем, что так как величина силы Теоретическая механика примеры решения задач при скольжении меньше ее величины при опрокидывании, то при возрастании модуля силы Теоретическая механика примеры решения задач от нуля до максимума блок начнет сначала скользить, а не опрокидываться.

Графическая статика и методы расчета ферм

1°. Равновесие произвольной плоской системы сил. Метод последовательного сложения. Если твердое тело находится в равновесии иод действием произвольной плоской системы сил, то путем последовательного графического сложения таких сил можно определить значение неизвестных из условий равновесия. При этом число неизвестных не должно превышать трех для системы сил, приложенных к одному твердому телу, иначе задача будет статически неопределенной. Этот графический меюд решения задач целесообразно применять, если общее число сил, действующих па твердое тело, невелико. По сравнению с аналитическим методом решения задач на равпоиесие плоской системы сил указанный графический способ более нагляден, но его применение при большом числе сил очень громоздко.

Метод последовательного сложения сил можно применять в двух вариантах.

Если твердое тело находится в равновесии иод действием заданной плоской системы сил и трех реакций, линии действия которых известны Теоретическая механика примеры решения задач а величины реакций требуется определить, то рекомендуется такая последовательность действий (первый вариант):

  • 1) складываем последовательно графически все известные активные силы и получаем их равнодействующую;
  • 2) находим точку пересечения линии действия равнодействующей с линией действия одной из реакций Теоретическая механика примеры решения задач
  • 3) переносим равнодействующую в эту точку и разлагаем ее на две силы: одну, направленную вдоль линии Теоретическая механика примеры решения задач а другую, направленную в точку пересечения линии действия двух остальных реакций Теоретическая механика примеры решения задач
  • 4) составляющая равнодействующей активных сил, направленная но линии Теоретическая механика примеры решения задач определяет величину первой реакции;
  • 5) вторую составляющую равнодействующей активных сил переносим в точку пересечения линий действия двух остальных реакций и, разлагая по направлениям их действия (Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач), находим искомые величины двух последних реакций.

Если твердое тело находится в равновесии под действием заданной плоской системы сил и двух реакций, причем для одной реакции известна только точка приложения Теоретическая механика примеры решения задач а для второй — линия действия Теоретическая механика примеры решения задач то рекомендуется такая последовательность действий (второй вариант):

  • 1) складываем последовательно графически все известные активные силы и получаем их равнодействующую;
  • 2) переносим равнодействующую в точку пересечения ее линии действия с линией действия второй реакции Теоретическая механика примеры решения задач
  • 3) в точке пересечения разлагаем равнодействующую на две составляющие: одну по линии действия второй реакции, а другую по направлению к точке Теоретическая механика примеры решения задач Первая составляющая определяет вторую реакцию, а вторая составляющая—величину и направление реакции в точке Теоретическая механика примеры решения задач

Задача с решением 1.55.

Вертикальный гладкий стержень Теоретическая механика примеры решения задач весом Теоретическая механика примеры решения задач опирается в точках Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач (рис. а) на цилиндрические шарниры, а конном Теоретическая механика примеры решения задач на гладкую плоскость, наклоненную к горизонту под углом Теоретическая механика примеры решения задач

Определить графически реакции в точках Теоретическая механика примеры решения задач если Теоретическая механика примеры решения задач

Решение. Для определения реакций в точках Теоретическая механика примеры решения задач рассмотрим равновесие стержня Теоретическая механика примеры решения задач. Па стержень действует одна активная сила — сила тяжести Теоретическая механика примеры решения задач направленная по стержню. Стержень находится в равновесии под действием четырех сил: веса Теоретическая механика примеры решения задач реакций наклонной плоскости и цилиндрических шарниров Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач. Применяя закон освобождаемое от связей, отбросим мысленно связи и заменим их действие на стержень реакциями (рис. б).

Реакция гладкой наклонной плоскости Теоретическая механика примеры решения задач приложена в точке Теоретическая механика примеры решения задач и направлена перпендикулярно к наклонной плоскости. Реакция цилиндрического шарнира направлена перпендикулярно к оси шарнира, так как перемещению вдоль оси такой шарнир не препятствует. Обозначим эти реакции Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач (рис. б). Таким образом, стержень Теоретическая механика примеры решения задач находится в равновесии как свободное твердое тело, на которое действуют четыре силы: Теоретическая механика примеры решения задач

Продолжаем линии действия реакций Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач до их пересечения в точке Теоретическая механика примеры решения задач (рис. б). Линия дейания равнодействующем этих двух сил проходит через точку Теоретическая механика примеры решения задач. Линии действия двух других сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач пересекаются в Теоретическая механика примеры решения задач Следовательно, линия действия их равнодействующей проходит через точку Теоретическая механика примеры решения задач

Итак, все силы, действующие на стержень Теоретическая механика примеры решения задач приведены к двум силам, одну из которых перенесем по линии действия в Теоретическая механика примеры решения задач а другую — в Теоретическая механика примеры решения задач Таким образом, стержень Теоретическая механика примеры решения задач находится в равновесии под действием двух сил, приложенных в Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Следовательно, эти силы направлены по одной прямой Теоретическая механика примеры решения задач в противоположные стороны.

Откладываем (рис. в) в избранном масштабе известную по величине и направлению силу Теоретическая механика примеры решения задач К ее концу присоединяем силу Теоретическая механика примеры решения задач конец которой находится в точке пересечения с прямой, параллельной Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

и проведенной из начала силы Теоретическая механика примеры решения задач При этом условии равнодействующая сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач будет направлена от Теоретическая механика примеры решения задач к Теоретическая механика примеры решения задач

Затем из конца силы Теоретическая механика примеры решения задач проводим горизонтальную прямую, соответствующую линии действия силы Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения с линией, параллельной Теоретическая механика примеры решения задач и проведенной из начала силы Теоретическая механика примеры решения задач Равнодействующая сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач направлена при этом от Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Таким образом, графически определены реакции Теоретическая механика примеры решения задач Замечая, что угол между Теоретическая механика примеры решения задач и вертикалью равен Теоретическая механика примеры решения задач находим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Задача может быть решена и аналитически. Замечая, что Теоретическая механика примеры решения задачТеоретическая механика примеры решения задач составляем три уравнения равновесия (ось Теоретическая механика примеры решения задач направляем по горизонтали вправо, ось Теоретическая механика примеры решения задач — вертикально вверх):

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Решая совместно полученную систему уравнений, находим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Для приобретения навыков в решении задач па равновесие тел методом последовательного сложения сил рекомендуется решить графически следующие задачи из «Сборника задач по теоретической механике» И. В. Мещерского, издания 1950 г. и более поздних лет: 121, 123.

