Курсовая работа по теоретической механике

Содержание:

  1. Работа постоянной силы
  2. Пример курсовой работы 1.16
  3. Работа силы на конечном пути
  4. Работа сил, приложенных к вращающемуся твердому телу
  5. Мощность
  6. Коэффициент полезного действия
  7. Моменты инерции твердого тела
  8. Теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы
  9. Теорема об изменении количества движения механической системы
  10. Пример курсовой работы 1.18

Работа постоянной силы

Вычислим работу силы, постоянной по модулю и направлению (рис. 1.54, а). Предположим, что точка Курсовая работа по теоретической механике перемещается в точку Курсовая работа по теоретической механике Вектор силы Курсовая работа по теоретической механике с вектором перемещения составляет угол Курсовая работа по теоретической механике В этом случае работу выполняет только та составляющая силы, которая совпадает с направлением вектора перемещения Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов

Курсовая работа по теоретической механике

Следовательно, работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения ее точки приложения:

Курсовая работа по теоретической механике

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Рассмотрим частные случаи определения работы постоянной силы.

1. Сила Курсовая работа по теоретической механике действует на тело в направлении вектора перемещения Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

2. Сила Курсовая работа по теоретической механике направлена перпендикулярно вектору перемещения Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

3. Сила Курсовая работа по теоретической механике направлена в сторону, противоположную вектору перемещения Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Теорема I. Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих силы на том же перемещении.

Положим, что на точку Курсовая работа по теоретической механике действуют постоянные по модулю и направлению силы Курсовая работа по теоретической механике (рис. 1.54, б). Равнодействующая этих сил Курсовая работа по теоретической механике Если точка получает перемещение Курсовая работа по теоретической механике то работа силы Курсовая работа по теоретической механике на этом перемещении будет равна

Курсовая работа по теоретической механике

Полученная сумма представляет собой сумму работ отдельных сил на перемещении Курсовая работа по теоретической механике Таким образом, имеем

Курсовая работа по теоретической механике

Теорема 2. Работа силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика примеры решения задач

Принципы теоретической механики

Положим, что точка приложения постоянной силы Курсовая работа по теоретической механике получает совокупность последовательных перемещений Курсовая работа по теоретической механике (рис. 1.54, в). Результирующее перемещение точки Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Определим работу силы Курсовая работа по теоретической механике на этом перемещении

Курсовая работа по теоретической механике

Полученная сумма представляет собой сумму работ силыКурсовая работа по теоретической механике на составляющих перемещениях. Таким образом, имеем

Курсовая работа по теоретической механике

Напомним, что единицей измерения работы в системе СИ является джоуль Курсовая работа по теоретической механике

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а определяется только расстоянием по вертикали между начальной и конечной точками перемещения (перепадом высот Курсовая работа по теоретической механике): если точка перемещается сверху вниз, то работа силы тяжести положительная:

Курсовая работа по теоретической механике

если точка перемещается снизу вверх, то работа силы тяжести отрицательная:

Курсовая работа по теоретической механике

Из этого следует важный вывод:

работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Курсовая работа по теоретической механике

Пример курсовой работы 1.16

Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить работу силы тяжести при снижении планера массой Курсовая работа по теоретической механике из точки Курсовая работа по теоретической механике в точку Курсовая работа по теоретической механике (рис. 1.55).

Решение.

На планер, который мы принимаем за материальную точку, действует только сила тяжести. Работа силы тяжести при перемещении ее точки приложения сверху вниз определяется так;

Курсовая работа по теоретической механике

Элементарная работа:

Пусть точка, к которой приложена переменная по направлению и модулю сила Курсовая работа по теоретической механике перемещается по криволинейной траектории из Курсовая работа по теоретической механике в Курсовая работа по теоретической механике Разобьем траекторию на элементарные участки Курсовая работа по теоретической механике в пределах которых можно считать, что сила Курсовая работа по теоретической механике остается постоянной. Вычислим элементарную работу на Курсовая работа по теоретической механике участке:

Курсовая работа по теоретической механике

где Курсовая работа по теоретической механике — угол между касательной к траектории в данной точке и силой Курсовая работа по теоретической механике

Фактически это зависимость для определения работы постоянной силы на элементарном перемещении. Работа силы при перемещении точки ее приложения из Курсовая работа по теоретической механике в Курсовая работа по теоретической механике определяется суммой элементарных работ:

Курсовая работа по теоретической механике

Следует заметить, что Курсовая работа по теоретической механике так как в общем случае элементарная работа не является дифференциалом функции.

