Теоретическая механика кратко и понятно

Содержание:

  1. Задачи статики. аксиомы статики. связи и реакции связей
  2. Аксиома 1
  3. Аксиома 2
  4. Пример с решением №1.
  5. Сходящиеся силы и пары сил. Сходящиеся силы. Приведение сходящихся сил к простейшему виду
  6. Вычисление и построение равнодействующей
  7. Преобразование и равновесие пространственной произвольной системы сил
  8. Аналитический способ вычисления момента
  9. Геометрический способ вычисления момента
  10. Преобразование и равновесие пространственной произвольной системы сил (продолжение). частные случаи системы сил
  11. Приведение к равнодействующей
  12. Центр параллельных сил и центр тяжести
  13. Трение твердых тел. Трение покоя и трение скольжения
  14. Кинематика точки
  15. Способы задания движения точки
  16. Пример с решением №2.

Задачи статики. аксиомы статики. связи и реакции связей

Статикой называется раздел теоретической механики, в котором изучаются общие правила действия с силами и условия равновесия абсолютно твердого тела под действием приложенных сил. В статике решаются две основные задачи - задача о преобразовании сил и задача о равновесии сил, приложенных к абсолютно твердому телу.

Задача о преобразовании сил состоит в решении следующего вопроса: как данную систему сил заменить другой системой сил, ей эквивалентной? С задачей такого типа мы неоднократно встречаемся уже в школьном курсе физики, когда требуется сложить две силы или разложить данную силу на составляющие по двум заданным направлениям. Данная сила и ее составляющие - суть две эквивалентные системы сил. Часто требуется отыскать простейшую систему сил, эквивалентную данной.

В задаче о равновесии выводятся условия, которым должны удовлетворять действующие силы, чтобы твердое тело под их совокупным действием могло находиться в состоянии равновесия.

При решении этих задач руководствуются аксиомами статики - некоторыми основополагающими исходными положениями, справедливость которых принимается без доказательства. Вот эти аксиомы.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Аксиома 1

Свободное абсолютно твердое тело под действием двух сил может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по величине и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 3). Теоретическая механика кратко и понятно

Эта аксиома устанавливает простейшую уравновешенную систему сил в виде совокупности двух сил Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно равных по модулю и противоположно направленных вдоль общей линии действия Теоретическая механика кратко и понятно Для уравновешенной системы сил будем использовать обозначение Теоретическая механика кратко и понятно (символ эквивалентности нулю). Тогда содержание первой аксиомы запишется так:

Теоретическая механика кратко и понятно

если Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Система сил теоретическая механика

Опоры и реакции по теоретической механике

Теормех примеры решения задач

Теормех динамика ускорение статика кинематика

Аксиома 2

Если к системе сил, приложенной к абсолютно твердому телу, добавить или исключить из нее уравновешенную систему сил, то получим новую систему сил, эквивалентную первоначальной.

Поясним смысл этой аксиомы примером. Пусть к твердому телу приложены силы Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 4, а). Дополнительно приложим к телу две силы Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно равные по величине, противоположные по направлению и действующие вдоль одной прямой Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 4, б). Согласно аксиоме 1, силы Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно образуют уравновешенную систему сил: Теоретическая механика кратко и понятно Тогда из аксиомы 2 следует, что полученная система из пяти сил, показанная на рис. 4, б, и исходная система из трех сил, показанная на рис. 4, а, эквивалентны.

Теоретическая механика кратко и понятно

Это можно записать так

Теоретическая механика кратко и понятно

Данная аксиома используется при доказательстве многих теорем статики. В частности, из нее вытекает следующая важнейшая для построения статики теорема.

Теорема (о соответствии силы скользящему вектору)

Не изменяя действия данной силы на абсолютно твердое тело, точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы.

Доказательство. Пусть к абсолютно твердому телу приложена сила Теоретическая механика кратко и понятно то есть сила, определяемая вектором силы Теоретическая механика кратко и понятно и точкой приложения силы Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 5, а). Проведем линию действия силы Теоретическая механика кратко и понятно и выберем на ней произвольную точку Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 5, б). Приложим в точке Теоретическая механика кратко и понятно две силы Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно равные по модулю заданной силе Теоретическая механика кратко и понятно и направленные вдоль прямой Теоретическая механика кратко и понятно в противоположные стороны (рис. 5, в). Силы Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно образуют уравновешенную систему сил, поэтому, согласно аксиоме 2, система сил Теоретическая механика кратко и понятно и заданная сила Теоретическая механика кратко и понятно эквивалентны:

Теоретическая механика кратко и понятно

Но силы Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно также образуют уравновешенную систему сил, и на основании той же аксиомы 2 могут быть отброшены. Отбрасывая эти силы, приходим к эквивалентной системе, состоящей только из одной силы Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 5, г):

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

В полученных отношениях соответствия левые части одинаковы, откуда следует

Теоретическая механика кратко и понятно

что и доказывает нашу теорему.

