Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Работа постоянной силы

Вычислим работу силы, постоянной по модулю и направлению (рис. 1.54, а). Предположим, что точка Теоретическая механика курсовая работа перемещается в точку Теоретическая механика курсовая работа Вектор силы Теоретическая механика курсовая работа с вектором перемещения составляет угол Теоретическая механика курсовая работа В этом случае работу выполняет только та составляющая силы, которая совпадает с направлением вектора перемещения Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Из векторной алгебры известно, что скалярное произведение двух векторов

Теоретическая механика курсовая работа

Следовательно, работа постоянной по модулю и направлению силы на прямолинейном перемещении определяется скалярным произведением вектора силы на вектор перемещения ее точки приложения:

Теоретическая механика курсовая работа

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Рассмотрим частные случаи определения работы постоянной силы.

1. Сила Теоретическая механика курсовая работа действует на тело в направлении вектора перемещения Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

2. Сила Теоретическая механика курсовая работа направлена перпендикулярно вектору перемещения Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

3. Сила Теоретическая механика курсовая работа направлена в сторону, противоположную вектору перемещения Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Теорема I. Работа равнодействующей силы на некотором перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих силы на том же перемещении.

Положим, что на точку Теоретическая механика курсовая работа действуют постоянные по модулю и направлению силы Теоретическая механика курсовая работа (рис. 1.54, б). Равнодействующая этих сил Теоретическая механика курсовая работа Если точка получает перемещение Теоретическая механика курсовая работа то работа силы Теоретическая механика курсовая работа на этом перемещении будет равна

Теоретическая механика курсовая работа

Полученная сумма представляет собой сумму работ отдельных сил на перемещении Теоретическая механика курсовая работа Таким образом, имеем

Теоретическая механика курсовая работа

Теорема 2. Работа силы на результирующем перемещении равна алгебраической сумме работ этой силы на составляющих перемещениях.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика примеры решения задач

Принципы теоретической механики

Положим, что точка приложения постоянной силы Теоретическая механика курсовая работа получает совокупность последовательных перемещений Теоретическая механика курсовая работа (рис. 1.54, в). Результирующее перемещение точки Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Определим работу силы Теоретическая механика курсовая работа на этом перемещении

Теоретическая механика курсовая работа

Полученная сумма представляет собой сумму работ силыТеоретическая механика курсовая работа на составляющих перемещениях. Таким образом, имеем

Теоретическая механика курсовая работа

Напомним, что единицей измерения работы в системе СИ является джоуль Теоретическая механика курсовая работа

Работа силы тяжести не зависит от вида траектории, а определяется только расстоянием по вертикали между начальной и конечной точками перемещения (перепадом высот Теоретическая механика курсовая работа): если точка перемещается сверху вниз, то работа силы тяжести положительная:

Теоретическая механика курсовая работа

если точка перемещается снизу вверх, то работа силы тяжести отрицательная:

Теоретическая механика курсовая работа

Из этого следует важный вывод:

работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю.

Теоретическая механика курсовая работа

Пример курсовой работы 1.16

Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить работу силы тяжести при снижении планера массой Теоретическая механика курсовая работа из точки Теоретическая механика курсовая работа в точку Теоретическая механика курсовая работа (рис. 1.55).

Решение.

На планер, который мы принимаем за материальную точку, действует только сила тяжести. Работа силы тяжести при перемещении ее точки приложения сверху вниз определяется так;

Теоретическая механика курсовая работа

Элементарная работа

Пусть точка, к которой приложена переменная по направлению и модулю сила Теоретическая механика курсовая работа перемещается по криволинейной траектории из Теоретическая механика курсовая работа в Теоретическая механика курсовая работа Разобьем траекторию на элементарные участки Теоретическая механика курсовая работа в пределах которых можно считать, что сила Теоретическая механика курсовая работа остается постоянной. Вычислим элементарную работу на Теоретическая механика курсовая работа участке:

Теоретическая механика курсовая работа

где Теоретическая механика курсовая работа — угол между касательной к траектории в данной точке и силой Теоретическая механика курсовая работа

Фактически это зависимость для определения работы постоянной силы на элементарном перемещении. Работа силы при перемещении точки ее приложения из Теоретическая механика курсовая работа в Теоретическая механика курсовая работа определяется суммой элементарных работ:

Теоретическая механика курсовая работа

Следует заметить, что Теоретическая механика курсовая работа так как в общем случае элементарная работа не является дифференциалом функции.