2°. Применение метода веревочного многоугольника к плоской системе сил. Сложение сил, расположенных в одной плоскости, при помощи метода веревочного многоугольника, является столь же общим методом решения задач статики па плоскости, как и аналитический, рассмотренный ранее.

Теоретическая механика примеры решения задач

Для графического сложения сил Теоретическая механика примеры решения задач необходимо изобразить силы па рисунке (рис. 1.45, а). Далее, строим силовой многоугольник (рис. 1.45,6), откладывая из произвольной точки вектор, равный первой силе Теоретическая механика примеры решения задач из его копна вектор Теоретическая механика примеры решения задач и из конца вектора Теоретическая механика примеры решения задач вектор Теоретическая механика примеры решения задач Начало первой силы соединяем вектором Теоретическая механика примеры решения задач с концом последней силы. Вектор Теоретическая механика примеры решения задач определяет величину и направление равнодействующей.

Для нахождения линии действия равнодействующей выбираем произвольную точку Теоретическая механика примеры решения задач за полюс и соединяем полюс с началом и концом каждой силы прямыми линиями, называемыми лучами. Первый луч обозначается через Теоретическая механика примеры решения задач луч, идущий в конец первой и начало второй силы, Теоретическая механика примеры решения задач, и т. д. вплоть до последнего луча, обозначенного через Теоретическая механика примеры решения задач

Далее (рис. 1.45, а) проводим из произвольной точки Теоретическая механика примеры решения задач прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач из этой точки проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач из этой точки проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения с линией действия последней силы Теоретическая механика примеры решения задач Из этой точки проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач Далее, продолжаем полученные лучи Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач до их пересечения в точке Теоретическая механика примеры решения задач которая и является одной из точек, лежащих па линии действия равнодействующей. Перенеся в точку Теоретическая механика примеры решения задач найденный из многоугольника сил вектор Теоретическая механика примеры решения задач можем считать задачу о нахождении равнодействующей системы сил Теоретическая механика примеры решения задач разрешенной. Построенная на рис. 1.45, a ломаная линия называется веревочным многоугольником. Этот метод решения применим для любого числа сил, лежащих в одной плоскости.

Если система сил находится в равновесии, то силовой многоугольник и веревочный многоугольник должны быть замкнуты. Следовательно, на рис. 1.45, б конец последней силы должен совпасть с началом первой силы; па рис. 1.45, а лучи Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач должны быть направлены по одной прямой. Система сил приводится к паре сил, если силовой многоугольник замкнут, а веревочный многоугольник не замкнут. В этом случае в силовом многоугольнике лучи Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач сольются в одну прямую, а в веревочном многоугольнике лучи Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач будут параллельны друг другу.

При решении задач на определение равнодействующей плоской системы сил способом веревочного многоугольника рекомендуется такая последовательность действий:

  • 1) изображаем в избранном масштабе на рисунке твердое тело с приложенными к нему силами;
  • 2) строим отдельно силовой многоугольник и находим его замыкающую Теоретическая механика примеры решения задач
  • 3) выбираем произвольную точку за полюс и соединяем ее с вершинами силового многоугольника прямыми линиями — лучами, обозначаемыми Теоретическая механика примеры решения задач
  • 4) строим на нервом рисунке, где изображено твердое тело с преложенными силами, веревочный многоугольник;
  • 5) продолжая до пересечения лучи Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач веревочного многоугольника, находим точку на линии действия равнодействующей;
  • 6) через полученную точку проводим равнодействующую Теоретическая механика примеры решения задач параллельно главному вектору силового многоугольника.

При решении задач на определение реакций опор твердого тела, находящегося в равновесии под действием 'плоской системы сил, следует придерживаться такого порядка действий:

1) изображаем в изобраниом масштабе твердое тело с активными силами;

2) отбросив мысленно опоры, заменяем их действие искомыми реакциями;

3) строим на отдельном рисунке силовой многоугольник, из которого определяется сумма искомых реакций, но не каждая из них;

4) выбирая произвольную точку за полюс, соединяем ее лучами с вершинами силового многоугольника;

5) строим па первом рисунке веревочный многоугольник, замыкая который, находим направление недостающего луча, разделяющего реакции опор;

6) перенося найденное направление недостающего луча на рисунок силового многоугольника, находим каждую из искомых реакций опор.

Задача с решением 1.66.

Па балке Теоретическая механика примеры решения задач действуют силы: Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач Силы Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач направлены по вертикали. Силы Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач действуют соответственно под углами Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач к балке (рис. а).

Определить построением веревочного многоугольника равнодействующую данной системы сил.

Решение. Для определения равнодействующей данной системы сил строим силовой многоугольник (рис. б). Для этого в избранном масштабе для сил из произвольно выбранной точки Теоретическая механика примеры решения задач (рис. б) проводим вектор, по величине и направлению равный силе Теоретическая механика примеры решения задач из конца этого вектора проводим второй вектор, по величине и направлению равный силе Теоретическая механика примеры решения задач из конца этого вектора откладываем вектор, равный Теоретическая механика примеры решения задач и из конца послед него откладываем вектор, равный Теоретическая механика примеры решения задач Построенный силовой многоугольник оказался незамкнутым; следовательно, силы приводятся к равнодействующей.