Пример с решением №1.

Силы Теоретическая механика кратко и понятно расположены в одной плоскости. Найти алгебраические моменты этих сил относительно точки Теоретическая механика кратко и понятно взятой в той же плоскости (рис. 7).

Теоретическая механика кратко и понятно

Из моментной точки опускаем перпендикуляры на линии действия сил и получаем: Теоретическая механика кратко и понятно- плечо силы Теоретическая механика кратко и понятно относительно точки Теоретическая механика кратко и понятно Теоретическая механика кратко и понятноТеоретическая механика кратко и понятно - плечо силы Теоретическая механика кратко и понятно относительно той же точки. Линия действия силы Теоретическая механика кратко и понятно проходит через точку Теоретическая механика кратко и понятно поэтому Теоретическая механика кратко и понятно Учитывая правило знаков, для алгебраических моментов находим:

Теоретическая механика кратко и понятно

Сходящиеся силы и пары сил. Сходящиеся силы. Приведение сходящихся сил к простейшему виду

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 24, а). Так как силы - векторы скользящие, сходящиеся силы можно перенести вдоль их линий действия в общую точку Теоретическая механика кратко и понятно и рассматривать систему сил, приложенных в одной точке - точке пересечения линий действия сил (рис. 24, б).

Теоретическая механика кратко и понятно

Пусть дана система сходящихся сил Теоретическая механика кратко и понятно приложенных в точке Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 25, а). Можно ли эту систему сил привести к более простому виду? Чтобы ответить на этот вопрос, будем последовательно складывать заданные силы, применяя каждый раз аксиому 3. Сначала находим равнодействующую Теоретическая механика кратко и понятно сил Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно Заменяя эти силы их равнодействующей Теоретическая механика кратко и понятно получаем новую систему сил Теоретическая механика кратко и понятно эквивалентную исходной системе:

Теоретическая механика кратко и понятно

Далее можно найти равнодействующую Теоретическая механика кратко и понятно сил Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно и прийти к системе сил Теоретическая механика кратко и понятно также эквивалентной исходной системе:

Теоретическая механика кратко и понятно

  • Видно, что после каждого такого преобразования получается эквивалентная исходной система сил, в которой на одну силу меньше, чем в предыдущей системе. Поэтому, выполнив указанное преобразование Теоретическая механика кратко и понятно раз, приходим к одной силе, Теоретическая механика кратко и понятно для которой получаем

Теоретическая механика кратко и понятно

Таким образом, заданная система сил оказалась эквивалентной одной силе Теоретическая механика кратко и понятно которая и является для нее равнодействующей:

Теоретическая механика кратко и понятно

Этим доказана следующая важная теорема статики о приведении системы сходящихся сил к простейшему виду: система сходящихся сил в общем случае эквивалентна одной силе - равнодействующей. Эта равнодействующая приложена в точке пересечения линий действия сил и равна их геометрической сумме.

Вычисление и построение равнодействующей

Вычисление и построение равнодействующей сходящихся сил осуществляется по правилам векторной алгебры. Это можно сделать геометрическим и аналитическим способами.

При геометрическом способе строится векторный (силовой) многоугольник, замыкающая сторона которого и определяет вектор равнодействующей (рис. 25, б). Перенеся этот вектор параллельно себе в точку Теоретическая механика кратко и понятно пересечения линий действия сил, получаем искомую равнодействующую (см. рис. 25, а).

