Теоретическая механика движение точки

Содержание:

  1. Задание движения точки в ортогональных декартовых координатах
  2. Векторы в косоугольных декартовых координатах
  3. Цилиндрические и сферические координаты
  4. Произвольные криволинейные координаты
  5. Скорость точки
  6. Вектор скорости в декартовых координатах
  7. Пример с решением задачи.
  8. Скорость точки в цилиндрических координатах
  9. Скорость точки в сферических координатах
  10. Скорость точки в произвольных криволинейных координатах
  11. Ускорение точки
  12. Разложение ускорения по осям декартовых координат
  13. Разложение ускорения по осям натурального трехгранника
  14. Ускорение в криволинейных координатах
  15. Сложное движение точки
  16. Скорость точки при сложном движении
  17. Скорость точки при нескольких переносных движениях
  18. Ускорение точки при сложном движении

Задание движения точки в ортогональных декартовых координатах

Положение точки относительно ортогональной декартовой системы координат задается тремя числами Теоретическая механика движение точки которые можно рассматривать как проекции радиус-вектора:

Теоретическая механика движение точки

где 1Теоретическая механика движение точки суть единичные векторы осей координат.

Если положение точки изменяется во времени, т. е. ее координаты Теоретическая механика движение точки являются некоторыми функциями времени:

Теоретическая механика движение точки

то говорят, что в декартовых координатах задается закон движения точки.

  • По самой природе движения функции Теоретическая механика движение точки однозначны, так как в заданный момент точка может занимать только одно положение. Будем считать их также по крайней мере дважды дифференцируемым. Уравнения (1.2) можно рассматривать как параметрическую форму уравнений некоторой пространственной кривой, которая называется траекторией точки.

Движение точки может быть задано в любых координатах (например, цилиндрических, сферических и др.).

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретической механике:

Предмет теоретическая механика: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Векторы в косоугольных декартовых координатах

Радиус-вектор Теоретическая механика движение точки определяемый равенством (1.1), может быть отнесен к некоторой косоугольной системе прямолинейных осей координат, направления которых характеризуются координатными векторами Теоретическая механика движение точки Совокупность этих векторов, которые будем . считать линейно независимыми, назовем координатным базисом. Всякий вектор г может быть разложен единственным образом но трем независимым направлениям е,- и представлен в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — контравариантные компоненты вектора г относительно базиса Теоретическая механика движение точки

Отметим, что модули координатных векторов Теоретическая механика движение точки могут быть и не равны единице, но при этом всегда можно записать

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки Базис Теоретическая механика движение точки называется нормированным. Из формулы (2.1) следует, что

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки Эти коэффициенты условимся называть метрическими коэффициентами. Очевидно, что, взяв, в частности, ортогональную нормированную систему координат Теоретическая механика движение точки полупим

Теоретическая механика движение точки

Покажем, как можно определить вектор Теоретическая механика движение точки другим способом. Рассмотрим скалярное произведение Теоретическая механика движение точки На основайий (2.1) егб можно записать в виде

Теоретическая механика движение точки

Известно, что определитель Теоретическая механика движение точки составленный из коэффициентов положительно-определенной квадратичной формы не равен нулю, и поэтому система (2.3) разрешима относительно Теоретическая механика движение точки так что

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — коэффициенты матрицы, обратной к матрице о коэффициентами Теоретическая механика движение точки Подставляя найденные Теоретическая механика движение точки в формулу (2.1),

имеем

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

Таким образом, вектор Теоретическая механика движение точки действительно можно выразить через величины Теоретическая механика движение точки но при этом его следует отнести к новому базису с координатными векторами Теоретическая механика движение точки которые определяются формулой (2.6).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Теоретическая механика ответы на тесты

Скорость точки по теоретической механике

Формулы теоретической механики

Твердое тело теоретическая механика

Нетрудно видеть, что величины Теоретическая механика движение точки с точностью до множителей Теоретическая механика движение точки представляют собой ортогональные проекции вектора Теоретическая механика движение точки на направления координатных осей исходного базиса, так как

Теоретическая механика движение точки

Назовем Теоретическая механика движение точки ковариантными компонентами вектора Теоретическая механика движение точки относительно базиса Теоретическая механика движение точки Подставляя в выражение (2.3) вместо Теоретическая механика движение точки его значение (2.4), получаем

Теоретическая механика движение точки

где

Теоретическая механика движение точки

Так как (2.8) есть тождество, то можно утверждать, что

Теоретическая механика движение точки

Величины Теоретическая механика движение точки называются символами Кронекера. На основании этого, а также формулы (2.6) устанавливаем, что

Теоретическая механика движение точки

т.е.

Теоретическая механика движение точки

и всякий вектор Теоретическая механика движение точки ортогонален вектору Теоретическая механика движение точки если Теоретическая механика движение точки Кроме того, из (2.6) и (2.9) следует, что

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

т. е. контравариантная компонента по основному базису Теоретическая механика движение точки вычисляется через векторы базиса Теоретическая механика движение точки который будем называть взаимным.

Из изложенного видна полная равноправность обоих базисов относительно друг друга. На основании формулы (2.9) нетрудно также убедиться, что скалярное произведение двух векторов Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки один из которых задан в основной системе, а другой во взаимной, может быть представлено в следующей компактной форме:

Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

Очевидно, что, задавая закон движения точки с помощью контравариантных координат Теоретическая механика движение точки на основании формулы (2.3) всегда можно вывести закон движения, выраженный через ковариантные координаты Теоретическая механика движение точки

  • Если исходная система координат ортонормироваиа, то ко-и контравариантные составляющие совпадают.

Цилиндрические и сферические координаты

Цилиндрическими координатами точки называются три величины Теоретическая механика движение точки которые имеют следующий геометрический смысл:

  • а) Теоретическая механика движение точки —длина проекции радиус-вектора Теоретическая механика движение точки точки Теоретическая механика движение точки на плоскость Теоретическая механика движение точки
  • б) Теоретическая механика движение точки — угол, составляемый радиусом Теоретическая механика движение точки с осью Теоретическая механика движение точки принимаемой за основную;
  • в) Теоретическая механика движение точки —декартова координата точки по оси Теоретическая механика движение точки (рис. 1).