Переходя к пределу при условии, что число участков п неограниченно возрастает, а Теоретическая механика курсовая работа неограниченно убывает, получим выражение для определения работы при перемещении точки из Теоретическая механика курсовая работа в Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Такой предел называется криволи-90 нейным интегралом первого рода по дуге Теоретическая механика курсовая работа и обозначается

Теоретическая механика курсовая работа

В то же время элементарную работу на элементарном перемещении можно выразить как скалярное произведение двух векторов (вектора силы Теоретическая механика курсовая работа и вектора перемещения Теоретическая механика курсовая работа) (рис. 1.56):

Теоретическая механика курсовая работа

что позволит вычислить элементарную работу через проекции этих векторов:

Теоретическая механика курсовая работа

Работа силы на конечном пути

Пусть на материальную точку действуют силы, которые заменим равнодействующей силой Теоретическая механика курсовая работа переменной но направлению и модулю. Поскольку элементарная работа может быть выражена через их проекции на оси координат Теоретическая механика курсовая работа то работа на конечном перемещении точки из положения Теоретическая механика курсовая работа в Теоретическая механика курсовая работа определится криволинейным интегралом, взятым вдоль дуги Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

или

Теоретическая механика курсовая работа

  • Итак, из полненной зависимости для работы силы на конечном пути видно, что Теоретическая механика курсовая работа — это работа составляющей силы, а следовательно, работа равнодействующей сил, приложенных к материальной точке на некотором перемещении, равна сумме работ составляющих сил на том же перемещении:

Теоретическая механика курсовая работа

Работа сил, приложенных к вращающемуся твердому телу

Твердое тело представляет собой механическую систему, расстояния между точками которой остаются неизменными. Положим, что к твердому телу (рис. 1.57), вращающемуся вокруг неподвижной оси, приложены внешние силы Теоретическая механика курсовая работа в результате действия которых в опорах Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа возникают реакции связей (их проекции показаны на рисунке). Необходимо определить работу сил, в результате действия которых тело вращается. Помимо внешних существуют и внутренние силы и моменты, но для абсолютно твердого тела работа внутренних силовых факторов равна нулю. Вычислим элементарную работу отдельной силы Теоретическая механика курсовая работа на элементарном перемещении ее точки приложения Теоретическая механика курсовая работа Траектория точки Теоретическая механика курсовая работа — окружность с радиусом Теоретическая механика курсовая работа При элементарном перемещении тела угол его поворота получает приращение Теоретическая механика курсовая работа а дуговая координата точки Теоретическая механика курсовая работа — приращение Теоретическая механика курсовая работа Вычислим элементарную работу силы Теоретическая механика курсовая работа предварительно разложив ее на три составляющие по естественным осям траектории точки Теоретическая механика курсовая работа Работа сил Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа перпендикулярных вектору скорости точки Теоретическая механика курсовая работа равна нулю, поэтому элементарная работа силы Теоретическая механика курсовая работа будет определяться только ее тангенциальной составляющей

Теоретическая механика курсовая работа

Элементарная работа всех внешних сил, приложенных к твердому телу:

Теоретическая механика курсовая работа

где Теоретическая механика курсовая работа — главный момент внешних сил относительно оси вращения Теоретическая механика курсовая работа Здесь следует отметить, что реакции связей не создают моментов относительно оси Теоретическая механика курсовая работа так как пересекают эту ось. Таким образом, имеем

Теоретическая механика курсовая работа

т.е. элементарная работа сил, приложенных к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на приращение угла поворота.

Теоретическая механика курсовая работа

Если при вращении тела угол поворота изменяется от Теоретическая механика курсовая работа до Теоретическая механика курсовая работа то сумма работ сил на этом конечном перемещении будет

Теоретическая механика курсовая работа

Если главный момент внешних сил относительно оси Теоретическая механика курсовая работа постоянный, то

Теоретическая механика курсовая работа

  • В этом случае сумма работ на конечном угловом перемещении равна произведению главного момента внешних сил относительно оси вращения на конечное изменение угла поворота тела.