Теоретическая механика кратко и понятно

При аналитическом способе равнодействующая определяется через ее проекции на оси декартовой системы координат, которую удобно выбрать с началом в точке приложения сил Теоретическая механика кратко и понятно По теореме векторной алгебры о проекции суммы векторов на ось, для проекций равнодействующей на выбранные оси получаем:

Теоретическая механика кратко и понятно

Эти равенства выражают правило: проекции равнодействующей сходящихся сил на выбранные координатные оси равны алгебраическим суммам проекций заданных сил на соответствующие оси. Далее, вспоминая правило построения вектора по его проекциям на координатные оси, строим равнодействующую Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 26). Модуль и направляющие косинусы равнодействующей определяются по формулам

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

Преобразование и равновесие пространственной произвольной системы сил

Момент силы относительно оси:

Моментом силы Теоретическая механика кратко и понятно относительно оси Теоретическая механика кратко и понятно называется проекция на эту ось вектора-момента силы относительно любой точки Теоретическая механика кратко и понятно взятой на данной оси (рис. 42). Вводя для момента относительно оси обозначение Теоретическая механика кратко и понятно для проекции вектора-момента на ось Теоретическая механика кратко и понятно - обозначение Теоретическая механика кратко и понятно в соответствии с данным определением запишем:

Теоретическая механика кратко и понятно

  • Для моментов силы Теоретическая механика кратко и понятно относительной осей декартовой прямоугольной системы координат Теоретическая механика кратко и понятно по определению, имеем:

Теоретическая механика кратко и понятно

Для большей ясности эта ситуация дополнительно показана на рис. 43 (на рисунке изображен случай, когда Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно положительны, а Теоретическая механика кратко и понятно отрицательна).

Теоретическая механика кратко и понятно

В статике, однако, применяют способы вычисления осевых моментов силы, не требующие предварительного построения вектора-момента силы Теоретическая механика кратко и понятно При этом пользуются одним из следующих способов.

Аналитический способ вычисления момента

В основе способа лежит известное из векторной алгебры представление векторного произведения в виде определителя, что позволяет записать для вектора-момента силы следующее выражение

Теоретическая механика кратко и понятно

Здесь Теоретическая механика кратко и понятно - орты координатных осей; Теоретическая механика кратко и понятно- координаты точки приложения силы; Теоретическая механика кратко и понятно - проекции силы на координатные оси. Вспоминая, что в формуле разложения вектора на составляющие по координатному базису коэффициенты при ортах являются проекциями этого вектора на соответствующие оси, а в данном случае, по определению - моментами силы Теоретическая механика кратко и понятно относительно координатных осей, приходим к равенствам:

Теоретическая механика кратко и понятно

  • Полученные формулы называются аналитическими выражениями для моментов силы относительно координатных осей. Они позволяют вычислять моменты силы относительно координатных осей без предварительного построения момента относительно начала координат.

Геометрический способ вычисления момента

Пусть даны сила Теоретическая механика кратко и понятно и ось Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 44). Проведем плоскость Теоретическая механика кратко и понятно, перпендикулярную оси и отметим точку Теоретическая механика кратко и понятно пересечения оси с этой плоскостью. Из начала и конца вектора силы опустим перпендикуляры на плоскость Теоретическая механика кратко и понятно Вектор Теоретическая механика кратко и понятно называется проекцией силы Теоретическая механика кратко и понятно на плоскость Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

В отличие от проекции силы на ось, являющейся алгебраической величиной, проекция силы на плоскость является вектором, и с ней можно обращаться как с обычной силой - проектировать на оси, вычислять векторный и алгебраически моменты. Так, алгебраический момент проекции Теоретическая механика кратко и понятно относительно точки Теоретическая механика кратко и понятно имеет значение

Теоретическая механика кратко и понятно

где Теоретическая механика кратко и понятно - плечо этой проекции относительно точки Теоретическая механика кратко и понятно.

Изобразим момент силы Теоретическая механика кратко и понятно относительно точки Теоретическая механика кратко и понятно и заметим для дальнейшего, что для модуля момента справедливо равенство

Теоретическая механика кратко и понятно

устанавливающее, что модуль момента Теоретическая механика кратко и понятно равен удвоенной площади треугольника Теоретическая механика кратко и понятно (доказать самостоятельно). Вычисляя теперь момент силы относительно оси в соответствии с определением, последовательно находим

Теоретическая механика кратко и понятноТеоретическая механика кратко и понятно

В третьем из написанной цепочки равенств использована теорема геометрии о том, что площадь проекции плоской фигуры на некоторую плоскость (в нашем случае площадь треугольника Теоретическая механика кратко и понятно) равна площади проектируемой фигуры (треугольника Теоретическая механика кратко и понятно), умноженной на косинус угла между плоской фшурой и ее проекцией. Знак плюс соответствует острому

углу между Теоретическая механика кратко и понятно и осью Теоретическая механика кратко и понятно знак минус - тупому углу между ними (на

рис. 44 изображен первый случай).