Соединив начало вектора Теоретическая механика примеры решения задач с концом вектора Теоретическая механика примеры решения задач находим вектор Теоретическая механика примеры решения задач замыкающий силовой многоугольник; этот вектор по величине и направлению равен равнодействующей данной системы сил. При обходе силового многоугольника все составляющие силы направлены в одну сторону, тогда как вектор Теоретическая механика примеры решения задач направлен в противоположную.

Чтобы найти точку приложения равнодействующей, строим веревочный многоугольник. Для этого из произвольно выбранной точки Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 6) проводим луч Теоретическая механика примеры решения задач в начало вектора Теоретическая механика примеры решения задач луч Теоретическая механика примеры решения задач в начало вектора Теоретическая механика примеры решения задач луч Теоретическая механика примеры решения задач в начало вектора Теоретическая механика примеры решения задач и луч Теоретическая механика примеры решения задач в начало вектора Теоретическая механика примеры решения задач В конец вектора Теоретическая механика примеры решения задач проводим луч Теоретическая механика примеры решения задач Из произвольной точки Теоретическая механика примеры решения задач (рис. в) вблизи силы Теоретическая механика примеры решения задач проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения ее с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач Из точки их пересечения проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения ее с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач Из точки пересечения этих линий проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения ее с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач и из этой точки проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач до пересечения с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач Из точки пересечения луча Теоретическая механика примеры решения задач с линией действия силы Теоретическая механика примеры решения задач проводим прямую, параллельную лучу Теоретическая механика примеры решения задач

Продолжая прямые, параллельные лучам Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач до их пересечения в точке Теоретическая механика примеры решения задач проводим через точку е прямую, параллельную вектору Теоретическая механика примеры решения задач Точку пересечения этой прямой с балкой обозначим через Теоретическая механика примеры решения задач Это и есть точка приложения равнодействующей заданных сил па балке Теоретическая механика примеры решения задач

Измеряя длину вектора Теоретическая механика примеры решения задач, находим, пользуясь избранным масштабом, величину равнодействующей. Она равна Теоретическая механика примеры решения задач Принят масштаб Теоретическая механика примеры решения задач в Теоретическая механика примеры решения задач

Пространственная система сил

Система сходящихся сил

В главе I была рассмотрена плоская система сходящихся сил. Пространственная система сходящихся сил, подобно плоской, также приводится к равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач

Равнодействующая Теоретическая механика примеры решения задач пространственной системы сходящихся сил приложена н точке пересечении линий действия слагаемых сил и является замыкающей стороной силового многоугольника, построенного па этих силах, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

В отличие от соответствующей плоской задачи силовой многоугольник не является плоским, т. е. он представляет собой ломаную пространственную линию.

Проекции равнодействующей силы Теоретическая механика примеры решения задач на оси декартовых координат Теоретическая механика примеры решения задач равны суммам проекций слагаемых сил на соответствующие оси, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

Модуль равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач равен

Теоретическая механика примеры решения задач

направляющее косинусы даются формулами:
Теоретическая механика примеры решения задач
Для равновесия твердого тела, к которому приложена пространственная система сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая равнялась нулю; Теоретическая механика примеры решения задач т. е. чтобы силовой многоугольник был замкнут. При этом уравнения равновесия имеют вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Задача является статически определенной, если число алгебраических неизвестных не более трех (предполагается, что все силы не лежат на одной прямой или в одной плоскости). Так, если известны направления всех сил, то можно определить модули трех сил.

При решении задач на равновесие твердого тела, находящегося под действием пространственной

системы сходящихся сил, надо выполнить четыре первых пункта, указанных в начале книги, на стр. 15. Затем:

5) убедиться в том, что задача является статически определенной, т. е. что число

величин не более трех;

6) выбрать систему осей декартовых координат Теоретическая механика примеры решения задач

7) составить уравнения равновесия (5*) твердого тела в проекциях на оси декартовых координат;

8) решить полученную систему уравнений, т. е. определить неизвестные величины.

Теоретическая механика примеры решения задач

Если требуется найти равнодействующую пространственной системы сходящихся сил, то после выполнения первых шести пунктов следует определить проекции Теоретическая механика примеры решения задач равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач по формулам (2*), затем вычислить модуль равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач и направляющие косинусы по формулам (3*), (4*).

Начало осей декартовых координат рекомендуется выбрать в точке пересечения линий действия слагаемых сил, а координатные оси направить параллельно либо перпендикулярно к большинству этих сил.

Иногда при определении проекции силы на координатную ось, например силы Теоретическая механика примеры решения задач па ось Теоретическая механика примеры решения задач бывает неизвестен угол между осью Теоретическая механика примеры решения задач и линией действия силы, но зато задан угол Теоретическая механика примеры решения задач образованный силой Теоретическая механика примеры решения задач и координатной плоскостью Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 2.1), а также угол Теоретическая механика примеры решения задач между осью проекций Теоретическая механика примеры решения задач и проекцией Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач на координатную плоскость Теоретическая механика примеры решения задач (Не следует забывать, что, в то время как проекция силы на ось является алгебраической величиной, проекция силы на плоскость есть вектор.) В этом случае для определения проекции Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач на ось Теоретическая механика примеры решения задач надо, во-первых, найти проекцию Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач на координатную плоскость Теоретическая механика примеры решения задач а затем вычислить проекцию вектора Теоретическая механика примеры решения задач па ось Теоретическая механика примеры решения задач, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

Аналогично проекция силы Теоретическая механика примеры решения задач на ось Теоретическая механика примеры решения задач имеет вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Далее,

Теоретическая механика примеры решения задач

Итак,

Теоретическая механика примеры решения задач

Не следует смешивать понятия проекции силы на ось и составляющей силы (рис. 2.2). Составляющая силы является вектором, равным произведению соответствующей проекции силы на орт оси проекций, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач

Разложение силы Теоретическая механика примеры решения задач по ортам осей декартовых координат имеет вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Если проекция силы па ось отрицательна, то соответствующая составляющая силы направлена в сторону, противоположную положительному паправлению этой оси.

Теоретическая механика примеры решения задач

Задача с решением 2.1.

Определить равнодействующую пространственном системы сходящихся сил, изображенной па рисунке.