Таким образом,

Теоретическая механика движение точки

и, следовательно, задание Теоретическая механика движение точки позволяет найти декартовы координаты точки Теоретическая механика движение точки Для обратного перехода имеем

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Отметим, что приравнивание какой-либо декартовой координаты к постоянной величине дает уравнение плоскости, параллельной соответствующей координатной плоскости (например, Теоретическая механика движение точки есть уравнение плоскости, параллельной плоскости Теоретическая механика движение точки); приравнивание постоянным функций Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки дает уравнения некоторых поверхностей, называемых координатными поверхностями. Так, уравнение Теоретическая механика движение точки есть уравнение цилиндрической поверхности радиусом Теоретическая механика движение точки с образующими, параллельными оси Теоретическая механика движение точки Уравнение Теоретическая механика движение точки есть уравнение полуплоскости, проходящей через ось Теоретическая механика движение точки Уравнение Теоретическая механика движение точки есть уравнение плоскости, параллельной основной плоскости Теоретическая механика движение точки

Пересечение каких-либо двух координатных поверхностей дает координатную линию. Так, пересечение цилиндра Теоретическая механика движение точки с плоскостью Теоретическая механика движение точки дает окружность, пересечение его с полуплоскостью Теоретическая механика движение точки — прямую, параллельную оси Теоретическая механика движение точки и, наконец, пересечение полуплоскости Теоретическая механика движение точки с плоскостью Теоретическая механика движение точки дает луч Теоретическая механика движение точки параллельный радиусу Теоретическая механика движение точки Пересечение координатных линий дает точку Теоретическая механика движение точки. Проведя через точку Теоретическая механика движение точки касательные орты к координатным линиям в направлении возрастания координат Теоретическая механика движение точки получим единичные векторы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точкикоторые образуют ортонормированный базис цилиндрической системы координат.

Задание движения точки в цилиндрических координатах равносильно заданию функций

Теоретическая механика движение точки

В частности, если Теоретическая механика движение точки то мы имеем дело с движением точки в плоскости Теоретическая механика движение точки причем оно задается полярными координатами точки Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки

Определим теперь положение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки называются три величины Теоретическая механика движение точки имеющие следующий геометрический смысл (рис. 2):

Теоретическая механика движение точки

  • а) Теоретическая механика движение точки — длина радиус-вектора точки Теоретическая механика движение точки
  • б) Теоретическая механика движение точки — угол, составляемый этим радиус-вектором с плоскостью Теоретическая механика движение точки принимаемой за плоскость отсчета, Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки
  • в) Теоретическая механика движение точки — угол, образуемый проекцией Теоретическая механика движение точки радиус-вектора Теоретическая механика движение точки плоскость Теоретическая механика движение точки с осью Теоретическая механика движение точки

Из рис. 2 видно, что декартовы координаты точки Теоретическая механика движение точки связаны со сферическими Теоретическая механика движение точки формулами

Теоретическая механика движение точки

откуда

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Полагая Теоретическая механика движение точки получаем координатную поверхность в виде сферы. Уравнение Теоретическая механика движение точки представляет собой уравнение полуплоскости, проходящей через ось Теоретическая механика движение точки Уравнение Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки есть уравнение конуса с вершиной в начале координат и углом раскрытия Теоретическая механика движение точки осью симметрии которого является ось Теоретическая механика движение точки

Координатными линиями, по которым пересекаются указанные координатные поверхности, являются:

а) полуокружности больших кругов радиусом Теоретическая механика движение точки опирающиеся на ось Теоретическая механика движение точки (меридианы);

б) окружности кругов радиусом Теоретическая механика движение точки плоскость которых параллельна плоскости Теоретическая механика движение точки (параллели);

в) полупрямые радиального направления, исходящие из начала координат.

Касательные к координатным линиям, проведенные через точку Теоретическая механика движение точки в направлении возрастания Теоретическая механика движение точки образуют ортогональную систему осей сферических координат с единичными векторами Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки (рис. 2).

Задание движения в сферических координатах равносильно ваданию функций

Теоретическая механика движение точки

Произвольные криволинейные координаты

Обобщая результаты предыдущих параграфов, можно утверждать, что положение точки может быть задано с помощью криволинейных координат, под которыми подразумевают три величины Теоретическая механика движение точки через которые однозначно выражаются декартовы координаты точки:

Теоретическая механика движение точки

или

Теоретическая механика движение точки

причем предполагается, что эти уравнения разрешимы относительно Теоретическая механика движение точки и решения их однозначны. Таким образом,

Теоретическая механика движение точки

Из этих равенств непосредственно видно, что приравнивание какой-либо координаты Теоретическая механика движение точки к постоянной величине приводит к уравнению координатной поверхности, например Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

Пересечение двух координатных поверхностей дает координатную линию, вдоль которой изменяется только одна координата. Например, пересечение поверхностей Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки Теоретическая механика движение точки дает координатную линию, вдоль которой изменяется координата Теоретическая механика движение точки

Пересечение координатных линий Теоретическая механика движение точки (рис. 3) дает точку Теоретическая механика движение точки положение которой требовалось определить. Если через эту точку провести касательные к координатным линиям b направлении возрастания величин Теоретическая механика движение точки, qто получим оси криволинейных координат. Направления этих осей могут образовывать как ортогональную систему (например, системы осей сферических и цилиндрических координат), так и неортогональную (косоугольную). Для задания движения в криволинейных координатах величины Теоретическая механика движение точки следует задать как функции времени.

Теоретическая механика движение точки

Скорость точки

Вектор Теоретическая механика движение точки соединяющий исследуемую точку Теоретическая механика движение точки с соседней точкой Теоретическая механика движение точки будем называть вектором перемещения. Если перемещение осуществляется за промежуток времени Теоретическая механика движение точки то отношение Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки называется средней скоростью точки за этот промежуток.

Назовем истинной скоростью точки Теоретическая механика движение точки в данный момент предел (если он существует), к которому стремится отношение Теоретическая механика движение точки при Теоретическая механика движение точки т. е.