Отбрасывая в полученной цепочке равенств промежуточные значения, получаем:

Теоретическая механика кратко и понятно

Этим равенством устанавливается следующее правило для вычисления момента силы относительно оси. Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой сипы на плоскость, перпендикулярную оси, вычисленному относительно точки пересечения оси с плоскостью. При этом правило для определения знака алгебраического момента остается прежним, если на силу Теоретическая механика кратко и понятно и точку Теоретическая механика кратко и понятно смотреть с положительной стороны оси Теоретическая механика кратко и понятно

Из полученного правила ясно видны случаи, когда момент силы относительно оси равен нулю. Это имеет место в двух случаях:

  • 1) когда сила параллельна оси (в этом случае имеем Теоретическая механика кратко и понятно);
  • 2) когда сила пересекает ось (в этом случае Теоретическая механика кратко и понятно).

Заметим, что данный (геометрический) способ вычисления момента силы относительно оси находит преимущественное использование при решении задач статики.

Преобразование и равновесие пространственной произвольной системы сил (продолжение). частные случаи системы сил

Случаи приведения к простейшему виду. Приведение к паре:

Пусть в результате приведения сил Теоретическая механика кратко и понятно к центру Теоретическая механика кратко и понятно оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: Теоретическая механика кратко и понятно Тогда в силу основной теоремы статики можем написать

Теоретическая механика кратко и понятно

Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом Теоретическая механика кратко и понятно

Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение

Теоретическая механика кратко и понятно

связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При Теоретическая механика кратко и понятно добавочный член также равен нулю, и мы получаем

Теоретическая механика кратко и понятно

Приведение к равнодействующей

Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: Теоретическая механика кратко и понятно В силу основной теоремы статики имеем

Теоретическая механика кратко и понятно

то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: Теоретическая механика кратко и понятно

Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: Теоретическая механика кратко и понятно Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.

Через центр приведения Теоретическая механика кратко и понятно проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор Теоретическая механика кратко и понятно В этой плоскости строим пару с моментом Теоретическая механика кратко и понятно, причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору Теоретическая механика кратко и понятно тогда плечо пары будет равно Теоретическая механика кратко и понятно

Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения Теоретическая механика кратко и понятно противоположно главному вектору Теоретическая механика кратко и понятно вторая сила пары будет приложена в точке Теоретическая механика кратко и понятно отстоящей от центра Теоретическая механика кратко и понятно в нужную сторону, определяемую направлением Теоретическая механика кратко и понятно на расстоянии Теоретическая механика кратко и понятно равном плечу пары Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы Теоретическая механика кратко и понятно и Теоретическая механика кратко и понятно, приложенные в точке Теоретическая механика кратко и понятно, приходим к одной силе Теоретическая механика кратко и понятно, приложенной в точке Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

Видно, что равнодействующая Теоретическая механика кратко и понятно по-прежнему равна главному вектору Теоретическая механика кратко и понятно однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения Теоретическая механика кратко и понятно то равнодействующая Теоретическая механика кратко и понятно - в точке Теоретическая механика кратко и понятно положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки Теоретическая механика кратко и понятно виден из проделанного выше построения.

Для момента равнодействующей относительно центра приведения Теоретическая механика кратко и понятно можно написать (см. рис. 50):

Теоретическая механика кратко и понятно

или, опуская промежуточные значения:

Теоретическая механика кратко и понятно

Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось Теоретическая механика кратко и понятно проходящую через точку Теоретическая механика кратко и понятно получаем соответствующее равенство в проекциях:

Теоретическая механика кратко и понятно

Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:

Теоретическая механика кратко и понятно

Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сип имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - аагебраическое.

Центр параллельных сил и центр тяжести

Центр параллельных сил

Пусть дана система параллельных сил Теоретическая механика кратко и понятно с отличным от нуля главным вектором Теоретическая механика кратко и понятно Как следует из предыдущей лекции, такая система сил приводится к равнодействующей Теоретическая механика кратко и понятно равной

Теоретическая механика кратко и понятно

Будем считать, что точки приложения сил Теоретическая механика кратко и понятно фиксированы. Тогда равнодействующая Теоретическая механика кратко и понятно также будет иметь вполне определенную точку приложения Теоретическая механика кратко и понятно называемую центром данной системы параллельных сил. Выведем формулы, определяющие положение этого центра.

