Теоретическая механика кинематика точки

Содержание:

  1. Кинематика точки
  2. Способы задания движения материальной точки
  3. Пример решения задачи 1.9
  4. Частные случаи движения материальной точки
  5. Пример решения задачи 1.10
  6. Простейшие движения твердого тела
  7. Вращательное движение относительно неподвижной оси
  8. Частные случаи вращательного движения тела
  9. Плоское движение твердого тела
  10. Пример решения задачи 1.11
  11. Сложное движение точки
  12. Пример решения задачи 1,12
  13. Сложение двух вращательных движений
  14. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей
  15. Пример решения задачи 1.13

Кинематика точки

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения вне связи с силами, вызывающими это движение.

  • В теоретической механике изучается простейшая форма движения — механическое движение. Механическое движение всегда рассматривается относительно выбранной системы отсчета, которая может быть подвижной или условно неподвижной. Например, при рассмотрении механического движения тел, находящихся на Земле, за неподвижную систему осей координат выбирают систему осей, неизменно связанных с Землей.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Способы задания движения материальной точки

Точка движется в пространстве по некоторой линии, или траектории.

Движение точки задано естественным способом (рис. 1.30, а), если известны:

  • 1) траектория точки;
  • 2) зависимость изменения длины дуги от времени: Теоретическая механика кинематика точки (эта зависимость называется уравнением движения материальной точки);
  • 3) начало движения;
  • 4) начало отсчета;
  • 5) направление отсчета.

Положение точки в пространстве однозначно определяется радиусом-вектором Теоретическая механика кинематика точки проведенным из некоторого неподвижного центра в данную точку Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.30, б). Такой способ задания движения называется векторным:

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Положение точки в пространстве в этом случае будет определяться геометрическим местом концов векторов Теоретическая механика кинематика точки т.е. годографом ее радиуса-вектора.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика примеры решения задач

При координатном способе задания движения (рис. 1.30, в) должны быть известны зависимости, по которым можно определить», как со временем изменяются координаты точки в пространстве:

Теоретическая механика кинематика точки

  • Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах, с их помощью для каждого момента времени можно определить положение точки в пространстве, Если точка движется на плоскости, то ее положение описывается двумя уравнениями:

Теоретическая механика кинематика точки

если точка движется по прямой, то достаточно только одного уравнения:

Теоретическая механика кинематика точки

Пример решения задачи 1.9

Движение точки в плоскости задано уравнениями

Теоретическая механика кинематика точки

где Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки измеряются в сантиметрах (см), a Теоретическая механика кинематика точки — в секундах (с). Определить траекторию движущейся точки.

Решение.

Получим уравнение траектории, исключив время Теоретическая механика кинематика точки из заданных уравнений движения. Из первого уравнения Теоретическая механика кинематика точкиТеоретическая механика кинематика точки из второго Теоретическая механика кинематика точки Приравняв правые части этих равенств, получим

Теоретическая механика кинематика точки или Теоретическая механика кинематика точки

Траектория движения — прямая линия, построим ее. Полагая Теоретическая механика кинематика точки найдем точку пересечения линии траектории с осью Теоретическая механика кинематика точки

Полагая Теоретическая механика кинематика точки найдем точку пересечения траектории с осью Теоретическая механика кинематика точки Проведя через эти точки прямую, получим линейную траекторию движения материальной точки (рис. 1.31). На этой линии необходимо найти начало движения точки.

В момент начала движения, т.е. когда Теоретическая механика кинематика точки точка имела координаты Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки Остается определить, в каком направлении от точки Теоретическая механика кинематика точки движется материальная точка. С течением времени координаты Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки будут возрастать. Следовательно, материальная точка начнет движение из точки Теоретическая механика кинематика точки и далее будет двигаться вверх по стрелке до бесконечности.

Итак, траектория движения материальной точки найдена; она задана естественным способом: ее начало — в точке Теоретическая механика кинематика точки направление движения — по стрелке.

Скорость точки характеризует быстроту и направление движения точки. При векторном способе задания движения положение точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором Теоретическая механика кинематика точки

Пусть в момент времени Теоретическая механика кинематика точки точка занимает положение Теоретическая механика кинематика точки определяемое радиусом-вектором Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.32, а). В момент времени Теоретическая механика кинематика точки точка займет положение Теоретическая механика кинематика точки определяемое радиусом-вектором Теоретическая механика кинематика точки Отношение Теоретическая механика кинематика точки является вектором средней скорости, а производная вектора Теоретическая механика кинематика точки по времени Теоретическая механика кинематика точки и будет вектором скорости в данный момент времени:

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Поскольку Теоретическая механика кинематика точки — это производная функции Теоретическая механика кинематика точки то вектор скорости Теоретическая механика кинематика точки всегда направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

Если движение точки задано естественным способом, то известны ее траектория Теоретическая механика кинематика точки начало движения, направление и уравнение движения Теоретическая механика кинематика точки В полученное выражение Теоретическая механика кинематика точки введем промежуточную переменную — дуговую координату Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Поскольку Теоретическая механика кинематика точки — величина скалярная, то вектор Теоретическая механика кинематика точки будет направлен по касательной к траектории в точке Теоретическая механика кинематика точки этот вектор обозначается Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.32, б) и является ортом направления, модуль его равен единице. Орт Теоретическая механика кинематика точки всегда направлен в сторону возрастания Теоретическая механика кинематика точки