Силы Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач расположены в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач сила Теоретическая механика примеры решения задач лежит в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач а сила Теоретическая механика примеры решения задач — в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задачТеоретическая механика примеры решения задач

Решение. Можно определить равнодействующую Теоретическая механика примеры решения задач как замыкающую сторону силового многоугольника, построенного на силах Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач т. е. Теоретическая механика примеры решения задач Однако этот многоугольник представляет пространственную ломаную и поэтому непосредственное определение модуля и направления вектора Теоретическая механика примеры решения задач требует либо построения модели, либо применения сложных методов начертательной геометрии.

Эту задачу можно решить значительно проще, воспользовавшись методом проекций. Как известно, проекции равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач определяются по формулам (2*).

В данном случае эти формулы имеют вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Вычислим проекции сил Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач на осп Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Подставив эти значен* я в формулы (1), получим:

Теоретическая механика примеры решения задач

откуда, использовав заданные в условии числовые значения, находим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Теперь легко найти модуль равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

и ее направляющие косинусы:

Теоретическая механика примеры решения задач

откуда

Теоретическая механика примеры решения задач

Зная модуль и направление равнодействующей Теоретическая механика примеры решения задач можно изобразить ее в системе координатных осей Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Произвольная пространственная система сил

1°. Момент силы относительно точки. Момент силы относительно оси. Теория пар в пространстве. В случае плоской системы сил момент силы относительно точки был определен как алгебраическая величина: Теоретическая механика примеры решения задач

При пространственном расположении сил этого определения

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

недостаточно, так как плоскости, проходящие через линии действия сил и точку, относительно которой вычисляются моменты, различны. Поэтому момент Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно точки Теоретическая механика примеры решения задач в пространстве определяют как векторное произведение Теоретическая механика примеры решения задач где Теоретическая механика примеры решения задач — радиус-вектор, проведенный из точки Теоретическая механика примеры решения задач в точку приложения силы. Таким образом, вектор Теоретическая механика примеры решения задач направлен перпендикулярно к плоскости, содержащей линию действия силы и точку Теоретическая механика примеры решения задач, так что сила с конца его видна направленной вокруг точки против часовой стрелки (рис. 2.3). Модуль вектора Теоретическая механика примеры решения задач равен произведению модуля силы па расстояние от точки до линии действия силы (плечо), т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

Момент силы относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 2.4) определяется как алгебраическая величина, абсолютное значение которой равно произведению модуля проекции силы Теоретическая механика примеры решения задач на плоскость Теоретическая механика примеры решения задач перпендикулярную к оси Теоретическая механика примеры решения задач на расстояние Теоретическая механика примеры решения задач от точки Теоретическая механика примеры решения задач пересечения оси с этой плоскостью до линии действия проекции силы на плоскость Теоретическая механика примеры решения задач т. е. Теоретическая механика примеры решения задач

Если с конца оси Теоретическая механика примеры решения задач видно, что сила Теоретическая механика примеры решения задач стремится повернуть тело вокруг точки Теоретическая механика примеры решения задач против часовой стрелки, то момент положителен, если по часовой

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Момент силы Теоретическая механика примеры решения задач изображенной на рис. 2.4, относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач положителен.

Итак, момент силы относительно точки — вектор, момент силы относительно оси — алгебраическая величина. Если точка лежит на оси, то момент силы относительно оси равен проекции момеша силы относительно точки на эту ось, т. е. Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 2.5).

Зная моменты силы относительно осей декартовых координат Теоретическая механика примеры решения задач можно определить величину момента силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно начала координат Теоретическая механика примеры решения задач и его направляющие косинусы по формулам:

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач
причем Теоретическая механика примеры решения задач

Выражения моментов силы относительно осей декартовых координат через проекции силы па эти оси даются формулами:

Теоретическая механика примеры решения задач

Здесь Теоретическая механика примеры решения задач — проекции силы Теоретическая механика примеры решения задач на оси декартовых координат, Теоретическая механика примеры решения задач — координаты точки Теоретическая механика примеры решения задач приложения силы (рис. 2.6).

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия силы и ось лежат в одной плоскости (рис. 2.7), т. е.:

а) если сила параллельна оси (при этом проекция Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач на перпендикулярную к оси плоскость Теоретическая механика примеры решения задач обращается в нуль: Теоретическая механика примеры решения задач);

б) если линия действия силы пересекает ось (при этом Теоретическая механика примеры решения задач).

стрелке, то отрицателен, т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

В случае пространственной системы сил главным моментом относительно точки называется векторная сумма моментов всех сил системы относительно той же точки:

Теоретическая механика примеры решения задач

Главным моментом пространственной системы сил относительно оси называется сумма моментов всех сил системы относительно этой оси:

Теоретическая механика примеры решения задач

т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Зная главные моменты системы сил относительно осей декартовых координат, можно определить модуль главного момента относительно начала координат Теоретическая механика примеры решения задач и его направляющие косинусы по формулам: _

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Если пространственная система сил приводится к равнодействующей, то согласно теореме Вариньона момент равнодействующей силы относительно точки ранен векторной сумме моментов всех сил системы относительно той же точки:

Теоретическая механика примеры решения задач

Та же теорема относительно осей декартовых координат формулируется так: момент равнодействующей силы относительно оси ранен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси:

Теоретическая механика примеры решения задач

Момент пары сил в пространстве определяется как вектор, перпендикулярный к плоскости пары, причем с конца его пара видна направленной прошв часовой стрелки (рис. 2.8). Модуль момента пары сил равен произведению модуля одной из сил пары на расстояние между линиями действия сил (плечо): Теоретическая механика примеры решения задач

Теория пар в пространстве дается двумя теоремами.

Теоретическая механика примеры решения задач

Теорема 1. Пары, векторные моменты которых равны, эквивалентны; следовательно, не нарушая состояния твердого тела, пару сил можно переносить в плоскость, параллельную данной.

Теорема 2. Момент равнодействующей пары равен векторной сумме моментов составляющих пар.

