Теоретическая механика кинематика точки

Содержание:

1. Кинематика точки
2. Способы задания движения материальной точки
3. Пример решения задачи 1.9
4. Частные случаи движения материальной точки
5. Пример решения задачи 1.10
6. Простейшие движения твердого тела
7. Вращательное движение относительно неподвижной оси
8. Частные случаи вращательного движения тела
9. Плоское движение твердого тела
10. Пример решения задачи 1.11
11. Сложное движение точки
12. Пример решения задачи 1,12
13. Сложение двух вращательных движений
14. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей
15. Пример решения задачи 1.13

Кинематика точки

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения вне связи с силами, вызывающими это движение.

• В теоретической механике изучается простейшая форма движения — механическое движение. Механическое движение всегда рассматривается относительно выбранной системы отсчета, которая может быть подвижной или условно неподвижной. Например, при рассмотрении механического движения тел, находящихся на Земле, за неподвижную систему осей координат выбирают систему осей, неизменно связанных с Землей.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Способы задания движения материальной точки

Точка движется в пространстве по некоторой линии, или траектории.

Движение точки задано естественным способом (рис. 1.30, а), если известны:

• 1) траектория точки;
• 2) зависимость изменения длины дуги от времени: (эта зависимость называется уравнением движения материальной точки);
• 3) начало движения;
• 4) начало отсчета;
• 5) направление отсчета.

Положение точки в пространстве однозначно определяется радиусом-вектором проведенным из некоторого неподвижного центра в данную точку (рис. 1.30, б). Такой способ задания движения называется векторным:

Положение точки в пространстве в этом случае будет определяться геометрическим местом концов векторов т.е. годографом ее радиуса-вектора.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика статика

Теоретическая механика динамика

Теоретическая механика курсовая работа

Теоретическая механика примеры решения задач

При координатном способе задания движения (рис. 1.30, в) должны быть известны зависимости, по которым можно определить», как со временем изменяются координаты точки в пространстве:

• Эти уравнения называются уравнениями движения точки в декартовых координатах, с их помощью для каждого момента времени можно определить положение точки в пространстве, Если точка движется на плоскости, то ее положение описывается двумя уравнениями:

если точка движется по прямой, то достаточно только одного уравнения:

Пример решения задачи 1.9

Движение точки в плоскости задано уравнениями

где и измеряются в сантиметрах (см), a — в секундах (с). Определить траекторию движущейся точки.

Решение.

Получим уравнение траектории, исключив время из заданных уравнений движения. Из первого уравнения из второго Приравняв правые части этих равенств, получим

или

Траектория движения — прямая линия, построим ее. Полагая найдем точку пересечения линии траектории с осью

Полагая найдем точку пересечения траектории с осью Проведя через эти точки прямую, получим линейную траекторию движения материальной точки (рис. 1.31). На этой линии необходимо найти начало движения точки.

В момент начала движения, т.е. когда точка имела координаты и Остается определить, в каком направлении от точки движется материальная точка. С течением времени координаты и будут возрастать. Следовательно, материальная точка начнет движение из точки и далее будет двигаться вверх по стрелке до бесконечности.

Итак, траектория движения материальной точки найдена; она задана естественным способом: ее начало — в точке направление движения — по стрелке.

Скорость точки характеризует быстроту и направление движения точки. При векторном способе задания движения положение точки в каждый момент времени определяется радиусом-вектором

Пусть в момент времени точка занимает положение определяемое радиусом-вектором (рис. 1.32, а). В момент времени точка займет положение определяемое радиусом-вектором Отношение является вектором средней скорости, а производная вектора по времени и будет вектором скорости в данный момент времени:

Поскольку — это производная функции то вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

Если движение точки задано естественным способом, то известны ее траектория начало движения, направление и уравнение движения В полученное выражение введем промежуточную переменную — дуговую координату

Поскольку — величина скалярная, то вектор будет направлен по касательной к траектории в точке этот вектор обозначается (рис. 1.32, б) и является ортом направления, модуль его равен единице. Орт всегда направлен в сторону возрастания

Таким образом, при естественном способе задания траектории вектор скорости

Производная представляет собой алгебраическое значение скорости. Если то в рассматриваемый момент времени точка движется в сторону увеличения дуговой координаты и, следовательно, направление ее скорости совпадает с направлением орта Если же то функция убывает, и, следовательно, вектор скорости направлен в сторону, противоположную вектору