Теоретическая механика движение точки

Этот предел будем называть производной от вектора Теоретическая механика движение точки по аргументу Теоретическая механика движение точки и обозначать Теоретическая механика движение точки или Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

т. е. истинная скорость точки в данный момент есть первая производная от радиус-вектора по времени, взятая для этого момента.

Исследуем вектор скорости Теоретическая механика движение точки Выберем на кривой, по которой движется точка, начало Теоретическая механика движение точки и положительное направление бтечета дуговой коордйнаты Теоретическая механика движение точки (рис. 4). Величина Теоретическая механика движение точки однозначно определяет положение точки Теоретическая механика движение точки на траектории. Задание кривой и закона движения по ней Теоретическая механика движение точки называется естественным способом задания движения. Введение дуговой координаты позволяет представить вектор скорости (5.1) в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — длина элемента дуги Теоретическая механика движение точки При этом Теоретическая механика движение точки есть производная Теоретическая механика движение точки от дуговой координаты Теоретическая механика движение точки по времени, a Теоретическая механика движение точки есть единичный касательный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты. Обозначим его через Теоретическая механика движение точки Теперь выражение (5.2) можно представить в виде

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Вектор скорости в декартовых координатах

В декартовой системе координат имеем

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — проекции вектора скорости на оси Теоретическая механика движение точки так что

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Здесь Теоретическая механика движение точки — модуль вектора скорости, а Теоретическая механика движение точки - углы, образуемые этим вектором с положительными направлениями осей координат. Вместе с тем Теоретическая механика движение точки и поэтому по определению

Теоретическая механика движение точки

Сравнивая формулы (6.1) и (6.3), получаем

Теоретическая механика движение точки

Производные от координат точки но времени Теоретическая механика движение точки представляют собой скорости проекций рассматриваемой точки соответственно на оси Теоретическая механика движение точки Таким образом, проекции вектора скорости на оси координат равны скоростям проекций. Скорость и ее направляющие косинусы в соответствии с выражениями (6.2) и (6.4) находим по формулам

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Из изложенного видно, что если закон движения задан в координатной форме, т. е. заданы функций Теоретическая механика движение точки то всегда можно найти производные Теоретическая механика движение точки а по формулам (6.5) — величину и направление вектора скорости.

Пример с решением задачи.

Закон движения точки Теоретическая механика движение точки Теоретическая механика движение точки где Теоретическая механика движение точки — постоянные величины. Найти ее траекторию и скорость. Для определения траектории исключаем время. Тогда

Теоретическая механика движение точки

откуда Теоретическая механика движение точки (»ллипс).

Для нахождения скорости вычисляем производные Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки Следовательно,

Теоретическая механика движение точки

Это означает, что точка движется по эллипсу против часовой стрелки, о чем свидетельствуют знаки функций Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки При Теоретическая механика движение точки движение просходит по окружности со скоростью Теоретическая механика движение точки

Скорость точки в цилиндрических координатах

Пусть радиус-вектор точки задан как функция цилиндрических координат Теоретическая механика движение точки которые при движении точки изменяются в зависимости от времени, т. е. Теоретическая механика движение точки Дифференцируя г по времени, получаем

Теоретическая механика движение точки

Здесь Теоретическая механика движение точки — координатный вектор, модуль которого равен единице, так как при фиксированных Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки имеем Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки Направление этого вектора совпадает с направлением вектора Теоретическая механика движение точки (см. рис. 1).

Точно так же легко убедиться, что Теоретическая механика движение точки Модуль вектора Теоретическая механика движение точки равен Теоретическая механика движение точки так как при фиксированных Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки имеем Теоретическая механика движение точки Этот вектор направлен по касательной к окружности Теоретическая механика движение точки Таким образом,

Теоретическая механика движение точки

Первое слагаемое формулы (7.1) есть скорость движения точки по радиусу Теоретическая механика движение точки и поэтому ее будем называть радиальной составляющей вектора скорости.

Второе слагаемое есть вектор, равный Теоретическая механика движение точки и направленный перпендикулярно плоскостиТеоретическая механика движение точки Иногда его называют транс ее реальной составляющей вектора скорости. Производная Теоретическая механика движение точки по кинематическому смыслу есть скорость изменения двугранного угла Теоретическая механика движение точки, образуемого плоскостью Теоретическая механика движение точки с плоскостью Теоретическая механика движение точки (см. рис. 1). Эту скорость будем называть угловой скоростью поворота (вращения) указанной плоскости вокруг оси Теоретическая механика движение точки а ось Теоретическая механика движение точки — осью вращения.

Третье слагаемое формулы (7.1) есть скорость движения вдоль оси Теоретическая механика движение точки

Таким образом, составляющие вектора скорости точки по осям цилиндрических координат

Теоретическая механика движение точки

Величина вектора скорости

Теоретическая механика движение точки

а направление его характеризуется направляющими косинусами

Теоретическая механика движение точки

В частности, если движение происходит в плоскости Теоретическая механика движение точки то Теоретическая механика движение точки и в полярных координатах:

Теоретическая механика движение точки

Наконец, еоли Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки то точка движется по окружности радиусом Теоретическая механика движение точки которая является координатной линией. Центр такой окружности лежит на оси Теоретическая механика движение точки а плоскость ее перпендикулярна последней. В рассматриваемом случае

Теоретическая механика движение точки

Так как система цилиндрических координат ортогональная, то Теоретическая механика движение точки и, следовательно, формулу (7.2) можно представить в виде

Теоретическая механика движение точки

где через Теоретическая механика движение точки обозначен вектор Теоретическая механика движение точки Этот вектор, лежащий на оси вращения, направлен так, что наблюдатель, смотрящий с его конца, видит вращение происходящим против часовой стрелки (правило правого винта). Будем называть вектор Теоретическая механика движение точки вектором угловой скорости.

Подобный способ введения вектора Теоретическая механика движение точки позволяет считать его скользящим вектором, т. е. вектором, кинематический смысл которого не изменяется при переносе его вдоль оси Теоретическая механика движение точки. Прямая, на которой расположен вектор Теоретическая механика движение точки называется основанием, или линией его действия. Так как Теоретическая механика движение точки то

Теоретическая механика движение точки

при любом положении начала Теоретическая механика движение точки на оси Теоретическая механика движение точки

В отличие от скользящего вектора Теоретическая механика движение точки вектор скорости точки Теоретическая механика движение точки связан с движущейся точкой и поэтому называется связанным вектором.