Мощность

Одна и та же работа может быть выполнена за различные промежутки времени. Поэтому вводят понятие «мощность»; единицей измерения мощности в системе СИ является ватт Теоретическая механика курсовая работа Если сила совершает за равные промежутки времени равную работу, то мощность можно определить как отношение работы ко времени. При равномерном прямолинейном движении точки, когда Теоретическая механика курсовая работа мощность можно представить через силу и скорость движения:

Теоретическая механика курсовая работа

Для равномерного вращательного движения тела с постоянной угловой скоростью Теоретическая механика курсовая работа справедлива следующая формула:

Теоретическая механика курсовая работа

где Теоретическая механика курсовая работа — крутящий момент относительно оси вращения; Теоретическая механика курсовая работа — частота вращения, Теоретическая механика курсовая работа

Рассмотрим общий случай, когда работа совершается неравно-мерно. Вычислим работу от некоторой фиксированной точки Теоретическая механика курсовая работа до текущего положения Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа или Теоретическая механика курсовая работа

Мощность Теоретическая механика курсовая работа силы Теоретическая механика курсовая работа определяется как скорость изменения работы:

Теоретическая механика курсовая работа

где Теоретическая механика курсовая работа рассматривается как функция времени Теоретическая механика курсовая работа В этом случае полный дифференциал работы Теоретическая механика курсовая работа выраженный как функция времени Теоретическая механика курсовая работа равен элементарной работе Теоретическая механика курсовая работа или, как ранее было сказано, Теоретическая механика курсовая работа Тогда

Теоретическая механика курсовая работа

Таким образом,

Теоретическая механика курсовая работа

т.е. мощность Теоретическая механика курсовая работа равна скалярному произведению силы Теоретическая механика курсовая работа на скорость точки приложения силы.

Коэффициент полезного действия

Чтобы произвести полезную работу, необходимо затратить несколько большую работу, чем это требуется исходя из расчетов, так как часть ее расходуется на преодоление сил сопротивления (сил трения в зубчатых передачах и опорах, сопротивления воздуха и другой среды, в которой перемещается материальная точка). Эффективность работы какой-либо установки или машины оценивается коэффициентом полезного действия Теоретическая механика курсовая работа

  • Коэффициентом полезного действия (КПД) машины называют отношение полезной работы к полной затраченной работе:

Теоретическая механика курсовая работа

Моменты инерции твердого тела

При поступательном движении твердого тела мерой инерции является его масса, при вращательном движении — момент инерции. Момент инерции можно рассматривать относительно плоскости, оси и полюса.

  • Моментом инерции тела Теоретическая механика курсовая работа относительно плоскости, оси или полюса называется сумма произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до плоскости, оси или полюса соответственно {рис. 1.58):

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Согласно этому определению выразим момент инерции относительно плоскости

Теоретическая механика курсовая работа

относительно координатных осей

Теоретическая механика курсовая работа

относительно полюса (полярный момент)

Теоретическая механика курсовая работа

Между моментами инерции существуют следующие соотношения:

Теоретическая механика курсовая работа

Теорема о моментах инерции относительно параллельных осей

Момент инерции относительно любой оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной ей и проходящей через центр масс, и произведения массы тела на квадрат расстояния между этими осями.

Для доказательства теоремы проведем через центр масс тела Теоретическая механика курсовая работа три взаимно-перпендикулярные оси (рис. 1.59, а). Необходимо найти момент инерции тела относительно оси, проходящей параллельно оси Теоретическая механика курсовая работа на расстоянии Теоретическая механика курсовая работа Выразим для произвольной точки Теоретическая механика курсовая работа моменты инерции относительно осей Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа

Из рис. 1.59, б видно, что

Теоретическая механика курсовая работа

Теперь определим момент инерции тела относительно оси Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

или

Теоретическая механика курсовая работа

Так как Теоретическая механика курсовая работа (массе всего тела) и Теоретическая механика курсовая работа и, учитывая,

что Теоретическая механика курсовая работа получим

Теоретическая механика курсовая работа

что и требовалось доказать.