Определим скорость точки при координатном способе задания движения. Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1,32, в):

Ее положение в пространстве определяется радиусом-вектором

На основании предыдущих выводов вектор скорости можно записать следующим образом;

Следовательно, Построим параллелепипед на проекциях и (см. рис. 1.32, в) и определим модуль вектора скорости

Ускорение точки — векторная величина, характеризующая быстроту изменения с течением времени вектора скорости: Запишем выражения для проекций вектора ускорения на оси координат Если известны проекции и то можно определить модуль ускорения

При естественном способе задания траектории движения материальной точки ее вектор ускорения можно разложить по естественным осям координат и (рис. 1.33):

Проекция ускорения на орт называется касательным ускорением, которое характеризует быстроту изменения модуля скорости: Касательное ускорение существует только при неравномерном криволинейном движении.

Нормальное ускорение показывает изменение направления вектора скорости когда материальная точка движется по криволинейной траектории ( — радиус кривизны траектории в точке).

Частные случаи движения материальной точки

1. Следовательно, полное ускорение Точка движется равномерно прямолинейно. Закон движения в этом случае где — дуговая координата в начальный момент времени; — скорость движения точки в начальный момент движения (скорость не изменится и в любой другой момент времени tr так как движение неускоренное).

2. — равномерное криволинейное движение. Вектор скорости материальной точки изменяется лишь по направлению. Закон движения по криволинейной траектории запишется аналогично первому случаю:

3. — прямолинейное неравномерное движение.

4. — криволинейное неравномерное движение.

Если в третьем случае и в четвертом то материальная точка будет совершать соответственно равноускоренное (равнозамедленное) прямолинейное

и равноускоренное (равнозамедленное) криволинейное движение

Пример решения задачи 1.10

Поезд движется равнозамедленно по закруглению радиусом В начале участка поезд имел скорость и полное ускорение Определить скорость и ускорение поезда в конце криволинейного участка, если длина участка

Решение.

1. Будем рассматривать движение одной из точек поезда, например его центра тяжести. Совместим начало отсчета дуговой координаты с начальным положением точки направление движения принимаем за положительное (рис. 1.34). В этом случае величина будет равна нулю.

2. Запишем закон равнозамедленного движения материальной точки

и формулу для определения скорости этого движения

3. Определим нормальное ускорение точки в начале участка

4. Знал модуль полного ускорения точки в начале пути, определим его касательную составляющую:

5. Подставляя в формулу движения выражение для касательной составляющей ускорения определим время в течение которого поезд прошел участок длиной

Откуда

Следовательно,

Значение отбрасываем как нереальное, так как это время превышает время через которое поезд окажется в конце пути. Поэтому принимаем во внимание только второй корень уравнения

6. Определим скорость в конце пути:

7. Вычислим нормальное ускорение в конце пути:

8. Определим полное ускорение в конце пути:

Из расчетов видно, что полное ускорение уменьшилось за счет уменьшения нормального ускорения, в то время как касательное ускорение осталось неизменным.

Простейшие движения твердого тела

Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в каждый момент времени имеют одинаковые (по значению и направлению) скорости и ускорения. Это основное свойство поступательного движения дает возможность изучать движение тела по одной из его точек. Примером поступательного движения является движение поршня паровой машины, ползуна с резцом в поперечно-строгальном станке. В этих случаях траектории точек тела прямолинейные. В спарнике двух колес (рис. 1.35) траектории точек представляют собой окружность; сам спарник движется поступательно, а колеса вращаются. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть еще более сложными, например, при выпуске шасси у истребителя колеса совершают поступательное движение, причем точки колеса движутся по пространственной кривой.

Вращательное движение относительно неподвижной оси

Вращательным называется такое движение твердого тела, при котором точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных неподвижной прямой, называемой осью вращения тела, и описывают окружности, центры которых лежат на этой оси.