Скорость точки в сферических координатах

Если радиус-вектор точки задан как функция сферических координат Теоретическая механика движение точки то, учитывая, что частные перемещения точки по координатным линиям равны соответственно Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки (см, рис. 2), для скорости Теоретическая механика движение точки получаем выражение

Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки Отсюда величина ее и направляющие косинусы следующие:

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Второе слагаемое в формуле (8.1) аналогично (7.2) и (7.3J может быть представлено в виде

Теоретическая механика движение точки

При фиксированных значениях Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки длина вектора Теоретическая механика движение точки остается неизменной, сам же он перемещается в плоскости Теоретическая механика движение точки вращаясь вокруг оси, перпендикулярной данной плоскости, с угловой скоростью Теоретическая механика движение точки Скорость конца этого вектора

Теоретическая механика движение точки

так как Теоретическая механика движение точки

Следовательно, мы получили выражение, полностью аналогичное (8.3).

На,основании (8.3), (8.4) формула (8,1) может быть записана в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

В частности, если длина радиус-вектора Теоретическая механика движение точки постоянна, то

Теоретическая механика движение точки

При исследовании движения точки по окружности вектор со имел постоянное направление, перпендикулярное плоскости окружности, а радиус-вектор Теоретическая механика движение точки с началом на оси вращения составлял с ней постоянный угол Теоретическая механика движение точки так, что Теоретическая механика движение точки представлял собой радиус окружности.

В рассматриваемом случае направление вектора Теоретическая механика движение точки в пространстве с течением времени изменяется вследствие вращения плоскости меридиана Теоретическая механика движение точки и поэтому применительно к каждому данному моменту времени можно говорить о мгновенной угловой скорости Теоретическая механика движение точки и мгновенной оси вращения, вокруг которой как бы вращается вектор Теоретическая механика движение точки

Итак, скорость конца вектора Теоретическая механика движение точки постоянной длины при неподвижном начале всегда выражается формулой

Теоретическая механика движение точки

Скорость точки в произвольных криволинейных координатах

Пусть радиус-вектор точки Теоретическая механика движение точки есть функция параметров Теоретическая механика движение точки т. е. Теоретическая механика движение точки Тогда, предполагая, что эта функция дифференцируема, можем записать

Теоретическая механика движение точки

Обозначая Теоретическая механика движение точки имеем

Теоретическая механика движение точки

Эта формула аналогична выражению (2.1). Она представляет собой разложение вектора Теоретическая механика движение точки по осям криволинейной системы координат и может быть записана также в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки, а величины Теоретическая механика движение точки в общем случае являются косоугольными составляющими вектора Теоретическая механика движение точки по осям базиса Теоретическая механика движение точки

Квадрат модуля вектора Теоретическая механика движение точки очевидно равен

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

причем Теоретическая механика движение точки — угол между направлениями Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки Для ортогональной системы Теоретическая механика движение точки

Поскольку по определению Теоретическая механика движение точки для вектора скорости в контравариантном представлении согласно (9.1) получаем

Теоретическая механика движение точки

Величины Теоретическая механика движение точки называются обобщенными скоростями. Учитывая аналогию между формулами (2.1) и (9.1 соответствии с выражениями (2.5), (2.3), (2.6) и (2.7) в ковариантном представлении имеем

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

Так как вектор Теоретическая механика движение точки в декартовых координатах имеет вид

Теоретическая механика движение точки

то Теоретическая механика движение точки

и, следовательно,

Теоретическая механика движение точки

Направление вектора Теоретическая механика движение точки относительно осей криволинейных координат характеризуется направляющими косинусами

Теоретическая механика движение точки

Рассмотрим в качестве примера разложение вектора скорости по осям цилиндрических и сферических координат. В цилиндрических координатах получаем

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

B сферических координатах имеем

Теоретическая механика движение точки

Ускорение точки

При движении точки вектор ее скорости Теоретическая механика движение точки вообще изменяется во времени по величине и направлению. Таким образом, если в момент Теоретическая механика движение точки скорость точки представлена вектором Теоретическая механика движение точки то в момент Теоретическая механика движение точки она также представлена некоторым вектором Теоретическая механика движение точки причем (рис. 5) Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

Назовем ускорением точки в данный момент вектор Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Из геометрического построения видно, что вектор ускорения всегда направлен в сторонувогнутости и лежит в соприкасающейся плоскости, под которой понимают плоскость, являющуюся предельным положением плоскости, проведённой через касательную Теоретическая механика движение точки и бесконечно близкую к ней точку Теоретическая механика движение точки пространственной кривой при неограниченном приближении &той точки к точке касания. Очевидно, что если кривая плоская, то ее соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью, в конторой лежит кривая.

Разложение ускорения по осям декартовых координат

Вектор Теоретическая механика движение точки в декартовых координатах может быть записан в виде

Теоретическая механика движение точки

но вместе с тем и поэтому согласно определению имеем

Теоретическая механика движение точки

Сравнивая правые части формул (11.1), (11.2), получаем

Теоретическая механика движение точки

в соответствии с чем модуль вектора ускорения представляем в виде

Теоретическая механика движение точки

а направляющие косинусы вычисляем по формулам

Теоретическая механика движение точки

Таким образом, если закон движения задан функциямиТеоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки то определение ускорения по величине и направлению не представляет труда.

Рассмотрим в качестве примера движение точки по эллипсу. В этом случае, как известно, Теоретическая механика движение точки и, следовательно,

Теоретическая механика движение точки

откуда

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки - длина радиус-вектора.

Разложение ускорения по осям натурального трехгранника

Было установлено, что вектор ускорения w всегда лежит в соприкасающейся плоскости, проведенной через точку траектории, через которую в данный момент проходит рассматриваемая движущаяся точка. В соответствии со сказанным для исследования ускорения удобно выбрать натуральную систему осей, образуемую векторами Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки начало которой совпадает с движущейся точкой. Вектор Теоретическая механика движение точки — единичный касательный вектор, ориентированный в направлении положительного отсчета дуговой координаты Теоретическая механика движение точки — единичный вектор главной нормали, лежащий в соприкасающейся плоскости и ориентированный в направлении вогнутости кривой. Вектор Теоретическая механика движение точки равный по определению векторному произведению Теоретическая механика движение точки называется вектором бинормали.