Пусть точка Теоретическая механика кратко и понятно - произвольно выбранная точка отсчета, Теоретическая механика кратко и понятно - проведенные из точки Теоретическая механика кратко и понятно радиусы-векторы точек приложения сил, Теоретическая механика кратко и понятно - радиус-вектор центра параллельных сил, Теоретическая механика кратко и понятно - единичный вектор общего направления сил (рис. 55). В силу параллельности векторы сил и вектор их равнодействующей могут быть записаны в следующем виде:

Теоретическая механика кратко и понятно

где величины Теоретическая механика кратко и понятно обозначают алгебраические значения сил, то есть взятые со знаком Теоретическая механика кратко и понятно или Теоретическая механика кратко и понятно модули сил. Знак Теоретическая механика кратко и понятно берется в случае, когда сила и вектор Теоретическая механика кратко и понятно направлены в одну сторону, знак Теоретическая механика кратко и понятно, если эти направления противоположны.

Для определения положения центра параллельных сил воспользуемся теоремой Вариньона, согласно которой имеем равенство

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

Вспоминая выражение для момента силы относительно точки и свойства векторного произведения, представим левую и правую части равенства в следующем виде:

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

После этого равенство примет вид

Теоретическая механика кратко и понятно

Вторые сомножители в левой и правой частях равенства одинаковы, следовательно, будут равны и первые сомножители:

Теоретическая механика кратко и понятно

Отсюда следует формула

Теоретическая механика кратко и понятно

определяющая положение точки Теоретическая механика кратко и понятно - центра параллельных сил.

Заметим, что вектор Теоретическая механика кратко и понятно задающий общее направление сил, не входит в полученное выражение. Это означает, что центр параллельных сил не зависит от направления сил, а зависит только от их алгебраических значений и точек приложения.

Выберем с началом в точке Теоретическая механика кратко и понятно декартову систему координатных осей Теоретическая механика кратко и понятно Проектируя обе части полученной векторной формулы на выбранные оси, получим выражения для координат центра параллельных сил:

Теоретическая механика кратко и понятно

Если все силы направлены в одну сторону, то величины Теоретическая механика кратко и понятно либо все равны Теоретическая механика кратко и понятно либо все равны Теоретическая механика кратко и понятно В этом случае формулы упрощаются:

Теоретическая механика кратко и понятно

Здесь Теоретическая механика кратко и понятно - просто модули сил.

Трение твердых тел. Трение покоя и трение скольжения

В лекции 1, говоря о взаимодействии выделенного тела со связями, мы считали поверхности тел идеально гладкими. Это выражалось в том, что, характеризуя действие опорной поверхности на некоторое тело, мы вводили в рассмотрение только нормальную реакцию Теоретическая механика кратко и понятно Между тем элементарный опыт показывает, что соприкасающиеся тела взаимодействуют также в касательной плоскости, то есть поверхности тел являются шероховатыми.

Сила Теоретическая механика кратко и понятно возникающая при соприкосновении тел в плоскости касания тел, называется силой трения

Добавляя силу трения Теоретическая механика кратко и понятно к нормальной реакции Теоретическая механика кратко и понятно и складывая эти силы, получаем полную реакцию Теоретическая механика кратко и понятно поверхности (рис. 63). Полная реакция направлена под некоторым углом Теоретическая механика кратко и понятно к направлению нормали. Только при очень хорошо обработанных поверхностях, когда величина силы Теоретическая механика кратко и понятно мала по сравнению с силой Теоретическая механика кратко и понятно бывает допустимо в расчетах пренебречь трением и считать поверхности тел идеально гладкими.

Теоретическая механика кратко и понятно

Кратко остановимся на законах трения.

Рассмотрим тело весом Теоретическая механика кратко и понятно лежащее на горизонтальной плоской поверхности (рис. 64). Будем действовать на тело горизонтальной силой Теоретическая механика кратко и понятно и следить за его состоянием. Если Теоретическая механика кратко и понятно то тело находится в покое. Увеличивая силу Теоретическая механика кратко и понятно от нуля, можно обнаружить, что до некоторых пор состояние

Теоретическая механика кратко и понятно

покоя сохраняется - возникающая сила трения Теоретическая механика кратко и понятно называемая силой трения покоя (силой сцепления), будет уравновешивать приложенную силу Теоретическая механика кратко и понятно Теоретическая механика кратко и понятно Наконец, наступает такое пороговое состояние, когда малейшее приращение силы Теоретическая механика кратко и понятно приводит к троганию тела из состояния покоя. Это состояние тела, пограничное между покоем и движением, называется предельным равновесием.