Таким образом, при естественном способе задания траектории вектор скорости

Теоретическая механика кинематика точки

Производная Теоретическая механика кинематика точки представляет собой алгебраическое значение скорости. Если Теоретическая механика кинематика точки то в рассматриваемый момент времени точка движется в сторону увеличения дуговой координаты Теоретическая механика кинематика точки и, следовательно, направление ее скорости совпадает с направлением орта Теоретическая механика кинематика точки Если же Теоретическая механика кинематика точки то функция Теоретическая механика кинематика точки убывает, и, следовательно, вектор скорости направлен в сторону, противоположную вектору Теоретическая механика кинематика точки

Определим скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть заданы уравнения движения точки Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1,32, в):

Теоретическая механика кинематика точки

Ее положение в пространстве определяется радиусом-вектором

Теоретическая механика кинематика точки

На основании предыдущих выводов вектор скорости можно записать следующим образом;

Теоретическая механика кинематика точки

Следовательно, Теоретическая механика кинематика точки Построим параллелепипед на проекциях Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.32, в) и определим модуль вектора скорости

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Ускорение точки — векторная величина, характеризующая быстроту изменения с течением времени вектора скорости: Теоретическая механика кинематика точки Запишем выражения для проекций вектора ускорения на оси координат Теоретическая механика кинематика точки Теоретическая механика кинематика точки Если известны проекции Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки то можно определить модуль ускорения

Теоретическая механика кинематика точки

При естественном способе задания траектории движения материальной точки ее вектор ускорения можно разложить по естественным осям координат Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.33):

Теоретическая механика кинематика точки

Проекция ускорения на орт Теоретическая механика кинематика точки называется касательным ускорением, которое характеризует быстроту изменения модуля скорости: Теоретическая механика кинематика точки Касательное ускорение существует только при неравномерном криволинейном движении.

Нормальное ускорение Теоретическая механика кинематика точки показывает изменение направления вектора скорости Теоретическая механика кинематика точки когда материальная точка движется по криволинейной траектории (Теоретическая механика кинематика точки — радиус кривизны траектории в точке).

Частные случаи движения материальной точки

1. Теоретическая механика кинематика точки Следовательно, полное ускорение Теоретическая механика кинематика точки Точка движется равномерно прямолинейно. Закон движения в этом случае Теоретическая механика кинематика точки где Теоретическая механика кинематика точки — дуговая координата в начальный момент времени; Теоретическая механика кинематика точки — скорость движения точки в начальный момент движения (скорость не изменится и в любой другой момент времени tr так как движение неускоренное).

2. Теоретическая механика кинематика точки — равномерное криволинейное движение. Вектор скорости материальной точки изменяется лишь по направлению. Закон движения по криволинейной траектории запишется аналогично первому случаю:

Теоретическая механика кинематика точки

3. Теоретическая механика кинематика точки — прямолинейное неравномерное движение.

4. Теоретическая механика кинематика точки — криволинейное неравномерное движение.

Если в третьем случае Теоретическая механика кинематика точки и в четвертом Теоретическая механика кинематика точки то материальная точка будет совершать соответственно равноускоренное (равнозамедленное) прямолинейное

Теоретическая механика кинематика точки

и равноускоренное (равнозамедленное) криволинейное движение

Теоретическая механика кинематика точки

Пример решения задачи 1.10

Поезд движется равнозамедленно по закруглению радиусом Теоретическая механика кинематика точки В начале участка поезд имел скорость Теоретическая механика кинематика точки и полное ускорение Теоретическая механика кинематика точки Теоретическая механика кинематика точки Определить скорость и ускорение поезда в конце криволинейного участка, если длина участка Теоретическая механика кинематика точки

Решение.

1. Будем рассматривать движение одной из точек поезда, например его центра тяжести. Совместим начало отсчета дуговой координаты Теоретическая механика кинематика точки с начальным положением точки Теоретическая механика кинематика точки направление движения принимаем за положительное (рис. 1.34). В этом случае величина Теоретическая механика кинематика точки будет равна нулю.

Теоретическая механика кинематика точки

2. Запишем закон равнозамедленного движения материальной точки

Теоретическая механика кинематика точки

и формулу для определения скорости этого движения

Теоретическая механика кинематика точки

3. Определим нормальное ускорение точки в начале участка

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

4. Знал модуль полного ускорения точки в начале пути, определим его касательную составляющую:

Теоретическая механика кинематика точки

5. Подставляя в формулу движения выражение для касательной составляющей ускорения Теоретическая механика кинематика точки определим время Теоретическая механика кинематика точки в течение которого поезд прошел участок длиной Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Откуда Теоретическая механика кинематика точки

Следовательно, Теоретическая механика кинематика точки

Значение Теоретическая механика кинематика точки отбрасываем как нереальное, так как это время превышает время Теоретическая механика кинематика точки через которое поезд окажется в конце пути. Поэтому принимаем во внимание только второй корень уравнения Теоретическая механика кинематика точки

6. Определим скорость в конце пути:

Теоретическая механика кинематика точки

7. Вычислим нормальное ускорение в конце пути:

Теоретическая механика кинематика точки

8. Определим полное ускорение в конце пути:

Теоретическая механика кинематика точки

Из расчетов видно, что полное ускорение уменьшилось за счет уменьшения нормального ускорения, в то время как касательное ускорение осталось неизменным.

Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Теоретическая механика кинематика точки

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые (по значению и направлению) скорости и ускорения. Это основное свойство поступательного движения дает возможность изучать движение тела по одной из его точек. Примером поступательного движения является движение поршня паровой машины, ползуна с резцом в поперечно-строгальном станке. В этих случаях траектории точек тела прямолинейные. В спарнике двух колес (рис. 1.35) траектории точек представляют собой окружность; сам спарник Теоретическая механика кинематика точки движется поступательно, а колеса вращаются. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть еще более сложными, например, при выпуске шасси у истребителя Теоретическая механика кинематика точки колеса совершают поступательное движение, причем точки колеса движутся по пространственной кривой.

Вращательное движение относительно неподвижной оси

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Для осуществления этого движения следует неподвижно закрепить две точки твердого тела Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.36, а). Тогда прямая, проходящая через эти точки, является осью вращения. При вращении угол поворота тела меняется в зависимости от времени: Теоретическая механика кинематика точки

Эта зависимость называется уравнением вращательного движения тела. Угол поворота (в радианах) часто выражают через число оборотов Теоретическая механика кинематика точки

Величина, характеризующая быстроту изменения утла поворота ср с течением времени, называется угловой скоростью тела и имеет размерность Теоретическая механика кинематика точки Ее значение определяется по формуле

Теоретическая механика кинематика точки

Учитывая, что дуга Теоретическая механика кинематика точки и, следовательно, Теоретическая механика кинематика точки получим

Теоретическая механика кинематика точки

Отсюда найдем линейную скорость точки вращающегося тела Теоретическая механика кинематика точки

Угловая скорость вращения Теоретическая механика кинематика точки связана с частотой вращения Теоретическая механика кинематика точки Теоретическая механика кинематика точки следующей зависимостью:

Теоретическая механика кинематика точки

В этом случае линейная скорость точки тела может быть выражена также через частоту вращения:

Теоретическая механика кинематика точки

Размерность скорости будет зависеть от размерности диаметра Теоретическая механика кинематика точки Если Теоретическая механика кинематика точки измеряется в миллиметрах Теоретическая механика кинематика точки то Теоретическая механика кинематика точки будет выражена в метрах в секунду Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

В технике чаще всего скорость выражается в метрах в минуту Теоретическая механика кинематика точки тогда

Теоретическая механика кинематика точки

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением и имеет размерность Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Если Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки то движение ускоренное; если Теоретическая механика кинематика точки Теоретическая механика кинематика точки то движение замедленное.

Точка Теоретическая механика кинематика точки тела участвует во вращательном движении, перемещаясь по окружности радиусом Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.36, б). Поскольку ее траектория криволинейна, то ускорение

Теоретическая механика кинематика точки

Касательная составляющая ускорения

Теоретическая механика кинематика точки

направление Теоретическая механика кинематика точки определяет направление ускорения Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.36, б). Нормальная составляющая ускорения Теоретическая механика кинематика точки Это ускорение направлено всегда к центру, поэтому называется центростремительным,

Полное ускорение точки вращающегося вокруг неподвижной оси тела Теоретическая механика кинематика точки Введем понятия «вектор угловой скорости Теоретическая механика кинематика точки» и «вектор углового ускорения Теоретическая механика кинематика точки», Условимся откладывать вектор угловой скорости тела Теоретическая механика кинематика точки по оси его вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.37). Модуль этого вектора равен абсолютному значению угловой скорости, Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Вектор углового ускорения Теоретическая механика кинематика точки при ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси будет направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.37, а), а при замедленном вращении — в противоположную (рис. 1.37, б). Модуль вектора Теоретическая механика кинематика точки равен абсолютному значению углового ускорения Теоретическая механика кинематика точки

Векторы Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки могут быть приложены в любой точке оси вращения тела, поэтому эти векторы называются скользящими.

Частные случаи вращательного движения тела

1. Теоретическая механика кинематика точки Зная, что Теоретическая механика кинематика точки перепишем эту зависимость и проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту времени Теоретическая механика кинематика точки (соответственно Теоретическая механика кинематика точки) и произвольному моменту времени Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

откуда Теоретическая механика кинематика точки

Этот результат соответствует закону равномерного вращательного движения тела.

2. Теоретическая механика кинематика точки — равнопеременное вращательное движение (равноускоренное или равнозамедленное) тела. Вывод его закона движения аналогичен:

Теоретическая механика кинематика точки

Плоское движение твердого тела

Плоским, или плоско-параллельным, движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Примерами плоского движения являются движение шайбы по льду, колеса поезда по прямолинейному участку пути.