Так как вектор ускорения Теоретическая механика движение точки лежит в соприкасающейся плоскости, то составляющая этого вектора по направлению бинормали равна нулю.

Вектор Теоретическая механика движение точки можно выразить следующим образом:

Теоретическая механика движение точки

Здесь первое слагаемое есть вектор, направленный по касательной. Рассмотрим второй вектор этой суммы, начиная с производной Теоретическая механика движение точки Так как вектор Теоретическая механика движение точки в разных точках дуги кривой имеет разное направление, то он является вектор-функцией Теоретическая механика движение точки и поэтому

Теоретическая механика движение точки

При перемещении точки на величину Теоретическая механика движение точки вектор Теоретическая механика движение точки поворачивается на угол Теоретическая механика движение точки Так как величина этого вектора остается неизменной и равной единице (рис. 6), Теоретическая механика движение точки представляет собой единичный вектор, направленный перпендикулярно Теоретическая механика движение точки в сторону вогнутости траектории и лежащий в соприкасающейся плоскости. Иначе говоря, производная Теоретическая механика движение точки есть единичный вектор Теоретическая механика движение точки главной нормали. В соответствии со сказанным

Теоретическая механика движение точки

Производная Теоретическая механика движение точки являющаяся пределом

Теоретическая механика движение точки

называется кривизной кривой в данной точке, а величина Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки — радиусом кривизны.

Таким образом, производную Теоретическая механика движение точки можно записать как

Теоретическая механика движение точки

Тогда формула (12.1) примет вид

Теоретическая механика движение точки

Первое слагаемое данного выражения есть вектор, направленный по касательной, и поэтому его называют касательной составляющей ускорения.

Второе слагаемое есть вектор, направленный по главной нормали и называемый нормальной составляющей ускорения. Величины этих составляющих таковы:

Теоретическая механика движение точки

и потому, учитывая, что Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

получаем

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Из приведенных рассуждений видно, что составляющая Теоретическая механика движение точки образуется вследствие изменения величины вектора скорости, тогда как составляющая Теоретическая механика движение точки — вследствие изменения направления этого вектора.

Если закон движения точки задан в координатной форме, то нетрудно вычислить величины Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки Действительно,

Теоретическая механика движение точки

откуда

Теоретическая механика движение точки

Но Теоретическая механика движение точки и поэтому

Теоретическая механика движение точки

а следовательно,

Теоретическая механика движение точки

В частности, для плоской кривой после некоторых несложных преобразований получаем

Теоретическая механика движение точки

В заключение параграфа приведем определение кривизны кривой, допускающее обобщение на случай кривой в Теоретическая механика движение точки евклидовом пространстве.

Напомним, что, введя понятие длины дуги s и одновременно установив положительное направление ее отсчета от некоторой точки Теоретическая механика движение точки на кривой (рис. 4), мы представили вектор скорости Теоретическая механика движение точки в виде Теоретическая механика движение точки

Единичный вектор

Теоретическая механика движение точки

ориентирован по касательной к кривой в положительном направлении отсчета дуговой координаты Теоретическая механика движение точки

Дифференцируя соотношение (12.3) по Теоретическая механика движение точки и сравнивая получающееся соотношение с выражением (12.2), имеем

Теоретическая механика движение точки

В Теоретическая механика движение точки евклидовом пространстве Теоретическая механика движение точки понятия расстояния, а следовательно, и длины дуги кривой вводятся, как и в трехмерном пространстве Теоретическая механика движение точки Введя понятие длины дуги Теоретическая механика движение точки определим кривизну кривой в Теоретическая механика движение точки в соответствии с формулой (12.4) как модуль вектора Теоретическая механика движение точки т. е.

Теоретическая механика движение точки

Если декартовы координаты Теоретическая механика движение точки точки на кривой заданы как функции дуговой координаты Теоретическая механика движение точки то

Теоретическая механика движение точки

Единичный вектор Теоретическая механика движение точки главной нормали к кривой в Теоретическая механика движение точки по определению полагаем равным

Теоретическая механика движение точки

Ускорение в криволинейных координатах

Пусть вектор скорости задан в виде (9.2):

Теоретическая механика движение точки

В дальнейшем для сокращения записи условимся считать, что Теоретическая механика движение точки дважды встречающимся индексам производится суммирование. В соответствии с этим предыдущая формула должна быть записана в виде

Теоретическая механика движение точки

Тогда ускорение точки

Теоретическая механика движение точки

или

Теоретическая механика движение точки

Контравариантные компоненты ускорения теперь находим по формулам

Теоретическая механика движение точки

Так как согласно формуле (2.9)

Теоретическая механика движение точки

то

Теоретическая механика движение точки

где

Теоретическая механика движение точки

Для коварнантной составляющей получаем Теоретическая механика движение точки

или Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

Символы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки называются соответственно символами Кристоффеля первого и второго рода. Они связаны между собой равенствами

Теоретическая механика движение точки

и, следовательно, зная Теоретическая механика движение точки и коэффициенты Теоретическая механика движение точки всегда можно вычислить Теоретическая механика движение точки Величины Теоретическая механика движение точки могут быть вычислены непосредственно по функциям Теоретическая механика движение точки Действительно,

Теоретическая механика движение точки

и поэтому

Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

т.е. Теоретическая механика движение точки

Итак, для ко- и контравариантных составляющих ускорения имеем

Теоретическая механика движение точки

Формулу (13.3) можно записать еще в одной форме;

Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

или Теоретическая механика движение точки

Так как двойные суммы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки равны между собой вследствие коммутативности индексов суммирования Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки то вместо выражения (13.5) имеем

Теоретическая механика движение точки

Введя на основании выражения (13.1) квадратичную форму

Теоретическая механика движение точки

нетрудно видеть, что

Теоретическая механика движение точки

поэтому можно представить в виде

Теоретическая механика движение точки

Эта формула весьма удобна для нахождения ковариантных составляющих ускорения Теоретическая механика движение точки Ее можно получить и непосредственно, не прибегая к формуле (13.3),