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием пар сил в пространстве, необходимо и достаточно, чтобы векторная сумма моментов этих пар была равна нулю Теоретическая механика примеры решения задач

Вычисление моментов сил и главных моментов систем сил относительно о:ей является важной составной частью решения задач на равновесие твердых тел под действием произвольных пространственных систем сил, а также задач на приведение этих систем сил к простейшему виду.

Вычисление главных моментов систем сил относительно осей рекомендуется проводить в следующем порядке:

  • 1) провести плоскость, перпендикулярную к оси, относительно которой требуется определить главный момент системы сил;
  • 2) найти точку пересечения оси с этой плоскостью;
  • 3) спроектировать силу на плоскость, перпендикулярную к оси;
  • 4) опустить перпендикуляр (плечо) из точки пересечения оси с плоскостью на линию действия проекции силы на плоскость, определенную в предыдущем пункте;
  • 5) записать модуль момента силы относительно оси в виде произведения модуля проекции силы на найденное плечо;
  • 6) определить знак момента силы относительно оси;
  • 7) повторить построения и выкладки, сделанные в третьем, четвертом, пятом и шестом пунктах для каждой из сил системы;
  • 8) вычислить гласные моменты системы сил относительно осей в виде сумм моментов данных сил относительно этих осей.

Если определение проекции силы па плоскость, перпендикулярную к оси, затруднительно, то следует разложить силу па составляющие. Затем вместо момента силы относительно оси надо, применив георему Вариньона, вычислить сумму моментов сил составляющих относительно этой оси.

Если этот прием также затруднителен, то надо найти проекции силы Теоретическая механика примеры решения задач на оси, записать координаты Теоретическая механика примеры решения задач точки приложения силы и вычислить моменты силы относительно осей декартовых координат по формулам (3 *).

Если оси декартовых координат в условии задачи не заданы, то целесообразно выбрать эти оси так, чтобы моменты возможно большего числа сил обратились в нуль. Значит, надо направить оси параллельно силам либо так, чтобы оси пересекали линии действия сил.

Задача с решением 2.4.

Вычислить моменты относительно осей координат Теоретическая механика примеры решения задачТеоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач направленной по диагонали боковой грани прямоугольного параллелепипеда, изображенного на рисунке, если длина ребра, параллельного оси Теоретическая механика примеры решения задач равна Теоретическая механика примеры решения задач

Решение. Линия действия силы Теоретическая механика примеры решения задач пересекает ось Теоретическая механика примеры решения задач поэтому момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач равен нулю:

Теоретическая механика примеры решения задач

Для определения момента силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач спроектируем эту силу на плоскость Теоретическая механика примеры решения задач перпендикулярную к оси Теоретическая механика примеры решения задач т. е. определим Теоретическая механика примеры решения задач Нетрудно видеть, что Теоретическая механика примеры решения задач Остается взять момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно точки пересечения оси Теоретическая механика примеры решения задач с перпендикулярной плоскостью Теоретическая механика примеры решения задач т. е. точки Теоретическая механика примеры решения задач Плечом является ребро Теоретическая механика примеры решения задач С конца оси Теоретическая механика примеры решения задач видно, что сила Теоретическая механика примеры решения задач стремится повернуть тело в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач вокруг точки Теоретическая механика примеры решения задач по часовой стрелке, следовательно, момент силы отрицателен. Итак,

Теоретическая механика примеры решения задач

Остается определить момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач Для этого найдем величину проекции Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач на плоскость Теоретическая механика примеры решения задач перпендикулярную к оси Теоретическая механика примеры решения задач Легко видеть, что Теоретическая механика примеры решения задач Теперь вычисляем момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно точки Теоретическая механика примеры решения задач пересечения оси Теоретическая механика примеры решения задач с перпендикулярной плоскостью Теоретическая механика примеры решения задач Плечом оказывается отрезок Теоретическая механика примеры решения задач Знак момента положителен, так как с конца оси Теоретическая механика примеры решения задач видно, что сила Теоретическая механика примеры решения задач стремится повернуть тело в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач вокруг точки Теоретическая механика примеры решения задач против часовой стрелки. Значит,

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Задача с решением 2,5.

Определить моменты относительно осей Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач силы Теоретическая механика примеры решения задач изображенной на рисунке. Сила Теоретическая механика примеры решения задач приложенная в точке Теоретическая механика примеры решения задач лежащей на оси Теоретическая механика примеры решения задач образует с плоскостью Теоретическая механика примеры решения задач угол Теоретическая механика примеры решения задач причем ее проекция иа эту плоскость образует с осью Теоретическая механика примеры решения задач угол Теоретическая механика примеры решения задач равный Теоретическая механика примеры решения задач

Решение. Как и в предыдущей задаче, находим без труда моменты силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно осей Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач (линия действия силы Теоретическая механика примеры решения задач пересекает ось Теоретическая механика примеры решения задач), Теоретическая механика примеры решения задач где Теоретическая механика примеры решения задачТеоретическая механика примеры решения задач - модуль проекции силы Теоретическая механика примеры решения задач на плоскость Теоретическая механика примеры решения задач перпеидикулярную к оси Теоретическая механика примеры решения задач а Теоретическая механика примеры решения задач - длина перпендикуляра, опущенного из точки Теоретическая механика примеры решения задач пересечения оси Теоретическая механика примеры решения задач с плоскостью Теоретическая механика примеры решения задач на линию действия силы Теоретическая механика примеры решения задач (Знак момента отрицателен, так как с конца оси Теоретическая механика примеры решения задач видно, что сила Теоретическая механика примеры решения задач стремится повернуть тело в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач вокруг точки Теоретическая механика примеры решения задач по часовой стрелке.) Итак,

Теоретическая механика примеры решения задач

Труднее найти момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач так как неизвестен угол между силой Теоретическая механика примеры решения задач и перпендикулярной к оси Теоретическая механика примеры решения задач плоскостью Теоретическая механика примеры решения задач Здесь целесообразно прибегнуть к приему, упомянутому в обзоре теории, — разложить силу Теоретическая механика примеры решения задач на две составляющие. Разложим силу на составляющие Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач (см. рисунок). Таким образом, Теоретическая механика примеры решения задач где Теоретическая механика примеры решения задач