Плоское движение тела можно разложить на поступательное и вращательное относительно выбранного центра. На рис. 1.38 показано, что тело из положения I можно переместить в положение II двумя способами;

  • а) перемещаем тело поступательно так, чтобы прямая Теоретическая механика кинематика точки перемещаясь параллельно первоначальному положению, заняла в пространстве положение Теоретическая механика кинематика точки После этого повернем тело вокруг точки Теоретическая механика кинематика точки на угол Теоретическая механика кинематика точки
  • б) переместим тело поступательно из положения I так, чтобы прямая Теоретическая механика кинематика точки совместилась с прямой Теоретическая механика кинематика точки параллельной ей. После этого будем вращать тело вокруг точки Теоретическая механика кинематика точки до тех пор, пока точка Теоретическая механика кинематика точки не попадет в точку Теоретическая механика кинематика точки Поскольку Теоретическая механика кинематика точки то углы Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Следовательно, чтобы занять положение II, тело может совершить различные поступательные движения (в зависимости от выбранного полюса), а вращение, как в первом, так и во втором случае, будет одинаковым. Следовательно, любое плоское движение тела можно разложить на поступательное движение тела вместе с выбранным полюсом и вращательное движение относительно полюса. Чаще всего за такой полюс выбирают центр масс тела.

Теорема о скоростях точек плоской фигуры и ее следствия.

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и линейной скорости этой точки при вращении ее относительно полюса.

Примем за полюс точку Теоретическая механика кинематика точки скорость которой известна и равна Теоретическая механика кинематика точки Определим скорость любой точки, например точки Теоретическая механика кинематика точки принадлежащей этой плоской фигуре (рис. 1.39, а). Проведем из произвольной неподвижной точки плоскости Теоретическая механика кинематика точки в точки Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки радиусы-векторы Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки, а из полюса Теоретическая механика кинематика точки — радиус-вектор Теоретическая механика кинематика точки в точку Теоретическая механика кинематика точки Так как радиус-вектор Теоретическая механика кинематика точки соединяет две точки плоской фигуры, то при ее движении он вращается вокруг полюса Теоретическая механика кинематика точки с угловой скоростью плоской фигуры Теоретическая механика кинематика точки причем модуль этого вектора остается постоянным, так как не меняется расстояние между точкой Теоретическая механика кинематика точки и полюсом. Кроме того, как видно из рис. 1.39, а, Теоретическая механика кинематика точки Определим отсюда скорость точки Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Производная по времени от радиуса-вектора Теоретическая механика кинематика точки является скоростью полюса, а производная но времени от радиуса-вектора Теоретическая механика кинематика точки — не что иное, как линейная скорость точки Теоретическая механика кинематика точки при вращении вокруг полюса Теоретическая механика кинематика точки которую обозначим Теоретическая механика кинематика точки Таким образом, теорема доказана:

Теоретическая механика кинематика точки

Скорость Теоретическая механика кинематика точки можно представить в виде векторного произведения вектора угловой скорости плоской фигуры на радиус-вектор Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Вектор скорости Теоретическая механика кинематика точки направлен перпендикулярно отрезку Теоретическая механика кинематика точки в сторону вращения тела (рис, 1.39, б) его модуль Теоретическая механика кинематика точки

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

Предположим, что в данный момент времени известна угловая скорость Теоретическая механика кинематика точки плоской фигуры (ее модуль и направление) и скорость Теоретическая механика кинематика точки точки Теоретическая механика кинематика точки этой фигуры (см. рис. 1.39, 6). Принимаем точку Теоретическая механика кинематика точки за полюс и определяем на основе доказанной теоремы скорости точек Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки этой плоской фигуры, лежащих на одной прямой с полюсом Теоретическая механика кинематика точки:

Теоретическая механика кинематика точки

Векторы скоростей Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки перпендикулярны отрезку Теоретическая механика кинематика точки и направлены в сторону вращения плоской фигуры. Проведем ось Теоретическая механика кинематика точки через точки Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки и спроецируем на нее скорости

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Проекции Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки на ось Теоретическая механика кинематика точки равны нулю, так как векторы Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки перпендикулярны этой оси. Следовательно, Теоретическая механика кинематика точки что и требовалось доказать.

Следствие 2. Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят ее на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками этого отрезка.

Из рис. 1.39, б очевидно, что

Теоретическая механика кинематика точки

откуда Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки как противоположные стороны параллелограммов.

Таким образом, Теоретическая механика кинематика точки

Отсюда следует, что Теоретическая механика кинематика точки — отрезок прямой. Из подобия треугольников Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки имеем:

Теоретическая механика кинематика точки или Теоретическая механика кинематика точки

что и требовалось доказать.

Мгновенный центр скоростей. Неизменно связанная с телом точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей (МЦС) лежит на перпендикулярах к скоростям точек тела, опущенных из этих точек (рис. 1.40, а). Различные случаи определения МЦС (обозначен буквой Теоретическая механика кинематика точки) показаны на рис. 1.40, б—г.

Преобразование движений. В машинах очень часто происходит преобразование одного движения в другое. Например, в криво-шипно-шатунном механизме (рис. 1.41) кривошип Теоретическая механика кинематика точки совершает вращательное движение, которое преобразуется в поступательное перемещение ползуна Теоретическая механика кинематика точки При решении практических задач бывает необходимо найти законы этого движения или скорости.

Пример решения задачи 1.11

В кривошипно-шатунном механизме (см. рис. 1.41) за один оборот кривошипа ползун проходит путь, равный Теоретическая механика кинематика точки Какой путь пройдет за это время точка Теоретическая механика кинематика точки Где будет находиться МЦС звена Теоретическая механика кинематика точки когда кривошип Теоретическая механика кинематика точки займет вертикальное положение?