Действительно, по определению коварнантной составляющей

Теоретическая механика движение точки

Однако

Теоретическая механика движение точки

и, следовательно,

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Далее, из равенства (13.10) следует также, что

Теоретическая механика движение точки

поэтому

Теоретическая механика движение точки

Из полученных соотношений (13.9), (13.11), (13.12) и вытекает

Отметим что размерность ко- или контравариантных составляющих вектора ускорения может, вообще говоря, не совпадать с размерностью линейного ускорения Теоретическая механика движение точки в секунду в квадрате Это объясняется тем, что координатные векторы Теоретическая механика движение точки могут быть не единичными. Составляющие линейного ускорения выражаются формулами

Теоретическая механика движение точки

Пои решении конкретных задач величину Теоретическая механика движение точки целесообразно представить в виде квадратичной формы обобщенных скоростей, из которой легко найти коэффициенты Теоретическая механика движение точки Определив производные от этих коэффициентов по координатам Теоретическая механика движение точки можно вычислить символы Кристоффеля Теоретическая механика движение точки а по формуле (13.3) — ускорение Теоретическая механика движение точки Это же ускорение можно получить и по формуле (13 8) определив предварительно производные Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки

Вычислим в качестве примера ковариантные компоненты вектора ускорения Теоретическая механика движение точки в цилиндрических и сферических координатах.

Величина Теоретическая механика движение точки в цилиндрических координатах, как следует из формулы (7.1), такова:

Теоретическая механика движение точки

Обозначая Теоретическая механика движение точки и сравнивая выражения (13.13) с определением Теоретическая механика движение точки как квадратичной формы вида (13.7) находим

Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

Из всех 18 величин Теоретическая механика движение точки отлична от нуля только одна:

Теоретическая механика движение точки

поэтому в соответствии с выражением (13.2) имеем Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки Остальные Теоретическая механика движение точки равны нулю.

Обращаясь к формуле (13.3), получаем

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Отметим, что эти же результаты можно получить по формулам (13.8).

Проекции вектора Теоретическая механика движение точки на оси цилиндрической системы координат с единичными ортами Теоретическая механика движение точки находим путем деления Теоретическая механика движение точки на коэффициенты Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

В сферических координатах, как следует из выражения для скорости (8.2),

Теоретическая механика движение точки

Обозначая Теоретическая механика движение точки получаем

Теоретическая механика движение точки

Остальные Теоретическая механика движение точки равны нулю, и поэтому от нуля отличны только величины Теоретическая механика движение точки

Далее, производя вычисления по формуле (13.3), имеем

Теоретическая механика движение точки

Проекции вектора Теоретическая механика движение точки на оси сферической системы координат с учетом Теоретическая механика движение точки таковы:

Теоретическая механика движение точки

Сложное движение точки

Пусть даны некоторая система отсчета Теоретическая механика движение точки относительно которой движется точка Теоретическая механика движение точки к система отсчета Теоретическая механика движение точки, которая движется относительно первой (рис. 7). Это означает, что начало

Теоретическая механика движение точки

второй системы перемещается и углы, образуемые осями Теоретическая механика движение точки Теоретическая механика движение точкис осями Теоретическая механика движение точки изменяются, т. е. она поворачивается вокруг точки Теоретическая механика движение точки Если система Теоретическая механика движение точки не поворачивается, то оси ее перемещаются параллельно самим себе. Такое движение системы Теоретическая механика движение точки будем называть покупательным движением. Если с подвижной системой Теоретическая механика движение точки связать совокупность всех неподвижных относительно нее точек, то получим подвижное Пространство. Аналогично можно построить и неподвижное пространство, связанное с системой Теоретическая механика движение точки Очевидно, что вместо поворота системы Теоретическая механика движение точки вокруг начала Теоретическая механика движение точки и ее поступательного движения можно рассматривать поворот подвижного пространства вокруг точки и его поступательное движение.

Если точка Теоретическая механика движение точки движется относительно системы Теоретическая механика движение точки то такое движение будем называть относительным. Это —движение, воспринимаемое наблюдателем, неизменно связанным с подвижным пространством.

Движение точки относительно системы Теоретическая механика движение точки будем называть абсолютным. Абсолютное движение точки Теоретическая механика движение точки называется иногда сложным движением, так как его можно воспринимать как движение, обусловленное движением точки относительно подвижного пространства Теоретическая механика движение точки и движением последнего вместе с точкой относительно системы Теоретическая механика движение точки

Если в данный момент точку Теоретическая механика движение точки мысленно лишить относительного движения, то она все же будет двигаться относительно системы Теоретическая механика движение точки вследствие движения самой системы Теоретическая механика движение точки Это воображаемое движение точки Теоретическая механика движение точки будем называть переносным движением. Оно совпадает с движением той точки, с которой в данный момент совпадает точка Теоретическая механика движение точки.

В каждый заданный момент времени оси Теоретическая механика движение точки составляют с осями Теоретическая механика движение точки углы, направляющие косинусы которых Теоретическая механика движение точки удобно записать в виде таблицы:

Теоретическая механика движение точки

Строки этой таблицы составлены из компонент единичных ортов Теоретическая механика движение точки неподвижных осей (рис. 7) относительно подвижного базиса Теоретическая механика движение точки а столбцы — из компонент векторов Теоретическая механика движение точки относительно базиса Теоретическая механика движение точки Таким образом,

Теоретическая механика движение точки

Введем новую систему координат Теоретическая механика движение точки оси которой параллельны осям Теоретическая механика движение точки а начало Теоретическая механика движение точки совпадает с началом Теоретическая механика движение точки и рассмотрим преобразование координат при переходе от одной системы к другой.

Единичные орты Теоретическая механика движение точки новых осей будут совпадать с ортами Теоретическая механика движение точки

Учитывая соотношения (14.1), для произвольного вектора Теоретическая механика движение точки имеем

Теоретическая механика движение точки

Из равенств (14.2) получаем формулы для преобразования координат

Теоретическая механика движение точки

которые удобно записать в матричной форме;

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Отметим, что матрица Теоретическая механика движение точки направляющих косинусов обладает замечательным свойством: обратная матрица Теоретическая механика движение точки равна транспонированной матрице Теоретическая механика движение точки которую получают заменой строк на столбцы.