Для осуществления этого движения следует неподвижно закрепить две точки твердого тела и (рис. 1.36, а). Тогда прямая, проходящая через эти точки, является осью вращения. При вращении угол поворота тела меняется в зависимости от времени:

Эта зависимость называется уравнением вращательного движения тела. Угол поворота (в радианах) часто выражают через число оборотов

Величина, характеризующая быстроту изменения утла поворота ср с течением времени, называется угловой скоростью тела и имеет размерность Ее значение определяется по формуле

Учитывая, что дуга и, следовательно, получим

Отсюда найдем линейную скорость точки вращающегося тела

Угловая скорость вращения связана с частотой вращения следующей зависимостью:

В этом случае линейная скорость точки тела может быть выражена также через частоту вращения:

Размерность скорости будет зависеть от размерности диаметра Если измеряется в миллиметрах то будет выражена в метрах в секунду

В технике чаще всего скорость выражается в метрах в минуту тогда

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением и имеет размерность

Если и то движение ускоренное; если то движение замедленное.

Точка тела участвует во вращательном движении, перемещаясь по окружности радиусом (рис. 1.36, б). Поскольку ее траектория криволинейна, то ускорение

Касательная составляющая ускорения

направление определяет направление ускорения (см. рис. 1.36, б). Нормальная составляющая ускорения Это ускорение направлено всегда к центру, поэтому называется центростремительным,

Полное ускорение точки вращающегося вокруг неподвижной оси тела Введем понятия «вектор угловой скорости » и «вектор углового ускорения », Условимся откладывать вектор угловой скорости тела по оси его вращения в ту сторону, откуда поворот тела виден происходящим против движения часовой стрелки (рис. 1.37). Модуль этого вектора равен абсолютному значению угловой скорости,

Вектор углового ускорения при ускоренном вращении тела вокруг неподвижной оси будет направлен в ту же сторону, что и вектор угловой скорости (рис. 1.37, а), а при замедленном вращении — в противоположную (рис. 1.37, б). Модуль вектора равен абсолютному значению углового ускорения

Векторы и могут быть приложены в любой точке оси вращения тела, поэтому эти векторы называются скользящими.

Частные случаи вращательного движения тела

1. Зная, что перепишем эту зависимость и проинтегрируем уравнение в пределах, соответствующих начальному моменту времени (соответственно ) и произвольному моменту времени

откуда

Этот результат соответствует закону равномерного вращательного движения тела.

2. — равнопеременное вращательное движение (равноускоренное или равнозамедленное) тела. Вывод его закона движения аналогичен:

Плоское движение твердого тела

Плоским, или плоско-параллельным, движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая точка тела движется в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости.

Примерами плоского движения являются движение шайбы по льду, колеса поезда по прямолинейному участку пути.

Плоское движение тела можно разложить на поступательное и вращательное относительно выбранного центра. На рис. 1.38 показано, что тело из положения I можно переместить в положение II двумя способами;

• а) перемещаем тело поступательно так, чтобы прямая перемещаясь параллельно первоначальному положению, заняла в пространстве положение После этого повернем тело вокруг точки на угол
• б) переместим тело поступательно из положения I так, чтобы прямая совместилась с прямой параллельной ей. После этого будем вращать тело вокруг точки до тех пор, пока точка не попадет в точку Поскольку то углы

Следовательно, чтобы занять положение II, тело может совершить различные поступательные движения (в зависимости от выбранного полюса), а вращение, как в первом, так и во втором случае, будет одинаковым. Следовательно, любое плоское движение тела можно разложить на поступательное движение тела вместе с выбранным полюсом и вращательное движение относительно полюса. Чаще всего за такой полюс выбирают центр масс тела.

Теорема о скоростях точек плоской фигуры и ее следствия.

Скорость любой точки плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса и линейной скорости этой точки при вращении ее относительно полюса.

Примем за полюс точку скорость которой известна и равна Определим скорость любой точки, например точки принадлежащей этой плоской фигуре (рис. 1.39, а). Проведем из произвольной неподвижной точки плоскости в точки и радиусы-векторы и , а из полюса — радиус-вектор в точку Так как радиус-вектор соединяет две точки плоской фигуры, то при ее движении он вращается вокруг полюса с угловой скоростью плоской фигуры причем модуль этого вектора остается постоянным, так как не меняется расстояние между точкой и полюсом. Кроме того, как видно из рис. 1.39, а, Определим отсюда скорость точки

Производная по времени от радиуса-вектора является скоростью полюса, а производная но времени от радиуса-вектора — не что иное, как линейная скорость точки при вращении вокруг полюса которую обозначим Таким образом, теорема доказана:

Скорость можно представить в виде векторного произведения вектора угловой скорости плоской фигуры на радиус-вектор

Вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку в сторону вращения тела (рис, 1.39, б) его модуль

Следствие 1. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны.