Теоретическая механика кинематика точки

Решение.

1. Рассмотрим, по каким траекториям движутся точки Теоретическая механика кинематика точки и какие движения совершают тела, которым они принадлежат. Точка Теоретическая механика кинематика точки принадлежит двум телам, движения которых различны. С одной стороны, точка Теоретическая механика кинематика точки участвует во вращательном движении кривошипа Теоретическая механика кинематика точки а с другой стороны, она принадлежит шатуну Теоретическая механика кинематика точки который совершает плоское движение. Точка Теоретическая механика кинематика точки также сочленяет две детали: шатун Теоретическая механика кинематика точки и ползун Теоретическая механика кинематика точки. Поскольку точка Теоретическая механика кинематика точки принадлежит ползуну, совершающему поступательное движение, при котором все его точки движутся прямолинейно, то для нее всегда известна траектория движения — это горизонтальная прямая. Таким образом, зная направления скоростей точек Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки, можно найти положение мгновенного центра скоростей для кривошипно-шатунного механизма, когда кривошип Теоретическая механика кинематика точки занимает вертикальное положение. Из рис. 1.41, б видно, что МЦС лежит в бесконечности. Следовательно, все точки звена Теоретическая механика кинематика точки имеют одинаковые скорости.

Теоретическая механика кинематика точки

2. За один оборот кривошипа точка Теоретическая механика кинематика точки проходит путь Теоретическая механика кинематика точки Ползун Теоретическая механика кинематика точки за один оборот пройдет путь, равный Теоретическая механика кинематика точки Следовательно, можно найти радиус кривошипа, если известен пройденный путь точки Теоретическая механика кинематика точки:

Теоретическая механика кинематика точки

3. Зная радиус Теоретическая механика кинематика точки кривошипа, можно определить пройденный точкой Теоретическая механика кинематика точки путь за один оборот кривошипа:

Теоретическая механика кинематика точки

Сложное движение точки

Относительное, переносное и абсолютное движение точки

Сложное движение точки — это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях. Например, пассажир перемещается по палубе движущегося теплохода, который плывет по течению реки. Какова же будет траектория движения пассажира и его скорость по отношению к поверхности Земли, если русло реки проходит под углом к меридиану Земли? На этот вопрос можно ответить только после изучения понятий об относительном, переносном и абсолютном движении точки»

Рассмотрим движущееся в пространстве тело (рис. 1.42) и точку Теоретическая механика кинематика точки не принадлежащую этому телу, а совершающую по отношению к нему некоторое перемещение. Через произвольную точку Теоретическая механика кинематика точки движущегося тела проведем оси Теоретическая механика кинематика точки связанные с этим телом. Эта система координат называется подвижной системой отсчета.

Неподвижной системой отсчета будет система осей Теоретическая механика кинематика точки Теоретическая механика кинематика точки связанная с некоторым условно неподвижным телом, обычно с Землей,

Движение точки Теоретическая механика кинематика точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением точки. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначаются Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Движение точки Теоретическая механика кинематика точки по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точки, скорость и ускорение в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением, обозначают Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки

Движение подвижной системы отсчета Теоретическая механика кинематика точки и неизменно связанного с ней тела по отношению к неподвижной системе отсчета Теоретическая механика кинематика точки является переносным движением. Скорость и ускорение точки тела, совпадающей в данный момент с движущейся по нему точкой Теоретическая механика кинематика точки называется переносной скоростью и ускорением и обозначается Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки

Теорема о сложении скоростей. Известно, что вектор скорости материальной точки

Теоретическая механика кинематика точки

Радиус-вектор Теоретическая механика кинематика точки точки Теоретическая механика кинематика точки связан с радиусом-вектором начала отсчета подвижной системы координат следующей зависимостью:

Теоретическая механика кинематика точки

где Теоретическая механика кинематика точки — радиус-вектор точки Теоретическая механика кинематика точки в подвижной системе отсчета; он определяет положение точки в ее относительном движении.

Вычислим вектор скорости точки Теоретическая механика кинематика точки:

В полученном выражении первое слагаемое представляет собой скорость Теоретическая механика кинематика точки точки Теоретическая механика кинематика точки тела относительно неподвижной системы координат. Поскольку орты Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки меняют положение в пространстве вместе с телом, то, следовательно, производная от них по времени не будет равна нулю. Следует заметить также, что точка Теоретическая механика кинематика точки в которой эти орты пересекаются, для них всегда неподвижна. Следовательно, эти орты совершают мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через точку Теоретическая механика кинематика точки

Вычислим производную Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Первые три слагаемых представляют собой относительную скорость точки Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Здесь Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки - проекции вектора относительной скорости Теоретическая механика кинематика точки на соответствующие оси координат.

Итак,

Теоретическая механика кинематика точки

Рассмотрим, что представляет собой производная, например, Теоретическая механика кинематика точки Если, как было отмечено ранее, орт Теоретическая механика кинематика точки может совершать только мгновенное вращение вокруг точки Теоретическая механика кинематика точки то существует мгновенная ось вращения Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.43).