Так как системы координат по предположению ортогональны, то должны выполняться условия ортогональности

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Таких условий будет шесть, поскольку индексы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки пробегают значения 1, 2, 3, и, следовательно, из девяти косинусов независимыми являются только три. Вместо этих трех независимых косинусов можно выбрать три любых независимых параметра. Обычно в качестве таких параметров выбирают три угла Эйлера, с помощью которых выражаются все Теоретическая механика движение точки (рис. 8). Из рис. 8 видно, что плоскость Теоретическая механика движение точки пересекает плоскость Теоретическая механика движение точкипо некоторой прямой Теоретическая механика движение точки образующей угол Теоретическая механика движение точки с осью Теоретическая механика движение точки и угол Теоретическая механика движение точки с осью Теоретическая механика движение точки Кроме, того, плоскость Теоретическая механика движение точки образует с плоскостью Теоретическая механика движение точки угол Теоретическая механика движение точки равный углу между осями Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки

Углы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки называются углами прецессии, нутации и собственного вращения соответственно.

Рассмотрим переход от системы Теоретическая механика движение точки к системе Теоретическая механика движение точки выполненный с помощью трех поворотов.

Для совмещения системы Теоретическая механика движение точки системой Теоретическая механика движение точки достаточно:

1) повернуть систему Теоретическая механика движение точки вокруг оси Теоретическая механика движение точки на угол Теоретическая механика движение точки в результате чего получаем систему Теоретическая механика движение точки причем Теоретическая механика движение точки

2) повернуть систему Теоретическая механика движение точки' вокруг оси Теоретическая механика движение точки на угол Теоретическая механика движение точки в результате чего имеем систему Теоретическая механика движение точки при этом Теоретическая механика движение точки

3) повернуть систему Теоретическая механика движение точки вокруг оси Теоретическая механика движение точки на угол Теоретическая механика движение точки в результате чего приходим к системе Теоретическая механика движение точки

Произвольный вектор Теоретическая механика движение точки можно задать в четырех системах координат:

Теоретическая механика движение точки

Координаты Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки как видно из рис. 9, связаны соотношениями

Теоретическая механика движение точки

или в матричной форме:

Теоретическая механика движение точки

Матрица

Теоретическая механика движение точки

описывает поворот вокруг третьей оси на угол Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Переход от системы Теоретическая механика движение точки к системе Теоретическая механика движение точки происходит путем поворота на угол Теоретическая механика движение точки вокруг первой из координатных осей. Формулы преобразования координат, как видно из рис. 10, при этом таковы:

Теоретическая механика движение точки

или в матричной форме: Теоретическая механика движение точки где Теоретическая механика движение точки Наконец, система Теоретическая механика движение точки переводится в систему Теоретическая механика движение точки поворотом на угол Теоретическая механика движение точки вокруг третьей оси, и поэтому

Теоретическая механика движение точки

причем матрица Теоретическая механика движение точки имеет вид матрицы (14.5).

Подставляя в соотношение (14.4) соотношение (14.6), в котором Теоретическая механика движение точки представлено в виде (14.8), получаем

Теоретическая механика движение точки

Сравнивая выражения (14.3) и (14.9), находим, что искомая матрица Теоретическая механика движение точки с компонентами Теоретическая механика движение точки является произведением трех матриц поворота:

Теоретическая механика движение точки

Вернемся к рассмотрению сложного движения точки Теоретическая механика движение точки Представим радиус-вектор Теоретическая механика движение точки характеризующий положение точки Теоретическая механика движение точки относительно неподвижного пространства, в виде суммы

(рис.7): Теоретическая механика движение точки

Разложение вектора Теоретическая механика движение точки по неподвижному базису Теоретическая механика движение точки учитывая соотношения (14.1) и (14.2), можно записать в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — координаты вектора Теоретическая механика движение точки

Таким образом, вектор Теоретическая механика движение точки есть функция от Теоретическая механика движение точки

Векторное равенство (14.11) удобно представить в матричной форме;

Теоретическая механика движение точки

Скорость точки при сложном движении

На основании рассуждений предыдущего параграфа абсолютный радиус-вектор Теоретическая механика движение точки точки Теоретическая механика движение точки можно представить в виде (14.11).

Если параметры Теоретическая механика движение точки изменяются во времени, то это означает, что точка Теоретическая механика движение точки движется как относительно системы Теоретическая механика движение точки так и относительно системы Теоретическая механика движение точки Дифференцируя выражение (14.11) по времени, получаем абсолютную скорость точки Теоретическая механика движение точки:

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки есть скорость начала Теоретическая механика движение точки системы Теоретическая механика движение точки Очевидно, что Теоретическая механика движение точки и поэтому сумма

Теоретическая механика движение точки

есть скорость точки Теоретическая механика движение точки относительно системы Теоретическая механика движение точки рассматриваемой как неподвижная, т. е. относительная скорость точки Теоретическая механика движение точки. В выражении (15.1) сумма

Теоретическая механика движение точки

полностью характеризует движение точки Теоретическая механика движение точки, вызванное движением самой системы Теоретическая механика движение точки Эту сумму будем называть переносной скоростью точки Теоретическая механика движение точки. Она равна скорости точки подвижного пространства, с которой в данный момент совпадает точка Теоретическая механика движение точки.

Итак, имеем

Теоретическая механика движение точки

т. е. абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.'

Рассмотрим подробнее переносную скорость Теоретическая механика движение точки Вычисление частной производной Теоретическая механика движение точки предполагает, что углы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки зафиксированы, ноэтому выражение (Теоретическая механика движение точки можно рассматривать как скорость конца вектора Теоретическая механика движение точки при Теоретическая механика движение точки В этом случае конец вектора Теоретическая механика движение точки совершает поворот относительно оси Теоретическая механика движение точки (см. рис. 8 и формулу (7.3)). На основании этого имеем

Теоретическая механика движение точки

Аналогично второе слагаемое Теоретическая механика движение точки вычисляемое при Теоретическая механика движение точки представляет собой скорость вращения конца вектора Теоретическая механика движение точки вокруг оси Теоретическая механика движение точки с угловой скоростью Теоретическая механика движение точки (см. рис. 8).