Теоретическая механика курсовая работа

Пример 1.1?

Вычислить полярный момент инерции обода относительно центра тяжести, если известны радиус обода Теоретическая механика курсовая работа его толщина Теоретическая механика курсовая работа и плотность Теоретическая механика курсовая работа

Решение.

Поскольку ободом называется тело вращения малой толщины, у которого масса равномерно распределена по окружности, то можно, выделив на окружности (рис. 1.60) элементарную массу Теоретическая механика курсовая работаТеоретическая механика курсовая работа вычислить момент инерции обода относительно центра тяжести:

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Ответ. Момент инерции обода относительно его центра тяжести равен произведению массы обода на квадрат его радиуса.

Теоремы об изменении количества движения материальной точки и механической системы

Импульс силы

Если сила в течение промежутка времени Теоретическая механика курсовая работа постоянна по модулю и по направлению, то она сообщает материальной точке импульс

Теоретическая механика курсовая работа

Направление этого вектора совпадает с направлением действующей силы, а его модуль равен

Теоретическая механика курсовая работа

Импульс силы характеризует передачу механического движения материальной точке со стороны действующих на нее тел за данный промежуток времени.

Импульс переменной силы, которая меняет свое направление и величину, т.е. Теоретическая механика курсовая работа определяют таким образом:

Теоретическая механика курсовая работа

Проекции этого вектора на оси координат будут равны

Теоретическая механика курсовая работа

Модуль импульса

Теоретическая механика курсовая работа

а его направление определится направляющими косинусами:

Теоретическая механика курсовая работа

Если на точку действует несколько сил, то под Теоретическая механика курсовая работа следует понимать равнодействующую силу и ее проекции на оси координат Теоретическая механика курсовая работа Теоретическая механика курсовая работа, а импульс будет представлять собой импульс равнодействующей силы.

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Количеством движения материальной точки называется вектор, имеющий направление скорости и модуль, равный произведению массы Теоретическая механика курсовая работа на скорость ее движения Теоретическая механика курсовая работа Количество движения точки является мерой ее механического движения.

Понятие «количество движения» было введено в механику Декартом, а положено в основу механики Ньютоном^

Пусть на материальную точку действует сила Теоретическая механика курсовая работа Запишем основное уравнение динамики

Теоретическая механика курсовая работа

Преобразуем зто равенство следующим образом, подставив вместо Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Полученная зависимость выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме. Формулируется эта теорема следующим образом:

производная по времени от вектора количества движения материальной точки равна геометрической сумме сил, приложенных к этой точке.

Установим зависимость между изменением количества движения и импульсами сил, действующих на материальную точку. Для этого проинтегрируем обе части равенства Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

Так как правая часть этого равенства представляет собой импульс Теоретическая механика курсовая работа силы Теоретическая механика курсовая работа за промежуток времени Теоретическая механика курсовая работа то получим

Теоретическая механика курсовая работа, или Теоретическая механика курсовая работа

т. е. вектор Теоретическая механика курсовая работа является диагональю параллелограмма, построенного на векторах Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа (рис. 1.61).

Теоретическая механика курсовая работа

Если на материальную точку действует не одна сила, а несколько, то Теоретическая механика курсовая работа и в этом случае изменение количества движения материальной точки запишется следующим образом:

Теоретическая механика курсовая работа

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной форме:

изменение количества движения за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы

Количеством движения механической системы называется вектор, равный геометрической сумме количеств движения всех материальных точек этой системы. Если количество движения материальной точки Теоретическая механика курсовая работа то вектор количества движения всей механической системы определится так:

Теоретическая механика курсовая работа

Преобразуем полученное равенство

Теоретическая механика курсовая работа

Так как Теоретическая механика курсовая работа то Теоретическая механика курсовая работа или

Теоретическая механика курсовая работа

т. е. вектор количества движения механической системы равен произведению массы системы Теоретическая механика курсовая работа на скорость движения ее центра масс и имеет направление этой скорости.