Теперь для определения момента силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач применим теорему Вариньона, согласно которой момент равнодействующей силы относительно оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же осп. В данном случае

Теоретическая механика примеры решения задач

Так как линия действия силы Теоретическая механика примеры решения задач пересекает ось Теоретическая механика примеры решения задач то Теоретическая механика примеры решения задач Момент силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач равен Теоретическая механика примеры решения задач Учитывая, что Теоретическая механика примеры решения задач окончательно получим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Для вычисления момента силы Теоретическая механика примеры решения задач относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач можно было также воспользоваться формулой

Теоретическая механика примеры решения задач

где Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач — координаты точки Теоретическая механика примеры решения задач приложения силы Теоретическая механика примеры решения задач а Теоретическая механика примеры решения задачи Теоретическая механика примеры решения задач — проекции силы Теоретическая механика примеры решения задач на оси Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач В данном случае Теоретическая механика примеры решения задач

Fy = — FAy cos 45°= — F cos 30° cos 4o3= - - J--,

Теоретическая механика примеры решения задач

Подставив эти значения в формулу (4), получим результат формулы (3), т. е.

Теоретическая механика примеры решения задач

Как показывает решение этой задачи, в случаях, когда вычисление момента силы относительно оси обычным приемом затруднительно, следует прибегать к разложению силы на составляющие, с последующим применением теоремы Вариньона, либо к выражениям (3 *) моментов силы относительно осей через проекции силы на эти оси.

Центр тяжести

Дана система параллельных сил Теоретическая механика примеры решения задач которые приводятся к равнодействующей. Будем считать точки приложения сил фиксированными.

Центром параллельных сил называется точка приложения равнодействующей силы, обладающая тем свойством, что при повороте всех параллельных сил на один угол, с сохранением их параллельности, равнодействующая поворачивается вокруг центра параллельных сил Теоретическая механика примеры решения задач на тот же угол.

Координаты центра параллельных сил даются формулами:
Теоретическая механика примеры решения задач
здесь Теоретическая механика примеры решения задач — координаты точки приложения силы Теоретическая механика примеры решения задач где Теоретическая механика примеры решения задач В этих формулах Теоретическая механика примеры решения задач — величина силы, Теоретическая механика примеры решения задач — проекция силы Теоретическая механика примеры решения задач на ось, параллельную силам. При этом проекция силы считается положительной, если направления силы Теоретическая механика примеры решения задач и параллельной оси совпадают, и отрицательной, если направления силы Теоретическая механика примеры решения задач и параллельной оси противоположны.

Если твердое тело находится вблизи поверхности земли, то к каждой материальной частице этого тела приложена сила тяжести (считаем, что материальные частицы распределены в твердом теле непрерывно). Эти силы тяжести приближенно образуют систему параллельных снл (линии действия сил тяжести двух материальных частиц, лежащих па земной поверхности и отстоящих друг от друга на расстоянии Теоретическая механика примеры решения задач образуют угол, равный одной секунде).

Центр параллельных сил тяжести Теоретическая механика примеры решения задач называется центром тяжести Теоретическая механика примеры решения задач твердого тела, а сумма сил тяжести всех его материальных частиц называется весом Теоретическая механика примеры решения задач твердого тела:

Теоретическая механика примеры решения задач

Координаты Теоретическая механика примеры решения задач центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач твердого тела даются приближенными формулами:

Теоретическая механика примеры решения задач

Эти формулы являются приближенными, так как координаты Теоретическая механика примеры решения задачТеоретическая механика примеры решения задач точки приложения веса Теоретическая механика примеры решения задач материальной частицы определяются с точностью до размеров эгой частицы.

Положение центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач твердого тела по отношению к его материальным частицам не зависит от состояния твердого тела.

Впредь будут рассматриваться однородные твердые тела, для которых удельный вес всех их материальных частиц постоянен.

Координаты Теоретическая механика примеры решения задач центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородного тела приближенно имеют вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Здесь Теоретическая механика примеры решения задач — объем Теоретическая механика примеры решения задач материальной частицы, Теоретическая механика примеры решения задач — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, Теоретическая механика примеры решения задач — объем твердого тела: Теоретическая механика примеры решения задач Для повышения точности результата подсчета следует разбивать твердое тело па материальные частицы возможно меньшего объема.

Координаты Теоретическая механика примеры решения задач центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородной поверхности приближенно даются формулами:

Теоретическая механика примеры решения задач

Здесь Теоретическая механика примеры решения задач — площадь поверхности Теоретическая механика примеры решения задач материальной частицы, Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, Теоретическая механика примеры решения задач—площадь поверхности твердого тела:

Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

В случае однородной пластинки, расположенной в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач (рис. 2.14) формулы (2*) принимают вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Здесь суммы Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач называются статическими моментами площади: Теоретическая механика примеры решения задач —статический момент площади однородной плоской фигуры относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задачТеоретическая механика примеры решения задач — статический момент площади однородной плоской фигуры относительно оси Теоретическая механика примеры решения задач

Если центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородной плоской фигуры лежит на некоторой оси, то статический момент площади относительно этой оси равен нулю. Например, если центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач лежит на оси Теоретическая механика примеры решения задач то

Теоретическая механика примеры решения задач

Координаты Теоретическая механика примеры решения задач центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородной линии приближенно имеют вид

Теоретическая механика примеры решения задач

Здесь Теоретическая механика примеры решения задач — длина Теоретическая механика примеры решения задач материальной частицы, Теоретическая механика примеры решения задач — координаты точки приложения силы тяжести этой частицы, Теоретическая механика примеры решения задач — длина тела (например, проволоки): Теоретическая механика примеры решения задач В случае плоской кривой, лежащей в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач координата Теоретическая механика примеры решения задач