Как известно, производная от радиуса-вектора есть линейная скорость конца этого вектора. Поскольку орт Теоретическая механика кинематика точки — вектор, то Теоретическая механика кинематика точкиСледовательно,

Теоретическая механика кинематика точки

Вычислим линейную скорость конца вектора, направленную по касательной к окружности, Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Зная, что модуль векторного произведения Теоретическая механика кинематика точки будет тоже равняться Теоретическая механика кинематика точки и векторы Теоретическая механика кинематика точкиТеоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки взаимно-перпендикулярны, можно записать Теоретическая механика кинематика точки Аналогично запишем: Теоретическая механика кинематика точки Таким образом,

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

или

Теоретическая механика кинематика точки

В результате мы получаем следующую зависимость:

Теоретическая механика кинематика точки

Выражение в скобках представляет собой скорость точки тела, которая совпадает в данный момент с точкой Теоретическая механика кинематика точки движущейся относительно этого тела (так как она равна сумме скорости полюса Теоретическая механика кинематика точки и линейной скорости Теоретическая механика кинематика точки при вращении относительно этого полюса). В результате получено равенство

Теоретическая механика кинематика точки

которое выражает теорему о сложении скоростей:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.

Эту теорему иногда называют правилом параллелограмма скоростей.

В общем случае модуль абсолютной скорости можно вычислить по формуле

Теоретическая механика кинематика точки

Пример решения задачи 1,12

Пассажир идет вдоль вагона со скоростью Теоретическая механика кинематика точки в сторону, противоположную направлению движения поезда. Поезд движется по прямолинейному участку пути со скоростью Теоретическая механика кинематика точки С какой скоростью пассажир перемещается относительно строений?

Решение.

1. Определим переносную скорость. Поскольку вагон едет по прямолинейному пути, то он совершает поступательное движение. Следовательно, все точки имеют одинаковую скорость, т.е. Теоретическая механика кинематика точки

2. Определим абсолютную скорость пассажира. На основании теоремы о сложении скоростей при сложном движении точки Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.44), Поскольку все векторы параллельны, то Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Ответ. Пассажир перемещается относительно строений в направлении движения поезда с абсолютной скоростью Теоретическая механика кинематика точки

Сложение двух вращательных движений

Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

Рассмотрим сложное движение твердого тела, представляющее собой совокупность двух вращательных движений тела вокруг осейг пересекающихся в одной точке. Примером такого движения является движение диска, показанного на рис. 1.45, а. Вращение этого диска относительно оси Теоретическая механика кинематика точки является его относительным движением, поэтому угловую скорость этого вращательного движения обозначим 0)г Вращение самой оси Теоретическая механика кинематика точки вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки — это пере» носное движение, поэтому эту угловую скорость обозначим Теоретическая механика кинематика точки Определим, каким будет абсолютное движение тела в этом случае.

Построим на векторах Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки параллелограмм (рис, 1.45, б). Покажем, что диагональ Теоретическая механика кинематика точки этого параллелограмма представляет собой вектор угловой скорости результирующего вращения тела, которое происходит вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки Скорость точки Теоретическая механика кинематика точки равна нулю, так как она находится одновременно на двух мгновенных осях вращения Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки Определим скорость точки Теоретическая механика кинематика точки Так как эта точка принадлежит телу, участвующему в сложном движении, то ее скорость определяется по теореме о сложении скоростей:

Теоретическая механика кинематика точки

Вычислим линейную скорость точки Теоретическая механика кинематика точки в ее относительном вращении вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Вектор скорости Теоретическая механика кинематика точки перпендикулярен плоскости Теоретическая механика кинематика точки и направлен «на себя». Модуль линейной скорости точки Теоретическая механика кинематика точки в ее переносном движении будет равен

Теоретическая механика кинематика точки

Вектор этой скорости направлен перпендикулярно плоскости Теоретическая механика кинематика точки в сторону «от себя». Поскольку площади треугольников Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки равны по построению, то в точке Теоретическая механика кинематика точки приложены два вектора, равные по величине и противоположно направленные, а следовательно, их сумма равна нулю.

Таким образом, прямая Теоретическая механика кинематика точки проходящая через две неподвижные точки Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки является мгновенной осью вращения тела. Тогда можно считать, что диск (как и любое другое тело произвольной формы) мгновенно вращается вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки В этом случае скорость любой точки Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.46) может быть определена так:

Теоретическая механика кинематика точки

С другой стороны, эта точка участвует в сложном движении, поэтому ее скорость можно записать иначе

Теоретическая механика кинематика точки

где Теоретическая механика кинематика точки

Таким образом, Теоретическая механика кинематика точки

откуда Теоретическая механика кинематика точки

Следовательно,

Теоретическая механика кинематика точки

Таким образом, геометрическая сумма векторов угловых скоростей относительного и переносного вращений равна вектору угловой скорости абсолютного вращения.

Установленное соотношение называют правилом параллелограмма угловых скоростей.

Построив параллелограмм угловых скоростей, скорость любой точки тела (например, для точки Теоретическая механика кинематика точки) при сложении двух вращательных движений относительно пересекающихся осей можно определить относительно мгновенной оси вращения (см. рис. 1.46):

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей

В этом случае векторы относительной и переносной угловых скоростей параллельны. Здесь возможно несколько вариантов.