Переходя к пределу при условии, что число участков п неограниченно возрастает, а Курсовая работа по теоретической механике неограниченно убывает, получим выражение для определения работы при перемещении точки из Курсовая работа по теоретической механике в Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Такой предел называется криволи-90 нейным интегралом первого рода по дуге Курсовая работа по теоретической механике и обозначается

Курсовая работа по теоретической механике

В то же время элементарную работу на элементарном перемещении можно выразить как скалярное произведение двух векторов (вектора силы Курсовая работа по теоретической механике и вектора перемещения Курсовая работа по теоретической механике) (рис. 1.56):

Курсовая работа по теоретической механике

что позволит вычислить элементарную работу через проекции этих векторов:

Курсовая работа по теоретической механике

Работа силы на конечном пути

Пусть на материальную точку действуют силы, которые заменим равнодействующей силой Курсовая работа по теоретической механике переменной но направлению и модулю. Поскольку элементарная работа может быть выражена через их проекции на оси координат Курсовая работа по теоретической механике то работа на конечном перемещении точки из положения Курсовая работа по теоретической механике в Курсовая работа по теоретической механике определится криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

или

Курсовая работа по теоретической механике

  • Итак, из полненной зависимости для работы силы на конечном пути видно, что Курсовая работа по теоретической механике — это работа составляющей силы, а следовательно, работа равнодействующей сил, приложенных к материальной точке на некотором перемещении, равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении:

Курсовая работа по теоретической механике

Работа сил, приложенных к вращающемуся твердому телу

Твердое тело представляет собой механическую систему, расстояния между точками которой остаются неизменными. Положим, что к твердому телу (рис. 1.57), вращающемуся вокруг неподвижной оси, приложены внешние силы Курсовая работа по теоретической механике в результате действия которых в опорах Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике возникают реакции связей (их проекции показаны на рисунке). Необходимо определить работу сил, в результате действия которых тело вращается. Помимо внешних существуют и внутренние силы и моменты, но для абсолютно твердого тела работа внутренних силовых факторов равна нулю. Вычислим элементарную работу отдельной силы Курсовая работа по теоретической механике на элементарном перемещении ее точки приложения Курсовая работа по теоретической механике Траектория точки Курсовая работа по теоретической механике — окружность с радиусом Курсовая работа по теоретической механике При элементарном перемещении тела угол его поворота получает приращение Курсовая работа по теоретической механике а дуговая координата точки Курсовая работа по теоретической механике — приращение Курсовая работа по теоретической механике Вычислим элементарную работу силы Курсовая работа по теоретической механике предварительно разложив ее на три составляющие по естественным осям траектории точки Курсовая работа по теоретической механике Работа сил Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике перпендикулярных вектору скорости точки Курсовая работа по теоретической механике равна нулю, поэтому элементарная работа силы Курсовая работа по теоретической механике будет определяться только ее тангенциальной составляющей

Курсовая работа по теоретической механике

Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к твердому телу:

Курсовая работа по теоретической механике

где Курсовая работа по теоретической механике — главный момент внешних сил относительно оси вращения Курсовая работа по теоретической механике Здесь следует отметить, что реакции связей не создают моментов относительно оси Курсовая работа по теоретической механике так как пересекают эту ось. Таким образом, имеем

Курсовая работа по теоретической механике

т.е. элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Курсовая работа по теоретической механике

Если при вращении тела угол поворота изменяется от Курсовая работа по теоретической механике до Курсовая работа по теоретической механике то сумма работ сил на этом конечном перемещении будет

Курсовая работа по теоретической механике

Если главный момент внешних сил относительно оси Курсовая работа по теоретической механике постоянный, то

Курсовая работа по теоретической механике

  • В этом случае сумма работ на конечном угловом перемещении равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на конечное изменение угла поворота тела.