В тех случаях, когда объемы, площади или длины каждой частицы, а также их центры тяжести могут быть определены точно, формулы (I*), (2*), (3*) дают не приближенные, а точные значения координат центра тяжести всего тела. Если же упомянутые выше величины не могут быть определены точно, то читатель, владеющий методами интегрального исчисления, может вместо приближенных формул (1*), (2*), (3*) и (4*) пользоваться точными формулами:

а) в случае однородного твердого тела

Теоретическая механика примеры решения задач

где Теоретическая механика примеры решения задач (интегрирование распространено по всему объему твердого тела);

б) в случае однородной поверхности
Теоретическая механика примеры решения задач
где Теоретическая механика примеры решения задач (интегрирование распространено по всей поверхности твердого тела);

в) в случае однородной плоской фигуры, лежащей в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

г) в случае однородной линии

Теоретическая механика примеры решения задач

где Теоретическая механика примеры решения задач — (интегрирование распространено no всей длине тела)

Если линия является плоской и лежит в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач то Теоретическая механика примеры решения задач

Если в однородном твердом теле имеется плоскость симметрии, то центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач лежит в этой плоскости. Если же в теле имеется ось симметрии, то центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач лежит на этой оси.

Иногда для определения положений центров тяжести линий и площадей плоских фигур пользуются теоремами Гульдина.

Первая теорема Гульдина. Площадь боковой поверхности тела вращения (рис. 2.15), описанной плоской кривой Теоретическая механика примеры решения задач вращающейся вокруг оси Теоретическая механика примеры решения задач расположенной в плоскости кривой и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги Теоретическая механика примеры решения задач на длину окружности Теоретическая механика примеры решения задач описываемой центром тяжести Теоретическая механика примеры решения задач дуги: Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Вторая теорема Гульдина. Объем тела вращения (рис. 2.16), описанного плоской фигурой, вращающейся вокруг оси Теоретическая механика примеры решения задач расположенной в плоскости этой фигуры и не пересекающей ее контура, равен произведению площади фигуры Теоретическая механика примеры решения задач на длину окружности Теоретическая механика примеры решения задач описанной ее центром тяжести Теоретическая механика примеры решения задач т, е. Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Положения центров тяжести некоторых твердых тел простейшей геометрической формы:

а) центр тяжести площади однородного прямоугольника расположен в точке пересечения его диагоналей;

б) центр тяжести площади однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан;

в) центр тяжести дуги однородной окружности (рис. 2.17) находится на оси симметрии, и его положение определяется координатами:

Теоретическая механика примеры решения задач где Теоретическая механика примеры решения задач — радиус окружности, Теоретическая механика примеры решения задач —половила центрального угла;

г) центр тяжести площади однородного кругового сектора (рис. 2.18) расположен на оси симметрии и имеет координаты: Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач где Теоретическая механика примеры решения задач — радиус окружности, Теоретическая механика примеры решения задач — половина центрального угла;

д) центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородной призмы находится в середине отрезка, соединяющего центры тяжести Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач верхнего н нижнего оснований этой призмы (рис. 2.19), т. е. Теоретическая механика примеры решения задач

е) центр тяжести однородной пирамиды лежит на отрезке, соединяющем вершину Теоретическая механика примеры решения задач пирамиды с центром тяжести Теоретическая механика примеры решения задач ее основания,

Теоретическая механика примеры решения задач

на расстоянии Теоретическая механика примеры решения задач этого отрезка Теоретическая механика примеры решения задач от центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач основания пирамиды (рис. 2.20), т. е. Теоретическая механика примеры решения задач

ж) центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстоянии Теоретическая механика примеры решения задач высоты от основания конуса

(рис. 2.21), т. е. Теоретическая механика примеры решения задач

При решении задач на определение положения центра тяжести однородного твердого тела существенную роль играет удачный выбор осей координат.

Если в твердом теле имеется плоскость симметрии, то одну из осей координат, например Теоретическая механика примеры решения задач следует направить перпендикулярно к этой плоскости. Так как центр тяжести лежит в плоскости симметрии, т. е. в плоскости Теоретическая механика примеры решения задач то Теоретическая механика примеры решения задач и остается определить только две координаты: Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач

Если в твердом теле имеется ось симметрии, то одну из координатных осей, например Теоретическая механика примеры решения задач следует совместить с осью симметрии. Так как центр тяжести лежит на оси симметрии, т. е. на оси Теоретическая механика примеры решения задач то Теоретическая механика примеры решения задач и остается определить только одну координату Теоретическая механика примеры решения задач

Наиболее распространенным приемом использования формул (1*), (2*), (3*) или (4*) является мысленная разбивка однородного твердого тела па такие части, положение центра тяжести каждой из которых известно, либо легко может быть определено.

Так, например, при разбивке площади однородной плоской фигуры, изображенной на рис. 2.22, на три части положение ее центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач определяется по формулам (3*):

Теоретическая механика примеры решения задач

здесь Теоретическая механика примеры решения задач — координаты центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач первой части плоской фигуры; Теоретическая механика примеры решения задач — площадь первой части и т. д.

Теоретическая механика примеры решения задач

В некоторых случаях целесообразно заменить твердое тело не суммой, а разностью отдельных его частей. Так, например, в случае пластинки с двумя вырезами, изображенной на рис. 2.23, ее площадь можно записать в виде разности площадей сплошной плоской фигуры 1 и двух вырезов 2 и 3 т. е. Теоретическая механика примеры решения задач В этом случае положение центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородной плоской фигуры определяется по формулам

Теоретическая механика примеры решения задач

здесь Теоретическая механика примеры решения задач — координаты центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач сплошной плоской фигуры 1, площадь которой равна Теоретическая механика примеры решения задач — координаты центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач выреза 2, площадь которого равна Теоретическая механика примеры решения задач и т. д.

Следует иметь в виду, что прием разбивки однородного твердого тела на отдельные части приводит при использовании формул (1*), (2*), (3*) или (4*) к точному результату только в том случае, когда координаты центров тяжести отдельных частей, а также их площади (либо объемы, либо длины) могут быть точно определены. Поэтому в случаях твердых фигур с криволинейными контурами или твердых тел с поверхностями сложной формы точность результатов оказывается недостаточной (для повышения точности результата приходится разбивать тело на большее число частей, что усложняет решение задачи) и рекомендуется применять точные формулы (5*), (6*), (7*) или (8*).