В состоянии предельного равновесия сила трения покоя достигает своего максимального значения Теоретическая механика кратко и понятно При дальнейшем увеличении силы Теоретическая механика кратко и понятно состояния покоя нарушается, и тело начинает скользить в направлении силы Теоретическая механика кратко и понятно. При этом касательная составляющая силы взаимодействия тела с опорной поверхностью продолжает существовать и называется силой трения скольжения.

Многочисленными опытами установлено", что величина максимальной силы трения покоя пропорциональна нормальной реакции (нормальному давлению) Теоретическая механика кратко и понятно и в первом приближении не зависит от площади касания:

Теоретическая механика кратко и понятно

Это соотношение носит название закона Кулона (точнее, закона Амонтона-Кулона). Безразмерная величина Теоретическая механика кратко и понятно называется коэффициентом трения покоя (коэффициентом сцепления). Значения Теоретическая механика кратко и понятно для различных условий берутся из технических справочников, либо определяются экспериментально.

Из всего сказанного выше следует, что для величины силы трения покоя Теоретическая механика кратко и понятно можно написать:

Теоретическая механика кратко и понятно

Это означает, что сила трения покоя не имеет какого-то определенного значения - она зависит от приложенных сил и должна определяться, как и нормальная реакция Теоретическая механика кратко и понятно из уравнений равновесия тела.

В задачах статики с учетом сил трения оказываются весьма полезными также понятия угла трения и конуса трения.

Углом трения Теоретическая механика кратко и понятно называется значение угла Теоретическая механика кратко и понятно между направлением полной реакции шероховатой поверхности Теоретическая механика кратко и понятно и нормалью к этой поверхности в момент достижения предельного равновесия:

Теоретическая механика кратко и понятно Конусом трения называется геометрическое место линий действия полной реакции шероховатой поверхности при всевозможных направлениях силы трения покоя (рис. 65).

Для силы трения, возникающей при скольжении тела - силы трения скольжения, основные закономерности таковы.

Теоретическая механика кратко и понятно

1. Сила трения скольжения направлена в сторону, противоположную вектору скорости скольжения Теоретическая механика кратко и понятно

2. Величина силы трения определяется зависимостью

Теоретическая механика кратко и понятно

где Теоретическая механика кратко и понятно - коэффициент трения скольжения, Теоретическая механика кратко и понятно - нормальное давление.

3. Коэффициент трения скольжения слабо зависит от скорости скольжения Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 66, а).

Теоретическая механика кратко и понятно

В силу последнего свойства в расчетах движения с учетом трения зависимостью Теоретическая механика кратко и понятно часто пренебрегают и коэффициент трения скольжения принимают постоянным: Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 66, б). Обычно Теоретическая механика кратко и понятно однако нередко для простоты принимают Теоретическая механика кратко и понятно

Кинематика точки

Поскольку в кинематике действие сил не рассматривается, то остаются в стороне также и инертные свойства тел. В частности, остается без всякого применения мера инертности материальной точки - ее масса. По этой причине понятия материальной точки и геометрической точки в кинематике не различаются, можно говорить просто о точке. С вопросов движения этого самого простого объекта мы и начнем изложение кинематики.

Способы задания движения точки

Различают векторный, координатный и естественный (натуральный) способы задания движения.

Векторный способ задания движения состоит в следующем.

Пусть Теоретическая механика кратко и понятно - движущаяся точка, Теоретическая механика кратко и понятно - тело отсчета (рис. 72). Выберем в теле Теоретическая механика кратко и понятно произвольную точку Теоретическая механика кратко и понятно - точку отсчета, построим вектор Теоретическая механика кратко и понятно Этот вектор, начало которого совпадает с точкой отсчета Теоретическая механика кратко и понятно а конец - с точкой Теоретическая механика кратко и понятно называется радиусом-вектором точки Теоретическая механика кратко и понятно При движении точки Теоретическая механика кратко и понятно радиус-вектор Теоретическая механика кратко и понятно непрерывно изменяется во времени, поэтому существует некоторая вектор-функция времени

Теоретическая механика кратко и понятно

Если эта функция известна, то для каждого момента времени Теоретическая механика кратко и понятно может быть построен вектор Теоретическая механика кратко и понятно и тем самым найдено положение движущейся точки в этот момент.