Мощность

Одна и та же работа может быть выполнена за различные промежутки времени. Поэтому вводят понятие «мощность»; единицей измерения мощности в системе СИ является ватт Курсовая работа по теоретической механике Если сила совершает за равные промежутки времени равную работу, то мощность можно определить как отношение работы ко времени. При равномерном прямолинейном движении точки, когда Курсовая работа по теоретической механике мощность можно представить через силу и скорость движения:

Курсовая работа по теоретической механике

Для равномерного вращательного движения тела с постоянной угловой скоростью Курсовая работа по теоретической механике справедлива следующая формула:

Курсовая работа по теоретической механике

где Курсовая работа по теоретической механике — крутящий момент относительно оси вращения; Курсовая работа по теоретической механике — частота вращения, Курсовая работа по теоретической механике

Рассмотрим общий случай, когда работа совершается неравно-мерно. Вычислим работу от некоторой фиксированной точки Курсовая работа по теоретической механике до текущего положения Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике или Курсовая работа по теоретической механике

Мощность Курсовая работа по теоретической механике силы Курсовая работа по теоретической механике определяется как скорость изменения работы:

Курсовая работа по теоретической механике

где Курсовая работа по теоретической механике рассматривается как функция времени Курсовая работа по теоретической механике В этом случае полный дифференциал работы Курсовая работа по теоретической механике выраженный как функция времени Курсовая работа по теоретической механике равен элементарной работе Курсовая работа по теоретической механике или, как ранее было сказано, Курсовая работа по теоретической механике Тогда

Курсовая работа по теоретической механике

Таким образом,

Курсовая работа по теоретической механике

т.е. мощность Курсовая работа по теоретической механике равна скалярному произведению силы Курсовая работа по теоретической механике на скорость точки приложения силы.

Коэффициент полезного действия

Чтобы произвести полезную работу, необходимо затратить несколько большую работу, чем это требуется исходя из расчетов, так как часть ее расходуется на преодоление сил сопротивления (сил трения в зубчатых передачах и опорах, сопротивления воздуха и другой среды, в которой перемещается материальная точка). Эффективность работы какой-либо установки или машины оценивается коэффициентом полезного действия Курсовая работа по теоретической механике

  • Коэффициентом полезного действия (КПД) машины называют отношение полезной работы к полной затраченной работе:

Курсовая работа по теоретической механике

Моменты инерции твердого тела

При поступательном движении твердого тела мерой инерции является его масса, при вращательном движении — момент инерции. Момент инерции можно рассматривать относительно плоскости, оси и полюса.

  • Моментом инерции тела Курсовая работа по теоретической механике относительно плоскости, оси или полюса называется сумма произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до плоскости, оси или полюса соответственно {рис. 1.58):

Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Согласно этому определению выразим момент инерции относительно плоскости

Курсовая работа по теоретической механике

относительно координатных осей

Курсовая работа по теоретической механике

относительно полюса (полярный момент)

Курсовая работа по теоретической механике

Между моментами инерции существуют следующие соотношения:

Курсовая работа по теоретической механике

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей

Момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Для доказательства теоремы проведем через центр масс тела Курсовая работа по теоретической механике три взаимно-перпендикулярные оси (рис. 1.59, а). Необходимо найти момент инерции тела относительно оси, проходящей параллельно оси Курсовая работа по теоретической механике на расстоянии Курсовая работа по теоретической механике Выразим для произвольной точки Курсовая работа по теоретической механике моменты инерции относительно осей Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике

Из рис. 1.59, б видно, что

Курсовая работа по теоретической механике

Теперь определим момент инерции тела относительно оси Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

или

Курсовая работа по теоретической механике

Так как Курсовая работа по теоретической механике (массе всего тела) и Курсовая работа по теоретической механике и, учитывая,

что Курсовая работа по теоретической механике получим

Курсовая работа по теоретической механике

что и требовалось доказать.