1. Относительное и переносное вращения направлены в одну сторону. Допустим, что плоская фигура I (рис. 1.47, а) вращается относительно плоскости II. В свою очередь, плоскость II совершает вращение относительно неподвижной плоскости III, тогда абсолютное движение плоской фигуры ] будет составным по отношению к плоскости III; движение плоскости И в этом случае является переносным. Плоские фигуры I и II могут совершать аналогичные движения в плоскости III (рис. 1.47, б). Поскольку оба движения являются вращательными, то в точках пересечения осей вращения Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки с плоскостью III скорости будут равны нулю: в точке Теоретическая механика кинематика точки — переносная, а в точке Теоретическая механика кинематика точки — относительная. Как известно, абсолютная скорость любой точки в сложном движении равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Так как переносная скорость точки Теоретическая механика кинематика точки равна нулю, то ее абсолютная скорость будет равна относительной скорости:

Теоретическая механика кинематика точки

Модуль этой скорости определяют по формуле Теоретическая механика кинематика точки Направлена она будет перпендикулярно ее радиусу вращения (отрезку Теоретическая механика кинематика точки) — «на себя».

Аналогичные рассуждения справедливы и для точки Теоретическая механика кинематика точки т. е. абсолютная скорость Теоретическая механика кинематика точки Модуль этой скорости Теоретическая механика кинематика точки а вектор перпендикулярен отрезку Теоретическая механика кинематика точки и направлен в сторону переносного вращения, т.е. «от себя».

Отложим на чертеже векторы абсолютных скоростей точек Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки после чего найдем мгновенный центр скоростей Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.47, в). Из рисунка видно, что движение плоской фигуры I складывается

Теоретическая механика кинематика точки

из двух параллельных однонаправленных вращательных движении с угловой скоростью

Теоретическая механика кинематика точки

Из подобия треугольников следует, что Теоретическая механика кинематика точки Подставив значения скоростей Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки выраженные через угловые скорости относительного и переносного движений, получим

Теоретическая механика кинематика точки

Следовательно, мгновенная ось вращения Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.47, б) проходит через мгновенный центр скоростей, точку Теоретическая механика кинематика точки параллельно осям Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки деля при этом расстояние между этими осями на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Определим модуль абсолютной угловой скорости. Для этого вместо Теоретическая механика кинематика точки подставим его значение Теоретическая механика кинематика точки в результате имеем Теоретическая механика кинематика точки

Учитывая, что Теоретическая механика кинематика точки перепишем это равенство: Теоретическая механика кинематика точкиТеоретическая механика кинематика точки или Теоретическая механика кинематика точки Зная, что Теоретическая механика кинематика точки получим Теоретическая механика кинематика точки откуда после сокращения на общий множитель Теоретическая механика кинематика точки определим

Теоретическая механика кинематика точки

Модуль абсолютной угловой скорости равен сумме модулей угловых скоростей составляющих однонаправленных вращательных движений.

Из рис. 1.47,в видно, что абсолютное вращение плоской фигуры направлено так же против часовой стрелки, как и его составные движения. Направим вектор абсолютной угловой скорости Теоретическая механика кинематика точки по оси Теоретическая механика кинематика точки в ту же сторону, что и векторы Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.47,6).

2. Относительное и переносное вращения направлены в разные стороны, а модули их угловых скоростей не равны. Определим абсолютную скорость мгновенного центра скоростей Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.48, a): Теоретическая механика кинематика точки Этот вектор равен по модулю Теоретическая механика кинематика точкиТеоретическая механика кинематика точки и направлен «на себя». Аналогично определим абсолютную скорость мгновенного центра скоростей Теоретическая механика кинематика точкиТеоретическая механика кинематика точки Точка Теоретическая механика кинематика точки в переносном движении вращается вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора Теоретическая механика кинематика точки Следовательно, вектор Теоретическая механика кинематика точки направлен «на себя». Модуль вектора Теоретическая механика кинематика точки будет равен Теоретическая механика кинематика точки На рис. l.48,a показано, что Теоретическая механика кинематика точки поэтому Теоретическая механика кинематика точки

Отложим из точек Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки векторы скоростей Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.48, б) и графически найдем мгновенный центр скоростей, т.е. точку Теоретическая механика кинематика точки Из рисунка видно, что абсолютное вращение будет происходить по часовой стрелке, если смотреть с конца мгновенной оси вращения Теоретическая механика кинематика точки

Из подобия треугольников (см. рис. 1.48, б) следует, что Теоретическая механика кинематика точкиТеоретическая механика кинематика точки Подставив значения скоростей Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки выраженные через угловые скорости относительного и переносного движений, получим

Теоретическая механика кинематика точки

Таким образом, мгновенная ось абсолютного вращения плоской фигуры параллельна осям переносного и относительного вращений; она лежит в плоскости, проходящей через эти оси, и делит расстояние между этими осями внешним образом обратно пропорционально угловым скоростям.

Для определения модуля угловой скорости абсолютного вращения воспользуемся зависимостью Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.48, б). В то же время, как было установлено ранее, Теоретическая механика кинематика точки Приравняв правые части и учитывая, что Теоретическая механика кинематика точки получим

Теоретическая механика кинематика точки или Теоретическая механика кинематика точки

Ранее было доказано, что Теоретическая механика кинематика точки С учетом этого равенства получаем Теоретическая механика кинематика точки после сокращения на множитель Теоретическая механика кинематика точки имеем Теоретическая механика кинематика точки т. е. модуль абсолютной угловой скорости равен разности угловых скоростей составляющих разнонаправленных вращений. Вектор абсолютной угловой скорости направлен в сторону большей угловой скорости и расположен со стороны той оси, угловая скорость вращения вокруг которой больше (см. рис. 1.48, а).