Теоремами Гульдина удобно пользоваться в тех случаях, когда в число данных и неизвестных входят:

  • а) длина вращаемой дуги, расстояние от центра тяжести этой дуги до оси вращения и площадь поверхности вращения, описанной дугой (первая теорема Гульдина);
  • б) площадь вращаемой плоской фигуры, расстояние от центра тяжести плоской фигуры до оси вращения и объем тела вращения, описанного этой плоской фигурой (вторая теорема Гульдина).

Задача с решением 2.18.

Определить положение центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач однородного проволочного контура Теоретическая механика примеры решения задач, состоящего из двух прямолинейных отрезков Теоретическая механика примеры решения задач расположенных под углом Теоретическая механика примеры решения задач друг к другу (Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач), и полуокружности Теоретическая механика примеры решения задач диаметра Теоретическая механика примеры решения задач (рис. а).

Теоретическая механика примеры решения задач

Решение. Проволочный контур имеет ось симметрии, вдоль которой мы проводим ось Теоретическая механика примеры решения задач Взяв начало координат в точке Теоретическая механика примеры решения задач направляем ось Теоретическая механика примеры решения задач по вертикали вверх.

Так как центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач контура лежит на оси симметрии Теоретическая механика примеры решения задач то Теоретическая механика примеры решения задач Для определения координаты Теоретическая механика примеры решения задач воспользуемся формулой (4*):

Теоретическая механика примеры решения задач

В данном случае целесообразно разбить весь проволочный контур на три части: два прямолинейных отрезка Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач длиной Теоретическая механика примеры решения задач каждый и полуокружность Теоретическая механика примеры решения задач радиуса Теоретическая механика примеры решения задач Такая разбивка является удобной, так как положения центров тяжести каждой из этих частей нетрудно определить. Обозначим отрезок Теоретическая механика примеры решения задач номером 1, отрезок Теоретическая механика примеры решения задач — номером 2, полуокружность Теоретическая механика примеры решения задач — номером 3. Тогда формулу (1) можно записать в виде

Теоретическая механика примеры решения задач

где Теоретическая механика примеры решения задач — абсциссы центров тяжести Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач отрезков Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач — абсцисса центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач полуокружности Теоретическая механика примеры решения задач а Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач — длины этих частей проволочного контура. Как видно из рисунка,

Теоретическая механика примеры решения задач

Для определения Теоретическая механика примеры решения задач воспользуемся тем, что расстояние Теоретическая механика примеры решения задач от центра окружности до центра тяжести дуги Теоретическая механика примеры решения задач определяется формулой

Теоретическая механика примеры решения задач

В данном случае Теоретическая механика примеры решения задач и, следовательно, так как Теоретическая механика примеры решения задач имеем Теоретическая механика примеры решения задач Поэтому

Теоретическая механика примеры решения задач

Кроме того, имеем:
Теоретическая механика примеры решения задач

Подставив (3), (4) и (5) в формулу (2), получим: aV3" . а\Г5 . 2 + я/З

Теоретическая механика примеры решения задач
Итак, центр тяжести проволочного контура Теоретическая механика примеры решения задач находится в точке Теоретическая механика примеры решения задач с координатами: Теоретическая механика примеры решения задач

Задача с решением 2.19.

Определить положение центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач площади поперечного сечения однородного штампа, изображенного на рис. а.

Решение. Заметив, что сечение имеет ось симметрии, проведем вдоль оси симметрии ось Теоретическая механика примеры решения задач и перпендикулярно к ней, по вертикали вверх, ось Теоретическая механика примеры решения задач Так как центр тяжести Теоретическая механика примеры решения задач сечения лежит на оси симметрии, т. е. на оси Теоретическая механика примеры решения задач то необходимо определить лишь координату Теоретическая механика примеры решения задач

Проведя вспомогательные линии Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач разобьем площадь сечения на сумму площадей трех прямоугольников. Обозначим прямоугольник Теоретическая механика примеры решения задач номером 1, прямоугольник Теоретическая механика примеры решения задач— номером 2 и прямоугольник Теоретическая механика примеры решения задач — номером 3. Тогда формулу (3*) можно записать в виде

Теоретическая механика примеры решения задач

Так как центры тяжести Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач прямоугольников лежат в точках пересечения их диагоналей, то имеем:

Теоретическая механика примеры решения задач

Площади прямоугольников равны

Теоретическая механика примеры решения задач

Воспользовавшись (2) и (3), запишем формулу (1) в виде

Теоретическая механика примеры решения задач

Итак, центр тяжести площади сечения штампа находится в точке Теоретическая механика примеры решения задач с координатами: Теоретическая механика примеры решения задач

Теоретическая механика примеры решения задач

Эту задачу можно решить несколько иначе, проведя вспомогательную прямую Теоретическая механика примеры решения задач (рис. б) и представив площадь данного сечения в виде разности площадей прямоугольников Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач Обозначив прямоугольник Теоретическая механика примеры решения задач номером 1, а прямоугольник Теоретическая механика примеры решения задач номером 2, запишем формулу (3*) в виде

Теоретическая механика примеры решения задач

где Теоретическая механика примеры решения задач — абсцисса центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач прямоугольника Теоретическая механика примеры решения задач Теоретическая механика примеры решения задач — абсцисса центра тяжести Теоретическая механика примеры решения задач прямоугольника Теоретическая механика примеры решения задач, а Теоретическая механика примеры решения задач и Теоретическая механика примеры решения задач — соответственно площади этих прямоугольников. Находим:

Теоретическая механика примеры решения задач

Подставив (5) в формулу (4), получим:

Теоретическая механика примеры решения задач

откуда Теоретическая механика примеры решения задач

Второй прием решения задачи оказался более коротким. Этот прием замены площади данной плоской фигуры разностью двух площадей удобно также применить при решении следующей задачи.