Курсовая работа по теоретической механике

Пример 1.1?

Вычислить полярный момент инерции обода относительно центра тяжести, если известны радиус обода Курсовая работа по теоретической механике его толщина Курсовая работа по теоретической механике и плотность Курсовая работа по теоретической механике

Решение.

Поскольку ободом называется тело вращения малой толщины, у которого масса равномерно распределена по окружности, то можно, выделив на окружности (рис. 1.60) элементарную массу Курсовая работа по теоретической механикеКурсовая работа по теоретической механике вычислить момент инерции обода относительно центра тяжести:

Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Ответ. Момент инерции обода относительно его центра тяжести равен произведению массы обода на квадрат его радиуса.

Теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы

Импульс силы

Если сила в течение промежутка времени Курсовая работа по теоретической механике постоянна по модулю и по направлению, то она сообщает материальной точке импульс

Курсовая работа по теоретической механике

Направление этого вектора совпадает с направлением действующей силы, а его модуль равен

Курсовая работа по теоретической механике

Импульс силы характеризует передачу механического движения материальной точке со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени.

Импульс переменной силы, которая меняет свое направление и величину, т.е. Курсовая работа по теоретической механике определяют таким образом:

Курсовая работа по теоретической механике

Проекции этого вектора на оси координат будут равны

Курсовая работа по теоретической механике

Модуль импульса

Курсовая работа по теоретической механике

а его направление определится направляющими косинусами:

Курсовая работа по теоретической механике

Если на точку действует несколько сил, то под Курсовая работа по теоретической механике следует понимать равнодействующую силу и ее проекции на оси координат Курсовая работа по теоретической механике Курсовая работа по теоретической механике, а импульс будет представлять собой импульс равнодействующей силы.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление скорости и модуль, равный произведению массы Курсовая работа по теоретической механике на скорость ее движения Курсовая работа по теоретической механике Количество движения точки является мерой ее механического движения.

Понятие «количество движения» было введено в механику Декартом, а положено в основу механики Ньютоном^

Пусть на материальную точку действует сила Курсовая работа по теоретической механике Запишем основное уравнение динамики

Курсовая работа по теоретической механике

Преобразуем зто равенство следующим образом, подставив вместо Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Полученная зависимость выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. Формулируется эта теорема следующим образом:

производная по времени от вектора количества движения материальной точки равна геометрической сумме сил, приложенных к этой точке.

Установим зависимость между изменением количества движения и импульсами сил, действующих на материальную точку. Для этого проинтегрируем обе части равенства Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

Так как правая часть этого равенства представляет собой импульс Курсовая работа по теоретической механике силы Курсовая работа по теоретической механике за промежуток времени Курсовая работа по теоретической механике то получим

Курсовая работа по теоретической механике, или Курсовая работа по теоретической механике

т. е. вектор Курсовая работа по теоретической механике является диагональю параллелограмма, построенного на векторах Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике (рис. 1.61).

Курсовая работа по теоретической механике

Если на материальную точку действует не одна сила, а несколько, то Курсовая работа по теоретической механике и в этом случае изменение количества движения материальной точки запишется следующим образом:

Курсовая работа по теоретической механике

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной форме:

изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех материальных точек этой системы. Если количество движения материальной точки Курсовая работа по теоретической механике то вектор количества движения всей механической системы определится так:

Курсовая работа по теоретической механике

Преобразуем полученное равенство

Курсовая работа по теоретической механике

Так как Курсовая работа по теоретической механике то Курсовая работа по теоретической механике или

Курсовая работа по теоретической механике

т. е. вектор количества движения механической системы равен произведению массы системы Курсовая работа по теоретической механике на скорость движения ее центра масс и имеет направление этой скорости.