Предположим, что в данный момент времени известна угловая скорость плоской фигуры (ее модуль и направление) и скорость точки этой фигуры (см. рис. 1.39, 6). Принимаем точку за полюс и определяем на основе доказанной теоремы скорости точек и этой плоской фигуры, лежащих на одной прямой с полюсом :

Векторы скоростей и перпендикулярны отрезку и направлены в сторону вращения плоской фигуры. Проведем ось через точки и и спроецируем на нее скорости

Проекции и на ось равны нулю, так как векторы и перпендикулярны этой оси. Следовательно, что и требовалось доказать.

Следствие 2. Концы векторов скоростей точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят ее на части, пропорциональные расстояниям между соответствующими точками этого отрезка.

Из рис. 1.39, б очевидно, что

откуда

и как противоположные стороны параллелограммов.

Таким образом,

Отсюда следует, что — отрезок прямой. Из подобия треугольников и имеем:

или

что и требовалось доказать.

Мгновенный центр скоростей. Неизменно связанная с телом точка, скорость которой в данный момент времени равна нулю, называется мгновенным центром скоростей. Мгновенный центр скоростей (МЦС) лежит на перпендикулярах к скоростям точек тела, опущенных из этих точек (рис. 1.40, а). Различные случаи определения МЦС (обозначен буквой ) показаны на рис. 1.40, б—г.

Преобразование движений. В машинах очень часто происходит преобразование одного движения в другое. Например, в криво-шипно-шатунном механизме (рис. 1.41) кривошип совершает вращательное движение, которое преобразуется в поступательное перемещение ползуна При решении практических задач бывает необходимо найти законы этого движения или скорости.

Пример решения задачи 1.11

В кривошипно-шатунном механизме (см. рис. 1.41) за один оборот кривошипа ползун проходит путь, равный Какой путь пройдет за это время точка Где будет находиться МЦС звена когда кривошип займет вертикальное положение?

Решение.

1. Рассмотрим, по каким траекториям движутся точки и какие движения совершают тела, которым они принадлежат. Точка принадлежит двум телам, движения которых различны. С одной стороны, точка участвует во вращательном движении кривошипа а с другой стороны, она принадлежит шатуну который совершает плоское движение. Точка также сочленяет две детали: шатун и ползун . Поскольку точка принадлежит ползуну, совершающему поступательное движение, при котором все его точки движутся прямолинейно, то для нее всегда известна траектория движения — это горизонтальная прямая. Таким образом, зная направления скоростей точек и , можно найти положение мгновенного центра скоростей для кривошипно-шатунного механизма, когда кривошип занимает вертикальное положение. Из рис. 1.41, б видно, что МЦС лежит в бесконечности. Следовательно, все точки звена имеют одинаковые скорости.

2. За один оборот кривошипа точка проходит путь Ползун за один оборот пройдет путь, равный Следовательно, можно найти радиус кривошипа, если известен пройденный путь точки :

3. Зная радиус кривошипа, можно определить пройденный точкой путь за один оборот кривошипа:

Сложное движение точки

Относительное, переносное и абсолютное движение точки

Сложное движение точки — это такое движение, при котором точка одновременно участвует в двух или нескольких движениях. Например, пассажир перемещается по палубе движущегося теплохода, который плывет по течению реки. Какова же будет траектория движения пассажира и его скорость по отношению к поверхности Земли, если русло реки проходит под углом к меридиану Земли? На этот вопрос можно ответить только после изучения понятий об относительном, переносном и абсолютном движении точки»

Рассмотрим движущееся в пространстве тело (рис. 1.42) и точку не принадлежащую этому телу, а совершающую по отношению к нему некоторое перемещение. Через произвольную точку движущегося тела проведем оси связанные с этим телом. Эта система координат называется подвижной системой отсчета.