Третье слагаемое Теоретическая механика движение точкиесть скорость вращения конца вектора Теоретическая механика движение точки вокруг оси Теоретическая механика движение точки с угловой скоростью Теоретическая механика движение точки при Теоретическая механика движение точки Теоретическая механика движение точки

Таким образом, выражение (15.3) можно представить в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

Из формул (15.2) и (15.4) видно, что если точка не имеет относительного движения, т. е. если она неизменно связана с триэдром Теоретическая механика движение точки то ее скорость складывается из скорости Теоретическая механика движение точки начала Теоретическая механика движение точки системы отсчета и скорости Теоретическая механика движение точки которую можно рассматривать как скорость конца радиус вектора Теоретическая механика движение точки при его вращении вокруг оси с направлением Теоретическая механика движение точки Из выражения (15.6) следует, что вектор Теоретическая механика движение точки в общем случае изменяется как по величине, так и по направлению, поэтому его можно назвать мгновенной угловой скоростью триэдра Теоретическая механика движение точки или мгновенной угловой скоростью сподвижного» пространства при его движении вокруг начала Теоретическая механика движение точки

Если Теоретическая механика движение точки то оси системы Теоретическая механика движение точки перемещаются параллельно самим себе, а скорости точек подвижного пространства одинаковы и равны Теоретическая механика движение точки

Абсолютная скорость точки согласно формулам (15.4), (15.5) выражается соотношением

Теоретическая механика движение точки

Скорость точки при нескольких переносных движениях

Пусть точка Теоретическая механика движение точки движется относительно системы Теоретическая механика движение точки перемещающейся относительно системы Теоретическая механика движение точки которая в свою очередь перемещается относительно системы Теоретическая механика движение точки и т. д. Как будет выражаться скорость точки Теоретическая механика движение точки относительно системы Теоретическая механика движение точки принимаемой за абсолютную, через относительную скорость Теоретическая механика движение точки относительно Теоретическая механика движение точки и скорости переносных движений, число которых равно Теоретическая механика движение точки?

На основании формулы (15.7), которая выражает абсолютную скорость точки через ее относительную и переносную скорости в случае одной подвижной системы, для скорости точки относительно системы Теоретическая механика движение точки (рис. 11) имеем

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — скорость начала Теоретическая механика движение точки относительно системы Теоретическая механика движение точки а Теоретическая механика движение точки — угловая скорость поворота осей Теоретическая механика движение точки относительно осей Теоретическая механика движение точки

Совершенно аналогично выражение для скорости точки Теоретическая механика движение точки относительно системы Теоретическая механика движение точки можно записать в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — скорость начала Теоретическая механика движение точки относительно системы Теоретическая механика движение точки а Теоретическая механика движение точки — угловая скорость поворота осей Теоретическая механика движение точки относительно осей Теоретическая механика движение точки

Устанавливая закономерность, имеем

Теоретическая механика движение точки

Теоретическая механика движение точки

Выражая последовательно Теоретическая механика движение точки через Теоретическая механика движение точкиТеоретическая механика движение точки

получаем

Теоретическая механика движение точки

Учитывая, что Теоретическая механика движение точки где Теоретическая механика движение точки есть радиус-вектор, проведенный из начала Теоретическая механика движение точки в начало Теоретическая механика движение точки (рис. 11), выражение (16.1) можно представить в виде

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

Векторы Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки никак не свяваны с относительным движением точки в системе Теоретическая механика движение точки и поэтому они характеризуют суммарное переносное движение.

Формула (16.2) полностью идентична формуле (15.7) и является выражением абсолютной скорости точки Теоретическая механика движение точки при этом система Теоретическая механика движение точки как бы вращается вокруг начала Теоретическая механика движение точки с мгновенной угловой скоростью Теоретическая механика движение точки а начало Теоретическая механика движение точки движется со скоростью Теоретическая механика движение точки

Ускорение точки при сложном движении

Известно, что нахождение вектора ускорения связано с дифференцированием по времени вектора скорости. Рассмотрим в связи с этим более общий случай — дифференцирование некоторого вектора а, изучаемого в двух системах координат — Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки одна из которых произвольно движется относительно другой.

Переход от составляющих вектора а в системе координат Теоретическая механика движение точки к составляющим в системе Теоретическая механика движение точки может быть осуществлен с помощью матрицы перехода Теоретическая механика движение точки (см. формулу (14.3)). В векторной форме это можно записать в виде (см. формулу (14.2) и рис. 7)

Теоретическая механика движение точки

Рассуждая при дифференцировании вектора Теоретическая механика движение точки как и при дифференцировании вектора Теоретическая механика движение точки (см. § 16), получаем

Теоретическая механика движение точки

или Теоретическая механика движение точки где Теоретическая механика движение точки есть локальная производная, т. е. производная в системе Теоретическая механика движение точки рассматриваемой как неподвижная.

Используем формулу (17.1) при нахождении абсолютного ускорения точки Теоретическая механика движение точки Дифференцируя формулу (15.7), получаем

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки

Но на основании формулы (17.1) производные Теоретическая механика движение точки и Теоретическая механика движение точки выражаются так:

Теоретическая механика движение точки

где Теоретическая механика движение точки — относительное ускорение. Подставляя эти вьь ражеккя в формулу (17.2), имеем

Теоретическая механика движение точки

Если бы точка находилась в состоянии покоя относительно системы Теоретическая механика движение точки т. е. если бы Теоретическая механика движение точки то мы получили бы лишь переносное ускорение точки Теоретическая механика движение точки связанное только с движением этой системы, причем

Теоретическая механика движение точки

И, наоборот, если бы в состоянии покоя находилась система Теоретическая механика движение точки т. е. если бы Теоретическая механика движение точки то мы имели бы только относительное ускорение Теоретическая механика движение точки

Итак, из формулы (17.3) видно, что абсолютное ускорение слагается изг переносного Теоретическая механика движение точки относительного Теоретическая механика движение точки и добавочного Теоретическая механика движение точки ускорений. Последнее называется также ускорением Кориолйса.