Проецируя вектор Курсовая работа по теоретической механике на оси координат, получим

Курсовая работа по теоретической механике

Найдем производные от проекций количества движения:

Курсовая работа по теоретической механике

В соответствии с теоремой о движении центра масс механической системы

Курсовая работа по теоретической механике

Следовательно,

Курсовая работа по теоретической механике

Таким образом, мы доказали теорему об изменении количества движения механической системы, выраженную в дифференциальной форме:

производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора (на ту же ось) внешних сил, действующих на эту систему.

Обозначив главный вектор внешних сил Курсовая работа по теоретической механике запишем теорему об изменении количества движения механической системы в векторном виде:

Курсовая работа по теоретической механике

которая будет формулироваться следующим образом:

производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.

Из этой теоремы следует, что изменение количества движения системы вызывается только внешними силами.

Следствие из теоремы: если главный вектор внешних сил все время равен нулю, то количество движения системы остается постоянным:

Курсовая работа по теоретической механике

  • Это положение называют законом сохранения количества движения механической системы. Например, на Солнечную систему не действуют внешние силы, поэтому центр масс Солнечной системы совершает равномерное прямолинейное движение.

Найдем зависимость между изменением количества движения системы и импульсами действующих на эту систему сил. Для этого воспользуемся теоремой об изменении количества движения применительно к материальным точкам системы. На каждую точку Курсовая работа по теоретической механике системы действуют как внешние Курсовая работа по теоретической механике так и внутренние Курсовая работа по теоретической механике силы: в этом случае изменение количества движения материальной точки системы будет равно

Курсовая работа по теоретической механике

где Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике — соответственно импульсы внешних и внутренних сил< действующих на материальную точку в промежутке времени Курсовая работа по теоретической механике Суммируя правые и левые части к равенств, получим

Курсовая работа по теоретической механике

Так как главный вектор внутренних сил Курсовая работа по теоретической механике то и геометрическая сумма импульсов внутренних сил равна нулю, т. е. Курсовая работа по теоретической механике Отсюда

Курсовая работа по теоретической механике

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в конечной форме:

  • изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

Пример курсовой работы 1.18

Определить количество движения диска массой Курсовая работа по теоретической механике и радиусом Курсовая работа по теоретической механике вращающегося относительно неподвижной оси (рис. 1.62} с угловой скоростью Курсовая работа по теоретической механике

Решение.

В точке Курсовая работа по теоретической механике находится МЦС диска и одновременно его центр масс, поэтому скорость центра масс равна нулю, а следовательно, количество движения диска Курсовая работа по теоретической механике также будет равно нулю.

Ответ. Количество движения диска, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр масс, равно нулю.

Пример 1.19

Вокруг неподвижной оси Курсовая работа по теоретической механике (рис. 1.63) равномерно вращается стержень (весом Курсовая работа по теоретической механике и длиной Курсовая работа по теоретической механике) с угловой скоростью Курсовая работа по теоретической механике

На конце стержня закреплен шарик весом Курсовая работа по теоретической механике Вычислить количество движения системы, если Курсовая работа по теоретической механике

Решение.

Задача имеет два варианта решения: 1} с использованием зависимости Курсовая работа по теоретической механике 2) с применением формулы Курсовая работа по теоретической механике

Курсовая работа по теоретической механике

I вариант решения.

1. Определяем количество движения стержня

Курсовая работа по теоретической механике

2. Определяем количество движения шарика.

Принимая шарик за материальную точку, вычисляем его количество движения:

Курсовая работа по теоретической механике

3. Вычисляем количество движения всей системы

Курсовая работа по теоретической механике

а так как векторы Курсовая работа по теоретической механике и Курсовая работа по теоретической механике параллельны, то

Курсовая работа по теоретической механике

II вариант решения.

1. Определяем положение центра масс системы

Курсовая работа по теоретической механике

2. Вычисляем количество движения всей системы

Курсовая работа по теоретической механике