Неподвижной системой отсчета будет система осей связанная с некоторым условно неподвижным телом, обычно с Землей,

Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным движением точки. Скорость и ускорение точки в абсолютном движении называются абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначаются и

Движение точки по отношению к подвижной системе отсчета называют относительным движением точки, скорость и ускорение в относительном движении называют относительной скоростью и относительным ускорением, обозначают и

Движение подвижной системы отсчета и неизменно связанного с ней тела по отношению к неподвижной системе отсчета является переносным движением. Скорость и ускорение точки тела, совпадающей в данный момент с движущейся по нему точкой называется переносной скоростью и ускорением и обозначается и

Теорема о сложении скоростей. Известно, что вектор скорости материальной точки

Радиус-вектор точки связан с радиусом-вектором начала отсчета подвижной системы координат следующей зависимостью:

где — радиус-вектор точки в подвижной системе отсчета; он определяет положение точки в ее относительном движении.

Вычислим вектор скорости точки :

В полученном выражении первое слагаемое представляет собой скорость точки тела относительно неподвижной системы координат. Поскольку орты и меняют положение в пространстве вместе с телом, то, следовательно, производная от них по времени не будет равна нулю. Следует заметить также, что точка в которой эти орты пересекаются, для них всегда неподвижна. Следовательно, эти орты совершают мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через точку

Вычислим производную

Первые три слагаемых представляют собой относительную скорость точки

Здесь и - проекции вектора относительной скорости на соответствующие оси координат.

Итак,

Рассмотрим, что представляет собой производная, например, Если, как было отмечено ранее, орт может совершать только мгновенное вращение вокруг точки то существует мгновенная ось вращения (рис. 1.43).

Как известно, производная от радиуса-вектора есть линейная скорость конца этого вектора. Поскольку орт — вектор, то Следовательно,

Вычислим линейную скорость конца вектора, направленную по касательной к окружности,

Зная, что модуль векторного произведения будет тоже равняться и векторы и взаимно-перпендикулярны, можно записать Аналогично запишем: Таким образом,

или

В результате мы получаем следующую зависимость:

Выражение в скобках представляет собой скорость точки тела, которая совпадает в данный момент с точкой движущейся относительно этого тела (так как она равна сумме скорости полюса и линейной скорости при вращении относительно этого полюса). В результате получено равенство

которое выражает теорему о сложении скоростей:

абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей.

Эту теорему иногда называют правилом параллелограмма скоростей.

В общем случае модуль абсолютной скорости можно вычислить по формуле

Пример решения задачи 1,12

Пассажир идет вдоль вагона со скоростью в сторону, противоположную направлению движения поезда. Поезд движется по прямолинейному участку пути со скоростью С какой скоростью пассажир перемещается относительно строений?

Решение.

1. Определим переносную скорость. Поскольку вагон едет по прямолинейному пути, то он совершает поступательное движение. Следовательно, все точки имеют одинаковую скорость, т.е.

2. Определим абсолютную скорость пассажира. На основании теоремы о сложении скоростей при сложном движении точки (рис. 1.44), Поскольку все векторы параллельны, то

Ответ. Пассажир перемещается относительно строений в направлении движения поезда с абсолютной скоростью

Сложение двух вращательных движений

Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей

Рассмотрим сложное движение твердого тела, представляющее собой совокупность двух вращательных движений тела вокруг осейг пересекающихся в одной точке. Примером такого движения является движение диска, показанного на рис. 1.45, а. Вращение этого диска относительно оси является его относительным движением, поэтому угловую скорость этого вращательного движения обозначим 0)г Вращение самой оси вокруг оси — это пере» носное движение, поэтому эту угловую скорость обозначим Определим, каким будет абсолютное движение тела в этом случае.

Построим на векторах и параллелограмм (рис, 1.45, б). Покажем, что диагональ этого параллелограмма представляет собой вектор угловой скорости результирующего вращения тела, которое происходит вокруг оси Скорость точки равна нулю, так как она находится одновременно на двух мгновенных осях вращения и Определим скорость точки Так как эта точка принадлежит телу, участвующему в сложном движении, то ее скорость определяется по теореме о сложении скоростей:

Вычислим линейную скорость точки в ее относительном вращении вокруг оси

Вектор скорости перпендикулярен плоскости и направлен «на себя». Модуль линейной скорости точки в ее переносном движении будет равен

Вектор этой скорости направлен перпендикулярно плоскости в сторону «от себя». Поскольку площади треугольников и равны по построению, то в точке приложены два вектора, равные по величине и противоположно направленные, а следовательно, их сумма равна нулю.