Функция (1) называется векторным законом (векторным уравнением) движения точки Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

  • При координатном способе задания движения с телом отсчета связывается какая-либо, например декартова прямоугольная, система координат (рис. 73). Движение точки будет задано, если ее координаты будут известны как функции времени

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

Зависимости (2), выражающие текущие координаты движущейся точки в виде функций времени, называются уравнениями движения точки в декартовых координатах.

Если точка движется, оставаясь все время в одной плоскости, то оси Теоретическая механика кратко и понятно можно расположить в той же плоскости и ограничиться двумя уравнениями движения

Теоретическая механика кратко и понятно

При движении в плоскости часто удобно пользоваться полярной системой координат, задавая положение точки ее полярным углом Теоретическая механика кратко и понятно и полярным радиусом Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 74). В этом случае уравнения движения точки имеют вид

Теоретическая механика кратко и понятно

Линия, описываемая движущейся точкой в пространстве, называется траекторией точки. Естественный способ задания движения состоит в задании траектории точки и закона движения по траектории.

Теоретическая механика кратко и понятно

Пусть траектория точки Теоретическая механика кратко и понятно суть заданная кривая, Теоретическая механика кратко и понятно - положение точки на ней (рис. 75). Будем рассматривать траекторию как криволинейную координатную ось, для чего выберем на ней начало отсчета дуг (точку Теоретическая механика кратко и понятно) и направление отсчета дуг (на рис. 75 направление отсчета дуг выбрано вправо от точки Теоретическая механика кратко и понятно). Длина дуги Теоретическая механика кратко и понятно взятая со знаком плюс или минус в зависимости от положения точки Теоретическая механика кратко и понятно относительно начала отсчета дуг Теоретическая механика кратко и понятно вполне определяет положение точки в пространстве и называется дуговой координатой точки. Движение точки будет задано, если ее дуговая координата Теоретическая механика кратко и понятно будет выражена в виде функции времени

Теоретическая механика кратко и понятно

Зависимость (4) называется законом движения точки по траектории или, что то же самое, законом движения точки в естественной форме.

Пример с решением №2.

Написать уравнения движения точки, движущейся равномерно по окружности радиуса Теоретическая механика кратко и понятно и делающей п оборотов за одну минуту.

Начнем с естественного способа описания движения. Изображаем траекторию - окружность радиуса Теоретическая механика кратко и понятно с центром в точке Теоретическая механика кратко и понятно (рис. 76). Начало отсчета дуг Теоретическая механика кратко и понятно совместим с положением точки в момент начала наблюдения, то есть при Теоретическая механика кратко и понятно за положительное направление отсчета выберем направление в сторону движения точки.

Теоретическая механика кратко и понятно

Пусть Теоретическая механика кратко и понятно - положение движущейся точки в текущий момент времени Теоретическая механика кратко и понятно Для центрального угла Теоретическая механика кратко и понятно который будем отсчитывать в сторону движения точки, согласно условию, можем написать

Теоретическая механика кратко и понятно

Здесь Теоретическая механика кратко и понятно измеряется в радианах, Теоретическая механика кратко и понятно - в секундах.

Длина Теоретическая механика кратко и понятно дуги Теоретическая механика кратко и понятно радиус окружности Теоретическая механика кратко и понятно и центральный угол Теоретическая механика кратко и понятно связаны геометрическим соотношением

Теоретическая механика кратко и понятно

Подставляя сюда найденное значение Теоретическая механика кратко и понятно получаем

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

Это и есть закон в естественной форме.

Для описания движения в координатной форме прежде всего следует выбрать подходящую систему координат, например, изображенную на рис. 77. Далее строят координатные отрезки и определяют соответствующие переменные расстояния. В нашем случае будем иметь:

Теоретическая механика кратко и понятно

Теоретическая механика кратко и понятно

Подставляя сюда угол Теоретическая механика кратко и понятно как функцию времени, получаем уравнения движения в координатной форме Теоретическая механика кратко и понятно Пусть Теоретическая механика кратко и понятно - координатные орты. Тогда для радиуса-вектора точки Теоретическая механика кратко и понятно будем иметь:

Теоретическая механика кратко и понятно

Полученное равенство, выражающее радиус-вектор точки Теоретическая механика кратко и понятно как функцию времени, служит векторным уравнением ее движения.