Проецируя вектор Теоретическая механика курсовая работа на оси координат, получим

Теоретическая механика курсовая работа

Найдем производные от проекций количества движения:

Теоретическая механика курсовая работа

В соответствии с теоремой о движении центра масс механической системы

Теоретическая механика курсовая работа

Следовательно,

Теоретическая механика курсовая работа

Таким образом, мы доказали теорему об изменении количества движения механической системы, выраженную в дифференциальной форме:

производная по времени от проекции количества движения механической системы на любую ось равна проекции главного вектора (на ту же ось) внешних сил, действующих на эту систему.

Обозначив главный вектор внешних сил Теоретическая механика курсовая работа запишем теорему об изменении количества движения механической системы в векторном виде:

Теоретическая механика курсовая работа

которая будет формулироваться следующим образом:

производная по времени от вектора количества движения механической системы равна главному вектору внешних сил, действующих на эту систему.

Из этой теоремы следует, что изменение количества движения системы вызывается только внешними силами.

Следствие из теоремы: если главный вектор внешних сил все время равен нулю, то количество движения системы остается постоянным:

Теоретическая механика курсовая работа

  • Это положение называют законом сохранения количества движения механической системы. Например, на Солнечную систему не действуют внешние силы, поэтому центр масс Солнечной системы совершает равномерное прямолинейное движение.

Найдем зависимость между изменением количества движения системы и импульсами действующих на эту систему сил. Для этого воспользуемся теоремой об изменении количества движения применительно к материальным точкам системы. На каждую точку Теоретическая механика курсовая работа системы действуют как внешние Теоретическая механика курсовая работа так и внутренние Теоретическая механика курсовая работа силы: в этом случае изменение количества движения материальной точки системы будет равно

Теоретическая механика курсовая работа

где Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа — соответственно импульсы внешних и внутренних сил< действующих на материальную точку в промежутке времени Теоретическая механика курсовая работа Суммируя правые и левые части к равенств, получим

Теоретическая механика курсовая работа

Так как главный вектор внутренних сил Теоретическая механика курсовая работа то и геометрическая сумма импульсов внутренних сил равна нулю, т. е. Теоретическая механика курсовая работа Отсюда

Теоретическая механика курсовая работа

Полученное уравнение выражает теорему об изменении количества движения механической системы в конечной форме:

  • изменение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно геометрической сумме импульсов внешних сил, приложенных к системе, за тот же промежуток времени.

Пример курсовой работы 1.18

Определить количество движения диска массой Теоретическая механика курсовая работа и радиусом Теоретическая механика курсовая работа вращающегося относительно неподвижной оси (рис. 1.62} с угловой скоростью Теоретическая механика курсовая работа

Решение.

В точке Теоретическая механика курсовая работа находится МЦС диска и одновременно его центр масс, поэтому скорость центра масс равна нулю, а следовательно, количество движения диска Теоретическая механика курсовая работа также будет равно нулю.

Ответ. Количество движения диска, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр масс, равно нулю.

Пример 1.19

Вокруг неподвижной оси Теоретическая механика курсовая работа (рис. 1.63) равномерно вращается стержень (весом Теоретическая механика курсовая работа и длиной Теоретическая механика курсовая работа) с угловой скоростью Теоретическая механика курсовая работа

На конце стержня закреплен шарик весом Теоретическая механика курсовая работа Вычислить количество движения системы, если Теоретическая механика курсовая работа

Решение.

Задача имеет два варианта решения: 1} с использованием зависимости Теоретическая механика курсовая работа 2) с применением формулы Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика курсовая работа

I вариант решения.

1. Определяем количество движения стержня

Теоретическая механика курсовая работа

2. Определяем количество движения шарика.

Принимая шарик за материальную точку, вычисляем его количество движения:

Теоретическая механика курсовая работа

3. Вычисляем количество движения всей системы

Теоретическая механика курсовая работа

а так как векторы Теоретическая механика курсовая работа и Теоретическая механика курсовая работа параллельны, то

Теоретическая механика курсовая работа

II вариант решения.

1. Определяем положение центра масс системы

Теоретическая механика курсовая работа

2. Вычисляем количество движения всей системы

Теоретическая механика курсовая работа