Таким образом, прямая проходящая через две неподвижные точки и является мгновенной осью вращения тела. Тогда можно считать, что диск (как и любое другое тело произвольной формы) мгновенно вращается вокруг оси В этом случае скорость любой точки (рис. 1.46) может быть определена так:

С другой стороны, эта точка участвует в сложном движении, поэтому ее скорость можно записать иначе

где

Таким образом,

откуда

Следовательно,

Таким образом, геометрическая сумма векторов угловых скоростей относительного и переносного вращений равна вектору угловой скорости абсолютного вращения.

Установленное соотношение называют правилом параллелограмма угловых скоростей.

Построив параллелограмм угловых скоростей, скорость любой точки тела (например, для точки ) при сложении двух вращательных движений относительно пересекающихся осей можно определить относительно мгновенной оси вращения (см. рис. 1.46):

Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей

В этом случае векторы относительной и переносной угловых скоростей параллельны. Здесь возможно несколько вариантов.

1. Относительное и переносное вращения направлены в одну сторону. Допустим, что плоская фигура I (рис. 1.47, а) вращается относительно плоскости II. В свою очередь, плоскость II совершает вращение относительно неподвижной плоскости III, тогда абсолютное движение плоской фигуры ] будет составным по отношению к плоскости III; движение плоскости И в этом случае является переносным. Плоские фигуры I и II могут совершать аналогичные движения в плоскости III (рис. 1.47, б). Поскольку оба движения являются вращательными, то в точках пересечения осей вращения и с плоскостью III скорости будут равны нулю: в точке — переносная, а в точке — относительная. Как известно, абсолютная скорость любой точки в сложном движении равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. Так как переносная скорость точки равна нулю, то ее абсолютная скорость будет равна относительной скорости:

Модуль этой скорости определяют по формуле Направлена она будет перпендикулярно ее радиусу вращения (отрезку ) — «на себя».

Аналогичные рассуждения справедливы и для точки т. е. абсолютная скорость Модуль этой скорости а вектор перпендикулярен отрезку и направлен в сторону переносного вращения, т.е. «от себя».

Отложим на чертеже векторы абсолютных скоростей точек и после чего найдем мгновенный центр скоростей (рис. 1.47, в). Из рисунка видно, что движение плоской фигуры I складывается

из двух параллельных однонаправленных вращательных движении с угловой скоростью

Из подобия треугольников следует, что Подставив значения скоростей и выраженные через угловые скорости относительного и переносного движений, получим

Следовательно, мгновенная ось вращения (см. рис. 1.47, б) проходит через мгновенный центр скоростей, точку параллельно осям и деля при этом расстояние между этими осями на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям.

Определим модуль абсолютной угловой скорости. Для этого вместо подставим его значение в результате имеем

Учитывая, что перепишем это равенство: или Зная, что получим откуда после сокращения на общий множитель определим

Модуль абсолютной угловой скорости равен сумме модулей угловых скоростей составляющих однонаправленных вращательных движений.

Из рис. 1.47,в видно, что абсолютное вращение плоской фигуры направлено так же против часовой стрелки, как и его составные движения. Направим вектор абсолютной угловой скорости по оси в ту же сторону, что и векторы и (см. рис. 1.47,6).

2. Относительное и переносное вращения направлены в разные стороны, а модули их угловых скоростей не равны. Определим абсолютную скорость мгновенного центра скоростей (рис. 1.48, a): Этот вектор равен по модулю и направлен «на себя». Аналогично определим абсолютную скорость мгновенного центра скоростей Точка в переносном движении вращается вокруг оси

против хода часовой стрелки, если смотреть с конца вектора Следовательно, вектор направлен «на себя». Модуль вектора будет равен На рис. l.48,a показано, что поэтому

Отложим из точек и векторы скоростей и (рис. 1.48, б) и графически найдем мгновенный центр скоростей, т.е. точку Из рисунка видно, что абсолютное вращение будет происходить по часовой стрелке, если смотреть с конца мгновенной оси вращения

Из подобия треугольников (см. рис. 1.48, б) следует, что Подставив значения скоростей и выраженные через угловые скорости относительного и переносного движений, получим

Таким образом, мгновенная ось абсолютного вращения плоской фигуры параллельна осям переносного и относительного вращений; она лежит в плоскости, проходящей через эти оси, и делит расстояние между этими осями внешним образом обратно пропорционально угловым скоростям.