3. Относительное и переносное вращения направлены в разные стороны, модули их угловых скоростей равны (рис. 1.49, а). Определим для данного случая абсолютное движение плоской фигуры I. Поскольку модули угловых скоростей равны, то

Теоретическая механика кинематика точки

Относительное вращение вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки совершает фигура I, а переносное вращение вокруг оси Теоретическая механика кинематика точки — фигура II. Поскольку для любой точки фигуры I имеет место равенство

Теоретическая механика кинематика точки

то для точки Теоретическая механика кинематика точки это равенство также будет справедливо. Определим ее относительную скорость. Вектор Теоретическая механика кинематика точки будет направлен по перпендикуляру к отрезку Теоретическая механика кинематика точки в направлении угловой скорости Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.49, б). Вычислим его модуль

Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки или Теоретическая механика кинематика точки так как Теоретическая механика кинематика точки

Переносная скорость точки Теоретическая механика кинематика точки будет направлена перпендикулярно отрезку Теоретическая механика кинематика точки в сторону переносной угловой скорости Теоретическая механика кинематика точки Вычислим модуль переносной скорости Теоретическая механика кинематика точки

Теоретическая механика кинематика точки

Построим параллелограмм на векторах скоростей Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.49, б). Треугольники Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки подобны, так как стороны их пропорциональны и взаимно-перпендикулярны. Из подобия треугольников имеем

Теоретическая механика кинематика точки

Так как стороны Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки перпендикулярны соответственно сторонам Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки то третьи стороны этих треугольников будут также перпендикулярны, т.е. вектор Теоретическая механика кинематика точки перпендикулярен стороне Теоретическая механика кинематика точки Значит, вектор скорости любой точки, выбранной произвольно, должен быть перпендикулярен отрезку Теоретическая механика кинематика точки а ее модуль равен

Теоретическая механика кинематика точки

Если скорости всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, то мгновенный центр скоростей такого тела лежит в бесконечности — тело совершает поступательное движение.

Таким образом, при сложении двух вращений с равными по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями результирующим движением является поступательное.

Совокупность двух вращений, направленных в противоположные стороны и имеющих равные по модулю угловые скорости, называется парой вращений.

Пример решения задачи 1.13

Механизм приводится в движение кривошипом Теоретическая механика кинематика точки который вращается с угловой скоростью Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.50, а). Определить, с какой скоростью звено Теоретическая механика кинематика точки вращается относительно кривошипа Теоретическая механика кинематика точки и его мгновенную абсолютную угловую скорость, используя теорему о сложении вращений относительно параллельных осей.

Решен и е.

1. Определяем относительную угловую скорость звена Теоретическая механика кинематика точки

Звено Теоретическая механика кинематика точки совершает сложное движение. Его точка В принадлежит одновременно звену Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки, поэтому скорость ее в относительном вращательном движении равна нулю. Значит, это мгновенный центр скоростей

Теоретическая механика кинематика точки

звена Теоретическая механика кинематика точки в его относительном вращательном движении; обозначим его Теоретическая механика кинематика точки (рис. 1.50, 6). Переносным вращением является вращение кривошипа Теоретическая механика кинематика точки относительно неподвижной точки Теоретическая механика кинематика точки обозначим эту точку Теоретическая механика кинематика точки Оси переносного и относительного вращений перпендикулярны плоскости чертежа, т.е. параллельны между собой. Следовательно, можно применить теорему о сложении вращательных движений относительно параллельных осей.

Поскольку известны направления скоростей точек Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки звена Теоретическая механика кинематика точки (соответственно вдоль осей Теоретическая механика кинематика точки и Теоретическая механика кинематика точки), то можно найти МЦС этого звена, т.е. точку Теоретическая механика кинематика точки (см. рис. 1.50, 5).

Вычислим отношение Теоретическая механика кинематика точки (см. подразд. 1.10):

Теоретическая механика кинематика точки

Отсюда относительная угловая скорость вращения Теоретическая механика кинематика точки

2. Определяем мгновенную абсолютную угловую скорость звена Теоретическая механика кинематика точки.

Точка Теоретическая механика кинематика точки (МЦС абсолютного вращательного движения) лежит на отрезке Теоретическая механика кинематика точки и делит его внешним образом, следовательно, направления переносной и относительной угловых скоростей противоположные. А так как точка Теоретическая механика кинематика точки находится ближе к Теоретическая механика кинематика точки чем к Теоретическая механика кинематика точки то Теоретическая механика кинематика точки и тогда абсолютная угловая скорость звена Теоретическая механика кинематика точки будет равна

Теоретическая механика кинематика точки

Ответ. Относительная угловая скорость звена Теоретическая механика кинематика точки в данный момент в два раза больше, чем угловая скорость кривошипа Теоретическая механика кинематика точки и направлена в противоположную сторону.

Абсолютная угловая скорость звена Теоретическая механика кинематика точки в данный момент равна угловой скорости кривошипа Теоретическая механика кинематика точки но направлена в другую сторону.