Для определения модуля угловой скорости абсолютного вращения воспользуемся зависимостью (см. рис. 1.48, б). В то же время, как было установлено ранее, Приравняв правые части и учитывая, что получим

или

Ранее было доказано, что С учетом этого равенства получаем после сокращения на множитель имеем т. е. модуль абсолютной угловой скорости равен разности угловых скоростей составляющих разнонаправленных вращений. Вектор абсолютной угловой скорости направлен в сторону большей угловой скорости и расположен со стороны той оси, угловая скорость вращения вокруг которой больше (см. рис. 1.48, а).

3. Относительное и переносное вращения направлены в разные стороны, модули их угловых скоростей равны (рис. 1.49, а). Определим для данного случая абсолютное движение плоской фигуры I. Поскольку модули угловых скоростей равны, то

Относительное вращение вокруг оси совершает фигура I, а переносное вращение вокруг оси — фигура II. Поскольку для любой точки фигуры I имеет место равенство

то для точки это равенство также будет справедливо. Определим ее относительную скорость. Вектор будет направлен по перпендикуляру к отрезку в направлении угловой скорости (рис. 1.49, б). Вычислим его модуль

или так как

Переносная скорость точки будет направлена перпендикулярно отрезку в сторону переносной угловой скорости Вычислим модуль переносной скорости

Построим параллелограмм на векторах скоростей и (см. рис. 1.49, б). Треугольники и подобны, так как стороны их пропорциональны и взаимно-перпендикулярны. Из подобия треугольников имеем

Так как стороны и перпендикулярны соответственно сторонам и то третьи стороны этих треугольников будут также перпендикулярны, т.е. вектор перпендикулярен стороне Значит, вектор скорости любой точки, выбранной произвольно, должен быть перпендикулярен отрезку а ее модуль равен

Если скорости всех точек тела одинаковы по модулю и направлению, то мгновенный центр скоростей такого тела лежит в бесконечности — тело совершает поступательное движение.

Таким образом, при сложении двух вращений с равными по модулю, но противоположно направленными угловыми скоростями результирующим движением является поступательное.

Совокупность двух вращений, направленных в противоположные стороны и имеющих равные по модулю угловые скорости, называется парой вращений.

Пример решения задачи 1.13

Механизм приводится в движение кривошипом который вращается с угловой скоростью (рис. 1.50, а). Определить, с какой скоростью звено вращается относительно кривошипа и его мгновенную абсолютную угловую скорость, используя теорему о сложении вращений относительно параллельных осей.

Решен и е.

1. Определяем относительную угловую скорость звена

Звено совершает сложное движение. Его точка В принадлежит одновременно звену и , поэтому скорость ее в относительном вращательном движении равна нулю. Значит, это мгновенный центр скоростей

звена в его относительном вращательном движении; обозначим его (рис. 1.50, 6). Переносным вращением является вращение кривошипа относительно неподвижной точки обозначим эту точку Оси переносного и относительного вращений перпендикулярны плоскости чертежа, т.е. параллельны между собой. Следовательно, можно применить теорему о сложении вращательных движений относительно параллельных осей.

Поскольку известны направления скоростей точек и звена (соответственно вдоль осей и ), то можно найти МЦС этого звена, т.е. точку (см. рис. 1.50, 5).

Вычислим отношение (см. подразд. 1.10):

Отсюда относительная угловая скорость вращения

2. Определяем мгновенную абсолютную угловую скорость звена .

Точка (МЦС абсолютного вращательного движения) лежит на отрезке и делит его внешним образом, следовательно, направления переносной и относительной угловых скоростей противоположные. А так как точка находится ближе к чем к то и тогда абсолютная угловая скорость звена будет равна

Ответ. Относительная угловая скорость звена в данный момент в два раза больше, чем угловая скорость кривошипа и направлена в противоположную сторону.

Абсолютная угловая скорость звена в данный момент равна угловой скорости кривошипа но направлена в другую сторону.